Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
En cuanto a la evidencia de aprendizaje de la unidad 1, se les plantean dos opciones: 1. Recopilar los ejercicios realizados durante la unidad, y plasmarlos en la evidencia ya corregidos (en el caso de quienes no sacaron MB e n cada uno de ellos o los entregaron incompletos o bien, 2. Entregar el exámen de autoevaluación correspondiente a la un idad 1 ya corregido (sin ningún error) y desarrollado.
Actividad 2. Operaciones de conjuntos
Al finalizar finalizar esta actividad actividad podrás podrás resolver problemas problemas utilizando utilizando las las operaciones operaciones de conjuntos: intersección, unión, complemento, diferencia y diferencia simétrica. Con base en ello, realiza lo siguiente: 1. Si A y B son conjuntos, analiza cada analiza cada una de las siguientes definiciones: I. Definimos la intersección intersecci ón de A y B como { + y lo denotamos: . También es equivalente definirlo como:
* + II.
Definimos la diferencia de A y B como * ⁄ + y lo denotamos: . Si A se considera como un conjunto universo, entonces se denota como Efectivamente por medio de la definición de complemento de A * + + Ahora el complemento de b será el U=A y no debe pertenecer a B es decir: * + +
III.
Definimos la unión de A y B como * ⁄ Efectivamente es así la definición
+ y lo denotamos: .
*⁄ + , * + , * * ⁄ + , * ⁄ +. Resuelve los siguientes
2. Si
ejercicios: Definiendo por extensión a los conjuntos U,B y C para realizar las operaciones entre conjuntos
* + * + * + a. Calcula:
* + * ++ * + * + * + * + * ++ * + * + * + * + * + La diferencia de conjuntos es retirar de un conjunto (minuendo) los elementos de otro (sustraendo) si es que están presentes en el conjunto minuendo. De tal forma que
* + * + * +
Consta de los elementos en U que no están en A * + Ciencias Exactas, Ingeniería Ingenieríass y Tecnología | Matemáticas
1
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Consta de los elementos en U que no están en B * + . * + * + * + b.Si * ++, calcula , el resultado de esta operación es un conjunto muy importante y lo denotaremos con el símbolo: . En efecto:
* + * + c.Calcula * + * + * + * ++ * ++ * + * +
* + * + * + *+ * + * + * + * + d. Investiga y establece las Leyes de De Morgan. Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos: Primera ley. ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.. complementos
En el diagrama de la izquierda, A UB viene dada por la región en blanco y A U B está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la
es la región sombreada horizontalmente, es el área sombreada verticalmente, por lo que ' está representado por la superficie cuadriculada. Las derecha,
regiones resultantes son iguales
Segunda ley. ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:
En el diagrama de la izquierda,
A B está dada por la región sombreada horizontalmente y
A B ' está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte, en el
diagrama de la derecha, es la región sombreada horizontalmente,
es el área
sombreada verticalmente, por lo que U está representado por la superficie que no es blanca. Las regiones resultantes son iguales. Ejemplo. Dados los siguientes conjuntos:
U
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
A
1,3,4,7,9, 11
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 1,2,5,7, 9,11,12
B
Comprobar las leyes de D’Morgan: Solución.
AUB
A
1,2,3,4,5,7,9,11,12
B
1,7,9,11 2,5,6,8,10,12
3,4,6,8,10
A U B
Como 1
A B
U
6,8,10 6,8,10 2
_ _
1 2
2,3,4,5,6,8,10,12 2,3,4,5,6,8,10,12
Como 3
A U B
4
A B
_
_
3
4
U
3.Resuelve los siguientes problemas: a. En una fiesta 34 personas comieron mole(N(M)), 28 comieron barbacoa(N(B)), 27 comieron carnitas(N(C)), 16 comieron mole y carnitas , 14 comieron mole y barbacoa , 12 comieron barbacoa y carnitas y 7 comieron mole, barbacoa y carnitas , si todas las personas comieron al menos uno de los alimentos. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? Datos
Resolución Usemos la propiedad
Sustituyendo en este caso
54 personas asistieron a la fiesta Realizando los diagramas de Venn y considerando los números dentro de estos diagramas que son: Las personas que comen mole y carnitas
Las personas que comen mole y barbacoa:
Las personas que comieron barbacoa y carnitas
Las personas que solo comen mole
Las personas que solo comen barbacoa
Las personas que solo comen carnitas
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
11
7
M
B
9
7 7
C
5
8
b. En una evaluación en una escuela de matemáticas aplicada a 100 estudiantes(N(U)), 75 aprobaron Cálculo diferencial(N(C)) y 60 aprobaron Geometría analítica(N(G)), si 40 aprobaron los dos exámenes(N(CG)¿Cuántos estudiantes no aprobaron ningún examen? Datos
Resolución Necesitamos encontrar el número de estudiantes que no aprobaron ningún examen Se encentra por la propiedad Sustituimos de acuerdo al problema
Entonces hay que encontrar con la propiedad Para finalizar
Por tanto 5 estudiantes no aprobaron ningún examen c. Denotamos la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B como , expresa la solución del problema anterior utilizando la diferencia simétrica. Definiendo la diferencia simétrica
Ahora definiendo la cardinalidad de diferencia simétrica que consiste la diferencia de conjuntos que es retirar de un conjunto (minuendo) los elementos de otro (sustraendo) si es que están presentes en el conjunto minuendo. y del complemento de su unión entonces de tal forma que queda: . Si entonces queda:
Luego definiendo
Queda entonces
( ) Entonces sustituyendo del problema anterior queda:
( ) ( ) Luego queda Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 4
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Por tanto queda
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Actividad 3. Relaciones y funciones
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1) Una pareja ordenada cumple la siguiente propiedad si y sólo si y cartesiano de dos conjuntos y como * ⁄ +. Resuelve lo siguiente: a) Si * + *+ *+ * + Calcula
, definimos el producto
*+ *+ * + *+ *+ * + *+ *+ *+ * + *+ *+ * + *+ *+ *+ *+ *+ * + *+ *+ *+ *+ *+ * +
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de , el dominio de R se define como el subconjunto * ⁄ + y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: * ⁄ + Como notación se suele escribir . Si A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios: a) Sea D la relación definida sobre el conjunto *+ como si divide a . Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D. Como si se define de esta manera queda
Se obtiene la relación D que es
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ *+ Para buscar su imagen hacemos un diagrama de Venn y queda entonces
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1) Una pareja ordenada cumple la siguiente propiedad si y sólo si y cartesiano de dos conjuntos y como * ⁄ +. Resuelve lo siguiente: a) Si * + *+ *+ * + Calcula
, definimos el producto
*+ *+ * + *+ *+ * + *+ *+ *+ * + *+ *+ * + *+ *+ *+ *+ *+ * + *+ *+ *+ *+ *+ * +
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de , el dominio de R se define como el subconjunto * ⁄ + y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: * ⁄ + Como notación se suele escribir . Si A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios: a) Sea D la relación definida sobre el conjunto *+ como si divide a . Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D. Como si se define de esta manera queda
Se obtiene la relación D que es
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ *+ Para buscar su imagen hacemos un diagrama de Venn y queda entonces
*+ b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como si y dejan el mismo residuo cuando se dividen entre . Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación. Sea el conjunto de los números enteros
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE *+ que son 3 y son: ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- ,- * +
Considerando las clases de equivalencia que se define como
La relación se define como tiene el mismo residuo al dividir entre 3 y es:
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ *+ Explicando ahora la clase de equivalencia respectivamente a los residuos de la división antes de buscar la imagen Definimos la relación si a y b dejan el mismo residuo al dividirse entre 3, así a) Los que dejan residuo cero
b) Los que dejan residuo uno
c) Los que dejan residuo dos
Su correspondencia el conjunto de números enteros como si a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen entre3. entonces si representamos su imagen por medio de Diagramas de Euler queda
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de , el dominio de R se define como el subconjunto * ⁄ + y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: * ⁄ + Como notación se suele escribir . Si A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios: a) Sea D la relación definida sobre el conjunto *+ como si divide a . Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D. Como si se define de esta manera queda
Se obtiene la relación D que es
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ *+ Para buscar su imagen hacemos un diagrama de Venn y queda entonces
*+ b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como si y dejan el mismo residuo cuando se dividen entre . Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación. Sea el conjunto de los números enteros
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE *+ que son 3 y son: ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- ,- * +
Considerando las clases de equivalencia que se define como
La relación se define como tiene el mismo residuo al dividir entre 3 y es:
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ *+ Explicando ahora la clase de equivalencia respectivamente a los residuos de la división antes de buscar la imagen Definimos la relación si a y b dejan el mismo residuo al dividirse entre 3, así a) Los que dejan residuo cero
b) Los que dejan residuo uno
c) Los que dejan residuo dos
Su correspondencia el conjunto de números enteros como si a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen entre3. entonces si representamos su imagen por medio de Diagramas de Euler queda
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Su imagen es:
*+ 3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si , se dice que es simétrica si dice que es transitiva si . Contesta lo siguiente: a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas. 1) Reflexiva
, se
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE *+ que son 3 y son: ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- ,- * +
Considerando las clases de equivalencia que se define como
La relación se define como tiene el mismo residuo al dividir entre 3 y es:
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ *+ Explicando ahora la clase de equivalencia respectivamente a los residuos de la división antes de buscar la imagen Definimos la relación si a y b dejan el mismo residuo al dividirse entre 3, así a) Los que dejan residuo cero
b) Los que dejan residuo uno
c) Los que dejan residuo dos
Su correspondencia el conjunto de números enteros como si a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen entre3. entonces si representamos su imagen por medio de Diagramas de Euler queda
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
Su imagen es:
*+ 3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si , se dice que es simétrica si dice que es transitiva si . Contesta lo siguiente: a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas. 1) Reflexiva
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2) Simétrica
, se
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Su imagen es:
*+ 3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si , se dice que es simétrica si dice que es transitiva si . Contesta lo siguiente: a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas. 1) Reflexiva
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
2) Simétrica
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
3) Transitiva
, se
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2) Simétrica
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3) Transitiva
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
3) Transitiva
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 2)
3)
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 13
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 2)
3)
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
4) Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente: y se denota como , el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: . a) Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen:
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3)
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4) Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente: y se denota como , el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: . a) Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: i) * ⁄ + No es una función pues para una x el valor de y no es único pues √
( √ )√ están en la relación * ⁄ +
Porque ambos puntos ii)
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis * + y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los Es una función a razón de que
cuadrados perfectos iii) * ⁄ + Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales y su imagen por lo tanto es todo número natural. b) Si *+ y *+, lista cuatro funciones de en . Las cuatro funciones son las siguientes
* + Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: * +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
*+ *+
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4) Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente: y se denota como , el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: . a) Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: i) * ⁄ + No es una función pues para una x el valor de y no es único pues √
( √ )√ están en la relación * ⁄ +
Porque ambos puntos ii)
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis * + y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los Es una función a razón de que
cuadrados perfectos iii) * ⁄ + Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales y su imagen por lo tanto es todo número natural. b) Si *+ y *+, lista cuatro funciones de en . Las cuatro funciones son las siguientes
* + Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: * +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
*+ *+
5) Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad entre funciones.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis * + y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los Es una función a razón de que
cuadrados perfectos iii) * ⁄ + Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales y su imagen por lo tanto es todo número natural. b) Si *+ y *+, lista cuatro funciones de en . Las cuatro funciones son las siguientes
* + Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: *+ *+
* +
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
*+ *+
* +
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
*+ *+
* +
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
*+ *+
5) Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad entre funciones.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) . No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva
2) No es suprayectiva
Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento. ii) . No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva 2) No es suprayectiva
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) . No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva
2) No es suprayectiva
Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento. ii) . No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva 2) No es suprayectiva
√ Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero iii)
.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Evidentemente es biyectiva a razón de que
Y además también
es imagen de
A razón de que si iv) . Es biyectiva a razón de que a) Es inyectiva
b) Es suprayectiva
c) Si existe una función biyectiva de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa como , tal que , da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
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a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) . No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva
2) No es suprayectiva
Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento. ii) . No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva 2) No es suprayectiva
√ Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero iii)
.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Evidentemente es biyectiva a razón de que
Y además también
es imagen de
A razón de que si iv) . Es biyectiva a razón de que a) Es inyectiva
b) Es suprayectiva
c) Si existe una función biyectiva de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa como , tal que , da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE d) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto *+ . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. i) Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío: (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.) ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita
J
x| x es el número de un día del mes de ju ni o
K
x|
L
x| x es la canti dad de autos en l a ci udad de M é xi co
4
iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.
N
1,3,5,7,9,11,
M
2,4,6,8,10,12,
Q
x| x es la canti dad de puntos en un a línea iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.
* + * + e) Se define la composición de dos funciones y como la función definida como *⁄ +, se denota como y . i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo.
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Evidentemente es biyectiva a razón de que
Y además también
es imagen de
A razón de que si iv) . Es biyectiva a razón de que a) Es inyectiva
b) Es suprayectiva
c) Si existe una función biyectiva de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa como , tal que , da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE d) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto *+ . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. i) Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío: (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.) ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita
J
x| x es el número de un día del mes de ju ni o
K
x|
L
x| x es la canti dad de autos en l a ci udad de M é xi co
4
iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.
N
1,3,5,7,9,11,
M
2,4,6,8,10,12,
Q
x| x es la canti dad de puntos en un a línea iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.
* + * + e) Se define la composición de dos funciones y como la función definida como *⁄ +, se denota como y . i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo. Si y si Por demostrar es inyectiva entonces
( ) ( ) Por lo tanto g y f inyectivas ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas ? Prueba o da contraejempl o.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Si y si Por demostrar entonces por medio de la deifiniciones mencionadas queda
Por realizando operaciones correspondientes
( ) Por lo tanto y finalmente es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. Sean biyectivas entonces se dividen en dos casos: Caso 1 SI son inyectivas es inyectiva como se demostró en i) Caso 2 Si son sobreyectivas es sobreyectiva como se demostró en ii) Por lo tanto es biyectiva
Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE d) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto *+ . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. i) Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío: (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.) ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita
J
x| x es el número de un día del mes de ju ni o
K
x|
L
x| x es la canti dad de autos en l a ci udad de M é xi co
4
iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.
N
1,3,5,7,9,11,
M
2,4,6,8,10,12,
Q
x| x es la canti dad de puntos en un a línea iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.
* + * + e) Se define la composición de dos funciones y como la función definida como *⁄ +, se denota como y . i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo. Si y si Por demostrar es inyectiva entonces
( ) ( ) Por lo tanto g y f inyectivas ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas ? Prueba o da contraejempl o.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Si y si Por demostrar entonces por medio de la deifiniciones mencionadas queda
Por realizando operaciones correspondientes
( ) Por lo tanto y finalmente es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. Sean biyectivas entonces se dividen en dos casos: Caso 1 SI son inyectivas es inyectiva como se demostró en i) Caso 2 Si son sobreyectivas es sobreyectiva como se demostró en ii) Por lo tanto es biyectiva
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
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Por realizando operaciones correspondientes
( ) Por lo tanto y finalmente es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. Sean biyectivas entonces se dividen en dos casos: Caso 1 SI son inyectivas es inyectiva como se demostró en i) Caso 2 Si son sobreyectivas es sobreyectiva como se demostró en ii) Por lo tanto es biyectiva
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