Pensamiento Matemático Actividades Unidad 2
OSCAR ALFREDO ZATARAIN PEDRERO
GRUPO:
MT-MIPM-1801-B1-004
INTRODUCCION AL PENSAMIENTO MATEMATICO
Actividad 3. Métodos de demostración.
I.
Realiza las siguientes demostraciones
1. Demuestra que si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa hipotenus a z tiene de área
, entonces es isósceles.
Demostración Para realizar la siguiente demostración, procederemos por el método de demostración indirecto, ya que para demostrar que el triángulo rectángulo XYZ es Isósceles, entonces supongamos lo siguiente, si x e y son números reales y si x-y=0, demostraremos que x=y, entonces. P1: x-y=0 Q1: x=y Por lo que. x-y=0
⇒ (Por existencia del inverso aditivo de -y)
=
⇒ x-y+y x-y+y = 0+y ⇒ x(y-y)= x(y-y)= (0+y) ⇒ x(0)= y ⇒ x=y
=
=
=
=
Hemos llegado a la conclusión de que x=y, lo que nos dará la respuesta de nuestra demostración principal, viendo que los catetos x e y siendo distancias pueden ser iguales. Ahora, prosiguiendo por el método directo tenemos que el área del triangulo por la siguiente definición que es: “El área “El área de un triángulo es igual a la longitud x multiplicada por la distancia y y dividido entre 2, siempre y cuando x e y sean catetos del triángulo triángulo”” Entonces tenemos que ( ∗
P: (
)=
∗
) es igual al área de nuestro triangulo, vemos que.
Q: x=y entonces es isósceles
Título Subtítulo Siguiendo con la demostración tenemos que: (
∗
)=
⇛ tomando la siguiente definición
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” Entonces =
Por lo que (
∗
)=
( + )
Pasando a desarrollar la expresión (
∗
)=
∗
(4)(
( + )
)=(4)
⇛Pasando a dividir 4 en ambos lados
( + )
⇛ 2xy=( ) ⇛ Restando 2xy en ambos lados
⇛ 2xy+(-2xy) =( )+(-2xy) ⇛ 2 x y = 0 ⇛ pasando a factorizar ⇛ ( ) = 0
⇛ Procediendo a elevar a la potencia en ambos lados ⇛[( ) ] =[0]
⇛ ( )=0 ⇛ = 0 ⇛ como anteriormente habíamos demostrado podemos ver que = Por lo que podemos concluir que nuestro triangulo de área
es isósceles. ∎
2. Demuestra que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a (+)(+)
Para hacer la demostración mencionada se realizará la demostración formal por el principio de inducción Matemática. i)
Se verificará que la proposición es verdadera p ara el valor inicial, ósea = 1 , en efecto:
1 =
(+)(+)
⇛ 1 =
(+)(()+)
⇛ 1=1
Título Subtítulo ii)
Anunciamos la hipótesis de inducción para el numero natural k
1 2 3 4 ⋯ = iii)
( 1)(2 1) 6
Usando la hipótesis de inducción enunciada en (ii) se demostrará la validez para (k+1), por asociatividad:
1 2 3 4 ⋯ ( 1) = (1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) ⇛ (1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) =
(+ )(+)
( 1)
Desarrollando la formula quedaría
(1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) =
( 1)(2 1) 6( 1) 6
Por la ley distributiva resultara que:
(2 1) 6( 1) (1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) = ( 1)[ ] 6 Por distribuidad y términos semejantes:
(2 7 6) (1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) = ( 1)[ ] 6
Por factorización de trinomios tenemos que:
(2 3)( 2) (1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) = ( 1)[ ] 6 Rescribiendo en términos de k+1
(1 2 3 4 ⋯ ) ( 1) = [
( 1)(( 1) 1)(2( 1) 1)
Por lo que tenemos que la proposición () es válida para k+1 Por conclusión tenemos que () es válida. ∎
6
]
Título Subtítulo 3. Demuestra la negación del siguiente enunciado: la suma de dos números compuestos siempre es un número compuesto Demostración Para realizar la siguiente demostración se procederá por el método de contraposición, teniendo que:
P: Suma de dos números no compuestos Q: número no compuesto Por lo que con contraposición se tiene que ¬Q⇛¬P ¬P: la suma de dos números compuestos ¬Q: es compuesto
Por definición de un numero compuesto tenemos que: “Sea C un
C=mn
número no primo y mayor que 1, C=(m)(n) tal que C∈Z , C > 1 | C=mn m∧ n>1, m,n∈Z
”
Entonces tenemos que ¬Q: es compuesto, por lo que C=mn Supongamos que C es un numero cualquiera y que
= ⇛ 2 = ⇛ = ⇛ ( ) ( ) = ⇛ 2( ) = Hemos encontrado un número entero donde C-mn da como resultado un numero entero, por lo que lo llamaremos m 2 = Y por la definición de los números compuestos, hemos encontrado dos números enteros “2 y m” tal que hagan que C por definición sea un numero compuesto, probando que ¬Q⇛¬P Sea verdadera, con lo cual hemos demostrado que P⇛Q es verdadera. ∎
Título Subtítulo 4. Demuestra que para cada entero n, que si 5n + 3 es par, entonces n es impar. Considerando las proposiciones: P:5n+3 es par Q: n es impar Demostraremos P⇛Q es verdadera mostrando que ¬Q⇛¬P es verdadera.
¬Q: n es par ¬P: 5n+3 es impar n es par, tomando la siguiente definición: “Para cada entero x, x es par si, y solo si puede encontrarse un entero k tal que x=2k” Por lo tanto 5n3=5(2k)3 ⇛ 5n3= 10k3 Como 10k+3 tambien es un numero entero, lo llamaremos m, entonces hemos encontrado un entero m tal que
5n3=m
⍱mϵ ℤ
Y de acuerdo con la definición de número par, tenemos que 5n+3 no cumple con la definición, por lo que se concluye que 5n+3 es un número impar. Hemos demostrado que ¬Q⇛¬P es verdadera con lo cual P⇛Q también. 5. Demuestra que Si n ∈ ℤ, entonces, 3es múltiplo de 4. Demostracion Para demostrar el enunciado anterior procederemos con inducción matemática. Entonces (i)
Como siempre será un numero positivo, quiere decir qu e ∈ ℤ positivos, tomando el valor inicial igual a 0, =0 entonces
() = 3 ⇛ (0)-3=-3 Veamos si -3 es múltiplo de 4|-3 entonces -3(x)=4 con x en los enteros. Procederemos a dividir -3 en ambos lados de la igualdad, entonces: − −
=
−
⇛
=
−
⇛ =
−
Título Subtítulo Hemos encontrado el valor de x=
−
y
no es un número que pertenezca a
−
los enteros. Siguiendo con la demostración, como ∈ ℤ positivos y con ≠ 0 procederemos por inducción matemática y Tomando como valor inicial =1 Entonces
3 ⇛ (1) 3 = 2
(ii)
Vemos que con el valor 1 si se cumple el enunciado. Preocederemos a enunciar la hipótesis de inducción para el numero natural k Entonces
3 es múltiplo de 4 (iii)
Usando la hipótesis de inducción enunciada en (ii), se demostrará que (+) es verdadera Entonces, por divisibilidad tenemos que ( 1) |4 entonces
( 1) 3 = 4
con x en los enteros
Procederemos a desarrollar el binomio
( 2 1) 3 = 4 ⇛ Como
−
+
−
es entero y
+
=
es entero, entonces por la propiedad de
cerradura, x es entero. Como encontramos que x es entero, se cumple la propiedad que se quiere demostrar para (k+1) ´por lo tanto 3 es múltiplo de 4. ∎
Título Subtítulo 6. Demuestra que (x)(Fx) (x)(Fx Gx)
Usaremos las reglas de inferencia para demostrar lo siguiente (x)(Fx) (x)(Fx Gx)
Por la regla de inferencia llamada Modus ponens, entonces (x)(Fx) (x)(Fx Gx) (x)(Fx)
⸫ (x)(Fx Gx)
