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MODELADO DE RUTA MÁS CORTA PARA LA COMUNICACIÓN Y TRANSPORTE TERRESTRE ENTRE POBLACIONES DE CUNDINAMARCA COMO UNA PROPUESTA A LA MOVILIDAD REGIONAL

TORRADO SARMIENTO PAOLA ANDREA VEGA VARGAS JESSICA MILENA

FUNDACIÓN UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ, COLOMBIA 2013

MODELADO DE RUTA MÁS CORTA PARA LA COMUNICACIÓN Y TRANSPORTE TERRESTRE ENTRE POBLACIONES DE CUNDINAMARCA COMO UNA PROPUESTA A LA MOVILIDAD REGIONAL

TORRADO SARMIENTO PAOLA ANDREA VEGA VARGAS JESSICA MILENA

Trabajo de Grado para Optar por el Título de Ingeniero Industrial Asesor: Ing. Esp. Oscar Palacio León, Msc.

FUNDACIÓN UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ, COLOMBIA 2013

PAGINA DE ACEPTACIÒN

NOTA DE ACEPTACIÒN

____________________________________________ ____________________________________________ __________________________________ __________ ____________________________________________ __________________________________ __________ ____________________________________________ __________________________________ __________ ____________________________________________ __________________________________ __________ ____________________________________________ __________________________________ __________

FIRMA DEL ASESOR ____________________________________________ __________________________________ __________

FIRMA DEL JURADO ____________________________________________ __________________________________ __________

FIRMA DEL JURADO ___________________________________________ __________________________________ _________

FECHA DE ACEPTACIÒN

____________________________________________

DEDICATORIA

El éxito de terminar nuestro Proyecto de Grado lo dedicamos a Dios quien fue nuestro guía, que con su poder nos dio la vida, la salud y todo lo necesario para alcanzar este Logro.

A nuestros Padres quienes nos colaboraron económicamente y nos motivaron a seguir adelante cada día, para no desfallecer, y culminar este proyecto.

A nuestros Hermanos quienes comparten y se alegran de nuestros triunfos.

A nuestra Familia quienes nos brindaron su apoyo en su debido momento. Paola Torrado, Jessica Vega.

A Fabián Torres quien fue un apoyo fundamental a lo largo de mi pregrado, escuchándome, aconsejándome, guiándome y animándome para no desfallecer. Jessica Vega.

AGRADECIMIENTOS

Al culminar nuestro Pregrado no tenemos más si no agradecimientos, en primer lugar a Dios, quien nos dio la Vida, la Salud y los medios necesarios para terminarlos satisfactoriamente.

A nuestros padres que con su afecto, paciencia y sacrificio nos brindaron en todo momento su apoyo.

A los profesores que nos brindaron sus conocimientos, pero en especial al Ingeniero Rafael Lombana, que nos regaló sus regaños y consejos en su debido momento, que nos hicieron crecer como personas y como profesional.

Al Ingeniero Oscar Palacio, Asesor de este Proyecto, quien nos contactó con el Grupo de Investigación de Producción Experimental de la Universidad Militar Nueva Granada, quien tuvo mucha transigencia para llevar a cabo este proyecto.

A la Ingeniera Martha Ruth Mendoza quien con sus críticas y sugerencias nos impulsó a crear un Proyecto de Calidad.

Al Ingeniero Carlos Iván Palacios, que nos trasmitió sus conocimientos sobre las asignaturas más importantes de la Ingeniería Industrial.

CONTENIDO

Pág.

Resumen ............................................................................................................... 16

INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 18

1.

MATEMATICA DISCRETA............................................................................. 23

1.1. EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG ......................... 24

1.2. TEORIA DE GRAFOS .............................................................................. 25

2. Algoritmos ...................................................................................................... 27

2.1. ALGORITMOS MATEMATICOS PARA LA SOLUCIÓN DE REDES ....... 27

2.2. CAMINO MINIMO..................................................................................... 30

2.2.1. Ruta más corta. ................................................................................. 30

2.2.1.1. Algoritmos para la solución de ruta más corta ............................ 32

2.2.1.2. Hardwares comerciales para trabajar grafos............................... 34

3.

LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN ............................................................... 35

3.1. MODELO DE PROGRAMACIÒN ............................................................. 35

3.1.1. Modelo imperativo. ............................................................................ 36

3.2. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA ..................................................... 36

3.3. COMPUTABILIDAD ................................................................................. 36

3.4. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL........................................................ 37

3.5. EFICIENCIA ALGORITMICA ................................................................... 37

3.5.1. Medida de la eficiencia algorítmica. ................................................... 38

3.6. SOLVERS PARA MEDIR EFICIENCIA ALGORITMICA DE LA RUTA MÁS CORTA ................................................ .......................................................................... .................................................... .................................... .......... 38

4.

SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRAFICA ............................ ............................................ ................ 41

4.1. SISTEMA ASTRA................................................. ASTRA.......................................................................... .................................... ........... 42

5.

METODOLOGÍA ............................................... ........................................................................ ............................................. .................... 46

5.1. INVESTIGACIÓN ................................................. .......................................................................... .................................... ........... 46

5.1.1. Conocimiento................................................................. .................................................................................... .................... 47

5.1.2. Ciencia................................................................... ........................................................................................... ............................ ... 47

5.2. INVESTIGACIÓN APLICADA .................................................. .................................................................. ................ 47

5.3. METODO CIENTIFICO .................................................... ............................................................................ ........................ 48

5.3.1. Observación............................. Observación....................................................... ................................................... ................................ ....... 48

5.3.2. Inducción. ................................................. .......................................................................... ......................................... ................ 48

5.3.3. Hipótesis. .................................................. ........................................................................... ......................................... ................ 48

5.3.4. Comprobación de la hipótesis. .......................................................... .......................................................... 49

5.3.5. Demostración de la hipótesis. ................................................. ............................................................ ........... 49

5.3.6. Tesis. .................................................... ............................................................................. ............................................. .................... 49

5.4. DESARROLLO DEL MODELO CONCEPTUAL ....................................... ....................................... 49

6.

DESARROLLO EXPERIMENTAL .............................................. .................................................................. .................... 50

6.1. APLICACIÒN DE LA METODOLOGIA.................................................. ..................................................... ... 52

6.1.1. Código programado program ado en Gams ........................................................... ........................................................... 54

6.1.2. Procedimiento................................................................ .................................................................................... .................... 56

6.1.2.1. Primera metodología .................................................. .................................................................. ................ 57

6.1.2.2. Segunda metodología ............................................. ................................................................. .................... 58

6.1.2.3. Tercera metodología ............................................... ................................................................... .................... 60

7.

CONTRASTE

DE

ALGORITMOS

COMPUTACIONALES

PARA

LA

SOLUCIÒN DEL PROBLEMA DE RUTA MÀS CORTA ........................................ ........................................ 62

7.1. RESULTADOS CON SOLVERS EMPLEADOS ...................................... ...................................... 64

7.1.1. SOPLEX ............................................... ........................................................................ ............................................. .................... 64

7.1.2. CBC Y BDMLP .................................................................. .................................................................................. ................ 65

7.2. PRESENTACIÓN DEL CONTRASTE .............................. ...................................................... ........................ 66

7.3. ECUACIÓN GENERADA DEL CONTRASTE ........................................ .......................................... .. 69

8. ANALISIS ECONOMICO................................................ .......................................................................... ................................ ...... 70

8.1. ELEMENTOS PROPORCIONADOS POR LA UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA .............................. ....................................................... ................................................... ..................................... ........... 70

8.2. ELEMENTOS SUMINISTRADOS POR LAS AUTORAS.......................... .......................... 71

8.3. PRESUPUESTO GENERAL ................................................ .................................................................... .................... 71

8.4. IMPACTO ESPERADO ................................................ .......................................................................... ............................ .. 73

9.

CONCLUSIONES ................................................. .......................................................................... ......................................... ................ 74

Bibliografía ................................................... ............................................................................. .................................................... ............................ .. 76

Lista de Figuras

Pág.

Figura 1 Mapa de Königsberg donde se encontraban los Siete Puentes ............. 24

Figura 2 Ejemplo de un Dígrafo............................................................................ 26

Figura 3 Ejemplo de un grafo no dirigido o bidireccional ...................................... 26

Figura 4 Ejemplo de Ruta más Corta ................................................................... 31

Figura 5 Esquema del Sistema ASTRA ............................................................... 43

Figura 6 Sistema ASTRA instalado ...................................................................... 44

Figura 7 Diferencia entre el Sistema ASTRA y el IGAC ....................................... 45

Lista de Graficas

Pág.

Gráfica 1 Resultado del empleo de la primera metodología, donde la ruta es variable y la cantidad de nodos es constante. ....................................................... 58

Gráfica 2 Resultado empleando la segunda metodología, donde la ruta es fija y la cantidad de nodos es variable. .............................................................................. 60

Gráfica 3 Resultado empleando la tercera metodología, donde la ruta

y la

cantidad de nodos son variables. .......................................................................... 62

Gráfica 4 Datos obtenidos con las corridas realizadas con el solver SOPLEX ..... 64

Gráfica 5 Datos obtenidos con las corridas realizadas con el solver CBC ............ 65

Gráfica 6 Datos obtenidos con las corridas realizadas con el solver BDMLP ....... 65

Gráfica 7 Tiempo de corrida contra capacidad requerida ...................................... 66

Gráfica 8 Comparación de los tiempos de corrida contra cantidad de nodos de los solvers seleccionados. .......................................................................................... 68

Lista de Tablas

Pág.

Tabla 1 Algoritmos para la solución de redes........................................................ 28

Tabla 2 Algoritmos para la solución de redes........................................................ 29

Tabla 3 Algoritmos para la solución de la ruta más corta ...................................... 32

Tabla 4 Algoritmos para la solución de la ruta más corta ...................................... 33

Tabla 5 Hardware para trabajar grafos .................................................................. 34

Tabla 6 Solvers para resolver problemas de programación lineal, entera y mixta. 39

Tabla 7 Solvers para resolver problemas de programación lineal, entera y mixta. 40

Tabla 8 Proceso del método científico .................................................................. 50

Tabla 9 Etapas del proceso de investigación ........................................................ 51

Tabla 10 Nodos seleccionados ............................................................................. 53

Tabla 11 Metodología uno, Ruta variable - Nodos Constantes ............................. 57

Tabla 12 Metodología dos, Ruta fija - Nodos variables ......................................... 59

Tabla 13 Metodología tres, Ruta variable - Nodos variables ................................. 61

Tabla 14 Comparación de los resultados en las corridas de los solvers ............... 63

Tabla 15 Medición de la eficiencia algorítmica ...................................................... 67

Tabla 16 Elementos proporcionados por la Universidad Militar Nueva Granada .. 70

Tabla 17 Elementos Proporcionados por las autoras ............................................ 71

Tabla 18 Presupuesto general .............................................................................. 72

Tabla 19 Impacto Esperado .................................................................................. 73

RESUMEN

En el Presente trabajo se propone un Modelado de Ruta más corta para la Comunicación y transporte terrestre entre poblaciones de Cundinamarca, contrastando diferentes algoritmos computacionales como propuesta de Movilidad regional. Se expone sistemáticamente la investigación, que inicia con la Matemática Discreta, continua con la Teoría de Grafos, presentando algunos Algoritmos para su Solución, involucrando información del Sistema de Información Geográfica. Para el desarrollo del mismo, se plantea una metodología, la cual busca analizar y determinar la Eficiencia Algorítmica entre los Solvers Seleccionados, permitiendo que este documento pueda ser base para una nueva Investigación respecto al problema de camino mínimo y afines.

La Movilidad es un factor que influye de forma relevante en la Competitividad de una Región, por ello es fundamental encontrar herramientas que permitan innovar y mejorar en este aspecto; la fundamentación dada en las Matemáticas, la Ingeniería, y la aplicación de métodos adecuados pueden lograr el desarrollo de una estrategia que reduzca la improductividad en el tiempo de trayecto, beneficiando tanto a habitantes, empresarios, y gobernación, disminuyendo los gastos en Transporte.

PALABRAS CLAVES

Teoría de Grafos, Ruta más Corta, Modelo Matemático, Programación Lineal, Cundinamarca. 16

ABSTRACT

In the present paper proposes a Shortest Path Modeling for Communication and ground transportation between locations of Cundinamarca, contrasting different computational algorithms as proposed regional mobility.

KEYWORDS

Graph Theory, Shortest Path, Mathematical Model, Linear Programming, Cundinamarca.

17

INTRODUCCIÓN

Este trabajo desarrolla un modelado de ruta más corta a través de una técnica matemática específica, que busca la mejora en la comunicación y transporte terrestre entre poblaciones de Cundinamarca, donde se presenta como una propuesta a la movilidad regional, que permite ser una contribución a la Competitividad en el Departamento.

Está investigación está inmersa en la investigación desarrollada por el Grupo de Investigación de Producción Experimental avalado por la Universidad Militar Nueva Granada, liderado por el PhD. Ing. Pedro José Sánchez Caimán. El Proyecto de Investigación Macro lleva el título de Diseño de un modelo de ruta más corta para la comunicación y transporte terrestre entre poblaciones de Cundinamarca con importancia económica, utilizando técnicas algorítmicas como propuesta a la movilidad regional, su investigador principal es Jair Eduardo Rocha González, y tiene como objetivo primordial, la eficiencia algorítmica entre modelos matemáticos para solución de la ruta más corta. Como metodología los integrantes del Grupo de Investigación se dividieron por células de Trabajo, y a cada uno le correspondió una técnica matemática específica, para desarrollar el modelado de ruta más Corta para la Comunicación y Transporte terrestre entre Poblaciones de Cundinamarca.

18

JUSTIFICACIÓN

Está investigación está inmersa en la investigación desarrollada por el Grupo de Investigación de Producción Experimental avalado por la Universidad Militar Nueva Granada, liderado por el PhD. Ing. Pedro José Sánchez Caimán. El Proyecto de Investigación Macro lleva el título de Diseño de un modelo de ruta más corta para la comunicación y transporte terrestre entre poblaciones de Cundinamarca con importancia económica, utilizando técnicas algorítmicas como propuesta a la movilidad regional, su investigador principal es Jair Eduardo Rocha González, y tiene como objetivo primordial, la eficiencia algorítmica entre modelos matemáticos para solución de la ruta más corta. Como metodología los integrantes del Grupo de Investigación se dividieron por células de Trabajo, y a nosotras nos correspondió una técnica matemática específica para desarrollar el modelado de ruta más Corta para la Comunicación y Transporte terrestre entre Poblaciones de Cundinamarca.

Este trabajo muestra cómo, a partir de fundamentación científica, tecnológica y humanística, se gestiona procesos para la innovación y mejoramiento continuo de las organizaciones, con el objetivo de contribuir al progreso socioeconómico del departamento y del país, por ende a la mejora de la calidad de vida de los colombianos.

El Programa de Ingeniería Industrial de la Universidad Autónoma de Colombia tiene como visión que sus egresados, mediante la utilización plena y óptima del conocimiento, apoyen al país, en la implementación de estrategias, para la participación activa del mismo, en el mercado global de bienes y servicios, para 19

generar un crecimiento económico y social sostenible. (Universidad Autonoma de Colombia, 2010). En este trabajo se pretende generar una propuesta a la movilidad, que pretende apoyar a la Gobernación de Cundinamarca, en su iniciativa de mejorar la Competitividad, Innovación y Movilidad en la región, a través de diferentes Programas, tal es el caso del programa: Cundinamarca Competitiva, Emprendedora y Empresarial, que pretende ascender durante el periodo de Gobierno 2012-2016, un lugar en el escalafón de Fortaleza Económica en el Ranking de Competitividad Departamental en Colombia. Este Programa tiene como objetivo hacer este Departamento más competitivo, al fortalecer condiciones y factores estructurales que permitan el crecimiento económico, al igualar las condiciones de las Diferentes poblaciones del Territorio. (Gobernación de Cundinamarca, 2012). Este trabajo presenta un Modelo que permite fortalecer y consolidar la red regional, promoviendo la articulación de las Poblaciones, con el fin de apoyar las estrategias de la Gobernación en el Fortalecimiento de la asociatividad, el cooperativismo y otras herramientas para promover la economía Solidaria; siendo esto una base para aumentar la Competitiva de la Región en el País.

El presente también procura presentar una alternativa de solución de la movilidad regional para generar desarrollo y fomento de la distribución, promoción, comercialización de bienes y servicios entre los sectores económicos de Cundinamarca, permitiendo la consolidación de redes empresariales, con el fin de mejorar la productividad y el desarrollo tecnológico, encaminados a mejorar la calidad de vida de los habitantes de la región tanto en el Sector Rural como en el Urbano. Actualmente y de acuerdo con la información catastral del 2009, difundida por el Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC), la superficie del Departamento es de 2.236.149 hectáreas; el total de predios es de 985.901, siendo 1.442.590 el número de propietarios, con un promedio de 1,46 propietarios por predio. El área construida es de 81.392.357 metros cuadrados; en la zona rural, existe 2.216.783 hectáreas, divididas en 506.226 predios, que pertenecen a 756.412 propietarios, 20

dando un promedio de 1,49 propietarios por predio; el área construida es 34.755.989 metros cuadrados; por lo anterior se hace necesario un plan de movilidad, pues cabe anotar que la congregación de las propiedades que existen en el sector urbano, se ubican en espacios catalogados como urbanizables (Gobernación de Cundinamarca, 2010), y es indispensable realizar planes en promulga del desarrollo del departamento. Para ello, se requiere generar una propuesta que busque el mejoramiento en la interrelación de las poblaciones de Cundinamarca, desde sus canales viales, con el fin de aumentar la competitividad del territorio, que se basa principalmente en mejorar la movilidad, para ello la propuesta que se presenta a lo largo de este trabajo.

21

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL. Proponer un Modelado de Ruta más corta para la Comunicación y transporte terrestre entre poblaciones de Cundinamarca, contrastando diferentes algoritmos computacionales como propuesta de Movilidad regional.

OBJETIVOS ESPECIFICOS



Hacer diagnóstico de Rutas de conexión entre los Puntos Geográficos en el Departamento de Cundinamarca.



Formular la Propuesta metodológica de Trabajo para desarrollar el Modelado de ruta más Corta, a través del uso de modelos exactos.



Contrastar Diferentes Algoritmos Computacionales de Solución al Problema de ruta más corta para determinar Eficiencia Algorítmica.

22

1. MATEMATICA DISCRETA

La matemática discreta es la parte de las Matemáticas encargada del estudio de los conjuntos discretos, es decir los finitos o infinitos numerables; estudia estructuras cuyos elementos piden contarse individualmente, tal es el caso del conjunto de los números naturales. (Rosen, 2004) (Johnsonbaugh, 2005)

Agregando a la definición de matemática discreta dada anteriormente, esta trata temas como, los arreglos formados con elementos de un conjunto finito, sucesiones,

algoritmos,

lenguajes,

graficas,

objetos

geométricos

finitos,

estructuras algebraicas y procesos infinitos dados por saltos. (Verde Star, 1995)

Dentro de los temas principales de la matemática discreta, encontramos que se tratan muchos subtemas, algunos de ellos son, lógica matemática, teoría de conjuntos, disibilidad y congruencias – presenta tópicos como ecuaciones diofánticas, congruencias lineales, y funciones aritméticas –, combinatorias – relaciona temática como las funciones combinatorias, técnicas de conteo, números binomiales y recurrencias –, por último se menciona uno de los grandes subtemas de la matemática discreta como lo es, la teoría de grafos. Área de gran importancia, tanto que de los años 80 hacia adelanté muchos autores le han dedicado obras literarias completas al tema, es importante recordar que muchos de los temas expuestos en la teoría de grafos son aplicaciones de algoritmos. (García , López , & Puigjaner, 2002)

23

1.1.

EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

El problema de los siete Puentes de Königsberg, es un problema matemático planteado en el Siglo XVIII, por el matemático suizo Leonhard Euler, gracias a su artículo publicado en 1736 llamado “La solución de un problema referente a la geometría de posición” , este problema se originó en la Ciudad de Königsberg,

actualmente Kaliningrado, Rusia. Los puentes en esa época, conectaban las cuatro regiones que estaban divididas por el Rio Pregel; los habitantes de esta ciudad pasaban su tiempo libre preguntándose sobre la posibilidad de pasar por todos los puentes, cruzando cada uno, una sola vez. Este problema da Origen a la Teoría de Grafos. (Scheinerman, 2008) (Sonego Zimmermann, 2011) (Grimaldi, 1998)

Figura 1 Mapa de Königsberg donde se encontraban los Siete Puentes

Fuente: http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/modelizaciones/proyectos 24

1.2.

TEORIA DE GRAFOS

En la teoría de grafos se tratan temas como, clases de grafos, arboles, planaridad, coloración, recorridos, teorías de gráficas, algebras booleanas, diseños combinatorios, teoría de códigos, teoría de Ramsey, entre otros. (García , López , & Puigjaner, 2002)

Un Grafo es una terna G= (V, A, i ), donde V y A son conjuntos finitos e i es una aplicación, El primer elemento del grafo es denominado vértice o nodo (V), seguido de un segundo elemento llamado aristas o arcos (A) y por último se tiene un elemento de incidencia i, que asocia a cada arista sus extremos o vértices. Una característica importante de los grafos es que algunos presentan bucles, un bucle se presenta cuando cada uno de los extremos de una misma arista llega a un solo vértice. (Ferrando & Gregori, 2012)

Existen dos tipos de grafos los dirigidos y los no dirigidos. Los dirigidos también llamados dígrafos, son los que tienen un arco con una dirección predeterminada y tiene un vértice de origen y un vértice de destino, como una carretera con un solo sentido, cuando un dígrafo presenta múltiples aristas o aristas paralelas se denomina Multígrafo. Los grafos no dirigidos o grafos bidireccionales, como su nombre lo indica son grafos en los cuales una arista tiene dos direcciones es decir que puede ir del nodo 1 al nodo 2 y del nodo 2 al nodo 1. (Pérez Aguila, 2013)

25

Figura 2 Ejemplo de un Dígrafo

Figura 3 Ejemplo de un grafo no dirigido o bidireccional

Un grafo es una representación en forma de red de un conjunto de objetos, cosas, organismos, entre otros de la vida real como: mallas viales, redes informáticas, redes sociales, conjunto de procesos, entre otras. (Restrepo C & Sánchez C, 2004) (Marques Soares, 2010) Como un grafo es una representación en forma de red (Taha, 2012). Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notación para describir una red es (N, A). Donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos. (Prawda, 2004) (Grimaldi, 1998) 26

2. ALGORITMOS

Para dar una definición sencilla y clara, un algoritmo es una serie o una secuencia finita de pasos estructurados y ordenados los cuales precisan la manera de llevar a cabo una tarea o actividad, La palabra algoritmo surgió en el siglo IX d, D., gracias al matemático persa al-Khwarizmi, quien desarrollo múltiples algoritmos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, lo cual dio origen al algebra. (Moreno & Ramírez, 2011)

Desde un enfoque computacional, un algoritmo es un procedimiento totalmente estructurado y definido, que contiene valores de entrada, e instrucciones organizadas secuencialmente, para generar valores de salida, en un tiempo específico, permitiendo dar solución a un problema. (Saavedra Gutierrez, 2007)

2.1.

ALGORITMOS MATEMATICOS PARA LA SOLUCIÓN DE REDES

En seguida se presentan algunos algoritmos que pueden ser utilizados para la solución de redes (grafos), con ello lograremos una mejor identificación y comprensión de cada uno de ellos. 27

Tabla 1 Algoritmos para la solución de redes Árbol de expansión mínima En este algoritmo la red está conectada por todos los nodos del grafo mediante los arcos, ya sea de forma directa o indirecta, es esencial que la longitud de las ramas conectadas sea minina. En el árbol de expansión mínima no están permitidos los ciclos, ni los bucles. El presente algoritmo busca o tiene como finalidad encontrar las ramas más económicas del sistema con el fin de encontrar la distancia mínima a recorrer, construir, diseñar, etc. (Taha, 2012)

Algoritmo de la ruta más corta La principal característica de la ruta más corta es que tiene un nodo – fuente, un nodo – destino, como en una red de transporte, donde partimos de un punto origen y

necesariamente llegamos a un fin que sería el nodo destino. En este algoritmo se pueden resolver redes cíclicas y a cíclicas, de ahí su importancia. Su objetivo principal es encontrar las distancias más cortas de los arcos que comunican a los nodos de la red, lo anterior principalmente para la movilidad. (Taha, 2012)

Algoritmo del flujo capacitado con costo mínimo. La solución de este algoritmo en muy eficiente ya que toma en cuenta las capacidades limitadas de los arcos, considera el costo y distancia del arco, una característica importante de este modelo es que se puede tomar varios orígenes y destinos con el fin de que la ganancia total sea la máxima, como en las empresas de mensajería. (Taha,

2012)

28

Tabla 2 Algoritmos para la solución de redes Algoritmo del Flujo Máximo Es característica de el algoritmo flujo máximo que la red este segmentada, tenga distancias intermedias apropiadas, presente un nodo – fuente y uno destino. En los arcos de este algoritmo la capacidad juega un papel muy importante y es determinada por la dirección (uní direccionados; bi-direccionados) de los arcos, si el arco va de acuerdo a la dirección tendrá capacidad finita, si va en la dirección contraria tendrá capacidad infinita. Cabe mencionar un aspecto muy importante, a menor capacidad mayor es el flujo en la red. El principal objetivo del algoritmo del flujo máximo es determinar las rutas de interrupción que tengan un flujo total positivo entre el origen y el destino, como por ejemplo la interrupción del flujo de agua en el sistema de acueducto de una ciudad. (Taha, 2012)

Algoritmo de la ruta critica También llamado camino crítico, en este algoritmo son fundamentales dos métodos; el CPM (Método de la ruta crítica o del camino crítico, Critical Path Method) y PERT (Técnica de evaluación y revisión de programa, program evaluation and review technique). Estos algoritmos son fundamentales para la realización de proyectos ya que ayudan a planificar, programar las actividades (nodos) - consumen tiempo y recursos -, las interacciones (arcos), para este algoritmo es necesario tener en cuenta las relaciones de las precedencias y sus tiempos. (Palacios Morales, 2010)

Método simplex de Redes El método simplex de redes es una versión muy simplificada del método simplex para resolver problemas del flujo de costo mínimo. Como tal, realiza los mismos pasos básicos en cada iteración –encontrar la variable básica entrante, determinar la variable básica que sale y obtener la nueva solución BF- a fin de mover la solución BF actual a una adyacente mejor. Sin embargo, ejecuta estos pasos en una forma de explota la estructura especial de la red del problema sin necesidad alguna de la tabla simplex.

(Hillier & Liberman, 2010) 29

2.2.

CAMINO MINIMO

Toda red de comunicaciones contiene un conglomerado de nodos (pueblos, municipios, etc.) interrelacionado por medio de arcos (carreteras, vías) por medio de los cuales se desplazan elementos de un punto a otro. Generalmente para establecer el camino o la trayectoria, de dichos elementos es la formulación de la Ruta más corta, donde cada arco tiene un número que representa su longitud, y el objetivo es determinar la el camino más corto dado entre el nodo inicial y el nodo final. (Alonso Revenga, 2008) (Divoky & Hung, 1990) (Nazemi & Omidi, 2012)

2.2.1. Ruta más corta. El modelo de Ruta más corta consiste en una red donde cada arco (i,j), posee un cij, que representa la distancia (diferente de cero) que existe del nodo i al nodo j. (Eppen, 2000). En resumen el Problema de la Ruta más corta está dado entre un punto origen y un punto destino (Taha, 2012) (Nagih & Soumis, 2005)

La forma general de desarrollar el Algoritmo de la Ruta más corta es primero encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen, y hacer esto repetitivamente hasta que se llegue al nodo destino; luego de haber realizado todas las interacciones, se debe registrar los datos de la distancia, en la trayectoria dada desde el nodo origen hasta el nodo destino (Izar Landieta, 1996) (Zhan, 1997)

30

Desde la investigación de Operaciones se puede dar solución a muchos problemas de la ruta más corta, calculando el camino más corto entre dos vértices de un gráfico. Este problema es común en aplicaciones de enrutamiento, que se desarrolla usando algoritmos. (Philpott, 1994)

Los variados métodos para calcular la ruta más corta, generalmente conducen a procedimientos computarizados, donde la red de interacciones y los datos de los nodos puedan registrarse en una base de datos (Ballou, 2004) (Paredes Belmar & Obreque, 2009)

Para encontrar los caminos más cortos entre los nodos origen-destino en una red, después de haberla dividido en dos o más regiones, se puede desarrollar también entre nodos de Límite, es decir, un nodo que está en una región ubicado con otro que se encuentra en una región diferente. (Lansdowne & Robinson, 1982) (Garrido & Onaindía, 1999)

La ruta más corta responde al siguiente modelo en red:

Figura 4 Ejemplo de Ruta más Corta

31

2.2.1.1.

Algoritmos para la solución de ruta más corta

A continuación se presentan algunos algoritmos que pueden ser utilizados para la solución del algoritmo de la ruta más Corta, con el propósito de hacer una identificación clara y precisa de cada uno de ellos, lo que nos permita escoger el más adecuado.

Tabla 3 Algoritmos para la solución de la ruta más corta Algoritmo de Dijkstra (Camino Mínimo) Este algoritmo tiene por objetivo calcular la ruta más corta entre un nodo origen y los demás nodos del grafo, está basado en el estado del enlace (arco) el cual está definido por un número (longitud del arco), este valor debe ser inversamente proporcional a la capacidad del enlace -los arcos pueden ser bi-direccionados (Gil Vázquez, Candelas, &

Pomares, 2010). Una característica de este algoritmo es que se utilizan etiquetas para definir los nodos. (Taha, 2012)

Algoritmo de Floyd-Warshall Este algoritmo establece la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera de la red (grafo). Es de vital importancia mencionar que este algoritmo representa al grafo como una matriz cuadrada con n renglones y n columnas, la distancia del arco esta expresada con dij del nodo i al nodo j. El arco es finito cuando i está conectada directamente con j , es infinito cuando es inverso. (Taha, 2012)

Transbordo El problema de la ruta más corta puede ser formulado como un problema de transporte al tener un nodo inicial (i) y un nodo final ( j). El objetivo es minimizar el costo de enviar una unidad del nodo i al nodo j, los demás nodos de la red son nodos de transbordo y el costo de enviar una unidad es la longitud del arco si esta existe, si no se le asigna el valor de M que es un valor positivo muy grande. (Winston , 2006) 32

Tabla 4 Algoritmos para la solución de la ruta más corta

Algoritmo de Bellman – Ford Este algoritmo recibe varios nombres como: enrutamiento por vector distancia, algoritmo de Bellman – Ford distribuido y algoritmo de Ford – Fulkerson, estos dos últimos nombres en honor a los investigadores que desarrollaron el algoritmo. Este es un algoritmo dinámico que toma en cuenta la carga actual de la red y determina el camino más corto o el camino más largo del grafo entre dos puntos (nodo inicial – nodo final), los vectores (arcos) de la red pueden usar distintas métricas como distancia, tiempo, saltos, entre otros. (Tanenbaum, 2003), (Soret los Santos, 2004).

Programación Lineal El modelo de programación lineal puede ser utilizado para resolver problemas de ruta más corta entre dos nodos de una red, el modelo programación lineal es equivalente al algoritmo de Floyd. (Taha, 2012). Algunos Problemas de Programación Lineal pueden ser planteados usando redes (Alonso Revenga, 2008). Función Objetivo: Minimizar

∑  ∑    

Los modelos de Programación Lineal, busca

optimizar la Función Objetivo, que está sujeta a restricciones sobre las variables de decisión.

Sujeto a:

    ∑    { =

A groso modo la programación lineal es una técnica que sirve fundamentalmente para resolver problemas de asignación de recursos (Arreola Risa & Arreola Risa, 2003). El modelo de Programación Lineal en forma general responde a la siguiente estructura: n es el número de variables y m es el número de restricciones (Soler Fajardo, Rojas

Cortés, & Molina Focazzio, 2004).

33

2.2.1.2.

Hardwares comerciales para trabajar grafos

Posteriormente se muestran algunos Hardware (maquinas) que pueden ser usados para trabajar grafos, con el fin de dar solución a los mismos, como el grafo de una red vial:

Tabla 5 Hardware para trabajar grafos AMPL111 (Algebraic Mathematical Programming Language) Lenguaje de modelado algebraico para problemas de optimización lineal y no lineal, en variables discretas o continuas.

(Bell Laboratories, 2013) MPL (Mathematical Programming Language) Sistema de modelado avanzado que permite al desarrollador un modelo para formular modelos de optimización complejos de una manera clara, concisa y eficaz. (Maximal Software, 2013)

AIMMS Un lenguaje de modelado con estructuras de datos indexados que se combina con conceptos de modelado y de resolución avanzados, como la generación de columnas y la programación estocástica. (AIMMS, 2013)

Xpress-IVE Xpress-IVE es un desarrollador de entorno visual para escribir, compilar y gestionar modelos matemáticos. (FICO, 2013)

GAMS GAMS (General Algebraic Modeling System) es un Lenguaje de Programación Matemática que permite modelar, analizar y generar la resolución de diferentes Problemas. (Marín Alberdi, 2000)

34

El hardware que se utilizara para resolver el problema de la ruta más corta en el departamento de Cundinamarca es Gams, esto por disposición del grupo de investigación de la Universidad Militar Nueva Granada.

3. LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN

El lenguaje de Programación es un lenguaje que sirve para controlar el comportamiento de una máquina. Está conformado por un conjunto de condiciones semánticas y sintácticas que permiten definir su estructura y presentan un significado de sus elementos, respectivamente. (Saavedra Gutierrez, 2007). El lenguaje de Programación describe acciones consecutivas que determinada a la máquina que debe efectuar, por lo cual es fácil de comprender, al permitir mayor adaptación para ejecutar en diferentes tipos de equipos. (Kioskea, 2013)

3.1.

MODELO DE PROGRAMACIÒN

Un modelo de Programación determina los métodos en la construcción de un Programa. La programación tiene como propósito obtener algoritmos que resuelvan problema con eficiencia. (Saavedra Gutierrez, 2007) 35

3.1.1. Modelo imperativo. El modelo Imperativo utiliza la secuencia de comandos o instrucciones para generar el estado de un programa, lo cual define el código de la máquina. (Saavedra Gutierrez, 2007)

3.2.

PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA

Los procedimientos y funciones constituyen la Programación, estos pueden o no comunicarse entre ellos. Los procedimientos y funciones forman una secuencia, que se seleccionan e interaccionan, permitiendo reutilizar el código establecido para mejorar la comprensión de la programación. (Sierra, 2010)

3.3.

COMPUTABILIDAD

La teoría de la Computabilidad está fundamentada en los modelos que provienen del cálculo, las técnicas de la Ingeniería para el diseño y desarrollo de Algoritmos. La Teoría de la Computación está conformada por La complejidad computacional; analiza los recursos necesarios para dar solución a los problemas, y así determinar la cantidad de los mismos. Los problemas que tienen una solución con 36

orden de complejidad lineal son los problemas que se resuelven en un tiempo equivalente a su tamaño. (Cortez, 2004)

3.4.

COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL

La complejidad Computacional estudia la Eficiencia de los Algoritmos, para ello establece el tiempo de corrida, permitiendo conocer su viabilidad en su implementación, además provee herramientas para catalogar la dificultad de un determinado problema, y de esta manera, definir un algoritmo eficiente para su solución. (Cortez, 2004)

3.5.

EFICIENCIA ALGORITMICA

Un propósito general en el diseño y desarrollo de un programa es consumir recurso en la cantidad mínima posible, y generando un alto aprovechamiento de los mismos. El análisis asintótico de un algoritmo permite definir la eficiencia del mismo, al realizarse un análisis fundamentado en el tiempo de corrida, teniendo en cuenta el tamaño de los datos de entrada. La eficiencia de un algoritmo se mide según la cantidad de recursos necesarios para su ejecución, generalmente con el fin, de contrastarlas con otros resultados generados. (Balcázar, 2012) (Abad Soriano, 2010) 37

3.5.1. Medida de la eficiencia algorítmica. Para comparar y analizar la Eficiencia de los Algoritmos, estos deben estar establecidos en un lenguaje de Programación, una unidad de medida es el número de instrucciones que tiene el programa, sin embargo, esto determinaría que el algoritmo más eficiente es aquel que tarde el menor tiempo en resolver un problema en determinada máquina, por ello, se debe tener un tipo de datos, que permita emplear los métodos acertados para la realización de las operaciones entre ellos. El objetivo general de la Eficiencia Algorítmica es reducir el número de instrucciones, y seleccionar aquellas que realmente se requieren para procesarse. (Abad Soriano, 2010) Lo anterior refiere, a que la metida del tiempo está directamente relacionada con la ejecución de cada instrucción.

3.6.

SOLVERS PARA MEDIR EFICIENCIA ALGORITMICA DE LA RUTA MÁS CORTA

Enseguida mostraremos algunos de los solvers que posee el hardware (maquina) Gams para la resolución de problemas de programación lineal, entera y mixta. Puesto que algunos de ellos son seleccionados posteriormente con el fin de proseguir con el presente trabajo.

38

Tabla 6 Solvers para resolver problemas de programación lineal, entera y mixta. Alpha-CP Es un solucionador MINLP (programación no lineal entera mixta) basado en el método de plano de corte extendido (ECP). El solucionador puede aplicarse a problemas MINLP generales y soluciones óptimas globales puede garantizarse para problemas MINLP.

BARON BARON (Branch-And-Reduce Optimization Navigator) Es un solver de GAMS para la solución global de PNL y MINLP BARON implementa algoritmos deterministas de optimización global del tipo branch-and-bound que están garantizados para proporcionar óptimos globales bajo supuestos bastante generales. Estas incluyen la disponibilidad de los límites inferior y superior finitos sobre las variables y sus expresiones en la PNL o MINLP a ser resuelto.

DICOPT Es un programa para resolver (MINLP) problemas de programación lineal entera mixta que involucran binario lineal o variables enteras y las variables continuas lineales y no lineales, estas han alcanzado la fase de madurez y fiabilidad como el modelado de programación lineal, entera o no lineal, estos problemas tienen una amplia área de aplicaciones. El algoritmo MINLP dentro DICOPT resuelve una serie de la PNL y MIP. Estas sub -problemas se pueden resolver utilizando cualquier PNL (Programación no lineal ) o MIP (Programación entera mixta ) resuelve que se ejecuta en GAMS

BDMLP Es un solucionador de MIP y LP que viene gratis con cualquier sistema GAMS. Está dirigido a pequeñas y medianos modelos. Fuente: (Rosenthal, 2013)

39

Tabla 7 Solvers para resolver problemas de programación lineal, entera y mixta. LGO El Optimizer Global Lipschitz - continua (LGO) sirve para el análisis y la solución global de la programación lineal en general (PNL) modelos. El sistema resuelve LGO se ha desarrollado y extendido progresivamente desde hace más de una década y ahora incorpora un conjunto de solucionadores lineales globales y locales sólidas y eficientes. También puede manejar modelos PT pequeños. GAMS / LGO integra los siguientes algoritmos de alcance mundial El enfoque general de la solución seguida por GAMS / LGO está basado en la combinación perfecta de la búsqueda global y local estrategias. Esto permite una amplia gama de operaciones. En particular, un enfoque suite de solucionador apoya el uso flexible de los solucionadores de componentes: uno puede ejecutar completamente automática (búsqueda global y / o local basado en ) la optimización , y pueden diseñar personalizado carreras interactivos .

LINDO Garantiza soluciones globalmente óptimas a problemas no lineales generales con la continua y / o discretas variables. LINDO soporta funciones más matemáticos como Solucionadores de métodos no lineales como la programación lineal sucesiva empleando (SLP) o el gradiente reducido generalizado (GRG) devolverá una solución óptima local a un problema de PNL.

SCIP Solución de programas enteros de restricción, es un marco para Programación Entera con restricciones orientado hacia las necesidades de Programación Matemática. También se puede utilizar como una MIP puro o solucionador de MINLP o como un marco para la rama de branch-cut-and-price. Dentro de GAMS, el MIP y Instalaciones para resolver MINLP de SCIP están disponibles. Fuente: (Rosenthal, 2013) 40

Por cuestiones de la licencia de Gams, los solvers utilizados para este trabajo fueron BDMLP, SOPLEX y CBC, debido a que tienen licencia completa, por esta misma razón Gams tiene restringida información sobre el solver de BDMLP y no ofrece información alguna los software SOPLEX y CBC.

4. SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRAFICA

Existe una Alternativa para encontrar solución al problema de la ruta con menor distancia desde un punto origen a un punto destino, en las grandes ciudades, permitiendo reducir la distancia que recorre un auto en una carretera, utilizando teoría de Grafos y sistemas de Información Geográfica. (Toledo López & Montiel Pérez, 2004) (Moreno Navarro, 2007)

Se puede establecer un sistema de rutas de mínima distancia utilizando el Algoritmo de Dijkstra, estableciendo como base un mapa carretero de la Ciudad de México, desarrollado, a partir de sistemas de Información Geográfica y procesamientos de Video. (Montiel Pérez, Serrano Talamantes, & López Bonilla, 2006) (Montiel Peréz, Romero Herrera, & Lopez Bonilla, 2001)

41

4.1.

SISTEMA ASTRA

Según el Contrato realizado por el Señor Ciro Alberto Pabón y FONDECUN (Fondo de Desarrollo de Proyectos de Cundinamarca), donde se tiene como Objetivo la asesoría a la Secretaria de Transporte y Movilidad de Cundinamarca, al traslado del Sistema ASTRA, que posee la Gobernación de Cundinamarca antes de la ejecución del contrato nombrado (Pabón, 2010).

El Sistema ASTRA, está conformado de la siguiente manera:



Cámara Fotográfica: Utilizada para tomar fotos en las carreteras.



Distanció metro DM6E: Sirve para medir las distancias de las vías.



Teclados: Son elementos que permiten registrar datos tomados durante el recorrido.

Computadores (2): Un Computador sirve como receptor de la



información captada por la cámara y el distanció metro, también es utilizado para registrar los datos a través de los teclados, además de dar potencia a la cámara; el otro computador recibe la información que es trasmitida por el GPS, respecto a su posicionamiento.



Sistema Eléctrico de Alimentación de los componentes y el Sistema de Conexión de las señales de los Aparatos utilizados. 42

Figura 5 Esquema del Sistema ASTRA

Fuente: Mapa Vial de Cundinamarca

Los elementos del Sistema permiten almacenar en los Computadores, la posición del Vehículo Usando GPS, las fotografías tomadas por la cámara cada 10 metros de acuerdo con el distanció metro, generar el inventario visual de la carretera, con toda la información recogida se generó un mapa que contenía el trazado del recorrido del vehículo y los elementos de inventario registrados.

43

Figura 6 Sistema ASTRA instalado

Fuente: Informe 20110302 – Ciro Pabón

La diferencia entre el Trazado realizado con el Sistema ASTRA (Color azul oscuro), y el mapa producido por el Instituto Geográfico Agustín Codazzi (Color azul claro), refleja la inexactitud que posee el mapa trazado por el IGAC; se podría deducir que se debe a que el dibujante que trazo el eje de la vía en la Cartografía, pudo cambiar del trazado de la vía principal a una vía secundaria, tal vez porque la vía se encontró en malas condiciones. 44

Figura 7 Diferencia entre el Sistema ASTRA y el IGAC

Fuente: Google Earth 2011

El mapa utilizado para establecer la Red, que es la base, para el desarrollo de este trabajo es el resultado del contrato entre FONDECUN y el Señor Ciro Pabón, pues este mapa genera mayor confiabilidad. El Sistema ASTRA presenta reducción de error en el trazado del mapa vial de Cundinamarca, porque cada eje 45

se revisó individualmente, y esto se puede demostrar al compararlo con la imagen satelital.

5. METODOLOGÍA

5.1.

INVESTIGACIÓN

La Investigación Científica es el Fundamento de las Ciencias, pues está estudia la Realidad, es decir, la Analiza, sobre esta se fórmula la hipótesis para proponer nuevas Teorías, con el fin de evidenciar teórica y experimentalmente, con el fin de realizar una mejor interpretación del contexto. Toda investigación recopila conocimientos y los organiza, cumpliendo con ciertas características tales como: Empírica (Los datos cualitativos y cuantitativos deben ser extraídos durante el proceso de Investigación), Sistemática (Proceso Controlado que analiza información para cumplir con un objetivo), Fiable (Los métodos, condiciones y resultados deben poder replicarse), Valida (Exactitud en la interpretación de los Resultados y en la Generación de las Conclusiones), y Objetiva (Realiza pruebas para garantizar el Control de los datos y los procedimientos empleados) (Cegarra Sánchez, 2004) (Tamayo y Tamayo, 2004) (Hernandez Sampieri, Fernández Collado, & Baptista Lucio, 1991).

46

5.1.1. Conocimiento. El conocimiento es un proceso que manifiesta la percepción de la realidad, y genera un resultado tales como conceptos o representaciones. (Molina, 2007)

5.1.2. Ciencia. La Ciencia es una conglomeración de Conocimientos, los cuales deben establecer descripciones Objetivas, fundamentadas en aspectos verificables de la Realidad, y se presentan de forma sistemática y metodológica. (Arias F. G., 2006)

5.2.

INVESTIGACIÓN APLICADA

La Ciencia Aplicada es aquella que trata de aplicar la ciencia básica para mejorar o implementar una solución a determinado problema, para ello realiza investigaciones científicas (Gutiérrez Aranzeta, 2005). La Investigación Aplicada parte de los avances y descubrimientos que genera la Investigación Pura, está se interesa en ponerlos en práctica, llevarlos a la realidad y así generar una continua modificación, innovación y continua mejora en su ejecución (Toro Jaramillo & Parra Ramírez, 1986) (Arias, y otros, 1987)

47

5.3.

METODO CIENTIFICO

El método científico es un procedimiento de investigación que facilita la generación del

conocimiento

en

el

desarrollo

de

las

ciencias

experimentales,

fundamentándose en el empirismo y en la medición, resultados de las pruebas realizadas a lo largo de la Investigación. (Gutierrez Riveros, Beltran Urrego, & Mendoza Pardo, 1983) (Salkind, 1999)

5.3.1. Observación. Indagar un objeto, fenómeno o factor, a través de la aplicación de los sentidos, para interpretar la realidad, utilizando la Medición para la Obtención de Datos.

5.3.2. Inducción. Establecer los principios que pueden plantearse después de observaciones o experiencias con el fenómeno observado. Para ello se registran exactamente lo que vemos, con las medidas que se hayan podido realizar, para luego clasificar estos fenómenos observados.

5.3.3. Hipótesis. Plantear una suposición y/o interrogante respecto a la Observación, tomando en cuenta la información extraída de la revisión bibliográfica hecha con anterioridad, para proponer una conjetura con fundamento. 48

5.3.4. Comprobación de la hipótesis. Realizar tipos de Experimentación para verificar la Viabilidad de la Hipótesis, empleando aparatos de Medida.

5.3.5. Demostración de la hipótesis. Se debe confirmar o Refutar (Anti-tesis) la Hipótesis, después de los resultados que arroja la Comprobación.

5.3.6. Tesis. Se debe concluir y llegar a la Teoría Científica, esta se valida explicando todos los hechos conocidos durante el proceso del método.

5.4.

DESARROLLO DEL MODELO CONCEPTUAL

Este es el proceso que se tomó con base en el Método Científico (Bravo, 1997), el cual es adaptado al problema de investigación (ruta más corta) que estamos trabajando.

49

Tabla 8 Proceso del método científico ETAPA

DESCRIPCIÓN

Planeación y Diseño

Se debe establecer una estrategia General para el Desarrollo del Proyecto. Se debe hacer una revisión bibliográfica, para obtener la

Recolección y Consulta

mayor cantidad de información relevante para el Desarrollo Teórico del Modelado. Se deben hacer pruebas pilotos y correr el Algoritmo varias

Validación y Ajustes

veces para establecer si es necesario o no realizar modificaciones para una adecuado ejecución.

Consolidación y Tabulación

Se debe registrar la Información obtenida en las Corridas del Algoritmo. Se debe analizar los factores o variables involucradas en el desarrollo de las Corridas para establecer la conexión entre

Análisis e Interpretación

estas, y generar una adecuada y acertada interpretación de los Resultados.

Presentación de Resultados

Se deben exponer los resultados obtenidos durante el Desarrollo

del

Proyecto,

definiendo

la

Eficiencia

algorítmica, para que esta sea base de futuros Proyectos.

6. DESARROLLO EXPERIMENTAL

En el presente capitulo veremos el desarrollo experimental a través del método científico explicado y adaptado paso a paso para la resolución del problema de la ruta más corta en el departamento de Cundinamarca, 50

Tabla 9 Etapas del proceso de investigación ETAPA 1: Determinación de la red de comunicaciones y transporte terrestre entre los municipios de Cundinamarca. Actividad 1: Recopilar información de Actividad 2: Establecer las rutas de fuentes primarias y secundarias, utilizando transporte terrestre que conectan los la información estadística académicas, municipios anteriormente seleccionados, gubernamentales o privadas que han determinando realizado desarrollo

estudios el

al

respecto,

marco

conceptual

las

Distancias

de

las

para Carreteras. y

metodológico del Proyecto. ETAPA 2: Selección de técnica matemática. Actividad 1: Realizar revisión de las Actividad 2:

Examinar algoritmos de

técnicas disponibles para la solución del programación para el desarrollo de las problema de la ruta más corta analizando aplicaciones

requeridas

para

el

sus ventajas, desventajas y adaptabilidad procesamiento de la información, o de lo al problema formulado a partir de la contrario iniciar con una fase de desarrollo utilización

de

fuentes

secundarias de algoritmos propios sobre medida para la

provenientes de productos de investigación solución del problema propuesto. en temáticas similares. Etapa 3: Formulación y elaboración del modelado matemático e informático. Actividad 1: Realizar un modelo informático Actividad 2: Aplicar el control que permita de solución a medida, empleando la la medición del tiempo de ejecución del técnica matemática que indique la ruta a algoritmo

y

el

número

de

rutas

seguir entre dos municipios de la región de identificadas, con la cual se tendrá Cundinamarca, mediante la utilización de evidencia algoritmos.

de

los

resultados

computacionales.

Etapa 4: Contraste de los resultados en la corrida del Algoritmo por los Solvers Seleccionados. Actividad 1: Interpretar los resultados obtenidos en eficiencia algorítmica (tiempo de ejecución algorítmica y número de rutas identificadas), mediante el análisis numérico para este tipo de problemas.

51

6.1.

APLICACIÒN DE LA METODOLOGIA

Se utilizan algoritmos de búsqueda por vecindad, en el departamento de Cundinamarca, aplicando técnicas de flujo de redes, con las siguientes condiciones (Ahuja, Ergum, Orlin, & Punnen, 1999):



Un grafo de vecindad definido con respecto a una instancia de problema específica. Se utiliza un grafo dirigido con un nodo para cada solución factible o una instancia de una estructura de referencia no factible, y que consta de un arco.



Un método que permita determinar cuál es el siguiente nodo del grafo de vecindad que se elegirá en la búsqueda del paso anterior. Nos referiremos a este nodo como solución básica.

A continuación se presenta los nodos seleccionados, tomando las provincias del departamento como referencias de vecindad. Los nodos que se escogerán se encuentran dentro de la capital de la provincia.

52

Tabla 10 Nodos seleccionados ORDEN

PROVINCIAS

CAPITAL DE

N MERO DE

NODO

PROVINCIA

MUNICIPIOS

SELECCIONADO

1

Medina

Medina

2

Gazaduje

2

Guavio

Gacheta

8

El Cruce

3

Oriente

Caqueza

10

Alto de la Estrella

4

BOGOTÁ

5

Soacha

Soacha

2

Chusaca

6

Sumapaz

Fusagasugá

10

La Portada

7

Tequendama

La Mesa

10

La Esperanza

8

Alto Magdalena

Girardot

8

Girardot (Calle 19)

Magdalena

San Juan Rio

Centro

seco

7

La Rioja

10

Bajo Magdalena

Guaduas

3

Puerto Bogotá

11

Rionegro

Pacho

8

Pasuncha

12

Gualiva

Villeta

12

Bagazal

Facatativá

8

Córdoba

9

13

Sabana Occidente

Carrera 7ª.

14

Sabana Centro

Zipaquirá

11

Puente Lata

15

Ubaté

Ubaté

10

Cerro Milena

16

Almeidas

Choconta

7

53

Unión Vías Nacionales

6.1.1. Código programado en Gams En este apartado presentaremos el código programado y utilizado para su posterior corrida en Gams, este código nos permite extraer de las bases de Excel los datos requeridos, para la solución de la ruta más corta, en este caso en Cundinamarca.

sets

/;

i subindice que indica los origenes

display j;

/

table

$call=xls2gms r=c4:c76 i=origenes.xlsx

d(i,j) Distancia entre el origen tipo i y el

o=orig.inc

destino tipo j

$include orig.inc

$call

=xls2gms

r=C3:bx76

i=distancias.xlsx o=dist.inc

$gdxin

$include dist.inc

/;

$gdxin

display i;

;

sets

Parameters

j subindice que indica los destinos

Orig(j) Indica el origen tipo i de la ruta

/

mas corta (el cero indica cual es el nodo inicial)

$call=xls2gms r=c4:c76 i=destinos.xlsx o=dest.inc

/

$include dest.inc

$call=xls2gms r=c4:d76 i=origenes.xlsx o=orig1.inc

$gdxin

54

$include rig1.inc

Origen(j)

Muestra la suma de los

tramos para los nodos de origen (inicial y

$gdxin

de tranferencia)

/;

Destino(i)

Muestra la suma de los

tramos para los nodos de destino (inicial

Parameters

y de tranferencia);

Dest(i) Indica el destino tipo j de la ruta mas corta (el cero indica cual es el nodo inicial) / $call=xls2gms r=c4:d76 i=destinos.xlsx o=dest1.inc

Objetivo..

F=e=sum((i,j),d(i,j)*X(i,j));

Origen(j)..

sum(i,X(i,j))=E=Orig(j);

Destino(i)..

sum(j,X(i,j))=E=Dest(i);

$include dest1.inc * 1 opcion: muestra que tipo de solver

$gdxin

ejecuta:

/;

option lp=CBC

positive Variable X(i,j)

* 2 opcion: numero maximo limite de iteraciones:

Cantidad a transportar entre el

origen tipo i y el destino tipo j caso

option iterlim=1000000

continuo (lineal);

* 3 opcion: numero maximo de recursos

(Binary);

del sistema

Free variable

option reslim=1000000

F Funcion Objetivo Distancia total de la

*

ruta mas corta del problema;

-

5

opciones:

suprimen

ecuaciones del informe de resultados.

Equations Objetivo

4

option limcol=0 Valor de la funcion objetivo

option limrow=0

minima distancia para la ruta

55

las

* 6 opcion: Muestra el numero de

display x.L;

decimales en la respuesta de salida option decimals=1

execute_unload 'Matriz_CND_Resultado.gdx' , X;

model

ruta_mas_corta /ALL/

solve

execute Matriz_CND_Resultado.gdx

ruta_mas_corta using lp

'gdxxrw.exe var=x'

minimizing F;

6.1.2. Procedimiento

Después de tomar el plano de Cundinamarca como un grafo direccionado, se utilizaron tres metodologías para comprobar la Eficiencia Algorítmica para correr el Algoritmo, estas fueron:



Ruta Variable – Cantidad de Nodos Fija



Ruta Fija – Variación en Cantidad de Nodos



Ruta Variable – Variación Cantidad de Nodos

56

6.1.2.1.

Primera metodología

En donde la Ruta es Variable y la Cantidad de Nodos es Constante.

Tabla 11 Metodología uno, Ruta variable - Nodos Constantes Ruta

Cantidad de Nodos

Tiempo

Gazaduje – El Cruce

791 Nodos

9.188 Segundos

Gazaduje – Alto de la Estrella

791 Nodos

10.749 Segundos

Gazaduje – Carrera Séptima

791 Nodos

10.093 Segundos

Gazaduje – Chusaca

791 Nodos

10.093 Segundos

Gazaduje – La Portada

791 Nodos

9.127 Segundos

Gazaduje – La Esperanza

791 Nodos

9.236 Segundos

Gazaduje – Girardot (Calle 19)

791 Nodos

10.218 Segundos

Gazaduje – La Rioja

791 Nodos

9.984 Segundos

Gazaduje – Puerto Bogotá

791 Nodos

9.719 Segundos

Gazaduje – Pasuncha

791 Nodos

9.719 Segundos

Gazaduje – Bagazal

791 Nodos

9.719 Segundos

Gazaduje – Córdoba

791 Nodos

9.110 Segundos

Gazaduje – Puente Lata

791 Nodos

9.110 Segundos

Gazaduje – Cerro Milena

791 Nodos

9.813 Segundos

Gazaduje – Unión Vías Nacionales

791 Nodos

9.813 Segundos

Nota: Solver Utilizado: SOPLEX; Capacidad Requerida: 78 MB 57

RUTA VARIABLE - CANTIDAD DE NODOS FIJA 11,000 10,800

s o 10,600 d n 10,400 u g 10,200 e S n 10,000 e o 9,800 p m 9,600 e i 9,400 T

9,200 9,000

Rutas

Gráfica 1 Resultado del empleo de la primera metodología, donde la ruta es variable y la cantidad de nodos es constante.

En esta grafica se puede ver el contraste entre rutas seleccionadas, cantidad de nodos y tiempo de solución. Para la metodología número uno.

6.1.2.2.

Segunda metodología

Aquí haremos que la ruta sea fija y la Cantidad de Nodos Variables.

58

Tabla 12 Metodología dos, Ruta fija - Nodos variables Numero de Ruta Fija

Provincias Utilizadas

Cantidad de Nodos

Tiempo

Capacidad Requerida


2

73 Nodos

1.763 Segundos

3 Mb


3

120 Nodos

1.685 Segundos

3 Mb


4

131 Nodos

1.701 Segundos

4 Mb


5

144 Nodos

1.654 Segundos

3 Mb


6

219 Nodos

1.700 Segundos

4 Mb


7

296 Nodos

1.826 Segundos

5 Mb


8

341 Nodos

1.607 Segundos

6 Mb


9

378 Nodos

1.732 Segundos

8 Mb


10

417 Nodos

1.529 Segundos

8 Mb


11

496 Nodos

1.999 Segundos

9 Mb


12

557 Nodos

2.730 Segundos

11 Mb


13

615 Nodos

2.964 Segundos

12 Mb


14

698 Nodos

2.355 Segundos

11 Mb


15

761 Nodos

2.324 Segundos

11 Mb


16

791 Nodos

2.590 Segundos

11 Mb

Nota: Solver Utilizado: SOPLEX

59

RUTA FIJA - CANTIDAD DE NODOS VARIABLES 3,5

3

2,5

s o d n u g 2 e S n e o 1,5 p m e i T

1

0,5

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Número de Nodos

Gráfica 2 Resultado empleando la segunda metodología, donde la ruta es fija y la cantidad de nodos es variable.

6.1.2.3.

Tercera metodología

Utilizaremos tanto la ruta como la cantidad de nodos variables.

60

Tabla 13 Metodología tres, Ruta variable - Nodos variables Ruta

Cantidad de

Tiempo

Nodos

Capacidad Requerida


120 Nodos

1,172 Segundos

3 Mb


131 Nodos

2,953 Segundos

4 Mb


144 Nodos

2,922 Segundos

4 Mb


219 Nodos

3,110 Segundos

6 Mb


296 Nodos

3,360 Segundos

7 Mb


341 Nodos

3,501 Segundos

8 Mb


378 Nodos

3,641 Segundos

8 Mb


417 Nodos

3,860 Segundos

9 Mb


496 Nodos

4,485 Segundos

12 Mb


557 Nodos

4,876 Segundos

14 Mb


615 Nodos

5,422 Segundos

16 Mb


698 Nodos

6,735 Segundos

19 Mb


761 Nodos

7,422 Segundos

22 Mb

8,016 Segundos

24 Mb

Gazaduje – Unión Vías Nacionales 791 Nodos Solver Utilizado: SOPLEX

61

RUTA VARIABLE - CANTIDAD DE NODOS VARIABLES 9 8 s 7 o d n6 u g e 5 S n e 4 o p3 m e i 2 T

1 0 -10

40

90

140

190

240

290

340

390

440

490

540

590

640

690

740

790

Número de Nodos

Gráfica 3 Resultado empleando la tercera metodología, donde la ruta y la cantidad de nodos son variables.

7. CONTRASTE DE ALGORITMOS COMPUTACIONALES PARA LA SOLUCIÒN DEL PROBLEMA DE RUTA MÀS CORTA

A continuación se presenta los resultados obtenidos después de correr el algoritmo en los diferentes solver, con la metodología número tres, utilizando la ruta variable y cantidad de nodos variables:

Se ha seleccionado tres Solvers de GAMS: SOPLEX, CBC, y BDMLP.

62

Tabla 14 Comparación de los resultados en las corridas de los solvers SOPLEX

CBC

Capacidad

Capacidad

Tiempo en

de Nodos

Segundos


120

1,172

3

10,555

3

7,604

4


131

2,953

4

10,700

4

7,394

4


144

2,922

4

10,989

4

7,480

4


219

3,110

6

11,469

5

7,908

6


296

3,360

7

12,019

6

8,814

6


341

3,501

8

12,523

7

8,603

7


378

3,641

8

13,098

7

8,955

7


417

3,860

9

13,781

8

9,352

8


496

4,485

12

14,322

11

9,979

11


557

4,876

14

14,956

13

10,905

13


615

5,422

16

16,268

15

10,520

14


698

6,735

19

16,808

18

12,921

18


761

7,422

22

17,979

22

14,175

22

Gazaduje – Unión Vías Nacionales

791

8,016

24

18,967

23

14,592

23

Requerida en Mb

63

Segundos

Requerida en Mb

Tiempo en

Capacidad

Cantidad

Ruta

Tiempo en

BDMLP

Segundos

Requerida en Mb

7.1.

RESULTADOS CON SOLVERS EMPLEADOS

Presentación de los resultados obtenidos en las corridas del algoritmo en Gams, a través de los solvers seleccionados, de acuerdo a la licencia de la máquina.

7.1.1. SOPLEX

SOPLEX 9

y = 0,2746x + 1,3311 R² = 0,9631

8 7

s o d 6 n u g e 5 S n e 4 o p m3 e i T

2 1 0 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Capacidad Requerida (Mb)

Gráfica 4 Datos obtenidos con las corridas realizadas con el solver SOPLEX

Se puede observar que el comportamiento de la gráfica a través del tiempo de respuesta del solver (SOPLEX) es de tendencia lineal, por lo tanto este consume menos tiempo. 64

24

7.1.2. CBC Y BDMLP

CBC 20

y = 0,4046x + 9,6684 R² = 0,9758

19 s 18 o d n 17 u g 16 e S n 15 e o 14 p m13 e i T 12

11 10 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24


Gráfica 5 Datos obtenidos con las corridas realizadas con el solver CBC

BDMLP 15

y = 0,3655x + 6,1057 R² = 0,9839

14 s 13 o d 12 n u g 11 e S n 10 e o 9 p m 8 e i T 7

6 5 3

6

9

12

15

18

21

24

Capacidad requerida (Mb)

Gráfica 6 Datos obtenidos con las corridas realizadas con el solver BDMLP 65

Los solvers CBC y BDMLP tienen muchos puntos similares en factores como la capacidad requerida y el tiempo en segundos que se demoran en correr. Los dos solvers tienen tendencia Lineal.

7.2.

PRESENTACIÓN DEL CONTRASTE

A continuación se muestra la gráfica en la que se relaciona el tiempo con la capacidad requerida para cada uno de los solvers utilizados para la solución de la ruta más corta.

Tiempo de Corrida Vs. Capacidad Requerida SOPLEX

CBC

BDMLP

20 18 16 s o 14 d n u 12 g e S n 10 e o 8 p m e i 6 T

4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


Gráfica 7 Tiempo de corrida contra capacidad requerida 66

El factor que se evalúa para eficiencia algorítmica es el tiempo de corrida de cada uno de los solvers, al ser muy similar la capacidad requerida, todo en función de la cantidad de nodos.

Tabla 15 Medición de la eficiencia algorítmica Tiempo (Segundos) Número De Nodos

SOPLEX

CBC

BDMLP

120

1,172

10,555

7,604

131

2,953

10,700

7,394

144

2,922

10,989

7,480

219

3,110

11,469

7,908

296

3,360

12,019

8,814

341

3,501

12,523

8,603

378

3,641

13,098

8,955

417

3,860

13,781

9,352

496

4,485

14,322

9,979

557

4,876

14,956

10,905

615

5,422

16,268

10,520

698

6,735

16,808

12,921

761

7,422

17,979

14,175

791

8,016

18,967

14,592

67

Tiempo de Corrida Vs. Cantidad de Nodos SOPLEX

CBC

BDMLP

19,000 18,000 17,000 ) 16,000 s o 15,000 d n 14,000 u g 13,000 e S 12,000 ( a 11,000 d i r r 10,000 o 9,000 C e 8,000 d o 7,000 p 6,000 m e 5,000 i T 4,000 3,000 2,000 1,000 100

200

300

400

500

600

700

Cantidad de Nodos

Gráfica 8 Comparación de los tiempos de corrida contra cantidad de nodos de los solvers seleccionados.

Al comparar los tres solver utilizados para generar el contraste de la investigación, se puede establecer que los solvers que más convienen para realizar las corridas del algoritmo es SOPLEX Y CBC, pues el CBC en el primer intervalo muestra un mejor comportamiento lineal, para las demás corridas el solver que se recomienda es el SOPLEX por su tendencia lineal uniforme lo cual hace que este utilice menos tiempo (segundos), sin embargo, en cuanto a la capacidad requerida, necesitan de forma equivalente la misma cantidad de megabytes.

68

7.3.

ECUACIÓN GENERADA DEL CONTRASTE

7.3.1. ECUACIÓN DE REGRESIÓN LINEAL La ecuación de Regresión Lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable de dependiente Y, las variables independientes 2007)

  ,

. (Ross,

La siguiente ecuación relaciona la capacidad requerida y la cantidad de nodos, determinando el intervalo de tiempo que se necesita para correr el algoritmo, esta depende del Solver que se utiliza en la réplica. Los tiempos que se encuentran como resultado de las corridas en GAMS, fueron la fundamentación para determinar eficiencia algorítmica.

   Donde, Y representa el Tiempo, igual al número de Nodos.



equivale a la Capacidad Requerida y

69



es

8. ANALISIS ECONOMICO

8.1.

ELEMENTOS PROPORCIONADOS POR LA UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

En la tabla se relacionada cada uno de los elementos suministrados, proporcionados por la Universidad Militar Nueva Granada para la realización del presente proyecto de investigación.

Tabla 16 Elementos proporcionados por la Universidad Militar Nueva Granada

DESCRIPCIÓN Equipo

de

Computo

ASUS, Core Dúo i7 RAM 16 Licencia

JUSTIFICACIÓN El

computador

permite

VALOR

TIEMPO

ESTIMADO

REQUERIDO

la

Realización de la Programación, y para la determinación de eficiencia

$800.000 3 Meses

algorítmica. del

Software Este Software Se requiere para

GAMS Mapa de Cundinamarca levantado por el Instituto Agustín Codazzi Investigador Líder Auxiliar de Investigación

programar el algoritmo.

$2.100.000

El mapa se requiere para verificar los puntos geográficos con más de una Conexión, para establecer la

$900.000

8 Meses

$9.000.000

10 Meses

$3.600.000

10 Meses

$16.400.000

11 Meses

Red. Ingeniero Industrial que lidera el Proyecto Ingeniero de Software. TOTAL

70

8.2.

ELEMENTOS SUMINISTRADOS POR LAS AUTORAS

Presentación de la inversión por parte de las autoras para la realización de este proyecto.

Tabla 17 Elementos Proporcionados por las autoras DESCRIPCIÓN

JUSTIFICACIÓN

VALOR

TIEMPO

ESTIMADO

REQUERIDO

$ 500.000

10 Meses

$2.300.000

14 Meses

$1.000.000

14 Meses

$4.000.000

14 Meses

Se requiere para apoyar en la Microsoft Excel

Construcción de la Base de Datos de Distancias, y como herramienta en el Desarrollo del Proyecto. Se requiere la dedicación del

Personal

Tiempo para el Desarrollo del Proyecto

Equipos de Computo

Cada autora utilizo su propio computador para el desarrollo del Proyecto. TOTAL

8.3.

PRESUPUESTO GENERAL

Relación del presupuesto final para el desarrollo del proyecto, en donde incluiremos las inversiones nombradas anteriormente. 71

Tabla 18 Presupuesto general

CONCEPTO Documentar la información destacada sobre ruta más corta para el desarrollo teórico del Proyecto.

ELEMENTOS

PRESUPUE

REQUERIDOS

STO

Libros, Artículos, Tesis

O 1 Mes

(IAC). $3.100.000

1 Mes

Hacer el diagnóstico del estado actual Mapa Cundinamarca.

NECESARI

$1.200.000

Doctorales, etc.

de las rutas del Departamento de Cundinamarca

TIEMPO

de

Sistema Astra- SIG.

Escoger los puntos geográficos con más de una conexión.

Mapa Cundinamarca

de (IAC). $2.800.000

2 Meses

Microsoft Excel

Establecer la Red, de acuerdo a los

Microsoft Excel. Mapa

nodos con más de una Interacción.

de Cundinamarca (IAC)

$2.200.000

1 Mes

$3.500.000

3 Meses

$2.400.000

1 Mes

Generar la base de datos, con las distancias de los arcos, a partir de la red que

interrelaciona

los

pueblos

de Microsoft Excel.

Cundinamarca (vías de comunicación y transporte terrestre) Formular el modelo matemático de ruta más corta, utilizando la técnica y GAMS algoritmo seleccionado. Realizar las corridas del Algoritmo utilizando

determinado

tipo

de GAMS

a

Diferentes

$1.700.000

1 Mes

$1.700.000

2 Meses

$1.600.000

2 Meses

$20.200.000

14 Meses

metodología. Contrastar

través

de

Solvers el Algoritmo generado.

GAMS. Microsoft Excel

Determinar Eficiencia Algorítmica de acuerdo a los resultados que se Microsoft Excel generaron del Contraste. TOTAL

72

8.4.

IMPACTO ESPERADO

Este proyecto no tiene un plan de retorno, al no tener un objetivo lucrativo, sin embargo, como impacto esperado, se tiene como propósito, que este trabajo sea fundamentación para otras investigaciones y contribuya en el desarrollo de propuestas de movilidad para el departamento de Cundinamarca. Por tal razón solo se mostrara el impacto esperado con la investigación.

Tabla 19 Impacto Esperado IMPACTO ESPERADO

Contribución en el Plan de Movilidad Regional (Cundinamarca)

INDICADOR

PLAZO

SUPUESTOS

Participación de

Este

nuestro

entregado al Grupo de

Proyecto en las Propuestas para la Formulación del

Plan

Movilidad

de en

Cundinamarca.

73

Plazo Corto: Máximo Años

4

Proyecto

Investigación

será de

Producción Experimental de la UMNG, con el fin de que dicha universidad presente Propuesta.

una

Sola

9. CONCLUSIONES



La teoría de grafos tiene una aplicación importante en el desarrollo de Propuestas que contribuyan al progreso de la movilidad en determinada región, al representar por ejemplo las carreteras, permitiendo un análisis desde el punto de vista matemático e ingenieril, generando una interpretación amplia de posibles soluciones e innovaciones para mejorar este factor.



Los algoritmos al estar organizados de forma sistemática y lógica, permiten considerar un problema, simulando potenciales soluciones, estableciendo a su vez, causas y consecuencias, generando un estudio exhaustivo, que permita determinar la metodología acertada para resolverlo.



El problema de ruta más corta en redes permite establecer mecanismos que faciliten la llegada de un punto a otro recorriendo una distancia mínima, disminuyendo retardos, aumentando la productividad y mejorando la logística respecto al desarrollo de distribución y comercialización.

La



solución

al

problema

Ruta

más

Corta

permite

que

entes

gubernamentales tengan una base para el desarrollo de propuestas, que involucren la movilidad; con el fin de aumentar la competitividad en determinado territorio.

74



La eficiencia algorítmica es un propósito fundamental en el desarrollo de cualquier proyecto que requiera lenguaje de programación para su desarrollo, pues se debe buscar el consumo mínimo de los recursos y a su vez su máximo aprovechamiento.

75

Bibliografía

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de

Cundinamarca.

(2010).

Cundinamarca. 77

Estadistica

de

Cundinamarca.

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81

MODELADO_DE_RUTA_MAS_CORTA_PARA_LA_COMUN.pdf

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