1. Se tienen dos paralelogramos tales que sus bases y alturas son proporcionales, demuestra
que ambos paralelogramos son semejantes. Tenemos dos figuras que conservan relación proporcional 2 a 1. Trazaremos una línea de apoyo (altura) para formar triángulos rectángulos internos. Al sacar cateto opuesto se comprobara la semejanza.
x
1/2x
Cateto opuesto de la figura 1:
1 = = 22 1/3 = 1.97 1 = = 1/6 = 0.98 Por la igualdad de 2 a 1 entre los catetos podemos
1/3x
1/6x
2x
x
(b) (a)
comprobar semejanza L – L L – L. L.
2. Demuestra que el área de un trapecio es igual al producto de la altura por la recta que une
los puntos medios de los lados que no n o son paralelos. El área de un trapecio es
. = +
La recta que une los puntos pu ntos medios de los lados no paralelos es r si realizamos un corte por dicha recta, sabemos que la mitad de la suma de las dos bases:
= 2 + = ℎ sustituyendo el valor de r entonces hr = + . Entonces =
3. La suma de los cuadrados de los segmentos de dos cuerdas perpendiculares es equivalente al cuadrado
G E
del diámetro del círculo. Se utiliza plano para graficar. El valor del diámetro (IB) es igual a 6 unidades. La cuerda EF es igual a 3.4 y GH es igual a 4.8. Cuando se comprueba la oración de demostración:
I
F B
Título Subtítulo
3.4 4.8 = 34.6 Que es el equivalente aproximado del cuadrado del diámetro. El resultado se ve influenciado por una mala apreciación de la medida y el tanteo de decimales.
II.
Resuelve los siguientes ejercicios y justifica
º 4.
En la figura, AC =3, CB=4. Determinar el área del rectángulo inscrito en el triángulo, si se sabe que su Ω
lado sobre la hipotenusa del triángulo mide 3
I
unidades
β
A Ω
Primero sacaremos el valor de AB= 5 para conocer el valor del ángulo A. , Sacamos función de , aplicamos para sacar valor
= −0.872905 = 53.13º.
= = 0.8
Por construcción y semejanzas de triángulos el ángulo A es igual al que aparece en la intersección que se da entre el triángulo ACB y el rectángulo (β) en el lado AC. Por lo cual podemos sacar el ángulo opuesto al recto del rectángulo, para apoyarnos lo marcaremos con Ω este resulta de la comparación , , Ya conozco los ángulos internos del triángulo donde está el lado del rectángulo que ocupo conocer para poder aplicar formula de área. Para esto sacare el lado AI sabiendo que es igual a la diferencia entre AC y CI. Para conocer el valor del lado CI aplicaremos función trigonométrica, por construcción el ángulo que resulta entre la intercepción del ángulo recto del rectángulo y el lado CB es igual a Ω valor que ya conocemos.
90 Ω = 36.87º
Ω = 180 Ω = 180 53.13
= 36.87º ∗3 = 1.8 = 3 1.8 = 1.2 El lado interno del rectángulo será igual a: = 53.13º ∗ 1.2 = .959
Área del rectángulo será igual al producto de sus lados.
= .959 ∗ 3 Área = 2.879 Área
Título Subtítulo
5. En la figura,
̅ y ̅ son
dos segmentos
perpendiculares tangentes a la circunferencia de radio 1.
̅ pasa por el centro de la circunferencia, es punto de tangencia entre la circunferencia y el segmento ̅ L
O
Demostrar que el perímetro del triángulo PLK se puede expresar como
2 √2 2 √ 2
Si trazamos radio a punto de tangencia obtendremos un triángulo rectángulo por construcción. Conoceremos el valor de los ángulos. p=45º se representa una bisectriz. La intercepción LO=90º por lo cual intercepción del centro del circulo O vale 45º por lo cual su arco mide 45º, arco que comparte con el triángulo PLK por lo cual ángulo es igual a arco/2. Ángulo K=22.5º por lo que ángulo L= 112.5º. Con funciones trigonométricas sacaremos los valores del lado PL en la construcción del triángulo OPL.
1 = 45º = 1.4142 = 1.4142 ∗45º = 1 Sacaremos valores del triángulo PLK con los valores conocidos y la siguiente regla trigonométrica:
