Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Actividad 2. Métodos de demostración Instrucciones: Demuestra los enunciados por medio del métodos de demostración que consideres adecuado. 1. Demostrar Demostrar que no hay hay ningún ningún número número racional racional cuyo cuadrado cuadrado sea 15. 15. Respuesta: a) Primero observamos que el número 15 est situado entre dos cuadrados per!ectos que son " y 1#. $l aplicar la desigualdad tenemos lo siguiente: 9
< 15 < 16 b) $hora% &cómo &cómo se e'presa e'presa un número racional( racional( )n )n número racional racional se e'presa de de la siguiente manera:
r=
p q
c) Para hacer la demostr demostració ación n aplicamo aplicamos s el método método de reducció reducción n al absurdo absurdo al enunciado% el cual supondr*amos que s* e'iste un número racional cuyo cuadrado sea 15. Por lo que tenemos la siguiente e'presión: +'iste un número racional
r
tal que
r
2
p
2
es 15.
2
= =15 2
q
$l aplicar aplicar ra*, cuadrada cuadrada a ambos ambos miembros miembros de la igualdad igualdad tenemos: tenemos:
p 15 = √ 15 q
d) -uscamos el múltiplo menor de
15 √ 15 que ser*a p=q √ 15
e) $plicamos ra*, a los términos de de la desigualdad desigualdad que que obtuvimos obtuvimos en el paso a. 3
< √ 15 15 < 4 educimos la igualdad a dos términos:
( √ 15 15−3 ) < ( 4 −3 )
( √ 15 15−3 ) < 1 f)
/ultiplicamos ambos miembros de la desigualdad por el múltiplo menor.
r
Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración q √ 15 ( √ 15 −3 ) < q √ 15 ( 1) g) 0a desigualdad nos indica una contradicción ya que hay un número menor que el que hab*amos supuesto
p=q √ 15 .
. 2i x es racional y distinto de cero y y es irracional% entonces ' 3 y y 'y son racionales. Respuesta: +ste enunciado se prueba por reducción al absurdo partiendo de las propiedades de los números racionales e irracionales. 0os números racionales son aquellos que pueden e'presarse como el cociente de dos números enteros% en el que el denominador debe ser distinto de cero. Por otra parte% los números irracionales son aquellos que poseen in!initas ci!ras decimales por lo que no pueden representarse como el cociente de dos números. a) Identi!icamos las premisas del enunciado. : ' es racional !: y es irracional. R: '3y es racional ": 'y es racional b) 2imboli,amos el enunciado a partir de las premisas. ( P ⋀ Q) → ( R ⋀ S )
c) $plicamos el método de reducción al absurdo% es decir negamos la conclusión. 0a cual queda
¬ ( R ⋀ S )=( ¬ R ⋁ ¬ S ) 4ué puede leerse as*: no es racional o 2 no es racional. es irracional o 2 es irracional. d) 2i x es racional y
y es irracional% entonces
x + y es irracional.
x + y =irracional
x =irracional− y ∴ x es irracional .
$qu* hemos llegado a la contradicción ya que ' es racional. e) 2i x es racional y
y es irracional% entonces xy es irracional.
Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración xy =irracional x =
irracional y ∴ x es irracional
$qu* la otra contradicción ya que
x es racional.
6. Demostrar que 1 6 3 6 3 66 3 73 n 6 8 91 3 3 6 3 73n Respuesta: +ste e;ercicio se resuelve aplicando el método inductivo. De manera que si se cumple la propiedad P 91 entonces P 9< es verdadera y por lo tanto P 9<31 también ser verdadera. 3
1
a) =enemos que
3
3
1
=[
( + 1)
1 1
2
2
]
=1
1
Demostramos P9: 2
1
3
+ 2 =[
( + 1)
2 2
2
2
]
2
1
+ 8= 3
9
=9
Demostramos P9<: 3
1
3
3
3
k ( k + 1)
+ 2 + 3 + … + k =[
n ( n + 1 )
+ 2 + 3 + … + n =[
Demostramos P91: 3
3
2
Demostramos P9<31:
2
]
2
2
]
Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración 1
Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración x < √ xy <
x + y 2
< y
Respuesta: Para resolver este e;emplo utili,amos el método por casos partiendo de que
x < y a) Aaso 1: x < √ xy Demostración:
x < y /ultiplicamos a ambos lados de la desigualdad por
xx < xy $plicamos ra*, a ambos lados de la desigualdad.
√ xx < √ xy $hora
√ x < √ xy 2
∴ x
< √ xy √ xy<
b) Aaso :
x + y 2
Demostración: x < y $plicamos ra*, a ambos lados de la desigualdad
√ x < √ y 0
< √ y − √ x
2
0
0
< ( √ y − √ x )
2
<( y −2 √ y √ x + x )
2 √ y √ x
2 √ xy
√ xy <
< ( y + x )
< ( x + y ) x + y 2
x .
Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración x + y
c) Aaso 6:
2
< y
Demostración: x < y
x + y < y + y x + y < 2 y
x + y 2
< y
5. 2ea x ∈ R % demuestre que si
| x + y|>| x|+| y|
entonces y no es un número
real. Respuesta: +ste e;emplo lo resolvemos utili,ando el método de contraposición. a) )bicamos las premisas y aplicamos el método de contraposición. :
| x + y|>| x|+| y|
!:
y nos es real
Begamos las premisas y las invertimos de lugar en la proposición
¬ :
| x + y|<| x|+| y|
¬ !:
y es real.
+l enunciado queda de la siguiente !orma: 2ea x ∈ R % demuestre que si
y
es real% entonces
b) 0a propiedad del valor absoluto es la siguiente
| x|= x si a ≥ 0 o − x si x ≤ 0 +ntonces −| x|≤ x ≤| x|
$hora suponemos que
y es real% por lo tanto
−¿ y ∨≤ y ≤∨ y ∨¿ $hora sumamos los miembros de la desiguldad
| x + y|<| x|+| y|
.
Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración −| x|≤ x ≤| x|
−¿ y ∨≤ y ≤∨ y ∨¿
CCCCCCCCCCCCCCCCCC
−| x|−| y|≤ x + y ≤| x|+| y| $plicando la propiedad del valor absoluto tenemos que | x + y|≤| x|+| y|
