MICROECONOMIA II

Micro Mic roeco econom nom´ ´ ıa I I

Alexander Galetovic

1

Esta versi´ on: semestre primavera 2002 on:

1

Este apunte fue preparado en colaboración on con Pamela Arellano.

´ Indice General 1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on a la teor´ıa de juegos

7

1.1 Introd Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 1.2

1.3 1.3

1.1.1

¿Qué es un juego? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Formas de representar un juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Jugadores racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Jueg Juegos os est´ est´ atic ticos con inform ormación completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1

Estrategias dominadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3

Estrategias mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4

Existencia de un equilibrio de Nash

1.2.5

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Jueg Juegos os din´ din´ amicos amicos con informaci´ informaci´ on completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 1.3 .1

1.4 1.4

7

Juegos Juegos con inform informaci´ aci´ on perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1.1

Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1.2

Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2

Juegos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.3 1.3.3

Info Inform rmac aci´ i´ on imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.4

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Jueg Juegos os est´ est´ atic a ticos os con con inf informa ormaci ci´ón o n inco incomp mple leta ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.1

Un juego particular

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4.2

Juegos bayesiano anos en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.4.3 1.4 .3

El prin princip cipio io de de la revelac revelaci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

54

1.4.4

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Intr Introdu oducc cci´ i´ on on a la econom´ econom´ıa de la informaci´ on

60

2.1 Introd Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2 2.2

Sele Selecc cci´ i´ on on adversa, se˜ nales y filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.1 2.2.1

Sele Selecc cci´ i´ on adversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1.1

2.2.2

2.3

2.2.1.2

Equilibrio compet petitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ´ ptimo de Pareto restringido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 O

2.2.1.3 2.2.1.3

Una aprox aproximac imaci´ i´ on o n desde esde la teor teor´´ıa de juego uegoss . . . . . . . . . . . . . . 69

Se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2.2.1 2.2.2.1

Equilib Equilibrio rio de separa separaci´ ci´ o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.2.2.2 2.2.2.2

Equilib Equilibrio rio de confus confusi´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2.2.3 2.2.2.3

Multipl Multiplici icidad dad de de equilib equilibrio rioss y creenc creencias ias razonables . . . . . . . . . . 78

2.2.3

Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2.4

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Moral hazard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3. 2.3.11

2.3.2 2.3.2

2.3.3 2.3.3

2.3.4

Agen gentete-prin princcipal ipal:: ac acci cion ones es no verifi erifica cabl bles es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3.1.1

Esfuerzo observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.3.1.2

Esfuerzo no observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.3.1.3

Gerente neutral al riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Info Inform rmac aci´ i´ on privada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.3. 2.3.2. 2.11

Caso Caso 1: θ observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.3. 2.3.2. 2.22

Caso Caso 2. θ no observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Un agen agente te con con m´ ultiples principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 03 2.3.3.1

El mo delo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11004

2.3.3.2

Esfuerzo observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 105

2.3.3 2.3.3.3 .3

Esfu Esfuer erzo zo no obse observ rvab able le con con prin princi cipa pale less col colud udid idos os . . . . . . . . . . . 105

2.3.3.4 2.3.3.4

Los princi principal pales es act´ uan separadamente . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 110

´ Indice de Figuras 1.1

Entrar o no entrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 1.2

Un jueg juegoo din´ din´ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 1.3

Otro Otro jueg juegoo din´ din´ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4

Forma extens extensiv iva a del juego de negociaci´ negociaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Demost Demostrac raci´ i´ on on de la proposición 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6

Simplex de pagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 1.7

Equil quilib ibri rios os perf perfeectos ctos en subj subjue uego goss de de un un jueg juego o rrep epet etid idoo

. . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8 Conjun Conjunto to de de Info Informa rmaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.9 Subjuegos Subjuegos de un juego juego con inform informaci´ aci´ on imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.10 Juego con inform informaci´ aci´ on imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1

El mercado de autos usados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2 2.2

Equi Equilib libri rioo uńico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3 2.3 2.4

Equi Equilib libri rios os m´ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ´ ptimo so cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 O

2.5

Mu´ltiples equilibrios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.6

Single crossing property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.7 2.7

El jueg juegoo de de las las se˜ nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8

Salarios y creencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.9 2.9

Funci unci´ oń de salarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.10 2.10 M´ ultiples ultiples equilibrios equilibrios de separaci´ separaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.11 Equilibrio Equilibrio de confusi´ confusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.12 Refinamien ientos del concepto de equili ilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.13 Mo delo sin seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3

2.14 Una l´ınea de quiebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.15 L´ıneas de quiebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.16 Inexistenc Inexistencia ia del equilibrio equilibrio de confusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.17 Equilibrio Equilibrio de separaci´ separaci´ o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.18 Inexistencia del equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.19 Relaci´ Relaci´ on on entre la razón de verosimilit litud y el salar lario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.20 Soluci´ Soluci´ o n del problema del principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 on

´ Indice de Ejemplos 1

El esca escala lado dorr de la mo mon nta˜ na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2

El ag agri ricu cult ltor or y cu´ cuánta a ntass hect hect´área a reass de toma tomate tess plan planta tarr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3

El multicarrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4

El dilema de los prisioneros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5

La batalla de los sexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6

Polic´ıas y ladrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7

Entrar o no entrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8

¿Adoptar o no? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

9


10

Una Una lici licita taci ci´ on o´ n de sobre cerrado, ado, segundo precio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11

(Con (Contin tinua uaci ci´ on oń del eje ejemplo mplo sobr sobree el el dil dilem emaa de de los los pris prisio ione nerros) os) . . . . . . . . . . . . . . . 14

12

Considerar el juego: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

13

Juego Juego en que que el equilib equilibrio rio depend dependee del orden orden de de elimina eliminaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 15

14

Oligopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Equilibrio de Nash en estrategias mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

16

El juego de entrar o no entrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

17

Un juego uego din´ din´ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

18

Otro Otro jueg juegoo din´ din´ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

19

Negoc Ne gocia iaci ci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

20


21

Ana´lis lisis para el dilema de los prisi isioneros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

22

Juegos estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

23

Subjuego Subjuegoss en en un un jueg juegoo con con inform informaci aci´ oń imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

24

Un jueg juegoo con con info inform rmac aci´ i´ on imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5

16

´ INDICE DE EJEMPLOS

6

25

Un remate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

26

Una Una lici licita taci ci´ on o´ n de sobre cerrado, ado, primer precio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

27

Monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

28

Tesis de Daniel Ho jm jman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

29

El mercado de autos usados.

30

Dos principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Cap´ıtulo 1

Intro Introdu ducc cci´ i´ on on a la teor teor´ ´ıa de jueg juegos os 1.1

Introducci´ on on

¿Qu´ ¿Q ué es teor´ıa ıa de juegos juego s ? Ha Hay y much muchas as definicio definiciones nes posibles posibles,, pero tal vez la mejor mejor es la que dice dice que la teor´ıa ıa de juegos es el estudio de las decisiones interdependientes. interdependientes. ¿Qu´ ¿Q ué son so n decisiones interdependientes interdependientes?? Tres ejemplos: Ejemplo 1: El escalador de la monta˜ na na Quien escala una monta˜ na se enfrenta a un medio ambiente pasivo, es decir, a un medio ambiente na que no se a justa a las acciones del escalador. El problema que éste este resuelve (¿qué ruta seleccionar para llegar a la cima?) puede incorporar incorporar incertidumbr incertidumbre, e, pero p ero esta incertidumbre incertidumbre es ex´ ogena . Hay s´ olo una decisi´ on optima ´ . Ejemplo 2: El agricultor y cu´ antas antas hect´ areas areas de tomates tomate s plantar p lantar El agricultor toma el precio de los tomates (o su proceso estoc´ astico) astico) y decide cuánto anto planta plantar. r. Si agregamos las decisiones de todos los agricultores que plantan tomates, éstas, estas, junto con la demanda por tomates, determinan determinan su precio. precio. Sin embargo, embargo, las decisiones decisiones de cada agricultor particular particular no afectan las del resto. Por esto se dice que cada agricultor toma precios. 1. Dado el precio, hay s´ olo olo una decisi´ on on optima. o´ptima. 2. Cada agricultor necesita saber s´ olo olo el precio precio;; no necesi necesita ta conocer conocer los costos costos,, prefer preferenc encias, ias, costos de producción, on, etc. del resto de los productores, ni las preferencias de los consumidores. En este caso estamos frente a un problema en que la incertidumbre es end´ ogena a nivel de mercado y ex´ ogena para el agricultor . Ejemplo 3: El multicarrier Consideremos el problema de Entel. Una de sus variables de decisi´ on on es qu´ e precios cobrar por las llamadas. 7

CAP ´ ITULO ITULO 1. 1.

´ INTRO INTRODUC DUCCI CI ON A LA TEOR´ IA DE JUEGOS

8

1. ¿Qu´ ¿Qué tan altas son las utilida utilidades des de Entel Entel si cobra cobra a $250 $250/min /minuto uto a Estado Estadoss Unidos Unidos?? La respuesta dependerá de cuánto anto cobren VTR, Bell South, CTC, CT C, etc. Notar que, en general, no hay un curso de acción on independiente de qu´ e hacer para cada uno de los competidores de Entel. Esto difiere del ejemplo 1 en que all a ll´´ı s´ı habr´ habr´ıa un curso de acci´ on on optimo. o´ptimo. Difiere del ejemplo 2 en que la acción on optima o´ptima de Entel depende de lo que haga cada uno de sus competidores. 2. Esto ultimo u ´ ltimo implica que la decisi´ on que tome Entel dependerá de lo que Entel espere que on haga cada uno de sus competidores. En este sentido, las decisiones de Entel dependen de las decisiones de cada uno de sus competidores. 3. Pero Pero tambi´ tambi´ en en ocurre que Entel Entel reconoce reconoce que lo que decidan sus competidores competidores depende de lo que ellos ellos esperan esperan sobre sobre las acciones acciones que tome Entel. Entel. M´ as a s a´ un, los competidores reconocen un, que Entel decidirá en base a lo que espera espera que cada uno haga. haga. De ah´ ah´ı que se diga que la teor´ıa ıa de d e juegos jueg os estudia es tudia decisiones decisio nes interdependientes. interdependientes . Entonces, las decisiones son interdependientes cuando: 1. El pago de quien decide depende depende de las decisiones decisiones de cada uno del resto de los jugadores (no del conjunto). 2. Los jugadores jugadores est´ est´ an conscientes de esta dependencia y actúan an uan en consecuencia . La teor´ teor´ıa de juegos reconoce reconoce 1. y nos da las herramien herramientas tas para modelar 2. Supone que actuar en consecuencia significa actuar racionalmente. Racionalidad significa: 1. Preferenci Preferencias as del tipo VNM. 2. Conjeturas Conjeturas sobre lo que el resto de los jugadores jugadores va a hacer son consistentes consistentes entre s´ı ı . 1.1.1

¿Qu´ e es un juego?

Un juego es una representaci´ on formal de una situaci´ on en que las decisiones son interdependientes. on Es importante recordar esto: 1. Es una representaci´ on , no es la situaci´ on on misma. 2. Es formal , es decir, aqu´ aqu´ı tratamos t ratamos con objetos matem´ aticos que van a ser manipulados con aticos reglas precisas. Luego, hay que distinguir entre el aparato formal y la situación on que se está modelando. Para representar formalmente una situaci´ on debemos conocer cuatro cosas: on 1. Los jugadores. jugadores.



9

2. Las reglas del juego: juego : en mueve y cuándo. ando. • Quién sa ben los jugadores jugador es cuando c uando mueven. • Qué saben • Qué pueden pu eden hacer cada vez que les corresponde corresp onde mover (qué acciones a cciones están an disponibles). 3. Los resultados posibles del juego para cada combinaci´ on on posible de acciones. 4. Las preferencias de los jugadores sobre cada posible resultado del juego. En este curso siempre supondremos que las preferencias son del tipo VNM (racionales). 1.1.2 1.1.2

Formas ormas de represen representar tar un un juego juego

Las dos formas m´ as as usadas para representar un juego son la forma normal y la forma extensiva . Ahora bien, todo juego puede representarse de una u otra forma. Sin embargo, los juegos est´ aticos (juegos en que cada jugador mueve mueve sin conocer qu´ e jug´ o el resto de los participantes) suelen representarse en forma normal y los juegos din´ amicos en forma extensiva. Como es más as natural ordenar esta secci´ on on del curso seg´ un un si los juegos son estáticos aticos o din´ amicos, comenzaremos con los juegos amicos, estáticos. aticos. 1.1.3 1.1.3

Jugad Jugadore oress rac racion ionale aless

No podemos especificar un juego sin señalar nalar qué sabe sab e cada jugador cuando le corresponde mover. mover. Dependiendo de cada situaci´ on on espec´ espec´ıfica, un jugador jugador puede saber m´ as as o menos. menos. Sin embar embargo, go, supondremos que un jugador siempre: siempre : 1. Conoce el juego (en otras palabras, conoce 1. a 4. de la secci´ on on 1.1.1). 2. Sabe que el resto resto de los jugado jugadores res conoce el juego juego y que él el sabe que ellos saben, saben, y as´ as´ı, sucesivamente. 1. y 2. son de conocimiento conocimiento com´ un . Notar que esto implica que la racionalidad de los jugadores es de conocimiento com´ un. un. La pregunta pregunta central es, entonces entonces,, ¿qu´ ¿qué resultado resultado podemos esperar si el juego y la racionalidad racionalidad de los jugadores es de conocimiento com´ un? un?


1.1.4 1.1.4


Algun Algunos os ejem ejempl plos os

Ejemplo 4: El dilema de los prisioneros c

n 10

20 C 140

20 140

100

N 10

100

Ejemplo 5: La batalla de los sexos Jugador 2 f b 2 0 F Jugador 1

0

1 0

1

B 0

2

Ejemplo Ejemp lo 6: Polic´ Polic´ıas y ladrones ladro nes Ladrones z1

z2 -1

1

Z 1 Polic´ıas

1

-1 2

-1

Z 2 -1

1

Este es un juego de conflicto puro o juego estrictamente competitivo. competitivo.

10



11

Ejemplo 7: Entrar o no entrar

2 n

e

    1

20 0

G

A

0 −10

10 10

Figura 1.1: Entrar o no entrar

Ejemplo 8: ¿Adoptar o no?

Jugador 2 a n 3 0 A 3

Jugador 1

0 1

0 N 0

1

En este juego no hay conflicto de intereses, pero s´ı un problema de coordinaci´ on. on.

1.2

Juegos est´ est´ aticos aticos con con informaci´ informaci´ on on completa

En esta sección on estudi estudiare aremos mos juegos juegos con las siguie siguient ntes es reglas reglas.. Primer Primero, o, los jugadores jugadores eligen eligen simult´ aneamente acciones. Segundo, los jugadores reciben pagos que dependen de la combinaci´ aneamente combinaci´ on on de acciones resultante (tambi´ en en se conocen por juegos ju egos estrat es trat´ égicos eg icos ). A estos juegos se les conoce por est´ aticos, aticos, porque ning´ un un jugador sabe qué combinaci c ombinaci´ on oń de acciones eligi´ o cada cada uno de los restant restantes es jugadore jugadores; s; no hay tiempo para reaccion reaccionar. ar. El dilema de los prisioneros es un juego estático. atico.



12

Definici´ on on 1 Un juego estático atico consiste en: 1. Un conjunto conjunto finito N de jugadores 2. Un conjunto conjunto Ai de acciones posibles, para todo jugador i 3. Una funci´ funci´ on de pago VNM ui :

N

XAi

i=1

∈ N

→ IR, para cada jugador i ∈ N tal que:

Eui (x) =

   

ui (x)dF ( dF (x)

X

x∈X

Denotamos el juego en forma normal por:

π(x)ui (x)

J = N, (Ai ), (ui )





Observaci´ on on 1 : Notar que, para toda combinaci´ on posible de acciones: a

N ∈ A ≡ i=1 XAi

ui nos dice el nivel de utilidad que de ella obtiene cada jugador. Observaci´ on on 2 : Se supone supone que que N, (Ai ), (ui ) es de conocimiento com´ un . En particu particular lar,, i, es conocimiento com´ un que el jugador j ordena los posibles resultados seg´ un un u j . Es por esto que se dice que el juego es de inform inf ormaci´ ación on completa compl eta .





∀

Ejemplo 9: El dilema de los prisioneros 1. N = 1, 2

{ } 2. A1 = {C, N }, A2 = {c, n} 3. A = A1 × A2 = {(C, c), (N, n), (C, n), (N, c)} 4. u1 : A → IR, por ejemplo: u1 (C, n) = 10 u2 : A → IR, por ejemplo: u2 (C, n) = 140 Cuando hay dos jugadores, el juego se representa en forma gráfica afica con la tradicional matriz: c

n 10

20 C 140

20 140

100

N 10

100


1.2.1 1.2.1


13

Estrateg Estrategias ias dominad dominadas as

Nota: A partir de ahora hablaremos indistintamente de acci´ on y estrategia ; adem´ as, as, elegir una acci´ on on con probabilidad uno tambi´ en en se conoce con el nombre de estrategia pura . En el dilema de los prisioneros la estrategia N es dominada por la estrategia C ; no importa impo rta qué haga el otro jugador, lo conveniente para uno es confesar. Una manera de resolver el juego (predecir qué sucede suc eder´ rá si se juega) es eliminar las estrategias dominadas, puesto que un jugador racional no deber´ıa ıa jugar ju gar estrategias estrat egias dominadas. domina das. Definici´ on on 2 La estrategia ai

∈ Ai es dominada estrictamente por ai ∈ Ai si, ∀ a−i ∈ jX=Ai j : ui (ai , a−i ) < ui (ai , a−i )

Es dominada domina da débilmente ebilmen te si,

∀ a−i ∈ jX=Ai j :

≤ ui(ai , a−i), con desigualdad estricta para al menos un a−i ∈ XA j j  =i ui (ai , a−i )

Ejemplo 10: Una licitaci´ on de sobre cerrado, segundo precio on Considere la siguiente licitaci´ on on en la que participan N empresas. empresas. Se vende vende un ob jeto (por ejemplo, una m´ aquina) que las empresas valoran en v1 > v2 > . . . > vN . Gana aquina) Gana la licitaci licitaci´ on oń quien declara valorar m´ as el bien, pero paga la segunda valoración as on m´ as alta. Si hay empate, el bien se asigna al as de menor men or sub´ındice ınd ice.. Proposici´ on on 1 Para cada empresa, decir la verdad es una estrategia estrategia d´ ebilmente ebilmente dominante. Demostraci´ on: on: Para cada participante i N , su estrategia consiste en elegir una postura ai [0, [0, ). La proposición on dice que i N , N , ai = vi es una estrategia d´ ebilmente ebilmente dominante, es decir a−i ai Ai , ai = vi : XA j y

∀

∞

∈ j=i

∀ ∈



∀ ∈

∈

∈

ui (vi , a−i )

≥ ui(ai, a−i) con desigualdad estricta para al menos alg´ un un a−i ∈ XA j . j  =i 1. Sea ri

decir, ri es la m´ axima postura del resto de las empresas). axima ≡ max a−i (Es decir,

2. Suponer que que el jugador jugador i elige una postura ai > vi . (a) Si ri vi , entonces i gana y obtiene un excedente vi hubiese obtenido si hubiera seleccionado vi .

≤

− ri ≥ 0, que es lo mismo que

(b) Si ri > ai , i no gana y su excedente es 0, lo cual es igual que si hubiese elegido una postura ai = vi .



14

E vi

ai

ri ai

(c) Si ai ri > vi , i gana y su excedente es vi ser´ se r´ıa ıa 0.

≥

− ri < 0. Con la postura ai = vi su excedente

Por lo tanto, vi domina dom ina débilme ebi lmente nte a ai > vi . 3. Suponer que que el jugador jugador i elige una postura ai < vi . (a) Si ri ai , entonces i gana y obtiene un excedente vi hubiese obtenido si hubiera seleccionado ai = vi .

≤

− ri ≥ 0, que es lo mismo que

(b) Si ri > vi , i obtiene excedente 0, lo cual es igual que si hubiese elegido una postura ai = vi . (c) Si vi > ri > ai , el excedente es 0. Con la postura ai = vi su excedente exce dente ser´ıa ıa vi

− ri.

E ai

ai

ri vi

Por lo tanto, vi domina dom ina débilme ebi lmente nte a ai < vi . Observaci´ on on 3 : No hemos hecho hecho supuesto supuesto alguno sobre qu´ e es lo que sabe cada licitante sobre la valoraci´ on del resto. Tampoco sobre racionalidad. on Ejemplo 11: (Continuaci´ on del ejemplo sobre el dilema de los prisioneros) on Este juego se puede resolver sólo olo con eliminar las estrategias dominadas. c

n 20

10

C 20

140 140

100

N 10

100

Nuev Nuevame ament nte, e, no hemos hemos hecho hecho supues supuesto to alguno alguno sobre sobre lo que cada jugador jugador sabe del otro. otro. ¿Es eso caracter´ caracter´ıstica de todo juego que se puede resolver eliminando estrategias d´ ebilmente ebilmente dominadas? domi nadas? Esto es sólo olo as´ as´ı si el juego se puede resolver en una ronda de eliminaci´ eliminaci´ on. on.



15

Ejemplo 12: Considerar el juego: Jugador 2 a b 5

6

A Jugador 1

5

3 3

-1000

B 4

2

El supuesto clave en este juego es que el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional y esto lo lleva a eliminar a. Pero, ¿es esto razonable? Observaci´ on on 4 : ¿Qu´ ¿Qué podemos esperar si resolvemos resolvemos juegos eliminando estrategias dominadas sucesivamente? 1. Toda estrategia estrictamente dominada domi nada será eliminada, dado que anteriormente otros jugadores han eliminado eliminado sus estrategias dominadas. dominadas. En este caso, el resultado resultado no cambia con el orden de la eliminación. on. 2. El resultado resultado puede depender del orden de eliminaci´ eliminacion oń si se eliminan estrategias débilmente ebilmente dominadas. Ejemplo 13: Juego en que el equilibrio depende del orden de eliminaci´ on En este juego, el equilibrio equilibrio resultante resultante depende depende del orden en que se eliminan eliminan las estrategias estrategias débilebilmente dominadas: a

b 4

c 2

4

A 3

3 4

3 2

4

B 0

2 4

4 0

6

C 2

0

4

¿Qu´ e pasa si, despu´ es es de eliminar el iminar todo lo eliminable, resulta un conjunto de estrategias en las que nada domina a nada?: Equilibrio de Nash.


1.2.2 1.2.2


16

Equil Equilibr ibrio io de Nash Nash

En la may mayor or´´ıa de los casos, un juego no puede resolverse resolverse eliminando eliminando estrategias estrategias dominadas. dominadas. (Resolver significa que el método etodo entrega una predicci´ on, on, posiblemente unica, u ´ nica, sobre cómo omo se jugará o se debe jugar el juego en cuestión). on). El concepto concepto central central de equilibrio equilibrio de la teor´ teor´ıa de juegos juegos (y de toda la teor´ teor´ıa microecon´ microecon´ omica), el equilibrio de Nash , sugiere un algoritmo para elegir combinaciones de estrategias. Un equilibrio es una situación on tal que ninguno de los jugadores quiere cambiar su decisión on dada la combinaci´ on de estrategias del resto de los jugadores. on Definici´ on on 3 Un equilibrio de Nash del juego J = N, (Ai ), (ui ) , es una combinaci´ on de estrate∗ gias a A tal que, i N

∈



∀ ∈

∗ ui (a∗i , a− i)



≥ ui(ai, a−∗ i) ∀ ai ∈ Ai

Ejemplo 14: Oligopolio Suponga un oligopolio en que las empresas deben decidir entre utilizar precios altos, altos, bajos o de guerra . a

b 10

g 14

0

A 10

-5 -5

-10 0

5

B 14

-5

5 -10

0

-5

G 0

0

0

En este juego hay dos equilibrios de Nash. Observaci´ on on 5 : Algunas caracter´ısticas ısticas del equilibrio de Nash: 1. No es equilibrio de Nash, en el ejemplo, la combinaci´ on de estrategias que maximiza las on ´ utilidades conjuntas. (Un equilibrio de Nash no es, necesariamente, Pareto-Optimo). 2. Un equilibrio equilibrio de Nash no requiere de un agente agente externo para sostenerse sostenerse ya que los incentivo incentivoss son tales que no convie conviene ne salirse. salirse. Esta Esta propie propiedad dad sugiere sugiere que el concep concepto to de equilibri equilibrioo de Nash es util u ´ til para dise˜ nar un mecanismo de incentivos debido a que propone c´ nar omo omo usar el inter´ es es personal para lograr lo grar determinados resultados sin usar la coerci´ on on para inducirlos. 3. ¿Es una predicción on razonable razonable del resultado del juego? La definici´ definicion oń no nos dice nada sobre cómo omo se llega a que todos los jugadores jueguen un equilibrio de Nash.



17

(a) Una interpr interpretaci´ etaci´ on sugiere que el equilibrio de Nash es el resultado de la experimentación on on en el tiempo. Cuando los jugadores jugadores se dan cuenta que la experimentaci´ experimentaci´ on no les lleva a mejorar su pago, el comportamiento se perpet´ ua. ua. Notar que no deben haber v´ınculos estratégicos egicos intertempora intertem porales. les. (b) Una segunda interpretac interpretaci´ i´ on es que un equilibrio de Nash corresponde a lo que jugarán on an jugadores racionales que conocen el juego y cuya racionalidad es conocimiento com´ un Probablemente, (3a) es m´ as as razonable si lo que se pretende de la teor´ teor´ıa de juegos es un modelo para analizar el comportamiento econ´ omico. omico. 4. No todos los juegos juegos tienen equilibrios equilibrios de Nash en estrategias estrategias puras: recordar recordar el juego pol polic´ıas y ladrones: ladrones : Esto nos lleva a las estrategias mixtas. mixtas. 1.2.3 1.2.3

Estra Estrateg tegia iass mixta mixtass

En el juego polic´ıas ıas y ladrones lad rones no existe un equilibrio en estrategias puras debido a que el comportamiento sistem´ atico de uno de los jugadores ser´ıa ıa explotado por el otro. Lo natural en estos casos es que el comportamiento de cada jugador sea aleatorio, o equivalentemente, que elija m´ as as de una estrategia pura con probabilidad positiva, es decir, que elija una estrategia mixta . Definici´ on on 4 Una estrategia mixta σ i es una distribuci´ on de probabilidades probabilidades sobre estrategias estrategias puras. Denotamos por σi (ai ) la probabilidad que σi le asigna a la estrategia pura ai Observaci´ on on 6 : Propiedades de las estrategias mixtas. 1. Si el set de estrategias estrategias puras del jugador jugador i es Ai , el set de estrategias mixtas de i es el simplex de dimensi´ dimensi´ on on ni 1, donde ni es el n´ umero de estrategias puras. umero

− N 2. Denotamos Denotamos por (Ai ) el set de todas las estrategias mixtas de i. (A) = X(Ai ) es el espacio i=1 de estrategias mixtas de J ; si σ es un elemento de (A), entonces σi (ai ) es la probabilidad que aparezca la acción on ai de i, dado que se escogió σ como combinaci´ on on de estrategias.

3. El pago del i-ésimo esimo jugador, si se juega la combinaci´ on de estrategias σ es:

     N

σ j (a j )

a∈A

j=1 j =1

    ≡  N

ui (a1 , a2 , . . . , aN )

σ j (a j )

a∈A

j=1 j =1

Donde: ui (a): utilidad que le reporta al jugador i el que se juegue a

ui (a)



18

σ j (a j ): probabilidad que se juegue a j

∈ A j N σ j (a j ): probabilidad que se juegue a ∈ A



j=1 j =1

4. La forma del pago de cada jugador implica implica que las preferencias preferencias de cada uno son VNM, y que sus estrategias mixtas son independientes entre s´ı. 5. Las definiciones definiciones sobre estrategias estrategias dominadas dominadas y equilibrio equilibrio de Nash se extienden extienden directament directamentee al caso de estrategias mixtas. ¿C´ omo omo encontrar encontrar un equilibrio equilibrio de Nash en estrategias mixtas? Haremos Haremos uso de la siguiente siguiente propiepropiedad: Propiedad: Propiedad: En un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, a cada jugador le es indiferente qué estrategia pura juega entre aquellas que, según un su estrategia mixta, juega con probabilidad positiva. Ejemplo 15: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas La siguiente matriz describe el juego polic´ıas ıas y ladrones lad rones presentado anteriormente. Ladrones z1

z2 -1

1

Z 1 Polic´ıas

1

-1 2

-1

Z 2 -1

1

Aplican Aplicando do la propie propiedad dad anter anterior ior a este este juego juego se tiene tiene que, que, en equilib equilibrio rio,, a los polic´ polic´ıas les ser´ sera´ indiferente en qué zona patrullar si el pago esperado es el mismo: l(1) + (1

− l)(−1) = l(−1) + (1 − l)(1)

Donde l es la probabilidad que los ladrones operen en la zona 1. l

−1+l 2l − 1

= =

−l + 1 − l 1 − 2l

4l = 2 1 l = 2

Notar que para que a los l os polic p olic´´ıas les sea indiferente en qu´ e zona patrullar, los ladrones deben deb en operar op erar 1 en la zona 1 con probabilidad 2 .



19

A los ladrones les será indiferen indiferente te en qu´ e zona robar si la probabilidad probabilidad p con que los polic´ polic´ıas patrullan la zona 1 es tal que:

p( p( 1) + (1 p) p)(2) = p(1) + (1 p)( p)( 1)

−

−

− p + 2 − 2 p 2 − 3 p

= p + p = 2 p

3 = 5 p 3 p = 5

−1

− −

−1

Notar que los polic´ polic´ıas patrullan m´ as as en la zona zona 1 porque porque los ladrones ladrones prefiere prefieren n robar robar all´ all´ı. Su estrategia mixta de equilibrio queda determinada por las preferencias de los ladrones, no por su propia indiferencia. Lo mismo ocurre para los ladrones. Cr´ Cr´ıticas ıtica s al concepto concept o de estrategia mixta : 1. Si en el equilibrio los jugadores jugadores est´ an an indiferentes i ndiferentes respecto a qu´ e estrategia pura jugar, ¿por qu´ qué habr ha br´án an de hacerlo justo con la frecuencia requerida por la estrategia mixta de equilibrio? Sin embargo, embar go, ésta esta no es una cr´ cr´ıtica condenatoria condena toria debido a que casi c asi cualquier cua lquier modelo mode lo econ´ eco n´ omico utiliza una condici´ on similar para poder ser resuelto y, dado que hemos supuesto funciones on de utilidad del tipo VNM, las condiciones de indiferencia son v´ alidas. alidas. 2. Cambios marginales en la estrategia mixta de un un jugador llevan llevan a cambios dr´ drasticos ´ en el comportamiento portamiento del otro jugador. Esta discontinu discontinuidad idad es realmente realmente la que no gusta. (Harsany (Harsanyii (1973) propuso soluciones a las cr´ cr´ıticas 1. y 2.). 1.2.4 1.2.4

Exist Existenc encia ia de un equil equilib ibrio rio de Nash Nash

Vimos que el juego de polic´ıas ıas y ladrones lad rones no tiene equilibrio de Nash en estrategias puras, pero s´ı lo tiene en estrategias estrategias mixtas. mixtas. Esto no es casual, pues todo juego cuyo cuyo espacio espacio de acciones acciones es finito tiene, al menos, un equilibrio de Nash en estrategias puras o uno en estrategias mixtas (la suficiencia depende del supuesto que la función on de utilidad de cada jugador es del tipo VNM). ¿Por qu´ e nos preocupa preo cupa la existencia del equilibrio? Si existe, el juego es consistente con la existencia de una solución on estable en el largo plazo.


1.2.5 1.2.5


20

Ejerc Ejercici icios os

Ejercic Ejercicio io 1: Construya un ejemplo donde el equilibrio dependa del orden en que se eliminan estrategias débilmente ebilmente dominadas. Ejercic Ejercicio io 2: ¿Cu´ al al es la diferencia entre teor teo r´ıa de juegos. jueg os.

N

N (Ai ) y ( XAi )? Explique la relevancia desde el punto de vista de  i=1 i=1 X

Ejercic Ejercicio io 3: Determine Determine si las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones son verdaderas verdaderas o falsas. falsas. Si una aseveraci aseveraci´ on oń es verdadera, demuéstrela; estrela ; si es falsa, dé un contraejemplo. contraeje mplo. 1. Sean σi y σi∗ dos estrategias mixtas del jugador i. Suponga Suponga que para para cualquie cualquierr vector vector de ∗ estrategias puras a−i A−i del resto de los jugadores, ui (σi , a−i ) > ui (σi , a−i ). Entonc Entonces, es, ∗ para cada vector de estrategias mixtas σ−i A−i se cumple que ui (σi , σ−i ) > ui (σi , σ−i ).

∈

∈

2. Sea a∗i Ai es una estrategia pura del jugador i. Suponga Suponga que ninguna ninguna estrat estrategi egia a pura ∗ ai Ai domina domina estrictamen estrictamente te a ai . Entonces Entonces,, ninguna ninguna estrategia mixta σi (Ai ) domina ∗ estrictamente a ai .

∈

∈

∈

3. Si una estrategia mixta σi∗ domina estrictamente a la estrategia pura ai , entonces cualquier estrategia estrategia mixta del jugador jugador i que asigne una probabilidad positiva a la estrategia pura ai es estrictamente dominada por σi∗ . Ejercic Ejercicio io 4: ¿C´ omo es posible que haya m´ omo as de un equilibrio en estrategias mixtas? as Ejercic Ejercicio io 5: Demuestre que: 1. Si un juego se puede resolver resolver por eliminaci´ on de estrategias dominadas, entonces la solución on on obtenida por esta v´ıa es un equilibrio de Nash. 2. Si un juego se puede resolver resolver eliminado estrategias estrategias estrictamen estrictamente te dominadas, entonces, entonces, esta soluci´ on o n es el unico u ´ nico equilibrio de Nash. Ejercic Ejercicio io 6: Para el juego dilema de los prisioneros, prisioneros, encuentre en equilibrio en estrategias mixtas. ¿Qu´ e opini´ on on le merece? Dé una un a intuici´ i ntuición on al respecto.



21

Ejercic Ejercicio io 7: Sin usar la fuerza bruta encuentre el equilibrio en estrategias mixtas del siguiente juego: A

B 0

C 1

2

T 2

1 4

4 2

3

U 3

1 3

2 2

0

V 1

0

3

Ejercic Ejercicio io 8: Dos empresas, 1 y 2, ofrecen cada una un puesto de trabajo en el que pagan, respectivamente, w1 y w2 , con w21 < w2 < 2w1 . Existen dos trabajadores, quienes pueden postular sólo olo a una empresa. Ambos postulantes eligen simult´ aneame aneament ntee a que empresa empresa postular postular.. Si postulan postulan a la misma em1 presa, ambos obtienen trabajo con probabilidad 2 ; si los dos postulan a distintas empresas, ambos obtienen trabajo. Represente el juego en forma normal y luego encuentre el equilibrio en estrategias mixtas. Ejercic Ejercicio io 9: Supon Suponga ga que que un regula regulado dorr negoc negocia ia con con un monopol monopolio io el precio precio de un bien bien.. La ley dice dice que que el precio debe ser igual al costo medio de largo plazo, el que se determina seg´ un un el procedimiento siguiente: el regulador y el monopolio declaran simult´ aneamente un costo medio que debe caer en aneamente + − el intervalo [c [c , c ]. Si ambos declaran el mismo, ese es el precio. Si hay desacuerdo, el precio será el promedio de los costos medios declarados. declarados. Por ultimo, u´ltimo, es conocimiento conocimiento com´ un el verdadero costo v + − c (c , c ).

∈

1. Descri Describa ba la forma forma normal del juego entre entre el monopolio monopolio y el regulador regulador.. Encuen Encuentre tre el (o los) los) equilibrios de Nash en estrategias puras. Luego demuestre que son equilibrios. 2. Suponga ahora ahora que se modifica la ley de la siguiente siguiente forma: si hay desacuerdo desacuerdo un arbitro ´ elige uno de los costos costos medios medios.. Suponga Suponga que es conocim conocimien iento to com´ un u n que el árbitro arbitro elegir´ a aquel costo cos to que esté más as cerca del costo verdadero. Encuentre el equilibrio de Nash en estrategias puras de este juego. 3. Compare Compare ambos mecanismos mecanismos de arbitraje arbitraje a la luz de lo que encontr encontr´ o´ en 1. y 2. Explique por qué se llega a resultado res ultadoss diferentes. di ferentes.



22

Ejercic Ejercicio io 10: Remate Remate de obras obras de arte arte Suponga que usted va a participar en el remate de pinturas de Renoir en la prestigiosa casa de remates de Sothebys en Rockefeller Center, Nueva York. El procedimiento que se sigue en este tipo de remates es el siguiente: on es hacer una oferta, tiene que registrarse a la entrada de la sala. • Inscripci´ on : si su intención Ah´ Ah´ı le entregan una paleta numerada para que haga sus ofertas.

Ofertas : • Ofertas:

Una vez vez que las pintur pinturas as de Renoir Renoir salen salen a remate remate,, “ ... todo lo que usted usted tiene que hacer hacer es levan levantar tar su paleta paleta y esperar esperar que el martill martillero ero lo ident identifiq ifique. ue. No es necesa necesario rio que vocee su oferta—el oferta—el martillero martillero increment incrementaa autom´ automáticamente aticamente el precio, precio, generalmen generalmente te en incrementos del 10%. No es necesario que se quede quieto como una momia; rascarse la nariz o tirarse la oreja no será contado como una oferta (a no ser que lo haya acordado previamente con el martillero). martillero). Si nadie sobrepasa su oferta, esto es, nadie sigue con la paleta levanta levantada, da, entonces entonces el martillero martillero golpea la mesa y cierra cierra la venta”. venta”. (Si le interesan interesan más as detalles detalles sobre remates, remates, entre entre al sitio web de Sothebys Sothebys en http://www.s http://www.sotheb othebys.co ys.com.) m.)

1. Describa el juego en forma normal. H´ agalo agalo rigurosamente. 2. ¿C´ omo cambia su descripción omo on si Sothebys establece un precio m´ınimo ınimo por el lote (es decir, si al precio m´ınimo no hay ofertas, entonces el lote de pinturas no se remata). 3. Suponga ahora que en el remate participan sólo olo dos personas. personas. La primera valora valora el cuadro cuadro en $6,000 y la segunda en $7,000. El precio m´ m´ınimo establecido p or Sothebys es $2,000, y los incremen incrementos tos del martillero martillero son de a $1,000. La estrategia de un jugador jugador consiste en especificar el precio máximo aximo que está dispuesto dispuesto a pagar. Describa Describa todas las estrategias estrategias de cada uno de los jugadores.



23

Ejercic Ejercicio io 11: Monopolio Monopolio natu natural ral Un monopolio natural es una industria en que las condiciones tecnológicas ogicas o de demanda son tales que es eficiente que sólo olo produzca una firma (¿por (¿p or qué?). e?). Una industria se puede transformar en un monopolio natural por una ca´ ca´ıda violenta violenta de la demanda. demanda. Por ejemplo, cuando termin´ o la guerra fr´ fr´ıa la demanda por armamentos cay´ o y varias arias firmas salieron salieron del mercado. mercado. En esta pregunt preguntaa se le pide examinar qué determina determina cual firma sale del mercado mercado cuando cuando una industria es monopolio natural pero p ero inicialmente hay más as de una empresa en el mercado. Considere un duopolio que permanecerá por dos a˜ nos nos m´ as y en que cada firma pierde c por a˜ as no. no. Si una de las firmas saliera del mercado, mercado, entonces entonces la restante restante tendr´ tendr´ıa utilidades utilidades iguales a π por per´ per´ıodo por lo que quede de los dos a˜ nos. Cada firma puede elegir cuando salir: ahora (t nos. (t = 0), en un a˜ no no m´ as as (t = 1) o en dos a˜ nos nos (t (t = 2). 1. Describa Describa el juego. juego. 2. Encuentr Encuentree el (o los) equilibrio equilibrio (s) de Nash en estrategias estrategias puras. puras. Si una firma decide salir, ¿en qu´ e momento lo hace en equilibrio? Explique la intuici´ on on en cada caso. 3. Encuen Encuentre tre los equilib equilibrio rioss de Nash Nash en estrat estrategi egias as mixtas mixtas y expliq explique ue por qu´ qué no es unico. uńico. Interprete intuitivamente el resultado. Explique en castellano lo que el resultado dice. 4. Considere el equilibrio de Nash en estrategias mixtas simétrico etrico y examine qu´ e ocurre o curre cuando c aumenta. ¿Qué ocurre o curre si π cae? Compare y explique intuitivamente. Ejercic Ejercicio io 12: Una de las preocupacione preocupacioness fundamen fundamentales tales del per´ per´ıodo posterior posterior a la primera primera guerra guerra mundial mundial fue garantizar un ordenamiento mundial que evitara una nueva guerra. El 4 de octubre de 1925 Francia, Alemania y Gran Breta˜ na na firmaron firmaron el tratado tratado Locarno, Locarno, en el cual se compromet compromet´´ıan a interve intervenir nir en ayuda de cualquiera que fuera objeto de una agresión on no provocada provocada por uno de ellos. As´ As´ı, por ejemplo, Gran Breta˜ na na se compromet´ compromet´ıa a intervenir intervenir en ayuda de Alemania si ésta esta era atacada por Fran Francia cia.. En sus Memorias de la Segunda Guerra Mundial Winston Wins ton Churchill Church ill resum resu m´ıa as´ı su posición: on: “La cuesti´ on on de si exist ex ist´´ıa alguna a lguna obligaci´ obliga ci´ on por parte de Gran Breta˜ on na na de desarmarse en cualquier cualquier grado grado no fue afectada afectada (por el el tratado). tratado). [ ......... ] Mi opini´ opinion ´ personal acerca de estas garant ga rant´´ıas mutuas era que mientras mi entras Francia permaneciera armada y Alemania desarmada, desarmada, Alemania Alemania no la atacar´ atacar´ıa; y que por p or otro lado Francia rancia jam´ as atacar´ ata car´ıa ıa a Alemania Alemani a si eso autom´ au tomáticamente aticam ente involucraba a Gran Breta˜ Bre ta˜ na como aliada de Alemania. na Por eso, eso , aunque la propuesta propuest a parec p arec´´ıa en teor t eor´´ıa arriesgada arriesg ada —oblig´ —obligandonos ańdonos de hecho a tomar parte por uno u otro lado en cualquier guerra Franco-Alemana que pudiera ocurrir— era poco probable de tal desastre ocurriera alguna vez; y esta era la mejor



24

forma de impedirlo. impedirlo. Por lo tanto tanto yo me opon´ opon´ıa por igual tanto al desarme desarme de Francia rancia como el rearme de Alemania, por el mayor peligro que inmediatamente esto implicaba para Gran Breta˜ na. na. [ .... ] Era eviden evidente te que ese peligro peligro crecer crecer´´ıa si en alg´ un un momento Alemania llegara a tener similar poder que Francia, a´ un u n m´ as a s si llegaba a ser más as poderosa que Francia”. 1. Plantee Plantee un juego que modele la situaci´ situacion oń estrat´ e stratégica egica que describ de scribee Churchill. Churchil l. 2. Eval´ ue el argumento de Churchill, indicando si existen circunstancias bajo las cuales es un ue equilibrio de Nash el que no ocurra una guerra. 3. ¿C´ omo omo afectan los resultados del juego el que uno de los pa´ıses ıses si Alemania llegaba a ser muy poderosa?

Ejercic Ejercicio io 13: Eleccione Eleccioness Consid´ Con sidérese eres e una pobl p oblaci aci´ oń votante uniformemente distribuida en el espectro ideológico on ogico que va desde la izquierda (x (x = 0) a la derecha (x (x = 1). Cada Cada uno de los candida candidatos tos para para un unico uńico puesto elige simult´ aneamente aneamente un programa programa electoral electoral (es decir, decir, un punto punto en la l´ınea entre entre x = 0 y x = 11.. Lo Loss votantes observan el programa de los candidatos y luego cada votante vota por el candidato m´ as as cercano a su posici´ po sición on en el espectro. Si, por p or ejemplo, hay dos candidatos y eligen programas x1 = 0.3 y x2 = 0.6, todos los votantes a la izquierda de x = 0.45 votan por el candidato 1 y el resto por el candidato 2. Suponga que a los candidatos s´ olo les importa ser elegidos; en realidad, su programa olo no les interesa para nada. Si hay dos candidatos, ¿cuál al es el equilibrio de Nash en estrategias puras? Si hay tres candidatos, candidatos, indique un equilibrio equilibrio de Nash en estrategias estrategias puras. (Suponga (Suponga que si dos o m´ as candidatos coinciden con el programa, se reparten en partes iguales los votos y los empates se as resuelven al azar con igual probabilidad para cada uno).


1.3 1.3


25

Jueg Juegos os din´ din´ amicos con informaci´ amicos on on completa

Hemos estudiado juegos estáticos, aticos, es decir, juegos en que los jugadores deciden simult´ aneamente aneamente qu´ e hacer. hacer. Como es obvio, obvio, en muchas muchas situaciones esto no es as´ as´ı, como por ejemplo: ejemplo: el juego de ajedrez, cuando una empresa empresa decide si entrar o no al mercado, lanzar un producto, etc. En estos juegos, es indispensable considerar que, a veces, un jugador mueve antes que otro, y que otros jugadores observan su decisi´ on antes de jugar. A estos juegos se les conoce como juegos din´ on amicos. amicos. Ejemplo 16: El juego de entrar o no entrar

2 n

e



1

20 0

G

A

   0 −10

10 10

Es claro que en este juego lo razonable es suponer que el potentado verá si Almacenes Almacen es Par´ Par´ıs entra o no en el mercado y, s´ olo olo entonces, tomar´ a una decisi´ on sobre si establece una guerra de precios on o no. Esto queda meridianamente claro si representamos el juego en forma extensiva. Cosas sobre las cuales tenemos que pensar: 1. ¿Qué es e s una u na estrategia ? 2. ¿Qu´ e equilibrios son razonables? 3. ¿Qué informaci´ informa ción on tiene cada jugador cada vez que le toca decidir? Ahora analizaremos analizaremos juegos juegos en los que cada jugador jugador sabe qu´ qué han hecho hecho los jugadores jugadores que han movido movi do antes que él. el. Se dice que estos juegos son de información on perfecta , lo cual es más as estricto que información on completa .


1.3.1


26

Juegos con informaci informaci´ ´ on on perfecta

Definici´ on on 5 La forma extensiva de un juego din´ amico con informaci´ on perfecta consiste en: 1. Un conjunto conjunto (finito) (finito) N de jugadores. 2. Un conjunto conjunto (a) φ

secuencias, que satisfacen tres condiciones: H de historias o secuencias,

∈H

(b) Si (ak )k=1, =1,2,...,K

∈ H y L < K < ∞, entonces (ak )k=1, =1,2,...,L ∈ H (c) Si una secue secuenci ncia a infinit infinita a (ak )∞ satisface que (ak )k=1, entonces N , entonces =1,2,...,L ∈ H, ∀ L ∈ IN , k (a )∞ ∈ H (d) A(h) A(h ) = φ ∀ h, h ∈ H, h  = h Todo elemento de H es una historia; historia; cada componente de una historia es una acci´ on. on. Una Una k K +1 + 1 k historia (a )k=1, tal que (a )k=1, =1,2,...,K es terminal si K = ∞ o si a =1,2,...,K +1 +1 ∈ H. Notaci´ on : Denotaremos (ak )k=1, =1,2,...,L ∈ H por h. 3. Una funci´ funci´ on P : H \ Z → N que le asigna, asigna, a cada cada historia historia no terminal, terminal, un jugador jugador a qui´ quién en



le corresponder´ corresponderá el turno de jugar. Z es el conjunto conjunto de historias historias terminales. terminales. Esta definici´ on implica que no hay jugadores en las historias terminales.

4. Para Para cada jugador jugador ii N , una funci´ on de utilidad ui : Z existir´ an pagos en las historias terminales.

∈

→ IR. Esta función on implica i mplica que qu e s´ s olo ´

Observaci´ on on 7 : Después es de cada c ada historia hi storia no terminal term inal h, el jugador P ( P (h) elige una acción on del set: A(h) = a : (h, a)

{

∈ H}

Not No tación: Denotamos por N,

 H, P, (ui) la forma extensiva de J .

De la definición on de juego en forma extensiva, se tiene que dos historias distintas no pueden terminar en la misma acci´ on. on. 1.3.1. 1.3.1.1 1

Estrat Estrategi egias as

Definici´ on on 6 Una estrategia del jugador i N en N, , P, (ui ) es una funci´ on que le asigna una y s´ olo una acci´ on A(h) a cada historia no terminal h Z , para la cual P ( P (h) = i. La denotaremos por S i

∈

 H

∈H\



N´ otese que una estrategia es un plan completo; otese completo ; especifica la acción on elegida el egida para cada historia histori a despu´ des pués es de la cual le toca elegir, a´ un si, dada la combinaci´ un on de estrategias elegidas por los jugadores, esa on historia no ocurre.



27

1 A

B

2

2

c

d

I

II

e

f

I I I IV

Figura 1.2: Un juego dinámico amico Ejemplo Ejemp lo 17: Un juego din´ amico amico S 2 ((A ((A)) = c S 2 ((B ((B )) = f es una estrategia del jugador 2. Para entender mejor lo que es una estrategia, consideremos la representación on en forma normal del juego:

A B

ce I III

cf I IV

de II III

df II IV

Definici´ on on 7 Para cada combinaci´ on on de estrategias s = (S i )N S , definimos el resultado del i=1 juego R(s) como la historia terminal que resulta si cada jugador sigue los dictados de S i .

∈

R(s) es la historia terminal (a1 , . . . , aK )

∈ Z , tal que ∀ 0 ≤ k < K se tiene que:

1 k k+1 S p( p(a1 ,...,ak ) (a , . . . , a ) = a

En nuestro ejemplo, si S 1 ((φ ((φ)) = A y S 2 ((A ((A)) = c, S 2 ((B ((B )) = f , f , entonces R((S ((S 1 , S 2 )) = (A, (A, c)



28

Ejemplo Ejemp lo 18: Otro juego jueg o din´ amico amico

1

1 A

B

 6 0

2 c

d

    10 0

1

E

5 4

F

4 −10

EPS

Equilibrio de Nash

Equilibrio de Nash

1

A

B

2



c

A 6 0

d

c

E

5 4

 6 0

2 d

   

    10 0

1

B

10 0

1

F

E

F

5 4

4 −10

4 −10

Figura 1.3: Otro juego din´ amico amico

Jugador 2 c

d 0

0 B/F 6

6 4

0

A/E Jugador 1

5

10 -10

0

A/F 4

10 0

0

B/E 6 1.3.1. 1.3.1.2 2

6

Equili Equilibri brio o

Si todos los jugadores eligieran estrategias simultáneamente aneamente al comenzar el juego, bastar´ bastar´ıa la forma normal para representar el juego y el equilibrio de Nash ser´ ser´ıa el concepto de soluci´ on on natural. Sin embargo, dicha manera de elegir estrategias va en contra de la raz´ on on de ser de los juegos din´ amicos, amicos,



29

la cual corresponde a modelar situaciones en que hay interacción on temporal y los jugadores pueden repensar sus acciones a medida que el juego avanza. Esto nos lleva al concepto de equilibrio perfecto en subjuegos. subjuegos. El juego del ejemplo anterior anterior tiene dos equilibrios equilibrios de Nash. Sin embargo, embargo, en el equilibrio equilibrio en que la combinaci´ on on de estrategias es (A, F ) F ), d , la amenaza de jugar F que hace el jugador 1 no es cre´ cre´ıble: enfrentado a la situaci´ situac i´ on de elegir, siempre preferirá E a F pues, en este on est e caso, cas o, su pago pa go ser se r´ıa de 5 y no de 4. El jugador 1 amenaza con F sólo olo porque, mientras no se vea realmente enfrentado a decidir que hacer, jugar F no tiene costo.

{

}

{ ∈ H : (h, h)} de J = N, H, P, (ui) es el juego:

Definici´ on on 8 El subjuego h



J ( J (h) = N,

H/h,P/h,

  ui/h

H/h es el set de subhistorias (o subsecuencias) (h, h) ∈ H P /h( /h(h ) ≡ P ( P (h, h ), ∀ h ∈ H/h ui/h (h ) ≥ ui/h (h ), ssi ui (h, h ) ≥ ui (h, h ), ∀h , h ∈ H/h. /h. El equilibrio perfecto en subjuegos es un equilibrio de Nash al que se le exige además que cada jugador optimice despu´ es es de cada historia, llegue a ella o no el juego, dada la combinaci´ on o n de estrategias que están an utilizand utilizandoo el resto de los jugadore jugadores. s. La condici´ condici´ on de optimalidad luego de cada historia es equivalente a exigir que en cada subjuego la combinación on de estrategias elegida induzca un equilibrio de Nash. Definici´ on on 9 La combinaci´ on de estrategias s∗ N, , P, (ui ) si:

 H



∈ S es un equilibrio perfecto en subjuegos de J =

1. Es un equilib equilibrio rio de Nash de J 2.

∀ h ∈ H \ Z,



s∗ /h es un equilibrio de Nash de J (h) = N,

H/h,P/h,

  ui/h

Ejemplo 19: Negociaci´ on on Dos jugador jugadores es deben reparti repartirse rse $ 1.00 1.000.00 0.000. 0. Las reglas reglas son las siguien siguientes tes:: el jugador jugador 1 parte parte ofreciendo una división, on, luego el jugador 2 decide si la acepta o no. Si la acepta, el juego termina ah´ ah´ı. Si no acepta, en el siguiente periodo el jugador 2 ofrece y 1 decide si acepta o no. Esto contin´ ua hasta hasta que se logre el acuerdo. acuerdo. El factor factor de descue descuent nto o de 1 y de 2 es el mismo e igual igual a δ (0, (0, 1). 1). Sea x la cantidad con la que se queda 1.

∈

1. La forma extensiv extensiva a del juego: 2. Considerar Considerar la siguiente combinaci combinaci´ on oń de estrategias: (a) Jugador 1. Despu´ es es de cada historia h tal que le toca ofrecer ofrecer a 1, este ofrece ofrece x = Despu´ es es de cada oferta de 2, el jugador 1:

∈H

1 δ+1



1

  x(1) 1−x(1)

A 2

1 0

1

2

R

A



R

..... .....

1 0

δx (2) δ (1−x(2) )

30



Figura 1.4: Forma extensiva del juego de negociaci´ on on δ i. Acepta si x δ+1 ii. Rechaza si no es as´ as´ı. (b) Jugado Jugadorr 2. Lo mismo mismo que el jugador jugador 1.

≥

3. Proposici´ on on 2 Esta combinaci´ on de estrategias es un equilibrio perfecto en subjuegos. Demostraci´ on: on: Tenemos enemos que demost demostrar rar que esta esta com combin binaci aci´ oń de estrategias induce un on equilibrio de Nash en cada subjuego: 1 (a) Dada Dada la estrat estrategi egiaa de 2, al jugado jugadorr 1 le convie conviene ne ofrecer ofrecer una fracci fracci´ on oń δ+1 en t=1 t=1.. Si ofrece quedarse con menos, 2 acepta y su pago es menor de lo que podr po dr´´ıa ser si ofreciera 1 δ 1 ofrece quedars quedarsee con m´ as, as, 2 rechazar´ a y 1 obtendrá a lo más as δ δ+1 < δ+1 en δ +1 . Si ofrece t=2. Notar Notar que si 1 se desv desv´ıa y rechaz rechazaa la oferta oferta de 2 en t=2, t=2, la negociac negociaci´ i´ on se dilata un 1 per pe r´ıodo ıo do más; as; en t=3, lo m´ aximo que 1 puede aspirar a obtener es δ+1 , pero en t=1 eso aximo

 

sólo olo vale

δ3

  1 δ +1

, y as a s´ı sucesivame suce sivamente. nte.

(b) Supongamos Supongamos que el juego ha llegado a un subjuego donde al jugador 1 le ofrecen x: δ 1 i. Si x δ+1 a 1 le conviene aceptar pues, si rechaza, a lo más as recibe δ+1 en el periodo δ siguiente, lo cual vale δ+1 en t=1.

≥

δ ii. Por lo mismo, si x < δ+1 , le conviene rechazar la oferta de 2. (c) El juego es estacionario estacionario,, m´ as a s a´ un, un, es simétrico. etrico. Por lo tanto, t anto, hemos demostrado que el par de estrategias descritas inducen un equilibrio de Nash en cada subjuego, incluyendo el juego completo. Por lo tanto, es un equilibrio perfecto en subjuegos. 

El siguiente es un resultado interesante, que será importante cuando veamos veamos juegos repetidos. M´ as as ∗ a´ un, un, es muy util u ´ til en muchas aplicaciones. Dice que, para comprobar si s S es un equilibrio perfecto en subjuegos (EPS) basta demostrar que cada jugador no puede mejorar su pago desviándose andose por unica u ´ nica vez al comienzo de cada subjuego en que le toca realizar la movida inicial, siguiendo, luego de esta desviaci´ on, su estrategia original. on,

∈



31

Proposici´ on on 3 Sea J Sea J = N, , P, (ui ) un juego de horizonte finito. La combinaci´ on de estrategias ∗ s S es un EPS ssi i N y cada historia h Z , para la cual P ( P (h) = i,  a A(h), ∗ a = a , tal que: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ui/h S − > ui/h S − i/h , a, S i/( i/(h,a) h,a) i/h , a , S i/( i/(h,a∗ )

 H ∀ ∈

∈ 



 

∈H\



 



∈

Demostraci´ on: on: 1

h

1

1 h∗ 1 1

1

1

Figura 1.5: Demostraci´ on on de la proposición on 3. 1. Necesidad (s´ olo si ). ). Sigue Sigue de la definici´ definici´ on de EPS: si fuera posible mejorar el pago en un on ∗ no ser´ subjuego desvi´ desviándose andose por una vez, entonces S i/h se r´ıa ıa ópt op tima. im a. Notar adem´ as as que esta condición on no es necesaria para un equilibrio de Nash; recordemos que una estrategia óptima optima en un equilibrio de Nash no necesariamente es optima óptima condicional a una historia que, de acuerdo a la combinaci´ on de estrategias jugada, nunca se alcanza. on 2. Suficiencia (si ). ). Suponer Suponer que que s∗ satisface la condici´ on pero no es un EPS. Ergo, se puede on mejorar el pago con una desviación on despu´ despu´ es es de al menos dos historias. historias. Demostrare Demostraremos mos por ∗ contradicci´ on on que, si s no es un EPS, entonces es posible encontrar algún un subjuego J (h∗ ) tal que podemos mejorar el pago de i = P ( P (h∗ ) si se desv´ıa ıa sólo olo en la acci´ on on que prescribe S i∗ desp de spu´ ués es de h∗ . ∗ a partir de la historia h tal que P ( (a) Suponer Suponer que S i∗ no es optima óptima dado S − P (h ) = i. i Esto equivale a que existan desviaciones tales que aumentan el pago en el subjuego que comienza comienza en h . Entonces, existe al menos una estrategia S i tal que:

ui/h



∗ S i/h , S − i/h



 

∗ > ui/h s/h 



32

∗ Notar que, para cualquier desviación, on, S i difiere de S i/h umero finito de historias umero  para un n´ porque el juego es de horizonte finito. ∗ (b) Esta estrategia estrategia difiere de S i/h menos, dos oportunidades. oportunidades. Vale decir, S i/h (h) =  en, al menos, ∗  S i/h (h), para al menos dos historias h /h (o, historias historias h en el subjuego J (h )).



∈H

(c) De todas las desviaciones desviaciones S i/h que mejoran el pago del jugador i en el subjuego J (h ), ∗ elegir la que difiere de S i/h umero de oportunidades. umero  en el menor n´ (d) Para esta estrategia, considerar la historia h∗ /h , más as larga de J (h ) tal que la acci´ on on ∗ ∗ ∗ dictada por S i/h (h) sea distinta a la acci´ on on dictada por S i/h (h ). Notar, nuevamen nuevamente, te, que esta historia, aunque larga, es finita porque el juego es finito.

∈H

∗ (e) Se sigue que S i/h∗ difiere de S i/h olo luego de la historia inicial J ( olo J (h∗ ). De lo contrario, ∗ s´ ∗ (h). M´ ser´ ser´ıa posible posi ble encontrar una histori h istoriaa h∗∗ m´ as as larga que h∗ tal que S i/h (h) = S i/h as as  ∗ ∗ a´ un, un, S i/h es una desviación on que debe aumentar el pago de i en J (h ). De lo contrari contrario, o, ∗ S i no ser´ıa ıa la desviac desv iaci´ i´ on que difiere en el menor n´ on umero umero de oportunidades oportunidades de S i/h , pero  que mejora el pago en J (h ). Es decir, ser´ıa ıa posible encontrar una desviaci´ on on que:



i. Aumenta el pago de i en J ( J (h ). ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ii. Difiere Difiere de S i/h umero menor de veces que S i/h umero  en un n´  haciendo S i/h (h ) = S i/h (h ). (f) Por Por lo tanto, tanto, S i/h∗ es una desviación on que aumenta el pago de i en J (h∗ ), y que difiere de ∗ S i/h olo olo en la acci´ on on que i toma luego de la historia inicial de J ( J (h∗ ). Esto contradic contradicee ∗ s´ la hip´ otesis otesis inicial.  ¿Qu´ e sucede si el horizonte es infinito? La proposición on anterior nos dice que si una estrategia no puede mejorarse desviándose andose de la acci´ on inicial que esta estrategia prescribe luego de h on Z ∗ tal que P ( on on que difiera de S i después es de un número umero finito de P (h) = i, entonces ninguna desviaci´ historias historias es óptima. optima. Sin embargo, si el horizonte horizonte del juego es infinito, infinito, cabe la posibilidad posibilidad que un jugador pueda mejorar su pago desvi´ andose andose un n´ umero umero infinito infinito de veces. veces. La segunda segunda parte de la proposición on anterior nos entrega condiciones bajo las cuales el resultado se extiende a juegos de horizonte infinito. La intuici´ on en este caso es que la propiedad será suficiente si los pagos al infinito on infinito no son muy importantes.

∈ H\

Definici´ on o n 10 Sea ht la restricci´ on de h a los primeros t perio periodos. dos. Un juego juego es continuo en el infinito si, para cada jugador i, la función on de utilidad utilida d ui satisface: sup h,h s.a. ht =ht

|ui(h) − ui(h)|−→0 t→∞

∀h∈H

En el infinito, todas las historias son iguales. Proposici´ on on 4 Sea J = N, , P, (ui ) un juego juego con horizon horizonte te infinit infinito, o, con ui continua en el ∗ infinito i N . s S es un EPS si y s´ olo si ning´ un jugador i jugador i puede mejorar su pago desvi´ andose por una vez en su estrategia luego de cualquier historia h tal que P ( P (h) = i.

∀ ∈

∈

 H



Demostraci´ on: on: Véase ease Fudenberg Fudenberg y Tirole (1991), p. 110.





33

Observaci´ on on 8 : La función on de utilidad ∞

ui (h) =

  β t vi at

t=0

Satisface Satisface la condici´ condici´ on de continuidad en el infinito si 0 < β < 1 y vi es acotada superiormente. on El siguiente resultado, conocido como teorema de Kuhn , dice que todo juego din´ amico amico con horizonte finito tiene al menos un equilibrio perfecto en subjuegos. Teorema 1 Todo juego din´ amico finito con informaci´ on perfecta tiene al menos un equilibrio per fecto en subjuegos (en estrategias puras). Demostraci´ on: on: propuesta. 1.3.2 1.3.2

Juego Juegoss repeti repetidos dos

Se dice que un juego tiene informaci´ on imperfecta si al momento de decidir alg´ un un jugador no sabe exactamente cual ha sido la historia del juego. Todo juego est´ atico atico es de este tipo. En esta sección on revisaremos un caso particular, pero muy importante de esta clase de juegos, los juegos repetidos repetidos.. Los juegos juegos repetid repetidos os nos permiten permiten estudi estudiar ar la siguie siguient ntee pregun pregunta: ta: ¿es posible que ame amenaz nazas as y promesas de comportamiento futuro influyan en el comportamiento presente? Nos encontraremos con dos tipos de resultados: 1. Teorema del pueblo: pueblo : un gran n´ umero de resultados puede obtenerse como EPS. umero 2. Estudiaremos la estructura que deben tener t ener promesas y amenazas para que sean cre´ cre´ıbles. Definici´ on on 11 Dado un juego est´ atico J , sea J ( J (T ) T ) el juego repetido que consiste en repetir T 1 veces el juego J , con los resultados de cada repetici´ on conocimiento com´ un. Sea Sea δ 1+r 1+r el factor de descuento com´ un, δ (0, (0, 1). 1). El pago del i-´ esimo esimo jugador es:

≡

∈

≤∞

T



δ t−1 πit

t=1

donde πit es el pago obtenido en la t-´ esima esima repetici´ repetici´ on del juego por el jugador i. Ejemplo 20: El dilema de los prisioneros Supongamos que el dilema de los prisioneros se repite T < veces ¿Es posible que los jugadores cooperen (no confiesen) hoy en la expectativa de que en el futuro seguirán an cooperando?

∞

Un argumento de inducción on hacia atr´ as muestra que esto no es posible, pues, en el último as ultimo periodo no cooperarán. an.



34

La siguiente proposici´ on resume este resultado. on Proposici´ on on 5 Sea J un juego est´ atico con un unico u ´ nico equilibrio de Nash. Nash. Entonces, J ( J (T ) T ), T < tiene s´ olo un equilibrio perfecto en subjuegos: se repite T veces el equilibrio de Nash de J .

∞

Demostraci´ on: on: propuesta. Este resultado, aunque algo sorprendente, sólo olo se da en juegos repetidos en que el juego estático atico tiene sólo olo un equilibrio de Nash. Consideremos ahora el juego del ejemplo del oligopolio: a

b 10

g 14

0

A 10

-5

-10 5

-5

0

B 14

-5

5 -10

-5

0

G 0

0

0

En este juego hay dos equilibrios de Nash, pero ninguno de ellos es un óptimo optimo de Pareto, pues son dominados dominados por (A, a). Sin embargo, embargo, si el juego se repite dos veces, veces, es posible sostener sostener la cooperaci´ on on (A, a) durante el primer periodo (aunque no en el segundo). Considérese erese la siguiente sigui ente combinaci´ combinacion oń simétrica etrica de estrategias estrat egias s: Cooperación on Premio Guerra

S i (φ) S i ((A, ((A, a)) S i (h )

= = =

A B G

∀ h ∈ H \ Z = φ, (A, a)

Demostraremos que esta combinaci´ on de estrategias es un EPS. Para hacerlo basta demostrar que on ning´ un jugador puede ganar desviándose un andose de su acción on inicial despu´ es es de cada historia: 1. Luego de h y (A, a) a ninguno de los dos le conviene desviarse, puesto que se encuentran en un equilibrio de Nash. 2. ¿Es óptimo optimo jugar A luego de φ? Si 1 se desv´ desv´ıa en pasa de 10 a 14. En el siguiente periodo, siguiendo sus estrategias, cada jugador elegirá guerra en lugar de premio, por lo que el pago cae de 5 a 0. 3. Entonces, cada jugador compara lo que gana en el primer turno (14-10=4) (la tentaci´ on ) con lo que pierde en el segundo periodo (δ ( δ (0 5) = 5δ) (el castigo). castigo ). No se desviar desviar´ an a´ n si el beneficio de la tentaci´ on es menor que el costo del castigo, castigo, es decir si:

−

5δ δ

≥ ≥

−

4 4 5



4. La demostrac demostraci´ i´ on es completa si invocamos la propiedad de desviación on o n por unica u ńica vez.

35



Reflexionemos ahora sobre lo que nos puede enseñar nar este ejemplo: 1. El que se pueda pueda sostener sostener la cooperaci´ cooperaci´ on on hoy depende de cuánto anto valoran el futuro los jugadores, lo cual queda qued a resum r esumido ido aqu´ı a trav´ t ravés es de δ . Si no se valora el futuro, es obvio que no se puede sostener la cooperación. on. 2. ¿Por qu´ e hay cooperación on en este este caso y no en el dilema dilema de los prisioner prisioneros? os? La diferenc diferencia ia fundamental es que en este caso el juego est´ atico tiene dos equilibrios de Nash, y uno de ellos atico es Pareto–Superi Pareto–Superior or al otro. Esto permite que existan dos equilibrios equilibrios posibles en el segundo segundo periodo y, por lo tanto, es posible castigar cre´ cre´ıblemente al a l que se desv´ desv´ıa. N´ otese, otese, sin embargo, que en este caso tambi´ en en se castiga a quien no se desvi´ o. o. Esto sugiere que los jugado jug adores res podr po dr´´ıan renegociar . No ocurre as´ as´ı en el dilema de los prisioneros, prisioneros, en el cual, en el ultimo u´ltimo periodo, s´ olo olo hay una combinaci´ on on de acciones accion es cre´ cre´ıbles. La lecci´ on on es que la cooperaci´ on on puede sostenerse sostenerse hoy sólo olo si hay disponible alg´ un un castigo ma˜ nana. nana. Veremos esto nuevamente, aunque en una encarnación on algo distinta, distinta, a continu continuaci´ aci´ on on donde consideraremos juegos que se repiten un número umero infinito de veces. Ejemplo 21: An´ alisis alisis para el dilema de los prisioneros Suponga que el dilema de los prisioneros se repite un número umero indefini indefinido do de veces. veces. Si δ es suficientemente alto, entonces la siguiente combinaci´ on de estrategias es un equilibrio perfecto en on subjuegos: S i (φ) S i (h ) S i (h )

= = =

N N h C h

∀ ∈ H \ Z tal que a = N ∀ a ∈ h ∀ ∈ H \ Z tal que ∃ a ∈ h tal que a = C

Es decir, basta que por una vez no haya cooperación on para que ésta esta se abandone. abandon e. Para obtener condiciones bajo las cuales esto es un EPS, usamos la propiedad de desviación o n por una vez: 1. Si h = h , entonces no conviene desviarse (equilibrio de Nash). 2. Si h = φ o h = h , entonces la tentaci´ on es 140 - 100 = 40. El castigo es pasar de 100 en el futuro (pago con cooperación) on) a 20 (pago sin cooperaci´ on) en todos los periodos. Es decir, se on) compara: ∞

140 +

 t=2

∞

δ

t −1

20

 ≥ t=1

δt−1 100



140 + 140(1

−

δ

20

1 δ δ ) + 20δ 20δ

−

140

120δδ − 120 120δδ 120 δ

1

≥ ≥ ≥ ≤ ≤

1 δ 100

−

36

100

100 40 1 3

El principio que usamos aqu´ aqu´ı es el mismo anterior: lo que detiene la desviaci´ on es el temor al castigo futuro. La estrategia que hemos usado en este ejemplo se conoce como estrategia de gatillo. gatillo. Observaci´ on on 9 : Los castigos pueden durar menos tiempo que el infinito. Más as a´ un, un, pueden haber castigos m´ as fuertes que la reversión as on al equilibrio de Nash del juego estático. atico. El siguiente resultado, se conoce como teorema del pueblo. pueblo. Nos dice dice que si el factor factor de descue descuennto es alto, much much´ısimos pagos promedio promedio pueden pueden emerger emerger de equilibrios equilibrios perfe p erfectos ctos en subjuegos del juego juego repetido. Para simplificar simplificar la exposici´ on, consideremos la siguiente versión on del dilema de los prisioneros: prisioneros: l

r 0

1 L 5

1 5

4

R 0

4

En este juego, m´ as as es mejor que menos. Para llegar al teorema, necesitamos la siguiente definici´ on: on: Definici´ on o n 12 1. El vector de pagos x en el juego est´ atico J es factible si es una combinaci´ on convexa de los pagos de J . 2. El pago promedio de la secuencia infinita de pagos ( πt ) es: ∞

(1

− δ)

 t=1

δ t−1 πt

≡π

Notar que el pago promedio promedio es equivalen equivalente te a la anualidad anualidad que, descontad descontadaa a la tasa impl´ impl´ıcita δ , entrega el valor presente: π π 1 = (1 + r) con δ = 1 δ r 1+r Adem´ as, como el pago promedio es simplemente el valor presente multiplicado por una constante, as, maximizarlo es equivalente a maximizar el valor presente. Ahora, podemos enunciar el teorema.

−



37

T 5 4 ................................... .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... ......... . .. .. 1 .. .. .. .. .. .. 1 4

5

E

Figura 1.6: Simplex de pagos Teorema 2 (Teor (Teorema ema del pueblo) Sea J un juego est´ atico finito, y sean l = (l1 , . . . , lN ) los pagos de cada jugador en un equilibrio de Nash del juego est´ atico, y sea x = (x1 , . . . , xN ) un vector de pagos factible en J . Si: 1. xi > li

∀ i ∈ N y

2. δ es lo suficientemente cercano a 1. Entonces existe un EPS del juego repetido J ( ) cuyo pago promedio es x.

∞



38

T 5 4 ................................... .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... ......... . .. .. 1 .. .. .. .. .. .. 1 4

5

E

Figura 1.7: Equilibrios perfectos en subjuegos de un juego repetido ´ Nota: Nota: Esta corresponde corresponde a una de las muchas muchas versiones versiones que existen del teorema teorema del pueblo. pueblo. Hay varias otras m´ as as fuertes que ésta. esta. (Véase ease Fudenberg y Maskin, M askin, 1985). 1985) . Demostraci´ on: on: propuesta. La lecci´ on que obtenemos del teorema del pueblo es que en juegos repetidos es posible sostener on muchos resultados como equilibrios perfectos en subjuegos, los que no necesariamente son Pareto– ´ Optimos. Optimo s. Una conjetura conjetura que sigue de esta observaci´ observaci´ on es que muchas situaciones sociales, en las on que es óptimo optimo conformar, pueden no ser óptimas. optimas. Otra implicancia implicancia es que, cuando la interacci´ interacci´ on on es repetida es posible observar observar comportamientos diversos, cada uno de los cuales se sostiene sosti ene por s´ı mismo. 1.3.3

Informaci´ on on imperfecta

En muchos casos se presenta la siguiente situaci´ on: on: 1. Un jugador jugador sabe que le corresponde corresponde mover, mover, y 2. no sabe exactamente exactamente qu´ qué es lo que ha pasado en etapas anteriores anteriores del juego. juego. Cuando Cuando la ignora ignoranci nciaa de un jugador jugador se limita a qu´ qué es lo que ha pasado pasado en el juego, juego, pero este jugador jugador conoce la estructura estructura matem´ atica del juego y esto es de conocimiento com´ atica un, un, se dice que el juego es de información on completa pero imperfecta . Ejemplo Ejemp lo 22: Juegos Juego s est´ aticos aticos Cualquier Cualquier juego estático atico es un juego dinámico amico con informaci´ on on imperfecta. imperfecta. En este juego hemos representado a trav´ es es de la uni´ on on con l´ınea punteada de los nodos luego de  h = (C ) y h = (N ) el hecho que el jugador 2 no sabe lo que ha hecho el jugador 1 al momento de tomar la decisi´ on. on. Diremos que h y h pertenecen al mismo conjunto de informaci´ on .



39

1 C

c

N

2 .............................2 n c

n

      20 20

140 10

10 140

20 20

Figura 1.8: Conjunto de Informaci´ on on Definici´ on on 13 Un conjunto de informaci´ on del jugador i, es un conjunto de historias I i tal que: 1. P ( P (h) = i

∀ h ∈ I i

2. Si se juega una de las historias en I i , el jugado jugadorr no puede puede distin distingui guirla rla de cualqu cualquier ier otra otra historia en ese conjunto de informaci´ on. Observaci´ on o n 10 : De 2. 2. se sigu siguee que que A(h) = A(h ) h, h I i . De lo contr contrar ario, io, el jugad jugador or  deber´ıa ıa ser capaz c apaz de disting d istinguir uir h de h . Adicionalmen Adicionalmente, te, las estrategias estrategias corresponden corresponden a una funci´ on on cuyo dominio son los conjuntos de informaci´ on on del jugador.

∀

∈

Definici´ on on 14 Un subjuego 1. Comienza Comienza luego de una historia historia no–terminal no–terminal h h

∈ I i, singleton.

2. Incluye Incluye todas las historias historias h tal que h = (h, a). 3. Todo conjunto conjunto de informaci´ on que incluye historias en el subjuego, contiene s´ olo historias en el subjuego. Ejemplo 23: Subjuegos en un juego con informaci´ on on imperfecta Este ejemplo corresponde a un juego que contiene sólo olo dos subjuegos: el juego mismo, y aquel que comienza luego de h = (R, r).



40

1 L

R

2 l

2 r

l

r

3 .....................3 .................................................3 L’

R’

L’

R’

L’

3 R’

L”

R”

Figura 1.9: Subjuegos de un juego con información on imperfecta imperfecta La definición on de equilibrio de Nash y equilibrio perfecto perfecto en subjuegos no cambia. cambia. Sin embargo, embargo, esta noci´ on de equilibrio puede no ser siempre razonable, como se ve en el siguiente ejemplo. on Ejemplo 24: Un juego con informaci´ on on imperfecta

1 I

D 2 i

d

              3 ................... 3

I’

D’

I’

D’

4 4 4

1 1 1

5 5 0

2 2 2

3 3 0

Figura 1.10: Juego con informaci´ on on imperfecta imperfecta Notar que este juego sólo olo tiene un subjuego. La siguiente combinaci´ on de estrategias es un equilibrio on de Nash:



1. 2. 3.

41

I d I’

Pero, la decisi´ on del jugador 2 no parece muy razonable. Sin embargo, la noci´ on on on de EPS no ayuda ahora, s´ olo olo hay un subjuego. Volveremos sobre esto cuando hablemos de señales nales y de equilibrios bayesianos en juegos dinámicos. amicos.


1.3.4 1.3.4


42


Ejercic Ejercicio io 14: Del párrafo arrafo anterior a la proposici´ on on 3, ¿qué significa signifi ca seguir con la estrategia original ? ¿Es eleg elegir ir las mismas acciones? Ejercic Ejercicio io 15: ¿Qu´ ¿Q ué sign si gnifi ifica ca cre´ıble ? Ejercic Ejercicio io 16: Para el ejemplo 24, ¿qu´ e es optimo o´ptimo en I 3 ? ¿Depend ¿Dependee de la conjet conjetura ura que haga 3 sobre sobre d´ onde onde está si el juego llega a I 3 ? Ejercic Ejercicio io 17: Equili Equilibri brio o perfecto perfecto en subjuegos y negociaci´ negociaci´ on Dos jugadores deben repartirse $1,000. Las reglas son las siguientes: el jugador 1 parte ofreciendo una división on x [0, [0, 1000] 1000].. Lueg Luego o el jugad jugador or 2 deci decide de si la acep acepta ta o no. no. Si la acep acepta ta,, el juego juego termina ah´ ah´ı, si no acepta en el siguiente per p er´´ıodo el jugador 2 ofrece una divisi´ on, y ahora 1 decide si acepta o no. Si no la acepta pasa otro periodo p eriodo y 1 vuelve vuelve a ofrecer, ofrecer, 2 decide decide si acepta o no; y as´ as´ı sucesivamente. sucesivamente. Esto contin´ ua hasta que se logre el acuerdo. El factor de descuento de 1 y de 2 es ua el mismo e igual a δ (0, (0, 1). 1).

∈

∈

1. Describa el juego y dibuje esquemáticamente aticamente su forma extensiva. 2. Demuestre que, en el unico u ´ nico equilibrio perfecto en subjuegos el resultado del juego es tal que δ 1000 el jugador 1 ofrece quedarse con 1000 1+δ 1+δ y el jugador 2 acepta de inmediato y se queda con 1+δ 1+δ . 3. Escriba Escriba una combinaci´ combinaci´ on de estrategias que sea un equilibrio perfecto en subjuegos. on 4. Demuestr Demuestree que la estrategia estrategia que escribi´ escribi´ o es un equilibrio equilibrio perfecto en subjuegos usando la propiedad de la desviaci´ on on por una vez. 5. Demuestr Demuestree que la estrategia que escribi´ o es un equilibrio perfecto en subjuegos mostrando que la estrategia induce un equilibrio de Nash en cada subjuego. 6. Finalmente Finalmente,, demuestr demuestree que el juego tiene infinitos equilibrios equilibrios de Nash.

Ejercic Ejercicio io 18: Del examen examen final del semest semestre re primave primavera ra 1999 El reciente y frustrado intento por modificar la ley laboral causó mucha mucha pol´ p ol´ emica. emica. Uno de los puntos m´ as arduamente disputados se refiere a si es conveniente que una empresa pueda contratar as reemplazantes durante una huelga. En la actualidad lo puede hacer, y el proyecto de ley pretend´ pretend´ıa prohibirlo. En esta pregunta se le pide analizar las consecuencias de tal prohibici´ on. on.



43

Suponga una empresa que produce banquetes que se contratan con meses de anticipación. o n. Lo Loss activ activos os de la empresa empresa (cocinas, (cocinas, refrig refrigera erador dores, es, etc.) etc.) duran duran tres a˜ n os, al cabo de los cuales se nos, deprecian deprecian completamente completamente y deben ser reemplazados reemplazados.. El costo de inversi´ inversi´ on en activos es $ 2,100 y on se incurre completamente al principio de los tres años. nos. La tasa ta sa de inter´ es es es 0. Las utilidades anuales de la empresa, sin considerar el costo del capital, son $1000 si todos sus clientes quedan conformes y contentos y para ello es necesario que los banquetes sean atendidos por el personal personal habitua habitual. l. El costo en reputa reputaci´ ci´ on de la empresa por no cumplir sus compromisos durante una semana es de $ 200 (vale decir, si deja botados a sus eventuales clientes durante una semana, semana, las utilidades utilidades anuales caen a $800, si es por p or dos semanas caen a $600, y as´ as´ı sucesiv sucesivamenamente). te). En la even eventua tualid lidad ad de una huelga huelga,, la empresa empresa tiene la opci´ opcion oń de reemplazar a su personal muy rápidam apidamen ente. te. Sin embargo, embargo, los reemplaz reemplazan antes tes no conocen conocen bien el negocio negocio y atiende atienden n peor. peor. As´ As´ı, si los reemplazan reemplazantes tes son contratados contratados apenas se inicia la huelga, huelga, el valor de las utilidades utilidades cae inmediatamente a $600 y el costo en reputación on aumenta a raz´ on on de $120 por semana. Las negociaci negociacione oness salaria salariales les siguen siguen las siguient siguientes es reglas reglas.. El emplea empleador dor le hace hace una oferta oferta a los trabajadores, trabajadores, quienes pueden pueden aceptarla o rechazarl rechazarla. a. Si la rechazan, rechazan, los trabajadores hacen una oferta una semana despu´ es, es, la que puede ser aceptada o rechazada por la empresa. Si no se llega a acuerdo, pasa una semana y la empresa hace una oferta. Y as´ as´ı sucesivamente, hasta que el nego cio vale nada. 1. Determine el tama˜ no de la “torta” a ser repartida, y cómo no omo ésta esta disminuye según un se dilata el acuerdo. 2. Descri Describa ba el juego. juego. Luego Luego encuen encuentre tre el o los equilibr equilibrios ios perfecto perfectoss en subjuegos, subjuegos, y, para uno de ellos, demuestre rigurosamente que se trata de un equilibrio. ¿Se observar´ a una huelga en equilibrio? 3. Durante un ciclo de inversi´ inversi´ on on de tres a˜ nos nos ¿a cuánto anto ascienden las utilidades netas de inversi´ on on de la empresa? De acuerdo a esto, ¿invertirá la empresa cada tres a˜ nos? nos? Suponga que se elimina la posibilidad de contratar reemplazantes. 4. Repita 1 y 2. No es necesario que repita la demostración on rigurosa de uno de los equilibrios. 5. Suponga que la empresa ya invirti´ invirti´ o en los activos. activos. ¿Cambiar´ ¿Cambiar´ a su nivel de producción o n en el corto plazo? 6. ¿Qué decis de cisi´ ión on va a tomar la empresa una vez que tenga que decidir si vuelve a invertir? 7. A la luz de de su an´ analisis, a´lisis, eval´ ue el siguiente comentario que su profesor leyó hace muchos a˜ ue nos nos en un diario: “Da casi lo mismo si se pueden contratar o no reemplazantes durante una huelga, porque el hecho emp´ emp´ırico es que menos del 2% de las negociaciones terminan en una huelga”



44

Ejercic Ejercicio io 19: Elecci Elecciones ones en las Naciones Naciones Unidas Unidas En diciembre diciembre de 1996 las Nac Nacione ioness Unidas Unidas eligieron eligieron a un nuevo nuevo secret secretari arioo genera general. l. Uno de los candidatos era el egipcio Boutros Boutros-Ghali, quien hab´ hab´ıa sido secretario general desde 1992 y buscaba ser reelegido. Sin embargo, los Estados Unidos no quer´ quer´ıan que Boutros-Ghali continuara en el cargo. Los rumores rumores indicaban que el candidato de Estados Unidos Unidos era la primer primer ministro de Noruega, Noruega , Glo G lo H Harlem arlem Brundtland. Brundtl and. Por el contrario, contrari o, los pa´ pa´ıses africanos africa nos quer qu er´´ıan un segundo seg undo per p er´´ıodo con un secretario general africano. As´ As´ı, el nombre de Koffi Annan de Ghana (y un veterano de las Naciones Unidas) apareci´ o al finalizar la campa˜ na. na. En esta pregunta pregunta se le pide predecir predecir el resultado resultado de la elección. on. ´ Suponga que en esta elecci´ on participan dos votantes (los Estados Unidos y Africa) on y tres candidatos: datos: Koffi Annan Annan (A (A), Boutros-Ghali (B (B ) y Glo Harlem Brundtland (H (H ). ). El procedim procedimien iento to de ´ votaci´ on on es el siguiente. siguiente. Primero, Primero, los Estados Unidos pueden pueden vetar a un candidato. candidato. Luego Africa veta veta a un candidato candidato,, y el que queda queda es elegid elegido. o. Las prefere preferenci ncias as de los Estados Estados Unidos Unidos son tales que H A B ;

 

es decir, los estados Unidos prefieren a Harlem Brundtland por sobre Annan y a Annan en vez de Boutros-Ghali Las preferencias de los pa´ pa´ıses africanos son B

 A  H.

1. Escriba Escriba la forma extensiv extensiva a del juego. juego. 2. Encuentr Encuentree el equilibrio perfecto en subjuegos de este juego y demuestr demuestree rigurosamen rigurosamente te que efectivamente es un equilibrio (“rigurosamente” significa que debe enunciar los resultados que ocupa para demostrar). demostrar). ´ 3. Si Estados Unidos o Africa pudiera elegir el orden de la votación, on, ¿cambiar´ıa ıa el resultado resulta do de la elecci´ on? Justifique su respuesta explicando la intuici´ on? on. on.

Ejercicio Ejercicio 20: ¿Es conveni conveniente ente darle darle inmunidad inmunidad a los dictadores? dictadores? La semana se mana pasada el semanari se manario o ingl´ i nglés es The Economist editorializ´ o sobre so bre las garant´ıas ıas de inmunidad i nmunidad que algunos dictadore dictadoress negociaron a cambio de entregar entregar el poder. po der. En el ultimo u´ltim o tiempo tiemp o varios pa´ pa´ıses han desconocido desconocido estas garant´ garant´ıas y comenzado comenzado a juzgar juzgar a los ex dictadores, dictadores, rompiendo rompiendo acuerdos acuerdos expl´ıcitos ıci tos e impl´ i mpl´ıcitos ıci tos.. Aunque Aunq ue el Economist no lamenta que ex dictadores sean llevados a juicio a pesar de todo, indica que si las promesas de inmunidad se rompen con mucha facilidad se perderá un instrumento util u ´ til para lograr que algunos dictadores prefieran entregar el poder. p oder. Por ejemplo, as´ as´ı podr´ podr´ıa ser con Slobodan Milosevic en Serbia, Serbia, o la junta junta de gobierno gobierno en Mynamar; en ambos casos tribunales internacionales han dejado claras sus intenciones de juzgar a los susodichos dictadores apenas pierdan pierdan su poder. Por otro otro lado el Economist afirma que tampo tam poco co es bueno b ueno que las garant g arant´´ıas



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de inmunidad inmunidad sean inamovibles; inamovibles; sin la posibilidad posibilidad de un castigo posteri p osterior or los potenciales potenciales dictadores dictadores no temer´ıan ıan tomarse tomars e el poder. po der. En esta pregunta se le pide analizar las consecuencias de la inmunidad sobre los incentivos a tomarse el poder po der y luego entregarlo. Suponga el siguiente juego de tres per´ per´ıodos: 1. El potencial dictador decide si se toma el poder. 2. Una vez en el poder, el dictador decide si negocia con “los partidos” y entrega el poder, o si se aferra al cargo. 3. Si hay una salida negociada, los partidos deciden deciden si lo juzgan juzgan o mantienen mantienen su inmunidad. inmunidad. 4. Si el dictador dictador no negocia y se aferra al cargo, cargo, entonces entonces tiene éxito exito en quedarse con el poder con probabilidad e; por lo mismo, la probabilidad de fracasar y perder el poder luego de haber intentado aferrarse aferrars e a él el es (1 e) (la ( la probabil p robabilidad idad de éxito exito es exógena). ogena). Si el dictador fracasa, los partidos deciden si lo juzgan o le dan inmunidad.

−

Las preferencias del dictador sobre los posibles resultados del juego son: exito

 s/juicio + neg.  s/juicio + frac.  nogolpe  juicio + neg.  juicio + frac.,

donde “neg.” significa “negociaci´ on” y “frac.” significa “fracasar”. Vale decir, el dictador prefiere on” dar el golpe si no lo enjuician y lo peor p eor es ser enjuiciado enjuiciado despu´ es es de fracasar. fracasar. Adem´ as, note que si el dictador no es enjuiciado, siempre prefiere dar el golpe. Por otro lado, las preferencias de los que tomar´ an an la decisi´ on si juzgar al dictador son: on nogolpe

 juicio + neg.  juicio + frac.  s/juicio + neg.  s/juicio + frac.  exito

Vale decir, lo que más as les gusta a los partidos es que no haya golpe, prefieren una salida negociada que por el fracaso del dictador y el peor de los escenarios es que el dictador tenga éxito exito en mantener ma ntener el poder. 1. Invent Inventee una notaci´ on on eficiente eficiente para los pagos de cada jugador jugador en cada historia historia terminal. Su puntaje dependerá de cuan buena sea la notaci´ on on que propon proponga. ga. (Ayuda (Ayuda:: suponga suponga que el pago del dictador cuando no da el golpe es 0). 2. Dibuje Dibuje la forma extensiv extensiva a del juego. juego. 3. Suponga ahora que el dictador dictador ya dio el golpe. Deduzca Deduzca una condici´ condici´ on on que sea funci´ funci´ on on de e. Esta condición on debe deb e indicar cuándo ando el dictador va a entregar el poder negociadamente y cuando cuando no. ¿Es correcta correcta la afirmaci´ afirmaci´ on on del Economist en el sentido que si a los dictadores se les juzga despu´ es es de negociar su salida, entonces no estarán an dispuestos a entregar el poder voluntar voluntariamen iamente? te? ¿Cu´ al al es la intuición on detrás as de su respues respuesta? ta? (Ayuda (Ayuda:: utilic utilicee inducc inducci´ i´ on on reversa.)



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4. Ahora deduzca deduzca una condici´ condici´ on on que indique cuándo ando el dictador va a dar un golpe. Interprete. (Ayuda: utilice inducci´ on reversa y lo que obtuvo en 3.) on 5. Suponga que al momento de negociar con el dictador los partidos pueden comprometerse cre´ cre´ıblemente a no juzgarlo si entrega el poder. Explique ba jo qué condiciones los partidos elegir´ an an comprometer comprometerse. se. Luego indique qu´ e consecuenc consecuencia ia tiene la posibilidad posibilidad de garantizar garantizar inmunidad sobre la decisión on de dar un golpe ¿Se confirma la conjetura del Economist ? 6. Por ultimo, u ´ltimo, suponga que mientras el pa´ pa´ıs est´ a en democracia (antes que ocurra el golpe), los partidos partidos tiene la posibilidad posibilidad de firmar un tratado tratado internacio internacional nal que forzar´ forzar´ıa a juzgar juzgar a los dictadores (en otras palabras, el tratado le permite al pa´ pa´ıs comprometerse cre´ıblemente ıblemente a que los dictadores dictadores siempre ser´ an juzgados una vez que pierdan el poder, da lo mismo si aceptan an negociar su salida sali da o no). ¿Es conveniente para el pa´ pa´ıs firmar ese tratado? ¿De qué depende? dep ende?

Ejercic Ejercicio io 21: Votac Votaci´ i´ on on estr es trat´ atégic eg ica a En el pa´ pa´ıs de las Maravillas Maravillas tres partidos, partidos, el de Arriba Arriba (A), el del Centro (C) y el de Adentro Adentro (D), controlan controlan cada uno un tercio del parlamento. parlamento. Tres propuestas propuestas de reforma reforma al sistema sistema educacional, educacional, las que llamaremo llamaremoss 1, 2 y 3, deben deben ser votada votadas. s. Las prefere preferenci ncias as (estrict (estrictas) as) de cada cada uno de los partidos son como se detallan en el siguiente cuadro: A

C

D

1

2

3

2

3

1

3

1

2

Es decir, el partido de Arriba prefiere estrictamente que se apruebe la primera propuesta a que se apruebe la segunda, y la segunda a la tercera. Para evitar empates, los astutos parlamentarios han decidido adoptar el siguiente mecanismo de votaci´ on. Primero se vota la propuesta 1 contra la 3, y on. luego, la ganadora de la primera vuelta se enfrenta con la propuesta 2. En cada ronda la votaci´ on on es simult´ anea anea y está prohibido abstenerse. Los premios y castigos al interior son tan efectivos que, los tres votan en bloque. 1. Describa Describa el juego y luego repres´ represéntelo entelo en forma extensiv extensiva. Escriba Escriba una estrategia estrategia para el partido de Arriba. (Cuidado, recuerde la definición on de estrategia). 2. Encuentr Encuentree la combinaci´ combinacion oń de estrategias que sea equilibrio equilibrio perfecto en subjuegos. Muestre Muestre que hay más as de un equilibrio prefecto en subjuegos, pero que en cada uno de ellos resulta elegida la propuesta 1. 3. Suponga que justo antes de que voten las propuestas es elegido presidente del parlamento el honorable Juan Estrella de la Ma˜ nana, nana, integrante integrante del partido de Adentro. Adentro. El presidente presidente



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del parlamento tiene derecho a modificar el orden de votaci´ on. Muestre que don Juan puede on. elegir un orden de votación on que garantiza la elección on de la propuesta preferida de su partido (la 3). Explique. Ejercic Ejercicio io 22: A veces veces es mejor tener menos menos informa informaci´ ci´ on El siguiente juego muestra que hay ocasiones en que más as informaci´ on puede ser perjudicial socialon mente. mente. Dos empresa empresass que tienen tienen la conces concesi´ i´ on on de ventas ventas en el estadio estadio deben decidir el d´ıa antes antes si compran bronceador bronceador o paraguas paraguas para vender vender el d´ıa del partido. partido. El orden de las jugadas es el siguiente: nana llover´ a o habrá sol con igual probabilidad. Las empresas, A • La naturaleza decide si mañana y B, deciden qué comprar sin conocer cono cer la movida de la naturaleza.

• El jugador A elige si compra paraguas o bronceador. • El jugador B observa la decisión on del jugador jugador A, y luego, luego, decide decide si com compra pra broncead bronceador or o paraguas.

Los pagos del juego son como sigue: Si ambas empresas empresas compran lo mismo, entonces entonces el pago es 1 para cada uno, independientem independientement entee si llueve llueve o hay sol. Si llueve y uno compra paraguas y el otro bronceador, el pago del que compra paraguas es 4, y el pago del que compra bronceador es 0. Por u ultimo ´ ltimo si hay sol y uno compra bronceador y uno paraguas, el pago del que compra bronceador es 4, y el pago del que compra paraguas es cero. 1. Describa el juego y luego represéntelo entelo en forma extensiva. 2. Demuestr Demuestree que las siguientes siguientes combinacion combinaciones es de estrategias estrategias son equilibrios equilibrios perfectos en sub juegos: (a) A compra bronceador; bronceador; B compra paraguas. paraguas. (b) A compra paraguas; paraguas; B compra compra bronceador. bronceador. ¿Cu´ al es el pago esperado de cada empresa en equilibrio? al 3. Suponga ahora ahora que es conocimiento conocimiento com´ un que la empresa A recibe información un on confidencial de TV Tiempo y sabe con certeza si mañana nana llover´ a o habrá sol antes de comprar. El jugador B sigue sin saber cual fue la movida de la naturaleza. Encuentre el único unico equilibrio equilibrio perfecto perfecto en subjuegos y muestre que ambas empresas terminan peor que cuando ninguna conoce el estado de la naturaleza. Explique. 4. Suponga que la empresa empresa A se fusiona con la empresa B, pasando pasando a detentar detentar el monopolio de las ventas ventas en el estadio. estadio. Demuestr Demuestree que ahora más as informaci´ informaci´ on es siempre mejor que menos on informaci´ on. on. Explique.



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Ejercic Ejercicio io 23: Lo que uno hace hace revela revela lo que que uno sabe Una de las formas en que los equipos de f´ utbol se nutren de buenos jugadores es seleccionándolos utbol andolos en las divisiones inferiore inferiores. s. Sin embargo, embargo, este proceso es muy costoso. Por ejemplo, ejemplo, hace un tiempo el ex-entrenador del Ajax de Holanda contaba que sólo olo dos de cada cien niños nos que juegan en las divisiones inferiores del club llegan a primera división. on. Acto seguido, seguido, se quejaba del cambio cambio en la legislaci´ on que ha habido en la Comunidad Econ´ on omica Europea que le permite a un jugador cambiar omica de club apenas se transforme en profesional, sin indemnizar al club que lo formó. o. Sosten´ıa ıa que los clubes clubes ya no iban a inve inverti rtirr en formar formar buenos buenos jugadore jugadores. s. En este ejerci ejercicio cio se le pide demost demostrar rar formalmente la queja del entrenador. Para Para simplificar, simplificar, suponga que el mundo de divide en dos tipos de jugadores, jugadores, buenos y malos. Por cada 49 malos hay s´ olo olo uno bueno. bueno. Durante Durante su carrera carrera profesional, profesional, un jugador jugador bueno deja rentas rentas de R por a˜ no. no. Un jugador malo no puede conver convertirse tirse en profesional profesional y no deja renta alguna. alguna. Hay un sólo olo club, Los Chunchos, que tiene la capacidad de averiguar si un jugador es bueno o malo, a R un costo E , con E = 51. Sin embargo, hay dos clubes más, as, Los Cruzados y Los Indios, que si bien no saben distinguir un jugador bueno de uno malo, observan perfectamente cuando Los Chunchos le hace una oferta a un juvenil bueno. El factor de descuento es igual a 1. El juego entre estos tres clubes consiste en lo siguiente: presiden ente te de Los Chunc Chunchos hos,, el Dr. • El presid

Zoroco, Zoroco, decide decide si invie invierte rte o no en detectar detectar buenos buenos jugadores. jugadores. Si no invierte el juego termina. termina. Si invierte, invierte, gastan E por juvenil y Los Chunchos encuentran uno bueno por cada 50 juveniles seleccionados.

no que paga cU ∈ [0, [0, ∞). • A cada jugador bueno, el Dr. Zoroco le ofrece un contrato por un año A cada jugador malo le ofrece nada.

• Los Cruzados y Los Indios observan la oferta cU del Dr. Zoroco y, simultáneamente, aneamente, le hacen U C CC ∈ [0, una oferta al jugador de, respectivamente, c , c [0, ∞). • Por ultimo, u ´ ltimo, el jugador acepta el contrato de quien paga m´ as as y el juego termina. As´ As´ı, el pago U CC U C del jugador es max{c , c , c }. Si hay empate, empate, el jugado jugadorr se queda queda en cada cada equipo con igual probabilidad.

1. Describa Describa el juego. juego. 2. Suponga que la ley da exclusividad del jugador a Los Chunchos por un año. no. Al final final de ese a˜ no, no, el jugador es dueño no del pase. ¿Inver ¿Invertir´ tir´ a el Dr. Dr. Zoroc Zoroco? o? ¿Cu´ ¿Cu´ anto anto le pagar´ a al jugador bueno? ¿Cuánto anto ganar´ a el jugador a partir del segundo año? no? En el resto de la pregunta suponga que la ley dicta que el un juvenil es dueño de su pase apenas pasa a ser profesional. 3. Escriba Escriba una estrategia de Los Indios. (Cuidado; (Cuidado; recuerde recuerde la definici´ definici´ on de estrategia).



49

4. Demuestr Demuestree que en todo equilibrio equilibrio perfecto en subjuegos, el jugador jugador bueno ganar´ a R si Los Chunchos Chunchos invierten. ¿Cu´ al es el pago del equipo que se queda con el jugador? Explique. al 5. En vista de 4., ¿invertir ¿invertir´ a´ el Dr. Zoroco? 6. Suponga ahora que Los Cruzados Cruzados y Los Indios no observan observan cU . Sin embargo, embargo, observan observan si el Dr. Zoroco Zoroco le hizo hizo una oferta oferta o no al jugado jugador. r. ¿Cambian ¿Cambian sus result resultados ados que obtuv obtuvoo en 4. y 5.? Explique la intuici´ on on detr´ as as de su respuesta.


1.4


50

Juegos est´ est´ aticos aticos con con informaci´ informaci´ on on incompleta

Un supuesto fundamental dentro de los juegos que hemos visto hasta ahora es que el jugador conoce el juego y que esto es conocimiento com´ un. un. Los jugadores podr´ıan ıan tener dudas durante el transcurso del juego, pero no sobre su estructura. En esta sección on analizaremos juegos en que esto no se cumple, es decir, los jugadores tienen incertidumbre sobre el juego aún un antes de empezar. Ejemplo 25: Un remate Cada jugador conoce su precio de reserva, pero no conoce los precios de reserva de quienes participar´ an an en el remate. 1.4.1 1.4.1

Un juego juego parti particu cula lar r

Supongamos un juego est´ atico atico J = N, (Ai ), (ui ) con N = 4, en el que los pagos de los jugadores son:





1. u1 (a) = π1 V 1 (a1 , a3 ) + (1

− π1)V 1(a1, a4) 2. u2 (a) = π2 V 2 (a2 , a3 ) + (1 − π2 )V 2 (a2 , a4 ) 3. u3 (a) = π3 V 3 (a1 , a3 ) + (1 − π3 )V 3 (a2 , a3 ) 4. u4 (a) = π4 V 4 (a1 , a4 ) + (1 − π4 )V 4 (a2 , a4 ) Como ya sabemos, la combinaci´ on on de estrategias a∗ es un equilibrio de Nash si: ui (a∗ )

≥ ui(ai, a−∗ i) ∀ ai ∈ Ai

Notemos, sin embargo, que las funciones de utilidad tienen una forma particular. En lo que sigue, daremos la siguiente interpretaci´ on on a este ejemplo: 1. Hay s´ olo olo dos jugadores, A y B . A puede ser de dos tipos: tipos : 1 o´ 2. B puede ser de tipo 3 o´ 4. 2. Cada jugador conoce su tipo pero no el del otro jugador. 3. π1 es la probabilidad que el jugador de tipo A, cuando es de tipo 1, 1, atribuye a que B sea de tipo 3. En lo que sigue, sigue, verem veremos os en ma mayo yorr detalle detalle de donde donde provie provienen nen estas probabil probabilidad idades. es. Pero, Pero, es necesario tener claro que, técnicamente, ecnicamente, no estamos haciendo nada nuevo, sino reinterpretando el modelo para considerar situaciones en que los jugadores no conocen exactamente contra quien están an jugando. Por eso, la innovaci´ on en este caso es la historia que rodea al juego. on


1.4.2 1.4.2


51

Juegos Juegos bay bayesi esianos anos en forma forma norm normal al

En principio, principio, la ignorancia de un jugador jugador se puede referir referir a muchas muchas cosas: las funciones funciones de pago del resto de los jugadores, jugadores, las acciones acciones que otros jugadores pueden elegir, elegir, las caracter caracter´´ısticas del medio ambiente en donde se juega, la informaci´ informaci´ on on con que cuenta el resto de los jugadore jugadoress, etc. Sin em embar bargo, go, todas todas estas estas incert incertidu idumb mbres res pueden pueden reduci reducirse rse al caso caso en que los jugado jugadores res tienen tienen informaci´ on imperfecta sobre las funciones de pago del resto de los jugadores. Por tanto, el primer on paso que debemos dar para describir un juego bayesiano es representar la idea que en ellos cada jugador conoce su propia funci´ on de pago, pero no la de sus rivales. Para simplificar, consideraremos on el caso en que sólo olo hay dos jugadores. Definici´ on o n 15 Un juego bayesiano consiste en: 1. Un conjunto conjunto N de jugadores, jugad ores, más as la naturaleza ( N N = 2, para este curso). 2. Para Para cada jugador, un conjunto conjunto Ai de acciones posibles. 3. Para Para cada jugador un conjunto conjunto T i de tipos o encarnaciones posibles. 4. Para Para cada jugador, jugador, una funci´ on de utilidad del tipo VNM ui : A1

× A2 × T i → IR

5. Una distribuci´ distribuci´ on de probabilidades conjuntas: (a) p : T 1 (b)

×

T 1 ×T 2

T 2

→ [0, [0, 1]

pl = 1,

que es conocimiento com´ un, con que la naturaleza elige las encarnaciones de cada jugador. Denotamos el juego en forma normal por: B = N = 2, (Ai ) , (T i ) , (ui ) , p





El orden de las jugadas se elige como sigue: 1. La naturaleza naturaleza elige (t1 , t2 ) no el del otro jugador.

∈ T 1 × T 2 de acuerdo a p, y le revela a cada jugador su tipo, pero

2. Los Los jugadore jugadoress eligen eligen acciones acciones simult´ simultaneamente. ´ Notar que con este procedimien procedimiento to hemos transformado transformado un juego con informaci´ informaci´ on incompleta en un juego juego con informaci´ informaci´ on imperfecta: los jugadores conocen la estructura del juego, pero al momento on de tomar sus decisiones no conocen exactamente cual es la historia del juego.



52

Supongamos ahora que la naturaleza le revela al jugador 1 que su tipo es k. Este jugador jugador calcula calcula la probabilidad que el jugador 2 sea del tipo m por:

  

k π1k (m) = prob tm 2 /t1 =

pkm pkm

(1.1)

m

La informaci´ on que le es revelada por la naturaleza le permite a este jugador usar la regla de Bayes on para mejorar su información. on. As´ As´ı, cuando cua ndo es del tipo ti po tk1 , el jugador 1 elige a1 A1 para maximizar:

∈



π1k (m)u1 (a1 (k), a2 (m); k )

(1.2)

m

Donde a2 (m) reconoce que encarnaciones distintas del jugador 2 tomarán an decisiones distintas. Notar que la expresión on (1.2) es una expresión on similar a la que vimos en la sección on 1.4.1. Antes de definir un equilibrio bayesiano, debemos definir lo que es una estrategia en el contexto de un juego juego bayesi bayesiano ano.. La idea en este este caso caso es que si bien bien visualiza visualizamos mos en cierto modo a cada cada encarnaci´ on como un jugador distinto, reconocemos que estamos hablando del mismo jugador que on puede tomar distintas encarnaciones. Definici´ on o n 16 En B = N = 2, (Ai ) , (T i ) , (ui ) , p una estrategia de i es una funci´ on S i : T i Ai . S i es el set de estrategias de i.





−→

Notar que esta definición on es idéntica entica a la definici´ on tradicional de estrategia como plan completo. on La siguiente definición on será util u ´ til m´ as as adelante: Definici´ on o n 17 A S i : T i A S i : T i Ai tal que separaci´ on. on.

−→

co nfus usi´ ión. on . −→ Ai tal que S i(tk ) = ai, ∀ tk ∈ T i, se le llama estrategia de conf ∃ tk , tl ∈ T i de manera que S i(tk ) = S l (tl ), se le llama estrategia de

Con esta definición, on, estamos en condiciones de definir lo que es un equilibrio bayesiano. bayesiano. Definici´ on o n 18 En el juego bayesiano B = N = 2, 2 , (Ai ) , (T i ) , (ui ) , p la combinaci´ on de estrategias ∗ ∗ ∗ s = (S 1 , S 2 ) es un equilibrio bayesiano si i N , y ti T i :

 l

πiti (l) ui

 ∀ ∈ S i∗ (ti ) , S j∗ (tl ) ; ti ≥



  l

∈







πiti (l) ui ai , S j∗ (tl ) ; ti ,

∀ ai ∈ Ai

Ejemplo 26: Una licitaci´ on de sobre cerrado, primer precio on Hay dos participantes cada uno de los cuales valora el bien en vi , i = 1, 2. vi se distribuye uniformemente en el intervalo [0, [0, 1]. Los licitantes licitantes son neutros al riesgo y todo esto es de conocimiento conocimiento com´ un. un. Gana la licitaci´ on on la postura más as alta. Entonces:

• N = 2.



53

• Ai = [0[ 0, ∞). • T i = [0, [0, 1]. • vi  U [0 U [0,, 1], independientes indep endientes entre s´ı. vi − bi si bi > b j • ui(b1, b2, vi) = v −2 b si bi = b j

 

i

i

0

si bi < b j

Para encontrar un equilibrio bayesiano para este juego, construimos una estrategia bi : [0, [0, 1] [0, [0, ). El par de estrategias (b (b1 (v1 ), b2 (v2 )) es un equilibrio bayesiano si vi [0, [0, 1]:

∞



∀ ∈

max (vi bi

− bi ) ×

1 prob[b prob[bi > b j (v j )] + (vi 2

Proposici´ on on 6 El par de estrategias bi (vi ) = Demostraci´ on: on: u1

≡ max b 1



(v1

− b1) ×



vi 2



prob[bi = b j (v j )] − bi) × prob[b

∀ i es un equilibrio bayesiano.



v2 1 prob b1 > + (v1 2 2

Dado que

→



− b1 ) ×



v2 prob b1 = 2





v2 prob b1 = =0 2

Entonces: u1

≡ max b 1

Pero:



 

(v1

− b1 ) ×



v2 prob b1 > 2

v2 prob b1 > = prob[v prob[v2 < 2b1 ] = 2





2b1

dx = 2b1

0

Entonces: u1

)2b1 } ≡ max {(v1 − b1)2b b 1

Luego: ∂u 1 = 2v1 ∂b 1

− 4b1

= 0

b1 =

v1 2



Observaciones: Observaciones : 1. Cada jugador jugador ofrece la mitad de su valoraci´ valoraci´ on. on. Esto se˜ nala nala el trade-off fundamen fundamental tal de toda licitaci´ on: on:



54

(a) Al aumentar aumentar bi , se aumenta la posibilidad de ganar. (b) Pero, Pero, de ganar, se disminuye disminuye el excedente. excedente. 2. Este equilibrio es unico u ´ nico (lo demostraremos m´ as as adelante) y es sim´ si métri et rico co.. 3. El equilibri equilibrio o es eficiente, eficiente, gana quien valora m´ as el bien. Este resultado es sumamente depenas diente de la l a simetr si metr´´ıa del juego. 1.4.3 1.4.3

El princ princip ipio io de la la revel revelaci aci´ on o ń

Lo que hemos hecho hasta ahora es lo siguiente: especificamos un juego y encontramos su resultado. Existe un área area de la teor´ teor´ıa de juegos llamada dise˜ no de mecanismos que sigue el procedimiento inve inverso rso:: parte parte de un resultad resultadoo y luego luego constr construy uyee un juego para el cual cual dicho dicho resultado resultado es un 1 equilibrio . En este curso no entraremos más as que en un resultado de esta área, area, pero que es fundamental conocer: el principio de la revelaci´ on . Para introducirnos en los que nos ocupará en esta sección, on, recordemos el ejemplo de la licitaci´ on on y pongámonos amonos en los zapatos zapatos de quien quien vende vende el bien. bien. Segura Seguramen mente te a esta esta persona persona le inter interesa esar´ r´ a dise˜ nar nar una licitaci´ on tal que sus ingresos esperados por la venta sean máximos on aximos.. Sin embar embargo, go, uno de los problemas que enfrenta es que existen much´ much´ısimos mecanismos posibles para dise˜ narla narla y compararlos compararlos po dr´ dr´ıa ser imposible. A pesar de esto, existe una clase de mecanismos mecanismos relativamen relativamente te sencillos que consisten en que cada jugador declare su tipo o encarnación, on, y el resultado del juego es función on de lo que los jugado jugadores res declare declaren n conjun conjuntam tamen ente. te. Este Este tipo de mecani mecanismo smoss reciben reciben el nombre de mecanismos directos. directos. Dentro de los mecanismos directos, están an aquellos en que los jugadores dicen la verdad , es decir, aquellos en que, en equilibrio, para cada jugador es óptimo optimo declarar declarar fidedigname fidedignamente nte su tipo. En el caso del remate, el mecanismo directo consiste en que los jugadores declaren su valoraci´ on, on, y la regla de pago y de asignaci´ on del bien es tal que, a cada jugador, le conviene declarar su valoración on on fidedignamen fidedignamente; te; incidenta incidentalmen lmente, te, recordemos recordemos que éste este era el caso cuando cuando se usaba licitaci´ licitaci´ on de sobre cerrado segundo precio. precio. A este tipo de mecanismos se les llama compatibles en incentivos. incentivos. Los mecanismos directos y fidedignos son muy convenientes convenientes pues son relativamente relativamente f´ aciles aciles de plantear tear y de ente entend nder er.. El principio principio de la revelac revelaci´ i´ on nos indica que además as de conven convenient ientes es son suficientes en el sentido del siguiente teorema: Teorema 3 Cualquier equilibrio bayesiano de cualquier juego bayesiano puede obtenerse a trav´ través es de un mecanismo directo y compatible en incentivos. ¿Qu´ e dice el teorema anterior? Volvamos al ejemplo del remate. Sabemos que en equilibrio bi = v2i . El principio de la revelaci´ on dice que este equilibrio bayesiano puede obtenerse de un mecanismo on directo y compatible en incentivos en el que para cada jugador es óptimo optimo revelar su valoraci´ on. on. 1

Por

mecanismo

entenderemos un conjunto de reglas.



55

Reconsideremos ahora el problema de nuestro diseñador nador de licitaciones que requiere maximizar su ingreso ingreso esperado esperado.. El principi principioo de la revela revelaci´ ci´ o n dice que se puede restringir la b´ on usqueda usqueda a los mecanismos mecanismos directos y compatibles compatibles en incentivos. incentivos. Supongamos Supongamos que se encuentr encuentra a la licitaci´ licitaci´ on óptima, luego este mecanismo es optimo optima, o´ptimo entre todos los mecanismos mecanismos posibles; si existiera existiera alg´ un un otro que fuera mejor, éste este podr´ podr´ıa representarse como un mecanismo directo y compatible en incentivos. En las siguie siguient ntes es seccion secciones es del curso curso usarem usaremos os repetid repetidame ament ntee este este princi principio pio.. Pasem Pasemos os ahora ahora a demostrar el teorema: Demostraci´ on: on: 1. Considerar Considerar el juego bayesiano bayesiano B = 2, (Ai ) , (T i ) , (ui ) , p , en el que s∗ es un equilibrio bayesiano. Por demostrar demostrar que existe existe un mecanismo directo directo B ∗ = 2, (T i ) , (T i ) , (vi ) , p , tal que (T i (ti ) = ti )i2=1 es un equilibrio bayesiano, donde vi se deduce de B y s∗ .









2. Antes Antes de seguir, notemos notemos que en B ∗ : (a) El espacio espacio de acciones acciones de cada jugador jugador es T i , esto es obvio, pues lo que hace cada jugador en un mecanismo directo es declarar su tipo. (b) (u (ui ) ha sido sustituido por (v (vi ), las cuales dependen en forma particular de s∗ . Esta es la clave para entender el teorema 3. Notar que, para el jugador 1, S 1∗ (t1 ) resuelve: arg max u1 (a1 , S 2∗ ; t1 ) A1

{

}

Aqu´ı hay un peque˜ peq ueño no abuso de la notaci´ on, on, es decir: u1 (S 1∗ (t1 ) , S 2∗ ; t1 )

≥ u1 (a1, S 2∗; t1) , ∀ a1 ∈ A1

4. De esto se sigue que: u1 (S 1∗ (t1 ) , S 2∗ ; t1 )

≥ u1 (S 1∗ (τ 1) , S 2∗; t1) , ∀ τ 1 ∈ T 1

Vale decir, cuando el jugador 1 es de tipo t1 , no le conviene seleccionar la acci´ on on que elegir´ ele gir´ıa ıa si fuera de tipo τ 1 = t1 . Esto, si bien es obvio, es clave para lo que sigue.



5. Definimos Definimos ahora: ahora: v1 (τ 1 , τ 2 ; t1 )

≡ u1 (S 1∗(τ 1), S 2∗ (τ 2) ; t1)

Si 1 y 2 declaran ser de tipo τ 1 y τ 2 , entonces entonces se les asignan asignan acciones acciones S 1∗ (τ 1 ) y S 2∗ (τ 2 ). Por lo tanto, si el jugador 1 declara ser de tipo τ 1 , se le asigna la acci´ on on S 1∗ (τ 1 )2 . 2

Recordar que

∗

S 1

: T 1

→

A1



56

6. La demostrac demostraci´ i´ on on de que (τ (τ i∗ (ti ) = ti ) es un equilibrio, sigue de notar que: v1 (τ 1 , τ 2∗ ; t1 )

≤ v1 (t1, τ 2∗; t1)

≡ ≡

u1 (S 1∗ (τ 1 ), S 2∗ ; t1 ) u1 (S 1∗ (t1 ), S 2∗ ; t1 )

Y an´ alogamente alogamente para 2. Ejemplo 27: Monopolista Considere Considere un monopolista monopolista que enfrenta enfrenta consumidore consumidoress cuya cuya funci´ funcion oń de utilidad es: u(x , T , θ) θ) = θV ( θV (x)

−T

V  > 0, V  < 0

con x la cantidad consumida del bien y T la tarifa cobrada por el monopolista. θ es un parámetro ametro A B A B que denota la valoraci´ on on del bien. Supondremos Supondremos que θ θ , θ , con θ > θ . El monopolis monopolista ta quiere maximizar sus utilidades, para ello ofrece canastas x a precios T ( T (x).

∈

 

El principio de la revelación on implica que puede restringir su búsqueda usqueda a mecanismos directos y compatibles en incentivos, en que el par (x, (x, T ) T ) asignado en función on del θ revelado. Si la proporción on de clientes de valoraci´ on on alta es λ (0, (0, 1), entonces resuelve:

∈

max λ [T A (xA ) C (xA )] + (1 λ) [T B (xB ) C (xB )] s.a. 1. θi V ( V (xi ) T i 0 Restriccion oń de participaci´ on on A A 2. θ V ( on on de incentivos. V (xA ) T A θ V ( V (xB ) T B Restricci´ B B 3. θ V ( V (xB ) T B θ V ( V (xA ) T A Restricci´ on on de incentivos.

{

−

 →

Entonces, (T (T , x) : θA , θB posibles. posibles.

−

− ≥ − ≥ − ≥

−

}

− −

IR+ que resuelve este problema es óptimo optimo entre todos los mecanismos

Ejemplo 28: Tesis de Daniel Hojman En ocasiones, la estrategia optima o´ptima depende del tipo o encarnaci´ on del jugador. De este modo: on S 1∗ (1) = a(1) S 1∗ (2) = S 1∗ (3) = .. .

∈ A1 a(2) ∈ A1 a(3) ∈ A1

S 1∗ (n1 ) = a(n1 ) Luego, S 1∗ (t1 ) de tipo j .

∈ A1

∈ A1, por lo tanto, una vez conocida a(t j ) t j = 1, 2, . . . , n1, se sabe que el jugador es

Se puede constru construir ir un mecani mecanismo smo del tipo: tipo: “Si t´ u me dices que eres de tipo τ 1 , yo te dicto jugar S 1 (τ 1 ) = a(τ 1 ).” Luego, la utilidad del jugador es u1 (S 1 (τ 1 ), S 2∗ ) y esto se maximiza seleccionando S 1 (τ 1 ) = S 1∗ (τ 1 ) = a(τ 1 ). Es decir, lo óptimo optimo es decir la verdad.


1.4.4 1.4.4


57


Ejercic Ejercicio io 24: Considere un duopolio de Cournot que opera en un mercado cuya demanda inversa es P ( P (Q) = a Q, donde Q q1 + q2 es la cantidad agregada que las empresas ofrecen en el mercado. Ambas empresas tienen costos totales ci (qi ) = cqi , pero la demand demandaa es incier incierta: ta: es alta (a (a = a+ ) con probabilidad p y baja (a (a = a− ) con probabilidad 1 p; obviamen obviamente te a+ > a− . Adem´ dem´ as, as, la informaci´ on o n es asim´ asimétrica. etrica. La empresa 1 conoce si la demanda es alta o baja antes antes de decidir decidir cu´ anto anto producir, pero la empresa 2 no lo sabe. Todo esto es conocimiento conocimiento com´ un. Las dos empresas eligen cantidades simult´ aneamente. aneamente.

−

≡

−

1. Describa Describa el juego. juego. 2. Suponga que a+ , a− , q y p son tales que las cantidade cantidadess de equilibrio son positivas. positivas. Encuentr Encuentree el equilibrio bayesiano de este juego. Ejercic Ejercicio io 25: Considere el juego bayesiano

N = 2, (Ai) , (T i) , (ui) , p 1. Harsanyi Harsanyi distingue distingue entre la interpre interpretaci´ taci´ on del juego centrada en los jugadores, y la interpreon taci´ on on centrada en los tipos. Explique a qu´ e se refiere. 2. Explique en qu´ e consiste un juego con información on incompleta y dist´ dist´ıngalo de uno con informaci´ on on imperfecta. imperfecta. Luego explique en qu´ qué consiste consiste la transformac transformaci´ i´ on o n de un juego con informaci´ on on incompleta en uno con información on imperfecta. En el resto de la pregunta suponga que A1 = A2 = a,b,c , y que cada jugador puede ser de dos tipos.

{

}

3. Escriba Escriba una estrategia estrategia del jugador 1. 4. Defina equilibrio equilibrio bayesiano bayesiano en el contexto contexto de este juego. 5. Suponga que el juego

N = 2, (Ai) , (T i) , (ui) , p tiene sólo olo un equilibrio bayesiano, en que ambos jugadores utilizan una estrategia de separaci´ on. Use el principio de la revelación on. on y transfórmelo ormelo en un mecanismo directo y compatible en incentivos, vale decir, en un juego

N = 2, (T i) , (T i) , (vi∗) , p Explique en qu´ e consiste el principio de la revelaci´ on. on.



58

Ejercic Ejercicio io 26: Considere una licitaci´ on o n en la que se vende ende un cuad cuadro ro.. Ha Hay y n > 1 interes interesado ados. s. A cada uno de los participantes el riego les es indiferente y sus valoraciones se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, [0, 100] 100].. Todo esto es de conocimi conocimien ento to com´ un. un. El cuadro cuadro se le adjudi adjudicar car´ a´ a quien haga la mejor oferta. oferta. Quien Quien la haga haga pagar´ pagar´ a su oferta (es decir, la licitación on es de sobre cerrado primer precio). 1. Describa Describa el juego bayesiano. bayesiano. 2. Escriba Escriba una estrategia estrategia del jugador i. 3. Encuentre el equilibrio bayesiano bayesiano de este juego y demuéstrelo estrelo con rigurosidad. 4. Use el principio principio de la revelaci´ revelaci´ on y transforme la licitaci´ on on descrita en un mecanismo directo y on compatible en incentivos. Luego demuestre que en equilibrio los participantes dicen la verdad. Ejercic Ejercicio io 27: Dos ej´ ercitos ercitos se disputan disputan una isla. El comandante comandante de cada ej´ ercito ercito puede elegir “atacar” “atacar” o “no atacar”. Adicionalmente, cada ej´ ercito ercito es “débil” ebil” o “fuerte” con igual probabilidad; los eventos son independientes, indep endientes, y la fortaleza de un ejército ercito sólo olo es conocid conocidaa por su com comand andan ante. te. Los pagos pagos son como sigue. La isla vale M si es capturada. capturada. Un ejército ercito captura captura la isla cuando ataca y el otro ejército ercito no lo hace, o bien b ien cuando es fuerte, fu erte, ambos atacan ataca n y el otro ejército ercito es débil. ebil. Si dos ejércitos ercito s de igual fortaleza atacan, ninguno conquista la isla. i sla. El costo de pelear p elear es d si el ejército ercito es débil ebil y f si el ejército ercito es fuerte, con f < M < d. d. Atacar no tiene costo cuando el ejército ercito rival no o hace. 1. Demuestr Demuestree que la combinaci´ combinaci´ on on de estrategias simétricas etricas tal que un ej´ ercito ercito ataca cuando es fuerte, pero p ero no lo hace cuando es débil ebil es un equilibrio bayesiano. 2. Considere Considere la siguiente siguiente combinaci´ combinaci´ on de estrategias: estrategias: el ej´ ercito ercito 1 ataca no importando importando si es fuerte o d´ ebil; ebil; el ej´ ercito ercito 2 no ataca nunca. Encuentre aquellos valores de M, f y d tal que esta combinaci´ on on de estrategias estrategias es un equilibrio bayesiano bayesiano (siga suponiendo que f < M < d). d). 3. Explique intuitivamente intuitivamente por qu´ e un ej´ ercito ercito fuerte podr´ podr´ıa no querer atacar en equilibrio, cuando al mismo tiempo el ejército ercito rival lo hace a´ aun ´ cuando cua ndo es débil. ebi l.

Ejercic Ejercicio io 28: Regula Regulando ndo a una empresa empresa sin conocer sus costos costos Considere el problema de un regulador que debe contratar a una empresa privada monop´ olica olica para A que le produzc produzcaa un bien. El costo por unidad unidad es consta constant ntee pero puede puede ser alto (c (c ) o bajo (c (cB ). La empresa empresa conoce su costo, costo, pero el regula regulador dor no puede puede observ observarlo. arlo. Desde Desde su punto punto de vista, vista, la empresa tiene costos altos con probabilidad π (0, (0, 1). Sin embarg embargo, o, el regulado reguladorr puede puede elegir la

∈



59

cantidad que quiere comprar (q ( q ) y el monto total que pagar´ a (R) y hacerlo depender de cualquier declaraci´ on on de la empresa empresa que elija. Si la empres empresaa produce produce q unidades y se le paga R, la utilidad del regulador es B (q ) R,

−

con B  > 0, B  < 0. Obvia Obviamen mente, te, la partic participac ipaci´ i´ on de la empresa es voluntaria, vale decir, el on regula regulador dor tiene que ofrece ofrecerle rle al menos menos lo suficie suficient ntee para para que cubra cubra sus costos. costos. Suponga Suponga adem´ adem´ as as que para el regulador es indispensable que la empresa, aún un si es de costos altos, acepte producir el bien. El regulador regulador tiene que dise˜ nar un contrato y su objetivo es maximizar el costo esperado de nar abastecimiento, viz. E [ E [B (q ) R] .

−

1. Dé un ejemplo de un mecanismo indirecto en este caso. 2. Describa Describa rigurosamente un mecanismo directo en este caso. 3. Explique formalmente qu´ e significa que un mecanismo sea “compatible en incentivos”. Luego enuncie las condiciones para que el mecanismo directo que describió en 2. sea compatible en incentivos. (Ayuda: parta escribiendo la función on de pago de la empresa.) 4. Enuncie Enuncie el problema de optimizaci´ optimizaci´ on que debe resolver el regulador. on 5. Enuncie el el “principio de la revelaci´ on” on” y explique expl ique qué significa si gnifica.. Luego explique por qué y c´ omo omo este principio le permite simplificar el problema de maximización on que resuelve el regulador.

Cap´ıtulo 2

Intro Introdu ducc cci´ i´ on on a la econ econom om´ ´ıa de la informaci´ on on 2.1

Introducci´ on on

La teor teo r´ıa econ´ eco n´ omica tradicional supone que, en un mercado, la informaci´ omica on on con que transan las partes es simétrica. etrica . La econom´ıa ıa de la informaci´ informa ci´ on estudia situaciones en que esto no se cumple. on Cuando hablemos de la l a econom´ econom´ıa de la l a informaci´ on, usualmente supondremos que lo que se transa on, es un contrato. contrato. Esto no es restrictivo, restrictivo, puesto puesto que las transacciones transacciones que no envuelven envuelven tiempo (por ejemplo, la compra de una revista en un kiosko) las consideramos un contrato spot . El principio princip io fundamenta f undamentall detr´ de trás as de la econom´ıa ıa de la l a informac i nformaci´ ión on es que las l as acciones a cciones especificada espec ificadass por un contrato deben ser compatibles con la información on disponible. Un corolario corolario de este principio principio es que las intervenciones del regulador deben respetar sus restricciones de información. on. De est estee principio se siguen varias consecuencias: 1. En contraste contraste con el mundo de Arrow-Debreu Arrow-Debreu en que los contratos contratos son: (a) (b) (c) (d)

Observables. Observables. Verificables. Completos. Completos. Hacerlos Hacerlos cumplir cumplir no tiene costo. costo.

En lo que sigue consideraremos casos en que algunas de las variables no son observables o verifi verificab cables les.. Por Por eso, eso, las posibilida posibilidades des de hacer hacer cumplir cumplir un contra contrato to van a depende dependerr de qu´ e variables son verificables; en general (y esto es lo que hace interesante el problema), las variables objetivo de los contratos no van a ser ni observables ni verificables. 2. El que las variabl variables es m´ as relevantes para el contrato no sean verificables introduce el problema as del comportamiento comportamiento oportunista . T´ıpicamente, estos problemas ocurren o curren ex-post, es decir, una 60


´ ´ INTRO INTRODUC DUCCI CI ON A LA ECONOM ´ IA DE LA INFORMACI ON

61

vez que el contrato se firmó, o, pero afectan afectan los incentivo incentivoss ex-ante. ex-ante. Por esto, el contrato contrato debe proveer los incentivos correctos. 3. No es posible p osible asegurar asegurar completamen completamente. te. 4. Necesitamos Necesitamos un est´ est´ andar para evaluar cuan deseable es una determinada asignación andar on de recursos que considere las limitaciones del planificador. Esto nos lleva al concepto de optimalidad de Pareto restringida . 5. Las transaccion transacciones es no son impersonales (un ejemplo en que esto se ve claramente es en relaciones de cr´ edito), edito), lo cual tiene varias consecuencias: (a) La teor´ıa ıa de juegos es la herramienta natural. (b) La estructura estructura de mercado mercado puede cambiar una vez que se contrata: contrata: ex-ante ex-ante hay competencia; ex-post las relaciones son más as personales. personales. (c) En general, los precios no son param´ etricos, etricos, a´ aun uń si hay competencia (libre entrada), y se compite en m´ as as de una dimensión. on. 6. Clasificaci´ Clasificaci´ on on de asimet a simetrr´ıas de informac i nformaci´ i´ on: on: (a) Pre-contrato. Pre-contrato. En esta situación on tenemos lo que se conoce como selecci´ on adversa . Hay dos casos i. Quien no está informado mueve primero y tratará de estructurar un contrato de forma tal que pueda ordenar ordenar a los distintos tipos de jugadores. Esto nos llevar´ llevar´ aa modelos de filtros. filtros. ii. Quien est´ a informado mueve primero y as´ as´ı, la respuesta del mercado ser´ a intentar revelar la informaci´ on. on. Esto nos llevar´ a a modelos de se˜ nales. nales. (b) Post-contrato. Post-contrato. En este este caso caso tenem tenemos os lo que que se conoce conoce como como moral hazard. Aqu´ı tenemos dos clases básicas asicas de modelos: i. Acciones no observables. observables. Por ejemplo, un vendedor vendedor observa observa su esfuerzo, no as´ as´ı la empresa que lo contrata. ii. Resultados no observables. observables. Por Por ejempl ejemplo, o, una persona persona que reporta reporta falsamen falsamente te a su compa˜ n´ıa de seguros que le robaron la radio del auto. A estos modelos mo delos se les conoce tambi´ ta mbién en como co mo de verificaci´ on costosa de estado. estado.

2.2 2.2

Sele Selecc cci´ i´ on on adversa, se˜ nales nales y filtros

Ejemplo 29: El mercado de autos usados. Consideremos un mercado de autos usados. Supongamos que la calidad de los autos se distribuye uniformemente a lo largo del intervalo [0, [0, 1], es decir, θ  U [0 U [0,, 1]. Cada comprador est´ a dispuesto 3 a pagar p = 2 θ por un auto de calidad θ. Cada due˜ no no de auto está dispuesto a vender su auto de calidad θ por θ. Ambos son neutrales al riesgo. Consideremos los siguientes casos:



62

Calidad Promedio T 1 ....................... .. .. .. .. .. ... .. Disposición on a Pagar .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. E . 1 2

1

Figura 2.1: El mercado de autos usados 1. Informaci´ Informaci´ on on simétrica etrica y calidad cali dad conocida: el precio de un auto de calidad θ es 32 θ. 2. Informaci´ Informaci´ on on simétrica etrica y calidad desconocida: descono cida: el precio de un auto es 32 µ = tienen igual precio), donde µ = E (θ).

3 4

(todos los autos

3. Informaci´ Informaci´ on on asim´ a simétrica etr ica:: s´ olo el vendedor conoce la calidad del auto: olo

• Todos los autos deben venderse al mismo precio, puesto que los compradores no pueden distinguir los buenos de los malos veh´ veh´ıculos.

• Suponer que el precio es p.

Entonc Entonces es se vende venden n sólo olo aquellos autos tales que θ p calidad promedio de estos autos es 2 .

≤ p; la

on a pagar es: • Pero, si la calidad promedio es 2p , la disposición



3 p 3 = p 2 2 4

• Al unico u ńico precio en que 34 p = p es p = 0. Por lo cual, en este caso no se transan autos. autos. El ejemplo visto es un caso extremo de lo que se conoce como selecci´ on adversa . La génesis enesis del problema es que los compradores no pueden distinguir un auto bueno de uno malo y, por lo tanto, no estarán an dispuestos a pagar m´ as as que el valor promedio. promedio. Esto induce, induce, en algunos casos, casos, a que se retiren del mercado precisamente aquellos que tienen los mejores autos. De all´ı el nombre selecci´ on adversa . En lo que sigue, plantearemos un modelo m´ as as general para: 1. Estudiar Estudiar la naturaleza naturaleza de los equilibrios equilibrios en mercados donde hay selecci´ selecci´ on on adversa.



63

2. Analizar Analizar su eficiencia. eficiencia. 3. Estudiar Estudiar si el planificador planificador puede mejorar su funcionamient funcionamiento. o. 2.2. 2.2.1 1

Sele Selecc cci´ i´ on on adversa

Suponemos un continuo de compradores neutrales al riesgo, los que valoran un auto de calidad θ en θ. La calidad posible de un auto var´ var´ıa entre θ, θ¯ IR+ . La proporci´ on on de autos de calidad θ o menor es F ( F (θ), (F no-degener no-degenerada). ada). El valor de reserva de un auto de calidad θ es r(θ).

 ⊂

Proposici´ on on 7 Si la calidad (θ) es observable, entonces en equilibrio p∗ (θ) = θ; y venden autos quienes posean

{θ : r (θ) ≤ θ} ´ Este equilibrio es Pareto-Optimo. Demostraci´ on: on: Propuesta. Consideremos ahora el caso en que el vendedor conoce la calidad del auto, pero no el comprador, y en que el mercado es competitivo, competitivo, es decir, los participantes son tomadores de precios. En equilibrio, el precio es unico, u ńi co, si éste este es p, entonces el set de dueños nos de autos que vende es: Θ( p Θ( p)) = θ : p

{

La oferta de autom´ oviles oviles es



≥ r (θ)}

dF ( dF (θ). Notar que no importa si se venden venden autos de distinta distinta calidad

Θ( p) p)

porque el precio es unico. u ´ nico.

La demanda por autom´ oviles oviles es función on de su precio y de la calidad esperada de los automóviles, oviles, µ.

d ( p,µ) p,µ) =

 

0 si µ < p [0, [0, 1] si µ = p 1 si µ > p

Al equilibrio competitivo le exigimos que las conjeturas sean acertadas o racionales. racionales. Es decir, si p∗ es un precio de equilibrio, entonces: p∗ = E [ E [θ θ

| ∈ Θ∗ ]

(2.1)



64

con Θ∗ = θ : p∗

{

≥ r (θ )}

(2.2)

Definici´ on on 19 Un equilibrio competitivo es un par ( p∗ , Θ∗ ) tal que las expresiones 2.1 y 2.2 se cumplen. Observaci´ on o n 11 : N´ otese que hemos supuesto una demanda perfectamente elástica otese astica al precio, dada una calidad esperada. Si la demanda demanda tuviese tuviese pendiente negativ negativa (d (d p < 0), la demanda efectiva podr´ıa ıa tener pendiente positiva (elasticidad-precio positiva). ´ Observaci´ on o n 12 :En la mayor´ mayor´ıa de los casos el equilibrio no ser´ a Pareto-Optimo. La raz´ on on es que el valor promedio promedio para quienes venden venden es menor que el precio. En contraste, contraste, el valor marginal de un auto para quienes lo compran es igual al precio. Por eso, en equilibrio, equilibrio, el valor marginal marginal para un comprador es mayor que el valor para un vendedor promedio. De ah´ ah´ı la ineficiencia. ¿Qu´ e debe suceder para que haya selección on adversa? Es importante notar que la selecci´ on on adversa es un proble problema ma de la oferta oferta.. Cuando Cuando baja el precio, precio, salen salen del mercad mercadoo quiene quieness tienen tienen autos de mejor calidad. La condici´ on suficiente para que esto suceda es que el valor de reserva sea creciente on  con la calidad. (r (r > 0). 2.2.1. 2.2.1.1 1

Equili Equilibri brio o compet competiti itivo vo

Analicemos Analicemos los siguientes siguientes casos: 1. Equilibrio unico u ńico (Ver figura 2.2).

 

θdF (θ)

| ∈ Θ] = Θ

E [ E [θ θ

dF ( dF (θ)

dado que r  > 0

Θ

Notar que, p = r (θ) determina el rango de Θ. En la figura figura 2.2. notar notar que al precio precio r θ¯ todos los due˜ nos nos de auto venden venden.. En este caso, caso, E (θ) = media media pobla poblaci cion onal. al. A precios precios m´ as altos todos venden y la calidad promedio no as aumenta.



2. Equilibrios m´ ultiples (Ver figura 2.3). ultiples Notemos que el equilibrio con precio más a s alto (E (E 3 ) es Pare Pareto to-S -Supe uperi rior or a los los otro otross 2. En cualquier equilibrio, el excedente de quienes compran auto es cero, y quienes venden prefieren precios más as altos. Equilib Equilibrio rioss com comoo E 1 y E 2 surgen por un problema de coordinación: o n: los los compradores esperan que la calidad promedio de los autos sea baja y están an dispuestos a ofrecer un precio bajo. Esto lleva a que la calidad promedio de los autos efectivamente sea baja.



65

T θ¯ .......................................... .. .. .. .. E [θ p E [θ] .................................. p .. ... .. .. .. .. p∗ ....................... .. ... .. .. .. . .. . . . . . . . . . . . θ .. .. .. .. ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ..E .. . . . ∗ ¯ r(θ) p r(θ) θ¯

| ≥ r(θ)]

Figura 2.2: Equilibrio unico u ńico

T θ¯ .................................................. .. .. . E [θ] .....................................E...... .... .. .. .. .. .. .. E . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. .. ... .. .. . . .. .. .. θ ....... E .. .. .. .. .. ..E . .. .. . .  r(θ) p r(θ¯) θ¯ 3

2

1

Figura 2.3: Equilibrios m´ ultiples ultiples 2.2.1.2

´ Optimo de Pareto restringido

´ En general, vimos que el equilibrio en un modelo de selección on adversa no es Pareto-Optimo. Surge la pregunta si un planificador puede mejorar las cosas. El principio en este caso es que el planificador debe considerar que no cuenta con información on privada; as´ as´ı, debe basar sus intervenciones intervenciones s´ olo olo en informaci´ on o n p´ ublicament ublicamentee disponible. disponible. Una asignaci´ on que no puede ser mejorada en el sentido de on Pareto por un planificador sin acceso a informaci´ on privada se conoce como asignaci´ on on Pareto´ Optima restringida . Estudiaremos, como ejemplo, si en nuestro modelo un planificador puede lograr una mejora Pareto-



restringida restringida.. Supondremos Supondremos que r ( ) es estrictamente creciente, con r (θ) F ( F ( ) tiene una función on densidad conocida f ( f ( ), con f ( f (θ) > 0, θ planificador no puede observar la calidad de autos individuales.

·

·

·

∀ ∈

66

   

θ, θ¯ , y que θ, θ¯ . Obvia Obviamen mente, te, el

≥ 0, ∀ θ ∈

Notemos Notemos primero primero que el problema problema del planificador planificador se analiza analiza suponiendo suponiendo que éste este compra compra todos 1 los autos y luego los vende a los demandantes . Segund Segundo, o, el planifi planificad cador or s´ olo olo puede observar si un due˜ no de auto decide o no vender, pero no la calidad de un auto, por lo tanto, su intervención no puede discriminar solamente sol amente en base a si una persona p ersona vende o no v´ v´ıa pagos p y t. Finalmente, deben imponerse las restricciones adicionales que el planificador no pierda plata y deje escoger libremente a un due˜ no n o de auto si vende vende o no. no. (La (La cond condic ici´ i´ on de presupuesto equilibrado obedece a que si on el planificador pudiera tener déficit, eficit, habr´ habr´ıa que considerar de donde saca plata para financiarlo. Adem´ as, as, deep pocket implica que el planificador siempre puede implementar la asignación on Pareto´ Optima no restringida) restringida).. Proposici´ on on 8 En el modelo de selecci´ on adversa examinado, el equilibrio con mayor precio es ´ Pareto-Optimo restringido, y domina a cualquier equilibrio en que el precio es menor. Demostraci´ on: on: 1. La segunda parte de la proposición on es obvia: obvia: el planificador planificador siempre puede implementar implementar el ∗ equilibrio Pareto-superior fijando p = p3 y t = 0. Todo due˜ due˜ no n o de auto en Θ( p Θ( p∗ ) vende, y como p∗ = E [ E [θ r (θ) p∗ ], el planificador no tiene pérdidas erdidas si vende los autos a p∗ .

|

≤

2. Ahora bien, si todos los automovilista automovilistass venden en el equilibrio equilibrio Pareto-super Pareto-superior, ior, el equilibrio equilibrio ´ es Pareto-Optimo Optimo no restri restringid ngido. o. Por Por lo tanto, tanto, suponga supongamos mos que no todos venden venden en dicho dicho ∗ ´ equilibrio. Mostraremos que el equilibrio con p m´ as as alto es Pareto-Optimo restringido.

  

3. Notemos, Notemos, para empezar, empezar, que para para ( p,t) p,t) arbitrario, arbitrario, el set de autos es θ, θ , con θ que satisface:

 

t+r θ =p

(2.3)

(ya que r ( ) es estrictamente creciente). Adicionalmente, para respetar su restricción on presupuestaria, el planificador debe seleccionar ( p,t) p,t) de manera que:

·

   −    θ

pF θ + t 1

F θ

=

θf (θ) dθ

(2.4)

θ

Sustituyendo 2.4 en 2.3, se obtiene que:

   θ

t θ =

θf (θ) dθ

−r

θ

1

Esta es la forma tradicional de analizar problemas de este tipo.

    θ F θ

(2.5)



   θ

p θ =

   −  

θf (θ) dθ + r θ

θ

1

F θ

67

(2.6)

O, equivalentemente: equivalentemente:

      | ≤  −         | ≤  −       t θ = F θ

p θ = F θ

E θ θ

E θ θ

θ

θ

r θ

r θ

+r θ

(2.7) (2.8)

4. Suponer que el planificador selecciona θ = θ∗, donde θ∗ es el due˜ no no del auto marginal, a quien quien le es indife indiferen rente te vende venderr o no en el equilib equilibrio rio Pareto-s Pareto-super uperior ior.. Sabemos Sabemos que r (θ∗ ) = E [ E [θ θ θ∗ ] = p∗ . Luego, si el planificador selecciona θ = θ∗ , t = 0 y p = p∗ :

| ≤

T ¯ θ ................................................ .. .. .. .. .. .. E [θ] ....................................... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. E . . . ∗ p r(θ) θ¯

´ Figura 2.4: Optimo social



5. Demostrare Demostraremos mos que θ = θ∗ es óptimo optimo para el planificador. planificador. Para Para esto, basta demostrar demostrar que ∗ θ = θ deja peor, ya sea a quienes tienen autos de calidad θ, o a quienes tienen autos de calidad θ¯ (con esto basta para mostrar que no es posible una mejora en el sentido de Pareto).

 

 

6. Notar que quienes tienen autos de calidad θ quedan peor si p θ

 

tienen autos de calidad θ¯ quedan peor si t θ < 0.



7. Considerar Considerar θ <

θ∗ .

 

< r (θ∗ ) = p∗ . Quie Quiene ness

Como r θ < r (θ∗ ), la ecuaci´ on on 2.6 implica que:



    −

⇔

p θ

 −        | ≤  −      | ≤  − | ≤  θ

p θ

68

<

θf (θ) dθ + r (θ∗ ) 1

F θ

θ

r (θ∗ ) < F θ

E θ θ

θ

r (θ ∗ )

= F θ

E θ θ

θ

E [ E [θ θ

θ∗]

< 0



8. Considerar Considerar θ > θ∗. Notar que:

 

E [ E [θ r (θ)

|

≤ p] p] < p, ∀ p > p∗

9. Como p = r θ , sabemos que:

|

      ≤ ∀  | ≤    | ≤ 

E θ r (θ) Adem´ as: as:

r θ

E θ r (θ) Por ello,

Pero, en ese caso:

r θ

= E θ θ

 | ≤  −  

E θ θ

θ

θ > θ∗

r θ < 0,

θ



∀ θ > θ∗

      | ≤  −  

t θ = F θ

E θ θ

θ

r θ

<0

Con lo que quienes tienen autos de calidad θ¯ terminan terminan peor. Esto completa completa la demostraci´ demostraci´ on. La importancia de este resultado se refiere a que sugiere que aún un cuando los resultados a que ´ llegue el mercado pueden no ser Pareto-Optimos, la intervención on no necesariamente puede mejorar las cosas. cosas. En todo caso, caso, es necesar necesario io remarcar remarcar que este es un resultad resultadoo de equilibr equilibrio io parcial. parcial. En equilibrio general, no obstante, hay intervenciones del planificador que pueden mejorar las cosas a´ un un sin tener información on privada.


2.2.1. 2.2.1.3 3


69

Una aprox aproxima imaci´ ci´ on on desde la teor´ teor´ıa de juegos

En el análisis alisis preced preceden ente te hemos hemos supues supuesto to que los partic participa ipant ntes es del mercad mercadoo son tomador tomadores es de precios (price-takers). (price-takers). En el modelo modelo los particip participan antes tes del mercad mercadoo son sofistic sofisticados ados,, pues pues tienen tienen expectativ expectativas as racionales, racionales, pero supone que compradore compradoress y vendedor vendedores es no pueden pueden cambiar cambiar los precios precios a los que transan. transan. Este supuesto supuesto puede no ser razonable. razonable. Consideremo Consideremoss la situaci´ situaci´ on on del equilibrio E 2 en la figura figura del caso caso en el que exist exist´´ıan equilib equilibrio rioss m´ ultiple ultiples. s. Un comprad comprador or de autos m´ as as sofisticado podr´ podr´ıa razonar de la siguiente forma: Si subo el precio que ofrezco de p2 a p , la cantidad promedio de autos que atraer´ atraer´ıa ser´ıa: ıa:

|

E θ r (θ)

≤ p



> p

y, por lo tanto, en lugar de obtener excedente excedente cero, cero, podr podr´ ´ıa tener excedente excedente positivo. positivo. Lo razonable es pensar que en este caso, p no puede ser un equilib equilibrio rio.. Pero, Pero, notemos notemos que esto esto requiere un nivel mayor de sofisticación on por parte del participante del mercado. Para ejemplificar, supongamos que el juego consiste en lo siguiente:

 

1. F ( F ( ) , r ( ) y θ, θ¯ son conocimiento com´ un. un. Es decir, la estructura estructura del mercado mercado es conocimiento com´ un. un.

·

·

2. Se juega en dos etapas etapas.. En la primer primeraa etapa, etapa, dos comprado compradores res anunci anuncian an precios precios a los que están an dispuestos a comprar. 3. En la segu segund ndaa etap etapa, a, los los due˜ due˜ n os deciden si venden o no, y en caso de vender, a quien. nos Supondremos que en caso de estar indiferentes, eligen aleatoriamente entre los compradores. Proposici´ on on 9 Sea P ∗ el set de precios de equilibrio competitivo para el modelo visto anteriormente, y sea p∗ = max p : p P ∗ .

{

∈ }

1. Si p Si p∗ > r (θ) , y ε > 0 tal que E [ E [θ r (θ) p ] > p , p ( p∗ ε, p∗ ), entonces hay un unico ´ ∗ EPS en estrategias estrategias puras. En él el el precio precio seleccionado seleccionado por los compradores compradores es p y venden ∗ ∗ aquellos con autos en Θ ( p ) = θ : p r (θ )

∃

|

{

≤

≥

∀ ∈

−

}

2. Si p∗ = r (θ), hay m´ ultiples EPS. Pero, en todos ellos el resultado es que todo agente recibe un pago equivalente al que recibe en el equilibrio competitivo. Demostraci´ on: on:

• Intuición: on:

Suponer que E 1 es un equilibrio. equilibrio. En este caso, ambos compradores compradores (supongamos empresas) empresas) tienen utilidades utilidades iguales a cero. Pero, Pero, una de ellas podr´ podr´ıa ganar plata ofreciendo ofreciendo p . En



70

T θ¯ .................................................. .. .. . E [θ] .....................................E...... .... .. .. .. .. .. .. E .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. θ ....... E .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..E .. r(θ) p r(θ¯) θ¯ 3

2

1

Figura 2.5: M´ ultiples ultiples equilibrios. contraste, si p = p∗3 , no existe ninguna desviación on que deje utilidades. utilidades. Notar que esto requiere requiere que la empresa sea capaz de ofrecer un precio distinto al del equilibrio, y que conozca la estructura del juego, de manera tal que sepa la relación on entre precio y calidad promedio de los autos. Esto no es necesario en el equilibrio competitivo.

• Demostración on formal: 1. (a) Nota Notarr que que en equili equilibr brio io s´ olo puede comprar la empresa que paga más, olo a s, si es que ∗ r (θ) < p. Supongamos entonces que p > r (θ). (b) Mostremos Mostremos primero que en cualquier cualquier equilibrio, equilibrio, las empresas no tienen tienen utilidades. utilidades. Supongamos que, por contradicción, on, ambas empresas ganan plata ofreciendo p = p . Si a ese precio se transan M autos, las utilidades totales son:

 |

Π = M E θ r (θ)

 

≤ p − p

La empresa con menores utilidades gana a lo m´ as as  ofrecer p + α, α > 0, con lo que ganar´ a: a:

 |

Π = M E θ r (θ)

Π 2,

>0

pero, en ese caso le convendrá

  

≤ p + α − p + α

>0

para α suficientemente pequeño no (el que existe existe,, por contin continuid uidad) ad).. Por Por lo tanto, tanto, en equilibrio equilibrio las empresas empresas tienen utilidades utilidades iguales a cero. De esto, se sigue que s´ olo olo puede ser equilibrio un equilibrio competitivo. (c) De aqu´ aqu´ı, en equilibrio, equilibrio, se tiene que p P ∗ , o bien p < r (θ) . Supongamos que en equilibrio p < p∗ . En ese caso, caso, una empresa empresa gana si se desv´ desv´ıa y ofrece ofrece p ( p∗ ε, p∗ ) . Por lo tanto, p∗ es el unico u ´ nico candidato.

∈

−

∈



71

(d) Si ambas empresas empresas ofrecen ofrecen p∗ , una de ellas no puede ganar desviándose andose y ofreciendo  ∗ ∗  ∗ p ( p ε, p ) . Supongamos ahora que p > p . Por hipótesis, otesis, p∗ es el precio más as alto en un equilibrio competitivo, por lo que:

∈

−

| |

 −

E θ r (θ)

≤ p − p = 0.

E θ r (θ)

≤ p

Queda por demostrar que:

p < 0.

(e) Por continu continuidad idad se tiene que la expresi´ expresi´ on on en cuestión on es, o positiva o negativa, pero no cambia de signo. Ahora,

|

lim E θ r (θ) 

p →∞



≤ p − p = −∞,



pues E [ E [θ r (θ) p ] es acotado superiormente por E θ¯ . Lueg Luego, o, la expre expresi si´ on oń es  ∗ negativa p > p .

| ∀

≤

2. La segunda segunda parte de la demostraci´ demostracion oń queda queda propuesta. propuesta.


2 . 2 .2


72

Se˜ nales

En los modelos mo delos que hemos visto en la secci´ seccion oń anterior, la parte informada nunca compra conociendo la calidad del bien; sino que la averigua al consumirlo. En mercados como estos, uno esperar´ esperar´ıa que las partes perjudicadas dise˜ naran mecanismos para revelar la información naran on (por ejemplo, el caso de los vende vendedor dores es de autos autos de alta calidad) calidad) o para para extrae extraerla rla.. En esta secci´ seccion oń consideraremos el primero primero de estos dos casos. casos. La pregunta pregunta que intentar intentaremos emos responder es bajo qu´ qué condiciones condiciones la parte informada inform ada será capaz de informar informa r cre´ cre´ıblemente. ıblem ente. El problema central es que quienes tienen bienes de alta calidad no pueden pueden revelar revelar directamente directamente su informaci´ on: una simple declaraci´ on: on no sirve, pues cualquiera puede hacerla. De esto se sigue que on la se˜ nal debe ser costosa para quien la da. Sin embargo, esto no basta, pues quien tiene un bien de nal baja calidad podr p odr´´ıa pagar para dar la misma se˜ senal. ˜ De aqu´ aqu´ı que, para ser efectiva, efectiva, la se˜ senal nã l deber´ deb er´ıa ıa ser relativamente (es decir, en relación on al precio de venta) más as barata para quienes tienen bienes de alta calidad, de forma tal que quien tenga un bien de baja calidad decida no imitar. En lo que sigue formalizaremos estas intuiciones. Consideremos ahora un modelo del mercado del trabajo (parecido al de autos usados), en que hay dos tipos de trabajadores, uno de alta productividad θ = θA y otro de baja productividad θ = θB , con θA > θB . La proporción on de trabajadores de alta productividad es λ (0, (0, 1). 1). De forma similar al ejemplo de los autos usados, los trabajadores tienen un salario de reserva r (θ), y el salario de mercado es igual al producto marginal esperado.

 

 

∈

Hasta aqu´ aqu´ı todo es igual. Ahora introduciremos introduciremos la se˜ nal, educaci´ on. on. La caracter´ caracter´ıstica central de toda se˜ nal nal es que debe ser observable. observable. Si esto es as´ as´ı , es posible condicionar condicionar el contrato contrato a la se˜ nal. nal. Supondremos que para una persona de habilidad θ, el costo de obtener un nivel de educaci´ on on e es: c (e; θ)

(2.9)

con c (0; θ) ce (e; θ) cee (e; θ) cθ (e; θ)

= > > <

0 0 0 0

∀θ ∀e

Notemos que el costo de lograr un cierto nivel de educación on es mayor para una persona de baja habilidad. Sin embargo, esto no es suficiente. Supondremos adem´ as as que: ceθ (e; θ) < 0 ¿Cu´ al al es la diferencia entre cθ < 0 y ceθ < 0? Lo primero primero indica indica que el costo total del esfuerz esfuerzoo es menor para el individuo de alta habilidad, mientras que la segunda desigualdad impone que el costo marginal del esfuerzo es menor para el individuo de alta habilidad. Antes de seguir, introduciremos tres supuestos adicionales:



73

1. La educaci´ educaci´ on no afecta el producto marginal on marginal de la persona. persona. En este sentido, sentido, la se˜ nal nal no genera valor agregado. Es por esto que el impacto de las se˜ nales sobre el bienestar es ambiguo: por nales un lado, pueden beneficiosas si llevan a una asignación on m´ as eficiente; esto ocurre, por ejemplo, as si moderan la selección on adversa. Por otro lado, las se˜ nales son costosas; si en equilibrio debe nales invertirse mucho en la se˜ nal, el bienestar puede caer. nal,

 

2. Para simplificar, en lo que sigue supondremos que r θA = r θB = 0. N´ otese otese que en este ´ caso, si no hay se˜ nales, nales, el equilibrio equilibrio es ParetoPareto-Optimo. De esto se sigue que un equilibrio con señales nales podr p odr´´ıa ser Pareto-superior, pero pueden haber hab er equilibrios de separación on que no sean Pareto-Dominados. 3. La educación on no revela directamente información on sobre la habilidad de los trabajadores. La condici´ on clave en este modelo es que ceθ (e; θ) < 0, lo cual se conoce como la single crossing on property (SCP). Para entender qu´ e es y por qu´ e es importante, consideremos el siguiente gr´ g r´ afico: afico: w

T U B

U A

................................ .. .. .. .. .. .. ' .. .



∂w ∂e u .¯

= ce (e, θi )

.. .. e0

E e

Figura 2.6: Single crossing property = w

du ¯

=



dw de u ¯



d2 w dedθ u ¯

       

− c e; θ i dw − ce e; θi

u ¯

= ce e; θi > 0

= ceθ e; θi < 0

de = 0



74

Supongamos ahora que el mercado paga wB a quienes no tienen educación, on, y wA a quienes tienen educaci´ on on e. Entonces, Entonces, quienes quienes son de habilidad habilidad alta se educan, educan, pero no quienes son de habilidad baja. N´ otese que la SCP es crucial para que esto sea posible; en particular no basta con que cθ < 0. otese

T

U B

wA ............................................ .. .. .. ... .. .. ... .. wB .. .. .. .. .. .. .. ..

U A

E

Figura 2.7: El juego de las se˜ nales nales ´ Formulemos ahora el juego de se˜ nales. nales. Este es un juego dinámico amico con informaci´ on on incompleta.

La naturaleza elige el tipo

Contingente a su tipo, el jugador elige eli ge educaci educ aci´ón. on.

E El trabajador decide Condicional al nivel de educación on si acepta la oferta 2 empresas hacen ofertas

Para Para resolver resolver este juego, juego, notemos notemos que la decisi´ decisión on del trabajador sobre cu´ anto anto educarse depende del salario salario que espera espera recibi recibirr si se educa. educa. A su vez, vez, la decisi decisi´ oń de cada firma dependerá de qué on tipo de trabajador recibirá si paga un determinado salario a una persona con determinado nivel de educaci´ on. Como es obvio, en equilibrio, ambas conjeturas deben ser consistentes: on. 1. Para resolver el juego, lo hacemos de atrás as hacia hacia adelante. adelante. La decisi´ decisi´ on del trabajador es obvia: obvia: una vez que observ observa las ofertas de salario, salario, contingen contingente te a su nivel de educaci´ educaci´ on, on, elige el m´ as as alto. 2. Lo interesante interesante comienza comienza cuando consideramos consideramos la decisi´ decisi´ on on de una empresa empresa.. La estrate estrategia gia de una empresa i es una funci´ func ión on wi : IR+ IR+ del nivel de educación. on. En equilib equilibrio rio,, esta funci´ on on debe ser óptima: optima:

→

(a) dada la estrategia estrategia de la otra empresa, empresa, y (b) dadas las estrategias estrategias de un trabajador de baja y de uno de alta habilidad. habilidad.



75

3. La decisi´ on de un trabajador de habilidad i sobre cuánto on anto educarse debe ser óptima optima dados wA ( ) y wB ( ).

·

·

4. La dificultad dificultad del problema radica radica en que la decisi´ on de cada empresa es tomada sin conocer on la habilid habilidad ad del trabajad trabajador. or. As´ As´ı, cada cada una debe hacer hacer conjet conjetura urass sobre sobre la habilid habilidad ad del trabajador a partir de la educación on que éste est e elig e ligi´ ió. o. Supondremos que si una empresa observa un nivel nivel de educac educaci´ i´ on on e, estima estima que el trabajad trabajador or es de habilid habilidad ad alta alta con probabil probabilida idad d µ (e) [0, [0, 1]. La funci´ on on µ ( ) se conoce como creencia .

∈

·

Podemos definir ahora el concepto de equilibrio bayesiano perfecto (EBP). Definici´ on o n 20 Una combinaci´ on de estrategias s∗ bayesiano perfecto si:

∈ S , y una funci´ on µ on µ (·) ∈ [0, [0, 1] son un equilibrio

1. La estrate estrategia gia del trab trabajador ajador es ´ optima dadas las estrategias de las empresas. 2. La funci´ funcion ´ de creencias µ es deducida de la estrategia del trabajador cuando esto es posible. 3. Las oferta ofertass de las empr empresas esas para ara cada nivel nivel de educaci ducaci´ on ´ e son un equilibrio de Nash del juego de movidas simult´ aneas entre empresas que toma como dado que la probabilidad que el trabajador sea de habilidad alta es µ (e).

w T θA

θB

.. .. .. .. .. .. w(e) = µ(e)θA + [1 .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. E e

Figura 2.8: Salarios y creencias

− µ(e)]θ )]θB



76

Observaci´ on o n 13 : 1. El concepto concepto de EBP es la extensi´ extensi´ on natural del concepto de EPS cuando se trata de un juego on de informaci´ on on imperfecta. imperfecta. 2. Notar que el trabajador puede elegir hasta dos niveles de educación distintos, seg´ un un sea de alta o de baja habilid habilidad. ad. Sin embarg embargo, o, la estrat estrategi egiaa de cada empres empresaa especifi especifica ca el salari salarioo a pagar para todo nivel de educaci´ on. on. 3. Notar que, si en equilibrio las empresas empresas tienen creencias creencias µ (e), entonces el salario de equilibrio es exactamente la productividad esperada del trabajador, µ (e) θA + (1 µ (e)) θB .

−

De 3. podemos deducir una función on de salarios: U B w T θA

θB

U A .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. e¯

.. .. .. .. .. w(e) = µ(e)θA + [1 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. E e

)]θB − µ(e)]θ

Figura 2.9: Funci´ on on de salarios Estudiaremos ahora dos tipos de equilibrio, de separaci´ on , en el que los niveles de educación on elegidos por trabajadores de alta y baja habilidad son distintos, y de confusi´ on en el que son iguales.


2.2.2.1


77

Equilibrio de separaci´ on on

Proposici´ on o n 10 En todo equilibrio de separaci´ on:

     

w∗ e∗ θB

= θB

w ∗ e∗ θ A

= θA

Demostraci´ on: on: Es la la unica u ´ nica forma de satisfacer 3 en la definición on de EBP. Proposici´ on o n 11 En cualquier EBP de separaci´ on, el trabajador de baja habilidad no se educa, es B ∗ decir, e θ = 0.



Demostraci´ on: on: Propuesta Podemos ahora construir un equilibrio de separación: on: 1. Las empresas empresas pagan pagan w∗ (e) = θA y w∗ (0) = θB .



2. y w∗ (e) es como lo se˜ nala nala el gr´ afico, afico, con las consiguien consiguientes tes funciones funciones µ (e).



Pero, notar que, como lo sugiere la figura 2.10, hay m´ ultiples equilibrios de separaci´ ultiples on on posibles: w T θA

θB

U B

U A .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . e¯

U A

.. .. . ..E e e˜

Figura 2.10: M´ ultiples equilibrios de separaci´ ultiples on on Esto ocurre porque, fuera del equilibrio, hay libertad absoluta para fijar las creencias. Notemos en todo caso, que el equilibrio con el menor nivel de educación on (e), Pareto-domina al resto. De ah´ı que un equilibrio de separación on puede ser Pareto-inferior al resto.




2.2.2. 2.2.2.2 2


78

Equili Equilibri brio o de de confu confusi´ si´ on on

En un equilibrio de confusión, on, ambos tipos de trabajador eligen el mismo nivel de educaci´ on. o n. En equilibrio: 1. El salario debe debe ser igual a la habilidad habilidad esperada esperada E ( E (θ). Por lo tanto, en equilibrio, equilibrio, la creencias   para el nivel de educación on e deben ser tales que µ (e ) = λ. 2. Cualquier Cualquier nivel de educaci´ educaci´ on on e [0, [0, e ] puede aparecer en un equilibrio de confusión; on; niveles de educación on mayores no pueden ser sostenidos en equilibrio, pues los trabajadores de baja habilidad habili dad elegir´ıan ıan no educarse. educars e.

∈

3. El resultado es idéntico entico al que se dar´ dar´ıa si no hubiesen se˜ nales. nales. w T

U B

U A

θA E(θ E(θ)

θB

.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. e¯

E

e

Figura 2.11: Equilibrio de confusi´ on on

2.2.2. 2.2.2.3 3

Multip Multiplic licida idad d de equilibrio equilibrioss y creencias creencias razonables

Un problema de los modelos de se˜ nales es que admiten múltiple nales ultipless equilib equilibrio rios. s. El origen de este este problema es que fuera de la senda de equilibrio las creencias son arbitrarias. Esto ha dado origen a una serie de refinamientos de los conceptos de equilibrio, los que consisten básicamente en restringir en forma razonable las creencias. Aqu´ Aqu´ı estudiaremos brevemente brevemente dos de ellas. 1. La primera primera restricc restricci´ i´ on on a las creencias dice que éstas estas no pueden suponer que un tipo de jugador adoptar´ a una acción on dominada. Por ejemplo, ejemplo, si fuera fuera el caso que eligiendo educaci´ educacion oń e el trabajador de baja habilidad siempre est´ a peor (independientemente del salario que le paguen)  que cuando se educa e , entonces, ninguna creencia puede asignarle probabilidad positiva a los trabajadores de habilidad baja si el nivel de educación on es e . Desafortunadamente, en el



w T

U B

79

U A

.. θA ..................................... ... .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... ......... B .. θ .. .. E e e

Figura 2.12: Refinamientos del concepto de equilibrio caso del modelo que hemos visto, este criterio no nos sirve; e dominada para ninguno de los dos tipos de jugador.

≥ 0 nunca es una estrategia

2. Para Para entender entender el segundo segundo criterio, criterio, consideremos consideremos el siguiente siguiente equilibrio equilibrio de separaci´ separaci´ on, on, donde el nivel de educación on exigido para recibir un salario alto es mayor a e, e, e igual a e . La pregunta pregunta es: ¿Son razonables razonables estas creencias creencias?? El segundo criterio criterio nos dice que no, pues en equilibrio, un trabajador de habilidad baja jamás as elegir elegi r´ıa educarse educars e un nivel e (e, e, e ] , aún un A si el salario fuese θ . Por eso, este criterio sugiere eliminar creencias de ese tipo. Nótese otese que si lo seguimos, el unico u ńico equilibrio de separaci´ separaci´ on que sobrevive es aquel en que e = e. on



∈

 

M´ as formalmente, no es admisible que las empresas crean que un trabajador que se educa as e es de baja habilidad habilidad con probabilidad probabilidad positiva, positiva, si la utilidad utilidad que obtendr´ obtendr´ıa si le pagan el A mayor salario posible en equilibrio, θ , es menor que la utilidad que obtiene no educándose andose y recibiendo w∗ (0) = θB Es decir, si: B

U



∗

  B

0, min w (0) = U ∗ w

B

0, θ ; θ

B

  B

> U

∗

 

e, max w (e) = U B e, θA ; θB ∗ w



Entonces, µ (e) = 1. 1. Notese o´tese que esto implica implica que, de los equilib equilibrio rioss de separa separaci´ ci´ on, s´ olo olo sobreviven aquellos en los que µ (e) = 1, e > e. Sin embargo, este criterio no necesariamente elimina el equilibrio de confusión, on, si la utilidad utilidad que en él el obtiene obtiene el trabajador de habilidad habilidad alta es menor que la que obtiene en el menor equilibrio de separación. on.

∀



Existen criterios adicionales, pero no los veremos en este curso.


2.2. 2.2.3 3


80

Filt Filtro ross

En la secci´ sección on anterior anterior supusimos supusimos que la parte informada informada (el trabajador) trabajador) mov mov´´ıa primero. primero. Ahora veremos qué sucede si la parte desinformada desinfor mada mueve primero p rimero y usa un filtro para separar los distintos tipos. tipos. En general, general, en estos problem problemas as la propie propiedad dad de la intersec intersecci´ ci´ on unica u ´ nica (SCP) pasa a ser crucial, pues permite a la parte desinformada dise˜ nar contratos que llevan a que la parte informada nar se autoseleccione autoseleccione y separe. Para Para presentar presentar estas ideas, formularem formularemos os un modelo del mercado de los seguros, en el que la parte informada sabe m´ as de la probabilidad de siniestro que la parte as desinformada. W 2 o r t s e i n i s n o c o d a t s E

W

T

B1 B2

− D ..................................A .. .. .. .. .. .. .. W

E W 1

Estado Estado sin siniestro siniestro

Figura 2.13: Modelo sin seguros Consideremo Consideremoss el siguiente modelo. Quienes Quienes deciden le tienen tienen aversi´ aversi´ on al riesgo. Su riqueza riqueza inicial i es W , W , y con probabilidad π tienen una pérdida erdida igual a D. Suponem Suponemos os dos tipos de person personas: as: A B A el primero con probabilidad alta de siniestro π , y el segundo con baja π tal que π > π B . ´ Supongamos que existen seguros. Estos consisten en pagar una prima α1 a todo evento, y recibir un pago α2 en caso de siniestro. siniestro. Definimos Definimos α2 α2 α1 , como el pago neto en caso de siniestro. Un contrato de seguros queda totalmente definido por α = (α1 , α2 ). La utilidad utilidad de una persona persona i con probabilida probabilidad d de siniestro siniestro π y contrato α, es:





≡ −

π i u(W

D + α2 ) + (1

 −   W 2

− πi)u(W − α1) = U ¯

    

(2.10)

W 1

Diferenciando totalmente la expresi´ on on 2.10 se obtiene que: dW 2 dW 1



¯ U =U

=

− −  1

πi u (W 1 ) πi u (W 2 )

(2.11)



81

Notar que para niveles de riqueza dados, la pendiente de la curva de indiferencia de una persona de alto riesgo es siempre menor en valor absoluto (y mayor en valor real) que la pendiente de la curva de indiferencia de una persona de bajo riesgo (ver figura 2.13.) 1

− πB > 1 − πA πB

(2.12)

πA

Notemos que de la ecuación on 2.11. se sigue que la propie propiedad dad de la inter intersec secci´ ci´ on unica u ´ nica se cumple. Consideremos ahora el siguiente juego, en el que participan dos compa˜ n´ıas de seguros, seguros , y personas perso nas de alto y bajo riesgo. Las compa˜ n´ıas de seguro son neutrales al riesgo. Primera etapa: las dos compa˜ n´ıas de seguros ofrecen, simultáneamente, aneamente, contratos • Primera y









αA , αB .

  αA , αB

• Segunda etapa: dados los contratos ofrecidos en la primera etapa, las personas eligen. Notar que, en este caso, las empresas no tienen creencias. creencias. Sin embarg embargo, o, en equilibr equilibrio io sus oferta ofertass son óptimas optimas dada las estrategias de las personas. El concepto natural de equilibrio en este caso es, entonces, el equilibrio perfecto en subjuegos. Consideremos primero el caso en que el tipo de cada persona es observable: Proposici´ on o n 12 Si los tipos son observables, en equilibrio: 1. Ambos Ambos tipos reciben reciben un seguro completo, completo, es decir: W

− D + α2 = W − α1

2. Las Las empresas empresas no tienen tienen utilidades. utilidades. Demostraci´ on: on: 1. Si en equilibrio equilibrio alguna aseguradora aseguradora tuviera utilidades utilidades ofreciendo ofreciendo α, la otra podr´ıa ıa ofrecer  α = (α1 ε, α2 ) y obtener utilidades si ε es lo suficientemente peque˜ no. no. Nadie Nadi e compra co mprarr´ıa α.

−

2. Por 1 nos limitamos a contratos contratos en los que:

−  1

πi α1

− πiα2 = 0

Si el seguro no fuera f uera completo, comple to, existir existi r´ıa un seguro que dejar´ıa ıa utilidades utili dades o bien b ien ser´ ser´ıa preferido preferid o por las personas.



82

i 1 π − −i π

W 2 T

W

− D ..................................

.. .. % ... utilidades ... .. W

U i U i

B p´ erdi er dida dass

E W 1

Figura 2.14: Una l´ınea de quiebre Para lo que sigue, es conveniente definir l´ıneas de quiebre qui ebre,, contratos que dejan cero utilidades al asegurador. Como en la secci´ on on anterior, anterior, en principio principio podemos tener dos tipos de equilibrios equilibrios,, de separaci´ separaci´ on on y confusi´ on. Pero, en cualquier caso: on. Proposici´ on o n 13 En equilibrio, ambas empresas no tienen utilidades.

bajo riesgo

W 2 T

confusi´ on on

alto riesgo

W

− D ..................................

.. © Utilidades .. Crecen .. ... .. .. E . W 1 W

Figura 2.15: L´ıneas de quiebre qui ebre



83

 

A Demostraci´ on: on: Suponer Suponer que en equilib equilibrio rio,, las personas personas de alto riesgo riesgo eligen αA = αA 1 , α2 , y B las de bajo riesgo αB = αB 1 , α2 , y suponer que las utilidades agregadas son Π > 0. Entonces, una de las empresas tiene utilidades agregadas de a lo más as Π2 . Esa empresa puede puede ofrecer contratos contratos A A B B α1 ε, α2 y α1 ε, α2 , y ganar utilidades arbitrariamente cercanas a Π. Luego, Π 0. Sin embargo, Π < 0 no puede ser ya que una empresa gana nada saliéndose endose del mercado, por p or lo tanto, Π = 0.



−



  

−

≤

Proposici´ on o n 14 No existe equilibrio de confusi´ on. Demostraci´ on: on: Ver figura 2.16.

W 2 T

W

−

ΠB = 0

.. .. .. ... .. .. Π=0 .. .. .. .. ... .. .. .. .. A .. Π =0 .. ... .. .. . β .... .. .. D ....................................................................... .. .. .. .. .. .. .. ... .. W

U A U B

E W 1

Figura 2.16: Inexistencia del equilibrio de confusi´ on on Notar que este resultado es consecuencia de la propiedad de la intersección on unica, u ´ nica, y del hecho que en equilibrio no hay utilidades. utilidades. De esto se sigue que, si hay un equilibrio, equilibrio, éste este es de separaci´ on. Antes de seguir, notemos que en equilibrio no pueden haber subsidios cruzados debido a que si un contrato genera pérdidas erdidas y otro ganancias, el asegurador puede aumentar sus ganancias retirando el contrato que deja pérdidas. erdidas. Pero, en equilibrio, las empresas no pueden ganar plata. La siguiente proposici´ on muestra que en equilibrio las personas de alto riesgo reciben el mismo on seguro que si existiera información on perfecta. Sin embargo, aquellas personas con riesgo de siniestro



ΠB = 0

W 2 T

W

−

84

.. .. .. Π= 0 .. .. .. .. .. A .. Π =0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ....................................................................... .. D .. .. .. .. .. ... .. .. .. W

U A U B

E W 1

Figura 2.17: Equilibrio de separaci´ on on bajo asumen riesgo. Proposici´ on o n 15 1. En cualquier equilibrio equilibrio de separaci´ separaci´ on las personas de alto riesgo se aseguran completamente, y su riqueza esperada es: π A (W

 

− D) + 1 − π A

W = W

2. El contra contrato to de las personas personas de bajo bajo riesgo es tal que:



π A U W

− D + α2B

 −   + 1

πA U W

− πAD

 

− αB1 ≤ U W − πAD



Notar que la propiedad de la intersección on unica u ´ nica es clave clave en este este resulta resultado: do: las personas personas de uno u otro tipo se autoseleccionan:



U W

− πAD



  

= π A U W = <

        

− πAD + 1 − πA U W − πAD A U W − αB π A U W − D + αB 2 + 1−π 1 B U W π B U W − D + αB − αB1 2 + 1−π



Proposici´ on o n 16 Si la proporci´ on de personas de bajo riesgo es muy alta, no existe equilibrio. Demostraci´ on: on: Ver figura 2.18.

W 2 T

W

−

ΠB = 0 Π=0

.. .. .. .. .. .. .. .. A Π =0 ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ....................................................................... .. D .. ... .. .. .. .. .. .. .. W

Figura 2.18: Inexistencia del equilibrio.

U A U B

E W 1

85


2.2.4 2.2.4


86


Ejercic Ejercicio io 29: En el modelo de selecci´ on adversa presentado en este apunte: on 1. ¿Qué es el valor de reserva? re serva? 2. ¿De qué depende la calidad promedio? ¿de la distribuci´ on on de F ( on on r (θ)? F (θ) o de la funci´ 3. En el caso de equilibr equilibrio io competitivos competitivos con m´ ultiples ultipl es equilibrios, equil ibrios, ¿porqu´ ¿po rqué el excedente exced ente de quienes quie nes compran autos es cero? 4. Se se˜ nal´ nal´ o que si la demanda por autom´ oviles tuviese pendiente negativa, la demanda efectiva oviles podr po dr´´ıa tener pendiente pendi ente positiva. posi tiva. Dé una intuición on al respecto. Ejercic Ejercicio io 30: Del examen examen de Primav Primavera era de 1997 Comente brevemente la siguiente afirmaci´ on. on. Si se elimina eliminaran ran las carencia carenciass en los contra contratos tos de seguros seguros contra contra enfermedade enfermedadess catastr´ catastroficas o´ficas el mercado mercado podr´ podr´ıa desaparece desaparecer. r. (Una carencia es el tiempo que transcurre entre el momento en que se contrata el seguro de salud y el momento en que el asegurado está cubierto si ocurre una enfermedad. Para algunas enfermedades la carencia es de varios a˜ nos. nos. Ejercic Ejercicio io 31: Suponga que el dueño no de un paquete de acciones conoce exactamente su valor, y que vende solamente si su precio es mayor. Muestre que si los posibles compradores conocen solamente el rango posible del valor, el paquete nunca se transará. a. Ejercic Ejercicio io 32: Especula Especulando ndo con terreno terrenoss Andrés es y Antonio tienen que decidir dec idir si transan tra nsan o no un terrenito terrenit o en Achupallas (Andrés es es el due˜ due no n õ del terreno). Ambos lo quieren sólo olo con fines especulativos y planean venderlo al cabo de un a˜ no. no. El precio de reventa depende de qué plano regulador se apruebe. Si se permite la subdivisión on de A terrenos, el precio será alto ( p ) si no se permite subdividir los terrenos, el precio de reventa será bajo ( pB ). La subdivisión on se permite con probabilidad p. Tanto Andr´ And rés es como com o Antonio Antoni o son neutrales neutral es al riesgo riesgo y no descuent descuentan an el futuro. futuro. Si para Andr´ Andrés es es indiferen indiferente te vender hoy o ma˜ nana, nana, y para Antonio comprar o no comparar, ambos transan. 1. Suponga que que la informaci informaci´ on oń es simétrica. etrica . ¿Se transar´ t ransará el terreno? terreno ? ¿A qué precio? Demuestre. 2. Suponga ahora que Andr´ Andrés es es amigo ´ıntimo ıntimo del alcalde de Achupallas Achupallas,, y al momento momento de la transacci´ on on sabe si se permitirá la subdivisi´ on on o no. ¿En qué caso se transará el terreno? ¿A qué precio pre cio?? Demuestr Demue stre. e.



87

Ejercic Ejercicio io 33: Para resolver este problema puede ser útil util consultar a C. Wilson (1980) The Nature of Equilibrium in Markets with Adverse Selection Selection,, Bell Journal of Economics Economics 11: 108-30. 108-30. Considere el siguiente modelo del mercado mercado laboral. Hay N firmas, firmas, cada una de las cuales emplea emplea a lo m´ as a un trabajador. Las N empres empresas as difieren difieren en su productiv productivida idad: d: en una firma firma de tipo γ un trabajador de habilidad θ produce γθ unidad unidades es de product producto. o. El precio precio de cada unidad unidad de producto producto es 1 y las firmas firmas son neutrales al riesgo. El par´ ametro ametro γ se distribuye uniformemente en el intervalo [0,1]. 1. Denote por z (w, µ) la demanda demanda agregada por trabajo cuando el salario es w y la productividad promedio de los trabajadores µ. Deduzca la demanda por trabajo. 2. Sea µ(w)

≡ E [θ : r(θ) ≤ w], y defina la demanda agregada por trabajo z∗(w) ≡ z(w, µ(w)).

(a) ¿Cu´ ¿Cuales a´les son los determinantes de µ? (b) Muestre Muestre que z ∗ (w) es estrictamen estrictamente te creciente creciente en w cuando evaluada evaluada en w¯ si y sólo olo si la elasticidad elasticidad de µ con respecto a w en ese punto es mayor que 1 (suponga que todas las funciones relevantes son diferenciables). Explique intuitivamente.



r −1 ( w )

3. Sea s(w) = θ(−) f ( f (θ)dθ la oferta agregada de trabajo, y definamos como salario de equilibrio competitivo competitivo w∗ uno tal que z ∗ (w∗ ) = s(w∗ ). Muestr Muestree que si hay m´ ultiples ultiples equilibrios competitivos, aquel en que el salario es más as alto Pareto-domina al resto de los equilibrios. 4. Considere un modelo mo delo de teor´ teor´ıa de juegos en que dos firmas ofrecen salarios simult´ aneamente aneamente luego de observar los niveles de educación on del trabajador. Denote el mayor salario que puede darse en un equilibrio competitivo por w∗∗ . Muestre que: (a) S´ olo w∗∗ puede resultar en un equilibrio perfecto en subjuegos. olo (b) El equilibrio equilibrio competitivo competitivo con el salario salario m´ as alto es un equilibrio perfecto en subjuegos as ∗ ∗ ∗∗ si y sólo olo si z (w) z (w ) para todo w > w∗∗ .

≤

5. ¿Qu´ e peculiaridades p eculiaridades de los mercados con selección on adversa le llaman la atenci´ on? on? Comente. Ejercic Ejercicio io 34: Suponga que se asigna un nivel de tarea T a todos los trabajadores. Asuma que un trabajador tipo θ produce θ(1 + νt) νt ) unidades de producto cuando el nivel de tarea es t con ν > 0. El equivalente monetario del costo de aceptar el empleo al nivel de tarea antes mencionado es c > 0, independiente independiente del tipo de trabajador. Sin embargo, embargo, ahora la producci´ producci´ on de un trabajador es observable y verificable, y el contrato establece una compensación on para el trabajador una vez observada su producción. on. 1. ¿Cu´ al es el equilibrio perfecto en subjuegos de este modelo? al



88

2. Ahora suponga que la producción on es aleatoria, esta puede ser buena (qb ) o mala (q (qm ). La probabilidad de que sea buena es pH para los trabajadores de alta habilidad y pL para los trabajadores trabajadores de ba ja habilidad ( pH > pL ). Si los trabajadores son neutrales neutrales al riesgo y tienen una función on de utilidad del tipo Bernoulli sobre su riqueza u(w)=w, ¿cuál al es el equilibrio perfecto en subjuegos? 3. ¿Qué suceder´ suce derá si los trabajadores son estrictamente aversos al riesgo con u (w) < 0 para todo w?

Ejercic Ejercicio io 35: En el modelo de se˜ nales visto en clases suponga que un planificador, que no puede observar las nales habilidades de cada trabajador, puede fijar la relación on entre salario y nivel de educación. on. 1. Muestre que el planificador puede elegir una función on w(e) que le permite implementar el equilibrio de separación on Pareto-superior. Haga lo mismo para el equilibrio de confusión on Pareto superior. 2. Construya un ejemplo en que que el planificador, forzado a elegir entre los equilibrios de separaci´ separacion oń y confusión on Pareto-superiores prefiere que nadie se eduque. Explique por qu´ e puede ser este el caso. Ahora suponga que el planificador planificador puede implementa implementarr subsidios cruzados: cruzados: por ejemplo, le paga más as que su producto marginal esperado a los trabajadores que no se educan educan , y menos que su producto marginal esperado a quienes se educan más as de e años nos (todo esto considerando que cada trabajador es libre de elegir el número umero de a˜ nos nos que se educa) educa).. Pero, Pero, en cualqu cualquier ier caso, no puede tener pérdidas. erdidas . 3. Construya un ejemplo en que usando subsidios cruzados se puede llegar a una mejora de Pareto aun en el caso que el equilibrio de separación on Pareto superior no domina al equilibrio de mercado sin se˜ nales. Explique intuitivamente el porque de este resultado. nales. Ejercic Ejercicio io 36: Respecto al modelo de seguros presentado en el apunte: 1. Se hace notar que, que, a diferencia diferencia de los modelos de se˜ nales, en este caso las empresas no tienen nales, creencias. creencias. Indique Indi que porqu´ po rqué es as´ı. ı. Dé una intuici intu ici´ on oń al respecto. 2. ¿Porqu´ ¿Porqué no hay equilibrios m´ ultiples? ultipl es? Dé una u na intuición. on. Ejercic Ejercicio io 37: El mercado mercado de los seguros. seguros. Caso Caso competitiv competitivo o Considere Considere el siguiente siguiente modelo del mercado mercado de los seguros. seguros. Hay s´ olo olo dos tipos de individ individuos uos:: alto riesgo y bajo riesgo. Cada uno parte con riqueza inicial W pero se reduce, si ocurre un accidente,



89

en L. La probabil probabilidad idad de esta ocurrenci ocurrenciaa es pL para los individuos de bajo riesgo y pH para los individuos de alto riesgo, donde pH > pL . Ambos tipos maximizan una utilidad esperada del tipo Bernoulli sobre la riqueza (u (u(w), con u (w) > 0 y u (w) < 0 w). Ha Hay y dos compa˜ compa˜ n´ıas de seguro seg uro neutrales al riesgo. Una p´ oliza consiste en una prima M que el asegurado paga a la compa˜ oliza n´ n´ıa ıa y un pago R que la aseguradora paga al individuo en el evento del siniestro.

∀

1. Suponga que los individuos individuos no pueden pueden comprar comprar m´ as que un seguro. Argumente que una póliza as oliza puede ser especificada como los niveles de riqueza que el asegurado tiene en ambos eventos (“sin (“s in pérdida” erdi da” y “co “con n pérdida” erdi da”). ). 2. Asuma que las compa˜ n´ıas de seguro ofrecen simultáneamente aneamente un n´ umero umero finito pólizas. olizas. ¿Cu´ al al es el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de este modelo? ¿Existe este equilibrio necesariamente? Ejercic Ejercicio io 38: El mercado mercado de los seguro seguros. s. Caso Caso monop´ monopolico o´lico Considere un individuo averso al riesgo que maximiza una función on de utilidad esperada del tipo Bernoulli sobre su riqueza. El individuo tiene un nivel de riqueza inicial W y tiene una probabilidad θ de sufrir una perdida L, donde W > L > 0. Un contrato de seguro puede ser descrito por el par (c ( c1 , c2 ), donde c1 es la riqueza del individuo en el caso de no sufrir la p´ erdida, erdida, y c2 es la riqueza del individuo si sufre la p´ erdida. erdida. Esto es, en el caso de que la perdida no ocurre el individuo paga a la compa˜ n´ıa de seguros la cantidad (W- c1 ), en cambio si la perdida ocurre el individuo recibe un pago (c (c2 (W L)) de parte de la compa˜ n´ n´ıa.

−

−

1. Suponga que el individuo sólo olo puede asegurarse asegurarse con un monopolio neutral al riesgo. CaracCaracterice el contrato que el monopolista ofrecer´ a al individuo en el caso de que la probabilidad de pérdi er dida da θ es observable. 2. Suponga que θ no es observable por la compa˜ n´ıa asegurador aseguradora, a, pero si por el individuo. individuo. El par´ ametro ametro θ puede tomar dos valores θL , θH ,con θL > θH > 0 y probabilidad (θ (θL ) = λ. Caracterice el contrato optimo o´ptimo ofrecido por el monopolista. ¿Se puede hablar de que uno de los asegurados ha sido racionado en su compra por seguro?, es decir, ¿se le ha vendido menos seguro del que q ue quer que r´ıa? Intuitivamente, ¿por ¿po r qué el racionamiento racion amiento ocurre? ocur re?

{

}

Ejercicio 39: El mercado del cr´ edito edito Considere un mercado de financiamiento de proyectos de inversión. on. Todos los proyectos requieren de 1 d´ olar. olar. Hay dos tipos de proyectos: proyectos: buenos buenos y malos. Un proyecto proyecto bueno tiene una probabilid probabilidad ad pG de dar utilidades positivas y una probabilidad (1 pG ) de retornar cero. Para los malos proyectos, las probabilidades relativas son pB y (1 pB ) respectivamente, donde pG > pB . La fra fracc cci´ i´ on on de proyectos buenos es λ (0, (0, 1).

∈

−

−

Los inversionistas van a los bancos para endeudarse en el valor de la inversión on (asuma por ahora que requieren requieren toda la cantidad). cantidad). Un contrato contrato especifica una cantidad cantidad R que se pagará al banco.



90

Los inversion inversionistas istas conocen de que tipo es su proyecto, proyecto, pero los bancos bancos no. En la eventua eventualidad lidad de que el proye proyecto cto fracase fracase,, el banco banco no recibe recibe pago pago alguno. alguno. Los bancos bancos act´ uan competitivamente y uan son neutrales neutrales al riesgo. riesgo. La tasa de inter´ interés es libre de riesgo (que el banco paga a los dep´ ositos ositos que financian financia n los préstamos) estamo s) es r. Asuma que: pG Π

− (1 + r) > 0 > pB Π − (1 + r)

1. Encuentr Encuentree el nivel R de equilibrio y el conjunto de proyec proyectos tos financiados. financiados. ¿C´ omo omo depende de pG , pB , Π y r. 2. Suponga ahora que el inversion inversionista ista puede ofrecer contribuir contribuir,, con sus propios propios recursos, recursos, una fracci´ on on x (0, (0, 1) del d´ olar olar inicial. El inversionis inversionista ta enfrenta enfrenta restriccione restriccioness de liquidez, por lo que, el costo efectivo de hacer esto es (1 + ρ)x, donde ρ > r.

∈

(a) Escriba Escriba la funci´ funci´ on de utilidad de cada tipo de inversionista en función on on de su tipo, x y R. (b) Describa Describa el mejor equilibrio equilibrio bayesiano bayesiano de separaci´ on (desde el punto de vista del bieneson tar) del juego en que el inversionista primero hace una oferta al banco (especificando x), el banco responde ofreciendo R y, finalmente, el inversionista inversionista acepta o no el pr´ estamo. estamo. ¿C´ omo omo depende la fracción on de la inversión on que ofrecerá el inversionista que tiene un buen proyecto ante cambios en pG , pB , λ, Π y r? (c) Compare Compare 2a. y 2b. para los dos tipos de inver inversionist sionistas. as.

Ejercic Ejercicio io 40: Air Shang Shangri ri La Air Shangri La es la unica u ´ nica l´ınea aérea erea autorizada para volar entre las islas de Nirvana Nirvana y Shangri La. Existe Existen n dos tipos de pasajeros: pasajeros: turist turistas as y bussin bussines. es. Los pasajeros pasajeros de la clase clase bussin bussines es est´ an an dispuestos a pagar m´ as as que los turistas. La aerol´ınea, ınea, sin embargo, no puede detectar directamente cuando cuando un comprador comprador de tickets tickets es un viajero turista o bussines. bussines. Los dos tipos difieren difieren en cu´ anto anto est´ an an dispuest dispuestos os a pagar pagar para evitar comprar comprar sus pasajes por adelan adelantad tado. o. (A los dos tipos de pasajero no les gusta comprometerse a viajar en una fecha determinada). M´ as as espec´ıficamente, ıficamente, los niveles de utilidad de cada uno de los dos tipos tip os dependen del precio P del ticket, para alg´ un un per´ıodo ıod o de tiempo tiemp o w antes del vuelo: Bussines: v

− θb · P − w. Turista : v − θt · P − w.

donde 0 < θb < θt . Note que dado un nivel w, el pasajero bussines está deseoso de pagar más as por el ticket. As´ As´ı también, en, esta deseoso de pagar m´ as as por alguna reducción on en w. La proporción on de viajeros que son turistas es λ. Asuma que el costo de transportar un pasajero es c. Asuma desde 1. a 4. que Air Shangri La quiere llevar ambos tipos de pasajeros.



91

1. Dibuje Dibuje las curvas curvas de indiferencia indiferencia en el espacio (P, (P, w). Dibuje las curvas de isoutilidad de la aerol´ınea. ınea. Luego formule el problema pro blema de optimizaci opti mizaci´ oń que Air Shangri La debe resolver. Hint: on Imponga no negatividad de precios como restricci´ on ya que, de imponer un P < 0, vender´ a infinitos tickets. tickets. 2. Muestre que el óptimo, optimo, los turistas est´ an indiferentes entre comprar un ticket o no hacerlo. an 3. Muestre que en el óptimo, optimo, los viajeros bussines nunca compran su ticket anticipadamente al vuelo. 4. Describa Describa completamente completamente el esquema de discriminac discriminaci´ i´ on on optimo o´ptimo bajo el supuesto que se venden ambos tickets. ¿C´ omo omo depende esto de λ, θb , θt , y c? 5. ¿Bajo qu´ e circunstancias se atender´ a s´ olo a los viajeros bussines? olo

Ejercic Ejercicio io 41: Asuma que hay dos tipos de consumidores para el producto de una firma, θH y θL . La proporción on de tipos θL es λ. La utilidad utilidad de un tipo θ cuando consume una cantidad x del bien y paga un total de T es u(x, T ) T ) = θv( θv (x) T , T , donde:

−

v (x) =

1

− (1 − x)2 2

La firma es la unica u ´ nica en producir el bien y el costo por unidad es c > 0. 1. Considere Considere un monopolista monopolista no discriminan discriminante. te. Derive Derive la pol´ pol´ıtica optima o´ptima de precios. precios. Muestre Muestre que el monopolio sirve a ambos tipos de consumidores si θL o λ es “suficientemente grande”. 2. Considere un monopolista que puede distinguir a ambos tipos (por alguna caracter´ caracter´ıstica) pero puede sólo olo cobrar un precio pi al tipo θi . Caracterice los precios optimos. o´ptimos. 3. Suponga Suponga que el monopoli monopolista sta no puede disting distinguir uir a los tipos. Deriv Derivee la tarifa tarifa optima o´ptima de dos partes (una pol´ pol´ıtica de precios consiste en una cargo fijo F m´ as un precio lineal por unidad as comprada) comprada) bajo en supuesto supuesto que el monopolista sirve sirve a ambos tipos. Interpre Interprete. te. ¿Bajo que condiciones el monopolista sirve a los dos tipos de consumidores? 4. Derive la tarifa no lineal ópti o ptima. ma. ¿C´ ¿Como o´mo se comparan las cantidades compradas con los niveles encontrados en las partes anteriores?


2.3 2.3


92

Mora Morall haza hazar rd

Hemos visto el caso en que la información on asimétrica etrica es relevante relevante antes que se contrate; ahora, lo que importará son las caract cara cter´ er´ısti ıs ticas cas de la parte parte informa informada da (v.g. si es de alta alta o baja habilid habilidad) ad).. La informaci´ on on también en puede ser asimétrica etrica después es que las partes contratan. contrata n. Un ejemplo son los contratos contratos de crédito edito entre un banco y un deudor. Una vez que se contrata, contrata, el deudor deudor podr´ podr´ıa esforzarse esforzarse menos de lo que corresponde, corresponde, y con ello disminuir disminuir la probabilidad probabilidad de que pague el crédito. edito. O bien, el deudor podr´ıa ıa no pagar argumentando que tuvo mala suerte. El primer primer caso es uno en que las acciones acciones de la parte parte inform informada ada no son observ observabl ables. es. En el segund segundoo caso tenemos modelos en que es costoso (o a´ un un imposible) imposible) verificar verificar los resultados. resultados. El punto punto importante importante a tener en cuenta cuenta aqu´ aqu´ı es que, a´ un un si no hay asimetr asimet r´ıas de informaci´ informa ción on al momento de contratar, las partes anticiparán an que s´ı las habr´ habr a´ después es que el contrato contr ato se firme. Por lo tanto, el contrato considerar´ conside rará la l a asimetr asimet r´ıa de informaci´ inform aci´ on on ex-post. 2.3.1 2.3.1

Agent Agente-pr e-princi incipal: pal: acciones acciones no no verific verificable abless

Consideremo Consideremoss el caso en que los accionistas accionistas de una empresa empresa contratan a un gerente. gerente. Los accionistas accionistas + − pueden observar las utilidades de la empresa, Π [Π , Π ], pero no el esfuerzo y la diligencia del gerente. gerente. Supondremos Supondremos que el gerente tiene dos opciones: esforzarse esforzarse mucho mucho (e (e = eH ) , o esforzarse esforzarse poco (e (e = eL ). Si se esfuerza harto, las utilidades utilidades esperadas son mayores; mayores; esto le gusta a los due˜ nos. Sin embargo, embargo, el esfuerzo esfuerzo desagrada desagrada al gerente. gerente. Por eso, se dice que entre entre el gerente gerente y los accionistas accionistas existe un conflicto confli cto de inter´ inte rés. es. Esta es la caracter´ caracter´ıstica central del problema.

∈

Para modelar el conflicto de intereses suponemos: 1. F (Π F (Π eH ) DEPO a F (Π eL ), es decir,

|

|

F (Π F (Π eL )

F (Π|eH ) | ≥ F (Π

un conjunto abierto Π ∈ [Π− , Π+ ]. ∀ Π ∈ [Π−, Π+] con desigualdad estricta para algún 2. El gerente gerente le tiene aversi´ aversi´ on al riesgo, con preferencias VNM dadas por: on u (w, e) = v (w)

− e,

donde w es el salario y v ( ) cumple que v  > 0, v < 0.

·

Para Para que el proble problema ma sea inter interesa esant nte, e, no debe ser posible posible deduci deducirr las accion acciones es del gerente gerente de los result resultado ados; s; de otra otra forma, forma, condic condiciona ionarr la com compens pensaci aci´ on oń a los resultados ser´ ser´ıa equivalente equivalente a remunera remunerarr directamente directamente el esfuerzo. esfuerzo. Captamos Captamos esto suponiendo suponiendo que f (Π f (Π e) > 0 e y Π + 2 − [Π , Π ] .

|

2

Esto es m´ as fuerte que lo que realmente necesitamos. as

∀

∀ ∈



93

Por ultimo, u ´ ltimo, suponemos que los accionistas son indiferentes al riesgo. Para entender mejor el problema, analizaremos primero el caso en que el esfuerzo es verificable y, por tanto, se puede condicionar el contrat cont ratoo a él. el. 2.3.1. 2.3.1.1 1

Esfuerz Esfuerzo o observ observabl able e

Un contrato especifica: 1. El esfuerzo e; 2. una función on W : [Π− , Π+ ]

→ IR.

Suponemos que el gerente tiene una alternativa de trabajo que le entrega un nivel de utilidad esperada igual a u ¯. As´ As´ı, los l os accionis ac cionistas tas resuelven: re suelven: max

e∈{eL ,eH },W (Π) ,W (Π)



(Π

− W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π|e) dΠ (2.13)

s.a.



v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π e) dΠ

|

− e ≥ u¯

Resolveremos el problema en dos etapas3 . Prim Primer ero, o, dado dado e, buscamos la forma m´ as as barata de ∗ implementa implementarlo. rlo. Luego, Luego, elegimos elegimos e optimo, óptimo, dado W (Π, (Π, e). Entonces, el primer problema es: min

W (Π) W (Π)



 − 

W (Π) W (Π) f (Π f (Π e) dΠ + λ u ¯

|

v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π e) dΠ + e

|



(2.14)

Equivalente a: max

W (Π) W (Π)

  −

 − 

W (Π) W (Π) f (Π f (Π e) dΠ + λ u ¯

|

v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π e) dΠ + e

|



(2.15)

Sea λ el multiplicador de la restricci´ on. o n. En el optimo o´ptimo λ > 0, es decir, la restricción on es activa, pues de otra forma, los accionistas podr p odr´´ıan ba jarle el salario al gerente y a ’un contratarlo con esfuerzo e. La condici´ condici´ on de primer orden de 2.14. es: on

| − λv (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π|e) = 0

f (Π f (Π e) por lo tanto, 3

M´ etodo etodo de Grossman y Hart (1983).





94



λ = v  (W (Π))

−1

Se sigue que en el óptimo optimo W ∗ (Π, (Π, e) = W ∗ (e) , es decir, en el óptimo optimo el salario es independiente de la realizaci´ realizaci´ on on de Π. Entonces: v (W ∗ (e))

− e = u¯

define W ∗ . Lo que dice este resultado es lo siguiente siguiente:: cuando cuando no hay asimetr´ asimetr´ıas de informaci´ informaci´ on, lo optimo o´ptimo es que todo el riesgo sea asumido por los accionistas, porque a ellos el riesgo les es indiferen indiferente. te. (Notar que para que el gerente gerente asuma riesgo hay que pagarle). Cuando el esfuerzo esfuerzo es observable, su nivel óptimo optimo se obtiene obtiene resolviendo: resolviendo: max

e∈{eL ,eH }

2.3.1. 2.3.1.2 2



Πf (Π f (Π e) dΠ

|

− v (W ∗ (e))

Esfuerz Esfuerzo o no no obser observ vable able

Supongamos Supongamos ahora que e no puede ser observ observado. En este caso, el contrato no puede condicionarse condicionarse en e, porque el gerente siempre alegar´ alegar´ıa que se esforz´ o al máximo. aximo. Primero observemos que si el salario es independiente del nivel de utilidades, el gerente siempre se esforzar´ a poco. poco. De est estoo se sigue que, si los accionistas quieren que que el gerente se esfuerce, tendrán an que pagarle un salario contingente. continge nte. De aqu a qu´´ı que qu e cuando cu ando e no puede observarse y queremos que el gerente se esfuerce por encima del m´ınimo, deberá soportar riesgo, es decir, la distribución on de riesgos no es eficiente (sin considerar las restricciones de información). on). Consideremos el problema que enfrentan los accionistas si quieren que el gerente se esfuerce: min

W (Π) W (Π)



W (Π) f (Π f (Π eH ) dΠ

|

s.a. (i) (ii) ii)

(2.16)

 

v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π eH ) dΠ

| − eH ≥ u¯ v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π|eH ) dΠ − eH ≥ v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π|eL ) dΠ − eL



La restricción on (i) se conoce como restricci´ on de participaci´ on y (ii) como restricci´ on de incentivos. incentivos. Sea λ el multiplicador de Lagrange asociado a (i), y µ el multip multiplica licador dor de asociad asociadoo a (ii). (ii). La condici´ on de primer orden es, entonces: on

−f (Π f (Π|eH ) + λv (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π|eH ) + µ



v  (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π eH )

|

− v (W (Π)) W (Π)) f (Π f (Π|eL )



=0



Reordenando:

−

λ+µ 1

 



f (Π f (Π eL ) = v  (W (Π)) f (Π f (Π eH )

| |

95

−1

Proposici´ on o n 17 En cualquier soluci´ on de la ecuaci´ on 2.16. se tiene que, λ,

µ > 0.

Demostraci´ on: on: 1. Supongamos Supongamos que que µ = 0. Entonces, el salario es independiente de Π. Pero, en este caso (ii) no puede cumplirse (el gerente, óptimamente, optimamente, no se esfuerza). 2. Sea λ = 0. En este este caso, caso, como como F (Π eH ) DEPO F (Π F (Π eL ), se sigue que existe un conjunto f (Π f (Π|eL ) + − Π [Π , Π ], tal que f (Π Π Π. Π. f (Π|eH ) > 1,

|

⊆

∀ ∈

|



Pero, si λ = 0, entonces la condici´ on de primer orden implica que v  (W (Π)) on porque µ > 0, lo que es imposible. Luego, λ > 0.



Definir W W de

1 v  (W (Π) W (Π))



≤ 0, ∀ Π ∈ Π,

≡ λ. De acuerdo a la condición on de primer orden y a la proposici´ propo sici´ on on anterior: f (Π f (Π|eL ) f (Π f (Π|eH )

  

W (Π) > W W si

(2.17) f (Π f (Π|eL ) f (Π f (Π|eH )

W (Π) < W W si



<1 >1

Es decir, el salario es mayor que W W si un determinado nivel de utilidades es estad´ estad´ısticamente m´ as as probable si el esfuerzo es alto, y menor que W W de cualquier otra forma. ¿Qu´ ¿Q ué est es ta´ sucediend s ucediendoo aqu a qu´´ı? A primera pr imera vista parecer´ıa ıa que los accionistas accion istas infieren estad´ estad´ısticamente ıstic amente el nivel de esfuerzo esfuerzo a partir de las utilidades. utilidades. Sin embargo, embargo, los accionistas dise˜ nan el contrato de manera que el gerente se esfuerza, es decir, saben perfectamente cuál es el nivel de esfuerzo del gerente. gerente. La forma forma de W es determinada sólo olo por el efecto efecto que ésta esta tiene sobre los incentivo incentivoss del gerente. La siguiente proposici´ on sugiere que no siempre el salario será creciente en Π. on Proposici´ on o n 18 W ser´ a creciente en Π si y s´ olo si: f (Π f (Π eL ) f (Π f (Π eH )

| |

es decreciente en Π. Es decir, si la raz´ on de verosimilitud es mon´ otonamente decreciente en Π. Esta proposici´ proposici´ on on es importante porque p orque revela exactamente en qu´ e consiste la soluci´ on on al problema agente-principal: La forma de W (Π) depende del contenido informativo de Π, Π, es decir, depende de cómo omo Π se relaciona estad´ estad´ısticamente con el esfuerzo. Notar que si f satisface la propiedad, entonces F (Π F (Π eH ) DEPO F (Π F (Π eL ) , pero lo contrario no es necesariamente cierto.

|

|



96

Notemos que cuando los accionistas quieren implementar esfuerzo alto, deber´ an an pagarle al gerente por asumir riesgo. Como el gerente siempre puede alcanzar un nivel de utilidad u ¯ , esto implica que los accionistas deben pagar m´ as as en valor esperado. esperado. Para Para demostrar esto, recordar recordar que cuando el esfuerzo es observable: v (W ∗ (eH ))

= u ¯ + eH

Restricci´ on on de participación on

E [ E [v (W (Π)) eH ] < v [E ( E (W (Π)) eH ] Desigu Desigualda aldad d de de Jens Jensen en + v c´ oncava oncava

|

|

Lo anterior sugiere que hay un costo de implementar esfuerzo alto. f

f (Π (Π eL)

|

w(Π) F (Π F (Π eL )

|

f (Π (Π eH )

|

F (Π F (Π eH )

|

Π0

Π1

Figura 2.19: Relaci´ on on entre la razón on de verosimilitud y el salario

2.3.1. 2.3.1.3 3

Geren Gerente te neut neutral ral al riesgo riesgo

Para apreciar mejor los resultados del modelo, es conveniente analizar un segundo caso extremo: cuando el gerente es neutral al riesgo. Supongamos entonces que v (W ) W ) = W . W . Recordemos Recordem os que qu e cuando cua ndo hay h ay asimetr asim etr´´ıas de informaci in formaci´ón, on, los accionistas accion istas resuelven: max

e∈{eL ,eH }




|

− e − u¯

Proposici´ on o n 19 Si el esfuerzo no es observable, pero el gerente es neutral al riesgo, entonces las utilidades esperadas de los accionistas y el esfuerzo del gerente son los mismos que cuando e es observable.



97

Demostraci´ on: on: 1. Mostraremos Mostraremos que hay un contrato que los accionistas accionistas pueden pueden elegir, que les entrega entrega la misma utilidad que cuando existe información on simétrica. etrica. Este contrato debe ser óptimo opt imo (¿por (¿p or qué?) e?) 2. Considerare Consideraremos mos la funci´ on on de compensación on W (Π) = Π α; esta funci´ on on indica que, por un pago fijo, el gerente se queda con todo el residuo. Esto es equivalente a que los accionistas le vendan la empresa al gerente por un pago fijo α.

−

3. Si el agente agente acepta el contrato, resuelve resuelve:: max

e∈{eL ,eH }

max

 

W (Π) W (Π) f (Π f (Π e) dΠ

|

−e= (2.18)

|

−α−e

Πf (Π f (Π e∗ ) dΠ

− α − e∗ ≥ u¯

e∈{eL ,eH }


4. El gerente gerente aceptar´ aceptar´ a el contrato s´ olo olo si:



|

5. Sea α∗ tal que la desigualdad débil ebil anterior se cumple con igualdad, en ese caso:



Πf (Π f (Π e∗ ) dΠ

|

− α∗ − e∗ = u¯

y por lo tanto, la utilidad de los accionistas es: α∗ = =



Πf (Π f (Π e∗ ) dΠ max

|

e∈{eL ,eH }

− e∗ − u¯ Πf (Π f (Π|e) dΠ − e − u ¯



(2.19)

Luego, cuando el gerente es neutral al riesgo, la utilidad de los accionistas es igual a cuando el esfuerzo es observable. En este caso, se puede alcanzar el óptimo optimo porque se le hace asumir al gerente todas las consecuencias de sus acciones. 2.3.2

Informaci´ on on privada

Un segundo segu ndo tipo ti po de asimetr asi metr´´ıas de informaci´ informa ci´ on post-contractual ocurre cuando el agente tiene acceso on a informaci´ on on que el principal principal no conoce. Por ejemplo, ejemplo, esto ocurre cuando un banco le presta presta dinero a una persona; el deudor conoce mejor los resultados de la empresa que el banco.



98

Existen dos tipos de modelos en este caso. En el primer tipo, el principal puede adquirir información on o, m´ as generalmente, observar una se˜ as nal n al si paga paga por ello. ello. Este Este tipo de modelos modelos,, a los los que que se le conoce como modelos de verificaci´ on costosa de estado, estado, se han usado para mostrar que bajo ciertas condiciones los contratos con deuda son optimos. o´ptimos. Un segundo tipo de mo delos estudia estudia el caso en que el contrato contrato se dise˜ na para que la parte informada na tenga incentivos a revelar su información on privada. Este es el tipo tip o de modelos que estudiaremos aqu´ aqu´ı. La idea central es dise˜ nar un mecanismo tal que el agente le revele la información nar on privada al principal; la remuneraci´ on del agente dependerá de lo que el agente revele. on Consideremos el siguiente ejemplo. El due˜ no de un cine lo entrega en concesión. no on. Los ingresos que genera el cine son función on del n´ umero de entradas vendidas, e [0, umero [0, ), seg´ un un la función o n Π(e Π(e) , con   Π > 0, Π < 0 e. El n´ umero de entradas vendidas es verificable. umero

∈ ∞

∀

El concesionario tiene una función on de utilidad esperada u (W,e,θ), W,e,θ), donde W es el pago que recibe el concesionario del cine, e es el n´ umero de personas que asisten , y θ el estado de la demanda. umero Suponemos que: u (W,e,θ) W,e,θ) = v (W donde

v  < 0 g (0, (0, θ) = 0

− g (e, θ))

∀θ

y además as debe cumplirse lo siguiente:



> 0 = 0

i.

ge (e, θ)

ii.

gee (e, θ) > 0

iii.

gθ (e, θ)

< 0

geθ (e, θ)



iv .

< 0 = 0

si e > 0 si e = 0

∀e ∀e si e > 0 si e = 0

(i.) i.) y (ii.) ii.) significan significan que el costo de vender vender entradas entradas es crecient crecientee a tasa creciente; creciente; (iii. (iii.)) signifi significa ca que el costo cae si la demanda es alta (θ ( θ grande) y (iv. (iv.)) dice que el costo marginal de vender una entrada es menor mientras m´ as as alta sea la demanda. Tal como lo hicimos antes, supondremos que la utilidad de reserva del agente es ¯u. Por ultimo, u ´ltimo, A B A B para simplificar supondremos que θ θ , θ , con θ > θ , y que con probabilidad q (0, (0, 1), A θ=θ .

∈

 

Notar que en este caso, un contrato tiene dos objetivos: 1. Distribuir Distribuir riesgos riesgos optimamente. o´ptimamente.

∈



99

2. Maximizar Maximizar el excedente excedente total, Π (e)

− g (e, θ)

En general, es m´ as rentable vender asientos cuando la demanda es alta. Cuando la demanda as es baja convendrá vender menos menos porque el costo de vender es mayor. mayor. El problema es que la informaci´ on sobre el estado de la demanda la conoce s´ on olo olo el concesionar concesionario. io. Si al concesionar concesionario io siempre le pagan lo mismo, independientemente de lo que declare, siempre declarará que la demanda es baja, para as´ as´ı esforzarse menos. 2.3. 2.3.2. 2.1 1

Caso Caso 1: θ observable

Para tener una vara de comparación on comenzaremos suponiendo que el estado de la demanda es observable. En este caso, el due˜ no no resuelve resuelve el siguiente siguiente problema: max

q [Π (eA )

W A ,eA ≥0 W B ,eB ≥0

− W A] + (1 − q) [ Π (e(eB ) − W B ] (2.20)

s.a.



qv W A

−g

  eA , θ A

+ (1

− q) v



W B

−g

  ≥ eB , θB

u ¯

∗ , W ∗ , e∗ ) que resuelve 2.20. Como hay informaci´ on on simétrica, etrica, el contrato especifica (W A∗ , eA B B

Sea λ el multiplicador lagrangeano asociado a la restricci´ on. Es f´ facil aćil ver que en el óptimo, optimo, la restricci´ on on debe ser activa. Las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker son: i. ii.



iii. q Π (eA )

iv.

           ≤ − −   − −  −   −    −   ⇔ −  − 

−q + λqv  W A − g eA, θA = 0 − (1 − q) + λ (1 − q) v W B − g eB , θB

(1

De (i.) i.) y (ii.) ii.)

λqv  W A

− q) Π (eB )

g eA , θA

q ) v W B

λ (1

v  W A

W A

g eA , θ A

g eA , θA

=0

ge eA , θA

g eB , θB

=

ge eB , θB

= v  W B = W B

0 0 si eA > 0

 ≤  

=

0 0 si eB > 0

g eB , θ B

g eB , θB

Se sigue que, en equilibrio, el concesionario recibe una compensaci´ on on neta fija.



100

Supusimos que g (0, (0, θ) = 0 y Π (0) > 0, luego, e > 0 en el óptimo. optimo. Entonces, de (iii. (iii.)) y (iv.) iv.) Π (e) = ge (e, θ) Es decir, en el equilibrio, el ingreso marginal de vender una entrada es igual al costo marginal de generarla. N´ otese otese que esta condición on implica que se maximiza el excedente total en cada estado de la naturaleza. Notar que eA > eB , porque geθ < 0. 2.3. 2.3.2. 2.2 2

Caso Caso 2. θ no observable

Supondremos ahora que el dueño no del cine no puede observar el estado de la demanda. Si θ no es observable, entonces el dueño no del cine debe dejar que el concesionario tome la decisión. on. El contrato se puede dise˜ nar nar tal que: 1. El concesionario concesionario revele revele al due˜ no el estado de la demanda, y no 2. contin contingen gente te a lo que el conces concesion ionari arioo revele revele,, el due˜ dueno nõ le ordena un determinado nivel de esfuerzo y asociado a él, el, un pago. Proposici´ on o n 20 Sea (W ∗ (θ) , e∗ (θ)) el contrato con informaci´ on sim´ etrica. etrica. Si el due˜ no del cine B implementa ese contrato, el concesionario siempre declara θ = θ



Demostraci´ on: on: Por demostrar que:

 

v W B∗ v

−g W B∗ − g

  ≥    ≥  ∗ , θB eB

v W A∗

∗ , θA eB

v

−g W A∗ − g

    ∗ , θB eA

[1]

∗ , θA eA

[2]

La demostraci´ on on de la inecuación on [1] es directa al recordar que gθ < 0. Para el caso de [2] se aplica nuevamente que gθ < 0, y se tiene que:



v W B∗

−g

  ≥   ∗ , θA eB

v W B∗

= v

−g W A∗ − g

    ∗ , θB eB

∗ , θA eA



En principio, la cantidad de contratos que tendr´ tendr´ıamos que investigar para saber sab er cu´ al al es el contrato optimo óptimo es bastante bastante grande. El principio de la revelaci´ on nos asegura que podemos restringirnos a mecanismos directos en los que el concesionario tenga incentivos para decir la verdad . Recordemos que un mecanismo directo es aquel en que:

∈  

1. Se le solicita al concesionario concesionario que haga un anuncio anuncio θ

θA , θB .



    

2. El contrato contrato especifica especifica un resultado W θ , e θ Con esto, la proposici´ on on 20. pasa a ser: max q [Π (eA )

W A ,eA ≥0 W B ,eB ≥0

s.a. i. q v W A



ii. iii.

WB

− W A] + (1 − q) [ Π (e(eB ) − W B ]

  ≥ −  ≥ −  −g

eA , θ A

g eB , θ B

W A

para cada posible anuncio.

g eA , θA

+ (1

− q) v



W B

   

− g eA, θB W B − g eB , θA

W A

−g

  ≥ eB , θB

u ¯ RP

RI RI

T v(W B

− g(eB , θB ))

.. W A ..................................................................... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. W B ............................................... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... . . eB eA

E e

Figura 2.20: Soluci´ on del problema del principal on Lema: Lema: Si (iii.) es activa, y eB < eA , entonces (ii.) se cumple con holgura .

 −    −   −

Demostraci´ on: on: Si (iii. (iii.)) es activa, W A

g eA , θB o bien,

− W B = g

eA , θA

g eB , θB > W A

g eB , θA . Por demostrar que: W B ,

101



102

 −    −  

g eA , θ B

g eB , θB > g eA , θA

g eB , θ A

Para Para ello, definir g (θ, eA , eB ) g (eA , θ) g (eB , θ), luego si eA > eB entonces, se tiene que g (θ, eA , eB ) > 0. Por Por propieda propiedad d de la interse intersecci cci´ on oń unica, u ńica, g (θ, eA , eB ) es decreciente en θ. B A Luego, g θ , eA , eB > g θ , eA , eB . 







≡

 



−



En lo que sigue caracterizaremos la solución. o n. Sean Sean µA y µB los multiplicador multiplicadores es respectivos. respectivos. La proposición on anterior implica que podemos ignorar (ii. (ii.)) si encontramos que en el óptimo optimo del problema ∗∗ ∗∗ sin (ii. (ii.)) eB < e A . Las condiciones de primer orden son: a.

∂ £ ∂W A

:

−q + λqv (W A − g(eA, θA)) + µA = 0

b.

∂ £ ∂W B

:

− (1 − q) + λ (1 − q) v



c.

∂ £ ∂e A

:

q Π (eA )

W A

g eA , θ A

d.

∂ £ ∂e B

:

(1

λ (1

q ) v  W B

  −  −     −        − −  − 

− λqv 

− q) Π (eB )

W B

−g

eB , θB

µA = 0

ge eA , θA

µA ge eA , θA = 0

g eB , θB

ge eB , θB + µA ge eB , θA = 0

Proposici´ on o n 21 En el ´ optimo (i.) es activa. Demostraci´ on: on: Proposici´ on o n 22 De (b.) vemos que: λ (1

− q) v = (1 − q) + µA > 0

Luego, λ > 0. Proposici´ on o n 23 En el ´ optimo (iii.) es activa.

 

Demostraci´ on: on: Suponer Suponer que que esto no se cumple cumple.. Enton Entonces ces µA = 0, y W A + g eA , θA = W B + g eB , θB . Pero, ya vimos que esto es imposible. Luego µA > 0.

 

∗ , e∗ ) los niveles de esfuerzo ´ Proposici´ on o n 24 Sea (eA optimo cuando la informaci´ on es simétrica, etr ica, B ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ y (eA , eB ) cuando θ no es observable. Entonces eA = eA , y eB < eB.

Demostraci´ on: on: Proposici´ on o n 25 Usando (a.), (c.) se puede escribir como:



q Π (eA )

− ge

  eA , θA

=0



103

∗ Proposici´ on o n 26 De donde se sigue que e∗∗ manera similar, usando (b.), (d.) se puede A = eA . De manera reescribir como:

(1

− q)



Π (eB )

 −  

−g

     −   eB , θB

= µA ge eB , θB

ge eB , θA

 

Como ge eB , θB ge eB , θA > 0 (por la propiedad de la intersección on única). unica). Π (eB ) g eB , θB > ∗ 0; de donde se sigue que e∗∗ B < eB.

−

Proposici´ on o n 27 En el ´ optimo, el concesionario asume riesgo (no hay seguro completo). Demostraci´ on: on: De (iii.), iii.), W A∗∗ Como gθ < 0, entonces W A∗∗

−g

−g

 

∗ eA , θA = W B∗∗

 

∗ eA , θA = W B∗∗

−g

−g

 

 ≥ A e∗∗ B ,θ

A e∗∗ B ,θ

W B∗∗

−g

  B e∗∗ B ,θ



¿Cu´ al al es la intuici´ on on detrás as de estos estos resultado resultados? s? El problema problema del due˜ dueno nõ del cine es que el concesionario querrá enga˜ narlo narlo cuando cuando la demanda demanda es alta. Lo que hace, entonces, entonces, el due˜ no no del cine es quitarle atractivos al contrato para cuando el concesionario declare que la demanda es baja. Para ∗∗ B . lograr esto, el due˜ no debe distorsionar la decisión no on del concesionario, haciendo Π (e∗∗ B ) > g eB , θ

 

En contraste, el concesionario nunca querrá enga˜ nar nar al due˜ no si la demanda es baja. Por esto, no no es necesario que el dueño no haga menos atractivo atractivo el contrato contrato para cuando la demanda sea alta. Al mismo tiempo, esto conlleva abandonar el seguro completo al concesionario. 2.3. 2.3.3 3

Un agen agente te con con m´ multiples u ´ltiples principales

En una serie de casos ocurre que un agente debe rendirle cuentas a varios principales. Esto ocurre, por ejemplo, en las empresas con propiedad dispersa, en las agencias de gobierno, o incluso, en la universidad. En las siguientes dos clases estudiaremos un modelo de múltiples ultiples principales que nos permitirá examinar el problema formalmente. ¿Qu´ e agrega al problema el que sean m´ ultiples ultiples principales? 1. Conflicto de inter´ es es entre principales transferencias transfe rencias.. Solución on cooperat coo perativa. iva.

⇒ maximizar el excedente conjunto y luego realizar

2. Pero Pero si los principales principales no act´ uan uan cooperativamente: (a) Un principal principal puede premiar al agente por no esforzarse esforzarse en dimensiones dimensiones que no le intereinteresan. (b) M´ as as util, u ´ til, es darle seguro en las dimensiones dimensiones que no le importan y as´ as´ı mejora mejora el precio precio por riesgo. Aqu´ Aqu´ı, el principal es insight de esta sección: on: los incentivos incentivos terminan siendo menos potentes y decrecen linealmente con el n´ umero umero de principales.


2.3. 2.3.3. 3.1 1


104

El model modelo o

1. x =t+ε m 1 ε  N (0, (0, Ω) Ω diag iagonal

×

donde t es el esfuerzo y x el resultado. 2. Utilidad Utilidad de los principales: principales: 

b j x 

Donde b j es un vector de dimensiones m b >> 0

× 1 y bx ≡



n j  x b j=1 j =1

es el beneficio agregado, con

El riesgo les es indiferente a los principales. Notar que: conflict os de interés es entre principales. principales. • Las diferencias entre los b j representan los conflictos • b >> 0 implica que el esfuerzo en todas las dimensiones es un bien para el conjunto de principales.

3. La función on de utilidad del agente es:

u (w) = con w = m

−e−rw

− 12 tCt

Donde m es un pago monetario y t C t refleja refleja el costo costo del esfuer esfuerzo. zo. La matriz C se supone definida-positiva y con términos erminos cruzados positivos. p ositivos. Cuando se aumenta el nivel de esfuerzo en una dimensión on ti , el costo marginal del esfuerzo aumenta en cada una de las restantes ∂c j dimensiones ( ∂t i > 0). Ejemplo 30: Dos principales Suponer m = 2 y sea C = entonces



c11 c12 c21 c22 ,



t Ct

= c11 t21 + 2c 2c12 t1 t2 + c22 t22

∂t  Ct ∂t 1

= 2c11 t1 + 2c 2c12 t2

∂t  Ct ∂t 1

∂t 2

= 2c12 > 0

si c12 > 0



105

Notar que, a´ un si a un principal no le importa el esfuerzo del agente en alguna de las dimensiones un directamente, le terminar´ a importando impo rtando a través es de C : si se esfuerza más as en la dimensi´ on on que no le interesa, le aumenta el costo en las dimensiones que le interesa. En lo que sigue analizaremos tres casos: información on simétrica, etrica, principales coludidos y principales que juegan entre s´ s´ı (respectivamente, (respectivamente, primer mejor, segundo mejor y tercer mejor). 2.3.3. 2.3.3.2 2

Esfuerz Esfuerzo o observ observabl able e

Si el esfuerzo es observable y los principales act´ uan en conjunto no tiene sentido que el agente uan asuma riesgo. riesgo. Luego, Luego, el contrato contrato consiste consiste en un pago monetario no contingente contingente z a cambio de un vector de esfuerzo t. El problema problema se reduce reduce a maximiz maximizar ar E [b (t + ε)] utilidad utilidad dado, exp r z 12 t Ct = u¯.

−

−  − 

− z sujeto a que el agente obtenga un nivel de

• Notar que z simplemente es una transferencia de ingreso del principal al agente y no tiene efecto sobre los incentivos.

• Luego, al principal le conviene maximizar el excedente esperado total: b t

− z + z − 12 tCt

N´ otese otese que el principal principal internaliza internaliza exactamente exactamente el costo social so cial del esfuerzo. esfuerzo. La condici´ on de primer orden es: b = Ct o t = Γb con Γ 2.3.3.3 2.3.3.3

≡ C −1.

Esfuerzo Esfuerzo no observ observable able con con principale principaless coludidos coludidos

Cuando el esfuerzo no es observable y los principales se coluden, eligen un esquema de pago: α x + β

(2.21)

Una vez que el agente ve 2.21. elige t para maximizar su utilidad esperada. Nuevamente β es una simple transferencia desde los principales al agente.



106

´ Comenzamos deduciendo la utilidad esperada del agente. Esta es:

   − − E exp

r α x + β

−

1  t Ct 2



=

−E

 −  exp

r α (t + ε) + β

−



1  t Ct 2

(2.22)

Dado que la variable x se distribuye normal, el equivalente cierto de 2.22. es: α t

− 12 rαΩα + β − 12 tCt

(2.23)

Cuando Cuando la loter´ loter´ıa se distribuye distribuye normal, normal, es equivalen equivalente te a maximizar maximizar 2.22. o 2.23. Si el agente agente elige t para maximizar 2.23, entonces la condici´ on on de primer orden es: α

− Ct = 0

o t = Γα

(2.24)

Notar que α = b implementa implementa el esfuerzo esfuerzo de primer mejor. Pero Pero no necesariame necesariamente nte eso es optimo, o´ptimo, 1 2  porque al agente se le debe pagar 2 r b Ωb por ello. De 2.24 sabemos que el equivalente cierto del agente será: a: α Γα

− 12 rαΩα + β − 12 αΓα

(2.25)

El excedente esperado conjunto de los principales será: a: E [(b [(b

− α) − β ] = (b ( b − α) Γα − β

(2.26)

Nuevamente, a los principales les conviene maximizar el excedente total, que es igual a:

(b =

1 1 − α) Γα − β + β + α Γα − rα Ωα + β 2 2

b Γα

1  α Γα 2

1  rα Ωα 2

−  −           

Beneficio

Costo Costo

esfuer esfuerzo zo

La condici´ condici´ on de primer orden de 2.27 es: on Γb

− Γα − rΩα = 0

Costo Costo

ries riesgo go



107

N´ otese otese que cuando r = 0 o´ Ω = 0, α = b ( first best ). ). La ecuación on 2.27. puede reescribirse como:

C Γb = C Γα + rC Ωα b = (I + I + rC Ω) Ω) α O bien,

α = (I + I + rC Ω) Ω)−1 b Ahora bien, si t > 0, entonces α > 0 (si ti < 0 es económicamente omicamente irrelevante, esto se justifica). Luego, (b

− α) = rC Ωα > 0

ya que C es supermodular y Ω una matriz de varianzas-covarianzas diagonal. Luego, los incentivos son menos potentes cuando r > 0. 2.3.3. 2.3.3.4 4

Los princi principal pales es act´ uan uan separadamente

Si los principales act´ uan uan separadamente, entonces el concepto de solución on adecuado es equilibrio de Nash. Cada principal j elige simult´ aneamente aneamente una función on de pago: 

α j x + β j Ahora bien, la función on de pago agregada del agente es αx + β y su esfuerzo óptimo optimo t = Γα. Pero buscamos buscamos un equilibrio equilibrio de Nash del juego entre principales. principales. Para Para un contrato, contrato, recordemos recordemos que en   j j equilibrio de Nash cada principal elige α y β para maximizar su pago dado los αi y β i i=j y la función on de respuesta respuest a óptima optima del agente, Γα. De esto podemos obtener una condición on de primer orden para cada principal y, luego, agregarla. Lo hacemos a continuaci´ on: on: Sea

∀ 

A j B j

  ≡ ≡

αk

k = j

β k

k = j

El equivalente cierto del agente se puede reescribir como:





1 j  A + α j (Γ 2

− rΩ)





A j + α j + B j + β j





108

Luego, el excedente que j le agrega al agente es: 

A j (Γ

− rΩ) α j + 12 α j (Γ − rΩ) α j + β j 

(2.27)

Notar que Γα Γα j es el esfuerzo incremental que el agente hace y que el resto de los principales j = i  remunera seg´ un un A j .



rΩα j es la varianza incremental que agrega α j al sumarse a los términos erminos de A j . No Nota tarr que que si j alg´ un un componente de a es negativo, le quita varianza y hace más as fácil acil cumplir con la restricción on de participaci´ on. on. Por otro lado, el excedente del principal j al entrar en la relación on con el agente es:



j 

b

j 

−α

−  −   t



β j = b j

α j Γ A j + α j

−

β j



Pero sin participar, el principal ya obtendr´ obtendr´ıa b j ΓA j . Luego: 

b j Γα j



− α j Γ



A j + α j

−

β j

(2.28)

es el beneficio de entrar en la relación. on. Entonces, el excedente conjunto es la suma de 2.27. y 2.28: 

b j Γα j  = b j Γα j  = b j Γα j











− α j Γ A j + α j − β j + A j (Γ − rΩ) α j + 12 α j (Γ − rΩ) α j + β j − 12 α j Γα j + rA j Ωα j − 12 rα j Ωα j − rA j Ωα j − 12 α j (Γ + rΩ) α j 







(2.29)



Si se elige α j para maximizar 2.29. la condici´ on de primer orden queda como: on

⇔

Γb j rΩA j b j rC ΩA j

− −

 n

Sumando sobre j , notando que

k=1

A jk = (n

− (Γ + rΩ) α j I + rC Ω) Ω) α j − (I +

= 0 = 0

(2.30)

− 1)α 1)α, se obtiene que:

b = (n 1) rC Ωα + (I (I + + rC Ω) Ω) 0 b = (I + I + nrC Ω) Ω) α

−

(2.31)

Aqu´ Aqu´ı vemos el principal resultado de esta sección, on, la potencia de los incentivos decrece linealmente con el n´ umero de principales. ¿De dónde umero onde viene ese resultado? Recordemos que: b j = (I + I + rC Ω) Ω) α j + rC ΩA j = α j + rC Ωα Usando la ecuaci´ on 2.31. se tiene que lo anterior implica: on

(2.32)



α j = b j

I + nrC Ω) Ω)−1 b − rC Ω (I +

109

(2.33)

Suponga ahora que n = m y que todos los componentes de b j son iguales a cero salvo el j-´ esimo. esimo. La j ecuación on 2.33 muestra que, en general, los componentes de α ser´ an an distintos de cero. El punto es que al principal j le conviene que el esfuerzo sea menor en las dimensiones que no le interesan. En efecto, ocurre por dos lados que se pueden apreciar en la ecuación on 2.29, el excedente de la relación on bilateral entre el agente y el principal j . Ese excedente es: 

b j Γα j

− rA j Ωα j − 12 α j (Γ + rΩ) α j 





(2.34)

El primer primer t´ ermino ermino es igual a b j j Γ ji α ji . Los Γ ji tienden tienden a ser negativ negativos, os, luego luego convie conviene ne que α ji i = j sean sean negativ negativos. os. El princi principal pal castiga castiga buenos buenos resultad resultados os en las dimensio dimensiones nes que no le interesan.



El segundo efecto se aprecia en el segundo término. ermino. Reescribiendo queda:

 rA j

−

   

α j1 Ω11 α j2 Ω22 .. . j αn Ωnn

   

=

−r

 i

A ji Ωii α ji


2.3.4 2.3.4


110


Ejercic Ejercicio io 42: Una compa˜ n´ıa estudia estudia la posibilidad posibilidad de vender vender seguros contra contra incendio incendio en ciudades ciudades en que hay casa casass “bue “buena nas” s” y casa casass “m “mala alas” s”.. Lo que dist distin ingu guee a las casas casas buenas buenas de las malas malas es que es menos probable que se quemen. La probabilidad de incendio también en depende de la diligencia del due˜ no (por ejemplo, una casa con detectores de humo se quema con menor probabilidad). Pero ser no diligente cuesta plata y esfuerzo. La compa˜ n´ıa no observa observa la diligencia del due˜ no no y no sabe si una casa dada es buena o mala. Obviamente, el due˜ no de una casa sabe cuan diligente ha sido. no 1. Suponga que la compa˜ n´ıa estudia estudia si introduce introduce el seguro seguro en una ciudad en que nunca se han asegurado casas. Juanito, jefe del departamento de estudios de la compañ´ıa ha determi det erminad nadoo que, todos los a˜ nos se quema una fracción nos on p de las casas. casas. Bernar Bernardo, do, gerente gerente general general de la empresa decide vender primas que aseguran completamente la casa cobrando la prima justa dado p (vale decir, los asegurados no pueden asegurar parcialmente su casa). Si en esta ciudad cada persona p ersona sabe si su casa es buena o mala ¿quién en comprar´ a seguros? ¿Es posible que una persona que tenga una casa buena compre un seguro? ¿Cómo omo le ir´ a a la compa˜ n´ n´ıa? 2. Suponga que en otra ciudad en que los dueños nos de casa ignoran si su casa es buena o mala, muchas compa˜ n´ıas ya venden seguros hace mucho tiempo (por ende, el mercado es competitivo). tivo). Se sabe que una fracci fracci´ on oń q de las casas se queman. queman. Siguiendo Siguiendo la misma pol´ pol´ıtica, que en la ciudad anterior Bernardo decide cobrar la prima justa dado q . En esas circunstan circunstancias cias ¿cómo omo le ir´ a a la compa˜ n´ıa? Explique Expl ique.. 3. Si en la segunda ciudad se prohibieran los seguros ¿se quemar´ quemar´ıan m´ as as o menos casas? Ejercic Ejercicio io 43: (En esta pregunta lea cuidadosamente las dos notas al pie de la p´ agina). agina). En el cap´ cap´ıtulo 5 de su Democracia en América erica Tocqueville describe el sistema de gobierno de los townships (municipalidades) de Nueva Inglaterra, y se refiere al problema de cómo hacer que las autoridades municipales cumplan con su deber. “Pero “Pero las dificultades dificultades comienzan comienzan cuando ser trata de [...] lograr que las autoridades autoridades municipale municipaless cumplan con su deber. Toda acción on reprobable de un funcionario p´ ublico cae dentro de una de tres ublico cate ca tego gor´ r´ıas: ıa s: ejecutar la ley sin energ´ energ´ıa o diligencia; no hacer lo que la ley manda; hacer lo que la ley l ey proh´ proh´ıbe. Sólo olo las dos ultimas u ´ltimas faltas pueden ser examinadas por un tribunal; un hecho (fácilmente) acilmente) demostra4 ble es el fundamento fundamento indispensable indispensable de toda acci´ on on legal. lega l. As´ As´ı, si los selectmen sel ectmen omiten (cumplir con) las formalidades legales usuales en una elecci´ on municipal, pueden ser multados. Pero cuando una on 4

Los selectmen son ciudadanos elegidos por las comunidades de Nueva Inglaterra en votación votación popular para que administren los asuntos locales. El nombramiento es por un año.



111

autoridad autoridad municipal municipal no cumple con su obligaci´ obligaci´ on on diligentemen diligentemente, te, o bien cuando obedece la letra de la ley sin diligencia diligencia o energ´ energ´ıa, queda fuera del alcance alcance de los tribunales. tribunales. La corte de sesiones5 , aun cuando está investida con poderes administrativos, no puede hacer que cumpla su deber satisfactoriamente. Por eso, el temor a perder el puesto es la única unica cortapisa de estas cuasi-violaciones, y las autoridades municipales no son elegidas por la corte de sesiones; la que no puede despedir a funcio funcionar narios ios que no nombra nombra.. M´ as a s a´ un, un, ser´ a necesario supervisar permanentemente para poder condenar a la autoridad por negligencia o falta de entrega en el cumplimiento de su deber. Ahora bien, la corte sesiona s´ olo olo dos veces al a˜ no, no, y trata sólo olo aquellos casos que son denunciados ante ella. La unica u ńica garant´ garant´ıa de aquella obediencia ob ediencia competente comp etente y activa (de las autoridades municipales) radica en (la posibilidad de) remoci´ on discrecional del cargo. En Francia esta potestad es ejercida on por los jefes de la Administración on P´ ublica; ublica ; en América erica es ejercida a través es de elecciones.” eleccio nes.” 1. ¿En la situaci´ on on descrita por Tocqueville quién en es el agente? ¿quienes son los principales? De qu´ e se trata el “contrato”? Explique. 2. ¿Es razonable lo que afirma Tocqueville acerca el tipo de faltas que puede sancionar un tribunal? Justifique. 3. ¿Qu´ ¿Qué rol cumplen las elecciones elecciones en este contrato? contrato? Si las elecciones elecciones hubiesen hubiesen sido cada diez a˜ nos en vez de anuales ¿hubiese sido distinto el comportamiento de los selectmen? nos 4. ¿Qu´ e tan efectivas efectivas habr´ habr´ıan sido las elecciones anuales para lograr lo grar que las autoridades municipales cumplieran cumpli eran con el esp´ esp´ıritu de la ley? ¿Por qué? e? ¿Habr´ıa ıa sido si do distinto di stinto el compor co mportamiento tamiento de las autoridades autoridades municipalidades municipalidades en Francia? rancia? Justifique. Justifique. 5. En vista de la distribución on de la información on que presumiblemente cada una de las partes ten te n´ıa, ıa , eval´ eval ue u é el “contrato” indicando si tiene fallas evidentes. Ejercic Ejercicio io 44: Competen Competencia cia por comparac comparaci´ i´ on on y la teor te or´ ´ıa del d el agente y el principal En esta pregunta utilizaremos el modelo de agente y principal para estudiar la “competencia por comparaci´ on”: cuando se regulan las tarifas de una empresa dada se puede utilizar información on”: on de otras empresas empresas similares para estimar los costos. Para Para contestar contestar puede ser util u ´til consultar consult ar el cap´ cap´ıtulo 7 del libro de Milgrom y Roberts, Econom Econo m´ıa, Organiza Organ izaci´ ci´ on y Gesti´ on de Empresas. Suponga que un regulador debe fijar las tarifas de la empresa Alectra, el monopolio encargado de distribuir electricidad en la zona A. El costo medio de servir a un cliente en la zona A es cA = c¯

− eA + x,

donde c¯ es una constante, eA 0 es la intensidad del esfuerzo que pone Alectra en reducir costos y x es un factor aleatorio que afecta los costos de distribución on pero que está fuera del control de la empresa, con E [x] = 0 y V ar[ ar[x] = σx. La función on de utilidad esperada de Alectra es

≥

5

La corte de sesiones es un tribunal que tiene jurisdicción sobre un grupo determinado de municipalidades que componen componen una unidad administrativ administrativa a superior, superior, el county county.. En la poca de Tocqueville Tocqueville integraban integraban la corte tres Jueces de Paz, los que eran nombrados por el gobernador del estado.



E [ p pA

112

− cA] − C (eA) − 2r V ar[ ar[ p pA − cA ],

donde pA es el precio fijado por el regulador; es la función on estrictamente creciente y convexa de costo del esfuerzo con (0) = 0; y r > 0 es el coeficiente absoluto de aversión on al riesgo.

C

C

Por su parte, el objetivo del regulador, que es neutral al riesgo, es que las tarifas sean lo m´ as as bajas posibles, vale decir, quiere minimizar E [ p pA ]. Sin embargo, el regulador debe respetar la restricción on de participaci´ on de Alectra—le tiene que fijar un precio tal que su utilidad esperada sea positiva—. on El regulador puede observar el costo medio cA de Alectra, pero no observa observa el esfuerzo eA . Además, as, al momento de fijar las tarifas de Alectra el regulador conoce el costo medio cB de la empresa distribuidora de la zona B, Belectra. Si bien no observa cada uno de los componentes de este costo medio, el regulador sabe que cB = c¯

− eB + x.

(Nótese otese que el factor aleatorio x que afecta el costo de Belectra es el mismo que el de Alectra.) De esta forma, el regulador le fija a Alectra su precio de acuerdo a pA = α + (1 + β )cA + δcB , con β

(2.35)

≥ −1.

1. Para Para un nivel nivel de esfuerzo esfuerzo dado obtenga obtenga el equivalen equivalente te cierto de Alectra Alectra si el regulador le fija el precio de acuerdo la fórmula ormula (2.35); el equivalente cierto del regulador y el equivalente total cierto. 2. Escriba Escriba la restricci´ restricci´ on on de participaci´ on on del regulador. Explique qu´ e significa. 3. S´ olo para responder la 3 Suponga que el regulador puede observar el esfuerzo de Alectra. olo Encuentre el esfuerzo óptimo optimo que elige contratar el regulador y la f´ ormula tarifaria que elige. ormula 4. Encuentr Encuentree el contrato optimo o´ptimo que optimiza el pago del regulador. 5. Finalmente Finalmente,, encuentr encuentree la intensidad intensidad óptima optima de incentivos y demuestre que la “competencia ∗ a pesar de que no por comparaci´ on” le permite al regulador implementar óptimamente on” optimamente eA puede observar eA . Explique brevemente la intuición on de por po r qué esto est o es as´ı. ı.



113

Ejercic Ejercicio io 45: Regula Regulando ndo a una empresa empresa sin conocer sus costos costos Considere el problema de un regulador que debe contratar a una empresa privada monop´ olica olica para A que le produzc produzcaa un bien. El costo por unidad unidad es consta constant ntee pero puede puede ser alto (c (c ) o bajo (c (cB ). La empresa empresa conoce su costo, costo, pero el regula regulador dor no puede puede observ observarlo. arlo. Desde Desde su punto punto de vista, vista, la empresa tiene costos altos con probabilidad π (0, (0, 1). Sin embarg embargo, o, el regulado reguladorr puede puede elegir la cantidad que quiere comprar (q ( q ) y el monto total que pagar´ a (R) y hacerlo depender de cualquier declaraci´ on on de la empresa empresa que elija. Si la empres empresaa produce produce q unidades y se le paga R, la utilidad del regulador es B (q ) R,

∈

−

con B  > 0, B  < 0. Obvia Obviamen mente, te, la partic participac ipaci´ i´ on de la empresa es voluntaria, vale decir, el on regula regulador dor tiene que ofrece ofrecerle rle al menos menos lo suficie suficient ntee para para que cubra cubra sus costos. costos. Suponga Suponga adem´ adem´ as as que para el regulador es indispensable que la empresa, aún un si es de costos altos, acepte producir el bien. El regulador tiene que diseñar nar un contrato y su objetivo es maximizar: E [ E [B (q )

− R]

1. ¿Qu´ e tipo de modelo es este? Explique y justifique. 2. Escriba Escriba lo que optimiza optimiza el regulador. regulador. Explique Explique c´ omo omo y porqué usa el principio prin cipio de la revelación. on. 3. Escriba la función on de pago de la empresa. Luego demuestre que esa función de pago cumple con la propiedad de la intersecci´ on on unica. u ńica. 4. Muestre que en el óptimo optimo siempre qA

≤ qB .

5. En el resto de la pregunta suponga que q A < qB . Luego demuestre que: (a) la empresa de costo bajo obtiene utilidades utilidades,, (b) la empresa de alto costo obtiene exactamen exactamente te cero utilidades, (c) en el óptimo optimo la restricci´ on de incentivos de la empresa de bajo costo de cumple con on igualdad. 6. Usando Usando los resultados resultados de la parte anterior, anterior, encuentre encuentre el contrato optimo. o´ptim o. Luego caracter caracte r´ıcelo, vale decir, explique sus propiedades relativo al primer mejor con información on sim´ si métri et rica ca.. 7. ¿C´ omo cambiar´ omo cambiar´ıa el problema del regulador si la empresa observa observa su costo despu´ es es de firmar el contrato. Explique. 8. Explique cómo omo cambiar´ cambiar´ıan los resultados que obtuvo obtuvo en las partes 5. y 6. No es necesario necesario que resuelva el modelo; use la intuición on educada por el estudio.



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Ejercic Ejercicio io 46: El Ministerio de Educaci´ on on est´ a estudiando estudiando cómo omo mejorar la educaci´ on. Se propone premiar a cada on. colegio seg´ un el resultado de sus alumnos en el SIMCE. Suponga que existen s´ un olo olo dos escuelas. Lo que aprenden los alumnos del colegio a depende sólo olo del esfuerzo pedagógico ogico de los profesores del colegio,e colegio,ea . Sin embarg embargo, o, el Minist Ministeri erioo s´ olo puede observar el puntaje del SIMCE, sa , el que olo depende del esfuerzo y de dos factores que están an fuera de control del colegio: condiciones imperantes imperantes el d´ıa de la prueba prueba (por ejemplo ejemplo estado del tiempo, ruido, estado • las condiciones de ánimo animo de los alumnos, etc.), el que denotamos por xa ;

• el grado de dificultad de la prueba, y. As´ı: sa = ea + xa + y De manera similar, para el colegio b: sb = eb + xb + y Adem´ as, as, y, xa y xb son variables aleatorias independientes con E [xi ] = E [y] = 0. En esta etapa experimental el Ministerio planea entregarle al colegio a un premio: P a = α + β (sa

− δ · sb )

con α ,β ,δ > 0. La función on de utilidad esperada del colegio a es: E [P a ]

− C (ea) − r2a · Var(P Var(P a )

dónde onde r > 0 es el coeficiente absoluto de aversión on al riesgo, y C, C 0. El Ministerio, que es neutral al riesgo, quiere que los alumnos a lumnos aprendan, pero p ero al menor costo posible. As´ As´ı su funci´ on on objetivo es: ea

− [α + β (ea − δeb)]

Por ultimo, u ´ ltimo, es necesario notar que en esta etapa experimental el Ministerio no puede forzar al colegio a participar; le tiene que dar utilidad esperada positiva. 1. Escriba Escriba las restriccion restricciones es de participaci´ participaci´ on on y de incentivo incentivoss que enfrenta enfrenta el Ministerio. Ministerio. Luego expliqu expl iquee qué signi si gnifica fican. n.



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2. Considere el premio P a = α + β (sa δsb ). Explique qué implica i mplica.. Luego explique expliqu e por p or qué es razonable que, todo lo dem´ as as constante, el colegio a se le pague menos mientras mejor le vaya al colegio b.

−

3. Demuestr Demuestree que al Ministerio le conviene conviene seleccionar seleccionar δ=

σy σy + σb

dónde onde σy y σb son las varianzas de y y xb respectivamente. Obviamente δ crece con σy y cae con σb . Explique intuitivamente intuiti vamente por po r qué. e. 4. Es posible demostrar que en el óptimo optimo el ministerio ministerio selecciona: selecciona: β ∗ =

1 1 + ra [σa + δ 2 σb + (1

− δ2)σy ] · C 

donde σa es la varianza de xa . Explique por qu´ e el Ministerio disminuye la intensidad de los l os incentivos cuando aumenta la varianza de alguno de los factores que no controla el colegio. 5. En no m´ as as de cinco l´ıneas dé una raz´ on on de por qu´ e no siempre siempre es deseable deseable premiar premiar a un colegio solamente por el puntaje que obtengan sus alumnos en el SIMCE. (Obviamente esta razón on debe deb e ser sugerida por la teor´ teor´ıa del agente-principal) Ejercic Ejercicio io 47: Considere el siguiente modelo de hidden actions con tres posibles acciones E= e1 , e2 , e3 . Considere adem´ as dos escenarios posibles para las utilidades: πh = 10 y πl = 0. las probab as probabilid ilidade adess de πh condicional a los niveles de esfuerzo son: f ( f (πh e1 ) = 2/3,f 3,f ((πh e2 ) = 1/2, f ( f (πh e3 ) = 1/3. La función on de esfuerzo del agente es: g (e1 ) = 5/3, g (e2 ) = 8/5 ,g (e3 ) = 4/3. Finalmente Finalmente,, v(w) = w, y la utilidad de reserva del gerente es u ¯=0

|

|

{ |

}

√

1. ¿Cu´ al al es el contrato optimo o´ptimo cuando el nivel de esfuerzo es observable? 2. Muestre Muestre que si el nivel de esfuerzo esfuerzo no es observable, observable, entonces entonces el nivel e2 no es implementable. ¿Para qué nivel de g (e) ser´ se r´ıa e2 implementable?. Indicaci´ on: Observe los niveles de utilidad del gerente v1 y v2 , m´ as que en los salarios. salarios. 3. ¿Cu´ al al es el contrato óptimo optimo cuando el esfuerzo no es observable?

√

4. Suponga que g (e1 ) = 8, y que f ( f (πh e1 ) = x [0, [0, 1]. ¿Cu´ al al es el contrato optimo óptimo si el esfuerzo es observable en la medida que x se aprox aproxima ima a uno? ¿Cu´ ¿Cual a´l es el contrato óptimo optimo si x se aproxima a uno y el esfuerzo no es observable? A medida que x se aproxima a uno, ¿el nivel de esfuerzo implementado es alto (bajo) cuándo ando el esfuerzo es observable (no observable)?

|

∈

MICROECONOMIA II

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