Midas NFX Analysis Manual

Analysis Manual

Analysis Manual midas NFX

MIDAS Family Program은

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. .

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프로그램 검증과 사용전 유의 사항 MIDAS Family Program은 수천 종의 예제 문제를 통하여 이론치 그리고 타 S/W와의 마친바 있으며 최신의 이론을 우수한 해석결과를 산출합

니다. 그리고 1989년 개발 이후 과

포함해 국내외 5,000여

정확성

.


엄격한

,

검증과정을 거친

.

그러나 방대한 양의 이론과

및 설계

특성상,

MIDAS Family Program을

발생될 수 있는 어떠한 이익과 손실에

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조설계 기술을

토목, 지반, 및

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님들과 기술자 본

개발과

작성에 도움을 주신 학계 교수님, 그리고 관련 분 .

개발을 위해 지원을 아끼지 않으신

면을 빌어 감사의 말씀을 폐사는 이러한

본 지

.

기여에

다. 본 보에

축적한 구 국내의 여러 교수

.

야의 기술자 그리고 본

영역을

위해서 최선을 다하여 개발에 전념할 것입니 및 설계 분야의 기술 신장과 대외 기술 경쟁력 확

기여할 수 있기를

.

midas NFX

기계

대외 기여할 수 있기를

제 작 : (주 )

확보에 .

MIDAS Information Technology Co., LTD

Analysis Manual Modeling, Integrated Design & Analysis Software

ㅡ

1

Analysis Manual midas NFX

2

Analysis Manual 목차 1. Introduction 1.1 단위계 / 7

··········································································································

5

1.2 파일 시스템 / 8 1.3 표시법 / 10 2. Node/DOF/Coordinate System

·······································································

13

2.1 절점과 자유도 / 12 2.2 좌표계 / 14 2.3 유한회전의 기술 / 17 3. Elements

···············································································································

19

3.1 유한요소 정식화 / 21 3.2 형상함수 / 23 3.3 잠김 현상에 대한 보완 / 31 3.4 Rod 요소 / 42 3.5 Embedded Rod 요소 / 47 3.6 Bar 요소 / 50 3.7 Embedded Bar 요소 / 57 3.8 Pipe 요소 / 58 3.9 Cable 요소 / 62 3.10 Membrane 요소 / 65 3.11 Shell 요소 / 72 3.12 Surface 요소 / 81 3.13 Plane strain 요소 / 85 3.14 Axisymmetric solid 요소 / 88 3.15 Solid 요소 / 93 3.16 Layered shell 요소 / 100 3.17 Layered solid 요소 / 105 3.18 그 밖의 요소 / 111 3.19 기하강성 / 124 3.20 열전도 요소 / 128 3.21 줄 발열 요소 / 132 3.22 응력 오차 / 136

3

4. Material

··············································································································

138

4.1 탄성 재료의 성질 / 139 4.2 비선형탄성 재료의 성질 / 144 4.3 소성 재료의 성질 / 147 4.4 초탄성 재료의 성질 / 156 4.5 열전도 재료의 성질 / 161 4.6 점탄성 재료의 성질 / 162 4.7 복합재료 적층이론 / 171 4.8 복합재료 파손이론 / 174 5. Algorithm

···········································································································

178

5.1 연립방정식 해법 / 178 5.2 고유치 추출법 / 182 5.2.1

/ 185

5.3 유효질량과 모드중첩법 / 186 5.4 동적응답 해법 / 191 5.4.1

/ 191

5.4.2 주파수 응답 / 195 5.4.3 랜덤 응답 / 197 5.4.4 응답 스펙트럼 / 202 5.5 비선형 유한요소 해법 / 209 5.6 대변형을 고려한 변형률/ 응력 산출법 / 215 5.7 비선형 동적응답 해법 / 220 5.7.1 외연적 시간적분법 / 220 5.7.2 내연적 시간적분법 / 226 5.8 접촉조건 / 227 5.9 피로해석 / 235 5.10 응력의 선형보간 / 244 5.11 위상 최적화 / 248 5.12 치수 최적화 / 255 6. Load/Constraint

································································································

6.1 하중 / 261 6.2 구속조건 / 266 6.3 열하중/경계조건 / 270

4

261

6.4 특이성 오류 / 276 6.5 하중의 비선형성 / 278

5

Introduction

1. Introduction 본

midas NFX의

다. 본

관한 기술적 내용과 이론에 대해 소개한

내용은 midas NFX의 모든 기능에 대한 설명을

있으

나 실제로

사용할 수 있는 기능은 사용 버전에 따라 그 범위가 다

를 수 있다. 본

목적은 midas NFX의 사용과 이해에 도움이 되도록 개

발에 사용된 이론과 사용 시에 필요한 적인

사항을

있는

내용은

있으나, 일반

내용 또는

난해한

.

midas NFX는 C++를

개발된 범용

해석(general purpose

다음과 같은

finite element analysis)

기능을

있

다.

표 1.1

midas NFX의 해석 기능

Linear static structural analysis

선형 정적 모드 해석

Normal mode analysis

선형 좌굴 해석 선형

Linear buckling analysis

해석(직접법/모드법)

Frequency response analysis

주파수 응답 해석(직접법/모드법) 응답

해석

(direct/modal)

Response spectrum analysis

랜덤 해석(직접법/모드법) 비선형

열전달 해석

비선형

열전달 해석

비선형 정적 해석 비선형 준정적 해석

Linear transient analysis (direct/modal)

Random analysis (direct/modal) Nonlinear steady-state heat transfer analysis Nonlinear transient heat transfer analysis Nonlinear static analysis Nonlinear quasi-static analysis

비선형 동해석(외연적

)

Nonlinear explicit transient analysis

비선형 동해석(내연적

)

Nonlinear implicit transient analysis

5

Analysis Manual

또한,

표

1.1의

조합을

해석(prestressed

analysis) 또는 열응력 해석(thermal stress analysis) 과 같이 두 가지 이상의 서로 다른

.

조합이

midas NFX를 비롯한 범용 정은

문제를 푸는 과

►

해석 모델 정의 (node, element, mesh, load, boundary condition)

►

해석 종류 정의 (analysis case)

►

해석 실행 (solve)

►

결과 분석 (post-mode)

본 을

6

해석

다음과 같다.

위의 각 항목을 있다.

위한

,

내용 또는 이론

Introduction

1.1 단위계

해석 모델의 정의를

크기, 재료의 성질 등이

물리량(physical quantity)에 대한 정보는

이들

특정 단위계(unit system)를

. midas NFX에서는 힘/길이/에너지/시간에 대한 단위 변환이 , 해석 모델의 정의 과정 중에 어

필요에 따라

바꾸

진행할 수 있다. 해석 모델의 정의를 마치고 해석을

전에

는 다음과 같이 힘/길이/에너지/시간에 대한 값에 대해 English 단위계 또는 SI 한다.

표 1.1.1

단위

English/SI

English 물리량

SI

위치, 길이, 변위 inch

meter lbf/inch2

모멘트

inch-lbf

힘 lbf

Newton lbf-sec2/inch

질량 시간

second

kilogram

second lbf/inch2

응력

English

Newton/meter2

Newton-meter

Newton/ meter

길이 단위로 inch 외에 ft 를 점은 질량 대신 무게를 자주

2

경우도 많으며, SI 것이다. 이 경우 중

력 가속도(gravity acceleration) 에 의한 질량-무게 관계( mass  weight / g )를 적용 해야 하는데, midas NFX에서는 중력 해석에

의한 질량-무게 관계를

시간 단위가 포함된 결과(예 : Hz) 에 있어서 적절한 결과값

을 얻을 수 있도록 하였다.

7

Analysis Manual

1.2 파일시스템

midas NFX를 이용한

해석

몇 가지 파일을 생성 또는 저장

해야 하며, 해석 실행 도중에 여러 가지

midas NFX에서

된다.

파일 목록과 각각의 내용은 다음과 같다.

표 1.2.1

midas NFX의 주요 파일

형식

내용

ModelName.nfx

Binary

모델 데이터 파일 (analyst)

ModelName.nfxd

Binary

모델 데이터 파일 (designer)

ModelName_AnalysisName.mec

ASCII

해석기 입력 파일

ModelName_AnalysisName.log

ASCII

해석 실행 기록 파일

ModelName_AnalysisName.out

ASCII

해석 결과 데이터 파일

ModelName_AnalysisName.nfxp

Binary

해석 결과 데이터 파일(

)

midas NFX의 결과 파일은 ASCII 형식의 .out 과 이진(binary) 형식의 .nfxp 파일 이 있다.

요구한 결과 항목은 .nfxp에

통하여 결과를 일과 유사한

위해

.out 파일은 .nfxp 파

. ASCII

포함할 수 있으며 포함 여부는 사용자 옵션에 의해 조절

된다.

midas NFX의 해석 도중에

목록과 각각의 내용은 다음과 같

다.

표 1.2.2 해석 중 생성되는 파일

/내용

InputName.DASM#.bin InputName.FACT#.bin# InputName.EIGS#.bin#

해석 중

8

모든

생성,

관련 정보

해법 선택 시 생성, 행렬 정보 고유치 해석 시 생성, Lanczos

폴더(scratch folder)에

정보

스크래

Introduction

치 폴더의

위치와 같다.

9

Analysis Manual

1.3 표시법

본

행렬

표시법(matrix

notation)을 동시에 매우

성분

표시법(component

2차 텐서(tensor)의 표현에 있어서

때문에 가능한

이론을

notation)과

. 행렬 행렬

.

있어서 필요한 값들은 스칼라(scalar), 벡터(vector), 2차 텐서

(second order tensor) 혹은 행렬(matrix), 4차 텐서(fourth order tensor) 등이 있 다. 행렬

다음과 같이

.

표 1.3.1 행렬 표시법

스칼라

u

벡터

u

,



2 차 텐서, 행렬

A

,



4 차 텐서

C

볼드(Bold)체를



*

벡터와 텐서의

해 각각을

한다. 행렬

내용에 의

물리적 의미 또는 물리량 간의 관계를

있어 매우

. 그러나 행렬

한 연산 또는

복잡

연산이 필요한

. 성분

성분

것이

기초로 하며 각각의

기저 벡터

(base vector)에 의해 정의될 수 있다. 기저 벡터는 3 차원 (i  1,2,3) 로

면 임의의 벡터

각각은 서로 u

1

u

i

성분 또는 성분을

10

,

를 다음과 같이 표현할 수 있다.

u e u ei

ei

않을 수 있다. 기저 벡터를 이용하

 1e

u 2e2  u 3

3

(1.3.1)

: 기저 벡터 : 성분

하첨자

i

는 엄밀한

상첨자

i

는

(covariant) 기저 벡터 (contravariant) 기저 벡터 또

Introduction

는 성분을

직교 좌표계(orthonormal coordinate system)에

.

서는 둘 다 성분

않는다. 사용할 때에는 다음과 같이

규약(summation convention)을

것이 u

비슷한



인덱스(index)에 대한 합의

.

ui ei

(1.3.2)

2차 텐서와 4차 텐서를 성분

다음과 같

다.

A

본

Aeij eij C,



Cijkl eijkleee

별도의 언급이 없는 경우 합의 규약을 적용한 것으로

(1.3.3)

.

11

Analysis Manual

2. Node/DOF/Coordinate system

2.1 절점과 자유도

절점(node)과 요소(element)는

, 모든 해석의

(finite element) 모델의 크기와 모양을 할 수 있다. 절점과 요소에 의해 정의된 모델

은 물리적 현상을 행렬 형태의 수치

표현한 것과 같다. 이 때 행렬

변위(displacement), 회전(rotation), 온도(temperature) 등의 물리량(physical quantity)이며 이를 자유도(DOF : degree of freedom)라 한다.

간단한 예를 들면,

문제에 있어서 절점에

3개의 변

위(displacement)와 3개의 회전(rotation)이다. 이들 6개의

다음 그림과

같다. 2

u2

u1

1

u3

3

그림 2.1.1 직교 좌표계에서의 변위와 회전 자유도

각각의 ►

12

다음과 같은 기호를

DOF 1  T1  u1

►

DOF 2  T2



u2

►

DOF 3  T3



u3

►

DOF 4  R1  1

것이

.

Node/DOF/Coordinate system

►

DOF 5  R2

 2

►

DOF 6  R3

 3

각각의 절점은 운동 방향을

가지며 이를 절점 변위 좌표계 모두

(nodal displacement coordinate system)라 한다. 위에서 언급한 절점에 할당된

방향을 따르게 되며 모든 절점은

계(global coordinate system)를 다. 온도

방향이

전역 좌표

운동 방향을 절점 변위

있

.

13

Analysis Manual

2.2 좌표계

midas NFX에서 사용할 수 있는

종류는 다음과 같다.

►

직교 좌표계 (rectangular coordinate system)

►

원통 좌표계 (cylindrical coordinate system)

Cylindrical coordinate system

Rectangular coordinate system

z

z

Origin

Origin r

y x



그림 2.2.1 직교

원통 좌표계

예를 들어 절점의 운동 방향을 원통

대하여

다

음과 같다. ►

DOF

1 = displacement in r  direction

►

DOF

2 = displacement in

►

DOF

3 = displacement in z  direction

►

DOF

4 = rotation in r  direction

►

DOF

5 = rotation in

►

DOF

6 = rotation in z  direction



  direction

direction

주어진 문제를 기 향을

14

다양한

해석을 하

. 예를 들어 앞서 설명한 절점의 변위 방

위한 좌표계 또는 이방성(anisotropic) 재료의 방향을


위한

하며,

추출을 위해 특정

도 한다. midas NFX에서는 계를

해석을 위하여 다음과 같은 좌표

있다.

표 2.2.1

midas NFX에서

종류

좌표계 종류

설명

전역 좌표계

모델 전체를 하나의 동일한 좌표계, 직교 좌표계

GCS : global coordinate system 절점 변위 좌표계 절점의

NDCS : nodal displacement

직교/원통 좌표계

coordinate system 요소 좌표계

좌표계

요소를

ECS : element coordinate system

재료 좌표계

절점 위치에 의해 결

정되는 좌표계, 직교 좌표계

요소에

MCS : material coordinate system

재료의 방향을 정의

하는 좌표계, 직교/원통 좌표계

요소 결과 좌표계 요소 결과를

ERCS : element result coordinate

좌표계

직교/원통 좌표계

system 요소 기술 좌표계

좌표계

EFCS : element formulation

전역 좌표계 또는 요소

같음

coordinate system

이 중 요소 기술 의 전달 해석의 해석과

해석기(solver)에서

관련이 없으나 본 절점의

midas NFX

내용을

도움이 된다. 열 절점 변위

설정은

재료 좌표계, 요소 결과 좌표계 등은 해석과 결과에 영향을 줄

15

Analysis Manual

수 있다. 요소 좌표계, 재료 좌표계 그리고 요소 결과

Chapter 3에

대한 설명은

있다.

w v y

z y

x

y

x z y

GCS

x

그림 2.2.2

16

midas NFX의 여러 가지 좌표계

x

u


2.3 유한회전의 기술

유한 회전(finite rotation) 을 포함한 변수가

비선형

. midas NFX 에서는 유한 회전의 기술을 위해

(rotation vector) 를 해당 절점의

. 다시 말하면,

비선형 해석의 결과로 각 성분에

절점 자유도 4~6 의

.

θ

는 그 크기

를 가지고 있으며 물리적 θ는

축

e

에 대해 각도

θ

θ

와 방향

eθ/ θ

, 그림 2.3.1 과 같이 (radian) 만큼

θ

것을

.

Axis of rotation e

z



θ θ

y x

그림 2.3.1

주의할

사항은

여러

방향과 크기

개의

적용한

(compound rotation)이 각 벡터의 합으로 예를 들어 θ

*

는

*

θ에

이어

θ  θ  θ

θ

의

의 회전이

점이다. 때

성질을 가진다.

또한

않기 때문에, 그림 2.3.2 와 같이 적용 순서를 바꾸어 회전을

되면 또 다른

(rotation matrix) 을

회전값

(commutative θ

law)이

에 이어

θ

의

된다. 등 많은

알려져 있으나, midas

17

Analysis Manual

NFX 에서는 q

곱(quaternion product)을

는

θ와

다음 관계를 가진다.

q  (q0, q) (cos(

두 개의

θ / 2), sin(

θ/ 2)

q*q  q q q (

:

θ

q

:

θ 에

*

0 0

q q  q q qq0 ,0 q  q

)

(2.3.2)

에

θ (90)

θ (90)

Final configuration

Initial configuration

18

(2.3.1)

)e

곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.

*

q

.

θ (90)

θ (90)

그림 2.3.2

성립하지 않는 복합회전의 예

Elements

3. Elements 이용한 각의 특성을

해석을 것이

사용 가능한 요소의 종류와 각

. midas NFX에서 사용 가능한 요소의 종류

는 그 형상 또는 특성에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다.

•

스칼라(scalar) 요소

1개의 절점을 가지며 절점의 운동이 접지점(ground point)에 대해 변형 또는 운동 도 있으나

•

가지게 된다. 2개의 절점에 의해 정의할 수

거리 등의 형상 정보를

않는다.

1차원 형상

두 개 혹은 세개의 절점을 가지는 직선 상 정보를

•

, 절점 간의 상대 거리 등의 형

.

2차원 형상

삼각형 또는 사각형

3/4/6/8 개의 절점을 가질 수 있다. 2차원 형상은

공간 상에서 곡률을 가질 수 있다.

•

3차원 형상

사면체(tetrahedron), 오면체, 육면체(hexahedron)

4/5/6/8/10/13/15/20

개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소는 쐐기(wedge) 형상 또는

(pyramid) 형상이 된다.

•

특수 요소

특수한


집중 질량(mass)이 있다.

•

강체/보간 요소 강체(rigid body) 운동을

상대적 운동을 보간(interpolation)

19

Analysis Manual

하여 정의할 수 있는

. 다중점 구속(multi-point constraint)과 유사한 특

성을 가진다.

•

조인트 요소 두 점 사이의 다양한 상대적 거동을

.

조인트 타입은 두 점 사이의 상대적 거동을

point)-절점 또는 절점-

두 점은 접지점(ground

구성될 수 있다.

표 3.1 요소의 특성에 따른 분류

특성

요소 종류

Spring(1/2 절점) 스칼라 요소

Mass(1/2 절점) Damper(1/2 절점) Rod(2/3 절점) Bar(2/3 절점) Pipe(2/3 절점)

1차원 형상

절점

Bush(1/2 ) Cable(2 절점) Gap(2 절점) Membrane(3/4/6/8 절점) Shell(3/4/6/8 절점)

평면 응력

Surface(3/4/6/8 절점)

2차원 형상 3차원 응력

Axisymmetric solid(3/4/6/8 절점)

3차원 형상

Solid(4/5/6/8/10/13/15/20 절점)

특수 요소

집중 mass

강체/보간 요소 조인트 요소

표 3.1에 나열된 각각의 요소는 해석 시 각각의

20

Plane strain(3/4/6/8 절점)

Rigid element(rigid body, rigid bar), Interpolation element 조인트 타입에 따라 구분 (1/2 절점)

고려한 물리적 거동은 3.18절에서

열전달

.

Elements

3.1

정식화

선형

Washizu1,

모든 2

포함한 변분(variation) 이론은 Hu-

변분 원리로 알려져 있으며 다음과 같이



 Gext  (  ) uT σ( )( ε)T Dε σ  σT 

u ε d

 Gext

: 외력에 의한 가상 일

u

: 변위

σ

: 응력(stress)

ε

: 변형률(strain)

D

: 응력-변형률 관계 행렬



: 변형률-변위 관계 연산자(operator)

위 식은 평형 방정식(equilibrium equation), 리고

.

(constitutive equation) 그

(compatibility condition)을 포함한 가장 의해 변형률

과 응력

ε

σ

(3.1.1)

의 관계가 항상

. 구성 다음과

같이 Hellinger-Reissner3, 4 원리가 된다.



 Gext  ( ) uT σ(   σT )  u 

의해

ε

1 D σ d

(3.1.2)

과 u 의 관계가

원리(principle of virtual work)가 된다.

1 2 3 4

Hu, H.C., “On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity ,” Scintia Sinica, Vol. 4, 1955 Washizu, K., On the Variational Principles of Elasticity, Aeroelastic and Structural Research Laboratory, MIT, Technical Report, 1955 Hellinger, E., “Der allgemeine Ansatz der Mechanik der Kontinua,” Encyclopadie der Mathernafischen Wissenschaften, Vol. 4, 1914 Reissner, E., “On a variational theorem in elasticity,” Journal of Mathematical Physics, Vol. 29, 1950

21

Analysis Manual



(3.1.3)

최소 포텐셜 에너지 원리에

위하여 적분 영역을 하나의

 Gext  (  u )T D  ud 

요소로

. 하나의 요소 내에서 변위

u

를 형상 함수로 보간하

면 다음과 같다. uh  Nde N

d

e

(3.1.4)

: 형상 함수 (shape function) : 요소 자유도

변형률-변위 관계 ε h  uh  Bde 를

원리를 다음과 같이 표현

할 수 있다.

 Gext   d TF

T

d

T

 B  DBT   e

이 식은 미소 변위를 가지는 탄성 K 는 변위 d 에

22

해석에

 B DB T

e

(3.1.5)



. 개별 요소의 강성은 K e 로

Ke 

열전달

dd  d Kd

, 선형 다음과 같다.

d

정식화 과정은 3.18절에서

(3.1.6)

.

Elements

3.2 형상 함수

요소의 정의는 형상 함수에 의한 변위장(displacement field)의

출

발한다. 혼합법(mixed formulation)을 비롯한 수많은 요소 성능 향상 적용된 요소 역시

가정이

. 본 절에서

특

별한 언급이 없는 한 열전달 해석을 위한 함수의 표현을 되는

1차원 형상

►

2절점

►

, 본 절에서 사용

합의 규약(summation convention)을 따르지 않는다.

•

Ni 

하기 위하여 인덱스(index)를

. 형상

1  i 2

, 1    1

2절점 Hermite

N1  1  3 2  2 3 , N2  l  2l 2  l 3 , N3  3 2  2 3 , N4  l 2  l 3 , 0    1

l:

•

2차원 형상

►

3절점 삼각형

N1  1     , N2   , N3   ►

6절점 삼각형

N1 1 12 2 



, N2    2  1 , N3    2  1

N4  4 1      , N5  4 , N6  4 1     

23

Analysis Manual



(0, 1) 3

5

6

2

1 (0, 0)

4

(1, 0)

그림 3.2.1 삼각형 요소의 절점 위치와

►

4절점 사각형 Ni 

►

1 4

1  i 1

i

8절점 사각형 1   Ni  1i 1 i  (i  1) i  4

24

Ni 

1

Ni 

1

2

2

1    1    ,

i  5,7

1    1     ,

i  6,8

2

i

2

i

, i  1,2,3,4



Elements

(1, 1) 4

3

7





8

6

5

1

2

(-1, -1)

그림 3.2.2 사각형 요소의 절점 위치와

•

►

3 차원 형상 4절점 사면체

N1  1     , N2   , N3   , N3   ►

10절점 사면체 N1  2(1

1 )( 

)

2

1

N 4  2 (  ) N5 4(1   ) 2 , N8 4(1

  )



1

1



2

2

, N 2  2     , N 3  2 (  ) , , N6  4 , N7 4(1   )

,

, N 9  4 , N10  4

25

Analysis Manual



4

(0, 0, 1)

10 8 9 (0, 0, 0)

7

1

6 2 (1, 0, 0)  그림 3.2.3 사면체 요소의 절점 위치와

6절점 오면체 Ni 

1

Ni 

1

2

2

(1    )(1

)i

, i  1, 4

 (1   i ) , i  2,5

1 Ni   (1   i ) , i  3,6 2 ►

15 절점 오면체

Ni 

1 2

 1  (1  )(i   2i  2)

1 Ni   (1 i )( i 2 2 ) 2

26

,

,

i  2,5



(0, 1, 0)

5

►

3

i  1, 4

Elements

1 Ni   (1  )(  i i 2 2 ) 2

Ni  2 (1 )(1 Ni   2 (1   )i

)i

i  3,6

,

, i  7,13

, i  8,14

Ni  2 (1 )(1

)i

N10 (1    )(1 

2

)

, i  9,15 , N11   (1   2 ) , N12   (1   2 )



15

4 (0, 0, 1)

6

14

13

(0, 0, 0)

12



10

5

9

1

3

11

(0, 1, -1) 7



8

(1, 0, -1) 2 그림 3.2.4 오면체(쐐기) 요소의 절점 위치와

5 또는 13 절점 제점이5 태를

5

, 절점 결합에 의한 감절점 널리

(degenerated)

. 그러나 이

문

것으로 알려져 있기 때문에 midas NFX에서는 다음과 같은 형

.

Bedrosian, G., “ Shape functions and integration formulas for three-dimensional finite element analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 35, 1992

27

Analysis Manual

►

5 절점 오면체

Ni 

1 4

 i i  )(1  {(1   ) i i

 } 1 

  

, i  1,2,3,4

N5  

►

13 절점 오면체

Ni 

Ni 

Ni 

1 i

4

(i   i )(1 )     i1){(1 i i 

(1   

)(1  

)(1  

i

)

, i  6,8

i

)

, i  7,9

2(1  ) (1  

)(1  

   )(1

2(1  )

 (1  i  )(1 2  2  Ni  (1   )

i

)

}

 1 

, i  1,2,3,4

, i  10,11,12,13

N5  (2  1)  (0, 0, 1)

5

12 13 10

11 4

3 8



9

1 (-1, -1, 0)

그림 3.2.5 오면체(

28

 

(0, 0, 0)

6

(1, 1, 0)

2 ) 요소의 절점 위치와

7

Elements

►

8 절점 육면체

1 Ni  (1i  i )(1i  )(1 8

►

)

, i  1,2,3,...,8

20 절점 육면체

1  i )(1     Ni  (1i  )(1   )i ( i i i  8 1 Ni  (1  4

2

)(1 i)(1 

)i

, i  9,11,17,19

 )(1  i)(1

)i

, i  10,12,18,20

  i)(1 2)(1

)i

, i  13,14,15,16

1 Ni  (1  4

2

1  Ni  (1 4

, i  1,2,3,...,8

2)

8

19

6

17

5

7



20

18 15



16



14

13 12

11

4

3 10

1

9

2

그림 3.2.6 육면체 요소의 절점 위치와

위의 형상

(numerical integration) 방법이

3.1절의 정식화 과정에

수치 적분

. 수치 적분은 강성 행렬, 질량 행렬, 하

중 벡터, 요소 내력(internal force) 등을 계산할 때 용하는 가우스(Gauss)

Lobatto

midas NFX에서 사 있다.

29

Analysis Manual

표 3.2.1 수치적분 방법의 종류와 적용 요소

수치 적분법

행렬의 종류 강성

구조 요소

수치 적분을

모든 요소

행렬

열전도 요소

수치 적분을

모든 요소

질량

(consistent mass)

행렬

집중 질량

Gaussian quadrature

분포 질량 모든 요소

(lumped mass)

대각항

6(diagonal

scaling)을

모든 요소

강성

구조 요소

-

행렬

열전도 요소

-

분포 질량

Lobatto quadrature

적용 요소

-

(consistent mass) 질량 행렬

집중 질량

3 절점 삼각형, 4 절점 사각형 4 절점 사면체, 6 절점 오면체

(lumped mass)

6

8 절점 육면체

Hinton, E., Tock, T. and Zienkiewicz, O.C., “A Note on mass lumping and related processes in the finite element method,” Earchquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 4, 1976

30

Elements

3.3 잠김 현상에 대한 보완

변위 가정(assumed displacement) 확도가 매우

이용한 요소는

이를

해의

성에 있어서 매우 여 각 요소의

높이는 것은

활용

. midas NFX에서는 다음에

사용하

높이고 있다. 각각의 방법은

며 요소에 따라 2가지 또는 3가지 이상의

•

해의 정

것으로 알려져 있다. 이러한 이유는 잠김(locking) 현상

않으 사용될 수 있다.

혼합 정식화(mixed hybrid formulation)

혼합 정식화 방법은 변분 이론 또는 변위와 우

성분에 따라 매

분류할 수 있다. midas NFX에서는 응력 가정(assumed stress) 방법

과 혼합 u-p 방법을

있다.

Hellinger-Reissner의 원리에 의해 변위와 응력을

하는

다음

과 같다.



 Gext  ( ) uT σ(   σT )  u 

(3.3.1)

의한 변위를 uh  Nde 로, 응력을 σ  Pβe 로 가

임의의 요소에 대해 정하여

1

D σ d

, 위 식의 우변은 다음과 같다. Te  deT Q β eT β e( Qde  Pβ )

(3.3.2)

여기서 Q 와 P 는 다음과 같다.

Q



P

 PD P

e

P Bd e T

T

e

1

d e

(3.3.3)

(3.3.4)

31

Analysis Manual

β e 는 요소

않기 때문에 요소 내에서 다음과

같이 소거할 수 있다. 1

β  P Qd e

이 식을 (3.3.2)에

e

(3.3.5)

요소 강성은 다음과 같다. 1 K e Q TP Q

응력을

(3.3.6)

함수 P 를

가장 중요한

것은 요소의 성능을

. 예를 들어 membrane 요소의 응력 또는 shell 요소의 면

내(in-plane) 방향 응력은 다음7과 같이

 xx   

σ   yy  P β

  

xy

TPβ ˆ



여기서 T 는 다음과 같은

.

0 1 0 0     β   0 0 1 0 0   

T 0100

(3.3.7)

(contravariant) 응력 성분의

.

 j112 

σ  Tσ   j122 ˆ

 j11 j12 

변환 행렬의 각 항은 의 값을

7

2 21

j j

2 22

j j

21 22

(Jacobian)

         j j 12 j21 j     11 22 2 j j 1121

2 j j 12 22

(3.3.8)

, 주로 요소

.

Pian, T.H.H. and Sumihara, K., “Rational approach for assumed stress finite elements,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 20, 1984

32

Elements

 x   J  x   

y     j11  y   j21   

j12  j22 

혼합 u-p 법은 응력 σ 의 모든 성분을

stress)

또는

압력(pressure)

(3.3.9)

대신에 정수압 응력(hydrostatic

만을

p

,

잠김 현상에 대한 해법8으로

(incompressible)

왔다.

응력 텐서를 다음 식과 같이 편차 응력(deviatoric stress) 과

Hu-Washizu 변분 원리를

. σ  σ dev  p I

(3.3.10)

p  Ktr(ε) σ dev

: 편차 응력

K

: 체적

tr ( )

: 대각합 (trace)

•

(bulk modulus)

자연 변형률 가정법 (ANS : assumed natural strain)

자연 변형률

변위

게 적용할 수 있는 용 사례9,

10, 11 를

널리

많이 찾아볼 수 있다.

으로 하고 있으나,

크게

않기 때문에 쉽

왔으며, 특히 shell 요소에 대한 적

Hu-Washizu 원리를 기반

적용할 때에는 B-bar 방법의

간주할

수 있다.

8

Zienkiewicz, O.C., Rojek, J., Taylor, R.L. and Pastor, M., “Triangles and tetrahedral in explicit dynamics codes for solids, ” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 43, 1998

9

MacNeal, R.H., “Derivation of element stiffness matrices by assumed strain distribution, ” Nuclear Engineering and Design, Vol. 70, 1982

10

Hughes, T.J.R. and Tezduyar, T.E.,“Finite elements based upon Mindlin plate theory with particular reference to the four-node bilinear isoparametric element,” Journal of Applied Mechanics, Vol. 48, 1981 11

Bathe, K.J. and Dvorkin, E.N., “A formulation of general shell elements-The use of mixed interolation of tensorial components, ” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 22, 1986

33

Analysis Manual



Local transverse direction

D

4

3

A

C

x x Integration point x x



2

1 B

그림 3.3.1 횡방향 전단 변형률의 가정

예를 들어 위의 그림과 같은 4절점 shell 요소의 횡방향 전단 형률

C

적용해 보자. 자연 좌표계 성분 중   Z 는 B, D

자연 변

,   Z 는 A,

정확한 것으로 알려져 있다. 이 값들을

률을 다음과 같이

변형

.

z  1  (1 )  Bz (1 1 2 2  z 

자연

1 2

)

Dz

(3.3.11)

(1 )  Az (1 )

C z

(3.3.12)

1

2

다음의

공간

변환할

수 있다.

 xz T   z γ  T    yz    z 

여기서 T 는 다음과 같은

(covariant) 성분의

T   j11

 j12

34

j21  j22 

(3.3.13)

.

(3.3.14)

Elements

변환 행렬의 각 항은

. 자연 변형률 가정법

(Jacobian)

은 (3.3.11)~(3.3.13) 을

때문에, 고전 변위 가정

법에서 B 행렬을 다음과 같이

것과 같다. ε  u  Bde

•

(3.3.15)

개선된 변형률 가정법 (EAS : enhanced assumed strain) 비적합 모드(incompatible mode)12를 이용한 방법과 매

개선된 변형률 우

결과 또한

, Hu-Washizu 원리에 이론적 기반을 두고 있 점 13 에서 다르다. 다음의 Hu-

으며 변위가 아닌 변형률

3가지 항(변위, 변형률, 응력)을

Washizu



 Gext  ( ) uT σ( )( ε)T Dε σ  σT 

있다.

(3.3.16)

u ε d

변형률 ε 을

계산된 적합(compatible) 항과 비적합 항(개선된 변형률

가정)의 합으로

. ε  u  ε

위 식을 (3.3.16)에

다음과 같다.



 Gext ( )( )u TD  ( u ε  ε)T D  u Dε σ 

응력 분포와

(3.3.17)

비적합 항이 요소 내에서

선된

σε

T

d

(3.3.18)

변위와 개

다음 식이 된다.

12

Taylor, R.L., Beresford, P.J. and Wilson, E.L., “A non-conforming element for stress analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 10, 1976 13

Simo, J.C. and Rifai, M.S., “A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 29, 1990

35

Analysis Manual



T  Gext  ( )(u  D ) (  u ε )ε T D u



(3.3.19)

Dε d

의한 변위를 uh  Nde 로, 개선된

임의의 요소에 대해 ε  Gα e 로

, 위 식의 우변은 다음과 같다. e e  deTKe dd de  deT K d



e e αeT ede α KeT d  α K α

(3.3.20)

e

여기서 K edd 는 변위 가정에 의한

K ed 와 K 는 다음과

같다.

K ed 

 BDG

d e

(3.3.21)

K  

 GDG

d e

(3.3.22)

T

e

e

T

e

 α e 에 대한 외력의 일(work)은 없기

e

α 는 요소

때문에 요소 내에서 다음과 같이 소거할 수 있다. e1e

α  K K d d e

이 식을 (3.3.20)에

e

요소 강성은 다음과 같다. Ke Ke

개선된

•

36

e e e K  d K Kd1 

(3.3.24)

것은 요소의 성능을

.

연계 보간법 (linked interpolation)

연계 14

dd

함수 G 를 가장 중요한

(3.3.23)

주로 shell

횡방향 성능 향상14을 위한 사례와

Zienkiewicz, O.C., Xu, Z., Zeng, L.F., Samuelsson, A. and Wiberg, N., “ Linked interpolation for Reissner-Mindlin plate elements :

Elements

면내 방향 성능 향상을 위한 사례가 있다. 특히 면내 방향 성능 향상을 위한 연

Allman 15 의 drilling 회전을 고려한 membrane 요소로 잘 알려져

계

있다. midas NFX에서는 Sze 16에 의해 제안된 6자유도 회전을 가지는 shell 요소 있다.

의 연계



4

3 1 θ1 u5

5

 2

θ2 그림 3.3.2 절점 회전과 고차

예를 들어 위의 그림과 같은 4절점 shell 요소의 해 보자. 요소의 중립면 변위를 회전에 의한

 uNu  

적용

의한 부분과 절점

다음과 같다.

I Iy 

u v Nv  I HIz

w Nw  

연계

4절점

I Ix

 z ji (zj ) zi(  ji) yj   J  xji (xj   ) xi (  ji,) zj 8   yji ( yj ) yi(  ji) xj  1

NI

: 형상 함수

HJ

: 고차(8 절점)

yi

 

zi xi



I  1,2,3,4 J  5,6,7,8

(3.3.25)

Part I – a simple quadrilateral,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, 1993 15

Allman, J., “A compatible triangular element including vertex rotations for plane elasticity analysis,” Computers and Structures, Vol. 19, 1984 16

Sze, K.Y., Sim, Y.S. and Soh, A.K., “A hybrid stress quadrilateral shell element with full rotational D.O.F.S, ” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 40, 1997

37

Analysis Manual

uI , vI , wI

: 절점 변위

 j

: 절점 회전

x ji , y ji , z ji

: 절점간 거리 ( x ji  x j  xi , y ji  y j  yi , z ji  z j  zi )

여기서 절점 번호

i, j 는 변의

J 에 인접한 절점을

,

i  mod( J 1,4) 1 과 j  mod( J ,4) 1 의 관계를 가진다. 결국 연계

저차 요소의 절점 회전을

, 이 값을 고차

변의

변위를

것과 같다. 연계

각 변의

변형 형상이 2차 특성을 가지기 때문에 잠김 현상을 제거해 줄 뿐만 아니라 인 접한 요소에 대한 적합 조건도

•

있다.

감차 적분법

적분 차수를 낮게 적용한 한 것으로 알려져 있다17,

18.

다른

값보다 정확

또한 요소의 잠김 현상은

불

필요한 차수 때문에

통하여 이러한 고차 변형 형상을 제

거할 수 있다. 그러나 감차 적분은 경우에 따라 강성 행렬의 수치적 성질을 악 때문에 가영 에너지 모드(spurious zero energy mode, hourglass mode) 를 유발할 수도 있다.

•

안정화(stabilization) 기법

3 차원 저차 요소의

다음과 같은 식으로 근사화 할 수

있다.

ε u B  B( 0

적분 차수를 낮게

(1d,,  )) 

e

(3.3.26)

요소의 잠김 현상을

방법은

것과 같고, 이는 요소의 그러나 요소 중심의 해석(patch test)을 17 18

경우 균일한 변형이 못하는 문제가

, 이를

검증 위하여

Barlow, J., “A stiffness matrix for a curved membrane shell, ” Conf. Recent Advances in Stress Analysis, Royal Aeron. Soc., 1968 Barlow, J., “Optimal stress locations in finite element models,” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 10, 1976

38

B 0 만을

것과 같다.

Elements

B 0 를 B0 로

19 .

것이

식을

B0

평균

B 0 는 다음

 1  Bd e Ve e

B 0 만을

때문에

않으며, 저차 이를

안정화

할

수

control”이라 불리는 안정화 에서는 Puso

20

(3.3.27)

되면 앞서 설명한 가영 에너지

모드에 대한 변형 심하기

평균

.

있는

그 현상이 매우

기법이

.

다양한 방법이

“Hourglass

, midas NFX

에 의해 제안된 물리적 안정화(physical stabilization) 기법을

. 안정화 변형률 계산을 위해 B1 을 자연

대해

다음과 같다. B1 B B B  B  B  B    

위 식의 모두 일부 전단 변형률 항을 평균

(3.3.28)

되면 감차 적분의 효과가 것이 .

안정화 기법을

때문에,

선택적 감차 적분(selective reduced

integration)과 동일한 효과를 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 수치 적분 과정을 다음 식으로

때문에 계산 속도에 있어서 큰 장점이 있다.



e

•

[]d e 

Ve

 []ddd

8

(3.3.29)

  

비적합(non-conforming) 요소

비적합 요소는 요소간 방법을

적분 형태로

하기 위해

. 앞서 설명한 EAS 방법 역시 비적합 요소의

19

Flanagan, D.P. and Belytschko, T.,“A uniform strain hexahedron and quadrilateral with orthogonal hourglass control,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 17, 1981 20

Puso, M.A., “A highly efficient enhanced assumed strain physically stabilized hexahedral element, ” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 49, 2000

39

Analysis Manual

볼 수 있다.

적분 형태로

다음과 같

다.



*

ud e j i ,

  jiu ndS

(3.3.30)

e

u*

: 요소

u

: 요소의 바깥 면에서 가정한 변위

nj

: 요소 바깥 면에 수직한 벡터 (direction cosine)

j

: j 방향 미분

요소

가정한 변위

가정한 변위는

이용한 부분과 그 외의 추가

. * e u Nd P λ

(3.3.31)

요소의 바깥 면에서 가정한 변위 역시 이용한 부분과 그 외의 추가 . 단, 가정된 변위는 절점 변위의 보간 형태로 표현 한다. u Nd e  Md

: 추가된

M

위 식에서  는 임의의 장 적절한 값을

e

(3.3.32)

( N )

, 요소의 수렴성 또는 해의 . (3.3.31)과 (3.3.32)를 (3.3.30)에

여 λ 를 계산할 수 있다. 계산된 λ 를

요소의

기초로 가 e

d 를 이용하

다음과 같이

. ε  Bd  ( P)λ e

40

(3.3.33)

Elements

비적합 요소는 변위

B 행렬을 다음과 같이

ε  u  Bde

것과 같다.

(3.3.34)

41

Analysis Manual

3.4 Rod 요소

Rod 요소는 2/3개의 절점에 의해

1차원 선

(space truss) 또는 긴 부재를

공

,

(diagonal brace) 등

비해 길이가

.

M x , x

N xx ,  xx 2 ECS  x

3 N xx ,  xx

1

M x , x

그림 3.4.1

•

Rod 요소의 좌표계와 응력 /변형률

좌표계

Rod 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. 는 ECS를

•

자유도

Rod 요소는 ECS의 x축

변위와 회전을

가진다.

ui  ui  , θi   xi 

•

(3.4.1)

응력과 변형률 요소는 그림

Rod 다.

42

정식화

한다.

과 같이

3.4.1

에서 정의된 축방향 변형와

ECS

표현한

Elements

N   N xx  , ε   xx

(축방향 힘과 변형률)

T  M x  , φ  x  (비틀림

•

(3.4.2)

비틀림)

(3.4.3)

하중

Rod 요소에

하중은 다음과 같다.

표 3.4.1

Rod 요소에

하중

하중 종류

설명

중력

재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용

회전 관성력

재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 대한 초기

초기 힘/

재하된 초기

재하

요소의 내력이 증분됨 대한 초기

재하된 초기 하중이

재하

, 해당 요소의 축방향

강성이 무시됨

•

요소 결과

Rod 요소를

경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준

항상 ECS이다.

표 3.4.2

Rod 요소의 결과 항목

결과 항목

Axial stress

설명 위치 : A-B 단,  xx 위치 : A-B 단,

Stress Torsional stress

비틀림 응력 계수 c 로부터 계산(   Tc / J )

Strain Force/Moment

Axial strain

위치 : A-B 단,  xx

Torsional strain

위치 : A-B 단

Axial force

위치 : A-B 단, N xx

43

Analysis Manual

Torque

위치 : A-B 단, M x

Strain energy

위치 : 요소 중심

Total percent Misc.

•

energy


Energy density


비선형 해석

Rod 요소는

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수

있다. 또한,

/훅,

/갭 과 같은 비선형 강성 모델도 고려할 수 있

다. 그림 3.4.2에서 h0 와 c0 는 훅길이, 허용 압축 하중을 이, 허용 인장 하중을

, g 0 와 t 0 는 갭길

.

f xx

c0

 xx

h0

44

Elements

f xx

t0

g0

그림 3.4.2

비선형

Rod 요소의 인장전담 /훅,

 xx

/갭 거동

결과 항목은 다음과 같다.

45

Analysis Manual

표 3.4.3

Rod 요소의

결과 항목

결과 항목

설명 위치 : A-B 단,

Equivalent stress Stress Plastic status

Equivalent strain Strain Effective plastic strain

46

소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : A-B 단, 탄성/소성, 0 / 1 위치 : A-B 단, 소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : A-B 단, e p

Elements

3.5 Embedded Rod 요소

Embedded Rod 요소의 형상, 좌표계, 것과

같은

Rod 요소의 그

. 하지만 Rod 요소를 다른 요소와 함께 사용할 때에는 반드시 절

점을

하는 반면, Embedded Rod 요소는 절점을

때문에

않아도 되기

모델링 및 해석을 할 수 있다. Embedded Rod 요소는 그림

3.5.1과 같이 모체 요소(mother element)에 매립된 형태로

, plate,

membrane, axisymmetric, plane strain, solid요소에 매립될 수 있다.

Mother Element 1

Mother Element 2

1 2

그림 3.5.1 모체 요소 안의 Embedded Rod요소

Embedded Rod 요소의 모체 요소는 Embedded Rod 요소의 각 절점을 포함 하 는 요소로

, 각 절점의 변위는

내부 변위와

절점 구속식(multi-point constraint)을 통해 자동

다

.

• 좌표계

Embedded Rod 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. 유한 요소

ECS를

한다.

• 자유도

Embedded Rod 요소는 ECS의 x축

변위를

ui  ui 

가진다.

(3.5.1)

47

Analysis Manual

N xx ,  xx

2 ECS  x

N xx ,  xx

1 그림 3.5.2

Embedded Rod요소의

응력 /변형률

• 응력과 변형률

Embedded Rod 요소는 그림 3.5.2과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형와 비틀 림을

. N N



xx

, ε



 

(3.5.2)

 xx 


•

하중

Embedded Rod 요소에 표 3.5.1


Embedded Rod요소에

하중 종류 중력 요소 온도 하중

하중

설명 재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 축방향 변형을

요소 온도 대한 초기

초기 힘/

재하된 초기

대한 초기 재하된 초기 하중이 축방향 강성이 무시됨

48

재하

요소의 내력이 증분됨

, 해당 요소의

재하

Elements

•

요소 결과

Embedded Rod 요소를


항상 ECS이다.

표 3.5.2

Rod 요소의 결과 항목

결과 항목

•

설명

Stress

Axial stress

위치 : A-B 단,  xx

Strain

Axial strain

위치 : A-B 단,  xx

Force

Axial force

위치 : A-B 단, N xx

비선형 해석

Embedded Rod 요소는 Rod 요소와

,

고려할 수 있다. 이에 대한 설명과 결과 항목은 Rod 요소와 일치한 다.

49

Analysis Manual

3.6 Bar 요소

Bar 요소는 2/3개의 절점에 의해

1차원

, 단면의 치수에 비

하여 길이가 긴 부재가 굽힘 변형을 받을 때 주로 의 폭 또는

대략 1/5 보다 커질

우 커지게 되므로, bar 요소를 는 것이

•

. 길이에 대한 단면 의한 영향이 매

않고 shell 요소나 solid 요소를 사용하

.

좌표계

Bar 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. ECS에서 y축과 z 축의 방향은 기준 절점 또는 기준 벡터를 절점을

x-y 평면을

. 그림 3.6.1은 기준

방법을

있다. 이 때 기준 절점

은 ECS의 x축 선상에 있지 않아야 한다. 그림 3.6.2는 기준 벡터를 평면을

방법을

x-y

있다. 기준 벡터 역시 ECS의 x축과

정의할 수 없다. Bar 요소의

ECS에 대하여

.

ECS  z ECS  y ECS  x

2

Reference no de 3 1 z

GCS

y

x 그림 3.6.1 기준절점을 이용한 bar 요소의 좌표계 설정

50

Elements

ECS  z ECS  y ECS  x

2 3 1 z

y

x

GCS

그림 3.6.2 기준벡터를 이용한 bar 요소의 좌표계 설정

•

자유도

Bar 요소는 ECS의 모든 축

변위와 회전을

가진다. T

T

ui  i ui i v •

w  , θi  xi

yi



zi





(3.6.1)

응력과 변형률

Bar 요소는 그림 3.6.3과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림, 전단 변형 등을 고려할 수 있다. 전단 변형을

않는 Euler 이론을 적용할 경

우에는 전단 단면적 계수(shear area factor) 에 0을 N   N xx  , ε   xx

M y   y  , κ  M z   z 

M


(3.6.2)

(굽힘

(3.6.3)

T  M x  , φ  x 

(비틀림

Q y  Q  ,  Qz 

(

    xy   zx 

된다.

곡률)

비틀림) (3.6.4)

)

(3.6.5)

51

Analysis Manual

M z , z ECS  z ECS  y

Qz ,  zx

ECS  x

M x , x N xx ,  xx

2

Qz ,  zx

M y , y

Q y ,  xy

M z , z N xx ,  xx M x , x

1

Q y ,  xy M y , y 그림 3.6.3

•

Bar 요소의

응력 /변형률

하중

Bar 요소에


표 3.6.1

Bar 요소에

하중 종류

하중

설명

중력


회전 관성력

재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 요소의 절점 사이 임의 구간에

Bar 요소 하중

또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 축방향 변형을

Bar 요소 온도 하중 Bar 선행 하중

굽힘을

단면 평균 온도 단면 온도 구배

축방향 초기

하중 (볼트 하중) 대한 초기

초기 힘/

재하된 초기

대한 초기 재하된 초기 하중이 강성이 무시됨

52

재하

요소의 내력이 증분됨 재하


Elements

Bar 요소 하중은 그림 3.6.4와 같이

또는

형태로 재하할

수 있으며, ECS 또는 GCS에 대하여 방향을 설정할 수 있다. 여기서 하중 방향을

GCS에 대하여

GCS와 ECS x 축 간의 각도를

크기를

할 수 있다.(그림 3.6.5)

p2

p1

m2

m1

2

1

P

M

1

2 그림 3.6.4

Bar 요소 하중의 적용 예

w w



z GCS

L



L

x 그림 3.6.5 하중 방향에 따른 bar 요소 하중의

•

요소 결과

Bar 요소를

경우에 확인할 수 있는 결과 항목은 다음과 같으며 기준

항상 ECS이다.

53

Analysis Manual

표 3.6.2

Bar 요소의 결과 항목

결과 항목

Axial stress

Torsional stress

설명 위치 : A-B 단  xx

위치 : A-B 단 비틀림 응력 계수 c 로부터 계산(   Tc / J ) 위치 : A-B 단

Shear stress

전단 단면적 계수와

부터 계산

 xy  Qy / (S ky A) ,  xz  Qz / ( Skz A)

Stress Point stress

Max/Min stress

위치 : A-B 단 사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 응력  xx 위치 : A-B 단

C~F 위치 중 Axial stress 와 Point stress 합의 최대/최소 위치 : A-B 단 Von-mises stress

Strain

Axial strain

위치 : A-B 단  xx

Torsional strain

위치 : A-B 단

Shear strain

위치 : A-B 단

Point strain

Max/Min strain

Von-mises strain

54



2 2 2  v  xx2  3 xz xy 



위치 : A-B 단 사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 변형률  xx 위치 : A-B 단

C~F 위치 중 Axial strain 과 Point strain 합의 최대/최소 위치 : A-B 단

3 개의 응력 성분을

계산 (  v )

Elements

위치 : A-B 단

Axial force Force/Moment

Misc.

N xx

Bending moment

위치 : A-B 단, M y , M z

Torque

위치 : A-B 단, M x

Shear force

위치 : A-B 단, Qy , Q z

Strain energy


Total percent energy


Energy density


Mz ECS  z ECS  y

Qz

ECS  x

B

Qz

Mx N xx

My

Qy

Mz N xx

A

ECS  y

Qy

Mx

My

F

C ECS  z

Recovery point (I-section) D

E 그림 3.6.6

•

단부

Bar 요소의 결과 출력 위치와 방향

(release)

단부

부재의 양단이

구속이

않는 경우에

같이 특정 방향의 운동에 대해 상호

. 단부

ECS에 대해

때문에 GCS에 대한 연결 해제를 하는 좌표계 정확히 한다. 또한 단부 해제가 적용된 않은 추가

전체

대한 충분한 고려가

. 55

Analysis Manual

Rotation DOF released

Sliding joint

Pin joint

Translation DOF released 그림 3.6.7 단부

•

적용 예

오프셋(offset)

Bar 요소의

절점과

축이 절점에 된

있는 경우 또는

않는

중립

사용할 수 있다.

있는 NCS에 대해

,

요소의 길이에 변화가 있는 것으로

bar 요소의

요소의

설정

.

그림 3.6.8 오프셋의 적용 예

•

비선형 해석

Bar 요소는 를 사용할 수 없다.

56

고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성 재료 비선형 해석 시에

결과 항목은 없다.

Elements

3.7 Embedded Bar 요소

Embedded Bar 요소의 형상, 좌표계, 물성치 등의 입력 변수와 요소 결과는 Bar 요소의 그것과

. 또한, Bar 요소와

단부

,

적용할 수 있다. Bar 요소를 다른 요소와 함께 사용할 때에는 반드시 절점을 공 유해야 하는 반면, Embedded Bar 요소는 절점을

않아도 되기 때문에

모델링 및 해석을 할 수 있다.

Mother Element 1

1 2

Mother Element 2

그림 3.7.1 모체 요소 안의 Embedded Bar요소

Embedded Bar 요소는 그림 3.7.1과 같이 모체 요소(mother element)에 매립된 형태로

, plate, membrane, axisymmetric, plane strain, solid요소에 매립

될 수 있다. Embedded Bar 요소의 모체 요소는 Embedded Bar 요소의 각 절점 을 포함 하는 요소로

.

Embedded Bar 요소의 절점의 변위는 점 구속식(multo-point constraint)을 통해 자동

•

내부 변위와

다절

.

좌표계, 자유도, 응력과 변형률, 하중, 요소 결과

좌표계, 자유도, 응력과 변형률, 하중, 그리고 요소 결과에 대한 설명의 Bar 요소 와

.

57

Analysis Manual

3.8 Pipe 요소

Pipe 요소는 2/3개의 절점에 의해 한 성질을

1차원 선

bar 요소와 유사

파이프 내압을 고려할 수 있는 특징이 있다. Pipe 요소 단

면의 형상은 그림 3.8.1과 같이 실린더(cylinder)

.

Wall thickness ( t wall )

Outer diameter (d out )

그림 3.8.1

•

Pipe 요소의 단면 정의

좌표계

Pipe 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 ECS를

•

자유도

Pipe 요소는 ECS의 모든 축 ui  i ui i v

•

변위와 회전을 w  , θi  xi T



yi

가진다.

zi



T



(3.8.1)

응력과 변형률

Pipe 요소는 bar 요소와 전단 변형 등을 고려할 수 있다.

58

,

한다.

ECS에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림,

Elements

N   N xx  , ε   xx


(3.8.2)

M

(굽힘

(3.8.3)

T  M x  , φ  x 

(비틀림

 y  M y  , κ  M z   z 

Qy  , Qz 

Q

•

    xy   zx 

곡률)

비틀림) (3.8.4)

(

)

(3.8.5)

하중

Pipe 요소에


표 3.8.1

Pipe 요소에 적용되는 하중

하중 종류

설명

중력


회전 관성력

재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 요소의 절점 사이 임의 구간에

Bar 요소 하중 또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 축방향 변형을

Bar 요소 온도 하중 Pipe 요소 내압

단면 평균 온도

굽힘을

단면 온도 구배

Pipe 의

또는

변형을

하중

Pipe 요소의 내압은 요소의 끝단이 막혀 있는지 여부에 따라 미치는 효과가 력을

. 아래의 식은 내압에 의해

변형에 요소

응

.

 hoop 

P





0

rm P sin d

(3.8.6)

: Pipe 요소의 내압



r m

2twall

: Pipe 평균 반지름 (dout

twall) 2/

59

Analysis Manual

응력은

의해

그 크기는

다음과 같다.

 L   hoop

(3.8.7)

Pipe 요소의 끝단이 막혀 있는 추가

내압에 의한 하중이 길이

된다.

FL   rm2 P

•

(3.8.8)

요소 결과

Pipe 요소를


항상 ECS이다.

표 3.8.2

Pipe 요소의 결과 항목

결과 항목

Longitudinal stress

Torsional stress

Hoop stress Stress Max principal stress

Max shear stress

Von-mises stress

설명 위치 : A-B 단 방향)과

( 위치 : 요소 중심 의한

(  x )

위치 : A-B 단 내압에 의한 응력 (   ) 위치 : A-B 단


계산 ( P1 )

위치 : A-B 단


계산 (  max )

위치 : A-B 단


60

응력의 합 (  xx )

계산 (  v )

Elements

위치 : A-B 단 합 (  xx )

Longitudinal strain 의한

Torsional strain

Hoop strain Strain Max principal strain

Max shear strain

Von-mises strain

Axial force

Bending moment

않음

위치 : 요소 중심 의한

(  x )

위치 : A-B 단 내압에 의한 변형률 (  ) 위치 : A-B 단


계산 ( E1 )

위치 : A-B 단


계산 (  max )

위치 : A-B 단


계산 (  v )

위치 : A-B 단 N xx

위치 : A-B 단 My , Mz

Force/Moment Torque

Shear force

Misc.

위치 : A-B 단

Mx 위치 : A-B 단 Qy , Q z

Strain energy




Energy density


•

비선형 해석

Pipe 요소는 재료를 사용할 수 없다.

고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성 비선형 해석 시에


61

Analysis Manual

3.9 Cable 요소

Cable 요소는 2개의 절점에 의해

1차원 선

만을 다루며 주로 초기 힘/ 요소는

거동

재하된

하중을 다룬다. Cable

거동을 다루기 위해 비선형 해석에 주로

.

N xx ,  xx 2 ECS  x

N xx ,  xx

1 그림 3.9.1

•

Cable 요소의 좌표계와 응력 /변형률

좌표계

Cable 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 ECS를

•

자유도

Cable 요소는 ECS의 모든 축 ui  i ui i v

•

,

한다.

변위와 회전을 w  , θi  xi T



yi

zi

가진다.



T



(3.9.1)

응력과 변형률

Cable 요소는 축 방향 변형 및 응력을 고려할 수 있다. N   N xx  , ε   xx

62


(3.9.2)

Elements

•

하중

Cable 요소에


표 3.9.1

Cable 요소에

하중 종류

하중

설명

중력


회전 관성력

재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 대한 초기

초기 힘/

재하된 초기

대한 초기 재하된 초기 하중이

재하

요소의 내력이 증분됨 재하


강성이 무시됨

•

요소 결과

Cable 요소를


항상 ECS이다. 표 3.9.2

Cable 요소의 결과 항목

결과 항목

설명

Stress

Axial stress

위치 : A-B 단  xx

Strain

Axial strain

위치 : A-B 단  xx

Force

Axial force

위치 : A-B 단 N xx

Strain energy




Energy density


Misc.

•

훅(Hook)과 허용

Cable 요소에 이

입력할 경우, 해당 훅길이 이상의 변형에

내력

.

63

Analysis Manual

또한 각 Cable 요소는 그림 3.9.2와 같이 허용

, h0 는 훅 길이를

서 y 는 이 발생할 시, 완전

입력할 수 있다. 여기

. 허용 ,

이상의 응력

것으로 간주할 수 있다.

 xx

y

 xx

h0 그림 3.9.2(a) 완전 소성거동

 xx

y

 xx

h0 그림 3.9.2(b) 파단

•

비선형 해석

Cable 요소는

파단 등에 대한 비선형 거동과 고려할 수 있으며, 비탄성 재료 특성은

해석 시에

64


.

비선형

Elements

3.10 Membrane 요소

Membrane 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 또는 사각형 원

•

삼각형

. 두께가 균일한 박판을

주로

2차

가진다.

좌표계

삼각형 membrane 요소의 ECS는 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절 점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x축으로 한다.

요소 평면

에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 3을 향하는

2를 향하는

이루는 각을

요소의

절점 4에서

방향을 x축으로 한다. Membrane

ECS에 대해

.

ECS  z

ECS  z

4

8

7

3 6 1

3

1

5 4

6

ECS  y ECS  x

ECS  x

2 그림 3.10.1

Membrane 요소에

ECS  y

5 2

Membrane 요소의 좌표계

재료를

재료의 주축을 적절한 방향으

로 향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를

membrane 요소는 크게 두 가지

되는데, midas NFX의

재료의 방향을 결정할 수 있다. 첫

번째로 그림 3.10.2와 같이 절점 1과 2 사이를 이용할 수 있다.

65

Analysis Manual

4

3

MCS  y

MCS  x



1

2

그림 3.10.2 각도를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의

두 번째 방법은 임의의

, 이

같이 x축을

그림 3.10.3와

그 방향을 재료의

x축을

방법은 요소 결과를

데

. 위해 ERCS를

.

y User-defined material

x

coordinate

z

Projection 4 3 MCS  x

1

2 그림 3.10.3 좌표계를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의

•

자유도

Membrane 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 66

가진다.

Elements

ui  ui

T

vi 

(3.10.1)

연계 의해 요소에 수직한 방향의 회전을 우에는 다음의 추가 가진다.

옵션을

θi   zi 

•

경

(3.10.2)

응력과 변형률

Membrane 요소의 기본 가정은 2차원 응력 ECS에서 정의된 면내 방향

그림 3.10.4 와 같이

합력(resultant force)을 고려할 수 있다.

 N xx   

N   N yy  , ε

N   xy 

 xx      yy     xy 

(

합력과 변형률)

(3.10.3)

N yy ,  yy N xy ,  xy ECS  y

N xy ,  xy

N xx ,  xx ECS  x

N xy ,  xy

N xx ,  xx

N xy ,  xy N yy ,  yy 그림 3.10.4

•

Membrane 요소의 응력 /변형률

하중

Membrane 요소에


67

Analysis Manual

표 3.10.1 Membrane요소에

하중

하중 종류

설명

중력


회전 관성력


압력 하중 또는 요소의 변에 요소 온도 하중

변형을

요소 온도

Membrane 요소는 횡방향 강성을 가지지 않으나, 요소에 에

•

횡방향 성분을

하중과 질량

.

요소 결과

midas NFX의 membrane 요소는 shell 요소와 동일한 결과

.

Shell 요소는 요소의 두께

,

엄밀한

두 곳(상/하단)에서

membrane 요소는 두께

응력과

때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다.

•

요소 두께

midas NFX에서는 membrane 요소의 두께를 그림 3.10.5과 같이 설정할 수 있다. 고차 요소(6/8 절점)에 대하여 의해야 한다.

68

정의할 수 있는 점에 유

Elements

t4 4

t3 t1 t3

3 1

3 t1 1 t2

t2 2

2

그림 3.10.5

•

Membrane 요소의 두께 정의

요소 기법의 선택

midas NFX에서 사용할 수 있는 membrane 요소는 요소의

기법에 따

라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 과 관련 것이

. 표 3.10.2

형상

삼각형

절점수

3

자유도

Membrane 요소에 사용된

기법

명칭

Full integration

1점

Lobatto

3점

Lobatto

3점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

1X1 점

Lobatto

면외 방향 회전 고려

,

Hybrid

혼합법

Full integration 사각형

명칭

기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된

4 Reduced integration

(

)

69

Analysis Manual

(stabilized)

Hybrid

혼합법

Full integration

2X2 점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

면외 방향 회전 고려

,

Hybrid

혼합법

대각항 삼각형

3점

6

대각항

3X3 점

Full integration

사각형

대각항

Reduced

8

2X2 점

integration

대각항

Hybrid

혼합법

3X3 점

각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. ►

3절점 요소 : 면외 방향 회전을

연계

소의 유연성(flexibility)이

않으면 요

해의

주의해

야 한다. ►

4절점 요소 : 변위

하면 대체로 ►

6절점 요소 : 요소 변에

소의 성능이 ►

사용한

절점이 변의 중앙에

않는 경우 요

저하될 수 있다.

8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다.

요소는

적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이

가영 에너지 모드가 나타날 수 있다.

70

(isoparametric) 요소를 제외

높은 편이다.

사용한

Elements

•

비선형 해석

Membrane 요소는 할 수 있다. 비선형

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용 결과 항목은 shell 요소와 같다.

71

Analysis Manual

3.11 Shell 요소

Shell 요소는 곡면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 사각형 때 주로

•

삼각형 또는

등과 같이 두께가 얇은

. , 2차원

굽힘 변형을 받을

및 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다.

좌표계

Shell 요소는 곡면 상에

경우가 많기 때문에 절점이 동일한 평면 상에

않을 수 있으며, ECS의

이를

한다. 삼각형 shell

요소의 ECS는 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x 축으로 하며, 이 벡터와 절 점 1에서 3을 향하는 벡터의 외적 방향을 z 축으로 한다. 사각형 요소의 경우에 는 절점 1에서 3을 향하는 각을

절점 4에서 2를 향하는

이루는

방향을 x축으로 하며, 이들 두 벡터의 외적 방향을 z축으로 한

다. Shell 요소의

ECS에 대해

.

ECS  z

ECS  z

4

8

7

3 6 4

1

3

1

5 ECS  y

6

5

ECS  x

ECS  y

ECS  x

2

2

그림 3.11.1 Shell요소의 좌표계

Shell

재료를

향하게 해야 한다. 재료의 방향(MCS)을 일하게 절점 1과 2 사이를 이용할 수 있다.

72

재료의 주축을 적절한 방법은 membrane 요소와 동 각도 또는 임의의

Elements

•

곡면 모델링

midas NFX에서

shell 요소는 각

고유의 수직 벡터 21 가 한다. 요소

디렉터(director)라 불리는 이 벡터의

변형을 표현 때문에

방향은

요소 내력 중에서 디렉터 방향의

않는다. 이 벡터는 요소면

에 수직한 경우도 있으나, 곡면을 shell 요소로

그렇지 않다.

Surface normal t Element normal n1

1

2

Shell1

Element normal n 2

Shell2

그림 3.11.2 곡면을

shell 요소 사이의 각도

예를 들어 그림 3.11.2 와 같이 인접한 다음과 같이 곡면

작은

t

t

: 곡면 수직 벡터

ni

:

n n

i

(3.11.1)

i

수직한 벡터

이 때, t 와 n i 가 이루는 각도  가 아닌 실제로 꺾인 수직 벡터가

경우

계산할 수 있다.

되면 곡면의 곡면 수직 벡터를

않은

수직한 벡터를

않는다. 곡면 간주

한다. 21

Simo, J.C. and Fox, D.D., “On a stress resultant geometrically exact shell model. Part I : Formulation and optimal parametrization,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 72, 1989

73

Analysis Manual

곡면 수직 벡터를

형상을

것은 결과의 정

확도에 큰 기여를 하기도 하지만, 대칭 조건을

1/4을 모델링 하였을 림 3.11.2의 shell 2가

주의가 않기 때문에

터를 얻을 수 없다. 이러한

원통 모양의 절반 또는

. 대칭 조건이 부여된 변에는 그 정확한 곡면 수직 벡

오히려 곡면 수직 벡터를

않는

것이 좋다.

•

자유도

Shell 요소는 ECS의 x, y, z축 모든 방향 변위를 T

ui  i ui i v

회전

w

(3.11.2)

수직한 두



θi  xi

가진다.

.



yi



(3.11.3)

앞서 설명한 바와 같이 곡면 수직 벡터 또는 요소면 수직 절점 당 6

가지는 6DOF(drilling DOF 포함) 옵션을

유도가 모든

.



θi  xi

•

. 회전 자



yi

zi



T



(3.11.4)

응력과 변형률

Shell 요소는 그림 3.11.3과 같이 ECS에서 정의된 2차원 응력 상태와 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다. midas NFX의 shell 요소는 전단 변형을 항상

 N xx   

N   N yy  , ε

N   xy 

74

 xx      yy     xy 

(


.

(3.11.5)

Elements

 M xx   

M   M yy  , κ

M   xy 

 xx      yy     xy 

(굽힘

Q zx   zx  , γ   Q yz   yz 

Q

곡률)

(

(3.11.6)

)

(3.11.7)

M xy , xy N yy ,  yy Qzx ,  zx M xy ,  xy

ECS  y

N xx ,  xx

M xx , xx

N xy ,  xy

N xy ,  xy M xx , xx

N xy ,  xy M yy ,  yy

Qyz ,  yz Qzx ,  zx ECS  x

N xx , xx

M xy ,  xy

Qyz ,  yz M yy ,  yy

N xy ,  xy N yy ,  yy M xy ,  xy 그림 3.11.3

•

Shell 요소의 응력 /변형률

하중

Shell 요소에


표 3.11.1

Shell 요소에

하중 종류

하중

설명

중력


회전 관성력


압력 하중 또는 요소의 변에

75

Analysis Manual

변형을

요소 온도

요소 온도 하중 굽힘 변형을

•

온도 구배

요소 결과

midas NFX의 shell 요소는 요소의 두께 . Shell 요소를 계는

지정할 수 있다.

그리고 임의의


경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표 선택할 수 있는

표 3.11.2

Shell 요소의 결과 항목

결과 항목

In-plane stress

Normal stress

Principal stress

Von-Mises stress

Stress

Max shear stress

Fiber distance

Maximum values

ECS, MCS

.

설명 위치 : 상/하단, 꼭지점/  xx ,  yy ,  xy

위치 : 상/하단, 꼭지점/  zz

위치 : 상/하단, 꼭지점/ P1 , P2 , 주응력 방향 위치 : 상/하단, 꼭지점/ v

위치 : 상/하단, 꼭지점/  max

위치 : 상/하단, 꼭지점/ 두께

응력 계산 위치

위치 : 꼭지점/ 상/하단 중 최대값, ( P1 , P2 ,  v ,  max ) 위치 : 꼭지점/

Safety factor

 v 또는 P1 , P2 와

등방성 재료에 상/하단 중 최소값

76

(limit stress)을 계산

계산

Elements

In-plane strain

위치 : 상/하단, 꼭지점/  xx ,  yy ,  xy

위치 : 상/하단, 꼭지점/

Normal strain Principal strain Strain Von-Mises strain

Max shear strain

Maximum values

In-plane force

Bending moment

Shear force

Misc.

위치 : 상/하단, 꼭지점/

E1 , E 2 ,

방향

위치 : 상/하단, 꼭지점/ v

위치 : 상/하단, 꼭지점/  max

위치 : 꼭지점/ 상/하단 중 최대값, ( E1 , E2 ,  v ,  max ) 위치 : 꼭지점/ N xx , N yy , N xy

위치 : 꼭지점/

Force/ Moment

 zz

M xx , M yy , M xy 위치 : 꼭지점/

Qzx , Qzy

Strain energy




Energy density


77

Analysis Manual

M xy N yy Qzx

M xy ,  xy

M yy

Q yz

ERCS  y

N xx

N xy

M xx

Qzx N xy

N xy

ERCS  x

M xx M yy

N xx

Top

Q yz ,  yz

M xy

N xy N yy

Bottom

M xy 그림 3.11.4 Shell요소의 결과 출력 방향

•

요소 두께 및 재질

membrane 요소와 동일한

Shell

의할 수 있다. 또한 굽힘과 수 있다. 예를 들어,

두께를 정

대한 재료 및

각각 지정할

거동에 대한 두께(membrane 두께)를

t

라 할 때

다음과 같은 값을 설정할 수 있다. ►

12I / t 3 : 실제 굽힘 강성 I 와

►

ts / t

: 실제

위의

t

를 이용해 계산한 굽힘 강성의 비율

두께 t s 와

t

의 비율

강성 및 내력

적용되

지 않는다. 또한 중력, 회전 관성력 그리고 그 밖의 질량 효과를 에는

•

재료(membrane material)를

오프셋(offset)

Shell 요소의 립면이 은 디렉터

절점과 않는

있는 경우 또는

중

사용할 수 있다. Shell 요소의 오프셋

요소 내에서 일정한 값을 가질 수 있다

.

78

경우

.

Elements

•


midas NFX에서 사용할 수 있는 shell 요소는 요소의 가지 종류가 있다. 특히 shell 요소는 변형이 내 방향과

기법에 따라 여러 방향 별로, 예를 들어 면

따라 서로 다른

때문에 그 종류가 매우 명칭과 관련

. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서

기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된 것이

표 3.11.3

Shell 요소에 사용된

.

기법

절점 절점수

명칭 자유도

(면내/횡방향) Full integration

5 DOF 삼각형

Hybrid

3

/ANS 혼합법/ANS+혼합법

Full integration 6 DOF

5 DOF 사각형

Lobatto

3점

Lobatto

3점

Lobatto

Hybrid

+혼합법

6점

Lobatto

Full integration

/ANS

2X2 점

Lobatto

1x1 점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

+혼합법

3X3 점

Lobatto

/ANS

3점

/ANS

3X3 점

Reduced integration (stabilized)

4

1점

Hybrid

/ANS (안정화 기법) 혼합법/ANS+혼합법

Full integration 6 DOF Hybrid

대각항 삼각형

6

5 DOF

대각항

Full integration

사각형

8

5 DOF

대각항

Reduced

2X2 점

integration Hybrid

혼합법/ANS+혼합법

3X3 점

대각항

79

Analysis Manual


3절점 요소 : 5DOF요소는 면내 방향 거동을

►

4절점 요소 :

데

않다.

이용한 6DOF 요소는 메쉬 형태에

. 혼

. 합법을 적용한 6DOF 요소는 비틀림 거동을 가장 ► 6절점 요소 : 다른 요소에 비해 대체로 횡방향 변위가 큰 편이다. 요소 변에 절점이 변의 중앙에

않는 경우 요소의 성능이

저하

될 수 있다. ►

8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다.

요소는

사용한

적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이

가영 에너지 모드가 나타날 수 있다.

•

비선형 해석

Shell 요소는

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수

있다. 탄소성 재료를 료 거동이

되면 두께

위치에 따라 서로 상이한 재

된다. 이

합력 및 굽힘 모멘트 또는 강

성의 계산이 이를

하며 midas NFX에서는 Simpson

. 특히

식의 적용에 비선형

응력을 제외한

결과 항목은 다음과 같다.

표 3.11.4

Shell 요소의

결과 항목

결과 항목


Equivalent strain Strain

80

탄소성 상태 가정을 기초로 한다.

설명 위치 : 상/하단, 적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : 상/하단, 적분점 탄성/소성, 0 / 1 위치 : 상/하단, 적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Effective plastic

위치 : 상/하단, 적분점

strain

ep

Elements

3.12 Surface 요소

Surface 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 는 사각형 과만을

때문에 전체 해석 모델의

3.12.1과 같이 사면체 요소로 .

삼각형 또

. 강성 또는 질량을 가지지 않고 응력, 변형률 등의 요소 결

Surface

요소는

영향을 주지 않는다. 그림

얇은 판의 표면 응력을 확인할 때 매우

2차원

가지기

때문에

매우

얇은

membrane 요소와 비슷한 역할을 한다.

Surface element

Tetrahedral mesh 그림 3.12.1 사면체 요소망과 surface 요소

•

좌표계

Surface 요소의 ECS는 membrane 요소와 완전히 동일한 재료의 사용에 있어서 MCS를 위한 ERCS의 정의 방법 또한 membrane 요소와

•

.

자유도

Surface 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 ui  ui

•

. 직

방법과 요소 결과의 확인을

T

vi 

가진다.

(3.12.1)

응력과 변형률

Surface 요소의 기본 가정은 2차원 응력

그림 3.10.2와 같이 ECS에

81

Analysis Manual

서 정의된 면내 방향

응력을 고려할 수 있다.

 xx   

 xx   

σ   yy  , ε   yy       xy   xy 

(

응력과 변형률)

(3.12.2)

 yy ,  yy

 xy ,  xy

ECS  y  xy ,  xy

 xx ,  xx

ECS  x

 xy ,  xy

 xx ,  xx

 xy ,  xy  yy ,  yy 그림 3.12.2

•

Surface 요소의 응력 /변형률

하중

Surface 요소는 전체 구조 모델에 영향을 주지 않아야 하기 때문에, 하중을 재 하할 수 없으며 질량 효과가 없다. 단, 온도 변화에 따른 영향을 주지 않도록 팽창을

•

않으나, 응력과

전체 모델에

올바른 계산을 위해 열

.

요소 결과

midas NFX의 surface 요소는 면내 방향의 응력, 변형률 등의 결과를 두께가

않기 때문에 합력은

않는다. Surface 요소를

경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 용자가 선택할 수 있는

82

ECS, MCS 그리고 임의의

지정할 수 있다. 사

.

Elements

표 3.12.1

Surface 요소의 결과 항목

결과 항목

설명 위치 : 꼭지점/

In-plane stress Principal stress

Von-Mises stress Stress Max shear stress

 xx ,  yy ,  xy

위치 : 꼭지점/

P1 , P2 , 주응력 방향 위치 : 꼭지점/ v

위치 : 꼭지점/  max

위치 : 꼭지점/

Safety factor

 v 또는 P1 , P2 와

(limit stress)을

계산 등방성 재료에

계산

위치 : 꼭지점/

In-plane strain

Principal strain Strain Von-Mises strain

Max shear strain

•

 xx ,  yy ,  xy

위치 : 꼭지점/

E1 , E 2 ,

방향

위치 : 꼭지점/ v

위치 : 꼭지점/  max

비선형 해석

Surface 요소는 수 있다. 비선형

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 결과 항목은 다음과 같다.

83

Analysis Manual

표 3.12.2

Surface 요소의

결과 항목

결과 항목

설명 위치 : 적분점



84

소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : 적분점 탄성/소성, 0 / 1 위치 : 적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Effective plastic

위치 : 적분점

strain

ep

Elements

3.13 Plane Strain 요소

Plane strain 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 형 또는 사각형 면을

삼각

. 주로 댐(dam) 또는 터널(tunnel) 등과 같이 일정한 단 길이가 긴

해석에

때문에 엄밀한

2차원

. 요소의

3차원 공간 상에 모델링 할 수 있으나, 요소의 성질에 좌표 평면(x-y, x-z, y-z) 에

•

응력이

아니다. Plane strain 요소는

하는 것이

GCS 상의 특정 .

좌표계

Plane strain 요소의 ECS는 membrane 요소와 동일한 요소

ECS에 대해

, 유한

. 재료를

Plane strain

재료의 주축을 적절한 방

향으로 향하게 해야 한다. 재료의 방향(MCS)을

방법은 membrane 요

, 횡방향 재료 성질( E33 , 23 ,  31 )을

타당한 응력과 변형률

소와

결과를 얻을 수 있다. •

자유도

Plane strain 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 ui  ui

연계

T

vi 

의해 요소에 수직한 방향의 회전을

우에는 다음의 추가

가진다.

(3.13.1) 옵션을

θi   zi 

•

경

가진다.

(3.13.2)

응력과 변형률

Plane strain 요소는 2차원 응력 상태와 횡방향 2차원 력(resultant force) 을

, ECS에서 정의된 면내 방향

합

.

85

Analysis Manual

 N xx   

N   N yy  , ε

N   xy 

•

 xx      yy     xy 


(

(3.13.3)

하중

Plane strain 요소에


표 3.13.1 Plane strain요소에

하중 종류

하중

설명

중력


회전 관성력


압력 하중 또는 요소의 변에 요소 온도 하중

변형을

요소 온도

Plane strain 요소에 온도 하중이 가해진 경우 평면 변형 상태에 의해 , 프와송 효과에 의한 면내 방향 변형이 더욱 커지게 된다.

•

요소 결과

midas NFX의 plane strain 요소는 shell 요소와 동일한 결과

.

Shell 요소는 요소의 두께

,

엄밀한


plane strain 요소는 두께

응력과

때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다.

•

요소 두께

Plane strain 요소는 두께가

평면 변형 조건을 만족할 수 있다. midas

NFX에서는 plane strain 요소의 두께를 직접 입력할 수 있으며, 1로

•

않은

.


midas NFX에서 사용할 수 있는 plane strain 요소의 종류는 membrane 요소와

86

Elements

같으며 각각의 특징 또한

•

.

비선형 해석

Plane strain 요소는 할 수 있다. 비선형

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용 결과 항목은 shell 요소와 같다.

87

Analysis Manual

3.14 Axisymmetric solid 요소

Axisymmetric solid 요소는 형상, 재질, 하중 조건 등이 임의의 축에 대해 회전대 칭 조건을

해석에

종류의

며, 3/4/6/8 절점의

•

. Axisymmetric solid 요소는 다른

혼용할 수 없고 GCS 를

x-z 평면에 모델링 해야 하

사각형 형상이 있다.

좌표계

ECS의 설정은 membrane 요소와 동일한 방법을 GCS에 대해

,

.

Axisymmetric solid 요소에

재료를

재료의 주축을 적절한

향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를

되는데, midas

NFX의 axisymmetric solid 요소는 크게 두 가지

재료의 방향을 결정할

수 있다. 첫 번째로 그림 3.14.1 과 같이 GCS의 x

이용할

수 있다.

4

GCS  z

3

MCS  y

MCS  x

2 

1

1

GCS  x

그림 3.14.1 각도를 이용한 axisymmetric solid요소의 재료축 정의

두 번째 방법은 임의의 요소와 같이 x축을 표계의 x축을 정하는 데

88

, 이 그 방향을 재료의 방법은 요소 결과를

.

membrane . 좌 위해 ERCS를 설

Elements

•

자유도

Axisymmetric solid 요소는 GCS의 x축(즉, 반경 방향)과 z축 방향 변위를 자유도 로 가진다. ui  ui

•

T

wi 

(3.14.1)

응력과 변형률

Axisymmetric solid 는 GCS에서 정의된

응력을

그 성분은 다

음과 같다.

 xx   xx            σ , ε    zz    zz    zx    zx 

(

응력과 변형률)

/

(3.14.2)

3

 zz ,  zz

4

 zx ,  zx

 xx ,  xx

GCS  z

 xx ,  xx

 zx ,  zx

  , 

 zz ,  zz

2

1 GCS  x 그림 3.14.2

•

Axisymmetric solid요소의 응력 /변형률

하중

Axisymmetric solid 요소에


89

Analysis Manual

표 3.14.1

Axisymmetric solid요소에

하중 종류

하중

설명

중력

재료의 밀도에 대해 적용

회전 관성력

재료의 밀도에 대해 적용 요소의 변에

압력 하중 바깥 면에

(

•

.)

요소 결과

midas NFX의 axisymmetric solid 요소의 결과는 대한 값으로 의의

지정한 기준

선택할 수 있는

.

ECS, MCS 그리고 임

. 요소 결과 성분의 방향은 요소 면내 방향을 x, y 로 하고 원주

방향을  로 한다.

표 3.14.2

Axisymmetric solid요소의 결과 항목

결과 항목

Stress component Principal stress

Von-Mises stress

설명 위치 : 꼭지점/  xx ,  yy ,   ,  xy

위치 : 꼭지점/

P1 , P2 위치 : 꼭지점/ v

Stress Max shear stress


위치 : 꼭지점/

Safety factor

 v 또는 P1 , P2 ,   와

등방성 재료에

Strain

90

Strain component

(limit stress)을

계산

위치 : 꼭지점/  xx ,  yy ,  ,  xy

계산

Elements

위치 : 꼭지점/

Principal strain

E1 , E 2 위치 : 꼭지점/ v

Von-Mises strain

위치 : 꼭지점/

Max shear strain

•

 max


midas NFX에서 사용할 수 있는 axisymmetric solid 요소는 요소의

기

법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하 는 명칭과 관련

기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게

표시된 것이

.

표 3.14.3

형상

절점수

삼각형

3

Axisymmetric solid요소에 사용된

기법

명칭

Full integration

3점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

사각형

4

2X2 점

Lobatto

삼각형

6

3점

대각항

사각형

8

3X3 점

대각항

Hybrid

•

혼합법

비선형 해석

Axisymmetric solid 요소는 를 적용할 수 있다. 비선형

고려할 수 있으며, 탄소성 재료 결과 항목은 다음과 같다.

91

Analysis Manual

표 3.14.4

Axisymmetric solid요소의

결과 항목

결과 항목

설명 위치 : 적분점



92

소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : 적분점 탄성/소성, 0 / 1 위치 : 적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Effective plastic

위치 : 적분점

strain

ep

Elements

3.15 Solid 요소

Solid 요소는 자동차 엔진, 두꺼운 벽 등과 같이 부피가 있는 주로

.

(tetrahedron),

midas

NFX에서

사용할

오면체(pentahedron),

수

있는

solid

4/5/6/8/10/13/15/20 개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 형상과

•

요소는

사면체

육면체(hexahedron) 쐐기(wedge)

(pyramid) 형상이 있다.

좌표계

사면체 요소의 ECS는 절점 1, 2, 3이 이루는 삼각형 형상에 membrane 요소의

ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 쐐기 요소의 ECS는 절점 1과 4, 절 점 2와 5, 절점 3과 6의

이루는 삼각형 형상에 membrane 요소의 ECS

정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체

요소의 ECS는 절점 1, 2, 3, 4가

이루는 사각형 형상에 membrane 요소의 ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 육면체 요소의 ►

먼저 ECS에 근접한 벡터를 다음과 같이

►

r : 절점 1, 5, 8, 4의 s : 절점 1, 2, 6, 5의

절점 2, 6, 7, 3의 중점을 향하는 벡터 절점 4, 3, 7, 8의 중점을 향하는 벡터

►

t : 절점

절점 5, 6, 7, 8의 중점을 향하는 벡터

1, 2, 3, 4의

위 세 개의 벡터와 가장

놓이는 직교

.

육면체 요소의 ECS가

된다.

93

Analysis Manual

4

15 4

10 9

8 7

6

5

1

12

5

10 3 ECS  z

6 14

13

11

9

ECS  y

1 ECS  x

ECS  y ECS  x

2

5

8

19

7

20 3 10

1

4 9

12 11

ECS  z

6

5

8

16

3

14

13

7

6

18

17 ECS  y

2

4 11

12 ECS  x

ECS  z

8

7

2

3

1

9

15

ECS  z ECS  y

3

ECS  x

10 2

그림 3.15.1 Solid요소의 좌표계

•

자유도

Solid 요소는 GCS의 x, y, z축 모든 방향에 대한 변위를 ui  i ui i v

•

가진다.

T

w

(3.15.1)

응력과 변형률

Solid 요소는 GCS에서 정의된

응력을

그 성분은 다음과 같

다.

 xx   xx       yy   yy   zz   zz  σ , ε     xy   xy    yz   yz        zx   zx 

94

(응력과 변형률)

(3.15.2)

Elements

 zz ,  zz  yz ,  yz  zx ,  zx  zx ,  zx

 xy ,  xy  xx ,  xx

 xy ,  xy

 yy ,  yy

GCS  z

GCS  y

 yz ,  yz

GCS  x 그림 3.15.2

•

Solid 요소의 응력 /변형률

하중

Solid 요소에


표 3.15.1 Solid요소에 적용되는 하중

하중 종류

설명

중력


회전 관성력


압력 하중

•

요소의 면에

요소 결과

midas NFX의 solid 요소의 결과는 .

선택할 수 있는

지정한 기준

대한 값으로

ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계

이다.

95

Analysis Manual

표 3.15.2

Solid 요소의 결과 항목

결과 항목

설명 위치 : 꼭지점/

Stress component Principal stress

Von-Mises stress

Stress

Max shear stress

Octahedral stress

Mean pressure

 xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  yz ,  zx

위치 : 꼭지점/

P1 , P2 , P3 , 주응력 방향 위치 : 꼭지점/ v


위치 : 꼭지점/ o

위치 : 꼭지점/

p0 위치 : 꼭지점/

Safety factor

 v 또는 P1 , P3 와

등방성 재료에

Strain component

Principal strain

Von-Mises strain Strain Max shear strain

Octahedral strain Mean

96

(limit stress)을 계산

위치 : 꼭지점/  xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  yz ,  zx

위치 : 꼭지점/

E1 , E 2 , E3 , 위치 : 꼭지점/ v

위치 : 꼭지점/  max

위치 : 꼭지점/ o

위치 : 꼭지점/

방향

계산

Elements

compression

c0

Strain energy


Total percent Misc.

energy


Energy density



•

midas NFX에서 사용할 수 있는 solid 요소는 요소의 러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 련

기법에 따라 여 명칭과 관

기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된 것이

. 표 3.15.3

형상

절점수

Solid 요소에 사용된

명칭

Full integration 사면체

4 Enhanced

EAS, up 혼합법

Full integration 쐐기

6

기법


(안정화 기법)

Hybrid

혼합법

1점

Lobatto

4점

Lobatto

3X2 점

Lobatto

1X1 점

Lobatto

3X2 점

Lobatto 대각항

Full integration

4X2 점

Reduced integration

1X1 점

대각항

5

대각항

Hybrid 육면체

8

Full integration

혼합법

4X2 점 2X2X2 점

Lobatto

97

Analysis Manual


(안정화 기법)

Hybrid

혼합법

1X1X1 점

Lobatto

2X2X2 점

Lobatto 대각항

사면체

Full integration

4점

Enhanced

4점

Full integration

3X3 점

Reduced integration

3X2 점

10 대각항

대각항

대각항 쐐기

15

대각항

Hybrid

혼합법

3x3 점 대각항

9X3 점

13

대각항

Full integration

3X3X3 점

Reduced integration

2X2X2 점

대각항 육면체

20

대각항

Hybrid

혼합법

3X3X3 점


4절점 요소 : 기법에

변위 결과는

, EAS와 u-p

이

용한 요소가 더 정확한 응력 결과를 보인다. ►

►

6절점 요소 : 얇은 8절점 요소 : 굽힘을 받는

대해

적용한 요소의 성능이 대해 혼합법 또는

. 요소의 성능이 ► 10절점 요소 : 대체로 모든 기법이 비슷한 수준의 결과를 조물에 대해 비적합 요소가

98

유연한 결과를 보인다.

. 적용한

, 얇은 구

Elements

►

20절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 얇은

해

•

대

적용한 요소가 우수한 성능을 보인다.

비선형 해석

Solid 요소는

고려할 수 있으며, 탄소성 재료와 초탄성 재

료를 적용할 수 있다. 비선형

결과 항목(탄소성 재료 적용)은 다음과

같다.

표 3.15.4

Solid 요소의

(탄소성 재료) 결과 항목

결과 항목

Equivalent stress

설명 위치 : 적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Stress Plastic status


위치 : 적분점 탄성/소성, 0 / 1 위치 : 적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Effective plastic

위치 : 적분점

strain

ep

99

Analysis Manual

3.16 Layered shell 요소

Layered shell 요소는

및

물성이 다른

주축 방향이

좌표계, 곡면 모델, 자유도 등은 일반 shell요소와

. 3/4/6/8 개의 요소와

횡방향

. 즉

이론을 기초로 하며

shell

4.3장에서 소개될

, 계산 및

적층

.

복원

등방성 재료와 달리 전단 보정 계수(shear correction factor)를

기초로 한 횡방향 강성

어렵다. 따라서, 몇

가지 가정된 변형 형상과 응력 22.

방법이 력의 복원이

1차

횡방향 전단 강성을

또한, 이를 적용한 일련의 절차를

횡방향 전단응

장점을 갖는다. 이론을 기초로 한 다음과 같이

방향

3차원 응력

.

기초로 한 횡

 x    (k )  y   C (ε o  zκ )    xy 

 

 xz    z  100      0   yz    001

)

001   C ( k (xεo, x, ) zκ 010  

Layered shell의 에서의

22

)

) Ck ε

((

y , o, y

효과를 곡률은 다음과 같이

(3.16.1)

zκ

  d

(3.16.2)

경우 ( N  0 ), 중립면

.

Rolfes, R. and Rohwer, K., “ Improved transverse shear stresses in composite finite elements based on first order shear deformation theory,” Internatinal Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 40, 1997

100

,

삼각형 또는 사각형

layered shell 요소는 1차

•

같이

적층된 얇은

Elements

1

ε o   A Bκ *1

κD

T B 1 여기서 D* D B A 하면 다음과 같다.

이다. (3.16.3)을

 xz  1 0 0    yz  0 0 1 F( z ) 

(3.16.3)

M

 z

 C

 0

횡방향

001  (z ,x  F) M 01 0  

CD 

)(k

A Bd1

 z )( 1*



 0

z

)F(M

k



d



다시 표현

(3.16.4)

,y



(3.16.5)

x-축과 y-축 대해 원통형 굽힘 거동을

경우,

면내

횡방향

표현이

.

다음과 같이 간단한

Qxz     Qyz 

이를

M x, x  M y, y

(3.16.6)

횡방향

다음과 같다.

 F11  F xz 32  Qxz      yz 22  Qyz  F31  F

즉, 횡방향 한 에 의해

(3.16.7)

물질의 물성치 및 두께, F ( z ) 와 횡방향

의해

의

. 이를

계산된 횡방향 전단 강성 G 를 다음과 같이 수정 표현할 수

있다.

  F11  F

H  

 

31

F F F  111 3 2 G F  F F

 

 



T

3 2

22



31

22

1

(3.16.8)

101

Analysis Manual

•

요소 결과

midas NFX의 layered shell 요소는 요소의 두께

각 층 (ply) 마다 중심

또는 상/

최대/

결과를

다. 응력 및

. 또한 전체

제공한

.

결과는 각 층의 재료 표 3.16.1 Layered shell요소의 결과 항목

결과 항목

설명 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소,

In-plane stress

꼭지점/  11 ,  22 ,  12

Transverse shear stress

위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/ 1z , 2 z

위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소,

Stress

Principal stress

꼭지점/

P1 , P2 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, Von-Mises stress

꼭지점/ v


Max shear stress

꼭지점/  max


In-plane strain

꼭지점/ 11 ,  22 ,  12

Strain


Principal strain

꼭지점/ E1 , E2 ,

102

방향

Elements


Von-Mises strain

꼭지점/ v


Max shear strain

꼭지점/  max

In-plane force Force/ Moment

Bending moment

Shear force

위치 : 꼭지점/ N xx , N yy , N xy

위치 : 꼭지점/

M xx , M yy , M xy 위치 : 꼭지점/

Qxz , Qyz 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소,

Misc.

Failure

꼭지점/

index/strength ratio

Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, maxstress 또는 LaRC02

103

Analysis Manual

•

비선형 해석

Layered shell 요소는

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적

용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를 정의할 수 있다. 비선형 표 3.16.2

결과 항목은 다음과 같다. Layered shell요소의

결과 항목

결과 항목

설명 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소

Equivalent stress

적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Stress

위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소

Plastic status

적분점 탄성/소성, 0 / 1 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소


104

적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소 적분점

ep

Elements

3.17 Layered solid 요소

Layered solid 요소는

, layered shell 요소를 사용

두꺼운 구조에

. midas NFX에서는

solid 요소를 layered solid 요소로

성질을 가진

있으며, 사용할 수 있는 layered

solid 요소는 오면체 쐐기 형태와 육면체(hexahedron) 절점을 가질 수 있다.

solid 요소와

•

6/8/15/20 개의

정의, 자유도 선정 그리고 하중의 종류 등은

.

좌표계

Layered solid 요소의 ECS는 solid 요소와

. 재료의 적층 순서

는 ECS의 z축을

. Layered

solid 요소는

주로

재료를

경우가 많다. 이와 같은 경우 MCS를 같이 x축을 요소의

되는데, 그림 3.17.1과

그 방향을 재료의

.

y User-defined material coordinate

x

z Projection 8 7

4 MCS  y

3

5 MCS  x

1

6

Mid-plane

2 그림 3.17.1 좌표계를 이용한 layered solid요소의 재료축 정의

105

Analysis Manual

두께 방향 적분 방법

•

Layered solid 요소는 두께

여러 겹의 각기 다른 재료가 적층 되어 있

다고

때문에

량이 렬과

된다. midas NFX에서는 이와 같은 문제를 J 를 자연 좌표  에 대해

integration)을

가우스

사용할 경우

위하여 B 행

(analytic

.

변위와 변형률 관계를  에 대해

다음과 같다.

ε BuB ( 0 B 1B u

J

계산

2

또한 동일한

(3.17.1)

2)

다음과 같이

계산할

수 있다.

K

 Tk

  B B 

 Bk

k

0

 2)

(

T

k 2



1B C2 B B  0 B1 20

 Bk ,  Tk

12



2    J

: 각 층의 상/

J

J

d

d d

(3.17.2)

좌표값 

(k )

C

•

: 각 층의 응력-변형률

응력-변형률

수정

6절점과 8절점 layered solid 요소는

(isoparameric) 정식화

정확한 해를 얻을 수 없을 뿐만 아니라 잠김 현상이

. 특히 layered solid 요

소는 두께가 얇은

때문에

력이 거의 때문에 두께

때 많이

재하된 하중이 있을

일정한 응력을

이에 의해

발생

위하여 midas NFX의 6절점과

8절점 layered solid 요소는 응력-변형률 께

응

않는 경우가 많은 반면, solid 요소의 특성을 가지고 있기

하기도 한다. 이와 같은 현상을 동시에

23

때문

에 3.3절에서 설명한 다양한 성능 향상 기법을

수정된 형태23를

하였다.

Sze, K.Y., Lo, S.H. and Yao, L.Q., “Hybrid-stress solid elements for shell structures based upon a modified variational functional, ” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 53, 2002

106

두

Elements

•

요소 결과

midas NFX의 layered solid 요소는 요소의 두께

각 층 (ply) 마다 중심

또는 상/

최대/

다. 응력 및

결과를

. 또한 전체

.

결과는 각 층의 재료 표 3.17.1

Solid 요소의 결과 항목

결과 항목

Stress component

Principal stress

Von-Mises stress Stress Max shear stress

Octahedral stress

Mean pressure

Strain component

Principal strain

Strain

Von-Mises strain

Max shear strain

Octahedral strain

제공한

설명 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/

 11 ,  22 ,  33 ,  12 ,  23 ,  31

위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/

P1 , P2 , P3 , 주응력 방향


v


 max


o


p0


11 ,  22 ,  33 ,  12 ,  23 ,  31


E1 , E 2 , E3 ,

방향


v


 max


o

107

Analysis Manual

Mean compression


c0


Misc.

Failure

꼭지점/

index/strength ratio

Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, maxstress 또는 LaRC02

108

Elements

•


midas NFX에서 사용할 수 있는 layered solid 요소는 요소의

기법에

따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서

기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된

칭과 관련 것이

.

표 3.17.2

형상

절점수

Layered solid요소에 사용된

6 Hybrid

Full integration 육면체

기법

명칭

Full integration 쐐기

명

/ANS 응력-변형률 관계 수정 혼합법/ANS 응력-변형률 관계 수정

/ANS 응력-변형률 관계 수정

3점

Lobatto

3점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

2X2 점

Lobatto

8 Hybrid

혼합법/ANS 응력-변형률 관계 수정

대각항 쐐기

3점

15

대각항

3X3 점

Full integration 육면체

20 대각항

Reduced

2X2 점

integration


8절점 요소 : 자연 변형률

때문에 모든 기법이 대체로

정확한 결과를 보인다. ►

20절점 요소 : 얇은

적용한 요소가 우수한

성능을 보이나, 가영 에너지 모드가 발생할 수도 있다.

109

Analysis Manual

•

비선형 해석

Layered solid 요소는

고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적

용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를 선택할 수 있다. 비선형 표 3.17.3

결과 항목은 다음과 같다. Layered solid요소의

결과 항목

결과 항목

설명 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소

Equivalent stress

적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq

Stress

위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소

Plastic status

적분점 탄성/소성, 0 / 1 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소


110

적분점 소성 모델에 따라 계산,  eq 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소 적분점

ep

Elements

3.18 그 밖의 요소

midas NFX에서는 앞서 설명한

구조 요소 이외에 스칼라 요소, bush

요소, 특수 요소, 강체/보간 요소 등을

•

있다.

스칼라 요소

스칼라 요소는 하나의 절점이

대한 상대적 거동을 할 때

형 에너지 또는 운동

변

두 절점의 상대적 운동을 고려할 수

있다. 스칼라 요소는 크게 spring 요소와 mass 요소 그리고 damper 요소로 나

, 각각은 변형

운동

속도에 대한

차이 이외에 모든 기술 방식이

1 절점 spring 요소는 모델의

. 위치한

로 고려할 때, 또는 특이성 오류를 임시

spring 요소는 두 절점을 탄성 사이의

방지할 때 기능을 하며

탄성 거동을 하도록 할 때

의 강성은 해당 절점의 NDCS에 대해

. 2절점 구성된 모델

. Spring 요소

.

SRY

SY SX SRX Nodal Point SZ

z

y

Z

SRZ

Y

x X

그림 3.18.1 절점변위좌표계를 사용한 spring 요소의 예

Mass 요소는

강성 효과를 가지지 않는 부분의 모델링 시에 사용할

수 있다. Mass 요소의 질량 역시 해당 절점의 NDCS에 대해 요소는 동적

수행할 때

. Damper

것으로 역시 NDCS에 대해 감쇠값

111

Analysis Manual

을

.

Spring 요소는 표 3.18.1과 같은 요소 결과를

. 단, spring 요소의 자유

도는 변위 또는 회전을 임의로 선택할 수 있기 때문에 일관성 있는 단위 환산을 할 수 , 응력과 힘/ 결과를 검토할 때에는 이를 한다.

표 3.18.1

Spring 요소의 결과 항목

결과 항목

설명 위치 :

Stress

응력 계수 s 로부터 계산(   sN or

Stress component

  sM )

Force/Moment

위치 :

Force/moment component

N or M

Strain energy




Misc.

•

Bush 요소

Bush 요소는

동시에 가지고 있으며,

두 개의

. bush 요소는 절점의 위치 정보를 소로 분류할 수 있으나, 하나의

때문에 1차원 요 스칼라 요소와 동

일한 성질을 가지게 된다. 특히, 2절점 bush 요소는 양 끝단의 따라 변하게 되므로

Bush 요소는 그 형상 정의의 3.18.2는

112

스칼라 요소와

의해 정의할 수 있는 bush 요소의 있다.

ECS가

가질 수 있다. 가진다. 그림 형상을

Elements

ECS  y

Spring/Damper Location

ECS  z

ECS  x

2

S3 S2

S1

1

그림 3.18.2

GCS

률(절점간

y x

Bush 요소의 형상 정의

Bush 요소의 강성과 감쇠는 ECS에 대해 각 강성 또는 감쇠가

z

6 성분을 입력할 수 있다.

가지는 경우, 요소의 내력과

)과 변형률 속도(절점간

각각 변형

)에 대한 함수로

운동을 나타낼 수 있다.

I I Felastic , Fdamping

: I 번째

u I , u I

: I 번째

Felastic

I Felastic

 f (u I )

I Fdamping

 f (u I )

(3.18.1) 내력과 감쇠력

Fdamping

Multi-linear

Coulomb-damping s N

u

그림 3.18.3

u

Bush 요소의 비선형 강성 및 감쇠

위의 그림은 다중-선형(multi-linear) 특성을 가지는 강성 모델과 Coulomb 감쇠 모델로 이

,

항상 원점을

한다. 또한, Bush

, 훅 , 갭의 거동은 3.4 의 Rod 요소의 비선형 강성 모델의 거

113

Analysis Manual

동과

. Bush 요소 결과는 spring 요소와

변형률 결과를 포함

한다.

•

특수 요소

midas NFX의 특수

집중 mass가 있다. 집중 mass는 1절점

앞서 설명한 1절점 mass 질량

다르게

다음과 같은

모멘트 텐서 I ij 를 입력할 수 있다.

I xx   ( y 22 )z, dV (I yy22 ) , z ( x 22 dV )

 x

I zz

y dV

(3.18.2)

I xy    xydV , I xz    xzdV , I yz    yzdV 

: 밀도

x, y, z

:

•

거리

강체/보간 요소

강체 요소와 보간 요소는 절점들 간의

운동을 상호

.

여기서, 구속의 주체가 되는 절점을 주절점(independent node) 또는 구속의 주 체가 되는

(independent DOF)라 하고 구속을 받는 절점 또는 (dependent node) 또는

(dependent DOF)라 한다.

강체 요소는 하나의 절점에 의해 다른 여러 절점의 는 기능을 한다.

사이의 상호

.

D

I

D

I

u  u  r  θ θ θ

u D , θD

:

uI , θI

:

x

:

I

있는 다음과 같다.

uI  ( x) θ I

(3.18.3)

변위와 회전 변위와 회전

6 자유도 중에서 유도를 선택할 수 있으며 이를

114

구속하

주절점 1개에 여러 개의

향하는 벡터 ( x I  xD )

구속을 받아

하고자 하는 자

방향 별 선택적 강체 요소를 만들 수

Elements

있다. 다음은 x-y 평면 상에서 강체 거동을 하도록

예이다.

u D  u I   zI Δy , v D  vI   zI Δx ,  zD   zI

(3.18.4)

y 4

3

1

4

3

1

2

2

y x

x

Independent node 그림 3.18.4 평면 내 강체 거동의 예

보간 요소는 하나의 절점이 다른 여러 절점의 운동에 따라 상대적 거동을 하는

1개에 여러 개의

.

있는 형태이

다. 보간 요소는 여러 절점에 힘 또는 질량을 강체 요소에 비해

때

절점이 적기 때문에 구속력 또한 약하다. 예를 들어

x-y 평면 상에서

변위 관계를 알기 위해 힘의 분포 과정을

. w3

w1

r1

FD

r3

C.G.

Reference point

r2

w2

M  e F D

D

e

M

그림 3.18.5 주절점의

D

작용하는 힘의 관계

그림 3.18.5와 같이 가중치 wi 를 가지고 서 거리 e 만큼 떨어진 위치에 F D 와 모멘트 M D 는

FD

있는

,

힘

D D 대해 M  e  F 의

. 종속 115

Analysis Manual

절점에 의해 평균된 힘으로

힘과

각

def



D M1e F  r



Fi  wiF T D ˆ

D

여기서 wi 는 가중치 합으로



i



(3.18.5)

, T는

ˆ

서의

다음과 같이 가중

수 있다.

(Inertia tensor)이다.

wi  ˆ

wi

(3.18.6)

w

i

T

 w rr I r r 

ˆ

i

ii



i

i

이와 같은 힘의

 

(3.18.7)

다음의 변위와 회전

D u 

uw T I

ˆ

i



D

i

  

1

변환할 수 있다.

 

r u wei ˆ

I i

i



 

 T1  wi  ri  uI  ˆ

(3.18.8)

(3.18.9)

i

결국

거동이

이러한 특성 때문에 강체 요소에 비해 작은 개수의 자유도 구속이

116

형태가 되며,

.

Elements

그림 3.18.6 강체 /보간 요소의 거동 비교

•

조인트 요소

조인트(Joint) 요소는 두 점 간의

운동을 미리 정의된 다양한 조인트

타입에 따라

. 여기서

두 점은 접지점(ground point)-절점 또는 절점으로 조인트 요소가

거동이 구성될 수 있다. 일반적

두 점은 각각 강체 요소에 포함된 특정 절점인 경

우가 많다. 이러한 경우, 조인트 요소는 두

사이의

거동을 표

. 경우 조인트 요소는 (3.18.3)으로

확장된 형태

로 생각할 수 있다. 이 경우 부가 어지는

대하여

구속된 절점

대한

경우와 달리 조인트 요소의

정의가 되므로 이를 적절히

형태로 주 요소의 ECS에 대하여

형태로

한다. 따라서 조인트

요소의

, ECS에 대하여 주어진

구속여

즉시

것이 아니고 형태로

적절히 함된 모든 자유도 u c 에 대한 전체

전체 구

된다. 즉, 모든 조인트 요소에 포 다음과 같이

Cuc  0

여기서 단일 절점 구속이 적용된 자유도 등을

(3.18.10) 적절히

구

(3.18.8)을 다음과 같이 속식의 개수( C 행렬의 행 수)만큼 I D u 와 u 로 표현할 수 있고

117

Analysis Manual

CD

D u  CI    0 I  u 

여기서 행렬 CD 의 랭크가

개수와 같다면(full rank) 가우스 형태로 표현할 수 있다.

통해서 다음과 같이 1 uD   CC D u

만약 행렬

CD 의

I

(3.18.12)

I

랭크가

작다면 이

이 경우 소거

constraint) 따라

(3.18.11)

기존

(over-

남은 부분이 모두 0인지

일치 여부를 판별할 수 있다. 이와 같이 종속자

유도의 선택과 소거 과정을

조인트 요소의 경우 강체

요소에 비하여 훨씬 복잡한

정의할 수 있으며 또한 이 과

정에서

여부와

기존

일치 여부를

판단

하여 적절한 조치를 취할 수 있다. 조인트 타입에 따라

거동(자유도)은 요소의 ECS에 대하여 정

의되며 특히

비선형

우 요소의 회전에 따라 ECS가 이 허용된

구속된

상대적 거동이 허용된

ECS에 대해

구성된 조인트 요소의 경

된다. 또한 조인트 요소는 상대적 거동 스프링 강성 및 감쇠를 부여 할 수 있다.

Bush

조인트 요소의

절점-

경우 ECS에 대한

Bush 요소의 경우와 같은

. 표 3.18.2 조인트 요소의 결과 항목

결과 항목

Stress

Stress component

Strain

Strain component

설명 응력 계수 s 로부터 계산(   sN or   sM )

변형률 계수 e 로부터 계산(   e u or

Force/Moment

Force/moment component

118

  eθ )

N or M

Elements

midas NFX 에서는 Join, Spherical, Cylindrical, Slot, Revolute, Planar, Translational, Universal, General 타입의 조인트 요소를

.

표 3.18.3는 각 조인트 타입에 대하여 허용 상대

그림 3.18.6

은 몇 가지 대표적 조인트 타입을 각자의 상대적 거동에 초첨을 맞춰서 도식화 한 것이다. Universal 타입의 조인트 요소는 점의 ECS와 종속 점의 좌표계, ECS2를 가지며, 변형중 ECS의 x축과 ECS2의 z축은

만

족한다.

표 3.18.3

조인트 타입

Joint 요소 타입 및 허용 자유도

허용 상대 자유도

Join

-

Spherical

x ,  y , z

Cylindrical

w , z

Slot

u , x ,  y , z

Revolute

z

Planar

u , v , z

Translational

u

Universal

x , z

General

사용자 정의

119

Analysis Manual

ECSz Z

Cylindrical Cylindrical

Spherical Spherical

ECS-zZ

ECS-x X ZECS-z Y ECS-y

Revolute Revolute

Planar Planar

ECS2-zZ

XECS- x

ECS-x X

Translational Translational

그림 3.18.6 조인트 타입과 거동

120

Universal Universal

Elements

•

Gap 요소

Gap 요소는

요소에

차원

마찰이 추가된 형태의 비선형 요소로 1

할 수 있다. Gap 요소는 2절점 bush 요소와 같이 절점

의 위치 정보를 때문에 1차원 요소로 같이 GCS를 따르는 사용이 의

(Opening) 정의 기준을

, 1절점 bush 요소와 다르게 초기

.

하므로

않는다.

표 3.18.4

Gap 요소의 결과 항목

결과 항목

설명 위치 :

Slip

요소 Y, Z 방향 Slip 거리

Stress

위치 :

Status

Strain

Open/Slide/Stick/Slip = 0/1/2/3 두 절점간

Relative Displacement

위치 :

Force

Force component

N xx Q y Qz

,

대한 거동은 각각 절점간 대해서 그림 3.18.8과 같이

,

,

Qy2  Qz2

xB  xA

와

yB  y A

에

.

121

Analysis Manual

Nx

u0

kb F0

xB  x A

ka

open

closed

(a) 축방향 거동

Qy

s N x k N x

kt

Unloading yB  y A

 k N x s N x

Unloading

(b)

그림 3.18.8

122

Slip 거동

Gap 요소의 방향별 거동

Elements

여기서,

u 0 : 갭 초기 열림(gap initial opening)

F0 : 초기 하중(Preload) k a : 갭이 닫혔을 때 축강성 k b : 갭이 열렸을 때 축강성

k t : 갭이 닫혔을 때 s :

계수

k : 동마찰 계수

마찰에 의한 참고)를

위해

동일한

(식 5.8.10

.

초기

초기의 절점 거리의

성분을 사

유사한 거동을 모사할 수 있으며, 을

않은 경우는

1e-10만큼을

축방향 강성

.

123

Analysis Manual

3.19

(geometric stiffness) 또는 는

(stress stiffness)은 내력을 지니고 있 때

이다.

선형

내력 변화에 의한 강성

비선형

NFX의 요소 중에서

, midas

요소는 다음과 같다.

표 3.19.1 기하강성을

요소 종류

요소 종류

내력 성분

자유도 성분

Rod

축방향 힘 N xx

Bar

축방향 힘 N xx

v , w ,  y , z

Pipe

축방향 힘 N xx

v , w ,  y , z

Membrane, Plane

v, w

합력 N xx , N yy , N xy

strain

합력 N xx , N yy , N xy 굽힘 모멘트 M xx , M yy , M xy

Shell

u, v, w

u , v , w , x ,  y

전단력 Qzx , Qyz

Axisymmetric solid

면내 응력  xx ,  yy ,  xy 응력   응력 성분

Solid

 xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  yz ,  zx

u, w

u, v, w

이 밖에 spring, bush, rigid 요소 및 에

•

비선형 해석

. 구조 요소에 대한

midas NFX에서는 Jaumann 응력률(stress rate)을 객관(objective) 한 개정 을

124

방법(updated Lagrangian formulation)에

. 예를 들어 solid 요소의 내력은 다음과 같이 응력과 가상

가정

Elements

부터

.



 ufi i  ij D ijdV

 Dij

: 가상 변형

(3.19.1)

1  ui  u j (  ) xi 2 x j

내력의 접선(tangent)

강성에

다시 한번 변분을 취하면 피

다음과 같다. dijD ij dijD

위 식에서 적분 영역의 변분은 조물의 변형과 서 객관

 wij

(3.19.2)

ij

. Solid 요소는 EFCS가 GCS이므로 구 d Dij  0 이고, 첫 번째 항에

있다.

의한 응력 증분(increment)는 다음과 같다.

ijkl d ij dw ik kj ij dwjk C  dD 1  ui  u j (  ) : 증분 스핀(spin) xi 2 x j

(3.19.3)

kl

(3.19.2)와 (3.19.3)을 (3.19.1)에

다음의

얻을 수

있다.



 uK  kl duj  DC dD i ij ij ijkl

ij LkidL ( kj

DikdD 2 kj dV

)

(3.19.4)

: 증분 변위 구배(displacement gradient)  Dij   wij

 Lij

피적분 값의 첫 번째 항은

. 에 이 성질을

(material stiffness)이라 하며 두 번째 항이

알 수 있듯이 선형

응력의 크기에

때문

.

125

Analysis Manual

•

강체 요소에 대한

강체 요소에 대한 절점에

힘에 의해 s

힘과

. 종속

s

f , m 라 할 때 이로 인한

다음과 같

다. W  fs us  u s ,  θs

ms  θs

(3.19.5)

변위와 회전

:

대해 다시 변분을 취하면 다음과 같이 강성 계산을 위한 기본 식을 얻 을 수 있다. W d d fs

dus  msd   θs

변위를 주절점 변위와

m  us   u

위식을 다시

(3.17.6)에 Wd d  f s

θm ( xs

fs

us

(3.19.6)

위해 다음 식을

.

xm )

(3.19.7)

강성을 계산할 수 있다.

us dfs ( θ m ( θ(m

xs))) xm

(3.19.8)

힘과 절점의 회전 일부

해제한 경우

해제된 자유도 방향 또한 의해 또한

126

주

따라

된다. 그림 3.19.1과 같이 좌표계(NDCS)가

따라 때, 구속 방향이

게 된다.

의해

관련 있음을 알 수 있다.

회전에

알 수 있으며, 구속 해제

. 또는, 강체 요소를 않고

일부 자 변화하

Elements

Rotated NDCS

z NDCS

y

x

z'

x' y'

Translation

Rotation

그림 3.19.1 주절점의 회전에 의해

자유도 방향

127

Analysis Manual

3.20 열전도 요소

midas NFX의 열전달 해석은 한 열평형

(transient)와

(steady-state)에 대

기초로 하며, 본

와

방법에 대해

의한 공간 이산화

. 열전도 요소는

가지지

만, 온도 의존성(temperature dependency)을

지

. 또한 형상 함수 또는 수치 적분 등의 방법이 게 다르지 않으며, 해

절점당 1개(온도)로

작은 계산

크

때문에

비

해석을 수행할 수 있다.

정식화

•

경계로

열속(heat flux),

부 열

, 그리고 비열(specific heat)에 의한 내

증감을 고려한

에너지

다음과 같다.

   qdS   rd  c Td q

: 열속

r

: 단위 부피당

c

: 비열



: 질량 밀도 (mass density)

(3.20.1)

열량

열속과 온도의 관계는 Fourier 법칙에

fi  ij k ()T

ij () kj

T g

kij (T )

:

(conductivity)

gj

:

(temperature gradient)

Fourier 법칙을 에너지 을 수 있다.

128

T  x j

다음과 같이

.

(3.20.2)

변분을 취하면 다음과 같은 식을 얻

Elements

 cTTd qext

 T T k T ij (d )   q TdS ext rTd   q xi  x j





:

열속

온도를 T  Ni ( x)Ti 형태의 의

(3.20.3)



, 다음과 같이 시간에 대한 온도

포함한

비선형

된다.

C(T)i T K (T) i T (Rq,  r)ext

위 식을 기초로

시간 이력을

difference method)을 로 긴 분법을 적용한

위해 후진 차분법(backward

. 후진

대한 해석이

 Ct((tTi ))     t

(3.20.4)

내연적 시간

, 해의 진동이

하나 않는다. 후진 차

다음과 같다.

 ttT (( ))  K (tT ( T t t( ) i t  )) 

위의 비선형

Newton-Raphson법을

 C i

T R tq  )( (r

,) 0

(3.20.5)

ext

t 다음 시간 이력을

온도를

.

열전도(Conductivity)와 열용량(Capacitance) 행렬은 각각 다음과 같이

►

1 차원 요소 (단면적 : A )



Kije  k ►

.

Ni N j AdL , Cije    cN i j N AdL x x

2 차원 요소 (두께 : t )

Kije

  kkl

Ni N j tdA , Cije   cN i j N tdA , k , l 1,2 xk xl

129

Analysis Manual

►

3 차원 요소



Kije  kkl

Ni N j dV , Cije   cN i j N dV , k , l  1,2,3 xk xl

관계

•

구조 해석

달리 열전달 해석

정의

해야 한다. 하지만,

있어서

과 차이가 없기 때문에 여

bar, shell, solid 등의 요소를 그대로 사용하

열전달 해석을 수행할 수 있다. 다음은 구조 요소와 열전도 요소의 관계를

표로 정리한 것이다.

표 3.20.1 열전도 요소와 구조

열전도 요소

1 차원 요소

Rod, Bar, Pipe Membrane, Shell, Plane strain, Axisymmetric solid

2 차원 요소 3 차원 요소

관계

구조 요소

Layered shell Solid, Layered solid

위 표의 요소 이외에

(rigid body, rigid bar)의 경우 온도

일체

거동을 묘사할 수 있다.

•

열전도 요소

midas NFX 열전도 요소의 해석 결과는

130

으로

. 각 요소에 대한

소와

.

지정한 기준

대한 값

적용 여부 또는 사용 방법은 구조 요

Elements

표 3.20.2 열전도 요소의 해석 결과 항목

결과 항목

Flux component

설명

위치 :

fx , f y , fz 위치 :

Flux resultant

f 

f x2  f y2  f z2

Element thermal results Thermal gradient component

위치 :

gx , g y , gz 위치 :

Thermal gradient resultant

g 

g x2  g 2y  g z2

131

Analysis Manual

3.21 줄 발열 요소

midas NFX에서는 열전도-전기장 연계 해석을 되면

의한 열이

부른다. 줄 발열을 렬이 온도에

전기장 해석이

로

열 전달

한다.

매우 짧은

의한 영향을 무시할 수 있기 때문에

줄 발열 모두

전기장 해석과

기장 연계 요소를 열 그리고 연계

있으며, 본 생기는

전기장 해석의

전하는

형성

. 전기 전도율 행

때문에 줄 발열을

과 전기장 연계 해석을

•

. 도체에

이 열량을 줄 발열(Joule heating)이라고

줄 발열,

. midas NFX에서는 열 전달과 전 전기장 해석의 대해

줄 발

.

정식화 전하

따라

J i  rc  0 xi rc

: 단위 체적당 전원

Ji

: i 방향별 전류 밀도

않는다.

(3.21.1)

전류 밀도는 Ohm 법칙에 따라 전기 전도율(electric conductivity)과 전기장 강도

(electric field intensity)에 대한 식으로 나타낼 수 있다. J i i j E  Tj E E

 ij

: 전기 전도율 행렬

Ej

: 전기장 강도

midas NFX에서는 등방성, 직교 이방성, 이방성 전기 할 수 있고, 전기 장 강도는

132

(3.21.2)

가진 재료를 사용

온도에 따라 변하는 값을 가질 수 있다. 이 때 전기 전위(electric potential) 변화

다음과

Elements

같다.

Ei  



(3.21.3)

xi 

: 전위

Ohm 법칙을 전하

, 가상

곱하여

나타내

면 다음과 같이 유한 요소 해석을 위한 약형을 얻을 수 있다.



 x

 ij (T )

i

J ext

 d   J dextS r   dc  x j   q  전류 밀도

:

도체에 흐르는 전류에 의해 음 식과 같이

(3.21.4)

전기

양은 줄의 법칙에 따라 다

.

Pec  Ei iJ

전류의

흐름에

의해서

발생한

(3.21.5)

전기

conversion factor) 만큼 내부

에너지 열전달

변환

인자(energy

.

  P d 

(3.21.6)

ec



: 에너지 변환 인자

전기장 해석의 온도와 전위

다음과 같이

연계된 비선형 연립

얻을 수 있다.

KTT

K  T  T R T  ext (q , r )  (cJ , r )  KT  K  φ   R ext

(3.21.7)

133

Analysis Manual

midas NFX의 줄 발열

줄 발열 연계 강성 행렬과 온도 변

화에 따른 열, 전기 전도율 변화에 대한 행렬이

ijj , i  K TT

1

t 

 N d  cN  klE

   N i Ek

T



KeTij,  e ij , K T

 N i

EN j

lkl 

xk i

 

ij ,  Ke



N i N j j   kl k  d x  x k l xT k



l

N i k kl T

N d

El N j d 

Ed

(3.21.8)

N El N d  xk T

NEi

N j d xl

관계

줄 발열 요소의 과의 차이가 없다.

열전달 요소와

있어서

표 3.20.1과 같은 관계를 갖는다.

줄 발열 요소

midas NFX 전기장 요소의 해석 결과는

134

해를 구한다. 줄

jklE

 xk  kl

•

•

연립

다음과 같다.

발열 e

. 이 경우 시스템

, 비대칭 솔버를

지정한 기준

으로

. 각 요소에 대한

소와

, 열전달 요소의 결과에 전기장 해석 결과가

대한 값

적용 여부 또는 사용 방법은 구조 요

.

Elements

표 3.21.1 전기장 해석의 요소 결과 항목

결과 항목

설명

Electric current density

위치 :

component

Jx , Jy , Jz

Electric current density resultant

위치 : J 

J x2  J y2  J z2

Element electric results Electric potential gradient

위치 :

component

Ex , E y , Ez

Electric potential gradient resultant

위치 : E 

Ex2  Ey2  Ez2

135

Analysis Manual

3.22 응력 오차(Stress error)

요소 크기 및 분포는 결과에 가장 큰 영향을 미치 는 요인이 된다.

메쉬의

있으나, 정확한 응력 오차(stress error)를

응력 오차로 판단할 수 것은

.

응력의 분포는 그림 3.22.1과 같은 지므로, 이를

응력 오차를

그러나 유 모양을 가

.

2 

1

Weighted average wi i

Element 1

Exact stress  ex

그림 3.22.1 유한요소법으로 계산된 응력의

응력은 인접

x

형상

계산된 응력의

.

 ex  wi i

i

: 인접

wi

: 가중치 ( 1 / N )

N

: 인접

응력

개수

위 식에 의해 계산된 응력은 인접 비해 정확한 것으로 알려져 있으며, 이를 접

계산된 각각의 응력에

. 이 값과 각각의 인

차이에 대한 RMS(root mean square)를

계산된

.

136

(3.22.1)

Elements

e i 

1



( i

  )v1/3 

2

e x i

1/3 ave t

v

(3.22.2)

N

 ave 는 부피에 대해 모델의 영역

구한 응력의 RMS 값이다.

 ave 

vi i2

(3.22.3)

v

i

vi

: 요소의 부피

vt

: 해석 모델의 부피

응력 오차 계산에

응력 성분은 von-Mises

membrane, plane strain, shell 요소에 대해 계산을 응력 오차는 적응적

(refinement)되는 요소를

, solid 요소와 .

해석(adaptive finite element analysis)에서 세분화 사용 될 수 있다.

137

Analysis Manual

4. Materials midas NFX에서 사용할 수 있는 재료는 크게 구조 재료와 열전도 재료로 구분할 수 있으며 각각은 일정한 재료 성질을

온도에 따라 변하는 성질을 가

진다. 온도 의존 성질(temperature dependent property)은 모든 재료 대해 정의할 수 있다.

138

Materials

4.1 탄성 재료의 성질


(linear elastic) 재료는 등방성(isotropic),

(orthotropic), 그리고 이방성(anisotropic) 재료가 있다. 이외에 계산 상의 편의를 위해 강체(rigid) 재료를 원

. 직교 이방성 재료는 2차원과 3차

대해 각각

있는 탄성 재료와

. 다음은 midas NFX에서 사용할 수 관계를 정리한 것이다.

표 4.1.1 요소별 사용 가능한 재료

요소 종류

재료 종류

∨

Isotropic

e p i P

r a B

d o R

∨

∨

e n a r b m e M

e l b a C

∨

2D orthotropic

∨

∨

∨

∨

c rti e m m y s i x A

n i a rt s e n a l P

ll e h S

∨

∨

id l o S

∨

∨ ∨

3D orthotropic

e c fra u S

id l o S

∨ ∨

∨ ∨

3D anisotropic ∨

Rigid

∨

∨

∨

∨

∨

∨

Plane strain 요소 또는 axisymmetric solid 적절한 결과를 성치의 적절한 입력이

•

∨

∨

2차원

∨

재료를

수직 방향과 관계를 가지는 재료 물

.

강체 재료

강체 재료는 탄성 변형이 전혀 실제

않는 강체의 성질을 가지는

것이 아니고 강체 재료를 가진 된다. 동일한 강체 재료를 가진 모든 이어져 있는 경우는

따로 떨어져

강체 요소로 연 모두 하나의 강체

139

Analysis Manual

요소로

된다. 또한 서로 다른 강체 재료가 절점을

이들 강체 재료를 가진 모든 일한 강체 요소로

으로

모두 하나의

단 반드시

않으면 강체 재료 영역 자동적 경우 강체 재료가 포함된 영역의

. 등은 해당

점을 따로

대하여 적용해 주어야 한다. 반면 않은 경우

점

따라

. 강체 재료가

주절

선택을 하게 되는데 이 때 단일절

주어진 절점이 강체 재료 내부에

있다면 해당 절점을

된다. 이 경우 점이 2개 절점

설정에 의해

한다. 즉, 어떤

등을 적용할 때 이를

강체 재료도

,

접촉이 료의

에러

강체 재료의 주절점 이외의 모든 절점은 종속 절점이

되므로

한다.

및 밀도를 가지고 있는데 이 중 경우 접촉 강성을

및

데에만

관계가 없다. 강체 재료는 요소의 종류와

있지만

•

적용된 절

선택된 절점 이외의 다른 절점에 적용된 단일

재 사용할 수는

사용할 수 없다.

등방성 재료

등방성 재료는 재료가 임의의 방향에 대하여 동일한 성질을 가지는

midas NFX의 모든 요소에 사용될 수 있다. 팽창 계수  를 하면 다음과 같다.

140

E,



, 그리고 열

3차원 등방성 재료에 대한 응력-변형률 관계를 표현

Materials

 (1 E )   (1 ) E   E (1  )  (1  )(1   2 ) (1  )(1 2 ) (1 )(1 2 )   E (1  ) (1E )    xx    (1  )(1 2 )  (1 )(1 2 ) E (1   )  yy   (1   )(1 2 )  zz        xy   symmetric  yz        zx      

0

0

0

0

0

0

E

0

2(1  )

E 2(1  )

    0     T    xx yy  T     0    zz  T     xy   0     yz      zx  0    E  2(1  )  0

2차원 응력 상태에 대한 등방성 재료의 응력-변형률

    

 E  2  xx 1     E  yy    2  1   xy  0

E 1  2 E

 1  2  0

0

    0  

(4.1.1)

다음과 같다.

   xx

 T

   yy  T   xy E   2(1  ) 

(4.1.2)

횡방향 전단에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다.

G  0   zx zx         0  G  zy   zy

(4.1.3)

등방성 재료는 두 개의 재료 상수에 의해 기술할 수 있다. 두 가지 상수는 E ,

G,



중에서 임의의 두 개를 취할 수 있으며, 이들 중 두 개의 값이 정해지면

나머지 하나의 값 또한

. 예를 들어 전단 계수 G 는 다음의 관계를 가

진다.

G

E

(4.1.4)

2(1  )

141

Analysis Manual

등방성 재료에 있어서

타당한

범위는 다음과 같다.

1.0   0.5

(4.1.5)

재료

•

재료는 수직인 3개의 평면에 대해 재료 성질이 대칭을 이루는 재료 이다. midas NFX에서는 2차원 형상과 3차원 형상의 요소에 대해 각각 성 재료를 사용할 수 있다.

, 3차원

재료는 재료의 주축에 대해 그 성질을 대한 응력-변형률

 31 21  32 1   23 32  2131 23  EE E E 23 EE 23 23  11   1      13 31  3212 31  22   E13E  13 E E    33   1   1221      12  E1E 2    23  symmetric       31   



1  12 21 23 32 

   21 2

31 13

다음과 같다.



0

0

0 

0

0

0

0

0     T        T     33 33  0   12  

G12

0

0 

1111

G 23



 0  G31 

 23  31

  

(4.1.6)

32 13

E1E 2 E3

2차원 응력 상태에 대한

    

 11   22   12

 E1 1   12 21    E   122 1  12 21  0  

재료의 응력-변형률

 E

211

1 12 21

  2 E    1 12 21   0

다음과 같다.



0 

1111   T    T   12 G12    0 22 22

횡방향 전단에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다.

142

     T  

2222

(4.1.7)

Materials

 31  G  0  31  31      0  G  23  23  23 

재료의

2   21

(4.1.8)

다음의 성질을

E E E2 E E E 2  122  1  32  3  232  2  132  1  312  3 E3 , E1 E1 , E2 , E2 , E3 , 21   23 32   31 13  21 1 12 2 32 13

•

한다.

(4.1.9) (4.1.10)

0

이방성 재료

midas NFX에서 이방성 재료는 3차원 형상의 요소에


3차원 응력 상태에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다. G   11 11     22    33   

G 12



symmetric

12   23         31  

G 22

G G13G1 G4  1



5

1

 T 11  T

 

 44G  

45

1

  

2



6

G23G G 24G  25 26 G G 34 G  35G 36 33

46 G 55G56



22

33

3

 

T   



(4.1.11)

G4      T     T  23 G 5

12



G  

66 316

   T 

143

Analysis Manual

4.2 비선형탄성 재료의 성질 midas NFX에서는 응력의

(nonlinear-elastic) 재료 모델로

정확한 형률이 작다는

관계를 묘사할 수 있으나 다축

전체 변

적절한 거동을 묘사 할 수 있다.

재료 모

델은 단순

변형에 의한 일과

록

등가

. 이 모델은 일축 인장 또는 압

관계의

있고

일치 하도

않는다. 단순

률 곡선에 의한

같이

응력-변형

.

 d   σdε 

: 등가의 응력

d

: 유효 변형률 증분

σ

: 응력 성분 벡터

dε

: 증분 변형률 성분 벡터

위의

(4.2.1)

같이 유효 1 2

E

:

Cel

: 탄성

E  2

1

ε

2

el

C

정의할 수 있다.

ε

(4.2.2)

계수

ε

: 변형률 행벡터

ε

: 변형률 열백터

앞의 식을 유효

대하여

유효 증분

같이

구할 수 있다.

d 

1 E

식(4.2.3)을 식(4.2.1)에 분들의

144

유도할 수 있다.

ε

Cel dε

아래와 같은 응력

(4.2.3) 변형률 성

Materials

σ





E

Celε

(4.2.4)

재질의 접선 강성(nonlinear elastic tangent modulus)을 위의 응력을 아래의 식과 같이 구할 수 있다.

σ ε

Cnl D  







•



E



E 

E

  el  1  el ε   C C   E E 

  E 

      1       E   2          1   1 1  De   De    De   2  E E      1     el   σ e σ e  C  2   E      Cel 

1

el C

(4.2.5)

재질 특성 곡선 관계로 아래의 그림 4.2.1 과

같이

.

원점을 지나는

작은

가정할

수

있다.

요소에

변형률(effective strain) 은 (4.2.7), (4.2.8), (4.2.9)과 같이

따른

유효

있고, 등가

응력(equivalent stress) 은 각 요소에 따라 (4.2.10), (4.2.11), (4.2.12)와 같이 표현할 수 있다.

항상 양수의 값으로 계산이 되지만

압축을 받는 경우의

거동을

양수와 음수 변형률 구간을 모두

.

위하여 그림 4.2.1 과 같이

, 변수 r 을

r 값은 아래의 식과 같이

r

I

1  1 r 1  I1   xx   yy   zz

I1

: 응력의 1 차

부호 문제를

.

(4.2.6)

(First invariant of stress)

145

Analysis Manual

그림 4.2.1

2 

122  x   y 22 x 1  2 

등가응력의 관계

1  y

2

xy

 2  1    xx2  yy    2  xx    yy yy zz 1  2 1      1  2   2 xy  2 2

   2 zz

for plane stress



1

zz

xx



      

for plane strain

   1    xx2  2yy  2zz       2  xx yy 2  yy zz zz xx  1  2 1       1  2   2   2   2   xy yz zx    2  1

2  2 2 x  x2 y  

y



3

2 1  2  xy  yz  z x 2 

2 1  2  x  y   z y  z   2 

146

for solid

for plane stress

xy

2

 xy

3

2  2 xy2  yz 2 zx 3 

2

x

2  

(4.2.7)

2

(4.2.9)

(4.2.10)

for plane strain



(4.2.8)

for solid

(4.2.11)

(4.2.12)

Materials

4.3 소성 재료의 성질

midas NFX에서는 비탄성(inelastic) 재료의 델을

. 소성

영역의 재료 거동을

NFX에서

모델로 소성(plastic) 재료모 탄성 영역의 성질을

소성

이를 탄소성(elastoplastic) 재료라 한다. midas

탄소성 이론은 변형률 속도(strain rate)을

(rate independent) 소성 영역의 거동은 재료 온도와 률이 작다는 가정을

않으며

. 또한, 탄성 변형

다음과 같은 가법 분해(additive decomposition)를

기초로 한다.

dε  dεel  dεpl el

: 탄성 변형률 증분

dε pl

: 소성 변형률 증분

dε

(4.3.1)

여기서 변형률 증분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

1 du d u dε  [ ( )] 2 x x

변형률 속도(strain rate)와 온도를

T

 dD

(4.3.2)

않는 소성 모델은

다음

과 같은 부등식 내에서 탄성 거동을 한다.

f (σ, )q  0

q 는

(4.3.3)

(hardening parameter)이며 소성 재료 모델의 종류에 따라 그 개

수가 다르다. 탄소성 재료의 응력이 탄성 영역을 재료의 응력

탄성

dσ  Cel : (dε  dplε ) C

el

되면 소성

.

(4.3.4)

: 탄성

147

Analysis Manual

이때

소성

크기와 방향은 다음과 같이

dε pl  d 

.

g

(4.3.5)

σ g 는

포텐샬(plastic flow potential) 이라 하며  는 소성 변형과 함께 스칼라 값이다. 일부 탄소성 재료는

방향이

수직인 경우가 있는데, 이를 상관(associative)

한다.

f g  σ σ

함께

(4.3.6)

또한

된다.

dq  d h(σ, q)

함수 h 는 하는

f 에

(4.3.7)

(hardening law)을 , (consistency condition)에 의해

발생할 때 관계를

가진다.

df 

f  f d : σ  d σ  q

f : σ σ

qd d

dσ  Cel : (dε  d 

(4.3.4)에 (4.3.5)를



f q

h

0

(4.3.8)

g ) 이 되고, 이를 (4.3.8)에 대입하 σ

면 다음과 같이 d  를 계산할 수 있다.

d 

148

f : Cel : dε σ f f el g  q  h  σ : C : σ

(4.3.9)

Materials

위

식을

dσ  Cel : (dε  d 

g ) 에 σ

다음과

같이

탄소성

(elastoplastic tangent modulus)을 계산할 수 있다.

C pl  Cel 

g f ( : ) elC σ σ f f g   h  : Cel : q σ σ (Cel: )

(4.3.10)

탄소성 재료의 응력은 (4.3.4), (4.3.5), (4.3.7) 그리고 (4.3.8)을 있다. 이 적분 방법을

계산할 수

(return mapping)이라 하며, 이는 응력

변형률 증분 ε 를

σ n 1

를

σn

로부터 여

.

러가지 이론이 있으나, midas NFX 에서는 암시적 후방 오일러(implicit backward

Euler) 방법을

, von Mises 소성 재료에

귀매핑(radial return mapping)1을

특히 반지름 방향 회

.

(4.3.4), (4.3.5), (4.3.7) 그리고 (4.3.8)을 증분 변수로

다음과 같다.

el pl  C : (ε n 1  εn 1 ) g σ n 1 q n 1  qn   hn 1 f n 1  f (σ n ,1 q)n 01 

σ n 1 pl

ε n 1

 ε npl  

위 식은 일련의 비선형 스칼라 증분인

 을

, 결국

양을

위한 식에

, 뉴튼 랩슨법(Newton

계산할 수 있다. 초기  의 값은 0으로

Raphson)을

양을 모르는 같다. 응력

( 4.3.11)

trial

σ n 1

이 (4.3.3)을

탄성

응력

trial

σ n 1

되면

4.3.1과 같이  의 반복 계산을 통하여 응력이

를

, 이는 것과 되며, 그림

trial

σ n 1

로부터

도달하

게 된다.

1

Simo, J.C. and Taylor, R.L., “Consistent tangent operators for rate independent elastoplasticity,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 48, 1985

149

Analysis Manual

Plastic flow

g σ trial

σ n 1

Yield surface σn

σ

Return mapping σ n 1

그림 4.3.1

방향과 회귀매핑

다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 탄소성 재료와

관계를 정리한

것이다.

표 4.3.1 요소별 사용 가능한 소성 재료

요소 종류

항복 조건

r a B

d o R

e n ra b m e M

e p i P

c rit e m m y s i x A

in a tr s e n a l P

ll e h S

id l o S

e c fra u S

id l o S

von Mises

∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨

von Mises

∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨

(with Hardening)

•

von Mises (deviatoric stress) 의 2 차 불변량 J 2 가 특정

von Mises 값에

도달할

때

항복이 있어서 가장 널리

(perfect plastic) 항복 조건을 식으로

150

.

이

조건은

금속

. 경화를 다음과 같다.

재료의 않은

Materials

)3f (σ  σ dev

:

y

:

3

J 2 : y

2

σ 0dev  σ dev

있어서 항복이

(4.3.12)

y

때문에

연성(ductile) 재료를

. 3 차원 응력 2 / 3 y 이고

von Mises

평행한

.

von Mises yield surface 1   2   3

1

2 y 3

3

1   2   3  0 π

-plane

2

그림 4.3.2 주응력

von Mises

151

Analysis Manual

von Mises 다음과 같다.

dε pl  d  f  d 

σ

3 2σ dev : σdev

(4.3.13)

σ dev

►

midas

NFX에서는

von

대하여

Mises

등방성(isotropic)

이동성(kinematic) 경화, 혼합(combined) 경화 모델을 모델은 초기

경화,

. 등방성 경화

것으로

때문에 초기

변하지 않는다.

f (,)σ q3 

3

J() 2   y q:

 σ dev ()0 2

σ dev

(4.3.14)

y q

2

Isotropic hardening Initial yield surface

·

그림 4.3.3 등방성 경화모델의 항복곡면 변화

152

1

Materials

 

q  e p   와 같이

등방성

plastic strain)로

, 경화에 의한

함수  y (e p ) 로

, 입력한

혼합 경화 모델은

.

혼합

변형률(effective 또한

hy (e p ) 를 그대로

발생에 의해 경화

항복

.

확장과 이동이 동시에 곡면은

(back stress)에 의해 다음과 같이 정의할 수 있다.

f (,)σ q  Σ dev

:

α

:

σ dev

3 :Σ dev 2

Σ () 0 dev

y q 

(4.3.15)

α

2

Combined hardening Initial yield surface

·

·

1

Kinematic hardening

그림 4.3.4 혼합 경화모델의 항복곡면 변화

혼합

된다.

e p    α 

q

(4.3.16)

153

Analysis Manual

midas NFX 에서는 조합 변수 c 를 다음과 같이

입력한

.

 y  chy (0) ( 1  )c (hy e) p

조합 변수 c  0 인 경우 등방성 경화에 경화와

(4.3.17)

, c  1 인 경우는 이동성

. 혼합 경화의

Ziegler 의

따르는

다음과 같이 나타낼 수 있다.

dε pl  d 

dα  c

dhy dep

3 2 Σdev : Σdev

dε pl

(4.3.19)

•

(hardening curve)

NFX 의

, 단축 인장/압축 순수 전단 진응력(true stress)-

소재의 소성 특성을

있는데, 시험

►

진응력-

(4.3.18)

Σ dev

재료

실험을 통해 얻는 것이 많이

. midas

곡선을

변환 과정은 다음과 같다.

계산

하중-변위 곡선을 알고 있는 경우 다음과 같이

(true strain) 과


 L0 d  L   0

  log 

L0 , L

: 변형 전,후 길이

A0

: 변형 전 단면적

공칭(engineering) 응력-

154

 log  

L , L0

알고 있는

 

Pe A0

(4.3.20)

다음과 같이

.

Materials

  log 1  E,  E , E

►

 Ee

(4.3.21)

: 공칭 변형률, 응력

진응력-

계산

소성

재료가

소성

다음과 같이


el  e p    

E





E

(4.3.22)

:

155

Analysis Manual

4.4 초탄성 재료의 성질

초탄성(hyper-elastic)이란 탄성 변형이 수백 %에 달하는 성질을

고무가 이러한 특성을 가진다. 초탄성 재료의 탄성

,

거동은

변형과 응력의 관계는 에너지 포텐샬(energy potential) 형태

로

. midas NFX에서는 solid 요소에 대하여 초탄성 재료를 사용할 수

있으며 다른 요소는 초탄성

않는다. 초탄성 재료는 체적탄

성계수(bulk modulus)가 매우 높기 때문에 이로 인하여 요소의 선택이 매우 는

(incompressibility)이 강하고, . 특히 저차 요소를 사용한 해석 시에

(isoparametric) 요소를

않는 것이 좋다.

midas NFX에서는 polynomial, Ogden, Blatz-ko 모델을 사용할 수 있으며, 단축 인장/압축 시험, 2축 응력-변형률

시험, 단순

,

일반 적으로 Ogden 모델이 polynomial 으로 알려져 있지만, 시험

응력-변형률

 C w E  C E

S

: 2nd PK 응력

C

: 2E  I (right Cauchy Green tensor)

E

: 그린 변형률

초탄성 재료는 에너지

156

것이

.

S2

2nd

것

제일 잘 맞는 모델을 찾아서

.

한

있다.

고무 재료를 잘

초탄성 또는 그린 탄성(Green elastic) 재료는 에너지 관계를

얻어진

재료 상수를 쉽게 구할 수 있는 기능을

(4.4.1)

때문에 변형 경로에 관계 없이 동일 된다. 그린

탄성 텐서는 다음과 같이 계산할 수 있다.

2nd PK

강성에

Materials

CSE  4

 2  C  2w  E  C  C  E E

(4.4.2)

• Polynomial 모델

Polynomial모델은 다음과 같이 에너지 Na

AJ

U

.

i

ij J 1

3  2DJ 3



Nd



j

i  j 1

Aij , Di

i



2i

3

1

(4.4.3)

i 1

: 재료 상수

위 식에서 J 3 는

3차

J1, J 2 는 체적 변형 J 3 가 제거된

코시 그린 텐서의 1,2차

. 있으며, N a  1 인 경우

midas NFX에서는 재료 차수 N a , Nd 를 5차까지 Mooney-Rivlin 모델로 표현 되고, Nd

UA J

A J3  10 1



01 2



DJ 3

1 i

3 i 1







2i

(4.4.4)



A01  0 이면, neo-Hooknean 모델로 표현 된다. Nd

 J101 UA



3DJ 

3 i



1

2i

(4.4.5)

i 1

이와

K 0 는 다음과 같이 정의 된

초기 전단 강성 0 와

다.

0  2  10 A 0 1A

,

K0  2 D1

(4.4.6)

• Ogden 모델

Ogden 모델의 에너지

주 신장률(principal stretches)로부터 다음과 같

이 정의 된다.

157

Analysis Manual

Na

U

  ()  ( ) ( ) i

Di

i 2

i

3

Nd

i 3

3

(

i

i 1

 i , i ,

1

 1) Di J

2i

(4.4.7)

i 1

: 재료 상수

위 식에서 i 는 주

제거한 값이며, 주

과 같이 코시 그린 텐서의

다음

. CNi  i2 Ni (no summation )

midas NFX에서는 재료 차수 N a , Nd 를 6차까지

(4.4.8) 있으며, Ogden 모델 또

한 Mooney-Rivlin 모델 또는neo-Hookean 모델을 표현할 수 있다. 초기 전단 강 성 0 와 부피 강성 K0 는 다음과 같이 정의 된다.

0 

1

Na

 i i , K0  2 D1

(4.4.9)

2 i 1



• Blatz-ko 모델

Blatz-ko 모델은 폼(foam) 재료에 주로

성질이 강하지 않다.

재료 상수는 초기 전단 강성  만을 가지고, 에너지

다음과 같이 정의

된다.

U

  I2



2  I 3

  2 I3  5  

I1, I 2 , I3 는 코시 그린 텐서의 1,2,3차

화에 관한 부분이

(4.4.10)

, 식에서 알 수 있듯이 체적 변

있지 않은 포텐샬 형태를 가진다.

• 응력-변형률 이용한 midas NFX에서는 시험

계산 변환 기능을 통하여 초탄성 모델의 재료 상수

를 쉽게 얻을 수 있다. 재료 상수를 얻는 방법은

158

(least square

Materials

method)에 근거한 근사치 계산을

재료 모델에 따라 선형 또는 비선형

. midas NFX에서는 5가지 다.

5가지 tension) 시험,

대한 입력을 통해 재료 상수를 계산할 수 있

(uniaxial tension) 시험, 등2축인장(equibiaxial (simple shear) 시험, (pure shear) 시험, 부피압

축(volumetric compression)

. Polynomial 모델과 Ogden 모델의 경우,

이외의 데이터 처리 시에는

재료로

터의 입력은 공칭 응력과 공칭 에 따라

, 모든 데이

한다. 표 4.4.1은 각 시험법

하는

응력을 정의한 것이다.

표 4.4.1

계산을 위한 시험 데이터

변형률 시험법

변형률

응력

(Blatz-ko) 단축 인장

  /

  / 0

  /

  /

등 2 축 인장  

순수 전단

  /

부피 압축

►

0

T  F / A0

T F/A

  t / t0

0

단순 전단

0

  t / t0

    t / t0   / 0

0

  t / t0

  (V / V0 )1/3

  (V / V0 )1/3

0

T  F / A0

T  F / A0

TP

정의 시험

계산된 응력간

의 오차를 정량화 해야 한다. midas NFX에서는 상대 오차와 절대 오차를 모두 사용할 수 있다. 다음은 산하는 상대 오차를

계산된 응력 Ti ( A) 를 시험치 Titest 로 나누어 오차를 계

.

159

Analysis Manual

n

E



1  i 1

Ti

 A 

Titest

2

(4.4.11)

 

되면 응력 0 부근의 오차를 강하게 이 작은 부분의 시험

잘

시험치 Titest 의 차이를 오차로

. n

E

되므로 변형

된다. 다음은 계산된 응력 Ti ( A) 와

 T

i

i 1

 A  Titest 

2

(4.4.12)

되면 모든 영역의 오차를 고르게 시험

►

얻을 수 있다.

특이값(singular value)

최소

인하여

계산에 큰 오차

가 생겨날 수 있으나, 선형 최소 이러한 위험 요소를 특이값 제외 를 통하여 해결할 수 있다. 그러나 특이값 제외를 잘못 되면 실제로 중요한 시험 항상 근사 결과를

160

분포와

않는 한다.

얻게 될 수도

,

Materials

4.5 열전도 재료의 성질

열전도(conduction) 요소에

재료는

있

다. 열전도 재료는 구조 재료와 짝을 이루어 재료와 열전도

되며 다음의 표는 구조

관계를 정리한 것이다.

표 4.5.1 구조 재료와 열전도 재료의 관계

열전도 재료

구조 재료

등방성 재료

등방성 재료

이방성 재료

2 차원

재료,

3 차원

재료

3 차원 이방성 재료

등방성 열전도 재료의 열속(heat flux)-

(temperature gradient) 관계는 다

음과 같다.

f x k   f y    0   0 f  z

이방성 열전도 재료의 열속-

0 0  g x   k 0  g y 0 k    g z

(4.5.1)

관계는 다음과 같다.

k 12 k 13 1k g  f1  11      f 2    23 k2  g 22k  f  k  g  3   SYM  33  3

(4.5.2)

161

Analysis Manual

4.6 점탄성 재료의 성질

점탄성(visco-elastic) 재료의

거동은 일정한

는 크리프(creep)현상과 일정한

(stress

. 또한 점성은

relaxation) 에 따라 변화할 수 있다. 질을

증가하

응력이

변형률 속도(strain rate)

점성(viscosity)과 탄성을 동시에 가지는 성

. midas NFX에는 점탄성 재료로 재령 독립적(age independent) 모

델과 재령 종속적(age depedent) 모델이 있다.

4.6.1 재령 독립적 점탄성 재료 일정한 온도와

점탄성 재료의 거동은 3가

지

. 1차 크리프(primary creep)는 시간에 따라 변형률 속도가 2차 크리프(secondary creep)는 변형률 속도가 일정한 구간

이고 3차 크리프(tertiary creep)는 변형률 속도가 변형은 수축을 일으켜 단면이

. 3 차 크리프

하였을 경우 재료가 현상(necking)을 .

전 국부

midas NFX에서는 등방성 재료에 대해서 1차 크리프 와 2차

사용할 수

있다. 

Rupture ·

Primary

Secondary

Tertiary

t 그림 4.6.1 일정한 온도와

162

일축인장시험

Materials

만약 크리프 변형이 일어난 이후 작용된 하중이 제거될 경우 크리프 변형은 서서히

즉시

. 이때 2차 크리프 변형은 영구 변형으

로 남게 된다.



Load removed

Elastic recovery Secondary not recoverable

Primary recovery

t 그림 4.6.2

따른 크리프 변형

다음 그림은 재령 독립적 점탄성 재료의 수학적 모델인 Kelvin-Maxwell 모델을

. 이 모델은 1개의 탄성

2개의 점성 댐퍼로

모델인 병렬로 연결된

댐퍼가 1차

Kelvin-Voigt 모

델에 직렬로 연결된 댐퍼가 2차

Primary Creep k1

있다. Kelvin-Voigt

.

Secondary Creep k 2

k p ( ) cs ( ) ·

c p ( )

그림 4.6.3

일정한

·

·

 (t) or s1

Kelvin-Maxwell크리프 모델

크리프 변형률 및 시간에 따른 크리프 변형률

다음과 같다.

163

Analysis Manual

c

 total c



 primary



c t  primary

cs





1  e k p cp t  

(4.6.1)

k p 

midas NFX에서는 크리프

다음 식과 같이 두가지 실험식 형태를


Empirical law1 :  total  (A ) 1exp 

( )R

c

)  a b A(

R() exp c

 d 

K ()  esinh 

t

 b 

c d

or g

 f   or

e xp e

(4.6.2) f

c  total  adb tf e  t

Empirical law 2:

a,b, c, d,e, f

t  ( )K

or exp a

: 재료 상수

t : 시간 k p , c p , cs 는 실험식 1의 경우 k p   A( ) , c p  

 A() (R)   , cs   K ( ) 이며,

 tco t a 에 대한 1차 및 2차 미분

.

실험식 2의 경우는

Kelvin-Maxwell 크리프 모델의

다음과 같다.

Ce k  e  s

cs   cs   cs c c( p  s )

C



, k

k

0

0

0

p

 

,

sT

s1 0

중앙 차분법(central difference method)을 이용한 변형률

(4.6.3)

식 (4.6.3)에

다음 식과 같다.

 2 C k e  C2e s  t   

164

(4.6.4)

Materials

Kelvin-Maxwell 크리프 모델의 1차 크리프 k1 과 2차

인자

k2 및

등가의 크리프 강성 kc 는 다음 식과 같이 정의 된다.

2c p 2c k1k   p k  , k2  s , c t t  kk

k1k 2 1



(4.6.5) 2

가상의 증분 변형률  ' 은

(4.6.4)과 (4.6.5)를 다음 식과 같다.

 ' 

c

s '

2 s

kc

 k2





c total

c primary

크리프

2

kp 

3

Δε' 

(4.6.6)


cp c  c c   εtotal  εprimary   εprimary  3  k2 k1 

크리프 증분

합인 총 증분

(4.6.7)

응력-변형률


: 탄성

c

: 크리프 접선 강성 행렬

탄성

  

4  cs

el

C

c primary

2c p  2  2cs   , k2    t  3  t 

σ Cel  

C

k1

가상의 증분

k1 

관계를

cp

(effective stress)에 대한 k p , c p , cs 를

이를

탄성 증분



크리프

c C   elε  ec ε



(4.6.8)



합은 전체 증분

165

Analysis Manual

가상의 증분

제외한 것과

하므로 응력-변형률 관계는 다음과

같다.

σ Cecε

Cec 는 탄성-크리프

2   K 0  3 kec      ec  C       

ε ' 

(4.6.9)

(elastic-creep tangent matrix)으로 다음과 같다.

1

1

K 0  eck

K 0 ec k

0

0

K0 

K 0  eck

0

0

K0 

0

0

kec

0

3 2 3

kec

3 1

3 2 3

kec 1 2

1

symmetric

2



0 

kec



1

여기서, K0 는 체적

kec



1 2G



1

kc

    0    0    0    1 ec 2 k  0

(4.6.10)

이고 G 는 전단

이다.

다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 재령 독립적 점탄성 재료와

관

계를 정리한 것이다.

표 4.6.1 요소별 사용 가능한 재령 독립적 점탄성 재료

요소 종류

d o R

r a B

e p i P

e n a r b m e

e l b a C

in a tr s e n a l P

ll e h S

M

∨

166

∨

∨

∨

∨

ic rt e

m m y s i x A

∨

d li o S

e c a fr u S

d li o S

∨

∨

Materials

4.6.2 재령 종속적 점탄성 재료 같은 재료는 시간에 따라 재료 변형이

라 시간에 따른

.

비 역학적 변형인

. 또한 크리프 변형은 응력 발생 시점에 따

시간에 따른 크리프 변형은

시편에 일축

 에

총

, t 일에서

언스(creep

compliance), 크리프 (specific creep), 크리프 함수를

제외한 특성 크리프 비율로 나타낸 크리프 계수(creep

coefficient)로 표현할 수 있다. 특정 응력이 형태의 크리프 함수를

시간이 다른 경우는 다른

한다. 따라서 시간에 따라 응력이

경우에 각

응력은

임의의

재령 의미 하는 크리프

크리프 함수를 필요로 한다.

크리프 변형은 응력이

의한

이 값을

첩법을

. 이와 같은 중

모든 부재에 대한

, 매

모든 응력에 대하여 초기 단계 부터 현재의 어야 한다. 따라서

계산할 수 있

많은 양의

저장 및 많은 계산을 필요로

한다.

midas NFX에서는 계산의 효율을 높이기 위하여 응력의 전체 이력을 않고,

아래와 같은 적분 방법을 임의의

응력에 의한

전체 크리프 중첩

각 다음 식과 같다.

tc () C t

t

 (, ) d 0

 c (t )

: 시간 t 에서의 크리프 변형률

C (t, )

: 특성 크리프



: 하중

위 식에서 응력이 각

.

 ( )  

(4.6.11)

다음 식과 같이 전체

167

Analysis Manual

구분된

합으로 표현할 수 있다.

 cn 

n 1

  C(t ,

(4.6.12)

)

j nj

j 1

시간 tn  tn 1 에서

위 (4.6.12)식을

크리프

증분을


cn  c cn

n 1

n1 j   C  t j(,n) j nj j 1

특성

n 2

Ct (

,)

(4.6.13)

1

j 1

다음 식과 같이 Dirichlet 급수의 Degenerate Kernel로

응력의 전체 이력을 저장할

의한

계산할 수

있다.

m



Ct (, ) at ()i1e  

 ( t  ) i



(4.6.14)

i 1

a(t )

: 하중



: 시간의 경과에 따른

 에 관련된

곡선의 형상에 관한 값

midas NFX에서는 5개의  를 Kelvin 크리프

aging-Kelvin 크리프 모델과 aging제외한 형태인 aging-viscous 크리프 모델을


k1

k2

k3

k4

k5

·

1

2

3

4

그림 4.6.4 aging-Kelvin크리프 모델

168

5



Materials

특성 크리프 수식을

증분

다시

5

1      ai1)(t  i    E i 1 i  (1  i ) i t i  e

n 1

5

1   c i  i 1


n 1

(4.6.15)

 t / i

c

: 직전 단계 크리프 변형률

E

: 탄성 계수

위 식을 정리 하면 다음과 같다.

 E(  1



E

1

E

 ")

5

  ai (t ) 1  i 

(4.6.16)

i 1 5

n 1

   1   i  c  "

i 1

다음과 같다.

"  E(   

sh

)

다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 재령 종속적 점탄성 재료와

(4.6.17)

관

계를 정리한 것이다.

169

Analysis Manual

표 4.6.2 요소별 사용 가능한 재령 종속적 점탄성 재료

요소 종류

r a B

d o R

∨

170

∨

e p i P

e n a r b m e M

e l b a C

∨

∨

n i a rt s e n a l P

ll e h S

∨

∨

c i tr e m m y is x A

∨

id l o S

e c a rf u S

id l o S

∨

∨

Materials

4.7 복합재료 적층이론

이방성 재료로 층했을 경우

여러 개의 층(ply or lamina)을 적

평균적


layered shell 요소의 내력, 강성 등의 계산에 적층

(laminated composite)를

. 각각의 층은 서로 다른 재료일

뿐만 아니라 재료의 주축 방향 또한 다르다.

material  axis 2

material  axis1 material  axis1

material  axis2 그림 4.7.1 적층 복합재료의 주축

각각의 층에서 재료의 성질은 섬유(fiber) 의 방향, 섬유와 기지(matrix)의 비율 등 에 의해

, 주축(1방향)이 섬유(fiber) 방향과 대체로

성 재료인 경우가 많다.

►

기본 가정은 다음과 같다.

각각의 층은 서로

►

있다.

두께를 가지지 않으며 층간의 변위는

때문에

없다. ►

분포를 변형률 및 각 층의

.

다음과 같이

. 171

Analysis Manual

ε( z ) σ

()i

 εo  zκ

( z ) ()C i

ε0 , κ

: 면내

C( i )

: i 번째 층의 탄성 강성

(4.7.1)

 εo  zκ 

굽힘

면내 합력과 굽힘

적분을 통하여

N   xx 



N   N yy 

h /2



) (i

σ

h/ 2

   N xy 

/ 2h )(



( z ) dz 

C

/2 h

i

.

εo

zκ  dz

(4.7.2)

M   xx  M   M yy     M xy 



h/ 2

 zσ) (i ( z )dz 

h / 2

/2h )(



/2h

zC i

εo

zκ  dz

다음과 같다.

이를 행렬

  N     M  

 

h /2

) (i

h/ 2

h/2

h/ 2

C dz )( i

zC dz

      / 2h    2 )( z C i dz  /2h   / 2h )(

 

/2 h

z C dzi

여기서 A , B , D 행렬은 각각 연계 강성 (coupling stiffness) 를

,

εo κ



A

B

εo

B

D

κ



(4.7.3)

, 그리고 면내/굽힘

, layered shell 요소의 강성 평가를 위

한 기본 정보가 된다. 횡방향 전단 강성의

theory)을 근거로 횡방향 산할 수 있다.

172

1차

이론(first-order shear deformation 두께

계

Materials

 Qx  Q     y  

  xz dz   zx   G    h /2  yz     xy dz   h /2 

 

h /2

 h /2

(4.7.4)

의한 온도 요인을 고려할 경우, 열팽창 계수를

 N  A  B       M  B  D

T0

: 평균

T1

:

다음과 같이

된다.

εo κ

     

 

h/ 2

h/ 2

h/ 2

h/ 2

C()i()α dz



) zC()i (α dz

/ 2h i () ()

 

/ 2h

/2h

z C dz α

2i () ()

/ 2h

z C

α

  T  0    T1  dz  

(4.7.5)

173

Analysis Manual

4.8 복합재료 파손이론

적층판

핵심은

(failure criteria)에 있으며,

이를 근거로 주어진 응력 또는 변형률 상태에 대해 다. 현재 여러 가지

판단한 다양한 적층판, 즉 다양한

,

대해 모두 정확한 파손을 예측할 수 있는 것으로 알려져 있다. 따라서 이론이 필요로 하는 실험치(강도 데이터 및 면을

없는

있어서, 재료의 특성, 파손

)의

, 등 다양한 측

한다.

midas NFX 에서

파손의 계산에 있어서 응력 또는 변

형률

없는

과 최대 변형률

(maximum strain failure criteria), 연계 항이

(maximum stress failure criteria) 그리고NASA LaRC02

Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hoffman 중 LaRC02

있다. 이

파손 모드의 정보를

•

모드 사이의 연계가 없는(non-interactive) stress), 최대 변형률 (maximum strain)

표 4.8.1

장점을 갖는다.

: 최대 응력(maximum

Non-interactive

횡방향

Max stress

X   x  X

Y    y  Y

S   s  S

Max strain

 Ex   x  E x

 E y   y  E y

 Es   s  Es

•

등방성 von-Mises

이방성 재료로 확장한 2차

(quadratic

failure criterion) : Tsai-Hill, Hoffman, Tsai-Wu

 FI

174

 x2



XX 

2

y  s2  1 1   1 1       y YY  S 2    X X  x  Y 

2Fxy x

Y

y

(4.8.1)

Materials

표 4.8.2

단축 강도





Fxy

Fxy* (all materials) 1

 

Tsai-Hill

X

Hoffman

X  X , Y  Y 

Tsai-Wu

X  X , Y  Y 

•

X ,Y

2차

Y

Y



1

* Fxy



2

0.022

* 1  Fxy 1

XX YY 

미국 NASA Langley 가정된

개발된 LaRC02 파

한다. LaRC02의

각 층의

아니라

(matrix)의

섬유(fiber)와 기지

점이다.

음의

다

한다.

표 4.8.3

LaRC02 파손 판단식

Matrix tension  22  0

Matrix compression,  22  0 11  Y 

Matrix

2

  22   12      Y   SL 

2

FIM  

Fiber tension 11  0

  eff mT    S T   

FI M  

2

 effmL   SL 

Fiber compression,

11  Y  2

  effT   S T  

FI M  

FI F 

11 T

1

위 표에서

FI F 

12m   L22 m

S

L

2

  eff L     SL  

2

11  0

 22m  0

Fiber failure

YY  XX 

1

0.041 

2X X 

0.008

LaRC02

Hashin

cracking

X 2

0.014

 2X 2

 22m  0 2

  m    m FI F   22    12 L  Y   S    

횡방향 전단 강도는 각각 다음과 같이

2

.

175

Analysis Manual

 T   cos(sin   Tcos ) 22  eff  L  eff  cos  ( 12  L 22cos )  

S T  Y  cos  0 sin  0 



0

는

용된다.

(4.8.2)

cos 0   tan2  0 

(4.8.3)

53o가 사

단축 압축 하중 하에서 

T

는 파손 지수가 최대가 되도록

 T  1/ tan2  0,  T 

또한

L

 ,  는 다음과 같다.

S L cos2 0

(4.8.4)

Y  cos2 0

응력은 다음과 같다. m

2

2 sin  22

2sin  cos 12

m

2

2 cos  22

 2sin  cos 12

11  cos 11  22

 sin 11

12m  sin  cos  11  sin   cos 22

(4.8.5)

 (cos  

2

sin 12

  L  S L L  1  1  4  S      X    X   (G12  X )      12 ,  c tan 1  L G12 11 22   S 2  L    X      c

midas NFX에서는 하여

근거로

)2

       

(4.8.6)

판단을 위

(failure index, k ), 또는 강도

(FE failure index),

비(strength ratio, R ) 값을 출력할 수 있다. 접

. 따라서 주어진

발생할 수 있다. 파손에 σ

176

라고 했을 경우

직

따라서 때의

k 는

σ 

의미가 부족한 경우가

, 즉 1

k

σ FE

를

응력을

,

Materials

강도비 R 은 값은 주어진

σ

 Rσ FE 를 어느 정도

. 즉, 때

k 와 강도비 R 도움이

된다.

177

Analysis Manual

5. Algorithm 5.1

해법 해법(system of equation solver)은 (5.1.1)과 같은 선형 해 u 를 구하는

. (5.1.1)

Ku = p

해법은

아니라, 고유치/좌굴 해석, 동적 해석,

비선형 해석 등 모든 해석에 elimination) 또는 LU

해 오차를

가우스 소거법(Gauss

,

기반한 해로

(direct solver)과 반복 계산을 통

가는

(iterative solver)이 있다. 직

행렬의 수치적 특성에 영향을 받지 않고 어

많이

는

적게

해를 구할 수 있

있으나 문제의 규모가 커지는 경우 기 경향이 있다. 따라서 대형 문제의 경우에

나

경우

것이 좋다. 그러 행렬의 수치적

인하여 원하는 해를 얻

을 수 없거나, 수렴된 해를 얻기 위한 반복 계산이 많아질 수 있음에 한다. midas NFX에서는 법을

하는 문제의 규모에 따라

결정해 주는 기능을

반복해

있다.

해를 두 단계에 걸쳐 구하게 된다. 첫 번째 단계 는 행렬 분해 (decomposition) 이고, 두 번째 단계는 전-후진 대입(forwardbackward substitution : FBS)

해법은

비대칭 행렬에

.

해석

대칭

LU 분

K 의 경우 다음과 같

은 형태의 행렬 분해로 적용될 수 있다. LLT u  p

178

or

L D LT u  p

L

: 하삼각 행렬(lower triangular matrix)

D

: 대각 행렬(diagonal matrix)

(5.1.2)

Algorithm

D

가 포함된 행렬

definite)가 아닌 경우에

양의 정부호(positive . midas NFX에서는

경우

T

LL 형태의 행렬 분해법(Cholesky 분해법)을 고유치 해석 또는 비선 형 해석의 경우는 양의 보장할 수 없기 때문에 LDLT 형태의 행렬 분

해법을

.

적용 시 중요한 점은 행렬의 희소성(sparsity)을 적절히 것이다.

시에

수의 0이

(sparse matrix)이며, 이

따라

기억 용량이

서는 행렬의 줄일 수 있는

방법에 . 따라서 midas NFX에

않는

(dense solver) 외에 행렬의

량을

하는

K 는 행렬 내에 다

(dense matrix)에 대한

적절히 활용해

기억 용

해법(multi-frontal solver)을 기본 직

있다. 행렬의 기 위해

활용해

재배치(ordering)가

렬을 여러 개의 프런트 행렬로 유도의

의한

(recursive bisection)을

정보에 따라 행 . 그림 5.1.1은 자

계산 순서를

표현한 것이다. 자유도 대입은 그

이렇게 행렬 분해를 위한

재귀

, 전진 대입은 행렬의 분해와 같은 순서로, 후진

된다.

179

Analysis Manual

1

2

1

4

1

2

1

3

3

1

2

1

1

2

1

그림 5.1.1 다중프런트 해법의 행렬 분해 순서 예시

midas NFX에서

해법은 전체 영역에 대한

따로

해법에 비해 적게 필요로 하며, 대형 문제의 해결을 위해 추가로 있다.

기능을 또한,

계산을 진행할 수 있도록 하는 out-of-core 해석

해법의 구현에 있어서 그래픽 처리 장치(Graphics Processing

Unit: GPU) 의 연산 능력을

계산을 진행할 수 있도록 하였다. 최근 초대

형 문제에 대한 수요가

따라

방정식 해법의 성능에 대한

해석의 가장 중심이 되는 연립

더욱

의 계산 단위(core)로

실 개

,

.

계산에 의해 으로서 적은

제공

가장 많은

(real matrix decomposition) 과정에 대하여

선된

오차를 줄여

나가는 방법

수렴 오차를 빠르게 줄이는 것이 매우 횟수는

(preconditioning) 기법에 의해

midas NFX에서는 요소의 형상에 관계 없이

180

있다. GPU는 매우 많은 수

있으며 CPU에 비해 매우 높은

한다. 이러한 GPU의 높은 성능을 수

더

부족한 경우

. 일 .

알려진

Algorithm

SA(smoothed aggregation) AMG(algebraic multi-grid) 1 방법을

방법은

(multi-grid)를

때문에

을 크게 받지 않으며, shell 요소와 같이 절점당 어진 요소를

. AMG

자유도 개수의 영향 변위와

이루

보인다. AMG 방법을 이용한 , 이는 인접한 집합과

각 절점 집합을

의해

절점 집합의 예를

. 그림 5.1.2는

있다.

그림 5.1.2 다중격자 구성을 위한 절점 집합의 예시

앞서 설명한 바와 같이 따라 그 성능이 기능을

하는 문제의 규모에 때문에 midas NFX에서는 이를

. 방정식 해법의

문제에

이용한

프런트 해법, 그리고 대규모 문제에 따라

결정해 주는

기능을 ,

문제에

다중

AMG 반복(해)법을 문제 규모에

. 자동 선택의 기준은 다음 사항을 .

►

조건을 알고 있는 경우 :

입력한 절점 또는

기

준으로 결정 ►

조건을 모르는 경우 : 모델의 자유도 개수와 시스템 메모리 크기를 내에서 결정

1

Vanek, P., Mandel, J. and Bresina, M.,”Algebraic Multigrid by Smoothed Aggregation for Second and Fourth order Elliptic Problems,” Computing, Vol. 56, 1996

181

Analysis Manual

5.2 고유치 추출법 추출(eigenvalue extraction)은 모드 해석(normal mode analysis)과 선형 , 모드 해석과 선형 좌굴 좌굴 해석의 핵심 유치 추출 문제의 형태는 다음과 같다.

고

Ki  i Bi  0no ( summation )

K

: 강성 행렬

B

: 모드 해석 시 - 질량 행렬 ( M ) : 좌굴 해석 시 -

(5.2.1)

행렬 ( K G )

midas NFX에서는

해법에 따라 고유치

된다.

해법의

용하며,

해법을

바뀌게 사

Lanczos

되면 고유치 추출 또한

이용한

. 각각의 방법은 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

•

Lanczos 반복법

►

대규모 문제에

.

누락될 수

►

Sturm sequence check 옵션을

것이

좋다. 이용한 직접법

•

►

자유도 개수가 103

테스트 모델에 ►

Lanczos

을 통하여 이다. 2 3

급격히 성능이 저하될 수

작은 규모의

.

않는다. Krylov

(subspace) span(V1, V2,..., V )k 을

고유치 계산을 위하여 블록

과정 구하는 방법2

삼중 3을

하며,

Hughes, T.J.R., The Finite Element Method, Prentice-Hall International, Inc., New Jersey, 1987 Cullum, J. and Donath, W., “A Block Lanczos algorithms for computing the q algebraically largest eigenvalues and a corresponding eigenspace of large real symmetric matrices,” Proc. 1974 IEEE Conference on Decision and Control, IEEE Computer

182

Algorithm

크기가

하는 고유치 개수의 수준과

로 계산 속도가 매우 빠르고 대규모 문제에 발생할 수 있기 때문에 이를

. 그러나

옵션을

이용한 생성, 고유치 계산 과정을 거치게 된다. 체 행렬에 대해

분해,

(tridiagonal matrix) 생성과 고유치 계산을 전

누락은

푸는 데는

누락이

것이 좋다.

않으나, 대규모 문제를

.

•

시의 고유치 개수 및 범위는 모드

(modal

participation factor) 또는 모드 유효 질량(modal effective mass)을

관심 주파수 영역을 이 중요한

결정할 수 있다. 좌굴 가장 작은

이다. 이와 같이

하는

몇 개만을 개수와 범위를

최소 것이 일반적 되면, 다음

과 같은 입력을 통하여 이를 설정할 수 있다.

표 5.2.1 고유치 개수와 범위의 설정 방법

변수 설정 ( v1 , v2 , N 입력 또는 미입력)

고유치 범위

고유치 개수

v1 , v2 , N

v1  v  v2

최대 N 개

v1 , 미입력, N

v1  v

최대 N 개

미입력, v2 , N

v  v2

최대 N 개

미입력, 미입력, N

 v 

최대 N 개

v1 , v2 , 미입력

v1  v  v2

모든 고유치

v1 , 미입력, 미입력

v1  v

모든 고유치

미입력, v2 , 미입력

v  v2

모든 고유치

미입력, 미입력, 미입력

 v 

모든 고유치

위의

v1 , v2 는 모드

주파수(Hz)이며, 좌굴 해석 시에는 임

계 하중 계수(critical load factor)이다. Society, 1974

183

Analysis Manual

•

고유치 계산 결과

고유치 문제의 결과인

그 크기가

(5.2.1) 을

a (Ki B K  ) i 0 i  i i Bi 

(5.2.2)

i  ai

계산된

크기를

방법이

midas NFX에서는 해석 종류에 따라 다음의 식을 (normalization) 과정을

되며, 표준화

있다.

►

모드 해석 : iT Mi  1

►

좌굴 해석 : max(i) 1 (회전 자유도 제외)

고유치 계산

의한

하기 때문에 그

.

불과

보장할 수 없다.

midas NFX에서는 계산된

확인할 수 있도록 다음과 같은 값들을 고유치 계 산 결과로

. 표 5.2.2 고유치와

이외의 계산 결과

결과 항목

184

계산 방법

Generalized mass

bi   Bi

Generalized stiffness

ki  iT Ki

Orthogonality loss

 i  max(

Error measure

ei 

T i

iT1K i i iT1B , ) ki bi

Ki  i Bi Ki

Algorithm

5.2.1 모드상관계수

(modal assurance criterion)은 고유치

구한 나

얻은

실

모델이 실재

얼마

(modal cross orthogonality) 또는

계수(modal assurance criterion)를 그

.

•

사용된 제한된 수의 가 같지 교한다. 이를 위하여 요소

모델의

크기

좌표를

유한

모델과 등가의

비

사용된

이와

가장

가까운

reduction method)을

(modal (5.2.3) 과 같다.

.





T



1

Φ ΦΦ Φ a T d aa I aa 

T

, 

Φ

 A

Φ d   Φa 

(5.2.3)

•

얻은

사이의 독립성 또는

T MXOij  i  M j

.

(5.2.4)

•

얻은

사이의 일관성 또는

.

2

MACij

iT j    T  T  i i  j j 

(5.2.5)

185

Analysis Manual

5.3 5.3.1 유효 질량

모드 해석을 통하여

(natural frequency),

리고 모드 형상을

나면 이들을

여계수 등의 유용한 정보를 산출할 수 있다. i 로

다음과 같이

i 

(natural period) 그

모드 i

또는 모드 참

번째 모드의 방향별

.

1 T i MT ,   1,2,3 ,4,5 ,6 mi

(no summation)

(5.3.1)

mi   Mi (generalized mass) T i



: 자유도 방향 ( 1~3 : 변위, 4~6 : 회전)

여기서 T 는 방향별 강체 거동의 크기를 해 다음과 같은 성질을 1 0 0 010  100  0 0 0 1 0 0 0 0  0 0 0 0

, 각각의 절점에 대 .

z  z0

0

z0  0z

y 0  y   e1 

0

0

1

0

0

1

x0 , y0 , z0 는 회전 중심을

  e3     , e    e4   e   5  e6 

(5.3.2)

, midas NFX에서는 회전 중심을 임의의 절점

또는 전체 모델의 질량

설정할 수 있다.

모드

역시 방향별 값으로

같이

계산할 수 있다. 2 mieff   (i ) mi

186

 

x  x0  e2 

y  y0 0 x0  x

모드

다음과

(5.3.3)

Algorithm

모든 모드에 대한

더하면

체의 질량과

부여된 절점을 제외한 모델 전

된다.

5.3.2 모드 중첩법

midas NFX에서는

해석에 모드 중첩법(mode superposition)을 적용

할 수 있다. 모드

다음 식과 같이

선형 동적

직접 푸는 대신 고유치 해석을 통해 구한 기를

모드

푸는 Mu()t Ctu ()

형상 Φ 를 합으로

형상을

문제의 크

.

 tK()ut () f

(5.3.4)

변위 u  t  를 모드 변위 ξ  t  의 조

공간

다음과 같다. u t  Φξ  t , Φ  1

이를

동적

2 ...

(5.3.4) 를 모드

N 

(5.3.5)

대해 다음과 같이 나타

낼 수 있다. [ΦT M Φ ]()ξ [Tt T  Φ]()Ct[Φ ξ

모드

]()t Φt K()Φ ξ

T

경우,

(5.3.6)

형상 Φ 를

고차 모드를 제외한 주요 저차 모드 (5.3.4)에 대한

Φ f

위해

때문에 (5.3.6)은 식

. 따라서 실제

있을 정도의 충분한 개수의

변위를 잘 표현할 수 않으면 계산 결과의

많이 떨어질 수 있음에

한다. T

모드 의 모드에 대해

Φ CΦ 이 0인 경우 다음과 같이 각각

(5.3.6)은 모드 .

187

Analysis Manual

()i p t () miit () iik t 

mi

: i 번째 모드 질량

ki

: i 번째 모드 강성

pi

: i 번째 모드 하중

i

: i 번째 모드 변위

(5.3.7)

이와 같이 모드

계산된 수 있으며, 특히 모드

히

경우 매우

완전

해석을 수행할 수 있다.

처리

•

(5.3.6) 은 모드

ΦT CΦ 이

식 (5.3.7)의 경우와

각각의

이용해 축소된 모드 연성(coupling)이 모드에 대해

표현할 수 있다. mi t () ibt ()i k t (i ) pt () 

bi

(5.3.8)

: i 번째 모드 감쇠

또는 다음과 같이

한다.

 i ()t 2ii i ()it  i i b 2

i2i m  

i  ki mi

2  ()t p i it

() 

1

(5.3.9)

mi

: 모드 감쇠비 : 모드 주파수

midas NFX에서는 모드별

따라 다르게 입력할 수 있는데, 이

경우 모드 감쇠(modal damping)값은

(mass-proportional damping),

(stiffness-proportional damping) 및

등 다른 라서 모드

구성된 모드

. 따 ΦT CΦ 가

모드별 분리가 가능한 경우는 , 이는 각

188

(structural damping) ΦT CΦ 에

모든

일정

Algorithm

하고

(bush, damper)가 없는 경우에

않은 모드 (coupling)을

•

. 그렇지 않은 경우는 대

인한 각 모드별

간의 연성

한다.

강제 운동(Enforced motion)

모드

강제 운동이

에 적용할 수

경우, 이를

모드

midas NFX에서는 다음과 같은 과정을 통해 강제 운동을

.

먼저

(5.3.4)를 강제 운동이 주어진

그렇지 않은

. C 1 u2 1K  M11 M 12u1  C 11  K11u 12 f1    M M u C C  u K   21 22 2   21 2 2 2  K21u 22 2f   u1

:

u2

: 강제

f1

:

f2

: 강제

않은

1



변위 구속된

변위

않은

하중 구속된

이 식에서 강제

(5.3.10)

2

구속력

않은 변위 u1 을 다음과 같이 준정적(quasi-

static) 변위 u1qs 와 동적

y 로 분리한 다음

u1  u1qs  y

(5.3.11)

1 u1qs  K 11 K u2 12

동적

y 에 대해서

다음과 같이

M11y C yf  11yK  11

1

MK K 12 1M 12u 2  11 11

이 식에서 우변의 감쇠 관련 항은 y t  Φ11 x t 인 모드

x로

.





(5.3.12)

. 모드

다음과 같다.

189

Analysis Manual

T M11 []Φ [Φ11 11

u1 1uqs y  

x [] 11Φ 11C]11 Φ 

x 11 11 Φ 11K  Φ

TT

u K 11 K 12 12

11

x Φ 11f

T

11 1



1 1

•

1 K M u 12 2



 

(5.3.13)

인하여 K11 이 특이성

K11 을

(shift)시켜

12

Φ x

모드(rigid-body mode)가 을 가지는

M K

M11 을

적절히 이동

제거할 수 있다.

잔차 벡터 (Residual vector)

모드

경우 앞서 언급한 바와 같이

되지 않은 고차 모드로 인해 오차가 오차를 줄이기 위해 다음과 같이 모드와 수직이 되게

형상 Φ 에 포함

되는데 midas NFX에서는 이러한 M 및

잔차 벡터 R를 R K 1I( M 

K에 대해 기존 고유

.

ΦΦT ) F

여기서 F는

,

(5.3.14)

있는 경우

. midas NFX에서는 Dickens4 등이 제안한 방법을

잔차 벡터 R로부터 서

로 수직이 되는 부가 모드 형상(augmented mode shape)들을 구한 다음 이를 기존의

4

형상 Φ 에

모드

.

J.M. Dickens, J.M. Nakagawa, and M.J. Wittbrodt, “A Critique of Mode Acceleration and Modal Truncation Augmentation Methods

for Modal Response Analysis” Computers & Structures, Vol 62, No. 6, 1997, pp. 985-998

190

Algorithm

5.4

해법

5.4.1 시간 적분법

midas NFX에서는 (5.3.4)와 같이

얻기 위해 직접

선형

superposition)을 사용할 수 있다. (implicit) 방법을

•

대한

(direct time integration) 과 모드 중첩법(mode

대한 직접

내연적

.

내연적 직접

midas NFX에서는 내연적 직접  방법(HHT-  )

며,

5을

Hilber, Hughes, Taylor 가 제안한 . HHT-  는 Newmark 방법6 의

수치적

형태이

갖는다. 이를 통해 고주파

제어할

대하여 2차

갖는다.

수 있으며, Newmark 방법과 HHT-  방법은 다음과 같은 수정된 형태의 동적

.

int,  n  1 int,n1 n,1 n ext n Man1 (1  H C v f f ext vn f )    C H f

,

0

여기서 a n 1 과 v n 1 는 각각 n  1 번째

속도 벡터를 의

미하며,  H [1 3,0] 는 수치적 같은 을 때,

(non-mechanical)

(5.4.1)

. 재료의

의한 효과, 그리고

내력은

고려했

곱을 포함한 다음의 식으로 표

현된다. f int, n1 K u

fn1  nonmech,f

1 n

int,0

(5.4.2)

5

H.M Hilber, T.J.R. Hughes, an d R.L. Taylor, “Improved Numerical Dissipation for Time Integration Algorithms in Structural Dynamics,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 5, No. 3, 1977, pp. 283-292 6

N.M. Newmark, “A Method of Computation for Structural Dynamics,” ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division, Vol. 5,

No. EM3, 1959, pp. 67-94

191

Analysis Manual

Newmark 방법에 의한 시간

변위 및

.

t  na1 (1  ) 

na v n v1n   n 1n

n, n  1 에서의 속도,

,

다음과 같은

u u v  tna n

1

1

n  t2   2a

2

(5.4.2), (5.4.3) 을

(1 2 ) 

(5.4.3)



, 시간 n  1 에 변위를

(5.4.1)을

하는

형태로 다음과 같이 정리할 수 있다.

K eff un1  eff f 1 K eff  M 2  t

f eff f 

int,0

(1   ) C H K t

(1  H) ,

1, n  1, f(1 f H )  ext  fnonmech f n

 1 1 n  1  a  M  u 2 vn   t  2  t  (1   H) C 

 t

n

(1  )

u  



1



n



n

v 1 

H

 Hextn ,

n onmechn

(5.4.4)

  

 

(5.4.4)에서 우변 f eff 은 외력 및

도에 의하여

,

 



n

(1t )  H 1  2



n

 a    H Ku

n 에서 이미 계산된 변위, 속도, 가속

. 우변이

앞 절에서 설명된

해법을

n  1 에서의 변위 벡터 u n 1 을 계산할 수 있으며, 계산된 변위를 n  1 에서의 속도와

Newmark 차분식 (5.4.3)에

다.

얻을 수 있

이러한 일련의 과정을

서

과정을 통해

.

(5.4.4) 좌변의

행렬( K eff )은

분해된 행렬을

전후진

경우 한번 해석이

. HHT-  (unconditional acceleration)를  H  0.05 를

192

  (1 2  H)/2

stability)을

갖으며,

Newmark .

,   (1   H) /2 4 의 경우 H  0 인

경우

평균

안정성 가속도(average

. midas NFX 에서는

Algorithm

•

내연적 직접

자동

직접

고정된

. 이는 을 의 증가 그리고, 급격한

이다. 이러한 보다

제어

의한 선형 변화에 따른 변화에 따른 고정

결정은 해석 이전에

, midas NFX에서는

(또는 최장 유연 주기)를

개수를

,

지정

. 또한, 급격한 하중의 변화에 의해 발생된

제어를 위하여

잔여력(half-step residual)을 기반으

로 한 자동

.

감쇠(Damping) 효과

midas NFX에서는

감쇠의

(mass-proportional

(stiffness-proportional damping) 및

damping),

damping)가 있다. 그리고 5.3.2절에서 언급된 바와 같이 모드

만

모드 감쇠가 있다. 선형

같은 형태로

 ee 1 K B e  j d

d

j

:

j 번째

요소에 대한 요소

 ej

:

j 번째

요소에 대한 요소

M ej

:

j 번째

요소의

K ej

:

j 번째

요소의

 , d

: 전역

 ej

:

de

: 요소

B

: 감쇠 요소(Damper, Bush 등)로 인한

모드

경우에

된다.

 ej

j 번째

(structural

감쇠의 효과는 다음과

C에

C  Mej e K eje  j  Kj

•

것이

편이를 위하여 최저차 유연

할 수 있도록 하는 방법을

•

의한 발생을 피하기 위해서

(5.4.5)

계수 및 전역 요소의 요소

적용 193

Analysis Manual

모드

이용한

량을 1로

위해 모드

(5.3.6) 의 질

다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

pi t

i ()t C  tj ij() i   (i)t 2p(it) pt( t ) t i

(5.4.6)

T C ij  [C ] ij[  Φ] CΦij

모드

이용한

모드

과 같이 두 가지로

C ij 의 연성 상태에 따라 다음

.

① 비연성 감쇠계 (uncoupled system) 모드

C ij 이

연성이

, 각

응답이

변위와 속도는 이전

에 의해 다음 식과 같이

변위와 속도 i i , b a

. i 번째 모드에 대한 모드별

는 (5.4.6)의 특이해(particular solution)와 일반해(homogeneous solution)를 구하 여

(이전

변위와 속도)을 in 1  a11i ai 12  n 1   i i  a21a 22 i

② 모드

 ibni ib 11   ni i   ib b 21

얻을 수 있다.

12

pin

22

pin 1

(5.4.7)

(coupled system)

연성이

않는 경우 모드 간 연성을

하므로

해석할 수가 없다. 이런 경우 midas NFX에서 는 모드 어서 비대각

다음과 같이 대각 성분( Cdiag )과 비대각 성분( Coff )으로 나누 인한

외부

.

C  Cdiag  Coff

이

모드 변위는

식이 를 하지 않고 풀 수 있다.

194

(5.4.8)

모드 속도는 직접

다음과 같이 행렬 재분해

Algorithm

T  I BC  A  B  ξ n 11 12 off ξn1A 11 12B 12        A 21A22  ξ nB B21 0 I  B CToff  ξn1  22  A  diag( ai )

 pn  CToff ξ n    n 1  p 

22

(5.4.9)

B  diag( bi )

•

모드

(Initial condition)

초기 변위와 초기 속도가 속도  는 다음과 같이 의 일부가

. 모든 모드를

근사

i

: i 번째

u0

: 초기 변위

초기 변위 i0 와 초기

때 모드

0 i

등식이

모드

된다.

 i0 

1 T i M u0 mi

 i0 

1

mi

(5.4.10)

iT M v 0

형상

v 0

: 초기 속도

5.4.2 주파수 응답

주파수 응답 해석은 일정한

하중에 대한

산하는

. 주파수 응답

가진

따른 함수로

응답을 계

모든 하중은 주파수 . 즉, 회전 가진 주파수(angular excitation

frequency)가  일 때 주파수 응답

하중은 다음과 같이 복소 조화함

수를 이용해 나타낼 수 있으며 f  t  f  eit

(5.4.11)

그에 따른 응답 역시 같은 형태로 표현할 수 있다.

195

Analysis Manual

u  t  u  eit

이를

(5.4.12)

다음과 같은 형태로 표현이 된다.

2 u  f   M i C K

여기서 하중과 변위는 모두



(5.4.13)

표현이 되는데 midas NFX에서는 복소수

크기(magnitude)/위상각(phase angle) 또는 실수부(real component)/허 수부(imaginary component)의 두 가지 형태로 출력할 수 있다. 복소수 값을 크 기/

경우

해당 하중 또는 변위의

의

내에서 된다. 반면 실수부/

동주기

복소수 값을

경우

진

해당 하중 또는 변위의 크기가 되며

(  / 2 )가 지났을 때의 하중 또는 변위가 되어

게 되는 것을 면 다음과 같다.

. 크기/

: 크기(magnitude)

  tan1( ui/ u)r

: 위상각(phase angle)

ur  u cos

: 실수부(real component)

ui  u sin

: 허수부(imaginary com ponent)

1/4 주기

따라 그 값이 변화하

실수부/

u  ur2  ui2

•

내에서 위치(각)를

관계를 식으로 나타내

의한 주파수 응답 해석 (Direct frequency response analysis)

주파수 응답 해석을 위해

경우 (5.4.13)을 그대로

으로 풀면 주파수 응답 u   을 구할 수 있다. 감쇠가 없는 경우 (5.4.13)은 실 수 다. 많은

196

되지만 감쇠가 있는 경우 해는 다시 계산이 매우

복소수

풀어야 한

구할 수 있지만 매 가진

풀어야 하므로 문제가 조금 크거나 가진 된다.

Algorithm

•

모드

의한 주파수 응답 해석 (Modal frequency response analysis)

주파수 응답 해석에 모드 (5.4.11)과 (5.4.12)를

위해 모드 다음과 같이

T T  2ΦT TMΦ i Φ CΦ   Φ  KΦ ξ( )

ΦT CΦ 이 0이거나

여기서 모드 (5.3.8)과

(5.4.14)도

드 변위 i ( ) 를

(5.3.6)에

.

Φ( )f

(5.4.14)

() p

연성(coupling)이 완전히

다음과 같이 i 번째 모

구할 수 있다.

i ( ) 

이와 같이 모드

pi ( )

 2 mi i b ik

(5.4.15) i

의해 모드

연성이

경우 한 번의

나면 매 가진 주파수 별 계산은 매우 수 여

문제가 다소

크고 매우

연성이 매 가진

진행될

개수가 많은 경우 비하 계산이 될 수 있다. 그러나 모드 수 개수로 축소된

다시 풀어야 하므로

크게

된

다.

5.4.3 랜덤 응답 가진원(loading source)

랜덤 하중을 받는 물체는

시간에 따라 매우 복잡한 응답을 확률 등의

랜덤 응답의 크기는 평균, 표준 편차, 통해서

. 랜덤 응답 해석(random

response analysis)의 예로는 지진에 의한 지반 운동, 바람에 의한 높은

흔들림 등이 있으며 이런 운동은 주로 파워 density)를 통해서 .

밀도(power spectral

197

Analysis Manual

그림 5.4.1 랜덤 하중

midas NFX에서 랜덤 응답 해석은 주파수 응답 해석의 결과를

과정

이다. 먼저 입력에 대한 출력의 비율인 전달 함수(transfer function)를 단위 하중 조건에 대한 주파수

여기에

를 곱하여 응답의 파워

파워

밀도

밀도를 얻는다. 하중 조건이 여러 개이면 이들

의 주파수 응답을 공통의 주파수

동시에

에

랜덤

각각의 하중은 서로

. 주파수 응답 해석

여러 절점

또는 요소에 작용할 수 있다. 랜덤 응답 해석

응답의 파워

밀도 외에 RMS(root mean square)와

(number of positive zero

crossing)이 있다.

•

랜덤 응답의 통계적 특성값

두 절점 i 와

j 에서의 물리량 ui 와 u j 의 상호 상관 함수(cross-correlation

function) Rij ( ) 을 (5.4.16)과 같이

. 특별히 동일한 두

값을

자기 상관 함수(autocorrelation function) R j ( ) 라고 한다. 여기서 R j (0) 는 u 2j 의 시간

파손 해석에

Rij () lim

1

T 

R j () lim

T 

T 1

T

 (u) (t u )t   i j 0

T

(u) T 0

j

.

d

(5.4.16)

(t u j) t   dt

두 절점 j 와 k 에서의 물리량 u j 와 uk 의 상호 density) S jk ( ) 와 물리량 u j 의 파워

198

밀도(cross spectral

밀도 S j ( ) 는 (5.4.17)과 같이 정

Algorithm

의된다. 2

S jk ( ) lim 

T 

S j () lim 

T

0

2

T 

T

e T



t i

0



k

(5.4.17)

2

e udtt ()

T

T

u() tdtj e ut tidt ()

 i t

j

0

푸리에 적분(Fourier integral)을

자기 상관 함수와 파워

밀도

가 푸리에 변환쌍(Fourier transform pair) 인 것을 보여줄 수 있다.

R j () 

•

1 2





0

(5.4.18)

 S( j )cos(  ) t d

랜덤 응답의 계산

전달 함수 H ja ( ) 는 절점 a 에 가진원 Qa ( ) 가 작용할 때 절점 j 에서 응답 u j ( ) 을

.

u j ( )

) (no summation) u j ()  H ja( ) Q(a  : 물리량 u j (t) 의 푸리에 변환(Fourier transform)

Qa ( )

: 가진원 Qa (t) 의 푸리에 변환

응답의 파워

밀도 S j ( ) 는

파워

(5.4.20)의 관계가 있다. 만약 여러

밀도 Sa ( ) 와 상관 관계

가 없으면 전체 응답의 파워

밀도는 각각의

의 파워

(5.4.19)

응답

같다.

2

S j ()  H( ja)  ( ) Sa 

만약 여러 밀도에 의해서

(5.4.20)

상관 관계를 가지고 있으면 그 강도는 상호 응답의 파워

밀도는 (5.4.21)과 같이

구할 수 있다. 199

Analysis Manual

S j ( ) 

H H() (S) ( )  

ja

a

H jb ( )

jb

(5.4.21)

ab

b

H jb ( ) 의 켤레 복소수(complex conjugate)

:

랜덤 응답 해석을 할 때

반드시 하나의

여러 작용 힘들이 완전히

힘일 필요는 없다.

있어도 그들을 모두 뭉친 것을 하나의 가진

원으로 취급할 수도 있다. 그리고 그 응답은 내력, 응력, 변위, 속도, 가속도 등 의 임의의

•

될 수 있다.

RMS와

평균이 영인 정규 분포를 따르는 랜덤 응답의 RMS는 1  의 표준 편차를 나타 내는데 응답 시간의 68.27% 동안 응답의 크기가 RMS 이내의 수 있다. 크기가 RMS의 2배 또는 3배에 또는 3  의 표준 편차 영역에

각각 응답 시간의 95.45%, 99.73% 동안

응답의 크기가 RMS 이내의

평가할 수 있다.

당 zero축을 음의 값에서 양의 값으로 도의 총합이 대표

수로서 응답의 . RMS와

그-로그 보간에 의한 적분을

SRMS R



N0  

 

200

j





0



 1 (0)1 2 Sd  2

평가할 정규 분포의 2 

각각 (5.4.22)와 (5.4.23)에 의해





0

단위 시간 밀 크기는 로 .

12

()j 

 



(5.4.22)

12

 2 S j ( )d  

0

  S j ( )d  

(5.4.23)

Algorithm

Sxx von Mises

s s e tr S

0.0

Time

그림 5.4.2 동적 해석의 von Mises 응력

•

von Mises 응력

그림 5.4.2와 같이 동적 하중을 받는 다른

von Mises 응력의 확률 분포는

달리 정규 분포도 아니고

Mises 응력의 파워

영인 것도

밀도는 응력 성분의 파워

서 계산할 수 없다. midas NFX에서는 랜덤 응답 워

von

밀도를 사용해 von Mises 응력의 파

위해 Segalman 7 등이 제시한 방법을

밀도를

이 방법은 위상 정보를 필요로 하며 복소수

.


S vMi ( ) trace([ A ] [i S(  )]) S f(

ss

m)

s   H sx T



T

H sy

(5.4.24) Hsz

H s xy

sT

: 복소수 응력 성분

s

: 켤레 복소수 응력 성분

H s xz

H s yz 



3차원 응력 상태일 때 행렬 A 는 (5.4.25)과 같다.

7

Segalman D. J., C. W. G. Fulcher, G. M. Reese, and R. V. Field, Jr., “An Efficient Method for Calculating RMS von Mises Stres s in a

Random Vibration Environment,” Sandia Report, SAND98-0260, 1998

201

Analysis Manual

 1   0.5  0.5 [ A]    0  0   0

0.5

 0.5 0 0 0  0.5 0 0 0

1

0.5

1

0 0 0

0

03

00

0

00

30

0

00

03

        

(5.4.25)

5.4.4 응답 스펙트럼

응답

해석(response spectrum analysis)은 구속된

위한 방법중 하나로 이 방법은

(base motion: 경계

동일한 흔들림), 특히 지진에 의한

고려한 결과가 중요 5.4.1절이나 5.7절의

미리 정의된

의 근사

모드별

답은

202

볼 수 있다. 따라

함수를 특정 가진 가속도 혹은 특정 해석의 결과는 해당 입력 얻을 수 있다. 하지만,

대해서 대한 선형 국가에 발생한

설계 응답

결과를 얻는 경우가 더

응답

때문

대한

파를

•

고려하

통하여

에 응답

.

모드별 응답에 모드 참여율

. 여기서, 모드별

지 않고 모드별 응답의

응답

이용한 해석이

함수에

을 고려한

서,

.

응답을

때문에 한 문제에

응답을

가장

위한 해석

.

응답 해석을 위한 동적

(5.3.6)과 같으며, 모드별 최대응

이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.

Algorithm

imax  max  i () t Dii  i  S , imax  max  i () t Viii   S ,

 

imax  max  i () t Aiii   S ,



SD i ,  i 

: 변위

데이터 데이터

SV i ,  i 

: 속도

S A i ,  i 

: 가속도

i

:

i 번째

(5.4.26)

데이터 모드의 방향별

(5.4.26)을 (5.3.5)에

모드별 변위, 속도, 가속도 최대값 대한 식으로 표현할 수 있다. i uimax ii D i S i i ,i A

i

iiV iS i i ,i A i

i

max

vi

aimax  ii Ai S i  ,

한 점은

잡한 형태의 럼 로그

, ,

2

/

(5.4.27)

/

 (혹은

, 모드

대한

i S  i S

따른 영향을

주기별

)에 대한 모드별 . 특정 가속도 이력에

크기가 매우

때문에 매우 복

, 설계

단순한 직선의

그림 5.4.3처 것이

.

203

Analysis Manual

500 A

S 300 , n o tia 200 r le e c c 100 A o 70 d u e 50 s P

  0.02   0.05   0.10

30 102

101

100

101

Period(sec) 그림 5.4.3 가속도 응답스펙트럼 예

•

(Modal combination) 방법

모드별 최대 물리량(변위, 응력, 부재력, 반력 등의 각 성분별 최대값)을 Rimax 라고

하고, 실제 각 모드의

각 모드의 , 각 모드의 더하면 보장이 없기 때문에 단순

실제

동일한 모드별

무리가 있다.

Rmax 

N

R

max i

(5.4.28)

i 1

따라서,

평가할 수 있는

모드 간의 간섭

방법의 도입이

감쇠의 영향 등을 고려한

모든 경우에 대해서 적절한 제안된

.

방법이 주는 방법은 없기 때문에

특성을 잘 파악할 필요가 있다.

① Summation of the absolute value (ABS)

Rmax 

N

R

max i

i 1

204

(5.4.29)

Algorithm

이 방법은 모든 모드별 응답이 동일한 위상을

모드별 절대

모두 동일한 시간에

가장

결과를

.

② Square root of the summation of the squares (SRSS)

Rmax 

N

 R  max

2

(5.4.30)

i

i 1

이 방법은 각 모드가 충분히

경우에 적절한 결과를

.

③ Naval research laboratory method (NRL)

N

 R 

Rmax  Rmmax 

max i

2

(5.4.31)

i 1,i  m

이 방법은 SRSS

절대

가지는 모드( m ) 하나만 분리한

. SRSS 방법과

적절한 결과를

, 각 모드가 충분히

위의

모드가 ,

경우에

.

미국

않고 충분히

원자력

규제

위원회

(NRC)의

regulatory

guide

1.92(1976)에서는 여러 모드가 인접한 경우에

평가할 수 있는

있다.

④ Ten percent method (TENP)

Rmax 

N



 R i 1



2

i

i 1   2 Ri R j  j 1 

(5.4.32)

205

Analysis Manual

이 방법은 SRSS 방법에 10% 이내로 인접한

모든

대한

. 여기서 두 모드 i,j j ( i ) 의

영향을

두 모드가 주파수 10% 이하로 i   j

다음을 .

 0.1

i

(5.4.33)

⑤ Complete quadratic combination method (CQC)

Rmax 

N

i

 R  R i i j

(5.4.34)

j

i 1 j 1

여기서,

 ij 는 모드간

(cross-correlation coefficient) 로 다음과 같이

. 8 i j  (i  ij rm i j ) r 3 2

ij 

22

2

2

rij

(5.4.35)

22

(1  rij) 4 r ri jij (1  ij ) 4(  ri 

j )ij

: 주파수 비율 (  j / i ),  j  i

(5.4.35)에서 i  j 이면,

ij  1 이 되고,

모든 모드에 대해 ij  1 이 되어 SRSS 의 결과와 동일한 경우는 (5.4.27)으로 8 ( 1  r)ij rij 2

ij 

•

모드

(1  rij) 4  (1 ijr 22

2

2

수 있다.

32

) r

j i

(     )

(5.4.36)

i j

결과의 부호 형태로 모든 결과는 항상 양(+) 의 값을 가지게 된다. 하지만

206

0 인 경우 . 두 모드의

때문에

응답 변형

Algorithm

형상 등

가지는 결과에

조합된

결과의

적절한 부호를 가질 필요가 있다.

부호를

방법

(major mode) 의 부호를

중에

가장

가장 큰 모드들 중에서 근접한 방향에 모드로

정의된 방향(

)과 가장

.

보정

•

(5.4.26)에서도 알 수 있듯이, 고유

대한

. 하지만,

전에

. 따라서,

해당

주기에

읽을

되는데

응답을 가장 잘

변화에 대한

(linear interpolation on a

scale)을

대해서

알 수

일정한 간격을 가진 테이블 형태로

보간(interpolation) 방법을

logarithmic

모드

해석을

없다는 문제 때문에 때는

방법은

것이다.

것이

여러

.

입력한 경우도

동일한

모드

대해서 고유

.

하지만,

한 개의

수 있는

없기 때문에, 한 개의

작성한

(2002)에서는

. (correction factor) 를

CD    

보간할

대한 특별한 (5.4.37)과

같이

대한

있다.

1.5 40  1

 0.5

(5.4.37)

207

Analysis Manual

2.0 D

C r, 1.5 to c a f n 1.0 io t c re r o C 0.5

1.5

CD     40  1  0.5

A  0.05,1.0

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Damping ratio,  그림 5.4.4 감쇠계수별

0.05 일 때 CD  1 이므로(점 A ), (5.4.37)은 0.05 일때의 0.05 가 아닌

감쇠

있다. 따라서, (5.4.38)처럼 각 감쇠에 . Rimax 

208

비율을 최종

CD   i  CD  spectrum 

max

Ri

(5.4.38)

Algorithm

5.5 비선형

해법 비선형

해법은 하는

누적 증분해(incremental solution)가 정해에 그림 5.5.1에서 그려진 바와 같이

.

f t  t

fext gi

fint,i

t

u i

fext

 ui 1

ui 1 t

t  t

u

u

u

그림 5.5.1 누적 증분해와 비선형 유한요소법의 수렴 과정

, t fext 와 t t fext 는 각각 시간 t 와 시간 t  t 에서의 외력을 t

와 시간 t  t

해와 t t

u

u t u   u

(5.5.1)

: 시간 증분 t 사이에

시간 증분 t

, 시간

다음과 같은 관계로 표시될 수 있다.

증분해

비선형 해석을 위한

누적은 다음과 같다.

u

n

u 

i

u iu ui i1 or



1

(5.5.2)

i 1

u i

: i 번째

 u i 1

: i  1 번째

 u i 1 는

발생한 누적 증분해 발생한 증분해

(tangential stiffness matrix) K i 1 을

다음과 같이

209

Analysis Manual

선형

통해

.  ui 1  Ki 11 gi

gi

:

(residual force, unbalance force)

g i 는 다음과 같이 외력

t  t

fext 과 내력 fint ,i 의 차이로

gi  t t ext f  intfi

과정 (5.5.2)-(5.5.4)는 을 만족할 때까지 으로

•

(5.5.3)

(5.5.4)

,

지정한

(convergence criteria)

부재력, 변위 또는 에너지 등의 변화량

,

.

선탐색 (Line search)

midas NFX에서는 위에 설명된

기능을 누적

. 더하는

성능 향상을 위하여 선탐색 개념은 (5.5.3)에서 계산된 증분해  u i 1 를 , 스칼라 값  를

데 있다. 이러한 경우 누적

다음과 같은

.

ui 1  ui  ui 1

(5.5.5)

위 식에서 계산된 u i 1 가 총 포텐셜 energy)을

경우, 원리(principal of stationary total potential

, 선탐색 문제는 총 포텐셜

이 되는  를 찾는 문제로



에 대한

0

. s( )   ui (1T) g0 

210

.

(5.5.6)

Algorithm

y g r e n e l t ia n te o P

Acceptable range

 tan ( s()) 1

Exact solution  uTi 1 g( )  0 그림 5.5.2 선탐색

미분값 s( ) 가



개념도

에 대해

족하는  는 다음과 같이

때, (5.5.6)을 만

.

2 

s(  0)

(5.5.7)

s( 1) (s  0) 

여기서  가 0인 경우와 1인 경우의

다음과 같이 나타낼 수 있다.

s(  0)   u i 1T gi

(5.5.8)

s(  1)   u i 1T gi 1

실제로 선탐색

위해 가정한 것들이 정확히

(5.5.7)에 의해 계산된 s()j / (s   0)

값이

로 위에서 설명된 절차가

s( ) 는

않기 때문에,

0이 아니다. midas NFX에서는

지정한 일정 값

계산될 때까지

.

211

Analysis Manual

•

초기 강성법(Initial stiffness), 뉴튼 랩슨법(Newton Raphson), 수정(Modified)

뉴튼 랩슨법 계산 시점에 따라 초기 강성법, 뉴튼 랩 슨법, 수정 뉴튼 랩슨법 등으로 분류할 수 있다. 초기 계산된 계속 , 뉴튼 다

, 수정 뉴튼

서

외력의 변화가 계산 및

.

초기

해석 시작 매 반복 계산마 시점에 많은

수정 뉴튼 랩슨 법을 활용할 경우, 수렴 과정에 문제

가

뉴튼 랩슨 법에 비해 빠른 계산 속도를 얻을 수 있다.

midas NFX에서는 초기 강성법 또는 뉴튼 랩슨법 등을

고,

재계산 시점을

않

모든

효과를 얻을 수 있

다.

•

자동

재계산 하는 모델의 비선형 정도,

에 따라 적절한

평탄함 정도 등 해당 문제 특징

계산 시점을

서는 비선형

것이

렴특징,

등을

하는 자동 다.

. midas NFX에

해당 비선형 문제의 특징, 즉 적절한 시점에

수 재계산

재계산 방법(automatic tangential stiffness update) 을 제공한 다음과 같은 몇 가지 조건이

경우

.

지정한 최대

►

횟수가 많은 경

우 ►

•

해가

것으로 판정된 경우 , 발산 판정 및 하중 이등분(Load bisection)

해의

부재력 기준(force norm),

norm), 그리고 에너지 기준(energy norm) 으로

(displacement

.

T

Force norm ratio 

gi g i T

fint, i fint, i

212

(5.5.9)

Algorithm

 uiT  u i

Displacement norm ratio 

Energy magnitude ratio

(5.5.10)

uiT u i

 uiT g i

(5.5.11)

ui T fint,i

midas NFX에서는 이 세 가지 기준 중 하나 또는 다수의 기준에 대하여 사용자

가

•

비교를 통해 발산 판정 및

.

이등분

해의 발산 여부는 자동

재계산

중요한

발산율(divergence rate) Ei 을 기초로

Ei 

 uiT g i

(5.5.12)

 u i T g i 1

1보다 큰 경우( Ei  1 ),

다고 판단할 수 있으며, 필요한 조치가 하중

해가

수렴을 위한 등, 현재

경우에 ,

NFX에서는

해는 발산의 위험이 있

재계산 또는 하중 이등분 등의 수가 증분이

지정한 최 얻기에 너무 크다

. 기존 하중 증분을

하중 증분 크기에 대해

재시작 대처할 수 있다 . midas

최대 이등분 단계(maximum bisection level)에 도

달할 때까지 필요에 따라 하중 이등분 자동

•

상

.

대 고

,

.

된다.

시간 증분

비선형 해석의

위하여, midas NFX에는 시간 증분의 크기를 기초로 자동

기능을

간 증분 크기와 최대 증분 크기는 입력에 의하여 석에서 자동 조절 기능을 사용할 경우, 이전 필요로 하는

횟수를 기초로 다음 단계의 시간

. 기본이 되는 시 . 비선형 해

증가 또는 213

Analysis Manual

.

t i 1nt

여기서 증분 또는 하중 는 초기 하는 범위를 갖는다.

214

i s

( ns )는

n n(1

s

(5.5.13)

s,max)

의도한 시점

비선형 해를 최대한 얻을 수 있도록 하였다. 증분 1을 최소로,

값( ns ,max )을 최대로

Algorithm

5.6

고려한 변형률/응력 산출법 선형

변형 전과 변형 후의 형상 차이를

형률과 응력을 과 같이

않고 변

선형

.

다음

.

1 u u ε [ ( ) ] 2 X X

T

u

: 변위

X

: 변형 전 또는 변형 후 좌표

고려한

(5.6.1)

비선형

다양한

정의할

수 있으며, 가상일(virtual work)을 정의할 수 있도록 각각의 응력이

.

정의

•

midas NFX에서 (Green-Lagrange)

변형

그린(Green) 변형률 또는 그린속도(rate of deformation) 또는 변형률 속도

(strain rate) 가 있다. 그린 변형률 텐서 E 는 다음과 같이 ds 2 dS 2 d2 X dE X

그린

.

(5.6.2)

X

: 구조물 특정 위치의 변형 전 좌표

변형 전 미소 길이 dS 의 제곱과 변형 후

ds 제곱의

차이에 관한 값으로 볼 수 있다. 그린 변형률 텐서는 다음과 같이 (deformation gradient)에 의해 정의할 수 있다.

1 T E F ( F I  ) 2

있는 경우 그린 값으로

(5.6.3)

않기 때문에, 변형을

. midas NFX에서는 초탄성 재료와 같이 에너지

존재하 215

Analysis Manual

는 경우에 대하여, 계산의 편이를

위해 그린

사

다음과 같이 주 신장률(principal stretch)과 그 방향 을

계산한

.

ε  ln(n1) n11

ln(2 n2n)2

ln( nn ) 

(5.6.4)

3 33

i

: 주 신장률

ni

: 주 신장 방향 벡터 (변형 후)

초탄성 재료 이외의 모든 재료에 대하여 gradient)에 의해 다음과 같이

D

1 2

(velocity

.

T ( L  )L [sym ]

v x

v

: 속도 벡터

x

: 구조물 특정 위치의 변형 후 좌표

즉

텐서의 대칭 부분에

(5.6.5)

.

제곱의 변화율

ds2  2dx  D d x t

(5.6.6)

에 대한 값으로 볼 수 있다.

역시

경우

않으며, 그린

다

음의 관계를 가진다. D F

시간에 대한 는 것이 형률로 216

T

E  F

1

때문에 이를

. midas NFX에서 초탄성 재료 이외의 재료에 대해 고려한 해석을 되면 시간에 대해 .

(5.6.7)

사용하 변

Algorithm

•

응력의 정의 변형이 커지게 되면 응력 또한 다양한

정의할 수 있다.

코시 응력(Cauchy stress) 와 2nd

midas NFX에서 응력의 PK(Piola-Kirchhoff) 응력이 있다.

코시 응력은 현재 형상에 대해 평형 (true stress)이라

값이기 때문에 진응력

하며, 다음과 같이 n σ   d

.

df  td

(5.6.8)

다음과 같이 2nd PK

변형 전 형상에 대해

변환할 수 있다.

S  J F1  σ  FT

(5.6.9)

n

n0

df

df F 1d f

d

d 0

Reference configuration

Current configuration

그림 5.6.1 응력 정의를 위한 변형 전 /후 형상과 힘의 방향

2nd PK

응력은 물리적 의미가

동

데

등의 거동을

데 주로

않으나 그린 때문에 에너지

짝을 이루어 운 가지는 고무 재료

. 특히 초탄성 재료의 경우 그린 변형률

로부터 2nd PK 응력을 계산할 수 있기 때문에 별도의 응력 않다. 그러나, 초탄성 재료의

(5.6.9)의 217

Analysis Manual

통하여 계산된 코시 응력과

. 그 밖의 모든 재료에

적분 방법을

다음에

.

응력 속도와 변형률 속도의 적분 탄소성 재료, 점탄성 재료 등은 에너지 •

않는 반면 변형률 속

도(strain rate)와 객관 응력 속도(objective stress rate)의 . midas NFX에서

Jaumann

구 다음과 같

이 정의할 수 있다.

 σJ  σ

변형률 속도와 객관

  σ  σ wT w

(5.6.10)

재료의 구성

의해 관계를 가진다.

σJ  C: D

(5.6.10)

스텝 n  1 에서의 응력을 계

스텝 n 에서 계산된 응력과 변형률 증분을

산하기 위해 (5.6.10)에 중앙 차분법(central difference)을 전을

회

. σ n1  R  σn

RT  C: ε

회전량 증분 R 은 다음과 같이 8

(5.6.11)

객관 응력 증분(incrementally

objective) 조건을 만족할 수 있다.

1

1

2

2

1 R I(  W ()I   W )

(5.6.12)

특히 변형률 증분과 증분 스핀(spin) 계산은 n  1 / 2 야 한다.

8 Hughes, T.J.R. and Winget, J., “Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large

deformation analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1980

218

주의해

Algorithm

ε

u u ( [ ),] 2 x n  xn  1/ 2 1/ 2

1

T

u  1u  ( w [ )]  xn  nx 2 1/ 2

변형률 속도의 적분 역시 (5.6.11)과 용하여

T

(5.6.13)

1/ 2

회전량 증분 R 을 이

.

219

Analysis Manual

5.7 비선형

해법 midas NFX는 내연적

(implicit time integration) 또는 외연적

법(explicit time integration)을 response analysis)을 모두

비선형

(nonlinear transient

.

5.7.1 외연적 시간 적분법

midas NFX의 비선형

진

외연적

중 가장 널리 알려

(central difference)을

(lumped mass)을 사용하

고 있다.

•

위해 시간 스텝을 n  1/ 2 과 n, n  1 스

대해 텝으로

.

t n 1/2tn t1ntn 

1

1 n  n , 1/tn2 tntn  t  t

2

,

1/ 2

1/2

(5.7.1)

스텝 n  1 에서의 변위는 n  1 / 2

n u n 1/ 2v



1/ 2

1

 n n 1n u u u  un t n1/2


 1 n n

  ,v

1/ 2

1/ 2

(5.7.2)

t

스텝 n  1/ 2 에서의 속도는 n

n u na 

가속도 a n 은 있다. 220

vn

1

t n

v n

다음과 같이

1/ 2 n

v

v1/n2 , n na1/2

1/ 2

t

.

(5.7.3)

이산화(discretization)을 통하여 다음과 같이 계산할 수

Algorithm

 ( , )ft un(n t,int),na M fextun tn (1 ,f)t un n( , ) u

Mannf f

ext n n

결국,



int

(5.7.4)

이용한 외연적 시간 적분은 (5.7.2)에서 (5.7.4)까지의 반복

계산을

. 또한

형태의 질량 행렬을

, (5.7.4)에서

비용은 무시할 수 있을 정도가 된다. 이러한 절차를 시간 증 분에 대하여

과도 특성, 준정적 특성 등,

거동을

•

임계

(Critical time step)

외연적

비교적

강건한 특성을 갖는데 반해,

조건적 안정성(conditional stability)을 갖는다. 즉, 경우, 외연적

된다. 여기서 임계시

(minimum stable time step) 은

해석 모델에 포함된 모든 요소 각각의

중 가장 작은 값을 기준으

.

tt t  crit,

여기서 max 는 소 하여

크기가

의한 해는

간스텝(critical time step) 또는 최소 로

동적

모사할 수 있다.

2

crit

t   mine e max



(5.7.5)

, te 는 각 요소의 최

시스템 전체의 최대 . 또한  는 외연적

스케일 팩터로 0.85를

각 요소의 최소

다음과 같이 계산할 수 있다.

te 

여기서 Le 는 요소의

위 갖는다.

2 e max

 L   min  e   cd 

(characteristic length)이며,

(5.7.7)

요소 내부

를 가장 짧은 직선 길이로 볼 수 있다. 팽창파 속도(dilation wave speed) cd 는 재료 의해 , 예를 들어 3차원 요소에 대해 다음 과 같다. 221

Analysis Manual

cd  M

:

K,

:

M  

K  4 / 3 

(5.7.8)

,

임계

시간에 비해 굉장히 작은 경우가 많기 때문에 외연적 수행을

각 요소의 내력 계산 시간이 매우

짧아야 한다. 이로 인하여 고차 않으며, 저차

가지는 요소는 대부분

가지는 요소 역시 가장

적은 요소 기법을

것이 좋다. 표 5.7.1 은 midas NFX 에서 외연적

사용할

수 있는 요소 기법과 절점 수를 정리한 것이다. 표 5.7.1 외연적

사용 가능한 요소 종류

요소 종류

요소 기법, 절점 수

Rod

2 절점

Bar

2 절점

Pipe

2 절점 2 절점

Cable Membrane, Shell

3 절점,

/ANS

4 절점,

(안정화 기법) 3 절점 4 절점,

Surface

6 절점 4 절점 5 절점, Solid

6 절점,

(안정화 기법)

8 절점,

(안정화 기법)

10 절점,

222

Algorithm

•

인공

(Artificial bulk viscosity)

외연적

, 특히

하는

점성을

해석을

인공 체적

해를 안정화 시켜야 한다. 체적 점성 효과는 요

소의 내력(internal force) 을 반영할 수 있다. 체적 점성에 의한 압력은 체적 변형률 속도(volumetric strain rate)가 음수인 경 우, 즉

형태로 속도가

경우와 양수인 경우에 따라 다르게 적

용되며, 체적 변형률 속도에

부분과 제곱에

로 나뉜다. 예를 들어 3차원 요소에 대해 다음과 같이 압력을 2   Le (C0eLkk  dCkk1 c ) if  L ( C c ) if   e dkk1 

p

0



0



kk kk

 

(5.7.9)

위 식에 의해 계산된 압력은 요소의 응력에

내력을

단, 점성 효과에 의한 압력은 요소의

된다. 발생한 응력

이 아니기 때문에 내력

한다. C0 , C1 는 인공 체적점

성 계산을 위한

각각 1.5, 0.06 이다.

굽힘(bending)을 받는 요소, 예를 들어 bar 또는 shell 요소의 형에 대한 인공

•

부분으 .

(5.7.9)에

굽힘 변

.


외연적

감쇠의

(mass-

(stiffness-proportional damping) 그리고 구

proportional damping),

조감쇠(structural damping)가 있다. 외연적 동해석 효과를

다음과 같이

n n Man f extu n( n , )tf u (n int , )f t



n 1/ 2 fdamp v M  e ee e

e

(5.7.4) 에서 감쇠

.

n1/2





C (

e

e

2 1/ damp

 de

)

(5.7.10)



e

:εd

(5.7.11)

:

e

 , de

: :

C

: 재료의

계수, 지배 주파수

223

Analysis Manual

여기서

각

,

요소

.

감쇠는

작게 만드는 경향을 보인다. 효과는 임계 통하여 .

감쇠가

2

 te

임계 감쇠비  는 이

e max

감쇠와

(5.7.12)

및

다음과 같

.



e 2



e ( e   / d)

(5.7.13)

2

감쇠에 의한

아니라, 앞서 설명한 변화를

된다.

을 작게 만들기 때문에

•

(  2 1  )

큰 값을

것을

않는다.

질량 스케일(Mass scaling)

질량

외연적

줄이기 위하여 도입된

서 설명한 바와 같이 임계

요소의 크기에 의해

부 요소의 크기가 매우 작거나 변형에 의해 전체 해석의

스텝이 매우 작게

용이 매우

경우가

을 스텝이

. 앞

때문에, 일

경우, 이들 요소에 의해 ,

해석 시간과 비

. 질량 스케일 방법은 이러한 요소의 질량

팽창파 속도를 작게 하고, 하는 역할을 한다.

주의할 부분은 과도한 질량 력의 변화가 동적 특성을 질량 스케일 방법을

224

또한

감쇠와

인한 시스템 전체 질량 및 관성 정도 있어서 다음과 같은

. midas NFX에서는 .

Algorithm

►

전체 모델의 질량을

스케일 하는 방법

특정 값으로 맞추는 방법

►

또한, 질량

의한

증가를

조절할 수 있는 기능을

•

, 질량

빈도를

.

조인트 조건 부가법

조인트(Joint) 요소는 요소에 속하는 두 점 간의 상대적 운동을 미리 정의된 형 태로

. 외연적

서는

비선형

(penalty method)을

도록

두 절점이 지정된 상대적 거동을 하

. 비선형

조인트 요소는 절점 수에 따라 1절점

i , 절점 j ), 또는 2절점(절점 i , 절점 j )을 갖는 형태로

(

각 6개와 12개의

갖는다. 조인트 구속

조인트 요소 력은

의해

다음과 같이

. 이때, 절점 i 와 j 에 대한 구속 .

fi   kC

k

:

C

: 조인트 구속 방정식

여기서

k 는 외연적

C ,   f j kC xi

C xj

(5.7.14)

동시에 지정된

상대적 거동을 정확히 모사할 수 있도록 적절한 값을 NFX에서는 현

, 각

C 라고 했을 때, 구속

임계

한다. midas-

(critical time step) 값과

조인트 .

225

Analysis Manual

5.7.2 내연적 시간 적분법 midas NFX의 비선형

연적 (5.4.1)과

5.4.1절에서 소개된 HHT-  방법을 내 . 비선형 해법을 이용한

, 비선형

분해를

방법을

동적

각

해를 구한다. (5.4.1)의

구한

gn 1M  un  1

다음과 같다.

(1H n   1 f1nint,f1 exn Cu) n

t, 1

H

 Cu f nn

f int, 

n

ex n

일하며, (5.7.15)의

•

5.5 절에 소개된 방법과 동

0이 되는

. 선형

 H  0.05 를

자동

(5.7.15)

t,

내연적 시간 적분법 내의 비선형 해법은 과

동적 통해서 누적 증

.

제어

내연적 비선형

한 자동 시간

스텝

모델에

.

스텝

크기의 비를

크기를

정할 수 있고, 내연적 비선형 의 크기를

•

이를

.


내연적 시간

5.4.1절의 선형

감쇠를 제외한

및

,

쇠 행렬은 (5.4.5)와 같이 고려된 쇠 행렬을

226

외력의 크기에 대한 중간

, 비선형

재료 .

모드 . 이 경우 감

의한 고려된

감

Algorithm

5.8 접촉 조건 (contact analysis)은

두 물체가 서로 맞닿을 수는 있으나, 관통

할 수 없다는 조건 (non-penetration condition)을 기본 비선형 거동 또는 조건에 . 접촉의 이

하며, 그림 5.8.1과 같

충돌 및 충돌 시의 마찰을 않는

contact),

해석 초기에 두 물체가

(general (rough contact), 그림 5.8.2와 같이

해석이

리고

(welded contact) 그

접촉(sliding contact) 등이 있

다. 이 중에서

접촉은 두 물체 간의 해석 초기 위치에 따

라 조건이

선형

볼 수 있다.

Rough contact

General contact

그림 5.8.1 일반접촉과

개념

227

Analysis Manual

Welded contact 그림 5.8.2 접착접촉의 개념

관계

•

midas NFX에서는 선형

및 열전달 해석 시에 초기 인접한 물체 간의

및

사용할 수 있으며

소를 사용할 수 있다. segment)의 절점을

(master

이들 간의 상대 운동을

비선형 해석(정적, 동적)에서는 이외에

.

그리고

,

조건을 사용할 수 있다.

선형 조건에 그 거동을

유사한 보간 요

(slave node)과

비

해석

고려 여부에 따라 발생할 수

.

있다는 가정에 의해 모든 학적

대해 접촉

않게 되면 초기에

반면, 기하 지정한 거리 이내에 인접한 .

접촉의 정의는 점-면 접촉(node to surface contact) 또는 면-면 접촉(surface to surface contact), 그리고 단일면 접촉(single surface contact)을 선택할 수 있다.

이 중 단일면 접촉은

적용이

접촉은 계산 시간이 적게 든다는 장점이 있으나 통하는 경향이 크므로 해의

228

. 점-면

관

. 반면에 면-면 접촉

은 점-면 접촉에 비해 계산 시간이 많이 확하게

절점이

거동을 비교적

비관통 조건을 모사할 수 있다.

정

Algorithm

검색

•

접촉

검색은 .

(slave

node)/

(master

이

segment)

간의

인접한

관통한 정도에 따라 접촉 여부를 포함한 물체와 포함한 물체는 서로 없으나,

볼 때

요소가

정도

또는

.

관계

강성이 큰 물체, 또는

않은 물체에

좀 더 정확한 해석 결과를

얻을 수 있다. 실제로

판정을

검색(global search) 과정을 거친다. 전역

하기

전역

공간 상에서 물체 혹은 접촉

면이 충돌 할 수 있는 예비 종속

과정을

검색에 의해 결정된 종속 절점과

집합에

. 전역

접촉 검색을

된다. 실제로 절점이 면에

지를

그림 5.8.3과 같이

상에 직각 투영(orthogonal projection)해야 한다. 벡터 r

을

투영된

점(A)까지의

하고

xs

를

벡터라 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

여기서

r c ,c  r  c ,c    x s 

0

r c ,c  r  c ,c    x s 

0

c ,c  는 접촉점(A)의 위치를 c ,c  는

(5.8.1)

상의

표현한

것이다. 위 식을 수 있다.

 r    r   r     

위 식은

계산할

위한 좌표 증분  c , c  은 다음과 같다. r  r       r       

r  ,   x  c

c

s

c ,c  0,0 을 이용한 경우, 접촉점(A) 또는

(5.8.2)

(B) 의 229

Analysis Manual

위치가

멀리

않다면 쉽게

절점이 접촉 면을 깊이에

. 이제 종속

관통한 경우에

힘(접촉력)을 종속 절점과 접촉 면에

관통한 .

B



nA A



그림 5.8.3 종속절점과

사이의 수직 관계

계산

•

판단된

사이의 변위 관계는

method)을 통하여

다음 (5.8.3), (5.8.4) 와 같이

.

g N   x B  xA   nA f C  kN g N

kn

: 벌칙 계수

x A , xB

:

상의 점(A)와

nA

:

상의 점(A)의

위 식에서

(5.8.3)

if g N  0

(5.8.4)

(B)의

kN 은

여하는 효과를 가지며, 값의 크기에 따라 비관통 조건을

230

(penalty

. midas NFX에서는 절점 사이의 갭(gap)과

간에 탄성 강성을 부

Algorithm

된다.

또는

g N 이 양수일 때에도

초기에 인접한

않도록 하는 효과를 반

영한다. midas NFX에서는 벌칙 계수를 다음 (5.8.5)에 의해 . solid elements : ki 

f s Ki h

Asi

plane/ shell elements : ki  n1

Vmi

n2

i 1

mi

i 1

fs M i h

Asi

 A   A

12

mi

h

fs

:

Ki

: 체적

Mi

: 팽창

n1 n 2

(bulk modulus)

Ami

:

Asi

:

Vmi

:

n1

: solid 요소의 수

n2

: plane/shell 요소의 수

위 식에서

면적 면적 부피

fs 는

종류 또는 해석 종류에 따라 다르게

이를

,

(5.8.5)

비관통 조건 또는

수 있다. 힘을

수평 되는데 그 크기는 다음과 같다.

u B  u A   t xA    g  B A A u  u   t y  T

(5.8.6)

231

Analysis Manual

f T  kT gT

kT

(5.8.7)

:

A

A

tx ,ty

상의 점 (A)에서의

:

벡터

kT 를 k N 과 같은 값으로

.

(5.8.4)와 (5.8.7)과 같이 선형 탄성의 접촉력 또는

비선형

해석에

대한 조건에

않다.

갭의 부호에 따라 강성이 0에서 k N 때문에 수렴된 해를

으로 급격히

많은 진동(oscillation) 현상이 발생할 수

있다. midas NFX 에서는 이를

위해 다음과 같이

. fC 0 f

C



fC 

if g N  d1 f0

(exp(1)  1)

f0 (exp(1)  1)

g gN [(  N 1)(exp(  1) 1)]   d1

if

d1

d

d

d1

d1

[( 2 1)(exp(   2 1)  1)]

k(N

g N )d2

d2

if g N

gN

d1

d2

fC

fC 0

f C  exponential

d1

f C  linear

gN

d2 그림 5.8.4 갭과 수정된 접촉력의 관계

수평 232

대해

힘은 수직 방향 힘이

(5.8.8)

Algorithm

때문에 더욱 복잡한 (5.8.7)을

다음과 같이

된다. 이에 따라 . C

T f  kT f gT kN d2

위 식은 수직 방향

(5.8.9)

수평 방향 힘을

접촉이 갑자기

순간에 발생할 수 있는 힘의 (5.8.9)를

최소화 할 수 있다.

그대로

,

마찰을 고려할 수 있다. 마찰에 의한 파괴 함수를 다음과 같이

위해

.

f  fT   f C  0



(5.8.10)

:

위 식을

거동은 탄성 운동이 되며, 않으면

이동이 커져서 위 식을

. (5.8.9)와 (5.8.10)을 비교해 보면 일정

거리 d 2

상대 변위는 탄성 운동을 하게 되며, 그 이상의

상대 변위는

알 수 있다. 마찰을 고려한

비대칭

계산 효율이

또한

크거나(0.3~0.4 이상) 문제를

요인이 될 수 있다. (Breaking-weld)

•

midas NFX에서

기능은

걸리는

함수인 다음 (5.8.11)을 만족할

파괴 상대 운동을

접착 접촉과 같으며 만약 해석 중에 않으면 그

. kT 가 큰 경우 역시

(5.8.11)식을

상대 구속이

같다.

233

Analysis Manual

2

2

 max  CF n,0    CF s      s  1    Ff  Ffn   F fn

: 수직 파괴 힘

F fs

: 수평 파괴 힘

CF n

: 수직 방향 접촉력

CF s

: 수평 방향 접촉력

(5.8.11)에서 수직 방향의

(5.8.11)

경우

않는다. 만약 파괴 힘이 수직 혹은 수평 한쪽 방향에 방향에

. 즉,

F fs 만

234

F fn 만

수평 방향의

접촉력 역시 그 수직 방향을 .

Algorithm

5.9 피로 해석 부재의

보다 낮은 하중이

작용할 때 부재가 파괴

. 되는 현상을 응력 기반의 응력-수명 (stress-life) 방법과 변형률 기반의 변형률-수명(strain-life) 방법이 있다. 응력-수

명 방법은 주로

비해

해석에

낮은 응력

피로

, 변형률-수명 방법은

높은 응

력

변형률-수명

.

수명은 응력-수명 하며, 특히 응력

수명에 비해

같이 응력 수준이

수명 방법을 사용한

더 정확

높은

변형률-

할 수 있다. 본

선도(curve)를

S-N

응력-수명 방법과 E-N선도를

법에 대하여

변형률-수명 방

.

5.9.1 응력-수명 방법 응력-수명 방법은 일정한 하중을

파괴가

(N)와 응력 진폭(S)의 관계를

정도를 의

. S-N 선도는 (cyclic loading)이 작용할 때

먼저

피로

일정 진폭(constant amplitude) (stress amplitude, S)

과 해당 진폭의 응력이 반복될 때 파괴에 이르게 하는 N)의 관계를 나타낸

때의

주어진 하중

(cycles to failure,

. 응력-수명 방법을 사용한

대한 선형

수행 한 후, von Mises 응력 또는 주응력

등의 등가 응력을 구하고, 이를 S-N 선도에 하중 각각의

까지

예측 한다. 다양한 조건에 따라 서로 다른 S-N 선도를 가지고 있으나 예

상되는 모든 경우에 대해서

할 수 없기 때문에 표준 단축

을 통하여 얻어진 S-N 선도에

. 또한

(variable amplitude)의

계(rainflow-counting) 기법을 진폭을 S-N 선도에

-집

개별 응력 .

235

Analysis Manual

응력-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다. ►

비교적 간단한

►

계산이

통해

수행할 수 있다.

►

탄성 변형을 다루기 때문에 소성 변형이 큰 경우에

•

반복 하중(Load cycles)

짧다. 않다.

그림 5.9.1과 같이 일정 진폭의 응력이 와

경우,

a

 m 은 다음과 같이 계산 할 수 있다.

a 

 max  min

m 

(5.9.1)

2

 max  min

(5.9.2)

2

그림 5.9.1 반복하중 진폭과 평균 응력

응력-수명 으로

영(zero)인 상태로 일정 진폭의 응력이 규칙적 경우에 대하여 S-N 선도를

. 일반

적으로 S-N 선도는 그림 5.9.2와 같은 모양을 가진다. 이는 두 점 P와 Q를 연결 하는

알 수 있다. 점 P는 때

Q는

않는

으로 파괴가 N0  1000 으로, Se  0.5 Su 로 가정할 수 있다.

236

( Su )의 90%에

크기의

횟수( N 0 )를

구한다. 점

( S e )을

106회 반복

.

강철의 경우

Algorithm

1.0

P

0.9 0.8

Se Su

0.7 0.6

Q 0.5 0.4 2

103

10

104

105

106

107

108

Life to failure, N (cycles) 그림 5.9.2 전형적인 S-N 선도의 예

그림 5.9.2와 같은 S-N S가

직선의

작용할 때

b 라고 하면, 특정

이르게 하는

N 을 (5.9.4)와 같이

계산 할 수 있다.

b

 log S  log Se  log Ne log N

(5.9.3)

1

 S b   Se 

N  Ne 

•

(5.9.4)

Miner의

여러

경우 재료의 손상 정도(damage)는 각

한 개별 손상 정도를 ni 이며

의

. 특정

N i 인 경우 누적된 손상 정도는 다음의 식으로

Damage

ni

N i

손상 정도의

.

(5.9.5)

i

.

237

Analysis Manual

Life 

1

평균 응력 효과

•

a 가

도

그림 5.9.1과 같이 영향을

.

같은 수식9을 각각

 m 이 다르면

위해서 Goodman과 Gerber는 다음과

.

Goodman (England, 1899)

►

a

Se

►

(5.9.6)

Damage



m

Su

1

(5.9.7)

Gerber (Germany, 1874) a

Se

여기서 Se 는

수정 된

의하여 수정된 Se 를 한 영향을

2

    m  1  Su 

(5.9.8)

것에

한다. 평

S-N 선도를

의

.

5.9.2 변형률-수명 방법 응력이 수는 상을

되고 이로 인해 파괴를 않는 경우에 비해 급격히 위하여 변형률-수명 관계를 구하여

는데 이 방법을 변형률-수명 을

9

정도를

되

한다.

위해서 비선형 해석을 통해서 구한 변형률 이력을 직접 사용할 수

Bannantine, J., Comer, J. and J. Handrock, Fundamentals of Metal Fatigue Analysis, Prentice-Hall, 1990

238

반복 횟 된다. 이러한 현

Algorithm

Neuber 법칙 10을

도 있고, 선형 에서의 소성

상태

구하여 사용할 수도 있다. 계산 비용이

선형

적은

Neuber 법칙을 사용한 변형율 계산 방법이 많이

왔

으나 보다 정확한 변형률 계산이 가능한 비선형 이력 해석 방법이 최근 들어 선 호되고 있다. 응력-수명 방법과 변형률-수명 방법 역시 구조물 전체 에 소성 변형이 경우에

일부 응력 집중

소성이

할 수 있다. Neuber 법칙을 사용한 변형률 계산

•

일정한 하중을

경우의

같이

크기는 (5.9.9)와 (  e )의 크기는

합으로 구한다.

(  )와

(  p )의 크기는

( E )로 계산이 되고

반복

변형 강도 계수(   )와 반복 변형률 경화 계수( n )를 서

역시 그림 5.9.3에서와 같이

때문에 (5.9.10)의 Neuber법칙을

고려한 한다.

응력은 (5.9.10)의 K f S 에

서

있기 때문에

하게 된다.

구

( S )의 계산은 응력-수명 방

대한

법과 동일한

해석 결과에

. (5.9.9)에서

응력 -

.

  

e

222

 p   

2 E

2 1

2

K f  S e      

Kf

: 응력 집중 계수

S

: 명목 응력 변화량(응력

Nueber법칙은

10

. 여기에

      1

2

없는

1

n

(5.9.9)

(5.9.10)

응력 변화량)

종류에 따라 (5.9.11)~(5.9.12) 와 같이 탄

Neuber, H. (1961) "Theory of Stress Concentration for Shear-Strained Prismatic Bodies with Arbitrary Nonlinear Stress-Strain

Laws," Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, Vol. E28, p. 544-550.

239

Analysis Manual

관계를 다르게

►

.

Von mises 2

Kf S S ,     3E  3G   2 1  v    

e  

S

3G

►

최대

(5.9.11)

 

또는 최대 주응력 e

S E

,

K

f

S   

2

(5.9.12)

 

E

 e

 p B



A

 2



O

 2

C

그림 5.9.3 전형적인

•





2

2

응력 -변형률 선도

비선형 이력 해석을 사용한 변형률 계산

변형률-

이력을 비선형 해석을 통하여 직접 계

산하는 경우에, 반복 변형 강도 계수(   )와 반복 변형률 경화 계수( n )등이 사용 되지 않고 선형 해석 결과를 형률은

해석을 위한 비선형 . 종류에 따라 (5.9.12)~(5.9.14) 와 같이

계산할 수 있다. 평균 응력 효과를 240

이를 활용한 비

위한

합이며, 각 변 (  1,  2 ,  3 ) 을 또한 비선

Algorithm

형 해석 결과를

, 응력과

위해

여러 성분을 동시에 counting)을

►

Von mises 

2

 p



2

3

2  eee 1 2 e e 2  3e       2 2 2 2 22 2 1      

1

2 

  

2

2

2

2

p

p

2

2  2

2

  

1

  

1

2

(5.9.12)

2

최대 e   1  2e  maximum 2 2  p   1 2  p  maximum 2 2 2 

   

2e e3  e3 e1   or or

2

2 p

p 2 3 p 3 1  or or 2

p

p

   

(5.9.13)

최대  e



 1e



 1p

2

2

 p 2

•

1  

3

   p  p p   2 3  3 1 2 2 2 2  

p 1

 e

►

(multi-components rainflow-

.

 e

►

-

(5.9.14)

2

E-N선도

그림 5.9.4 는 (5.9.15) 의 E-N N 선도에 S-N 기법과

.

유발

관계를

-집계를 거쳐 추출한 여러 개의 개별 변형률 진폭을 E-

각각의

이에

개별 손상 정도를 구한다. , 개별

miner

최종 손상과 수명을

   2

' f

E

 2N  b   'f

.

2N

c

(5.9.15)

241

Analysis Manual

 f

0

10 



Total strain c

1

2

10

   f  2 N 

b

E

2

e d u itl 102 p m a 3 in 10 a rt S 104

  f 2N

c

b

Elastic strain

 f

E

Plastic strain

5

10

0

10

2

1

3

10

10

4

10

10

5

6

10

10

7

10

Reversals to failure, 2 N

그림 5.9.4 변형률(  )-피로 파괴 유발 반복횟수( N ) 관계

변형률-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다. 해석 결과를

►

소성 변형이

대한

적용이

►

비선형

결과를 사용한 계산이

►

계산이

•

평균 응력 효과 변형률

그림 5.9.1과 같이 . 변형률-수명

해서 다음과 같은

 m 이 다르

영향을

위

.

SWT (Smith-Watson-Topper, 1970)  max

 2

  '



2

f

E

  max  2   m

242

.

길다.

면

►

경우에

.

 2N

2b

  'f 'f 2 N

b c

(5.9.16)

Algorithm

►

Morrow (1968)







m 

' f

E

2

•

b  2N   'f

비선형 이력 해석을 사용한

c

2N

(5.9.17)

E-N선도

초탄성 재료의 경우 변형률 이력을 그대로

-

.  2

SWT 와 Morrow

 K  2N f 

b

(5.9.18)

대한 보정은 각각

변형된 형태를

.

SWT :  max

 2



 2

K  2N f



b

(5.9.19)

b b  '  Morrow :   f  m  2N f    K   m   2N f 

2

SWT 는

E

0 일 때 . 하지만

절반이 작고

때문에,

크면

(5.9.20)

것을 너무 크게

2 배보다 커질 수 없도록 하는

제한을 두었다. Morrow 방법은 기존 식에서

대신

.

243

Analysis Manual

5.10 응력의 응력의

(stress

linearization)은 복잡한 응력 상태를 등가의 막응력

(membrane stress)와 (bending stress)으로 한다. 주로 압력 용기(pressure vessel)의 설계에

계산 과정을 의미 ASME B&PV 코드를

기초로 한다. 응력의

방법은

모델의

따라 다르며, 크게 3차원

축대칭(axisymmetric)

구분할 수 있다. Solid 요소와

plane strain 요소는 3차원

, axisymmetric solid 요소는 축대

칭

구간은

.

로 결정할 수 있으나,

임의

두께 방향에

정의

그림 5.10.1과 같이 3차원 모델에 대해 A 점과 B 점을

위

하는 것이

•

.

3차원

한 구간과

결정할 수 있다. 점 A에서 점 B를 향하는 방향을 x축으로

, 이 축과 GCS-y 축이 이루는 평면에 y축이

구간에

σm 

구간에

응력의

1

t



t /2

 t /2

것으로

.

다음과 같다.

(5.10.1)

σdx

응력의 1 차

등가를 이루는

다음과 같이


σ bB  σbA 

244

6

t2



t /2

 t /2

xσdx

(5.10.2)

Algorithm

y x

A

B

t

그림 5.10.1 응력 선형보간을 위한 구간 설정과 좌표계 정의 (3 차원 모델)

•

축대칭

그림 5.10.2와 같은 축대칭 모델에 에 의해

응력의 각 성분이 서로 다른 방법

. 축대칭

위한

점 A와 B에 의해

. 축대칭

은 원리를

3차원 모델과 같 x0 인

,

점 때문에 응력의

이동해 있다는

조금씩 다른

.

자오선 응력(meridional stress)는  y 에 과

, 다음의 식을

막응력

.

 ym 

 yb, 



t /2

 t /2

x  x f



t /2

 t /2

xf

1

RC t

( x  x f )2 Rdx

 y Rdx



t /2

 t /2

( x  x f ) y Rdx ,   A, B

(5.10.4)

: 구간의 중심과 중립면 사이의 거리

원주 응력(hoop stress)는  z 에 응력을

(5.10.3)

, 다음의 식을

굽힘

.

 zm 

1

t



t /2

 t /2

 z (1 

x 

)dx

(5.10.5)

245

Analysis Manual

 zb, 

x  x f



t /2

 t /2

xf

( x  x )f (12

)

x dx 



t /2

 t /2

( x  x)f  (1z

 )

x

dx ,   A, B



(5.10.6)

: 구간의 중심과 중립면 사이의 거리

곡률 반지름(radius of curvature)  는 모델의 모양에 의해 값이며, . 또한

xf

않는 경우 곡률이

않고 않는 것으로

는 자오선 응력의 계산에 사용된 값과

점에

한다.

GCS  z

y

x

B xf



A

RA RC

Neutral surface RB

GCS  x 그림 5.10.2 응력 선형보간을 위한 구간 설정과 좌표계 정의 (축대칭 모델)

응력(thickness stress)는  x 에 과

 xm 

246

, 다음의 식을

막응력

.

1

t /2

t

 t /2

 xdx

(5.10.7)

 xb,   x, A   mx ,   A, B

(5.10.8)



Algorithm

전단 응력의

포물선 형태로

, 양 끝점 A,B에서 값을 0으로

성분은

.

않고 막응력

다음 식을

.

m   xy

1

t



t /2

 t /2

 xy

R RC

dx

(5.10.9)

247

Analysis Manual

5.11 위상 최적화 위상

주어진 목적에 가장

웃 최적화

재료의 분포를

. 전체

레이아

중

판단에

근거를

, 새로운 대안에 대한

데 주로

. 또한 기본 위상 최적화

다양한

하여 좀 더

고려

한다.

위상

재료의 분포를 밀도 변수를

위한

해석을 위해 생성한 유

. 요소 밀도가 “1”

분, “0”은 요소가 필요 없는 부분을 재료의

것은 요소가 필요한 부 다르게 설

.

요소의

별도의

없기 때문에

않고,

문제를

. 이

최적화

midas NFX에서

성의 종류와 각 최적화 해법에 대해

위상

문제구

.

민감도

5.11.1

위상

문제 구성 방식은

하에서

최적화 방법과

최대화 또는

수를

찾는

경우 위상 최적화

. 목적함

(5.11.1)과 같이 표현할 수 있다.

Minimize: c  x 

(5.11.1)

subject to : h i  x  0 ( i 1,..., M )

248

c

:

(Objective function)

hi

:

(Constraints)

x

: x   x1, , ,xe ,

M

:

개수

xN0  1.0, xe

1, e,

N  ( xe :

)

Algorithm

midas NFX가

따라 표 5.11.1과

같이 분류할 수 있다.

표 5.11.1 목적함수에 따른 문제구성 종류

설계

관련 해석

(공통)

정적

(최소)

부피비

· 선형 정적 해석

동적

(최소)

부피비

· 주파수 응답 해석

변위/응력

· 선형 정적 해석

· 성형 방향

· 주파수 응답 해석

· 대칭 조건

부피비(최소)

(

평균 고유치(최대)

부피비

· 모드 해석

부피비(최소)

모드

· 모드 해석

정적 정적

(static compliance) 대한 함수로, (5.11.2)와 같이

•

형태로

(1~3 축 대칭)

)

.

N



cs  f Tu  u TK u  kuxu

T

e

e

 e

e

(5.11.2)

e 1

f

: 하중 벡터

u , ue

: 전체 및 요소 변위 벡터

K , ke

: 전체 및 요소 강성 행렬

정적 여 (5.11.3)과 같이

(5.11.2)에

(adjoint method)을 적용하

.

249

Analysis Manual

cs f T K u  uT u 2 xe xe xe

(5.11.3)에 포함된 하중에 대한

(5.11.3)

회전

같이

에 따라 하중이 변하는 체적력 형태의 하중에 대해서

•

동적

.

(dynamic compliance)

동적

같은 복소수 응답에 대한

의하기 위한 것으로 (5.11.4) 와 같이

크기 형태로

cd  f T u

동적

(5.11.4)

,

complex number) 표현을

(5.11.5)와 같이

 fuT f  T S T   cd uu u   T  2 xe xe   f u  xe S

: 동적

f ,u

: f ,u 의



:

•



(conjugate .

(5.11.5)

:  2M  i C  K , (5.4.13) 참고

실수부

평균 고유치

설계 모드의

대한

(reciprocal formulation11)를

11

정 .

(5.11.6)과 같은

역수 형태

.

Ma Z.-D, Kikuchi N. and Cheng H.-C., “ Topological design for vibrating structures,” Comput. Methods. Appl. Mechs. Eng., Vol. 121,

1995

250

Algorithm

 m w    i   i 1 i  

: 평균 고유치

i

: i 번째 고유치

wi

: i 번째

m

: 설계 모드 개수

1

(5.11.6)

대한 가중치

평균

고유치

이용해 (5.11.7)과 같이 표현할 수 있

다.

m  w      2  2i  i  xe i 1 i  xe 

(5.11.7)의 모드별 고유치

모드의

(5.11.7)

아닌 경우 (5.11.8) 과 같이 해당 및

.

 K i M   iT   i i xe xe   xe

•

(5.11.8)

부피비 (volume fraction) 전체 설계 영역의 부피 대비 최종

비율을

. 동일한

적화의

결정된 상태의 부피의

경우

요소의

때문에

. 위상최

대한

대비 해당 요소의 원래 부피의 비율로 표현할 수 있다.

 V  x  / V0  xe V0

:

 N     ve xe V0  e 1    ve  V0 xe

(5.11.9)

전체 부피 251

Analysis Manual

V

:

ve

: 요소 e 의 부피

반영된

전체 부피

5.11.2 재료 보간 방법

재료 보간 방법(material interpolation scheme) 은 가 “0”이나 “1”이 아닌

과정 중

가질 때 실재 재료의

밀도에 따른 질량을

위해

가지 방법을

요소

. midas NFX에서는 표 5.11.2의 두

.

표 5.11.2 재료 보간 방법

12

SIMP

RAMP12

solid isotropic material with penalization

rational approximation of material properties

 xe ke

p

ke  xe  

xe

보간식

ke xe

미분식

ke  pxep 1ke0 xe

1 q ke  ke 0 xe 1 q 1 xe  2  

선형 정적

모달, 주파수 응답

p  3.0 ~ 4.0

q  5.0~ 6.0

0

1  q 1  xe 

ke0

M. Stolpe and K. Svanberg, “An alternative interpolation scheme for minimum compliance topology optimization,” Structural and

Multidisciplinary Optimization, Vol. 22, 2001

252

Algorithm

1.0

0.8 t io a r s 0.6 u l u d o m s ' g0.4 n u o Y

p=1.0or q=0.0 p=3.0 q=5.0

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Material densityx,

1.0

e

그림 5.11.1 재료보간모델별 밀도에 따른 강성비

5.11.3 최적화 기준법 최적화 기준법(optimality criteria: OC)은 (5.11.1)로 정의한 최적화 조건을

승수와 함께

(unconstrained optimization problem)로

, 새로 구성된

값이 0이 되는 조건(Karush-Kuhn-Tucker(KKT) conditions)을 찾는

c M hi   i 0 xe i 1 xe i

:

Bendsøe는

변수

13

제약

없는 최적화 문제 미분 .

(5.11.10)

승수

하나만 있는 경우 최적화 방법13을 다음과 같이

이용한 경험적 설계

.

Bendsøe, M.P., Optimization of structural topology, shape and material, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1995

253

Analysis Manual

max  xmin, x e  me ife 

 xe new e e  x B

 x, x  m x B  max e min  xemin x m xmin B 1, e,   if min  e 1,e xe  m  x B 

x

if max e e

 min 1, xe  m



:

감쇠(numerical damping, 0   0.5 )

m

:

제한 길이( 0  m 0.65 )

xenew

:

Be

: 

(5.11.11)

m

밀도 c xe

h   1 at optimality xe



5.11.4 이동 점근선 기법

이동 점근선 기법(method of moving asymptotes: MMA)14 은 (5.11.1)로 정의한 최적화 문제를 아래의 (5.11.12) 와 같은 점근선

(k )

f i (x) 

n



  u 

j 1 j

이때 점근선 각

pij)( k

) (k

xj xj

)(

q

 ) ( ij l

j

분리된 아래와 같이

 



x j  λ  min max

 

k

 (k ) r  i 

(5.11.12)

(convex separable function)이기 때문에

승수로 표현이

 p  λT p 0j j

1/ 2

.

1/ 2



l j  q0j λ T q j

, ,   1/ 2 T  q0 j  λ T q j   p0 j  λ p j

uj

1/ 2

보통의





매우 많 가능

하다. 또한, OC와 달리 사용할 수 있는

개수가

에

널리

위상

최적점 탐색

(5.11.13)

j

방법을

BendsøeK.Svanberg, Themethod of moving asymptotes – a new method for structural optimization, 1987

254



 j

개수가

기 때문에 (5.11.13)와 같은

14

k



.

않기 때문 .

Algorithm

5.12 (size optimization)에서는 재료 혹은 특성 등의

있는

(design variable)로 (design response)이라 한다.

성능 특성을 갖는

위한

찾는 것을 그

조절할 수

. 이때

성능 원하는

(design variable)들의 조합을

한다.

midas NFX 에서는 비선형

대규모 해석을

용이한

치수최

.

적화의

과정은 1)

추출, 2)

표현된 최적화 문제의 풀이로

생성, 3)

.

5.12.1 실험점 추출

(Design of Experiments, DOE) 관계에 대해서

•

sampling)을 통해

과정을 실험점 추출(design

. 실험점 추출은 여러


법을

►

조합에 대한 설

주효과(main effect) 혹은 각

,

교 다양한

.

일차원

스터디 : 특정한 한

을

다른

. 이를 통해 한

들의 특성을 살펴볼 수 있다. 계획법 : 각

►

.

개수가

개수는

대한 직접 정의할 수 있다.

대해 2수준 혹은 3수준에 대한 모든 조합을 개수에 대해

차원의 저주(curse of dimensionality)가 발생할 수 있다. ►

계획법 : 각

대한 2수준의

계획법(fractional 255

Analysis Manual

factorial design)과 중심점(center point) 및 별점(star point)에서

위치에 따라 법은

제외한

모두

경계에

전성(rotatability)를

. 모서리

변수에 대해 골고루

회

,

안쪽에

계획법 : 강도(strength) 1의

►

. 이때

(faced)과 내접법(inscribed)으로

.

, 난수를

것을

한다.

각 설계 개수를

임의로 결정할 수 있다는 장점이 있다. 공간 충진성(space-filling)이 좋아 크리깅 만들기 위한

►

다구찌

많이

: 각

.

직교성(orthogonality)를

와

주효과

만들

을

.

2

있으며, 최대 48개의

5

처리할 수 있다.

•

상관도 분석

실험점 추출을 통해

관계를 평가할 수 있다. 각 설계

응답에 대해 어떤

큰 영향을 주는지

사모델 기반

. 향후 근

앞서 중요한

어서

추출할 수 있

해준다.

Midas NFX에서의 각

Xi 와

Y 의

Coefficient of

Importance(CoI)로 부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

CoI (X Y  XYY i , )CoI

,

RY ,i 2 R X ~,

i

2

(5.12.1)

X

R 2 는 Coefficient of Determination(CoD)로 다음과 같이 얻을 수 있다.

R2 

N



SST  iyY( i 1

256

R

SS R SS E  1 ,0  1 R 2 SST SS T

),  SS 

(5.12.2)

N

Y y( E ),i iSS i 1

N

(y y )

 i 1

i

(5.12.3)

Algorithm

RY2, X 는 모든

CoD이며, RY2, X ~i 는 설

생성한

계변수 X i 를

생성한

CoD이다. 다라서 CoI는 간접적

으로

X i 의 영향을 파악할 수 있다. 이때

종류에 따라 1차 상관도 혹은 2차

얻을 수 있다.

5.12.2

항공기 혹은 자동차

CAE를

개념이 로 로

설계를 하기 위하여 통해 암시적(implicit)으

.

관계를 한다. 이때의

통해 명시적(explicit)으 (approximate model) 혹은 반응

(response surface model) 이라 부른다. (regression model)과

결과를

크게

(interpolation model)로 나눌 수 있다.

따르는

의 결과를 완벽히

,

각 실험점

.

Regressionmodel

Interpolationmodel

그림 5.12.1 회귀모델과

257

Analysis Manual

각 은

효과를

수 있으며,

해석(deterministic analysis)에

NFX에서는

과

때 장점이 있다 . midas

각각 (Kriging model)을

(polynomial regression)

.

•

관계를 이때

형태로

종류에 따라 1)

regression), 2)

(linear polynomial

(pure quadratic polynomial regression), 3) (full quadratic polynomial regression), 4)

모델(pure cubic polynomial regression)으로 나뉜다. 다음과 같이 표현할 수 있다.

y  fT b y

:

f

: 설계 벡터 (design vector)

b

: 계수(regressor)

결국,

예상 값

위의 항에서 계수를

계수는

1

F y

y exp

:

F

: 설계 행렬(design matrix)

이때 (5.12.2)에서

258

문제를 푸는 것이며 이때의

(least squares)에 의해 다음과 같이

T b  F F

용한다.

(5.12.4)

T exp

.

(5.12.5)

값

특이값 분해(singular value decomposition, svd)를 이

Algorithm

•

크리깅 모델

크리깅 모델은 가장

잔차(residual)

,

로 표현할 수 있다. y  x  G   x  z x

이때

(5.12.6)

잔차는 평균은 0으로, 분산은 다음과 같이

.

Covz z(x),i (xj )  Rji(x2x, )

(5.12.7)

이러한 분산은 연관성 모델(correlation model) R 에 따라

, 연관성 모델

의 종류는 다음과 같다.

Exponential: R  d  

ndv

exp  i 1

Gaussian: R  d  

ndv

exp 

 

ii d  exp ii

2

ii d 

R d 

ndv

exp  i 1

각

대하여 연관성 모델을

을 만들 수 있다. 이때 통해 연관성 모델의 과 같은 최적화 문제로

 

d 

(5.12.8)

  

(5.12.9)

i 1

 exp   ndv

ii

d

2

i 1

i 1

Exponential General:

ndv



p

i id i





exp i i



ndv

 i 1

d

pi

  

(5.12.10)

연관성 행렬 R (correlation matrix) (maximum likelyhood estimation, mle)을

 i 와 pi 를 구할 수 있다.

다음

.

259

Analysis Manual

Find i tomaximze  subjectt o

1 2

 nexp ln   ln 2

i 0

where  2 

y

R

 (5.12.11)

i 1, , ndv * t

exp

 Fβ

R 1 exp y  Fβ*

nexp

(5.12.8)의 문제는 유전자

and R isdeterminantof

(genetic

algorithm) 15 이나

(DIRECT method)16과 같은 전역 최적화

결국

R

통하여 해를 얻는다.

통한

다음 식의

(best

linear unbiased estimator, BLUE)을 통해 구할 수 있다.

t y  f t  x β* r x R y1  F β * exp  T  where β  F R F *

조합에 대한 로 표현된 최적화 문제를 된다. 이러한

기반



1

1

F R

T

y1

(5.12.12)

exp

관계를

, 이 , 근사

원하는 성능을 가지는

얻을 수 있도록 한다.

15 16

Deb, K.,” A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm ”, IEEE TRANS. On Evolutionary Computation, Vol. 6, 2002 Bjorkman, M., Holmstrom, K., “ Global Optimization Using the DIRECT Algorithm in Matlab ”, AMO, Vol. 1, 1999

260

얻게

Load/Constraint

6. Load/Constraint

6.1 하중

midas NFX에서 사용할 수 있는 정적 하중은 크게 힘, 관성력, 변위 그리고 온도 에 의한

구분할 수 있으며 각각을

표 6.1.1

표 6.1.1과 같다.

midas NFX 에서 사용할 수 있는 하중

종류

적용 범위 절점

(nodal force) (pressure load)

2

차원 요소, 3 차원 요소

Bar 요소 하중

Bar 요소

중력 (gravity)

질량을 가지는 모든 요소

회전 관성력 (rotational force)


강제

절점

(specified displacement)

온도(열팽창) 하중 (temperature load)

절점, bar 요소, shell 요소

선행 하중 (preload)


•

가장

각 절점 별로 3개 성분의 힘과 3개 성분의

입력할 수 있으며, 그 방향은 임의의

대해 정의할 수 있다.

•

요소의 면(face)이나 변(edge)에 소 또는 3차원 요소에 사용 벡터 방향 그리고 는

예를

형태로

, 입력 방향은 임의

. 2 차원 요 축방향, 임의

. 그림 6.1.1은 여러 가지 요소에 작용하 있다.

261

Analysis Manual

그림 6.1.1 여러가지 요소에

•

중력

중력은

자중 또는

든 요소에 재하가 의의

•

모델링 하는데

질량을 가지는 모

. 위치에 따라 다른 크기의 중력을 받도록 하거나 임

대해 방향을 입력할 수 있다.

회전 관성력

회전

특정 축에 대해

경우, 각속도(angular velocity)

에 의한 원심력(centrifugal force)과 력을

(angular acceleration)에 의한 관성

.

,

ω α

G

r α

z

y

m

r

F

x

ω  (ω  r) 그림 6.1.2 회전 관성력의 정의와 작용하는 힘의 방향

262

Load/Constraint

그림 6.1.2와 같이 축 식으로

을

있는 절점의 회전

ω F  m (  ( )ω r) : 회전 각속도 벡터

ω

•

R

다음

.

r

:

α

: 회전

α

r

(6.1.1)

벡터

강제 변위

강제 변위는 특정 절점에 변위를 고 있을 때

절점의 변형 후 위치를 알

. 강제 변위는

로

변형을

있으나,

등

하는 문제의 자유도 전체를 유도와 나머지

uA

u   F

(6.1.2)

u



S



uF

: 강제 변위가

uS

: 강제 변위가 부여된 자유도

uS

않는다.

를

uS

않은 자유도

역시 다음과 같이

K AAuA

위 식에서

라 하고 이를 강제 변위가 부여된 자

다음과 같다.

uA

같은 원리로

때문에 하중으 유사한 특징이 있다.

K K   FF  K SFK

는 결정된

표현할 수 있다.

uFS

 F f      fA   S f   S

u SS

행렬

F

(6.1.3)

두 번째 행은 의미를 가지지

첫 번째 행을

다음과 같이 강제 변위에 의한

하중을 계산할 수 있다.

K FF u

F

f AKu

FS

S

(6.1.4)

263

Analysis Manual

•

온도 하중 차이 T 로 나타낼 수 있으며,

온도 하중은 Tm 에 의해

열팽창 계수에 의하여 변형률

ε

 α(Tm )T 를

.

한다. 온도를 정의하

각각 는 방법은 표 6.1.2와 같다.

표 6.1.2 구조물에 정의할 수 있는 온도의 종류

종류

적용 범위

기본 온도

온도가

절점 온도

절점

않은 모든 절점

bar, membrane, plane strain, shell 요소 온도

온도 구배 : bar, shell

표 6.1.2에 표시된 온도는 온도를

temperature)를

•

모두 사용될 수 있으며, 초기

않은

재료 성질에

있는

(reference

.

선행 하중

선행 하중은 요소가 해석 초기에 받게 되는 의 체결력(bolt load) 혹은 하중은 다른 하중과

이에

선행 하중의 크기를 P 라 하면, 이를 요소 내력

선행

. Ku   fint

fint

선행 하중을 받은 요소의 강성을

소에 선행 하중의 크기가

(initial stress) 으로

264

(6.1.5)

: 선행 하중 P 에 의한 요소 내력

이 때 볼트의

초기 힘/

. 선행

되며, 그 해석 절차는 다음과 같다.

예를 들어 bar 요소에 으로

, 볼트

초기힘/

, 인접 요

한다. 해석 결과는 일반 하중과 함께 해석에

재하된 선행

발생한

. 다른 일반 하중에

Load/Constraint

의한 응력과

, 선행 하중을 받은 요소의 강성을

소에 선행 하중의 크기가 정확히 요소 등의 초기

. Ku  f f

fint (σ )

:

않아 인접 요

않는다. 이 하중은 케이블 혹은 바

( )

int σ

(6.1.6)

의한 요소 내력

265

Analysis Manual

6.2

크게 단일 절점 구속(single-point constraint)과 다중 절점 구속

(multi-point constraint)이 있다. 단일 절점 것을 한 관계가

•

하나의 절점에

다중 절점

여러 개의 절점 자유도 간에 특정

것을

.

단일 절점 구속

단일 절점 구속은

하는 개별 절점의 자유도 성분을

해당

결과를 경우는 실제로 변위가 위하여

이 밖에도 해석에 을

고정

된다. 단일 절점 구속을 않는 지점에

안 되는

위하여 단일 절점 구속

한다. 이 방법은

히

대

것이다.

것과 같으며, 특

하는 방향을

것이

. 예를

들어 다음 그림과 같은 예제에 있어서 두 rod 요소가 만나는 절점은 로만 가지게 되므로 그 이외의 해석에 안 된다. 따 라서 그 이외의 방향을 적절히 데,

하는

그림과 같이 x-y

결정할 수 없다.

있다면 적절한 구속 방향을

요소의

로운 절점 변위 적절한

이에 수직인 벡터

, 설정이

n

방향을 구속해

수 있다. y n

ROD 2

ROD 1

그림 6.2.1 절점 변위

266

x

사용 예

n

을

새

해석에 필요한

Load/Constraint

•

다중 절점 구속

다중 절점 구속은 여러 개의 절점 자유도 간의 선형 건을

선형

구속조

형태는 다음과 같다.

R ju j  0 Rj

: 선형

uj

:

다중

(6.2.1)

계수 관계된 자유도

조건이 여러 개 있을 경우 다음과 같이 행렬 형태로 나타낼 수

있다.

R M uM



(6.2.2)

0

위와 같은 다중 절점

uM

유도(independent DOF)와

(dependent DOF)로 방법을

에

위 식을

u    I R, u D 

RMR



I

uD

와

D



.

로

(6.2.3)

(6.2.2)를 다음과 같이 표현할 수 있다. Ru I

주어진 식에서

. 먼저 다중 자유도 uI

다음과 같이

uM

을 주자

,

RD

I

R uD

D0



(6.2.4)

의

간의 관계식

을 다음과 같이 정리할 수 있다.

uD

이 식을

1  R R D uI

전체 모델로



IGu

I

(6.2.5)

uD

를

267

Analysis Manual

소거할 수 있다. 다중 절점 구속은 그 적용 범위가 매우 넓어서 다음과 같은 다양한 경우에 활용 할 수 있다. ► ►

두 절점 간의 상대적 운동을 힌지 또는

경우 경우

►

절점 당 자유도 개수가 서로 다른 요소 간의

►

하중을

►

절점에 할당된 변위

경우

하고자 할 때 않는

하는 경우

강체/보간

자유도 간의 구속은 다중 절점 구속의 한 종류에

, 실제로 강체/보간 요소에 의해 구속을

•

거동의

것보다 강체/보간 요소를

다중 절점

것이

.

자동 단일 절점 구속

midas NFX에서는 절점

특이성(단일 절점 특이성)을 자동

으로

적용해 주는

자동

단일

절점

(automatic single-point constraint) 기능이 있다. 이 기능을 단위로 변위 또는 회전에 대해 구성된 3x3 까운

구속 조건을

그림 6.2.1과 같이 rod 요소로

, 강성이 0에 가

. 모델에 대해서 자동 구속을

앞서 설명한 단일 자유도 구속을 으로의

자동

과 이에 수직인 벡터

n

을

구속

되면 절점

강성 성분이 없는

. 이 경우

, n

방향

요소의 축방향

절점 변위

정의해 두는 것이 중요

하다.

•

구속력 계산 적용된

되는데, 해가 구해진

경우 다음과 같이 단일 절점 구속 및 다중 절점 구속에 대한 수 있다. 단일 절점 구속력 한다.

268

fS

와 다중 절점 구속력

fM

는 다음

계산할

Load/Constraint

fint  f extf fS

f ext

: 외부 하중 벡터

f

: 내력 벡터 (

T

σ

(6.2.6)

d )



int

위 식을

B

M

( , I )와

성분( , D )으로

다중 절점 구속이 동일한

, 단일 절점 구속과

적용될 수 없다는 조건을

다음과

같이 정리할 수 있다.

 fint,I , fext I       fint,D , fext D

fM

I

fM

D

(6.2.7)

대한 구속력 f M , D 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

따라서

f M , D  int, f

또한

f  ,  S , I   0  ,

대한 구속력

D

fM , I

 f,ext D

(6.2.8)

는 (6.2.5)를

다음의 관계를 만족한

다. T

f M , I   G fM , D

이와 같이 다중 절점 fS , I

를

(6.2.9)

나면 (6.2.7) 로부터 단일 절점 구속력


269

Analysis Manual

6.3 열하중/

midas NFX 열전달 해석에 있어서 열 하중 및 온도

, 절점, 선 및 표면에

절점에 열속(heat flux), 대류(convection),

복사(radiation) 등을 사용할 수 있으며, 각각을

6.3.1은 midas NFX 열전달

표 6.3.1과 같다. 그림

고려할 수 있는

및

나

타낸다.

표 6.3.1 midas NFX에서 사용할 수 있는 열 하중 /

종류 절점

(prescribed nodal temperature)

(heat발열 generation)

절점 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소

1

열속 (heat flux)

절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소

대류 (convection)

절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소

파이프 냉각(pipe cooling) 복사 (radiation)

1 차원 요소 절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소

공동 (cavity 복사radiation)

270

적용 범위

2

차원 요소, 3 차원 요소

Load/Constraint

Flux

Convection

Pipe cooling

Cavity radiation Heat generated internally Radiation Insulated

Prescribed temperature 그림 6.3.1 열 하중 /

•

개념도

절점

모델에 일정한 알려진 온도를 와

위하여

강제 변위

.

부가된 절점의 온도

전체

소거

되며 하중 벡터에 영향을 준다.

•

발열

고체 을

•

열량을

위해

발열률 r

.

발열에 의한 효과를 얻을 수 있다.

열속

열속은

일률(power) 또는

,

대한

나타

271

Analysis Manual

낸다. midas NFX에서는 절점, 요소의 면(face)이나 변(edge)에 열속을 가할 수 있다. 절점에 열속을 여 면적이

경우,

(area factor) 값을 통하

. 변에 열속이 가해질

가해진 변의

.

면적이 •

또는

대류

midas NFX 에서는

(ambient temperature)와

차이에 의한 자

연대류(natural convection) 조건을 절점, 요소의 경계 면이나 변에 부가할 수 있 다.

의한

또는 열속은 다분히

, midas NFX에서

는 다음과 같은 두 가지 형태의 대류에 의한 열속

* q hT( )( T T )

q h T( )( T* T

: 표면 온도

TA

: 외기 온도

c

: 지수

h

: 표면

표면

.

 c 1

A

(6.3.1)

c T  ) A c

표면 온도 또는 외기 온도에 대한 함수로 표현

에 다. 변에 부가된 경우 가해진 변의 를

•

, 절점

통하여 면적이 결정된

면적이

또는

.

파이프 냉각

midas NFX에서는 1 차원 요소 내부를 흐르는 유체에 의한 냉각 효과를 하중으 로 부여할 수 있다. 유체는 1 차원 요소 원 요소와

여 다음과 같이

272

, 1차

. 여기서 축방향 전도에 의한 열전

달과 유체의 운동 및 포텐셜 총

일정

대류

무시될 수 있다. 유체의 온도는 유체와

대류에 의해서 구할 수 있다.

열량이 같다는 조건을 사용하

Load/Constraint

h Ap

s

2

Tw, o 

hA 

Ti To   

p

 2

s

  

,

(6.3.2)

 hp As   mcm    2



물의 유입량

m

:

cm

: 물의 비열

Tw,i , Tw, o

: 냉각수 유입 및 유출 온도

hp

: 관의 유슈

As

: 물과 접하는 관의 표면적

Ti , To

: 관의 표면 온도

•

mcmiwT

복사열

표면과 외기 온도 사이의 온도 차이가

경우에 복사에 의한

. midas NFX에서는 복사에 의한 열교환 조건을 부가할 수 있으며, 복사 에 의한

다음과 같이

.

q  F T( T4   

: Stephan-Boltzmann 상수



: 방사율 (emissivity)



: 흡수율 (absorptivity)

F

:

)

(6.3.3)

계수 (radiation view factor)

복사 열전달

•

4

A

관한 식임에

한다.

공동 복사

표면과 표면 사이 또는 여러

구성된 공동 내부의 복사

각의 표면들 사이에 연계된 복사

각

때문에 앞에서 소개된 다른 형태를 갖는다 공동 복사에 의한 i 번째 면에 다음과 같이

.

.

273

Analysis Manual

qi 

i

Ai 1

Cij 

FjkjTj iT ji C j



1

4



4



j

(6.3.4)

[(ij ( 1  i)  ij)]F (

nosummation )

Ai i

: i 면의 방사율

Fij

: j 면에 대한 i 면의

Ai

: i 면의 면적

 ij

:

델타 (kronecker delta)

dAi

i

ni

Rij

nj

j

dA j 그림 6.3.2 기하학적 형상과 복사형상계수

두 으로 다음과 같이

정도를

.

Fij 

위

 Ai A j

cos i cos  j  Rij 2

양 면의 두 점이 서로

렇지 않은 부분은

274

1 Ai

ji

dAdA

(6.3.5)

, 그 ,

제3의 물체에 의해 도달하

Load/Constraint

지 않을 경우(radiation

blockage)가 이에

(그림 6.3.3). 닫힌 공동

(enclosed cavity)의 경우 주어진 i 번째 면에 대한 나머지 모든 면의 수를 더했을 경우 1이 나오게 되며,

계산의

도움이 된다.

 Fij  1

(6.3.6)

j

열린 공동의 경우 위 식의 합계는 1보다 작게 되고, 이 경우 외기로 된다. midas NFX에서는 3차원 임의의 형상에 대해 계수를

기능이

.

Cavity

G

Blockage

Blocked from G 그림 6.3.3 복사 열전달이 차단되는 예

275

Analysis Manual

6.4 특이성 오류

특이성(singularity) 오류가 이는

유일한 해가

모델에 오류가 있음을

판단할 수 있는 단일 절점

전체 강성을

커니즘(mechanism) 형태의

구분할 수 있다.

•

않으며,

. 특이성 오류는 하나의 알아낼 수 있는 메

단일 절점

단일 절점

요소의 특성을

알지 못하고

생한다. 예를 들어 rod, membrane과 같이 특정 않는 요소를 우에

경우에 발 강성을 전혀 가지지

spring 요소의 강성 방향을 특정 . 이런 경우 해를

지정한 경

구하기

단일 절점 구속을

한다. 단일 절점 을

않고도

판단할 수 있기 때문에 6.2절의 자동 단일 절

점 구속 기능을

제거할 수 있다.

•

형태의

두 개 또는 그 이상의 절점이 서로

난다. 특히

설정된 경우에 흔히

u1

나타

.

u2

k

그림 6.4.1 구속조건이 없는 탄성 연결

예를 들어 위 그림과 같은 있다.

276

경우 평형

다음과 같이 표현할 수

Load/Constraint

 k k  u1  p1  k k  u   p    2   2

(6.4.1)

않으며 하중이 P1   P2 인

이 를 가지게 된다. 이 때 하는

0이

많은 해 있으며 이에 해당

변형 에너지 없이 변위가 경우

전혀

운동(rigid-body motion)에

모양에 않게 되면

6개의 0인

. 강체

가지게 되며 특이성

오류에 의해 유일한 해를 계산할 수 없다. 존재 여부는 강성 분해 과정 중

. 분해 과정 중 작은 크기의 강성을 강성을 과를

방법은

분해

0에 가까운 값이 되면

알아낼 수 있는데, 경우 실행을

계산을 계속 수행할 수 있다. 모델에 spring 요소를

것과 같은 결

.

277

Analysis Manual

6.5 하중의

재료의 에

(소성, 초탄성 등) 또는

경우가 많다. 이에

하중의

의한

비

선형 해석이 필요한 경우가 있다. 예를 들어 하중의 방향이 라

하중의 크기가

,

midas NFX에서는

변위에 따

거동에

비선형 해석을

.

경우 하중의 방향이 구조물

의 변위에 따라 바뀌는 종동력(follower load) 효과를 반영할 수 있다.

•

종동력

절점 하중(nodal force) 의 방향이 다른 두 점의

위치에 의해

경우, 그 크기와 방향은 다음과 같다.

f   Fn  F

j, k

: 하중 방향을



: 하중 성분 ( x, y, z )

f  를 x j 에 대해

( xk   x j ) xk

(6.5.1)

 xj

절점

다음과 같다.

 ( x  x)( x ) x f   F  k  j k  j  3  x j xk  x j 

이와 동일한

   xj  





xk

(6.5.2)

xk 에 대한 미분값 역시 계산할 수 있으며,

비대칭

. 이와 같이 하중의

성이(load stiffness)라 하며

의한 강성을 하중강

매우 강한 행렬이

것이 일반적

이다. 특정 면에 압력 방향 또한 바뀐다. 그림 6.5.1은

278

압력은 그 면의 방향이 면에

힘이

의해

Load/Constraint

경우와 방향이

있는 경우에 대한 대변형 효과를

Normal pressure

.

Pressure in specified direction

그림 6.5.1 대변형에 의한 압력 하중의 방향 변화

1은

압력에 의한 요소의 I’번째 절점의

 p (N,) J

압력 p(,)

같이

J

다음과 같다.

을

다음과

.

f

K

IJ

  p(, )

x  x I  (,)N    

(6.5.3)

d d

는 위 식을 절점 위치에 대해

K

강성을

I

IJ



f I f fI f I  x J  x1J  x2J


I

 

(6.5.4)

x3J 

각 열은 (6.5.3)에서 변위에 의해

x

의

구할 수 있다.

 x x x f I  p      x Jj   x jJ  

x 



   

이 밖에 bar 요소 하중, 중력, 회전 관성력 등이 하중에 대해 변위에 따라

x jJ

 I  N d d 

(6.5.5)

효과가 있으며, 각

영향을 고려할 것인지 여부를 선택할 수

있다. 표 6.5.1은 midas NFX에서 종동력 효과를 적용할 수 있는 하중의 종류를 1

Hibbit, H.D., “ Some follower forces and load stiffness ”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 4, 1979

279

Analysis Manual

설명한 것이다.

표 6.5.1

midas NFX 에서 종동력의 효과를 고려할 수 있는 하중

적용 범위 /방법

종류 두

방향을 정의한 경우, 이용 하중의 경우, 이용

Bar 요소 하중

방향을 ECS

정의한 경우,

이용 중력 회전 관성력

280

않음 이용

midas NFX

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Midas NFX Analysis Manual

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