MMES_U1_A2_LAPB_2

Modelación Estocástica Unidad 1 Actividad 2

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

16 de abril de 2016 Autor: Laura Pontón

Unidad 1 Actividad 2

Para realizar las pruebas de bondad de ajuste es necesario: 1.

Definir la variable aleatoria, establecer el espacio de estados y paramétrico.

2.

Elaborar el histograma

3.

Encontrar la media y varianza

4.

Es importante que grafique su frecuencia esperada esperada en el histograma. Si es discreta el resultado es puntual y si es continua es necesario trabajar con integrales.

5.

Elaborar el análisis de acuerdo a la prueba solicitada en el ejercicio. 2

Aplica la prueba de bondad de ajuste  , para verificar que los datos proporcionados en cada caso encajan en el modelo que se propone en los cuatro primeros ejercicios y en los siguientes 4 realiza la prueba Kolmogorov-Smirnov.

1.

Se tomó la muestra a las personas que compraban tortillas con los siguiente datos:

Clase Frecuencia 1.0914384 1 1.42301676 1 1.75459512 5 2.08617348 8 2.41775184 12 2.7493302 9 3.08090856 8

Modelo propuesto: Normal (2.5, 0.7) 

Variable aleatoria:

: Muestra en kilogramos de tortillas d e la persona n

14

12



:[ : [0, ]

Espacio de estados: 10

∞

Kilogramos de tortillas Continuo. 

6 1 0 2 / 4 0 / 6 1 | a c i t s á c o t s E n ó i c a l e d o M

1

Espacio paramétrico: la t-ésima persona

:{ : {1,2,3,…,44} 1,2,3,…,44 }

8

6

4

Discreto.

2

0 1

Tabla de frecuencias

2

3

4

5

6

7

i 1 2 3 4 5 6 7 Totales

Lim i nf. 0 1.0914384 1.42301676 1.75459512 2.08617348 2.41775184 2.7493302

Lim Sup 1.0914384 1.42301676 1.75459512 2.08617348 2.41775184 2.7493302 3.08090856

ampl itud 1.0914384 0.33157836 0.33157836 0.33157836 0.33157836 0.33157836 0.33157836

Xi 0.5457192 1.25722758 1.58880594 1. 1. 92 9203843 2.25196266 2.58354102 2.91511938 13.06276008

fi 1 1 5 8 12 9 8 44 44 μ

Xifi 0.5457192 1.25722758 7.9440297 15.3630744 27.02355192 23.25186918 23.32095504 98.70642702

xi - μ -1.697608687 - 0. 0.986100307 - 0. 0.654521947 - 0. 0.322943587 0.008634773 0.340213133 0.671791493

(xi-μ)2

2. 2.881875254 0.972393815 0.428398979 0.10429256 7. 45 45593E-05 0.115744976 0.45130381 2

2.243327887

fi(xi -μ)2 2.881875254 0.972393815 2.141994894 0.834340482 0.000894712 1.041704784 3.610430482 11.48363442

0.267061266

σ

Como sabemos, por los datos proporcionados, tenemos que tomar en consideración que:

 2.5 0.7 Función de densidad

(−) 1 −  √ 2 2     −−.   0.71√ 2 ∫ 2    .

∴

Intervalo

Límite

Límite

Inferior

Superior

1

0

1.0914384

2

1.0914384

1.42301676

3

1.42301676

1.75459512

4

1.75459512

2.08617348

5

2.08617348

2.41775184

6

2.41775184

2.7493302

7

2.7493302

3.08090856



Función de densidad

. −−.   0.71√ 2 ∫   .  2  . −−.   0.71√ 2 ∫ 2 .   .  . −−.   0.71√ 2 ∫ 2 .   .  . −−.   0.71√ 2 ∫ 2 .   .  . −−.   0.71√ 2 ∫ 2 .   .  . −−.   0.71√ 2 ∫ 2 .   .  . −−.   0.71√ 2 ∫ 2 .   . 

0.0219203

0.0398596

0.0815113

0.133731

0.176033

0.185916

0.157544

Frecuencias Esperadas i

Lim inf.

Lim Sup

amplitud

fOi

0.964 0.96449 4932 32

0.001 0.00126 26073 0733 3

0.001 0.00130 3071 7145 45

1.753 1.75382 8224 24 3.586 3.58649 4972 72 5.884 5.88416 164 4

0.568 0.56824 24821 8211 1 1.997 1.99799 99016 0166 6 4.476 4.47676 7619 1979 79

0.324 0.32400 0055 5561 61 0.557 0.55708 0867 6777 77 0.760 0.76081 8152 5297 97

7.745 7.74545 452 2 8.180 8.18030 304 4 6.931 6.93193 936 6

18.10 18.1011 1178 7868 68 0.671 0.67190 9015 1532 32 1.140 1.14076 7607 0708 08 ∑

2.337 2.33700 0074 7406 06 0.082 0.08213 1364 6499 99 0.164 0.16456 5659 5961 61 4.226924646

1

0

1

1.0914384 1. 42 42301676 1. 75 75459512

1.42301676 0.33157836 1. 75 75459512 0. 33 33157836 2. 08 08617348 0. 33 33157836

1 5 8

0.0398596

0.0815113

5 6 7 Totales

2. 08 08617348 2.41775184 2.7493302

2. 41 41775184 0. 33 33157836 2.7493302 0.33157836 3.08090856 0.33157836

12 9 8 44

1.0914384

1.0914384

0.133731

2

FEi=N*Fi (x)

0.0219203

2 3 4

0.176033

0.185916

0.157544

(Fe i-Foi)

2

Fi (x)= ∫f i (x)dx

(Fe i-Foi) /FEi


2

14 12 12

10

fOi

FEi=N*Fi (x)

1

0.9644932

1 5 8 12 9 8

1.7538224 3.5864972 5.884164 7.745452 8.180304 6.931936

9 8

7.745452

8

8.180304

8 6.931936

fOi

5.884164 6

FEi=N*Fi (x)

5 3.5864972

4 1.7538224

2

1 0.9644932

1

0 1

2

3

4

5

6

7

Hipótesis

:                  2.5,0.7 :                2.5,0.7 ∴   4.226924646 Por lo que tomando en consideración que para calcular

  1 donde  7 ⟹   7 1  6 De acuerdo a los cálculos en excel, con la fórmula

 Con un nivel de confianza ,

del 95% y con

0.05,  

..0.05,6

Tenemos que:

. , 12.59158724 Que coincide con la tabla de Distribución de Chi Cuadrado   12.592


3

 4.226924646 ., 12.5915

 ≤ %, es decir, 4.226924646≤12.5915 así entonces es verdadero, se acepta la  :                  2.5,0.7 :                2.5,0.7

Tal que:

Por lo que la hipótesis alterna se rechaza.

2. Los tiempos entre llegadas de unos trabajadores a la oficina por la mañana diarias se muestran a continuación: Clase

Frecuencia

3.04820223

1

3.89219203

10

4.73618182

5

5.58017162

9

6.42416142

9

7.26815121

6

8.11214101

11

8.95613081

9

Modelo propuesto: Exponencial (6.2)

:



Variable aleatoria: Hora de llegada del trabajador n 

:[ : [0,24]4]

Espacio de estados:

Hora de llegada del trabajador Continuo. Espacio paramétrico: 

: {1,2,3,…,60 }

n-ésimo trabajador Discreto. i 1 2 3

Lim inf. 0 3. 04 04820223 3.89219203

Lim Sup amplitud 3.04820223 3.04820223 3. 89 89219203 0. 84 8439898 4.73618182 0. 84 84398979

Xi 1.524101115 3. 3. 47 47019713 4. 31 314186925

fi 1 10 5

Xifi 1.524101115 34. 70 7019713 21. 57 57093463

-4.48782996 - 2. 2. 54 541733945 - 1. 1. 69 69774415

20.14061775 6. 46 460411446 2. 88 882335198

4

4.73618182

5.58017162

5

5.58017162

6.42416142

0. 84 8439898

5. 5. 15 15817672

9

46. 42 42359048

- 0. 0. 85 853754355

0. 72 728896498

6. 56 560068486

0. 84 8439898

6. 00 00216652

9

54. 01 01949868

- 0. 0. 00 009764555

9. 53 53465E- 05 05

0. 00 000858119

6

6.42416142

7 8

7.26815121 8.11214101

7.26815121

0. 84 84398979

6. 84 846156315

6

41. 07 07693789

0. 83 83422524

0. 69 695931751

4. 17 175590508

8.11214101

0. 84 8439898 0. 84 8439898

7. 7. 69 69014611 8. 53 53413591

11 9

84. 59 59160721 76. 80 80722319

1. 67 678215035 2. 52 522204835

2. 81 816405704 6. 36 361517231

30. 98 98046275 57. 25 25365507

35.00513084

60 60

8.95613081

Totales

x i- μ

(xi-μ)2

360.7158645

μ

fi(xi-μ)2

20.14061775 64. 60 60411446 14. 41 41167599

198.1270431 2

6.011931075

σ

3.358085477

12 11

10 10 9

9

9

8

6 6 5

4

2 1

0 1

2

3

4

5

6

7

8


4


  1

Despejando:

  1

   −

Tal que:

Como el dato que se nos proporciona es

6.2 tenemos entonces que para sustituir consideramos este dato       ∫  1 −  ∫  6.12 −.

i

Límite Inferior

Límite Superior

1

0

3.04820223

2

3.04820223

3.89219203

3

3.89219203

4.73618182

4

4.73618182

5.58017162

5

5.58017162

6.42416142

6

6.42416142

7.26815121

7

7.26815121

8.11214101

8

8.11214101

8.95613081

i


5

Lim inf .

Lim Sup

amplitud




1 −.  6.2 .   ∫. 6.12 −.  .   ∫. 6.12 −.  .   ∫. 6.12 −.  .   ∫. 6.12 −.  .   ∫. 6.12 −.  .   ∫. 6.12 −.  .   ∫. 6.12 −.  .

0.388381

  ∫

0.0778399 0.0679333

0.0592875

0.0517421

0.045157

0.0394099 0.0343943

(x x)dx Fi (x)= ∫f i (

fOi

FE i=N*Fi ( (x x)

(Fei-Foi)2

(Fei-Foi)2/FEi

1

0

3.04820223

3. 3.04820223

1

0.388381

23.30286

497.4175642

21.34577319

2

3.04820223

3.89219203

0.8439898

10

0.0778399

4.670394

28 28.40470012

6.081863782

3

3.89219203

4.73618182

0.84398979

5

0.0679333

4.075998

0. 0.853779696

0.20946519

4

4.73618182

5.58017162

0.8439898

9

0.0592875

3.55725

29.62352756

8.327648482

5

5.58017162

6.42416142

0.8439898

9

0.0517421

3.104526

34 3 4.75661368

11.19546549

6

6.42416142

7.26815121

0.84398979

6

0.045157

2.70942

10.82791674

3.996396548

7

7.26815121

8.11214101

0.8439898

11

0.0394099

2.364594

74 74.57023678

31.53616933

8.11214101

8.95613081

0.8439898

9

0.0343943

2.063658

48 48.11284034

Totales

fOi 1 10 5 9 9 6 11 9 60

∑

60

FEi=N*Fi (x)

23.30286 4.670394 4.075998 3.55725 3.104526 2.70942 2.364594 2.063658

23.31434779

Comparativo de Frecuencias 25

23.30286

20

15 11

10

9

10

4.670394

5

5

9

9 6

4.075998

3.55725

3.104526

2.70942

2.364594

2.063658

1 0 1

2

3

4

5 fOi

FEi=N*Fi (x)

6

7

8

106.0071298

:                  ñ     6.2 :                 ñ     6.2

 106.0071298 ., 14.06714045 Tal que   ≤   %, es decir, no es verdad que 106.0071298≤14.06714045 así entonces es falsa la  , y se acepta la hipótesis alternativa :                  ñ     6.2 :                 ñ     6.2 Por lo que el modelo no es el adecuado.


6

3. En 45 cajas de 10 lápices se contabilizaron contabilizaron el número número de lápices con punta:

Modelo propuesto: Binomial (0.5)

CAJ AS

FRECUENCIA

1

1

2

1

3

1

4

4

5

9

6

9

7

12

8

10

9

3

Al contabilizar los datos, nos damos cuenta de que no son 45 cajas sino 50 de 10 lápices cada uno, tal que

 10

14

12 12

10 10

10

0

9

9

8

50 6

4 4 3

2 1

1

1

1

2

3

0 0

*La definición de tus variables en general requiere de un mayor análisis. 6 1 0 2 / 4 0 / 6 1 | a c i t s á c o t s E n ó i c a l e d o M

7



Variable aleatoria:



Espacio de estados:

: Número de lápices con punta en la caja n :{ : {0,1.2.3…10} 0,1.2.3…10}

Número de lápices con punta Discreto. 

Espacio paramétrico:

:{ : {1,2,3,…,45} 1,2,3,…,45 }

La n-ésima caja Discreto.

4

5

6

7

8

9

10

    ̂  ∑=  ∙ 9 + 6 ∙ 9 + 7∙12 7∙12 + 8∙10 8∙10 + 9 ∙ 3 312/5000.624 ̂  1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 4 + 550∙10 50∙10

Cálculo de Probabilidad

Cálculo de la media y la varianza Media:



50∙0.62431.2

  1  

Varianza: 

 50∙0.624∙ 10.624 10.624 11.7312

fórmula de distribución distribución binomial:

    |  ̂     −|  1  

Tabla de frecuencias i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fi 0 1 1 1 4 9 9 12 10 3 0 50

Columna1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

p 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624

pi

q 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376 0.376

1 0.624 0.389376 0.242970624 0.151613669 0.09460693 0.059034724 0.036837668 0.022986705 0.014343704 0.008950471

q N-i Columna2 0.0000564778882 0.000056477888 0.0001502071494 0.000937292612 0.0003994870996 0.006999781000 0.0010624656903 0.030977754211 0.0028257066232 0.089967307442 0.0075151771894 0.179168935672 0.0199871733760 0.247786825929 0.0531573760000 0.234983251337 0.1413760000000 0.146239576630 0.3760000000000 0.053932326133 1.0000000000000 0.008950471145 1.000000000000

Frecuencias esperadas

Columna2

FEi

(Fe i-Fo i)

2

2

i

fOi

(Fe i-Foi) /Fei

0 1 2 3

0 1 1 1

0.000056477888 0.000937292612 0.006999781000 0.030977754211

0.002823894 0.046864631 0.34998905 1.548887711

0.000007974380 0.908467032356 0.422514235148 0.301277718783

0.002823894 19.38491823 1.207221298 0.194512305

4 5

4 9

0.089967307442 0.179168935672

4.498365372 8.958446784

0.248368044113 0.001726669794

0.055212955 0.000192742

6 7 8 9 10

9 12 10 3 0

0.247786825929 0.234983251337 0.146239576630 0.053932326133 0.008950471145

12.3893413 11.74916257 7.311978832 2.696616307 0.447523557

0.927219143 0.005355226 0.988167221 0.034132281 0.447523557

50

1.000000000000

50

11.487634423899 0.062919417866 7.225457802296 0.092041665389 0.200277334315 ∑

23.24727885


8

Comparativa Compa rativa de Frecuencias f Oi Oi

F Ei Ei

14 12 10 8 6 4 2 0 fOi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

1

1

1

4

9

9

12

10

3

0

FEi 0.002823894409 0.04686463062 64630624 4

0.34998904997 89049978 8 1.5488 1.548887710541 87710541 4.498 4.4983653721 365372104 04 8.958 8.9584467835 446783595 95 12.38 12.3893412964 9341296462 11.74916256 11.749162566857 6857 7.311978831502 2.696 2.6966163066 616306653 53 0.447 0.4475235572 523557274 74

 23.24727885 :ú á         :∶   á         Por lo que tomando en consideración que para calcular

  1 donde   11 ⟹   11 1  10 De acuerdo a los cálculos en excel, con la fórmula


del 95% y con

0.05,  

..0.05,6

Tenemos que:

. , 18.307


9

 23.24727885 ., 18.307 Tal que   ≤   %, es decir, no es verdad que 23.24727885≤18.307 así entonces es falsa la  , y se acepta la la hipótesis alternativa alternativa :ú á         :∶   á         Por lo que el modelo no es el adecuado.

4. En una tienda se contabilizo el número de personas que ingresan por minuto los sábados:

Modelo propuesto: Uniforme discreta (8,20)

i

fi 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

:

3 5 7 10 7 6 9 7 3 5 3 5 70

12

10 10 9 8

7

7

7

6 6 5

5

5

4

3

3

3

2

0 fi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3

5

7

10

7

6

9

7

3

5

3

5



Variable aleatoria: Número de personas que ingresan al minuto n 

Espacio de estados:

:{ : {0,1.2.3…19} 0,1.2.3…19}

Cantidad de personas que ingresan Discreto. Espacio paramétrico: 

: {1,2,3,…,70 }

El n-ésimo minuto de la observación. Discreto.

Cálculo de la media y la varianza Entonces, como en el modelo propuesto nos dan tanto el valor mínimo como el máximo, (8,20) Tenemos que para calcular la media, usamos estos valores, así

8+20  14   8+20 2

Entonces para la varianza tenemos que:

 2081  1  1211  120  10      1211  1  2081 12 12 12


10

fórmula de distribución distribución de probabilidad

1  1 0.076923     1 + 1  208+1 13       0.076923 7692370 70 5.38461 i

FOi

FEi

(FEi-FOi)

2

2

(FEi-FOi) /Fei

8 9 10 11 12 13

3 5 7 10 7 6

5.38461 5.38461 5.38461 5.38461 5.38461 5.38461

5.686364852 0.147924852 2.609484852 21.30182485 2.609484852 0.378704852

1.056040243 0.027471786 0.4846191 3.956057143 0.4846191 0.070330971

14 15 16 17 18 19

9 7 3 5 3 5 70

5.38461 5.38461 5.38461 5.38461 5.38461 5.38461

13.07104485 2.609484852 5.686364852 0.147924852 5.686364852 0.147924852

2.427482186 0.4846191 1.056040243 0.027471786 1.056040243 0.027471786 11.15826369

Comparativo de Frecuencias 12

10 10 9

8

7

7

7 6

6

5.38461

5

5.38461

5.38461

5.38461

5. 38461

5.38461

5.38461

5.38461

5.38461

5

5.38461

5.38461

5

5.38461

4 3

3

3

2

0


11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

FOi

3

5

7

10

7

6

9

7

3

5

3

5

FEi

5.38461

5.38461

5.38461

5.38461

5.38461

5.38461

5.38461

5.38461

5. 38461

5.38461

5.38461

5.38461

F Oi

F Ei Ei

Hipótesis

:ú         á       : ú         á        Por lo que tomando en consideración que para calcular

  1 donde   12 ⟹   12 1  11


del 95% y con

0.05,  

12

De acuerdo a los cálculos en excel, con la fórmula

..0.05,6

Tenemos que:

 11.15826369 ., 19.6751 Tal que   ≤   %, es decir, no es verdad que 11.15826369≤19.6751 así entonces es verdadera la  , y se rechaza la hipótesis alternativa :ú         á       : ú         á        Por lo que el modelo es el adecuado.


12

5. Se tomó el tiempo en minutos que realizan una tarea ciertos trabajadores, teniendo: Clase

Frecuencia

0

9

1 2

17 24 14 5 1

3 4 5

  2 )

Modelo propuesto: Poisson (



Variable aleatoria:



Espacio de estados:

: Tiempo en minutos que realiza una tarea el trabajador n :{ : {0,1,2,3…5} 0,1,2,3…5}

Tiempo en minutos que realiza una tarea el trabajador n Discreto. Espacio paramétrico: 

:{ : {1,2,3,…,24} 1,2,3,…,24 }

El n-ésimo empleado de la observación. Discreto. 30

25

24

20 17

15

14

10

9

5 5

1 0 Series1


13

1

2

3

4

5

6

9

17

24

14

5

1

Clase

Frecuencia

0 1 2 3 4 5

9 17 24 14 5 1 70

xifi

0 17 48 42 20 5 132 2 =  = 1.885714286



1.885714286 1.885714286 1.885714286 1.885714286 1.885714286 1.885714286



Cla se

Frecuencia

0

9

0

1

17

17

2

24

48

3

14

42

4 5

5 1

20 5

70

132

15

xifi

2 =  = 1.885714286





0.151720649 0.151720649 0.151720649 0.151720649 0.151720649 0.151720649



1 1.885714286 3.555918367 6.705446064 12.64455544 23.84401882

i!

 =

1 1 2 6 24 120

 − 

0.151720648824 0.286101794925 0.269753120929 0.169559104584 0.079935006447 0.030146916717

FEi 10.62044542 20.02712564 18.88271847 11.86913732 5.595450451 2.11028417

30

25

24

20.02712564 20

18.88271847 17

15

14 11.86913732 10.62044542

10

9

5

5.595450451

5 2.11028417 1 0

1

2

3

4

5

9

17

24

14

5

1 0. 0.6204 4542

20. 0271 2564

18. 8827 1847

Frecuencia FEi

11.8691 3732

Frecuencia

6 1

5. 59545 0451

2. 11028 417

Frecuencia

FEi

9

10.62044542

17 24

20.02712564 18.88271847

14 5

11.86913732 5.595450451

1 70

2.11028417

FEi

:                    :                    i

Frecuen cia

P Oi

P OA i

P Ei

PEAi

|P EAi-P OAi|

0

9

0.128571429

0. 128571429

0. 151720649

0. 0. 151720649

0. 02314922

1

17

0.242857143

0. 371428571

0. 286101795

0. 437822444

0.066393872

2

24

0.342857143

0. 714285714

0. 269753121

0. 707575565

0. 00671015

3

14

0. 2

0. 914285714

0. 169559105

0. 877134669

0.037151045

4

5

0.071428571

0. 985714286

0. 079935006

0. 0. 957069676

0. 02864461

5

1

0.014285714

1

0. 030146917 0.987216592

0. 987216592

0.012783408 0.066393872

70

∑

Tal que si

Máxima Dif.

10.05 , con un 70

Para la tabla de Te st de Kolmogorov-Smirnov con nivel de significación

α

>50 .√  0.162551090869 Tal que 0.0663938723205397≤0.162551090869 así entonces es verdadera la  , y se rechaza la hipótesis alternativa :                    :                   

En 0.05 con

Por lo que el modelo es el adecuado.


14

6. Se obtiene la vida promedio de personas que ingresan al metro, con los siguiente datos:

:

0.70120322

9.97873876

18.7561847

27.3652487

44.6405235

62.8232799

85.1637501

3.82789478

10.4324095

21.0961748

33.3724211

49.2872791

65.805463

88.5501612

5.43514037

10.7477322

21.3757331

35.3364142

49.91846

65.9319183

96.8310868

5.48110465

11.3059722

21.8552695

36.6282326

51.7038666

73.5950729

101.110284

6.91737817

11.9890375

22.5434452

36.911625

53.1931192

74.4250676

104.667995

7.70391816

13.0186768 13.0186768

22.626089

38.2818254 38.2818254

55.2318917

77.5394686

9.09879

13.022481

23.1485612 23.1485612

38.9249779 38.9249779

56.2538601

80.6805492

9.38465352

13.4822421

23.5840051

41.7872349

57.7088051

82.2909594

9.60111043

15.7615228

24.7681849

41.9393261

59.3898376

82.7846535

9.82601946

18.0732355

25.4762678

43.6993096

59.9264263

84.3736025



Variable aleatoria: Vida promedio de la persona n 

:[ : [0,105] 05]

Espacio de estados:

Tiempo de vida de la persona n Continuo. 

Espacio paramétrico:

:{ : {1,2,3,…,65} 1,2,3,…,65 }

La n-ésima persona Discreto.

Modelo propuesto: Exponencial



Frecuencias de la Vida Promedio 20

18 18

16

14 13

12

10 10 9

8 7


15

6 5

4 3

2

0 Series1

1

2

3

4

5

6

7

18

13

10

9

5

7

3

  1⁄ 0.0142857142857143   1⁄  1⁄70  1⁄4900 0.000204081632653061

Límite Inferior

amplitud

Límite Supe rior

Frecuencia

xi

fixi

xi- μ

(xi-μ)2

fi(xi-μ)2

0.70120322

14.852 14.85239 3988 883 3

15.55 15.5536 3602 0205 05

18

8.12 .127402633

146.29 .2932474

-30 -30.39 .39029298

923.56 .5699075

16624.25 .25834

15.55 15.5536 3602 0205 05

14.85 14.8523 2398 9883 83

30.40 30.4060 6000 0087 87

13

22.97 .97980146

298.73 .737419

-15 -15.53 .53789416

241.42 .4261548

3138.54 .540012

30.40 30.4060 6000 0087 87

14.85 14.8523 2398 9883 83

45.2 45.258 5839 3997 97

10

37. 83 83220028

378. 32 3220028

- 0. 0. 68 68549533

0. 46 469903848

4. 69 69903848

45.25 45.2583 8399 997 7

14.85 14.8523 2398 9883 83

60.11 60.1107 0798 9852 52

9

52. 68 68459911

474. 16 161392

14. 16 1669035

200. 70 7011546

1806. 31 310392

60.11 60.1107 0798 9852 52

14.85 14.8523 2398 9883 83

74.96 74.9631 3197 9735 35

5

67.53 .53699794

337.68 .6849897

29.01 .01930232

842.11 .1199072

4210.59 .599536

74.96 74.9631 3197 9735 35

14.85 14.8523 2398 9883 83

89.81 89.8155 5596 9617 17

7

82.38 .38939676

576.72 .7257773

43.87 .87170115

1924.72 .726162

13473.08 .08313

89.81 89.8155 5596 9617 17

14.85 14.8523 2398 9883 83

104. 104.66 6679 7995 95

3

97.24 .24179559

291.72 .7253868

58.72 .72409997

3448.51 .519918

10345.55 .55975

65

2503.650215 μ

38.51769561

49603.0502 σ2

775.0476593

Probabilidades Esperadas

  1

Despejando:

  1

Tal que

   −

Fórmula de la Probabilidad Esperada

       ∫  1 −  ∫  701 −   Cálculo de la Probabilidad Esperada

i

Límite Inferior

Límite Superior

1

0.7012032

15.5536020

2

15.5536020

30.4060009

3

30.4060009

45.2583997

4

45.2583997

60.1107985

5

60.1107985

74.9631973

6

74.9631973

89.8155962

7

89.8155962

104.6679950

    ∫   −    ∫   −   .   ∫. 701 −   .   ∫. 701 −   .   ∫. 701 −   .   ∫. 701 −   .   ∫. 701 −   .   ∫. 701 −   .   ∫. 701 −  



0.189273

0.153088

0.123821

0.100149

0.081002

0.065519

0.05299


16

i

Límite Inferior

1

0.70120322

2 3

amplitud

Lí L ímite Superior

Frecuencia

xi

fixi

x i- μ

(xi-μ)2

fi(xi-μ)2

PEx

FEi

14.852 14.852398 39883 83

15.5536 15.5536020 0205 5

18

8. 12 127402633

146. 29 2932474

- 30 30. 39 39029298

923. 56 5699075

16624. 25 25834

0. 18 189273

15. 55 55360205

14. 85 85239883

30 30. 40 40600087

13

22. 97 97980146

298. 73 737419

- 15 15. 53 53789416

241. 42 4261548

3138. 54 540012

0. 15 153088

9. 95 95072

30.40600087

14.85239883

45.2583997

10

37. 83 83220028

378. 32 3220028

- 0. 0. 68 68549533

0. 46 469903848

4. 69 69903848

0. 12 123821

8. 04 048365 6. 50 509685

12. 30 302745

4

45.2583997

14.85239883

60 60.11079852

9

52. 68 68459911

474. 16 161392

14. 16 1669035

200. 70 7011546

1806. 31 310392

0. 10 100149

5

60. 11 11079852

14. 85 85239883

74 74. 96 96319735

5

67. 53 53699794

337. 68 6849897

29. 01 01930232

842. 11 1199072

4210. 59 599536

0. 08 081002

5. 26 26513

6

74. 96 96319735

14. 85 85239883

89 89. 81 81559617

7

82. 38 38939676

576. 72 7257773

43. 87 87170115

1924. 72 726162

13473. 08 08313

0. 06 065519

4. 25 258735

7

89.81559617

14.85239883

104.667995

3

97. 24 24179559

291. 72 7253868

58. 72 72409997

3448. 51 519918

10345. 55 55975

0. 05 05299

3. 44 44435

65

2503.650215 μ

49603.0502

38.51769561

σ2

775.0476593

Hipótesis

:                :              

i

Frecuencia

POi

P OAi

P Ei

1

18

0.276923077

0.276923077

0.189273

0.189273

0.087650077

2

13

0.2

0.476923077

0.153088

0.342361

0.134562077

3

10

0.153846154

0.630769231

0.123821

0.466182

0.164587231

4

9

0.138461538

0.769230769

0.100149

0.566331

0.202899769

5

5

0.076923077

0.846153846

0.081002

0.647333

0.198820846

6

7

0.107692308

0.953846154

0.065519

0.712852

0.240994154

7

3

0.046153846

1

0.05299

0.765842

0.234158

65

Tal que si


17

0.240994154

∑

Máxima Dif.

α

>50 .√  0.168687239041 Tal que 0.240994153846154≤0.168687239041 así entonces es falsa la  , y se acepta la hipótesis alternativa :                :               

En 0.05 con

Por lo que el modelo no es el adecuado.

|P EAi-POAi|

0.712852

10.05 , con un 65


PEAi

7. Se tomó en la colonia el consumo bimestral de los vecinos en kilowatts, teniendo los siguientes datos:

 , ) ,

Modelo propuesto: Normal (



Variable aleatoria:



Espacio de estados:

: Consumo bimestral en kilowatts del vecino n :{ : {0,1.2.3…39} 0,1.2.3…39}

Consumo bimestral en kilowatts del vecino n Discreto. Espacio paramétrico: 

: {1,2,3,…,60 }

El n-ésimo vecino Discreto.

Kilowatts de uso 20

18 18

16

14

12 12

10

8

8

8

6

4

4

4 3

3

2

0 Series1

1

2

3

4

5

6

7

8

3

8

8

12

18

3

4

4


18

2

2

i

límite inferior

amplitud

límite s uperior

fi

xi

fix i

1

15

3

18

3

16.5

49.5

- 9.95

99.0025

297.0075

2

18

3

21

8

19.5

156

- 6.95

48.3025

386.42

3

21

3

24

8

22.5

180

- 3.95

15.6025

124.82

4

24

3

27

12

25.5

306

- 0.95

0.9025

10.83

5

27

3

30

18

28.5

513

2.05

4.2025

75.645

6

30

3

33

3

31.5

94.5

5.05

25.5025

76.5075

7

33

3

36

4

34.5

138

8.05

64.8025

259.21

8

36

3

39

4

37.5

150

11.05

122.1025

xi-μ

(xi-μ)

fi(xi-μ)

488.41

1587

μ

1718.85

26.45

σ

2

29.13305085

Tal que:

  ..  Utilizando la media y varianza dadas en el problema tenemos que:

,

DISTR.NORM.EST(Zi) PEAi

i

límite inferior

amplitud

límite superior

FOi

Zi

1

15

3

18

3

-1.8

PE P Ei

FEi

0.035930319

2.155819147

2

18

3

21

8

-1.2

3

21

3

24

8

-0.6

0.11506967

0.079139351

4. 4 .748361067

0.274253118

0.195113767

4

24

3

27

12

0

0.5

0.304886233

11.706826 18 18.293174

5

27

3

30

18

0.6

0.725746882

0.274253118

16 16.45518707

0.035930319

6

30

3

33

3

1.2

0.88493033

0.11506967

6.904180213

7

33

3

36

4

1.8

0.964069681

0.035930319

2. 2.155819147

8

36

3

39

4

2.4

0.991802464

0.008197536

0. 0.491852155

Comparativo de Frecuencias 20 18.293174

18

18 16.45518707 16

14 11.706826

12

12

10 8

8

8

6.904180213

6 4.748361067 4 4

3

4

3 2.155819147

2.155819147

2 0.491852155 0

1

2

3

4

5

6

7

FOi

3

8

8

12

18

3

4

FEi

2. 15581 91 9147

4. 74836 10 1067

11.7068 26

18. 2931 74 74 F Oi


19

16. 4551 8707

6. 90418 0213

8 4

2. 15581 91 9147

0. 49185 2155

F Ei Ei

Hipótesis

:            :             i

límite inf erior

amplitud

límite superior

F Oi

F OAi

POAi

Zi

1

15

3

18

3

3

0.0500000000

- 1.8

DISTR.NORM.EST(Z i) PEAi

|PEAi-POAi|

0.035930319

0.0140696809

2

18

3

21

8

11

0.1833333333

- 1.2

0.11506967

0. 0.0682636631

3

21

3

24

8

19

0.3166666667

- 0.6

0.274253118

0.0424135489

4

24

3

27

12

31

0.5166666667

0

0.5

5

27

3

30

18

49

0.8166666667

0.6

0.725746882

6

30

3

33

3

52

0.8666666667

1.2

0.88493033

0.0182636631

7

33

3

36

4

56

0.9333333333

1.8

0.964069681

0.0307363476

8

36

3

39

4

60

1.0000000000

2.4

0.991802464

0.0081975359

Máxima Máxima Diferenc Diferencia ia

Tal que si

10.05 , con un 60


α

0.0166666667

0.0909197844

0.09091 0.090919784 97844 4

>50 .√  0.17557524502807 Tal que 0.0909197844167402≤0.17557524502807 así entonces es verdadera la  , y se rechaza la hipótesis alternativa :            :            

En 0.05 con

Por lo que el modelo es el adecuado.


20

8. En una cafetería se contabilizan el número de tazas de café que se preparan:

Modelo propuesto: Uniforme (10, 20)

i

10 9 9 8 8 7

7

7 6 6 5

5

5

5

FOi 10

4

11

5

12

5

13

8

14

7

15

5

16

6

4

17

4

3

18

9

4

4

19

2

7 60

1

0 Series1

:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

5

5

8

7

5

6

4

9

7



Variable aleatoria: Cantidad de tazas de café que se preparan en una cafetería en el día n 

Espacio de estados:

:{ : {0,1,2,3…20} 0,1,2,3…20}


21

Cantidad de tazas de café Discreto. Espacio paramétrico: 

: {1,2,3,…,60 }

El n-ésimo día de observación Discreto.

Cálculo de la media y la varianza Entonces, como en el modelo propuesto nos dan tanto el valor mínimo como el máximo, (10,20) Tenemos que para calcular la media, usamos estos valores, así

10+20  15   10+20 2

Entonces para la varianza tenemos que:

1  1  20101 20101  1  811  80 6.666~   1 12 12 12 12 fórmula de distribución distribución de probabilidad

1  1 0.090909~     1 + 1  2010+1 11       0.090909~ 90909~60 60 5.4545~ i

FOi 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

(FEi-FOi)

FEi 4 5 5 8 7 5 6 4 9 7 60

5.454545 5.454545 5.454545 5.454545 5.454545 5.454545 5.454545 5.454545 5.454545 5.454545

2

2

(FOi-FOi) /FEi

2.115701157 0.206611157 0.206611157 6.479341157 2.388431157 0.206611157 0.297521157 2.115701157 12.57025116 2.388431157

0.387878578 0.037878715 0.037878715 1.187879311 0.437879082 0.037878715 0.05454555 0.387878578 2.304546238 0.437879082 5.312122564

Comparativo de frecuencias 10 9 9 8 8 7

7

7 6 6

5.454545

5.454545 5

5.454545

5.454545

5.454545

5.454545

5

5.454545

5.454545

5.454545

5.454545

5

5 4

4

4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

FOi

4

5

5

8

7

5

6

4

9

FEi

5.45454 5

5.45454 5

5.45454 5

5.45454 5

5.45454 5

5.45454 5 F Oi

5.45454 5

5.45454 5

5.45454 5

10 7 5.45454 5

F Ei

Hipótesis

:ú         á       : ú         á       


22

Por lo que tomando en consideración que para calcular

  1 donde   10 ⟹   10 1  9 De acuerdo a los cálculos en excel, con la fórmula


del 95% y con

0.05,  

..0.05,6

Tenemos que:

:  ú    é           :  ú    é           

 5.31212256388938 ., 16.919 Tal que   ≤   %, es decir, no es verdad que 5.31212256388938≤16.919 así entonces es verdadera la  , y se rechaza la hipótesis alternativa alternativa :  ú    é           :  ú    é            Por lo que el modelo es el adecuado.


23

Hola Laura espero te encuentres bien, te felicito por tu dedicación y empeño por realizar las actividades. Para esta actividad el objetivo es utilizar la prueba de bondad de ajuste χ 2 y Kolmogorov – Smirnov en una distribución propuesta propuesta a probar. probar. Los enlaces que pueden apoyarte son: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap04b.html http://www.ccee.edu.uy/ensenian/catest2/Mater http://www.ccee.edu.uy /ensenian/catest2/Material/PRACTICA_13_SOL ial/PRACTICA_13_SOL09.pdf 09.pdf https://www.youtube.com/watch?v=JKM5lRb2xh4 https://www.youtube.com/watch?v=DmMs8G9o8QU https://www.youtube.com/watch?v=65rZxhWf3G8

MMES_U1_A2_LAPB_2

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