MIAV13-LibroEjerciciosAlumno.pdf

Facultad de CC.EE de Albacete Departamento de Análisis Económico y Finanzas Área de Fundamentos del Análisis Económico

MICROECONOMÍA AVANZADA Guía Práctica (Libro del Profesor) Curso académico 2013/2014

Profesor: Fabio Monsalve

Las granadas Las granadas Había una vez un hombre poseedor de varios granados en su huerta. Y todos los otoños colocaba las granadas en bandejas de plata fuera de su morada, y sobre las bandejas escribía un cartel que decía así: "Tomad una por nada. Sois bienvenidos". Más la gente pasaba sin tomar la fruta. Entonces, el hombre meditó, y un otoño no dejó granadas en las bandejas de plata fuera de su morada, sino que colocó un gran anuncio: "Tenemos las mejores granadas de la tierra, pero las vendemos por más monedas de plata que cualquier otra granada". Y, creedlo, todos los hombres y mujeres del vecindario llegaron corriendo a comprar. Gibran Jalil Gibran

3

Indices

Tabla de contenidos Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica ............................................................... 10 1.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ............................................................................. 11 1.1.1. Economía de intercambio puro ............................................................................................ 11 1.1.2. Economía de intercambio con producción ........................................................................... 13 1.1.3. Optimalidad en el sentido de Pareto ................................................................................... 15 1.2. Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 18 1.3. Ejercicios propuestos ...................................................................................................................... 39 1.4. Referencias Bibliográficas ............................................................................................................... 44 1.5. Practicas .......................................................................................................................................... 45

Tema 2. Economía del Bienestar .......................................................................................... 67 2.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ............................................................................. 68 2.1.1. Teoremas de la economía del bienestar .............................................................................. 68 2.1.2. La elección social ................................................................................................................. 69 2.1.3. Los fallos del mercado.‐ Externalidades .............................................................................. 70 2.1.4. Fallos de mercado.‐ Bienes Públicos .................................................................................... 71 2.2. Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 72 2.3. Ejercicios propuestos ...................................................................................................................... 86 2.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................... 91 2.5. Prácticas .......................................................................................................................................... 92

Tema 3. Teoría de juegos ................................................................................................... 105 3.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ........................................................................... 106 3.1.1. Juegos estáticos ................................................................................................................. 106 3.1.2. Juegos dinámicos ............................................................................................................... 106 3.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 109 3.2.1. Juegos estáticos con información completa ...................................................................... 109 3.2.2. Juegos dinámicos con información completa .................................................................... 115 3.2.3. Juegos estáticos con información incompleta ................................................................... 127 3.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 132 3.3.1. Juegos estáticos con información completa ...................................................................... 132 3.3.2. Juegos dinámicos con información completa .................................................................... 143 3.3.3. Juegos estáticos con información incompleta ................................................................... 146 3.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................. 147 3.5. Prácticas ........................................................................................................................................ 148

5

Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14.

Prof. Fabio Monsalve

Tema 4. Subastas ............................................................................................................... 155 4.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ................................ ¡Error! Marcador no definido. 4.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 156 4.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 168 4.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................. 171 4.5. Prácticas ........................................................................................................................................ 172

Tema 5. Selección adversa ................................................................................................. 175 5.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ................................ ¡Error! Marcador no definido. 5.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 176 5.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 181 5.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................. 185

Tema 6. Riesgo moral ........................................................................................................ 189 6.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ................................ ¡Error! Marcador no definido. 6.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 190 6.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 192 6.4. Prácticas ........................................................................................................................................ 193

6

Indices

Ejercicios * 0F

Ejercicio 1.1. Economía de intercambio puro. Función de demanda. .................................................. 18 Ejercicio 1.2. Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda. ................................. 22 Ejercicio 1.3. Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) ..................................................... 27 Ejercicio 1.4. La Frontera de posibilidades de producción con un factor ............................................. 30 Ejercicio 1.5. La Frontera de posibilidades de producción con dos factores ........................................ 34 Ejercicio 1.6. *Economía de intercambio puro. Función de demanda. ................................................ 39 Ejercicio 1.7. *Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda. ............................... 40 Ejercicio 1.8. *Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) ................................................... 41 Ejercicio 1.9. *La Frontera de Posibilidades de Producción con un factor ........................................... 42 Ejercicio 1.10. *La Frontera de posibilidades de producción con dos factores .................................... 43 Ejercicio 2.1. Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar ................................................. 72 Ejercicio 2.2. Externalidades y equilibrio general competitivo ............................................................. 77 Ejercicio 2.3. Externalidades en la producción ..................................................................................... 80 Ejercicio 2.4. La tragedia de los bienes comunales ............................................................................... 82 Ejercicio 2.5. Bienes públicos ................................................................................................................ 83 Ejercicio 2.6. Bienes públicos y precio de Lindahl (solución numérica) ................................................ 85 Ejercicio 2.7. *Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar ............................................... 86 Ejercicio 2.8. *Externalidades y equilibrio general competitivo ........................................................... 87 Ejercicio 2.9. *Externalidades en la producción ................................................................................... 88 Ejercicio 2.10. *Bienes públicos ............................................................................................................ 89 Ejercicio 2.11. *Bienes públicos y precio de Lindahl (solución numérica) ............................................ 90 Ejercicio 3.1. Juego de los Cerdos [EN] (Clase) ................................................................................... 109 Ejercicio 3.2. Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Clase) .............................................. 111 Ejercicio 3.3. Juego del bienestar [Estrategias mixtas] (Clase) ........................................................... 113 Ejercicio 3.4. Duopolio Cournot (Clase) .............................................................................................. 114 Ejercicio 3.5. Representación estratégica (Clase) ............................................................................... 115 Ejercicio 3.6. Juego en forma extensiva [ENPS] .................................................................................. 117 Ejercicio 3.7. Información completa‐imperfecta/simultáneo‐secuencial (Clase) .............................. 120 Ejercicio 3.8. El monopolista “Lobbysta” (Clase) ................................................................................ 122 Ejercicio 3.9. Duopolio de Stackelberg ............................................................................................... 126 Ejercicio 3.10. La batalla de los sexos [EBN] (Clase) ........................................................................... 127

*

El asterisco (*) indica ejercicios propuestos

7



Ejercicio 3.11. Situación estratégica [EBN] ........................................................................................ 130 Ejercicio 3.12. *Matrices estratégicas [EN] (Clase) ............................................................................. 132 Ejercicio 3.13. *Juego de la gallina o halcón‐paloma [EN] .................................................................. 133 Ejercicio 3.14. *La Batalla de los sexos [EN] (Clase)............................................................................ 134 Ejercicio 3.15. *Juego Izquierda‐Derecha [EN] ................................................................................... 135 Ejercicio 3.16. *Empresas automovilísticas [EN] ................................................................................ 136 Ejercicio 3.17. *Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Clase) .......................................... 137 Ejercicio 3.18. *Juego Generales Pacifico Sur [Argumentos dominación] (Clase) .............................. 138 Ejercicio 3.19. *Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Ejercicio Clase) ........................... 139 Ejercicio 3.20. *Inspección de trabajo [Estrategias mixtas] [Clase] .................................................... 141 Ejercicio 3.21. *Agencia Tributaria [Estrategias mixtas] (Pendiente) ................................................. 142 Ejercicio 3.22. *Duopolio de Cournot [Clase] ..................................................................................... 143 Ejercicio 3.23. *Juego en forma extensiva [ENPS] (Clase) .................................................................. 143 Ejercicio 3.24. *Telex contra IBM [EN y ENPS] .................................................................................... 144 Ejercicio 3.25. *Juego en forma extensiva [ENPS] .............................................................................. 145 Ejercicio 3.26. *La batalla de los sexos [EBN] (Clase) ......................................................................... 146 Ejercicio 4.1. Actitud frente al riesgo [Recordatorio] (Clase) .............................................................. 156 Ejercicio 4.2. Juego de subastas de primer precio. (Clase) ................................................................. 158 Ejercicio 4.3. Hacer un buen negocio. (Clase) ..................................................................................... 160 Ejercicio 4.4. Equilibrio en subastas. (Presentación) .......................................................................... 163 Ejercicio 4.5. *Juego de subastas de primer precio. (Clase) ............................................................... 168 Ejercicio 4.6. *Subastando un ordenador ........................................................................................... 169 Ejercicio 4.7. *El mercado de alfombras ............................................................................................. 170 Ejercicio 5.1. The market for lemons .................................................................................................. 176 Ejercicio 5.2. Razonando sobre selección adversa .............................................................................. 178 Ejercicio 5.3. Screening en Cruceros [Presentación]........................................................................... 179 Ejercicio 5.4. *The market for lemons [Presentación] ........................................................................ 181 Ejercicio 5.5. *La educación como señal de calidad [Presentación] ................................................... 182 Ejercicio 5.6. *Información asimétrica y mercado de trabajo [Ejercicio Clase] .................................. 183 Ejercicio 5.7. *Screening en compañía aérea ..................................................................................... 184 Ejercicio 6.1. Incentivos al esfuerzo [Presentación] ........................................................................... 190 Ejercicio 6.2. *Incentivos al esfuerzo .................................................................................................. 192

8

Programa

Programa de la asignatura

PARTE I

EQUILIBRIO GENERAL Y BIENESTAR

Tema 1

Equilibrio general y eficiencia económica.

Tema 2

Economía del bienestar

PARTE II

COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO

Tema 3

Teoría de juegos

Tema 4

Subastas

PARTE II

ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN

Tema 5

Selección adversa

Tema 6

Riesgo moral

9

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica


10



1.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios 1.1.1. Economía de intercambio puro

:

2 2

; 1,2

; ó

,

: :

a) El equilibrio general competitivo con intercambio puro Determinación mediante la función de utilidad Paso 1.‐ Se calculan las funciones de demanda de cada uno de los individuos En primer lugar resolvemos el siguiente problema de maximización.

. .

Método 1.‐ Mediante el Lagrangiano. Se calculan las derivadas parciales e igualan a 0. ,

Método 2.‐ Aplicando directamente la condición de equilibrio del consumidor determinada por la igualdad de las utilidades marginales (UMg) de cada bien. En segundo lugar, sustituimos la condición de equilibrio en la restricción y, despejando, obtenemos las curvas de demanda de cada consumidor para cada bien. Paso 2.‐ Se calcula el vaciado de mercado En primer lugar, sustituimos las funciones de demanda de cada individuo en la factibilidad que determina las dotaciones iniciales, obteniendo una ecuación con dos incógnitas. En segundo lugar, tomamos como numerario uno de los dos bienes y llegamos a unos precios relativos de equilibrio. En tercer lugar, sustituyendo los precios de equilibrio en las funciones de demanda, obtenemos las cantidades demandadas de cada bien. Determinación mediante las funciones de exceso de demanda

11


Sabemos que la el exceso de demanda o demanda neta es la diferencia entre la demanda deseada por el agente (demanda bruta) y sus dotaciones iniciales. Paso 1.‐ Plateamos el problema de maximización de utilidad en términos de excesos de demanda. Para ello. En primer lugar, reescribimos la función de utilidad en términos de exceso de demanda. En segundo lugar, reescribimos la restricción presupuestaria en términos de exceso de demanda y, para simplificar, utilizamos precios relativos ⇒

0 ;

En tercer lugar, planteamos el nuevo problema de maximización y . .

0

En cuarto lugar, resolvemos mediante el método del Lagrangiano y obtenemos las funciones de exceso de demanda Paso 2.‐ Vaciado de mercado En primer lugar, calculamos los precios relativos. Sabiendo que el exceso de demanda agregada de cada bien es 0, podemos plantear un sistema de ecuaciones y obtener los precios relativos. 0 En segundo lugar, sustituimos la relación de intercambio en las funciones de exceso de demanda y obtenemos las cantidades demandadas por los individuos. A partir de las funciones de exceso de demanda y considerando el precio relativo igual a 1, obtenemos las cantidades de cada bien que los agentes están dispuestos a intercambiar. b) La ley de Walras El valor del exceso de demanda ha de ser igual a 0 para cualquier conjunto de precios. ≡ 0

12



Verificación de la ley de Walras Para verificar si el equilibrio competitivo cumple con la ley de Walras, calculamos las funciones de exceso de demanda de cada bien y comprobamos si la suma es igual a 0. Verificación del Equilibrio Walrasiano Dada una relación de precios hablamos de equilibrio walrasiano (EW) o equilibrio general competitivo (EGC) si se verifica que: En caso de que no se verifique, los precios no serán de equilibrio y habrá que calcularlos.

1.1.2. Economía de intercambio con producción 2 2 2 :

; ;

; 1,2 1,2

ó

:

ó

ó

ó : :

1,2

:

a) La curva de contrato La curva de contrato es el conjunto de todos los puntos eficientes en el sentido de Pareto. Por tanto, desde el punto de vista gráfico es el lugar geométrico de la caja de Edgeworth de las combinaciones de consumo (o producción) eficientes, factibles y no derrochadoras. La curva de contrato del consumo En primer lugar, calculamos las relaciones marginales de sustitución (RMS) de cada agente y las igualamos. En segundo lugar, sustituimos la del individuo B en la factibilidad y la ponemos en función de la cesta de consumo de A. ,

⇒

W

,W

En tercer lugar, igualamos a la RMS de A y despejamos uno de los bienes (normalmente el 2), obteniendo una expresión del tipo

13


Formalmente la caracterizamos de la siguiente forma ,

, W

⁄

,W

∈ 0, W

La curva de contrato de la producción o conjunto de Pareto En primer lugar, calculamos las combinaciones técnicamente eficientes mediante la condición de igualdad de las relaciones marginales de sustitución técnica. / /

/ /

En segundo lugar, dado que las combinaciones han de ser factibles y no derrochadoras, sustituimos los factores productivos del proceso 2 en la factibilidad y reescribimos la RMST2 en función de los factores del proceso productivo 1. ,

⇒

,X

X

En tercer lugar, igualamos a la RMST del proceso productivo 1 y despejamos uno de los factores productivos (normalmente el 2) obteniendo una expresión del tipo Caracterización ,

, W

⁄

,W

∈ 0, X

b) El equilibrio general competitivo con producción Paso 1.‐ Se calcula el beneficio de la empresa En primer lugar, resolvemos el siguiente problema de maximización y obtenemos las funciones de oferta de output y de demanda de input.

. . .

En segundo lugar, calculamos la función de beneficios de la empresa

.

Paso 2.‐ Se calcula el equilibrio general competitivo Este desarrollo es idéntico al visto en el cálculo del equilibrio general competitivo con intercambio puro con la salvedad de que, dado que los consumidores son también propietarios de las empresas, hemos de incorporar en su restricción presupuestaria la función de beneficios. . .

14



De la resolución del problema de maximización se obtienen las funciones de demanda de cada bien por parte de cada agente. Paso 3.‐ Vaciado de mercado. Desarrollo idéntico al analizando para economías de intercambio puro.

1.1.3. Optimalidad en el sentido de Pareto a) Determinar la frontera de posibilidades de producción En primer lugar, invertimos las funciones de producción, de tal manera que hacemos depender el factor productivo de la producción. En el caso de los factores capital y trabajo sería: ,

⇒

En segundo lugar, sustituimos en la condición de factibilidad de los factores llegando a una expresión en la que la suma de las producciones iguala la dotación de factores. En tercer lugar, establecemos una producción en función de la otra Nota.‐ En el caso de que las dos empresas utilicen los dos bienes como inputs debemos calcular primeramente la expresión de la curva de contrato, a partir de la igualdad de las RMST. b) Determinar la relación de transformación de producto (RTP) / /

c) Determinación de la frontera de utilidad (FU) La frontera de utilidad es la proyección de la curva de contrato en el espacio de utilidades. ,

⁄

,

∈

En primer lugar, sustituimos la expresión de la curva de contrato de consumo en la función de utilidad, de tal manera que la utilidad del individuo dependa funcionalmente de uno de los dos bienes. ,

,

Procedemos de igual manera, para el agente B. Téngase en cuenta, que la curva de contrato de B ha de estar definida en relación con la demanda del bien que hayamos tomado de referencia (generalmente XA1). ,

,

15


En segundo lugar, invertimos la relación para que sea la demanda del bien 1 por el agente A la que dependa funcionalmente de la utilidad. En tercer lugar, igualamos y obtenemos la expresión de la función de utilidad Formalmente, la expresamos en términos de la utilidad del agente A. ⁄

,

∈ 0,

d) Determinación del núcleo de la Economía El núcleo es el conjunto de asignaciones que mejoran la situación inicial (dotaciones) de ambos individuos; por tanto, es un espacio donde el intercambio es mutuamente beneficioso. ú

∈

,

/

W ,

En primer lugar, calculamos la utilidad que le reportan a cada agente sus dotaciones iniciales. ,

En segundo lugar, expresamos la función de utilidad en relación con el nivel de utilidad dado de un consumidor (generalmente B), el cual habrá de ser superior a la utilidad de las dotaciones iniciales ,

,

Si expresamos la función de utilidad respecto a UB, El primer individuo cuya utilidad reflejemos en el eje de ordenadas nos determinará el límite superior del núcleo y el otro individuo el inferior

16



Formalmente, lo expresamos en términos del nivel de utilidad de un consumidor ú

/

∈

,

e) Comprobación de la eficiencia en el sentido de Pareto de la asignación competitiva En primer lugar, se determina el equilibrio competitivo mediante el proceso ya conocido de maximizar la utilidad de ambos agentes, obtener las funciones de demanda y calcular el vaciado de mercado. En segundo lugar, se verifica que dichas dotaciones se encuentran en la frontera de utilidad y, por tanto son eficientes. Para ello se calcula la utilidad que proporcionan dichas dotaciones y se compara con la utilidad total. f) Cálculo del óptimo de Pareto El óptimo de Pareto representa el punto de eficiencia global. ⇒ . . En primer lugar, calculamos la relación marginal de sustitución (RMS) del consumidor. / /

En segundo lugar, calculamos la relación de transformación del producto (RTP) / /

En tercer lugar, igualamos ambas y obtenemos la condición de equilibrio global. En cuarto lugar, sustituimos dicha condición en la FPP y obtenemos el óptimo de Pareto.

17


1.2. Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1. Economía de intercambio puro. Función de demanda. Para una economía de intercambio puro formada por dos individuos con las siguientes preferencias y dotaciones /

/

/

;

/

,

;

,

a) Calcular el vector de precios de equilibrio y la asignación competitiva. b) Obtener la expresión de la curva de contrato. c) ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente? ¿Se encuentra en la curva de contrato? d) Representar gráficamente el equilibrio. e) Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo cumple con la ley de Walras. SOLUCIÓN a) Calcular el vector de precios de equilibrio y la asignación competitiva. Para calcular el vector de precios de equilibrio y la asignación competitiva necesitamos, en primer lugar, resolver los problemas de maximización de cada uno de los individuos  Consumidor A Planteamos el problema de maximización

X

,

/

X

/

. .

150

300

Resolvemos mediante la condición de equilibrio Con los datos del ejercicio tenemos 2 3

/ /

X

1 X 3

/ /

2

⇒ 2

Sustituimos en la restricción presupuestaria para calcular XA1

18



150

300

3 100

50

150

⇒

300 3

Obtenemos ahora la función de demanda de XA1 50

2

100

100

200

100

⇒

1

200

 Consumidor B Procedemos de igual forma para calcular las funciones de demanda del segundo consumidor ,

3X

/

X

. .

/

300

100

Desarrollamos la condición de equilibrio 1 33 3

/ /

/

2 3

/

⇒ ⇒

2

2

Sustituimos en la restricción presupuestaria para calcular XB2 300

100

3

300

⇒

100 3

Obtenemos ahora la función de demanda de XB2 2

300

100 3

⇒

600

200 3

 El equilibrio competitivo Calculamos ahora las cantidades de equilibrio, sabiendo que el exceso de demanda es 0, para dichas cantidades de equilibrio. Para el mercado del bien 1 ha de cumplirse que: 100 200 300 100 ⇒ 450 3 Para resolver la ecuación tomamos como numerario el bien 1 (p1=1) 300 100 750 15 100 200 4 ⇒ 700 600 1350 ⇒ 3 700 14 Una vez obtenidos los precios, podemos calcular las demandas de cada agente para cada bien:

19


100

200

300

100 3

50

314,286 ;

100

600

135,714 ;

146,667

200

253,333

3

b) Obtener la expresión de la curva de contrato. La curva de contrato es el conjunto de todos los puntos eficientes en el sentido de Pareto de la caja de Edgeworth por lo tanto, en los puntos de dicha curva se ha de verificar que 2

2

Por otra parte, sabemos que en equilibrio la oferta ha de ser igual a la demanda; es decir la demanda de cada producto ha de igualar las dotaciones iniciales

450 ⇒

450

400 ⇒

400

Sustituimos en la condición de equilibrio 2XA2 XA1 4

450

XB2 2XB1 400

400 2 450 ⇒

400 1800 3

c) ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente? ¿Se encuentra en la curva de contrato? Para comprobar si la dotación inicial es eficiente sustituimos en la curva de contrato y verificamos si se anula o no. 300

20

400 150 1800 3 150

44,44



d) Representar gráficamente el equilibrio.

e) Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo cumple con la ley de Walras Por la ley de walras sabemos que el valor del exceso de demanda ha de ser idénticamente igual a 0 para cualquier conjunto de precios. ,

,

≡ 0

Calculamos, en primer lugar, los excesos de demanda para el nivel de precios de equilibrio 314,286

150

164,286

146,667

300

153,333

135,714

300

164,286

253,333

100

153,333

Calculamos ahora los excesos de demanda agregada 164,286 153,333

164,286 153,333

0 0

Si el exceso de demanda agregada es 0, también lo será su suma multiplicada por los precios de equilibrio.

21


Ejercicio 1.2. Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda. Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores, A y B, y dos bienes, 1 y 2. Las funciones de utilidad y las dotaciones son: ;

,

;

,

Se pide determinar: a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien. b) La relación de intercambio. c) Las cantidades intercambiadas por los individuos. SOLUCIÓN a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien.  Funciones de excesos de demanda del individuo A Empezamos construyendo la restricción presupuestaria del individuo A en base a los excesos de demanda. ⇒

0

⇒

0

Como lo que nos interesa son los precios relativos, podemos definir p=p1/p2 y simplificar lo anterior (divido por p2) ⇒

0

La función de utilidad del individuo podemos expresarla en términos de demanda bruta o de exceso de demanda más dotaciones iniciales. ,

W

,

W

50 ,

La función de utilidad del enunciado del individuo A expresada en función de excesos de demanda y dotaciones sería: 2

50

De esta forma podemos plantear un problema de maximización de la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria

2 . .

50 0

Para resolver el problema planteamos la ecuación de Lagrange calculamos las primeras derivadas parciales y las igualamos a 0.

22



2

50

2 2

0 100

2

0

ó

2

p

100

0 A partir de la tercera ecuación obtenemos Sustituimos en la condición de equilibrio (aunque normalmente es más fácil al revés) 2 2 2

100 2

100

4

100 50 4

25

A partir de aquí podemos obtener la función de exceso de demanda del bien 2 25

25

Los excesos de demanda o demandas netas o demandas transaccionales son funciones del precio relativo de los bienes y son homogéneas de grado 0 en precios. La restricción presupuestaria se satisface para cualquier conjunto de precios. El valor neto del exceso de demanda del consumidor debe ser igual a 0. 25

25

0

De otra forma 25

25

0

Imaginemos que el precio relativo es 1, los valores de exceso de demanda serían: 25

;

25 1

25

Es decir, el individuo A está dispuesto a entregar 25 unidades del bien 1 (exceso de demanda negativo) y adquirir 25 unidades del bien 2 (exceso de demanda positivo). Obviamente, a este nivel de precios se cumple que el valor de lo comprado ha de ser igual al valor de lo vendido. 1

25

25

0

23


Podemos comprobar cómo un aumento del precio relativo del bien 1, disminuirá el exceso de demanda de ese bien y aumenta el del bien 2. Por ejemplo, si el precio pasa a ser 2, los resultados serían: 25 ;

25 2

50

A esta nueva relación de precios también se cumple con el principio de que el valor neto del exceso de demanda del consumidor es igual a 0. 2

25

50

0

 Funciones de excesos de demanda del individuo B La restricción presupuestaria del individuo B será ⇒

0

La reescribimos ahora en función de los precios relativos (p=p1/p2) ⇒

0

La función de utilidad del individuo B será W

,

W

3

70

De esta forma podemos plantear un problema de maximización de la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria

3

70 0

. .

Resolvemos el Lagrangiano

3

3

70

210

0

3

3

0

ó

210 3

p

0 A partir de la tercera ecuación obtenemos Sustituimos en la condición de equilibrio (aunque normalmente es más fácil al revés) 210

3 3

24



3

210 6

3

210 210 6

35

A partir de aquí podemos obtener la función de exceso de demanda del bien 2 35

35

b) La relación de intercambio. Como sólo tenemos dos bienes, sólo tenemos dos mercados y dos excesos de demanda. El sistema a resolver está formado por dos ecuaciones y dos condiciones de equilibrio que no son independientes. El exceso de demanda agregada de cada bien será: 25 25

35

35

35

25

25

0

35

0

Cualquiera de las dos ecuaciones es suficiente para la determinación de la relación de intercambio. 1 :

35

25

2 : 25p

0 ⇒ 35

1

25 1 ⇒ 35

0 ⇒ p

35 25

5 7 7 5

0,71 1,4

Las soluciones son idénticas. En equilibrio el individuo A/B intercambiará 1 unidades del bien 2 por 0,71 unidades del bien 1 y el individuo A/B 1 unidades del bien 2 por 1,4 unidad del bien 1. c) Las cantidades intercambiadas por los individuos. Sustituimos la relación de precios de equilibrio en las funciones de exceso de demanda. 25

;

25

5 7

25 ;

35

25

7 5

35

35

El consumidor 1 da 25 unidades del bien 1 al individuo 2 a cambio de 35 unidades del bien 2. Como se observa para el precio relativo de equilibrio competitivo, los excesos de demanda para cada bien por parte de cada consumidor son de igual magnitud pero

25


de signos contrarios, con lo cual, el exceso de demanda agregada de cada bien es cero. Los dos mercados están en equilibrio y los dos individuos están maximizando su utilidad: es una situación de equilibrio general.

26



Ejercicio 1.3. Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) 2 1F

Considere una economía competitiva con producción en la cual hay una sola empresa que produce un bien llamado bien 2, usando como input el bien 3 según la siguiente función de producción:

Los beneficios se distribuyen por partes iguales entre dos consumidores, A y B, cuyas funciones de utilidad y dotaciones son: /

/

;

,

,

,

, ,

Se pide calcular el equilibrio competitivo de esta economía. SOLUCIÓN  Empresa En primer lugar, planteamos el problema de maximización del beneficio de la empresa

⇒

. .

Calculamos las condiciones de primer orden. 2

/

0 ⇒

/

2

⇒

2

Calculada la demanda del input, con una simple sustitución obtenemos la oferta de la empresa.

2

2

Una vez obtenidas las funciones de oferta de output (ingresos) y de demanda de input (costes) podemos calcular la función de beneficios (en términos de los precios de los bienes) de la empresa. 2 2

4

4

4

4

 Consumidor A Dado que el consumidor es copropietario de la empresa (50%) hemos de incluir en su restricción presupuestaria la mitad de los beneficios de la empresa. El problema de maximización a resolver será ahora:

2

3 bienes, 2 consumidores, 1 input y 2 empresa.

27


,

. .

X 2

/

X

/

1 2 4

0

La condición de equilibrio para el consumidor A es ⇒

Sustituimos en la restricción presupuestaria para calcular XA1 2

2

16

⇒

8

8

16

Obtenemos ahora la función de demanda de XA2 16

16

8

16

8

16  Consumidor B Resolvemos de igual manera para el consumidor B

,

. .

X

/

X

/

1 2 4

2

La condición de equilibrio: ⇒

Dado que la condición de equilibrio y las dotaciones son las mismas que para el consumidor A, sus curvas de demanda del bien 1 y dos también van a ser iguales 8

16

;

16

8

16 16

 El equilibrio competitivo Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Calculamos las condiciones de vaciado para cada uno de los 3 mercados. Mercado 1.‐ La restricción viene dada por las dotaciones iniciales. 2

8

16 16

8 8

28

8

16 16

0

4



Mercado 2.‐ La restricción viene dada por las dotaciones iniciales más la oferta de la empresa 16

2

8

16

8

16

0

8

16

8

2

4

Mercado 3.‐ La restricción viene dada por las dotaciones iniciales, incluyendo además la demanda de la empresa de bien 3. 0

0 8

2

2

En este caso la solución más fácil del sistema de ecuaciones pasa por utilizar los mercados del bien 1 y 3 y tomar como numerario el precio del bien 3 (p3=1) 8 ⇒

∓√8

Lógicamente la solución válida es la positiva. Los precios no pueden ser negativos. 8

16

√8

8

16

16

16

0 ⇒

1

Los resultados del equilibrio competitivo son Precio del bien 1 (P1) = 1 Precio del bien 2 (P2) = 2,828427 Demanda del bien 1 por consumidor A (XA1) = 2 Demanda del bien 2 por consumidor A (XA2) = 0,707107 Demanda del bien 3 por consumidor A (XA3) = 0 Demanda del bien 1 por consumidor B (XB1) = 2 Demanda del bien 2 por consumidor B (XB2) = 0,707107 Demanda del bien 3 por consumidor B (XB3) = 0 Oferta de la empresa del bien 2 (X2)= 1,41421 Demanda de la empresa del bien 3 (X3)= 2

29


Ejercicio 1.4. La Frontera de posibilidades de producción con un factor Dos empresas producen los dos únicos bienes de consumo de una economía, siendo el trabajo el único factor productivo. Las funciones de producción son /

/

;

La cantidad total de factor trabajo es 136 y los precios de los bienes son P1=10 y P2=6. Considere, además, que en la economía operan dos consumidores, A y B. Toda la producción del bien X1 se le entrega como dotación inicial al consumidor A y toda la del bien X2 al consumidor B. Las funciones de utilidad son de los consumidores son: :

:

Se pide determinar a) La frontera de posibilidades de producción (FPP) b) Las cantidades producidas de ambos bienes. c) Los precios correspondientes al equilibrio general competitivo. d) ¿Es el equilibrio general competitivo un óptimo de Pareto? Justifique su respuesta. SOLUCIÓN a) La frontera de posibilidades de producción (FPP) Recordemos que la FPP refleja las producciones máximas que puede generar una economía dada la tecnología (funciones de producción) y los factores de producción. La FPP se representa como una relación funcional entre las cantidades producidas. Para calcularla, invertimos la función de producción, dejando el factor productivo como variable dependiente y sustituimos en la factibilidad del factor de producción.

/

⇒

/

⇒ 136

136

A partir de la expresión anterior, despejamos una de las dos producciones (normalmente la 2) y obtenemos al expresión de la FPP 136

b) Las cantidades producidas de ambos bienes. Para calcular las cantidades producidas de ambos bienes maximizamos el beneficio para cada una de las empresas teniendo en cuenta las funciones de producción y los precios de los bienes P1=10 y P2= 6.

30



 Empresa que produce el bien 1

/

10

/

Calculamos la condición de primer orden y despejamos el factor productivo. 1 10 2 /

0 ⇒

5

/

⇒

25

 Empresa que produce el bien 2

/

6

/

Calculamos la condición de primer orden y despejamos el factor productivo. 1 6 2 /

0 ⇒

/

3

⇒

9

Sustituimos en la factibilidad y obtenemos la cantidad de factor trabajo.

136

25

9

⇒ 136

34 ⇒

25

25 0,25

100

9

9 0,25

36

0,25

Nota.‐ L2 también se podría haber obtenido a partir de la factibilidad L

136

L

36

Una vez obtenidas las cantidades de factor, podemos determinar las cantidades producidas.

/

√100 /

√36

10 6

c) Determine los precios correspondientes al equilibrio general. Maximizamos las utilidades de los consumidores. Recordad que toda la producción del bien X1 se le entrega como dotación inicial al consumidor A y toda la del bien X2 al consumidor B. Por lo tanto según lo calculado en el apartado anterior X1=10 es la dotación inicial de A y X2=6 es la dotación inicial de B.

31


 Consumidor A . .

10

La condición de equilibrio para el consumidor A es 2

⇒ 2

Sustituimos en la restricción presupuestaria y obtenemos: 2

10 2

10 3

⇒ 10 3

2

20 3

 Consumidor B . .

6

La condición de equilibrio para el consumidor B es ⇒

2

2


6 2

2

⇒

2

2

4

Una vez obtenidas las funciones de demanda de cada consumidor para cada uno de los bienes y conociendo las producciones de cada bien, obtenidas en el apartado b), podemos calcular los precios relativos que vacían el mercado. 10 6

⇒ Para el mercado del bien 1, tenemos 20 3

2

10 ⇒

10 ⇒ 6

6 10

Comprobamos que el resultado es el mismo para el mercado del bien 2

32



10 3

4

6 ⇒

10 3

2 ⇒

6 10

d) ¿Es el equilibrio general competitivo un óptimo de Pareto? Justifique su respuesta. No; pues el nivel de precios inicial de los 2 bienes, a partir del cual se han calculado las producciones óptimas (maximizan el beneficio), no coincide con los precios relativos de equilibrio que vacían el mercado.

33


Ejercicio 1.5. La Frontera de posibilidades de producción con dos factores En una economía operan dos empresas que producen los bienes X1 y X2 de acuerdo con las siguientes funciones de producción /

/

/

;

/

Donde una empresa produce X1 y la segunda empresa produce X2. La cantidad total de los factores es fija de forma que se dispone de 8 unidades del factor trabajo y 32 unidades del factor capital. Si las preferencias del único consumidor que opera en esta economía pueden representarse mediante la función de utilidad /

/

a) Calcule el óptimo de Pareto b) El equilibrio general competitivo. SOLUCIÓN a) Calcule el óptimo de Pareto Sabemos que un óptimo de Pareto es una asignación de recursos que implica que no se puede mejorar globalmente la situación de la economía; es decir la asignación de recursos es eficiente desde el punto de vista de la producción, del consumo y de la combinación productiva. El problema de optimización que hemos de resolver es, por tanto, maximizar la utilidad del consumidor sujeta a que la producción se encuentra dentro del conjunto de posibilidades de producción.; concretamente en la frontera de posibilidades de producción (condiciones de igualdad) . . K

X

/

X

/

/

/

/

K

/

⇒

32

L L 8 Calculamos, en primer lugar, la RMS es

34

/ /



Calculamos, en segundo lugar, la RTP. Sabemos que la RTP es a pendiente de la frontera de posibilidades de producción (FPP) la cual, por tanto, hemos de calcular en primer lugar. Sabemos que la FPP es el lugar geométrico en el espacio de producción de aquellas combinaciones de factores que son eficientes en el sentido de Pareto. En otras palabras, es la proyección de la curva de contrato en el espacio de producción. Por tanto, para calcular la FPP, hemos de calcular antes la relación funcional de la curva de contrato de la producción; es decir, aquella que verifica la igualdad de las RMST de ambos factores.

Para los datos del ejercicio sería /

2

/

/

;

/

2

2

/

/

/

2

/

Por otra parte sabemos que las condiciones de factibilidad son K

K

32 L

L

8

Igualando ambas RMST y haciendo depender la del proceso productivo 2 de la del 1 a partir de las condiciones de factibilidad, obtenemos 32 8

8

32

⇒

4

Del mismo modo podemos comprobar que: 4

Una vez tenemos la relación funcional de la curva de contrato “proyectamos” dicha relación en el espacio de producción. Algebraicamente lo que realizamos es sustituir la relación de la curva de contrato en las funciones de producción.

/

/

⇒

L

/

K

/

⇒

Sustituimos:

35


4

⇒

L

⇒

4 Por lo tanto, si L será:

2

2

8, entonces la frontera de posibilidades de producción

2

2

8 ⇒

16

1

Se tiene que cumplir que

, por lo tanto: 1 ⇒

Sustituimos en la FPP y obtenemos el óptimo de Pareto. 16 ⇒

8

Y como ⇒

8

b) El equilibrio competitivo Se pide, ahora, calcular el equilibrio competitivo; es decir, los vectores de precios de bienes y factores de producción que vacían el mercado. Para calcular los precios relativos de los factores, debemos proceder a resolver los problemas de maximización de las empresas.  Empresa El problema de maximización para la empresa productora del bien X1 será .

36

⇒

0

0



/

.

2

0 ⇒

/

/

/

.

/

2

0 ⇒

/

2

/

2

⇒

⇒

w r

w r

/

O lo que es lo mismo: / El problema de maximización para la empresa productora del bien X2 será /

. . /

.

2 2

/

2

0 ⇒

/

0

/

/

.

0

/

2

0 ⇒

/

⇒

/

⇒

⇒

/

O lo que es lo mismo, / Resumiendo, con la maximización de beneficios de las empresas obtenemos ⇒

Como en la maximización de beneficios hemos obtenido que

32

8

Y por factibilidad sabemos que

Sustituimos y obtenemos los precios relativos de los factores de producción 32 ⇒

32 ⇒

8

32 ⇒

4

Sustituimos y obtenemos 4

4

37


Sustituimos en las funciones de la maximización de beneficios de las empresas donde habíamos despejado los precios y obtenemos: 2

/ /

2

/ /

2 4 4

/

2 4 4

/

/

/

Por lo tanto: 4 4

38

1

8 2

/

8 2

/

/

/

4

4



1.3. Ejercicios propuestos Ejercicio 1.6. *Economía de intercambio puro. Función de demanda. Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores, A y B, y dos bienes, 1 y 2. Las funciones de utilidad y las dotaciones son: ; ;

, ,

Se pide: a) Determinar la expresión de la curva de contrato. b) ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente? ¿Se encuentra en la curva de contrato? c) Determinar los precios de equilibrio competitivo p1/p2 y las cantidades demandadas. d) Representar gráficamente el equilibrio e) Calcule los excesos de demanda individuales y agregados y verifique que la asignación de equilibrio competitivo cumple con la ley de Walras.

39


Ejercicio 1.7. *Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda. Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores, A y B, y dos bienes, 1 y 2. Las funciones de utilidad y las dotaciones son: , ,

Se pide determinar a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien. b) La relación de intercambio. c) Las cantidades intercambiadas por los individuos.

40



Ejercicio 1.8. *Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) Considere una economía competitiva con producción en la cual hay una sola empresa que produce un bien llamado bien 2, usando como input el bien 3 según la siguiente función de producción:

/

Los beneficios se distribuyen por partes iguales entre dos consumidores, A y B, cuyas funciones de utilidad y dotaciones son: /

/

;

,

,

,

, ,

Se pide calcular el equilibrio competitivo de esta economía.

41


Ejercicio 1.9. *La Frontera de Posibilidades de Producción con un factor Dos empresas producen los dos únicos bienes de consumo de una economía, siendo el trabajo el único factor productivo. Las funciones de producción son ;

/

La cantidad total del factor trabajo es 19 y los precios de los bienes son P1=2 y P2=8. Considere, además, que en la economía operan dos consumidores, A y B. Toda la producción del bien X1 se le entrega como dotación inicial al consumidor A y toda la del bien X2 al consumidor B. Las funciones de utilidad son de los consumidores son: : :

/

Se pide determinar a) La frontera de posibilidades de producción (FPP) b) Las cantidades producidas de ambos bienes. c) Los precios correspondientes al equilibrio general competitivo. d) ¿Es el equilibrio general competitivo un óptimo de Pareto? Justifique su respuesta.

42



Ejercicio 1.10. *La Frontera de posibilidades de producción con dos factores En una economía existen dos empresas precio‐aceptantes cada una de las cuales produce un bien (X e Y), de acuerdo con las siguientes funciones de producción /

/

;

donde L y K son los dos factores productivos, cuyas cantidades totales están dadas y son L=6 y K=24. Si las preferencias del único consumidor que opera en esta economía pueden representarse mediante la función de utilidad Se pide calcular a) La función de transformación o frontera de posibilidades de producción de esta economía. b) El óptimo de Pareto. c) El equilibrio general competitivo.

43

Tema 2. Economía del bienestar

Tema 2. Economía del Bienestar

67



2.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios 2.1.1. Teoremas de la economía del bienestar a) Primer teorema de la Economía del Bienestar El equilibrio generado por mercados competitivos es óptimo en el sentido de Pareto.

b) Segundo teorema de la Economía del Bienestar Todo óptimo de Pareto se puede asociar un sistema de precios tal que exista a tales precios, un equilibrio competitivo. Implica que un planificador puede alcanzar cualquier asignación Pareto‐eficiente que se proponga mediante la redistribución de la riqueza inicial y dejar al mercado competitivo funcionar. Para resolver: En primer lugar, Tomamos la restricción presupuestaria de cada consumidor y sustituimos los precios relativos de equilibrio y dejamos las dotaciones iniciales como incógnitas. En segundo lugar, tomando la factibilidad despajamos una dotación inicial y la sustituimos en la restricción presupuestaria. Llegamos, de esta forma, a una relación funcional entre las dotaciones iniciales que garantiza el equilibrio competitivo.

68


2.1.2. La elección social a) La teoría de la elección social A través de las reglas de votación tratamos de agregar las preferencias de los individuos para construir unas preferencias sociales que puedan modelizarse. Todas las reglas presentan algún inconveniente de tal forma que no existe ningún mecanismo de obtener una ordenación social a partir de las ordenaciones individuales, que resulte de aplicabilidad universal, respete la unanimidad, no sea dictatorial y sea informacionalmente eficiente. (Teorema de imposiblidad de Arrow). Las reglas más habituales son:  

Votación por mayoría.‐ Decisión mayoritaria no es capaz de ordenar adecuadamente las alternativas. Votación por ordenación de preferencias.‐ La inclusión de una opción adicional modifica las preferencias.

b) Determinación del óptimo social Para calcular el óptimo social ha de resolverse el siguiente problema de maximización .

Si el enunciado no la proporciona, habrá de calcularse la frontera de utilidad. c) Verificación de si la asignación competitiva es un óptimo social En primer lugar, calculamos el equilibrio competitivo: funciones de demanda, precios relativos y vaciamiento del mercado. En segundo lugar, sustituimos las cestas de equilibrio en la función de utilidad de cada individuo y verificamos si las utilidades coinciden con las del óptimo social. d) Calcular las dotaciones iniciales que hacen del óptimo social un equilibrio competitivo Por el segundo teorema del bienestar sabemos que cualquier asignación eficiente en el sentido de Pareto se puede asociar a un sistema de precios que dé lugar a un equilibrio competitivo. Por otra parte, sabemos que el óptimo social es eficiente en el sentido de Pareto, por tanto el óptimo social calculado puede obtenerse como equilibrio competitivo, lo cual conseguiremos mediante la reasignación de las dotaciones iniciales. Planteamos las restricciones presupuestarias y en ellas sustituimos las asignaciones y los precios relativos del óptimo social de tal manera que nos quedan las incógnitas como dotaciones. e) Determinar una asignación justa que pueda establecerse como equilibrio competitivo En primer lugar, calculamos el equilibrio competitivo a partir de una distribución simétrica

69



En segundo lugar, se ha de verificar que las cestas de equilibrio son eficientes en el sentido de Pareto; por tanto:

2.1.3. Los fallos del mercado.‐ Externalidades a) Determinación del output teniendo en cuenta el coste social o el impacto de las externalidades Se plantea un problema de maximización conjunta, de tal manera que todos los costes sean tenidos en cuenta por las empresas.

π

b) Determinación del sistema de incentivos que garantiza unos niveles de output Pareto eficientes en el consumo En primer lugar se calcula el óptimo de Pareto.

. .

En segundo lugar se calcula el equilibrio general competitivo. Para ello maximizamos la utilidad de ambos consumidores obteniendo las funciones de demanda y calculamos el vaciado del mercado. En tercer lugar, verificamos si el equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto. Si no lo es, se establece un sistema de impuestos que garantice la igualdad entre ambos. Para ello se reescriben las funciones de demanda obtenidas en el equilibrio general competitivo incorporando un impuesto para cada bien y cada consumidor y se igualan al óptimo de Pareto. ,

.

c) Determinación del sistema de incentivos que garantize la optimalidad de Pareto del equilibrio general competitivo en el consumo y la producción. En primer lugar se calcula el óptimo de Pareto. En segundo lugar se calcula el equilibrio general competitivo. En tercer lugar, en caso de desigualdad, se establece un sistema de impuestos que garantice la igualdad entre ambos. Para ello se plantea el problema de maximización incorporando un incentivo (impuesto o subvención) a la función de beneficios.

70


En cuarto lugar, a partir de los valores del óptimo de Pareto, podemos obtener la relación marginal de sustitución que ha de ser igual a la relación de transformación del producto y a los precios relativos. En quinto lugar, igualamos las condiciones de máximo beneficio con los precios relativos y obtenemos el valor del impuesto y/o la subvención.

2.1.4. Fallos de mercado.‐ Bienes Públicos a) Determinación de la cantidad de bien público. Condición de Samuelson. En primer lugar se tenemos el siguiente problema de maximización.

. .

,

,

Obtenemos la siguiente condición: |RMS |

|RMS |

Es decir, la suma de las relaciones marginales de sustitución debe ser igual al CMg de suministrar una unidad adicional del bien público. Es decir: Esta expresión se conoce como Condición de Samuelson y también puede expresarse en relación con la RTP / G / b) Cálculo del precio Lindahl. En primer lugar se tenemos el siguiente problema de maximización. , . . Obtenemos la siguiente condición: |

|

Y resolviendo calculamos el precio Lindahl.

71



2.2. Ejercicios resueltos Ejercicio 2.1. Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar Dada una economía de intercambio puro formada por dos individuos con las siguientes preferencias y dotaciones iniciales: (Repasar) /

/

.

/

.

/

,

,

a) Calcular el óptimo social (en términos de asignaciones) correspondiente a la siguiente función de bienestar social: b) ¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social? c) Dado el óptimo social en términos de asignaciones, calcule las dotaciones iniciales de los consumidores que hacen que ese óptimo social sea un equilibrio competitivo. SOLUCIÓN a) Calcular el óptimo social (en términos de asignaciones) Para calcular el óptimo social hemos de resolver el siguiente problema de maximización . .

Para ello, en primer lugar, hemos de calcular la función de la frontera de utilidad. Recordemos que la frontera de utilidad recoge los niveles de utilidad de cada consumidor a lo largo de la curva de contrato; es decir, es una aplicación de la curva de contrato en el espacio de utilidades. ,

⁄

,

∈

Por tanto, para calcular la frontera de utilidad hemos de calcular previamente la expresión de la curva de contrato, que sabemos que es el lugar geométrico de las asignaciones en que las curvas de indiferencias de los dos individuos son tangentes y sus relaciones marginales de sustitución iguales. Planteamos el siguiente problema de optimización.

72


/

/ /

. .

/

4

4

Sustituimos en la factibilidad la RMS del individuo B y así podemos obtener la expresión de la curva de contrato en términos del individuo A. 4 4

⇒

Una vez obtenida la relación funcional de la curva de contrato, proyectamos dicha curva en el espacio de utilidades y obtenemos así la expresión de la Frontera de Posibilidades de Utilidad. Para ello, aplicamos la expresión de la curva de contrato en las funciones de utilidad. / /

/

/

/

/

4

/ /

4

⇒ 4

⇒

4

Para llegar a una expresión de la frontera de posibilidades de utilidad en función de la utilidad que obtienen ambos individuos de las asignaciones correspondientes a la curva de contrato procedemos a igualar las expresiones de utilidad en función de la cesta de consumo del bien 1 por el individuo A que acabamos de calcular:

4

⇒

4

La utilidad total de la economía es, por tanto, 4 lo que nos indica que es una función de utilidad líneal. El problema a resolver por lo tanto es: .

4

⇒

4

Las condiciones de primer orden son:

0 ⇒

0 ⇒

0 ⇒

0 ⇒

⇒

0 4

Por lo tanto, el óptimo social es:

73



2 Recordemos que el enunciado nos planteaba calcular las asignaciones que dan lugar al óptimo social; es decir, a la utilidad que acabamos de calcular. Para ello: ∗

2

∗ /

.

∗ /

∗

2

∗ /

.

∗ /

Es decir, ∗ /

∗ /

.

∗ /

∗ /

.

Una solución particular a esta igualdad teniendo en cuenta la factibilidad de las dotaciones iniciales sería por ejemplo: 2

2

b) ¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social? La asignación competitiva dadas las funciones de utilidad de los consumidores debe de cumplir que:  Consumidor A /

/

.

2

⇒

Sustituimos en la RP y obtenemos las funciones de demanda

2 2

2

2

2

 Consumidor B /

/

.

3

2

⇒

Sustituimos en la RP y obtenemos las funciones de demanda 3

2 2

74

3

2

3

2 2


En el vaciado de Mercado del bien 1, tendremos 4 2

3

2

2

4

2

Despejamos y obtenemos:

2

3

2

4

4

8

4

8

4 1

Dado los precios relativos obtenidos, sustituimos en las funciones de demanda y las dotaciones del equilibrio serán: ∗

2 2 ∗

3 2

∗

5 2

∗

2 2

3 2

5 2

La utilidad de estas dotaciones es: 3 3 , 2 2

3 2 5 5 , 2 2

3 2

3 2

5 2

Por lo tanto el equilibrio competitivo no es un óptimo social, pues el individuo B tiene una utilidad superior a la del óptimo (5/2 > 2 ) mientras que la del individuo A es inferior (3/2 < 2). c) Dado el óptimo social en términos de asignaciones, calcule las dotaciones iniciales de los consumidores que hacen que ese óptimo social sea un equilibrio competitivo. Por el segundo teorema del bienestar sabemos que cualquier asignación eficiente en el sentido de Pareto se puede asociar a un sistema de precios que dé lugar a un equilibrio competitivo. Por otra parte, sabemos que el óptimo social es eficiente en el sentido de Pareto, por tanto el óptimo social calculado puede obtenerse como equilibrio competitivo, lo cual conseguiremos mediante la reasignación de las dotaciones iniciales. Por factibilidad sabemos que: 4

75



4

Las restricciones presupuestarias de cada uno de los consumidores son:

Dado el caso particular de las asignaciones del óptimo social calculado en el apartado a) y los precios relativos de equilibrio, las restricciones presupuestarias son: 1 2

1 2

1

1

1 2

1 2

1

1

Resolvemos:

4 4

4

4

Como la primera y la segunda ecuación son la misma el resultado es infinito. Cualquier dotación que cumpla esta ecuación cumple el equilibrio. 4

76


Ejercicio 2.2. Externalidades y equilibrio general competitivo En una economía operan dos empresas que producen los bienes X1 y X2 de acuerdo con las siguientes funciones de producción

;

La cantidad total de factor es fija e igual a 12. Si las preferencias del único consumidor que opera en esta economía pueden representarse mediante la función de utilidad a) Calcule el óptimo de Pareto b) Determine el equilibrio competitivo c) Determine la cuantía del impuesto (positivo o negativo) por unidad de producto de modo que el mecanismo de mercado lleve a una asignación socialmente óptima. SOLUCIÓN a) Calcule el óptimo de Pareto El problema de optimización es el siguiente: . .

X X 2L

L

⇒

L L 12 La RMS es / /

Y para calcular la RTP calculamos primero la frontera de posibilidades de producción: 2

⇒

2

⇒

Por tanto, 2

12 ⇒

3 2

12

77



3/2 1

3/2

Recordemos que la condición de equilibrio es RMS=RTP por lo tanto: 3 2

3/2 ⇒

Sustituimos en la FPP y obtenemos el óptimo de Pareto. 3 2

3 2

12 ⇒

3 2

4 ⇒

6

b) El equilibrio competitivo En primer lugar, maximizamos el beneficio de las empresas  Empresa 1 El problema de maximización para la empresa 1 será .

⇒

2 2

2

0 ⇒

2

Y sus beneficios son 2

0

2  Empresa 2 El problema de maximización para la empresa 2 será .

X

⇒

0 ⇒

Y sus beneficios son X

Maximizamos la utilidad del consumidor Como es el único consumidor de esta economía el trabajo vendrá de él y también será el propietario de las empresas de esta economía.

78


. .

⇒

12

⇒

Sustituimos en la RP y obtenemos: 2

12

⇒ 2

2

12 12

12 ⇒

2

Sustituimos ahora por los valores de los precios en relación con los salarios obtenidos a partir de los problemas de maximización de las empresas y tenemos que: 12

12

2

2

12 2

2

6 ; y

3

Por lo que este equilibrio no es eficiente en el sentido de Pareto c) Determine el impuesto por unidad producida del que resulta una solución de mercado socialmente óptima. La empresa 1 es la generadora de la externalidad, sus costes se verán incrementados, por lo tanto su maximización de beneficios viene ahora determinada . .

⇒

2

2

El problema de maximización para la empresa 2 seguirá siendo:

⇒

. .

Igualamos: ⇒

2

2

2

1

La pendiente de los precios relativos del equilibrio competitivo para que sea eficiente debe ser igual a 3/2 3/2

Resolvemos y obtenemos: 2

3 2

2

1 ⇒ 3

2 w

1 ⇒ 3

2

⇒

Es un impuesto.

79



Ejercicio 2.3. Externalidades en la producción En una economía hay dos empresas que producen un mismo bien cuyas funciones de coste son:

a) Determinar los niveles de output de las empresas en el supuesto de que cada una de ellas iguala su coste marginal privado a un precio de mercado fijo e igual a 40. b) Determinar sus niveles de output en el supuesto de que igualan su coste marginal social al precio de mercado anterior. c) Determinar el sistema de impuestos y subsidios que conduciría a las empresas a unos niveles de output Pareto eficientes. SOLUCIÓN a) Determinar los niveles de output de las empresas en el supuesto de que cada una de ellas iguala su coste marginal privado a un precio de mercado fijo e igual a 40. Se plantea calcular el beneficio de cada una de las empresas de forma independiente; es decir, descentralizada y sin que ninguna considere los efectos que su producción genera sobre la otra.  Empresa 1

,

2X

⇒ 40

5

4X ⇒

2X 10

 Empresa 2

, ⇒ 40

4 8

5

⇒

2

5

El output total de la economía es de 15 y el Beneficio es de 300. 400

200

5

50

200

100

5

500

255

45

300

b) Determinar los niveles de output de las empresas en el supuesto de que cada una de ellas iguala su coste marginal social a un precio de mercado fijo e igual a 40. En este caso, se plantea un problema de maximización conjunta. Si nos fijamos en las funciones de costes, vemos que la producción de cada una de las empresas se ve afectada por la otra. Concretamente la empresa 1 genera deseconomías o

80


externalidades negativas ya que un aumento de su producción incrementa los costes de la empresa 2. 2

0

Por su parte la empresa 2 genera externalidades positivas ya que un aumento de su producción disminuye los costes de la empresa 1. 4

0

Al maximizar de forma conjunta se tienen en cuenta estas interrelaciones. El problema a resolver sería

, 2

5

,

2

4

⇒ 40 ⇒ 40

4 4

5

⇒ 8

/2

8

⇒

10

El output total es de 18 y el beneficio es de 350

320

125

5

200

400

400

5

32

350

c) Determinar el sistema de impuestos y subsidios que conduciría a las empresas a unos niveles de output Pareto eficientes Para conseguir un output Pareto eficiente se ha de implantar un sistema de impuestos y subsidios que grave las externalidades negativas e incentive las positivas. Llamemos “t” al impuesto por unidad producida y “s” al subsidio por unidad producida. En este caso a la empresa 1 se le cargará el impuesto ya que es esta empresa la que genera deseconomías y a la empresa 2 se le aplicará el subsidio. La maximización de los beneficios de las empresas teniendo en cuenta el output eficiente es ahora: ⇒ 40 ⇒ 40

4 8

⇒

8 10

⇒

8 40

81



Ejercicio 2.4. La tragedia de los bienes comunales En un pueblo pesquero del cantábrico, es el ayuntamiento el que concede las licencias de los pescadores. Debido a los problemas de la escasez de pescado, el ayuntamiento está tratando de determinar cuántas licencias conceder. La situación económica es la siguiente: El coste del funcionamiento de la barca de pesca es: €

Si hay X barcas funcionando, la función de ingresos de cada barca es: €

a) Si las licencias se expiden gratuitamente, ¿cuántas barcas se dedicaran a la pescan el pueblo? b) ¿Cuál es el número de barcas que maximiza los beneficios totales? c) Si quisieran restringir el número de barcas a aquellas que maximicen los beneficios totales, ¿cuánto deberían cobrar al mes por una licencia de pesca? SOLUCIÓN a) Si las licencias se expiden gratuitamente, ¿Cuántas barcas se dedicarán a la pesca de langostas? Si la licencia es gratuita el problema de maximización de beneficios de cada empresa se resolvería: ⇒

1000 15

15000

1000

12000 1000

3000 ⇒

12

b) ¿Cuál es el número de barcas que maximiza los beneficios totales? ⇒ 15000

2000

12000 2000

3000 ⇒

6

c) Si las autoridades quisieran restringir el número de barcas a aquellas que maximicen los beneficios totales, ¿cuánto deberían cobrar al mes por una licencia de pesca de langosta? El problema de maximización de beneficios social: ⇒

1000 15

6

6

6

9000

3000

⇒

6000

O también sustituyendo en la función de beneficios obtenemos la licencia: 1000

15X

X

3000

X

1000 15 6

6000 €

82

6

3000

L 6


Ejercicio 2.5. Bienes públicos Sean dos estudiantes, A y B, que comparten una habitación. Ambos tienen la misma función de utilidad respecto de los cuadros (bien G) y de las cervezas (bien X), la cual viene representada por la expresión: ,

,

donde G es el total de cuadros de la habitación. Cada estudiante tiene una renta de 100 euros para gastar. El precio de G es 50 euros y el precio de X es 0,5 euros. a) Calcula el gasto en cuadros y cervezas de cada estudiante, si actuaran de forma independiente. b) Qué decide hacer A si sabe que B es un gorrón y no comprará ningún cuadro. c) ¿Qué gasto en cuadros tendrán A y B? (equilibrio de Nash) d) ¿Cuál es la asignación eficiente conjunta? e) Si un planificador decidiese que de cada cuadro de la habitación cada estudiante tiene que pagar la mitad (25 euros) ¿qué ocurriría? SOLUCIÓN a) Calcula el gasto en cuadros y cervezas de cada estudiante, si actuaran de forma independiente. Sabemos ya por ejercicios anteriores que el cálculo de este problema es:

, 50

0.5

1 2

1 2 100

1 2 1 2

50 ⇒ 0.5

100


0.5 100

100 ⇒

1

100

Esta solución es simétrica para el estudiante B. b) Qué decide hacer A si sabe que B es un gorrón y no comprará ningún cuadro. Si A si supone que B no comprará ningún cuadro. A compara los niveles de utilidad que le proporcionaría comprar y no comprar el cuadro 0, 200

1 2

1 2

.

0 . 200

0

83



1 2

1, 100

1 2

.

1 . 100

2,3

Dado el nivel de utilidad superior, A decide comprar el cuadro. Por su parte, B tendría una utilidad superior, pues no comprar el cuadro ‐compra más cerveza‐ pero disfruta de él al ser un bien no rival y no excluible: 1, 200

1 2

1 2

.

1 . 200

√200

2,65

c) ¿Qué gasto en cuadros tendrán A y B? (equilibrio de Nash) Si cada uno supone que será el otro el que compre los cuadros, ambos terminan con un nivel de utilidad nulo. d) ¿Cuál es la asignación eficiente? 1 2 1 2

1 2 1 2

50 ⇒ 0,5

100

Sustituimos en la restricción presupuestaria: 50

0.5

200 ⇒

2

200

Y la utilidad para ambos, suponiendo que se reparten el coste de los cuadros y utilizan el resto de sus fondos para comprar cervezas, sería: ,

2, 100

1 2

1 2

Ln

.

Ln 2 . 100

2,65

e) Si un planificador decidiese que de cada cuadro de la habitación cada estudiante tiene que pagar la mitad (50 euros) ¿qué ocurriría? Realmente se propone una solución de Lindahl. Si lo analizamos detenidamente veremos que los individuos no tienen incentivos para decir la verdad. Si un planificador sugiere que cada estudiante pague la mitad del precio (25€ cada uno) y tenemos en cuenta la solución eficiente del apartado d veremos que las funciones de utilidad implican que 1/2 de la renta se gastaría en cuadros (100/2=50€) por lo tanto G=2 (50/25=2 cuadros). Ahora bien, cada uno piensa que estará mejor si se comporta como un gorrón.

84


Ejercicio 2.6. Bienes públicos y precio de Lindahl (solución numérica) En un pueblo de 1000 habitantes consumen un solo bien privado, cerveza Guhau. Hay un solo bien público en la ciudad, la pista de patinaje. Aunque los habitantes pueden diferir en otros aspectos, todos tienen la misma función de utilidad:

,

Donde Xi es el número de botellas Guhau consumida por un ciudadano i y G es la superficie en metros cuadrados de la piscina de patinaje. El precio de las botellas de Guhau es de 1 € y el precio de la pista es de 10€ el metro cuadrado. Todos los habitantes del pueblo tienen unos ingresos anuales de 1000€. a) Las cantidades de los bienes óptimas de Pareto b) Hallar el precio de Lindahl SOLUCIÓN a) Las cantidades de los bienes óptimas de Pareto El problema de maximización es entonces:

,

;

1…

. 10

⇒

|

|

100

10 ⇒

Resolvemos y obtenemos: 100/ 1

10 ⇒ 1000

100

b) Hallar el precio de Lindahl. Suponemos que el precio del bien X es igual a 1, entonces tenemos: ⇒

100

⇒

100 100

⇒

1 € 100

85



2.3. Ejercicios propuestos Ejercicio 2.7. *Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar Dada una economía de intercambio puro formada por dos individuos con las siguientes preferencias y dotaciones iniciales:

.

;

,

.

;

,

.

a) Calcular el óptimo social correspondiente a la siguiente función de bienestar social: b) ¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social? c) Dado el óptimo social en términos de asignaciones, calcule las dotaciones iniciales de los consumidores que hacen que ese óptimo social sea un equilibrio competitivo.

86


Ejercicio 2.8. *Externalidades y equilibrio general competitivo En una economía operan dos empresas que producen los bienes X1 y X2 de acuerdo con las siguientes funciones de producción: ;

La cantidad total de factor es fija e igual a 240. Si las preferencias del único consumidor que opera en esta economía pueden representarse mediante la función de utilidad: a) Calcule el óptimo de Pareto. b) Demuestre que el equilibrio general competitivo no es óptimo de Pareto. c) El impuesto por unidad producida del que resulta una solución de mercado socialmente óptimo

87



Ejercicio 2.9. *Externalidades en la producción En una economía operan dos empresas que producen los bienes X1 y X2 de acuerdo con las siguientes funciones de producción:

Se pide a) Determinar los niveles de output de las empresas en el supuesto de que cada una de ellas iguala su coste marginal privado a un precio de mercado fijo e igual a 30. b) Determinar sus niveles de output en el supuesto de que igualan su coste marginal social al precio de mercado anterior. c) Determinar el sistema de impuestos y subsidios que conduciría a las empresas a unos niveles de output Pareto eficientes.

88


Ejercicio 2.10. *Bienes públicos Dos hermanos, que comparten un coche, deben elegir entre gastar su presupuesto en adquirir más altavoces para mejorar el sistema de audio (bien público) o ir a conciertos (bien privado). Ambos tienen la misma función de utilidad respecto de la música en el coche (bien G) y del consumo de música (bien x), la cual viene representada por la expresión: ,

,

Cada estudiante tiene una renta de 600 euros para gastar. El precio de G es 200 euros y el precio de X es 10 euros. a) Calcula cuánto gastaría cada estudiante en el sistema de audio (número de altavoces) y entradas a conciertos, si actuaran de forma independiente. b) ¿Qué decide hacer A si sabe que B es un gorrón y no invertirá nada en el equipo de audio? c) ¿Qué gasto en altavoces tendrán A y B? (equilibrio de Nash) d) ¿Cuál es la asignación eficiente? e) Si un planificador (el padre) decidiese que cada hermano pagase la mitad de cada altavoz instalado ¿qué ocurriría?

89



Ejercicio 2.11. *Bienes públicos y precio de Lindahl (solución numérica) En un pueblo de 1000 habitantes se plantea la construcción de una piscina pública, llamemos G al tamaño de ésta en metros cúbicos. Cada habitante del pueblo tiene como dotación una unidad de bien privado (dinero). Denotamos Xi al consumo privado de bien dinero por parte del habitante i. La función de utilidad para el i‐ ésimo habitante del pueblo es: ,

/

Y el coste de provisión del bien público es C (G)=1 a) Calcular las cantidades de los bienes óptimas de Pareto b) Hallar el precio de Lindahl

90

Tema 3. Teoría de juegos


105



3.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios 3.1.1. Juegos estáticos a) Búsqueda de Equilibrios de Nash Comparamos los pagos (utilidades). Si no hay incentivos a desviarse por parte de todos los jugadores será EN.

s*  ( s1* , s2* ) es un equilibrio de Nash del juego G si : u1 ( s1* , s2* )  u1 ( s1 , s2* )  s1  S1

y

u2 ( s1* , s2* )  u2 ( s1* , s2 )  s2  S2

b) Eliminación iterativa de estrategias dominadas.

Una estrategia si do min a ( fuertemente ) a otra s'i del jugador i, si : ui ( si ,si )  ui ( s'i ,si )  si  S-i

c) Función de mejor respuesta.

Función de mejor respuesta.- Supongamos jugador i espera que rivales jueguen s  i , entonces s i es la mejor respuesta del jugador i si : ui  s i , s i   ui  s 'i , s i  s i  S  i d) Estrategias Mixtas: Asignamos probabilidades Se calculan los pagos esperados (utilidades esperadas) de cada jugador y se maximiza, calculando las CPO. Obtenemos las probabilidades del Equilibrio de Nash.

3.1.2. Juegos dinámicos a) Equilibrios de Nash Perfectos en Subjuegos: Dividimos un juego en subjuegos (Es una parte de un juego completo que cuando se separa del juego constituye por sí mismo un juego) Buscamos los Equilibrios de Nash en cada subjuego del juego. Comprobamos si un equilibrio permanece como equilibrio en todos los subjuegos (en todas las trayectorias posibles), entonces es Equilibrio de Nash Perfecto en Sunbjuegos.

106


b) Duopolio de Cournot: Calculamos los beneficios (esperados) de cada una de las empresas. Maximizamos esa función para cada una de las empresas, obteniendo las funciones de mejor respuesta a partir de las CPO. Resolvemos el sistema de ecuaciones correspondiente a las funciones de mejor respuesta y obtenemos el EN. i. Con información completa: Max  1 ( q1  q2 )  p (Q )  q1  c  q1   a  (q1  q2 )   q1  c  q1 a  c1  q2   1  a  2q1  q2  c  0  q1   2 q1   ac ac ,  PagosEN  ( q1 , q2 )    3   3 a  c2  q1   2  a  2q2  q1  c  0  q1   2 q2 

ii. Con información incompleta (información completa e imperfecta): Suponemos que los costes de la empresa 2 son desconocidos para la empresa 1.

Max  2   a  (q1  q2 (cA ))q2 (cA )  cAq2 (cA )   a  cA  q1  a  2q2 (cA )  q1  cA  0  q2 (cA )  q2 (cA ) 2 Max  2  (a  (q1  q2 (cB ))q2 (cB )  cB q2  a  cB  q1  a  2q2 (cB )  q1  cB  0  q2 (cA )  q2 (cB ) 2

Max 1  p  (a  (q1  q2 (cA ))q1  c1q1   (1  p)  (a  (q1  q2 (cB ))q1  c1q1    p  a  2q1  q2 (cA )  c1   (1  p)  a  2q1  q2 (cB )  c1   0 q1 q1 

p  a  q2 (cA )  c1   (1  p)  a  q2 (cB )  c1  2

 a  2c1  pcA  (1  p)cB  ,   3   PAGOS EBN  ,  a  2cA  c1  (1  p)(cA  cB ) , a  2cB  c1  ( p)(cA  cB )      3 6 3 6   

107



c) Duopolio de Stackelberg (Resolvemos por inducción hacia atrás): Calculamos los beneficios (esperados) de cada una de las empresas. Maximizamos primero la utilidad de la empresa seguidora obteniendo la función de mejor respuesta a partir de las CPO.

Max  S  (a  (qL  qS ))qS  cS qS  / qS  a  2qS  qL  cS  0  qS 

a  cS  qL 2

Maximizamos la utilidad de la empresa líder sabiendo la función de mejor respuesta de la empresa seguidora y obtenemos la función de mejor respuesta a partir de las CPO.

   a  cS  qL    Max  L   a   qL      q L  cL q L 2     a  2cL  cS   a  cS  2qL   a  2 qL     cL  0  q L  qL 2 2  

Resolvemos y obtenemos el EN.

 a  2cL  cS a  3cS  2cL  PAGOS del ENPS  ,  2 4   d) Para buscar los EBN en juegos estáticos: Suponemos que los jugadores son racionales bayesianos, es decir, actualizan sus creencias con la regla de Bayes. p (t i / ti ) 

p(ti , ti ) P(t i , ti )  P(ti )  ti  Ti p(ti , ti )

Se propone una combinación de estrategias. Se observan las creencias que generan esas estrategias. Se comprueba que dadas esas creencias y las estrategias de los otros jugadores, cada jugador está eligiendo una mejor respuesta para él mismo.

108


3.2. Ejercicios resueltos 3.2.1. Juegos estáticos con información completa Ejercicio 3.1. Juego de los Cerdos [EN] (Clase) En un famoso experimento 4, dos psicólogos ponen dos cerdos, uno pequeño y uno grande, en un ring de boxeo. En un extremo del ring hay un panel de control con un botón y en el otro un granjero que reparte comida. Cuando se pulsa el botón el granjero saca una ración de comida para cerdos en el otro extremo del ring. Si el cerdo pequeño cerdo pulsa el botón, a continuación, el cerdito grande se comería toda la ración. En cambio, si es el cerdo grande el que pulsa el botón, el cerdito pequeño no tendrá tiempo suficiente para comerse toda la ración antes de que el credo grande corriera hasta el otro extremo del ring y se terminara de comer la ración. Vamos a representar esta situación en un juego en el que cada cerdo tiene dos estrategias posibles. Una estrategia es pulsar el botón y la otra estrategia es esperar en el otro extremo del ring. Si los dos cerdos se esperan, no conseguirían ningún alimento. Si los dos cerdos pulsan el botón, el cerdo grande se come toda la ración y el cerdito pequeño recibe un codazo en las costillas. Si cerdito pequeño pulsa el botón y el cerdo grande espera en el otro extremo, éste se come toda la ración y el cerdito pequeño lo mira con frustración. En cambio, si es el cerdo grande el que pulsa el botón y el cerdo pequeño el que espera en el otro extremo, a éste le da tiempo a comerse parte de la ración antes de que el cerdo grande llegue, le empuje y se coma lo que queda de la ración. La matriz de pagos es la siguiente: 3F

PRESIONAR

ESPERAR

PRESIONAR

5,1

4,4

ESPERAR

9,‐1

0,0

CERDO GRANDE (G)

CERDO PEQUEÑO (P)

Calcular el equilibrio de Nash.

4

Los cerdos Boxeadores. Baldwin y Meese (1979) “comportamiento social en cerdos estudiados por medio de condicionantes operantes”, Revista: Comportamiento Animal.

109



SOLUCIÓN (PRESIONAR, ESPERAR) es EQUILIBRIO DE NASH Este ejercicio podemos resolverlo de dos maneras diferentes:  Función de mejor respuesta:

,

4,4

 Observando si tiene incentivos a desviarse: 

¿Es (PRES,PRES) eq. de Nash?  NO, G TIENE INCENTIVOS A DESVIARSE ,

5

, 

¿Es (ESP,PRES) eq. de Nash?  NO, P TIENE INCENTIVOS A DESVIARSE , ,



, ,

5

,

, ,

0

0 ,

110

1

¿Es (ESP,ESP) eq. de Nash? NO, G TIENE INCENTIVOS A DESVIARSE ,

¿Es (PRES,ESP) eq. de Nash?  SÍ EN; NINGUNO TIENE INCENTIVOS A DESVIARSE ,




Ejercicio 3.2. Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Clase) Obtenga una predicción utilizando la eliminación sucesiva de acciones dominadas en los siguientes casos: A B A

(‐10,‐10)

(0,‐12)

B

(‐12,0)

(2,2)

A

B

A

(‐10,‐10)

(2,‐12)

B

(‐12,2)

(2,2)

A

B

A

(‐10,‐10)

(0,‐12)

B

(‐12,0)

(2,2)

C

(‐9,0)

(1,0)

T21

T22

S1

(1,1)

(2,0)

S2

(3,‐1)

(4,0)

SOLUCIÓN  NO TODOS TIENEN ESTRATEGIAS DOMINANTES A B A

(‐10,‐10)

(0,‐12)

B

(‐12,0)

(2,2)

En el ejemplo podemos observar como ninguna de las estrategias de ninguno de los 2 jugadores domina a la otra estrategia. No existe una acción dominada.  

En el jugador 1 tenemos; ‐10 > ‐12 y 0 < 2, por lo tanto ninguna estrategia domina a la otra. En el jugador 2 tenemos; ‐10 > ‐12 y 0 < 2, por lo tanto tampoco hay estrategias dominantes para este jugador.

111



 ESTRATEGIA DÉBILMENTE DOMINANTE A

B

A

(‐10,‐10)

(2,‐12)

B

(‐12,2)

(2,2)

En este ejemplo se puede observar cómo la estrategia A del jugador 1 domina débilmente a la estrategia B del mismo jugador. 

‐10 > ‐12 y 2 = 2

En el caso del jugador 2 vemos que ocurre algo muy parecido, ya que para este jugador su estrategia A también domina débilmente a su estrategia B. 

‐10 > ‐12 y 2 = 2

Aunque esto ocurra no es aconsejable eliminar la estrategia aunque esté débilmente dominada.  ESTRATEGIA DOMINADA SIN ESTRATEGIAS DOMINANTES A B A

(‐10,‐10)

(0,‐12)

B

(‐12,0)

(2,2)

C

(‐9,0)

(1,0)

Para el jugador 1, C>A A es una estrategia dominada. No hay estrategias dominantes ni débilmente dominantes Sólo nos fijamos en A y C. A está dominada por C. No jugaré una acción dominada  DOMINANCIA FUERTE

T21

T22

S1

(1,1)

(2,0)

S2

(3,‐1)

(4,0)

Análisis de pagos 2, 2

1, 2 ∀ 2

21, 22

Las funciones de mejor respuesta serían 1 1

112

2 2

1 2

1 2

2

1


Ejercicio 3.3. Juego del bienestar [Estrategias mixtas] (Clase) Consideramos 2 jugadores con dos posibles acciones cada uno: el Gobierno, que puede ayudar o no a los desempleados; y, desempleados, que pueden buscar o no buscar trabajo. Además, el desempleado sólo buscará trabajo si no puede depender del gobierno y el gobierno desearía ayudar al desempleado si sabe que está buscando trabajo. La matriz de pagos es la siguiente: Desempleados Busca No Busca Ayuda (3,2) (‐1,3) Gobierno No Ayuda (‐1,1) (0,0) a) ¿Existe algún equilibrio en estrategias dominantes? b) ¿Existe algún equilibrio de Nash? SOLUCIÓN a) ¿Existe algún equilibrio en estrategias dominantes? No existe ningún equilibrio en estrategias dominantes ni equilibrio de Nash en estrategias puras. Por lo tanto, la solución está en acudir a un EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS MIXTAS.  Cada uno de los jugadores tomará una de las decisiones posibles con una determinada probabilidad b) ¿Existe algún equilibrio de Nash? Pasaremos a hablar ahora de BENEFICIOS ESPERADOS. Definimos: PA (Probabilidad gobierne ayude) y PBT (Probabilidad busque trabajo) 3 3

1 1

.

1 .

1 .

5

0 1

.

Si el gobierno quiere maximizar su beneficio esperado, hallaremos ahora la probabilidad de que el desempleado decida buscar trabajo, pues maximiza el beneficio esperado del gobierno (probabilidad de que el otro Jugador elija tu mejor escenario). 0 ⇒ 5

1

1 5

0 ⇒

20% ⇒

80%

El mismo razonamiento realizará el desempleado. 2PA

1

1 2

0 ⇒ 1

2

. 0 ⇒

3 PA 3

0 1

50% ⇒

50%

El par de estrategias que hace máximo el beneficio esperado de ambos jugadores es que el gobierno ayude con probabilidad 50% y el desempleado decida buscar empleo con probabilidad del 20%. Este es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas.

113



Ejercicio 3.4. Duopolio Cournot (Clase) Supongamos que hay dos empresas en un mercado con la siguiente curva de demanda: P=1‐Q. Si la empresa 1 produce q unidades del bien, su coste de producción es c1q, mientras que la empresa 2 para producir q unidades tiene un coste de c2q. Supón que 0
p Q

1

1

2

1

0 ⇒

2

Para b sería similar y

1

2

1

0 ⇒

2

Resolvemos ahora el sistema de ecuaciones planteado por las funciones maximizadoras 1

1

2

2 2

1

2

⇒

4

∗

1 3

Y, similarmente, para la empresa 2. 1

1

2 2

Por tanto el EN sería [q1*, q2*]

114

⇒

∗

1

2 3

2


3.2.2. Juegos dinámicos con información completa Ejercicio 3.5. Representación estratégica (Clase) Expresar en forma normal los siguientes juegos. a)

b)

SOLUCIÓN Caso a  

J= 1,2. Estrategias:

,

;

,

A B

L 0,0 1,2

R 2,1 1,2

(A,R) es EN (B,L) es EN → No es creíble, por lo tanto introducimos ENPS

115



Caso b.  

,

Acciones: Votar sí o no. Estrategias: , ,

-

, ,

,

,

,

,

El significado de las estrategias del J2 es el siguiente 1 , ⇒ 1 1 , ⇒ 1 1 , ⇒ 1 1 , ⇒ 1 Y en forma matricial o estratégica tendríamos:

116

2,2 4,2 2,2 0,0 2,4 4,2 2,4 0,0

(S,S)

(S,N)

(N,S)

(N,N)

S

2,2

2,2

2,4

2,4

N

4,2

0,0

4,2

0,0


Ejercicio 3.6. Juego en forma extensiva [ENPS] Consideramos el siguiente árbol:

G I P

(2,2) (‐1,‐1) (‐1,‐1) (1,1)

G

II1 II2

P

G

P

a) Expresar la forma normal del juego. b) ¿Cuál es el equilibrio de Nash? c) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos? SOLUCIÓN a) Expresar la forma normal del juego.

(G,G)

(G,P)

(P,G)

(P,P)

G

2,2*

2,2*

‐1,‐1

‐1,‐1

P

‐1,‐1

1,1

‐1,‐1

1,1*

b) ¿Cuál es el equilibrio de Nash? Analizamos las celdas de pagos y vemos en cuáles de ellas los individuos no tienen incentivos a desviarse. Encontramos tres equilibrios de Nash: a: b: c:

, , ,

, , ,

c) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos? ¿Son razonables estos equilibrios de Nash? Para responder a esta pregunta debemos analizar si estos equilibrios son razonables o creíbles desde la perspectiva de cada uno de los subjuegos de este juego.

117



Subjuego II1

Subjuego (2 , 2) (‐1 , ‐1)

G P

II2

(‐1 , ‐1) (1 , 1)

G P

Subjuego

G I P

(2,2) (‐1,‐1) (‐1,‐1) (1,1)

G

II1 II2

P

G

P

a: {G, (G,G)} : 



,

,

⇒

1 1

2

1 ⇒ 1

1 ⇒

Si I elige G → II elegirá G. Sin embargo, ante una desviación por parte de I (elige P) → la estrategia de II al elegir G es irracional. Por lo tanto concluiremos que este equilibrio no es razonable. Hablaremos entonces de un EQUILIBRIO DE NASH DÉBIL.

b: {G, (G,P)} : 



118

,

,

⇒

1

2

1 ⇒

1

1

1 ⇒

Si I elige G→ II elige G de acuerdo con su estrategia de equilibrio. Además, si I se desvía de su estrategia de equilibrio (elige P) → la estrategia de II implica que éste elegirá P, por lo tanto no tiene incentivos a desviarse de su estrategia. Estas estrategias constituyen un EQUILIBRIO PERFECTO EN SUBJUEGOS


c: {P, (P,P)} :

,

,

⇒

1 1

1

1 ⇒ 1

1 ⇒





Si I elige P → II elegirá P. Sin embargo, ante una desviación por parte de I (elige G) → la estrategia de II al elegir P es irracional. Por lo tanto concluiremos que este equilibrio no es razonable. Hablaremos entonces de un EQUILIBRIO DE NASH DÉBIL.

119



Ejercicio 3.7. Información completa‐imperfecta/simultáneo‐secuencial (Clase) Sea el siguiente juego expresado en forma extensiva, calcule el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. J1

I

C

D J2

J2 (5,4) d

i

(6,4)

d

i J1

(1,2)

I’

D’

I’

(2,3)

(0,6)

(3,1)

D’ (4,2)

SOLUCIÓN Caracterización del juego 2 ó

á , , , , , , , ,

1 2

, , ,

, ,

,

,

, ,

,

,

,

,

,

,

Para resolver el juego y calcular el ENPS utilizaremos el procedimiento de inducción hacia atrás. Existen 3 Subjuegos.  Subjuego III J2 d

i J1 I’

D’

I’

(2,3)

(0,6)

(3,1)

La matriz de pagos del subjuego sería

120

D’ (4,2)


J2

J1

i

d

I’

(2,3)*

(3,1)

D’

(0,6)

(4,2)

El jugador 1 no tiene estrategias dominantes. El jugador 2 tiene una estrategia estrictamente dominante, (i). Así pues, el único escenario estratégico en el que ambos jugadores no tienen incentivo a moverse es 

(I’,i), que es una EN.

 Subjuego II J2

i

(6,4) 

d

(1,2)

El jugador 2 elige la rama i

 Subjuego I, es el juego en sí mismo. El J1 debe elegir entre los siguientes pagos -

Subjuego III (I’,i)  Subjuego II (i)  Subjuego I (C) 

Pago = 2 Pago = 6 Pago = 5

Elegirá, por tanto, la Rama I que es la que le proporciona un pago mayor. De tal manera que el Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos es [(I‐I’),(i‐i)]

(I‐I’) del J1 significa: Jugar I al inicio del juego y jugar I´ si hubiese empezado jugando D. (i‐i) del J2 significa: Jugar i si el jugador 1 juega I y jugar i si el jugador 1 hubiese empezado jugando D.

121



Ejercicio 3.8. El monopolista “Lobbysta” (Clase) Considera una industria en la que un monopolista sabe que otra empresa está considerando entrar en el mercado. Al mismo tiempo, se está discutiendo en el parlamento la aprobación de una ley de control de la contaminación. Antes que el competidor decida si va a entrar o no, el monopolista, de gran influencia política, puede apoyar una propuesta del Grupo Verde (V), apoyar la propuesta del principal partido de la oposición (O) o no apoyar ninguna (N). Supón que se aprobara alguna de las dos propuestas si y sólo si la apoya el monopolista. Los controles de contaminación propuestos por los verdes aumentarían en 60.000 euros los costes fijos de cada empresa, tanto si opera en régimen de monopolio como de en un duopolio, mientras que la propuesta de la oposición los aumentaría en 24.000 euros. El entrante potencial puede entrar con una tecnología nueva (E1), entrar con la misma tecnología que el monopolista (E2) o no entrar en la industria con ninguna. Tanto si se aprueba como si no la ley, los beneficios de monopolio son 120.000 euros y los de duopolio son 48.000 euros para cada empresa si ambas tienen la misma tecnología. Si hay un duopolio en el cual una empresa opera la nueva tecnología obtiene 55.000 euros y la que opera con la segunda obtiene 40.000. Si el entrante potencial decide no entrar, obtiene cero beneficios. Si hay una sola empresa que opera con la nueva tecnología su beneficio es pasa de 120.000 a 150.000 euros. Represente gráficamente la forma extensiva del juego para cada una de las siguientes situaciones. En cada caso defina también el conjunto de estrategias puras de las empresas. a) La empresa que está considerando entrar sabe qué decisión ha tomado el monopolista respecto a las leyes que está tratando el parlamento. b) La empresa que está considerando entrar sabe si el monopolista a apoyado alguna le pero no sabe cuál de ellas. c) Igual que el apartado b) pero ahora supón que si el monopolista no ha apoyado ninguna propuesta puede decidir si se queda en el mercado (Q) o abandonarlo (A) y obtener cero beneficios. d) Igual que el apartado c) pero ahora el monopolista solo sabe si el competidor a entrado o no, pero no sabe que tecnología ha elegido su rival. SOLUCIÓN a) La empresa que está considerando entrar sabe qué decisión ha tomado el monopolista respecto a las leyes que está tratando el parlamento.. La empresa que está considerando entrar sabe qué decisión ha tomado el monopolista respecto a las leyes que está tratando el parlamento.

122


Mo

Mo= MONOPOLISTA Ee=ENTRANTE N

o

v Ee

E1

Ee

Ee

E2 N

E2 N

E1

E1

E2 N

Estrategias Monopolista 

SMo={V,O,N}

Estrategias Entrante 

SEe={(E1,E1,E1), (E1,E1,E2), (E1,E1,N), (E1,E2,E1), (E1,E2,E2), (E1,E2,N), (E1,N,E1), (1,N,E2), (E1,N,N), (E2,E1,E1), (E2,E1,E2), (E2,E1,N), (E2,E2,E1), (E2,E2,E2), (E2,E2,N), (E2,N,E1), (E2,N,E2), (E2,N,N), (N,E1,E1), (N,E1,E2), (N,E1,N), (N,E2,E1), (N,E2,E2), (N,E2,N), (N,N,E1), (N,N,E2), (N,N,N)}

b) La empresa que está considerando entrar sabe si el monopolista ha apoyado alguna ley pero no sabe cuál de ellas. Mo

Mo= MONOPOLISTA Ee=ENTRANTE

v Ee

E1

N

o

Ee

Ee

E2 N

E1

E2 N

E1

E2 N


SMo={V,O,N}

123




SEe={(E1,E1),(E1,E2),(E1,N),(E2,E1),(E2,E2),(E2,N),(N,E1),(N,E2),(N,N)}

c) Igual que el apartado b) pero ahora supón que si el monopolista no ha apoyado ninguna propuesta puede decidir si se queda en el mercado (Q) o lo abandonarlo (A) y obtener cero beneficios. Mo= MONOPOLISTA

Mo

Ee=ENTRANTE

v

o

N

Ee

E1

Ee

Ee

E2 N

E1

E1

E2 N

N Mo

E2

Mo Q

A

Q

Mo

A

Q

A


SMo={(V,Q,Q,Q), (V,Q,Q,A), (V,Q,A,Q), (V,Q,A,A), (V,A,Q,Q), (V,A,Q,A), (V,A,A,Q), (V,A,A,A), (O,Q,Q,Q), (O,Q,Q,A), (O,Q,A,Q), (O,Q,A,A), (O,A,Q,Q), (O,A,Q,A), (O,A,A,Q), (O,A,A,A), (N,Q,Q,Q), (N,Q,Q,A), (N,Q,A,Q), (N,Q,A,A), (N,A,Q,Q), (N,A,Q,A), (N,A,A,Q), (N,A,A,A)}


124

SEe={(E1,E1), (E1,E2), (E1,N), (E2,E1), (E2,E2), (E2,N), (N,E1), (N,E2), (N,N)}


d) Igual que el apartado c) pero ahora el monopolista solo sabe si el competidor a entrado o no, pero no sabe que tecnología ha elegido su rival. Mo= MONOPOLISTA

Mo

Ee=ENTRANTE

v

N

o

Ee E1

Ee

Ee

E2 N

E1

E1

E2 N

Mo

Mo Q

N

E2

A

Q

Mo

A

Q

A


SMo={(V,Q,Q), (V,Q,A), (V,A,Q), (V,A,A), (O,Q,Q), (O,Q,A), (O,A,Q), (O,A,A), (Q,Q,Q), (Q,Q,A), (Q,A,Q), (Q,A,A)}


SEe={(E1,E1), (E1,E2), (E1,N), (E2,E1), (E2,E2), (E2,N), (N,E1), (N,E2), (N,N)}

125



Ejercicio 3.9. Duopolio de Stackelberg Dos empresas operan en un mercado cuya demanda viene dada por P=130‐Q, donde Q= q1 + q2. Siendo qila cantidad producida por la empresa i=1,2. Cada empresa tiene una función de costes C=10 u.m. Las empresas eligen las cantidades que producen y lo hacen de la siguiente manera. Primero elige la empresa 1. La empresa 2 decide su producción después de observar la decisión de la empresa 1. a) ¿Qué tipo de juego es y por qué? ¿Especifica las estrategias y los pagos de cada jugador? ¿Qué concepto de equilibrio usarías para calcular las producciones de equilibrio? b) Calcula las producciones de equilibrio SOLUCIÓN a) ¿Qué tipo de juego es y por qué? ¿Especifica las estrategias y los pagos de cada jugador? ¿Qué concepto de equilibrio usarías para calcular las producciones de equilibrio? Juego de Stackelberg, juego secuencial o dinámico de información completa y perfecta. Usamos el concepto de equilibrio de Nash perfecto en subjuegos y resolvemos por inducción hacia atrás. b) Calcula las producciones de equilibrio. Primero Calculamos la función de mejor respuesta del jugador 2 que es la empresa seguidora.

130 130

10

130 2

10

0 ⇒

120 2

Maximizamos la función de beneficios de la empresa 1 sabiendo la función de mejor respuesta de la empresa 2.

10

130

120 2

10

126

120 2

120 2

120

0 ⇒

10 120 30

60

60


3.2.3. Juegos estáticos con información incompleta Ejercicio 3.10. La batalla de los sexos [EBN] (Clase) Considere una situación en la que el jugador 1 (un chico) no está seguro si el jugador 2 (una chica) quiere salir con él o quiere evitarle, mientras la chica conoce las preferencias (los pagos) del chico. Es decir, la chica tiene dos tipos: S, quiere salir con el chico y NS, no quiere salir con él. Cada jugador tiene dos acciones, ir al cine (C) o ir al teatro (T). El chico no conoce los pagos de la chica y, por tanto, no sabe cuál es la verdadera matriz de pagos con la que está jugando. En concreto, supongamos que el chico cree que con probabilidad 1/2 el juego que se está jugando es el de la matriz izquierda mientras que con probabilidad 1/2 cree que el juego que se está jugando es el de la matriz derecha: Ella Ella t2 C T t’2 C T El C (2,1) (0,0) C (2,0) (0,2) T (0,0) (1,2) T (0,1) (1,0)

Prob (1/2)

Prob (1/2)

a) Obtenga el Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) de este juego b) Compruebe que no hay ningún ENB en el que el chico elija ir al Teatro SOLUCIÓN a) Obtenga un equilibrio de Nash Bayesiano de este juego. El Jugador 1 (chico) no tiene tipos; no tiene información privada. Por tanto, su estrategia es una de las dos acciones: Cine (C) o Teatro (T) El jugador 2 (chica) tiene dos tipos: T2={S,NS} / {t2,t’2}. Una estrategia para la chica es una función que le dice a cada tipo que acción elegir: ,

→

,

Por lo tanto, los tipos y estrategias de ambos jugadores serían: 1. 2.

, ,

,

,

,

,

,

,

,

S₂: El primer elemento es la acción que elige el tipo S y el segundo componente es la acción que elige el tipo NS. Ninguno de los tipos de jugador 2 tiene acciones dominantes.  Calculemos la estrategia óptima del jugador 1. Si el jugador 1 juega C, la mejor respuesta del tipo S de chica es C y la mejor respuesta del tipo NS de chica es T,

127



1

⇒

. . 2

→ 1

0

. . 2

→ 0

2

por tanto, el pago esperado para el jugador 1 de este par de estrategias ,

,

1 ∗2 2

1 ∗0 2

1

 Comprobación del ENB Para comprobar si este par de estrategias es un ENB, contemplaremos si existen posibles desviaciones provechosas unilaterales de los jugadores; o, de otro modo, si C es la mejor respuesta (m.r.) a la estrategia de equilibrio de la chica S₂* = ( C , T ). Manteniendo fijas las estrategias de los distintos tipos del jugador 2 (C,T), calculamos cuál sería el pago esperado para el jugador 1 si se desvía y juega T ,

1 ∗0 2

,

1 ∗1 2

0,5

Por tanto, la posible desviación le proporcionará un pago más bajo (0,5<1, y no tiene incentivos a desviarse. Tampoco se desvía ninguno de los tipos del jugador 2, ya que juegan mejor respuesta a la acción C del jugador 1. Por tanto, (C,(C, T )) es un Equilibrio Nash Bayesiano. b) Compruebe que no hay ningún ENB en el que el chico elija ir al Teatro. Si el jugador 1 juega T, la mejor respuesta del tipo S de la chica es T y la mejor respuesta del tipo NS de la chica es C, 1

⇒

. . 2

→ T 2

0

. . 2

→ 0

1

por tanto, el pago esperado para el jugador 1 de este par de estrategias ,

,

1 ∗1 2

1 ∗0 2

1 2

Calculemos, ahora, las posibles desviaciones. Manteniendo fijas las estrategias de los distintos tipos del jugador 2 (T,C) ¿cuál es el pago esperado para el jugador 1 si se desvía y juega C? ,

,

1 ∗0 2

1 ∗2 2

1

La posible desviación le proporcionaría un pago más alto, y el jugador 1 tiene incentivos a desviarse, por tanto, {T,(T,C)} no es un ENB. No hay ningún ENB donde el jugador 1 juegue T

128


Alternativamente, podríamos haber calculado la matriz total de pagos, ponderada por las probabilidades de los distintos tipos (tenemos 8 posibles pares de estrategias posibles de Equilibrio Bayesianos) … ,

,

⇒

,

,

⇒

⋮

1 2 3 1 , 2 ⋮

1 2 1 2∗ 2

2 ,

2∗

1 2 1 0∗ 2

1 2 1 1∗ 2

2∗

1∗

1 2 1 2∗ 2 0∗

Salir

No Salir

( C , C )

( C , T )

( T , C )

( T , T )

C

( 2 , 1/2 )

( 1 , 3/2 )*

( 1 , 0 )

( 0 , 1 )

T

( 0 , 1/2 )

( 1/2 , 0 )

( 1/2 , 3/2 )

( 1 , 1 )

… y haber comparado directamente los distintos tipos, comprobando que {C,(C,T)} es un EN.

129



Ejercicio 3.11. Situación estratégica [EBN] Considere la siguiente situación estratégica con información incompleta por parte del jugador 2. 2 2

t11

L

M

R

1

U

(1,2/3)

(1,0)

(1,1)

D

(2,2)

(0,0)

(0,3)

Prob (1/2)

t12

L

M

R

U

(1,2/3)

(1,1)

(1,0)

D

(2,2)

(0,3)

(0,0)

Prob (1/2)

a) Obtenga el Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) de este juego b) Obtén el EN suponiendo que el jugador 2 conoce la matriz que se juega SOLUCIÓN a) Obtenga el Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) de este juego El jugador 1 conoce que matriz se juega (t11 o t12) pero el jugador 2 no lo conoce; por tanto los tipos y estrategias de ambos jugadores serían: 1. 2.

,

, , , ,

,

,

,

,

,

 Calculemos la estrategia óptima del jugador 2. Si el jugador 1 juega U en ambas matrices (es decir, sea cual sea su tipo), la mejor respuesta de 2 es la acción L. Los pagos esperados son. ,

,

1 2 ∗ 2 3

1 2 ∗ 2 3

2 3

,

,

1 ∗0 2

1 ∗1 2

1 2

,

,

1 ∗1 2

1 ∗0 2

1 2

Así mismo, si 1 juega D sea cual sea su tipo, también la mejor respuesta de 2 es la acción L.

130

,

,

1 ∗2 2

1 ∗2 2

2

,

,

1 ∗0 2

1 ∗3 2

3 2


,

,

1 ∗3 2

1 ∗0 2

3 2

En definitiva, L es la acción o estrategia dominante del jugador 2 y la utilizará en todos los equilibrios. Dado que s2 = L, es fácil comprobar que la mejor respuesta de ambos tipos de 1 es D. Luego, el único ENB es {(D,D),L}. Y los pagos de equilibrio son (2,2) con probabilidad 1 (sea cual sea la realización de la información privada). b) Obtén el EN suponiendo que el jugador 2 conoce la matriz que se juega Si resultara ser la matriz t11, es fácil comprobar que el único Equilibrio de Nash es (U,R), pues R es la acción dominante para 2. Si jugaran la segunda matriz, t12, es único Equilibrio de Nash es (U,M), ya que M es acción dominante para 2. Por tanto, fuera cual fuera la realización de la información el pago para los dos jugadores sería con seguridad (1,1). Es decir, ambos jugadores se ven perjudicados si el jugador 2 mejorara su información.

131



3.3. Ejercicios propuestos 3.3.1. Juegos estáticos con información completa Ejercicio 3.12. *Matrices estratégicas [EN] (Clase) Calcular el equilibrio de Nash del siguiente juego escrito en forma matricial.

132

I

C

D

A

(0,4)

(4,0)

(5,3)

M

(4,0)

(0,4)

(5,3)

B

(3,5)

(3,5)

(6,6)


Ejercicio 3.13. *Juego de la gallina o halcón‐paloma [EN] Dos adolescentes participan en el juego del “gallina”, que consiste en ir a toda velocidad en sentido contrario en una carretera de un solo carril. El primero que se aparte será el gallina y el que no lo haga será el valiente del grupo. Naturalmente si ninguno de los dos se aparta, ambos mueren en el choque resultante. La matriz de pagos será: Apartarse

No Apartarse

Apartarse (A)

2, 2

1, 3

No Apartarse

3, 1

0, 0

Calcule el Equilibrio de Nash.

133



Ejercicio 3.14. *La Batalla de los sexos [EN] (Clase) Se trata de un conflicto entre un hombre que quiere ir a un combate de boxeo y una mujer que quiere ir al ballet. Los dos prefieren estar juntos antes que ir por separado al espectáculo que le gusta. MUJER

HOMBRE Calcule el Equilibrio de Nash.

134

BOXEO

BALLET

BOXEO

(2,1)

(0,0)

BALLET

(0,0)

(1,2)


Ejercicio 3.15. *Juego Izquierda‐Derecha [EN] Hay dos jugadores, Smith y Brown. Tienen dos estrategias cada uno de ellos: Smith [Ir arriba o ir abajo]; Brown: [Ir a la izquierda o a la derecha]

Izquierda

Derecha

Arriba

(0,1)

(‐2,0)

Abajo

(0,‐1)

(‐1,0)

Smith

Brown

Calcular el equilibrio de Nash.

135



Ejercicio 3.16. *Empresas automovilísticas [EN] Dos empresas automovilísticas deciden lanzar al mercado al mismo tiempo un modelo de coche de gama intermedia. Cada una de ellas se está planteando si ofrecer o no financiación a los clientes, lo cual le supondría captar mayor cuota de mercado, pero llevaría consigo ciertos costes. Ambas empresas prefieren no ofertar dicha financiación, pero cada una teme que la otra la ofrezca y, por tanto, acapare mayor número de compradores. Supongamos que los beneficios esperados por las empresas son los siguientes. Si ambas ofrecen financiación, 400 millones para cada una; si ninguna lo hace, 600 para cada una, y si una la ofrece y la otra no, la primera gana 800 y la segunda 300. Represente el juego en forma normal. Calcule los equilibrios de Nash.

136


Ejercicio 3.17. *Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Clase) Obtenga una predicción del siguiente juego utilizando la eliminación sucesiva de acciones dominadas.

I

M

D

A

(7,2)

(5,4)

(6,3)

B

(8,2)

(3,1)

(3,5)

C

(2,2)

(6,3)

(5,2.5)

137



Ejercicio 3.18. *Juego Generales Pacifico Sur [Argumentos dominación] (Clase) Este juego se desarrolla en el Pacífico Sur en 1943. El almirante Imamura debe transportar tropas japonesas desde el puerto de Rabaul en Gran Bretaña, a través del Mar de Bismarck hasta Nueva Guinea. La flota japonesa puede viajar por el norte de Nueva Inglaterra, o por sur de Nueva Inglaterra. El almirante inglés Kenney, por su parte, tiene el objetivo de bombardear las tropas japonesas del almirante Immamura. Kenney tiene que elegir si desea concentrar sus aviones de reconocimiento en el norte o el sur de la ruta. Una vez que se encuentre el convoy, se puede bombardear hasta su llegada a Nueva Guinea. Los pagos a Kenney y Imamura de cada resultado se muestra en el cuadro de abajo. IMAMURA NORTE SUR NORTE 2,‐2 2,‐2 KENNEY SUR 1,‐1 3,‐3 La rivalidad de los objetivos hace que si Imamura gana, entonces Kenney pierde y viceversa (Juego de suma cero).

138


Ejercicio 3.19. *Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Ejercicio Clase) En los siguientes juegos en forma normal ¿Que estrategias sobreviven a una eliminación iterativa de las estrategias estrictamente dominadas? ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias puras? a)

I

C

D

A

2,0

1,1

4,2

M

3,4

1,2

2,3

B

1,3

0,2

3,0

b)

b1

b2

a1

100, 10

−100, 9

a2

99, 8

99, 7

c)

b1

b2

a1

1, 1

2, 1

a2

1, 2

3, 3

d)

b1

b2

b3

b4

b5

a1

10, 20

10, 2

10, 4

4, 3

1, 5

a2

5, 3

0, 4

2, 1

3, 5

4,−10

a3

7,−1

−1,−1

3, 6

6, 0

5, 0

a4

11, 10

−2,−1

3, 2

−1, 1

2, 1

a5

12, 6

−10, 3

4, 7

−8, 6

6, 8

a6

4, 4

−1, 5

0, 1

1, 2

0,−8

e) Con tres jugadores: S1={a,b}, S2={c,d}, S3={e,f}. S3 = e

c

d

S3 = f

c

d

a

2, 2, 6

6, 1, 1

a

5, 5,−3

0, 1,−1

139



b

140

3, 1, 1

1, 0, 3

b

1, 0, 0

1, 2, 4


Ejercicio 3.20. *Inspección de trabajo [Estrategias mixtas] [Clase] Un empleado (2) trabaja para un empresario (1). El trabajador puede vaguear (V) o trabajar (T). Trabajar tiene un coste de 6 y produce un output de valor 16 para el empresario. Este último puede inspeccionar (I) o no hacerlo (NI). Una inspección le cuesta 4 al empresario pero le proporciona evidencia sobre si el trabajador vaguea o no. El empresario paga un salario 8 al trabajador salvo que tenga evidencia que vaguea (es decir, el empresario no puede condicionar el salario al nivel de output observado). Si el trabajador es descubierto vagueando, su pago será cero. Ambos toman sus decisiones simultáneamente. Esta situación se representa en la siguiente matriz de pagos. EMPLEADO (L) V T I ‐4, 0 4,2 EMPRESARIO NI ‐8, 8 8,2 a) ¿Existe algún equilibrio en estrategias dominantes? b) ¿Existe algún equilibrio de Nash?

141



Ejercicio 3.21. *Agencia Tributaria [Estrategias mixtas] (Pendiente) La agencia tributaria tiene que decidir si investigar una cierta clase de declaraciones fiscales para descubrir si son correctas o no investigar. El objetivo de la agencia es impedir el fraude al mínimo coste posible. El declarante quiere mentir, sólo si no es descubierto. Supongamos que el beneficio de impedir o descubrir el fraude es de 4, el coste de la inspección es 2, el coste para el declarante de cumplir la ley es 1 y el coste si se le descubre es una multa de 2. Obtenga la matriz de pagos y calcule el EN.

142


Ejercicio 3.22. *Duopolio de Cournot [Clase] Supongamos que hay dos empresas en un mercado con una curva de demanda p=120‐Q. Las empresas no tienen costes de producción. Si eligen la cantidad que producen (Cournot) a) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash? b) ¿Es el monopolio un resultado de equilibrio? c) ¿Es la competencia perfecta un resultado de equilibrio?

3.3.2. Juegos dinámicos con información completa Ejercicio 3.23. *Juego en forma extensiva [ENPS] (Clase)

G I P

II1 II2

G P

G

P

(1,0) (2,3) (0,1) (3,2)

a) Expresar la forma normal del juego. b) ¿Cuál es el equilibrio de Nash? c) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos?

143



Ejercicio 3.24. *Telex contra IBM [EN y ENPS] IBM es una empresa de informática ya establecida en el mercado a finales de los años 70 y TELEX también es otra empresa de informática que está intentando asentarse en dicho mercado. TELEX compite produciendo un hardware casi idéntico y compatible con el de IBM. Las acciones de TELEX son dos: entrar a competir con IBM o quedarse fuera de dicha rivalidad; Este último caso implicaría que IBM ostentase el monopolio lo que le reportaría unos beneficios de cinco unidades monetarias y, en cambio, TELEX obtendría una unidad monetaria en otro mercado. Sólo en el caso de que TELEX opte por la acción de entrar, IBM puede reaccionar de dos formas diferentes: puede aplastar a TELEX mediante una guerra de precios ante lo cual, ambas obtendrían unos beneficios nulos o, por el contrario, puede acomodarse lo que significaría que ambas empresas se repartirían el mercado y donde cada una de ellas ganaría dos unidades monetarias. Se pide: a) Expresar la forma normal del juego entre IBM y TLEX b) ¿Cuál es el equilibrio de Nash? c) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos?

144


Ejercicio 3.25. *Juego en forma extensiva [ENPS] Obtener las estrategias puras de cada jugador, la forma normal del juego, los equilibrios de Nash y los equilibrios perfectos en subjuegos. a) Árbol 1 1 a

b

2

2 d

c

e

f

1

1

g

g

h

h

i

j

i

j

b) Árbol 2 1 a

b

2

2

c

d

e

f 1

1 g

g

h

h

i

j

i

j

145



3.3.3. Juegos estáticos con información incompleta Ejercicio 3.26. *La batalla de los sexos [EBN] (Clase) Considere una situación en la que el jugador 1 (chico) no está seguro sí el jugador 2 (chica) quiere salir con él o quiere evitarle, mientras la chica conoce las preferencias (los pagos) del chico. Es decir la chica tiene dos tipos: S quiere salir con el chico, NS no quiere salir con él. Cada jugador tiene dos acciones, ir al cine (C) o ir al teatro (T). El chico no conoce los pagos de la chica por tanto no sabe cuál es la verdadera matriz de pagos con la que está jugando. En concreto, supongamos que el chico cree que con probabilidad 1/2 el juego que se está jugando es el de la matriz izquierda mientras que con probabilidad 1/2 cree que el juego que se está jugando es el de la matriz derecha: Ella Ella t2 C T t’2 C T El C (4,1) (0,0) C (4,0) (0,4) T (0,0) (1,4) T (0,1) (1,0)

Prob (1/2)

a) ¿Existe algún equilibrio de Nash donde 1 juegue C? b) ¿Existe algún equilibrio de Nash donde 1 juegue T?

146

Prob (1/2)

Tema 4. Subastas

Tema 4. Subastas

155



4.1. Ejercicios resueltos Ejercicio 4.1. Actitud frente al riesgo [Recordatorio] (Clase) En un entorno de incertidumbre, un individuo tiene una renta de 100 €. Se le plantea la posibilidad jugar y comprar un sobre cuyo precio es de 50 €; dentro del sobre puede no haber nada o puede haber un billete de 100 €. Se pide analizar y representar gráficamente la elección del consumidor suponiendo que su función de utilidad es a) U(M)= Ln(M) b) U(M)= 2M c) U(M)=M2 SOLUCIÓN Antes de resolver recordemos que 

El valor esperado (VE), es la media ponderada de los resultados posibles. Cuando el VE=0, hablamos de juego justo.



La utilidad esperada (UE) de un juego es el valor esperado de la utilidad de cada uno de los resultados posibles; geométricamente es la cuerda que une los puntos de la función de utilidad que corresponden a perder y ganar. Calculando el VE, vemos que el ejercicio plantea un juego justo. .

0,5 150

0,5 25

100

a) U(M)=Ln (M) .

.

0,5

150

0,5 ∗ 150

0,5

50

0,5 ∗ 50

4,461 100

4,605

La UVE > UE (4,605 > 4,461)  El individuo tiene aversión al riesgo y no jugará. Prefiere obtener utilidad riqueza segura a participar en el juego.

156

Tema 4. Subastas

b) U(M)=2M

.

.

0,5 2 150 2 0,5 ∗ 150

0,5 2 50 0,5 ∗ 50

200 2 100

200

La UVE = UE  El individuo es neutral al riesgo le es indiferente jugar o no.

c) U(M)=M2

. .

0,5

150

0,5 ∗ 150

0,5

50

12.500

0,5 ∗ 50

100

10.000

La UVE < UE (12.500 < 10.000)  El individuo tiene preferencia por el riesgo y jugará. Prefiere riqueza incierta a una segura.

157



Ejercicio 4.2. Juego de subastas de primer precio. (Clase) Subasta de sobre cerrado de primer precio con información incompleta. Recordemos que gana la subasta el que puja más alto y paga este precio. En caso de empate se decide a suerte (a cara o cruz) con una moneda. Supongamos que solamente se pueden pujar números enteros. Definamos vi como la valoración o precio de reserva del jugador i, que es lo máximo que está dispuesto a pagar el jugador i por el objeto de la subasta. Supongamos que hay dos jugadores, 1 y 2, donde v1= 50 millones, pero existe información incompleta sobre la verdadera valoración del jugador 2, es decir, el jugador 1 no sabe cuál es la valoración del jugador 2. Esta puede ser v´2=20 o v´´2=10, con la misma probabilidad. a) Análisis de las sobrepujas b) Determinar la estrategia dominante SOLUCIÓN a) Análisis de las sobrepujas El conjunto de acciones del jugador i es Ai = {bi Є (0, 1, 2,…, ∞)}, donde bi son las pujas del jugador i. La función de pagos del jugador i. 0

No tiene mucho sentido sobrepujar; es decir, pujar por encima de la propia valoración, bi >vi. Puede comprobarse que es una acción dominada por pujar cero. -

Si pujas cero obtienes un pago de cero. Si sobrepujas y pierdes, no pasa nada, ya que tienes un pago de cero. Si sobrepujas y ganas, tienes un pago negativo, ya que vi – bi < 0. Por tanto, sobrepujar está débilmente dominado por pujar cero.

b) Determinar la estrategia dominante Sabiendo que ningún jugador va a sobrepujar, ¿cuáles deberían ser las pujas óptimas del jugador 1? Claramente tienes dos estrategias: 



158

O bien intenta ganar siempre y fija b1=21 (una unidad por encima de la valoración máxima de 2), obteniendo por tanto un pago de 50‐21=29 con total seguridad (ya que ningún jugador sobrepuja). O bien, renuncia a ganar siempre pero maximiza el pago cuando gana, es decir, fija b1=11. Con lo que sí está ante v´´2, gana y su pago sería 50‐11=39, pero sí está ante v´2 puede perder y obtendría un pago de cero. Luego la

Tema 4. Subastas

mitad de las veces (o con probabilidad ½) obtiene 39 y la otra mitad (con probabilidad ½) obtiene cero. ¿Cómo debe analizar los pagos en esta situación con incertidumbre o con riesgo (es decir, en presencia de elementos aleatorios)? ¿Cómo debe evaluar una lotería? ¿Cómo se evalúa una acción cuando existe incertidumbre? Supondremos que: 1) Los individuos asignan y conocen las probabilidades de los distintos sucesos posibles. 2) Evalúan las acciones según la utilidad esperada (pago esperado) de sus resultados: suma de las utilidades de los resultados ponderados por sus probabilidades. En nuestro caso: 1 ∗ 39 2

1 ∗0 2

19,5

Imaginemos que puedo encontrarme con una puja p´2 de v´2 con probabilidad que existen tres tipos de valoraciones para el jugador 2 con probabilidad 1/3 cada una, v2 Є {5, 10, 20} ¿Cuál es el pago esperado de ofrecer p1 = 11? 1 ∗ 39 3

1 ∗ 39 3

1 ∗0 3

26

Volviendo al caso anterior de las subastas, con dos valoraciones,  

Si el jugador 1 fija p1 = 21, tendrá un pago de 29 seguro. Si el jugador 1 fija p1 = 11, tendrá un pago esperado de 19,5.

Por tanto, la estrategia óptima será ofrecer una puja de 21. Es decir, ganar siempre aunque la mitad de las veces esté pagando “más de los necesario”.

159



Ejercicio 4.3. Hacer un buen negocio. (Clase) Limpiando el ático de su casa, su dueño encuentra una foto conmemorativa de George Harrison que de decide vender por medio de una subasta inglesa. La foto carece de valor para el vendedor, pero espera que alguien quiera comprarla. Sólo hay dos postores. El vendedor no sabe cuál es el valor de compra de ninguno de ellos, pero cree que hay una probabilidad de 1/4 de que los dos concedan a la foto un valor de 20€, que hay una probabilidad de 1/2 que uno de ellos le conceda un valor de 20€ y el otro le conceda un valor de 100€, y que hay una probabilidad de 1/4 de que los dos le concedan un valor de 100€. La puja se realiza en incrementos de 1€. Para facilitar los cálculos, supongamos que en una subasta inglesa el objeto se vende a un precio exactamente igual al segundo valor de compra más alto. a) Supongamos que el vendedor vende la foto sin un precio de reserva. a. Si los dos postores conceden a la foto un valor de 20€, ¿cuál será el precio de venta de la foto? b. Si uno de ellos concede a la foto un valor de 20€ y el otro le concede un valor de 100€, ¿a qué precio se venderá la foto? c. Si los dos le conceden un valor de 100€ a la foto, ¿a qué precio se venderá la foto? b) Si el vendedor vende la foto sin precio de reserva, ¿cuál será el ingreso que espera obtener por la venta de la foto? (Pista: Los ingresos esperados o valor esperado (VE) es la suma de los ingresos posibles ponderada por su probabilidad.) c) Si el vendedor fija un precio de reserva, entonces sí al menos uno de los compradores está dispuesto a pagar el precio de reserva, podrá venderla a ese precio. Si ninguno de los dos está dispuesto a pagar su precio de reserva, romperá la foto y no obtendrá nada por ella. Si el vendedor fija un precio de reserva de 100€: a. ¿Cuál es la probabilidad de que pueda vender el objeto por 100€? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda vender el objeto? c. ¿Qué ingresos espera obtener por la venta? d. ¿Son mayores los ingresos esperados del vendedor si fija un precio de reserva de 100€ que si no fija ninguno? d) ¿Podría obtener el vendedor unos ingresos esperados mayores fijando un precio de reserva de más de 100€? ¿Y fijándolo en un precio de reserva de menos de 100€?

160

Tema 4. Subastas

SOLUCIÓN a) Vendedor no fija un precio de reserva i. Si los dos postores conceden a la foto un valor de 20€, ¿cuál será el precio de venta de la foto? Teniendo en cuenta que la estrategia dominante de un participante en una subasta inglesa es seguir pujando hasta que el precio alcance su valoración máxima. El resultado será  

Ganador.‐ Participante que más valora el objeto Precio pagado.‐ La valoración del segundo participante que más lo valora, pues ahí se detiene la subasta.

En el caso planteado, queda claro que el precio de venta de la foto será de 20€. ii. Si uno de ellos concede a la foto un valor de 20€ y el otro le concede un valor de 100€, ¿a qué precio se venderá la foto? Siguiendo el razonamiento anterior, el precio será el valor concedido por el segundo participante; es decir 20€. iii. Si los dos le conceden un valor de 100€ a la foto, ¿a qué precio se venderá la foto? Siguiendo el razonamiento anterior, queda claro que el precio será de 100€. b) Si el vendedor vende la foto sin precio de reserva, ¿cuál será el ingreso que espera obtener por la venta de la foto? Sabemos que el valor esperado (VE) es la media ponderada de todos los resultados posibles, donde los pesos son las probabilidades respectivas 1 20 4

1 20 2

1 100 4

40

c) Si el vendedor fija un precio de reserva de 100€: i. ¿Cuál es la probabilidad de que pueda vender el objeto por 100€? El cuadro de probabilidades al que se enfrenta el vendedor es el siguiente Prob. 1/4 1/2 1/4

V1 20 20 100

V2 20 100 100

Entonces, la probabilidad será

1 2

1 4

3 4

161



ii. ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda vender el objeto?

1

3 4

1 4

iii. ¿Qué ingresos espera obtener por la venta? El valor esperado será

3 4

100

75

iv. ¿Son mayores los ingresos esperados del vendedor si fija un precio de reserva de 100€ que si no fija ninguno? Sí d) ¿Podría obtener el vendedor unos ingresos esperados mayores fijando un precio de reserva de más de 100€? NO ¿Y fijándolo en un precio de reserva de menos de 100€? NO

162

Tema 4. Subastas

Ejercicio 4.4. Equilibrio en subastas. (Presentación) Un individuo quiere subastar un objeto entre dos postores o licitantes. Es de dominio público que los licitantes pueden tener una valoración del objeto entre 0 y un valor K. Esta valoración se distribuye de forma uniforme entre estos dos valores, igual para ambos sujetos. Suponer que los postores son neutrales al riesgo. a) ¿Cuál sería las estrategias de equilibrio si se utiliza una subasta de primer precio en sobre cerrado? Pista: considera estrategias simétricas y que sean funciones afines, es decir, la puja es igual a la valoración por una constante, bi=αivi con i=1,2.. i. ¿Quién ganaría la subasta? ¿Sería eficiente la subasta? ii. Calcula el ingreso esperado del subastador. b) ¿Qué pasaría si la subasta es de segundo precio? ¿Hay una estrategia dominante? Si la respuesta es afirmativa dar una intuición de por qué. Responde al apartado i y ii de la pregunta anterior en este caso. c) ¿Qué subasta preferiría el subastador si fuera neutral al riesgo, una holandesa, de primer precio, de segundo precio o inglesa? d) Suponer que los licitadores valoran sus ganancias de acuerdo a una función de utilidad ;

,

i. ¿Cómo es su actitud hacia el riesgo? ii. Repetir el apartado a),b) y c) para este caso e) Si la utilidad del primer licitante y segundo licitante son, respectivamente: i. ii. iii.

¿Cómo son sus actitudes frente al riesgo? ¿Qué pujarán en una subasta de primer precio en equilibrio? ¿Quién ganará la subasta?

SOLUCIÓN a) ¿Cuál sería las estrategias de equilibrio si se utiliza una subasta de primer precio en sobre cerrado? El licitante i, teniendo en cuenta la función de puja del otro licitante j ha de resolver el siguiente problema de maximización:

Donde,

163



Recordemos que una variable aleatoria presenta una distribución uniforme en el intervalo [a,b], cuando su suporte en dicho intervalo y la unidad de probabilidad se reparte en él de forma uniforme y continua 1

;

ó

Despejando tenemos que 1

1

⇒

; ∀ ∈

,

Por lo tanto, 1

Y el problema de que ha de resolver i es:

∈ ,

Calculando la condición de primer orden tenemos que 2

1

0 ⇒

2

En equilibrio los licitantes pujarían la mitad de su valoración. Es decir α es igual a 1/2. 2

164

2

Tema 4. Subastas

a.i.) ¿Quién ganaría la subasta? ¿Sería eficiente la subasta? Como pujan la mitad de su valoración, la subasta la ganaría el que tuviera la valoración más alta. Por esta razón la subasta sería eficiente. a.ii) Calcula el ingreso esperado del subastador. Sabemos que el valor esperado de la j‐ésima mayor valoración entre n valoraciones extraídas independientemente de una distribución uniforme en [0,k] es: 1

1

Como gana el individuo con la valoración más alta y hay solo dos individuos es decir dos valoraciones posibles (n=2), el valor esperado de la valoración más alta (j=1) sería: 2

1 2

1

2 3

1

Como el licitante puja la mitad de su valoración en equilibrio. El ingreso esperado del subastador es la mitad de la valoración esperada más alta. 12 2 3

3

b) ¿Qué pasaría si la subasta es de segundo precio? ¿Hay una estrategia dominante? Responde al apartado i y ii de la pregunta anterior en este caso. Hay una estrategia dominante, esta estrategia es pujar la valoración. ;

1

También ganará la subasta el licitante con la valoración más alta pero ahora pujará su valoración. La subasta es eficiente porque la gana el participante con la mayor valoración. El ingreso esperado del subastador será la segunda mayor puja. Es decir la valoración más baja pues solo hay dos licitantes. Y el valor esperado de la segunda valoración más baja es: 2

1 2

2 1

3

c) ¿Qué subasta preferiría el subastador si fuera neutral al riesgo, una holandesa, de primer precio, de segundo precio o inglesa? Como el subastador es neutral al riesgo su utilidad depende únicamente del ingreso esperado. En este ejemplo podemos aplicar el teorema de la equivalencia del ingreso. Por lo tanto el subastador esta indiferente entre las cuatro subastas porque en términos esperados tiene el mismo ingreso.

165



d) Suponer que los licitadores valoran sus ganancias de acuerdo a la siguiente función de utilidad ;

,

d.i.) ¿Cómo es su actitud hacia el riesgo? Los individuos son aversos al riesgo, la función de utilidad es cóncava. d.ii.) Repetir el apartado a),b) y c) para este caso El problema que debe resolver ahora el licitante es

1

2

3

0 ⇒

2

2 ; 3

1,2

Por tanto, en una subasta de primer precio en equilibrio los licitantes con esta función de utilidad aversa al riesgo apostarían 2/3 de su valoración: Al igual que en el caso anterior ganará el individuo con la mayor valoración, por lo que la subasta es eficiente. El ingreso esperado del subastador será igual a 2/3 de la mayor valoración esperada, que es 2k/3. Por lo tanto el ingreso esperado será igual a: 22 3 3

4 9

La puja es mayor que el caso de neutralidad al riesgo porque los licitantes aversos al riesgo prefieren reducir el riesgo de no ganar aunque esto haga disminuir sus ganancias esperadas Si la subasta fuera de segundo precio suponer que los licitantes son aversos al riesgo en lugar de neutrales al riesgo no cambia ni las estrategias de equilibrio ni el ingreso esperado. En ambos casos la estrategia dominante sería pujar la valoración. Por lo que ganaría la subasta el licitante con la mayor valoración y la subasta sería eficiente y el ingreso esperado sería el mismo es decir: Sabemos que la subasta inglesa y la de segundo precio son equivalentes, luego el ingreso esperado será el mismo en las dos. Por otro lado, la subasta holandesa y la de primer precio también son equivalentes luego tendrán el mismo ingreso esperado. Por lo tanto nuestro subastador neutral al riesgo con licitantes aversos al riesgo tendrá unos ingresos esperados mayores con una subasta holandesa o de primer precio que con una inglesa o de segundo precio.

166

Tema 4. Subastas

e) Si la utilidad del primer licitante y segundo licitante son, respectivamente:

e.i.) ¿Cómo son sus actitudes frente al riesgo? El licitante 1 es averso al riesgo y el 2 neutral al riesgo. e.ii.)¿Qué pujarán en una subasta de primer precio en equilibrio? Vamos a buscar equilibrios simétricos con estrategias que sean funciones afines al igual que en el apartado 1. e.iii) ¿Quién ganará la subasta? Como la distribución es uniforme [0, k], con esas funciones de puja la probabilidad de ganar que el licitante i gane la subasta al j es: 1

El licitante 2 resuelve:

∈ ,

⇒

2

El licitante 1, averso al riesgo, resuelve:

⇒

2 3

Como era de esperar el licitante averso al riesgo pujará más alto que el neutral al riesgo en el caso de que tuvieran la misma valoración. Por lo tanto no podemos asegurar que el licitante con la valoración más alta gane la subasta. Podría ocurrir que el neutral al riesgo tuviera la valoración más alta pero no ganara la subasta si la diferencia entre las valoraciones no fuera suficientemente grande. En concreto, el neutral al riesgo ganará la subasta si puja más alto y esto ocurrirá si las valoraciones cumplen la siguiente condición: ⇔

2

2 ⇔ 3

4 3

En caso contrario la subasta la ganaría el licitante 1, el averso al riesgo.

167



4.2. Ejercicios propuestos Ejercicio 4.5. *Juego de subastas de primer precio. (Clase) Subasta de sobre cerrado de primer precio con información incompleta. Supongamos que hay dos jugadores, 1 y 2, donde v1= 50 millones, pero existe información incompleta sobre la verdadera valoración del jugador 2, es decir, el jugador 1 no sabe cuál es la valoración del jugador 2. Esta puede ser v´2=20 con probabilidad 1/5 o v´´2=10 con probabilidad 4/5. a) Determinar la estrategia dominante b) Análisis de la actitud frente al riesgo

168

Tema 4. Subastas

Ejercicio 4.6. *Subastando un ordenador Un estudiante de informática necesita urgentemente el dinero y se plantea subastar su ordenador de altas prestaciones. Sabe que un profesional lo valoraría en 1.000 €, pero un particular sólo en 700 €. Si no lo vende en la subasta, se verá obligado a llevarlo a una tienda de compra‐venta que le ofrece 200€. Una vez puesto el anuncio de la subasta, concurren sólo 2 compradores, con una probabilidad del 50% de ser un profesional y un 50% de ser un particular. a) Si el estudiante decide fijar un precio de reserva de 1.000€, ¿Qué posibilidad hay de que venda el ordenador en la subasta? ¿Cuál será el ingreso esperado? b) Si el estudiante realiza una subasta en sobre cerrado de segundo precio, ¿cuánto dinero obtendrá si los dos son profesionales? ¿y si sólo uno es profesional? ¿Cuál será el ingreso esperado de la subasta?

169



Ejercicio 4.7. *El mercado de alfombras 5 4F

En una subasta de alfombras antiguas quedan finalmente dos postores: Amalia y Bartolo. Se presenta la última alfombra y cada postor la observa. El vendedor dice que aceptará plicas de cada uno de los postores y venderá la alfombra al mejor postor al precio que ofrezca el mejor postor. Cada postor cree que el otro tiene las mismas probabilidades de valorar la alfombra en una cantidad comprendida entre 0 y 1.000 euros. Por lo tanto, para cualquier cifra X comprendida entre 0 y 1.000, cada postor cree que la probabilidad de que el otro valore la alfombra en menos de X es X/1.000. La alfombra vale, en realidad, 800 euros para Amalia. Si la consigue, su beneficio será la diferencia entre 800 euros y lo que paga por ella y, si no la consigue, su beneficio será cero. Quiere hacer su oferta de tal forma que maximice su beneficio esperado. a) Supón que Amalia piensa que Bartolo ofrecerá exactamente lo que vale la alfombra para él. Si ella ofrece 700 por la alfombra, ¿qué probabilidades hay de que la consiga? Si la consigue por 700 euros, ¿cuál es su beneficio? ¿Cuál es su beneficio esperado si ofrece 700 euros? b) Supón que Bartolo pagará exactamente lo que vale la alfombra para él. Si Amalia ofrece 600 euros por ella, ¿qué probabilidades tiene de conseguirla ella? ¿Cuál es su beneficio si consigue la alfombra por 600 euros? ¿Cuál es su beneficio esperado si ofrece 600 euros? c) Supón de nuevo que Bartolo ofrece exactamente lo que vale la alfombra para él. Si Amalia ofrece x euros por ella (donde x es una cifra comprendida entre 0 y 1.000), ¿qué probabilidades hay de que consiga la alfombra ella? ¿Cuál es su beneficio si la consigue? Formula su beneficio esperado si ofrece x euros. Halla la oferta x que maximiza su beneficio esperado. (Pista: toma una derivada.) d) Vayamos un poco más allá para encontrar una respuesta general. Supongamos que el valor que tiene la alfombra para Amalia es V euros y que cree que Bartolo pujará exactamente lo que vale la alfombra para él. Formula el beneficio esperado de ella en función de las variables V y x si ella ofrece x euros. Ahora calcula la oferta x euros que maximizará su beneficio esperado. (Pista: haz una derivada.) 5

Ejercicio Varian 17.6.

170

Tema 5. Selección adversa


175



5.1. Ejercicios resueltos Ejercicio 5.1. The market for lemons Consideremos un mercado de coches usados en el que la calidad de los coches disponibles se distribuye uniformemente entre 0 y 1. Cada vendedor conoce la calidad del coche que vende y un vendedor de un coche de calidad q está dispuesto a venderlo sólo si el precio de venta es mayor que q. Los compradores no pueden observar la calidad de los coches y cada uno de ellos está dispuesto a pagar como máximo 3/2q por un coche de calidad q. Los compradores son neutrales al riesgo y cada uno de ellos sabe que el vendedor de un coche de calidad q está dispuesto a venderlo sólo si el precio es mayor que q. a) Analice el comportamiento del mercado b) ¿Qué ocurriría si la calidad mínima de los coches es positiva en vez de 0? SOLUCIÓN a) Analice el comportamiento del mercado Hay información asimétrica entre vendedores y compradores y, por tanto, todos los coches que se vendan lo harán al mismo precio.  Supongamos p>1 Teniendo en cuenta que el precio de reserva del vendedor es q (Prv=q), si p es mayor que 1 ningún vendedor retirará su coche del mercado pues la calidad como máximo es q=1 y, por tanto, el precio mínimo que pide cada vendedor nunca es mayor que 1. En ese caso, la calidad media de los coches que están a la venta será 1/2 y cada comprador estará dispuesto a pagar por un coche 3 1 2 2

3 4

Como ¾ < 1 < p ningún comprador estaría dispuesto a pagar el precio por un coche y, en consecuencia p no puede ser mayor que 1.  Supongamos 0 p se retirarán del mercado. Así, la calidad media de los coches que quedarán a la venta será p/2 y cada comprador estará dispuesto a pagar por uno de los coches a la venta 3 2 2

3 4

Pues los compradores deducirán que los coches retirados son de calidad mayor que p. Como 3p/4 < p ningún comprador estaría dispuesto a pagar el precio p por un coche y, por tanto, ningún p entre 0 y 1 puede ser el precio de equilibrio en el mercado.

176


La conclusión es que no hay ningún precio (positivo) al que se produzcan ventas de coches usados en esta situación. El problema de selección adversa es tan severo que desaparece completamente el mercado de coches de segunda mano (la información asimétrica entre compradores y vendedores lo impide). b) ¿Qué ocurriría si la calidad mínima de los coches es positiva en vez de 0? Imaginamos ahora que las calidades están distribuidas uniformemente entre x y 1, donde x>0  Suponemos x ≤ p ≤ 1 A ese precio los coches cuya calidad q sea tal que q > p se retirarán del mercado y la calidad media de los coches que quedan será 2

Estando dispuesto cada comprador a pagar 3 2

3 2

3 4

Dado que, para que haya ventas, 3

3 4

⇔ 3

para aquellos valores de p tales que x < p ≤ min {3x,3/4} habrá compraventas de coches en el mercado, es decir, el precio esté entre el precio mínimo posible del vendedor (calidad igual a x) y el máximo posible del comprador (calidad igual a 1) Si por ejemplo, x=0,2 para valores de p entre 0,2 y 0,6 se irían retirando del mercado los coches de más calidad con lo que el precio disminuiría. Este proceso continuaría hasta que el precio fuera 0,6.

177



Ejercicio 5.2. Razonando sobre selección adversa En el año 2007 existía un conjunto de personas interesadas en hacer un master en finanzas. Estas personas estaban dispuestas a pagar una cantidad Q por un buen master que les permitiera encontrar un trabajo realmente bueno. Sin embargo, tan sólo estaban dispuestas a pagar una cantidad q por un master convencional, con Q>q. El coste para una institución por estudiante de un buen master es M y el coste de un master convencional es m. Pero los estudiantes no pueden distinguir el tipo de master antes de matricularse. ¿Podría la asimetría en la información generar algún problema en la situación que se expone a continuación? ¿Qué problema? ¿Por qué es un problema y en qué consiste este problema? ¿Cómo se podría evitar? SOLUCIÓN Problema de selección adversa: Las personas interesadas en hacer un master no pueden apreciar el tipo del master que se oferta antes de hacerlo. Hay asimetría de información porque aunque el estudiante no conoce el tipo del master, la institución sí lo conoce. Esta asimetría de información puede dar lugar a que no se realicen matriculaciones en los masters en situaciones en las que el estudiante estaría dispuesto a pagar por un buen master más de lo que la institución pide por ese master. Suponiendo que el precio mínimo de la institución es el coste M  Q>M El precio inicial que están dispuestos a pagar los estudiantes por un master, si son neutrales al riesgo estará basado en la calidad media que esperan obtener, es decir, si con probabilidad p el master es bueno y (1‐p) es convencional: 1

El problema es que ese precio puede ser menor que el precio mínimo que exigen las instituciones que, en este caso, suponemos que es su coste por estudiante en el buen master; es decir 1

Si esto ocurriera estos masters no se ofertarían y los estudiantes al observar que algunos masters son retirados, sabrían que son los buenos masters. Como consecuencia el precio que están dispuestos a pagar sería q. Este proceso implica que únicamente quedan los masters convencionales. En esta situación se dice que hay un proceso de selección adversa ya que son los masters convencionales los que permanecen en el mercado. Se podría evitar con la señalización, certificados de calidad del master, reputación de las instituciones,…

178


Ejercicio 5.3. Screening en Cruceros [Presentación] Una compañía marítima oferta en exclusiva un trayecto. Los potenciales clientes se segmentan según su poder adquisitivo en dos tipos: “n” viajeros de clase preferente y “m” viajeros de clase turista. Los clientes preferentes están dispuestos a pagar 3000€ por el crucero; los clientes turistas están dispuestos a pagar 1500€ por el mismo viaje. La función de costes de la empresa es siendo v el total de viajeros. a) Calcúlense los contratos óptimos en información simétrica. b) Calcúlense los contratos óptimos en información asimétrica. c) Supongamos ahora que el viajero de negocios puede aplazar su viaje con una probabilidad del 45% y que la probabilidad de que el turista aplace su viaje es 0, teniendo en cuenta que la línea aérea tiene un coste de cancelación de 150. ¿Qué ocurrirá? SOLUCIÓN a) Calcúlense los contratos óptimos en información simétrica. Si la empresa puede observar el tipo de cada viajero y es la única empresa que realiza ese viaje (lo oferta en exclusiva) cobrará 3000 a cada viajero preferente y 1500 a cada viajero turista b) Calcúlense los contratos óptimos en información asimétrica. Si la empresa no observa el tipo de cada viajero tendrá que cobrar lo mismo a todos los viajeros. Considera las siguientes alternativas:  

Vender el billete a 1500€; a todos los viajeros. Vender el billete a 3000€; sólo a los viajeros preferentes.

La empresa calcula el margen sobre los costes fijos y venderá a un precio de 1500 si 1500

1200

3000

1200

y a 3000 en caso contrario‐ Operando, obtenemos que venderá el billete a un precio igual a 1500 si m>5n y venderá a 3000 si m<5n. c) Supongamos ahora que el viajero preferente puede aplazar su viaje con una probabilidad del 25% y que la probabilidad de que el turista aplace su viaje es 0, teniendo en cuenta que la línea aérea tiene un coste de cancelación de 350. Ahora diremos que el viajero de negocios valora en 3000 el viaje en caso de que éste se realice pero su deseo de pago por un viaje no realizado es cero. Por otra parte, la empresa tiene un coste por billete cancelado igual a 350.

179



La línea aérea puede diseñar ofertas alternativas (screening), con distintas combinaciones de precios y posibilidad de reembolso, y dejar que cada viajero escoja aquella oferta que le interese. La línea aérea tratará de diseñar las alternativas de forma que los distintos tipos de viajero se separen por tipos (se autoseleccionen) y ella maximice sus beneficios. Bajo los datos de este ejercicio, la línea aérea se plantea ofrecer dos alternativas:  

Alternativa A.‐ Vender el billete a 1500 € sin posibilidad de reembolso Alternativa B‐. Vender el billete con posibilidad de reembolso. En este caso, la compañía debe buscar un precio de venta que maximice el beneficio pero que anime a los clientes preferentes a comprar el billete. Es decir, 1

0,25

1500 ⇒

2000

Por tanto, si la compañía aérea fija un precio, algo inferior a 2000, los viajeros preferentes optarán por seguir comprando el billete pues 1

0,25

1950

1462,5

1500

Por tanto, habrá separado por tipos y, además, no existe otro par de alternativas que aumente los beneficios de la empresa ya que no puede cobrar a los turistas más de lo que les cobra, y prefiere que los viajeros de negocios compren la alternativa B puesto que: 1

0,25 1950

1200

0,25

350

475

1500

1200

Y, además, cobra a los viajeros de negocios por la alternativa B lo máximo que les puede cobrar si desea evitar que compren la alternativa A.

180


5.2. Ejercicios propuestos Ejercicio 5.4. *The market for lemons [Presentación] Considérese que hay 100 personas que desean cada una vender un coche usado de una marca determinada y otras 100 que desean cada una comprar un coche usado de esa marca. Cada coche puede ser de calidad alta o baja (sólo hay dos tipos). Cada vendedor de un coche de calidad alta no está dispuesto a venderlo por menos de 8400 y cada vendedor de calidad baja no admite un precio menor de 5000. Por su parte, cada comprador no está dispuesto a pagar más de 9000 por un coche de elevada calidad ni más de 6000 por uno de baja calidad. Cada comprador tiene una estimación bastante precisa de los precios mínimos de venta de los vendedores y cada vendedor tiene una estimación bastante precisa de los precios máximos que están dispuestos a pagar los compradores. Cada vendedor conoce la calidad de su coche pero no conoce la calidad de los coches que ofrecen los demás vendedores. Los compradores no pueden apreciar la calidad de un coche antes de adquirirlo, es decir, hay información asimétrica entre vendedores y compradores. Además, tanto los compradores como los vendedores (según experiencias anteriores en otros mercados de coches usados) creen que hay una probabilidad s de que cada coche escogido al azar entre los que se venden sea de calidad alta. a) ¿Qué ocurrirá en este mercado suponiendo que s=0.5? b) Calcular la probabilidad para que el mercado funcione completamente

181



Ejercicio 5.5. *La educación como señal de calidad [Presentación] Consideremos que en el mercado laboral hay dos tipos de trabajadores cuyas funciones de productividad y costes educativos son las siguientes: √ ;

√ ;

;

Donde la productividad de cada tipo de trabajador está en función del nivel de educación. ¿Cuál será el equilibrio separador?

182


Ejercicio 5.6. *Información asimétrica y mercado de trabajo [Ejercicio Clase] Supongamos que un empresario (neutral ante el riesgo) quiere contratar a un trabajador, pero no conoce todas las características de dicho trabajador. Lo que desconoce es la productividad que el esfuerzo del trabajador tiene en el proceso de producción para el que desea contratarle. Sabe, sin embargo, que el trabajador es neutral ante el riesgo y que puede ser de dos tipos: :

/

/

La función de utilidad del trabajador es independiente de su tipo, siendo: ,

,

La probabilidad de que el trabajador sea de tipo A es q; y, por tanto, con probabilidad (1‐q) el trabajador será de tipo B. La utilidad de reserva de cada tipo de trabajador es diferente: UA =8, mientras que UM =0. a) Calcúlense los contratos óptimos en información simétrica (después de escribir el problema que resuelve el principal). ¿Qué ocurre si hay información asimétrica respecto del tipo del agente y se ofrecen los contratos hallados anteriormente? b) Escríbase el programa maximizador que debería resolver el principal en información asimétrica y resolverlo. ¿Cuáles son los contratos que el principal ofrece a los agentes? Coméntese el resultado.

183



Ejercicio 5.7. *Screening en compañía aérea Una línea aérea tiene dos tipos de clientes para un vuelo entre dos ciudades: viajeros de negocios y turistas. Hay n viajeros de negocios y m turistas. Cada viajero de negocios está dispuesto a pagar como máximo 1200 por viajar y cada turista 600 para realizar ese mismo viaje. El coste del viaje para la empresa es de 9000+400u; donde υ es el número total de viajeros a) Calcúlense los contratos óptimos en información simétrica. b) Calcúlense los contratos óptimos en información asimétrica. c) Supongamos ahora que el viajero de negocios puede aplazar su viaje con una probabilidad del 45% y que la probabilidad de que el turista aplace su viaje es 0, teniendo en cuenta que la línea aérea tiene un coste de cancelación de 150. ¿Qué ocurrirá?

184

Tema 6. Riesgo moral


189



6.1. Ejercicios resueltos Ejercicio 6.1. Incentivos al esfuerzo [Presentación] Consideremos que la utilidad del gerente depende del salario (w) y del esfuerzo (e), que puede ser alto (eA) o bajo (eb) ,

√

Por otra parte, la Utilidad de la alternativa U0 =8 y la desutilidad del esfuerzo alto es g(eA)=3 y la del esfuerzo bajo es g(eB)=1 a) Suponemos, en primer lugar, un entorno de información simétrica (esfuerzo es observable y salario fijo) los empresarios pagarán wA si quieren esfuerzo alto y wB si quieren bajo. Calcular la restricción de participación. b) Suponemos, ahora, un entorno de información asimétrica, donde los beneficios de la empresa pueden ser 2 ó 15 millones de €. Si el gerente hace esfuerzo alto la probabilidad de que los beneficios sean 2 es 0,4 y de que sean 15 es 0,6. En cambio, si hace esfuerzo bajo, las probabilidades son 0,8 y 0,2 respectivamente. Para inducir esfuerzo alto los propietarios ofrecen un salario vinculado a beneficios de w2 cuando los beneficios son 2 y w15 cuando los beneficios son 15, con w15 > w2. Calcular la restricción de incentivos. SOLUCIÓN a) Con información simétrica, calcular la restricción de participación Cuando el gerente hace el esfuerzo alto, la restricción de participación será 3

8 ⇒

121

Obviamente, el equilibrio relevante es el de igualdad, pues la desigualdad permite a los empresarios aumentar el beneficio disminuyendo el salario. Es decir 121 ⇔

11

Con lo que la utilidad del salario es tal que justo compensa al gerente por la pérdida de utilidad en la actividad alternativa (U0 = 8) y por la desutilidad de hacer esfuerzo alto. Análogamente para esfuerzos bajos, tenemos que 81 ⇔

9

b) Con información asimétrica, calcular la restricción de incentivos 0,4

0,6

3

0,8

0,2

1

Como la utilidad es separable esta restricción se cumplirá con igualdad en el contrato ofrecido por los propietarios si desean que el gerente haga esfuerzo alto

190


El salario esperado que habrá que pagar al gerente para que haga esfuerzo alto será mayor que el salario fijo del caso en el que el esfuerzo es observable porque ahora además de compensarle por la pérdida de utilidad de la actividad alternativa y del esfuerzo alto, hay que compensarle por el riesgo que tiene que asumir La no observabilidad del esfuerzo no modifica el coste de inducir eB pero aumenta el coste de inducir eA

191



6.2. Ejercicios propuestos

Ejercicio 6.2. *Incentivos al esfuerzo Consideremos una empresa que desea que sus trabajadores hagan un esfuerzo alto y tiene que decidir que salario w* pagarles para incentivarles a hacer esfuerzo alto. La capacidad de la empresa para comprobar el esfuerzo del trabajador es limitada: suponemos que la probabilidad de que un trabajador sea supervisado por la empresa es q con q < 1. Si la empresa descubre, mediante la supervisión, que un trabajador está haciendo esfuerzo bajo, le despide y el trabajador obtiene w0 en el periodo (w0 es el salario que consigue trabajando para otra empresa). La función de utilidad del trabajador, siendo w el salario del trabajador y g la desutilidad del trabajo, es √

192

MIAV13-LibroEjerciciosAlumno.pdf

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