MODELACION DINAMICA DE SISTEMAS DE CONTROL

UNIDAD II:MODELACIÓN DINÁMICA DE SISTEMAS DE CONTROL 2.1 DEFINICIONES El térm términ ino o sist sistem ema a ha sido sido ampl amplia iame ment nte e refer referid ido o en la lite literat ratura ura cien cientí tífifica. ca. Son Son numerosas las definiciones que pueden encontrarse acerca del mismo. El concepto se introdu introduce ce como como una idea idea astract astracta a que puede puede aplica aplicarse rse a fen!me fen!menos nos de distin distinta ta naturale"a. Como primera apro#imaci!n$ de forma intuiti%a$ puede considerarse que un sistema es un o&eto formado por un con&unto de partes que interaccionan entre si ' el entorno ()racil ' *ordillo$ 1++,-. as técnicas ' herramientas asociadas con el concepto de sistema &ue/an un papel importante en di%ersas 0reas de la tecnolo/ía ' han sido aplicadas en una amplia %ariedad %ariedad de discip disciplin linas as científ científica icas$ s$ entre entre ellas ellas pueden pueden citarse citarse ro!tic ro!tica$ a$ in/eni in/enierí ería$ a$ economí economía$ a$ control control de proceso procesos$ s$ procesad procesado o de seale seales$ s$ sociolo sociolo/ía /ía$$ antropo antropolo/ lo/ía$ ía$ psicolo/ía etc. En todas estas aplicaciones su'ace la intenci!n de modelar ' anali"ar  distintos tipos de fen!menos e interacciones (físicas$ iol!/icas$ econ!micas$ sociales etc.a naturale"a de un sistema est0 determinada por las partes que lo componen ' las interacciones que se estalecen entre las mismas. os elementos que coran especial importancia a la hora de su estudio son 3)tri 3)triuto utos s 4a/nit 4a/nitudes udes que represe representa ntan n cualid cualidade adess percept perceptil iles es del sistem sistema. a. os atriutos permiten reali"ar una descripci!n cualitati%a del sistema. 3Interacciones 5elaciones entre las distintas partes del sistema o el entorno$ que modifican el %alor de los atriutos. 3Comportamiento E%oluci!n temporal de los atriutos del sistema en una situaci!n particular.  )unque la naturale"a física de los sistemas ' las interacciones que los caracteri"an son ien diferentes$ diferentes$ todos tienen tienen al/o en com6n com6n los sistemas responden a una e#citaci!n

(interacci!n e#terna- con un comportamiento o seal de respuesta concreta (e%oluci!n de los atriutos- que depender0 del estado en que se encuentren las partes del sistema (interacci!n interna-. 7n sistema tamién puede representarse como un proceso en el que una seal de entrada (interacci!n e#terna- se transforma en una seal de salida (atriuto-

8rincipales conceptos 39ariales de estado representan el menor con&unto posile de ma/nitudes %ariales en el tiempo que permiten descriir el estado (%alor de los atriutos- de un sistema (O/ata$ 1+:;-.

38ar0metros son ma/nitudes que afectan al %alor de los atriutos del sistema pero que se mantienen fi&as a lo lar/o del tiempo. Son los responsales de las diferencias entre un sistema u otro.

39ariales de entrada son ma/nitudes que afectan al %alor de los atriutos del sistema ' que pueden camiar como consecuencia de una interacci!n e#terna.

39ariales de salida son ma/nitudes cu'o conocimiento interesa especificar ' cu'o %alor es funci!n de las %ariales de estado ' las %ariales de entrada. En ocasiones las %ariales de salida pueden coincidir con las %ariales de estado. E&emplo llenado de un dep!sito.

2.2 4ODEOS DE 85OCESOS <7=4ICOS 7so de modelos en procesos químicos 34e&orar la comprensi!n de los procesos 3Optimi"ar diseo ' condiciones de operaci!n 38ara disear ' me&orar estrate/ias de control 3Entrenamiento de personal 38lanificaci!n de operaciones 38aradas ' puesta en marcha

8rincipios /enerales de modelaci!n 3as ecuaciones del modelo son una apro#imaci!n al proceso real 3 >odos los modelos son ine#actos pero 6tiles. 3a construcci!n de un modelo en%uel%e un compromiso entre e#actitud ' comple&idad (costo de desarrollo %?s costo de uso. 3a modelaci!n de procesos es tanto un arte como una ciencia. Se requiere creati%idad para disearlo ' conocimientos para asumir las simplificaciones correctas 3os modelos din0micos de procesos resultan en ecuaciones diferenciales totales '?o parciales m0s relaciones al/eraicas (sistemas al/ero@diferenciales-.

8asos para el desarrollo del modelo 1. Definir los alcances ' o&eti%os del modelo. A
. Enumere todas las suposiciones reali"adas. >ratar de simplificar en lo posile para alcan"ar los o&eti%os de modelaci!n. . Escria las ecuaciones de conser%aci!n necesarias (masa$ componente$ ener/ía$ ' Cantidad de mo%imiento- para cada 9.C. G. Incorpore las ecuaciones constituti%as que relacionan las cantidades conser%ati%as con las entradas ' salidas termodin0micas$ de transporte$ cinéticas$ /eométricas$ etc. E&. < H h ) (>- r ) H J ; e @E?5> ,. )n0lisis del modelo (* de liertad$ dimensional:. Simplificar ' ordenar el modelo para fines de soluci!n. (5educci!n de ecuaciones$ arre/los matriciales$ etc. +. Soluci!n del modelo. 1;. )n0lisis de resultados

A
EKE48O 85OCESO DE 4ELC)DO

O&eti%o conocer composici!n de salida # Malance a reali"ar Malance de masa total ' por componente

Donde 1$ 2 '  son los flu&os m0sicos. El alance por componente es

 se tiene que

 )plicando la re/la de la cadena ' reempla"ando

En términos de #

5eordenando se otiene el si/uiente sistema

2.3.- LINEARIZACIÓN DE PROCESOS NO LINEALES En las secciones anteriores hemos %isto como representar los sistemas lineales. En esta secci!n se estudia una manera de otener una apro#imaci!n lineal de un sistema no lineal. a primer pre/unta que uno se dee hacer es Ac!mo se representa un sistema no linealB os o&eti%os son 1- otener representaciones o soluciones lineales apro#imadas de las funciones o sistemas no lineales$ 2- entender el comportamiento de un sistema no lineal al ser perturado alrededor de una soluci!n o punto de operaci!n nominal. Se considera un sistema din0mico no@lineal se puede representar por un con&unto de ecuaciones diferenciales de la forma /eneral en donde f ' h son funciones que representan la din0mica del sistema ' la salida de este dados en términos de la %ariale de estado # ' la entrada u #P(t- H f(#(t-$u(t-- $ #(t;- H #; '(t- H h(#(t-Donde f es una funci!n %ectorial de n Q 1 elementos$ e#presada en términos de un %ector de estado lo cual es una %ariale de estado de dimensi!n #

∈ 5

nQ1 . El n6mero

de estados n es conocido como el Rorden del sistema. a soluci!n #(t- de la ecuaci!n corresponde a una cur%a en el espacio de estado donde t %aria de cero hasta infinito. Esta cur%a es conocida como la tra'ectoria de estado.

Interpretación gráfica  )nalo/ía entre una funci!n no lineal de cierta cur %atura cu'a representaci!n lineal es la línea recta que pasa tan/ente en uno de sus puntos ' las ecuaciones que descrien un sistema din0mico no lineal cu'a representaci!n lineal se otiene a partir de las deri%adas parciales de la misma funci!n con respecto a sus %ariales. Considere que una determinada funci!n f(t- es no lineal. 8or lo tanto$ esta se representa como una /r0fica con ciertas cur%aturas dependiendo de los términos que conten/a. El comportamiento no lineal de esta cur%a oedece a cada uno de los términos que contiene. Suponiendo que se desea anali"ar la forma lineal en que se comporta esta

cur%a$ entonces se deer0 reali"ar un an0lisis en un solo punto del espacio. Esto se puede descriir /r0ficamente por medio de una línea tan/ente a ese punto$ la cual descriir0 linealmente a la funci!n. a línea representa la deri%ada de la funci!n anali"ada en cierto punto específico$ lo cual es la representaci!n lineal de la cur%a en un punto específico. El an0lisis en un sistema din0mico no lineal se reali"a de manera similar. as ecuaciones de los sistemas no lineales se pueden entender de la misma forma que se descrie este comportamiento /r0fico de una cur%a. a interpretaci!n /r0fica de una lineali"aci!n es encontrar la forma de la línea tan/ente en un punto de la funci!n de una cur%a. Este punto se tomar0 en cuenta como el punto de operaci!n o el punto de equilirio. cur%a #(t- entonces la tan/ente en el punto de lineali"aci!n t H t1 es #(t1-$ ' la línea que descrie el comportamiento del sistema en dicho punto es la tan/ente a dicho punto. En una %ecindad alrededor de este punto se dice que la tan/ente no camia$ de i/ual manera suceder0 alrededor del punto de operaci!n para el cual se encuentra la lineali"aci!n del sistema din0mico. 8oner una /rafica descriiendo esta interpretaci!n usando matla.

2.4.- SISTEMAS DE PRIMER ORDEN dc(t ) + a0c(t ) = b0 r (t ) dt 

os sistemas de primer orden continuos son aquellos que

responden a una ecuaci!n diferencial de primer orden

C ( s)

=

 R ( s )

b0  s + a0

a funci!n de transferencia es

5eacomodando términos tamién se puede escriir como C ( s)

=

 R ( s )

 K 

τ  s + 1

D!nde  K  =

b0 a0

Es la /anancia estale. τ 

1 =

a

0

Es la constante de tiempo perdido.  s = −a0 = −

El %alor

1

τ 

se denomina polo.

Respuesta e un siste!a e pri!er "ren ante una entraa i!pu#s" a salida en aplace es  R ( s ) = 1

C ( s) =

b0  s + a0

 R ( s )

7tili"ando transformada in%ersa de aplace 1  1 c(t ) = b0L−    s + a0 

− a t  τ  c(t ) = b0 e 0

τ 

Se otiene la salida en funci!n del tiempo

Se e%al6a la ecuaci!n anterior en tiempos m6ltiplos de

2.4.- SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

En in/eniería de control un sistema de se/undo orden se caracteri"a porque tiene dos polos$ la funci!n de transferencia /enérica de un sistema de se/undo orden en ucle cerrado tiene la si/uiente forma

 T *anancia U T Factor de amorti/uamiento o frecuencia propia no amorti/uada Vn T Frecuencia natural Si sacamos las raíces del denominador oser%aremos que los sistemas de se/undo orden pueden clasificarse en tres tipos diferente de sistemas$ las raíces son

Oser%ando las raíces %emos que se nos presentan tres posiilidades se/6n el %alor  que tome

'a que puede ser ma'or$ menor o i/ual a 1$ así pues la clasificaci!n

quedaría

Siste!as Su$a!"tigua"s os sistemas suamorti/uados s!lo se dan cuando

$ así pues otenemos un par 

de n6meros comple&os$ desarroll0ndolo otenemos Vd T Frecuencia for"ada

Siste!a cr%tica!ente a!"rtigua" & siste!a s"$rea!"rtigua" Este tipo de sistema lo otenemos cuando

$ la /r0fica que si/uen estos tipos de

sistemas son una si/moide ' es el caso frontera$ por decirlo de al/una manera$ es el caso que separa un sistema suamorti/uado de un sistema soreamorti/uado. a /r0fica que descrie un sistema críticamente amorti/uado es parecida a la si/uiente os sistemas Soreamorti/uados se dan cuando

la cur%a que representa a estos

tipos de sistemas es tamién una si/moide como en el caso anterior pero todas las cur%as que pueden se/uir los sistemas Soreamorti/uados est0n por dea&o de la que si/ue uno críticamente amorti/uado con lo que podemos deducir que es m0s lento que el caso frontera.

Especificaci"nes e Transit"ri" as especificaciones del transitorio solo tienen sentido para los sistemas suamorti/uados$ presentaremos primero la /r0fica que se/uiremos para la e#plicaci!n ' se/uidamente pasaremos a definir cada termino.

2.5.- SISTEMA DE ORDEN SUPERIOR os siste!as e "ren superi"r contienen ceros ' polos adicionales que afectan al comportamiento tanto en ré/imen transitorio como permanente a funci!n de transferencia de un sistema de se/undo orden con p"#" aici"na# es la si/uiente 2

P1

 

ω n 1  H ( s) = 2 2  s + 2ξ ω n s + ω n (1 + bs )

Im(s) d

P3 p o -1/b

P2

Re(s)

a respuesta transitoria %iene dada por la si/uiente e#presi!n  y (t ) = 1 −

e

−ω d t ctgθ 

[ sen(ω  t + θ +θ  )sen(θ +θ  ) + e sen θ  2

d 

 p

−ω d  t ctgθ  p

 p

2   K ω n 1  y (t ) = L [ H ( s )U ( s)] = L  2 = 2  s + 2  s +  s ξ  ω  ω  n n     ω n  K 1 − e −σ t  sen( ω d t + υ )  2 1 − ξ    -1

sen 2θ  p

]

-1


sistema de se/undo orden puro.

Sistema de 2º Orden (b=0)

2º Orden + polo adicional (b=02)

Su efecto sore la respuesta transitoria depender0 de la p"sición re#ati'a del nue%o b=033 polo con respecto al par de polos comple&os con&u/ados b=10

Respuestas transit"rias e "ren superi"r  8artimos de una funci!n de transferencia /enérica del tipo m

∏ ( s + z  )  j

 H ( s) =  K 

 j =1 n

∏ ( s +  p ) i

i =1

 H ( s ) =

bm s m + bm −1 s m −1 +  + b1 s + bo an s n + an −1 s n −1 +  + a1 s + ao

Separando polos en el ori/en$ polos reales ' polos comple&os queda m

∏ ( s − z  )  j

 H ( s) =  K   s

 j =1

q

γ  

∏ ( s − σ  ) ∏ ( s − α  +  jω  ) υ h

l 

h

h =1

k 

h =1

k 

λ k 

( s − α k  −  jω k  ) λ 

k 

 H ( s ) =

l 

υ h

q

 Au

γ  

 Bhu

λ k 

C ku

∑  s + ∑∑ ( s − σ  ) + ∑∑ ( s − α  +  jω  ) u

u =1

u

h =1 u =1

k =1 u =1

h

k 

u

+

k 

C ku

*

( s − α k  −  jω k  ) u

 descomponiendo en

fracciones simples

 )/rupando términos  H ( s) =

l 

υ h

q

 Au

γ  

 Bhu

∑  s + ∑∑ ( s − σ  ) + ∑∑ u

u =1

u

h =1 u =1

k =1 u =1

h

 M ku s +  N ku

λ k 

( s

2

− 2α k  s + (ω k 2 + α k 2 ))

u

Con lo que estos sistemas pueden %erse como una cominaci!n de sistemas de primer  ' se/undo orden. l 

 M u

q

υ h

γ  

 N hu

λ k 

  ku

∑  s +∑∑ ( s − σ  ) +∑∑ ( s − α  +  jω  )

! ( s) =

u =1

+

  ku

u

h =1 u =1

*

( s − α k  −  jω k  ) u

u

h

k =1 u =1

k 

u

k 

+ ∑ ( tér min osdebidosaU ( s) )

a respuesta ante escal!n %endr0 dada

por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en fracciones simples

8asando al dominio temporal

 y (t ) =

l 

 M u

∑ ( u −1)! u =1

γ  

λ k 

+∑∑ k =1

2  ku

q

υ h

 N hu

∑∑ ( u −1)! t 

t u −1 +

u −1 σ h

e

h =1 u =1

u u 1 −α k t 

t  − e u =1 ( u − 1)!

cos( ω k  − arg(  ku ) ) +

∑ ( L [ tér min osdebidosaU ( s)] ) -1