MkI-1

1. PRORAČUN REZNIH SILA PO TEORIJI PLASTIČNOSTI 1.1. Formulacija problema 1.2. Koncepti i pretpostavke 1.2.1. Karakteristike materijala 1.2.2. Model plastičnog zgloba 1.2.3. Plastični moment ( Mpl ) 1.2.4. Metode proračuna plastičnog graničnog opterećenja 1.2.4.1.Opć 1.2.4.1.Općenito 1.2.4.2. Teoremi teorije plastič plastičnosti 1.2.4.3. Metoda kinematskog mehanizma 1.2.4.4. Statič Statička metoda

1.3. Proračun okvirnog sustava prema teoriji I. reda 1.4. Proračun okvirnog sustava prema teoriji II. reda 1.5. Utjecaj redosljeda opterećenja na plastično granično opterećenje 1.6. Neprikladni sustavi za proračun reznih sila prema teoriji plastičnosti 1.7. Ekonomičnost – ušteda materijala kod proračuna reznih sila prema teoriji plastičnosti

1

MK I

čnosti osti 1. Prorač un un reznih sila po teoriji plasti č n

1.1. FORMULACIJA PROBLEMA Dokaz sigurnosti neke nosive čelične konstrukcije dokazuje se na mehani čko – matematičkom modelu. Unutar usvojenog vremenskog intervala mora uvijek biti dovoljna distanca, izražena mjerom sigurnosti, da se ne dostigne neko grani čno stanje (sl. 1.1.) R,S fr

S

S R

S R

R

z=0 GRANIČ GRANIČNO STANJE

očekivana vrijednost akcije S

očekivana vrijednost otpornosti R fs

T(vrijeme) očekivano trajanje konstrukcije

Sl. 1.1. Odnos otpornosti (R), akcije (S), i trajnosti (T)

Granično stanje (Z=0) može biti: 

→ KRAJNJE GRANIČNO STANJE (K.G.S.)



→ GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI (G.S.U.)

Krajnje granično stanje uključuje: 

gubitak ravnoteže nosive čelične konstrukcije ili nekih njenih dijelova, promatrane kao kruto tijelo



kolaps nosive čelične konstrukcije ili njenih dijelova uslijed prekomjernih deformacija, sloma, i gubitka stabilnosti, uključujući otkazivanje njenih oslonaca i temelja

Granično stanje upotrebljivosti uključuje: 

deformacije i pomake nosive čelične konstrukcije koji ograničavaju njenu funkcionalnost, estetski aspekt ili izazivaju ošte ćenja na nenosivim elementima objekta



vibracije koje su neugodne za ljude, uzrokuju štete na objektima ili ograničavaju njihovo korištenje

B. Peroš

2

MK I


Postupci za dokaz sigurnosti krajnjeg graničnog stanja promatraju se iz aspekta: PRORAČUN REZNIH SILA

Teorija el. 1. reda

Teorija pl. 1. reda

Teorija el. 2. reda

Teorija pl. 2. reda

OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA

Elastič Elasti čna

Elasto-plastič Elasto-plastična

Plastič Plastična

Ovdje će biti govora o teoriji plastičnosti 1. reda i to o pojednostavljenoj teoriji plastičnosti ili teoriji sukcesivnog stvaranja plastičnih zglobova. Model statičkog sustava sastoji se u tome da je element djelomi čno plastificiran (samo na mjestu stvaranja plastičnih zglobova dolazi do pune plastifikacije poprečnog presjeka). Ostatak elementa između plastičnih zglobova ostaje elastičan. Element je u stanju ravnoteže, ali je postao kinemati čki sustav. Vrlo je važno poznavati neke temeljne pojmove koji se vide na sl. 1.2.

P

1

2

M1

EI=konst

M2

MJESTO 1 fy Pel

1

Mel1

2

MJESTO 1 fy P1

1

2

Mpl1

MJESTO 1 fy Pgr 1

MJESTO 2 Mp1 Mp2

2

Sl.1.2.

B. Peroš

3

MK I


Temeljni pojmovi prikazani na sl. 1.2. jesu :

Pel

Elastično granično opterećenje To je za danu kombinaciju opterećenja, ono opterećenje kod kojeg je računski prvi put dosegnuta granica tečenja f y u nekom vlaknu popre čnog presjeka.

P1

Nosivost poprečnog presjeka Prvi put je dostignuta granična nosivost jednog poprečnog presjeka.

Pgr Plastično granično opterećenje To je za danu kombinaciju opterećenja, ono opterećenje, pod kojim se u statičkom sustavu otvorio dovoljan broj plasti čnih zglobova, tako da je postao kinematički lanac. U stanju ravnoteže niti na jednom mjestu ne smije biti prekoračena otpornost popre čnog presjeka. To je ustvari tzv. krajnje nosivo opterećenje. Definicija krajnjeg nosivog opterećenja Za danu kombinaciju opterećenja, to je najveće opterećenje koje statički sustav može podnijeti ( engl. Collapse load , Ultimate load , njem. Traglast ). Traglast ). Sa sl. 1.2. može se uo čiti da presjek 1 mora imati dovoljnu sposobnost rotacije ( kapacitet ) da bi se otvorio plastični zglob na mjestu 2. To se detaljnije može vidjeti na sl. 1.3. M

4 3 2 1

fy

fy

fy

1

2

3

fy

fy

4

5

5

1.0 (dužina elementa)

ϕ Sl. 1.3. Ovisnost M – φ

B. Peroš

4

MK I

osti 1. Prorač un reznih sila po teoriji plasti čn

Da bi se proračun reznih sila mogao provesti prema teoriji plastičnosti poprečni presjeci moraju imati sposobnost ( kapacitet ) rotacije. Takvu sposbnost posjeduju tzv. poprečni presjeci klase 1. Dosadašnje razmatranje može se razmotriti na primjeru statički određenog sustava – vlačnom elementu ( sl. 1.4.).

P

P l

δ

σ=

P

P A

δy = εy ⋅ l =

f y ⋅ l E

=

Pgr ⋅ l A⋅E

"plato tečenja" Pgr=fy x A Pgr - plastično granično opterećenje

δ

δy

o grani čn o optereć enje P gr za vlač ni element Sl. 1.4. Plasti čn

Tipično ponašanje u pogledu nosivosti sustava koji je sastavljen od elemenata koji se mogu plastificirati ( svaka točka poprečnog presjeka može doseći granicu popuštanja f y ) može se računski objasniti na statički neodređenom sustavu prema sl. 1.5. Ponašan e materi ala

σ L2=2L1

L2=2L1

fy odterećenje E

E

L1 N2

N1

N2

EI=∞

fy δ

P

Sl. 1.5. Stati čk i neodređ eni sustav – primjer za teoriju plasti č nosti

B. Peroš

5

MK I


1

2

P
P=Pel

N2

δy

N2

N1

3 P
N2

N2

N1

δy

4

N2

P=Pgr N2

δy N1

∆δy

P

N2=fy x A N1=fy x A N2=fy x A

δgr

Pel P1 Pgr

Sl. 1.6.

1. Početno (elastično) stanje sustava

P < Pel

2. Elastično stanje sustava

P = Pel

3. Djelomično plastično stanje sustava

Pel < P1 < Pgr

4. Plastično stanje sustava

P = Pgr

1. Potpuno elasti čn o stanje sustava

∆l1 =

δ = ∆l1 = ∆l2 (uvjet snošljivosti)

N 1 ⋅ l1 A ⋅ E

∆l 2 =

N 2 ⋅ l 2 A ⋅ E

Slijedi: N2 = 0,5N1 Ravnoteža: P = N1+2N2

N1 =0.5P

N2 =0.25P

2. Elasti čn o grani čn o optereć enje sustava P el

Tečenje u N1:

N1 = Npl = A*f y N2 = 0.5*Npl

Pel = N1+2N2 = Npl+2*0.5 Npl =2 Npl

δ y

B. Peroš

=

N pl ⋅ l1 A ⋅ E

ili

δ y

=

0.5 ⋅ N pl ⋅ 2l1 A ⋅ E

6

MK I


3. Djelomi č no plasti č no stanje sustava P1 = P+ P

Za povećanje P radi N1 = Npl = const., slijedi: N2 = 0.5P

∆δ =

∆ N 2 ⋅ 2l1 A ⋅ E

4. Plasti čn o grani čn o optereć enje sustava P gr

Tečenje i u elementu 2, tj. N2 = Npl, a za zadnju plastifikaciju elementa u sustavu slijedi δgr Pgr = Npl+ Npl+ Npl = 3 Npl

δ gr

=

N pl ⋅ l 2 A ⋅ E

=

N pl ⋅ 2l1 A ⋅ E

= 2δ y

Odnos P-δ, a time i nosivost sustava može se prikazati slikom 1.7. P

kinematski mehanizam Pgr

3Npl

2Npl

Pel = 2Npl (100%) Pgr = 3Npl (150%)

Pel

Npl

δy

δgr = 2δy

δ

Sl.1.7. Prikaz P-δ , a time i nosivosti sustava

B. Peroš

7

MK I


ZAKLJU Č AK : Ukoliko se provodi proračun prema teoriji plastičnosti tj.

dozvoljava se obzirom na karakteristike materijala plastificiranje poprečnih presjeka elemenata dobiva se veća nosivost sustava (150%). Nakon što je sustav bio djelomi čno ili potpuno plastificiran provedemo odterećenje koje će biti potpuno elastično kako se vidi na slici 1.8.

P

otpornost sustava ( kinematski mehanizam )

3Npl

odterećenje

2Npl opterećenje

Npl

N1

N2 N2 +0.25Npl

δy -0.5Npl

N1

δ gr + 2δy δ gr +

δ

δ = 1.5δy

δ→ mali pomak kinematskog mehanizma (praktično se ne može realizirati)

Sl.1.8. Odtereć enje sustava za ∆P= -3 Npl

Odterećenje sustava za vrijednost P = -3 Npl tj. na vrijednost P = 0 prikazano je na slici 1.8. Vrijednost P daje vrijednost δ:

∆δ =

∆δ =

B. Peroš

N 1 ⋅ l1 A ⋅ E

0.5 ⋅ ( −3 N pl ) ⋅ l1 A ⋅ E

N1 =0.5P =0.5 (-3 Npl )

=

− 1.5 N pl ⋅ l1 = −1.5δ y A ⋅ E

8

MK I


Kod odterećivanja za vrijednost P= -3Npl na vrijednost P=0, u komponentama N1 i N2 ostaje vlastito naponsko stanje S1 i S2 : S1= 0.5 P =0.5(-3 Npl ) = -1.5 Npl S2= 0.25 P =0.25(-3 Npl ) = -0.75 Npl →odterećenje je elastično i vrijedi stanje 1 ( potpuno elastično stanje sustava).

Vlastito naponsko stanje u komponenti 1 : S1= Npl-1.5 Npl= -0.5 Npl

( tlak )

Vlastito naponsko stanje u komponentama 2 : S2= Npl - 0.75 Npl= 0.25 Npl ( vlak ) opt. el. 1

P

opt. el. 2

Npl ∆S2 ∆S1

S2

δy

S1

δgr =2δy δgr +∆∆δ

δ

Sl. 1.9. Vlastito naponsko stanje S1 i S2 u elementima 1 i 2

ZAKLJU Č AK iz ovog primjera :

a) Pgr je dosegnuto kada δ neograničeno raste uslijed P = const., tj. sustav prelazi u kinematski mehanizam b) Pgr se može izračunati iz uvjeta ravnoteže c) Opterećenje iznad Pel samo prvi put dovodi do djelomične plastifikacije. Kod statički neodređenih sustava uspostavlja se takvo vlastito naponsko stanje, da sljedeća opterećenja u istoj veličini i smjeru postaju potpuno elastična. B. Peroš

9

MK I


Prije detaljnijeg upoznavanja proračuna reznih sila prema teoriji plastičnosti mogu se navesti neke prednosti i mane ovog proračuna: Prednosti: 1. 2. 3. 4. 5.

Realnija ocjena nosivosti sustava Ekonomičnije dimenzioniranje Poznavanje ponašanja sustava kod graničnih stanja Jednostavne metode proračuna ( nema statički neodređenih sustava ) Vlastiti naponi su bez utjecaja na Pgr

Nedostaci: 1. Zakon superpozicije više ne vrijedi 2. Za dimenzioniranje se mora pronaći mjerodavna kombinacija akcija 3. Dostizanje Pgr mora se osigurati konstruktivnim zahvatima Također se mogu navesti granice primjene proračuna prema teoriji plastičnosti: 1. 2. 3. 4. 5.

Kod pretežno mirnog opterećenja Deformabilnost treba ograničiti Postoje tzv. neprikladni sustavi Materijal mora imati mogućnost plastifikacije Presjeci moraju imati dovoljnu sposobnost rotacije (M – φ ovisnost)

B. Peroš

˝

˝

˝

˝

10

MK I


1.2. KONCEPTI I PRETPOSTAVKE Za detaljnije razumijevanje proračuna prema teoriji plastičnosti potrebno je obraditi koncepte i pretpostavke na kojima se ova teorija zasniva.

1.2.1. Karakteristike materijala RASTEGLJIVOST → (engl. ductility ; njem. Dehnbarkeit ) je vrlo važan pojam koji se može prikazati na slici 1.10. M

M pl

Do φ = φpl vrijedi:

M = Mpl

EI odtere ć enje

ϕy

ϕ pl

ϕ

Sl. 1.10. Rastegljivost

UČVRŠĆIVANJE: → (engl. strain hardening ; njem. Verfestigung ) može se prikazati na slici 1.11. M EI st

Mpl

područ je učvršćivanja

EI

Poslije φ > φpl vrijedi: M = Mpl + Est x I(φ - φpl) Est – modul elast. u područ ju učvršćivanja

ϕy

ϕpl

ϕ Sl. 1.11. U čv ršć ivanje

B. Peroš

11


Mogućnosti određivanja

Est

MK I

prikazane su na slici 1.12. Obi čno se usvaja b)

postupak.

osti u područ ju uč vršć ivanja Sl. 1.12. Određ ivanje modula elasti čn

Ustanovljeno je da pojava učvršćivanja, ukoliko se uzme u obzir kod prora čuna sila prema teoriji plastičnosti, izaziva drugačiju preraspodjelu momenata. To se može vidjeti za sustav prikazan na slici 1.13.

ϕ ϕ

Sl. 1.13. Preraspodjela momenata

B. Peroš

12

MK I


Također se učvršćivanje manifestira i na sposobnost rotacije koja u tom slučaju postaje manja kako se vidi na slici 1.14.

ϕ ϕ

θ

Pgr =

ϕ pl =

8 M pl L 8 M pl EI

θ ϕ pl ⋅ L

Sl. 1.14. Usporedba rotacije

ZAKLJU Č AK: 

Kod proračuna prema teoriji plastičnosti ponašanje materijala uzima se idealizirano i to elasto-plastično ( sl. 1.10. )



Efekt učvršćivanja može se zanemariti kod odre đivanja Pgr

B. Peroš

13

MK I


1.2.2. Model plastičnog zgloba Ukoliko se nosač na dva ležaja podvrgne djelovanju sile koja ima kontinuirani prirast intenziteta opterećenja, može se razlikovati nekoliko važnih pojmova ( vidi sl. 1.15.).

ρ ρ δ δ og zgloba Sl. 1.15. Moment zakrivljenosti i progib u područ ju plasti čn

Za primjer pravokutnog poprečnog presjeka vrijedi:

σ
fy

fy

fy

h b

B. Peroš

a)

b)

c)

d)

14

MK I

osti 1. Prorač un reznih sila po teoriji plasti čn 

Elastično područ je M < My



Rubno vlakno doseglo fy My = Wel f y



Djelomično plastično područ je My < M < Mpl



Moment pune plastičnosti Mpl = Wpl f y = α Wel f y

Za područ je My < M < Mpl prema slici 1.16. vrijedi: εo εy

f y

h b

M = My

M >My

εu

plastično područ je

M =Mpl

o plastificirani popreč ni presjek Sl. 1.16. Djelomi čn

M = M pl

1

bh12

2

6

− ⋅ f y ⋅

M = M pl

Za

1

ρ

h1

− 0.5 ⋅ f y

=

ε 0 h

1

ρ

ε y

M pl

ε 0

2

⎛ ε y ⎞ ⎛ ε ⎞ ⎟⎟ = M pl − 0.5M y ⋅ ⎜⎜ y ⎟⎟ h 2 ⋅ ⎜⎜ 6 ⎝ ε 0 ⎠ ⎝ ε 0 ⎠

b

slijedi

2

Izraz

= h⋅

1

ρ

=

M → M pl

=

4

2

2

f y

⎛ 3 3 M ⎞ ⎟ E ⋅ R ⋅ ⎜ − ⎜ 4 bh2 f y ⎟ ⎝ ⎠

vrijedi za My < M < Mpl , a granična vrijednost kada bh

= 1.5M y

1

ρ

→ ∞ daje:

⋅ f y= 1.5 ⋅ W el ⋅ f y = 1.5M y

Za progibe pravokutnog poprečnog presjeka vrijedi: → za pojednostavljenu teoriju plastičnosti → δpl = 1.5δy → za egzaktnu teoriju plastičnosti → δpl ≈ 2δy

B. Peroš

15

MK I


Dakle iz ovog razmatranja mogu se promatrati dva modela teorije plastičnosti, kako se vidi na slici 1.17. Sva daljnja razmatranja odnose se na tzv. pojednostavljenu teoriju plastičnosti. Dosezanjem Mpl zakrivljenost ϕ → ∞ dobiva se model stvaranja plastičnih zglobova. Odnos momenta M i zakrivljenosti ϕ vidi se na slici 1.18.

zona tečenja

EGZAKTNA

nul linija

TEORIJA stvaranje plast. područ ja ispod konc. sile

PLASTIČNOSTI

POJEDNOSTAVLJENA TEORIJA PLASTIČNOSTI

plasti čni zglob

idealiziranje do plast. zgloba

osti Sl. 1.17. Egzaktna i pojednostavljena teorija plasti čn

M asimptotski se približava Mpl Mpl My φpl =Mpl / EI

ϕpl

ϕ

Sl. 1.18. Ovisnost M - ϕ

Dosadašnje razmatranje može se detaljnije prikazati na primjeru jednoosno simetričnog “I” profila prema sl. 1.19. Dosezanjem plastičnog zgloba iscrpljena je nosivost poprečnog presjeka. Obično se uzima da je plastični zglob posljedica samo momenta savijanja. U stvarnosti on nastaje interakcijom djelovanja M, N i V ( obi čno se N i V zanemaruju na utjecaj stvaranja plastičnog zgloba ). B. Peroš

16

MK I


φ

a nosivost elementa ( “I” popreč ni presjek ) Sl. 1.19. a) grani čn

b) teoretska raspodjela napona c) naponi dobiveni prerač unavanjem izmjerenih deformacija

Da bi se shvatilo značenje zgloba u teoriji elastičnosti i teoriji plastičnosti uvode se različite oznake za zglobove ( sl. 1.20. ). A) zglob u teoriji elastičnosti ( zadan statičkim sustavom )

B) zglob u teoriji plastičnosti ( formiran modelom mehanizma )

M=0

M = Mpl

M=0

M = Mpl

osti i u teoriji plasti č nosti Sl. 1.20. Zglob u teoriji elasti čn

ZAKLJUČ AK: 

Zglob B predstavlja zakretanje pri konstantnom otporu Mpl. Govori se o sposobnosti rotacije zgloba.



Unutrašnji rad plastičnog zgloba pretvara se u toplinsku energiju



Prekora čenjem Mpl svladava se otpor trenja u zglobu, ali M pl djeluje i dalje u punoj veličini.

B. Peroš

17

MK I


1.2.3. Plastični moment Mpl Moment potpune plastičnosti Mpl dosegnut je ukoliko je svako vlakno poprečnog presjeka doseglo granicu popuštanja f y. Ovisnost momenata M i veličine zakretanja φ prikazana je na slici 1.21. M M=Mpl (zglob B) teorija plast. Mpl 2

3

1

M=0 (zglob A), teorija elast. φ

Sl. 1.21. Ovisnost M – φ

Vrijedi slijedeće: ϕ =

1

ρ

=

ε a

=

σ E ⋅ a

M = EI ⋅ ϕ

M y

= f y ⋅ W el

∫

M = σ dA

NAPON fy

DEFORMACIJE

plastična zona

fy

ε =σ/E ao ϕy E

εy a

elastična zona

ϕy E

ϕy

Sl. 1.22. Naponi i deformacije u ovisnosti M - f

B. Peroš

18

MK I


Za moment djelomične plastifikacije poprečnog presjeka vrijedi: fy

fy

fy

fy

ao h

=

+

-

b e plastifikacije Sl. 1.23. Moment djelomi čn

M = f y ⋅ W

1 el

M pl

+ f y ⋅ W − f y ⋅ W 1 pl

2 pl

1 el

W

= 0 + f y ⋅ W − 0 1 pl

1 pl

W

2 pl

W

= = =

b( 2a) 2

6 bh 2

4 b( 2 a ) 2

4

1.2.4. Metode proračuna plastičnog graničnog opterećenja 1.2.4.1.Opć enito Kao što postoje metode proračuna prema teoriji elastičnosti, tako se mogu navesti metode proračuna prema teoriji plastičnosti: TEORIJA ELASTIČNOSTI (elastično granično opterećenje Pel) Metoda sila

B. Peroš

Metoda deformacija

TEORIJA PLASTIČNOSTI (plastično granično opterećenje Pgr ) Metoda mehanizma

Metoda statike

19

MK I


Plastično granično stanje statičkog sustava dosegnuto je onda kada je dosegnuto P gr koje mora zadovoljiti 4 uvjeta: a) uvjet ravnoteže

STATIČKI

b) za svaki presjek vrijedi M ≤ Mpl,M,N,V

UVJETI

c) dosegnut je kinematski mehanizam sloma

KINEMAT.

d) unutarnji rad u svim zglobovima je pozitivan

UVJETI

VAŽNO: Ukoliko se pronađe jedno stanje statičkog sustava koje zadovoljava sva 4 uvjeta, prema teoriji plastičnosti dosegnuto je plastično granično opterećenje Pgr . Ukoliko se promatra nosač na dva ležaja kao u slučaju analize plastičnog zgloba, vidi se da kada je dosegnuta vrijednost M pl ostvaruje se određeni progib δ (sl. 1.24.). Nosač je još u stanju ravnoteže i postao je kinematski mehanizam.

P

l/2

l/2

a)

δ

δ

- uslijed Mpl

v - dodatni progib

v Mpl

b)

ν

ν 2ν Sl. 1.24. Kinematski mehanizam

Dodavanjem dodatnog progiba v (kompatibilnog s rubnim uvjetima) zaokrene se plastični zglob bez povećanja otpora tj. oblik progibne linije se ne mijenja. Dakle dodatni progib v može se prikazati na kinematskom mehanizmu (sl. 1.24 b.), za koji se može postaviti vanjski (Aa) i unutarnji (Ai) rad. Aa

B. Peroš

= P⋅v = P⋅v⋅

l

2

Ai

= −2 ⋅ v ⋅ M pl

20

MK I


NAPOMENA: Unutrašnji rad može biti pozitivan i negativan.

Mpl ν

ν

Mpl Zahtjev ravnoteže: Aa + Ai = 0 P ⋅ν ⋅

l

2

= 2 ⋅ν ⋅ M pl ⇒ Pgr =

4 M pl l

Slično vrijedi i za slijedeći primjer na slici 1.25.

q

l ν

Mpl

ν

2ν

Mpl

Mpl

Sl. 1.25. Ukliješteni nosač

l

= 2 ⋅ q ⋅ ⋅υ ⋅

Aa

l

2 4 Ai = −4 ⋅υ ⋅ M pl ql

2

4 q gr

B. Peroš

⋅υ = 4 ⋅υ ⋅ M pl =

16 ⋅ M pl l2

21


MK I

1.2.4.2. Teoremi teorije plasti čn osti 1.

Stati č ki teorem

Ukoliko za zadani statički sustav i vanjsko opterećenje Pstat postoji raspodjela momenata savijanja ( reznih sila ) koja zadovoljava uvjete ravnoteže i uvjet da niti na jednom mjestu nije prekoračena nosivost ( otpornost ) poprečnog presjeka vrijedi : Pstat ≤ Pgr

(DONJA GRANICA)

Zadovoljeni su tzv. statički uvjeti ( a i b ). 2. Kineti čk i teorem

Za sva stanja zadanog stati čkog sustava pod vanjskim optere ćenjem Pkin koja zadovoljavaju uvjete ravnoteže, tvore kinematski mehanizam u čijim je plastičnim zglobovima ostvaren pozitivan rad, vrijedi: Pkin ≥ Pgr

(GORNJA GRANICA)

Zadovoljeni su uvjeti a, c i d. 3.

Teorem jednoznač nosti

Ukoliko su zadovoljena sva četiri uvjeta a, b, c i d, radi teorema jednoznačnosti, dosegnuto je stvarno plastično granično opterećenje Pgr i vrijedi: Pstat = Pkin = Pgr Proračunom Pgr pomoću statičkog teorema dobiva se rezultat na «strani ve će sigurnosti» jer se vrijednosti Pgr približavamo «s donje strane». Obrnuto, kod proračuna Pgr prema kinetičkom teoremu dobiva se rezultat na «strani manje sigurnosti» jer se vrijednosti Pgr približavamo «s gornje strane».

B. Peroš

22

MK I


KINETIČKI TEOREM (gornja granica Pgr ) Pkin Pstat = Pkin= Pgr Plastično granično opterećenje Pgr T. JEDNOZNAČNOSTI STATIČKI TEOREM (donja granica Pgr )

Pstat

Sl. 1.26. Približavanje vrijednosti P gr s donje i gornje grani č ne vrijednosti

PRIMJER: P

l/4

P

l/4

P

l/4

l/4

M – dijagram na

Pl 2

3Pl 8

statički određenom sustavu

Sl. 1.27. Primjena stati čk og teorema

a) Tri statički dopuštena stanja sustava ( statički teorem ) jesu : Mpl Mpl 2

Mpl

Mpl Mpl

Sl. 1.28. Neka dopuštena stanja sustava

B. Peroš

23

MK I


P⋅l

2

= M pl ⇒ Pstat =

2 M pl l

P ⋅l

2.5 M pl 1 ⎞ M P = ⎛ + ⋅ ⇒ = 1 ⎜ ⎟ pl stat 2 l ⎝ 4 ⎠

P ⋅l

2

3 M pl 1 ⎞ = ⎛ ⎜1 + ⎟ ⋅ M pl ⇒ Pstat = l ⎝ 2 ⎠

b) Četiri kinematski dopuštena mehanizma ( kinetički teorem ) jesu :

P

P

P

P

P

P

P

P P

Sl. 1.29 Primjena kinematskog teorema

Četiri kinematski dopuštena mehanizma: P ⋅ν ⋅

P ⋅ν ⋅

P ⋅ν ⋅

4

− M pl (ν + 2ν ) = 0 ⇒ Pkin =

12 M pl l

6.667 M pl ν l ν ⎞ + P ⋅ ⋅ − M pl ⎛ ⎜ν + ν + ⎟ = 0 ⇒ Pkin = l 4 2 4 2 ⎠ ⎝ l

4.667 M pl ν l ν l ν ⎞ + P ⋅ ⋅ + P ⋅ ⋅ − M pl ⎛ ⎜ν + ν + ⎟ = 0 ⇒ Pkin = 4 3 2 3 4 3 ⎠ l ⎝ l

P ⋅ν ⋅

B. Peroš

l

l

2

l

3 M pl

4

l

+ 2 Pν − M pl (ν + 2ν ) = 0 ⇒ Pkin =

24

MK I


c) Teorem jednoznačnosti Pstat

= Pkin = Pgr =

3 M pl l

Ograničenjem između gornje i donje granične vrijednosti dolazi se do vrijednosti plastičnog graničnog opterećenja Pgr kada je Pstat = Pkin. Dakle, Pgr definirano je onim stanjem statičkog sustava, koje ispunjava sva četiri uvjeta ( a, b, c i d ). 1.2.4.3. Metoda kinematskog mehanizma Metoda kinematskog mehanizma vrlo se često koristi pri proračunu prema teoriji plastičnosti. Temelj ovog postupka može se rezimirati na sljedeći način: METODA KINEMATSKOG MEHANIZMA Treba naći mehanizam (neovisan ili složen) takav da za svaki presjek vrijedi M ≤ Mpl : Odrede se mjesta mogućih plastičnih zglobova :

- mjesta gdje djeluju koncentrirane sile - mjesta spojeva - točke gdje je posmik nula ( kod nosača jed. opterećenih ) 1. Odaberu se mogući “neovisni” i “složeni” mehanizmi 2. Riješe se jednadžbe ravnoteže (virtualni pomaci) za najmanje opterećenje Pgr 3. Provjeri se za svaki presjek M ≤ Mpl

B. Peroš

25

MK I


PRIMJER 1.

l

Pomaci: δ 2 = δ 4 = ⋅ν 2

l

l

2

2

Rad vanjskih sila : Aa = P ⋅ δ 2 + P ⋅ δ 4 = P ⋅ ⋅ν + P ⋅ ⋅ν Rad unutarnjih sila :

Ai

= M pl ⋅ 2ν + M pl ⋅ 2ν + M pl ⋅ 2ν

Mpl - plastični moment u presjeku 2 (3, 4 ) 2n - zaokret mehanizma u presjeku 2 (3, 4 )

+ Ai = 0

Aa 2⋅

P ⋅l

Pgr

B. Peroš

2

=

⋅ν = 3 M pl ⋅ (2ν )

6 M pl l

26

MK I


PRIMJER 2.

→ Otpornost elementa L1 je Mpl → Otpornost elementa L2 je ν ⋅ 3 L

δ 2

=

ν 4

= ν + =

slijedi iz preliminarnog proračuna,

3 M pl

δ 4

8 ν

3

2

2

ν

iako se za oba elem. može uzeti Mpl

2

=

ν ⋅ L 3

( kut zaokreta u točki 4 )

MEHANIZAM 1: P ⋅ δ 2 P⋅

= M pl ⋅ 2ν + M pl ⋅ν

ν ⋅ 3 L 8

= M pl ⋅ 2ν + M pl ⋅ν ⇒ Pgr =

8 M pl L

MEHANIZAM 2: ν 3 3ν 3 M pl ⋅ + M pl ⋅ 2 2 2 2 ν ⋅ L ν 3 3ν 3 = M pl ⋅ν + M pl⋅ + M pl ⋅ ⇒ Pgr 2P ⋅ 3 2 2 2 2 2 P ⋅ δ 4

= M pl ⋅ ν +

=

6 M pl L

Budući da najniža vrijednost Pgr odgovara mehanizmu 2, to je usvojena vrijednost: Pgr

B. Peroš

=

6 M pl L

27


MK I

PRIMJER 3.

Mehanizam 1

Mehanizam 2

Mehanizam 3 (1+2)

Moguća su dva ''neovisna'' i jedan ''kombinirani'' mehanizam: 1. Mehanizam nosača 2. Mehanizam panela 3. Kombinirani mehanizam

B. Peroš

28

MK I


MEHANIZAM 1: P ⋅ δ = M pl ⋅ν + M pl ⋅ 2ν + M pl ⋅ν ⇒ Pgr

=

8 M pl L

MEHANIZAM 2: P

2

⋅ δ = M pl ⋅ν + M pl ⋅ν

δ =

L

2

8 M pl

⇒ Pgr =

L

MEHANIZAM 3: P ⋅ δ 1 + H 5

=

P

2

⋅ δ 2 = M pl ⋅ 2ν + M pl ⋅ 2ν ⇒ Pgr =

M pl L

=

16 M pl 3 L

2 M pl L

2

⎛ 16 M pl ⎞ 1 2 M pl 2 M pl ⎟⎟ ⋅ − − H 5 = ⎜⎜ = L L 2 3 2 3 L ⎝ ⎠

P

H 1

=

M 2

= H 1 ⋅

B. Peroš

⎛ 2 M ⎞ L ⎞ M pl = ⎜⎜ ⋅ pl ⎟⎟⎛ ⎜ ⎟= 2 ⎝ 3 L ⎠⎝ 2 ⎠ 3

L

29

MK I


PRIMJER 4.

Mehanizam nosača

Mehanizam panela

NEOVISNI MEHANIZMI

Mehanizam

Mehanizam čvora

Djelomični mehanizam

SLOŽENI MEHANIZMI

Potpuni mehanizam

Kod okvirnih sustava treba ispitati i prona ći odgovarajuće kinetičke mehanizme otkazivanja. Pri tome je važno odrediti broj “neovisnih” mehanizama. To se može izračunati prema : k=p-n k → broj “neovisnih” mehanizama p → broj mogućih plastičnih zglobova n → broj statičke neodređenosti sustava

B. Peroš

30

MK I


Plastični zglobovi obično se mogu formirati na sljedećim mjestima : 

ispod djelovanja koncentriranih sila



na mjestima uklještenja



u čvorovima okvira



u područ ju Mmax kod jednolikog opterećenja



kod promjene poprečnog presjeka ili oslabljenja

1.2.4.4. Stati č ka metoda Ova je metoda prikladna za kontinuirane nosače (1x ili 2x statički neodređene). Kako je već rečeno, zasniva se na traženju P gr prema donjem graničnom teoremu. Svrha metode je pronaći mogući momentni dijagram tako da su dobiveni momenti M na svakom mjestu manji od Mpl. M < Mpl Kod toga dovoljan broj plastičnih zglobova mora formirati kinetički mehanizam. Primjer metode vidi se na slici 1.30.

Sl. 1.30. Stati čk a metoda

B. Peroš

31

MK I


Sa slike 1.30. može se vidjeti: 

srednje polje kontinuiranog nosača opterećeno jednolikim opterećenjem



momentni dijagram prema teoriji elastičnosti



nad ležajevima A i C formiraju se plastični zglobovi



plastični zglob ( w i dalje raste ) formira se u sredini raspona



formiran je kinetički mehanizam W gr ⋅ L

2

8

= M pl + M pl ⇒ W gr =

16 M pl L2

Slična metoda, ali mnogo univerzalnija, primjenjuje se za okvirne sustave i naziva se “METODA URAVNOTEŽENJA MOMENATA”.

B. Peroš

32

MK I


1.5 UTJECAJ REDOSLIJEDA OPTEREĆENJA NA PLASTIČNO GRANIČNO STANJE Općenito se može uzeti da redoslijed opterećenja nema utjecaja na Pgr . Osnovna je pretpostavka da sva opterećenja koja djeluju na sustav rastu proporcionalno do dosezanja Pgr.

Ima izuzetnih slučajeva kada se za neki određeni redoslijed

opterećenja pojavljuju sve jače rastuće deformacije i govori se o nestabilnosti deformacija. Ovo se može objasniti na sl. 1.31. P

H

ukupno opterećenje

P

rasterećenje

H

rasterećenje

jedan ciklus opterećenja koji se ponavlja

Slika 1.31. Ciklus optereć enja

Sile H i P ne rastu proporcionalno. Nakon prvog optere ćenja sa P nastupa rasterećenje s nekim zaostalim vlastitim naponom. Kod opterećenja i rasterećenja silom H ti vlastiti naponi "ne odgovaraju" u to drugo opterećenje tako da se pojavljuju nove trajne deformacije. Ova pojava ovakvih trajnih deformacija ne bi se pojavila da su H i P istovremeno proporcionalno rasle. Ukoliko se ciklus optere ćenja H i P češće pojavljuje dolazi do sve ve ćih rastućih trajnih deformacija i iscrpljivanja plastičnih svojstava. Znači, statički je sustav otkazao, a da nije uspio dose ći plastično granično opterećenje Pgr. U ovom slučaju rješenje treba tražiti u tzv. opterećenju "uigravanja" Ps (engl. SHAKEDOWN, njem: EINSPIELLAST). Unatoč bezbroj ciklusa opterećenja deformacije sustava su stabilne i ostaju u određenim granicama. Dakle maksimalno opterećenje Ps koje unatoč bezbroj ciklusa opterećenja stabilizira porast trajnih deformacija zove se opterećenje uigravanja. Kriterij za Ps daje teorem

uigravanja: Ako se može pronaći bilo koje stanje vlastitih napona kod kojega se dalje u svim ciklusima opterećenja Ps preuzima elastično, to se sistem onda uigrao na potpuno elastično ponašanje i za ovo opterećenje (Ps) ne može više doći do otkazivanja nosivosti. Prikaz opterećenja Ps u ovisnosti deformacija i ponovljenih ciklusa optere ćenja vidi se na slici 1.32. B. Peroš

33

MK I


e j i c a m r o f e d

P>Ps (nestabilnost deformacija)

P=Ps P
broj ponovljenih ciklusa opterećenja Slika 1.32. Ps u ovisnosti deformacija i ciklusa optereć enja

Sila Ps ima za sada teoretsko značenje iz slijedećih razloga: 

u praksi su važne deformacije uslijed uporabnog opterećenja, a ne od Pgr



porastom odnosa g/p opterećenje Ps prelazi u Pgr



vjerojatnost izrazito nepovoljnih ciklusa opterećenja je mala

PRIMJER

P A

P

B

l/2

C

l/2

D

l/2

E

l/2

VAŽNO: Za svaki presjek mora biti zadovoljen uvjet: M i , r + M i. max

≤ M pl

Mi,r → moment kao posljedica vlastitih napona ( rezidualni ili zaostali ) Mi,max → maksimalni moment u tom presjeku ( i ) prema teoriji elastičnosti

B. Peroš

34

MK I


-6Pl 64

a)

P 13Pl 64 -12Pl 64

P

b)

P

10Pl 64

c)

Mr a) momentni dijagram ako P djeluje u B, prema teoriji elastičnosti b) momentni dijagram ako P djeluje u B i D, prema teoriji elastičnosti c) zaostali moment uslijed neelastičnih deformacija nakon opterećenja faze b) Uvjet za presjek B → Uvjet za presjek C →

13Pl 64

+ M r , B = M pl

− 12 Pl 64

+ M r ,C = M pl 1

Linerana raspodjela Mr uz pretpostavku da je pozitivan: M r , B = M r ,C 2

Dalje vrijedi ako se uvrsti Mr,B : 13PS l

+ M r ,C = M pl

64

−

PS

12 PS l 64

=

M r ,C

B. Peroš

+ M r ,C = M pl

96 M pl

= 5.06

19l M pl

=−

M pl l

19

35

MK I


Ukoliko se izračuna Pgr prema klasičnom postupku tj. jednom od metoda teorije plastičnosti, dobiva se: Pgr

=

6 M pl l

Kada se postavi odnos: PS Pgr

=

5.06 6.00

= 84%

vidi se da je stabilizirajuće opterećenje PS (ili shakedown loading) teoretski 16% manje od plastičnog graničnog opterećenja Pgr .

B. Peroš

36

MK I


1.6. NEPRIKLADNI SUSTAVI ZA PRORAČUN REZNIH SILA PREMA TEORIJI PLASTIČNOSTI Kod ovih sustava dosegnuta je vrijednost Pgr tek nakon velikog zaokreta φ u zglobovima ( znači i velikih deformacija ), ili se pak vrijednost Pgr uopće ne može doseći. Primjer takvog statičkog sustava dan je na slici 1.31.

P

EI=const.

l1

Mpl=const.

l2

l1

Sl. 1.31. Neprikladni sustav

Sila Pgr iznosi:

Pgr

=

8 M pl l2

Vrijednost Pgr u gornjem izrazu ne ovisi o l1. Ukoliko bi bilo l1 → ∞ onda bi: Pgr

=

4 M pl l2

Sada možemo promatrati progibe (deformacije) u sredini raspona l2 i to za razne odnose l1 : l2 prema slici 1.32.

P Pgr =

8Mpl

Pgr =

4Mpl

l 1=0

l 1=l 2

l 1=2l 2

l 1=3l 2

l2

l 1=∞

l2

5 M pl⋅ l22

10 M pl⋅ l22

15M pl⋅ l22

24EI

24EI

24EI

f (u sredini l2)

Sl. 1.32. Progibi u sredini raspona l2

B. Peroš

37

MK I


Srednje polje raspona l2 može se prikazati sljedećim modelom:

P l2 Sl. 1.33. Model srednjeg polja

P

- za mali l1, opruga je kruta

a)

P

b)

- za veliki l1, opruga je mekana

Dakle, na kontinuiranom nosaču, povećanjem sile P prvo se pojavljuje plastični zglob ispod te sile. U tom se zglobu javlja kut zaokreta φ. Budući da su opruge mekane (l1>l2) ne mogu se nad ležajevima javiti plasti čni momenti, a da kut zaokreta φ ne poprimi nerealno velike vrijednosti. Analiza kuta zaokreta φ u plastičnom zglobu: 

gruba vrijednost iznosi φ ≤ 0.10, kod istezanja rubnog vlakanca od 5% i dužine plastične zone u smjeru uzdužne osi elementa lp

=h

lp →

dužina plastične zone

h → visina nosača 

dodatni zahtjev odnosi se na odnos dužine nosa ča i visine pa vrijedi: ϕ ≤ 5 ⋅ 10 −3 ⋅



l h

za odnos raspona l1 / l2 = 3 dobiva se ϕ = 5.2 ⋅ 10 −3 ⋅

B. Peroš

l2 h

38

MK I


ZAKLJU Č AK: Navedeni primjer sustava gdje je omjer polja

l1 l2

>

3

nije više

podesan za proračun prema teoriji plastičnosti. Dakle, može se zaključiti da su neprikladni sustavi za proračun reznih sila prema teoriji plastičnosti sljedeći:

1. Kontinuirani nosači sa nejednolikim rasponima i opterećenjima q

2. Okviri čija je visina znatno veća od dužine prečke q

3. Prednapeti čelični nosači ( visulje ) q

4. Nosači kod kojih su koncentrirane sile u blizini ležaja

P

B. Peroš

P

39

MK I


1.7. EKONOMIČNOST - UŠTEDA MATERIJALA KOD PRORAČUNA REZNIH SILA PREMA TEORIJI PLASTIČNOSTI Na temelju pokusa na kontinuiranim nosačima i okvirnim sustavima može se uočiti ekonomičnost, ukoliko se računa prema teoriji plastičnosti.

Sl. 1.34. Kontinuirani nosač i

B. Peroš

Sl. 1.35. Okvirni sustavi

40


MK I

1.7.1. Usporedba primjene plastične i elastične globalne analize u skladu s EC Ovi primjeri ilustriraju na kontinuiranim nosačima određivanje računskih vrijednosti učinaka djelovanja. Zbog usporedbe korištena je i plasti čna i elastična globalna analiza. Potrebno je napomenuti da za globalnu plastičnu analizu moraju biti zadovoljeni određeni zahtjevi. Oni su posebno istaknuti u svakom od navedenih primjera.

PRIMJER 1. - Kontinuirani nosač (plastično - plastično)

B. Peroš

41


MK I

PRIMJER 2. - Kontinuirani nosač (elastično - elastično) s ograničenom redistribucijom momenata

B. Peroš

42


B. Peroš

MK I

43


MK I

PRIMJER 3. Kontinuirani nosač (elastično - plastično) bez redistribucije momenata

B. Peroš

44


MK I

PRIMJER 4. Kontinuirani nosač (elastično - elastično)

B. Peroš

45

MkI-1

Recommend Documents