SOBRE EL GEOIDE Y EL ELIPSOIDE TERRESTRE Modelos gravitacionales EGM96 y WGS! Diego Lis"a de Le#n$
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$% De&arta'ento de ()sica* +niversidad del ,alle ,alle de G-ate'ala% G-ate'ala ./ de se&tie'0re de 1.$2
I% I3TROD+44I53 Los siste'as de &osiciona'iento glo0al* la navegaci#n y la cartogra)a se 0asan en diversos 'odelos geod7sicos% E8isten dos 'odelos indis&ensa0les &ara el est-dio de la or'a terrestre el geoide y el eli&soide de reerencia% El 'odelo ':s -tili;ado &ara el est-dio del geoide es el EGM96* 'ientras <-e &ara el est-dio del eli&soide de reerencia es el WGS!% El -so de a'0os 'odelos &er'ite a los siste'as de &osiciona'iento glo0al deter'inar la alt-ra to&ogr:ica so0re el nivel del 'ar en c-al<-ier &-nto so0re la tierra% Estos 'odelos tienen s- -nda'ento en el ca'&o gravitacional terrestre* con el c-al es &osi0le deter'inar el nivel del 'ar alrededo alrededorr del glo0o% glo0o% Para reca0ar reca0ar inor'aci inor'aci#n #n so0re la gravedad* gravedad* se -tili;an diversos '7todos satelitales co'o las t7cnicas Do&&ler* 'ediciones l:ser* alti'etr)a de radar y 'ediciones de sat7lite con sat7lite% II% EL GEOIDE Y ELIPSOIDE TERRESTRE El geoide es -na l)nea i'aginaria <-e re&resenta la or'a <-e tendr)a la tierra si est-viera c-0ierta sola'ente con ag-a y 'ant-viera el 'is'o ca'&o gravitacional% Esta es -na s-&ericie e<-i&otencial con res&ecto a la gravedad terrestre% El geoide es -tili;ado &ara descri0ir el nivel real del de 'ar alrededor del glo0o% Dado <-e es -na s-&ericie e<-i&otencial* el vector de gravedad =g> es sie'&re &er&endic-lar al geoide =Bro?in* $92>% La or' or'aa del del geo geoid idee es deter' deter'in inada ada &or 'edi 'edioo de 'edi 'edici cion ones es gravi gravita taci ciona onale les% s% Las Las ano'al)as gravitatorias &-eden des&-7s ser -tili;adas &ara generar -n 'odelo terrestre% Las 'ediciones se reali;an o0servando las or0itas de los sat7lites cercanos a la tierra% El 'odelo co'&leto se 0asa en e8&ansiones de series de La&lace* donde los coeicientes de las serie son deter'inados e8&eri'ental'ente% El geoide es -tili;ado co'o 'arco de reerencia &ara deter'inar la alt-ra de las s-&ericies to&ogr:icas so0re el nivel del 'ar =+3@4O* 1.$2 y Bro?in* $92>% @ &artir del geoide* es &osi0le encontrar el eli&soide de reerencia* <-e re&resenta -na a&ro8i'aci#n 'ate':tica &ara la or'a de la tierra% Este 'odelo res-lta ser ':s sencillo de -tili; -tili;ar ar <-e el geoide% geoide% Los siste' siste'as as de &osicio &osiciona'i na'ient entoo glo0al glo0al =GPS> =GPS> -tili -tili;an ;an co'o co'o reerenc reerencia ia al eli&soi eli&soide de WG WGS! S! &ara deter'in deter'inar ar la altitaltit-dd real real so0re so0re el nivel nivel del 'ar =+3@4O* 1.$2>%
El eli&soide de reerencia es -na s-&ericie <-e '-estra el nivel del 'ar &ro'edio y el geoide '-estra nivel del 'ar real% @ la s-&ericie terrestre se le deno'ina s-&ericie to&ogr:ica% La i'agen 3o% $ '-estra c#'o se relacionan las tres s-&ericies%
Imagen No. 1 Elipsoide, geoide y superfcie topográfca (Browin, 1985
En general se &-ede escri0ir <-e H =h − N
=$>
=Bro?in* $92> III% E@RTA GR@,IT@TIO3@L MODEL $996 =EGM96> El Modelo Gravitacional Terrestre de $996 =EGM96 &or s-s siglas en ingl7s> es -n 'odelo <-e descri0e la s-&ericie e<-i&otencial de la tierra <-e 'eor se a&ro8i'a al nivel del 'ar% Es decir el geoide% El 'odelo re&resenta el &otencial gravitacional terrestre =,> en coordenadas es7ricas &or 'edio de coeicientes e8&eri'entales lla'ados coeicientes geo&otenciales% El 'odelo se re&resenta 'ate':tica'ente &or 'edio de la e8&resi#n
GM V ( r , θ , λ ) = r
[ ∑[ ] ∑ ( ∞
1
+
n= 0
a r
n
n
m=−n
´ nm cos mλ + ´Snm sin mλ ) P ( cos θ ) C
]
=1>
=Wan* et% al%* 1..9> Donde r re&resenta la distancia geoc7ntrica* θ es la latit-d* λ es la longit-d* GM es la constante gravitacional geoc7ntrica =la c-al se deine co'o la constante de gravitaci#n de 3e?ton &or la 'asa de la tierra>* y a es -n valor escalar asociado a los coeicientes ´ geo&otenciales C nm y S nm % @de':s Pnm ( cos θ ) es -na -nci#n de Legendre% Los ´ t7r'inos C nm * S nm y Pnm ( cos θ ) se o0tienen e8&eri'ental'ente a &artir de
o0servaciones gravitacionales o0tenidas de distintos sat7lites% El EGM96 contiene $/./$6C de estos coeicientes =Wan* et% al%* 1..9>%
Entre los sat7lites -tili;ados &ara o0tener los datos del 'odelo EGM96 se enc-entran Nombre
@IS@I BE4 E+,E GEOS$*1 y / SE@S@T POSSEIDO3 R@D4@L L@GEOS$
Tipo
L:ser L:ser* Do&&ler GPS L:ser* Do&&ler L:ser* Do&&ler L:ser* @lt)'etro Do&&ler L:ser
Ta0la 3o% $ Sat7lites -tili;ados &ara el 'odelo EGM96 =Le'oine* 1..!> I,% WORLD GEODETI4 SYSTEM $9! =WGS!> El Siste'a Geod7sico M-ndial de $! =WGS! &or s-s siglas en ingl7s> es -n 'odelo 0asado en el eli&soide de reerencia <-e 'eor coincide con el geoide EGM96% Este descri0e a la tierra co'o -na eli&se conc7ntrica con el centro de 'asa terrestre <-e tiene -n se'iee 'ayor de 6 /C $/C%. ' y -n se'iee 'enor de 6 /26 C21%/$! '% El acFata'iento a− b f = de esta eli&se = > es de $19%12C% Las variaciones entre el geoide EGM96 y el a eli&soide WGS! se enc-entran entre los $.2 y 2 'etros =S'itF* 1..C>%
I'agen 3o% 1 4o'&araci#n entre el geoide* en a;-l* y el eli&soide* en verde% =+3@4O* 1.$2> +n eli&soide &-ede deinirse co'o -na s-&ericie e<-i&otencial y c-al<-ier s-&ericie e<-i&otencial =con &otencial U > &-ede o0tenerse de or'a Hnica a &artir de c-atro constantes inde&endientes co'o &ar:'etros del eli&soide% Estos &ar:'etros son el se'iee 'ayor =a>* el seg-ndo coeiciente geo&otencial = − 5 rad
ang-lar de la tierra = ω=7.292115 ∙ 10
3
−
C 2,0 =J 2=1.081874 ∙ 10
>* la velocidad
> y la constante gravitacional geoc7ntrica
s
3
=GM
m 2 s
14
3.986004418 ∙ 10
r ( θ )=
> =S'itF* 1..C>% La relaci#n est: dada &or las ec-aciones
(
2
cos
a
θ
2
+
sin
c
2 2
θ
)
1 2
≅
2
a ( 1− fsin θ )
=/>
2
1 −GM GM J a ( U = + 3sin θ −1 )− ω r 2
r
2r
2
2
3
2
3
2
cos
θ
=!>
2
a ω J 2= f = 3 3 GM 2
2
=2>
=S'itF* 1..C> Donde c es el radio &olar y r es el radio del eli&soide a -n :ng-lo θ % En la act-alidad* el eli&soide WGS! y el geoide EGM96 son -tili;ados &ara deter'inar la altit-d to&ogr:ica so0re el nivel del 'ar &ara los siste'as GPS a &artir de la relaci#n esta0lecida en la ec-aci#n 3o% $ =+3@4O* 1.$2>% ,% GEODESI@ S@TELIT@L La or'a de la tierra* s- distri0-ci#n de 'asa* s- 'ovi'iento y las ano'al)as en s- ca'&o gravitacional &-eden ser est-diadas y 'edidas -tili;ando tecnolog)a satelital% La 'ayor &arte de los datos necesarios &ara generar los 'odelos EGM96 y WGS! -eron o0tenidos a &artir de diversos sat7lites% @ contin-aci#n se &resentan los '7todos ':s -tili;ados &ara reca0ar inor'aci#n acerca de la gravedad terrestre% Eecto Do&&ler Esta t7cnica consiste en el corri'iento de -na seJal de radio trans'itida desde -n sat7lite or0itando la tierra% @ &artir del corri'iento de la seJal* &-de deter'inarse la ra&ide; del sat7lite de 'anera &recisa% Sa0iendo las ano'al)as en la velocidad de sat7lite* es &osi0le est-diar la gravedad en la tierra =K-Far* 1..!>%
Mediciones L:ser &or sat7lite Este '7todo consiste en enviar &-lsos de l-; a -n sat7lite or0itando la tierra% Estos &-lsos son relectados des&-7s &or los retrorrelectores en el sat7lite% La l-; entonces viaa de n-evo Facia -n telesco&io rece&tor* el c-al registra el tie'&o <-e tardo la seJal de ida y v-elta% @ &artir de esta inor'aci#n* se &-ede calc-lar la distancia entre los sat7lites% Este &roceso se re&ite Fasta <-e el sat7lite desa&arece del rango de alcance del l:ser -tili;ado% @ &artir de la inor'aci#n reco&ilada &-ede est-diarse la velocidad del sat7lite y s- distancia con res&ecto al &laneta% Esta t7cnica a&orta inor'aci#n &recisa so0re el ca'&o gravitacional y la ra&ide; de rotaci#n de la tierra =K-Far* 1..!>% @lti'etr)a satelital Para este '7todo* -n sat7lite es e<-i&ado con -n radar% 4on ay-da de -n &-lso de ondas de radio* se &-ede deter'inar con &recisi#n la alt-ra y &osici#n del sat7lite con res&ecto al geoide% Estos datos des&-7s &-eden ser est-diados &ara anali;ar ano'al)as en la gravedad terrestre =K-Far* 1..!>% Rastreo sat7lite con sat7lite En este '7todo -n sat7lite es -tili;ado &ara rastrear otro sat7lite% E8isten tres &osi0ilidades% La &ri'era es <-e -n sat7lite de gran altit-d rastree -n sat7lite de 0aa altit-d% La seg-nda es <-e dos sat7lites de 0aa altit-d se rastreen '-t-a'ente% La Hlti'a es <-e varios sat7lites de gran altit-d* co'o los sat7lites de &osiciona'iento glo0al* sean -tili;ados &ara deter'inar la &osici#n de -n sat7lite de 0aa altit-d% La inor'aci#n reca0ada &-ede -tili;arse des&-7s &ara anali;ar el geoide y eli&soide terrestre =K-Far* 1..!>% ,I% RE(ERE34I@S Bo?in* 4%=$92>% The Earth’s Geoid. Rec-&erado de Ftt&&rinci&les%o-%ed-eartFig-regravitygeoid /$%.%$2N K-Far* M% =1..!>% Space Geodesy. Rec-&erado de Ftt&???%gg%-ni l%si'"-Faralo;0aS&aceGeodesy%&d /.%.%$2N Le'oine* (% =1..!>% Satellite tracking data in EGM96. Rec-&erado de Ftt&cddis%gsc%nasa%gov916eg'96satdata%Ft'l .6%.9%$2N S'itF* R% =1..C>% Wolrd Geodetic System 1984. =$a ed%>% MicFigan Deense Ma&&ing @gency% $1$&% +3@4O =1.$2>% Eleation correction and the Geoid. Rec-&erado de Ftt&s???%-navco%orged-cationreso-rcesed-cational reso-rcest-torialelevationandgeoid%Ft'l 12%.%$2N
+3@4O =1.$2>% The Geoid and receier meas!rements. Rec-&erado de Ftt&s???%-navco%orged-cationreso-rcesed-cationalreso-rcest-torialgeoid g&sreceivers%Ft'l 12%.%$2N Wan @%* et% al% =1..9>% Eal!ation "o the EGM96 Model o" the geopotential in penins!lar Malaysia. Rec-&erado de Ftt&e&rints%-t'%'y$$9!!$ OtF'anainonEval-ationOTFeEg'96Model%&d 12%.%$2N
