Modelado Actuador Hidráulico

SISTEMAS HIDRÁULICOS Y NEUMÁTICOS Práctica 2 Modelado de Actuadores Neumáticos e Hidráulicos

Ana González Carrión GIERM

Ana González Carrión

Modelado de Actuadores Neumáticos e Hidráulicos

ÍNDICE 1.

Introducción ............................................................................................ 3

2.

Modelado Actuador Hidráulico .............................................................. 4 2.1.Sistema de Ecuaciones para la Carga del Cilindro ........................... 4 2.2.Sistema de Ecuaciones para la Descarga del Cilindro ...................... 8 2.3.Simulación Carga del Cilindro ......................................................... 8 2.4.Simulación Descarga del cilindro ................................................... 10 2.5.Implantación en Simulink ............................................................... 11

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1. Introducción En esta práctica se va a realizar un modelo sencillo de un cilindro hidráulico, accionado por gas a presión, y un cilindro neumático, el cual se acciona mediante líquido, empleando ecuaciones matemáticas. Para realizar esta simulación nos basaremos en el modelo de la instalación de la Figura 1, donde encontramos un depósito de alta presión ( = 10 atm) que se encuentra conectado a una línea de distribución de fluido de diámetro D = 5 cm, longitud L = 10 m y coeficiente de fricción λ = 0,03 que se puede tomar const ante. A la entrada de este actuador existe una válvula que presenta una pérdida de carga que es K veces la energía cinética del flujo en el conducto . El cilindro de simple efecto tiene un volumen V, una sección A, una carrera máxima de h = 10 cm, y al entrar el fluido en él se desplaza una distancia h(t), contrarrestando el efecto del muelle de constante que lo devuelve a su posición de equilibrio. El émbolo dispone de una masa M = 1 g, y sobre él actúa una fuerza F.

p

∆p = Kρv/2

k

Figura 1: Modelo para un Cilindro Hid ráulico/Neumático

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2. Modelado Actuador Hidráulico Para el caso del cilindro hidráulico nos dicen que se debe suponer un flujo estacionario en el conducto y que la carga a levantar debe ser de 20 N en 1 segundo desde . Con estos datos se debe hallar una ecuación diferencial que permita obtener la altura de h(t) en función del tiempo. Para ello determinaremos un tamaño de cilindro que sea capaz de realizar la operación y un valor de K. Primero realizaremos el cálculo de las ecuaciones para el caso de la carga del cilindro y a continuación, lo realizaremos para la descarga. Seguidamente, se hará una simulación de lo que se acaba de comentar y finalizaremos con la implantación del sistema con la herramienta Simulink perteneciente al software de Matlab.

ht = 0 = 0m

2.1. Sistema de Ecuaciones para la Carga del Cilindro Empezaremos a analizar nuestro sistema basándonos en la Figura 2, donde sólo tenemos el depósito a presión , una tubería, la válvula y el cilindro a modelar en sí con la carga que se debe levantar.



2 1’

1

0

Figura 2: Modelo para la Carga del Cilindro

Suponemos que en el depósito no se producen pérdidas, por la tanto la presión total de este será , quedándonos con la Ecuación 1.



 =  4

Ecuación 1



Para evaluar la línea de distribución por donde fluye el líquido se ha definido como punto inicial, el punto 0, el cual se encuentra a la salida del depósito y a la entrada de la tubería, y como punto final, el punto 1, que relaciona el conducto con el pistón. Se supone un estado casi estacionario y mediante la ecuación para un flujo turbulento en conductos se pueden calcular las pérdidas generadas por la fricción. Esto se expresa en la Ecuación 2.

  +  + ℎ = −   2  2

Ecuación 2

Integrando esta ecuación entre ambos extremos del conducto se tiene que:

      ∫  2 +  + ℎ = ∫ − 2 

  +   + ℎ−  +   + ℎ = −    2  2  2

Ecuación 3

Ecuación 4

Se puede reducir la Ecuación 4 suponiendo que ambos puntos del conducto se encuentran a la misma altura, y que la velocidad de entrada es igual a la de salida. Quedando como resultado la Ecuación 6

 −   = −     2     =  − 2 

Ecuación 5

Ecuación 6

̅

Además de la Ecuación 6 , el término , viene dado por la presión real que existe en ese punto más las pérdidas que se obtienen mediante la ecuación de Bernouilli.

   =  + 1+  2  5

Ecuación 7



Teniendo en cuenta la Ecuación 1 y la Ecuación 6 , y partiendo de la Ecuación 7 obtenemos:

     − 2  =  + 1+  2 

Ecuación 8

     =  − 1 +  +   2 

Ecuación 9

Suponiendo que no existen pérdidas entre el conducto y el pistón, las presiones en los puntos 1 y 1’ son iguales. El problema nos dice, que en el estado inicial el pistón está en , por tanto, la presión de remanso en 1’ será igual a la presión en el punto 2, obteniéndose la ecuación 10.

ℎ = 0

 = ′ =  

Ecuación 10

Aplicando Bernouilli en el punto 2 y basándonos en la Ecuación 9 y la Ecuación 10 se obtiene:

        =  + 2  + ℎ =  − 1 +  +   2 

Ecuación 11

 =

Si en la Ecuación 11 se sustituye el término de velocidad en el pistón por , se obtiene una de las ecuaciones fundamentales para el cálculo de la posición del pistón ( Ecuación 12).

ℎ/

  ℎ 1      + 2     +ℎ =  − 1 +  +   2 

Ecuación 12: Ecuación Fundamental

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Dado que se está estudiando un sistema cerrado, se puede formular que existe conservación de la masa entre el conducto de llenado y el pistón, concluyendo, de esta forma, que ambos flujos son iguales.

 = 

Ecuación 13

 ·  =  · 

Ecuación 14

  =  ℎ 4 


Para finalizar, se obtendrá la ecuación de la carga, para ello será necesario hacer un balance de fuerzas en el eje vertical, relacionando así la posición del pistón con la fuerza que se ejerce por parte de la carga que se desea levantar.

∑ =   Ecuación 16

  =   −   −  −ℎ − 9,8

Ecuación 17

0,001

Sabiendo que la masa total que levanta el pistón es la suya misma ( y la masa de la carga ( ), tenemos que , además sabemos que la aceleración de este es . Por lo que se obtiene la última ecuación fundamental ( Ecuación 18 ).

2    =  +   =  ℎ/

ℎ  ( + )   =   −   −  −ℎ − 9,8


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2.2. Sistema de Ecuaciones para la Descarga del Cilindro Para hacer este apartado tendremos en cuenta la Figura 1, en la que se muestra un depósito adicional, el cual está a presión atmosférica, y un compresor, que reduce el volumen del líquido por medio de la presión. En primer lugar, hallaremos la presión que ejerce el cilindro, la cual depende del tiempo. Esta presión viene dada por la Ecuación 7 y la Ecuación 19.

    ó =  + 2

Ecuación 19

Igualamos ambas ecuaciones y aplicamos las leyes de la conservación de la masa, quedándonos la Ecuación 20

 ℎ   4  ó =  + 2    

Ecuación 20

Para finalizar, aplicamos equilibrio de fuerzas en la ecuación anterior, quedándonos nuestra ecuación fundamental para la descarga del cilindro ( Ecuación 21).

ℎ = 1/− −  − ℎ + 8 ℎ    


2.3. Simulación Carga del Cilindro Una vez realizados todos los cálculos, mediante la herramienta Matlab, implantamos las ecuaciones fundamentales Ecuación 12 , Ecuación 15 y Ecuación 18, para la simulación de la carga del cilindro. Se nos pide que el cilindro vaya desde hasta , en un tiempo de . O lo que es lo mismo, a una velocidad de . Para conseguir esto, se deben tener en cuenta los parámetros que se comentaron en la introducción de esta práctica, y que aparecen reflejados en la Tabla 1.

0 ℎ = 0,1  = 0,1/

 = 0,1

8

ℎ=



 λ ℎ 

105  100.03 101  20 

Tabla 1: Parámetros para el modelado del Cilindro Hidráulico

En cuanto al modelado del área del pistón, se utilizará la Ecuación 15, que relaciona esta área con la velocidad a la que se desplaza el fluido por el conducto. Para hacer una estimación se ha supuesto que esta velocidad es 10 veces mayor que la velocidad del fluido que entra al cilindro, de modo que:

 = 10ℎ  1 0  = 4 = 0,019634 

Ecuación 22

Ecuación 23



A la hora de elegir una para el muelle, se ha ojeado un catálogo y se ha optado por el siguiente valor:

 = 88000/ = 15411,16148 /

Ecuación 24

Tal y como se nos pide en la introducción de esta práctica, primero se deberá analizar el sistema con un valor de , y a partir de este, hallar nuevos valores para que se cumpla con las especificaciones requeridas. A parte del primer valor, se han considerado dos más, y . Podemos ver una comparativa de la evolución del sistema en la Figura 3, donde la parte de la izquierda muestra la velocidad y la de la derecha la posición.

=0  = 850  = 1700

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Figura 3: Velocidad y Posición del Cilindro Hidráulico

 = 1700

Podemos concluir esta parte afirmando que el valor de es el que proporciona el resultado más óptimo, pues se alcanza la posición deseada en el tiempo deseado.

2.4. Simulación Descarga del cilindro Ayudándonos de la Ecuación 21, la cual se ha implantado en Matlab, obtenemos la simulación de la descarga del cilindro. Esta se puede ver en la Figura 4, donde se aprecia una disminución de la altura del cilindro hasta llegar a su posición más baja. Este descenso de altura (descarga) se realiza en .

0,72 

Figura 4: Simulación para la Descarga del Cilindro Hidráulico

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2.5. Implantación en Simulink Para finalizar con el modelado del actuador hidráulico, se va a proceder a implantar el sistema de la Figura 2 en Simulink , mediante la librería Simscape. En la Figura 5 se muestra este modelo, en el cual se han hecho ajustes en el cilindro de simple efecto, en la válvula reguladora de caudal, en el conducto y en el depósito, quedando así la simulación que se muestra en la Figura 6 , la cual representa la posición del cilindro.

Figura 5: Modelado en Simulink del Actuador Hidráulico

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Figura 6: Simulación Carga del Cilindro mediante Simulink

La simulación no se ha podido ajustar del todo, ya que las variables que utilizan los bloques empleados en el modelado son más complejas y difíciles de calibrar, aun así se ha conseguido una simulación correcta, ya que el cilindro alcanza la posición en .

ℎ = 0.1  1 

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Modelado Actuador Hidráulico

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