Simio
1: Modelación y simulación
Simulación es un término que ha sido utilizado, para describir diferentes clases de actividades. Por ejemplo los ejercicios militares y sus planes de batalla; o como en los programas de entrenamiento para los pilotos, que utilizan simuladores o laboratorios bajo “condiciones simuladas”. La palabra simulación, viene del latín simulare, equivalente a analogía, imitación o metáfora. Lo que ofrece una importante característica de la simulación, es la imitación. En nuestra vida diaria, los niños con sus micro mundos, que son roles de juegos de casa, simulan la vida de la familia; o las niñas con sus muñecas, que simulan las relaciones humanas.
“Obtención de la esencia, sin contar la realidad”, según el Webster’s Dictionary.
1. Introducción a la simulación La simulación es una de las más poderosas herramientas de análisis disponibles, para los responsables del diseño y operación de sistemas o procesos complejos. Desgraciadamente, no existe acuerdo respecto a una definición precisa de la palabra simulación, la propuesta por C. West Churchman es estrictamente formal: “ X simula a Y " sí y solo sí: X e Y son sistemas formales. Y se considera como sistema real. X se toma como una aproximación del sistema real. Las reglas de validez en X no están exentas de error.
La definición de Shubik es la definición típica entre las más populares: Simulación de un sistema (o un organismo) es la operación de un modelo (simulador), el cual es una representación del sistema. Este modelo puede sujetarse a manipulaciones que serían imposibles de realizar, demasiado costosas o imprácticas. La operación de un modelo puede estudiarse y con ello, inferirse las propiedades concernientes al comportamiento del sistema o subsistema real .
Según Schriber , “Envuelve la modelación de procesos o sistemas, en el camino que el modelo imita la respuesta de un sistema actual, a los eventos que ocurren en el tiempo” .
“Simulación, es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y conducir experimentos con este modelo, con el propósito de comprender la conducta del sistema y/o la evaluación de estrategias para la operación del sistema”, Shannon, 1975. Roger Schroeder planteaba: La simulación es una técnica que puede utilizarse para resolver una amplia gama de modelos ”. Su aplicación es tan amplia que se ha dicho: cuando todo falle, utilice simulación. “
La simulación es, esencialmente, una técnica que enseña a construir el modelo de una situación real aunada a la realización de experimentos con el modelo. Definición bastante amplia, que puede comprender situaciones aparentemente no relacionadas entre sí, como los simuladores de vuelo, juegos militares, juegos de gerencia, modelos físicos de ríos, modelos econométricos, etc., desde la perspectiva de la ingeniería, nos interesa una definición más restringida, solamente a experimentos con modelos lógicos o matemáticos, pero además no nos interesan aquellos experimentos experimentos con elementos de microeconomía, que ocurren bajo condiciones dadas de equilibrio estático y producen soluciones completamente determinísticas. En consecuencia, bajo estas restricciones, la definición que plantea Thomas Naylor es bastante adecuada: Simulación, es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital, las cuales requieren ciertos tipos de modelos lógicos y matemáticos, que describen el comportamiento de un negocio o un sistema económico (o algún componente de ellos) en períodos extensos de tiempo real. La idea central de la simulación, es la interpretación o por lo menos la noción de un modelo matemático. Donde resulta importante la presencia de una computadora. Idea que prevalece desde que Naylor , Balintfy, Burdick y Kong Chu, escribieran “Computer Simulation Techniques”, allá por los años de 1966.
2. Modelos y sistemas La simulación, tiene su origen en la Física por su combinación de leyes, y la Investigación de Operaciones, por la concepción de eventos y ac tividades, como la técnica de Monte Carlo. Los tipos de problemas, que mejor son resueltos por la simulación, son aquellos que envuelven sistemas. La simulación, es una técnica que hace posible la comprensión de los efectos de todas las interacciones, entre los elementos de un sistema.
ORIGENES Combinación de leyes generales y relaciones empíricas. Donde las soluciones analíticas están limitadas
Procesos industriales con: Demoras no productivas, Reutilización de recursos, Congestión. Conceptos de eventos y actividad. Técnica de Monte Carlo
CIENCIA FISICA
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Figura 1.1: Orígenes de la simulación Un sistema es un conjunto de partes, organizadas funcionalmente, para formar un todo. Un subsistema, es una componente de un sistema total, el que puede ser tratado como una parte del sistema total o un sistema independiente. Los sistemas, muchas veces cambian dinámicamente en el tiempo; y la conducta de ellos, depende de sus relaciones internas o interrelaciones dentro de sus subsistemas; como también de las relaciones externas que conectan al sistema y el entorno. La simulación es una forma de estudiar un sistema, mediante la utilización de un modelo. Un modelo es una representación de un sistema. Un modelo es una simplificación de la vida real. Los parámetros o atributos, que los caracterizan, las entradas y salidas del sistema real, forman parte del estudio de un sistema, a través del modelo.
SISTEMA
EXPERIMENTA CON UN SISTEMA ACTUAL
EXPERIMENTA CON UN MODELO DEL SISTEMA
MODELO FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO
SOLUCIÓN ANALÍTICA
SIMULACIÓN
Figura 1.2: caminos para estudiar un sistema Los modelos, pueden clasificarse en una variedad de modalidades: modelos físicos, como los simuladores de vuelo y abstractos o matemáticos, como los diagramas y las fórmulas matemáticas. Al ser los modelos abstractos, representados mediante variables y parámetros, hace necesario que su manipulación y almacenamiento, sea gestionada por una computadora; esto es la creación de un programa o software, lo que deja de lado la simulación manual, por la simulación por computadoras. Una distinción entre modelos matemáticos por solución analítica y por simulación, es que los primeros definen exactamente las relaciones entre las componentes del sistema. En la simulación, no es posible expresar las interrelaciones en una forma simbólica o matemática. Comúnmente, porque estas relaciones son muy complejas de expresar y manipular. Ver figura 1.2.
3. Tipos de modelos de simulación Los modelos de simulación se pueden clasificar en estático o dinámico, determinístico o estocástico (probabilístico); y discreto o continuo. Ver figura 1.3.
ESTÁTICOS
VS
DINÁMICOS
DETERMINÍSTICOS
VS
ESTOCÁSTICOS
CONTINUOS
VS
DISCRETOS
MODELOS DE SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS
=
(DINÁMICOS, ESTOCÁSTICOS, DISCRETOS)
Figura 1.3: Clasificación de los modelos de simulación Un modelo de simulación es estático, cuando se representa el modelo en un punto del tiempo; también son llamados Monte Carlo. Los modelos dinámicos, representan los cambios de sistema, sobre el tiempo. Ver la figura 1.4, donde se presentan ejemplos de tales modelos.
Describe la conducta de un sistema a través del tiempo
La conducta del sistema se encuentra en un punto del tiempo
Dinámico Película
Estático Fotografía Relativo al Tiempo.
Figura 1.4: Modelos estáticos y dinámicos Un modelo es determinístico, cuando no contiene variables aleatorias: sus entradas originan un resultado único. Un modelo de simulación es estocástico, cuando una o más de las variables de entrada, son aleatorias. Un modelo de colas o de espera es estocástico, porque comúnmente la variable que representa el tiempo de ínter arribos de los clientes al sistema, como el tiempo de atención, son variables, que están representadas por una distribución de probabilidades. Esto es común en los sistemas de atención que ocurre en los supermercados. Ver figura 1.5.
Determinístico Ignora la aleatoriedad.
Reconoce la presencia de variables aleatorias en el sistema a ser modelado.
Estocástico
Figura 1.5: Clasificación por la presencia de la aleatoriedad Los sistemas de simulación, en atención al tiempo, se clasifican en discretos o continuos; ver la figura 1.6. En un sistema discreto, se contabilizan por ejemplo, las llegadas de los clientes al sistema de espera, la longitud de la cola; y el número de clientes que son atendidos en el sistema. Ver figura 1.7(a).
Discretos El modelo describe cambios del estado del sistema, en puntos aislados del tiempo.
Continuos Cambios ocurren en una forma continua.
Combinados Partes Continuas y también Discretas.
Cambios del estado. Figura 1.6: Clasificación en atención al cambio del estado Un sistema de simulación continuo, es utilizado para modelar conductas continuas, tal como las que son obtenidas por la solución de técnicas numéricas, de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Conductas poblacionales, sistemas ecológicos, son algunas muestras de esta clase de simulación. Existen modelos combinados o híbridos de discretos y continuos. Tal como ocurre en las operaciones en un grifo que expende combustible, donde el tanque del establecimiento, disminuye su stock, y es llenado por la llegada de un camión cisterna que lo abastece. Ver la figura 1.7 (b).
Número de clientes Discreto
(a) tiempo Galones en el tanque de H2O Continuo
(b) tiempo
Figura 1.7: Discretos y continuos
4.
Metodología de la simulación
Los procesos de modelar y simular involucran la formulación y solución de un problema. El proceso de modelación es iterativo, porque el acto de modelar revela la información importante fragmentaria. Esta información apoya las acciones que hacen al modelo y sus medidas de salida más relevantes y exactas. El proceso de modelación continúa, hasta que el detalle o la información adicional ya no son necesarios para la resolución del problema. Durante el proceso iterativo, las relaciones entre el sistema en estudio y el modelo son continuamente definidas y redefinidas. En la figura 1.8, se presentan los pasos sugeridos en la ejecución los proyectos que utilizan la modelación y la simulación.
1
FORMULAR PROBLEMA
2
COLECCIONAR DATOS Y MODELAR
3
VALIDO
NO
SI
4
CONSTRUYA EL PROGRAMA
5
EJECUTAR PRUEBAS PILOTOS
6
VALIDO
NO
SI
7
DISEÑAR EXPERIMENTO
8
ANALIZAR
9
IMPLEMENTAR
Figura 1.8: Metodología de la simulación
Autores diversos, como Shanon, Law y Kelton, Bank y Carson y Geoffrey Gordon, coinciden en que la metodología para un estudio de simulación, consiste de los siguientes pasos: formulación del problema, recogida de información y modelación, construcción del programa, ejecución de pruebas. Una vez que el modelo pasa las pruebas al ser contrastado con l a realidad, vienen las etapas de diseño de experimentos y análisis de las corridas. Según Bank y Carson, “La etapa del modelado, es arte antes como ciencia. El arte de la modelación, está llevado por la habilidad de abstracción del modelador, para capturar la esencia del problema y plasmar los supuestos que caracterizan al sistema. El resultado de los problemas encontrados y su respectiva solución, compensarán el esfuerzo en la calidad de los resultados. La etapa de la construcción del programa, requiere de la traslación del mundo real, al almacenamiento de información y el procesamiento en una computadora. El término de construir un programa de computadoras o software, se encuentra ligado al uso de un lenguaje de simulación. Aquí el modelador debe optar por un lenguaje de simulación. Nombres como GPSS, SIMAN, SLAM SYSTEM, AWESIM, ProModel, ARENA, SIMIO y otros de una larga lista, son algunos de estos lenguajes de simulación.
5. Lenguajes de simulación La evolución de la simulación significa el tránsito de fases como: manual, programación en lenguajes con propósitos generales, lenguajes de simulación y simuladores de alto nivel. Ver figura 1.9. Muchas propiedades en programación de modelos de simulación discreta, tales como: Generadores de números aleatorios, Generadores de variables aleatorias, rutinas del siguiente evento, avances de tiempo, recopilación de estadísticas, reportes, etc., han sido desarrolladas en lenguajes especiales, orientados a simulación, dejando la ardua labor de programación en FORTRAN, C, o PASCAL a lenguajes de simulación, los que incluyen facilidades de animación. Actualmente, existen cerca de un centenar software de simulación, disponibles en una variedad de computadoras. Por otra parte, los lenguajes de simulación ofrecen mayores ventajas: Automáticamente proveen muchas de las facilidades necesarias en la simulación del modelo, proveen un natural ambiente para modelación de la simulación, fáciles de usar, proveen una gran interacción entre edición, depuración y ejecución. Esto último, es el arte de la ingeniería de software. Existen en el mercado dos grandes clases de software para simulación: los lenguajes y los simuladores. Un lenguaje de simulación, es un software de simulación de naturaleza general; y posee algunas características especiales para ciertas aplicaciones; tal como ocurre con SLAM y SIMAN con sus módulos de manufactura. El modelo es desarrollado usando las instrucciones adecuadas del lenguaje y permitiendo al analista un gran control para cualquier clase de sistema. Un simulador (o de propósitos especiales), es un paquete de computadoras que permite realizar la simulación para un ambiente especifico, no requiriendo esfuerzo en programación. Hoy en día existen simuladores para ambientes de manufactura y sistemas de comunicación permitiendo un menor tiempo en el desarrollo del modelo, así como también contar con el personal sin experiencia en simulación.
Aguja del bufón Montecarlo Juegos de negocios y juegosmilitares
Manual ALGOL
ALGOL
PL / 1
PASCAL
C/C ++
Orientación al evento
Programación en Lenguajes de propósitos generales
SIM SCRIPT
GPSS V
GASP
GASP IV
SIM SCRIPT II
GPSS / H
G - GERT
GPSS / PC
SLAM SIMAN / CINEMA
Lenguajes de Simulación
SIMFACTORY
PROMODEL
ARENA
SIMIO
Simuladores de Alto Nivel
Figura 1.9: Evolución de la simulación
Los simuladores son actualmente muy utilizados para el análisis en alto nivel, requiriéndose únicamente agregar detalles en un cierto nivel, puesto que lo demás es estándar. CACI Products Company autor de SIMSCRIPT II.5 es también autor de los simuladores SIMFACTORY II.5, NETWORK II.5 y COMNET II.5, muy utilizados en estos últimos tiempos para simulaciones de sistemas de manufactura, redes de computadoras y redes de telecomunicaciones. Para procesar transacciones en espera de un ordenamiento, un lenguaje de simulación debe de proporcionar un medio automático de almacenamiento y recuperación de estas entidades. Atendiendo a la orientación del modelado de una simulación discreta, existen tres formas:
Programación de eventos. Procesos. Examen de actividades.
Una programación al evento es modelada, identificando las características del evento y luego se escriben un juego de rutinas para los eventos con la finalidad de describir detalladamente los cambios que ocurren en el tiempo en cada evento. Lenguajes como SIMCRIPT II.5 y SLAM II están orientados al evento. Una interacción al proceso, es una secuencia de tiempos interrelacionados, describiendo la experiencia de una entidad a través del sistema. Por ejemplo en un modelo de colas, esta historia se traduce en el paso del tiempo del ingreso a la cola, ingreso al servidor, paso del tiempo en el servicio y fin del servicio. GPSS, SIMAN, y SIMNET son orientados al proceso. En el examen de actividades, el modelador define las condiciones necesarias al empezar y finalizar cada actividad en el sistema. El tiempo es avanzado en iguales incrementos de tiempo y en cada incremento de tiempo, las condiciones son evaluadas para determinar si alguna actividad puede estar empezando o terminando. El ESCL, es un lenguaje de simulación muy popular en Europa y fue desarrollado en FORTRAN.
SOFTWARE DE SIMULACIÓN
CONTINUOS
DISCRETOS NIVEL DEL SISTEMA
PROPÓSITOS ESPECIALES
NIVEL DE APLICACIÓN
PROPÓSITOS GENERALES
PROGRAMACIÓN EVENTOS
INTERACCIÓN AL PROCESO
EXAMINACIÓN DE ACTIVIDADES
BLOQUES
BASADO EN REDES
INSTRUCCIONES DEL USUARIO
Figura 1.10: Clasificación del software de simulación GASP IV, es un lenguaje de simulación desarrollado por Alan B. Pristker y N. Hurst en 1973. es un lenguaje híbrido porque puede ser usado para programas de simulación discretos, continuos y combinados; siendo el primero en integrar completamente estos dos ambientes de función del tiempo, GASP IV es un derivado de GASP II, y se diferencia por la definición del evento espacio-tiempo (state space event ). SIMSCRIPT II.5, fue desarrollado en la RAND Corporation por H. Markowitz en los inicios de la década de los años 60. SIMSCRIPT II.5, es un lenguaje de simulación con orientación al evento y al proceso; es híbrido porque posee facilidades para simulación de sistemas discretos y continuos. SIMSCRIPT II.5, producido por CACI Products Company (La Jolla, California); fue utilizado en el pasado en grandes y complejas simulaciones; como es el caso de los modelos no orientados a colas; por ejemplo modelos de combates militares. Se encuentra disponible en versión PC; destacando su ambiente de SIMGRAPHICS. La versión original del SIMAN ( Simulation and Análisis) fue desarrollada por Dennis Pegden, en la Universidad de Alabama, cuando era líder del grupo de desarrollo de la versión original de SLAM (basada en los software de GASP y QGERT de Pristker and Associates).
Más tarde, Pegden inicia su trabajo en Pennsylvania State University, donde lo diseña como un lenguaje de modelamiento para propósitos generales, incluyendo facilidades de manufactura, muy útiles en el modelamiento de sistemas complejos de manufactura. Desde su implementación inicial en 1984, ha sido continuamente refinado por System Modeling Corporation; en 1988 y 1989, el lenguaje fue completamente rediseñado dando origen a SIMAN/Cinema. El ambiente de modelación de SIMAN, se desarrolla entre el Modeling y el Experiment ; en el primero se describe las componentes del sistema y sus interacciones, y en el segundo se definen las condiciones del experimento (longitud de la corrida, condiciones de inicio). SIMAN, modela un sistema discreto usando la orientación al proceso; es decir es un modelo de sistema particular, donde se estudian las entidades que se mueven a través del sistema. Una entidad para SIMAN es un cliente, un objeto que se mueve en la simulación y que posee características únicas, conocidas como atributos. Los procesos denotan la secuencia de operaciones o actividades a través del que se mueven las entidades; siendo modeladas por el diagrama de bloques.
6. Aplicaciones de la simulación La simulación se está utilizando para hacer estudios en diversos campos del saber humano, tales como: sistemas urbanos, sistemas económicos, sistemas de negocios, sistemas de producción, sistemas biológicos, sistemas sociales, sistemas de transporte, sistemas de salud y muchos más. A continuación se ofrece una lista (no exhaustiva) de las aplicaciones en campos diversos. Sistemas de manufactura:
Diseño y disposición de planta. Mejora continua. Administración de la capacidad. Evaluación ágil de la fabricación. Programación y control. Manejo de materiales
Sistemas de Transporte:
Funcionamiento de sistemas de ferrocarriles. Programación y ruteo de vehículos. Control de tráfico aéreo. Operaciones del Terminal y depósito.
Sistemas de computadoras y comunicaciones:
Evaluación del funcionamiento. Generación y análisis del flujo de trabajo.
Planificación y control de proyectos:
Planificación del producto.
Análisis de la comercialización. Planeamiento de la construcción de actividades.
Planificación financiera:
Toma de decisiones en la inversión de capitales. Análisis del flujo de liquidez. Proyecciones del balance.
Estudios ambientales y ecológicos:
Control de inundaciones. Control de la contaminación. Flujo y utilización de la energía. Administración de granjas. Control de pestes. Mantenimiento de reactores.
Sistemas de cuidado de salud:
Programación de sala de operaciones. Planeamiento del uso de los recursos. Evaluación de políticas de trasplante de órganos.
La automatización y la calidad reducen costos. Los sistemas son complejos y únicamente pueden ser analizados con la poderosa herramienta de la simulación. En los años recientes dos factores han hecho viable la simulación:
Reducción de costos en computación. Uso de lenguajes de simulación.
La disponibilidad de la simulación grafica ha resultado grandemente comprendida y usada por los ingenieros de la administración. Actualmente la industria producto de la competencia, ha empezado a implementar factorías automatizadas y hacer reingeniería de sus políticas operacionales y procedimientos. La simulación predice la conducta de complejos sistemas de manufactura en:
Decisiones de configuración del sistema duro: equipos, layout y partes en procesos. Decisiones de configuración del sistema blando: planeamiento, secuenciación. Control en tiempo real del flujo de trabajo, fallas en herramientas, paradas en equipos, etc.
7. Simulación discreta En el modelación de sistemas, existen tres conceptos fundamentales: eventos, estados y tiempo. La simulación discreta, es la modelación de un sistema en el tiempo, representando el cambio instantáneo de las variables de estado en puntos separados del tiempo.
Simulación discreta o simulación de eventos discretos, es el conjunto de relaciones lógicas y matemáticas, que integran el comportamiento de un sistema simulado, cuando ocurre un evento El objetivo de la simulación es: reconocer, analizar y diseñar condiciones mejorables de operación al sistema en estudio. El nombre de simulación discreta, viene desde la manera en que los procesos observados, que afectan la conducta dinámica del sistema, son observados en un punto discreto del tiempo simulado.
“La tarea de un sistema de simulación discreta, requiere de un programa que pueda construir la secuencia de eventos. Los registros deben contener el progreso de todas las actividades, y de las entidades que participan en la simulación”, Geoffrey Gordon. La llegada externa de una entidad se define como un evento, y la hora de llegada de la siguiente entidad se registra como uno de los tiempos del evento, se ejecuta el evento de entrar la entidad al sistema y de inmediato se calcula el tiempo de llegada de la siguiente entidad. A este proceso se le conoce boot -strapping (cordón de bota); para describir este proceso que hace que una entidad cree su sucesora. En el algoritmo del siguiente evento, la simulación es inicializada en cero y los tiempos de los futuros eventos son determinados. El reloj avanza al tiempo de la ocurrencia más eminente (primera) de esos eventos futuros; el estado del sistema se actualiza. Entonces la simulación es avanzada en su reloj. El mecanismo para avance del tiempo en la simulación y la garantía de la ocurrencia de todos los eventos en el orden cronológico, está basado en la lista de futuros eventos ( FEL). Esta lista es un conjunto especial que contiene todos los eventos que serán secuenciados para ocurrir en un tiempo futuro. También se le conoce como calendario de Eventos (archivo). En el algoritmo de proceso, el usuario cambia la terminología de eventos por "transacciones" (o entidades); flujo desde un nodo a otro. Un proceso es una secuencia ordenada en el tiempo de eventos interrelacionados y separados por el paso del tiempo, el cuál describe la experiencia completa de una entidad a través del sistema.
Entre las componentes de un sistema de simulación se encuentran:
Estados del Sistema. Reloj de la Simulación. Lista de Eventos. Contador Estadístico. Rutinas de Almacenamiento. Rutinas de Tiempo. Rutinas de Evento. Librería. Reporte Generador.
8. Computación de variables aleatorias
Entre las componentes de un sistema de simulación, tal como las rutinas de eventos, hacen uso de elementos aleatorios. Un programa de simulación debe proveer procedimientos para generar muestras aleatorias desde alguna distribución de probabilidades. En la modelación y simulación, la comparación con la realidad y su refino progresivo, hace que intervenga l a resolución de problemas estadísticos. Un ejemplo notable de modelización estadística a partir de un problema práctico son las distribuciones de probabilidad, que permiten describir en forma sintética el comportamiento de las distribuciones empíricas de datos estadísticos y hacer predicciones sobre su comportamiento. Ver figura 1.11.
Caracterización de las Distribuciones de Probabilidad
Experimentos en Simulación
Inferencias Estadísticas
Figura 1.11: Rol de las probabilidades Entre los métodos más comunes para generación de variables o procesos aleatorios, destacan:
Método de la transformación inversa. Método del rechazo. Método de la convolución.
Distribución discreta Para generar un entero entre 0 y k -1, multiplicar el número aleatorio r por k y hacer x = kr el entero del producto. Este método arroja un entero el que es obtenido desde igual probabilidad. Suponga que se poseen diferentes enteros; es decir X = x1 con la probabilidad p1, X = x2 con la probabilidad p2,...,y X = x n , con la probabilidad pn; equivalente a la distribución:
Con p1 + p2 +. . .+ pn = 1 El proceso de generación de esta distribución discreta (conocida como empírica) viene dado por: 1.- Generar 2.- Determinar X .
x1 si 0 r p1 x si p r p p 2 1 1 2 X ... xn p1 p2 ... pn 1 r 1 Equivalente a I 1
p
I
j
r p j
J 1
J 1
Sea la distribución de probabilidades: x P( x)
3 0.10
4 0.30
5 0.35
6 0.25
Definiendo la distribución acumulada:
F ( x) ( X x)
p( x ) i
x i x
i x F ( x)
1 3 0.10
2 4 0.40
3 5 0.75
4 6 1.00
Si r es 0.50, se tiene F (3 1) r F (3) . Luego X = x3=5.
8.2.2 Distribuciones continuas Un algoritmo para generar una variable aleatoria X , que tiene una función F es: 1. 2.
Generar Retornar X = (Ver figura 1.12)
1 r1
x
x1
Figura 1.12: Método de la transformación inversa
f(x) 1
0
x
Figura 1.13: La función exponencial
La distribución exponencial, es muy usada para explicar los tiempos de arribo y servicio en los fenómenos de espera. La función densidad es:
f ( x) e
x
, x 0, y
la distribución acumulada x
F ( x) f ( x)dx 0
1 e x , x 0
f(x) 1
x
0
Figura 1.14: La función exponencial acumulada
Como 1-r está distribuida uniformemente como r ; entonces se simplifica a la expresión siguiente:
1 x Ln(r )
La distribución uniforme, o también conocida como rectangular, se encuentra definida como:
f ( x)
1 ba
, a x b
f(x)
1 b-a
a
b
x
Figura 1.15: La función uniforme
Es utilizada, para modelar situaciones en donde, para un intervalo existe igual probabilidad de seleccionar un evento. x
f ( x)dx
a
x a ba
, x a r (b a)
f(x) 1 r0 0
a
x0
b
Figura 1.16: La función uniforme acumulada
x
