Título Subtítulo Evidencia de aprendizaje. Problemario I. Resuelve los siguientes ejercicios y justifica tu respuesta.
1. La longitud del rectángulo ABCD es 8 u y su anchura 3 u. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF?
Construcción auxiliar.
̅ y ̅ , que intersequen a los puntos
Se trazan perpendiculares a los segmentos
Afirmaciones.
Razones
̅ = ̅ + ̅ = 8 + 3 = 16 + 9 = 25 ̅ = √ 25 = 5 2) ̅ ̅ ̅ ̅ = = = = 3) ̅ ̅ ̅ ̅ = = = = 4) = 1
Teorema de Pitágoras.
1)
5)
̅ = ̅ =1
E
y F .
̅ de 1). Despejando Por trisección. Por trisección. Teorema 4.6. Si un conjunto de rectas paralelas corta a dos rectas transversales, entonces dividen a ambas rectas en partes proporcionales Por que son lados iguales y paralelos del
Título Subtítulo
rectángulo EQHB. El segmento ̅ representa la altura del triángulo ∆ AEB
̅ )( ̅ ) ( )() ∆ = ( = = = 4 ̅ ̅ ̅ ̅ = = = = 7) 6)
8)
̅ = ̅ =
Área del triángulo ∆ AEB. Por trisección. Teorema 4.6. Si un conjunto de rectas paralelas corta a dos rectas transversales, entonces dividen a ambas rectas en partes proporcionales. Por que son lados iguales y paralelos del rectángulo FJTB. El segmento ̅ representa la altura del triángulo ∆ BCF .
̅ )( ̅ ) () ( 9) ∆ = = = = 4 ̅ )( ̅ ) ( )() ( 10) ∆ = = = = 12
Área del triángulo ∆ BCF .
11)
Construcción.
∆ = ∆ + ∆ + ∆ 12) 12 = 4 + ∆ + 4 13)
∆ = 12 4 4 = 4
Área del triángulo ∆ ABC .
Sustituyendo los valores obtenidos para las áreas de los triángulos ∆ ABC , ∆ AEB y ∆ . Despejando a ∆ BEF para conocer el valor de su área.
2. En el rectángulo ABCD de la figura, AB = 4 y BC = 5. F es punto medio de AB y E es punto medio de BC. Calcular el área del cuadrilátero ECD.
Título Subtítulo Construcción auxiliar.
Sobre el rectángulo ABCD se trazan dos paralelas al lado ̅ que pasen por el punto G, éstas ̅ en los puntos N y H , con esto quedan formados los segmentos paralelas intersecan al lado ̅ = y ̅ = . El segmento x corresponde a la altura del triángulo ∆ ADG, mientras que el segmento y corresponde a la altura del triángulo ∆ ABE . El área del cuadrilatero ECDG es igual al área del rectángulo ABCD menos el área de los triángulos ∆ ABE y ∆ AGD.
Afirmaciones.
Razones.
= ()() = (4)(5) = 20 ̅ =4 2) 3) ̅ =
Área del rectangulo ABCD.
1)
4) 5)
̅ )( ̅ ) () ( ∆ = = = = 5 ̅ ̅ =
̅ =5 ̅ = ̅ = 4 7) 6)
Dato. Por ser un medio del segmento ̅ . Área del triángulo ∆ ABE . Teorema de Tales. Dato. Dato.
Título Subtítulo 8)
̅ ̅ = =
9)
=
Por ser ̅ un medio del ̅ . segmento
̅ y Sustituyendo los valores de ̅ en 5).
10)
= 4
Teorema 4.1 En cualquier proporción el producto de los términos extremos es equivalente al producto de los términos intermedios.
11)
5 = 2(4) = 8
Multiplicando a 10) por 2.
12)
=
Dividiendo entre 5 la ecuación 11)
̅ = 5 ̅ =2 14)
Por construcción.
̅ ̅ = = 16) −
Teorema de Tales.
13)
15) ̅
̅ un medio de del Por ser ̅ . segmento Sustituyendo valores en 15).
17)
5 = 2(5 )
Teorema 4.1.
18)
5 = 2(5 )
Sustituyendo el valor de x obtenido 12) en la ecuación 17).
19)
8 = 10 2
Efectuando las operaciones indicadas y simplificando.
20)
8 + 2 = 10
Sumando 2 y a cada miembro de la igualdad.
10 = 10 22) = 1 21)
Reduciendo términos semejantes. Dividiendo la ecuación 21) entre 10.
Título Subtítulo 23)
5 = 2(5 1) = 2(4) = 8
Sustituyendo el valor de y en 17).
24)
=
Dividiendo a la ecuación 23) entre 5.
̅ )() () ( 25) ∆ = = = = 4 26)
= ∆ ∆ = 20 5 4 = 11
. En el paralelogramo ABCD, E es el punto medio de ̅ , de modo la diagonal ̅ y F está en el segmento ̅ = ̅ que 3 a) ¿Qué parte es el área del triángulo DFE del área del paralelogramo ABCD? b) ¿Qué parte es el área del triángulo DFE del área del cuadrilátero ABEF ?
3
Construcción y demostración.
Área del triángulo ∆. Área del cuadrilátero ECDG.
Título Subtítulo
Se traza una recta paralela al segmento ̅ que pase por el punto A, se traza una recta ̅ que interseque al punto A. La intersección del a perpendicular con perpendicular al segmento el segmento ̅ será el punto I .
̅ divide al paralelogramo ABCD en dos triángulos de áreas iguales, ∆ ABD y La diagonal ∆ BCD, por tener ambos bases y alturas iguales (h1 = h 2), por lo que el área triángulo ∆ ABD es un medio de la del paralelogramo ABCD. ̅ , con lo cual el ∆ ABD queda dividido en dos triángulos de áreas iguales, Se traza el segmento ̅ ). Por lo que el área del ∆ AED y ∆ ABE , por tener ambos base y alturas iguales (segmento triángulo ∆ AED es ¼ de la del paralelogramo ABCD, = . ̅ que pase por el punto E , la intersección de esta Se traza una perpendicular al segmento ̅ es el punto J . perpendicular con el segmento El área del triángulo ∆ DFE es 1/3 de la del ∆ AED, por tener un tercio de la base del triángulo ̅ ). ∆ AED y la misma altura (segmento Por lo tanto, el área triángulo ∆ DFE es 1/12 del área del paralelogramo ABCD,
= .
El triángulo ∆ DFE es 1/6 del triángulo ∆ ABD, porque = , y como, por construcción, el área del cuadrilátero ABEF es igual al área del triángulo ∆ ABD, menos el área del triángulo ∆ DFE , o sea 5/6:
6 1 = 5 6 6 6
Entonces, la razón entre el área del triángulo ∆ DFE es de 1:5, lo que significa que el área del triángulo ∆DFE respecto al área del cuadrilátero ABEF es de .
