Moisés Moisés Villena Vill ena Muñoz Muñoz
2.5.2 MODELO DE INSUMO-PRODUCTO (ENTRADA-SALIDA) DE LEONTIEF
Suponga que un sistema económico está compuesto por n industrias las cuales tiene demandas interindustriales (entre ellas se demandan para poder producir) y demanda externa (por industrias fuera del sistema). Suponga que la producción de cada industria es x , x , x , ", x Sean: a :El número de unidades que la industria 1 requiere para producir una unidad de su propia producción, es decir la demanda unitaria de la industria 1 para sí mismo; entonces: a x será la demanda total de la industria 1 sobre sí misma; es decir, el total de unidades que necesita producir la industria 1 para lograr su producción. 1
2
3
n
11
11
1
a12 :La demanda unitaria que tiene la industria 2 sobre la industria 1 o lo que es lo
mismo, lo que necesita producir la industria 1 para que se pueda producir una unidad de la industria 2, entonces: a x será el total de unidades que emplea la industria 2 de la producción de la industria 1, el número de unidades totales que la industria 2 requiere de industria 1 12
2
a13 :La demanda unitaria que tiene la industria 3 sobre la industria 1; es decir, lo que
necesita producir la industria 1 para que se pueda producir una unidad de la industria 3, entonces: a13 x3 será el total de unidades que emplea la industria 3 de la producción de la industria 1, el número de unidades totales que la industria 3 requiere de industria 1. Y a así, a1n :La demanda unitaria que tiene la industria n sobre la industria 1 o lo que es lo
mismo, lo que necesita producir la industria 1 para que se pueda producir una unidad de la industria n, entonces: a1n xn será el total de unidades que emplea la industria n de la producción de la industria 1, el número de unidades totales que la industria n requiere de industria 1. e1
:La demanda externa, lo que demandan las industrias externas de la industria 1 Suponga además que el modelo económico está en equilibrio.
Entonces, si no hay sobreproducción, para la industria 1 tenemos el siguiente planteamiento: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + " + a1n xn + e1 = x1
Haciendo lo mismo para las otras industrias, se obtendría como planteamiento el siguiente sistema: ⎧a11 x1 + a12 x2 + a13x3 + " + a1n x n + e1 = x1 ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + a 23 x3 + " + a 2 n x n + e 2 = x 2 ⎨ # ⎪ ⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + " + ann x n + en = xn
1
Moisés Villena Muñoz
El sistema anterior puede ser representado matricialmente de la siguiente manera: ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜ ⎝ an1 an 2
a13 a23
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ x2 ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ " a 2n ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ + ⎜ e2 ⎟ = ⎜ x ⎟ 3 3 "
#
an 3
"
a13
"
⎟⎜ ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ # ⎟ ann ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ en ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎝ xn ⎠
O también: ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜ ⎝ an1 an 2
a23
⎛ x1 ⎞ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ e1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ x2 ⎜ ⎟ ⎜ " a2 n ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ + ⎜ e2 ⎟ = ⎜ 0 3 #
an 3
"
⎛ x1 ⎞
0 0 " 0⎞⎜ ⎟ ⎟ x2 1 0 " 0⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ann ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ en ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎝ xn ⎠
# "
⎜x ⎟ ⎟⎜ 3 ⎟ ⎟ # 1 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ xn ⎠
Llamemos: ⎛ a11 a12 a13 " a1n ⎞ ⎜ ⎟ a21 a22 a 23 " a2 n ⎟ ⎜ Denominada MATRIZ DE TECNOLOGÍA A = ⎜ ⎟ # ⎜ ⎟ ⎝ an1 an 2 an 3 " ann ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ X = ⎜ x3 ⎟ VECTOR PRODUCCIÓN ⎜ ⎟ ⎜# ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ e2 ⎟ VECTOR de DEMANDA EXTERNA E=⎜ ⎜#⎟ ⎜ ⎟ ⎝ en ⎠
Entonces, tenemos: AX + E = I X
Agrupamos para el vector producción: ( I - A ) X = E La matriz ( I - A ) es llamada MATRIZ DE LEONTIEF. El sistema tendrá solución única sólo si ( I - A )−1 existe.
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Moisés Villena Muñoz
La economía de un país está dividida en tres sectores básicos, PESCA, AGRICULTURA y MINERÍA. Para producir un millón de dólares en pesca se requiere $300000 de la misma pesca, $10000 de la agricultura y $50000 de minería (es decir para producir una unidad monetaria de pesca se requiere 0.300 unid ades de pesca, 0.010 unidades de agricultura y 0.050 unidades de minería). Para produc ir un millón de dólares en agricult ura se requiere sólo $200000 de agricultur a y $20000 de minería. Y para produc ir un millón de dólares de minería se requiere sólo $15000 de agricultu ra y $100000 unidades de minería. Las exportaciones en miles de dólares son: PESCA 15000 AGRICULTURA 20000 MINERÍA 2000 Determine el valor en dólares de los pro ductos d e pesca, agricultur a y minería requerida para hacer funcionar este modelo Solución: Tabulando la información de la demanda interindustriales tenemos: UNIDADES NECESARIAS PARA PRODUCIR UNA UNIDAD DE:
PESCA 0.300 0.010 0.050
PESCA AGRICULTURA MINERÍA
AGRICULTURA 0 0.200 0.020
MINERÍA 0 0.015 0.100
Llamemos a: x=Miles de dólares en Pesca. y=Miles de dólares en Agricultura. z=Miles de dólares en Minería. Como el sistema está en equilibrio, es decir: Demanda Interna + Demanda Externa = Oferta(Producción)
Resulta el sistema: 0y + 0 z + 15000 = x ⎧0.300 x + ⎪ ⎨0.010 x + 0.200 y + 0.015 z + 20000 = y ⎪0.050 x + 0.020 y + 0.100 z + 2000 = z ⎩
Podemos representarlo matricialmente de la siguiente forma: 0 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 15000 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0.300 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.010 0.200 0.015 ⎟ ⎜ y ⎟ + ⎜ 20000 ⎟ = ⎜ y ⎟ ⎜ 0.050 0.020 0.100 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 2000 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Entonces la Matriz de tecnología y la Matriz de Demanda Externa serían: 0 0 ⎞ ⎛ 0.300 ⎛ 15000 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0.010 0.200 0.015 ⎟ E = 20000 ⎜ ⎟ ⎜ 0.050 0.020 0.100 ⎟ ⎜ 2000 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ El vector producción X = ⎜⎜ y ⎟⎟ estaría dado por: ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ X
= ( I - A)
−1
E
$ 21429
Al resolver se obtiene:
X
$ 25342
(miles de dólares)
$ 3976
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Moisés Villena Muñoz
Una compañía X emplea 30% de su propia producción para comprar materia prima a una compañía Y, y realizar pagos por deudas a la compañía Z. La compañía Y necesita una cantidad de materia prima d e X equivalente a 30% de la propia p roducció n de Y, y Z requiere materia prima de X equivalente a 20% de la propia pr oducción de Z. Supóngase además que X vende 5000 miles de dólares fuera de las in dustrias X, Y y Z. Las demandas interindustriales totales sobre Y y Z son como sigue: ( sobre Y )
0.30 x + 0.30 y + 0.10 z
( sobre Z )
0.40 x + 0.25 y + 0.30 z
Determine la prod ucción (en miles de dólares) de cada compañía si las demandas finales de consumo local sobr e Y y Z son d e 10000 y 3000 miles de dólares, respectivamente. Suponga que la oferta es igual a l a demanda. SOLUCIÓN: El sistema que se plantea es el siguiente: ⎧0.30 x + 0.30 y + 0.20 z + 5000 = x ⎪ ⎨0.30 x + 0.30 y + 0.10 z + 10000 = y ⎪0.40 x + 0.25 y + 0.30 z + 3000 = z ⎩
En este caso: ⎛ 0.30 0.30 0.20⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0.30 0.30 0.10⎟ ⎜ 0.40 0.25 0.30⎟ ⎝ ⎠
⎛ 5000 ⎞ ⎜ ⎟ E = 10000 ⎜ ⎟ ⎜ 3000 ⎟ ⎝ ⎠
Entonces: $ 30279
x X
y z
I
-
A
1
E=
$ 31978 $ 33008
1. La Economía de un pequeño país se divide básicamente en tres sectores: agricultura, manufactura y energía. Para producir 1000 unidades del sector agrícola son necesarias: 300 unidades de lo que produce este sector, 200 unidades de lo que produce el sector manufacturero y 600 unidades de energía. Para producir 100 unidades la industria manufacturera necesita: 40 unidades de los productos agrícolas, 40 unidades de su propia producción y 80 unidades de energía; para producir 50 unidades de energía son necesarias 6 unidades del producto agrícola, 15 unidades de lo que produce la industria manufacturera y 3 unidades de energía. Además se han exportado 10 unidades de la producción agrícola, 15 unidades de productos manufactureros y 30 unidades de energía. Determine la producción de cada sector de tal manera que la oferta sea igual a la demanda. 934.9
Resp. 1133.1 1593
2. Las demandas interindustriales y las demandas de consumo local finales sobre tres industrias x, y, z están dadas a continuación. Encuentre la producción de las industrias x, y , z si ninguna de ellas tiene sobreproducción. ( x) 0.50 x + 0.25 y + 0.30 z, 300
( y) 0.12 x + 0.70 y + 0.20 z , 360 ( z ) 0.10 x + 0.15 y + 0.10 z, 510 3269.0
Resp. 3518.5 1516.3
3. Una compañía de electrónica X utiliza petróleo, que adquiere de la compañía Y, para la calefacción en su planta y emplea electricidad, que adquiere de la compañía Z, para hacer funcionar su maquinaria. Un total de 20% de la producción de X se paga a las compañías Y y Z. Estas últimas, Y y Z requieren maquinaria de X equivalente en costo a 15% y 25% de sus propias producciones, respectivamente. También, X venden $10900 fuera de las industrias X, Y y Z. Las demandas interindustriales totales sobre Y y Z, y sus demandas finales de consumo local son como sigue:
4
Moisés Villena Muñoz (Y) 0.22X+0.30Y+0.10Z, 6160 (Z) 0.12X+0.30Y+0.05Z, 7160 Encuentre las producciones de X, Y, Z si la oferta es igual a la demanda. 22000
Resp. 18000 16000
4. La agricultura (x), la manufactura (y) y la mano de obra y capital (z) en un pequeño país están relacionados de la siguiente manera: 10% de la producción agrícola se emplea para pagar a las industrias manufactureras y para la mano de obra y capital; la manufactura y la mano de obra requieren productos agrícolas equivalentes a 30% y 22% de su propia producción, respectivamente; la agricultura vende dentro del país 359 miles de dólares ajenos a la mano de obra y capital y a la manufactura. Las demandas interindustriales totales sobre “y” y “z”, junto con sus demandas finales de consumo local (en millones de dólares), son como sigue: (y) 0.1x+0.6y +0.2z, 70 (z) 0.5x+0.1y+0.2z, 1730 Encuentre las producciones de x, y, z, en millones de dólares si la oferta es igual a la demanda. 2250.2
Resp. 2690.1 3905.1
5. La industria carbonera “x” de una ciudad emplea 20% de su ingreso para pagar deudas. La compañía de electricidad “y”gasta 10% de su ingreso en la compra de carbón , y la mano de obra “z” emplea el 30% de su ingreso en la compra de carbón. Además la industria carbonera vende 1040 millones de dólares ajenos a la mano de obra y la electricidad dentro de la ciudad. Las demandas interindustriales totales sobre la compañía de electricidad y la mano de obra junto con sus demandas finales de consumo local (en millones de dólares), son como sigue: (y) 0.21x+0.1y+0.4z, 1690 (z) 0.1x+0.3y+0.2z, 1060 Determine las producciones de x, y, z, en millones de dólares, si la oferta es igual a la demanda. 3000
Resp. 4000 3200
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