UnADM
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO
As ig nat ur a:
Matemáticas Discretas
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Unidad 2 Ac ti vi dad 3.
AL UMNO
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Linares Ojeda Arturo David.
Matricula:
ES1611312069
Unidad 1. Acti vidad 3. A través de esta actividad, podrás realizar demostraciones sobre Teoría de gráficas.
Desarrollo:
1. Demuestre que en cualquier grafica se verifica:
a. La suma de todos sus grados es igual al doble del número de sus aristas Dado G = (V, A) que es un grafo con vértice: V=
{,,……,}
y sea
|A| el número de aristas de G
Cada una de las aristas une dos vértices luego al sumar los grados de estos, las contamos, exactamente dos veces:
() 2| | =
Ejemplo:
Se tiene:
Este número coincide con el doble del número de aristas, n = 9
b. El número de vértices de grado impar es par
→
Tenemos que:
() 2| | =
→ supondremos que tenemos q vértices y p con grado par entonces el resto seria − tienen grado impar: → () → ( ) 2 1 ≤ ≤ → ∑= ( ) 2 ∑=() → () → ( ) 2 1 1 ≤ ≤ → ∑=+ ( ) 2 ∑=+( ) ∑=+(1) ∑=+ () 2 ∑=+() (−−11) = ∑=+ ( ) 2 ∑=+( ) (−) ∑= ( ) ∑=+ ( )=2∑=() 2∑=+() (−) → ∑= () 2 ∑=( ) (−) → 2 ∑=() (−)= 2| | =(− )= 2| | − 2 ∑=( ) =
Es par
2. Demuestre que Una condición necesaria para que una gráfica o multígrafo admita un camino de Euler es que el número de vértices de grado impar sea 2 o ninguno. El camino de Euler es un camino de un grafo o multígrafo que pasa por todos los vértices del mismo recorriendo cada arista del mismo exactamente una vez.
Dado G = (V, A) que es un grafo con vértice: El grafo de Euler queda denotado V
→= Elegimos un punto dado que este no pertenezaca a V y { G’=(V’,A’)
→1 V’=V U {∞} , A’=A U {,} Esto significa que si añadimos un punto nuevo como vertice al grafo con el que iniciamos y las 2 aristas adyacentes al mismoy a los extremos: 2
→,… {,,……, ,,} →… G’ es un grafo euleriano y tengamos que todos sus vertices son de grado par Si x es cualquier vértice: ,
∧ x≠v ), ,……, ′() ,} V =({
x≠u Con
El grado es par en G
→
Los unicos dos vertices de grado impar son u y v.
Si se niegan ambos miembros, y tenemos en cuenta la equivalencia lógica entre una proposición condicional y su contra recíproca, tenemos: Si el número de vértices de grado impar es distinto de 2, entonces G no tiene ningún camino de Euler
