Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
Actividad 1. Soluciones factibles soluciones b!sicas factibles Karla Judith Andrew Méndez. 12509552
Introducción Revisa la presentación: http:www.slideshare.netlupiu!lupiu!s"luci"nes#$acti%les#&#s"luci"nes#%sicas#$acti%les '"nsidera l"s c"ncept"s:
Variables de holgura
Variables de exceso
Forma Estándar
Forma Matricial
Variables básicas
Variables no básicas
Base
Solución básica
Solución básica factible
Variables Entrada
Variables salidas
"l e#ercicio asignado de acuerdo a la lista es$
Apel l i dos
Nombr e
ANDREW MENDEZ CARRI LLO SERNA
KARLAJUDI TH NELSON
Ej er ci ci oasi gnado
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
1 2
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
CASI LLASDELLLANO CLAVI JO VALDEZ ESQUI VELALVAREZDELCASTI LLO FALCON CRI SPI N JI MENEZGARCI A MAGAÑARAYA MAYCORONA NUÑEZORTEGA PALAFOXELI ZALDE PLANCARTECORI A RI VERAGASPAR ROMERO PACHECO SUAREZMORALES VALLECORREA VAZQUEZANDRADE VEGAMONDRAGON
MANUELI VAN PEDRO OCTAVI O PERLA ALFONSO JUAN MI GUEL DI DI ERSALVADOR AGUEDA NESTORHUMBERTO AURELI O JOSEALBERTO GEMAMARTI NA ALAN SANDRAVERONI CA MARCO ANTONI O EDGAR
3 4 5 11 12 13 14 15 18 17 16 10 9 8 7 6
Realiza: 1. 2. +. . 5. . .
("r)a est*ndar ("r)a )atricial ,r*$ica utilizand" h"-as )ili)étricas. /ncuentra t"d"s las s"luci"nes %*sicas 'lasi$ica las varia%les %*sicas & las varia%les n" %*sicas 'lasi$ica entre las s"luci"nes %*sicas n" $acti%les & $acti%les ara t"das las s"luci"nes %*sicas $acti%les encuentra la )atriz %ase 34 3 & z4 de acuerd" a l" &a vist" en la presentación. 6. ara las s"luci"nes %*sicas $acti%les deter)ina las varia%les de entrada & de salida. 9. 7ndica la s"lución ópti)a del pr"%le)a. /-ercici"s: 1.
Max z =3 x 1 + 4 x 2
2.
Max z =2 x 1 + x 2
+.
Max z =2 x 1 + x 2
+ 2 x
x 1+ 2 x 2 ≤ 20
x 1+ 2 x 2 ≤ 20
3 x1
x 1+ x 2 ≤ 16
x 1+ x 2 ≤ 16
x 1+ 2 x 2 ≤ 16
− x + x
x 1 ≤ 6
x 1− x 2 ≤ 6
1
x 2 ≤ 8
2
≤6
x 2 ≤ 8
2
≤ 20
x 1 , x 2 ≥ 0
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
x 1 , x 2 ≥ 0 .
x1 , x2≥ 0
Max z =2 x 1 + x 2 3 x1
+ 2 x
2
Max z =2 x 1 + x 2
5.
≤ 20
3 x1
+ 3 x + 2 x
x 1− x 2 ≤ 6
x 1+ 0.3 x 2 ≤ 5
x 2 ≤ 5
− x + x
− x + x
2
≤5
1
Max z =3 x 1 + 2 x2
+ 2 x
2
≤ 18
2 x 1
+ 2 x
Max z =6 x1 + x 2
2
≤ 20
2
≤ 18
x 1 , x 2 ≥ 0
≤ 18
2
9.
Maxz =3 x 1 + 2 x2
≤ 18
2 x 1
2
x 1− x 2 ≤ 4
− x + x 1
Max z =2 x 1 + x 2
2 x 1
+ 3 x
2
≤ 30
12.
+
2 x 1 3 x 2 ≤ 30
x 1+ x 2 ≤ 12
x 1+ 2 x 2 ≤ 16
− x + x
x 1− x 2 ≤ 9
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0
+
1.
2
≤9
Maxz =2 x 1 + 2 x 2
+
≤4
Max z =2 x 1 + x 2
x 1+ x 2 ≤ 12 1
2
x 1 , x 2 ≥ 0
4 x 1 + 2 x2 ≤ 20
Max z =2 x 1 + 2 x 2
≤ 18
x 1+ 2 x 2 ≤ 10
x 1 , x 2 ≥ 0 11.
+ 2 x
x 1+ 2 x 2 ≤ 10
x 1 , x 2 ≥ 0
+ 2 x
≤5
Max z = 3 x 1 + 2 x2
6.
x 2 ≤ 4
3 x1
2
2
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1+ 2 x 2 ≤ 10
1+.
2 x 1 2 x 1
2 x 1
10.
≤ 18
x 1+ 2 x 2 ≤ 12
x 1 , x 2 ≥ 0
2
x 1+ 2 x 2 ≤ 12
1
.
+ 2 x
Max z =5 x 1 + 4 x 2
.
x 1 , x 2 ≥ 0 15.
Max z =2 x 1 + 2 x 2
+
3 x1 2 x 2 ≤ 30
3 x1 2 x 2 ≤ 30
3 x1 2 x 2 ≤ 30
x 2 ≤ 12
x 1+ x 2 ≤ 12
− x + x
x 1− x 2 ≤ 9
x 1 ≤ 9
x 1− x 2 ≤ 9
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0
1.
Max z =− x 1 + 2 x 2
1.
Max z = 4 x 1 + 6 x 2
1
16.
2
≤ 12
Max z =4 x 1 + 6 x 2
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
+
+ x
3 x1 2 x 2 ≤ 30
5 x1 + x 2 ≤ 30
5 x1
x 1+ x 2 ≤ 12
x 1+ x 2 ≤ 12
x 1+ x 2 ≤ 12
x 1− x 2 ≤ 9
x 1 ≤ 5
x 1− x 2 ≤ 4
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0
1.
2
≤ 30
Max z =3 x 1 + 4 x 2
x 1+ 2 x 2 ≤ 20
x 1+ x 2 ≤ 16
− x + x 1
2
≤6
x 2 ≤ 8 x 1 , x 2 ≥ 0 Realiza: 1. ("r)a est*ndar Max z =−3 x 1−4 x 2 x 1+ 2 x 2+ s 1=20 x 1+ x 2 + s 2=16 − x + x + s = 6 1
2
3
x 2+ s 4=8
x 1 , x 2 , s 1 , s2 , s 3 , s 4 ≥ 0 2. ("r)a )atricial
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
() )( ) ( ) x1 x2
Max z =(3 4 0 0 0 0 )
s1 s2 s3 s4
(
x 1
1
2
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
−1 0
1 1
0 0
0 0
1 0
0 1
x 2 s1 s2 s3
20
=
16 6 8
s4
() x 1 x 2 s1 s2
≥0
s3 s4
+. ,r*$ica utilizand" h"-as )ili)étricas.
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
. /ncuentra t"d"s las s"luci"nes %*sicas !1 1 1 #1 0 #+
s1 s2 s+ s z
!2 2 1 1 1 #
s1 1 0 0 0 0
s2 0 1 0 0 0
s+ 0 0 1 0 0
s 0 0 0 1 0
5. 'lasi$ica las varia%les %*sicas & las varia%les n" %*sicas /ste pr"%le)a tiene 8n varia%les & 8) restricci"nes p"r l" tant" tiene #2 varia%les n" %*sicas & varia%les %*sicas. PUNTO
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Z
V. B
V. No. B
0
0
0
20
1
8
0
s1 ! s2! s"! s#
x1 ! x2
A
0
1
$12
0
$10
$8
2
x2! s1 ! s" s#
x1! s2
B
1
0
#
0
22
$8
"0
x1! s1! s"! s#
x2! s2
C
%
11
$&
0
0
$"
x1! x2! s1! s#
s2! s"
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
R 20 1 6 0
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
D
0
8
10
0
2
2#
x2! s1 ! s2! s#
x1 ! s"
E
2
8
2
0
0
"8
x1 ! x2 ! s1 ! s2
s"! s#
F
#
8
0
#
2
0
##
x1 ! x2 ! s2! s"
s1' s#
G
12
#
0
0
1#
#
%2
x1 ! x2 ! s"! s#
s1 ! s2
H
20
0
0
$#
2
8
%0
x1! s2! s"! s#
x2! s1
x 1+ 2 x 2+ s 1=20 x 1+ x 2 + s 2=16 − x + x + s = 6 1
2
3
x 2+ s 4=8
. 'lasi$ica entre las s"luci"nes %*sicas n" $acti%les & $acti%les
PUNTO
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Z
FACT
0
0
0
20
1
8
0
;
A
0
1
$12
0
$10
$8
2
B
1
0
#
0
22
$8
"0
C
%
11
$&
0
0
$"
D
0
8
10
0
2
2#
E
2
8
2
0
0
"8
F
#
8
0
#
2
0
##
G
12
#
0
0
1#
#
%2
H
20
0
0
$#
2
8
%0
NO FACT.
; ; ; ; ; ; ; ;
. ara t"das las s"luci"nes %*sicas $acti%les encuentra la )atriz %ase 34 3 & z4 de acuerd" a l" &a vist" en la presentación. ara <:
( ) ( )( ) ( ) ()
B=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x B=
1
0
0
0
20
0
1
0
0
16
0
0
1
0
6
0
0
0
1
8
20
=
16 6 8
20
Z =( 0
0
0
0
)
16 6
=0
8
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
ara =:
( ) ( ) () ( )( ) ( ) () B=
2
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
−2 −1 −1
0
−1
=
B
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
−2 −1 −1
6
∗
x B=
1
8
10 2
10
8
10
1
0
6
2
= −14 −2 −8
10
Z =( 4
0
0
0
) −14 = 40 −2 −8
ara /:
(
B=
(
1
2
1
1
1
0
−1
1
0
0
1
0
) ( ) () )( ) ( ) () 0
1
0
B
−1
0
0
0
−1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
−3 −2
2 8 2
=
0
0
−1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
−3 −2
2
x B=
8 2 6
4
=
6
6
−14 −2
4
(
Z = 3
4
0
0
)
6
− 14
= 36
−2
ara (:
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
(
B=
(
1
2
0
1
1
1
−1
1
0
0
1
0
) ( )( ) ( ) () 0
0
B
1
−1
=
0
1
0
0
−2
0
0
0
1
−1
1
0
1
1
0
1
−3
4
1
0
0
−2
0
0
0
1
−1
1
0
1
1
0
1
−3
) () 4
x B=
8 4 2
0
8
2
=
4
6
2
2
0
Z =( 3
4
0
0
2
)
6
=8
2
ara ,:
(
B=
(
1
2
0
1
1
0
−1
1
1
0
1
0
) ( ) () )( ) ( ) () 0
0
0
B
−1
=
1
−1
2
0
0
1
−1
0
0
−2 −1
3
1
0
1
0
1
14 4
2
0
0
1
−1
0
0
−2 −1
3
1
0
1
0
1
12
x B=
4
14 4
−4
12 4
−1
=
8 2
−4
−4
Z =( 3
4
0
0
)
8 2
=20
−4
6. ara las s"luci"nes %*sicas $acti%les deter)ina las varia%les de entrada & de salida. >?@< 0
. / !2
. B B2
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
Investigación de Operaciones Unidad 2. Programación lineal, algoritmo simplex
= / ( ,
!1 s+ s1 s2
s s14 s+ s
9. 7ndica la s"lución ópti)a del pr"%le)a. Ca s"lución ópti)a del pr"%le)a es d"nde: x 1=12 x 2= 4 y Max z =12 ( 3 ) + 4 ( 4 )=52
%iencias "xactas, Ingenier&as 'ecnolog&as()icenciatura en *atem!ticas 8
