Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números. Actividad 2. Inducción, divisibilidad. Instrucciones: Realiza las demostraciones y los ejercicios, justificando cada uno de los pasos aplicados.
1) Demuestr Demuestra a por inducció inducción n la suma suma de Gauss Gauss
1 + 2 +3 + ⋯ + n =
n (n +1 ) 2
.
Paso 1: Primero se prueba ue la función se cumple para el primer n!mero natural " 1
P (1 ) =1=
1 ( 1+ 1) 2
=1
,
Paso #: si se cumple para P $1), entonces se debe de cumplir para %, lo ue se considera la &ipótesis. 1 + 2 + 3 + ⋯ +k =
k ( k + 1 ) Por &ipótesis de inducción suponemos ue es cierto.
2
Paso ': (&ora probamos para %1.
1
+ 2 + 3 …+ k + k + 1=
(
k + 1 ( k + 1 ) + 1 2
) ( k + 1 )( k + 2 ) =
y esto es lo ue ueremos
2
demostrar a tra*+s de la &ipótesis.
k ( k + 1 ) 2
+ ( k + 1 ) , factori factorizamo zamoss , y el denomin denominador ador comun comun seria seria
ediante asociati*idad
k ( ( k + 1 )+ 2 ( k + 1 )
( k +1 ) ( k + 1 )( k +2 ) (k + 1)( k + 2) = 2
2
2
por lo ue se demuestra.
Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números.
#) Demostrar por inducción ue 13 23 33 ! n3 " #1 2 3 !n$ 2. Paso 1: Primero *erificamos para ue se cumple para n"1 1 + 2 +3 +…+ n ¿ 3
1
2
+ 23+ 33+ ⋯+ n3=¿
Paso #: si se cumple para n"1, entonces se cumple para n"%. 2
+ 2 + 3 + …+ k ¿ 1 + 2 + 3 + ⋯+ k =¿ 1
3
3
3
3
Paso ': si % es *-lido entonces se asume ue %1, tambi+n lo sea.
+( k + 1 ) 1 + 2 + 3 + … + k ¿ ¿ 3 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + ⋯+ k +( k + 1 ) =¿
ote ue por demostración anterior tenemos ue: 1 + 2 + 3 +⋯ +n =
n (n + 1 ) 2
%or lo &ue si n"1 entonces
Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números. n +1 n (¿) 1+ 1 1 (¿) 1 (2 )
2 2
¿ ¿2=12=1 =13 (¿ 2 ¿)2=¿ ¿ 2 ¿ ( ¿ ) =¿ 2 ¿ 2 ¿ ( ¿ ) =¿ 2 ¿ ¿
Por lo ue es *-lido para 1.
k + 1 k (¿) 3 k + 1 ¿
¿ ) 2
(¿
2
+¿
¿ 3 3 1 + 2 + 3 + ⋯+ k +( k + 1 ) =¿ 3
3
3
/peramos del lado derec&o de la i0ualdad para lle0ar al paso de inducción.
Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números. k + 1 k (¿)
k + 1 ¿
2
¿ 3 k + 1 ¿ ¿ 2 2 ¿ 2 k ¿ 3 k + 1 ¿ =¿ ¿ 2 ( ¿ ) +¿ 2 ¿ ¿ 3
k + 1 ¿
¿ 3 k + 1 ¿ ¿ 3 k + 1 ¿ ¿ 2 2 k + 1 ¿ k + 4 ¿ ¿ 2 k + 1 ¿ + 4 ¿ 2 k ¿ 2 2 k + 1 ¿ + 2 ¿ 2 k ¿ ..=¿ 2
k + 4 ( k +1)
¿ 2 k + 1 ¿ ( k + 4 k + 4 ) ¿ 2 k + 2 ¿ ¿ 2 k + 1 ¿ ¿ ¿ ¿ 2 k + 1 ¿ ¿ ¿ ..=¿ 2
Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números. k +( k + 1 )
..=
[ ( n +1 ) ( n + 2 ) ] 2
2
2
¿ ¿ ¿
[
=
( n + 1 ) ( n + 2 ) 2
2
] =¿
ue es justamente lo ue se uer2a demostrar.
1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n− 1 ) = n
2
') Demuestra por inducción
.
Paso 1: Probamos para n" 1, entonces 1"1 # Paso #: si funciona para n"1, entonces funciona para n"%. 1#'..$#%31)"% # Paso ': (&ora probamos con %1. 1#'.. $#%31)$#$%1)31)"$%1) # (&ora sabemos por &ipótesis ue $#%31)"% # , por lo tanto. 4#$#$%1)31)"%#$#%1) 4#$#%#31)"%#$#%1) 4#$#%1)"%#$#%1)
5) Demuestra ue para todo natural
n ,
5
n −n
es di*isible por 6.
Paso 1: Probamos para n"1 5
5/ 1
−1= 0, por loque se comprueba para n =1
Paso #: 7i funciona para n"1, entonces funciona para n"%. 5
5 / k − k . ( hipotesis que consideramos verdadera)
Paso ': 8ormar la tesis. Donde n"%1.
Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números. k + 1 ¿ − ( k + 1 ) 5
5 /¿
( k + 1 )5− ( k −1 ) =k 5 + 5 k 4+ 10 k 2 + 5 k + 1− n−1= …
o tese ue 5
4
3
2
5
3
2
… =k − k + 5 k + 10 k + 10 k + 5 k = k − k + 5 k ( k + 2 k + 2 k + 1 ) … 5
k ∈ N , k ( k + 2 k + 2 k + 1 ) ∈ N , si hacemos k ( k + 2 k + 2 k + 1 )= m 3
(dem-s como
5
5 / k −k . entomces ∃ k ∈ N ,talque k −k =5 ∙ k
9a por suposición tenemos ue
endremos entonces
2
3
2
( k + 1 )5− ( k −1 ) =5 k + 5 m=5 ( k + m ) ,donde ( k + m) ∈ N
;ntonces por definición de di*isibilidad 6 <
6) Demuestra ue para todo n!mero natural
( k +1 )5−( k −1)
n ,
2n
2
−1
es di*isible por '.
Paso 1: Probamos para n"1 2 ∙1
2
−1= 3, que esdivisible por 3.
Paso #: =ipótesis de inducción, si n"1 es cierto. ;ntonces n"% es cierto. 2 k
2
−1=3 m,dondem ∈ N .
Paso ': Paso inducti*o. (sumimos ue si % es *erdadero, entonces %"%1, tambi+n lo es. 2 k + 1
2
−1 =22 k ∙ 2−1.
Por &ipótesis sabemos ue
2 k
2
−1=3 m
2 k
2
=3 m + 1
Por lo tanto 6 m+ 1
( 3 m+ 1 ) ∙ 2−1=( 6 m+ 2 ) −1=6 m + 2−1
Introducción al álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números. ótese ue en ambos lados de la i0ualdad es di*isible por '.
>) Determina la factorización en n!meros primos de '>?. 360
Para factorizar '>? en n!meros primos, se tiene ue di*idir
{ 2,3,5,7,9 … . (2 n −1) }
3
360=2 ∙ 5 ∙ 9
@) ;ncuentra todos los di*isores de '>?. Aos n!meros di*isores de '>?, fueron determinados por la re0las de di*isibilidad y son los si0uientes son: B1,#,',5,6,>,C,,1?,1#,16,1C,#?,#5,'?,'>,5?,56,>?,@#,?,1#?,1C? y '>?.E C) ;ncuentra el m-Fimo com!n di*isor de 56? y 6#?. ;l m-Fimo com!n di*isor de 56? y 6#? es el 6.
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