mkm_311_sistem_dinamigi_ve_kontrol_ters_laplace_lineerlestirme.pdf

09.10.2012

MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Ters Laplace Dönüşümü, Lineerleştirme Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü

Prof. Dr. Dr. Recep Kozan

Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ s alanında hesaplamalar yapıldıktan sonra zaman (t) alanına geri dönerek sonucu zaman alanında değerlendirmek gerekebilir. Kompleks değişkenli ifadenin zaman değişkenli ifadeye dönüştürülmesi için uygulanan matematiksel işleme ‘Ters Laplace Dönüşümü’ denir.

+∞      ℒ−F s = =  =  −∞ Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü

t>0

Prof. Dr. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

1

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ f(t)’yi veren integral işlemi oldukça karışıktır. Lerch Teoremi: Bir F(s) fonksiyonu verildiğinde, Laplace dönüşümü olan t≥0 için tanımlı en çok bir sürekli f(t) fonksiyonu vardır.

Ters Laplace dönüşümü yapabilmenin en kolay ve hızlı yolu, Laplace dönüşüm tablolarıdır.

Kısmi kesirlere ayırma yöntemi kullanılır, böylece karmaşık sadeleştirilerek dönüşüm ifadeler tablolarındaki bilinen ifadeler haline dönüştürülür. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü

Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kontrol sistemlerinde F(s) transfer fonksiyonu, A(s) ve B(s) s değişkeninin birer polinomu olmak üzere

 ()   = () şeklindedir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


2

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Basit poller hali

B(s)=(s-p1)(s-p2)…….(s-pn) basit çarpanlara ayrılıyorsa,

 ()        = () =    ⋯…..  

Basit kesirlerin toplamı şeklinde yazılabilir.



TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Basit poller hali

 ()        = () =    ⋯…..   ()  = →lim() ()

K1, K2,……,Kn sabitleri;

F(s) fonksiyonunda K sabitleri yerine yazılarak Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa;

  =   ⋯…… Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


3

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Katlı poller hali B(s)=(s-pr)q (s-p1)(s-p2)…….(s-pn-q) katlı kök varsa,

q

kere

tekrarlanan

   ()   −   = () = ( )  ()− ⋯…             ⋯….. −− Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Katlı poller hali Katlı terimlerin C sabitleri;

()  = →lim () ()  () () − =lim →  ()  1  () − = →lim !  () () − 1   ()   =lim ( )  () → (1)!  − Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


4

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Katlı poller hali K sabitleri basit pollerdeki gibi hesaplanır. C ve K sabitleri yerine yazılarak Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa;

 

     = (−)!  (−)! ⋯… +  ⋯… Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Paydaya ait kompleks kökler a+jb ve a-jb olmak üzere eşlenik çiftler halindedir. B(s)=(s-a-jb)(s-a+jb)(s-p1)…….(s-pn) ise,

() =   −   ⋯…..    = ()       = (+) −(−)  ⋯…… Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


5

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ

Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Kc ve K-c sabitleri;

()  = →+ lim ()         …..() = →+ lim  −A….s.(−)  =   () s   = →+ lim  A…..( ) s − =  21      = →− lim  A…..( ) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali K(a+jb) ve K(a-jb) sabitleri eşlenik kompleks sayılar.

  = ()    = () − () = ()  =     =     − Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


6

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Kc ve K-c sabitleri

  = (+) −(−)  ⋯…… yerine yazılarak Ters Laplace dönüşümü uygulanırsa;

(+) −(+)  1      =  ()    ⋯…    2   = 1 ()  () ⋯… Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü


TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Sinusoidin zarf eğrisi

 ()  

t artarken; a<0 için f(t) sönümlenen sinusoid a=0 için f(t) sabit genlikli sinusoid a>0 için f(t) artan genlikli sinusoid



7

09.10.2012

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Kısmi Kesirlere Ayırma Kompleks (karmaşık) eşlenik poller hali Benzer şekilde f(t)’nin



(F(s)’nin basit pollerinden

gelen) terimleri incelenirse; t artarken; pn<0 ise pn=0 ise pn>0 ise

  =   

üstel azalır üstel artar



LİNEERLEŞTİRME Kontrol sistemleri her zaman lineer denklemler ile ifade edilemeyebilir. Laplace dönüşümünden faydalanılarak kontrol sistemlerinin çözümü ve analizini yapmak için nonlineer bağıntılar lineerleştirilmelidir. (xi,yi) çalışma noktası ve x=x i+∆x

Eğri için y=yi+ ∆y+ε

Teğet için y=yi+ ∆y

Yaklaşık olarak; y = yi+ ∆y+ε = y ҃ i+ ∆y Teğetin eğimi


Δ =  = ( , ) Δ   ∆ =  ∆

noktasındaki eğim


8

09.10.2012

LİNEERLEŞTİRME İfade genelleştirilirse; y=f(x1, x2, x3,………,xn) olsun.

Çalışma noktası(x1i, x2i, x3i…….xni) ise

∆ =  ∆   ∆  ∆  ≅  ,,3,…… ∆    =  ∆=   ∆   ∆ +……..+

+……..+


  ∆  


9

mkm_311_sistem_dinamigi_ve_kontrol_ters_laplace_lineerlestirme.pdf

Recommend Documents