Modelos Deterministas: Optimización Lineal La URL de este sitio es: http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/opre640S/SpanishD.htm
Ésta es la versión española del sitio Web principal inglés que se encuentra disponible en: Optimization Modeling Process: Linear Programm Programming ing Europe Mirror Site
Un modelo de Optimización Matemtica consiste en una !unción ob"etivo # un con"unto de restricciones en la !orma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones$ Los modelos de optimización son s on usados en casi todas las reas de toma de decisiones% como en ingenier&a de diseño # selección de carteras 'nancieras de inversión $ (sta pagina )eb presenta e"emplos !ocalizados # estructurados para la !ormulación de problemas de optimización% diseño de la estrategia optima # *erramientas de control de calidad que inclu#en validación% veri'cación # anlisis post+solución$ Profesor Hossein Arsham Arsham
MENU 1. ". ). 4. . 6. 2. 5.
Introduccin ! resumen #ptimi$acin: %ro&ramacin Lineal '%L( %roblema Dual: *onstruccin ! Si&ni+icado ,ane-o de Incertidumbres mediante ,odelacin de scenarios %ro&ramas lineales &enerales con enteros l apndice I. *iencia de la dministracin plicada l apndice II. ,odelos %robabil3sticos: Del nlisis de la Decisin l apndice Recursos de la oma de Decisin
o baenEdi c i o n|Enc o t r a re nl apá gi na[ Ct r l+f ] .Es cr i biuna Pa r ab us c are ls i t i o,pr pal abr aof r a s ee ne le s pac i ode ldi ál o go .Po re j e mp mpl o" optimización, o" sensibilidad, Si e lpr i me rr e s ul t a dodel apa l a br aol af r a s enoe sl oquev o sbus c aba s,i nt e nt ac on (ncuentra Pró-imo.
#ptimi$acin: #ptimi$aci n: %ro&ramacin Lineal '%L( 1. ". ). 4. o o o
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Introduccin ! resumen #ptimi$acin %ro&ramacin Lineal '%L( %roceso de 7ormulacin de un %roblema de %L ! su plicacin l %roblema del *arpintero Un %roblema de ,e$cla #tras plicaciones *omunes de %L ,todo de Solucin 8r+ica 93nculo entre %ro&ramacin Lineal ! Sistemas de cuaciones tensin a ,a!ores Dimensiones -emplo ;umrico: el %roblema del ransporte *onceptos ! cnicas de prendi$a-e sistidos por *omputadora *mo Interpretar los Resultados del %a=uete de So+t>are LI;D#
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Implementaciones de *omputacin con el %a=uete ?in@SA B*mo ResolCer un Sistema de cuaciones Lineales Utili$ando un So+t>are de
%roblema Dual 1. ". ). 4. . 6. 2. 5.
%roblema Dual: *onstruccin ! Si&ni+icado l %roblema Dual del %roblema del *arpintero ! su Interpretacin rrores de Redondeo cometido por los 8erentes *lculo de los %recios Sombra *omportamiento de los *ambios en los 9alores 9alores RES del 9alor #ptimo Interpretacin Incorrecta del %recio Sombra Bl %recio Sombra es Siempre ;o ;e&atiCo %recios Sombra lternatiCos
,ane-o de Incertidumbres mediante ,odelacin de scenarios: nlisis de Sensibilidad ! nlisis de speci+icidad 1. ". ). 4. . 6. 2. 5. <. 10. 11. 1". 1).
Introduccin *lculo de Ran&os de Sensibilidad para %roblemas %e=ueFos @u es la Re&la del 100G 're&in de sensibilidad( Fadir una nueCa restriccin Suprimir una restriccin Reempla$ar una restriccin Fadir una Cariable 'por e-emploH introducir un nueCo producto( Suprimir una Cariable 'es decirH cancelar un producto( %roblema de asi&nacin ptima de recursos Determinacin de la m3nima utilidad neta del producto Indicadores de metas *lculo de minima ! maimin en una sola corrida Situaciones de ms por menos ! menos por ms
Programas Progra mas lineales generales con enteros 1. ". ). 4. . 6. 2. 5.
Introduccin plicacin mita de pro&ramacin con enteros: restricciones JK# %ro&ramas lineales con enteros 0 K 1 plicaciones para +ormulacin de presupuestos de inCersiones %roblemas de schedulin& 'plani+icacin de turnos( %ro&ramacin con restricciones no binarias #ptimi$acin combinatoria %ro&ramacin no lineal
Introducción y Resumen Los problemas de toma de decisiones se pueden clasi+icar en dos cate&or3as: modelos de decisin determin3sticos ! modelos de decisin probabil3sticos. n los modelos deterministicosH las buenas decisiones se basan en sus buenos resultados. Se consi&ue lo deseado de manera deterministicaH es decirH libre de ries&o. sto depende de la in+luencia =ue puedan tener los +actores no controlablesH en la determinacin de los resultados de una decisin ! tambin en la cantidad de in+ormacin =ue el tomador de decisin tiene para controlar dichos +actores.
.quellos que mane"an # controlan sistemas de *ombres # equipos se en!rentan al problema constante de me"orar /por e"emplo% optimizar0
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Implementaciones de *omputacin con el %a=uete ?in@SA B*mo ResolCer un Sistema de cuaciones Lineales Utili$ando un So+t>are de
%roblema Dual 1. ". ). 4. . 6. 2. 5.
%roblema Dual: *onstruccin ! Si&ni+icado l %roblema Dual del %roblema del *arpintero ! su Interpretacin rrores de Redondeo cometido por los 8erentes *lculo de los %recios Sombra *omportamiento de los *ambios en los 9alores 9alores RES del 9alor #ptimo Interpretacin Incorrecta del %recio Sombra Bl %recio Sombra es Siempre ;o ;e&atiCo %recios Sombra lternatiCos
,ane-o de Incertidumbres mediante ,odelacin de scenarios: nlisis de Sensibilidad ! nlisis de speci+icidad 1. ". ). 4. . 6. 2. 5. <. 10. 11. 1". 1).
Introduccin *lculo de Ran&os de Sensibilidad para %roblemas %e=ueFos @u es la Re&la del 100G 're&in de sensibilidad( Fadir una nueCa restriccin Suprimir una restriccin Reempla$ar una restriccin Fadir una Cariable 'por e-emploH introducir un nueCo producto( Suprimir una Cariable 'es decirH cancelar un producto( %roblema de asi&nacin ptima de recursos Determinacin de la m3nima utilidad neta del producto Indicadores de metas *lculo de minima ! maimin en una sola corrida Situaciones de ms por menos ! menos por ms
Programas Progra mas lineales generales con enteros 1. ". ). 4. . 6. 2. 5.
Introduccin plicacin mita de pro&ramacin con enteros: restricciones JK# %ro&ramas lineales con enteros 0 K 1 plicaciones para +ormulacin de presupuestos de inCersiones %roblemas de schedulin& 'plani+icacin de turnos( %ro&ramacin con restricciones no binarias #ptimi$acin combinatoria %ro&ramacin no lineal
Introducción y Resumen Los problemas de toma de decisiones se pueden clasi+icar en dos cate&or3as: modelos de decisin determin3sticos ! modelos de decisin probabil3sticos. n los modelos deterministicosH las buenas decisiones se basan en sus buenos resultados. Se consi&ue lo deseado de manera deterministicaH es decirH libre de ries&o. sto depende de la in+luencia =ue puedan tener los +actores no controlablesH en la determinacin de los resultados de una decisin ! tambin en la cantidad de in+ormacin =ue el tomador de decisin tiene para controlar dichos +actores.
.quellos que mane"an # controlan sistemas de *ombres # equipos se en!rentan al problema constante de me"orar /por e"emplo% optimizar0
el rendimiento del sistema$ (l problema puede ser reducir el costo de operación # a la vez mantener un nivel aceptable de servicio% utilidades de las operaciones actuales% proporcionar un ma#or nivel de servicio sin aumentar los costos% mantener un !uncionamiento rentable cumpliendo a la vez con las reglamentaciones gubernamentales establecidas% o ,me"orar, un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos$ Para identi'car la me"ora del !uncionamiento del sistema% se debe construir una representación sintética o modelo del sistema !&sico% que puede utilizarse para describir el e!ecto de una variedad de soluciones propuestas$ Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la realidad sin la presencia de la misma$ Una !otogra!&a es un modelo de la realidad ilustrada en la imagen$ La presión arterial puede utilizarse como un modelo de la salud de una persona$ Una campaña piloto de ventas puede utilizarse como un modelo de la respuesta de las personas a un nuevo producto$ Por Por 1ltimo% una ecuación matemtica puede utilizarse como un modelo de la energ&a contenida en un determinado material$ (n cada caso% el modelo captura alg1n aspecto de la realidad que intenta representar$ representar$ 2a 2a que un modelo sólo captura determinados determinados aspectos de la realidad% realidad% su uso puede no ser apropiado en una aplicación en particular porque no captura los elementos correctos de la realidad$ La temperatura es un modelo de las condiciones climticas pero puede ser inapropiado si uno est interesado en la presión barométrica$ Una !oto de una persona es un modelo de la misma pero brinda poca in!ormación acerca de sus logros académicos$ Una ecuación que predice las ventas anuales de un producto en particular es un modelo de ese producto pero tiene poca utilidad si lo que nos interesa es el costo de producción por unidad$ Por lo tanto% la utilidad del modelo depende del aspecto de la realidad que representa$ Un modelo puede ser inadecuado aun cuando intenta capturar los elementos apropiados de la realidad si lo *ace de una manera distorsionada o sesgada$ Una ecuación que pronostica el volumen mensual de ventas puede ser e-actamente lo que el gerente de ventas quiere pero podr&a generar grandes pérdidas si arro"a constantemente clculos de ventas altos$ Un termómetro que lee de ms /o de menos0 tendr&a poca utilidad para realizar un diagnóstico médico$ (n consecuencia% un modelo 1til es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisión$ Un modelo matemtico es una ecuación% desigualdad o sistema de ecuaciones o desigualdades% que representa determinados aspectos del sistema !&sico representado en el modelo$ Los modelos de este tipo se utilizan en gran medida en las ciencias !&sicas% en el campo de la ingenier&a% los negocios # la econom&a$ Un modelo o!rece al analista una *erramienta que puede manipular en su anlisis del sistema en estudio% sin a!ectar al sistema en s&$ Por e"emplo% supóngase que se *a desarrollado un modelo matemtico para predecir las ventas anuales como una !unción del precio de
venta unitario$ 3i se conoce el costo de producción por unidad% se pueden calcular con !acilidad las utilidades anuales totales para cualquier precio de venta$ Para determinar el precio de venta que arro"ar las utilidades totales m-imas% se pueden introducir en el modelo distintos valores para el precio de venta% uno a la vez% determinando las ventas resultantes # calculando las utilidades anuales totales para cada valor de precio de venta e-aminado$ Mediante un proceso de prueba # error% el analista puede determinar el precio de venta que ma-imizar las utilidades anuales totales$ Lo ideal ser&a que si s i el modelo matemtico es una representación vlida del rendimiento del sistema% mediante la aplicación de las técnicas anal&ticas adecuadas% la solución obtenida a partir del modelo deber&a ser también la solución para el problema del sistema$ .s&% la e!ectividad de los resultados de la aplicación de cualquier técnica operativa es en gran medida una !unción del grado en el cual el modelo representa al sistema en estudio$ . 'n de de'nir las condiciones que nos conducirn a la solución del problema del sistema% el analista primero debe identi'car un criterio seg1n el cual se podr medir el sistema$ sis tema$ (ste criterio a menudo se denomina medida del rendimiento del sistema o medida de e!ectividad$ (n aplicaciones empresariales% la medida de e!ectividad generalmente son los costos o las utilidades% mientras que en aplicaciones gubernamentales esta medida generalmente se de'ne en términos de un &ndice costo4bene'cio$ (l modelo matemtico que describe el comportamiento de la medida de e!ectividad se denomina !unción ob"etivo$ 3i la !unción ob"etivo es describir el comportamiento de la medida de e!ectividad% debe capturar la relación entre esa medida # aquellas variables que *acen que dic*a medida 5uct1e$ Las variables del sistema pueden categorizarse en variables de decisión # parmetros$ Una variable de decisión es una variable que puede ser directamente controlada por el decisor$ 6ambién e-isten algunos parmetros cu#os valores pueden ser inciertos para el decisor$ decisor$ (sto requiere un anlisis de sensibilidad después de descubrir la me"or estrategia$ (n la prctica% resulta casi imposible capturar la relación precisa entre todas las variables del sistema # la medida de e!ectividad a través de una ecuación matemtica$ (n cambio% el analista de 7O48. debe tratar de identi'car aquellas variables que a!ectan en ma#or grado la medida de e!ectividad # luego debe intentar de'nir de manera lógica la relación matemtica entre estas variables # la medida de e!ectividad$ (sta relación matemtica es la !unción ob"etivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio$ La !ormulación de una !unción ob"etivo que tenga sentido normalmente es una tarea tediosa # !rustrante$ Los intentos de desarrollo de una !unción ob"etivo pueden terminar en un !racaso$ (sto puede darse porque el analista elige el con"unto incorrecto de variables para incluir en el modelo o bien% si el con"unto es el adecuado% porque no identi'ca correctamente correctamente la relación entre estas variables # la medida de e!ectividad$ (n un nuevo intento% el analista trata de descubrir las variables adicionales que podr&an me"orar su
modelo descartando aquellas que parecen tener poca o ninguna relevancia$ 9o obstante% sólo se puede determinar si estos !actores realmente me"oran el modelo una vez realizadas la !ormulación # prueba de nuevos modelos que inclu#an las variables adicionales$ 6odo 6odo el proceso de selección # rec*azo rec*azo de variables puede requerir requerir reiteraciones m1ltiples *asta desarrollar una !unción ob"etivo satis!actoria$ (n cada iteración% el analista espera lograr alguna me"ora en el modelo% aunque no siempre se tiene tanta buena suerte$ Por lo general% el é-ito 'nal es precedido por una serie de !racasos !rustrantes # pequeños progresos$ (n cada etapa del proceso de desarrollo% el analista debe evaluar la correspondencia correspondencia o validez del modelo$ 9ormalmente se emplean dos criterios para realizar esta determinación$ (l primero implica la e-perimentación del modelo: someter el modelo a una serie de condiciones # registrar los valores asociados de la medida de e!ectividad dada por el modelo en cada caso$ 3i la medida de e!ectividad var&a de manera antinatural con una sucesión de condiciones de entrada% es posible que la !unción ob"etivo no sea vlida$ Por e"emplo% supóngase que se desarrolla un modelo destinado a calcular el valor de mercado de viviendas uni!amiliares$ (l modelo debe e-presar el valor de mercado en dólares como una !unción de la super'cie cubierta en pies cuadrados% cantidad de dormitorios% cantidad de baños # tamaño del lote$ espués de desarrollar el modelo% el analista lo aplica a la tasación de distintas viviendas% con distintos valores para las caracter&sticas mencionadas # descubre que el valor de mercado desciende a medida que aumenta la super'cie cubierta e-presada en pies cuadrados$ ado que este resultado no concuerda con la realidad% el analista cuestionar&a la validez del modelo$ Por Por otro lado% supóngase que el modelo es tal que el valor de las viviendas es una !unción creciente de cada una de las cuatro caracter&sticas citadas% como generalmente es de esperar$ esperar$ 3i bien este resultado es alentador% no necesariamente implica que el modelo es una representación vlida de la realidad% dado que la tasa de aumento de cada variable puede ser e-cesivamente alta o ba"a$ La segunda etapa de la validación del modelo requiere una comparación de los resultados del modelo con los resultados obtenidos en la realidad$ Optimización La humanidad hace tiempo =ue buscaH o pro+esa buscarH me-ores maneras de reali$ar las tareas cotidianas de la Cida. lo lar&o de la historia de la humanidadH se puede obserCar la lar&a bs=ueda de +uentes ms e+ectiCas de alimentos al comien$o ! lue&o de materialesH ener&3a ! mane-o del entorno +3sico. Sin embar&oH relatiCamente tarde en la historia de la humanidadH comen$aron a +ormularse ciertas clases de pre&untas &enerales de manera cuantitatiCaH primero en palabras ! despus en notaciones simblicas. Un aspecto predominante de estas pre&untas &enerales era la bs=ueda de lo me-or o lo ptimo. 8eneralmenteH los &erentes buscan simplemente lo&rar al&una me-ora en el niCel de rendimientoH es decirH un problema de bs=ueda de ob-etiCo. *abe destacar =ue estas palabras normalmente no tienen un si&ni+icado preciso
3e *an realizado grandes es!uerzos por describir comple"as situaciones *umanas # sociales$ Para tener signi'cado% esto deber&a escribirse en una e-presión matemtica que contenga una o ms variables% cu#os valores deben determinarse$ La pregunta que se !ormula% en términos generales% es qué valores deber&an tener estas variables para que la e-presión matemtica tenga el ma#or valor numérico posible /ma-imización0 o el menor valor numérico posible /minimización0$ . este proceso general de ma-imización o minimización se lo denomina optimización$ La optimización% también denominada programación matemtica% sirve para encontrar la respuesta que proporciona el me"or resultado% la que logra ma#ores ganancias% ma#or producción o !elicidad o la que logra el menor costo% desperdicio o malestar$ 8on !recuencia% estos problemas implican utilizar de la manera ms e'ciente los recursos% tales como dinero% tiempo% maquinaria% personal% e-istencias% etc$ Los problemas de optimización generalmente se clasi'can en lineales # no lineales% seg1n las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables$ (-iste una serie de paquetes de so!t)are para resolver problemas de optimización$ Por e"emplo% L79O o Win;3< resuelven modelos de programas lineales # L79=O # W*at>sare de %L ! la amplia &ama de aplicaciones hacen =ue la %L sea accesible incluso para estudiantes con poco conocimiento de matemtica. demsH la %L brinda una ecelente oportunidad para presentar la idea del anlisis >hatKi+ o anlisis de hiptesis !a =ue se han desarrollado herramientas poderosas para el anlisis de post optimalidad para el modelo de %L.
La Programación Lineal /PL0 es un procedimiento matemtico para determinar la asignación óptima de recursos escasos$ La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación prctica en casi todas las !acetas de los negocios% desde la publicidad *asta la plani'cación de la producción$ Problemas de transporte% distribución% # plani'cación global de la producción son los ob"etos ms comunes del anlisis de PL$ La industria petrolera parece ser el usuario ms !recuente de la PL$ Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del @A al BCA del
tiempo de procesamiento in!ormtico de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL # similares$ La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la !unción ob"etivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales$ (ste problema !ue !ormulado # resuelto por primera vez a 'nes de la década del DC$ Eara vez una nueva técnica matemtica encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prcticas de negocios% comerciales e industriales # a la vez recibe un desarrollo teórico tan e-*austivo en un per&odo tan corto$ Fo# en d&a% esta teor&a se aplica con é-ito a problemas de presupuestos de capital% diseño de dietas% conservación de recursos% "uegos de estrategias% predicción de crecimiento económico # sistemas de transporte$ Eecientemente la teor&a de la programación lineal también contribu#ó a la resolución # uni'cación de diversas aplicaciones$ (s importante que el lector entienda desde el comienzo que el término ,programación, tiene un signi'cado distinto cuando se re'ere a Programación Lineal que cuando *ablamos de Programación 7n!ormtica$ (n el primer caso% signi'ca plani'car # organizar mientras que en el segundo caso% signi'ca escribir las instrucciones para realizar clculos$ La capacitación en una clase de programación tiene mu# poca relevancia directa con la otra clase de programación$ e *ec*o% el término ,programación lineal, se acuñó antes de que la palabra programación se relacionara con el so!t)are de computación$ . veces se evita esta con!usión utilizando el término optimización lineal como sinónimo de programación lineal$ 8ualquier problema de PL consta de una !unción ob"etivo # un con"unto de restricciones$ (n la ma#or&a de los casos% las restricciones provienen del entorno en el cual usted traba"a para lograr su ob"etivo$ 8uando usted quiere lograr el ob"etivo deseado% se dar cuenta de que el entorno '"a ciertas restricciones /es decir% di'cultades% limitaciones0 para cumplir con su deseo /vale decir% el ob"etivo0$ (s por eso que las religiones% como el
). ). Las restricciones tambin deben ser lineales. . simismoH la restriccin debe adoptar al&una de las si&uientes +ormas ' ≤H ≥H # NH es decir =ue las restricciones de %L siempre estn cerradas(.
Por e"emplo% el siguiente problema no es un problema de PL: Ma- K% su"eta a < B$ (ste problema tan sencillo no tiene solución$ 8omo siempre% se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimización como un problema de PL$ G(l siguiente problema es un problema de PLH Ma- K su"eta a: KB K ≤ C KB + D ≤ C .unque la segunda restricción parece ,como si, !uera una restricción no lineal% esta restricción puede escribirse también de la siguiente !orma: KB ≥ +% # K ≤ $ (n consecuencia% el problema es de *ec*o un problema de PL$ Para la ma#or&a de los problemas de PL% podemos decir que e-isten dos tipos importantes de ob"etos: en primer lugar% los recursos limitados% tales como terrenos% capacidad de planta% o tamaño de la !uerza de ventasJ en segundo lugar% las actividades% tales como ,producir acero con ba"o contenido de carbono,% # ,producir acero con alto contenido de carbono,$ 8ada actividad consume o probablemente contribu#e cantidades adicionales de recursos$ ebe *aber una !unción ob"etivo% es decir% una manera de discriminar una mala de una buena o una me"or decisión$ (l problema es determinar la me"or combinación de niveles de actividades% que no utilice ms recursos de los disponibles$ Muc*os gerentes se en!rentan a esta tarea todos los d&as$ .!ortunadamente% el so!t)are de programación lineal a#uda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien !ormulado$ (l método 3imple- es un algoritmo de solución mu# utilizado para resolver programas lineales$ Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada$ Proceso de "ormulación de un Pro#lema de PL y su $plicación %ara +ormular un problema de %LH recomiendo se&uir los si&uientes lineamientos &enerales despus de leer con atencin el enunciado del problema Carias Ceces.
6odo programa lineal consta de cuatro partes: un con"unto de variables de decisión% los parmetros% la !unción ob"etivo # un con"unto de restricciones$ .l !ormular un determinado problema de decisión en !orma matemtica% debe practicar la comprensión del problema /es decir% !ormular un Modelo Mental0 le#endo detenidamente una # otra vez el enunciado del problema$ Mientras trata de comprender el problema% !orm1lese las siguientes preguntas generales: 1. B*ules son las Cariables de decisin s decirH Bcules con las entradas controlables De+ina las Cariables de decisin con precisin utili$ando nombres descriptiCos. Recuerde =ue las entradas controlables tambin se conocen como actiCidades controlablesH Cariables de decisin ! actiCidades de decisin.
". *ules son los parmetros 9ale decir Bcules son las entradas no controlables %or lo &eneralH son los Calores numricos constantes dados. De+ina los parmetros con precisin utili$ando nombres descriptiCos. ). B*ul es el ob-etiCo B*ul es la +uncin ob-etiCo s decirH B=u =uiere el dueFo del problema BDe =u manera se relaciona el ob-etiCo con las Cariables de decisin del dueFo del problema Bs un problema de maimi$acin o minimi$acin l ob-etiCo debe representar la meta del decisor. 4. B*ules son las restricciones s decirH B=u re=uerimientos se deben cumplir BDeber3a utili$ar un tipo de restriccin de desi&ualdad o i&ualdad B*ules son las coneiones entre las Cariables scr3balas con palabras antes de Colcarlas en +orma matemtica.
Eecuerde que la región !actible tiene poco o nada que ver con la !unción ob"etivo /minim$ o ma-im$0$ (stas dos partes en cualquier !ormulación de PL generalmente provienen de dos !uentes distintas$ La !unción ob"etivo se establece para cumplir con el deseo /ob"etivo0 del decisor mientras que las restricciones que !orman la región !actible generalmente provienen del entorno del decisor que '"a algunas limitaciones 4 condiciones para lograr su ob"etivo$ . continuación% se inclu#e un problema ilustrativo mu# sencillo$ 3in embargo% el aborda"e del problema es igual para una gran variedad de problemas de toma de decisión% mientras que el tamaño o la comple"idad pueden variar$ (l primer e"emplo es un problema de mide productos # el segundo es un problema de mezcla$ El Pro#lema del %arpintero
Durante un par de sesiones de brainKstormin& con un carpintero 'nuestro cliente(H ste nos comunica =ue slo +abrica mesas ! sillas ! =ue Cende todas las mesas ! las sillas =ue +abrica en un mercado. Sin embar&oH no tiene un in&reso estable ! desea optimi$ar esta situacin.
(l ob"etivo es determinar cuntas mesas # sillas deber&a !abricar para ma-imizar sus ingresos netos$ 8omenzamos concentrndonos en un *orizonte de tiempo% es decir% un plazo de plani'cación% % para revisar nuestra solución semanalmente% si !uera necesario$ Para saber ms acerca de este problema% debemos ir al negocio del carpintero # observar lo que sucede # medir lo que necesitamos para para !ormular /para crear un modelo de0 su problema$ ebemos con'rmar que su ob"etivo es ma-imizar sus ingresos netos$ ebemos comunicarnos con el cliente$ (l problema del carpintero se trata de determinar cuntas mesas # sillas debe !abricar por semanaJ pero primero se debe establecer una !unción ob"etivo La !unción ob"etivo es: @KB NK% donde KB # K representan la cantidad de mesas # sillasJ # @ # N representan los ingresos netos /por e"emplo% en dólares o décimas de dólares0 de la venta de una mesa # una silla% respectivamente$ Los !actores limitantes% que normalmente provienen del exterior % son las limitaciones de la mano de obra /esta limitación proviene de la !amilia del carpintero0 # los recursos de materia prima /esta limitación proviene de la entrega programada0$ 3e miden los tiempos de producción requeridos para una mesa # una silla en distintos momentos del d&a # se calculan en *oras # B *ora% respectivamente$
Las *oras laborales totales por semana son sólo DC$ La materia prima requerida para una mesa # una silla es de B # unidades% respectivamente$ (l abastecimiento total de materia prima es de @C unidades por semana$ (n consecuencia% la !ormulación de PL es la siguiente: Ma-imizar @ KB N K 3u"eta a: KB K ≤ DC restricción de mano de obra KB K ≤ @C restricción de materiales tanto KB como K son no negativas$ (ste es un modelo matemtico para el problema del carpintero$ Las variables de decisión% es decir% las entradas controlables son KB% # K$ La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales @ KB N K$ 6odas las !unciones empleadas en este modelo son lineales /las variables de decisión estn elevadas a la primera potencia0$ (l coe'ciente de estas restricciones se denomina denomina actores 6ecnológicos /matriz0$ (l per&odo de revisión es de una semana% un per&odo conveniente dentro del cual es menos probable que cambien /5uct1en0 las entradas controlables /todos los parmetros tales como @% @C% %$$0$ 7ncluso en un plazo de plani'cación tan corto% debemos realizar el anlisis )*at+i! o de *ipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los e!ectos de controlar el problema% es decir% actualizar la solución prescripta$ 9ótese que dado que el 8arpintero no va a ir a la quiebra al 'nal del plazo de plani'cación% agregamos las condiciones que tanto KB como K deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que KB # K deben ser n1meros enteros positivos$ Eecuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan ,restricciones impl&citas,$ 9uevamente% un Programa Lineal !uncionar&a bien para este problema si el 8arpintero contin1a !abricando estos productos$ Los art&culos parciales simplemente se contar&an como traba"os en proceso # 'nalmente se trans!ormar&an en productos terminados% en la siguiente semana$ Podemos intentar resolver KB # K enumerando posibles soluciones para cada una # seleccionado el par /KB% K0 que ma-imice @KB NK /los ingresos netos0$ 3in embargo% lleva muc*o tiempo enumerar todas las alternativas posibles # si no se enumeran todas las alternativas% no podemos estar seguros de que el par seleccionado /como una solución0 es la me"or de todas las alternativas$ Otras metodolog&as pre!eridas /ms e'cientes # e!ectivas0% conocidas como las 6écnicas de 3oluciones de Programación Lineal estn disponibles en el mercado en ms de DCCC paquetes de so!t)are de todo el mundo$ La solución óptima% es decir% la estrategia óptima% % es establecer KB BC mesas # K C sillas$ Programamos las actividades semanales del carpintero para que !abrique BC mesas # C sillas$ 8on esta estrategia /óptima0% los ingresos netos son de U3QBBC$ (sta $ (sta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los
ma#ores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa /U3Q@0% el sol&a !abricar ms mesas que sillas$ G8ontratar o no contratar a un a#udanteH 3upóngase que el carpintero pudiera contratar a un a#udante a un costo de U3Q por *ora /adicionales Q0 GLe conviene al carpintero contratar a un a#udanteH (n caso a'rmativo% Gpor cuntas *orasH KN es la cantidad de *oras e-tra% entonces el problema modi'cado es: Ma-imizar @ KB N K + KN 3u"eta a: KB K ≤ DC KN restricción de la mano de obra con *oras adicionales desconocidas KB K ≤ @C restricción de materiales (n esta nueva condición% veremos que la solución óptima es KB @C% K C% KN RC% con ingresos netos óptimos de U3QBNC$ Por lo tanto% el carpintero deber&a contratar a un a#udante por RC *oras$ G;ué pasar&a si sólo lo contrata por DC *orasH La respuesta a esta pregunta # a otros tipos de preguntas del estilo ,qué pasar&a si, /)*at+i!0 se estudia en la sección sobre anlisis de sensibilidad en este sitio Web$ &n Pro#lema de Mezcla l taller de Ooe se especiali$a en cambios de aceite del motor ! re&ulacion del sistema electrico. l bene+icio por cambio del aceite es P2 ! de P1 por re&ulacion. Ooe tiene un cliente +i-o con cu!a +lotaH le &aranti$a )0 cambios de aceite por semana. *ada cambio de aceite re=uiere de "0 minutos de traba-o ! P5 de insumos. Una re&ulacion toma una hora de traba-o ! &asta P1 en insumos. Ooe pa&a a los mecanicos P10 por hora de traba-o ! emplea actualmente a dos de ellosH cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcan$an un Calor de P1.20 semanales. Ooe desea maimi$ar el bene+icio total. 7ormule el problema.
(sto es una pregunta de programación linear$ Una porción de un cambio del aceite o del a"uste no es !actible$ KB 8ambios del aceite% a"uste K ."uste Ma-imizar SKB B@K 3u"eta a: KB ≥ NC 8uenta e la lota CKB RCK ≤ DTCC e traba"o tiempo TKB B@K ≤ BS@C Primas Materias KB ≥ C% K ≥ C$ (l coste de traba"o de QBC por *ora no se requiere para !ormatar el problema desde el bene'cio por cambio del aceite # el a"uste toma en la consideración el coste de traba"o$ Otras $plicaciones %omunes de PL La pro&ramacin lineal es una herramienta poderosa para seleccionar alternatiCas en un problema de decisin ! por consi&uiente se aplica en una &ran Cariedad de entornos de problemas. La cantidad de aplicaciones es tan alta =ue ser3a imposible enumerarlas todas. continuacinH indicamos al&unas de las principales aplicaciones =ue cubren las reas +uncionales ms importantes de una or&ani$acin empresarial.
inanzas: el problema del inversor podr&a ser un problema de selección del mi- de su cartera de inversiones$ (n general% la variedad de carteras puede ser muc*o ma#or que lo que indica el e"emplo # se pueden agregar muc*as ms restricciones distintas$ Otro problema de decisión implica determinar la combinación de métodos de 'nanciación para una cantidad de productos cuando e-iste ms de un método de 'nanciación disponible$ (l ob"etivo puede ser ma-imizar las ganancias totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del método de 'nanciación$ Por e"emplo% se puede 'nanciar con !ondos internos% con deuda a corto plazo o con 'nanciación intermedia /créditos amortizados0$ Puede *aber limitaciones con respecto a la disponibilidad de cada una de las opciones de 'nanciación% as& como también restricciones 'nancieras que e-i"an determinadas relaciones entre las opciones de 'nanciación a los e!ectos de satis!acer los términos # condiciones de los préstamos bancarios o 'nanciación intermedia$ 6ambién puede *aber l&mites con respecto a la capacidad de producción de los productos$ Las variables de decisión ser&an la cantidad de unidades que deben ser 'nanciadas por cada opción de 'nanciación$ .dministración de Producción # Operaciones: muc*as veces en las industrias de proceso% una materia prima en particular puede trans!ormarse en una gran variedad de productos$ Por e"emplo% en la industria petrolera% el crudo puede re'narse para producir na!ta% erosene% aceite para cale!accionar # distintas clases de aceite para motor$ 3eg1n el margen de ganancia actual de cada producto% el problema es determinar la cantidad que se deber&a !abricar de cada producto$ (sta decisión est su"eta a numerosas restricciones tales como l&mites de las capacidades de diversas operaciones de re'nado% disponibilidad de materia prima% demandas de cada producto # pol&ticas gubernamentales con respecto a la !abricación de determinados productos$ (n la industria de productos qu&micos # de procesamiento de alimentos e-isten problemas similares$ Eecursos Fumanos: los problemas de plani'cación de personal también se pueden analizar con programación lineal$ Por e"emplo% en la industria tele!ónica% la demanda de servicios de personal de instalación 4 reparación son estacionales$ (l problema es determinar la cantidad de personal de instalación 4 reparación # reparación de l&neas que debemos tener incorporada en la !uerza laboral por cada mes a 'n de minimizar los costos totales de contratación% despido% *oras e-tras # salarios en *oras ordinarias$ (l con"unto de restricciones comprende restricciones con respecto a la demanda de servicio que se debe satis!acer% uso de *oras e-tra% acuerdos con los sindicatos # la disponibilidad de personal cali'cado para contratar$ (ste e"emplo es opuesto a la *ipótesis de divisibilidad$ 3in embargo% los niveles de !uerza laboral de cada mes normalmente son lo su'cientemente altos como para poder redondear al n1mero entero ms cercano sin problemas% siempre # cuando no se violen las restricciones$ Mareting: se puede utilizar la programación lineal para determinar el mi- adecuado de medios de una campaña de publicidad$ 3upóngase
que los medios disponibles son radio% televisión # diarios$ (l problema es determinar cuntos avisos *a# que colocar en cada medio$ Por supuesto que el costo de colocación de un aviso depende del medio elegido$ (l ob"etivo es minimizar el costo total de la campaña publicitaria% su"eto a una serie de restricciones$ ado que cada medio puede proporcionar un grado di!erente de e-posición a la población meta% puede *aber una cota in!erior con respecto a la e-posición de la campaña$ .simismo% cada medio puede tener distintos ratings de e'ciencia para producir resultados deseables # por consiguiente puede *aber una cota in!erior con respecto a la e'ciencia$ .dems% puede *aber l&mites con respecto a la disponibilidad para publicar en cada medio$ istribución: otra aplicación de programación lineal es el rea de la distribución$ 8onsidere un caso en el que e-isten m !bricas que deben enviar productos a n depósitos$ Una determinada !brica podr&a realizar env&os a cualquier cantidad de depósitos$ ado el costo del env&o de una unidad del producto de cada !brica a cada depósito% el problema es determinar el patrón de env&o /cantidad de unidades que cada !brica env&a a cada depósito0 que minimice los costos totales$ (ste decisión est su"eta a restricciones que e-igen que cada !brica no pueda enviar ms productos de los que tiene capacidad para producir$ Método de Solución 'rca Dado =ue somos una especie Cisual 'especialmente la cultura estadounidense(H debido a nuestro sistema educatiCoH muchas de las herramientas de enseFan$a escolar utili$adas en la actualidad son de naturale$a &r+ica. Les enseFamos a leer mostrndoles +i&uras de las cosas. Les enseFamos a contar mostrndoles el orden de los nmeros. n consecuenciaH nuestros receptores Cisuales se a&udi$an a epensas de otras +unciones co&nitiCas. ambin he descubierto =ue las personas de ne&ocios responden me-or a los &r+icos ! a los cuadros =ue a los nmeros.
Procedimiento para el Método =r'co de 3olución de Problemas de PL: 1.
Bl problema es un problema de %L La respuesta es a+irmatiCa si ! slo si:
6odas las variables estn elevadas a la primera potencia # son sumadas o restadas /no dividas ni multiplicadas0$ La restricción debe adoptar alguna de las siguientes !ormas / ≤% ≥% o % es decir que las restricciones de PL siempre estn cerradas0% # el ob"etivo debe ser de ma-imización o minimización$ Por e"emplo% el siguiente problema no es un problema de PL: Ma- K% su"eta a <$ (ste problema tan sencillo no tiene solución$ ". B%uedo utili$ar el mtodo &r+ico La respuesta es a+irmatiCa si la cantidad de Cariables de decisin es 1 o ". ). Utilice papel milimetrado. 8ra+i=ue cada restriccinH una por unaH como si +ueran i&ualdades 'como si todo ≤ ! ≥H es N ( ! lue&o trace la l3nea. 4. medida =ue se crea cada l3neaH diCida la re&in en ) partes con respecto a cada l3nea. %ara identi+icar la re&in +actible para esta restriccin en particularH eli-a un punto en cual=uier lado de la l3nea ! colo=ue sus coordenadas en la restriccinH si satis+ace la
condicinH este lado es +actibleH de lo contrario el otro lado es +actible. n el caso de restricciones de i&ualdadH slo los puntos sobre la l3nea son +actibles. . limine los lados =ue no son +actibles.
Una vez gra'cadas todas las restricciones% debe generarse una región !actible no vac&a /conve-a0% salvo que el problema sea no !actible$ 6. *ree 'como m3nimo( dos l3neas de i&ual Calor desde la +uncin ob-etiCoH +i-ando la +uncin ob-etiCo en dos nmeros distintos cual=uiera. 8ra+i=ue las l3neas resultantes. l moCer estas l3neas paralelasH encontrar el Crtice ptimo 'punto etremo(H si es =ue eiste.
(n general% si la región !actible se encuentra dentro del primer cuadrante del sistema de coordenadas /es decir si KB # K ≥ C0% entonces% para los problemas de ma-imización% usted debe mover la !unción ob"etivo de igual valor /!unción iso0 paralela a s& misma lejos del punto de origen /C% C0% como m&nimo% teniendo a la vez un punto en com1n con la región !actible$ 3in embargo% para los problemas de minimización% debe realizar lo opuesto% es decir% mover la !unción ob"etivo de igual valor /!unción iso0 paralela a s& misma acercándola al punto de origen % a su vez teniendo como m&nimo un punto en com1n con la región !actible$ (l punto com1n proporciona la solución óptima$ Eecuerde que las restricciones de PL proporcionan los vértices # las esquinas$ Un vértice es la intersección de l&neas o en general% n *iperplanos en problemas de PL con n variables de decisión$ Una esquina es un vértice que adems es !actible$ &n E*emplo +umérico! El Pro#lema del %arpintero
Ma-imizar @ KB N K 3u"eta a: KB K ≤ DC KB K ≤ @C and bot* KB% K are non+negative$
+ota! (-iste una alternativa del aborda"e de la !unción ob"etivo de
igual valor /!unción iso0 con problemas que tienen pocas restricciones # una región !actible acotada$ Primero busque todas las esquinas% también llamadas puntos e-tremos$ Luego% eval1e la !unción ob"etivo en los puntos e-tremos para llegar al valor óptimo # a la solución óptima$ Por e"emplo% en el problema del carpintero% la región !actible conve-a proporciona los puntos e-tremos con las coordenadas que 'guran en la siguiente 6abla: Valor de la Función Objetivo en cada Esquina o unto E!tremo Elecciones del Decisor
"oordenadas de los untos E!tremos
Función de los #n$resos Netos
"antidad de Mesas o %illas
&'( &)
* &' + , &)
;o +abricar nin&una mesa ni silla
0H 0
0
7abricar todas la mesas posibles
"0H 0
100
7abricar todas las sillas posibles
0H "
2
7abricar una combinacin de productos
10H "0
110
ado que el ob"etivo es ma-imizar% de la tabla anterior surge que el valor óptimo es BBC% el cual se obtiene si el carpintero sigue la estrategia óptima de KB BC # K C$ La principal de+iciencia del mtodo &r+ico es =ue se limita a resolCer problemas lineales =ue ten&an slo 1 o " Cariables de decisin. Sin embar&oH la conclusin
principal ! til a la =ue podemos arribar a partir del anlisis de los mtodos &r+icos es la si&uiente:
Si un programa lineal tiene una región acti#le acotada no ,ac-a. la solución óptima es siempre uno de los puntos e/tremos0 $
La prueba de esta a'rmación surge de los resultados de los siguientes dos *ec*os: Fec*o 9V B: La región !actible de cualquier programa lineal es siempre un con"unto conve-o$ ebido a que todas las restricciones son lineales% la región !actible /E$$0 es un pol&gono$ .dems% este pol&gono es un con"unto conve-o$ (n cualquier problema de PL que tenga ms de dos dimensiones% los l&mites de la región !actible son partes de los *iperplanos% # la región !actible en este caso se denomina poliedro # también es conve-a$ Un con"unto conve-o es aquel en el cual si se eligen dos puntos !actibles% todos los puntos en el segmento de la l&nea recta que une estos dos puntos también son !actibles$ La prueba de que la región !actible de los programas lineales son siempre con"untos conve-os surge por contradicción$ Las siguientes 'guras ilustran e"emplos de los dos tipos de con"untos: un con"unto no conve-o # un con"unto conve-o$
(l con"unto de la región !actible en cualquier programa lineal se denomina poliedro # si est acotado se denomina politopo$ Fec*o 9V : (l valor iso de una !unción ob"etivo de un programa lineal es siempre una !unción lineal$ (ste *ec*o surge de la naturaleza de la !unción ob"etivo de cualquier problema de PL$ Las siguientes 'guras ilustran las dos clases t&picas de !unciones ob"etivo de igual valor /!unción iso0$
e la combinación de los dos *ec*os e-presados arriba surge que si un programa lineal tiene una región !actible acotada no vac&a% la solución óptima es siempre uno de los puntos e-tremos$ Para superar la de'ciencia del método gr'co% utilizaremos esta conclusión 1til # prctica en el desarrollo de un método algebraico aplicable a problemas de PL multidimensionales$ La conve-idad de la región !actible de los programas lineales !acilita la resolución de problemas de PL$ ebido a esta propiedad # a la linealidad de la !unción ob"etivo% la solución es siempre uno de los vértices$ .simismo% dado que la cantidad de vértices es limitada% todo lo que debemos *acer es buscar todos los vértices !actibles # luego evaluar la !unción ob"etivo en dic*os vértices para encontrar el punto óptimo$ (n el caso de programas no lineales% el problema es muc*o ms di!&cil de resolver porque la solución podr&a estar en cualquier parte dentro de la región !actible% en el l&mite de la región !actible o en un vértice$ Por suerte% la ma#or&a de los problemas de optimización empresarial son lineales # es por eso que la PL es tan popular$ Fo# en d&a% e-isten ms de DCC paquetes de so!t)are en el mercado para resolver problemas de PL$ La ma#or&a se basa en la b1squeda de vértices$ (sto equivale a pasar de un vértice a otro cercano en busca de un punto óptimo$ 1-nculo entre Programación Lineal y Sistemas de Ecuaciones 8eor&e Dant$i& la pro&ramacin lineal es estrictamente la teor3a ! la solucin de sistemas lineales de desi&ualdad. %robablemente !a ha notado =ue las soluciones bsicas de un pro&rama lineal son las soluciones de los sistemas de ecuaciones =ue constan de restricciones en una posicin obli&atoria.
Por e"emplo% en el caso del Problema del 8arpintero% se pueden calcular todas las soluciones bsicas% tomando dos ecuaciones cualquiera # resolviéndolas al mismo tiempo$ Luego% se utilizan las restricciones de las otras ecuaciones para veri'car la !actibilidad de esta solución$ 3i es !actible% esta solución es una solución bsica !actible que proporciona las coordenadas de un punto e-tremo de la región !actible$ Para ilustrar el procedimiento% considere las restricciones del 8arpintero en la posición obligatoria /es decir todas con signo 0: KB K DC KB K @C KB C K C .qu& tenemos D ecuaciones con incógnitas$ (-isten como m-imo 8D D? 4 /? ?0 R soluciones bsicas$ 3i resolvemos los seis sistemas de ecuaciones resultantes tenemos: Seis Soluciones Asicas con *uatro Soluciones Asicas 7actibles Q1 Q" Q1 )Q" 10 "0 110 0 40 ;o +actible "0 0 100
0 " 2 0 0 ;o +actible 0 0 0
8uatro de las soluciones bsicas que 'guran arriba son soluciones bsicas factibles que satis!acen todas las restricciones # pertenecen a los vértices de la región !actible$ .l incluir la solución bsica !actible en la !unción ob"etivo% podemos calcular el valor óptimo$ (ntonces% de la tabla anterior surge que la solución óptima es KB BC% K C% con un valor óptimo de U3QBBC$ (ste aborda"e puede aplicarse para resolver problemas de PL de ms dimensiones$ E/tensión a Mayores 2imensiones l ,todo 8r+ico se limita a resolCer problemas de %L con una o dos Cariables de decisin. Sin embar&oH proporciona una clara ilustracin de dnde se encuentran las re&iones +actibles ! no +actibles as3 como tambin los Crtices. Desarrollar una comprensin Cisual del problema contribu!e a un proceso de pensamiento ms racional. %or e-emploH !a Cimos =ue: si un pro&rama lineal tiene una re&in +actible acotada no Cac3aH la solucin ptima es siempre uno de los Crtices de su re&in +actible 'una es=uina o punto etremo(. *omo resultadoH lo =ue debemos hacer es buscar todos los puntos de interseccin 'Crtices( ! lue&o eaminar cul de todos los Crtices +actibles proporciona la solucin ptima. horaH aplicando conceptos de 8eometr3a nal3ticaH sortearemos esta limitacin de la Cisin humana. l ,todo l&ebraico est diseFado para etender los resultados del mtodo &r+ico a problemas de %L multidimensionalesH tal como se ilustra en el si&uiente e-emplo numrico.
E*emplo +umérico! el Pro#lema del 3ransporte l ob-etiCo es encontrar la manera ms e+ectiCa de transportar productos. La si&uiente tabla presenta un resumen de la o+erta ! la demanda en cada ori&en 'por e-emplo: el depsito( #1H #" ! destino 'por e-emplo: el mercado( D1 ! D"H -unto con el costo unitario de transporte. Matriz de "osto Unitario de -ransporte D1 D" #+erta #1 "0 )0 "00 #" 10 40 100 Demanda 10 10 )00
Ki" representa la cantidad de productos enviados desde el origen i *asta el destino "$ La !ormulación de PL del problema de minimización del costo total de transporte es la siguiente: Min CKBB NCKB BCKB DCK 3u"eta a: KBB KB CC KB K BCC KBB KB B@C KB K B@C todas Ki" ≥ C 8omo este problema de transporte es equilibrado /o!erta total demanda total0 todas las restricciones estn en !orma de igualdad$ .dems% cualquiera de las restricciones es redundante /si se suman dos restricciones cualquiera # se resta otra obtenemos la restricción
restante0$
Q1" "00 0 0 10
Q"1 10 K0 0 100
Q"" *osto otal de ransporte K0 ;o +actible 10 ;o +actible 100 500 0 600
.*ora poniendo cualquier # dos /o ms0 las variables para poner cero de a% es !cil de ver% inspeccionando las tres ecuaciones que todas las otras soluciones son no !actible$ Por lo tanto% la estrategia óptima es KBB @C% KB B@C% KB BCC% # K C% con un costo total de transporte m&nimo de U3QR$@CC$ 3i lo desea% puede resolver este problema con Modul 9et$(-e en el paquete Win;3< para veri'car estos resultados$ Para obtener una versión ms detallada del Método .lgebraico% visite el sitio 6o)ard t*e 3imple- Met*od %onceptos y 3écnicas de $prendiza*e $sistidos por %omputadora Debemos ser precaCidos al cuestionar nuestra intuicin ! demostrar por=u debemos aprender mediante un instrumento =ue en este curso es un pa=uete de so+t>are. odos los alumnos de 73sica ! @u3mica reali$an eperimentos en los laboratorios para conocer bien los temas de estos dos campos de estudio. Usted tambin debe reali$ar eperimentos para comprender los conceptos de la *iencia de dministracin. %or e-emploH debe utili$ar pa=uetes de so+t>are para reali$ar anlisis what-if o de hiptesis. l so+t>are le permite obserCar los e+ectos de la Cariacin de los Calores dados.
Los programas lineales reales siempre se resuelven por computadora$ Por lo general las computadoras utilizan el método simple- para llegar a las soluciones$ Los coe'cientes de la !unción ob"etivo se denominan coe'cientes de costos /porque *istóricamente durante la 3egunda =uerra Mundial% el primer problema de PL !ue un problema de minimización de costos0% coe'cientes tecnológicos # valores EF3 /o valores del lado derec*o0$ (sta es la manera per!ecta de aprender conceptos del anlisis de sensibilidad$ 8omo usuario% usted puede darse el lu"o de ver resultados numéricos # compararlos con lo que usted espera ver$ (l paquete L79O es un so!t)are mu# utilizado para problemas de PL$ 3e puede ba"ar una versión para Windo)s gratuita en la pgina Fome
de L79O en L79O% *ttp:44)))$lindo$com$ (n este sitio se e-plica como e"ecutar e interpretar los resultados del paquete L79O$ Precaución? .ntes de utilizar cualquier so!t)are% veri'que que sea con'able$ .qu& encontrar una =u&a de 3o!t)are de PL para su revisión: LP 3o!t)are =uide$ %ómo Interpretar los Resultados del Pa4uete de Sot5are LI+2O n este cursoH utili$amos pa=uetes de so+t>are con dos ob-etiCos distintos. @ueremos reali$ar muchos eperimentos numricos utili$ando pa=uetes de so+t>are como herramientas para resolCer muchos problemas a +in de Cer por nosotros mismosH ! comprender todos los conceptos tericos 'como por e-emploH los precios sombra( contenidos en los temas del curso. sto comprende tambin las herramientas de computacin disponibles en la ?eb. %or ltimoH aprendemos a usar e interpretar los resultados de los pa=uetes de so+t>are a +in de resolCer problemas prcticos de &ran tamaFo.
Lindo es un paquete de so!t)are mu# popular que resuelve problemas lineales$ La aplicación LP47LP de Win;3< realiza las mismas operaciones que Lindo pero de una manera muc*o ms !cil de usar$ (l nombre L79O es la abreviatura en inglés de Linear I+teractive 2iscrete Optimization /Optimización Lineal iscreta e 79teractiva0$ .qu& la palabra ,discreta, signi'ca pasar de una solución !actible bsica a la siguiente en lugar de desplazarse por toda la región !actible en busca de la solución bsica !actible óptima /si la *ubiere0$ .l igual que todos los paquetes de PL% tal como Win;3<% Lindo emplea el método simple-$ Xunto con la solución del problema% el programa también proporciona un anlisis com1n de sensibilidad de los 8oe'cientes de la unción Ob"etivo /denominados 8oe'cientes de 8ostos0 # el EF3 de las restricciones$ . continuación% presentamos una e-plicación de los resultados del paquete L79O$ 3upóngase que usted desea correr el Problema del 8arpintero$ 7nicie el paquete L79O /o Win;3<0$ esde el teclado escriba lo siguiente en la venta actual: M.K @KB NK 3$6$ KB K < DC KB K < @C (nd YM.K @KB NK% 3u"eta a KB K < DC KB K < @C% in Z NO-.: 1. La +uncin ob-etiCo no deber3a contener nin&una restriccin. %or e-emploH no se puede in&resar ,a "Q1 . ". odas las Cariables deben aparecer en el lado i$=uierdo de las restriccionesH mientras =ue los Calores numricos deben aparecer en el lado derecho de las restricciones 'es por eso =ue a estos nmeros se los denomina Calores RES o Calores del lado derecho(. ). Se presupone =ue todas las Cariables son no ne&atiCas. ;o in&rese las condiciones de no ne&atiCidad.
3i desea obtener todas 6ablas 3imple-% entonces
Ea&a clic en Reports 'In+ormes( ! lue&o eli-a ableau 'abla(H lue&o ha&a clic en SolCe 'ResolCer( ! eli-a %iCot ha&a clic en #T 'ceptar(H *lose '*errar(H *ancel '*ancelar(H contine de esta manera hasta =ue apare$ca el mensa-e Do Ran&e 'SensitiCit!( nal!sis 'Desea reali$ar un anlisis de ran&o de sensibilidadV(. Seleccione Jes 'S3(H si lo desea. Despus de minimi$ar la Centana actualH Cer el resultado =ue puede imprimir para su anlisis &erencial. De lo contrarioH ha&a clic en SolCe 'ResolCer(H ! lue&o eli-a SolCe • 'ResolCer(. s conCeniente copiar el problema de %L de la primera Centana ! lue&o pe&arlo en la parte superior de la p&ina de resultado. •
(n la parte superior de la pgina aparece la tabla inicial # a lo largo de la parte superior de la tabla 'guran las variables$ La primera 'la de la tabla es la !unción ob"etivo$ La segunda 'la es la primera restricción$ La tercera 'la es la segunda restricción # as& sucesivamente *asta enumerar todas las restricciones en la tabla$ espués de la tabla inicial aparece un enunciado que indica la variable de entrada # la variable de salida$ La variable de salida est e-presada como la 'la donde se colocar la variable de entrada$ Luego se imprime la primera tabla de iteraciones$ 3e sigue ingresando sentencias # contin1an las iteraciones de la tabla contin1an *asta llegar a la solución óptima$ La siguiente sentencia% [LP OP67MUM OU9 .6 36(P > /OP67MO ( PL (98O96E.O (9 (L P.3O 0 indica que se encontró la solución óptima en la iteración de la tabla inicial$ 7nmediatamente deba"o aparece el óptimo del valor de la !unción ob"etivo$ (ste es el dato ms importante que le interesa a todo gerente$ Muc*as veces% aparecer un mensa"e que lo sorprender: ,LP OP67MUM OU9 .6 36(P C, /OP67MO ( PL (98O96E.O (9 (L P.3O C0$ G8ómo puede ser paso CH G9o es necesario primero desplazarse para encontrar un resultado$$$H (ste mensa"e es mu# con!uso$ Lindo lleva un registro en su memoria de todas la actividades previas realizadas antes de resolver cualquier problema que usted ingrese$ Por lo tanto% no muestra e-actamente cuntas iteraciones !ueron necesarias para resolver el problema en cuestión$ . continuación presentamos una e-plicación detallada # una solución para saber con e-actitud la cantidad de iteraciones: 3upóngase que usted corre el problema ms de una vez o resuelve un problema similar$ Para saber cuntas iteraciones lleva realmente resolver un problema en particular% debe salir de Lindo # luego reingresar% volver a escribir # a presentar el problema$ e esta manera aparecer la cantidad e-acta de vértices /e-clu#endo el origen0 visitados para llegar a la solución óptima /si es que e-iste0 en !orma correcta$ espués de esto sigue la solución del problema% es decir la estrategia para '"ar las variables de decisión a 'n de lograr el valor óptimo antes mencionado$ (sto aparece con una columna de variables # una columna de valores$ La columna de valores contiene la solución del problema$ La reducción de costos asociada con cada variable se imprime a la derec*a de la columna de valores$ (stos valores se toman directamente de la tabla simple- 'nal$ La columna de valores
proviene del EF3$ La columna de reducción de costos proviene directamente de la 'la indicadora$ eba"o de la solución% aparecen los valores de las variables de *olgura 4 e-cedente de la tabla 'nal$ Los valores de las variables de *olgura 4 e-cedente para la solución 'nal 'guran en la columna [3L.8\ OE 3UEPLU3> /FOL=UE. O (K8((96(0$ Los precios sombra relacionados aparecen a la derec*a$ Eecuerde: Folgura representa la cantidad que sobra de un recurso # (-cedente representa el e-ceso de producción$ La restricción obligatoria se puede encontrar buscando la variable de *olgura 4 e-cedente con el valor de cero$ Luego% e-amine cada restricción para encontrar la que tenga sólo esta variable especi'cada$ Otra manera de e-presar esto es buscar la restricción que e-prese igualdad en la solución 'nal$ eba"o% aparece el anlisis de sensibilidad de los coe'cientes de costos /es decir de los coe'cientes de la !unción ob"etivo0$ 8ada parmetro de coe'ciente de costos puede variar sin a!ectar la solución óptima actual$ (l valor actual del coe'ciente se imprime "unto con los valores de l&mite superior e in!erior permitidos para que la solución siga siendo óptima$ eba"o aparece el anlisis de sensibilidad para el EF3$ La columna de ,'las, imprime el n1mero de 'la del problema inicial$ Pro e"emplo% la primera 'la impresa ser la dos porque la 'la uno es la !unción ob"etivo$ La primera restricción es la 'la dos$ (l EF3 de la primera restricción est representado por la 'la dos$ . la derec*a% aparecen los valores para los cuales el valor EF3 puede cambiar manteniendo la validez de los precios sombra$ 9ótese que en la tabla simple- 'nal% los coe'cientes de las variables de *olgura 4 e-cedente en la 'la ob"etivo proporcionan la unidad del valor del recurso$ (stos n1meros se denominan precios sombra o precios duales$ ebemos tener cuidado al aplicar estos n1meros$ 3ólo sirven para pequeños cambios en las cantidades de recursos /es decir% dentro de los rangos de sensibilidad del EF30$ 8ómo crear condiciones de no negatividad /variables libres0 : Por omisión% prcticamente todos los paquetes de so!t)are de resolución de problemas de PL /como por e"emplo L79O0 presuponen que todas las variables son no negativas$ Para cumplir con este requerimiento% convierta cualquier variable no restringida K" en dos variables no negativas reemplazando cada K" por # + K"$ (sto aumenta la dimensionalidad del problema sólo en uno /introducir una variable #0 independientemente de cuntas variables sean no restringidas$ 3i cualquier variable K" est restringida a ser no positiva% reemplace cada K" por + K"$ (sto reduce la comple"idad del problema$ Eesuelva el problema convertido # luego vuelva a ingresar los valores de las variables originales$ E*emplos +uméricos
Ma-imizar +KB su"eta a:
KB K ≥ C% KB NK ≤ N$ (l problema convertido es: Ma-imizar +# KB su"eta a: +KB + K # ≥ C% +KB + NK D# ≤ N% KB ≥ C% K ≥ C% and # ≥ C$ La solución óptima para las variables originales es: KB N4 + N +N4% K N4 + C N4% con valor óptimo de N4$ Para detalles acerca de los algoritmos de solución% visite el sitio Web .rti'cial+ree 3olution .lgorit*ms% e"emplo 9V S$ Implementaciones de %omputación con el Pa4uete 6inQS7 Utilice el mdulo L%/IL% de su pa=uete ?in@SA para cumplir dos ob-etiCos: resolCer &randes problemas ! reali$ar eperimentos numricos para comprender los conceptos presentados en las secciones L% ! IL%.
3ipo de ,aria#le! seleccione el tipo de variable desde la pantalla
,Problem 3peci'cation, /(speci'cación del Problema0 /la primera pantalla que aparece al ingresar un nuevo problema0J para programación lineal% utilice la opción predeterminada ,8ontinuous, /8ontinua0$ "ormato de datos de entrada! seleccione el !ormato de datos de entrada desde la pantalla ,Problem 3peci'cation, /(speci'cación del Problema0$ 9ormalmente% es pre!erible utilizar el !ormato Matri/Matriz0 para ingresar los datos$ (n el !ormato 9ormal% el modelo aparece #a ingresado$ (ste !ormato puede ser ms conveniente cuando se debe resolver un problema grande con muc*as variables$ Puede desplazarse por los !ormatos seleccionando el botón ,3)itc* to t*e], /8ambiar a $$$0 del men1 ormat /ormato0$ Identicación de 1aria#les 8 Restricciones! es conveniente cambiar los nombres de las variables # las restricciones para !acilitar la identi'cación del conte-to que representan$ Los nombres de las variables # las restricciones se pueden cambiar desde el men1 (dit /(dición0$ $utoa*uste de anc9o de columnas (7est "it)! 8on el botón ,best 't, del men1 ormat /ormato0 cada columna puede tener su propio anc*o$ Resol,er #uscando la solución óptima (si es 4ue e/iste)!
3eleccione ,3olve t*e problem, /Eesolver el problema0 desde el men1 ,3olve and .nal#ze, /Eesolver # .nalizar0% o utilice el &cono ,3olve, /Eesolver0 que se encuentra en la parte superior de la pantalla$ (sto genera un ,8ombined Eeport, /7n!orme 8ombinado0 que brinda la solución # los resultados adicionales /reducción de costos% rangos de optimalidad% *olgura 4 e-cedente% rango de !actibilidad # precios sombra0$
Resol,er mediante el Método 'rco! seleccione el método
gr'co desde el men1 ,3olve and .nal#ze, /Eesolver # .nalizar0 /sólo se puede utilizar para problemas de dos variables0$ 6ambién puede *acer clic en el &cono =rap* /=r'co0 en la parte superior de la pantalla$ Puede a"ustar los rangos K+2 después de resolver el problema # de que aparezca el gr'co$ (li"a el men1 Option /Opción0 # seleccione los nuevos rangos desde la lista desplegable$ Soluciones Optimas $lternas (si es 4ue e/isten)! después de resolver el problema% si aparece un mensa"e que le in!orma: ,.lternate solution e-ists??, /(-iste una solución alterna??0% para ver todas las soluciones óptimas de los puntos e-tremos eli"a el men1 Eesults /Eesultados0 # luego seleccione ,Obtain alternate optimal, /Obtener óptimo alterno0$ Iisite también la sección 3oluciones M1ltiples de este sitio Web para ver algunas advertencias$ +otas!
Utilice el arc*ivo de .#uda /,Felp,0 del paquete Win;3< para aprender cómo !unciona$ Para ingresar problemas en el so!t)are ;3are para resolCer problemas de %L ! a=uellos =ue sirCen para resolCer sistemas de ecuaciones. Supn&ase =ue tenemos un sistema de ecuaciones mu! &rande =ue =ueremos resolCer ! tenemos un pa=uete de so+t>are de resolucin de problemas de %L pero no tenemos nin&n pa=uete de resolucin de sistemas de ecuaciones. La pre&unta es B*mo se puede utili$ar un pa=uete de so+t>are de %L para encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones Los si&uientes pasos esbo$an el proceso de resolucin de cual=uier sistema de ecuaciones lineales mediante un pa=uete de resolucin de problemas de %L.
B+ ebido a que los paquetes de resolución de problemas de PL requieren que todas las variables sean no negativas% por cada variable substitu#a Ki 2i + 6 en todas partes$ + 8ree un ob"etivo arti'cial% como por e"emplo minimizar 6 N+ Las restricciones del problema de PL son las ecuaciones del sistema después de las sustituciones mencionadas en el paso B$ ("emplo numérico: resolver el siguiente sistema de ecuaciones KB K N KB +K N
ado que el paquete Win;3< acepta PL en diversos !ormatos /a di!erencia de L79O0% la resolución del problema utilizando Win;3< es sencilla: Primero% cree una PL con un ob"etivo arti'cial como por e"emplo MaKB% su"eta a KB K N% KB + K N% # tanto KB como K sin restricción de signo$ Luego% ingrese esta PL en el módulo LP47LP para arribar a la solución$ 3i usted utiliza un paquete de so!t)are de PL que requiere que todas las variables sean no negativas% primero substitu#a KB 2B + 6 # K 2 + 6 en ambas ecuaciones$ 6ambién necesitamos una !unción ob"etivo$ i"emos una !unción ob"etivo arti'cial como por e"emplo minimizar 6$ (l resultado es la siguiente PL: Min 6 3u"eta a: 2B 2 + N6 N% 2B + 2 N$ Utilizando cualquier so!t)are de PL% como Lindo o Win;3<% llegamos a la solución óptima 2B N% 2 C% 6 B$ .*ora% sustitu#a esta solución de PL en ambas trans!ormaciones KB 2B + 6 # K 2 + 6$ (sto nos da los valores numéricos para nuestras variables originales$ Por ende% la solución del sistema de ecuaciones es KB N + B % K C + B +B% la cual se puede veri'car !cilmente$ Pro#lema 2ual! %onstrucción y Signicado sociado a cada problema 'primario( de %L eiste un problema correspondiente denominado problema dual. La si&uiente clasi+icacin de las restricciones de las Cariables de decisin resulta til ! +cil de recordar para construir el problema dual. KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK "onstrucción del roblema Dual Objetivo: Max (por Objetivo: Min (por ejemplo las utilidades) ejemplo los costos) ipos de restricciones: ipos de restricciones: ≤ una restriccin usual ≥una restriccin usual N una restriccin limitada N una restriccin limitada 'estricta( 'estricta( ≥ una restriccin inusual ≤una restriccin inusual ipos de Cariables: ≥ 0 una condicin usual ... sin restriccin de si&no ≤ 0 una condicin inusual KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
iste una correspondencia uno a uno entre el tipo de restriccin ! el tipo de Cariable utili$ando esta clasi+icacin de restricciones ! Cariables tanto para los problemas primarios como los duales.
%onstrucción de Pro#lemas 2uales!
+ 3i el problema primario es un problema de ma-imización% entonces su problema dual es un problema de minimización /# viceversa0$ + Utilice el tipo de variable de un problema para determinar el tipo de restricción del otro problema$ + Utilice el tipo de restricción de un problema para determinar el tipo de variable del otro problema$ +Los elementos EF3 de un problema se trans!orman en los coe'cientes de la !unción ob"etivo del otro problema /# viceversa0$ + Los coe'cientes de la matriz de las restricciones de un problema son la transposición de los coe'cientes de la matriz de las restricciones del otro problema$ Puede veri'car las reglas de construcción del problema dual utilizando su paquete Win;3<$ E*emplos +uméricos!
8onsidere el siguiente problema primario: min -B + - su"eta a: -B - ≥ % -B + - ≤ +B% - ≥ N% -B% - ≥ C$ 3iguiendo la regla de construcción antes mencionada% el problema dual es: ma- uB + u NuN su"eta a: uB u ≤ B% uB + u uN ≤ +% uB ≥ C% u ≤ C% uN ≥ C El Pro#lema 2ual del Pro#lema del %arpintero!
Ma-imizar @KB NK su"eta a: KB K ≤ DC KB K ≤ @C KB ≥ C K ≥ C (l problema dual es: Minimizar DCUB @CU 3u"eta a: UB U ≥ @ UB U ≥ N UB ≥ C U ≥ C
$plicaciones! usted puede utilizar la dualidad en una amplia gama
de aplicaciones tales como: + (n algunos casos% puede ser ms e'ciente resolver el problema dual que el primario$ + La solución dual proporciona una interpretación económica importante tal como los precios sombra /es decir% los valores marginales de los elementos EF30 que son los multiplicadores Lagrangianos que demuestran una cota /estricta0 del valor óptimo del problema primario # viceversa$ Fistóricamente% el precio sombra se de'nió como la me"ora en el valor de la !unción ob"etivo por aumento unitario en el lado derec*o% porque el problema generalmente adoptaba la !orma de una me"ora de ma-imización de utilidades /es decir% un aumento0$ (l precio sombra puede no ser el precio de mercado$ (l precio sombra es por e"emplo el valor del recurso ba"o la ,sombra, de la actividad comercial$ 3e puede realizar un anlisis de sensi#ilidad%es decir un anlisis del e!ecto de pequeñas variaciones en los parmetros del sistema sobre las medidas de producción% calculando las derivadas de las medidas de producción con respecto al parmetro$ + 3i una restricción en un problema no es obligatoria /en otras palabras% el valor LF3 o valor del lado izquierdo0 concuerda con el valor EF30% la variable asociada en el problema es cero$ e manera inversa% si una variable de decisión en un problema no es cero% la restricción asociada en el otro problema es obligatoria$ . estos resultados se los conoce como 8ondiciones 8omplementarias de Folgura$ + Obtener el rango de sensibilidad del EF3 de un problema partiendo del rango de sensibilidad del coe'ciente de costos del otro problema # viceversa$ Para ms detalles # e"emplos numéricos% lea los siguientes art&culos: .$
Eecordemos los parmetros de entrada no controlables del Problema del 8arpintero: Datos de entrada no controlables ,esas Sillas Disponible
,ano de " obra ,ateria 1 prima In&resos
1
40
"
0
)
netos
2 su !ormulación de PL Ma-imizar @ KB N K 3u"eta a: KB K ≤ DC restricción de mano de obra KB K ≤ @C restricción de materiales tanto KB como K son no negativas$ onde KB # K representan la cantidad de mesas # sillas a !abricar$ 3upóngase que el 8arpintero desea contratar un seguro para sus ingresos netos$ igamos que: UB el monto en dólares pagadero al 8arpintero por cada *ora de traba"o perdida /por en!ermedad% por e"emplo0% U el monto en dólares pagadero al 8arpintero por cada unidad de materia prima perdida /por incendio% por e"emplo0$ Por supuesto que el corredor de seguros intenta minimizar el monto total de U3Q/DCUB @CU0 pagadero al 8arpintero por la 8ompañ&a de 3eguros$ 3in embargo% como es de esperar% el 8arpintero '"ar las restricciones /es decir las condiciones0 para que la compañ&a de seguros cubra toda su pérdida que equivale a sus ingresos netos debido a que no puede !abricar los productos$ (n consecuencia% el problema de la compañ&a de seguros es: Minimizar DC UB @C U 3u"eta a: UB BU ≥ @ ingresos netos por una mesa BUB U ≥ N ingresos netos por una silla UB% U son no negativas$ 3i implementa este problema en un paquete de so!t)are% ver que la solución óptima es UB U3QS4N # U U3QB4N con el valor óptimo de U3QBBC /el monto que el 8arpintero espera recibir0$ (sto asegura que el 8arpintero pueda mane"ar su vida sin inconvenientes$ (l 1nico costo es la prima que le cobra la compañ&a de seguros$ 8omo puede ver% el problema de la compañ&a de seguros est estrec*amente relacionado con el problema original$ 3eg1n la terminolog&a del proceso de diseño de modelos de 7O48.% el problema original se denomina Problema Primario mientras que el problema relacionado se denomina Problema ual 6al como vimos en el Problema del 8arpintero # su Problema ual% el Ialor Optimo es siempre el mismo para ambos problemas$ (sto se denomina (quilibrio (conómico entre el Problema Primario # el Problema ual$ (rrores de Eedondeo cometido por los =erentes: tenga cuidado siempre que redondee el valor de los precios sombra$ Por e"emplo% el precio sombra de la restricción de recursos en el problema anterior es T4N% por ende% si usted desea comprar ms de este recurso% no deber&a pagar ms de U3Q$RR$ 3in embargo% siempre que usted quiera vender cualquier unidad de este recurso% no deber&a *acerlo a un precio in!erior a U3Q$RS$ Podr&a darse un error similar si usted redondea en los l&mites de los rangos de sensibilidad$ 8omo siempre% *a# que prestar atención
porque el l&mite superior e in!erior deben redondearse para aba"o # para arriba% respectivamente$ %lculo de los Precios Som#ra hora !a sabe =ue los precios sombra son la solución del problema dual. =u3 tenemos un e-emplo numrico.
8alcule el precio sombra para ambos recursos en el siguiente problema de PL: Ma- +KB K su"eta a: KB K ≤ @ KB K ≤ R tanto KB como K son no negativas$ La solución de este problema primario /utilizando por e"emplo el método gr'co0 es KB C% K N% con el sobrante 3B del primer recurso mientras que el segundo recurso se utiliza por completo% 3 C$ Los precios sombra son la solución del problema dual: Min @UB RU 3u"eta a: UB U ≥ +B UB U ≥ tanto UB como U son no negativas$ La solución del problema dual /utilizando por e"emplo el método gr'co0 es UB C% U B que son los precios sombra para el primer # el segundo recurso% respectivamente$ &"ese que siempre que la *olgura 4 e-cedente de una restricción no es cero% el precio sombra relacionado con ese EF3 de la restricción es siempre cero% pero puede no darse el caso contrario$ (n este e"emplo numérico 3B /es decir% el valor de *olgura del EF3 B del problema primario0% que no es ceroJ por lo tanto UB es igual a cero tal como es de esperar$ 8onsidere el siguiente problema: Ma- KB K su"eta a: KB ≤ B K ≤ B KB K ≤ todas las variables de decisión ≥ C$ Utilizando un paquete de so!t)are% puede veri'car que el precio sombra para el tercer recurso es cero% mientras que no *a# sobrante de ese recurso en la solución óptima KB B% K B$ %omportamiento de los %am#ios en los 1alores R
%aso I! Pro#lema de Ma/imización
Para restricción de ≤ : cambio en la misma dirección$ Iale decir que un aumento en el valor EF3 no produce una disminución en el valor óptimo sino que éste aumenta o permanece igual seg1n la restricción sea obligatoria o no obligatoria$ Para restricción de ≥ : cambio en la dirección opuesta$ Iale decir que un aumento en el valor EF3 no produce un aumento en el valor óptimo sino que éste disminu#e o permanece igual seg1n la restricción sea obligatoria o no obligatoria$ Para restricción de : el cambio puede ser en cualquier dirección /ver la sección Ms por Menos en este sitio0$ %aso II! Pro#lema de Minimización
Para restricción de ≤ : cambio en la dirección opuesta$ Iale decir que un aumento en el valor EF3 no produce un aumento del valor óptimo sino que éste disminu#e o permanece igual seg1n la restricción sea obligatoria o no obligatoria0$ Para restricción de ≥ : cambio en la misma dirección$ Iale decir que un aumento en el valor EF3 no produce una disminución del valor óptimo sino que éste aumenta o permanece igual seg1n la restricción sea obligatoria o no obligatoria$ Para restricción de : el cambio puede ser en cualquier dirección /ver la sección Ms por Menos en este sitio0$ Interpretación Incorrecta del Precio Som#ra l %recio Sombra nos indica cunto cambiar la +uncin ob-etiCo si cambiamos el lado derecho de la correspondiente restriccin. sto normalmente se denomina Calor mar&inalH precios duales o Calor dual para la restriccin. %or lo tantoH el precio sombra puede no coincidir con el precio de mercado.
Por cada restricción del EF3% el Precio 3ombra nos indica e-actamente cunto cambiar la !unción ob"etivo si cambiamos el lado derec*o de la restricción correspondiente dentro de los l&mites '"ados por el rango de sensibilidad del EF3$ Por consiguiente% por cada valor EF3% el precio sombra es el coe'ciente del cambio en el valor óptimo causado por cualquier aumento o disminución admisible en el EF3 dentro del cambio admisible$ recio %ombra / "ambio en el Valor Optimo 0 "ambio en el 12%(
2ado 4ue el cam#io en el R
&n anti=e*emplo!
8onsidere la siguiente PL:
Ma- K su"eta a: KB K ≤ $@KB DK ≤ BC onde ambas variables de decisión son no negativas$ (l problema tiene su solución óptima en /C% 0 con un valor óptimo de $ 3upóngase que quiere calcular el precio sombra del primer recurso% es decir el EF3 de la primera restricción$ 3i cambiamos el EF3 de la primera restricción aumentndolo en una unidad tenemos: Ma- K su"eta a: KB K ≤ N $@KB DK ≤ BC donde ambas variables de decisión son no negativas$ (l nuevo problema tiene la solución óptima /C% $@0 con un valor óptimo de $@$ (ntonces% pareciera ,como si, el precio sombra de este recurso es $@ + C$@$ e *ec*o% el precio sombra de este recurso es B% el cual se puede veri'car constru#endo # resolviendo el problema dual$ (l motivo de este error se torna obvio si observamos que el aumento admisible para mantener la validez del precio sombra del primer recurso es C$@$ (l aumento en B e-cede el cambio admisible del primer valor EF3$ .*ora supóngase que cambiamos el mismo valor EF3 en C$B que es admisible$ (ntonces el valor óptimo del nuevo problema es $B$ Por consiguiente% el precio sombra es /$B +0 4 C$B B$ (s necesario prestar muc*a atención al calcular los precios sombra$ 3i usted quiere calcular el precio sombra de un valor EF3 sin tener su rango de sensibilidad% puede obtener los valores óptimos de dos perturbaciones como m&nimo$ 3i el &ndice de cambio en ambos casos arro"a los mismos valores% entonces este &ndice es realmente el precio sombra$ . modo de e"emplo% supóngase que perturbamos el EF3 de la primera restricción en C$C # +C$CB$ 3i resolvemos el problema después de estos cambios utilizando un so!t)are de PL% obtenemos los valores óptimos de $C # B$C_% respectivamente$ 8omo el valor óptimo para el problema nominal /sin ninguna perturbación0 es igual a % el &ndice de cambio para los dos casos es: /$C + 04C$C B% # /B$C_ + 04/+C$CB0 B% respectivamente$ 8omo estos dos &ndices coinciden% podemos concluir que el precio sombra del EF3 de la primera restricción es de *ec*o igual a B$ :El Precio Som#ra es Siempre +o +egati,o; %robablemente se est pre&untando si el precio sombra de un Calor RES es siempre no ne&atiCo. odo depende de la +ormulacin del problema primario ! de su correspondiente dual. Lo importante es recordar =ue el precio sombra de un determinado Calor RES es el 3ndice de cambio del Calor ptimo con respecto al cambio en ese RESH dado =ue el cambio se encuentra dentro de los l3mites de ese RES.
8onsidere el siguiente e"emplo numérico:
Ma- NKB @K 3u"eta a: KB K ≤ @C +KB K ≥ BC KB% K son no negativas$ 9os interesa saber el precio sombra del valor del EF3 BC$ (l problema dual es: Min @CUB BCU 3u"eta a: UB + U ≥ N UB U ≤ @ UB ≥ C% mientras que U ≤ C (sto se puede veri'car con el so!t)are Win;3<$ La solución del problema dual es UB T4N% U +B4N$ Por lo tanto% el precio sombra del valor EF3 BC es U +B4N$ (s decir que por cada aumento /disminución0 unitario en el EF3% el valor óptimo del problema primario disminu#e /aumenta0 en B4N% dado que el cambio en EF3 est dentro de los l&mites de sensibilidad$ Para otra versión del mismo problema primario% !&"ese que el problema puede escribirse de la misma manera% cambiando la dirección de la segunda restricción de desigualdad: Ma- NKB @K 3u"eta a: KB K ≤ @C KB + K ≤ +BC KB% K son no negativas$ (l problema dual de este problema primario a*ora es: Min @C2B + BC2 3u"eta a: 2B 2 ≥ N 2B+ 2 ≤ @ tanto 2B como 2 son no negativas 9uevamente% la !ormulación dual puede veri'carse utilizando el so!t)are Win;3<$ La solución de este problema dual es 2B T4N # 2 B4N$ (ntonces% el precio sombra del valor del EF3 +BC es 2 B4N$ Iale decir que por cada aumento /disminución0 unitario en el valor EF3 % el valor óptimo del problema primario aumenta /disminu#e0 en B4N% dado que el cambio en EF3 esta dentro de los l&mites de sensibilidad$ 8omo #a debe *aber notado% ambos problemas duales son iguales al sustituir UB 2B% # U +2$ (sto signi'ca que los precios sombra obtenido para EF3 BC% # EF3 +BC tienen el mismo valor con el signo opuesto /como es de esperar0$ Por ende% % el signo del precio sombra depende de cómo se !ormule el problema dual % aunque el signi'cado # su interpretación son siempre los mismos$ Precios Som#ra $lternati,os Supn&ase =ue tenemos una %L =ue tiene una nica solucin ptima. Bs posible tener ms de un con-unto de precios duales
3&% es posible$ 8onsidere el siguiente problema: Min BRKB DK su"eta a: KB NK ≥ R KB K ≥ D todas las variables de decisión ≥ C$ 3u dual es: Ma- RUB DU su"eta a: UB U ≤ BR NUB U ≤ D todas las variables de decisión ≥ C% (ste problema dual tiene diversas soluciones alternativas% tales como% /UB T% U C0 # /UB D% U R0$ 6odas las combinaciones conve-as de estos dos vértices también son soluciones$ (-isten casos generales para los cuales los precios sombra no son 1nicos$ 8omo en el e"emplo anterior% siempre que e-ista redundancia entre las restricciones% o si la solución óptima es ,degenerada,% puede *aber ms de un con"unto de precios duales$ (n general% las restricciones lineales independientes son condición su'ciente para que e-ista un 1nico precio sombra$ 8onsidere el siguiente problema de PL con una restricción redundante: Ma- BCKB BNK su"eta a: KB K B KB K B KBK # todas las variables son no negativas$ 3i corremos el problema dual en Lindo vemos que KB C% K B% con precios sombra /C% BN% C0$ 3i utilizamos Win;3< para este problema% obtenemos KB C% K B con distintos precios sombra /C% S% N0$ (n el caso de redundancia% los precios sombra obtenidos con un paquete de PL pueden no coincidir con aquellos obtenidos con otro paquete de so!t)are$ Mane*o de Incertidum#res mediante Modelación de Escenarios! $nlisis de Sensi#ilidad y $nlisis de Especicidad l entorno comercial muchas Ceces es impredecible e incierto debido a +actores tales como cambios econmicosH re&lamentaciones pblicasH dependencia de subcontratistas ! proCeedoresH etc. Los &erentes &eneralmente se Cen inmersos en un entorno dinmico e inestable donde aun los planes a corto pla$o deben reKeCaluarse constantemente ! a-ustarse de manera incremental. odo esto re=uiere una mentalidad orientada al cambio para hacer +rente a las incertidumbres. Recuerde =ue las sorpresas no +orman parte de una decisin slida.
(l *ombre utiliza construcciones /modelos0 matemticas e in!ormticas para una variedad de entornos # propósitos% con
!recuencia para conocer los posibles resultados de uno o ms planes de acción$ (sto puede relacionarse con inversiones 'nancieras% alternativas de seguros /asegurar o no asegurar4cunto0% prcticas industriales e impactos ambientales$ (l uso de modelos se ve per"udicado por la inevitable presencia de incertidumbres% que surgen en distintas etapas% desde la construcción # corroboración del modelo en s& *asta su uso$ 9ormalmente su uso es el culpable$ 6oda solución a un problema de toma de decisiones se basa en determinados parmetros que se presumen como '"os$ (l anlisis de sensibilidad es un con"unto de actividades posteriores a la solución que sirven para estudiar # determinar qué tan sensible es la solución a los cambios en las *ipótesis$ (stas actividades también se denominan anlisis de estabilidad% anlisis )*at+i! o de *ipótesis% modelación de escenarios% anlisis de especi'cidad% anlisis de incertidumbre% anlisis de inestabilidad numérica% inestabilidad !uncional # tolerancia% anlisis de post optimalidad% aumentos # disminuciones admisibles # muc*os otros términos similares que re5e"an la importancia de esta etapa del proceso de modelación$ Por e"emplo% anlisis de sensibilidad no es el término t&pico empleado en la econometr&a para re!erirse al método de investigación de la respuesta de una solución !rente a perturbaciones en los parmetros$ (n econometr&a% esto se denomina esttica comparativa o dinmica comparativa% seg1n el tipo de modelo en cuestión$ 3e puede *acer !rente a las incertidumbres de una manera ms ,determinista,$ (ste aborda"e tiene distintos nombres tales como ,modelación de escenarios,% ,modelación determinista,% ,anlisis de sensibilidad, # ,anlisis de estabilidad,$ La idea es generar% de manera sub"etiva% una lista ordenada de incertidumbres importantes que supuestamente podr&an tener un ma#or impacto sobre el resultado 'nal$ (sto se lleva acabo antes de !ocalizarse en los detalles de cualquier ,escenario, o modelo$ Eesulta vital comprender la in5uencia de lo antedic*o en el plan de acción sugerido por el modelo por las siguientes razones: Pueden presentarse distintos niveles de aceptación /por el p1blico en general% por los decisores% por las partes interesadas0 a distintos tipos de incertidumbre$ istintas incertidumbres tienen distintos impactos sobre la con'abilidad% robustez # e'ciencia del modelo$ La relevancia del modelo /su correspondencia con la tarea0 depende en gran medida del impacto de la incertidumbre sobre el resultado del anlisis$ Las sorpresas no !orman parte de las decisiones óptimas sólidas$ (-isten numerosos e"emplos de entornos donde esto es aplicable% tales como: • • •
*onstruccin de indicadores 'econmicos / ambientales( nlisis ! pronstico de ries&o 'ambientalH +inancieroH de se&urosH...( #ptimi$acin ! calibracin de modelos 'per se(
. continuación% sigue una lista abreviada de las razones por las cuales se debe tener en cuenta el anlisis de sensibilidad:
3oma de decisiones o desarrollo de recomendaciones para decisores! %ara probar la solide$ de una solucin ptima. Las sorpresas no +orman parte de las decisiones ptimas slidas. %ara identi+icar los Calores cr3ticosH umbralesH o Calores de e=uilibrio donde • cambia la estrate&ia ptima. %ara identi+icar sensibilidad o Cariables importantes. • %ara inCesti&ar soluciones subKptimas. • %ara desarrollar recomendaciones +leibles =ue dependan de las circunstancias. • %ara comparar los Calores de las estrate&ias de decisin simples ! comple-as. • %ara eCaluar el ries&o de una estrate&ia o escenario. • •
%omunicación! %ara +ormular recomendaciones ms cre3blesH comprensiblesH contundentes o persuasiCas. %ara permitir a los decisores seleccionar hiptesis. • %ara comunicar una +alta de compromiso a una nica estrate&ia. • l decisor debe incorporar al&unas otras perspectiCas del problema tal como • perspectiCas culturalesH pol3ticasH psicol&icasH etc. en las recomendaciones del cient3+ico de administracin. •
$umentar la comprensión o aptitud del sistema! %ara estimar la relacin entre las Cariables de entrada ! las de salida. %ara comprender la relacin entre las Cariables de entrada ! las de salida. %ara • desarrollar pruebas de las hiptesis. •
2esarrollo del modelo! • • • • • •
%ara probar la Calide$ o precisin del modelo. %ara buscar errores en el modelo %ara simpli+icar el modelo. %ara calibrar el modelo. %ara hacer +rente a la +alta o insu+iciencia de datos. %ara priori$ar la ad=uisicin de in+ormacin.
Lista a#re,iada de casos en los 4ue se de#e considerar la realización de un anlisis de sensi#ilidad! 1. *on el control de los problemasH el anlisis de sensibilidad puede +acilitar la identi+icacin de re&iones cruciales en el espacio de los parmetros de entrada. ". n e-ercicios de seleccinH el anlisis de sensibilidad sirCe para locali$ar al&unos parmetros in+lu!entes en sistemas con cientos de datos de entrada inciertos. ). Se utili$an tcnicas de anlisis de sensibilidad basados en Carian$a para determinar si un subcon-unto de parmetros de entrada puede representar 'la ma!or parte de( la Carian$a de salida. 4. l punto ')( puede utili$arse para la reduccin del mecanismo 'descartar o corre&ir partes no releCantes del modelo( ! para la etraccin de un modelo 'construir un modelo a partir de otro ms comple-o(. 9er tambin el problema de la releCancia del modelo: Blos parmetros del con-unto de entrada del modelo son releCantes con respecto a la tarea del modelo . l punto ')( tambin puede utili$arse para la identi+icacin del modelo identi+icando las condiciones eperimentales para las cuales su capacidad para discriminar dentro del modelo se encuentra en su punto mimo. 6. l i&ual =ue en el punto '(H el anlisis de sensibilidad puede utili$arse para la calibracin del modeloH para determinar si los eperimentos con sus incertidumbres
relacionadas permitirn la estimacin de los parmetros. sto es particularmente til +rente a problemas mal condicionados 'mal +ormulados(. 2. l anlisis de sensibilidad puede complementarse con al&oritmos de bs=ueda / optimi$acinM identi+icando los parmetros ms importantesH el anlisis de sensibilidad puede permitir =ue se redu$ca la dimensionalidad del espacio donde se reali$a la bs=ueda. 5. *omo una herramienta de ase&uramiento de calidadH el anlisis de sensibilidad ase&ura =ue la dependencia de la salida 'resultado( de los parmetros de entrada del modelo ten&a una similitud +3sica ! una eplicacin. <. %ara resolCer un problema inCersoH el anlisis de sensibilidad sirCe como una herramienta para etraer parmetros incorporados en modelos cu!os resultados no se correlacionan +cilmente con la entrada desconocida 'por e-emplo en cintica =u3micaH para etraer las constantes cinticas de sistemas comple-os a partir del 3ndice de rendimiento de los componentes(. 10. %ara asi&nar recursos en el rea de IXD de manera ptimaH el anlisis de sensibilidad muestra donde Cale la pena inCertir a +in de reducir el ran&o de incertidumbre del modelo. 11. l anlisis de sensibilidad puede determinar cuantitatiCamente =u parte de la incertidumbre de mi prediccin se debe a incertidumbre paramtrica de la estimacin ! cunto a incertidumbre estructural.
(rrores de redondeo cometido por los gerentes: como siempre% se debe prestar atención al redondear el valor de los l&mites de los rangos de sensibilidad$ (l l&mite superior # el l&mite in!erior deben redondearse *acia aba"o # *acia arriba respectivamente para que sean vlidos$ $nlisis de sensi#ilidad ,s0 programación estocstica! el anlisis de sensibilidad # las !ormulaciones de programación estocstica son los dos principales en!oques para mane"ar la incertidumbre$ (l anlisis de sensibilidad es un procedimiento de post optimalidad que no puede in5uir en la solución$ 3irve para investigar los e!ectos de la incertidumbre sobre la recomendación del modelo$ Por otro lado% la !ormulación de programación estocstica introduce in!ormación probabil&stica acerca de los datos del problema% a pesar de los primeros momentos /es decir los valores esperados0 de la distribución de la !unción ob"etivo con respecto a la incertidumbre$ (sto ignora las evaluaciones de riesgo del decisor% caracterizadas por la varianza o el coe'ciente de variación$ %lculo de Rangos de Sensi#ilidad para Pro#lemas Pe4ue>os
%ara calcular los ran&os de sensibilidad de problemas de %L con " Cariables de decisin como mimo !/o " restricciones como mimoH puede probar al&uno de los si&uientes aborda-es de +cil uso.
La 1nica restricción es que no se permiten restricciones de igualdad$6ener una restricción de igualdad implica degeneración% porque cada restricción de igualdad% por e"emplo% KB K B% signi'ca dos restricciones simultneas: KB K ≤ B % # KB K ≥ B$ (ntonces% la cantidad de restricciones obligatorias en tal caso ser ma#or a la cantidad de variables de decisión$ (sto se denomina situación degenerada para la cual el anlisis de sensibilidad normal no es vlido$
Rango de Sensi#ilidad de %ostos para Pro#lemas de PL con dos 1aria#les de 2ecisión
Iolviendo al Problema del 8arpintero% si cambiamos la ganancia de cada producto% cambia la pendiente de la !unción ob"etivo de igual valor /!unción iso0$ Para ,pequeños, cambios% el óptimo permanece en el mismo punto e-tremo$ Para cambios ma#ores% la solución óptima se desplaza a otro punto$ Por consiguiente% tenemos que modi'car la !ormulación # resolver un nuevo problema$ (l problema es encontrar un rango para cada coe'ciente de costos c/"0% de la variable K"% de manera que la solución óptima actual% es decir el punto e-tremo actual /esquina0 siga siendo óptimo$ Para un problema de PL de dimensiones% puede probar el sencillo aborda"e que presentamos a continuación para saber cul es la cantidad de aumento4disminución de cual4uier coe'ciente de la !unción ob"etivo /también conocidos como coe'cientes de costos porque *istóricamente durante la 3egunda =uerra Mundial% el primer problema de PL !ue un problema de minimización de costos0 a 'n de mantener la validez de la solución óptima actual$ La 1nica condición requerida para este aborda"e es que no se permiten restricciones de igualdad% #a que esto implicar&a degeneración% para lo cual el anlisis de sensibilidad tradicional no es vlido$ Paso ?! 8onsidere las 1nicas dos restricciones obligatorias de la solución óptima actual$ 3i *a# ms de dos restricciones obligatorias% *a# degeneración% en cu#o caso el anlisis de sensibilidad tradicional no es vlido$ Paso @! Perturbe el coe'ciente de costos "V por el parmetro c" /esta es la cantidad desconocida de cambios0$ Paso A! 8onstru#a una ecuación correspondiente a cada restricción obligatoria% como 'gura a continuación: /8osto 8" perturbado0 4 coe'ciente de K" en la restricción 8oe'ciente de la otra variable en la !unción ob"etivo 4 coe'ciente de esa variable de la restricción$ Paso B! La cantidad de aumento admisible es el c" positivo menor posible% mientras que la disminución admisible es el c" negativo ma#or posible obtenido en el Paso N$ &"ese que si no *a# c" positivo /negativo0% la cantidad de aumento /disminución0 es ilimitada$ $d,ertencias! 1. Recuerde =ue nunca debe diCidir por cero. DiCidir por cero es una +alacia comn en al&unos libros de teto. %or e-emplo en ntroduction to Mana!ement "cience H de a!lor IIIH A.H 6th d.H %rentice EallH 1<<ith numbers . Una pre&unta para usted: Bcules de estas a+irmaciones son correctas ! por =u ). a( cual=uier nmero diCido por cero es inde+inidoM 4. b( cero diCido por cual=uier nmero es ceroM o . c( cual=uier nmero diCidido por s3 mismo es 1 6. *omnmente se cree =ue se puede calcular el ran&o de sensibilidad al costo acotando la pendiente 'perturbada( de la +uncin ob-etiCo '+uncin iso( por las
pendientes de las dos l3neas resultantes de las restricciones obli&atorias. ste mtodo &r+ico basado en las pendientes est descripto en de An ntroduction to Mana!ement "cienceH b! nderson D.H ! ?illiams .H
Por e"emplo% si aplicamos este aborda"e en la construcción del rango de sensibilidad de los coe'cientes de costos del siguiente problemaJ Ma-imizar @KB NK 3u"eta a: KB K ≤ % KB + K ≤ C% KB ≥ C% K ≥ C Obtenemos rangos incorrectos$ Iisite el sitio Web M#t*s and 8ountere-amples in Mat*ematical Programming para ver ilustraciones # una e-plicación de este anti+e"emplo$ El pro#lema del carpintero!
Ma-imice @KB NK 3u"eta a: KB K ≤ DC KB K ≤ @C KB ≥ C K ≥ C 8lculo del incremento4disminución permisibles de 8B @: Las restricciones obligatorias son la primera # la segunda$ .lterando este coe'ciente de costo por cB se obtiene @ cB$ (n el paso N se obtiene: /@ cB04 N4B% para la primera restricción% # /@ cB04B N4 para la segunda restricción$ Eesolviendo estas dos ecuaciones se obtiene: cB B # cB +N$@$ Por lo tanto% el incremento permisible es B% mientras que la disminución permisible es B$@$ Por lo tanto% mientras el primer coe'ciente de costo 8B permanezca dentro del intervalo ` @ + N$@% @ B `B$@% R% contin1a la solución óptima actual$ e modo similar% para el segundo coe'ciente de costo 8 N se obtiene el rango de sensibilidad `$@% BC$ 8onsideremos el problema anterior con otro e"emplo: Ma-imice @KB NK 3u"eta a: KB K ≤ KB + K ≤ C KB ≥ C K ≥ C 8lculo del incremento4disminución permisibles de 8B @: Las restricciones obligatorias son la primera # la segunda$ .lterando este coe'ciente de costo por cB se obtiene @ cB$ (n el paso N se obtiene: /@ cB04B N4B% para la primera restricción # /@ cB04B N4/+B0 para la segunda restricción$ Eesolviendo estas dos ecuaciones se obtiene: cB + # cB +T$ Por lo tanto% la disminución permisible es % mientras que el incremento permisible es ilimitado$ Por lo tanto% mientras el primer coe'ciente de costo 8B permanezca dentro del intervalo ` @ + % @ ∞ `N% ∞% contin1a la solución óptima actual$ e modo similar% para el segundo coe'ciente de costo 8 N se obtiene el rango de sensibilidad `N + T% N `+@% @$
Rango de sensi#ilidad del lado derec9o para pro#lemas de PL con dos restricciones como m/imo
(n el Problema del 8arpintero% cuando se e!ect1an cambios menores en cualquiera de los recursos% la estrategia óptima /es decir% *acer el producto mi-to0 sigue siendo vlida$ 8uando los cambios son ma#ores% esta estrategia óptima cambia # el 8arpintero debe% *acer todas las mesas o las sillas que pueda$ (ste es un cambio drstico de estrategiaJ por lo tanto% tenemos que revisar la !ormulación # resolver un nuevo problema$ .dems de la in!ormación necesaria que antes se mencionó% también nos interesa saber cunto puede vender /o comprar0 el 8arpintero de cada recurso a un precio /o costo0 ,razonable,$ (s decir% G*asta dónde se puede incrementar o disminuir el EF3/i0 con un valor i '"o% mientras se mantiene la validez del precio sombra corriente del EF3/i0H (s decir% G*asta dónde se puede incrementar o disminuir el EF3/i0 con un valor i '"o mientras se mantiene la solución óptima corriente para el problema dualH Fistóricamente% el precio sombra se de'nió como la me"ora en el valor de la !unción ob"etivo por incremento unitario en el lado derec*o porque con !recuencia el problema se pone en la !orma de me"ora de ma-imización de utilidad /en el sentido de incremento0$ .simismo% con cualquier EF3% el precio sombra /también conocido como su valor marginal0% es la cantidad de cambio en el valor óptimo proporcional a una unidad de cambio para ese EF3 en particular$ 3in embargo% en algunos casos no se permite cambiar tanto el EF3$ (l rango de sensibilidad del EF3 proporciona los valores para los que el precio sombra tiene signi'cado económico # permanece sin cambios$ GFasta dónde se puede incrementar o disminuir cada EF3 individual manteniendo la validez de los precios sombraH (sta !rase equivale a preguntar cul es el rango de sensibilidad para el coe'ciente de costo en el problema dual$ (l dual del Problema del 8arpintero es: Minimice DCUB @CU 3u"eta a: UB U ≥ @ UB U ≥ N UB ≥ C U ≥ C La solución óptima es UB S4N # U B4N /que son los precios sombra0$ El Pro#lema del %arpintero!
Ma-imice @KB NK 3u"eta a: KB K ≤ DC KB K ≤ @C KB ≥ C K ≥ C 8lculo del Eango para EF3B: Las primeras dos restricciones son obligatorias% por lo tanto:
/DC rB04 @C4 B% # /DC rB0 4 B @C4 $ e la resolución de estas dos ecuaciones se obtiene: rB RC # rB +B@$ Por lo tanto% el rango de sensibilidad para el primer EF3 en el problema del carpintero es: `DC+B@% DC RC `@% BCC$ e modo similar% para el segundo EF3% se obtiene: `@C + NC% @C NC `C% TC$ Qué es la Regla del ?CCD (región de sensi#ilidad) l ran&o de sensibilidad =ue se present en la seccin anterior es un anlisis del tipo >hatKi+ o de hiptesis del tipo de un cambio por Ce$. *onsideremos el problema del *arpinteroM supon&amos =ue =ueremos hallar los incrementos permisibles simultneos de RES ' r 1H r " ≥ 0(. iste un mtodo sencillo de aplicar =ue se conoce como la re&la del 100G =ue establece =ue los precios sombra no cambian si se da la si&uiente condicin su+iciente: r 1/60 r "/)0 ≤ 1H 0 ≤ r 1 ≤ 60H 0 ≤ r " ≤ )0.
.qu&% RC # NC son los incrementos permisibles de los EF3% basados en la aplicación del anlisis de sensibilidad ordinario$ (s decir% siempre que el primer # el segundo EF3 aumentan r B% # r respectivamente% mientras esta desigualdad contin1e% los precios sombra para los valores del lado derec*o permanecen sin cambios$ Obsérvese que ésta es una condición su'ciente porque% si se viola esta condición% entonces los precios sombra pueden cambiar o a1n as& seguir iguales$ (l nombre ,regla del BCCA, surge evidente cuando se observa que en el lado izquierdo de la condición% cada término es un n1mero no negativo menor que uno% que podr&a representarse como un porcenta"e de cambio permisible$ La suma total de estos cambios no deber&a e-ceder el BCCA$ .plicando la regla del BCCA a los otros tres cambios posibles en los EF3 se obtiene: r 1/'K1( r "/'K)0( ≤ 1H K1 ≤ r 1 ≤ 0H K)0 ≤ r " ≤ 0. r 1/'60( r "/'K)0( ≤ 1H 0 ≤ r 1 ≤ 60H K)0 ≤ r " ≤ 0. r 1/'K1( r "/')0( ≤ 1H K1 ≤ r 1 ≤ 0H 0 ≤ r " ≤ )0.
La siguiente igura ilustra la región de sensibilidad de ambos valores EF3 como resultado de la aplicación de la regla del BCCA al problema del 8arpintero$
esde un punto de vista geométrico% obsérvese que el poliedro con los vértices /RC% C0% /C% NC0% /+B@% C0 # /C%+NC0 en la igura es sólo un su#con*unto de una región de sensibilidad ms grande para los
cambios en ambos EF3$ Por lo tanto% permanecer dentro de esta región de sensibilidad es sólo una condición su'ciente /no necesaria0 para mantener la validez de los precios sombra actuales$ Pueden obtenerse resultados similares para los cambios simultneos de los coe'cientes de costos$ Por e"emplo% supongamos que queremos *allar la disminución permisible simultnea en B # los incrementos en % % es decir% el cambio en ambos coe'cientes de costo de B ≤ C # c ≥ C$ La regla del BCCA establece que la base corriente sigue siendo óptima siempre que: c1/'K).( c"/2 ≤ 1H K). ≤ c1 ≤ 0H 0 ≤ c"≤ 2.
onde N$@ # S son la disminución # el incremento permisibles de los coe'cientes de costo B # 8% respectivamente% que se *allaron anteriormente mediante la aplicación del anlisis de sensibilidad ordinario$ % respectivel#% t*at )e !ound earlier b# t*e application o! t*e ordinar# sensitivit# anal#sis$ La igura anterior también ilustra todas las otras posibilidades de incrementar4disminuir los valores de ambos coe'cientes de costos como resultado de la aplicación de la regla del BCCA% mientras se mantiene al mismo tiempo la solución óptima corriente para el problema del 8arpintero$ 8omo otro e"emplo numérico% consideremos el siguiente problema: Ma-imice @KB NK 3u"eta a: KB K ≤ KB + K ≤ C KB ≥ C K ≥ C ;uizs recuerden que #a *emos calculado los rangos de sensibilidad con un cambio por vez para este problema en la sección 8lculo de Eangos de 3ensibilidad$ (l rango de sensibilidad para el primer coe'ciente de costo es ` @ + % @ ∞ `N% ∞% mientras que para el segundo coe'ciente de costo es `N + T% N `+@% @$ 3e deber&a poder reproducir una 'gura similar a la anterior ilustrando todas las otras posibilidades de incrementar4disminuir ambos valores de coe'cientes de costos como resultado de la aplicación de la regla del BCCA% mientras al mismo tiempo se mantiene la solución óptima corriente para este problema$ 8laramente% la aplicación de la regla del BCCA% en la !orma en que aqu& se la presenta% es general # puede e-tenderse a cualquier problema de PL de ma#or magnitud$ 3in embargo% a medida que aumenta la magnitud del problema% este tipo de región de sensibilidad se reduce # por lo tanto% resulta menos 1til para la gestión$ $ (-isten técnicas ms poderosas # 1tiles /que proporcionan condiciones necesarias # su'cientes a la vez0 para mane"ar cambios simultneos dependientes /o independientes0 de los parmetros$ Para realizar un estudio abarcador de los distintos tipos de anlisis de sensibilidad en PL con e"emplos numéricos ilustrativos% cons1ltese el siguiente art&culo:
.rs*am F$% Perturbation anal#sis o! general LP models: . uni'ed approac* to sensitivit#% parametric tolerance% and more+!or+less anal#sis% Mathematical and Computer Modelling % B% BDNS+BDDR% B__C$ $>adir una nue,a restricción l proceso: Introdu$ca la solucin ptima corriente en la restriccin recin aFadida. Si la restriccin no se CiolaH la nueCa restriccin ;# a+ecta la solucin ptima. De lo contrarioH el nueCo problema debe resolCerse para obtener la nueCa solucin ptima.
Suprimir una restricción l proceso: Determine si la restriccin es obli&atoria 'es decirH actiCaH importante( hallando si el Calor de hol&ura/ecedente es cero. Si es obli&atoriaH la supresin puede cambiar la solucin ptima corriente. Suprima la restriccin ! resuelCa el problema. De lo contrario 'si no es una restriccin obli&atoria(H la supresin no a+ectar la solucin ptima.
Reemplazar una restricción Supon&amos =ue se reempla$a una restriccin por una nueCa. B*ul es el e+ecto de este intercambio l proceso: Determine si la restriccin preCia es obli&atoria 'es decirH actiCaH importante( hallando si el Calor de hol&ura/ecedente es cero. Si es obli&atoriaH el reempla$o puede a+ectar la solucin ptima corriente. Reemplace la restriccin ! resuelCa el problema. De lo contrario 'si no es una restriccin obli&atoria(H determine si la solucin corriente satis+ace la nueCa restriccin. Si la satis+aceH entonces este intercambio no a+ectar la solucin ptima. De lo contrario 'si la solucin corriente no satis+ace la nueCa restriccin(H reemplace la restriccin anterior por la nueCa ! resuelCa el problema.
$>adir una ,aria#le (por e*emplo. introducir un nue,o producto) l proceso: *onstru!a la nueCa restriccin del problema solucin ptima corriente es ptima(H de lo contrario produ$ca el nueCo producto 'la solucin ptima corriente !a no es ms ptima(. %ara determinar el niCel de dual. Inserte la solucin dual en esta restriccin. Si la restriccin se satis+aceH ;# produ$ca el nueCo producto 'la produccin del nueCo producto 'es decirH una solucin ptima me-or( resuelCa el si&uiente problema.
Suprimir una ,aria#le (es decir. cancelar un producto) l proceso: Si para la solucin ptima corrienteH el Calor de la Cariable suprimida es ceroH entonces la solucin ptima corriente si&ue siendo la ptima sin incluir la Cariable. De lo contrarioH suprima la Cariable de la +uncin ob-etiCo ! las restriccionesH ! lue&o resuelCa el problema.
Pro#lema de asignación óptima de recursos *omo los recursos son siempre escasosH a los &erentes les preocupa el problema de la asi&nacin ptima de los recursos. Se recordar =ue en el %roblema del *arpintero se trataron ambos recursos como parmetrosH es decirH como Calores numricos +i-os:
Ma-imice @ KB N K 3u"eta a:
KB K ≤ DC% restricción de mano de obra KB K ≤ @C% restricción de material # ambas KB% K son no negativas$ Eecordarn asimismo que *abitualmente las restricciones se clasi'can como restricciones del tipo de recurso o de producción$ (s un *ec*o que en la ma#or&a de los problemas de ma-imización% las restricciones de recursos !orman parte natural del problema% mientras que en el problema de minimización% las restricciones de producción son la parte ms importante del problema$ 3upongamos que desea *allar la me"or asignación del recurso mano de obra para el 8arpintero$ (n otras palabras% Gcul es el me"or n1mero de *oras que el 8arpintero deber&a asignar a su negocioH 6omemos como E el n1mero de *oras asignadas% el cual se usar para determinar su valor óptimo$ Por lo tanto% el modelo matemtico es *allar EB% de modo tal que: Ma-imice @ KB N K 3u"eta a: KB K ≤ EB restricción mano de obra KB K ≤ @C restricción de material # todas las variables KB% K # EB son no negativas$ Obsérvese que a*ora EB se trata no como un parmetro sino como una variable de decisión$ (s decir% la ma-imización se realiza con las tres variables% KB% K # EB: Ma-imice @ KB N K 3u"eta a: KB K + EB ≤ C restricción de mano de obra KB K ≤ @C restricción de material # todas las variables KB% K # EB son no negativas$ 8on so!t)are de PL% la solución óptima es KB @C% K C% con una asignación óptima de la mano de obra de EB BCC *oras$ .s&% el valor óptimo es Q@C$ .simismo% obsérvese que el valor óptimo de asignación de recursos es siempre el mismo como l&mite superior del rango de sensibilidad EF3B generado por el so!t)are$ Por e"emplo% el incremento permisible en el n1mero de *oras es BCC + DC RC *oras% con el adicional @C + BBC BDC$ 7ncluso se puede obtener el precio sombra para este recurso usando esta in!ormación$ (l precio sombra es el &ndice de cambio en el valor óptimo con respecto al cambio en el lado derec*o$ Por lo tanto% /@C + BBC04/BCC + DC0 BDC4RC S4N% que es el precio sombra del EF3B% seg1n se *alló por otros métodos en las secciones anteriores$ 2eterminación de la m-nima utilidad neta del producto n la ma!or3a de los casosH la utilidad neta es un +actor incontrolable en un entorno de ne&ocios tomador de precios. s por ello =ue a los &erentes les importa conocer cul es la utilidad neta m3nima de cada producto determinadoH =ue indica =ue su produccin es rentable para empe$ar.
3e recordar que en el Problema del 8arpintero ambas utilidades netas /Q@ # QN0 !ueron consideradas como entradas incontrolables% es decir% que eran valores determinados por el mercado: Ma-imice @ KB N K 3u"eta a: KB K ≤ DC restricción mano de obra KB K ≤ @C restricción material$ 2 ambos% KB% K% son no negativos$ .qu&% la estrategia óptima es KB BC% K C% con un valor óptimo de QBBC$ 3upongamos que el 8arpintero desea conocer el valor m&nimo del primer coe'ciente en la !unción ob"etivo% que actualmente es Q@% para poder producir con rentabilidad el primer producto /las mesas0$ 3upóngase que la utilidad neta m&nima es cB dólaresJ por lo tanto% el problema consiste en *allar cB% de manera tal que: Ma-imice cB KB N K 3u"eta a: KB K ≤ DC restricción mano de obra KB K ≤ @C restricción material$ 2 todas las variables% KB% K% cB% son no negativas$ .*ora% el problema dual del carpintero es: Minimice DC UB @C U 3u"eta a: UB BUB ≥ cB Utilidad neta de una mesa BUB U ≥ N Utilidad neta de una silla$ 2 UB% U% cB son no negativas$ 3e observa que a*ora la utilidad neta cB se trata como una variable de decisión$ La minimización se *ace sobre las tres variablesJ KB% K # cB: Minimice DC UB @C U 3u"eta a: UB BUB + cB ≥ C BUB U ≥ N 2 UB% U% cB son no negativas$ La implementación de este problema en el paquete de computación muestra que la solución óptima es UB QS4N% U QB4N% # cB QB$@$ 3e recordar que e-isten soluciones alternativas para este valor de !rontera del rango de sensibilidad para el coe'ciente de costo$ La solución correspondiente al l&mite in!erior se describe en el rango del anlisis de sensibilidad del coe'ciente de costo% calculado con anterioridad en el Problema del 8arpintero$ Por lo tanto% la m&nima utilidad neta es siempre la misma que el l&mite in!erior del rango de sensibilidad del coe'ciente de costo generado por el so!t)are$ Indicadores de metas n la ma!or3a de las situaciones de la Cida realH al decisor puede no interesarle la optimi$acinH ! desear en cambio alcan$ar un cierto Calor para la +uncin ob-etiCo. la ma!or3a de los &erentes les satis+ace una solucin su+icientemente buena. este problema se lo conoce como satis+acer el problema de alcan$ar la meta.
Una de las razones por las cuales los gerentes de empresas sobrestiman la importancia de la estrategia óptima es que las organizaciones con !recuencia usan indicadores como ,sustitutos, para satis!acer sus necesidades inmediatas$ La ma#or&a de los gerentes prestan atención a indicadores tales como la utilidad% el 5u"o de !ondos% el precio de la acción% etc$ que indican ms una supervivencia que una meta de optimización$ Para resolver el problema de alcanzar la meta% se debe primero añadir la meta del con"unto de restricciones$ Para convertir el problema de alcanzar la meta en un problema de optimización% se debe crear una !unción ob"etivo 'cticia$ Podr&a ser una combinación lineal del subcon"unto de variables de decisión$ 3i se ma-imiza esta !unción ob"etivo se obtendr una solución !actible /si es que e-iste0$ 3i se minimiza% se podr&a obtener otra /*abitualmente en el otro ,lado, de la región !actible0$ 3e podr&a optimizar con di!erentes !unciones ob"etivas$ Otro aborda"e es usar modelos de ,Programación de Metas, que mane"an con precisión problemas de satis!acción de restricciones sin necesariamente tener un solo ob"etivo$ <sicamente% consideran medidas de violación de restricciones e intentan minimizarlas$ 3e pueden !ormular # resolver modelos de programación de metas en PL tradicional% usando códigos de solución de PL tradicionales$ (n el algoritmo de solución sin variables arti'ciales se puede usar una !unción ob"etivo 'cticia de cero pero no en algunos paquetes de so!t)are% tales como el Lindo$ 8on los paquetes de so!t)are se puede ma-imizar o minimizar cualquier variable como una !unción ob"etivo$ E*emplo numérico
8onsidere el ("emplo B en la sección 7nicialización del Método 3&mpleen un sitio asociado a éste$ (n lugar de ma-imizar a*ora queremos alcanzar una meta de D% es decir% Meta: +KB K D su"eta a: KB K ≥ % +KB K ≥ B% K ≤ N% # KB% K ≥ C$ 3i se añade esta meta al con"unto de restricciones # se convierten las restricciones a la !orma de igualdad se obtiene: KB K + 3B % +KB K + 3 B% K 3N N% # KB% K% 3B% 3% 3N ≥ C$ Una solución es KB % K N% 3B N% 3 C% # 3N C$ Para obtener detalles sobre los algoritmos de soluciones visite el sitio Web .rti'cial+ree 3olution .lgorit*ms$ %lculo de minima/ y ma/imin en una sola corrida Supon&amos =ue =uiere hallar el peor de Carios Calores de +unciones ob-etiCos de+inidas con un con-unto comn de restricciones en una sola corrida de computacin.
8omo aplicación% supongamos que en el Problema del 8arpintero% sin pérdida de generalidad% *a# tres mercados con !unciones ob"etivos de
@KB NK% SKB K% # DKB DK% respectivamente$ .l carpintero le interesa conocer el peor mercado$ (s decir% la solución del siguiente problema: (l problema del minima-: Min Ma- Y@KB NK% SKB K% DKB DKZ 3u"eta a: KB K ≤ DC KB K ≤ @C 2 ambos% KB% K% son no negativos$ (l Problema del Minima- equivale a: Ma-imice # 3u"eta a: # ≤ @-B NK # ≤ SKB K # ≤ DKB DK KB K ≤ DC KB K ≤ @C 2 todas las variables% KB% K% #% son no negativas$ 3i se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones # este problema se implementa en el paquete de computación% la solución óptima es KB BC% K C% # QBBC$ (sto signi'ca que el primero # el segundo mercados son los peores /porque la primera # la segunda restricciones son obligatorias0 aportando sólo QBBC de utilidad neta$ e modo similar% se puede resolver el minima- de varias !unciones ob"etivos en una sola corrida$ Situaciones de ms por menos y menos por ms *onsidere el si&uiente problema de %L de produccin:
Ma-imice KB NK KN% su"eta a: KB K KN D% NKB K KN _% todas Ki son no negativas$ Los totales de mano de obra son D # _$ (l valor óptimo para este problema es QS$ .*ora% si se cambia la segunda mano de obra disponible de _ por B% el valor óptimo ser&a QD$ (s decir% que se *a traba"ado ms *oras por menos utilidad$ (sta situación surgen !recuentemente # se conoce como ,La Parado"a de Ms por Menos,$ (l recurso n1mero tiene un precio sombra negativo? Para *allar el me"or n1mero de *oras se debe traba"ar para ma-imizar el ingreso% resolviendo la siguiente PL paramétrica: Ma-imice KB NK KN su"eta a: KB K KN D% NKB K KN L % L% # todas Ki son no negativas$ 8on L79O /o Win;3<0 se debe resolver: Ma-imice KB NK KN su"eta a: KB K KN D% NKB K KN + L C$ La L óptima es T *oras% # el valor óptimo es QT?
La condición necesaria # su'ciente para que se dé la situación de ms por menos4menos por ms es que e-istan restricciónes! de igualdad con precios! sombra negativos para los valore/s0 EF3$ Para obtener ms in!ormación sobre ésta # otras parado"as visite: 8ountere-amples and (-planations !or LP M#t*s Programas lineales generales con enteros La %L estndar asume =ue las Cariables de decisin son continuas. Sin embar&oH en muchas aplicacionesH los Calores +raccionarios pueden no serCir de mucho 'por e-.H "H empleados(. %or otra parteH como a esta altura !a sabenH como los pro&ramas lineales con enteros son ms di+3ciles de resolCerH =ui$s se pre&unten para =u la molestia. B%or =u no simplemente usar un pro&rama lineal estndar ! redondear las respuestas a los enteros ms cercanos Desa+ortunadamenteH esto &enera dos problemas: La solucin redondeada puede no ser +actibleH ! • l redondeo puede no dar una solucin ptima. • %or lo tantoH el redondeo de resultados de pro&ramas lineales puede proporcionar respuestas ra$onablesH pero para &aranti$ar soluciones ptimas debemos aplicar pro&ramacin lineal con enteros. %or omisinH el so+t>are de %L asume =ue todas las Cariables son continuas. *on el so+t>are LindoH conCendr usar la sentencia de entero &eneral K 8I;. 8I; se&uida de un nombre de Cariable restrin&e el Calor de la Cariable a los enteros no ne&atiCos '0H1H"HY(. l si&uiente e-emplo sencillo ilustra el uso de la sentencia 8I;. Max 11X1 + 10X2 S.T. 2X1 + X2
≤ 12
X1 - 3X2
≥ 1
END GIN X1 GIN X2
La salida después de siete iteraciones es: I.LOE ( L. U987O9 O
RR$CCCCC I.LOE R$CCCCCC C$CCCCCC
8O36O E(U87O +BB$CCCCCC +BC$CCCCCC
7L. FOL=UE. O (K8((96( 0 C$CCCCCC N0 @$CCCCCC
3i no *ubiéramos especi'cado KB # K como enteros generales en este modelo% L79O no *abr&a *allado la solución óptima de KB R # K C$ (n cambio% L79O *abr&a considerado a KB # K como continuos # *abr&a llegado a la solución KB @$_ # K B$DN$ Observen asimismo que el simple redondeo de la solución continua a los valores enteros ms pró-imos no da la solución óptima en este e"emplo$ (n general% las soluciones continuas redondeadas pueden no ser las óptimas #% en el peor de los casos% no son !actibles$ 3obre esta base% uno se puede imaginar que puede demandar muc*o tiempo obtener la solución óptima en un modelo con muc*as variables de
enteros$ (n general% esto es as&% # les convendr utilizar la caracter&stica =79 sólo cuando es absolutamente necesario$ 8omo 1ltimo comentario% el comando =79 también acepta un argumento de valor entero en lugar de un nombre de variable$ (l n1mero corresponde al n1mero de variables que uno desea que sean enteros generales$ (stas variables deben aparecer primero en la !ormulación$ e tal modo% en este e"emplo sencillo% podr&amos *aber reemplazado las dos sentencias =79 por la 1nica sentencia =79 $ $plicación mi/ta de programación con enteros! restricciones F=O Supon&an =ue una panader3a Cende ocho Cariedades de ros=uillas. La preparacin de las Cariedades 1H " ! ) implica un proceso bastante complicadoH por lo =ue la panader3a decidi =ue no les conCiene hornear estas CariedadesH a menos =ue pueda hornear ! Cender por lo menos 10 docenas de las Cariedades 1H " ! ) combinadas. Supon&an tambin =ue la capacidad de la panader3a limita el nmero total de ros=uillas horneadas a )0 docenasH ! =ue la utilidad unitaria de la Cariedad - es - dlares. Si -H - N 1H "H Y H6 denote el nmero de docenas de la Cariedad - =ue se deben hornearH ! lue&o la utilidad mima puede hallarse resolCiendo el si&uiente problema 'asumiendo =ue la panader3a consi&ue Cender todo lo =ue hornea(:
Ma-imice Σ P " K " 3u"eta a las restricciones: Σ K " ≤ NC KB K KN C% OE% KB K KN ≥ BC Ma-imice Σ P " K " 3u"eta a las restricciones: Σ K " ≤ NC KB K KN + NC# ≤ C% KB K KN + BC#≥ BC K " ≥ C% # C% or B$ Programas lineales con enteros C = ? *on el comando I; en LI;D# se restrin&e la Cariable a 0 o 1. estas Cariables con +recuencia se las llama Cariables binarias. n muchas aplicacionesH las Cariables binarias pueden ser mu! tiles en situaciones de todo o nada. ntre los e-emplos podemos incluir cosas tales como asumir un costo +i-oH construir una nueCa planta o comprar un niCel m3nimo de al&n recurso para recibir un descuento por cantidad.
E*emplo! %onsidere el siguiente pro#lema de la moc9ila
Ma-imice BBKB _K TKN B@KD 3u"eta a:: DKB NK KN @KD ≤ T% and Ki eit*er C or B$ 8on L79O% la sentencia del problema es: Max 11X1 + 9X2 + 8X3 + 15X4 S.T. 4X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 ≤ 8 END INT X1 INT X2 INT X3 INT X4
Luego *aga clic en 3OLI($ La salida da la solución óptima # el valor óptimo después de oc*o iteraciones ,
Observe que en lugar de repetir 796 cuatro veces se puede usar 796 D$ Las primeras cuatro variables aparecieron en la !unción ob"etivo$ VALOR DE LA FUNION O!"ETIVO 1# VARIA!LE X1 X2 X3 X4
FILA 2#
24.00000 VALOR 0.000000 1.000000
OSTO REDUIDO -11.000000 -9.000000
0.000000 1.000000
-8.000000 -15.000000
$OLGURA O EXEDENTE 0.000000
N&o. DE ITERAIONES '
%REIOS DUALES 0.000000
8
$plicaciones para ormulación de presupuestos de in,ersiones Supon&an =ue una compaF3a de InCesti&acin ! Desarrollo dispone de una suma de dineroH D dlaresH para inCertir. La compaF3a ha determinado =ue eisten ; pro!ectos en los =ue conCiene inCertirH ! por lo menos d - dlares deben inCertirse en el pro!ecto si se decide =ue ese pro!ecto - es a=ul en el =ue Cale la pena inCertir. simismoH la compaF3a determin =ue la utilidad neta =ue puede obtenerse despus de inCertir en el pro!ecto - es de -dlares. l dilema de la compaF3a es =ue no puede inCertir en todos los pro!ectos ;H por=ue Σ d - > D. %or lo tantoH la compaF3a debe decidir en cules de los pro!ectos inCertir maimi$ando la utilidad. %ara resolCer este problemaH el asesor +ormula el si&uiente problema: Q - N 1 si la compaF3a inCierte en el pro!ecto -H ! Q - N 0 si la compaF3a no inCierte en el pro!ecto -. l monto total =ue se inCertir entonces es de Σ d - Q -H ! como este monto no puede ser superior a D dlares tenemos la si&uiente restriccin: Σ d - Q - ≤ D
La utilidad total ser Σ P " K "$ Por lo tanto% la compañ&a quiere el problema C+B: Ma-imice Σ P " K " 3u"eta a: Σ d " K " ≤ % K " C% OE B$ Pro#lemas de sc9eduling (planicación de turnos) Si se =uiere utili$ar la mano de obra lo ms e+icientemente posible es importante anali$ar los re=uerimientos de personal durante las diCersas horas del d3a. sto es en especial as3 en las &randes or&ani$aciones de serCiciosH donde la demanda de los clientes es repetitiCa pero cambia de manera si&ni+icatiCa se&n la hora. %or e-emploH se necesitan muchos ms operadores tele+nicos durante el per3odo del mediod3a a las dos de la tarde =ue desde la medianoche a las dos de la maFana. %eroH sin embar&oH debe haber al&unos operadores de &uardia durante la madru&ada. *omo los operadores habitualmente cumplen turnos de ocho horas es posible plani+icar las horas de traba-o de los operadores de modo tal =ue un solo turno cubra dos o ms per3odos pico de demanda. ,ediante el diseFo de planes horarios inteli&entesH la productiCidad de los
operadores aumenta ! el resultado es un plantel ms reducidoH ! por lo tantoH una reduccin en los costos salariales. l&unos otros e-emplos de reas donde los modelos de schedulin& han resultado tiles son los conductores de mnibusH los controladores de tr+ico areo ! las en+ermeras. continuacin anali$aremos un problema de e-emplo ! desarrollaremos un modelo de pro&ramacin con enteros para plani+icar el horario de traba-o de en+ermeras.
(s un problema de rutina en los *ospitales plani'car las *oras de traba"o de las en!ermeras$ Un modelo de plani'cación es un problema de programación con enteros que consiste en minimizar el n1mero total de traba"adores su"eto al n1mero especi'cado de en!ermeras durante cada per&odo del d&a$ er3odo 1 " ) 4 6 2 5
2ora del d3a 5:00 K 10:00 10:00 K 1":00 1":00 K ":00 ":00 K 4:00 4:00 K 6:00 6:00 K 5:00 5:00 K 10:00 10:00 K 1":00
N4mero requerido de en5ermeras 10 5 < 11 1) 5 )
8omo cada en!ermera traba"a oc*o *oras puede comenzar a traba"ar al comienzo de cualquiera de los siguientes cinco turnos: T:CC% BC:CC% B:CC% :CC o D:CC$ (n esta aplicación no consideramos ning1n turno que comience a las _:CC% BB:CC% etc$ 6ampoco es necesario tener en!ermeras que comiencen a traba"ar después de las D:CC% porque entonces su turno terminar&a después de la medianoc*e% cuando no se necesitan en!ermeras$ 8ada per&odo tiene dos *oras de duración% de modo tal que cada en!ermera que se presenta a traba"ar en el per&odo t también traba"ar durante los per&odos t B% t % # t N +++ oc*o *oras consecutivas$ La pregunta es: ,G8untas en!ermeras deber&an comenzar su turno en cada per&odo para satis!acer los requerimientos del recurso especi'cados en la tabla anteriorH, Para !ormular el modelo de este problema$ Kt es una variable de decisión que denota el n1mero de en!ermeras que comenzarn su *orario en el per&odo t$ La mano de obra total% que deseamos minimizar% es Σ Kt$ urante el per&odo B% debe *aber por lo menos BC personas de guardiaJ entonces% debemos tener K B ≥ BC$ e modo similar% los requerimientos del per&odo sólo pueden satis!acerse con K B K ≥ T$ e esta manera denotamos los requerimientos de los per&odos restantes: KB K KN ≥ _% KB K KN KD ≥ BB% K KN KD K@ ≥ BN% KN KD K@ ≥ T% KD K@ ≥ @% K@ ≥ N% 6odas las variables son n1meros enteros$
Observe que K B no est incluida en la restricción del per&odo @% #a que las en!ermeras que comienzan en el per&odo B #a no estn en servicio en el per&odo @$ .simismo% observe que puede resultar necesario tener ms que el n1mero requerido de personas en algunos per&odos$ Por e"emplo% vemos con la primera restricción que el n1mero de en!ermeras que comienzan a traba"ar en el per&odo B debe ser BC% como m&nimo$ 6odas ellas estarn todav&a traba"ando en el per&odo % pero en ese momento sólo se necesitarn oc*o personas$ (ntonces% incluso si K C% *abr dos en!ermeras e-tra de guardia en el per&odo $ Programación no lineal La pro&ramacin lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosaH tanto en la modeli$acin de problemas de la Cida real como en la teor3a matemtica de amplia aplicacin. Sin embar&oH muchos problemas interesantes de optimi$acin son no lineales. l estudio de estos problemas implica una me$cla diCersa de l&ebra linealH clculo multiCariadoH anlisis numrico ! tcnicas de computacin. ntre las reas especiales importantes se encuentra el diseFo de al&oritmos de computacin 'incluidas las tcnicas de puntos interiores para pro&ramacin lineal(H la &eometr3a ! el anlisis de con-untos conCeos ! +uncionesH ! el estudio de problemas especialmente estructuradosH tales como la pro&ramacin cuadrtica. La optimi$acin no lineal proporciona in+ormacin +undamental para el anlisis matemticoH ! se usa etensamente en las ciencias aplicadas 'en campos tales como el diseFo de in&enier3aH el anlisis de re&resinH el control de inCentario ! en la eploracin &eo+3sica(.
Programación con restricciones no #inarias traCs de los aFosH la comunidad dedicada a la pro&ramacin con restricciones ha Cenido prestando considerable atencin a la model3stica ! resolucin de problemas usando restricciones unarias ! binarias. Ea sido slo desde hace poco =ue se Ciene prestando ms atencin a las restricciones no binariasH ! se debe principalmente a la in+luencia del nmero creciente de aplicaciones en la Cida real. Una restriccin no binaria es una restriccin =ue se de+ine con Z CariablesH donde Z normalmente es ma!or =ue ". n tal sentidoH la restriccin no binaria puede considerarse como una restriccin ms &lobal. La modeli$acin de 'una parte de( un problema con una restriccin no binaria presenta dos Centa-as principales: 7acilita la epresin del problema ! habilita una ma!or propa&acin ms poderosa de la restriccin a medida =ue se dispone de in+ormacin ms &lobal.
Los é-itos logrados en aplicaciones para programación de itinerarios% *orarios de traba"o # rutas *an demostrado que usar restricciones no binarias es una dirección de investigación promisoria$ e *ec*o% cada vez ms personas creen que este tema es crucial para que la tecnolog&a de las restricciones se convierta en una manera realista de modelizar # resolver problemas de la vida real$ Optimización com#inatoria
&ruparH cubrir ! particionar 'aplicaciones de los pro&ramas con enteros( son los principales temas matemticos =ue constitu!en la inter+a$ entre la combinatoria ! la optimi$acin. La optimi$acin combinatoria es el estudio de estos problemas. borda la clasi+icacin de problemas de pro&ramacin con enterosH de acuerdo con la comple-idad de al&oritmos conocidos para resolCerlosH ! con el diseFo de al&oritmos apropiados para
