Modelo de Redes FIN A5

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERÍA ECONOMICA  ECONOMICA 

Modelos de redes  y ejercicios de  programación lineal 

n

 Min C  

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  C ij X ij  j 1 i 1

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 X ij  ai  j 1

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 X ij  b j i 1

M.Sc Sabino Edgar Mamani Choque 

Puno Perú 2016 –

 Modelos de redes

4

Prólogo En general, el alcance de los métodos cuantitativos se encontraban comprensiblemente limitados cuando éstos se resolvían manualmente o con la ayuda de calculadoras de poca capacidad. Por ejemplo, el método simplex era ineficiente para resolver problemas relativamente simples como los referidos a trasporte y asignación, por esta razón se utilizaban algoritmos específicos para resolver dichos problemas. Con la introducción de computadores personales de alta velocidad, con mayores capacidades y los programas especializados, ahora es factible que las personas tomen decisiones en base a sofisticados análisis. Una  proporción considerable de los problemas de programación matemática del mundo real se pueden representar representar y resolver resolver como modelos de redes. Así, la programación lineal se constituye en una de las herramientas más importantes cuando se trata de asignación de recursos escasos y modelos de redes. Por tales razones, este texto tiene como propósito servir de guía en la aplicación de los modelos de redes mas importantes como el cálculo de la ruta más corta, flujo máximo, flujo capacitado de costo mínimo, PERTCPM, transporte y asignación. De manera complementaria se incluye resultados mediante el software WinQSB ® que tiene aplicaciones de investigación de operaciones. Para una comprensión apropiada, se exponen ejemplos a partir de los cuales se pueden formular y resolver problemas de mayor complejidad y relacionados con casos casos reales de la región. Se asume asume además además que los lectores tienen conocimiento del algoritmo simplex e interpretación de los resultados.

 Modelos de redes

4

Prólogo En general, el alcance de los métodos cuantitativos se encontraban comprensiblemente limitados cuando éstos se resolvían manualmente o con la ayuda de calculadoras de poca capacidad. Por ejemplo, el método simplex era ineficiente para resolver problemas relativamente simples como los referidos a trasporte y asignación, por esta razón se utilizaban algoritmos específicos para resolver dichos problemas. Con la introducción de computadores personales de alta velocidad, con mayores capacidades y los programas especializados, ahora es factible que las personas tomen decisiones en base a sofisticados análisis. Una  proporción considerable de los problemas de programación matemática del mundo real se pueden representar representar y resolver resolver como modelos de redes. Así, la programación lineal se constituye en una de las herramientas más importantes cuando se trata de asignación de recursos escasos y modelos de redes. Por tales razones, este texto tiene como propósito servir de guía en la aplicación de los modelos de redes mas importantes como el cálculo de la ruta más corta, flujo máximo, flujo capacitado de costo mínimo, PERTCPM, transporte y asignación. De manera complementaria se incluye resultados mediante el software WinQSB ® que tiene aplicaciones de investigación de operaciones. Para una comprensión apropiada, se exponen ejemplos a partir de los cuales se pueden formular y resolver problemas de mayor complejidad y relacionados con casos casos reales de la región. Se asume asume además además que los lectores tienen conocimiento del algoritmo simplex e interpretación de los resultados.

 Modelos de redes

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En el capítulos 7, se incluyen un modelo de programación lineal para evaluar alternativas económicas y optimizar actividades agropecuarias, considerando que en la región de Puno esta actividad involucra a una cantidad importante de pobladores. La particularidad de este modelo es que incorpora actividades de transferencia, permitiendo que el modelo tenga mayor versatilidad para evaluar la importancia específica de algunos recursos. Finalmente, en el capítulo 8 se incluye una compilación de ejercicios de  programación lineal de diferentes autores: Hamdy Taha, T aha, Kamlesh Mathur y Daniel Solow, Jorge Alvarez y, Bonini Charles, Hausman Warren y Bierman Harold. La secuencia del texto tiene el propósito de que los lectores tengan una mejor aproximación a los problemas reales, y consecuentemente contribuya a tomar mejores decisiones, a partir de la exposición de modelos de programación lineal continuo, entero y binario.

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 Modelos de redes

Modelo de redes Los avances en Investigación de Operaciones están relacionados con la metodología y aplicación de modelos de optimización optimización de redes. Existen diferentes algoritmos especiales que los resuelven y software para ordenadores personales que permiten el uso de modo rutinario para resolver  problemas considerablemente considerablemente grandes. Los modelos de redes surgen y son aplicables en una gran variedad de situaciones. Se usa en áreas muy muy diversas como producción, producción, distribución, distribución,  planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos, planeación financiera, redes de transporte, eléctricas y comunicaciones, entre entre otras. Esto se debe a que la representación representación de redes  proporciona un panorama general muy importante, además es una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes de los sistemas que se usan en diversas áreas científicas, sociales y económicas (Hillier, F.S. y Lieberman, G.I., 1997). Una amplia variedad de temas relacionados con Investigación de Operaciones se pueden modelar y resolver como redes 1. Se estima que el 70% de los problemas de programación matemática en el mundo real se  pueden representar como modelo de redes y constituyen problemas especiales de Programación Lineal. (Taha, H. 2004). En este texto, se muestra la aplicación de seis tipos de modelos de redes: ruta mas corta, flujo máximo, red capacitada de costo mínimo, PERT 2-

1

Es una serie de nodos conectados con arcos o ramas.

2 Técnica de evaluación y revisión de proyectos.

 Modelos de redes

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CPM3, transporte y asignación. asignación. La metodología metodología consiste en representar los  problemas como modelo de redes, luego se formalizan como modelos de  programación lineal, y finalmente se resuelven usando el software WinQSB . Como material complementario, se incluye una compilación de ejercicios de  programación lineal y un modelo de optimización de actividades agrícolas como aplicación de la programación lineal a casos reales, elaborado por el autor, cuya particularidad es el uso de actividades de transferencia.

3  Método de la ruta crítica

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 Modelos de redes

1 Modelo de la ruta mas corta En una red de distancias (tiempo o costo), permite encontrar la ruta mas corta (menor tiempo o costo) que va desde un nodo definido como fuente, hasta cualquier otro nodo nodo definido como destino. Considera arcos sin sin orientación permitiendo permitiendo flujo flujo en cualquier cualquier sentido; y arcos con orientación orientación que especifica la dirección del flujo. El modelo asume que entra a la red una unidad externa de flujo en el nodo s (definido como fuente) y sale en el nodo t (definido como destino); entre estos nodos se debe buscar la ruta mas corta. Entonces, sea: Xij : Cantidad de flujo en el arco (i,,j), para toda i y j factibles Cij : Longitud del arco (i,,j) para toda i y j factibles. La variable Xij asume solo valores binarios (0 ó 1), puesto que hay solo una unidad de flujo en algún arco en cualquier momento; mientras que C ij representa distancias, tiempo o costo. Por tanto la Función Objetivo es: Minimizar  Z    C ij X ij Todos los arcos definidos (i,j) Bajo la restricción de que que se debe conservar el flujo flujo en cada nodo. Es decir, en cualquier nodo j debe cumplirse:  Flujo total que entra = Flujo Flujo total que sale

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 Modelos de redes

Ejercicio 1

Determinar la ruta mas corta entre el nodo 1 y todos los demás nodos en la red de la siguiente figura; el valor en los arcos representan distancias en km. (Ejercicio propuesto en “Investigación de Operaciones”, Hamdy A. Taha, 2004)

a) Ruta mas Corta entre los nodos 1 y 7

En base al problema, la figura anterior muestra un flujo unitario que entra en el nodo 1 ( fuente, s=1) y sale en el nodo 7 ( destino, t=7). Puesto que Cij  se define como la longitud del arco (i,,j), las distancias de cada arco constituyen los coeficiente de la función objetivo, mientras que los arcos factibles representan las variables de decisión. Por ejemplo, en el nodo 1 (fuente), ingresa una unidad de flujo y sale el flujo representado por los arcos (1,2) y (1,3): 1 = X12 + X13

ó

- X12 - X13 = -1

En el nodo 2, el flujo total que entra, está representado por los arcos (1,2), (3,2) y (6,2), y el flujo que sale esta dado por los arcos (2,4), (2,5) y (2,6),  por tanto la restricción se define como: X12 + X32 + X62 = X24 + X25 + X26

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 Modelos de redes

X12 + X32 + X62 - X24 - X25 - X26 = 0  Nótese que no aparece X14, X15, X16 y X17 porque no existen tales arcos. Bajo las consideraciones señaladas anteriormente, el modelo de  programación lineal es el siguiente:  Función Objetivo

Minimizar Z = 5X 12 + X13 + 7X24 + X25 + 6X26 + 2X32 + 6X34 + 7X35 + 7X43 + 4X46 + 6X47 + 3X54 + 5X56 + 9X57 + 7X62 + 2X67  Restricciones

 Nodo 1.  Nodo 2.  Nodo 3.  Nodo 4.  Nodo 5.  Nodo 6.  Nodo 7.

1 = X12 + X13 X12 + X32 + X62 = X24 + X25 + X26 X13 + X43 = X32 + X34 + X35 X24 + X34 + X54 = X43 + X46 + X47 X25 + X35 = X54 + X56 + X57 X26 + X46 + X56 = X62 + X67 X47 + X57 + X67 = 1

Reordenando las restricciones se tiene: Variables de decisión  Nodo 1. - X12 - X13  Nodo 2. X12 + X32 + X62 - X24 - X25 - X26  Nodo 3. X13 + X43 - X32 - X34 - X35  Nodo 4. X24 + X34 + X54 - X43 - X46 - X47  Nodo 5. X25 + X35 - X54 - X56 - X57  Nodo 6. X26 + X46 + X56 - X62 - X67  Nodo 7. X47 + X57 + X67

Lado derecho (RHS) = -1 =0 =0 =0 =0 =0 =1

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 Modelos de redes

En forma tabular, el modelo de programación lineal queda expresado de la siguiente forma: X12

X13

X24

X25

X26

X32

X34

X35

X43

X46

X47

X54

X56

X57

X62

X67

5

1

7

1

6

2

6

7

7

4

6

3

5

9

7

2

-1 1

-1

F.O.

Sujeto a: -1

-1

-1

1 1 1

1 -1

1 -1 1

-1

1 -1

-1

-1

1 1

1 1

 Modelos de redes

Solución con WinQSB

1 -1

-1 1

-1 -1 1

= = = = = -1 = 1=

12

-1

0 0 0 0 0 1

 Modelos de redes

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Solución con WinQSB

La ruta mas corta entre los nodos 1 y 7 es de 11.00 km. ( Función objetivo ), y corresponde a la ruta 1  3, 3  2, 2  6, y 6  7 (X 13 , X 32 , X 26  , X 67  aparecen en la solución óptima). b). Ruta mas Corta entre los nodos 1 y 6.

 Nodo fuente 1 (s=1) y nodo destino 6 (t=6). Por lo tanto, se modifica el flujo en los nodos 6 y 7, el primero pasa a ser el nuevo nodo destino y el segundo deja de ser nodo destino, entonces:  Nodo 6. X26 + X46 + X56 = X62 + X67 + 1 X26 + X46 + X56 - X62 - X67 = 1  Nodo 7. X47 + X57 + X67 = 0

 Modelos de redes

En forma gráfica:

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 Modelos de redes

En forma tabular: X12 F.O.

X13

X24

5

1

-1 1

-1

X25 7

X26 1

X32 6

X34 2

X35 6

X43 7

X46 7

X47 4

X54 6

X56 3

X57 5

X62 9

X67 7

2

Sujeto a: -1

-1

-1

1 1 1

1 -1

1 -1 1

-1

1 -1

-1

-1

1 1

1 1

 Modelos de redes

Solución con WinQSB

1 -1

-1 1

-1 -1 1

= = = = = -1 = 1=

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-1

0 0 0 0 1

0

 Modelos de redes

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Solución con WinQSB

La ruta mas corta entre los nodos 1 y 6 es de 9.00 km. ( Función objetivo); corresponde a la ruta 1  3, 3  2, y 2  6. (X 13 , X 32 , X 26  , aparecen en la  solución óptima).

Siguiendo el mismo criterio es posible calcular la ruta mas corta desde el nodo 1 hacia el resto de nodos, incluso es posible definir otro nodo como fuente. Cambio de nodo fuente y destino  ( Ruta mas Corta entre los nodos 3 y 6 )

Cuando se cambia el nodo fuente y destino varía cuatro restricciones, vale decir los nodos que inicialmente fueron fuente y destino, y los que se definen como nuevos nodos fuente y destino. En el ejemplo, dejan de ser nodo fuente y destino 1 y 7, en su lugar se definen los nodos 3 y 6 como fuente y destino (s=3, t=6). Es decir:  Nodo 1 0 = X12 + X13 - X12 - X13 = 0

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 Modelos de redes

 Nodo 7 X47 + X57 + X67 = 0  Nodo 3 1 + X13 + X43 = X32 + X34 + X35 X13 + X43 - X32 - X34 - X35 = -1  Nodo 6. X26 + X46 + X56 = X62 + X67 + 1 X26 + X46 + X56 - X62 - X67 = 1 En términos prácticos, solamente cambia la ubicación de  – 1 y 1  (lado derecho de las restricciones) que representan los nodos fuente y destino respectivamente. De este modo es posible calcular la ruta mas corta desde cualquier nodo definido como fuente hasta cualquier otro definido como destino. Representación gráfica: ruta mas corta entre los nodos 3 y 6.

 Nodo 1.  Nodo 2.  Nodo 3.  Nodo 4.  Nodo 5.  Nodo 6.  Nodo 7.

- X12 - X13 X12 + X32 + X62 - X24 - X25 - X26 X13 + X43 - X32 - X34 - X35 X24 + X34 + X54 - X43 - X46 - X47 X25 + X35 - X54 - X56 - X57 X26 + X46 + X56 - X62 - X67 X47 + X57 + X67

=0 =0 = -1 =0 =0 =1 =0

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 Modelos de redes

En forma tabular: X12 F.O. 5 Sujeto a: -1 1

X13

X24 1

X25 7

X26 1

X32 6

X34 2

X35 6

X43 7

X46 7

X47 4

X54 6

X56 3

X57 5

X62 9

X67 7

-1 -1

-1

-1

1 1 1

1 -1

1 -1 1

-1

1 -1

-1

-1

1 1

1 1

 Modelos de redes

Solución con WinQSB

1 -1

-1 1

-1 -1 1

2 = = = = = -1 = 1=

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0 0 -1

0 0 1

0

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 Modelos de redes

Solución con WinQSB

La ruta mas corta es de 8.00 km. ( Función objetivo ); corresponde a la ruta 3  2, y 2  6 (X 32 , X 26  , aparecen en la solución óptima). Rutas obligatorias

Un modelo de programación lineal, permite también calcular la ruta mas corta entre dos nodos bajo la condición de alguna(s) ruta(s) obligatoria(s). Por ejemplo, la ruta mas corta entre los nodos 1 y 7 es de 11.00 km., siguiendo la trayectoria de los arcos 1  3, 3  2, 2  6, y 6  7. Sin embargo, por alguna razón puede ser necesario pasar por el arco (2,5) en forma obligatoria, en este caso se debe incluir una nueva restricción: X25 = 1 Alternativamente, WinQSB permite especificar como cota mínima igual 1 (Lower bound) en la variable X 25; en cualquier caso la solución óptima es el mismo.

 Modelos de redes

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Solución con WinQSB

Coincidentemente, la ruta mas corta sigue siendo 11.00 km. pero esta vez incluye el arco obligatorio (2,5); la ruta a seguir es: 1  3, 3  2, 2  5, 5  6, y 6  7. Ejercicio 2

Hallar el tiempo mas corto entre el nodo 1 (fuente, s=1) y el nodo 12 (destino, t=12), a través de la red que se muestra en la siguiente figura, considerando que los números sobre los arcos representan tiempo en horas (adaptado de “ Investigación de Operaciones”, Richard Bronson, 1,983 ). La particularidad de este problema es que los arcos no están orientados,  permitiendo un flujo en ambos sentidos, con una misma capacidad en los arcos. En otros casos se debe especificar si la capacidad de un arco es diferente para uno y otro sentido. Entonces, bajo las condiciones del problema, el flujo en el nodo 1 es: 1 = X12 + X13 + X14 + X16

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 Modelos de redes

- X12 - X13 - X14 - X16 = -1 En el nodo 2 X12 + X52 + X62 + X72 = X21 + X25 + X26 + X27 X12 + X52 + X62 + X72 - X21 - X25 - X26 - X27 = 0  Flujo total que entra = Flujo total que sale

Formulación del modelo

 Función Objetivo

Minimizar Z = 10X 12 + 8X13 + 8X14 + 15X16 + 10X21 + 6X25 + X26 + 10X27 + 8X31 + 11X34 + 8X36 + 13X39 + 8X41 + 11X43 + 7X47 + 6X52 + 7X57 + 8X59 + 15X61 + X62 + 8X63 + 4X67 + 9X6,10 + 14X6,11 + 10X72 + 7X74 + 7X75 + 4X76 + 3X78 + 6X7,10 + 3X87 + 5X89 + 9X8,10 + 6X8,11 + 13X93 + 8X95 + 5X98 + 11X9,11 + 9X10,6 + 6X10,7 + 9X10,8 + 15X10,12 + 14X11,6 + 6X11,8 + X11,12 + 11X12,9 + 15X12,10 + X12,11

 Modelos de redes

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 Restricciones

 Nodo 1. 1 + X21 + X31 + X41 + X61 = X12 + X13 + X14 + X16  Nodo 2. X12 + X52 + X62 + X72 = X21 + X25 + X26 + X27  Nodo 3. X13 + X43 + X63 + X93 = X31 + X34 + X36 + X39  Nodo 4. X14 + X34 + X74 = X41 + X43 + X47  Nodo 5. X25 + X75 + X95 = X52 + X57 + X59  Nodo 6. X16 + X26 + X36 + X 76 + X10,6 + X11,6 = X61 + X62 + X63 + X67 + X6,10 + X6,11  Nodo 7. X27 + X47 + X57 + X67 + X87 + X10,7 = X72 + X74 + X75 + X76 + X78 + X7,10  Nodo 8. X78 + X98 + X10,8 + X11,8 = X87 + X89 + X8,10 + X8,11  Nodo 9. X39 + X59 + X89 + X12,9 = X93 + X95 + X98 + X9,12  Nodo 10. X6,10 + X7,10 + X8,10 + X12,10 = X10,6 + X10,7 + X10,8 + X10,12  Nodo 11. X6,11 + X8,11 + X12,11 = X11,6 + X11,8 + X11,12  Nodo 12. X10,12 + X11,12 + X9,12 = 1 Reordenando: 1 + X21 + X31 + X41 + X61 - X12 - X13 - X14 - X16 = -1 X12 + X52 + X62 + X72 - X21 - X25 - X26 - X27 =0 X13 + X43 + X63 + X93 - X31 - X34 - X36 - X39 =0 X14 + X34 + X74 - X41 - X43 - X47 =0 X25 + X75 + X95 - X52 - X57 - X59 =0 X16 + X26 + X36 + X76 + X10,6 + X11,6 - X61 - X62 - X63 - X67 - X6,10 - X6,11 = 0 X27 + X47 + X57 + X67 + X87 + X10,7 - X72 - X74 - X75 - X76 - X78 - X7,10= 0 X78 + X98 + X10,8 + X11,8 - X87 - X89 - X8,10 - X8,11 =0 X39 + X59 + X89 + X12,9 - X93 - X95 - X98 - X9,12 =0 X6,10 + X7,10 + X8,10 + X12,10 - X10,6 - X10,7 - X10,8 - X10,12 =0 X6,11 + X8,11 + X12,11 - X11,6 - X11,8 - X11,12 =0 X10,12 + X11,12 + X9,12 =1

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 Modelos de redes

Solución con WinQSB Decision Variable

Solution Value

Unit Cost or Profit C(j)

Total Reduced Contribution Cost

X12 X13 X14 X16 X21 X25 X26 X27 X31 X34 X36 X39 X41 X43 X47 X52 X57 X59 X61 X62 X63 X67 X6,10 X6,11 X72 X74 X75 X76 X78 X7,10 X87 X89 X8,10 X8,11 X93 X95 X98 X9,12 X10,6 X10,7 X10,8 X10,12 X11,6 X11,8 X11,12 X12,9 X12,10 X12,11

0 0 1.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0

10.00 8.00 8.00 15.00 10.00 6.00 1.00 10.00 8.00 11.00 8.00 13.00 8.00 11.00 7.00 6.00 7.00 8.00 15.00 1.00 8.00 4.00 9.00 14.00 10.00 7.00 7.00 4.00 3.00 6.00 3.00 5.00 9.00 6.00 13.00 8.00 5.00 11.00 9.00 6.00 9.00 15.00 14.00 6.00 1.00 11.00 15.00 1.00

0 0 8.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.00 0 0 0 0 6.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0

Objective Function (Min.) =

25.00

0 0 0 4.00 20.00 0 0 5.00 16.00 11.00 5.00 0 16.00 11.00 0 12.00 8.00 3.00 26.00 2.00 11.00 0 0 1.00 15.00 14.00 6.00 8.00 0 1.00 6.00 2.00 7.00 0 26.00 13.00 8.00 7.00 18.00 11.00 11.00 10.00 27.00 12.00 0 -10.00 -5.00 -23.00

Basis Status basic basic basic at bound at bound basic basic at bound at bound at bound at bound basic at bound at bound basic at bound at bound at bound at bound at bound at bound at bound basic at bound at bound at bound at bound at bound basic at bound at bound at bound at bound basic at bound at bound at bound at bound at bound at bound at bound at bound at bound at bound basic at bound at bound at bound

 Modelos de redes

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El tiempo mas corto entre los nodos 1 y 12 es de 25.00 hr. ( Función objetivo), que se alcanza uniendo los nodos 1  4, 4  7, 7   8, 8  11 y 11  12 (X 14 , X 47  , X 78 , X 8,11 y X 11,12 los mismos que aparecen en la solución óptima).

Siguiendo los mismos pasos del ejercicio 1, se puede calcular los tiempos mas cortos entre cualquier nodo definido como fuente hasta cualquier otro definido como destino. También se pueden definir rutas obligatorias expresándolos como nuevas restricciones.

 Modelos de redes

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2 Modelo de red de flujo máximo Estos modelos permiten obtener la máxima cantidad de flujo total que  puede circular a través de la red en una unidad de tiempo, considerando un solo nodo definido como fuente y un solo nodo definido como destino, además de las restricciones de capacidad en cada arco. Sea: Xij : Cantidad de flujo en el arco (i,j), para toda i y j factibles Cij : Capacidad del arco (i,j) para toda i y j factibles. s : Nodo inicial t : Nodo final El objetivo es determinar el flujo máximo en la red en una unidad de tiempo. El conjunto de restricciones esta representado por los nodos de la red, donde se conserva el flujo de entrada y salida ( Flujo total que entra =  Flujo total que sale), excepto en los nodos inicial y final. La función objetivo es maximizar el flujo total que sale del nodo inicial (s), o el flujo total que entra al nodo final (t). Ejemplo

Determinar el flujo máximo para la red que se muestra en la siguiente figura. Suponga que la red corresponde a un desvío del tráfico, donde s=1 indica el inicio de la desviación y el nodo 10 (t=10) el punto en cual el tráfico desviado ingresa nuevamente a la vía. En los arcos correspondientes, se muestran las capacidades de cada arco. Por ejemplo, el arco (1,7) tiene una capacidad de 10,000 vehículos por hora en dirección 1  7, y de 7  1 la capacidad es 0, es decir hay flujo en un solo sentido. En cambio la capacidad del arco (7,8) es de 15,000 vehículos por hora en

 Modelos de redes

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ambos sentidos (adaptado de “Investigación de Operaciones” de Richard  Bronson, 1983).

Formulación del Modelo

 Función Objetivo

a. Flujo total que sale del nodo inicial (s) representado por los arcos (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8) y (1,9). Maximizar Z1 = X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X19 ó  b. Flujo total que entra en el nodo final (t): arcos (6,10), (8,10) y (9,10) Maximizar Z2 = X6,10 + X8,10 + X9,10  Restricciones

 Nodo 2. X42 = X24 + X34  Nodo 3. X23 + X53 + X83 = X38  Nodo 4. X14 + X24 + X54 = X42 + X45  Nodo 5. X15 + X45 + X65 = X53 + X54 + X56  Nodo 6. X16 + X56 + X86 + X10,6 = X65 + X6,10  Nodo 7. X17 + X87 = X78  Nodo 8. X18 + X38 + X78 + X98 + X10,8 = X83 + X86 + X87 + X89 + X8,10  Nodo 9. X19 + X89 = X98 + X9,10

 Modelos de redes

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Reordenando: X42 - X24 + X34 =0 X23 + X53 + X83 - X38 =0 X14 + X24 + X54 - X42 - X45 =0 X15 + X45 + X65 - X53 - X54 - X56 =0 X16 + X56 + X86 + X10,6 - X65 - X6,10 =0 X17 + X87 - X78 =0 X18 + X38 + X78 + X98 + X10,8 - X83 - X86 - X87 - X89 - X8,10 = 0 X19 + X89 - X98 - X9,10 =0 Las capacidades de flujo en cada arco se expresan como: X14 ≤ 15 X54 ≤ 10 X15 ≤ 30 X56 ≤ 20 X16 ≤ 10 X65 ≤ 20 X17 ≤ 10 X6,10 ≤ 20 X18 ≤ 40 X78 ≤ 15 X19 ≤ 30 X83 ≤ 30 X23 ≤ 8 X86 ≤ 20 X24 ≤ 10 X87 ≤ 15 X38 ≤ 30 X89 ≤ 30 X42 ≤ 10 X8,10 ≤ 70 X45 ≤ 10 X98 ≤ 30 X53 ≤ 15 X9,10 ≤ 50 Para simplificar la solución del problema, éste conjunto de restricciones, referidos a capacidad máxima de cada arco, se puede ingresar en la fila correspondiente a Upper Bound del software WinQSB, debajo de cada variable.

 Modelos de redes

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Solución en WinQSB

El flujo máximo que sale del nodo 1 (inicio de desviación) o que entra en el nodo 10 (re-ingreso a la vía) es de 123,000 vehículos por hora. El plan óptimo del uso de vías es el siguiente: a) vías (arcos) que se utilizan en toda su capacidad: (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,3), (5,3), (8,10), (6,10); b) vías que no se utilizan en toda su capacidad: (1,5), (1,4), (4,2), (3,8), (7,8), (5,6), (8,9) y (9,10). Por ejemplo, la capacidad del arco (1,5) es de 30,000 vehículos por hora. Sin embargo, el plan óptimo indica que deben transitar solamente 25,000 vehículos por hora; c) finalmente, existe dos vías que no se utilizan: (4,5) y (8,6).

 Modelos de redes

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 Nótese que además existen otras variables de decisión cuyo valor son iguales a cero, por ejemplo los arcos (2,4), (6,5), (8,3), (8,7) y otros, que son vías con determinadas capacidades pero en sentido contrario, es decir de retorno. En otros casos, es posible que estos valores sean diferentes de cero,  puesto que podrían ser utilizadas para descongestionar otras rutas que  permitan alcanzar el flujo máximo. Al optimizar el modelo utilizando la segunda función objetivo (Max. Z 2 = X6,10 + X8,10 + X9,10), es decir maximizando el flujo total que ingresa en el nodo destino, se obtiene el mismo resultado tal como se observa en el siguiente cuadro de salida de WinQSB.

 Modelos de redes

Solución en WinQSB

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 Modelos de redes

3 Flujo capacitado de costo mínimo Un modelo de costo mínimo, brinda una solución eficiente considerando un flujo a través de una red con capacidades limitadas en sus arcos, considera un costo para el flujo en cada arco, y el flujo desde varios orígenes (fuente) hasta varios destinos (demanda). En una red G = (N, A), donde:  N : es el conjunto de nodos A : el conjunto de arcos, y Xij : Cantidad de flujo del nodo i al nodo j Cij : Costo del flujo unitario del nodo i al nodo j  bij / aij : Capacidad máxima y mínima del arco (i,j) f i : Flujo neto en el nodo i El nodo j constituye fuente si f  j > 0 y como destino si f  j < 0.

[ f i] i

C ij (S/.)

(aij, bij)

[ f  j] j

Máx., Mín.

Xij Ejemplo

Una empresa abastece de un insumo a tres plantas procesadoras de alimentos desde tres centros de producción. Las cantidades de insumo disponible en cada centro de producción son de 150, 250 y 100 TM, respectivamente (nodos 1, 2 y 3). La empresa utiliza principalmente

 Modelos de redes

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camiones de carga para transportar el insumo y prácticamente no existe restricciones de capacidad de transporte, excepto en las rutas que unen los nodos 13, 14, 35 y 47 donde existe una sola empresa de transporte que impone capacidades mínimas y máximas que se muestran en los arcos correspondientes. La demanda de las plantas procesadoras son de 60, 90 y 350, respectivamente (nodos 4, 6 y 7). El nodo 5 es un canal de distribución que permite el abastecimiento a las plantas procesadoras. Finalmente, los costos de transporte se indican en cada arco de la siguiente figura.

El problema consiste en calcular las cantidades que se debe enviar por la red de distribución, de modo que satisfaga la demanda de las plantas de  procesamiento, la capacidad de producción del insumo en cada centro de  producción, las capacidades máximas y mínimas de transporte, y un costo de transporte que debe ser mínimo. Formulación del Modelo

 Función Objetivo

Minimiza el costo de envío del insumo hacia las plantas procesadoras, dado que cada arco esta asociado con un costo por el flujo unitario.

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 Modelos de redes n

n

Minimizar C    C ij Xij i 1  j 1

Minimizar C = 2X12 + 4X13 + 5X14 + 3X26 + 2X34 + 4X35 + 5X36 + 4X47 + 3X54 + X56 + 7X57 + 5X67  Restricciones.

 X  ji  X ij  f   j es decir, (Flujo total que sale del nodo j) –  (Flujo total que entra en el nodo j) = Flujo neto

 Nodo 1. X12 + X13 + X14 = 150  Nodo 2. X26 - X12 = 250  Nodo 3. X34 + X35 + X36 - X13 = 100  Nodo 4. X47 - X14 - X34 - X54 = -60  Nodo 5. X54 + X56 + X57 - X35 = 0  Nodo 6. X67 - X26 - X36 - X56 = -90  Nodo 7. -X47 - X57 - X67 = -350

Planta de producción 1 Planta de producción 2 Planta de producción 3 Planta de procesamiento 1 Canal de distribución Planta de procesamiento 2 Planta de procesamiento 3

Restricciones de capacidades mínimas y máximas: X13  20 X13  60 X14  30 X14  80 X35  20

X35  50 X47  10 X47  80 Xij  0

Las restricciones de capacidad se pueden expresar como restricciones adicionales o incluirlos como valores de cotas mínimas y máximas en WinQSB (Lower Bound y Upper Bound). En cualquier caso, el resultado es el mismo.

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 Modelos de redes

Modelo de Programación Lineal en forma tabular.

F.O. Sujeto a:

X12 2 1 -1

X13 4 1

X14 5

X26 3

X34 2

X35 4

X36 5

X47 X54 X56 X57 X67 4 3 1 7 5

1 1

-1

1 -1

-1

1

1 1

-1 -1 Mín Máx

0 

20 60

30 80

 Modelos de redes

-1 1

-1

0

0





20 50

0 

-1 10 80

1 -1

1

0

0

-1 0







= = = = = 1 = -1 = 0 

RHS 150 250 100 -60 0 -90 -350

34

Solución con Win QSB

El costo total (mínimo) de envío de los insumos hacia las plantas  procesadoras es de 3,450 u.m. (Función Objetivo). Para interpretar las

 Modelos de redes

34

Solución con Win QSB

El costo total (mínimo) de envío de los insumos hacia las plantas  procesadoras es de 3,450 u.m. (Función Objetivo). Para interpretar las variables de decisión, considere que los nodos 4, 6 y 7 representan a la 1ra., 2da. y 3ra. planta de procesamiento. El plan de envíos es el siguiente: De la planta de producción 1 a la planta de producción 2, se debe enviar 90 TM (X12=90); este envío cuesta 180 u.m. dado que el costo de transporte es de 2 u.m. /TM. La interpretación del resto de variables es similar. X13  = 20; de la planta de producción 1 a la planta de producción 3 debe enviarse 20 TM X14  = 40; de la planta de producción 1 a la 1ra. planta de procesamiento debe enviarse 40 TM. X26 = 340; de la planta de producción 2 a la 2da. planta de procesamiento debe enviarse 340 TM. X34 = 100; de la planta de producción 3 a la 1ra. planta de procesamiento debe enviarse 100 TM. X35  = 20 ; de la planta de producción 3 al canal de distribución debe enviarse 20 TM.

 Modelos de redes

35

X47 = 80 ; de la 1ra. planta de procesamiento hacia la 3ra. debe enviarse 80 TM. X56 = 20 ; desde el canal de distribución a la 2da. planta de procesamiento debe enviarse 20 TM. X67 = 270; de la 2da. planta de procesamiento hacia la 3ra. debe enviarse 270 TM. Estos valores satisfacen las condiciones de capacidad de las plantas de  producción del insumo, demanda de las plantas de procesamiento, capacidades máxima y mínima de transporte y costo mínimo.

 Modelos de redes

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4 PERT  –  CPM PERT (program evaluation and review technique o técnica de evaluación y revisión de programas) y CPM (critical path method o método de la ruta crítica) están basados en los modelos de redes y constituyen herramientas de gran importancia en la planeación, programación y control de proyectos de inversión4, puesto que son métodos analíticos para programar actividades. Intercambio Tiempo-Costo

En muchos casos, el tiempo de ejecución de un proyecto calculado a partir del algoritmo de ruta crítica (CPM), puede no ser el mas apropiado, siendo necesario reducir el tiempo de ejecución de las actividades críticas incrementando el número de trabajadores, nuevos turnos de trabajo, uso mas intensivo de maquinaria, etc. Es decir, el tiempo de ejecución de las actividades se puede reducir a costa de incremento en el costo y dentro de ciertos límites. En este documento de trabajo se muestra una metodología que permite realizar el análisis Tiempo-Costo de manera ágil y sencilla a partir de un modelo de programación lineal.

4 Un

proyecto es un conjunto de actividades interrelacionadas, donde cada actividad requiere tiempo y recursos para su ejecución (H. Taha; 2004).

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 Modelos de redes

Ejemplo

Considere el siguiente ejercicio Actividades A B C D E F G H I J K L

Predecesoras Inmediatas A A C D B B E F,G I,J G,H

Tiempo (en días) 5 6 9 10 4 12 10 7 7 15 9 9

En forma de diagrama de red se tiene lo siguiente:

De acuerdo con el algoritmo de ruta crítica (CPM), el tiempo de ejecución del proyecto es de 51 días y la ruta crítica es A  –  D  –  F  –  J –  K. Si alguna de estas actividades sufre un retraso en su ejecución, dará lugar a un retraso en el tiempo de ejecución del proyecto en conjunto. En cambio, una reducción de tiempo en las actividades de la ruta crítica permitirá reducir el tiempo de ejecución del proyecto en conjunto.

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 Modelos de redes

Solución con Win QSB

Para reducir el tiempo de ejecución del proyecto se plantea el siguiente  programa de reducción de tiempos o programa de choque: Acti- Tiempo Tiempo de Reducción vidad  Normal choque máxima A 5 4 1 B 6 3 3 C 9 7 2 D 10 7 3 E 4 2 2 F 12 9 3 G 10 8 2 H 7 5 2 I 7 4 3 J 15 11 4 K 9 6 3 L 9 8 1

Costo  Normal 12,500 6,000 8,700 10,500 9,000 15,000 16,000 8,500 5,500 9,500 16,000 6,000

Costo de choque 15,000 10,500 12,200 16,200 11,500 18,000 20,000 12,200 8,200 15,200 18,400 9,500

Costo  por día 2,500 1,500 1,750 1,900 1,250 1,000 2,000 1,850 900 1,425 800 3,500

Los costos por unidad de tiempo (última columna del cuadro anterior), se calculan de la siguiente forma: Costo por día = (Costo del tiempo de choque)  –  (Costo de tiempo normal) (tiempo normal)  –  (Tiempo de choque)

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 Modelos de redes

 Ejemplo:

Costo por día (Actividad A) =

15,000  12,500 54

 2,500

Formulación del modelo de programación lineal Variables de Decisión

Las variables de decisión están conformadas por la reducción de los tiempos de culminación de cada actividad hasta el límite permitido por el programa de reducción de tiempos. En consecuencia, para la actividad A, el tiempo de conclusión será 5  –  YA, es decir, el tiempo normal menos el tiempo de reducción YA, que en este caso permite una reducción de 1 unidad de tiempo, pero no se sabe que valor tomará Y A. Por tanto, se definen las siguientes variables: YA : Número de días en las que se reduce la actividad A YB : Número de días en las que se reduce la actividad B ... YL : Número de días en las que se reduce la actividad L Función Objetivo

Minimiza el costo de cada actividad, por unidad de tiempo que se utilice. Min Z = 2500YA  + 1500YB  + 1750YC  + 1900YD  + 1250YE  + 1000YF + 2000YG + 1850YH + 900YI + 1425YJ + 800YK  + 3500YL Restricciones

a.

Tiempo máximo en el que se puede reducir el tiempo de cada actividad 0  YA  1 0  YB  3 0  YC  2 0  YD 3 0  YE  2 0  YF  3

(Límite de la actividad A) (Límite de la actividad B) (Límite de la actividad C) (Límite de la actividad D) (Límite de la actividad E) (Límite de la actividad F)

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 Modelos de redes

0  YG  2 0  YH  2 0  YI  3 0  YJ  4 0  YK   3 0  YL  1

(Límite de la actividad G) (Límite de la actividad H) (Límite de la actividad I) (Límite de la actividad J) (Límite de la actividad K) (Límite de la actividad L)

Variables de reducción de tiempos en el diagrama de red.

 b. Tiempo de inicio y tiempo meta En forma convencional, el tiempo de inicio (nodo 1) es igual a cero, mientras que el tiempo meta es un valor fijado como tiempo apropiado para la culminación del proyecto ( inferior al tiempo de ejecución calculado mediante CPM ), en este caso: X1 = 0 X11  50 c.

(inicio) (Tiempo meta)

Restricciones de tiempo para cada nodo de la red

Se agrega un nuevo conjunto de variables para el tiempo de ejecución de las actividades, de la siguiente forma: X2  : Tiempo en el que todas las actividades que salen del nodo 2 pueden comenzar

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 Modelos de redes

... X10 : Tiempo en el que todas las actividades que salen del nodo 10 pueden comenzar.

d. Tiempo en cada nodo en función de las actividades predecesoras Estas restricciones muestran que cada actividad puede comenzar sólo después de que las actividades predecesoras inmediatas hayan concluido. Las actividades C y D pueden comenzar sólo cuando se haya concluido la actividad A. Las actividades G y H pueden comenzar sólo después de que la actividad B haya concluido. En consecuencia, la restricción del nodo 2 será igual a: Tiempo de inicio de las actividades que salen del nodo 2   tiempo de culminación de todas las actividades que entran al nodo 2, es decir: Tiempo de inicio de las actividades C, D   tiempo de culminación de la actividad A. Tiempo de inicio de las actividades C, D  (tiempo de inicio de la actividad A) + (tiempo reducido de la actividad A).  Nodo 2:

X2  X1 + (5 –  YA)

Actividad A

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 Modelos de redes

Siguiendo el mismo criterio para el resto de nodos, las restricciones se completan de la siguiente forma:  Nodo 3:

X3  X1 + (6 –  YB)

Actividad B

 Nodo 4:

X4  X2 + (5 –  YC)

Actividad C

 Nodo 5:

X5  X2 + (10 –  YD)

Actividad D

 Nodo 6:

X6  X4 + (4 –  YE)

Actividad E

 Nodo 7: A este nodo ingresan dos arcos, indicando que la actividad J puede

comenzar sólo después que se hayan concluido las actividades F y G, por tanto, da lugar a dos restricciones. X7  X5 + (12 –  YF) Actividad F X7  X8 + 0 Actividad ficticia  Nodo 8:

X8  X3 + (10 –  YG)

Actividad G

 Nodo 9. (dos arcos ingresan a este nodo)

X9  X3 + (7 –  YH) Actividad H X9  X8 + 0 Actividad ficticia  Nodo 10. (dos arcos ingresan a este nodo) X10  X6 + (7 –  YI) X10  X7 + (15 –  YJ)

Actividad I Actividad J

 Nodo 11. (dos arcos ingresan a este nodo)

X11  X10 + (9 –  YK ) X11  X9 + (9 –  YL)

Actividad K Actividad L

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 Modelos de redes

Finalmente, X1, ... YL  0

condición de no negatividad.

Reordenando las restricciones, el modelo de programación lineal queda expresado de la siguiente forma:  Función Objetivo:

Min Z = 2500YA  + 1500YB  + 1750YC  + 1900YD  + 1250YE  + 1000YF + 2000YG + 1850YH + 900YI + 1425YJ + 800YK  + 3500YL Sujeto a:

YA  1 YB  3 YC  2 YD  3 YE  2 YF  3 YG  2 YH  2 YI  3 YJ  4 YK   3 YL  1 YA - X1 + X2  5 YB - X1 + X3  6 YC - X2 + X4  5 YD - X2 + X5  10 YE - X4+ X6  4 YF - X5+ X7  12 - X8+ X7  0 YG - X3 + X8  10 YH - X3+ X9  7 - X8+ X9  0 YI - X6 + X10  7 YJ - X7 + X10  15 YK  - X10+ X11  9 YL - X9+ X11  9

Actividad A Actividad B Actividad C Actividad D Actividad E Actividad F Actividad ficticia Actividad G Actividad H Actividad ficticia Actividad I Actividad J Actividad K Actividad L

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 Modelos de redes

X1  =0  50 X11 X1, ... YL  0

(Tiempo de inicio) (Tiempo meta) condición de no negatividad.

Solución con WinQSB

La primera solución muestra que reducir una unidad de tiempo en la ejecución del proyecto, incrementa el costo en 800 unidades monetarias (Función Objetivo), y la reducción del tiempo debe efectuarse en la actividad K (YK  se encuentra en la ruta crítica). Reduciendo secuencialmente el tiempo meta en la última restricción (X 11), se obtiene los siguientes resultados.

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 Modelos de redes

Resumen de resultados intercambio tiempo-costo Iteración

Tiempo Meta Unidades de tiempo reducidas en la actividad (X11 bi) (en días) 1 51 * 2 50 K=1 3 49 K=2 4 48 K=3 5 47 K=3, F=1 6 46 K=3, F=2 7 45 K=3, F=3 8 44 K=3, F=3, J=1 9 43 K=3, F=3, J=2 10 42 K=3, F=3, J=3 11 41 K=3, F=3, J=4 12 40 K=3, F=3, J=4, D=1 13 39 K=3, F=3, J=4, D=2 14 38 K=3, F=3, J=4, D=3 15 37 K=3, F=3, J=4, D=3, A=1 * Tiempo de ejecución normal del proyecto.

Costo incremental (en u.m.) 0 800 1,600 2,400 3,400 4,400 5,400 6,825 8,250 9,675 11,100 13,000 14,900 16,800 19,300

Como es de esperar, la reducción de tiempos ocurre en las actividades de la ruta crítica. Además, se muestra que el proyecto requiere un tiempo de 37 días para su culminación, en cuyo caso, el costo incremental sería de 19,300 unidades monetarias.

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 Modelos de redes

Intercambio Tiempo  –  Costo en forma gráfica ). 25000 m.

u( 20000 l at

n 15000 e m er c

10000

ot

5000

nI s o C

0

    7    3

   9    3

   1   4

   3   4

   5   4

    7   4

   9   4

Tiempo (días) Forma alternativa

Desde otra perspectiva, también es posible optimizar el tiempo meta (X 11): Alternativamente se puede optimizar el tiempo meta, dado una cantidad fija de dinero para reducir el tiempo de ejecución de un proyecto. Por ejemplo, si existe disponible 5,000 unidades monetarias, el objetivo a optimizar es el tiempo meta, para lo cual se debe incorporar en el conjunto de restricciones el presupuesto disponible. Esta refleja que hay un presupuesto máximo para destinarlos a la reducción de tiempos de las actividades críticas; además, dado que se optimiza X 11, el tiempo meta ya no debe formar parte del conjunto de restricciones. El nuevo modelo de programación lineal se expresa como:  Función Objetivo

Minimizar Z = X11 Sujeto a:  Restricción de presupuesto

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 Modelos de redes

2500YA + 1500YB + 1750YC + 1900YD + 1250YE + 1000YF + 2000YG + 1850YH + 900YI + 1425YJ + 800YK  + 3500YL  5000  Restricciones de reducción de tiempo por actividad . YA YB YC YD YE YF YG YH YI YJ YK  YL

1 3 2 3 2 3 2 2 3 4 3 1

(Límite de la actividad A) (Límite de la actividad B) (Límite de la actividad C) (Límite de la actividad D) (Límite de la actividad E) (Límite de la actividad F) (Límite de la actividad G) (Límite de la actividad H) (Límite de la actividad I) (Límite de la actividad J) (Límite de la actividad K) (Límite de la actividad L)



 Restricciones de tiempos de ejecución de las actividades .

YA - X1 + X2  5 YB - X1 + X3  6 YC - X2 + X4  5 YD - X2 + X5  10 YE - X4+ X6  4 YF - X5+ X7  12 - X8+ X7  0 YG - X3 + X8  10 YH - X3+ X9  7 - X8+ X9  0 YI - X6 + X10  7 YJ - X7 + X10  15 YK  - X10+ X11  9 YL - X9+ X11  9

Actividad A Actividad B Actividad C Actividad D Actividad E Actividad F Actividad ficticia Actividad G Actividad H Actividad ficticia Actividad I Actividad J Actividad K Actividad L

 Restricción de inicio del proyecto

X1 X1, ... YL

=0 0

(Tiempo de inicio) condición de no negatividad.

 Modelos de redes

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Solución con WinQSB

La solución optima indica que el tiempo de ejecución del proyecto se reduce a 45.40 días (función objetivo), y la reducción de tiempos corresponden a las actividades críticas F (2.6 días) y K (3 días). Este resultado también  puede verificarse en el modelo inicial si el tiempo meta (X 11) es de 45.40 días. Este modelo permite evaluar distintos escenarios cambiando por ejemplo el  presupuesto disponible (primera restricción).

 Modelos de redes

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5 Modelos de transporte Un modelo de transporte constituye una aplicación eficaz de la  programación lineal. Estudia la distribución de un solo tipo de producto (homogéneo) desde varios centros de producción hasta diferentes lugares de demanda, cumpliendo con las restricciones de demanda y la disponibilidad en los centros de producción, a un costo mínimo. El objetivo es entonces, determinar un plan optimo de envíos desde los  puntos de origen donde, generalmente se produce, hasta varios lugares de destino donde se encuentran los centros de demanda. En algunos casos, es necesario realizar trasbordo de la mercadería por distintas razones, por ejemplo, disponibilidad de transporte con mayor capacidad de carga desde determinado lugar, cambio de medio de transporte (terrestre-aéreo, terrestremarítimo, etc.), en cuyo caso se trata de problemas de transporte con trasbordo. Los métodos para determinar una solución factible son: a) Esquina noroeste,  b) Matriz mínima, c) Vogel , d) Russell y, e) Programación lineal. Previo al  proceso de cálculo, la cantidad en los puntos de origen debe ser igual a la demanda en los diferentes puntos de destino. Cuando no se cumple esta condición, se debe introducir centro(s) de origen o centro(s) de destino artificiales con costo de trasporte igual a cero. En el caso de programación lineal, el desbalance entre producción y demanda se resuelve cambiando únicamente la condición de desigualdad entre el lado derecho e izquierdo de las restricciones. Así, mediante la técnica de programación lineal se resuelve un problema de transporte de manera sencilla evitando otros procedimientos especiales o algoritmos de transporte.

50

 Modelos de redes

Red de distribución

Es un conjunto finito de nodos, en el que cada uno representa un centro de  producción, un almacén intermedio o un centro de demanda. Los nodos se unen mediante arcos (flechas) que indican la posibilidad de enviar  productos entre dos nodos conectados. El problema del transporte consiste en determinar el número de unidades X ij que se deben enviar desde los puntos de origen hasta los puntos de destino, tal como se muestra en la siguiente figura. Representación gráfica del problema de transporte Puntos de origen

a1

1

Puntos de destino C11 X11

1

 b1

2

 b2

C12 X12

a2

2

…

…

am

m

C1n X1n

…

…

n

 bn

CmnXmn

Donde: Cij : es el costo de transporte por unidad de producto Xij : es la cantidad enviada desde el punto de origen i (i=1, 2, …m) , hasta el  punto de destino j (j=1, 2, …n) . Supuestos

Se asume los siguientes supuestos: 1. Existen m  orígenes y en cada origen hay a i (i=1, 2, … m ) unidades disponibles o almacenadas de determinado producto. Los a i se denominan exigencias por fila.

51

 Modelos de redes

2. Existen n destinos y en cada uno se requiere b j ( j=1, 2, … n) unidades de producto. Los b j se denominan exigencias por columna. 3. Las exigencias por fila (a i) y columna (b j) son valores positivos porque los valores nulos o negativos no tienen significado físico. 4. Se conoce el costo de transporte de una unidad de producto (C ij) desde el origen i hasta el destino  j. En forma equivalente, el problema de transporte se puede representar en forma tabular de la siguiente forma: Destinos ...

Orígenes

1

2

n

1

C11

C12

...

C1n

a1

2

C21

C22

...

C2n

a2

... m

... Cm1

... Cm2

...

... Cmn

... am

 b1

 b2

...

bn

Modelo de programación lineal

La expresión matemática, para calcular el costo de transporte de las X ij unidades, desde los puntos de origen hasta los puntos de destino se representa como: n

 Min C  

m

 C ij X ij  j 1 i 1

donde: Cij : es el costo de transporte por unidad de producto. Xij : es la cantidad enviada desde el punto de origen i (i=1, 2, …m), hasta el  punto de destino j (j=1, 2, …n).

Sujeto a las siguientes restricciones: a) Producción o disponibilidad en los puntos de origen.

52

 Modelos de redes n

 X ij  ai

 para i = 1, 2, …, m

 j 1

 b) Demanda en los puntos de destino. m

 X ij  b j

 para j = 1, 2, …, n

i 1

 X ij  0

para todo i,j

Por lo tanto, el problema general es:  Min C   C 11 X 11  C 12 X 12  ... C 21 X 21  C 22 X 22  ... C mn X mn

Sujeto a:  X 11   X 12   X 13  ...  X 1n  a1  X 21   X 22   X 23  ...  X 2n  a2 …   X m1   X m2   X m3  ...  X mn  am

Restricciones de producción

 X 11   X 21   X 31  ...  X m1  b1  X 12   X 22   X 32  ...  X m2  b2 …   X 1n   X 2 n   X 3n  ...   X mn  bn  X ij  0

Restricciones de demanda

para todo i,j

Cuando no se cumple la condición de igualdad entre las cantidades disponibles en los puntos de origen (a i) y los requerimientos en los puntos de destino (b j), se debe generan puntos de origen o destino artificiales (a m+1;  bn+1).

53

 Modelos de redes

Sin embargo, en un modelo de programación lineal, el desequilibrio entre a i y b j se resuelve cambiando la condición de igualdad de las restricciones de  producción y demanda de la siguiente forma: a) Si

 ai b j n

 Min C  

m

 C ij X ij  j 1 i 1

Sujeto a: n

 X ij  ai

 para i = 1, 2, …, m

 j 1 m

 X ij  b j

 para j = 1, 2, …, n

i 1

 X ij  0

para todo i,j

 Nótese que el modelo debe resolver el problema cumpliendo los requerimientos de demanda y dejando el exceso en alguno(s) de los puntos de origen. Alternativamente, es posible resolver el problema distribuyendo todo los  bienes existentes en los puntos de origen, cambiando la desigualdad (≤)  por igualdad (=). Para que la solución sea factible, las restricciones de demanda deben ser ≥. Es decir, algún(os) centro(s) de demanda deberán recibir cantidades adicionales de producto, que significará incurrir en costos de mantenimiento de inventario.  b) Si

 ai b j n

 Min C  

m

 C ij X ij  j 1 i 1

Sujeto a:

54

 Modelos de redes n

 X ij  ai

 para i = 1, 2, …, m

 j 1 m

 X ij  b j

 para j = 1, 2, …, n

i 1

para todo i,j

 X ij  0

El problema será resuelto de modo que se distribuya todos los bienes disponibles en los puntos de origen, dejando desabastecidas a alguno de los  puntos de destino. Ejemplo. Una compañía posee tres centros de producción (orígenes) en diferentes lugares. La capacidad de producción de cada una de ellas es de 1500, 1800, y 2500 unidades mensuales, respectivamente. Los productos son vendidos en cuatro centros comerciales ubicados en distintos lugares. Los pedidos de cada centro comercial para el mes siguiente son de 1900, 1200, 1700 y 1000 unidades, respectivamente. Los costos de envío desde los centros de producción a cada una de los centros comerciales se presentan en el siguiente cuadro. Determine el plan óptimo de envíos mediante programación lineal. Centros de  producción CP1 CP2 CP3

CC1 7 5 8

Centros comerciales CC2 CC3 4 6 6 3 9 4

CC4 9 10 3

Definición de variables. Las variables que se muestran en el siguiente cuadro, representan los arcos factibles, es decir, conecta pares de nodos viables entre los centros de producción y demanda. Centros de  producción CP1 CP2 CP3

CC1 X11 X21 X31

Centros comerciales CC2 CC3 X12 X13 X22 X23 X32 X33

CC4 X14 X24 X34

55

 Modelos de redes

El problema representado como una red de distribución que incluye el costo de transporte en cada arco (flecha) es el siguiente:  Nodos de producción

 Nodos de demanda

7 1500

CP1

D1

1900

D2

1200

D3

1700

D4

1000

4 6 9 5

1800

CP2

6 3 10

8

9 4

2500

CP3

3

Función objetivo. Minimizar el costo total del plan de transporte. Mín G = 7X11 + 4X12 + 6X13 + 9X14 + 5X21 + 6X22 + 3X23 + 10X24 + 8X31 + 9X32 + 4X33 + 3X34  Restricciones de producción o suministro.

El flujo que sale de cada centro de producción debe ser igual a la  producción total en cada nodo de producción.  X 11   X 12   X 13  X 14  1500  X 21   X 22   X 23  X 24  1800  X 31   X 32   X 33  X 34  2500

Nodo de producción 1 Nodo de producción 2 Nodo de producción 3

 Restricciones de demanda.

El flujo que llega a cada centro de demanda debe ser igual a la cantidad de  producto requerido en cada uno de ellos.  X 11   X 21  X 31  1900

Nodo de demanda 1

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 Modelos de redes

 X 12   X 22  X 32  1200  X 13   X 23  X 33  1700  X 14   X 24  X 34  1000

Nodo de demanda 2 Nodo de demanda 3 Nodo de demanda 4

 Restricción de no negatividad : Xij ≥0

Solución con WinQSB

La solución óptima consiste en abastecer al primer centro comercial desde  primer y segundo centro de producción (300 y 1600 unidades). El segundo centro comercial se debe abastecer únicamente desde el primer centro de  producción (1200 unidades). El tercer centro comercial debe ser abastecido desde el segundo y tercer centro de producción (200 y 1500 unidades). Finalmente el cuarto centro comercial debe ser abastecido desde el tercer centro de producción. El costo mínimo de este plan de transporte es de 24,500 unidades monetarias.

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 Modelos de redes

Centros de  producción CP1 CP2 CP3

CC1 300 1600

Centros comerciales CC2 CC3 1200 200 1500

CC4 1000

Si la cantidad de producción en CP3 fuese de 3,000 unidades mensuales, la  producción total sería mayor que la demanda total de los centros comerciales, en esta situación el modelo debe reformularse de la siguiente forma: Mín G = 7X11 + 4X12 + 6X13 + 9X14 + 5X21 + 6X22 + 3X23 + 10X24 + 8X31 + 9X32 + 4X33 + 3X34 Restricciones de producción o suministro:  X 11   X 12   X 13  X 14  1500  X 21   X 22   X 23  X 24  1800  X 31   X 32   X 33  X 34  3000

Nodo de producción 1 Nodo de producción 2 Nodo de producción 3

Restricciones de demanda:  X 11   X 21  X 31  1900  X 12   X 22  X 32  1200  X 13   X 23  X 33  1700  X 14   X 24  X 34  1000

Nodo de demanda 1 Nodo de demanda 2 Nodo de demanda 3 Nodo de demanda 4

Restricción de no negatividad: X ij ≥0 Bajo esta condición, el lector podrá comprobar que el exceso de producción (500 unidades), se quedará en algún o algunos centros de producción sin ser distribuida. En este caso no se distribuye 200 unidades en CP1 y 300 unidades en CP3.  Nótese que las restricciones de producción o suministro son de tipo menor igual, para posibilitar que la diferencia entre producción y demanda  permanezca en algún o algunos centros de producción sin ser distribuida.

58

 Modelos de redes

En cambio, las restricciones de demanda son de tipo igualdad, lo cual significa que todos los centros de demanda deben ser abastecidos obligatoriamente. Una situación inversa se encuentra si la producción en CP3 fuese de 2,000 unidades mensuales. Es decir, la producción total es menor que la demanda total. En este escenario, algún o algunos centros comerciales quedarán desabastecidos. El modelo de programación lineal reformulado queda de la siguiente forma: Mín G = 7X11 + 4X12 + 6X13 + 9X14 + 5X21 + 6X22 + 3X23 + 10X24 + 8X31 + 9X32 + 4X33 + 3X34 Restricciones de producción o suministro:  X 11   X 12   X 13  X 14  1500  X 21   X 22   X 23  X 24  1800  X 31   X 32   X 33  X 34  2000

Nodo de producción 1 Nodo de producción 2 Nodo de producción 3

Restricciones de demanda:  X 11   X 21  X 31  1900  X 12   X 22  X 32  1200  X 13   X 23  X 33  1700  X 14   X 24  X 34  1000

Nodo de demanda 1 Nodo de demanda 2 Nodo de demanda 3 Nodo de demanda 4

Restricción de no negatividad: X ij ≥0 El lector podrá verificar que la solución optima de este modelo, deja desabastecido al primer centro comercial en 500 unidades. De esta forma, mediante programación lineal, se puede resolver los  problemas de transporte bajo cualquier condición entre producción y demanda.

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 Modelos de redes

Modelo de transporte con trasbordo

Una variante en los modelos de transporte, es la posibilidad de realizar uno o varios trasbordos antes de que el producto llegue a su destino. Por lo tanto, se debe incluir restricciones correspondientes a los nodos de trasbordo, especificando que la cantidad de producto enviado desde cada uno de estos nodos, debe ser igual a la cantidad de producto recibido. Es decir, flujo que sale menos flujo que entra. Para analizar este caso, considere el siguiente diagrama de red, cuyos costos de transporte están definidos junto a la variable para todos los arcos factibles, que definen a su vez rutas factibles. Nótese que las variables están definidos en concordancia con los nodos que conecta cada arco, lo cual facilita el análisis e interpretación de los resultados. Red de distribución con nodos de trasbordo.  Nodos de origen 250

3

1

2

500

2

3

X15

X6,8

X25 X34 3

7

4

X24

2

 Nodos de destino

 Nodos de trasbordo B

X14

4 5

400

 Nodos de trasbordo A

5

X35

X46

9 6

X47

8

5

X56

6

7

X57

7

X6,9 5 7

220

9

400

10

300

X7,8

10

6

8

X7,9

X6,10 X7,10

 Función objetivo. Minimizar el costo de transporte desde los nodos de

origen hasta los nodos de trasbordo A (nodos 4 y 5), mas el costo de trasporte hasta los nodos de trasbordo B (nodos 6 y 7), mas el costo de transporte hasta los lugares de destino (nodos 8, 9 y 10). Minimizar G = 3X14 + 2X15 + 4X24 + 5X25 + 2X34 + 3X35 + 7X46 + 6X47 + 5X56 + 7X57 + 9X68 + 10X69 + 8X6,10 + 6X78 + 5X79 + 7X7,10

 Modelos de redes

60

 Restricciones de origen o suministro.

En este ejemplo, la cantidad de producto a ser enviado (1,150 unidades) es mayor que el requerimiento en los nodos de destino (920 unidades). X14 + X15 ≤ 250 X24 + X25 ≤ 500 X34 + X35 ≤ 400  Restricciones de trasbordo A (nodos 4 y 5)

Se establece como flujo que sale, menos flujo que entra al nodo. X46 + X47 = X14 + X24 + X34 X56 + X57 = X15 + X25 + X35 Colocando las variables en el lado izquierdo: -X14 - X24 - X34 + X46 + X47 = 0 -X15 - X25 - X35 + X56 + X57 = 0  Restricciones de trasbordo B (nodos 4 y 5)

Siguiendo el mismo procedimiento y ordenado las variables en el lado izquierdo: -X46 - X56 + X68 + X69 + X6,10 = 0 -X47 - X57 + X78 + X79 + X7,10 = 0  Restricciones de demanda o destino

Considerando que la cantidad de producto en los nodos de origen es mayor que el requerimiento de los nodos de destino, las restricciones deben de tipo igualdad, indicando que es una exigencia que se debe cumplir. X68 + X78 = 220 X69 + X79 = 400 X6,10 + X7,10 = 300 Restricciones de no negatividad Xij ≥ 0

 Modelos de redes

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Solución con WinQSB

La solución óptima se logra enviando 250 unidades a través del arco (1,5), 270 unidades a través del arco (2,5) y 400 unidades a través del arco (3,5). El costo de transporte hasta el nodo 5 es de 3,050 unidades monetarias. Luego, la totalidad de los productos que llegan al nodo 5 (920 unidades), se debe enviar hacia el nodo 6 del punto de trasbordo B, cuyo costo mínimo es de 4,600 unidades monetarias. Finalmente, desde el nodo 6, se debe enviar hacia cada uno de los puntos de destino la cantidad que requiere cada una de ellas (220, 400 y 300 unidades), a un costo de 8,380 unidades monetarias. El costo total mínimo de este plan de envíos es de 16,030 unidades monetarias.

62

 Modelos de redes

6 Modelo de asignación Otro caso de aplicación de la programación lineal, son los problemas de asignación que tiene aplicaciones en la planificación y asignación de recursos. Trata de la asignación de un conjunto de recursos (elementos) como empleados, máquinas, etc., con diferentes características de rendimiento, costo, etc., hacia un conjunto fines que pueden ser tareas,  proyectos, etc., de modo que se maximice el rendimiento o minimice el costo, sujeto a la condición de que un recurso sea asignado a un solo fin. Es decir, cada elemento del primer grupo debe ser asignado a un solo elemento del segundo grupo. Cuando el problema en estudio involucra costo o tiempo, la función objetivo se debe minimizar y, se maximiza cuando se trata de utilidades. El problema general consiste en asignar n servicios a n tareas considerando el rendimiento o costo de cada servicio en cada tarea. Por lo tanto, la función objetivo será: Max. / Min. Z = C11X11 + C12X12 + …+ C21X21 + C22X22 + …+CnnXnn donde: Cij : Costo o utilidad de ejecución de la tarea j por el servicio i. Xij : 1 si es servicio i es asignado a la tarea j Xij : 0 en caso contrario

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 Modelos de redes

Sujeto a:  Restricción de recursos

X11 + X12 + X13 + … + X1n = 1 X21 + X22 + X23 + … + X2n = 1 …

Xn1 + Xn2 + Xn3 + … + Xnn = 1  Restricción de servicios

X11 + X21 + X31 + … + Xn1 = 1 X12 + X22 + X32 + … + Xn2 = 1 …

X1n + X2n + X3n + … + Xnn = 1 Xij : 1 ó 0 para toda X ij  Nótese que la solución del problema admite únicamente valores binarios (1 ó 0), es decir, un recurso es o no asignado a un servicio. El modelo de programación lineal se resume como: n

Maximizar o minimizar

n

 z    C ij X ij i 1  j 1

Sujeto a:  Restricción de recursos n

 X ij

 1;

i = 1, 2, …, n

 j 1

 Restricción de servicios n

 X ij  1 ;

 j = 1, 2, …, n

i 1

Xij : 1 ó 0 para toda X ij

64

 Modelos de redes

Para analizar un problema de asignación, considere el siguiente problema. Cuatro obreros con diferentes habilidades para realizar un número igual de tareas, se debe asignar de manera que todas las tareas se realicen de manera eficaz y en el menor tiempo posible. Las habilidades de cada obrero, para realizar cada una de las tareas se resume en el siguiente cuadro. Tiempo de ejecución de cada tarea por cada obrero (en horas) Tareas Obreros 1 2 3 1 5 6 7 2 4 8 5 3 4 7 6 4 8 7 3

4 3 7 5 5

Problema de asignación, representado como modelo de red y definición de variables. Obreros

Tareas X11

O1

T1

X12

X21 O2

X13 X14 X22

T2

X23 X24 X31

X33

O3

T3

X34 X41

O4

X32

X42

X44

X43 T4

 Modelos de redes

65

Según el tiempo de ejecución de cada tarea, se observa que el primer obrero es mas eficiente para realizar la cuarta tarea (3 horas), mientras que es menos eficiente para ejecutar la tercera tarea (7 horas), de modo que debería ser asignado a la cuarta tarea. En cambio, el segundo y tercer obrero son más eficientes para realizar la  primera tarea (4 horas), de modo que cualquiera de ellos podría realizar dicha tarea. En el caso de que el segundo obrero fuese asignado a la  primera tarea, el tercer obrero debería efectuar la siguiente tarea en el que tiene mayor habilidad (cuarta tarea, 5 horas), sin embargo, dicha tarea ya fue asignado al primer obrero, por lo que resulta difícil asignar las tareas por simple inspección de la matriz de tiempos, especialmente cuando los  problemas tienen mayor complejidad. Para determinar la asignación optima del problema planteado, se plantea el siguiente modelo de programación lineal. Función objetivo. Minimizar el tiempo de ejecución de las cuatro tareas. Min Z = 5X11 + 6X12 + 7X13 + 3X14 + 4X21 + 8X22 + 5X23 + 7X24 + 4X31 + 7X32 + 6X33 + 5X34 + 8X41 + 7X42 + 3X43 + 5X44 Sujeto a:  Restricción de obreros

X11 + X12 + X13 + X14 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 = 1  Restricción de tareas

X11 + X21 + X31 + X41 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 = 1 Xij : 1 ó 0 para toda X ij

 Modelos de redes

66

Solución con WinQSB

El plan optimo de asignaciones permite realizar las cuatro tareas en un tiempo mínimo de 17 horas, asignando el primer obrero a la cuarta tarea, el segundo obrero a la primera tarea, el tercer obrero a la segunda tarea y el cuarto obrero a la tercera tarea. Problemas de asignación no balanceado

Cuando el número de recursos y tareas es diferente, es decir, la matriz no es cuadrada (n x n), se debe generar filas o columnas adicionales con coeficiente cero en la matriz correspondiente. Como ejemplos de ilustración se presenta a continuación dos casos:

67

 Modelos de redes

a)  Número de recursos mayor que el número de tareas Para equilibrar el número de filas y columnas se agrega una tarea ficticia (tarea 5). Tiempo de ejecución de cada tarea por cada obrero (en horas) Tareas Obreros 1 2 3 4 1 5 6 7 3 2 4 8 5 7 3 4 7 6 5 4 8 7 3 5 5 5 5 8 7

5 0 0 0 0 0

Modelo de programación lineal Min Z = 5X11 + 6X12 + 7X13 + 3X14 + 0X15 + 4X21 + 8X22 + 5X23 + 7X24 + 0X25 + 4X31 + 7X32 + 6X33 + 5X34 + 0X35 + 8X41 + 7X42 + 3X43 + 5X44 + 0X45 + 5X51 + 5X52 + 8X53 + 7X54 + 0X55 Sujeto a:  Restricción de obreros

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1  Restricción de tareas

X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 + X44 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1 Xij : 1 ó 0 para toda X ij

68

 Modelos de redes

Resolviendo el problema, el lector comprobará que el segundo obrero es asignado a la tarea 5, es decir, no efectuará ninguna tarea.  b)  Número de tareas mayor que el número de recursos Para equilibrar el número de filas y columnas se agrega un obrero ficticio (obrero 5). Tiempo de ejecución de cada tarea por cada obrero (en horas) Tareas Obreros 1 2 3 4 1 5 6 7 3 2 4 8 5 7 3 4 7 6 5 4 8 7 3 5 5 0 0 0 0

5 6 4 3 5 0

Modelo de programación lineal Min Z = 5X11 + 6X12 + 7X13 + 3X14 + 6X15 + 4X21 + 8X22 + 5X23 + 7X24 + 4X25 + 4X31 + 7X32 + 6X33 + 5X34 + 3X35 + 8X41 + 7X42 + 3X43 + 5X44 + 5X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53 + 0X54 + 0X55 Sujeto a:  Restricción de obreros

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1  Restricción de tareas

X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 + X44 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1

 Modelos de redes

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Xij : 1 ó 0 para toda X ij Resolviendo el problema, el lector comprobará que el obrero ficticio es asignado a la tarea 2, es decir, esta tarea no se realizará.  Nótese que en ambos casos, cambia únicamente la función objetivo. También en conveniente aclarar que, en ambos casos, las interpretaciones son válidas bajo las condiciones planteadas, ya que podría argumentarse que no es realista que exista un número diferente de recursos y tareas. Finalmente, la versatilidad de la programación lineal, también permite resolver problemas de asignación bajo algunas condiciones específicas. Por ejemplo, si por alguna razón, un trabajador debe ser asignado a alguna tarea específica, se agrega una restricción adicional. Así por ejemplo, una restricción adicional X 43 = 1, significa que el modelo debe hallar la solución optima bajo la condición de que el cuarto trabajador debe ser asignado a la tarea 3.

 Modelos de redes

70

7 Modelo de optimización agrícola Uso de la tierra y recursos bio-productivos

Este modelo considera optimización en el uso de la tierra y reservas bio productivas de comunidades campesinas. A partir del análisis jerárquico de agroecosistema - finca - comunidad dentro de región, se plantea diversas alternativas en función de familia bajo el objetivo de seguridad alimentaria. Sin embargo, al considerar objetivos de nivel superior, como el aumento del ingreso en las unidades de producción familiar, se requiere implementar una o varias alternativas de producción para maximizar el uso de los recursos disponibles en relación con las oportunidades de mercado. En este contexto se plantea un modelo de optimización mediante el uso de la programación lineal con el propósito de evaluar diversos escenarios para incrementar el ingreso total. El modelo planteado reproduce de manera muy próxima, la estructura productiva de las comunidades, integra actividades reales de producción agrícola, crianza de ovinos y vacunos,  producción de pastos y forrajes. Incluye actividades complementarias como venta de productos agrícolas y  pecuarios, venta de jornales, y transferencias de capital y forrajes de un trimestre a otro cuando estos recursos no son utilizados en su totalidad. La estructura del modelo permite evaluar los cambios introducidos en alguno de los factores productivos: precio de los insumos, precios de venta de los  productos, precio de venta de jornales, etc. La función objetivo del modelo planteado, maximiza el ingreso bruto, es decir: (Venta de productos agrícolas + Venta de productos pecuarios + venta de jornales fuera de la comunidad) - (Costos por compra de insumos +

 Modelos de redes

71

Costo anual de instalación de pastos cultivados + Costos de sanidad animal + Costo de compra de alimentos y bienes no producidos en la comunidad). Los factores restrictivos están referidos básicamente a recursos productivos como: a) Extensión de tierras, distribuidos en diferentes zonas de producción:  pampa, pie de ladera y ladera. Cada uno con aptitudes diferentes para los cultivos.  b) Disponibilidad de mano de obra (expresado en jornales de ocho horas de trabajo) distribuidos en forma trimestral. c) Cantidad de estiércol (fertilizante orgánico para el cultivo de papa). d) Capital disponible por trimestre. e) Fertilizantes químicos (nitrógeno, fósforo y potasio) A continuación se detalla los aspectos relevantes en relación a los coeficientes y restricciones que se incluyen en el modelo. 

Extensión total de tierra. Es el factor más importante para la producción agropecuaria (áreas aptas para cultivos), que se distribuye en tres zonas de producción: pampa, pie de ladera y ladera.



El capital disponible es igual al ingreso monetario que se genera como  producto de las actividades dentro y fuera de la comunidad. El ingreso  promedio anual se debe ponderar por la proporción de cada estrato.



Del ingreso anual promedio se obtiene el monto destinado a la compra de alimentos y bienes no producidos dentro del sistema de producción familiar.



La disponibilidad de mano de obra se calcula en forma trimestral, considerando que las personas mayores de 15 años constituyen la fuerza de trabajo adulta de la comunidad. Sin embargo, el modelo incluye fuerza de trabajo expresado en jornales-hombre, que se obtiene estandarizando los jornales asumiendo que una persona realiza actividades en función a su peso metabólico. Por consiguiente, se estima el coeficiente de relación que indica la inversa del peso metabólico promedio de un hombre adulto de la comunidad. Este coeficiente permite calcular la equivalencia de jornales mujer a jornales hombre:

 Modelos de redes

72

Coeficiente = 1 / PVh0.75 Donde: PVh = Peso promedio de hombre adulto (kg.) Con este resultado, el peso promedio de mujer adulta es equivalente a 0.9 jornales-hombre, aproximadamente. Este coeficiente de estandarización permite estimar la fuerza de trabajo adulta de toda la comunidad para un año específico. Es importante calcular la disponibilidad total de jornales descontando los días de inactividad por enfermedad, descanso, festividades y otros. El modelo no incluye el aporte de fuerza de trabajo de los niños, debido a que los resultados previos indican excedentes de mano de obra. Sin embargo, considerando la participación de los niños en las actividades agrícolas y pecuarias, la disponibilidad de fuerza de trabajo se incrementa sustancialmente. 

El autoconsumo de alimentos fue incluido en el modelo como una actividad denominada dieta mínima por cada miembro de familia,  posibilitando que el modelo cubra los requerimientos alimenticios para todas las personas de la comunidad. El consumo promedio per-cápita  proviene de estudios previos: 70 kg. de papa, 10 kg. de quinua y 30 kg. de cebada, este requerimiento debe ser cubierto para el número de  personas de la comunidad.



El estiércol de ovino es un insumo que se utiliza como fertilizante orgánico principalmente en la producción de papa; por consiguiente constituye también un factor limitante. La cantidad disponible de este recurso se calcula como el 1% del peso vivo de los ovinos, de los cuales el 50% se deposita en los dormideros, que viene a ser la cantidad disponible de estiércol para ser usado como insumo en la producción agrícola.



Es importante que el rendimiento de los cultivos sea calculado como  promedio de varios años y ponderado en función del tipo de campaña agrícola: bueno, normal, regular y malo, ya que Amat y León, en una serie histórica de precipitación pluvial entre 1932-1992, encontró que el 27% corresponde a años buenos, 24% a normal, 37% a regular y 12% a años malos.

 Modelos de redes 

73

La estructura del modelo permite evaluar cada uno de los cultivos bajo distintas condiciones de manejo como alternativa al sistema tradicional,  por ejemplo incorporación de semilla mejorada, nuevas variedades, uso optimo de fertilizantes, etc., que se definen como “sistema mejorado” y

se diferencian por un mayor rendimiento. 

El requerimiento de materia seca (MS) y energía (EN), en ovinos y vacunos fue calculada considerando que estos requerimientos deben ser cubierto con la producción de pastos naturales y cultivados, forrajes (avena, cebada), broza y malezas provenientes de la producción agrícola.



Se considera una actividad denominada desperdicios de materia seca (pérdida de materia seca por senecencia, brozas mal utilizadas, etc), que  permite una combinación adecuada y evita que el requerimiento energético de los animales sea cubierto por consumo de cantidades excesivas de materia seca. En general, esta actividad incluye la materia seca no consumida, y aquellos utilizados como combustible por los sistemas de producción familiar.



Una actividad importante es la transferencia 5  de forrajes entre trimestres. Para ello se incluye dos tipos de transferencia (forrajes de  buena y mala calidad) y se fija un volumen máximo de forraje que se  podría transferir. Las transferencias buenas son para las leguminosas y  pasturas mejoradas (alfalfa, trébol), mientras que en las transferencias malas se consideró a las pasturas nativas, cebada y cañihua. El volumen máximo de transferencia se relaciona con la calidad de material a transferir.



Los cálculos, para ovinos y vacunos, se realizan para una madre y rebaño. Por ejemplo, en el caso de vacunos el rebaño esta compuesto de: 1 madre, 0.040 toros, 0.225 terneros de 0-12 meses, 0.225 terneras de 0-12 meses, 0.216 novillas de reemplazo y 0.18 vacas de descarte. De manera similar a los cultivos, en la crianza de ovinos y vacunos se

5  La inclusión de actividades de transferencia en un modelo de programación lineal,

 permite transferir recursos no utilizados en un periodo (trimestre) hacia el  siguiente, tal como ocurre en la realidad con algunas actividades como el uso de  forrajes y recursos económicos. De esta forma, la eficacia de un modelo de  programación lineal mejora sustancialmente.

 Modelos de redes

74

incluye animales criollos y mejorados que se diferencias por el rendimiento en peso vivo y producción de leche. Descripción de actividades y restricciones del modelo de programación lineal para analizar condiciones bio-económicas en las comunidades campesinas. Actividades

 PAPA1 : Producción de papa sistema tradicional  PAPA2 : Producción de papa sistema mejorado QUIN1 : Producción de quinua sistema tradicional QUIN2 : Producción de quinua sistema mejorado  AVE1 : Producción de avena forrajera sistema tradicional  AVE2 : Producción de avena forrajera sistema mejorado CEBA1 : Producción de cebada grano sistema tradicional CEBA2 : Producción de cebada grano sistema mejorado  PAA1 : Producción de papa amarga sistema tradicional  PAA2 : Producción de papa amarga sistema mejorado CANI1 : Producción de cañihua sistema tradicional CANI2 : Producción de cañihua sistema mejorado  HABA1 : Producción de haba sistema tradicional  HABA2 : Producción de haba sistema mejorado OCA1 : Producción de oca sistema tradicional OCA2 : Producción de oca sistema mejorado CMORG: Compra de materia orgánica CFENI : Compra de fertilizante nitrogenado CFEFO : Compra de fertilizante fosforado CFEPO : Compra de fertilizante potásico VPA : Venta de papa dulce VQUIN : Venta de quinua VCEBA : Venta de cebada VPAAM : Venta de papa amarga VCANI : Venta de cañihua VHABA : Venta de haba

 Modelos de redes

VOCA : Venta de oca VJO1 : Venta de jornales en el primer trimestre VJO2 : Venta de jornales en el segundo trimestre VJO3 : Venta de jornales en el tercer trimestre VJO4 : Venta de jornales en el cuarto trimestre TCAP1 : Transferencia de capital del 1ro. al 2do. Trimestre TCAP2 : Transferencia de capital del 2do. al 3er. Trimestre TCAP3 : Transferencia de capital del 3er. al 4to. Trimestre  PAST1 : Producción de pastizal nativo en pampa  PAST2 : Producción de pastizal mejorado  PAST3 : Producción de pasto cultivado  PASTY  PASTZ TRA1 TRA2

: Producción de pastizal nativo en pie de ladera : Producción de pastizal nativo en ladera : Transferencia de forraje de baja calidad del 1 al 2 trimestre : Transferencia de forraje de baja calidad del 2 al 3 trimestre

TRA3 TRA4 TRA5

: Transferencia de forraje de baja calidad del 3 al 4 trimestre : Transferencia de forraje de baja calidad del 4 al 1 trimestre : Transferencia de forraje de alta calidad del 3 al 4 trimestre

TRA6 : Transferencia de forraje de alta calidad del 4 al 1 trimestre OVEJ1 : Producción de ovejas con sistema tradicional OVEJ2 : Producción de ovejas con sistema mejorado VACA1 : Producción de vacas de 300 litros vendibles de leche VACA2 : Producción de vacas de 900 litros vendibles de leche VLANA VLECH VCAOV VCAVA

: Venta de lana : Venta de leche : Venta de carne de ovino : Venta de carne vacuna

 DIETA : Alimentación mínima para una persona  DESP1 : Materia seca en el primer trimestre (MS no consumida por los animales, MS utilizada como combustible, etc.)  DESP2 : Materia seca en el segundo trimestre  DESP3 : Materia seca en el tercer trimestre  DESP4 : Materia seca en el cuarto trimestre

75

 Modelos de redes

76

Restricciones

CAPIT1 : Capital de trabajo e inversiones en el trimestre 1 (US$) CAPIT2 : Capital de trabajo e inversiones en el trimestre 2 (US$) CAPIT3 : Capital de trabajo e inversiones en el trimestre 3 (US$) CAPIT4 : Capital de trabajo e inversiones en el trimestre 4 (US$) TIERRA : Area total disponible (ha.)  PAMPA : Area con potencial de cultivo o pasturas en ZP pampa (ha.)  PLADE : Area con potencial de cultivo o pasturas en ZP pie de ladera (ha.)  LADERA: Area con potencial de cultivo o pasturas en ZP ladera (ha.)  JOR1 : Jornales-hombre en el primer trimestre  JOR2  JOR3  JOR4

: Jornales-hombre en el segundo trimestre : Jornales-hombre en el tercer trimestre : Jornales-hombre en el cuarto trimestre

ORGANI: Requerimiento de materia orgánica (kg/ha.)  FERNI : Necesidades de fertilización nitrogenada (Unidades de nitrógeno)  FERFO : Necesidades de fertilización fosforada (Unidades de P 2O5 )  FERPO : Necesidades de fertilización potásico (Unidades K 2O)  PAPA : Producción de papa dulce (kg/ha) QUINUA : Producción de quinua (kg/ha) CEBADA : Producción de cebada (kg/ha)  PAAM : Producción de papa amrga (kg/ha) CANI : Producción de cañihua (kg/ha)  HABA OCA

: Producción de haba (kg/ha) : Producción de oca (kg/ha)

 MASE1 : Requerimiento de materia seca en el primer trimestre (kg)  ENER1 : Requerimiento de energía en el primer trimestre (kg)  MASE2 : Requerimiento de materia seca en el segundo trimestre (kg)  ENER2  MASE3  ENER3  MASE4

: Requerimiento de energía en el segundo trimestre (kg) : Requerimiento de materia seca en el tercer trimestre (kg) : Requerimiento de energía en el tercer trimestre (kg) : Requerimiento de materia seca en el cuarto trimestre (kg)

77

 Modelos de redes

 ENER4 : Requerimiento de energía en el cuarto trimestre (kg) TRA11M : Transferencia máxima de forraje de baja cal idad del segundo al tercer trimestre (kg) TRA22M : Transferencia máxima de forraje de baja calidad del tercer al cuarto trimestre (kg) TRA13M : Transferencia máxima de forraje de baja calidad del cuarto al  primer trimestre (kg) TRA21M : Transferencia máxima de forraje de buena calidad del segundo al tercer trimestre (kg) TRA22M : Transferencia máxima de forraje de buena calidad del tercer al cuarto trimestre (kg) TRA23M : Transferencia máxima de forraje de buena calidad del cuarto al  primer trimestre (kg)  LANA : Producción de lana (kg)  LECHE : Producción de leche (kg) CARCO : Producción de carne de cordero (kg) CARVA : Producción de carne (kg)

1er. Trimestre

Roturación, desterronado, siembra Octubre –  Noviembre –  Diciembre

2do. Trimestre

Labores culturales: Deshierbo, Control de plagas y enfermedades, aporques.  Enero –  Febrero –  Marzo

3er. Trimestre

Cosecha  Abril –  Mayo –  Junio

4to. Trimestre

Post Cosecha  Julio –  Agosto - Septiembre

78

 Modelos de redes

Modelo de programación lineal: Optimización agrícola PAPA1

PAPA2

QUIN1 QUIN2

AVE1

AVE2

CEBA1 CEBA2 HABA1

HABA2

OCA1

OCA2

F.O. CAPIT1 CAPIT2 CAPIT3 CAPIT4 TIERRA PAMPA PLADE LADERA JOR1 JOR2 JOR3 JOR4 ORGANI FERNI FERFO FERPO PAPA QUINUA CEBADA HABA OCA MASE1 ENER1 MASE2 ENER2 MASE3 ENER3 MASE4 ENER4 TRA11M TRA12M TRA13M TRA21M TRA22M TRA23M LANA LECHE CARCO CARVA Lower  Upper 

1

1

1 48 48 76

1 57 57 95

3000

3000 80 50 20 -9000

1 1

1

1 1

1 22 28 32

20 19 29

29 25 38

1

1

1

1

1

1

1

1 32 29 40

1 25 29 38

1 38 29 45

29 30 50

29 35 60

1

1 45 35 65

CMORG CFERNI CFEFO CFEPO VPA VQUIN VCEBA VHAB VOCA VJO1 VJO2 VJO3 VJO4 -0.1 -0.3 -0.3 -0.3 0.25 0.39 0.16 0.35 0.23 1 1 1 1 0.1 0.3 0.3 0.3 -1 -1 -1 -0.25 -0.39 -0.16 -0.35 -0.23 -1 1 1 1

1 48 40 75

1 1 1 1

-7000

-1 50 20 10

50 20 10

50 20 10

-1 -1 -1 1

-740

-1100

1 -2400

-2600

1 -1100

-200 -360 -200 -360

50 20 10

-200 -360 -200 -360

-200 -360 -200 -360 -1200 -2400

-200 -200 -360 -400 -200 -200 -360 -400 -2200 -5000 -4400 -12100

-200 -1200 -1200

-200 -2200 -2200

-200 -5000 -5000

-200 -400 -200 -400 -8000 -17600

-200 -400 -200 -400 -1800 -2800

-200 -400 -200 -400 -2600 -4690

-200 -1800 -1800

-200 -2600 -2600

-100 -180 -100 -180

-1400 -100 -180 -100 -180

1 -6000 - 100 - 180 - 100 - 180

-9000 -100 -180 -100 -180

1

-200 -8000 -8000

… continúa

79

 Modelos de redes

… continuación TCAP1 1 -1

TCAP2 TCAP3

TCAP4 -1

1 -1

1 -1

PAST1 PAST2 PAST3 PASTY PASTZ TRA1 -2 -20 -30 -2 -2 2 20 30 2 2

TRA2

TRA3

TRA4

TRA5

TRA6

OVEJ1 OVEJ2 VACA1 VACA2 VLANA VLECH VCAOV VCAVA DIETA DESP1 -1 -1 -2.5 -3 1.2 0.2 0.8 1 -152 -1.2 -0.2 38 -0.8 -1 38 38 25 30 250 350 38

1 1 1

1 1

1 1

1

DESP2

DESP3

1

1 1 12 12 12 12

0.2 0.2 0.2 0.2

0.2 0.2 0.2 0.2

2 2 2 2

2 2 2 2

70 10 30 20 -600 -1100 -600 -1100 -200 -360 -100 -180 -400 -480 -400

-800 -1600 -800 -1600 -400 -720 -100 -180

-480 -640 -500

-2000 -4200 -2000 -4200 -500 -1000 -300 -600

-2000 -4000 -4500

-600 -1100 -600 -1100 -200 -360 -100 -180 -400 -400 -400

-600 -1100 -600 -1100 -200 -360 -100 -180 -400 -400 -400

-1 -1.8 1 1.8 -1 -1.8

1 1.8 -1 -1.8

-1 -2 1 2 -1 -2

1 1.8

1 2 -1 -2

1 2

133 205 140 249 126 200 131 191

153 248 152 295 149 229 155 219

-2.3

-3.06

-6.6

-10

619 1036 672 1268 696 1036 706 879

722 1302 791 1595 820 1340 838 1017

-300

-800

-57

-83

1 1.5 1 1.5 1 1.5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 332

DESP4 < < < < < < < < < < < < < = = = = = = = = > < > < > < 1> 1.5 < < < < < < < = = = =

RHS 3541 555 2775 12025 341 143 31 167 11550 11550 11550 11550 79000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

79

 Modelos de redes

… continuación TCAP1 1 -1

TCAP2 TCAP3

TCAP4 -1

1 -1

1 -1

PAST1 PAST2 PAST3 PASTY PASTZ TRA1 -2 -20 -30 -2 -2 2 20 30 2 2

TRA2

TRA3

TRA4

TRA5

TRA6

OVEJ1 OVEJ2 VACA1 VACA2 VLANA VLECH VCAOV VCAVA DIETA DESP1 -1 -1 -2.5 -3 1.2 0.2 0.8 1 -152 -1.2 -0.2 38 -0.8 -1 38 38 25 30 250 350 38

1 1 1

1 1

1 1

1

DESP2

DESP3

1

1 1 12 12 12 12

0.2 0.2 0.2 0.2

0.2 0.2 0.2 0.2

2 2 2 2

2 2 2 2

70 10 30 20 -600 -1100 -600 -1100 -200 -360 -100 -180 -400 -480 -400

-800 -1600 -800 -1600 -400 -720 -100 -180

-480 -640 -500

-2000 -4200 -2000 -4200 -500 -1000 -300 -600

-2000 -4000 -4500

-600 -1100 -600 -1100 -200 -360 -100 -180 -400 -400 -400

-600 -1100 -600 -1100 -200 -360 -100 -180 -400 -400 -400

-1 -1.8 1 1.8 -1 -1.8

1 1.8 -1 -1.8

-1 -2 1 2 -1 -2

1 1.8

1 2 -1 -2

1 2

133 205 140 249 126 200 131 191

153 248 152 295 149 229 155 219

-2.3

-3.06

-6.6

-10

619 1036 672 1268 696 1036 706 879

722 1302 791 1595 820 1340 838 1017

-300

-800

-57

-83

1 1.5 1 1.5 1 1.5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

DESP4 < < < < < < < < < < < < < = = = = = = = = > < > < > < 1> 1.5 < < < < < < < = = = =

332

 Modelos de redes

80

8 Ejercicios de programación lineal (Compilación) 1.

A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al matemático S/50.00. El  joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era de 15’ por cada

RHS 3541 555 2775 12025 341 143 31 167 11550 11550 11550 11550 79000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

 Modelos de redes

80

8 Ejercicios de programación lineal (Compilación) 1.

A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al matemático S/50.00. El  joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era de 15’ por cada vaso de cer veza, 6’ por vaso de ginebra, 7’ y 4’ por cada vaso de

whisky y martín. Los precios de las bebidas son: cerveza S/1, el vaso de ginebra S/2, whisky S/2, y el vaso de martín S/4. El matemático asume que el objetivo es maximizar el consumo de alcohol dur ante los 90’ que tenía para entretener a su huésped. Logró que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 por vaso. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys (J. Alvarez, 1998).  Definición de variables

X1: Número de vasos de cerveza X2: Número de vasos de ginebra X3: Número de vasos de whisky X4: Número de vasos de martini F.O. Maximizar el consumo de alcohol

81

 Modelos de redes

F.O. Max Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4 Sujeto a: a) Restricción de presupuesto X1 + 2X2 +

2X3

+

4X4

≤

 b) Número de vasos por bebida X1 X2 X4

≤ ≤ ≤ ≥ ≤

8 10 12 2 24

4X4

≤

90

X3 X3 c) Restricción de tiempo 16X1 + 6X2

+

Resumido en forma tabular X1 X2 F.O. Max Z 17 15 1 2 1 1

7X3

+

X3 16 2

X4 7 4

1 1 16 2.

6

7

50

1 4 Xj

≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ ≤ ≥

50 8 10 12 2 24 90 0

Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, ó 50 cerdos, ó 20 vacunos, o cualquier combinación de estos, con la relación siguiente: 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio. Las utilidades por animal son de 500, 500 y 100 soles, por ovejas, cerdos y vacunos, respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas (J. Alvarez, 1998).

 Definición de variables

X1 : Número de ovejas a criar X2 : Número de cerdos a criar

82

 Modelos de redes

X3 : Número de vacas a criar F.O. Maximizar la utilidad por especie animal F.O. Max Z = 500X1 + 500X2 + 100X3 Restricciones: a) Soportabilidad X1

≤ ≤ ≤

X2 X3

30 50 20

 b) Combinación de especies animales (tres alternativas) Expresado en unidades ovino 3/3 X1 + 3/5 X2 +

3/2 X3

≤

30

Expresado en unidades porcino 5/3 X1 + 5/5 X2 +

5/2 X3

≤

50

Expresado en unidades vacuno 2/3 X1 + 2/5 X2 +

2/2 X3

≤

20

c) Combinación obligatoria X2 Resumido en forma tabular X1 X2 F. O. Max 500 500 Z 1 1 1 -1 3.

3/5 1

≥

X1 + X2

X3 100 1 3/2 -1 Xj

≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥

30 50 20 30 0 0

Un agricultor desea cultivar maíz o trigo en un terreno de 70 hectáreas. Sabe que una hectárea puede rendir 30 quintales de maíz o 25 quintales de trigo. Cada hectárea requiere un capital de $30 si se cultiva maíz y $40 si se cultiva trigo. El capital disponible es de $2500. Las

83

 Modelos de redes

necesidades de agua de riego en octubre son de 900m 3/ha de maíz y 650 m3/ha de trigo, mientras que en noviembre se requiere 1200m 3 y 850 m3 por ha de maíz y trigo, respectivamente. La disponibilidad de agua en octubre es de 57900 m 3  y 115200 m3, en noviembre. Si los  beneficios por la venta de maíz y trigo son de $4.50 y $6.00 por quintal métrico, respectivamente, determine la cantidad optima que se debe  producir de cada producto (J. Alvarez, 1998).  Definición de variables:

X1 : Número de hectáreas de maíz X2 : Número de hectáreas de trigo F.O. Maximizar beneficio por venta de maíz y trigo F.O. Max Z = 4.50 X 1 + 6.00 X2 Restricciones: a) Tierra (ha) 1/30=0.033 X1

+

1/25= 0.040 X2

≤

70

 b) Capital (US$) 30/30=1.00 X1

+

40/25= 1.60 X2

≤ 

2500

c) Agua para riego en octubre (m 3) 900/30=30 X1 + 650/25= 26 X2

≤ 

57,900

d) Agua para riego en noviembre (m 3) 1200/30=40 X1 + 850/25= 34 X2

≤ 

115,200

4.

Suponga que cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene caloría y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo (k) de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos (g) de proteínas, y un k de queso contiene 4000 calorías y 200 g de proteínas. Suponiendo que una dieta normal requiere al menos 6000 calorías y 200 g de proteínas diariamente. El kg. de pan cuesta S/6.00 y el S/21.00 el queso. Determine la dieta de costo mínimo (H. Espinoza).

5.

Una fábrica elabora dos productos (A y B). Cada uno se procesa en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene capacidad de 24 hr. y la otra 16 hr. Cada unidad del producto A requiere de dos hr. en ambas

84

 Modelos de redes

máquinas. Cada unidad unidad del producto B necesita de tres hr en la  primera máquina y una hr en la segunda. La utilidad que generan estos  productos son de S/6 y S/7, respectivamente. Determine el plan óptimo de producción (Ch. Bonini, et al.,1999). 6.

Una empresa desea conocer la cantidad de productos A, B y C para maximizar el beneficio. Cada unidad unidad vendida genera genera una utilidad de S/150, S/210 y S/130, respectivamente. respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo tiempo disponible en cada una una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos). Se asume que todas las unidades producidas serán vendidas. Determine la producción óptima.

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Tiempo total disponible  por mesa 7.

Tiempo requerido por producto Mesa 1 Mesa 2 Mesa 3 10 12 8 15 17 9 7 7 8 3300 3500 2900

La confederación Sur de agricultores está conformada por tres zonas. La planificación global de este grupo se hace mediante la oficina coordinación técnica. En la actualidad planean la producción agrícola  para el siguiente siguiente año. La producción agrícola está limitada tanto por la extensión del terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas (Oficina Estatal) asigna para irrigarlo, según la siguiente tabla. Zona I II III

Terreno disponible (ha) Asignación de agua (pies-ha) 400 600 600 800 300 375

Los cultivos adecuados para la región incluye remolacha, algodón y sorgo, y estas son precisamente las tres que están en estudio para la estación venidera. Las cosechas difieren básicamente básicamente en el rendimiento

85

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neto esperado por hectárea hectárea (ha) y en el consumo de agua. Además, la Comisión de Aguas ha establecido una cantidad máxima de acres que la confederación puede dedicar a estas cosechas, de la siguiente forma: Cultivo

Cantidad Consumo de máxima (ha) agua (ha-pie/ha) Remolacha 600 3 Algodón 500 2 Sorgo 325 1

Rendimiento neto ($/ha) 1000 750 250

Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la Confederación no podrá usar todo el terreno irrigable para las cosechas del próximo año. Para asegurar asegurar la equidad equidad entre las zonas, zonas, han han acordado que cada zona sembrará la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. disponibles. Por ejemplo, si la zona zona I siembra la mitad de sus sus hectáreas disponibles, las zonas II y III sembrarían también solo la mitad de sus hectáreas disponibles. Cualquier combinación de los cultivos se puede sembrar en cualquiera cualquiera de las zonas. El trabajo al que se enfrenta la Oficina de Coordinación técnica consiste en planear cuantas hectáreas deben asignarse a cada cultivo, en cada zona, cumpliendo con las restricciones dadas. El objetivo es maximizar la utilidad total para la Confederación (F. Hiller y G. Lieberman, 2001).  Definición de variables

Remolacha Algodón Sorgo

I X1 X4 X7

Zonas II X2 X5 X8

III X3 X6 X9

F.O. Maximizar la utilidad total para la Confederación F.O. Max Z = 1000(X 1000(X1+X2+X3)+ 750(X4+X5+X6)+250(X7+X8+X9) F.O. Max Z = 1000X 1+1000X2+1000X3+ 750X4 +750X5 +750X6 +250X7 +250X8 + 250X9

86

 Modelos de redes

Restricciones: a) Terreno para uso en cada zona (ha) X1 + X4 + X7 ≤  X2 + X5 + X8 ≤  ≤  X3 + X6 + X9

400 600 300

 b) Asignación de agua agua para cada zona 3X1 + 2X4 + X7 ≤  ≤  3X2 + 2X5 + X8 ≤  3X3 + 2X6 + X9

600 800 375

c) Cantidad máxima de hectáreas por cultivo X1 + X2 + X3 600 ≤  ≤  X4 + X5 + X6 500 ≤  X7 + X8 + X9 325 d) Proporción de área cultivada por cada zona  Igualdad entre zona I y II  X 1   X 4  X 7  X 2   X 5  X 8 400

=

600

 Igualdad entre zona II y III  X 2   X 5  X 8  X 3   X 6  X 9 600

=

300

 Igualdad entre zona III y I  X 3   X 6  X 9  X 1   X 4  X 7 300

=

400

ordenando: 3(X1 + X4 + X7) –  2(X  2(X2 + X5 + X8) = 0 (X2 + X5 + X8) –  2(X  2(X3 + X6 + X9) = 0 4(X3 + X6 + X9) –  3(X  3(X1 + X4 + X7) = 0 3 X 1  3 X 4  3 X 7  2 X 2  2 X 5  2 X 8  0  X 2   X 5   X 8  2 X 3  2 X 6  2 X 9  0

4 X 3  4 X 6  4 X 9  3 X 1  3 X 4  3 X 7  0

87

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8.

Una granja usa diariamente un mínimo de 800 libras (lb) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las siguientes composiciones: Contenido por lb de alimento Alimento Costo (S/ por lb) Proteínas Fibras Maíz 0.09 0.02 0.30 Soya 0.60 0.06 0.90 Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Determinar las  proporciones de alimento que produzca un costo diario mínimo (J. Alvarez, 1998).

 Definición de variables:

X1: Libras de maíz en la mezcla diaria X2: Libras de soya en la mezcla diaria F.O. Minimizar el costo de la mezcla F.O. Min G = 0.30 X 1 + 0.90 X2 Restricciones: a) Cantidad necesaria de mezcla por día X1 + X2 ≥  800  b) Requerimiento de proteína 0.09 X1 + 0.60 X2 ≥

0.3( X1+X2)

0.21 X 1  0.30 X 2  0

c) Requerimiento de fibra 0.02 X1 + 0.06 X2

≤

0.05( X1+X2)

0.03 X 1  0.01X 2  0

9.

6

Desarrollos Alfa posee 800 acres 6 de terreno en un lago escénico en el corazón de una sierra. Antes se aplicaban pocos o ningún reglamento a los nuevos desarrollos en torno al lago. Las orillas del mismo están hoy pobladas con casas de campo, y debido a la carencia de servicios de alcantarillado, hay muchas fosas sépticas, en su mayor parte mal

1 acre = 0.4046 hectárea.

88

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instaladas. A través de los años, las filtraciones de las fosas sépticas ha ocasionado un grave problema de contaminación de agua. Para mitigar el degradamiento de la calidad del agua, las autoridades municipales aprobaron reglamentos estrictos para todos los desarrollos en el futuro. a. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, y las casas unifamiliares deben ser al menos el 50% del total.  b. Para limitar la cantidad de fosas sépticas, se requieren tamaños mínimos de lote de 2, 3 y 4 acres para las casas con una, dos y tres familias, respectivamente. c. Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una, en una  proporción de una por 200 familias. d. Para preservar la ecología del lago, no se debe bombear agua subterránea para uso doméstico ni de riego. El presidente de Desarrollos Alfa estudia la posibilidad de desarrollar los 800 acres de la empresa. El nuevo desarrollo incluirá casas para una, dos y tres familias. Se estima que el 15% de los acres se debe asignar a las calles y servicios comunitarios. Alfa estima que los ingresos por las diversas unidades de habitación serán: Unidades de habitación Rendimiento neto  por unidad ($)

Una

Dos

Tres

10,000

12,000

15,000

El costo de conectar el servicio del agua al área es proporcional a la cantidad de unidades construidas. Sin embargo, el municipio cobra un mínimo de $100,000 por el proyecto. Además, el aumento de la capacidad actual del sistema de abastecimiento de agua se limita a 200,000 galones por día, durante las temporadas pico. Los datos siguientes resumen el costo de conectar el servicio de agua, y también el consumo de agua, suponiendo familias de tamaño promedio:

89

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Unidades de habitación

Una

Dos

Tres

Costo del servicio del agua  por unidad ($) Consumo de agua por unidad (gal/día) (H. Taha, 2004).

1000

1200

1400

Parques y  jardines 800

400

600

840

450

 Definición de variables:

X1: Número de casas unifamiliares X2: Número de casas para dos familias X3: Número de casas para tres familias X4: Área de recreo F.O. Maximizar el beneficio F.O. Max Z = 10,000X 1 + 12,000X2 + 15,000X3 Restricciones: a) Uso de terreno 2X1 + 3X2

+

4X3

+

X4

≤

680 (0.85*800)

 b) Casas unifamiliares  X 1  X 1   X 2  X 3

 0.5

0.5 X 1  0.5 X 2  0.5 X 3  0

c) Área de recreo  X 4 

 X 1  2 X 2  3 X 3

200 2 X 1  3 X 2  4 X 3  200X 4  0

d) Costo del servicio de agua 1000X1 + 1200X2  + 1400X3  +

800X4

≥ 

100,000

e) Consumo de agua 400X1  + 600X2 

450X4

≤ 

200,000

+

840X3 

+

90

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10. La ciudad de Progreso estudia la factibilidad de un sistema de autobuses para trasporte masivo que reduzca el transporte urbano en coche y en consecuencia alivie el problema del esmog. El estudio  busca determinar la cantidad mínima de autobuses que satisfagan las necesidades de transporte. Después de reunir la información necesaria, el responsable de la Unidad de Tránsito observa que la cantidad mínima de autobuses varía con la hora del día, y que la cantidad necesaria de vehículos se puede aproximar con valores constantes durante intervalos consecutivos de 4 horas. La siguiente figura resume las determinaciones del responsable de la Unidad de Tránsito. Para hacer el mantenimiento diario a cada autobús, éste puede trabajar 8 horas sucesivas diariamente (H. Taha, 2004). s e

12

12 s u

10

b ot u a

8

8 e d d

7 a di t n a C

4

4

4

12 AM

4:00

8:00

12:00 Medio día

4:00

 

8:00

X1 X2 X3 X4 X5 X6

 Definición de variables:

X1: No. de autobuses que comienzan a las 12.01 m X2: No. de autobuses que comienzan a las 4.01 am X3: No. de autobuses que comienzan a las 8.01 am X4: No. de autobuses que comienzan a las 12.01 pm X5: No. de autobuses que comienzan a las 4.01 pm X6: No. de autobuses que comienzan a las 8.01 pm

 

12:00 Media noche

91

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F.O. Minimizar la cantidad de autobuses que satisfaga las necesidades de transporte. F.O. Min G = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Restricciones: Requerimiento de autobuses en cada horario X1 X1

+ +

X2 X2

X6 + X3 X3

+

X4 X4

+

X5 X5

+

X6

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

4 8 10 7 12 4

12.01 am - 4.0 am 4.01 am - 8.0 am 8.01 am - 12.0 m 12.01 pm - 4.0 pm 4.01 pm –  8.0 pm 8.01 pm –  12.0 pm

11. Una entidad bancaria está desarrollando una política de préstamos por un máximo de $12 millones. El cuadro siguiente muestra los datos  pertinentes acerca de los distintos tipos de préstamo. Tipo de préstamos Personal Automóviles Casa Agrícola Comercial

Tasa de interés 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100

% de deuda impagable 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02

Las deudas impagables no se recuperan y no producen ingresos por intereses. Para competir con otras entidades bancarias se necesita que el banco asigne un mínimo de 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la construcción de su región, los préstamos familiares deben ser iguales, cuando menos, al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa. También el  banco tiene una política explícita que no permite que la relación general de préstamos impagables entre todos los préstamos sea mayor que 4% (Ch. Bonini, et al.,1999).  Definición de variables

X1: Préstamos personales X2: Préstamos para automóviles

92

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X3: Préstamos para casa X4: Préstamos agrícolas X5: Préstamos comerciales F.O. Maximizar el beneficio por tipo de préstamo menos los préstamos impagables. F.O. Max Z = 0.14(0.9X 1) + 0.13(0.93X2) + 0.12(0.97X3) + 0.125(0.95X4) + 0.10(0.98X5)- 0.1X1 –  0.07X2 –  0.03X3 –  0.05X4 –  0.02X5 Restricciones: a) Fondos totales (Millones) X1 + X2 + X3

+

X4

+

X5

 b) Condición para préstamos agrícolas y comerciales X4 + X5 c) Condición para los préstamos para casa X3

≥ 

≤

≥ 

12 (0.4x12)

0.5(X1+X2+X3)

d) Límite de deudas impagables 0.1 X 1  0.07 X 2  0.03 X 3  0.05 X 4  0.02 X 5  X 1   X 2   X 3   X 4   X 5

 0.04

12. El departamento de nutrición de un hospital prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo,  papas, espinacas y pastel de manzana. La comida debe proporcionar 63,000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de tiacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos (g) de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas que se indican en la siguiente tabla.

Espagueti Pavo Papas Espinacas Pastel de manzana

Proteínas 5000 29300 5300 3000 4000

 Nutriente (mg/ 100 g) Hierro Tiacina Tiamina Vitamina C 1.1 1.4 0.18 0.0 1.8 5.4 0.06 0.0 0.5 0.9 0.06 10.0 2.2 0.5 0.07 28.0 1.2 0.6 0.15 3.0

Grasa 5000 5000 7900 300 14300

93

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Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 g de espagueti, 300 g de pavo, 200 g de papa, 200 g de espinacas y 100 g de pastel de manzana. Determine la composición de una comida que satisfaga los requerimientos nutricionales y proporcione la mínima cantidad de grasas (K. Mathur y D. Solow, 1996). .  Definición de variables:

X1: Cantidad de espaguetis a incluir en la dieta X2: Cantidad de pavo a incluir en la dieta X3: Cantidad de papa a incluir en la dieta X4: Cantidad de espinaca a incluir en la dieta X5: Cantidad de pastel de manzana a incluir en la dieta F.O. Composición optima minimizando el consumo de grasa. F.O. Min G = 5000X1 + 5000X2 + 7900X3 + 300X4 + 14,300X5 Restricciones: a) Proteina 5000X1

+ 29300X2  +

5300X3  +

3000X4  +

4000X5

≥ 

63000

 b) Hierro 1.1X1  +

1.8X2  +

0.5X3  +

2.2X4  +

1.2X5

≥

10

c) Niacina 1.4X1  +

5.4X2  +

0.9X3  +

0.5X4 

0.6X5

≥

15

d) Tiamina 0.18X1  +

0.06X2  +

0.06X3  +

+

0.07X4  +

0.15X5

≥

1

e) Vitamina C 10X3

+

20X4

+

3X5

f) Cantidades máximas X1 X2 X3

X4 X5

≥

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

50 3 3 2 2 1

94

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13. Una entidad bancaria requiere de 8 a 15 cajeros de servicio, dependiendo de la hora del día, tal como se indica en el siguiente cuadro. Los cajeros de tiempo completo trabajan 8 horas consecutivas a $15 la hora, comenzando a las 8 a.m. Los cajeros de tiempo parcial trabajan 4 horas consecutivas a $8 la hora, comenzando a las 8 a.m., 10 a.m. o 12 del medio día. Las regulaciones sindicales requieren que a toda hora al menos el 60% de los cajeros sean de tiempo completo. Determinar el número de empleado de tiempo completo y de tiempo  parcial requerido a lo largo del día para minimizar el costo diario total ( programación lineal entera). Requerimientos de cajeros para la entidad bancaria Periodo Número mínimo de cajeros 8 –  10 a.m. 8 10 –  12 medio día 10 12 –  2 p.m. 15 2 –  4 p.m. 12 (K. Mathur y D. Solow, 1996)  Definición de variables:

F: Número de cajeros a tiempo completo P8: Número de cajeros a tiempo parcial que empiezan a trabajar a las 8.0 am P10: Número de cajeros a tiempo parcial que empiezan a trabajar a las 10.0 am P12: Número de cajeros a tiempo parcial que empiezan a trabajar a las 12.0 am F.O. Minimizar el costo diario total F.O. Min G = (8*15)F +(4*8)P 8 + +(4*8)P10 + +(4*8)P12 Restricciones: a) de 8 a 10 am, al menos 8 cajeros F + P8

≥

8

 b) de 10 a 12 am, al menos 10 cajeros F + P8 + P10

≥

10

95

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c) de 12 a 2 pm, al menos 15 cajeros F + P10 + P12

≥

15

d) de 2 a 4 pm, al menos 12 cajeros F +

≥

12

P12

e) Exigencia sindical F ≥ 0.6 (F + P 8) F ≥ 0.6 (F + P 8 +P10) F ≥ 0.6 (F + P 10 + P12) F ≥ 0.6 (F + P 12) 14. Una compañía de inversión de capital de riesgo, está considerando invertir hasta 1 millón de dólares en una o mas propuestas que ha recibido de diversos empresarios. Cada propuesta ha sido filtrada por el departamento de investigación, y seis proyectos han tenido una tasa esperada de retorno suficiente para justificar el riesgo implicado. La inversión única requerida y la tasa de rendimiento esperada asociada a cada proyecto se muestra en la siguiente tabla. Determine que  proyectos deben ejecutarse ( programación lineal binaria). Requerimiento de capital y tasas de retorno esperada para los proyectos Proyecto Requerimiento de capital Tasa de retorno ($) esperado (%) Bio-Tech 200,000 15.0 Tele-Com 350,000 16.5 Laser-optics 150,000 13.0 Comp-Ware 125,000 12.5 Medi-Opti 375,000 14.3 Sound-News 70,000 9.0 (K. Mathur y D. Solow, 1996).  Definición de variables:

B:

1 si la Compañía invierte en Bio-Tech 0 si la Compañía no invierte en Bio-Tech

T:

1 si la Compañía invierte en Tele-Com 0 si la Compañía no invierte en Tele-Com

L:

1 si la Compañía invierte en Laser-Optics

96

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0 si la Compañía no invierte en Laser-Optics C:

1 si la Compañía invierte en Comp.-Ware 0 si la Compañía no invierte en Comp.-Ware

M:

1 si la Compañía invierte en Medi-Opti 0 si la Compañía no invierte en Medi-Opti

S:

1 si la Compañía invierte en Sound-News 0 si la Compañía no invierte en Sound-News

F.O. Maximizar la rentabilidad de las inversiones 0.150 * 200,000 B 0.165 * 350,000 T 0.130 * 150,000 L

0.125 * 125,000 C 0.140 * 375,000 M 0.900 * 70,000 S

F.O. Max Z = 30,000B + 57,750T + 19,500L + 15,625C + 52,500M + 63,000S Restricciones: a) Inversión 200,000 B  350,000T   150,000 L  125,000C  375,000 M   70,000S   1´000,000

 b) Inversión en cada rubro B T L C M S B, T, L, C, M, S

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥

1 1 1 1 1 1 0

15. Una comunidad en el altiplano desea planificar la siembra de cultivos que maximice su beneficio. La comunidad está constituida por 25 familias que disponen de 40 ha. en ladera y 60 ha. en pampa. El capital disponible es de $ 400 por familia ($ 10,000) para ser usado en los cultivos (semilla, abonos, etc.). Los miembros de la comunidad disponen de 120 jornales por familia (3,000 jornales). Trabajo

97

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adicional puede ser contratado al costo de 1.2 $. Jornales -1. Los cultivos en consideración son: papa, quinua, cebada, haba y trigo de invierno. La información disponible para cada cultivo se presenta en el siguiente cuadro. Ellos desean sembrar al menos 24 ha. de papa, 15 de quinua y 24 de cebada. Además deben tener al menos 5 ha. de papa en ladera y 2 ha. de haba para autoconsumo. Producción, jornales, costo y precio de los recursos productivos en la aynoka de la comunidad. Rendimiento t.ha-1  Trabajo Ladera Pampa  jornales.ha-1 Papa (P) 6 5 225 Quinua (Q) 1 0 38 Cebada (C) 2 4 30 Haba (H) 1 0 30 Trigo (T) 0 3 30 (C. León-Velarde y R. Quiroz, 1994) Cultivo

Costos $.ha-1 217 66 88 83 82

Precio $.t-1 250 400 180 300 250

La estructura del problema está dado por el beneficio esperado sobre cada cultivo ($.ha-1): producción por precio, menos el costo de trabajo y otros costos. Ejemplo, para papa en ladera: 6 x 250 -225 x 1.2 -217 = 1013 $.ha -1. La superficie de los cultivos es distribuida en: XPL y XPP : papa en ladera y pampa XQL : quinua en ladera XCL y XCP : cebada en ladera y pampa XHL : haba en ladera XTP : Trigo en pampa Función objetivo: Max Z = 1013X PL  + 763XPP  + 288XQL  + 236XCL  + 596XCP  + 181XHL + 629XTP -1.2J Sujeto a: XPL + XQL + XCL + XHL ≤ 40 (ladera) XPP + XCP + XTP ≤ 60 (pampa) 217(XPL + XPP) + 66XQL + 88(XCL + XCP) + 83XHL + 82XTP≤ 10,000 (capital) 225(XPL + XPP) + 38XQL + 30(XCL + XCP) + 30XHL + 30-1XTP≤ 3,000 (trabajo)

98

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XPL + XPP ≤ 24 XQL ≤ 15 XCL + XCP ≤ 24 XTP ≤ 24 XHL ≥ 2

(ha de papa) (ha de quinua) (ha de cebada) (ha de trigo) (ha de haba)

16. Modelo hortícola. Investigación de empresas representativas de Cañete, cuyos objetivos fueron: a) Determinar criterios técnicos-económicos que tiene en consideración un pequeño agricultor para decidir sobre los cultivos a producir, b) Cuales de estos criterios son los mas importantes, dado un conjunto de limitaciones en cada caso. Criterios técnicos que se tomaron en cuenta: a) Conocimiento de la técnica de producción de cada cultivo, b) duración del periodo de  producción, c) intensidad de ocupación de la mano de obra, d) rendimientos probables, e) adaptabilidad de los cultivos a diferentes épocas de producción, f) competencia con otros productores, g) adaptación de los cultivos a condiciones climático-edáfico imperante y, h) especialización de la mano de obra. Criterios económicos: a) costos de producción, especialmente inversión inicial, b) precio de los productos y estacionalidad, precio de los insumos, c) beneficio neto por cultivo, d) demanda de los productos en el mercado, e) adaptabilidad de los cultivos a factores de producción  predominantes o disponibles, f) frecuencia con que se obtiene ingresos, g) riesgo implícito de la inversión.  Descripción de Actividades (expresado en 1 hectárea)

P01 P02 P03 P04 P05 P06 P07 P08 P09

: Siembra, cosecha y venta de Beterraga en Invierno : Siembra, cosecha y venta de Beterraga en Verano : Siembra, cosecha y venta de Col en Invierno : Siembra, cosecha y venta de Nabo en Invierno : Siembra, cosecha y venta de Nabo en Verano : Siembra, cosecha y venta de Camote en Verano : Siembra, cosecha y venta de Camote en Invierno : Siembra, cosecha y venta de Maíz en Invierno : Siembra, cosecha y venta de papa de Semilla Botánica

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P10

99

: Uso de mano de obra familiar, las unidades son jornales de 8 horas de trabajo-hombre

P11 a P22 : Contratación de mano de obra eventual, las unidades son  jornales de 8 horas de trabajo-hombre que disminuyen la Función Objetivo en un valor equivalente al salario promedio mensual de la zona. P23 a P33: Transferencia de capital desde un determinado mes hacia el siguiente mes. La unidad es miles de soles P34: Utilización de crédito al inicio del periodo de producción, el mismo que disminuye la función objetivo en un valor igual al pago de intereses por el crédito solicitado. El interés se paga a los 6 meses después de haber obtenido el crédito.  Restricciones. El periodo de planeación es 1 año, por tanto, las restricciones

son mensuales. R01 a R12 : Restricción de mano de obra familiar, impuestas por el número de miembros de la familia que trabajan en la chacra Jornales-hombre de 8 horas de trabajo. R13 a R36: Restricción de capital de trabajo. En miles de soles. El capital inicial del agricultor es de 3'600,000 soles. R37 a R39: Restricciones de tierra para tres periodos de producción (hectareas). R40: 4 miembros de la familia que trabajan 20 días/mes, cada uno.

100

 Modelos de redes

P0 1

P0 2

P 03

P0 4

P0 5

P 06

P0 7

P0 8

P 09

P1 1

P1 2

P1 3

P1 4

2 66 3

3 62 3

1 30 2

2 68 9

3 74 0

3 77 0

1 68 2

1 21 5

1 94 1

0

- 4. 2

- 3. 9

- 3. 6

- 3. 7

46

48

-20

-1

32

9

-20

R03

7

-20

R04

21

-20

F.O R01 R02

47

P1 0

R05

8

R06

34

35

9

19

19

-20

41

16

13

9

8

60

-20

R08

18

40

30

3

7

22

-20

R09

19

R10

48

43

12

3

8

-20

14

27

28

-20

R11

21

-20

R12

57

-20

R13

- 3. 5

P1 6 - 3. 2

P1 7 - 3. 3

P1 8 - 3. 0

P1 9 - 2. 8

P2 0 - 3. 0

P2 1 - 2. 8

P2 2 - 2. 7

P2 3 - 0. 05

P2 4 - 0. 1

P2 5 - 0. 05

P2 6 - 0. 05

P2 7 - 0. 05

P2 8 - 0. 05

P2 9 - 0. 05

P3 0 - 0. 05

P3 1 - 0. 05

P3 2 - 0. 05

P3 3 - 0. 05

-1 -1 -1

-20

R07

P1 5

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1

R14

1

R15

1

R16

1

R17

1

R18

1

R19

1

R20

1

R21

1

R22

1

R23

1

R24

1

R25

798

593

94

R26

172

75

87

R27

-4747

13

79

R28

7 63

R30

425

551

145

530

319

84

185

5

3

251

675

102

126

3

4

21

532

94

-2090 -3240

14

8

221

88

16

85

114

108

-2200 -1980 -3590

103

R31

684

R32

320

R33

41

R34

132

890

R35

-3960

413

R36

- 4187

96

R29

499

91

254

99

R37

1

R38

1

R39

1

1

4.2

1 3.9

-1 3.6

1 -1

3.7

1 -1

3.5

1 -1

3.2

1 -1

3.3

1 -1

3.0

1 -1

2.8

1 -1

3.0

1 -1

2.8

1 -1

2.7

-1

1

1

1

R40

1

1

1

1

1

1 1

 Modelos de redes

1

101

Bibliografía.

Benek Raymond (1984). Programación lineal. Aplicación a la agricultura. Editorial AEDOS –  Barcelona. 1ra. Edición. Bonini Ch., Hausman W. y Bierman H. (2000). Análisis cuantitativo para los negocios. Novena Edición. McGraw Hill. Santafé de Bogota. Colombia. Eppen G.D., Gould F.J., Schmidt C.P., Moore J.H., Weatherford L.R. (1998). Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa: Construcción de modelos para la toma de decisiones con hoja de cálculo electrónicas. Quinta Edición. Pearson Educación. Hamdy A. Taha, (2004). Investigación de Operaciones. 7ª Edición, Prentice Hall. Hazell Peter y Norton Roger (1986). Mathematical programming for economic analysis in agriculture. Macmillan Publishing Company. New York.

P3 4

RHS

- 0. 24

< < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < -1 < < < < < < 1.24 < < < < < < < < < =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10   3600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 4

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Bibliografía.

Benek Raymond (1984). Programación lineal. Aplicación a la agricultura. Editorial AEDOS –  Barcelona. 1ra. Edición. Bonini Ch., Hausman W. y Bierman H. (2000). Análisis cuantitativo para los negocios. Novena Edición. McGraw Hill. Santafé de Bogota. Colombia. Eppen G.D., Gould F.J., Schmidt C.P., Moore J.H., Weatherford L.R. (1998). Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa: Construcción de modelos para la toma de decisiones con hoja de cálculo electrónicas. Quinta Edición. Pearson Educación. Hamdy A. Taha, (2004). Investigación de Operaciones. 7ª Edición, Prentice Hall. Hazell Peter y Norton Roger (1986). Mathematical programming for economic analysis in agriculture. Macmillan Publishing Company. New York. Hillier F.S. y Lieberman G.J. (1998). Introducción a la Investigación de Operaciones. Cuarta Edición en Español. McGraw Hill. León-Velarde C. y Quiroz R. (1994). Análisis de sistemas agropecuarios: Uso de modelos bio-matemáticos. CONDESAN. CIP-CIID-CIRNMA. Mathur Kamlesh y Solow Daniel. (1996). Investigación de Operaciones: El arte de la toma de decisiones. Prentice Hall. Rincón Abril Luis Alberto. (2001). Investigación de Operaciones para Ingenierías y Administración. Universidad Nacional de Colombia.

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Anexo Interpretación de resultados de WinQSB

®

Para que el lector realice un análisis apropiado de los resultados, se presenta en este anexo un análisis de los resultados de WinQSB, en base a un ejercicio sencillo. Para ver mayores detalles, el lector puede recurrir a material especializado disponible en Internet. Max Z = 5X1 + 10X2 + 6X3 Sujeto a: X1 + 3X2 + 5X3 ≤ 60 2X1 + 4X2 + X3 ≤ 40 4X1 + 2X2 + X3 ≥ 20 X j≥ 0 Solución con WinQSB

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103

La interpretación de los resultados es el siguiente:  Decision Variable.  Son las variables estructurales o actividades del modelo

cuya nomenclatura se puede cambiar apropiadamente. Solution value. Es la solución optima que se logra con X 1=15.56, X2=0 y,

X3=8.89. Unit Cost or Profit C(j). Son los coeficientes de las variables estructurales

en la función objetivo. Total Contribution.

Es la contribución de cada actividad en la función objetivo. Resulta de multiplicar los valores de las columnas 2 y 3.  Reduced Cost . Son los costos reducidos, cuyo valor es diferente de cero

siempre que una variable estructural tome valor cero en la solución óptima. En este caso X2=0 en la solución optima, por lo que el costo reducido es igual a -0.78. Significa que al incorporar una restricción que obligue al modelo incluir una unidad de X 2, reducirá la función objetivo en 0.78 unidades monetarias.  Allowable Min C(j) y Allowable Max. C(j). Rango para los coeficientes de

la función objetivo. En el rango que se muestra, la solución actual  permanecerá inalterable, es decir estará conformado por X 1 y X3. Este rango para la variable X1 es 4.59-12.00, significa que por debajo del valor inferior, X1  dejará de formar parte de la solución óptima. En cambio, por encima de 12.00, la solución óptima se alcanzará solo con la variable X 1. Objective function (Max).

Representa el valor de la función objetivo optimizada. En este caso, 131.11 es el valor máximo de la función objetivo. Constraint . Representa las restricciones del modelo, cuya nomenclatura

también se puede cambiar.  Left Hand Side. Lado izquierdo de la restricción. Resulta de multiplicar los

valores óptimos de cada variable con los coeficientes de cada restricción. Para la primera restricción, 66 es el producto de: 15.56 (1) + 0(3) + 8.89 (5).