Introducción al álgebra superior Unidad 1.Conjuntos, relaciones y funciones
Actividad 3. Relaciones y funciones Al finalizar finalizar esta actividad actividad podrás podrás plantear plantear y resolver resolver problemas problemas y ejercicios ejercicios sobre relaciones relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1) Una Una parej pareja a orden ordenada ada si
a =c y
(a , b )
cumple la siguiente propiedad
( a , b )=(c , d )
b =d , definimos el producto cartesiano de dos conjuntos
si y sólo
A y
B
como A × B={( a , b )/ a ∈ A y b ∈ B } . Resuelve lo Resuelve lo siguiente: a) i
A = {a , b , d , e , f } } , B={ 1,2,3,4,5 } , C = {3,7,9 }, D={ a , e , i }
calcula
A × B , B × A , A × ∅ , A × A , B × B , ( A ∪ D ) × B , A ×( B ∪ C )
{
A × B= ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( a , 3 ) , ( a , 4 ) , ( a , 5 ) , ( b , 1 ) , ( b , 2 ) , ( b , 3 ) , ( b , 4 ) , ( b , 5 ) , ( d , 1 ) , ( d , 2 ) , ( d , ( d , 4 ) , ( d , 5 ) , ( e , 1 ) , ( e , 2 ) , ( e , 3 ) , ( e , 4 ) , ( e , 5 ) , ( f , 1 ) , ( f , 2 ) , ( f , 3 ) , ( f , 4 ) , (f , 5 )
B × A=
{
( 1, a ) , (1, b ) , ( 1, d ) , ( 1, e ) , ( 1, f ) ) , (2, a ) , ( 2, b ) , ( 2, d ) , ( 2, e , ) , (2, f ) ) , ( 3, a ) , (3, b ) ( 3, d ) , ( 3, e ) , ( 3, f ) ) , ( 4, a ) , ( 4, b ) , ( 4, d ) , ( 4, e ) , ( 4, f ) ) , (5, a ) , ( 5, b ) , (5, d ) , ( 5, e ) , (5, f ) )
}
A × ∅= { a , b , c , d , e , f } }
{
( a , a ) , ( a , b ) , ( a , d ) , ( a , e ) , ( a , f ) ) , ( b , a ) , ( b , b ) , ( b , d ) , ( b , e ) , ( b , f ) ) , ( d , a ) , ( d , b ) , A × A = ( d , d ) , ( d , e ) , ( d , f ) ) , ( e , a ) , ( e , b ) , ( e , d ) , ( e , e ) , ( e , f ) ) , ( f , a ) , ( f , b ) , ( f , d ) , ( f , e ) , ( f , f ) )
{
B × B = (1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 3,3 ) ( 3,4 ) , ( 3,5 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) , ( 4,5 ) , ( 5,1 ) , ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , ( 5,5)
{
}
}
( a ,1) , ( a , 2) , ( a , 3) , ( a , 4 ) , ( a , 5) , ( b ,1) , ( b , 2) ,( b , 3 ) , ( b , 4 ) ,( b , 5) , ( d , 1 ( A ∪ D ) × B = ( d , 2 ) , ( d , 3 ) , ( d , 4 ) , ( d , 5 ) , ( e , 1 ) , ( e , 2 ) , ( e , 3 ) , ( e , 4 ) , ( e , 5 ) , ( f , 1 ) , ( f , 2 ) , ( f , 3 ( f , 5 ) , ( i , 1 ) , ( 1,2 ) , (i , 3 ) , ( i , 4 ) , (i , 5 )
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Introducción al álgebra superior Unidad 1.Conjuntos, relaciones y funciones
{
( a , 1) , ( a , 2) ,( a ,3 ) , ( a , 4 ) ,( a , 5 ) , ( a , 7) , ( a , 9) ,( b , 1) , ( b , 2) , ( b , 3) , ( b , 4 ) , ( b , ( ) A × B ∪ C = ( b , 9 ) , ( d , 1 ) , ( d , 2 ) , ( d , 3 ) , ( d , 4 ) , ( d , 5 ) , ( d , 7 ) , ( d , 9 ) , ( e , 1 ) , ( e , 2 ) , ( e , 3 ) , ( e , ( e , 7 ) ,( e , 9) ,( f ,1 ) , ( f , 2) , ( f , 3) ,( f , 4 ) , ( f , 5 ) , ( f , 7) , ( f , 9)
!) ean A y conjuntos de una relación R de A en !ue se define como cual"uier subconjunto de
A × B , el dominio de R se define como el subconjunto
{ x ∈ A / ∃ y ∈ B,talque ( x , y ) ∈ R }
y al conjunto se le llama el contradominio de la
relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de "ue satisface:
{b ∈ B /∃ a ∈ A , tal que ( a , b )∈ R }
#omo notación se suele escribir
( a , b ) ∈ R , a R b
i A", decimos "ue R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios: a) ea # la relación definida sobre el conjunto
( a , b ) ∈ D
si
a divide a
N = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } como
b . $scribe e%pl&citamente los miembros de #, as&
como el dominio, contradominio e imagen de #.
{
D= ( 2,4 ) , ( 2,6 ) , ( 2,8 ) , ( 2,10 ) , ( 2,12 ) , ( 3,6 ) , ( 3,9 ) , (3,12 ) , ( 4,8 ) , ( 4,12 ) , ( 5,10 ) ,
(6,12 )
}
Dom= {2,3,4,5,6 }
ℑ={ 4,6,8,10,12,9 } Contradominio= N
b) 'efinimos R sobre el conjunto de n(meros enteros como dejan el mismo residuo cuando se dividen entre
3
( a , b ) ∈ R
si
a y
. 'escribe el dominio,
contradominio e imagen de esta relación.
) Una relación R sobre A se dice "ue es refle%iva si sim*trica si
( a , b ) ∈ R ⟹ ( b , a ) ∈ R
a R a ∀ a ∈ A , se dice "ue es
, se dice "ue es transitiva si
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b
.
Introducción al álgebra superior Unidad 1.Conjuntos, relaciones y funciones ( a , b ) y ( b , c ) ∈ R ⟹ ( a , c ) ∈ R
.Contesta lo siguiente:
a) #alifica a las relaciones definidas en +) como refle%ivas, sim*tricas o transitivas. La relación D no es simetrica, pero si es transitiva y reflexiva
b) Una relación sobre un conjunto A se dice "ue es de e"uivalencia si cumple con ser refle%iva, sim*trica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de e"uivalencia. 1.−Consideremos el conjunto A de los triangulos en el planoeuclidiano y sea R una
relacion en A × A definida por« x es semejante a y » !sta relaciones deequi"alencia 2.− #a relacion de igualdad es de equi"alencia 3.− $ea %un planoeuclidiano y sea el conjunto $ delas rectasde % #arelaci&nde paral
tambienes unarelaci&n de equi"alencia +) Una función f de A en , es una relación de A en "ue cumple losiguiente:
si ( a , b ) , ( a , c ) ∈ f entoncesb =c y se denota como
f ( a )=b , el dominio, el
contradominio y la imagen de f se definen igual "ue para una relación. ambi*n se usa la notación:
f : A ' B .
a) 'etermina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen:
x , y
¿ ¿ ¿ ¿
i)
ii)
No es función
{ ( x , y ) / x , y ∈ ( , x = y } 2
Si, su imagen es el conjunto de los números
enteros positivos iii) { x , y / x , y ∈ N , y =3 x } i b) i
A ={1,2,3,4,5 } y
B ={ a , b , c , d } , lista cuatro funciones de
f ( 1 )= a f ( 2 )= b f ( 3 ) = c f ( 4 )= d
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A en
B .
Introducción al álgebra superior Unidad 1.Conjuntos, relaciones y funciones -) Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividady biyectividad entre funciones. a) 'etermina si las siguientes funciones son biyectivas i)
f : ('( ,f ( ) )=3 ) . nyectiva
ii)
f : ( ' ( , f ( ) )= )
iii)
f : * ' * , f ( q )=3 q −1 . /iyectiva
iv)
f : R ' R , f ( x )=3 x + 1 . /iyectiva
2
. nyectiva
b) i e%iste una función biyectiva f : A ' B , de un conjunto A en un conjunto podemos definir la función inversa
g : B ' A , como
g ( b )= a , tal "ue
B
f ( a )=b
, da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas. −1
3
1.− $eaf : R ⟶ R definida por f ( x ) = x , suin"ersa es f ( x )
3 =√ x
2.− #a funcionidentica + : A ⟶ A es unabiyeccion 3.−¿
c) e dice "ue un conjunto A tiene cardinalidad finita biyectiva entre A y el conjunto
{1,2,3, , n }
n si e%iste una función
. i un conjunto no tiene cardinalidad
finita se dice "ue es infinito. i) 'a una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. ii) 'a tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita iii) 'a tres ejemplos de cardinalidad infinita. iv) 'a dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita. d) e define la composición de dos funciones función
- : A 'C , definida como
se denota como i)
g ∘ f : A ' C y
f : A ' B y
g : B ' C , como la
{(a , c )/ existe b ∈ B tal que f ( a )=b y g ( b )= c }
( g ∘ f ) ( a )= g ( f ( a ) )=c
.
$s inyectiva la composición de dos funciones inyectivas2 3rueba o da contraejemplo.
#o quetenemosque demostrar es quesi ( g ∘ f ) ( a )=( g ∘ f ) ( b ) entonces a = b Demostraci&n : $ea ( g ∘ f ) ( a )= ( g ∘ f ) ( b )
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,
Introducción al álgebra superior Unidad 1.Conjuntos, relaciones y funciones !ntonces, g ( f ( a ) )=( g ∘ f ) ( a )=( g ∘ f ) ( b ) =g ( f ( b ) ) Como g esinyecti"a , f ( a )= f ( b ) y como f tambi.nes inyecti"a , a= b %or lo tanto g ∘ f esinyecti"a /
ii) $s sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas2 3rueba o da contraejemplo.
0enemosque mostrar que para todo c ∈ C , c esimagen de almenosun elementode A
Demostraci&n : $ea c ∈ C
Como g es sobreyecti"a sabemosque ∃ b ∈ Btalqueg ( b )= c Como tambi.n f essobreyecti"a , setiene que ∃ a ∈ A tal que f ( a ) =b %ero ( g ∘ f ) ( a )= g ( f ( a ) )= g ( b )= c !ntonces paratodo c ∈ C , existe al menosunelementoa ∈ A tal que ( g ∘ f ) ( a )=c %or lotanto g ∘ f es sobreyecti"a /
iii) $s biyectiva la composición de dos funciones biyectivas2 3rueba o da contraejemplo.
Por los ejercicios anteriores sabemos que si las dos funciones son inyectivas, la composición También l es !dem"s si las funciones son suprayectivas, la composición también ser" suprayectiva e) #uando concluyas los ejercicios guárdalos en un arc4ivo .doc con el nombre 5A6U16A67789 y env$alo a tu acilitador;a) para "ue te retroalimente.
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