Mineralogía y Metalurgia

METALURGIA EXTRACTIVA Y PROCESOS MINERALÓGICOS

Preparado y Recopilado por: Jorge Cáceres N

UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA

UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA INDICE METALURGIA EXTRACTIVA Y PROCESOS MINERALÓGICOS ................................................... 4 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................... 4 CAPÍTULO I EL ENTORNO.......................................................................................... 6 1.1 MINERALES, MENAS Y YACIMIENTOS: ELEMENTOS BÁSICOS ....................... 6 CAPÍTULO II RELACIONES GENERALES TAMAÑO-ENERGÍA.......................................... 22 CAPÍTULO III CONCEPTOS GENERALES DE MOLIENDA ............................................... 23 3.1 ANTECEDENTES GENERALES ................................................................. 23 3.2 CONCEPTOS TEÓRICOS DE MOLIENDA .................................................... 27 3.2.1 MECANISMOS DE MOLIENDA .............................................................. 27 3.3 EQUIPOS: CLASIFICACIÓN DE LOS MOLINOS .......................................... 30 3.4.- REVESTIMIENTOS .............................................................................. 34 TIPOS DE REVESTIMIENTOS DE GOMA Y ACERO ............................................ 34 MATERIALES DE REVESTIMIENTO ................................................................ 35 TIPOS DE CAUCHO ..................................................................................... 35 TIPOS DE ACERO EN REVESTIMIENTOS DE MOLINOS ..................................... 35 3.5.- FACTORES QUE INFLUYEN EN LA CAPACIDAD DE MOLIENDA ................... 37 GRADO DE LLENADO .................................................................................. 37 VELOCIDAD DE ROTACION .......................................................................... 38 CAPÍTULO IV. VALORACIÓN DE LA ENERGÍA ............................................................. 39 4.1.- INTRODUCCIÓN ................................................................................. 39 4.2.- MODELO PARA VALORAR LA ENERGÍA EN LA MOLIENDA DE MINERALES MULTICOMPONENTES ............................................................... 40 PRIMERA LEY DE LA MOLIENDA O LEY DE A. VON RITTINGER. .................................... 40 SEGUNDA LEY DE LA MOLIENDA O LEY DE KICK. ....................................................... 42 TERCERA LEY DE LA MOLIENDA O LEY DE F. BOND. ................................................... 43 PRINCIPIO Nº1 .......................................................................................... 45 PRINCIPIO Nº2 .......................................................................................... 45 PRINCIPIO Nº3 .......................................................................................... 46 TEORÍA DE CHARLES .................................................................................. 46 MODELO PARA VALORAR EL CONSUMO ESPECÍFICO DE ENERGÍA EN LA MOLIENDA DE MINERALES MULTICOMPONENTES. .............................................................. 48 CAPÍTULO V. CLASIFICACIÓN.................................................................................. 58 5.1.- TIPOS DE HARNEROS ......................................................................... 59 5.2.- FACTORES QUE AFECTAN LA EFICIENCIA DE UN HARNERO ..................... 62 5.3.- CLASIFICADORES .............................................................................. 64 CLASIFICADORES DE ESPIRAL (DE RASTRILLO O DE ARRASTRE): ................... 64 CLASIFICADORES DE ESPIRAL..................................................................... 64 CLASIFICADORES MECÁNICOS .................................................................... 65 CLASIFICADORES DE PALETAS .................................................................... 65 Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA CLASIFICADORES MECÁNICOS .................................................................... 65 CLASIFICADORES DE TANQUE CILÍNDRICO................................................... 66 CLASIFICADORES MECÁNICOS .................................................................... 66 CLASIFICADORES HIDRÁULICOS ................................................................. 67 5.4.- FACTORES QUE ALTERAN LA CURVA DE EFICIENCIA .............................. 69 CLASIFICADORES NEUMÁTICOS .................................................................. 72 CLASIFICACIÓN A TRAVÉS DE FLUIDOS ....................................................... 72 EVALUACIÓN DE LOS CLASIFICADORES ....................................................... 75 RENDIMIENTO DE LOS CLASIFICADORES...................................................... 75 CAPÍTULO VI.- BALANCE DE MATERIALES ................................................................. 77 BALANCES DE MATERIALES......................................................................... 80 EQUIPOS DE MOLIENDA ............................................................................. 80 RECIRCULACIONES .................................................................................... 81 CAPÍTULO VII. MODELAMIENTO MATEMÁTICO ........................................................... 89 CHANCADO Y HARNEO ............................................................................... 89 MODELO DE CLASIFICACIÓN CON HARNEROS ............................................... 90 MOLIENDA Y CLASIFICACIÓN ...................................................................... 91 MOLIENDA CONVENCIONAL ........................................................................ 91 MOLIENDA SEMIAUTÓGENA ........................................................................ 93 CLASIFICACIÓN CON HIDROCICLONES ......................................................... 98 CAPÍTULO VIII SEDIMENTACIÓN Y ESPESAMIENTO ................................................... 102 INTRODUCCIÓN ........................................................................................ 102 TEORÍA BÁSICA DE SEDIMENTACIÓN .......................................................... 102 SEDIMENTADOR CONTINUO ....................................................................... 104 DETERMINACIÓN DEL ÁREA MÍNIMA REQUERIDA PARA CONSEGUIR LA CLARIFICACIÓN. ....................................................................................... 105 INSTALACION EXPERIMENTAL .................................................................... 110 PROCEDIMIENTO OPERATIVO ..................................................................... 110 BIBLIOGRAFÍAS Y REFERENCIAS ............................................................................ 114

Ingeniería Civil Minas

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Metalurgia Extractiva y Procesos Mineralógicos INTRODUCCIÓN La Metalurgia es la ciencia, el área de ingeniería y el arte de extraer metales a partir de sus minerales, refinándolos y preparándolos para sus usos en todo el ámbito del trabajo y quehacer humano desde hace siglos. En metalurgia extractiva, los procesos mineralógicos corresponden a todas las operaciones unitarias que involucran la preparación mecánica de los minerales antes de someterse a cambios químicos que derivan finalmente en la obtención del metal puro, como por ejemplo la fundición de concentrados. La preparación mecánica contempla la conminución en sus etapas de chancado primario, chancado secundario y molienda o chancado primario, molienda semiautógena y molienda. Por otra parte, los metales, entre otros nuestro cobre en El Teniente, se encuentra en la naturaleza en los minerales, los cuales están formados por las especies mineralógicas valiosas, mezcladas con grandes cantidades de materiales de desecho o ganga. Una vez extraído el mineral de la mina, el primer paso consiste, en separar físicamente las especies mineralógicas de cobre de la ganga, triturando y moliendo los minerales; el segundo paso consiste en concentrar las especies valiosas por flotación por espuma(caso de minerales sulfurados). Estas operaciones no modifican las características químicas de las especies que han sido separadas y concentradas. Las etapas siguientes de obtención del cobre a partir de sus concentrados y su posterior refinación son de naturaleza química, ya que debe ser recuperado de la especie mineralógica que lo contiene, donde el cobre está unido químicamente a otros elementos, principalmente azufre y fierro; por lo tanto, su separación sólo es posible a través de un proceso químico. La mayoría de ellos se realiza en hornos a altas temperaturas, aunque algunos se efectúan en soluciones acuosas a temperaturas ambientes; en ciertos casos, también se utiliza la electricidad para producir dichos cambios químicos. En general la obtención de cobre, dependiendo de la naturaleza de la especie mineralógica, involucra una combinación particular de estas etapas. Una vez que el cobre ha sido extraído y refinado debe ser sometido a un tratamiento posterior para ser adaptado al uso que se le ha asignado. La primera parte de esta descripción comienza con la recepción, desde la mina, del mineral (MENA) y su reducción hasta tamaños aptos de concentración por medio de etapas de chancado y en especial de molienda. Este overview o visión general del proceso de molienda de minerales asociado a una de sus operaciones mas importantes como la reducción de tamaño (y a la vez la MAS costosa…) hará referencia a sus objetivos, sus variables y a su siempre presente compañero: La Clasificación de Tamaños, tarea que hoy realiza el clasificador ciclón en Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA el conjunto de equipos que conforman el “Sistema de Molienda Clasificación”. Previo a ello hay un par de temas considerados de interés en la introducción de tema que son los minerales y su entorno, de ellos, de su diseminación y ley están referidas sus habilidades de ser explotados y del costo que va asociado a su reducción previa.


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CAPÍTULO I El Entorno 1.1 Minerales, Menas y Yacimientos: Elementos básicos Los metales se encuentran en la naturaleza asociados a otros elementos químicos, formando sales y compuestos insolubles. El cobre puede estar presente al estado de sulfuro o de óxido y sólo ocasionalmente al estado de cobre nativo. Cada una de estas formas químicas recibe el nombre de ESPECIE MINERALOGICA. Un mineral, también llamado especie mineralógica, tiene una definición que dice ser “Un compuesto sólido, de ocurrencia natural de origen inorgánico, de composición química definida y con estructura cristalina”, en la naturaleza se han definido cerca de 3500 sustancias con tal característica pero no mas de 200 son los mas comunes y solo cerca de 50 a 70 se usan para fines de obtención de metal o con fines de uso industrial. Tan solo 300 son consideradas especies de interés económico. Por razones geológicas estas especies se han concentrado en ciertas zonas del planeta constituyendo los YACIMIENTOS MINERALES. Estos yacimientos pueden contener uno o más metales al estado de diferentes especies mineralógicas, las que a su vez, se encuentran físicamente asociadas a especies sin valor denominadas GANGA.(Depósito ($) << Yacimiento ($)) Dentro del área cobre, las especies mas comunes y de interés económico del área sulfuros son: 1. 2. 3. 4.

El El El El

sulfuro, Cu2S corresponde mineralógicamente a la CALCOCINA. sulfuro, CuS corresponde mineralógicamente a la COVELINA. sulfuro de cobre y fierro, Cu5FeS4 corresponde a la especie Bornita. sulfuro de cobre y hierro, CuFeS2., es la CALCOPIRITA.

Una de las subdivisiones mas comunes de minerales es el de separar si son origen de metales o si se usarán como tales, es decir como minerales dado que su propiedad interesante la tiene como tal, en ese caso se llamarán Minerales Industriales.

Los minerales metálicos o no-metálicos tienen, generalmente, leyes muy bajas que no permiten utilizar directamente las tecnologías establecidas para la obtención de los metales. Es entonces, necesario recurrir a métodos que permitan aumentar el contenido de material útil de las menas. Los métodos de concentración de minerales están constituidos por un conjunto de etapas con objetivos determinados que permitan, en primer lugar, desintegrar la mena, liberar los distintos componentes mineralógicos y luego separarlos obteniendo a lo menos dos productos, uno de alta ley Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA del metal útil denominado CONCENTRADO y otro de muy baja ley denominado RELAVE o COLAS. Se denomina ROCA al material duro que forma la corteza terrestre y que está compuesta de uno o más minerales. El 99,5 % de las rocas están constituidas por sólo 12 elementos: oxígeno, silicio, aluminio, hierro, calcio, potasio, magnesio, titanio, fósforo, hidrógeno, carbono y manganeso. Los elementos restantes comprenden todas las substancias útiles y algunas preciosas, tales como, cobre, plomo, zinc, estaño, níquel, plata, oro y platino, que constituyen sólo el 0,5 % del total. Las especies mineralógicas y la ganga constituyen la materia prima para la extracción del metal. Este material recibe el nombre de MENA y en ocasiones también se lo designa por MINERAL. El contenido metálico de la mena se denomina LEY y se lo expresa en porcentaje. Así, por ejemplo, una mena de cobre con ley de 1,2 % significa que 100 gramos de mineral contienen 1,2 gramos de cobre, sin importar la o las especies químicas que lo contienen. La ley de una mena se determina mediante un ANÁLISIS QUÍMICO CUANTITATIVO. La caracterización completa de una mena comprende un ANALISIS MINERALOGICO, que identifica las especies mineralógicas presentes, y un ANALISIS QUIMICO que cuantifica el contenido metálico. LIBERACION Las especies mineralógicas se encuentran siempre asociados a la ganga formando mezclas que reciben el nombre de diseminaciones. Se dice que una diseminación es fina cuando los componentes de la mezcla son muy finos. En las figuras se muestran diversas diseminaciones de una especie en su ganga.

Se ilustran distribuciones llamadas Vetiformes (vetas o vetillas), de Diseminación Media o Gruesa y de Diseminación Fina ( menores o en rango a 200 mallas). Ambas últimas son parte de la distribución llamada “Porfidos” o distribución porfídica o porfirica, que caracteriza que la especie de valor está finamente distribuida en una matriz que la contiene. Esto solo fue enfrentado con un criterio económico por un ingeniero de la Kenecott Copper Co llamado Daniel K Jacking en 1918. El conocimiento de la forma y grado de diseminación es de importancia primordial en el procedimiento de concentración. Este dato indicará el tamaño a que deberá ser molido el mineral para que las especies mineralógicas sean LIBERADAS, esto es, para que cada partícula contenga solamente especie mineralógica o ganga. La liberación es el requisito fundamental para aplicar un método físico de concentración. La liberación de las especies mineralógicas se efectúa mediante una operación denominada REDUCCION DE TAMAÑO. La reducción de tamaño se aplica a materiales de distintos tamaños, de acuerdo a como llegue de la mina, el que puede tener tamaños de hasta un metro. Ingeniería Civil Minas

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Como los problemas que se encuentran al reducir el tamaño de partículas grandes o pequeñas son diferentes, y los equipos utilizados son también distintos, la operación se divide en dos grandes etapas. La reducción de tamaño de partículas muy grandes, desde 1 metro a 1 centímetro, se denomina TRITURACION 0 CHANCADO, y aquella en rangos menores MOLIENDA. Cada etapa se subdivide, a su vez, en dos o tres sub-etapas. La Tabla siguiente da una idea de los rangos de tamaño, consumo de energía y equipos utilizados en cada una de ellas.

En las plantas de concentración, las etapas de trituración y molienda se establecen en forma de CIRCUITOS de reducción de tamaño. La trituración se efectúa principalmente por la compresión de las partículas de roca entre dos superficies metálicas que se acercan y alejan en forma de una oscilación.


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Ya en el campo general de la trituración, las posibilidades son múltiples y variadas, todas ellas y sus variaciones son producto de la adecuación energética del proceso de reducción, como se apreció en la tabla anterior, el consumo de energía para hacer la reducción de los diversos equipos es muy diferente entre ellos. Las nuevas plantas han considerado esa indicación para seleccionar el equipo que mejor lo hace en un determinado rango de reducción La molienda se lleva a cabo por el impacto sufrido por las partículas de mineral con bolas de acero que llenan el molino en un rango entre 38 a 45 % (Dependiendo del diámetro del trunion…). El mineral mezclado con agua llena los intersticios entre las bolas y reciben los impactos que producen las bolas al rotar el molino. Para lograr estos rangos, es necesario “moler” la roca mineralizada (Mena), lo que se logrará en la etapa de molienda, esta puede ser realizada con molinos de diferentes características, tamaños y formas que generan procesos con diversas eficiencias energéticas expresadas por consumos específicos de energía CEE (Kwhr/ton) Posibles Estrategias de Plantas de Reducción de Tamaño hasta Molienda Considerando el alto costo de la operación de reducción de tamaño, debido principalmente al gran consumo de energía, una operación eficiente requiere evitar que las partículas de mineral sean reducidas en tamaño más allá de lo necesario. Esto se consigue retirándolas oportunamente del circuito mediante un CLASIFICADOR. Este equipo separa las partículas según su tamaño, entregando un material grueso denominado DESCARGA y un material fino llamado REBALSE. Los clasificadores se colocan inmediatamente después de las trituradoras o de los molinos; reciben el material triturado o molido, lo clasifican retornando al molino la descarga y enviando el rebalse al próximo proceso.


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Existen varios tipos de clasificadores, pero los más usados en la industria minera son los HARNEROS para los circuitos de trituración y los HIDROCICLONES para los circuitos de molienda El clasificador ciclón y su entrada y salidas de pulpa caracterizadas con granulometrías de finos y gruesos.

El movimiento turbulento del torbellino del ciclón ha realizado la separación de materiales en su interior de modo tal que los gruesos se mueven en las cercanías de la pared interna del ciclón en un espiral descendente y los finos han sido entrampados Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA por un espiral que sube o asciende cercano al eje de simetría del ciclón, rico en agua, El espiral descendente, con sólidos altos, aun conlleva algo de agua al flujo de descarga, esa agua que sale por el lado de los gruesos, es la principal culpable que finos, que se detectan mas cercanos a fuerzas de arrastre que a fuerzas del tipo centrifuga-centrípeta, salgan hacia la descarga del equipo re-direccionándose a los gruesos que reingresan al Molino ocasionando problemas de sobre molienda de finos llamadas lamas y así un consumo de energía excesivo. Los finos que salen, por el arrastre del agua, hacia los gruesos, reciben el nombre de By Pass o cortocircuitados y esta des-Clasificación puede llegar a ser tan grande como un 35 – 45% lo que causa fuerte daño operacional por un exceso de finos y fuerte daño energético por lo costoso de la sobre molienda de finos a lamas innecesarias. Estos conceptos serán revisados mas adelante en el capitulo de clasificación. 1.2 Conceptos de Evaluación del Proceso de Molienda – Clasificación La forma como un proceso de molienda clasificación se evalúa para saber de sus resultados es por dos caminos: uno de ellos es la energía consumida por el tonelaje tratado cuando el molino opera en su estado estacionario (no en partidas ni en detenciones), el valor es el conocido WIo (que se lee como Work Index operacional), y se expresa en kwhr/ton en el sistema de molienda- clasificación cuando el molino está produciendo granulometrías de producto similares. Una operación con similar tratamiento y similar producto con menor WIo significará que: a.- El mineral es más blando o mejor tronado o b.- El sistema de molienda-clasificación es más eficiente que el de WI o mas alto. La forma más moderna y eficaz de evaluar la eficiencia de molienda del sistema es conocer su “función selección específica”, SiE, expresada en las ton/kwhr. Que indica la energía gastada en cada malla (i), para la reducción de tamaño, es un análisis poblacional de cada participante del molino y no un análisis macro de la energía como un todo al molino, incluyendo bolas y todos los participantes del molino. Este concepto se analizará para estos molinos en un segundo nivel de curso. El segundo es conocer la eficiencia de clasificación, que representa la manera como el clasificador hidrociclón clasifica la pulpa desde el molino y cuanta le retorna al molino innecesariamente dado que es fino en la forma de un By Pass (Corto circuito de finos). Cuanto mayor es la fracción By Pass, más ineficiente es la clasificación y en consecuencia más ineficiente es el molino y más ineficiente es el sistema molienda clasificación.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Para todos estos cálculos es necesario que el molino y el sistema completo sea adecuadamente muestreado a modo de construir un balance de masas que sea coherente, que cuadre, asociado a las granulometrías. Para ello debe ser tomado muestras de cada flujo del sistema Molienda-Clasificación las que con un adecuado software serán balanceadas hasta la condición de minimizar la diferencia al cuadrado de errores entre los nuevos valores propuestos por el ajuste y los valores medidos en la toma de muestras. El objetivo del muestreo es tener una cantidad de muestra representativa que pueda ser llevada a análisis granulométrico. Elementos a considerar en la toma de muestra: Muestreo de Correa Lo usual en correa es medir la velocidad de la correa, en mts/segundo, y definir un lugar seguro donde tomar y vaciar un metro lineal de correa. Una vez que se tiene el material desde un tambor o similar deberá ser homogenizado por homogenizadores mecánicos o por traspaleo a formar un cono, las técnicas de ello, dependiendo de la fineza de la alimentación pueden ser cono y cuarteo, muestreo incremental, separadores de rifles, separadores cuadráticos, etc. La mayoría de estos equipos de muestreo se encuentran en los laboratorios metalúrgicos de planta y metalurgia. a.- Cono y cuarteo: Consiste en traspalear para la formación de un cono homogéneo, aplastar su cúspide y separar en cuatro, tomar cuartos separados y rechazar los cuartos encontrados, repetir hasta obtener un par de cuartos que representen la masa de muestra adecuada para el análisis granulométrico esperado:

Tras etapas sucesivas:


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b.- Cortador de Rifles: Consiste en un recipiente en forma de V que tiene en sus costados una serie de canales o chutes que descargan alternativamente en 2 bandejas ubicadas en ambos lados del cortador. El material es vaciado en la parte superior y al pasar por el equipo se divide en 2 fracciones de aproximadamente igual tamaño.

Cortes sucesivos van alternando el balde a obtener y/a Rechazar hasta quedarse con la cantidad de muestra necesaria.

c.- Reductor Binomial: Similar al cuarteador de Rifles, las primeras 4 separaciones se transforman en un 16 avo del total, el corte se repita tantas veces como sea necesario para el peso muestra requerido.


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Cualquiera sea el tipo de muestreador en general debe cumplir las siguientes condiciones:    

Debe tomar la corriente completa de material en cada punto de la trayectoria y debe pasar a través de toda la corriente. Debe tener lados paralelos y moverse en ángulo recto a la corriente de material. La abertura debe tener un ancho por lo menos de 4 veces mayor que la partícula más grande del material a muestrear. La velocidad a través de la corriente debe ser constante y de una magnitud tal que altere lo menos posible el flujo de material.

Cortadores de Pulpa: Una de las condiciones de tomar muestras en corrientes de pulpa es la calidad de la muestra, en general se choca con más de algún detalle que atenta contra la calidad, estos pueden ser: 1.- El punto de obtención de la muestra nunca fue diseñado para ello y solo opera ahí por necesidad. 2.- Por la razón anterior, el punto de toma de muestra podría ser riesgoso para la seguridad del operador que la toma y por su seguridad, la calidad de muestra se desmejora. 3.- Los cortadores de muestra no están diseñados para el flujo que muestrean, generalmente excesivo, y la calidad de muestra se desmejora. No se ha incentivado la colocación de muestreadores automáticos en las plantas modernas. El cortador Manual mas usado en el muestreo de pulpas es el llamado tipo “Pico de Loro” que consiste en un contenedor de diversa capacidad con una hoja muestreadora Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA (pico) que la recorre desde el inicio hasta el fondo y que es quien debe “cortar” el flujo de pulpa desde su inicio hasta su final, comenzando vacío y terminando lleno, evitando rebalses. Tendrá una varilla de acero (Tubo) que permita a su operador realizar el corte desde un lugar seguro y tener la operatividad de hacerlo bien.

El paso a continuación del cortador de pulpa es la medición de la densidad de pulpa por medio de su lectura en el dial adecuado de la Balanza Marcy La balanza Marcy es una balanza de resorte con un dial que muestra el peso de un recipiente con una capacidad de 1000 cm3 de una pulpa, de modo que el dial entrega directamente la densidad de la pulpa (g/cm 3). El dial tiene varias escalas para entregar el % de sólidos en peso para sólidos con diferentes densidades. Para abarcar mediciones de % de sólido en pulpas con sólidos de densidades muy diferentes, la balanza cuenta con varios diales intercambiables. La importancia y la flexibilidad de la Marcy es desde la lectura de densidad de pulpa, el % de sólidos (en peso) hasta el uso de ella para la medición de un % bajo malla de control, procedimiento llamado “Sizeing Rápido” y también evaluar el sistema Molienda Clasificación con la estimación de carga circulante del sistema al tener los %sólidos de cada flujo del clasificador o al tener las mallas acumuladas de cada flujo. a.- Medición de Sizing Rápido en la Malla de Control: La estimación del % bajo la malla de control en un flujo del sistema de MoliendaClasificación puede realizarse por los siguientes pasos: 1. Tome una muestra de pulpa de calidad adecuada al flujo en análisis. 2. Vacíe el contenido del contenedor a una cubeta de Marcy, evite que parte de la muestra se segregue en el contenedor de muestreo, evite que la cubeta Marcy rebalse finos al rellenar conchos de pulpa sobre ella. Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA 3. Pese el contenido en la Marcy en la escala mas alejada, en esta escala solo lee peso del litro de pulpa bien muestreada. Anote su medición como M1. 4. Vacíe lentamente la pulpa sobre la Malla de control que emplea la concentradora, por ejemplo la malla 100 o la malla 65 o la malla 200 según el proceso que evalúa, agregue agua hasta pasar todos los finos sobre la malla y que permanezca sobre ella solo el material sobre malla. 5. Con el contenedor de Marcy limpio, vacíe cuidadosamente el material sobre malla y enrase el contenedor con agua limpia hasta el llenado total de el, que corresponde a un litro. 6. Pese, nuevamente en la escala externa de la marcy, el contenedor con la nueva condición de tener ahora solo “los gruesos”, anote esta nueva medición como M2. 7. Calcule el % bajo Malla de control haciendo la diferencia porcentual de la pérdida de peso que significó eliminar los finos de la muestra: % Bajo Malla de Control = 100* ( M1 - M2)/ M1 Ejemplo: Peso inicial 1260 grs (M1) Peso tras lavado sobre malla 65 : 1105 grs (M2) % Bajo Malla 65 = 100*( 1260 – 1105) / 1260 = 12.30% Bajo 65# En muchas concentradoras este cálculo se encuentra tabulado para diversos % de sólidos y solo hay que leerlo en tablas de doble entrada en que uno de los ejes es el % sólidos de inicio y el otro eje es el % de sólidos después de lavado, la intersección entre ellos indicará el valor de bajo malla de control o su complemento, 100-% bajo, para indicar el % sobre malla. b.1.- Cálculo de la fracción de sólidos en base a las densidades: Si aceptamos que el peso de la pulpa (Pp) es igual al peso del agua (Pa) mas el peso del mineral (Pm) tenemos:


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b.2.- Cálculo de la densidad de pulpa en función de la fracción de sólidos:

b.3.- Cálculo de la Carga Circulante por Granulometrias Acumuladas Hay otro método más exacto para calcular la carga circulante en un circuito de molienda, que utiliza el análisis granulométrico. Para aplicarlo se hacen análisis de mallas de control o otras significativas de los tres flujos del ciclón: Alimentación, Rebalse y Descarga y se calculan luego los porcentajes acumulativos en varias mallas.

A RD Aa  Rr  Dd A * a  d   R * r  d  A * a  d  R r  d  A * a  d  A * r  d   A * a  d  A r  a  D r  d  _  r  d  CC    A * a  d  A * a  d  a  d  R r  d  r  d  Ejemplo. Los análisis de mallas de las tres muestras son los siguientes: Alimentación Ciclón Malla

Rebase Ciclón

Descarga Ciclón

% Parcial % Acum. % Parcial % Acum. % Parcial % Acum.

48

42,3

65

15,3

57,6

6,6

7,8

18,2

73,9

9,5

67,1

9,4

17,2

9,6

83,5

100 Ingeniería Civil Minas

1,2

55,7

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Alimentación Ciclón Malla

Rebase Ciclón

Descarga Ciclón

% Parcial % Acum. % Parcial % Acum. % Parcial % Acum.

150

5,7

72,8

10,2

27,4

4,2

87,7

200

6,1

78,9

12,4

39,8

4,1

91,8

-200

21,1

100,0

60,2

100,0

8,2

100,0

CC 

r  a   7,8  57,6  3,06 a  d  57,6  73,9

El promedio de la relación de carga circulante es 3,04 Si el tonelaje diario de alimentación al molino es de 200 toneladas, el tonelaje de arenas es de 608 toneladas 1.3 Configuración de Plantas de Molienda Convencional En el transcurso del tiempo se ha configurado diversos tipos de elementos que participan de la Planta de Molienda Convencional, todas ellas aguas debajo de etapas de chancado que ojala siempre puedan ser el su etapa final operando en circuito cerrado con harneros que tengan abertura similar al setting que se desea para el chancador terciario, esto garantizará que la fracción gruesa asociada al setting no participe en molienda con un mejor comportamiento de la carga de bolas que se ha especificado. Si la abertura del harnero es similar o igual a la abertura del setting esta condición garantiza que la carga recirculada de gruesos al chancador SH está en el rango de 12% a 15% de la alimentación, lo que no es ninguna recarga al sistema de chancado. El concepto de diseño está basado en la repartición de consumos específicos de energía y la cierta especialización que ciertos equipos tienen en rangos indicados. Por ejemplo un molino de barras tiene un bajo consumo por la baja razón de reducción que se le “asignan y porque su tarea es solo eliminar gruesos y preparar la mejor alimentación al molino de bolas” que lo sigue. Las configuraciones se dividen en: 1.- Molinos Unitarios 1.1.- Circuito Cerrado Directo (Colón, Unitario Colón) 1.2.- Circuito Cerrado Inverso (M.U.And) 2.- Conf. Barras – Bolas 2.1.- Circuitos Barras – 1 Bolas (Chuqui A-1, Salvador M50,El Soldado) 2.2.- Circuitos Barras – 2 Bolas (Chuqui A-0, Salvador, El Soldado) 2.3.- Circuitos Barras – 3 Bolas (Andina)


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Configuración de Circuito de Molienda Cerrado Inverso, proponer si la fracción producto en la alimentación es sobre un 20% por provenir de etapas de molienda homogenizadoras o de chancado tipo rodillos con alto % de finos.

Etapa de Molienda completa de 1 M.Barras y 1 Molino de bolas, solo el segundo produce finos y tiene el mayor consumo de energía.


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Etapa de Molienda completa de 1 M.Barras y 2 Molinos de bolas, solo la segunda etapa producirá finos y tiene el mayor consumo de energía.


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Todas estas configuraciones pueden ser simuladas, previo ser sintonizadas o ajustadas en sus parámetros de diseño, de operación y estimaciones de ruptura y función selección por herramientas comprendidas por el software “Moly Cop Tools” en planillas Excel. En las configuraciones donde 1 molino alimenta a 2 o mas molinos de bolas se presenta el problema de distribución y en el M. Barras se presenta el problema de transporte de pulpa en el molino, hecho que está condicionado por el “N° de Flujo” asociado al diámetro del molino, entre otras cosas.-


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CAPÍTULO II Relaciones Generales Tamaño-Energía

Los consumos de energía, expresados en la forma de KwHr/Ton, cuando la etapa ya está en el área de molienda, fácilmente duplican – triplican el consumo en trituración y la eficiencia de energía realmente dedicada a reducción es bajísima, (10% como Máximo). Esta condición hace que sea indispensable el conocer algunas formas y/o modelos que representen la energía gastada y el rango de reducción que ello involucró.


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CAPÍTULO III Conceptos Generales de Molienda

3.1 Antecedentes Generales La Molienda es una de las operaciones de Conminución o reducción de tamaños, a la cual son sometidos los minerales para su beneficio posterior. La Conminución se realiza mediante la aplicación de fuerzas mecánicas externas, producidas por medios manuales o mediante maquinarias, sin considerar el grado de reducción a que es sometida una mena, es decir, no hace distinción entre chancado, trituración o molienda. La operación de desintegración de las distintas rocas y menas puede realizarse de 8 o 9 maneras diferentes, pero comúnmente sólo se emplean 5 en las máquinas de reducción de tamaños. 1. 2. 3. 4. 5.

Aplastamiento o Compresión Percusión o Impacto Cizalle Flexión Abrasión - Fricción


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA En la mayoría de las maquinas actuales, estas fuerzas entran en distintas combinaciones, así por ejemplo: La compresión con la flexión o la compresión con la fricción, o la percusión con la fricción, u otras combinaciones La aplicación racional de uno u otro método de funcionamiento queda determinada en función de las propiedades físicas del material y las características del proceso a que se someterán las menas posteriormente. Por ejemplo: en el quebrantamiento de rocas duras y resistentes para obtener un material menudo, conviene la compresión; para obtener un material granulado de menos 5 mm, conviene que se combinen los esfuerzos de compresión con el desgaste por fricción. En la desintegración de las rocas frágiles, se recomienda la aplicación del cizallamiento en lugar de la compresión, con lo cual se reduce la formación de polvos. El objetivo de la Conminución es la reducción de tamaños; esto se consigue mediante máquinas llamadas chancadoras, trituradores y molinos. Los primeros reducen los tamaños mayores o medianos, los segundos se emplean para obtener tamaños intermedios y los terceros para la pulverización fina de los tamaños medios. MECANISMOS DE FRACTURA Para intentar entender los mecanismos fundamentales por lo que se fracturan las partículas de mineral, en el transcurso de muchos años diversos investigadores han intentado aplicar los conceptos de la "física y mecánica de la fractura" como se emplean en la ciencia de los materiales y en la mecánica de las rocas. Las partículas de mineral son heterogéneas, tienen normalmente fallas tanto a macro como a micro escala, y no siempre se comportan como materiales frágiles. Excepto en tamaños muy pequeños, una partícula de mineral puede considerarse como un material frágil; es decir, la tensión es proporcional a la fuerza aplicada en aquel punto donde ocurre la fractura. Griffith observó que bajo tensión, la presencia de fallas o grietas en un material conduciría a una concentración de fuerzas en un sólido. El trabajo de Griffith ha formado la base para la mayoría de los trabajos subsecuentes. Todo material cuenta con un esfuerzo máximo de tensión que puede soportar sin romperse y está dado por la siguiente ecuación:

P

M



Y a

Donde: Pm Y

: Esfuerzo de tensión máxima. : Módulo de Young. ‫ﻻ‬ : Energía superficial sobre el área. a : Distancia interatómica. El mecanismo de la fractura es el siguiente: Cuando la energía de deformación en la punta de la grieta es lo suficientemente alta, implica que los enlaces químicos en la punta se rompan y la grieta se propaga produciendo la fractura del material.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA La grieta no necesita de una fuerza sino de producir una tensión en ella de tal forma que produzca la suficiente energía para propagar la grieta. El esfuerzo al que se inicia la fractura es el equivalente para igualar la energía superficial de las dos nuevas superficies generadas por la fractura. Esta fuerza de tensión crítica, aplicada normal a la grieta, se conoce como fuerza de Griffith σG. El valor de este esfuerzo se calcula desde la siguiente ecuación:



G



2 * J

L

CR

Donde: γ = Módulo de Young. J = Energía libre superficial por unidad de área de la grieta. Lcr = Longitud de la grieta. EN CONMINUCION LAS PARTICULAS NORMALMENTE SE QUIEBRAN BAJO TENSION, Y NO BAJO COMPRESION Si analizamos la fractura de partículas a tamaños muy pequeños, veremos que la deformación plástica de la partícula llega a ser un factor, y cuando esta significativa deformación ocurre junto con la fractura, se alcanza lo que se denomina Límite de Moliendabilidad. Este límite significa el tamaño de partícula más pequeño que puede quebrarse y normalmente se confunde con el tamaño de partícula del producto más pequeño. Las formas en la cual una partícula se fractura depende de la naturaleza de ésta y de la forma de aplicar la fuerza. La fuerza en la partícula puede ser una de compresión, causando la fractura de la partícula en tensión. Esta fuerza podría aplicarse ya sea a velocidades rápidas o lentas y la velocidad afecta la naturaleza de la fractura. También puede ser una fuerza de corte, tal como la ejercida por dos partículas frotándose unas a otras. Como puede apreciarse muchos términos se utilizan para describir los mecanismos de fractura. Se distinguen tres tipos de mecanismos de fractura. Abrasión: Ocurre cuando la energía aplicada es insuficiente para causar fractura significativa en la partícula. En este caso, ocurren tensiones localizadas resultando fracturas en áreas superficiales pequeñas, dando como resultado una distribución de partículas de tamaño casi igual al original y partículas muy finas.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Compresión: Ocurre cuando la energía aplicada es suficiente de forma que pocas regiones se fracturan, produciéndose pocas partículas cuyos tamaños son relativamente iguales al original.

Impacto: Ocurre cuando la energía aplicada está sobre-excedida de aquella necesaria para fracturar la partícula. El resultado es un gran número de partículas con un amplio rango de tamaños.

La fractura por abrasión se produce normalmente por roce de las partículas entre si, o contra el medio de molienda, o contra el revestimiento generando 2 fracciones de tamaño. Una gruesa de tamaño similar al original y otra de tamaño muy fino con respecto al original. Este mecanismo se realiza a una velocidad más o menos constante dependiendo de la dureza de la mena y de las condiciones de la molienda, caracterizándose los minerales más blandos de ser más susceptibles a este mecanismo. Un resultado análogo al anterior es el decantillado, el que consiste en el desprendimiento de todas las esquinas y cantos de las partículas. Esto se debe a la aplicación de esfuerzos tangenciales, que no son suficientes para fracturar la partícula completa. Abrasión y decantillado suelen agruparse como un solo mecanismo llamado atricción. En el chancador ocurre una combinación de compresión y atricción generándose por lo tanto mucho material fino. Esfuerzo combinado de atricción y compresión en un chancador


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3.2 Conceptos Teóricos de Molienda La MOLIENDA tiene por objeto reducir los materiales a tamaños comprendidos entre algunos milímetros y algunas decenas de micrones. Según el tamaño del producto tenemos: -Molienda Gruesa, primaria o barras -Molienda media, secundaria o convencional -Molienda fina o Remolienda

2-3 mm --- 0,80 mm 0,5 mm --- 0,12 mm 0,1 mm --- 0.02 mm

Existen numerosos tipos de molinos, de los cuales los de bolas y barras son casi los únicos utilizados en las plantas de procesamiento de minerales. Dentro de ellos hay nuevas clasificaciones en la manera como está la pulpa en su interior y en la forma como evacua la pulpa producto existiendo la clasificación general de molinos del tipo Overflow o Rebalse y del Tipo Parrilla o Diafragma y entre ellos los de Evacuación por trunion (eje central) o por alguna parte del cilindro o manto. El molino de bolas mas grande se encuentra en Australia con un diámetro de 5.34 mts por 8.84 mts de largo (Recordar que los molinos SAG son del rango sobre 12 mts de diámetro).

3.2.1 Mecanismos de Molienda TIPOS DE REGIMENES DE FUNCIONAMIENTO DE UN MOLINO TRAYECTORIA DE PARTICULAS DENTRO DE UN MOLINO DE BOLAS La rotación del molino alrededor de su eje horizontal es lo que permite a éste, transmitir la energía necesaria para poner en movimiento las partículas. La transmisión que se lleva a cabo mediante la Interacción entre la estabilidad interna de la carga y de la fricción carga-cilindro. La fricción determina la cantidad de energía que puede ser transmitida a la carga. Se definen los siguientes tipos de movimientos de la carga cuando la velocidad aumenta, suponiendo que no hay deslizamiento cilindro - carga.

CASCADA

Las partículas situadas bajo una cierta curva están en contacto con el cilindro y rotan con este a la misma velocidad. Las partículas ubicadas sobre una curva ruedan unas con otras, en cascada, en dirección opuesta a las otras.


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Este evento de Cascada es símbolo de abrasión entre medios y mineral y tiene acción reductora, sobre todo de finos. El comportamiento principal muestra acción de: ABRASION Si la misma roca del modelo anterior se le comprime en forma tangencial, ésta disminuye de tamaño por medio de la abrasión o cizalla. Entonces, la diferencia de distribución de tamaños del producto se hace consecuentemente más pronunciada y presenta por este motivo partículas muy finas y gruesas dependiendo de la alimentación que se tenga. Esto se consigue haciendo trabajar el molino en régimen de cascada. CATARATA

Las partículas de la parte superior quedan libres y siguen trayectorias parabólicas. Estas caen libremente sobre las partículas que rotan, en un punto ideal denominado "pie de la carga".

Este evento de Catarata es símbolo de impacto entre medios y mineral y tiene fuerte acción reductora, sobre todo de gruesos con formación de finos. El comportamiento del mineral puede presentar las siguientes acciones: IMPACTO Si tomamos una esfera (Roca) sólida y la comprimimos axialmente, la esfera se rompe por impacto y la distribución de tamaños de los fragmentos resultantes tienen un módulo de distribución 1. Se recomienda este tipo de eventos para moliendas gruesas. Esto se consigue haciendo trabajar en régimen de cataratas al molino. CHIPPING Si a la Roca se le comprime en forma excéntrica, se romperá por un proceso llamado chipping, dando una distribución de tamaños característico, la cual posee dos cumbres o acumulaciones de diferentes tamaños. Los procesos comerciales de molienda combinan estos tres eventos durante su operación. EQUILIBRIO Las condiciones de caída parabólica se extienden a todas las partículas en contacto con el equilibrio. La trayectoria de estas partículas es un arco de cilindro seguido por una curva parabólica.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA SATURACION Las partículas caen en las paredes descubiertas del manto del cilindro. Este es un estado que debe evitarse en los molinos de bolas, ya que provocan un desgaste excesivo y aumentan las vibraciones por el impacto del medio de molienda sobre el revestimiento. PRECENTRIFUGADO Después de alcanzar la velocidad crítica, una capa de partículas se mantiene contra la pared por la acción de la fuerza centrífuga. El espesor de esta capa aumenta con la velocidad hasta que se tiene un estado centrífugo puro. En general en un molino de bolas se dan variadas formas de reducción de la roca, existe la presión de la carga en el manto, la abrasión entre las superficies y en especial la superficie de bolas que pueden ser muchos metros cuadrados, el impacto de bolas contra todos los participes, la atrición y relaciones sumadas entre ellas.

Caso de Movimiento de la Carga en SAG Movimiento de la Carga (Bolas, Rocas y Pulpa) en el interior de un molino SAG, se aprecia el “Riñón” de carga y la abrasión entre los participantes en el riñón, la cascada de bolas y mineral en la superficie y por último la “Catarata” de bolas y rocas impactando en el “pie” de riñón.-En cada sector se genera preferente un tipo de molienda mas que la otra, sea a la forma de impacto, de abrasión y/o de leve impacto en cascada.-


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MOLINO CENTRÍFUGO O EN CENTRIFUGACIÓN Todo el material se adhiere al cilindro. Esta condición se produce a una velocidad de rotación apreciablemente mayor que la velocidad crítica, alrededor de 18 a 20 % mayor que esta última. El concepto de centrifugación es el comportamiento de la carga cuando en el interior del molino se igualan el peso con la fuerza centrifuga, cuando mg = m(wr), como tal condición no considera el peso, a tal velocidad todas las partículas están tomadas a la superficie interna del molino y la molienda cesa.

V

CRÍTICA



76,6

D

i

Como no se desea llegar a esta condición, se impone como condición operativa que el molino opere a un 80% de esta velocidad (Caso de los molinos de bolas). Los molinos más rápidos de Chile son los de División Andina.

3.3 Equipos: Clasificación de los Molinos La clasificación de los molinos se hace en base a los siguientes factores: la clase de movimiento, el modo de funcionamiento, la forma del tambor, el sistema de molienda (seco, húmedo), el modo de descarga, la clase de los cuerpos trituradores, el ciclo de trabajo y el modo de accionamiento. Por la "clase de movimiento", los molinos se agrupan en giratorios o Molinos rotatorios y en giratorios oscilantes (vibratorios). Por el "modo de funcionamiento” en periódicos (Equipos Batch (Laboratorios ppalmente) y continuos. Por la "forma exterior" pueden dividirse en cilíndricos, cilíndrico-cónicos y cónicos. El molino cilíndrico, como lo dice el mismo nombre, consta de un tambor cilíndrico. Por su estructura y su longitud, el molino puede ser de una, dos o muchas cámaras. El molino cilindro-cónico, a diferencia del cilíndrico, tiene un diámetro variable en todo su largo. Por el lado de la entrada del material este molino tiene un cono corto, con un ángulo en el vértice; la parte media del molino sigue siendo cilíndrica. Ingeniería Civil Minas

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Los molinos en forma de cono truncado, o sea cónicos, tienen todas las cualidades de los cilindro cónicos y se distinguen por la sencillez de su construcción en comparación con estos últimos. Por el "modo de descargar el material", el factor fundamental que determina la estructura del molino, es el modo de descarga del material. Todos los sistemas existentes pueden reducirse a cinco categorías: a) Molino con descarga por parrillas. La idea de instalar la parrilla es para contener la carga de bolas dentro del molino y promover un nivel de descarga bastante bajo. Normalmente estos molinos trabajan con una carga circulante elevada. Estos molinos se acercan al 35 a 45 % del volumen de carga de bolas y son aproximadamente el 30 % de los molinos de bolas que se instalan.

b) Molino con descarga por rebalse. Descarga por un extremo por rebalse central. El rebalse es generalmente 5 - 10 cms más bajo que el nivel de la abertura de alimentación para proporcionar un gradiente de flujo. Este método es usado principalmente en molienda húmeda.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA c) Molino con descarga periférico. Descarga por el costado de un extremo del cilindro por medio de varios hoyos periféricos. Este método es usado principalmente para molienda seca. d) Molino con descarga periférico central. Descarga en el centro del cilindro, es decir, se alimenta desde ambos extremos del cilindro, obteniendo un menor tamaño de reducción y es usado para ambas moliendas (seca y húmeda). e) Molino con barrido por aire. Se usa en molinos Aerofall. El método de descarga tiene efectos en los costos de molienda. Apropiados para molienda seca cuando esta es una condición obligada el sistema de arrastre de carga para transporte y posterior clasificación esa través de un sistema cerrado de presión negativa (positiva) hacia filtros o ciclones neumáticos. Tipos de descarga de molinos de barras

Por la "clase de cuerpos trituradores", en molinos de bolas, de barras, autógenos y semi-autógenos.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA CARACTERISTICAS DE LOS MOLINOS EN CIRCUITO ABIERTO Y CERRADO DE MOLIENDA La molienda en circuito abierto puede llamarse también molienda con pasada simple del material, es decir, cuando todo el material es molido hasta la fineza deseada en un solo recorrido por el molino. Al molino se le exige entonces que no solamente muela el material sino que lo reduzca a un tamaño determinado, descargándolo sólo cuando satisface los requisitos de producto terminado. En estas condiciones, debe molerse hasta el final todo el material servido y por lo tanto la cantidad de material entrante debe corresponder exactamente a la cantidad del material saliente del molino. Con un exceso de carga, la molienda será demasiado grosera y la máquina podrá obstruirse; con defecto del carga, el material resultará más fino de lo necesario. La molienda en circuito cerrado puede definirse como un sistema de desintegración en el cual el equipo reductor trabaje conjuntamente con un clasificador. En este caso no se exige que el molino muela todo el material que se le suministra, en un solo recorrido. La selección de las partículas de finura exigida se realiza por el clasificador. Todo el material que sale del molino, el grueso y el fino, pasa por el clasificador que separa el material de suficiente finura y devuelve al molino aquel que no ha sido bastante reducido. El material devuelto por el clasificador para una segunda molienda, se denomina carga circulante. En la molienda en circuito abierto, la velocidad de entrega o aprovisionamiento está limitada por la capacidad del molino para moler las partículas más grandes, duras, tenaces o húmedas. Con el sistema actual de circuito cerrado, la capacidad de molienda de la máquina es aprovechada íntegramente, y además el molino no debe terminar al 100 % la molienda del material en un solo recorrido. La carga circulante puede ser varias veces mayor y se carga hasta el momento de obtener en el análisis de tamiz del material de salida, un 80 - 60 % o aún 50 % de la finura necesaria.

3.4.- REVESTIMIENTOS TIPOS DE REVESTIMIENTOS DE GOMA Y ACERO A fin de proteger un molino en todas sus superficies, que están en contacto con la pulpa, debe proveerse el mismo, con un revestimiento que absorba el desgaste, conserve la resistencia y se ajuste en su estructura. Debe ser principalmente un eficiente eslabón final en la transmisión de energía a la carga molturadora. Las distintas patentes existentes en el mercado internacional, difieren en la interpretación del diseño, calidad de goma o acero y sistema de sujeción, factores que tienen gran incidencia en la eficiencia de molienda, al ser consideradas con las variables en juego. Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA MATERIALES DE REVESTIMIENTO Los materiales de revestimiento más empleados son:

Refiriéndose en términos generales, los materiales dominantes son el acero y el caucho sintético que en algunos casos se complementan entre sí, (molinos de barras con cilindros revestidos en goma y tapas de acero) - Ninguno de estos dos materiales puede considerarse como el más adecuado para todas las aplicaciones. Para la elección del material de revestimiento es necesario considerar factores de todo orden, que a medida que se solicitan condiciones especiales de molienda o el mismo material a moler las requiera, se ajustan a cada caso en particular. Los revestimientos de goma tienen un campo de aplicación muy amplio y se adaptan a cualquier tipo o marca de molino existente en el mundo. Cabe hacer notar sus inmejorables resultados en la molienda de materiales cerámicas que no aceptan ninguna partícula de hierro, debido a que una de éstas puede producir decoloración en la cocción.

TIPOS DE CAUCHO Se clasifican en dos grupos: a) Cauchos naturales (crudo o bruto) b) Cauchos sintéticos

TIPOS DE ACERO EN REVESTIMIENTOS DE MOLINOS La aleación de acero usada para un tipo de molienda determinada no siempre cumple con los requisitos en forma rigurosa, debido a que su elección se debe a factores de tipo económico y condiciones especiales de desgaste (corrosión electroquímica). Las aleaciones usadas son: 1. Aleaciones resistentes al impacto y a la abrasión a) Aceros al manganeso b) Aleaciones cromo - molibdeno bajo carbono c) Aleaciones cromo - níquel alto carbono. Ingeniería Civil Minas

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Los aceros del: Grupo a) se emplean para piezas que están sometidas a una intensa acción de impacto y abrasión teniendo una alta capacidad de auto-endurecimiento. Son adecuados para el uso en moliendas secundaria. Grupo b) son esencialmente resistentes a la abrasión. Para condiciones donde se requiere un acero tenaz con determinadas cualidades de elasticidad. Grupo c) aleaciones cromo níquel de alto carbono. Se caracterizan por su sobresaliente resistencia a la abrasión bajo condiciones secas o húmedas. Debido a que particularmente no tienen alargamiento ni reducción de área, sólo pueden emplearse a moderadas condiciones de impacto. Al hacer uso de este tipo de aleaciones en revestimientos de molinos es fundamental un correcto y exacto montaje de corazas.

Información Clave en Operaciones de Molienda: • Tipo de molino – Proveedor • Numero de molinos en Planta • Diámetro de Molinos (Inter-Externo) • Largo del Cilindro (Inter-Externo) • Largo del Cono (Si lo hay) • Velocidad (Rpm o %Velocidad critica) • Mecanismo de Descarga (Over/Diafr) • Abertura de Parrillas • Dimensiones de Trommel / Harnero • Altura del Lifter/Configuración/Tipo • Diámetro del Trunnion • Llenado de Bolas (%Vol) • Llenado de Carga (Total) (%) • Densidad de la Mena • Dureza de la Mena (WI) • Potencia en Vacío/Con Carga/Sobre • Lectura (Rango) de Tonelaje Fresco • Presión de Descansos/Lubricación


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3.5.- Factores que Influyen en la Capacidad de Molienda GRADO DE LLENADO Existen estudios sistemáticos de la influencia del volumen de la carga dentro del molino. Según dichos estudios se concluye que para cada velocidad crítica existe un grado de llenado que proporciona la máxima transmisión de energía al molino. Para el siguiente rango de velocidad, utilizado en los molinos industriales: Molino de bolas: 65 - 85 % (mediana 75 %) Molino de barras: 60 - 80 % (mediana 70 %) Se tiene entonces, según Hukki, que el grado de llenado que proporciona la máxima potencia transmitida, varía de 45 a 55 %.(Tema de Revestimientos, Tipo, Gastado, Altura, Sólidos, etc…) El máximo teórico de energía empleada en un molino cilíndrico (rotatorio), a una velocidad constante, se obtiene cuando el volumen de carga de molienda (grado de llenado) es el 50 % del volumen del molino, lo que es inalcanzable por el diámetro del trunion donde entra/sale la pulpa de alimentación en un molino tipo overflow o diafragma. El volumen preferido es generalmente inferior al 45%, por condiciones de diseño, usándose para molinos de barras cifras entre 30 a 38% y para molinos de bolas cifras entre 38 a 43% del volumen interno lleno con bolas y carga mineral a la forma de pulpas tanto para evitar la descarga del medio de molienda por el trunion de descarga, como para compensar el esponjamiento de la carga causado por la presencia de material que se está moliendo. Cuando se requiere un molino de reducida capacidad, el volumen es aún más reducido. La carga de molienda puede ser evaluada más convenientemente emparejando el tope de la carga y midiendo verticalmente hacia abajo desde el cielo interior del molino a la superficie (tope) de la carga. Cuando esta distancia Q y el diámetro interior D del molino son conocidos, el cálculo del volumen relativo a la carga, mediante método geométricos es bastante complicado. Sin embargo, donde Q es menor que 3/4 D y Vp es mayor que 20, el volumen porcentual Vp o el porcentaje total del volumen del molino ocupado por la carga, puede encontrarse por medio de la siguiente ecuación:

El peso de la carga de molienda puede ser calculado del valor Vp y del diámetro interior D del molino y la longitud L, asumiendo que una carga de bolas pesa 290 Lbs, por pie cúbico. o bien aproximados 4,65 ton cada metro cúbico. En las siguientes ecuaciones, las dimensiones del molino deberán ser indicadas en pies y Vp en fracción y no en porcentaje Tonelaje Barras = Vp*(L/D)(D3) / 6.8 , para el caso de barras Tonelaje Bolas = Vp*(L/D)(D3) / 8.4 , para el caso de bolas Ingeniería Civil Minas

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Una carga de bolas de molienda contiene aproximadamente un 40 % de espacio vacío. El volumen de una carga de bolas, no es mayormente incrementada por las partículas de la mena, suponiendo que la mena contiene un suplemento normal de finos, y el tamaño de alimentación fresca F(80) por el que pasa el 80% en peso de la muestra, es menor que 1/5 del diámetro de las bolas más grandes. (Esto se dice que la pulpa mineral entra intersticial en la carga de bolas o que el nivel de pulpa es un 100% de la fracción de huecos de la carga de bolas).

VELOCIDAD DE ROTACION Si se considera una carga dada, la potencia consumida, aumenta casi linealmente con la velocidad y luego decrece a medida que se produce la centrifugación de la carga. La velocidad del molino debe ser menor que aquella en que toda la carga se pega a las paredes, es decir, la velocidad crítica, la cual viene dada por la expresión siguiente:

V

CRÍTICA



76,6

D

i

Donde Di = diámetro interior del molino, en pies Vcrítica = número de revoluciones por minuto, a velocidad crítica.(Limite máximo de velocidad, no deseable) Los molinos trabajan normalmente entre 50 y 90 % de la velocidad crítica.


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CAPÍTULO IV. VALORACIÓN DE LA ENERGÍA 4.1.- INTRODUCCIÓN Durante mucho tiempo, los procesos de conminución, han sido estudiados ampliamente en relación a la energía consumida, lo cual resulta lógico debido al hecho de que la energía representa una porción significativa de los costos de trituración. Por más de un siglo los fenómenos de reducción de tamaño se han abordado a través de la energía consumida por los equipos de trituración y molienda. Este punto de vista, en nuestra opinión, bastante correcto, está relacionado con el gran consumo energético que demanda la trituración y molienda. La práctica mundial ha demostrado que en las plantas de beneficio más de 50-70 % del consumo de energía corresponde a los procesos de preparación mecánica de minerales (Andreev, 1980). El talón de Aquiles de las máquinas de trituración y molienda es su alto consumo de energía. El equipamiento disponible para la trituración y molienda de minerales, carece de un principio organizador que le permita aprovechar al máximo la energía suministrada para el rompimiento de las partículas minerales. En la molienda, por ejemplo, la energía de rompimiento se imprime al material en forma desmedida, el grado de liberación necesario se alcanza a costa de una alta remolienda de uno o varios de los minerales participantes, de ahí también una de las causas de su baja eficiencia. Austin (1964) establece que la energía útil en el rompimiento del mineral no supera 3% de toda la energía consumida por el molino; por su parte, Beke (1964) determina que el consumo de energía en el rompimiento del mineral no sobrepasa 0,6 %. Con independencia de la diferencia en los resultados de ambos, debemos estar de acuerdo con que la energía que se consume en el rompimiento de la partícula mineral es sumamente pequeña. Las principales pérdidas de energía están dadas, en forma de calor y ruido, en las transmisiones del accionamiento del molino. Las restantes tienen lugar durante la fricción entre partículas sin su consecuente rompimiento, en el choque metal-metal en el interior del molino y en la evaporación de la humedad contenida en la mena. Además, ocurren pérdidas de energía cinética y potencial en las deformaciones plásticas y elásticas durante la molienda y en la propia emisión de ruido del molino. No obstante, estas transformaciones de la energía en calor, ruido u otro tipo, son inherentes a los procesos de preparación de mineral, incluso a veces necesarias, aunque en la mayoría de los casos no representan papel alguno en la reducción del tamaño de las partículas minerales. En los últimos 50 años muchas han sido las publicaciones referidas al tema de la relación energía–reducción de tamaño: Charles (1957), Schuhman (1960), Austin y Klimpel (1964), Harris (1966), Kapur y Fuesternau (1988), Tijonov (1984) y Coello (1993), entre otros. La mayoría de ellas se apoya en las denominadas leyes de trituración y molienda. Esto denota que la descripción matemática de la dependencia entre energía consumida en Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA la molienda y reducción de tamaño de los trozos minerales, está en la preferencia de los científicos e investigadores del tema.

Las primeras investigaciones referidas a esta temática (Rittinger, 1867; Kick, 1883), estuvieron dirigidas a una mejor comprensión de los fenómenos que tienen lugar en la molienda; estos investigadores defendieron la posición de explicar la molienda de minerales desde la relación energía-reducción de tamaño. En este sentido, la reducción del tamaño se estudió como función del área de la superficie de la partícula nuevamente formada, el volumen del material molido y el diámetro. La experimentación ha demostrado que en el proceso de reducción de tamaño, la energía consumida por unidad de masa es proporcional a las pequeñas variaciones del tamaño de las partículas, y que la energía requerida para lograr dichas variaciones es inversamente proporcional a una función dada del tamaño inicial del mineral (Lynch, 1977). El profesor Hukki (1975) sugiere que la relación energía consumida en la reducción de tamaño de la partícula es una combinación de las tres leyes planteándolo de la siguiente forma: 𝒅𝑬 =

𝒅𝒙 𝒙𝒊

Donde: E Es el consumo específico de energía X Es el diámetro de la partícula mineral i Exponente que depende del material Precisamente, las diferentes interpretaciones de Rittinger, Kick y Bond a esta correlación, dieron lugar a la propuesta de las leyes de trituración. Estamos ciertos también, que la molienda en general es un desafío importante cuando se trata de optimizar el consumo de energía, particularmente, la molienda SAG, cada vez más en descrédito llegando a plantearse la idea incluso de su ocaso en algunas publicaciones, hechos que ameritan hacer un estudio detallado de la molienda bajo el particular punto de vista del consumo específico de energía. A continuación, entregamos un análisis valorativo de los modelos matemáticos más convencionales que describen los fenómenos de trituración y molienda (leyes de trituración) y se expone un modelo íntegro-diferencial para la determinación de la energía consumida en la molienda de minerales multicomponentes. Se analizan los fundamentos bajos los cuales se estructuran las conocidas teorías de la molienda, para finalizar con una propuesta más genérica y aplicable a minerales multicomponentes.

4.2.- MODELO PARA VALORAR LA ENERGÍA EN LA MOLIENDA DE MINERALES MULTICOMPONENTES

Primera ley de la molienda o ley de A. Von Rittinger. En 1867 Alexander Von Rittinger postuló su teoría conocida como teoría superficial de desmenuzamiento estableciendo que la energía suministrada de forma eficaz durante Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA la molienda o conminución sería proporcional a la nueva superficie producida durante dicha operación. Consideremos una partícula caracterizada por una de sus dimensiones, x1 su volumen y superficie serán entonces: 𝑽 = 𝑲𝟏 𝒙𝟑𝟏

𝑺 = 𝑲𝟐 𝒙𝟐𝟐

Si asumimos que durante la operación de conminución, dicha partícula se transforma en N partículas idénticas de forma (Condición de isostenia) y caracterizadas por una de sus dimensiones, x2 . Su volumen y superficie serán:

Como la masa es la misma antes y después del desmenuzamiento y suponiendo que la densidad del material es ρ, se tiene: 𝒙𝟑

𝝆𝑲𝟏 𝒙𝟑𝟏 = 𝑵𝝆𝑲𝟏 𝒙𝟑𝟐 de donde: 𝑵 = 𝒙𝟏𝟑 𝟐

La superficie total del producto molido es:

𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟑𝟏 𝟐 𝑲 𝒙 = 𝑲 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟑𝟐 y consecuentemente, la superficie generada será: 𝑺𝒙 = 𝑵𝑺𝟏 =

𝑺𝒈 = 𝑺𝒙 − 𝑺 = 𝑲𝟐

𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟏 − 𝑲𝟐 𝒙𝟐𝟏 = 𝑲𝟐 𝒙𝟐𝟏 −𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟐

La energía consumida por unidad de volumen es: 𝒙 𝑲𝟐 𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟏 − 𝟏 𝑺 𝑲′ 𝑲𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒈 𝟐 𝑾 = 𝑲′ = 𝑲′ = − =𝑲 − 𝟑 𝑽 𝑲𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙 𝟏 𝑲𝟏 𝒙𝟏 y por unidad de masa: Ingeniería Civil Minas

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𝑬= Donde 𝒏 =

𝒙𝟏 𝒙𝟐

𝑾 𝑲 𝟏 𝟏 𝑲 𝒏−𝟏 = − = 𝝆 𝝆 𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝝆 𝒙𝟏

es la razón de reducción

Por lo tanto, la ley de Rittinger es posible caracterizarla por la siguiente ecuación: 𝑬= donde: E KR X2 X1

= = = =

𝒌𝒘𝒉 𝟏 𝟏 = 𝑲𝑹 − 𝑻 𝒙𝟐 𝒙𝟏

Consumo específico de Energía . Constante de Rittinger. Tamaño de las partículas en el producto. Tamaño de las partículas en la alimentación.

Segunda ley de la molienda o ley de Kick. La teoría de Kick (1885) o teoría de la conminución en volumen o peso se puede enunciar diciendo que el trabajo absorbido para producir cambios análogos en la configuración de dos partículas geométricamente semejantes y del mismo material sería proporcional a la reducción en volumen (o en masa) de dichas partículas. Según esta ley se necesita la misma cantidad de energía para desmenuzar un material desde 1 cm hasta 0.5 cm, que desde 10 micras hasta 5 micras, etc., por tanto, el x trabajo absorbido depende solamente de la relación de reducción nn = x 1 y es 2

independiente de la dimensión de partida x 1. Así, el desmenuzamiento de una partícula gruesa necesita la misma energía que una más pequeña, por tanto la energía puesta en juego por unidad de volumen es constante.

Sea p el número de “etapas de reducción”, que nos permiten pasar del tamaño x 1 al tamaño x2 y sea rR la razón de reducción entre dos de esas etapas.

Suponiendo la hipótesis de Kick de cambios análogos, la relación de reducción es constante: 𝒓𝑹 = Ingeniería Civil Minas

𝒙𝒊 = 𝑪𝒕𝒆. 𝒙𝒊+𝟏 Página 42 de 114


y la energía necesaria para el cambio de x i a xi+1 será: 𝑾𝒊 = 𝑲𝒙𝟑𝒊 La razón de reducción global n es: 𝒏= donde

𝒙 𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝒊 𝒙𝜹−𝟏 = ………….. …….. = 𝒓𝑹 𝒙 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝒊+𝟏 𝒙𝟐 𝜹=

Por tanto, la energía total

𝒍𝒐𝒈𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒓𝑹

𝑾𝑻 = 𝜹𝑾𝒊 = 𝑾𝒊 De otro modo dicho

Por lo tanto

𝜹

𝒍𝒐𝒈𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒓𝑹

𝑾𝑻 𝑾𝒊 = = 𝑪𝒕𝒆. = 𝑲 𝒍𝒐𝒈𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒓𝑹

𝒙𝟏 𝒙𝟐 Entonces, similarmente a lo hecho para la primera ley de la conminución, podemos escribir la ley de Kick de la siguiente manera: 𝒌𝒘𝒉 𝒙𝟏 𝑬 = 𝑲𝑲 𝒍𝒐𝒈 𝑻 𝒙𝟐 donde: E = Consumo específico de Energía. Kk = Constante de Kick. X2 = Tamaño de las partículas en el producto. X1 = Tamaño de las partículas en la alimentación. 𝑾𝑻 = 𝑲𝒍𝒐𝒈𝒏 = 𝑲𝒍𝒐𝒈

Tercera ley de la molienda o ley de F. Bond. F.C. Bond supone que la energía requerida para la conminución es intermedia entre las dadas por las fórmulas de Rittinger y de Kick. Propuso su ley en 1951 y supone que la energía abastecida es proporcional a la longitud de las nuevas grietas producidas. Para partículas de la misma forma, la energía abastecida es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño promedio de las partículas. La ley, deducida de forma empírica, es: 𝒌𝒘𝒉 𝟏 𝟏 𝒏−𝟏 𝑬= = 𝟐𝑲 − = 𝑲′ 𝑻 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 donde: E = Consumo específico de Energía. K y K’ = Constante. X2 = Tamaño de las partículas en el producto. X1 = Tamaño de las partículas en la alimentación. Con algunas transformaciones podemos escribir esta fórmula como sigue: Ingeniería Civil Minas

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𝑬 = 𝑲𝑩

𝟏 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟏

Bond define la condición para valorar KB a través del parámetro característico del mineral, o de su dureza, llamado Work Index o Wi: “Work Index o Índice de Trabajo: Es la cantidad de Energía usada por un mineral, mezcla o roca para reducir una tonelada del mismo desde un tamaño inicial técnica y teóricamente infinito hasta llevarlo a un tamaño de producto en que un 80% de él está bajo 100 micrones”. 𝑬 = 𝑲𝑩

𝟏 𝟏𝟎𝟎

𝟏

−

∞

= 𝑾𝒊

𝑲𝑩 = 𝟏𝟎𝑾𝒊 Cuando se aplica la anterior definición a la expresión de Bond se desprende que KB es la expresión KB=10Wi, después de ello Bond da un recetario de laboratorio para calcular este índice Wi adecuado a la reducción y al equipo que se usará para ello, es decir Chancador, Molino de Barras y Molino de Bolas. Por lo que la expresión queda de esta manera: 𝟏 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟏

𝑬 = 𝟏𝟎𝑾𝒊

Donde: X2 = P80 = Tamaño 80% del pasante del producto expresado en micrones X1 = F80 = Tamaño 80% del pasante de la alimentación expresado en micrones 𝐾𝑤 ℎ Wi = Índice de trabajo del material expresado en 𝑇𝑐 W

= EB

𝐾𝑤 ℎ

= Consumo de energía específica

𝑇𝑐

tamaño F80 a un tamaño final P80

, para reducir el material desde un

Ahora bien, si definimos la razón de reducción del 80% pasante (R r) como la razón entre las aberturas de los tamices por las cuales pasaría el 80% del material de alimentación y el 80% del producto, se tiene: 𝑹𝒓 =

𝑭𝟖𝟎 𝑷𝟖𝟎

𝑭𝟖𝟎 = 𝑹𝒓 ∗ 𝑷𝟖𝟎 Reemplazando tenemos: 𝑾 = 𝑾𝒊 ∗


𝟏𝟎 𝑷𝟖𝟎

−

𝟏𝟎 𝑹𝒓 ∗ 𝑷𝟖𝟎

=

𝟏𝟎𝑾𝒊 𝑷𝟖𝟎

𝟏−

𝟏 𝑹𝒓

= 𝑾𝒊

𝟏𝟎𝟎 𝑷𝟖𝟎

𝑹𝒓 − 𝟏 𝑹𝒓

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Esta última expresión, constituye la ecuación alternativa de la Ley de Bond. El parámetro WB depende tanto del material como del equipo de reducción utilizado incluyendo la malla corte empleada, para circuitos cerrados de molienda clasificación) el cual se debe determinar experimentalmente para cada aplicación. Bond consideró al formular su ecuación que no existen las rocas ideales ni iguales en forma y que la energía consumida es proporcional a la nueva grieta formada. La correlación empírica de Bond, con miles de pruebas en planta, le permitió sacar ventaja en relación a la controversia Kick-Rittinger, haciendo que su teoría funcionara tanto para chancado como para molienda con un error del orden del 20%. La teoría de Bond, se sustenta en tres principios fundamentales, los que a su vez se soportan en mecanismos observados durante la reducción de tamaños.

Principio Nº1 Toda partícula de un tamaño finito, debió llegar a él mediante la fractura de una partícula de tamaño mayor a ella. Por lo tanto, es posible aseverar que todo sistema de partículas tiene asociado un registro de energía correspondiente a toda la energía consumida para llevar a la partícula al tamaño actual. De otro modo dicho, solamente una partícula de tamaño infinito no tendría energía asociada a su tamaño, vale decir su registro es nulo o cero. Por lo tanto, el consumo de energía en la conminución resulta de la diferencia entre la energía asociada al producto y la correspondiente a la alimentación. 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 = − 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒂 𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒖𝒎𝒊𝒅𝒂 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏

Principio Nº2 El consumo de energía para la reducción de tamaño, es proporcional a la longitud de las nuevas grietas formadas. Como la longitud exterior de una grieta es proporcional a la raíz cuadrada de su superficie, es posible concluir que la energía consumida, es proporcional a la diferencia entre la raíz cuadrada de la superficie específica obtenida después y antes de la conminución. Vale decir: 𝑬𝑩 = 𝑪𝑩 ∗

𝑺𝑷 − 𝑺𝑭

Reemplazando la superficie específica en términos del promedio volumétrico superficial (d) y de los factores de forma superficial (∝𝑆 ) y volumétrico (∝𝑉 ) tenemos: 𝑬𝑩 = 𝑲𝑩 Donde: 𝑲𝑩 =


𝟏 𝒅𝑷

−

𝟏 𝒅𝑭

∝𝑺 𝑪 𝝆𝑺 ∝𝑽 𝑩

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA En su deducción, Bond no utilizó el promedio volumétrico superficial, sino que el tamaño 80% pasante (d80) que en el producto se denomina como P80 y en la alimentación F80 quedando como sigue: 𝟏

𝑬𝑩 = 𝑲𝑩

𝑷𝟖𝟎

𝟏

−

𝑭𝟖𝟎

Que corresponde a la expresión matemática enunciada anteriormente, donde quedó de manifiesto que KB es igual a 10Wi que constituyen las fórmulas alternativas de la ley de Bond. 𝟏

𝑬𝑩 = 𝟏𝟎𝑾𝒊

𝑷𝟖𝟎

𝟏

−

𝑭𝟖𝟎

Acorde a lo estipulado por F. Bond, el parámetro Wi (índice de trabajo) es una función del material, del equipo de reducción y de las condiciones operacionales. Por esta razón, este parámetro debe ser calculado bajo condiciones estándar de laboratorio.

Principio Nº3 La falla más débil del material, determina el esfuerzo de ruptura pero, la energía total consumida, está controlada por la distribución de fallas en todo en rango de tamaños involucrados, correspondiendo al promedio de ellas.

Teoría de Charles Experimentalmente, la relación entre la variación del diámetro de las partículas y la energía consumida es una función inversamente proporcional al diámetro de la partícula elevado a una potencia. De otro modo dicho, Las tres leyes de la molienda es posible resumirlas en una sola expresión, formulada por Charles, Holmes, Svensson y Munkes en 1957. En esta expresión se ha introducido otra constante en la relación exponencial entre la energía y la conminución. Esta expresión es la que algunos autores denominan como la cuarta ley de la molienda y viene expresada por:

𝑑𝐸 𝐾 =− 𝑖 𝑑𝑥 𝑥

Integrando tenemos:

𝑥2

𝐸= 𝒙𝟐

𝑬 = −𝑲 𝒙𝟏

𝑥1

−𝐾 𝑑𝑥 𝑥𝑖

(𝟏−𝒊)

𝒅𝒙 𝒙 −𝑲 𝟏 𝟏 𝟏 = −𝑲 ∗ = ∗ = 𝑲𝒄 (𝒊−𝟏) − (𝒊−𝟏) 𝒙𝒊 𝟏−𝒊 𝟏 − 𝒊 𝒙(𝒊−𝟏) 𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝑬=𝑲

𝟏 (𝒊−𝟏)

𝒙𝟐

−

𝟏 (𝒊−𝟏)

𝒙𝟏

Dónde: E = energía aplicada a una unidad de masa de material (Consumo específico);


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA x = diámetro de las partículas; K e i = constantes que dependen del material. En el caso de materiales frágiles como el cuarzo, la calcita, la fluorita, la esfalerita, etc. la relación para la energía parece ser satisfactoria y, tanto más, cuanto más pequeña es la dimensión de las partículas (Del orden de la decena de micras). Para i = 2, tenemos:

x2 1 2     1 K dx 1 x E   K  2 2  anteriormente  K  x   comolaKLey * de Rittinger,   R Esta es la expresión mencionada o la primera    1 2  x1 x  x2 x1 propone   en 1867.  xLa cual reiteramos, ley de la conminución, desarrollada que “la x1 energía necesaria para llevar a cabo la fragmentación es proporcional a la nueva superficie generada”. Para i= 1 se tiene:

x2 x dx E  K  2   Klnx  K K * ln x1 x x1

x x

1 2

Esta expresión es la que hemos enunciado en párrafos precedentes como la ley de Kick, considerada la segunda ley de la trituración, desarrollada en 1885. La cual propone que “la energía necesaria para llevar a cabo la fragmentación sólo depende de la relación de reducción, que se mantiene independiente del tamaño de la partícula original”. Para i=1.5 se tiene:  11.5   x2 dx  E  K   K  x  1  1.5  x1 x1.5  

K

x2

2 x0.5 x

 1 1   K B *   x1   x2

1

Esta es la expresión con que Bond define el consumo específico de energía y es ampliamente conocida como la tercera ley de la molienda la cual fue desarrollada en el año 1952. Sugiere que “el trabajo gastado por unidad de volumen o el peso es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño”, tal cual lo hemos mencionado anteriormente”. Estos modelos son las expresiones matemáticas consideradas como las leyes de trituración. Hukki detectó en 1961 que las leyes de trituración se habían aplicado a ciertos intervalos de trituración en función del tamaño del producto. El gráfico de la Figura Nº1, muestra la relación entre la energía suministrada y el tamaño de la partícula en conminución. Se puede visualizar que las tres leyes se aplican a determinados intervalos granulométricos, pero la Ley de Bond se aplicaría en el rango de tamaños de partícula que normalmente se desarrolla la operación de molienda de minerales. De todas ellas, la de mayor aplicación es la denominada 3ra. ley de Bond.


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En las leyes de trituración, tanto el tamaño inicial (x1) como el tamaño del producto final (x2), se definen como un diámetro de la clase de tamaño donde se retiene 20 % del mineral, o sea, un valor constante; en las condiciones reales, los materiales sometidos a la trituración/molienda y sus productos, contienen un amplio espectro de partículas de diferentes tamaño y forma, que caracteriza la composición granulométrica g(x1) y g(x2) para cada caso. En esencia, la teoría de Charles establece que (i) no es constante, sino que mas bien constituye un parámetro variable, que puede fluctuar para distintos materiales en el rango que va desde 1.32 a 2.4 dependiendo del equipo de conminución. La generalización de Charles permite simplificar considerablemente, el cálculo de la energía consumida, versus el tamaño de la partícula.

Modelo para valorar el consumo específico de energía en la molienda de minerales multicomponentes. Todos los modelos clásicos propuestos, consideran el material sometido a la molienda como un mineral monocomponente, el profesor Tijonov (1984) propone el siguiente modelo: ∞

𝑬=

𝜸(𝒙𝟐) 𝟎


∞

𝑬𝒊 (𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 )𝜸 𝒙𝟏 𝒅𝒑 𝒅𝒇 𝟎

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En realidad, la materia prima mineral tratada en las plantas de beneficio no es otra cosa que una mezcla de minerales útiles y estériles, o sea, como regla en el tratamiento participan al menos dos componentes, los cuales se diferencian entre sí en cuanto a las propiedades físicas y físico-mecánicas. Es archiconocido que incluso las propiedades físicas y físico-mecánicas pueden variar de manera sensible en menas de un mismo yacimiento. Por su esencia, las menas tanto metálicas como no metálicas, son heterogéneas en cuanto a su composición sustancial y, en consecuencia, en sus propiedades físicas y físico-mecánicas. La teoría de la molienda de los minerales multicomponentes, aparece dispersa en los trabajos de Holmes y Paching (1957), Fuesternau (1962), Tanaka (1966), Remenii (1974), Tovorov et al. (1981), Bilenko (1984, 2000), Kapur y Fuesternau (1988), Coello (1993), Coello y Tijonov (1996) y otros. El análisis crítico-valorativo de estos trabajos expuestos por Bilenko (1984) y Coello (1993), arrojan como conclusión que en la molienda de minerales multicomponentes, los minerales participantes en las mezclas minerales se muelen de acuerdo con sus propias regularidades individuales de forma independiente unos de otros, de manera tal, que cada componente sigue la misma regularidad sin importar el modo de molienda. Las investigaciones realizadas por el científico indio Kapur, le llevaron a dos importantes conclusiones: 1. el módulo de distribución se mantiene constante con independencia del modo de molienda; 2. la energía consumida en la molienda en bolas de mezclas minerales es proporcional a su proporción másica en las mezclas. Tales afirmaciones han sido corroboradas de una manera u otra por Fuesternau y Sullivan (1962), Bilenko (1984), Kapur y Fuesternau (1988), Coello (1993), Coello y Tijonov (1996) y Fuesternau y Venkatakamen (1998). Bilenko (1984) y más tarde Coello y Tijonov (1996), generalizando los trabajos anteriormente citados, enuncian el principio sobre la individualidad en la molienda de minerales multicomponentes con independencia del modo de molienda, excluyendo cualquier interacción entre ellos. Considerando los elementos expuestos más arriba, se puede suponer que la energía consumida por unidad de masa en un material hasta un módulo de tamaño, se mantiene constante con independencia del modo de molienda. Entonces, para una mena de varios componentes podemos afirmar que la energía requerida para la mezcla es: donde:

𝑬𝑴𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 = 𝒎𝟏 𝑬𝟏 + 𝒎𝟐 𝑬𝟐 + ⋯ . +𝒎𝒊−𝟏 𝑬𝒊−𝟏 + 𝒎𝒊 𝑬𝒊

EMezcla; E1 , E2 , Ei: Es la energía consumida en la molienda de la mezcla y por cada componente, expresado en kWh/t. m1 , m2, mi: Es la proporción másica en la mezcla de los componentes 1, 2 e i, unidades.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Sin embargo, como se ha señalado, es necesario reconsiderar que en las relaciones de tamaño energía tamaño de molienda P y F son consideradas constante. Por ello, x2 y x1 pueden ser sustituidas por sus correspondientes funciones de distribución de tamaño P y F. En la ecuación, E1, E2, Ei pueden ser sustituidas por cualquiera de las tres leyes de trituración. Para el caso de la ley de Bond, la ecuación toma la siguiente forma: 1

𝐸𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = 𝐾1

𝑃1

−

1 𝐹1

1

+ 𝐾2

𝑃2

−

1 𝐹2

1

+ 𝐾𝑖−1

𝑃𝑖−1

−

1 𝐹𝑖−1

+ 𝐾𝑖

1 𝑃𝑖

−

1 𝐹𝑖

Como en condiciones reales de molienda, F y P varían en un amplio espectro de tamaño, que puede ser caracterizado por sus respectivas funciones de distribución de tamaño γ(x1) y γ(x2), el consumo de energía en la molienda de un grano mineral desde un tamaño x1 hasta el x2, implica valorarlo por una función E con argumentos P y F para una u otra ley de trituración, elemento anteriormente propuesto por Tijonov (1984). Coello (1993) propone sustituir la ecuación de Tijonov por: ∞

𝑬 = 𝒎𝟏

∞

𝜸𝟏 (𝑷) 𝟎

∞

𝑬𝒊 (𝑭, 𝑷)𝜸𝟏

𝑭

𝒅𝒑 𝒅𝒇 + 𝒎𝟐

𝟎

∞

𝜸𝟐 (𝑷) 𝟎

∞

+ 𝒎𝒊

𝑬𝒊 (𝑭, 𝑷)𝜸𝟐

𝑭

𝒅𝒑 𝒅𝒇 + ⋯

𝟎

∞

𝜸𝒊 (𝑷) 𝟎

𝑬𝒊 (𝑭, 𝑷)𝜸𝟏

𝑭

𝒅𝒑 𝒅𝒇

𝟎

En la ecuación, F y P cambian un tanto su contenido; aquí F y P son magnitudes variables del tamaño del mineral inicial y el molido respectivamente; g(x 1) y g(x2), distribución diferencial parcial másica de las partículas de los productos inicial y final de la molienda; E (F,P), la energía consumida en la transformación de una unidad de masa desde una clase estrecha de tamaño de mineral inicial (x1 , x1 + df) hasta una clase estrecha de tamaño de mineral molido (x2 , x2 + dp). Para la ley de Bond:

𝐸1(𝐹,𝑃) = 𝐾1 𝐸2(𝐹,𝑃) = 𝐾2 𝐸𝑖(𝐹,𝑃) = 𝐾𝑖 K1=10W1, K2=10W2, Ki=10Wi

1 𝑃1 1 𝑃2 1 𝑃𝑖

− − −

1 𝐹1 1 𝐹2 1 𝐹𝑖

De acuerdo con el principio sobre la individualidad en la molienda de minerales multicomponentes, independientemente del modo de molienda, expuesto en los trabajos de Bilenko (1984), Bilenko (2000), Coello y Tijonov (1996), y corroborados en los informes de Fuesternau y Sullivan (1962), Holmes y Paching (1957), Tanaka Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA (1966), Kapur y Fuesternau (1988), Fuesternau y Venkatakamen (1998) y Coello (1993, 1998), entre otros, la expresión se puede generalizar en el modelo propuesto por Coello (1993): 𝑷 𝒎á𝒙

𝑛

𝐸𝑀𝑒𝑧𝑐 𝑙𝑎 =

𝑚𝑖 𝑖=1

𝑭 𝒎á𝒙

𝜸(𝑷) 𝟎

𝑬𝒊 (𝑭, 𝑷)𝜸 𝑭 𝒅𝒑 𝒅𝒇 𝑷

donde: i=1,2,3,...,n : cantidad de componentes en la mezcla. Este modelo no sólo permite determinar la energía consumida por cada componente de la mezcla mineral y la energía total consumida en su molienda, sino también la consumida en la transformación de cualquier clase con tamaño inicial x 1 (F) en una clase estrecha de tamaño x2 (P) para cada uno de los minerales participantes en la mezcla. Para mayor facilidad en los cálculos, es preferible sustituir las integrales por las correspondientes sumatorias. La siguiente expresión responde a una mena de dos componentes: 𝑛

𝐸𝑀𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = 𝑚1

𝑛

𝛾(𝑃1)𝑗 𝑗 =1

𝑛

𝐸(𝑖,𝑗 )𝑖 𝛾𝐹1𝑖 𝑖 =𝑗

+ 𝑚2

𝑛

𝛾(𝑃2)𝑗 𝑗 =1

𝐸(𝑖,𝑗 )𝑖 𝛾𝐹2𝑖 𝑖=𝑗

donde: γ(F)1 γ(P)1 γ(F)1 y γ(F)2 inicial. γ(P)1 y γ(P)2 molido. E(i,j)1 y E(i,j)2 componentes

= γ(l inicial)1 ∆l inicial ; γ(F)2= γ(l inicial)2 ∆l inicial. = γ(l molido)1 ∆l molido ; γ(P)2= γ(l molido)2 ∆l molido. : salida de la clase de tamaño i de los componentes 1 y 2 en la mezcla : salida de la clase de tamaño i de los componentes 1 y 2 en el producto : valor de la función E(l,P)1 y E(l,P)2 en la mitad de la clase finita i para los 1 y 2 de la mezcla, kWh/t.

La expresión permite calcular y analizar los flujos diferenciales de la energía consumida durante la transformación dimensional de las diferentes clases de tamaño de la mezcla inicial en las clases de tamaño del mineral molido de ambos componentes.


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Consumo de energía en multicomponentes Mineral 1

Mineral 2

Mineral 3

12 11

Kwh/T

10 9 8 7

6 10

15

20

minutos

25

30

35

Mediante el análisis de los cálculos por el modelo, se puede precisar la distribución de la energía consumida por cada componente. Los modelos clásicos para la descripción matemática de la relación energía consumidareducción dimensional, poseen limitaciones importantes para profundizar en el estudio de los minerales multicomponentes. Las adecuaciones realizadas al modelo propuesto por Tijonov y la ulterior sistematización y estructuración permitieron, apoyados en un laborioso aparato experimental, proponer un modelo mediante el cual se pueden evaluar los consumos energéticos en la molienda de minerales multicomponentes. Este modelo sienta las bases para futuras investigaciones sobre el tema, en aras de lograr una teoría que pueda explicar y predecir los complejos fenómenos que tienen lugar en la molienda de minerales multicomponentes. Tijonov (1984) propone el siguiente modelo:

Por otra parte, tanto los modelos clásicos como el modelo propuesto por el profesor Tijonov, consideran el material sometido a la molienda como un mineral monocomponente. En realidad, la materia prima mineral tratada en las plantas de beneficio no es otra cosa que una mezcla de minerales útiles y estériles, o sea, como regla en el tratamiento participan al menos dos componentes, los cuales se diferencian entre sí en cuanto a las propiedades físicas y físico-mecánicas. Es archiconocido que Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA incluso las propiedades físicas y físico-mecánicas pueden variar de manera sensible en menas de un mismo yacimiento. Por su esencia, las menas tanto metálicas como no metálicas, son heterogéneas en cuanto a su composición sustancial y, en consecuencia, en sus propiedades físicas y físico-mecánicas. La teoría de la molienda de los minerales multicomponentes, aparece dispersa en los trabajos de Holmes y Paching (1957), Fuesternau (1962), Tanaka (1966), Remenii (1974), Tovorov et al. (1981), Bilenko (1984, 2000), Kapur y Fuesternau (1988), Coello (1993), Coello y Tijonov (1996) y otros. El análisis crítico-valorativo de estos trabajos expuestos por Bilenko (1984) y Coello (1993), arrojan como conclusión que en la molienda de minerales multicomponentes, los minerales participantes en las mezclas minerales se muelen de acuerdo con sus propias regularidades individuales de forma independiente unos de otros, de manera tal, que cada componente sigue la misma regularidad sin importar el modo de molienda. Las investigaciones realizadas por el científico indio Kapur, le llevaron a dos importantes conclusiones: 1) el módulo de distribución se mantiene constante con independencia del modo de molienda; 2) la energía consumida en la molienda en bolas de mezclas minerales es proporcional a su proporción másica en las mezclas. Tales afirmaciones han sido corroboradas de una manera u otra por Fuesternau y Sullivan (1962), Bilenko (1984), Kapur y Fuesternau (1988), Coello (1993), Coello y Tijonov (1996) y Fuesternau y Venkatakamen (1998). Bilenko (1984) y más tarde Coello y Tijonov (1996), generalizando los trabajos anteriormente citados, enuncian el principio sobre la individualidad en la molienda de minerales multicomponentes con independencia del modo de molienda, excluyendo cualquier interacción entre ellos. Considerando los elementos expuestos más arriba, se puede suponer que la energía consumida por unidad de masa en un material hasta un módulo de tamaño, se mantiene constante con independencia del modo de molienda. Entonces, para una mena de dos componentes:

donde: Emezcla; E1 y E2 : energía consumida en la molienda de la mezcla y por cada componente, kWh/t. m1 m2 : proporción másica en la mezcla de los componentes 1 y 2, unidades. Sin embargo, como se ha señalado, es necesario reconsiderar que en las relaciones de tamaño energía/tamaño de molienda P80 y F80 son consideradas constante. Por ello, P80 y F80 pueden ser sustituidas por sus correspondientes funciones de distribución de tamaño.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA En la ecuación, E1 y E2 pueden ser sustituidas por cualquiera de las tres leyes de trituración. Para el caso de la ley de Bond, la ecuación toma la siguiente forma:

Como en condiciones reales de molienda, F1 y P1 varían en un amplio espectro de tamaño, que puede ser caracterizado por sus respectivas funciones de distribución de tamaño γ(f) y γ(p), el consumo de energía en la molienda de un grano mineral desde un tamaño F1 hasta el P1, implica valorarlo por una función E con argumentos P1 y F1 para una u otra ley de trituración, elemento anteriormente propuesto por Tijonov (1984). Coello (1993) propone sustituir la ecuación por:

En esta última ecuación, f y p cambian un tanto su contenido; aquí f y p son magnitudes variables del tamaño del mineral inicial y el molido respectivamente; g(f) y g(p), distribución diferencial parcial másica de las partículas de los productos inicial y final de la molienda; E (f,p), la energía consumida en la transformación de una unidad de masa desde una clase estrecha de tamaño de mineral inicial (f, f + df) hasta una clase estrecha de tamaño de mineral molido (p, p + dp). Según Jueto y Tijonov (1988), Jueto (1988) y Coello (1993), la función E (f, p) en las expresiones y aplicadas a las leyes de molienda enunciadas en párrafos precedentes quedaría, para la ley de Rittinger:

para la ley de Bond:


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K1=10W1 ; K2=10W2. De acuerdo con el principio sobre la individualidad en la molienda de minerales multicomponentes, independientemente del modo de molienda, expuesto en los trabajos de Bilenko (1984), Bilenko (2000), Coello y Tijonov (1996), y corroborados en los informes de Fuesternau y Sullivan (1962), Holmes y Paching (1957), Tanaka (1966), Kapur y Fuesternau (1988), Fuesternau y Venkatakamen (1998) y Coello (1993, 1998), entre otros, las expresiones se pueden generalizar en el modelo propuesto por Coello (1993):

donde: i=1,2,3,...,n : cantidad de componentes en la mezcla. Este modelo no sólo permite determinar la energía consumida por cada componente de la mezcla mineral y la energía total consumida en su molienda, sino también la consumida en la transformación de cualquier clase con tamaño inicial f en una clase estrecha de tamaño p para cada uno de los minerales participantes en la mezcla. Para mayor facilidad en los cálculos, es preferible sustituir las integrales por las correspondientes sumatorias. La siguiente expresión responde a una mena de dos componentes:

donde:

salida de la clase de tamaño i de los componentes 1 y 2 en la mezcla inicial. salida de la clase de tamaño i de los componentes 1 y 2 en el producto molido. Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA valor de la función E(l,p)1 y E(l,p)2 en la mitad de la clase finita i para los componentes 1 y 2 de la mezcla, kWh/t. La expresión permite calcular y analizar los flujos diferenciales de la energía consumida durante la transformación dimensional de las diferentes clases de tamaño de la mezcla inicial en las clases de tamaño del mineral molido de ambos componentes. Mediante el análisis de los cálculos por el modelo, se puede precisar la distribución de la energía consumida por cada componente. Los modelos clásicos para la descripción matemática de la relación energía consumidareducción dimensional, poseen limitaciones importantes para profundizar en el estudio de los minerales multicomponentes. Las adecuaciones realizadas al modelo propuesto por Tijonov y la ulterior sistematización y estructuración permitieron, apoyados en un laborioso aparato experimental, proponer un modelo mediante el cual se pueden evaluar los consumos energéticos en la molienda de minerales multicomponentes. Este modelo sienta las bases para futuras investigaciones sobre el tema, en aras de lograr una teoría que pueda explicar y predecir los complejos fenómenos que tienen lugar en la molienda de minerales multicomponentes. DETERMINACION DEL Wi El Wi se determina a través de ensayos de laboratorio, que son específicos para cada etapa (chancado, molienda de barras, molienda de bolas). Estos ensayos entregan los parámetros experimentales, respectivos de cada material, los que se utilizan en las ecuaciones respectivas, que se indican a continuación. Chancado:

Wi  2,59 * k c



Donde: Wi Kc ρs

s

= Índice de trabajo = Esfuerzo de impacto aplicado, necesario para fracturar el material [lbpie/ pulg espesor roca] = Gravedad específica del sólido.

Molienda de barras:

Wi 

6,2  1 0 , 625 0 , 23  P100 * G RP *   P80

  F 80  1

Donde: P100 = Abertura en micrones de malla que tiene un 100% pasante del producto. GRP = Índice de moliendabilidad del material en molino de barras [grs/rev]. Se define como la cantidad de material que es menor que un cierto tamaño de corte producido por revolución del molino. Molienda de bolas: Ingeniería Civil Minas

Wi 

4,45  1 0 ,82 0 , 23  P100 * G RP *  P 80 

  F 80  1

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Donde: P100 = Abertura en micrones de malla que tiene un 100% pasante del producto. GRP = Índice de moliendabilidad del material en molino de bolas [grs/rev]. Se define como la cantidad de material que es menor que un cierto tamaño de corte producido por revolución del molino.


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CAPÍTULO V. CLASIFICACIÓN Clasificación es la separación de partículas según su rapidez de asentamiento en un fluido (generalmente agua o aire). Los clasificadores normalmente generan 2 productos:



Corriente de respuesta positiva: Contiene las partículas de asentamiento más rápido, también es conocida como arenas, producto de descarga inferior o sobre-tamaño.



Corriente de respuesta negativa: contiene las partículas de asentamiento lento, también es conocida como derrame, lamas o sub-tamaño.

A pesar de que la clasificación es una operación desarrollada para la separación de partículas de acuerdo con su tamaño, el efecto que tiene la diferencia de densidad entre las diferentes especies involucradas y otros factores que influyen en el proceso, hacen que en algunos casos esta sea una operación más de selección que de clasificación, por lo tanto esta operación es aplicada en las siguientes situaciones: 

Separación de tamaños finos y gruesos, que no puede ser realizada por cribado por que son demasiado finos.



Efectuar una concentración de las partículas más pesadas y pequeñas de las más grandes y ligeras.



Dividir una distribución de tamaños de intervalo grande en varias fracciones.



Restringir la distribución de propiedades de las partículas que van a entrar a un proceso de concentración.



Controlar la molienda en un circuito cerrado.

La clasificación se define como “una técnica para evaluar el rendimiento (eficiencia) de un proceso”. Para realizar la clasificación se debe recurrir a separadores, los que se denominan:


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En general los procesos de clasificación son procesos probabilísticos, es decir, dependen de una conjugación de efectos de “n” variables para poder realizarse. En el caso del harneado, este se puede relacionar en términos de j variables, entre las que se pueden mencionar: x1 x2 x3 x4

= = = =

Tamaño de la partícula. Forma de la partícula. Abertura disponible. Enfrentar la superficie.

El efecto de la forma de la partícula es muy importante en el "tamaño crítico" ya que este corresponde a un tamaño muy cercano al tamaño de las aberturas. La probabilidad de que estás partículas sean clasificadas como sobretamaño o bajo tamaño dependerá principalmente de que la partícula se presenta a la abertura en la orientación adecuada.

Atrapamiento de partículas de tamaño crítico en las aberturas de un harnero.

5.1.- TIPOS DE HARNEROS Los harneros pueden ser de distintos tipos, formas y rangos de tamaño de operación y algunos de ellos son los siguientes: a).- Parrilla Estacionaria: Antes del chancador primario. Convencional. Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Probabilístico. b).- Parrilla de Rodillos: Antes del chancador primario. c).- Superficie Curvada: Rango: 2000[µm] - 45[µm] d).- Giratorios: Tambor (Trommel): 15[rpm]-20[rpm], húmedo o seco (seco: 6[cm]1[cm]) Centrífugos: Vertical 60[rpm]-80[rpm], húmedo o seco. De 1.2[cm]0.04[cm] e).- Vibratorios: Inclinado: 600[rpm]-7000[rpm] bajo 25[mm], muy utilizados hasta 200[µm] Horizontal: Superficie rectangular, 600[rpm]-3000[rpm], movimiento con componente vertical y horizontal. De Probabilidad: Serie planos inclinados de alto rendimiento, convencional. Mayor capacidad y eficiencia. Los harneros vibratorios funcionan a mayor velocidad y tienen como objetivo levantar las partículas de la superficie del harnero. En si, el proceso de harneado está en función de parámetros del mineral, harnero y estratificación. a).- Mineral = En cada caso, los parámetros más importantes son los siguientes: Densidad aparente, distribución de tamaños, diámetro, humedad. b).- Harnero = Superficie (porcentaje del área abierta, tamaño de la abertura, forma de la abertura, espesor). Vibración (amplitud, frecuencia, dirección). Angulo de inclinación y tipo de alimentación. Estratificación = Consiste en la separación del material según tamaño. Sin la estratificación los gruesos tapan la superficie del harnero impidiendo que se clasifiquen los finos. La estratificación está en función del espesor del lecho debido a que a nivel indutrial se pueden presentar lechos demasiados delgados (que tapan las aberturas, impidiendo el paso de las partículas finas) y lechos demasiados gruesos, que obstruyen la percolación de las partículas finas hacia las aberturas. Además de afectar la eficiencia de separación, los espesores de lechos definen la capacidad de producción del harnero, de modo que lechos demasiados delgados significan una baja capacidad de producción del harnero, mientras que lechos muy gruesos se traducen en una alta capacidad de tratamiento másico, pero una muy baja capacidad de separación efectiva. De este modo se tiene que a nivel industrial se debe operar a un determinado espesor de lecho que maximice los conceptos de capacidad de producción y eficiencia de separación. Este espesor se llama “Espesor de lecho óptimo” y está dado por una profundidad del lecho que puede ser hasta cuatro veces el tamaño de la abertura en el Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA extremo de la descarga para materiales de 100[lb/pie3] de densidad o hasta tres veces para materiales de 50[lb/pie3] de densidad. La figura muestra los diferentes tipos de lechos analizados.

La eficiencia de separación de un harnero puede calcularse a partir de un balance de masa de los flujos que muestra la figura siguiente. En este caso, se alimentan Ah [ton/hr] de material, que se divide en Sh [ton/hr] de sobretamaño y Bh [ton/hr] de bajo tamaño.

Además, sea ah la fracción de material mayor que las aberturas en la alimentación, sh la fracción de material mayor que las aberturas en el sobre tamaño y bh la fracción del mismo material en el bajo tamaño. Con estas definiciones se cumple que el balance de masa global es:

A B S h

h

h

por otro lado, el balance de masa para el material mayor que las aberturas (o gruesos) se puede escribir como:

A a B b S s h

h

h

h

h

h

Análogamente, el balance de masa para el material menor que las aberturas (o finos) se puede escribir como:

A (1  a )  B (1  b )  S h

h

h

h

h

(1  sh)

Cuando el producto deseado del harnero es el bajo tamaño, el objetivo es recuperar en esta corriente la mayor cantidad posible de material fino que originalmente está presente en la alimentación. En este caso, es común usar la "eficiencia de recuperación del bajo tamaño" ηu/s definida como:


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

B

 100 A

TPH _ de _ finos _ en _ la _ corriente _ bajo _ tamaño TPH _ de _ finos _ en _ la _ a lim entación

Matemáticamente esto se escribe como:



B

 100 B h

(1  bh)

A (1  a )

A

h

h

Ahora, combinando las ecuaciones se puede obtener que: h

 100 s h

 ah

h

h

h

B A

s b

Reemplazando tenemos:



B

 A

(1  bh) ( s h  a h)

(1  a h) ( s h  bh)

Generalmente podemos considerar bh=0 entonces:



B

 A

( s h  a h)

s

h

(1  a h)

Esta fórmula es muy usada e implica que la recuperación de gruesos en el sobretamaño es del 100%. Si el que interesa es el sobre tamaño, el objetivo entonces es que tenga la menor cantidad posible de finos. En este caso se usa la "eficiencia de eliminación del bajo tamaño", ηA/S



A

 100 S

TPH _ de _ gruesos _ en _ la _ a lim entación TPH _ que _ desc arg an _ como _ sobretamaño

Matemáticamente esto se escribe como:



A

 s

Aa S h

h

h

5.2.- FACTORES QUE AFECTAN LA EFICIENCIA DE UN HARNERO La capacidad de un harnero y una alta eficiencia de separación son requisitos generalmente opuestos y se debe llegar a algún punto de operación que maximice ambos aspectos. Para una capacidad determinada hay "n" factores que afectan la eficiencia de un harnero. Algunos de ellos son los siguientes:


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA        

Velocidad de alimentación y profundidad del lecho. Tipo de movimiento del harnero y pendiente del harnero. Humedad del material que impide la estratificación del material y tiende a cegar las aberturas del harnero. Tipo de superficie de harneado, área y forma de las aberturas. Porcentaje de área abierta que corresponde al área neta de las aberturas dividida por el área total del harneado. Tipo de material a tratar que corresponde a la dureza, forma de las partículas, peso específico, etc. Porcentaje de material fino y de tamaño crítico (3/4 a 1.5 veces la abertura) en la alimentación al harnero. La eficiencia del harnero es fuertemente afectada por la presencia de partículas de tamaño aproximado al de la abertura (éstas tienden a obstruir o cegar la abertura).

Este problema lo refleja la tabla siguiente, en la que se muestra que ha medida que las partícula tiene un tamaño más aproximado a la abertura, tiene una significativa menor probabilidad de ser clasificada.

Otra representación de este problema lo muestra la tabla que se muestra a continuación:


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5.3.- CLASIFICADORES Los equipos de clasificación generalmente se clasifican de acuerdo con la forma de descarga de los sobre-tamaños en: 

Clasificadores de descarga mecánica



Hidrociclones.



Ciclones neumáticos

Los clasificadores se pueden clasificar como:

Los clasificadores mecánicos se caracterizan por ser adecuados para separar partículas de tamaño superior a los 150[µm] y por tener bajos consumos específicos de energía.

Clasificadores de espiral (de rastrillo o de arrastre): Este clasificador realiza la descarga de sobre-tamaños por medios mecánicos y de acuerdo con movimiento relativo entre las partículas y el fluido por sedimentación.

CLASIFICADORES DE ESPIRAL A mayor Tp, mayor será la Fe

Este tipo de espirales es útil en circuitos de Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA molienda, lavado y eliminación de agua.

CLASIFICADORES MECÁNICOS Clasificadores de Paletas: La clasificación se hace por medios mecánicos y por sedimentación de las partículas en el fluido.

CLASIFICADORES DE PALETAS

A mayor Tp, mayor será la Fe Este tipo de clasificadores se utiliza para separaciones gruesas y para remover aglomerados. No existen restricciones de %Vol sólidos en las corrientes.

CLASIFICADORES MECÁNICOS Clasificadores de Tanque Cilíndrico Este clasificador posee rastrillos giratorios en el fondo del tanque, con el fin de facilitar la descarga de las arenas por medio mecánico. La interacción entre el fluido y las partículas se hace por sedimentación.


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CLASIFICADORES DE TANQUE CILÍNDRICO La baja eficiencia de este clasificador hace que su uso sea práctico sólo cuando se requiere separar grandes volúmenes de material.

CLASIFICADORES MECÁNICOS Clasificadores de cono: En este tipo de clasificadores la descarga de los sobretamaños se hace por gravedad y la interacción entre las partículas y el fluido se da por sedimentación.


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CLASIFICADORES HIDRÁULICOS Hidrociclones: En este clasificador la interacción entre las partículas y el fluido se da por sedimentación, la descarga de los sobre-tamaños se da por medios no mecánicos. Por su parte los clasificadores hidráulicos resultan ser más adecuados para separar partículas pequeñas (dp<300[µm]) y se caracterizan por tener un bajo costo de capital y de instalación. Los hidrociclones por su alta eficiencia de clasificación son utilizados en molienda de circuito cerrado. Entre los clasificadores hidráulicos destaca el hidrociclón, el cual separa las partículas usando el principio de centrifugación de la pulpa. La figura siguiente muestra la forma típica de un hidrociclón de fondo cónico. Forma y partes de un hidrociclón cónico.

Vórtice Primario = Desciende por las paredes. Núcleo de Aire = Conectado a la atmósfera. Vórtice Secundario = Asciende alrededor del núcleo de aire. Separación de las partículas: La separación es producida por la Rotación del Fluido, el cual desarrolla grandes fuerzas centrífugas. La aceleración de gravedad g es reemplazada por w2R de modo que las velocidades terminales de todas las partículas aumentan pero permanecen en la misma proporción relativa, por lo que se alcanza una mayor capacidad de tratamiento.


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Las partículas más grandes y pesadas que tienen mayor velocidad de sedimentación se mueven hacia la pared del hidrociclón y son arrastradas por el vórtice primario hacia la Descarga. Las partículas más pequeñas debido al mayor efecto de arrastre relativo a las fuerzas inerciales, que produce un menor movimiento relativo al fluido, se mueven hacia la zona de baja presión en el centro del hidrociclón y son arrastradas hacia arriba a través de buscador de vórtice y salen por el Rebalse. La calidad de la separación en un hidrociclón se representa a través de la curva de eficiencia de clasificación. Esta curva muestra la fracción (o porcentaje) de material de tamaño i que viene en la alimentación que se va a la descarga. Cabe destacar que este concepto puede aplicarse a un harnero, tamiz, espiral o cualquier otro tipo de clasificación. La forma típica de la curva de eficiencia para un hidrociclón se muestra a continuación:

En este caso, el tamaño de corte es el d50, que corresponde a las partículas de este tamaño que tienen igual probabilidad de ir al rebalse o a la descarga. Haciendo una analogía con un harnero se tiene que el d50 de un hidrociclón corresponde al largo de la abertura en el harnero. A nivel industrial, los hidrociclones tienen un comportamiento alejado de la idealidad, es decir, no separan en forma perfecta lo que se traduce que el flujo de gruesos de la descarga va contaminado con finos y que el flujo de finos del rebalse va contaminado con gruesos. Una curva de eficiencia real se muestra en la figura siguiente: Ingeniería Civil Minas

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Para calcular el tamaño d50 y d50c simplemente se hace a partir de una interpolación entre el valor de eficiencia global o corregida, según se a el caso inmediatamente superior e inferior a 50% de eficiencia. La salvedad radica en el hecho que se trata de una curva logarítmica por lo que el cálculo debe contemplar dicha condición de la siguiente manera:   a 0   ln      50  ln   a1    exp d 50 a1     E 0     E1   ln    E1 

Donde

a a E E

0

1 0 1

Abertura inmediatamente inferior a la eficiencia de 50% Abertura inmediatamente superior a la eficiencia de 50% Eficiencia inmediatamente inferior a 50% Eficiencia inmediatamente superior a 50%

5.4.- FACTORES QUE ALTERAN LA CURVA DE EFICIENCIA     

Dispersión inicial de partículas a través de la abertura de alimentación al equipo. Perturbaciones durante la pasada por el interior del equipo. Arrastre de finos en la descarga. Z corresponde a la fracción de material de alimentación que pasa por cortocircuito al rebalse (es generalmente despreciable). Y corresponde a la fracción de finos que son arrastrados a la descarga. Se puede estimar suponiendo que las partículas más finas se comportan como el agua y por lo tanto la fracción de estas partículas Y en el rebalse será igual a la fracción del agua de alimentación que deja el equipo por la descarga.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Suponiendo: 1. El arrastre por el agua de una fracción constante Y de todos los tamaños de partículas en la descarga. 2. Que la fracción restante (diferencia) de partículas (1-Y) es sometida a una clasificación por tamaños, se puede obtener la siguiente curva de eficiencia corregida. El tamaño de separación del hidrociclón frecuentemente se define como aquel punto sobre la curva para el cual el 50% de las partículas de ese tamaño en la alimentación tienen igual probabilidad de ir al rebalse a la descarga. Normalmente se hace referencia a ese punto como tamaño d50 para la curva real y d50,C para la curva corregida. Para caracterizar la calidad de la separación se utiliza el Indice de Separación (IS), que se define como:

IS 

d d

25 75

Donde los tamaños d25 y d75 corresponden al 25% y 75% de las partículas de alimentación que van a la descarga. Otro parámetro que también se acostumbra a usar el llamado Coeficiente de Imperfección (I), que se define como:

I

(d 75  d 2d

)

25

50

Los valores de la eficiencia corregida de un hidrociclón (EC), son importantes por que se ha encontrado que el mismo Hidrociclón operando en diferentes condiciones entrega frecuentemente la misma forma de EC versus un tamaño adimensional definido por di/d50,c. Esta curva de EC versus di/d50,c se denomina Curva de Eficiencia Reducida y es característica del tipo de clasificador en un rango razonable de diseño.


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La ventaja de conocer la función de clasificación reducida de un hidrociclón es que permite conocer la función de clasificación de un hidrociclón que es puesto a trabajar en diferentes condiciones operacionales. Esto se traduce en que se podrá predecir las características de los flujos másicos de rebalse y descarga de un hidrociclón, además de obtener una familia de valores EC(i) [o C(i)] que se utilizan en la simulación y optimización de procesos de molienda – clasificación. Varias ecuaciones matemáticas han sido propuestas para representar la curva de eficiencia corregida EC(d) de un hidrociclón. Dos de las ecuaciones más utilizadas son las siguientes: a) Modelo de Rao y Lynch

Ec 

   exp a d i   1     d 50c     exp a d i   exp a   2   d 50c 

b) Modelo de Plitt m      d i Ec  1  exp  0,693       d 50c   

En estas ecuaciones a y m son parámetros empíricos dependientes de las características de clasificación del material. Normalmente los valores de m están en el rango de 1 a 3.8. Valores típicos se indican en la siguiente tabla: Mena Sílice Cobre Taconita


m 3,23 1,93 1,28

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA El valor de a varía aproximadamente entre 1.54 m - 0.47 m El caso de un hidrociclón que entrega un comportamiento de clasificación similar para un material dado en diferentes condiciones de operación se muestra en la figura.

Función de clasificación para un material dado en un hidrociclón operando en distintas condiciones .

CLASIFICADORES NEUMÁTICOS Ciclones Neumáticos: Este tipo de clasificadores realiza la descarga de los sobre-tamaños por medios no mecánicos y la interacción entre las partículas y el fluido se da por sedimentación. Su principal uso se da en la clasificación en seco y no posee restricciones de tamaño.

CLASIFICACIÓN A TRAVÉS DE FLUIDOS Es la separación de partículas de acuerdo con la diferencia entre su velocidad de asentamiento y la velocidad de un fluido que puede ser líquido o gas. Una partícula que desciende en el vacío posee una velocidad creciente e independiente de su densidad y de su área superficial, no obstante cuando la partícula desciende en contracorriente con un medio como el aire o el agua, este le proporciona una resistencia, que reduce su velocidad hasta el punto en el que la resistencia es igual a la fuerza de gravedad, a partir del cual la partícula adquiere su velocidad terminal. Una vez que la partícula alcanza su velocidad terminal, desciende con una velocidad constante. Ingeniería Civil Minas

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En el proceso de clasificación a través de fluidos, cada partícula experimenta tres fuerzas: • La fuerza de gravedad • La fuerza de empuje • La fuerza de arrastre (fuerza producida por el movimiento relativo entre la partícula y el fluido). La fuerza de arrastre depende de la velocidad de caída de la partícula en el fluido así: Si la velocidad de descenso de la partícula es lenta, obedecerá a la ley de Stokes y la partícula estará cubierta de una fina capa de fluido, que se mueve a la misma velocidad de la partícula. Entre la capa de fluido que envuelve la partícula y el fluido adyacente habrá una diferencia de velocidad, que genera un movimiento relativo entre las capas de fluido y por lo tanto existirá un esfuerzo cortante entre ellas, que es proporcional a la viscosidad. A este mecanismo se le conoce como resistencia viscosa. Cuando la partícula desciende a alta velocidad, el fluido adyacente experimenta un movimiento turbulento que le imprime una resistencia al movimiento de la partícula, esta se conoce como resistencia turbulenta y obedece a la ley de Newton. La magnitud de la velocidad terminal de cada partícula depende del tipo de resistencia ejercida por el fluido y la clasificación se hace de acuerdo con la diferencia entre la velocidad terminal de cada partícula, respecto a la velocidad del fluido. Las partículas cuya velocidad terminal sea menor que la velocidad del fluido que se encuentra en contracorriente, experimentan unas fuerzas de oposición mayores a la fuerza de gravedad y por lo tanto, serán arrastradas por el fluido hasta salir del clasificador, por una zona conocida como descarga de lamas, corriente negativa o subtamaños. Las partículas cuya velocidad terminal es mayor que la velocidad del fluido en contracorriente experimentan unas fuerzas de oposición menores a la fuerza de gravedad y por lo tanto vencen la resistencia del fluido hasta salir del clasificador por la descarga de arenas, positiva o de sobretamaños. La velocidad terminal de cada partícula puede ser calculada a partir del equilibrio de las fuerzas que interactúan en ellas:

Cuando se alcanza la velocidad terminal la velocidad de la partícula se hace constante y por lo tanto ∂x/∂t = 0, es por esto que: g*(m - m’) = Fa Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Entonces:

Si la velocidad de descenso de la partícula es lenta, cumplirá con la ley de Stokes y por lo tanto: Para d0 menores a 50 µm η= viscosidad del fluido

De acuerdo con lo anterior, se puede establecer que la velocidad terminal de cada partícula depende de:  

La diferencia de densidad entre cada partícula y el fluido. El diámetro de cada partícula

Por lo tanto:   

Si se tienen partículas con igual densidad, las de mayor diámetro tendrán una mayor velocidad terminal. Si se tienen partículas de igual o similar tamaño, las de mayor densidad, tendrán mayor velocidad terminal. Si se tienen partículas de diferente tamaño y densidad, la relación de tamaño a la cual se obtienen igual velocidad terminal puede ser determinada mediante la relación de asentamiento.

Si la relación sólido – fluido es menor al 15% y además: • El tamaño de las partículas es menor a 50 µm

Sí Va = Vb, entonces:

Si la relación sólido – fluido es menor al 15% y además: • El tamaño de las partículas es mayor a 5000 µm

Sí Va = Vb, entonces:


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Si la relación sólido – fluido es al 15%, el fluido se comportará como una pulpa viscosa que obedece a la ley de Newton, por lo tanto:

EVALUACIÓN DE LOS CLASIFICADORES Un clasificador es evaluado de acuerdo con:   

Capacidad de clasificación Tamaño de separación Rendimiento o eficiencia

La capacidad del clasificador se mide de acuerdo con la cantidad de material separado por unidad de tiempo. El tamaño que es capaz de separar un clasificador, se determina de acuerdo con la abertura de la malla que retiene una cantidad de sólidos (entre 1 – 3%) en la corriente de finos. TAMAÑO DE SEPARACIÓN

800 500 375 250 125

µm µm µm µm µm

3 15 22 27 33

% % % % %

En términos reales, no siempre las partículas que quedan retenidas en el tamiz superior de los finos tienen la misma probabilidad de ir a la descarga de gruesos como de finos, por lo tanto, este criterio se usa para determinar el tamaño límite que se puede clasificar.

RENDIMIENTO DE LOS CLASIFICADORES Se determina cualitativamente de acuerdo con la pendiente de la curva fracción retenida en los gruesos respecto al alimento versus el tamaño de partícula.


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Comportamiento ideal


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CAPÍTULO VI.- BALANCE DE MATERIALES ¿Por qué es importante caracterizar los flujos en el procesamiento de minerales? 1. Permite dimensionar equipos y realizar el diseño del proceso 2. Permite evaluar la eficiencia de la operación 3. Permite realizar la contabilidad metalúrgica o conciliación de tonelajes y ley para el cierre de mes Introducción En todo balance, se involucran una variedad de conceptos, definiciones y fenómenos que se deben contemplar antes de iniciar un balance de materiales y estos son por ejemplo: Principios Físicos 1. Transferencia de Cantidad de Movimiento Leyes de Galileo y !ewton 2. Transferencia de Energía Primera y segunda ley de la termodinámica (Carnot y Clausius) 3. Transferencia de Masa Ley de conservación de la materia (Lavoisier) Ecuaciones de Balance 1. Steady State (Estado estacionario o régimen permanente)

2. Régimen Transiente

3. Batch

Ejemplo: llenado transiente

de

un

estanque

en

régimen

Ecuaciones de Balance Condiciones Particulares min = 2 tph =1


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA El Régimen Permanente corresponde a un caso particular del Régimen Transiente, cuando la solución se evalúa en t = ∞. Para realizar balances, es importante caracterizar los flujos de mineral en cada punto de la planta. Un buen muestreo otorga mayor fidelidad a los datos obtenidos, puesto que dicha información será utilizada para tomar decisiones importantes en el diseño y la producción. Puesto que las operaciones de muestreo y los equipos que realizan tal trabajo requieren de un capital elevado (tanto económico como humano), en las plantas se caracterizan sólo algunos flujos. Para la estimación de las propiedades del resto de los flujos existen relaciones matemáticas basadas en la física y química. Pulpas y flujos de Mineral Estática Masa (t, kg) y volumen (l,m3)

En Movimiento (flujo) Masa (tph, kg/h) y volumen (l/s,m3/h)

Densidad de sólido, líquido y pulpa Estática (t/m3)

En Movimiento (flujo)

Densidad específica

Gravedad específica


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Se hunde si

> 1, flota si

<1

Concentración de sólidos En volumen

En Peso

Dilución o humedad en base seca

Humedad en base húmeda (%)

Concentración de sólidos en función de las densidades

Densidad conjunta

Densidad de la pulpa


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Balances de Materiales Aparte de caracterizar la magnitud de los flujos de agua y mineral, es importante observar los cambios en las propiedades asociadas a la ley, granulometría y densidad del mineral. Cada equipo en el flowsheet realiza cambios particulares en las propiedades del flujo.

Equipos de Molienda En los equipos de molienda, tales como chancadores (en seco) y molinos (en húmedo), sólo se realizan cambios en la granulometría del mineral. En un balance es importante estudiar el grado de reducción de tamaño que realiza el proceso de conminución. Se define la Razón de Reducción como: Donde i define un tamaño característico de la distribución (por lo general se utiliza el 80% pasante y se calcula el R80)


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Equipos de Clasificación Los equipos de clasificación, tales como harneros e hidrociclones, actúan sobre un tamaño en particular. Por lo mismo, el cambio se realiza sobre la granulometría. El reparto de flujos de un cierto tamaño se rige bajo una cierta eficiencia de clasificación inherente al equipo. Si bien este concepto se ha desarrollado bastamente en capítulos precedentes, conviene recordar que para un balance, la eficiencia de clasificación permite definir las cargas de recirculación en función del corte de los clasificadores.

Donde d* corresponde al tamaño de corte bajo el cual se repartirán los flujos.

Recirculaciones En la mayoría de las plantas, se requiere una etapa de repaso de una operación en particular con el fin de llegar a la calidad de producto requerida. En plantas de chancado y molienda, se requieren de recirculaciones para obtener un tamaño en particular. Mientras que en plantas de flotación se requiere repasar un cierto concentrado para aumentar la ley del mismo. Se define la Carga Circulante (%) como:


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Valores típicos de CC en chancado varían desde 50 a 150%, en molienda varía de hasta 400%. Ejemplo 1: Balance de un sistema cerrado directo de molienda unitaria Un sistema de molienda clasificación como el de la figura adjunta es posible caracterizarlo en función de sus flujos definiendo los nodos característicos. El nodo Nº1 está definido por el flujo de alimentación fresca (Af), el flujo de descarga de ciclones, el flujo de agua alimentado al molino y el flujo de alimentación al molino de la siguiente manera:

A  D  Ag f

c

m



A

m

En función de sus granulometrías, la expresión queda como sigue:

A a  D d  Ag f

c

f

c

m



Aa m

m

El nodo Nº2 está definido por el flujo de alimentación a ciclones, el flujo de rebase de ciclones y el flujo de descarga de ciclones de la siguiente manera:

A R D C

c

c

Que similarmente a lo hecho con el nodo Nº1, en función de sus granulometrías queda así:

A a R r D d C


c

c

c

c

c

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA En este caso, la carga circulante queda definido por el retorno representado por el flujo de descarga de ciclones y la alimentación fresca que en estado estacionario debiera igualarse al flujo de rebase de ciclones, por lo tanto:

D A

CC 



c

f

D R

c

c

Haciendo algunas combinaciones podemos establecer un modo de obtener la carga circulante en función de las granulometrías permitiendo de ese modo hacer un balance ajustado a la carga de recirculación promedio de siguiente modo:

A D A a D d A Aa      A D A a Dd A Aa

A Aa R D R r D d  A  A a R D R r D d R a D d  A a  A a R r D d R R a D d A a  A a R r D d R R R R R R R a  D d  R D a  R D a  R r  D d R R R R R R a  D d a  D a a  D a r  D d R R R R 

m

 c

m

c

c

c

c

c

c

c

m

f

f

f

c

f

c

f

c

f

c

c

c

r

c

r

f

r

f

c

c

m

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

m

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

m

c

m

c

m

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

m

c

c

c

m

c

c

f

c

c

c

c

r

c

f

c

c

c

r

c

c

m

c

c

c

Reemplazando tenemos CC ac  a m   a m  r c  a f  ac CC 

a  r  a  a  m

c

f

a  r  a  a  c

CC  CC 



c

a  a  m

c

m

a  a 



c

f

c

m

  r c  a f  ac  a m

a  a 

r  a   1 CC  c

c

f

c

m



m

a  a 

Llevado a una expresión genérica podemos establecer que: N

CC

media



 CC i 1

i

N

Donde CCi representa la carga circulante de la malla i y N el número de mallas analizadas.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Ejemplo 2: Balance de un sistema cerrado indirecto de molienda unitaria Rc Ac

Dc

C. circ.

Agm Agp Dm

Am

Af

Sistema cerrado indirecto de molienda clasificación El nodo Nº1 está constituido por el flujo de alimentación fresca, el flujo de descarga del molino, el agua de alimentación al pozo de la bomba y el flujo de alimentación a ciclones y se puede representar del modo siguiente:

A  D  Ag f

m

p



A

c

Similarmente al desarrollo del ejemplo anterior, podemos expresar esta ecuación en función de las granulometrías involucradas así:

A a D d f

m

f

m

 Ag  p

Aa c

c

El nodo Nº2, esta formado por los flujos de alimentación a ciclones, rebase de ciclones y descarga de ciclones que incluida la ecuación correspondiente a las granulometrías tendríamos el siguiente sistema de ecuaciones:

A  R Dc A a R r D d c

c

c

c

c

c

c

c

Tal cual se hizo en el ejemplo Nº1, sumaremos las ecuaciones y luego sustituiremos por CC la razón entre la descarga y el rebase de ciclones.


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A D A a D d A Aa R a D d R D a d R R a  CC d f

f

m

f

A Aa R D R r D d  R r D d R R r D d R R  r  CC d r  a  CC  d  d  m

c

c

f

c

c

c

f



c

m

c

c

c

c

c

c

c

c

m

c

c

c

c

c

f

c

c

c

c

m

c

c

c

m

c

c

c

c

c

c

f

m

c

N

CC media  Balance granulométrico clasificación

de

un

 cc

i

i 1

N

sistema

cerrado

directo

de

molienda

Normalmente en un sistema, existen algunos datos que se registran a tiempo real en función de datos proporcionados por instrumentos como los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Densímetro de alimentación a ciclones Flujo volumétrico de alimentación a ciclones Flujómetro para el agua de alimentación al molino Flujómetro para el agua de alimentación al pozo de la bomba de ciclones Pesómetro para el tonelaje de alimentación al sistema molienda clasificación. Potenciómetro del motor del molino Sensor de nivel del pozo de la bomba Variador de frecuencia del motor de la bomba de ciclones Analizador del tamaño de partículas del rebase de ciclones (%+100 Mallas)

Con esa instrumentación, normalmente basta para llevar a efecto un balance en línea y a tiempo real, vale decir, mediante algunos algoritmos se podría desarrollar un sistema para construir un balance dinámico del sistema molienda clasificación, situación que podría entregar la variable granulometría de manera dinámica. Estos sistema se mostrarán en el capítulo siguiente pero, dejamos como muestra un balance en estado estacionario del sistema molienda clasificación el que utiliza la información de los sensores para establecer las particiones de los flujos en los diferentes nodos según sea el caso.

Rebase de ciclones En estado estacionario corresponde al tonelaje de alimentación fresca restando la humedad que normalmente es del orden del 3%.

R  A 1  h c


f

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Agua en el rebase de ciclones En estado estacionario, corresponde a la sumatoria del agua de alimentación al molino y el agua de alimentación al pozo de la bomba de ciclones.

Ag

Rc



Ag

m



Ag

p

Sólido de rebase de ciclones Corresponde a la razón entre el tonelaje de rebase de ciclones y la sumatoria entre el rebase de ciclones y el agua del rebase de ciclones. Todo esto, multiplicado por 100 para expresarlo como porcentaje.

S

Rc

 100

R Ag c

Rc 

Rc

Flujo másico de alimentación a ciclones El flujo volumétrico de alimentación a ciclones, multiplicado por su densidad, corresponde al flujo másico, sin embargo, normalmente, el densímetro, entrega el porcentaje de sólido de alimentación (SAc) a ciclones por lo que se requiere calcular la densidad que corresponde a la gravedad específica de este sólido, que en este caso consideramos como dm =2,8 gr/cc.

FM

Ac

 FV Ac

 dm

d

m

 1 S Ac  d m 100

Agua de alimentación a ciclones Esta puede ser calculada a partir del flujo másico y el sólido de este de la siguiente manera:

Ag

Ac

     1   FM Ac   1  S Ac       100    

Flujo másico de descarga de ciclones Este corresponde a la diferencia entre el flujo másico de alimentación a ciclones y el de rebase de este.

FM

Dc

 FM Ac  FM Rc

Flujo de agua de descarga de ciclones Se calcula en base a la diferencia entre el flujo de agua de alimentación a ciclones y el de rebase de este.

Ag


Dc



Ag

Ac

 Ag

Rc

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Sólido de descarga de ciclones Este sólido se calcula como la razón entre el flujo másico de descarga de ciclones y la sumatoria del flujo másico y flujo de agua en la descarga de ciclones multiplicado por 100.

S

Dc

 100

FM FM  Ag Dc

Dc

Ac

Sólido de molienda (Sólido al interior del molino) Este es calculado en función del flujo másico de alimentación a ciclones que corresponde en magnitud al flujo de alimentación al molino. Por lo tanto este sólido es la razón entre el flujo másico de alimentación al molino y la sumatoria de este flujo y el agua alimentada al molino y la contenida en la descarga de ciclones, multiplicado por 100.

S

m

 100

FM Ag

FM Ac 

Ac m



Ag

Dc

Consumo específico de molienda Este corresponde a la razón entre el tonelaje seco tratado por hora y la potencia consumida.

E

P FM Rc

Carga circulante Tal como se ha dicho en artículos y párrafos precedentes, este se calcula como la razón entre el flujo másico recirculado y el de alimentación fresca, vale decir, la razón entre la descarga de ciclones y el rebase de este multiplicado por 100. CC  100 FM Dc

FM


Rc

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Alimentación ciclones Flujo másico Flujo de agua Dilución

Unidad Valor T/hr 5.111,3 m3/hr 3.017,4 % 62,88

Rebase ciclones Flujo másico Flujo de agua Dilución Granulometría Vortex

Unidad Valor T/hr 800,1 m3/hr 1.130,2 % 41,45 %+100M 27,33 pulgs 10,00

Descarga ciclones Flujo másico Flujo de agua Dilución Apex

Unidad Valor T/hr 4.311,2 m3/hr 1.887,3 % 69,55 pulgs 5,75

Molino Consumo específico Carga circulante Dilución

Unidad Valor Kw/T 13,6 % 538,86 % 70,11

Alimentación ciclones 5.111,3 T/hr Malla Abertura Parcial Acum. Pasado 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 0,742 18850 0,04 0,04 99,96 0,525 13330 1,56 1,59 98,41 0,371 9423 3,08 4,67 95,33 3 6680 3,32 7,99 92,01 4 4699 3,04 11,02 88,98 6 3327 3,14 14,16 85,84 8 2352 3,60 17,76 82,24 10 1651 4,34 22,10 77,90 14 1168 5,28 27,38 72,62 20 833 6,37 33,76 66,24 28 589 7,88 41,64 58,36 35 417 9,47 51,11 48,89 48 295 10,33 61,44 38,56 65 208 9,01 70,45 29,55 100 147 6,40 76,85 23,15 150 104 4,08 80,92 19,08 200 74 2,61 83,53 16,47 270 53 1,82 85,35 14,65 -270 44 14,65 100,00 0,00 D80= 1963,72


Alimentación fresca 800,06 T/hr Malla Abertura Parcial Acum. Pasado 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 0,742 18850 0,03 0,03 99,97 0,525 13330 2,87 2,90 97,10 0,371 9423 14,73 17,63 82,37 3 6680 12,41 30,04 69,96 4 4699 10,15 40,18 59,82 6 3327 10,16 50,34 49,66 8 2352 6,90 57,24 42,76 10 1651 5,57 62,81 37,19 14 1168 5,14 67,94 32,06 20 833 3,75 71,69 28,31 28 589 3,09 74,79 25,21 35 417 2,57 77,35 22,65 48 295 2,47 79,82 20,18 65 208 1,94 81,76 18,24 100 147 1,99 83,75 16,25 150 104 1,67 85,43 14,57 200 74 1,52 86,95 13,05 270 53 1,46 88,40 11,60 -270 44 11,60 100,00 0,00 F80= 8.860

Alimentación molino 5111,3 T/hr Malla Abertura Parcial Acum. Pasado 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 0,742 18850 0,04 0,04 99,96 0,525 13330 2,00 2,04 97,96 0,371 9423 5,38 7,43 92,57 3 6680 5,26 12,69 87,31 4 4699 4,62 17,31 82,69 6 3327 4,73 22,04 77,96 8 2352 4,68 26,72 73,28 10 1651 5,21 31,93 68,07 14 1168 6,09 38,02 61,98 20 833 6,96 44,97 55,03 28 589 8,36 53,34 46,66 35 417 9,77 63,10 36,90 48 295 10,02 73,12 26,88 65 208 7,73 80,85 19,15 100 147 4,83 85,68 14,32 150 104 2,76 88,44 11,56 200 74 1,68 90,12 9,88 270 53 1,17 91,29 8,71 -270 44 8,71 100,00 0,00 D80= 3871,34

Rebase ciclones 800,06 T/hr Malla Abertura Parcial Acum. Pasado 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 0,742 18850 0,00 0,00 100,00 0,525 13330 0,00 0,00 100,00 0,371 9423 0,00 0,00 100,00 3 6680 0,00 0,01 99,99 4 4699 0,00 0,01 99,99 6 3327 0,00 0,01 99,99 8 2352 0,00 0,01 99,99 10 1651 0,00 0,01 99,99 14 1168 0,00 0,02 99,98 20 833 0,00 0,02 99,98 28 589 0,03 0,05 99,95 35 417 0,69 0,74 99,26 48 295 4,44 5,18 94,82 65 208 10,13 15,31 84,69 100 147 12,02 27,33 72,67 150 104 10,07 37,39 62,61 200 74 7,44 44,84 55,16 270 53 5,63 50,47 49,53 -270 44 49,53 100,00 0,00 P80= 182,79

Descarga ciclones 4311,24 T/hr Malla Abertura Parcial Acum. Pasado 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 0,742 18850 0,04 0,04 99,96 0,525 13330 1,84 1,89 98,11 0,371 9423 3,65 5,53 94,47 3 6680 3,94 9,47 90,53 4 4699 3,60 13,07 86,93 6 3327 3,72 16,79 83,21 8 2352 4,26 21,05 78,95 10 1651 5,15 26,20 73,80 14 1168 6,26 32,46 67,54 20 833 7,55 40,02 59,98 28 589 9,34 49,35 50,65 35 417 11,10 60,46 39,54 48 295 11,42 71,88 28,12 65 208 8,81 80,68 19,32 100 147 5,35 86,03 13,97 150 104 2,97 89,00 11,00 200 74 1,71 90,71 9,29 270 53 1,12 91,83 8,17 -270 44 8,17 100,00 0,00 D80= 2566,29

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CAPÍTULO VII. MODELAMIENTO MATEMÁTICO Chancado y harneo Por el año 1956 Broadbent y Callcott, formularon un conjunto de ecuaciones de balance en función de la probabilidad de ruptura y la distribución de tamaños de los fragmentos para cada fracción granulométrica en la alimentación al chancador Sin embargo, estos modelos esencialmente son los mismos que dieron origen a los modelos de los molinos de bolas que a la postre han mostrado un grado de desarrollo bastante mas avanzado. La ecuación general de conminución podemos escribirla y aplicarla a chancado como sigue: i d gi   S iE g i   bij S jE g j dE j 1

i  1.....n

B ij , ha demostrado ser mas dependiente del tipo de mineral tratado que del equipo mismo, por lo tanto, la relación planteada para molienda la podemos escribir para chancado de esta forma. La función de distribución acumulada de fractura

 di  B     d j ij



0

1

d   1    i  d j  



2

0

i  1,2,......, n ji E S i , se propone la siguiente expresión.

Con respecto a la función de selección específica

S

E i



 d 0

i

 di 1   d eff 

1



   

2

i  1,2,......., n

d d i

eff

En aras de lograr la simplicidad del modelo, a continuación se propone una ecuación para un caso especial.

1  G   1  G  exp  S E 


OUT

IN

E

j

i

i

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Donde

G

IN i

representa la distribución granulométrica (% bajo tamaño di) de la

alimentación al chancador y

G

OUT

la de descarga y E la energía neta consumida por

j

tonelada de mineral alimentado al chancador. E

La estimación de S i es posible hacerla a partir de los datos operacionales. Conocidas las granulometrías de alimentación y descarga del chancador, la potencia neta consumida, el cálculo es relativamente simple con la siguiente expresión:

S

S

E i



IN 1  1  Gi d i   ln  E 1  G OUT d  j i  

E

, así obtenidos, para cada tamaño di pueden ser utilizados para predecir la respuesta del chancador frente a una alimentación y condiciones de operación características conocidas. Los valores de

i

Modelo de clasificación con harneros Si bien existe en la literatura técnica gran cantidad de modelos matemáticos para el tema de la clasificación con harneros, el modelo de Plitt, desarrollado originalmente para la operación de hidrociclones, es perfectamente factible de utilizar con harneros teniendo en cuenta algunas consideraciones.   di    1  exp  0 , 693  Y ci  d eff   

Donde

Y

ci

   

m

    

representa la fracción clasificada del material del tamaño di recuperado en el

sobretamaño.

d eff

es la abertura efectiva, equivalente al d50 de la malla, menor que la

abertura nominal del harnero por razones obvias. y m es el parámetro ajustable adimensional característico del sistema en particular. Similar a lo que ocurre en un hidrociclón, también existe un corto circuito, o de otro modo dicho, una cantidad de finos que es arrastrado con el material sobretamaño del harnero. Bajo tales condiciones tenemos:

Y

i





 Bp finos  1  Bp finos Y ci

Para la simulación de diferentes configuraciones, es necesario unir los dos modelos mediante un balance de materiales. Dado que la alimentación a una unidad específica (Chancador, harnero) depende de la descarga o producto de otra unidad, el balance Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA definitivo para emular un estado estacionario, se logra mediante sucesivas iteraciones hasta lograr que lo que entra ala sistema, se iguala con el que sale en cuanto a magnitud de flujos.

Molienda y clasificación Molienda convencional De las operaciones involucradas en los procesos clásicos de concentración de minerales, la molienda destaca como uno de los que ha logrado mayor avance en la modelación matemática, superando con creces las limitaciones que se tienen al considerar solamente las leyes de conminución como la tercera ley de Bond. El nuevo enfoque si bien es simple dado que considera un balance macroscópico, contempla dos conceptos muy importantes y no menos complejos. El primero de ellos es la función de selección

S

i

y el segundo, la función de ruptura

B

i

.

El proceso de conminución lo podemos representar de la siguiente manera:



d W dt

g    S W g (t )   b S i 1

i

i

i

j 1

ij

j

W

g

j

(t )

i  1,2,......, n ji

Por una convención, se define d1 como el tamaño mas grueso y dn el mas fino de tal modo que podemos reescribir la ecuación como sigue: i 1 d ( t )   G Bij S j g j (t ) dt i j 1

n

Siendo

Bij   bkj , la función de ruptura acumulada. j i

La experiencia muestra que la producción de finos, para tiempos cortos es prácticamente constante, por lo tanto:

B S S ij

j

i

La cual lleva a una simple solución para la primera ecuación

R (t ) i

Siendo

BATCH



 RI (0) exp  S i t



R (t )  1  G (t ) i

i

Esta simplificación permite derivar muchas de las relaciones empíricas de molienda, incluida la de Bond.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Por otra parte, ha sido posible obtener correlaciones empíricas que permiten escalar los parámetros S y b a planta industrial de la siguiente manera: P   W  En función de variables de operación y diseño del molino su forma equivalente es:

S S i

 % _ loading  S D E

S Siendo

S

E i

E

i

0,5

0 , 461

i

i

1, 505

Nc

% _ Solids

, la función de selección reducida, constante que resulta ser independiente

de la dimensiones del molino y demás variables dentro de rangos normales de operación. La función de ruptura es invariable frente a cambios en las dimensiones y variables de los molinos. La incorporación de esta característica a la ecuación preliminar, reconociendo que

P W

representa el consumo específico de energía dejando la expresión de la siguiente forma:

d dE

i 1

g ( E )   S g ( E )  b S g E

i

i

ij

j 1

j

j

E



(E )

Entonces la ecuación particular queda así:

R (E ) i

BATCH



 RI (0) exp  S i E

Estas dos últimas relaciones confirman que la energía representa el parámetro controlante de la molienda. En todo caso, hemos analizado solamente molienda discontinua. Para el caso de la molienda continua, es posible calcular la granulometría de descarga de un molino continuo en estado estacionario en base a la siguiente relación: 

Ri (t E )   Ri (t )BATCH E (t )dt 0

La integral corresponde a un promedio ponderado de repuestas BATCH con respecto a la distribución de tiempos de residencia de las partículas, E(t), en el molino. Es posible determinar E(t) y se acostumbra aproximarla con una función Gamma del tipo:

t N     E (t ) 

N 1

N

 N  1!


  Nt  exp     

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

Donde N corresponde al número de reactores en serie y es el tiempo promedio de residencia del material. N normalmente depende de la razón (Largo/diámetro) del molino. De esta manera la ecuación queda:

  E  E R  R 1  S i   N  pi

Donde

R

pi

N

gi

representa la distribución granulométrica acumulada de la descarga del

molino y E la energía consumida por tonelada al molino, incluida la carga circulante. Conociendo las granulometrías de alimentación y descarga, además de la potencia consumida, es posible calcular la expresión siguiente:   N  E S i  E   

Mientras que el valor de dado por:

S

i

, conocidos



  N  S i     

Como se ha dicho

S

E i

R fi  R pi 

1 N

   1   

y N para cada aplicación específica estará

R fi  R pi 

1 N

   1   

es característico del mineral solamente pudiéndose utilizar para

simular distintas condiciones de operaciones con bastante exactitud. Por otra parte, el uso de la ecuación

S D  % _ loading  E

S

 i

0,5

i

0 , 461

1, 505

Nc

permite escalar los valores de

% _ Solids

S

i

obtenidos en laboratorio hacia una instalación industrial una vez determinados los valores de

S

E i

característicos del mineral. De esta forma, la importancia de la

ecuación, radica en el hecho de permitir dimensionar en forma óptima los tamaños y cantidades de molinos requeridos para cada instalación industrial específica, simulándose al mismo tiempo, las condiciones óptimas de operación mediante la ecuación

    R  R 1   S i  N  pi

N

gi

Molienda semiautógena La caracterización matemática de los procesos de molienda autógena y semiautógena ha sido un desafío permanente para los investigadores de esta particular forma de molienda, quizás debido a la enorme cantidad de proyectos de molienda que incluyen Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA este tipo de molinos pese a que el aporte real de molienda es bastante discutible. En la actualidad, existe una tendencia de autores que apuestan a la reconversión de estos molino en los tradicionales molinos de bolas, logrando al menos en pruebas de simulación, resultados bastante mas promisorios que los mostrados hasta la fecha por este tipo de molinos. La conocida ecuación general de balance en estado estacionario: In

M Gi  M Gi

Out

c d     H  Gi   0  dt   

Donde

M

Gi Gi Gi H

In Out c

Tonelaje de sólidos a través del molino Granulometría de alimentación al molino (Fracción acumulada pasante) Granulometría de descarga del molino (Fracción acumulada pasante) Granulometría de la carga contenida en el molino (Fracción acumulada pasante) Cantidad de material retenida en el molino en estado estacionario

Esta ecuación, debe caracterizar los mecanismos básicos involucrados en este tipo de procesos de conminución, vale decir, fractura y abrasión. La fractura guarda relación con eventos catastróficos en los cuales partículas frágiles se parten en múltiples fragmentos de menor tamaño debido a la acción de impacto del medio de molienda. Por otra parte, la abrasión es un mecanismo de desgaste gradual y continuo de las partículas caracterizado por el redondeamiento y eliminación de sus aristas produciendo un gran número de pequeños fragmentos. En un enfoque mas pragmático, es razonable suponer que la velocidad de producción de material pasante por una determinada malla o tamaño, es proporcional a la cantidad de material retenido sobre la misma de tal modo que: c c d  Gi   S i 1  Gi     dt  i  1,2,.....n

Donde la constante cinética -1

expresada en min .

S

i

se denomina Función Selección aparente y queda

Por lo tanto la ecuación se puede reducir a: In Out c     S i H 1    0   Gi Gi   M  Gi 

i  1,2,......, n

Además por analogía a la molienda convencional en molinos de bolas, podemos suponer que la función de selección aparente es linealmente escalable con la potencia neta consumida por el molino y la cantidad de material retenido en éste:


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P   H i  1,2,....., n

S  Si

E

i

Si

Donde la constante de proporcionalidad

E

se denomina función de selección

aparente específica y viene a caracterizar la blandura efectiva del mineral para el conjunto de condiciones de operación y diseño bajo las cuales se está procesando. Reagrupando las ecuaciones se obtiene lo siguiente: In Out E c   Gi   S i E 1  Gi   0 G i     i  1,2,....., n

Donde queda de manifiesto que el consumo específico de energía, es la principal variable determinante de la respuesta del sistema de molienda. La función selección

Si

aparente específica

E

actúa como un multiplicador de eficiencia para convertir

energía en la acción de conminución. Ahora si suponemos que el molino se comporta como un mezclador perfecto y su parrilla como un clasificador ideal, podemos plantear:

Gi

 1 si

Out

d d i

c

Gi

Out

 Gi Gg

Donde

d

c

g

si

g

d d i

g

= abertura efectiva de la parrilla.

Es decir, la distribución de tamaños de las partículas descargadas por el molino a través de la parrilla es igual a la distribución relativa de las partículas con el tamaño inferior a la abertura de la parrilla, en el interior del molino. Por lo que podemos plantear lo siguiente:

Gi Si

d d i

c

 Gi

In

E

1 Si E

Si

Gi 

Gi

In

1

Gg d d i

E

g

c

Si

E

E

 Si E E

c

 Si E

g


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Respecto de la granulometría de descarga es de alguna manera similar al análisis precedente

Gi

Si

Out

1

d d i

g

In

Gi Si

d d i

Out

E

 Si  Gi 1  Gi S i c

E

E E

g

En las ecuaciones, la fracción de material de tamaño inferior a la abertura de la parrilla

Gg

c

está manejada como un parámetro mas del modelo. En la práctica, este valor

depende de la capacidad de evacuación del material a través de la parrilla y puede ser estimado por medio de un transporte adecuado. La función de selección aparente específica base de la ecuación de balance como sigue:

Si

E

puede ser fácilmente estimada sobre la

In  Out  Gi Gi   Si   c E 1  Gi    E

Un caso interesante de analizar, resulta de observar que el material retenido, vale decir, el material que no cumple con d i  d g constituye en definitiva lo que comúnmente llamamos inventario del molino. Las gráficas de la potencia versus inventario del molino como la que se muestra en la figura a continuación y que comúnmente son utilizadas para visualizar de alguna manera donde se encuentra la mayor capacidad de tratamiento del molino, o como se menciona en párrafos anteriores, la capacidad de evacuación de material máxima.


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En la gráfica, el peso al interior del molino, indirectamente se mide en base a la presión en los descansos del molino y frecuentemente, la bibliografía postula que la mayor capacidad de tratamiento se logra cuando la operación logra llegar controladamente al punto máximo de la curva potencia inventario. Si hacemos un balance nuevamente pero, esta vez la haremos de modo de visualizar el valor del inventario, tenemos:

M (t  x )

Out

In

 M (t ) 

dM (t ) dt

Nuestro objetivo, es maximizar el tonelaje tratado, vale decir el tonelaje de salida

M (t  x )

Out

por lo que reordenando la ecuación de balance y derivando tenemos:

d M (t  x )

Out

dt

2

d  M (t )  dM (t ) dt dt

In

Por otra parte

d M (t )

In

k

dt

d M (t ) dt

Donde k es una constante que depende fundamentalmente del tipo de mineral y en alguna medida del equipo por lo que podemos reemplazar en la ecuación obtenida al derivar e igualando a cero se obtiene:

d M (t  x ) dt

Out

2

d M (t ) d  M (t )  k 0 dt dt

Lo que permite maximizar estableciendo de alguna manera que para cada mineral existe un inventario óptimo tal como sigue: 2 y  ky  0

M2 M1

En la gráfica que se muestra a continuación se visualiza esta situación de manera fehaciente.


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En esta figura, contrastando potencia y rendimiento con la presión en los descansos, es posible ver que el máximo tonelaje tratado se obtiene alrededor de los 720 psi de presión donde se logran 120 Toneladas por cada kwatt suministrado contra los 80 T/Kwatt que se consiguen en el punto de máximo inventario.

Clasificación con Hidrociclones En 1976, L.R. Plitt desarrolló un modelo matemático de la operación de los hidrociclones de estructura similar al modelo hecho por Rao-Lynch pero, con algunas diferencias importantes. En general los mecanismos de clasificación y de bypass se igualan a los de Rao-Lynch, Sin embargo, el principio de constancia de la curva de eficiencia reducida es argumentado, de igual forma que la dependencia de la partición de aguas en términos exclusivos del diámetro del apex y del flujo másico de agua en la alimentación. Acorde con Rao-Lynch Bp 

Ag Ag

Dc



Ag

Ac



Ag

Ac

Ag Ac

Rc

  1  Ag Ag

Rc Ac

Acorde con lo dicho:

Ag Ag Donde

Ag

Dc

Rc Ac



B Ag

0 Ac

 Apex    B1  B 2   Ag  Ac  

= TPH de agua en la descarga del hidrociclón.

Entonces Bp  1  B1 


B Ag

0 Ac

 Apex    B2   Ag  Ac   Página 98 de 114


O sea:



Bp  f Apex , Ag , B0 , B1 , B2 Ac



Eficiencia corregida m   d i    Yc  1  exp  ln a      d 50 c    

Para representar la curva de eficiencia corregida del hidrociclón, basado en resultados empíricos y efectuando un detallado análisis estadístico, Plitt concluyó que la ecuación se ajustaba plenamente a los valores experimentales incluso comparada con los resultados obtenidos por Rao-Lynch. Las restricciones mas importantes a ser cumplidas son: 1. Para di=d50c 2. Para di=0 3. Para di=∞

Yc=0,5 Yc=0 Yc=1

Entonces

0,5  1  exp(  ln a)

O sea a=2 Por lo que la ecuación queda como sigue: m   d i    Yc  1  exp  0,69315     d 50 c    

La ecuación indica que la curva de eficiencia corregida puede ser representada apropiadamente por una expresión matemática del tipo Rosin-Rammler. El valor del parámetro m constituye una medida directa de la eficiencia global de clasificación. De tal manera que si m>3, tendremos el caso de una clasificación nítida de gruesos y finas en los flujos de descarga y rebase del hidrociclón, respectivamente. Valores de m inferiores a 2 indicarán una separación relativamente pobre entre partículas gruesas y finas y así sucesivamente. Tamaño de corte del ciclón (d50c) El tamaño de corte llamado comúnmente d50c es el tamaño definido como de igual probabilidad de ser evacuado por el rebase como por la descarga del ciclón. La ecuación utilizada por el modelo de Plitt es la siguiente:


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A DC D I DO exp 0,063Sv  d  DU h Q  s   l  0 , 46

1, 21

0, 6

0

50c

d D

0 , 38

0 , 45

0,5

Valor de d50 corregido (micrones)

50c

Diámetro interno del hidrociclón, medido en la parte inferior del vortex finder (pulgadas) Diámetro interno de la abertura de alimentación al hidrociclón, o bien

C

D

0 , 71

 Ai  4   

I

0,5

para entradas no circulares

Área de la sección transversal de entrada al hidrociclón (pulg2)

A D

i

Diámetro interno de la abertura del rebase, o vortex finder del hidrociclón (pulg) % Volumétrico de sólidos en la pulpa alimentada al hidrociclón Diámetro interno de la abertura de descarga (apex) del hidrociclón (pulg) “Free vortex height” del hidrociclón, definida como la distancia entre la parte nferior del vortex finder y la parte superior del apex (pulg) Flujo volumétrico de pulpa alimentado al hidrociclón (pie 3/min)

O

Sv

D

U

h Q

 ,...  s

Densidades del sólido y del líquido respectivamente (g/cm 3) l

Constante del modelo ajustado, debiendo ser experimentalmente Plitt propone partir con A0 = 35

A

0

determinada

Para calcular el parámetro m Plitt propone la siguiente ecuación 2    DC h  ln m  1  1,58(1  Rv )  0,15 ln   Q   

Donde Rv 

S

Q ,Q ,Q F

O

U

Q Q

U F



S 1 S

Distribución de caudales volumétricos (Flow splits) del rebase y descarga del hidrociclón Flujos volumétricos de la alimentación, del rebase y la descarga del hidrociclón (pie3/min)

Ecuación para la distribución de caudales volumétricos de rebase y descarga (Flow splits)


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3, 31

 DU   h B  D O   S 0

0 , 54

D

U

2

 DO2

0 , 24

H DC



0 , 36

exp(0,0054Sv)

1,11

Además S

Q Q

U O

Para B0 Plitt sugiere utilizar 2,9 La capacidad volumétrica de los ciclones según Plitt se puede obtener mediante el siguiente algoritmo empírico:

Q  C0

Dc

0, 21

Da



0 ,16 h Dd 2  Dr 2 exp 0,0031Sv 

0 , 53



0 , 49

P

0 , 56

Plitt sugiere para C0 el valor de 0,000552 el que posteriormente puede ser recalculado acorde a los datos experimentales.


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CAPÍTULO VIII SEDIMENTACIÓN Y ESPESAMIENTO Introducción Uno de los procesos mas antiguos y ampliamente usados en el tratamiento del agua, es la sedimentación. Se entiende por sedimentación a la remoción, por efecto gravitacional de las partículas en suspensión en un fluido y que tengan peso específico mayor que el fluido. En un intervalo de tiempo, no todas las partículas en suspensión sedimentan. Justamente las que sedimentan en un intervalo de tiempo dado, son los llamados “sólidos sedimentables”. La sedimentación como tal, es un fenómeno netamente físico. Está relacionado exclusivamente con las propiedades de caída de las partículas en el agua. Cuando se produce la sedimentación, el resultado será siempre un fluido clarificado y una suspensión mas concentrada. En el tratamiento de aguas, la sedimentación también puede ocurrir después de un proceso de coagulación y floculación, produciéndose en muchos casos, conjuntamente o casi al mismo tiempo. La coagulación se logra por la unión de partículas coloidales y las partículas suspendidas mediante agentes químicos. Se obtienen así partículas de mayor tamaño logrando con ello un mayor peso específico derivando en la sedimentación de estos flóculos o, simplemente la decantación. La decantación, está normalmente ligada a la floculación pues lógicamente mientras las partículas se asientan, al ser arrastradas las partículas mas pequeñas por las mas grandes, se siguen agrandando los flóculos, constituyendo un proceso muy complejo.

Teoría básica de sedimentación La sedimentación es una operación unitaria consistente en la separación por la acción de la gravedad de las fases sólida y líquida de una suspensión diluida para obtener una suspensión concentrada y un líquido claro. Se pueden distinguir dos tipos de sedimentación, atendiendo al movimiento de las partículas que sedimentan: Sedimentación libre: se produce en suspensiones de baja concentración de sólidos. La interacción entre partículas puede considerarse despreciable, por lo que sedimentan a su velocidad de caída libre en el fluido. Sedimentación por zonas: se observa en la sedimentación de suspensiones concentradas. Las interacciones entre las partículas son importantes, alcanzándose velocidades de sedimentación menores que en la sedimentación libre. La sedimentación se encuentra retardada o impedida. Dentro del sedimentador se desarrollan varias zonas, caracterizadas por diferente concentración de sólidos y, por lo tanto, diferente velocidad de sedimentación.


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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Dependiendo de cómo se realice la operación, la sedimentación puede clasificarse en los siguientes tipos: Sedimentación intermitente: el flujo volumétrico total de materia fuera del sistema es nulo, transcurre en régimen no estacionario. Este tipo de sedimentación es la que tiene lugar en una probeta de laboratorio, donde la suspensión se deja reposar. Sedimentación continua: la suspensión diluida se alimenta continuamente y se separa en un líquido claro y una segunda suspensión de mayor concentración. Transcurre en régimen estacionario. SEDIMENTACIÓN POR ZONAS En la figura 8.1 se representa el proceso de sedimentación por zonas en una probeta. Este proceso consta de las siguientes etapas: en un principio el sólido, que se encuentra con una concentración inicial x0 (figura 1a), comienza a sedimentar (figura 1b), estableciéndose una interfase 1 entre la superficie de la capa de sólidos que sedimentan y el líquido clarificado que queda en la parte superior (zona A). La zona por debajo del líquido clarificado se denomina zona interfacial (zona B). La concentración de sólidos en esta zona es uniforme, sedimentando toda ella como una misma capa de materia a velocidad constante Vs. Esta velocidad de sedimentación puede calcularse a partir de la pendiente de la representación de la altura de la interfase 1 frente al tiempo, tal y como se muestra en la figura 8.2. Simultáneamente a la formación de la interfase 1 y de la zona interfacial, se produce una acumulación y compactación de los sólidos en suspensión en el fondo de la probeta, dando lugar a la denominada zona de compactación (zona D). En esta zona la concentración de sólidos en suspensión es también uniforme y la interfase que bordea esta zona, interfase 2, avanza en sentido ascendente en el cilindro con una velocidad constante V.

Figura 8.1. Proceso de sedimentación por zonas Ingeniería Civil Minas

. Página 103 de 114


Entre la zona interfacial y la zona de compactación se encuentra la zona de transición (zona C). En esta zona la velocidad de sedimentación de los sólidos disminuye debido al incremento de la viscosidad y de la densidad de la suspensión, cambiando la concentración de sólido gradualmente entre la correspondiente a la zona interfacial y la de la zona de compactación. Las zonas de compactación e interfacial pueden llegar a encontrarse, produciéndose la coalescencia de las dos interfases anteriormente citadas, en el denominado momento crítico tc, desapareciendo la zona de transición (figura 8.1c). En este momento el sólido sedimentado tiene una concentración uniforme Xc o concentración crítica, comenzando la compactación y alcanzándose, posteriormente, la concentración final Xu (figura 8.1d). La velocidad de sedimentación en el momento tc corresponde a un valor Vc dado por la pendiente de la tangente a la curva de sedimentación en el punto C, tal y como se indica en la figura 2 donde Vc< Vs.

Figura 8.2. Representación gráfica de la altura frente al tiempo.

SEDIMENTADOR CONTINUO El diseño de un sedimentador continuo puede realizarse a partir de los datos obtenidos en experimentos discontinuos. La sedimentación continua se realiza industrialmente en tanques cilíndricos a los que se alimenta constantemente la suspensión inicial con un caudal inicial Q y una concentración 0

inicial C0 (figura 8.3). Por la parte inferior se extrae un lodo con un caudal Qu y una concentración Cu, normalmente con ayuda de rastrillos giratorios, y por la parte superior del sedimentador continuo se obtiene un líquido claro que sobrenada las zonas de Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA clarificación (A), sedimentación (B-C) y compresión (D) que pueden distinguirse en la figura 8.3. En un sedimentador continuo, estas tres zonas permanecen estacionarias.

Figura 3. Sedimentador continuo.

El procedimiento a seguir para diseñar sedimentadores que operen en condiciones de sedimentación por zonas es el siguiente: 1. Calcular el área de la superficie mínima que se requiere para conseguir la clarificación del sólido. 2. Calcular el área de la superficie mínima que se requiere para conseguir el espesamiento del sólido y alcanzar la concentración deseada. 3. Seleccionar la mayor de estas dos áreas como área de diseño para el sedimentador.

DETERMINACIÓN DEL ÁREA MÍNIMA REQUERIDA PARA CONSEGUIR LA CLARIFICACIÓN. El área mínima requerida Ac para la clarificación depende de la velocidad Vs para la que las partículas en suspensión sedimentan antes de alcanzar la concentración crítica interfacial Xc. En condiciones de caudal constante, la velocidad del clarificado que rebosa por la parte superior del sedimentador, o vertedero, no debe exceder de Vs si se desea evitar el arrastre de las partículas y la clarificación. Por lo tanto, el área mínima requerida para la clarificación Ac puede calcularse a partir de la expresión:

A

C



Q V

E

Ec:1

S

en la que QE es el caudal (m3/s), Vs es la velocidad de sedimentación por zonas (m/s) y Ac el área mínima requerida para la clarificación (m 2). Ingeniería Civil Minas

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UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA El valor de la velocidad en la zona de sedimentación libre, Vs, puede calcularse a partir de la pendiente de la tangente de dicha zona de las curvas de sedimentación, tal y como se muestra en la figura 8.2. El valor de t se puede leer directamente de la abcisa en el punto B. Vs en la ecuación (1) corresponde a la velocidad a la cual las partículas en suspensión sedimentan antes de alcanzar la concentración crítica Xc y viene dada por la pendiente de la tangente AB de la curva correspondiente a la concentración inicial X0:

V

S



OA H 0  OB t

DETERMINACIÓN DEL ÁREA ESPESAMIENTO DEL SÓLIDO.

Ec:2

MÍNIMA

REQUERIDA

PARA

EL

El hecho de que el área de la sección del sedimentador pueda calcularse para asegurar la clarificación de la suspensión no significa que se alcance la concentración deseada de sólido en la disolución de salida, Xu. Generalmente el área de la sección requerida para el espesamiento suele ser mayor que la requerida para la clarificación. El procedimiento desarrollado por Yoshioka y Dick para la determinación de la sección mínima requerida para el espesamiento se basa en las siguientes consideraciones: En primer lugar ha de considerarse que los ensayos de sedimentación llevados a cabo en el laboratorio no corresponden a un funcionamiento en continuo (figura 3). La capacidad del sedimentador discontinuo para arrastrar los sólidos a su parte inferior, con una concentración Xi, en funcionamiento discontinuo, viene dada por:

G

B



XV i

i

Ec:8.3

en la que: GB = caudal de sólido (kg/m2 s) Xi = concentración de sólido en disolución (kg/m3 ) Vi = velocidad de sedimentación en la zona para una concentración Xi (m/s). A partir de la ecuación [3] puede obtenerse la curva de flujo discontinuo: en la figura 8.4 se representa una curva típica G en función de X. Esta curva presenta un punto máximo debido a que la velocidad de sedimentación disminuye según se incrementa la concentración de la suspensión.


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Figura 8.4. Procedimiento gráfico para determinar G . T

A concentraciones muy elevadas, cuando la suspensión se aproxima a una posición de equilibrio, Vi → 0 y, por lo tanto, según la ecuación [8.3], GB → 0. Por otro lado, a concentraciones muy bajas, cuando Xi→ 0, la ecuación [8.3] indica que GB también se aproxima a 0. Esto sugiere que se debe alcanzar un máximo para GB en alguna concentración intermedia Xi, lo que explica la forma de la curva de flujo discontinuo. Consideremos ahora la sedimentación que realmente se produce en un sedimentador continuo. Los sólidos se transportan hacia la parte inferior tanto por gravedad como por el movimiento que resulta por la separación del sólido en el fondo del sedimentador. La ecuación de flujo total será la siguiente:

G G G T

B

en la que:

U

Ec:8.4

2

G = flujo total de sólidos (kg sólidos / m s). T

2

G = flujo de sólidos en funcionamiento discontínuo (kg sólidos / m s). B

2

G = flujo de sólidos que sale al exterior (kg sólidos / m s). u

El término G puede escribirse también: u

G

U



XV i

U

Ec:8.5

donde V es la velocidad del sólido debida a la extracción que se hace por la parte u

inferior (m/s). El flujo total G puede hacerse variar por el diseñador controlando V ya T

que está determinado por el caudal de bombeo de extracción.

u

Sustituyendo en la ecuación [8.4] los valores de G y G dados por las ecuaciones [8.3] y [8.5] se obtiene:


B

u

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G

T



XV XV i

i

i

Ec:8.6

U

Si pudiera obtenerse un valor G tal que se obtuviese el valor deseado de X , es decir, T

u

de la concentración de sólido de la disolución de salida del sedimentador, la mínima sección A del sedimentador en continuo requerida para el espesamiento del sólido t

podría obtenerse rápidamente a partir de:

A

T



M

G



T

Kg _ sólidos / s  m2 Kg _ sólidos / m2 s

Ec:8.7

en la que M = Q X , siendo Q el caudal del influente y X la concentración de sólidos 0

en esta corriente.

0

0

0

Para obtener el valor de GT a partir de la curva de flujo discontinuo de la figura 8.4, se señala en el eje de abcisas el valor Xu o concentración deseada de sólidos en la disolución a extraer, especificada por el diseñador. Desde Xu se traza una tangente a la curva de flujo discontinuo tal y como se indica en la figura. P es el punto de tangencia. La intersección de esta tangente con el eje de ordenadas nos permite establecer la distancia OB, que corresponde al caudal de sólidos límite (G T) que puede permitirse para obtener la concentración de la disolución de salida Xu. Esto puede concluirse considerando los pasos que se indican a continuación: Paso 1. Considerar el punto de tangencia T, correspondiente a la abcisa Xi. La ordenada del punto de tangencia (distancia 0A) es igual a GB. Si se traza una línea recta que una el origen 0 con el punto de tangencia T, la pendiente de esta línea es igual a Vi puesto que:

OA  O X i tg

G

B



X

i

tg

Ec:8.8

Teniendo en cuenta la ecuación [8.3]:

G

B



XV i

i

resulta que Vi = tg α. Paso 2. De la figura 4 se puede deducir que:

B

X

U

tg Ec:8.9

Considerando ahora la velocidad de salida de sólido Vu:

V

Procesos mineralógicos

U



Q A

U

Ec:8.10

T

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Multiplicando simultáneamente numerador y denominador de la ecuación anterior por Xu se transforma en la siguiente:

V



U

Q X AX U

U

T

U

Ec:8.11

Por otra parte, el balance de materia para sólidos en suspensión en el clarificador nos permite obtener la siguiente expresión:

QX 0

0

 M Q

X

U

Q

U

E

X

E

Ec:8.12

Teniendo en cuenta que para un sedimentador bien diseñado la pérdida de sólidos con el líquido que rebosa o líquido clarificado (QE XE) debe ser despreciable, una forma aproximada del balance de materia podría ser:

QX 0

 M Q

0

U

X

U

Ec:8.13

Utilizando la ecuación [8.13], la ecuación [8.11] nos permite escribir:

V

U



QX AX 0

0

T

U

Ec:8.14

M



AX T

U

A partir de la ecuación [7] se puede obtener:

M

AG T

T

Ec:8.15

Sustituyendo este valor en el numerador de la ecuación [8.14] y simplificando:

V

U



G X

Ec:8.16

T U

de donde:

G

T



X V U

U

Ec:8.17

Comparando las ecuaciones [9] y [17] se puede deducir que la pendiente de la línea BXU de la figura 8.3 es igual a la velocidad de salida de sólido Vu y que la intersección en el punto B da un valor igual al flujo total límite G T. Teniendo en cuenta que, a partir de la ecuación [4] GT = GB + GU, se deduce que la distancia vertical AB en la figura 8.3 debe ser igual al valor Gu del caudal o flujo de los sólidos extraídos. Por lo tanto, el procedimiento gráfico para determinar la sección mínima At que se requiere para el espesamiento, debe ser el siguiente: 1. Construir la curva de flujo de circulación de sólidos en discontinuo a partir de la ecuación [3] utilizando el valor de Vi obtenido a partir de los ensayos de laboratorio en discontinuo para diferentes concentraciones de sólidos Xi.


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2. A partir del valor específico de la concentración del sólido extraído Xu, en la abcisa, trazar una tangente a la curva de circulación de sólidos. La intersección de esta tangente con el eje de ordenadas nos dará el flujo total de sólidos GT. 3. Calcular tanto el área mínima requerida para la clarificación Ac así como el área mínima requerida para el espesamiento At. Se seleccionará la mayor de las dos como área en la que se basará el diseño del sedimentador.

INSTALACION EXPERIMENTAL Consta de una serie de probetas de vidrio cilíndricas graduadas que contienen suspensiones de carbonato cálcico en agua de diferentes concentraciones. A ésta se ha añadido un colorante soluble con el fin de apreciar mejor la separación entre la zona de líquido claro y la zona que ocupa la suspensión (figura 8.5).

Figura 5. Instalación experimental.

PROCEDIMIENTO OPERATIVO Agitar la probeta hasta conseguir homogeneizar toda la suspensión. Se coloca la probeta en un plano horizontal, sin vibraciones y se comienza a medir la altura de la interfase 1 a diferentes tiempos de sedimentación. El proceso es inicialmente rápido, por lo que deberán tomarse medidas a intervalos pequeños de tiempo. Posteriormente dichos intervalos podrán ser mayores. Las medidas se tomarán para un tiempo de 60 minutos: los primeros 15 minutos se anotará la altura de la interfase cada minuto, posteriormente hasta los 25 minutos se hará cada 2 minutos y el tiempo restante, hasta los 60 minutos, cada 5 minutos. Se representará gráficamente hL frente a t.

Ley de Stoke Asumiendo que las partículas en un medio acuoso, decantan tal cual se tratare de una esfera debemos tomar en consideración que la esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente


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sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar). El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material ρe por el volumen de la esfera de radio R.

De acuerdo con el principio de Arquímides, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρf, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stoke

donde  es la viscosidad del fluido. La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

Despejamos la velocidad límite vl

La ecuación del movimiento es

donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πR


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Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo.

Obtenemos

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vl.

Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en el instante inicial t=0.

se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será proporcional al tiempo t. Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro. Caída libre

En el seno de un fluido viscoso

La velocidad es proporcional al tiempo

La velocidad tiende hacia un valor constante

El desplazamiento es proporcional al cuadrado del tiempo.

El desplazamiento es proporcional al tiempo.


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Ejemplo:

En un tubo vertical lleno de aceite de automóvil dejamos caer perdigones de plomo. El diámetro del tubo es mucho mayor que el diámetro del perdigón. Los datos son   

Densidad del plomo ρe=11.35 g/cm3 Radio de la esfera R=1.96 mm Densidad del aceite ρf=0.88 g/cm3

Viscosidad del aceite η=0.391 kg/(m·s) Se alcanza el 99.5% de la velocidad límite constante en el instante t tal que

Donde k=6πRη=0.014 kg/s, y la masa de la esfera es m=ρe4/3πR3=3.58·10-4 kg Despejamos el tiempo t=0.13 s La esfera se habrá desplazado en este tiempo x=0.023 m Si dejamos caer la bolita desde la superficie del aceite, podemos comenzar a tomar medidas con seguridad 3 centímetros por debajo de dicha superficie.

En este ejemplo, se ha supuesto que el fluido se mantiene en régimen laminar cuando se mueve la esfera en su seno. El rango de validez de la ley de Stoke se expresa en términos del denominado número de Reynolds.


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Mineralogía y Metalurgia

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