Model Survival.pdf

Model Survival Tuti Sariningsih BU // Darma Ekawati S2 Matematika FMIPA UGM

January 3, 2014

Outline 1

Pendahuluan

2

Peluang Meninggal Fungsi Survival Sisa Usia Seseorang Berusia x Sisa Usia Diskrit (Curtate Future Lifetime) Percepatan Kematian (Force of Mortality)

3

Tabel Mortalitas Hubungan antara Fungsi Survival dan Tabel Mortalita

4

The Deterministic Survivorsh Survivorship ip Group

5

Karakterist Karakteristik ik Lain dari Tabel Tabel Mortalitas Mortalitas Karakteristik Tabel Mortalitas Formula Rekursif

6

Asumsi Asumsi untuk untuk Usia Pecahan Pecahan

7 8

Hukum Mortalita Tabel Seleksi dan Ultima Ultima

Pendahuluan

Pendahuluan

Pendahuluan

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabel random tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu produk atau bahkan jiwa.

Pendahuluan

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabel random tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu produk atau bahkan jiwa. Mengapa model survival diperlukan?

Pendahuluan

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabel random tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu produk atau bahkan jiwa. Mengapa model survival diperlukan? Dalam asuransi jiwa, resiko yang mungkin timbul terutama terletak pada unsur waktu dan termasuk hal yang sulit untuk memprediksi kapankah seseorang akan meninggal dunia. Unsur waktu inilah yang sangat sulit diperkirakan sehingga pada kasus seperti ini akan digunakan s (t) sebagai fungsi survivalnya.

Peluang Meninggal

Fungsi Survival

Fungsi Survival

Peluang Meninggal

Fungsi Survival

Fungsi Survival Misalkan X merupakan suatu variabel random kontinu menyatakan sisa usia hingga terjadi suatu kematian dari suatu kelahiran.

Peluang Meninggal

Fungsi Survival

Fungsi Survival Misalkan X merupakan suatu variabel random kontinu menyatakan sisa usia hingga terjadi suatu kematian dari suatu kelahiran. F X (x) menyatakan fungsi distribusi dari X , yang menyatakan probabilitas seseorang akan meninggal dunia sebelum mencapai usia x, maka:

Peluang Meninggal

Fungsi Survival

Fungsi Survival Misalkan X merupakan suatu variabel random kontinu menyatakan sisa usia hingga terjadi suatu kematian dari suatu kelahiran. F X (x) menyatakan fungsi distribusi dari X , yang menyatakan probabilitas seseorang akan meninggal dunia sebelum mencapai usia x, maka: F X (x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

Peluang Meninggal

Fungsi Survival


Dan S (x) menyatakan probabilitas seseorang akan hidup sampai usia x, maka:

Peluang Meninggal

Fungsi Survival


Dan S (x) menyatakan probabilitas seseorang akan hidup sampai usia x, maka: S X (x) = 1 − F X (x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Peluang Meninggal

Fungsi Survival



Probabilitas seseorang meninggal diantara usia x dan z (x < z ) adalah

Peluang Meninggal

Fungsi Survival



Probabilitas seseorang meninggal diantara usia x dan z (x < z ) adalah Pr(x < X ≤ z ) = F X (z ) − F X (x) = s(x) − s(z )

Peluang Meninggal

Sisa Usia Seseorang Berusia

Sisa Usia Seseorang Berusia x

x

Peluang Meninggal



x

Probabilitas bersyarat untuk seorang bayi yang baru lahir meninggal antara usia x dan z dengan syarat mencapai usia x tahun, adalah

Peluang Meninggal



x

Probabilitas bersyarat untuk seorang bayi yang baru lahir meninggal antara usia x dan z dengan syarat mencapai usia x tahun, adalah F X (z ) − F X (x) s(x) − s(z ) Pr(x < X ≤ z |X > x) = = 1 − F X (x) s(x)

Peluang Meninggal



x

Probabilitas bersyarat untuk seorang bayi yang baru lahir meninggal antara usia x dan z dengan syarat mencapai usia x tahun, adalah F X (z ) − F X (x) s(x) − s(z ) Pr(x < X ≤ z |X > x) = = 1 − F X (x) s(x)

Simbol (x) menyatakan seseorang yang hidup berusia x. Sisa usia (x), X − x, dinyatakan dengan T (x).

Peluang Meninggal



x

Peluang Meninggal



x

Pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan T (x):

Peluang Meninggal



x

Pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan T (x): t px menyatakan

probabilitas seseorang yang berusia ( x) tahun akan tetap hidup sampai dengan usia ( x + t) tahun. t px merupakan fungsi survival dari (x), dimana: t px = Pr[T (x) ≥ t] , t ≥ 0 s(x+t) t px = s(x)

Peluang Meninggal



x

Pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan T (x): t px menyatakan

probabilitas seseorang yang berusia ( x) tahun akan tetap hidup sampai dengan usia ( x + t) tahun. t px merupakan fungsi survival dari (x), dimana: t px = Pr[T (x) ≥ t] , t ≥ 0 s(x+t) t px = s(x) t q x menyatakan probabilitas seseorang yang berusia ( x) tahun akan meninggal sebelum usia (x + t) tahun, dimana: t q x = Pr[T (x) ≤ t] , t ≥ 0 t q x = 1 − t px s(x)−s(x+t) F (x+t)−F (x) = = q t x 1−F (x) s(x) X

X

X

Peluang Meninggal



x

Pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan T (x): t|u q x menyatakan

probabilitas seseorang yang berusia ( x) tahun akan tetap hidup sampai dengan usia (x + t) tahun, kemudian akan meninggal diantara usia (x + t) dan (x + t + u) dimana: t|u q x = Pr[t < T (x) ≤ t + u ] t|u q x = t+u q x − t q x t|u q x = t px u q x+t

Peluang Meninggal


Contoh:


x

Peluang Meninggal



x

Contoh: −x3 Diketahui s(x) = e 12 , x ≥ 0. Hitunglah 7| q 13

Peluang Pelua ng Meningga Meninggall


Sisa Usia Seseo Seseorang rang Beru Berusia sia x

x

Contoh: −x3 Diketahui s(x) = e 12 , x ≥ 0. Hitunglah 7| q 13 13 Jawaban:



Sisa Usia Seseo Seseorang rang Beru Berusia sia x

x

Contoh: −x3 Diketahui s(x) = e 12 , x ≥ 0. Hitunglah 7| q 13 13 Jawaban: 13 7| q 13

= 7 p13 q 20 20 s(20) s(21) = 1− s(13) s(20) −5803 −7064 12 = e e 12 =0






Sisa Usia Usia Diskrit Diskrit (Curtate (Curtate Futur Future e Lifetime) Lifetime)

Sisa Usia Diskrit (Curtate Future Lifetime)

Peluang Meninggal



Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia ( x) dinyatakan dengan K (x).

Peluang Meninggal



Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia ( x) dinyatakan dengan K (x). Fungsi probabilitas untuk K (x) adalah:

Peluang Meninggal



Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia ( x) dinyatakan dengan K (x). Fungsi probabilitas untuk K (x) adalah: Pr[K (x) = k ] = Pr[k ≤ T (x) < k + 1] = Pr[k < T (x) ≤ k + 1] Pr[K (x) = k ] = k px − k+1 px = k px q x+k = k| q x , k = 0, 1, 2, . . .

Peluang Meninggal

Percepatan Kematian (Force of Mortality)


Peluang Meninggal



Percepatan kematian dinotasikan sebagai berikut:

Peluang Meninggal



Percepatan kematian dinotasikan sebagai berikut: f (x) µ(x) = s(x)

Peluang Meninggal



Percepatan kematian dinotasikan sebagai berikut: f (x) µ(x) = s(x)

Atau dapat dituliskan:

−s (x) µ(x) = s(x)

Peluang Meninggal



Hubungan antara percepatan kematian dan fungsi survival adalah:

Peluang Meninggal



Hubungan antara percepatan kematian dan fungsi survival adalah: s(x) = e

−

R x 0

µ(y )dy

Peluang Meninggal




−

R x

µ(y )dy

0 x+n

n px

=e

−

R x

µ(y )dy

=e

−

n R

0

µ(x+y )dy

Peluang Meninggal




−

R x

µ(y )dy

0 x+n

n px

=e

−

R x

µ(y )dy

=e

−

n R

µ(x+y )dy

0

Dan f T (x) (t) = t px µ(x + t)

Peluang Meninggal


Percepatan Kematian (Force of Mortality) Contoh:

Peluang Meninggal


Percepatan Kematian (Force of Mortality) Contoh: Hitunglah 4|14 q 50 jika diberikan nilai percepatan kematian sebagai berikut: µ(x) =

 0 05

; 50 ≤ x < 60 , 0, 04 ; 60 ≤ x < 70

Peluang Meninggal



Jawaban:

 0 05

; 50 ≤ x < 60 , 0, 04 ; 60 ≤ x < 70

Peluang Meninggal



 0 05

; 50 ≤ x < 60 , 0, 04 ; 60 ≤ x < 70

Jawaban: 4|14 q 50

= 4 p50 14 q 54 = 4 p50 (1 − 14 p54 ) −

=e

−

=e

R 4

µ(50+y )dy

0

R 4

µ(50+y )dy

0

−0,2

=e = 0, 38

1 −

 1 −  1 − 

e−0,62

−

e

−

e

14 R 0

R 6 0

µ(54+y )dy

 

µ(54+y )dy −

14 R 6

µ(54+y )dy

 

Tabel Mortalitas

Tabel Mortalitas

Tabel Mortalit Mortalitas as

Tabel Mortalitas

Tabel mortalitas adalah adalah tabel yang menggambarkan (memuat) kemungkinan kemungkinan (probabilitas) kehidupan dan kematian dari kelompok orang dalam jangka waktu tertentu


Tabel Mortalitas

Tabel mortalitas adalah adalah tabel yang menggambarkan (memuat) kemungkinan kemungkinan (probabilitas) kehidupan dan kematian dari kelompok orang dalam jangka waktu tertentu Jika lx menyatak menyatakan an banya banyakn knya ya orang ya yang ng berumur berumur x tahun tahun dan dx menyatakan banyaknya orang yang berumur x tahun yang meninggal sebelum mencapai usia ( x + 1) tahun, maka:


Tabel Mortalitas

Tabel mortalitas adalah adalah tabel yang menggambarkan (memuat) kemungkinan kemungkinan (probabilitas) kehidupan dan kematian dari kelompok orang dalam jangka waktu tertentu Jika lx menyatak menyatakan an banya banyakn knya ya orang ya yang ng berumur berumur x tahun tahun dan dx menyatakan banyaknya orang yang berumur x tahun yang meninggal sebelum mencapai usia ( x + 1) tahun, maka: dx = lx − lx+1

Tabel Mortalitas Mortalita

Hubungan antara Fungsi Survival dan Tabel Mortalita



Hubungan antara fungsi survival dan tabel mortalita adalah lx = l0 s(x)




Sehingga diperolah: lx+n n px = lx




Sehingga diperolah: lx+n n px = lx

dan

lx+n n q x = 1 − lx



Contoh: Dengan menggunakan ILT. Hitunglah peluang seseorang berumur 20 tahun akan hidup mencapai usia 100 tahun. Hitung juga peluang meninggal sebelum mencapai usia 70 tahun



Contoh: Dengan menggunakan ILT. Hitunglah peluang seseorang berumur 20 tahun akan hidup mencapai usia 100 tahun. Hitung juga peluang meninggal sebelum mencapai usia 70 tahun Jawaban: 80 p20

=

l100 l20

=

50 q 20

= 1−

l70 l20

400,49 96.178,01 = 0, 0042 .161,54 = 1 − 66 96.178,01 = 0, 3121

The Deterministic Survivorship Group

The Deterministic Survivorship Group Related concepts of the mathematic of compound interest and of deterministic survivorship group Compound Interest A(t) is the size of fund at time t, time measured in years Effective annual rate of interest (increment) ( +1)− ( ) it = A t A(t) A t Effective n−year rate of interest, starting at time t A(t+n)−A(t) ∗ n it = A(t) Force of interest at time t ( ) δ t = A1(t) dAdtt

Survivorship Group lx is the size of group at age x, age measured in years Effective annual rate of mortality (decrement) l −l q x = x lxx+1 Effective n−year rate of mortality, starting at age x lx −lx+n n q x = lx Force of mortality at age x x µ(x) = − l1x dl dx

Karakteristik Lain dari Tabel Mortalitas

Karakteristik Tabel Mortalitas




Karakteristik Tabel Mortalitas Harapan hidup lengkap (complete-expectation-of-life)



Karakteristik Tabel Mortalitas Harapan hidup lengkap (complete-expectation-of-life) Harapan hidup lengkap adalah nilai harapan seumur hidup dari variabel random kontinu T (x), yaitu: ∞

˚ ex = E [T (x)] =

 0

t px dt




˚ ex = E [T (x)] =



t px dt

0

Dengan nilai variansi T (x) sebagai berikut: ∞

V ar [T (x)] = 2

 0

t t px dt − ˚ e2x




˚ ex = E [T (x)] =



t px dt

0

Dengan nilai variansi T (x) sebagai berikut: ∞

V ar [T (x)] = 2



t t px dt − ˚ e2x

0

Untuk yang berjangka n-tahun maka nilai harapan hidup lengkapnya adalah n

˚ ex:n =

 0

t px dt




Harapan hidup usia bulat (curtate-expectation-of-life)




Harapan hidup usia bulat (curtate-expectation-of-life) Harapan hidup usia bulat adalah nilai harapan dari variabel random diskrit K (x) ∞

 [ ( )] =

ex = E T x

k =1

k px




Harapan hidup usia bulat (curtate-expectation-of-life) Harapan hidup usia bulat adalah nilai harapan dari variabel random diskrit K (x) ∞

 [ ( )] =

ex = E T x

k px

k =1

Dengan nilai variansi K (x), sebagai berikut: ∞

 ( )] = (2

k − 1) k px − ex 2

V ar [T x

k =1




Jumlah orang yang hidup diantara usia x sampai dengan x + n tahun: n

n Lx

=

 0

lx+t dt




Jumlah orang yang hidup diantara usia x sampai dengan x + n tahun: n

n Lx

=



lx+t dt

0

central-death-rate :

lx − lx+n n mx = n Lx



Karakteristik Tabel Mortalitas Contoh: Diketahui s(x) = 1 − (0, 01 x)2 , 0 ≤ x ≤ 100 Hitunglah harapan hidup (30) sampai dengan 50 tahun yang akan datang



Karakteristik Tabel Mortalitas Contoh: Diketahui s(x) = 1 − (0, 01 x)2 , 0 ≤ x ≤ 100 Hitunglah harapan hidup (30) sampai dengan 50 tahun yang akan datang Jawab: 50

˚ e30:50

 =  =  =

t p30 dt

0 50 0 50 0

= 37

s(30+t) s(30)

dt

1−(0,01(30+t))2 1−0,32

dt


Formula Rekursif

Formula Rekursif

Backward Recursion Formula u(x) = c (x) + d(x)u(x + 1)


Formula Rekursif

Formula Rekursif

Backward Recursion Formula u(x) = c (x) + d(x)u(x + 1)

Backward Recursion Formula c(x) 1 u(x + 1) = − + u (x) d(x) d(x)


Formula Rekursif

Formula Rekursif Backward Recursion Formulas for ex and ˚ ex


Formula Rekursif

Formula Rekursif Backward Recursion Formulas for ex and ˚ ex Step Basic equation

ex = ˚

∞ R

ex = ˚

R 1

e = p x + px ex+1

˚ ex =

R 1

u(x) = e x ,

u(x) = ˚ ex ,

ex =

∞ P

k px

k=1

Separation the operation Factor px and change variabel in the operation Recursion formula

Starting value

ex ˚

ex

ex = px +

∞ P

s px ds

0 t px

k=2

c(x) = px , d(x) = px eω = u (ω ) = 0

0

s px ds +

R ∞ 1

s px ds

p ds + px ˚ ex+1 0 s x

R 1

c(x) = 0 s px ds, d(x) = px eω = u (x) = 0 ˚

Asumsi untuk Usia Pecahan


Interpolasi Linier: s(x + t) = (1 − t) s(x) + t · s(x + 1) Menggunakan asumsi distribusi kematian seragam (UDD) sehingga t px merupakan suatu fungsi linier.



Interpolasi Linier: s(x + t) = (1 − t) s(x) + t · s(x + 1) Menggunakan asumsi distribusi kematian seragam (UDD) sehingga t px merupakan suatu fungsi linier. Intepolasi Eksponensial: log s(x + t) = (1 − t) log s(x) + t · log s(x + 1) Disebut juga asumsi percepatan konstan, sehingga t px merupakan eksponensial



Interpolasi Linier: s(x + t) = (1 − t) s(x) + t · s(x + 1) Menggunakan asumsi distribusi kematian seragam (UDD) sehingga t px merupakan suatu fungsi linier. Intepolasi Eksponensial: log s(x + t) = (1 − t) log s(x) + t · log s(x + 1) Disebut juga asumsi percepatan konstan, sehingga t px merupakan eksponensial t) t Interpolasi Harmonik: s(x1+t) = (1− + s(x) s(x+1) Disebut juga asumsi hiperbolik atau distribusi Balducci karena kurva t px berbentuk hiperbola



Tabel fungsi aktuaria untuk asumsi linier, eksponensial dan hiperbola:



Tabel fungsi aktuaria untuk asumsi linier, eksponensial dan hiperbola: Fungsi

Linier

t q x

t q x

µ(x + t) y q x+t

qx 1−t qx (1−t) qx 1−t qx y qx 1−t qx

t px

1 − t q x

px t

t px µ(x + t)

q x

−( px )t log px

1−t q x+t

Asumsi Eksponensial 1 − ( px )t − log px 1 − ( px )1−t 1 − ( px )y

Hiperbolik t qx 1−(1−t)qx qx 1−(1−t)qx

(1 − t) q x y qx 1−(1−y −t)qx px 1−(1−t)qx qx px [1−(1−t)qx ]2


Asumsi untuk Usia Pecahan Contoh: 1−s q x+s

= (1 − s)q x , 0 ≤ s < 1 dan 1 q x+ 1 . Hitunglah q x 3

2




Jawab: 1−s q x+s

= (1 − s)q x

2




2

Jawab: 1−s q x+s

= (1 − s)q x → Asumsi Hiperbolik




2

Jawab: 1−s q x+s

= (1 − s)q x → Asumsi Hiperbolik

Sehingga 1 3

q x+ 1

=

0, 03

=

2

q x

1 q 3 x 1−(1− 13 − 12 )qx 1 q 3 x 1− 16 qx

= 0, 08866995

Hukum Mortalita

Hukum Mortalita

Beberapa hukum mortalita yang memuat fungsi survival dan percepatan kematian beserta penemunya:

Hukum Mortalita

Hukum Mortalita

Beberapa hukum mortalita yang memuat fungsi survival dan percepatan kematian beserta penemunya: Penemu

µx

De Moivre (1729)

(ω − x)−1

Gomperts (1825)

Bc x

Makeham (1860)

A + Bcx

Weibull (1939)

kx

n

s(x)

Batasan-batasan

x ω B (− log c (cx −1))

1−

e

B (−Ax− log (cx −1)) c

e

e

(−

n+1 kx n+1

)

0≤x<ω B > 0 , c > 1 , x ≥ 0 B > 0, A ≥ B, c > 1, x ≥ 0 k > 0, n > 0 , x ≥ 0

Hukum Mortalita

Hukum Mortalita Contoh: Diketahui mortalita mengikuti hukum De Moivre. Apabila ˚ e20:20 = 18, tentukan nilai ω !

Hukum Mortalita

Hukum Mortalita Contoh: Diketahui mortalita mengikuti hukum De Moivre. Apabila ˚ e20:20 = 18, tentukan nilai ω ! Jawab: 20

e20:20 ˚

18 18 18 ω

 =  =

t p20 dt

0 20

=

ω −20−t ω −20

dt

0 −(ω −20−t)2 2(ω −20) 1 2 [(ω − 20)

= = 120

−

(ω −40)2 ] ω −20

Tabel Seleksi dan Ultima


Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematian yang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksi



Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematian yang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksi Tabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangka waktu tertentu



Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematian yang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksi Tabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangka waktu tertentu Tabel seleksi menentukan lamanya pengaruh masa seleksi



Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematian yang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksi Tabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangka waktu tertentu Tabel seleksi menentukan lamanya pengaruh masa seleksi Tabel ultima adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematian seseorang yang tidak dipengaruhi lagi oleh masa seleksi



Berikut disajikan tabel seleksi ultima dari Permanent Assurances, Female, 1979-82 dengan periode seleksi 2 tahun:



Berikut disajikan tabel seleksi ultima dari Permanent Assurances, Female, 1979-82 dengan periode seleksi 2 tahun: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

[x]

10−6 q[x]

10−6 q[x]+1

10−6 q[x]+2

l[x]

l[x]+1

lx+2

x + 2

30

222

330

422

9906 , 7380

9904, 7380

9901, 2702

32

31

234

352

459

9902 , 8941

9900, 5769

9897, 0919

33

30

250

377

500

9898 , 7547

9896, 2800

9892, 5491

34

30

269

407

545

9894 , 2903

9891, 6287

9887, 6028

35

30

291

441

596

9889 , 4519

9886, 5741

9882, 2141

36



Berdasarkan tabel tersebut misalkan diambil peluang kematian seseorang yang berusia 32 tahun, baik yang baru terseleksi, terseleksi 1 tahun yang lalu ataupun yang peride seleksinya sudah tidak terpengaruh. Dari ketiga peluang tersebut di peroleh hubungan



Berdasarkan tabel tersebut misalkan diambil peluang kematian seseorang yang berusia 32 tahun, baik yang baru terseleksi, terseleksi 1 tahun yang lalu ataupun yang peride seleksinya sudah tidak terpengaruh. Dari ketiga peluang tersebut di peroleh hubungan q [32] = 0, 000250 < q [31]+1 = 0, 000352 < q 32 = 0, 000422



Contoh: Gunakan tabel seleksi dan ultima di atas untuk menghitung 2 p[30] , 5 p[30] dan 1| q [31]



Contoh: Gunakan tabel seleksi dan ultima di atas untuk menghitung 2 p[30] , 5 p[30] dan 1| q [31] Jawab: l[30]+2 l32 9901, 2702 = = = 0, 9945 2 p[30] = l[30] l[30] 9906, 7380



Contoh: Gunakan tabel seleksi dan ultima di atas untuk menghitung 2 p[30] , 5 p[30] dan 1| q [31] Jawab: l[30]+2 l32 9901, 2702 = = = 0, 9945 2 p[30] = l[30] l[30] 9906, 7380 5 p[30]

=

l[30]+5 l[30]

l35 9887, 6028 = = = 0, 99807 l[30] 9906, 7380

Model Survival.pdf

Recommend Documents