Indicaciones Lee la sección “Números enteros”, de los contenidos de la unidad 2, además de revisar, el
documento de tesis de Héctor de Jesús Argueta, que puedes encontrar en:http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/Calculo1_2013_2/naturales_2.pdf 1.- ¿Qué conjuntos cumplen el principio del buen orden? Explica.
Los enteros positivos
Los enteros positivos cumplen el principio del buen orden ya que el principio del buen orden nos dice que un conjunto A tiene un elemento mínimo, si ℤ , 1, m=1, haciendo que funcione para el elemento k+1, donde k ϵℤ positivos, por lo que funcionara para todo el conjunto de los enteros positivos
Los racionales positivos.
El conjunto de los racionales positivos no cumple con el principio del buen orden, ya que al ser solo los racionales positivos, como el numero 0 no es positivo ni negativo, si no neutro, no se puede tomar como valor mínimo al número 0, si suponemos un número que sea el elemento mínimo como por ejemplo el 1, podremos ver que no puede ser 1 el elemento mínimo del conjunto de los racionales positivos, ya que existe un numero ̅ ̅ por lo 0.99 1, ̅0.99 0.989 que nunca podremos encontrar un numero mínimo que pueda llamarse como un elemento mínimo ya que este conjunto no tiene cota inferior.
2.- Con las definiciones de suma y producto de la plataforma, prueba las propiedades conmutativa y neutro aditivo, así como neutro multiplicativo y la distributiva del producto respecto a la suma (última propiedad). Definiremos al conjunto de los números enteros a partir de los números naturales:
Primeramente, Primeramente, observemos que sí k es es la solución de dos ecuaciones a = b + k y d+k=c, sumando ambas ecuaciones obtenemos a + d + k = b + k + c que implica a + d = b + c. c. La implicación inversa también también es cierta, con lo que se obtiene la siguiente equivalencia: a = b + x y c = d + x tienen x tienen la misma solución si y sólo si a + d = b + c. c. Ya que la ecuación a = b + x está determinada determinada por la pareja (a, b) se puede definir una relación de equivalencia equivalencia b)~(c,d) si sobre el conjunto de parejas (a, b), con a y b naturales, de la siguiente s iguiente manera: manera: (a, b)~(c,d) si y sólo si a + d = b + c. c. Con esta relación generamos el conjunto de ecuaciones con una misma solución. Usando estas ideas se da la definición formal de número entero:
Definiendo a la Suma + como:
[(a, b)] + [(m, n)] = [(a + n, b + m)] ⇛ Se puede probar la propiedad conmutativa Propiedad conmutativa
sea (a,b)~(b, a) con a y b naturales ⇛ decimos que
[(a, b)] + [(a, b)] = [(a + b, b + a)] ⇛ como (a, b )~(b, a ) ⇛ (a + b)~(b + a) ⇛ a+b=b+a
Propiedad del Neutro aditivo
Decimos que (a, 0)~(a, a)
[(a, 0 )] + [a, 0 ] = [a + 0, a + 0] ⇛ como (a, 0 )~(a, a ) ⇛ a + 0 = a
Definamos el producto de manera similar a la suma, sólo escribiremos la definición:
Propiedad del Neutro multiplicativo
Decimos que (a, 1)~(a, a)
⇛ por la definición del producto ⇛ [(a,1) ∙ (1,1)] = [(a,1) ∙ (1)] = [a ∙ 1,a] ⇛ ∙=
ley distributiva del producto respecto a la suma Decimos que (a, a)~(a(b + c) y (c, b)~(a(b + c))
[(a, a )] ∗ [b, c ] = ab + ac = como (a, a)~(a(b + c) y (c, b)~(a(b + c)) ⇛ (c, b)~(ab + ac)⇛ a(b + c) = ab + ac
