Modelo de Ebers-Moll para transistores de unión bipolar
El transistor es un dispositivo no lineal que puede ser modelado utilizando las características no lineales de los diodos. El modelo de Ebers-Moll es un modelo de señal grande que comúnmente se utiliza para modelar los BJT. Una versión del modelo se basa en suponer un diodo con polarización directa y un diodo con polarización inversa. Esta configuración aparece en la figura D.1 para un transistor npn. Este modelo, conocido como versión de inyección del modelo de Ebers-Moll, es válido para las regiones activa, de saturación y de corte. Bajo condiciones de funcionamiento normal dentro de la re gión activa, una unión del BJT tiene polarización directa, y la otra, inversa.
FIGURA D.1 Versión de inyección del modelo de Ebers-Moll para un transistor npn
αF IF
αR IR
+B+
(a) Versión de inyección del modelo
(b) Versión de inyección aproximada del modelo
Los diodos emisor -base y colector -base pueden ser descritos utilizando la característica del diodo Shockley de la ecuación (2.1):
I F
V BE = I ES exp − 1 V T
I R
V BC = I CS exp − 1 V T
(D.1)
(D.2)
Donde VT = kT/q kT/q = 25.8 25.8 mV a 25°C 25°C IES = Corriente de saturación inversa base-emisor del diodo ICS = Corriente de saturación inversa base-colector del diodo
Tanto IES como ICS dependen de la temperatura. Si V BE > 0, el diodo DF tiene polarización directa y su corriente IF genera una corriente correspondiente
αFIF. Si
VBC ‹ 0, el diodo DR tiene polarización inversa. A fin de designar, respectivamente, las condiciones directa e inversa, se utilizarán los subíndices F y R. Aplicando en las terminales del colector y el emisor la LKC, la corriente del emisor IE es I E
= − I F + α R I R V BE V BC = − I ES exp − 1 + α R I CS exp − 1 V T V T
y la corriente de colector Ic es: es I C
= α F I F − I R
(D.3)
V = α I exp − 1 − I V BE
F
ES
CS
T
V exp − 1 V BC
(D.4)
T
Si VBE = 0, αRICS = Is representa la corriente de fuga de saturación inversa del diodo DR. De manera similar, si VBC = 0, αFIES = Is representa la corriente de fuga de saturación inversa del diodo D F. Si se supone que los diodos son ideales, las corrientes de fuga de saturación directa e inversa estarán relacionadas mediante
α R I SC = α F I ES = I S donde Is se conoce como corriente de saturación del transistor. La corriente de colector a base, con el emisor a circuito abierto se puede obten er suponiendo que Ic = ICBO Y IE = 0.
Ya que es normal que la unión colector -base esté polarizada a la inversa, VBC<0 y │VBC│» VT, exp (VBC/VT) «1. Bajo estas condiciones, en las ecuaciones (D.3) y (D.4) se obtiene
0 = − I ES exp
I CBO
V BE V T
− 1 −α
R
I CS
V BE = α F I ES exp − 1 + I CS V T
Al despejar ICBO en estas dos ecuaciones, se tiene I CBO
= −α F α R I CS + I CS = (1 − α F α R ) I CS = I CS − α F I S (D.6)
La corriente de emisor a base, con el colector a circuito abiert o, puede obtenerse suponiendo que I E = IEBO y que IC = 0. Puesto que la unión del emisor está polarizada a la inversa.
La corriente de emisor a base, con el colector a circuito abiert o, puede obtenerse suponiendo que I E = IEBO y que IC = 0. Puesto que la unión del emisor está polarizada a la inversa, VBE < 0 (esto es, VEB > 0) y │VBE│ » VT, exp (VBE/VT) « 1. Las ecuaciones (D.3) y (D.4) dan
I EBO
V BC = I ES + α R I CS exp − 1 V T
V BC 0 = −α F I ES + I CS exp − 1 V T Al despejar IEBO de estas dos ecuaciones, se obtiene I EBO
= I ES − α Rα F I ES = (1 − α Rα F )I ES
(D.7)
De acuerdo con las ecuaciones (D.5), (D.6) y (D.7), α F I EBO = I ES (1 − α Rα F )α F = α R I CS (1 − α Rα F ) = α R I CBO
(D.8)
En vista de que el diodo DF está con polarización directa y DR lo está a la inversa. VEB < VBC. Por tanto, IEBO es menor que I CBO, y αF es mayor que αR. En la región activa, el diodo DR está polarizado a la inversa, e IR ≈ 0. Esto es, IE = -IF e IC = αFIF = -αFIE. Por tanto, la figura D.1 (a) se puede aproximar con la figura .1(b). El modelo del circuito de la figura D.1 (a) relaciona las fuente s dependientes con las corrientes del diodo. En el an álisis de circuito resulta conveniente expresar la fuente de corriente en una forma que resulte control ada por las corrientes en las terminales. Eliminando exp (VBE/VT) - 1 de las ecuaciones (D.3) y después utilizando la ecuación (D.6) se obtiene
I C
V BC = −α F I E − (1 − α F α R ) I CS exp − 1 V T V BC = −α F I E − I CBO exp − 1 V T
(D.9)
De manera similar, eliminando exp (VBC/VT) -1 de las ecuaciones (D.3) y (D.4) y luego utilizando la ecuaci ón (D.7),
V BE I E = −α R I C − (1 − α Rα F ) I ES exp − 1 V T
V BE = −α R I C − I EBO exp − 1 V T
(D.10)
El modelo del circuito que corresponde a las ecuaciones (D.9) y (D. 10) aparece en la figura D.2(a). Las fuentes de corriente est án controladas por la corriente del colector IC y por la corriente del emisor I E. Este modelo, conocido como la versión de transporte del modelo de Ebers-Moll, normalmente se utiliza en simulaciones por computadora con PSpice/SPICE. De hecho, los modelos lineales de la figura 5.6 son las versiones aproximadas del modelo de Ebers-Moll de la figura D.2(a).
I F
V BE − 1 = I EBO exp V T I R
V BC − 1 = I CBO exp V T
αF IE
αR I C
I F
+B+
αF I E
αR IC
V = I EBO exp BE − 1 V T
+B+
Suponiendo que VBC ‹ 0 e IR ≈ 0, IC = -αFIE, y la figura D.2(a) se puede aproximar utilizando la figura D.2(b). Si se sustituye I C = -αFIE, la ecuación (D.10) se transforma en:
I E
V = −α Rα F I E − I EBO exp BE − 1 V T
que relaciona a IE con αR, αF y VBE mediante
V BE − 1) − I EBO (exp V T I E = 1 + α Rα F
(D.11)
IES e ICS también se conocen como corrientes de saturaci ón en cortocircuito, en tanto que ICBO e IEBO se conocen como corrientes de saturaci ón a circuito abierto. Obsérvese que las versiones de transporte y de inyecci ón del modelo de EbersMoll son intercambiables. Una vez que se conocen los par ámetros de una versión es posible determinar los par ámetros de la otra.
EJEMPLO D.1 Cálculo de las corrientes para el modelo de Ebers-Moll de un transistor npn. Un transistor npn está polarizado de forma que V BE = 0.3V y VCE = 6V. Si
αF = 0.99, αR = 0.90 e ICBO = 5nA, calcular todas las corrientes para la versi ón de inyección del modelo de Ebers -Moll de la figura D. 1 (a). Suponer un voltaje térmico VT = 25.8 mV. VT = 25.8 mV = 0.0258 V. Puesto que V BE es positivo, la unión base-emisor está polarizada directamente. El voltaje en la uni ón colector -base es VCB = VCE + VEB = VCE - VBE = 6 - 0.3 = 5.7 V o VBC = -5.7V Como VCB es positivo, la unión colector -base está polarizada inversamente, y el transistor funciona en la regi ón activa. De acuerdo con la ecuación (D.8),
IEBO = αRICEO/ αF = 0.9 x 5 nA/0.99 = 4.545 nA De la ecuación (D.6), ICS = ICBO/(1 – αR αF) = 5 nA/(1 - 0.9 x 0.99) = 45.87 nA Con la ecuación (D.7), IES = IEBO/(1 – αR αF) = 4.545 nA/(1 - 0.9 X 0.99) = 41.697 nA De acuerdo con la ecuación (D.1), la corriente de polarizaci ón directa del diodo es I F
0.3 = 41.697 x10 −9 x exp − 1 ≈ 4.678mA 0.0258
De la ecuación (D.2), la corriente de polarizaci ón inversa del diodo es I R
− 5.7 = 45.87 x10 −9 x exp − 1 ≈ −45.87 nA 0.0258
Y
αRIR≈ - 0.9 x 45.87 nA = -41.28 nA
αFIF ≈ - 0.99 x 4.678 mA = 4.63 mA IE = -IF + αRIR = -4.678 X 10-3 - 41.28 x 10-6 ≈ -4.719 mA IC = αFIF - IR = 4.63 x 10-3 + 45.87 x 10-9 ≈ 4.63 mA IB = -(IE + IC) = -(-4.719 x 10-3 + 4.63 x 10-3) = 89 µA
EJEMPLO D.2
Cálculo de las corrientes para el modelo de Ebers-Moll de un transistor pnp. Los par ámetros del modelo de transistor pnp de la figura 5.2(b) son: αR= 0.9, αF = 0.99, IES≈ ICS = 45 nA, VEB = 0.4 V y VCB = 0.3 V. Calcular (a) las corrientes para la versión de inyección modelo de Ebers --Moll de la figura D.1(a) y (b)
βF = βForzada. Suponer un voltaje térmico VT = 25.8 mV. SOLUCION Para VEB = 0.4 V y VCB = 0.3 V, las uniones colector -base y emisor -base están con polarización directa. Por tanto, el transistor est á operando en la región de saturación.
(a) Para un transistor pnp, todas las polaridades de los voltajes y las direcciones
de las corrientes estar án invertidas; por tanto, las ecuaciones (D.3) y (D.4) se transforman en V EB V CB − 1 − α R I CS exp − 1 I E = I ES exp V T V T I E
0.4 0 .3 = 45 x10 −9 exp − 1 − 0.9 x 45 X 10 −9 exp − 1 25.8m 25.8m = 243.48 mA – 4.54 mA = 238.94mA
I C
V V = α F I ES exp EB − 1 + I CS exp CB − 1 V T V T
0.4 0.3 −9 I C = −0.99 x 45 x10 exp − 1 + 45 X 10 exp − 1 25.8m 25.8m −9
= -241.04 mA + 5.05 mA = -235.99 mA
= -241.04 mA + 5.05 mA = -235.99 mA
Por consiguiente, IB = -(IE + IC) = -(238.94 - 235.99) = -2.95 mA. (b) Dado que el transistor est á funcionando en la regi ón de saturación, el valor de la ganancia en corriente directa se hace menor que la corresp ondiente a la región activa. La ganancia en corriente directa se conoce como ganancia en corriente forzada βforzada: βforzada = IC/IB = 235.99 mA/2.95 mA = 80
EJEMPLO D.3
Cálculo del voltaje de saturación colector -emisor de un BJT Un transistor npn está funcionando en la región de saturación, y sus parámetros s on: αR = 0.9,
αF = 0.989 y VT = 25.8 mV. Calcular el voltaje de saturación colector -
emisor VCE(sat). SOLUCIÓN De la ecuación (5.3)
βF = αF /(1 - αF) = 0.989/(1 - 0.989) = 89.91 Se sabe que VBC =VBE + VEC = VBE - VCE En la región de saturación, V BE > 0 Y VBC > 0. Esto es, exp (VBE/VT) » 1 y
exp (VBC/VT) » 1
Utilizando las ecuaciones (D.3) y (D.5), se obtiene
I E
= − I ES e
V BE V T
≈ − I ES e
V BE V T
≈ − I ES eV
BE
V T
+ α F I ES e
+ α F I ES e 1 − α F e
V BC V T
(V BE −V CE ) V T
−V CE
V T
Pero IE + IC + IB = 0, así que -IE = (IC+ IB). Esto es, I C
+ I B = I ES e
V BE V T
1 − α F e
−V CE
V T
(D.14)
De manera similar. utilizando las ecuaciones (D.4) y (D.5), se obtiene
V EB V CB I C = α F I ES exp − 1 − I CS exp − 1 V T V T
= α F I ES e
V BE V T
1 1 − α R
e
−V CE
V T
(D.15)
Al dividir la ecuación (D.14) entre (D.15), se tiene
I C
+ I B
I C
= 1+
I B I C
=
1 − α F e
1 α F 1 − α R
V CE V T
e
−V CE
V T
que, después de la simplificación, se transforma en
V CE
I C α F 1 + (1 − α R ) I B = V T ln α α + I C (α − 1) R F I B F
(D.16)
En la región activa, la corriente de la base I B está relacionada con la comente del colector le mediante IB = IC/βF. Se considera que la región de saturación empieza en el punto en que la ganancia en corriente en condiciones de po larización directa βF
es de 90% del valor correspondiente a la regi ón activa. Esto es, βSAT =βForzada =
0.9βF e IC = 0.9IBβF. La ecuación (D.15) da el voltaje de saturaci ón colector -emisor como V CE ( sat )
= V
T
α [1 + 0.9 β (1 − α )] ln α [α + 0.9 β (α − 1)] F
R
F
F
F
R
F
Sustituyendo βF = αF /(1 - αF) en el denominador, da
V CE ( sat )
1 + 0.9 β F (1 − α R ) = V T ln α R (1 − 0.9)
(D.17)
Para VT = 0.0258 V, αR = 0.9 y βF = 89.91, se tiene
V CE ( sat )
1 + 0.9 × 89.91× (1 − 0.9 ) = 0.0258 x ln = 0.119V 0.9 × (1 − 0.9 )
+v +
Vi
RL
+v +
Vi
_
RL
Ic Rs
Rc
+
Vi _
_
Vcc
