Licenciatura en Matemáticas. Universidad Abierta y a Distancia Geometría Unidad 4. Actividad 4. Propiedades y teoremas de áreas y volúmenes de figuras figuras geométricas Rodrigo Galindo Murillo 1. Se tienen dos paralelogramos tales que sus bases bases y alturas son proporcionales, demuestra que ambos paralelogramos son semejantes.
Tenemos que hay dos paralelogramos como se muestra en la figura; se marca la altura y se tiene dos triángulos rectángulos. Ambos triángulos son proporcionales en 2 a 1 al calcular el cateto opuesto de ambos triángulos tenemos:
1.9720x es proporcional a 0.98x en 2 a 1y por LLL se demuestra que son triángulos semejantes
2. Demuestra o da un contraejemplo de que todos los triángulos que tienen bases y alturas iguales son congruentes. En los triángulos, el área puede ser igual pero, pueden tener distintas bases y alturas. Pero si tienen igual área e igual base pues son iguales de área ya que el área se saca de la base y altura A = b*h/2 donde: A=área b=base
pero la igualdad depende, serán iguales en dimensiones, pero no en propiedades, ya que un triángulo puede ser rectángulo y el otro puede ser cualquier tipo de triangulo, ya sea isósceles, escaleno, equilátero, etc, con una misma base y altura que dan una misma área. Serán i guales de área pero diferente propiedades, como los ángulos y la medida de sus lados, entonces es falso que son iguales, porque la igualdad de triángulos se basa en si los lados son iguales y los ángulos internos también, y aquí solo serían la base y altura
3. Demuestra que el área de un trapecio es igual al producto de la altura por la recta que une los puntos medios de los lados que no son paralelos.
Si recortamos el trapecio rojo y lo colocamos invertido junto al azul obtenemos un paralelogramo formado por dos trapecios iguales. La base del paralelogramo es b + b' y la altura es h. Su área será (b + b') x h. El área del trapecio es la mitad, es decir (b + b') x h / 2 El área del trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de las bases por la altura. Dicho de otra forma: El área del trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases.
4. Demuestra que las áreas de dos polígonos semejantes entre sí son proporcionales a los cuadrados de dos líneas homologas cualesquiera.
Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales
∡ A
∡ B
∡ P
∡ Q
AB ∡ C
∡
∡ D
∡ E
R
∡ S
∡ T
BC
PQ
CD
QR
DE
RS
EA
ST
TP
5. ¿Cuál es la altura de un triángulo isósceles cuyos lados equivalentes valen l?
Se tiene por definición un triángulo isósceles que tiene 2 lados iguales y uno desigual que será 1/3 L. la altura es la mediatriz del triángulo por definición y asi tenemos dos triángulos. Así tenemos que H = L; CO = 1/6 L y x = ca. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: H2 = CO2 + CA2 sustituyendo tenemos L2 = (1/6L)2 + X2 despejamos y tenemos: X=
X = 0.98L así queda calculado la altura.
6. La suma de los cuadrados de los segmentos de dos cuerdas perpendiculares es equivalente al cuadrado del diámetro del círculo. Si tomamos la siguiente figura:
Sabemos que el diámetro (IB) es igual a los puntos IB = 6 unidades. La cuerda EF=4.9 y GH=4.7 2
2
Haciendo las operaciones: (EF) + (GH) = 35.4, que es equivalente al cuadrado del diámetro IB = 36,
7. Calcula el área de un hexágono inscrito en una circunferencia que tiene un radio de 12 cm.
I= r = 12 2
2
a = √12 – 6
= 10.39 cm
P (6)(12) = 72 cm A = (6)(12) = 72 cm A = (10.3)(72)/2 = 374.04cm2
