1. Demuestra que el apotema de un triángulo equilátero es equivalente a la mitad de su radio.
El punto GH esta es perpendicular a la mitad del radio y se usa para dibujar y colocar los puntos G y H. Uniendo estos con el punto I para formar el triángulo, se comprueba que la apotema es la mitad del radio.
2. Demuestra que el perímetro de un triángulo equilátero circunscrito mide el doble del perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia. circunferencia.
Si tomamos la figura, el lado FH debe ser tangente a la circunferencia luego el apotema del circunscrito es el doble del apotema del inscrito. El segmento AD mide AD = R sen(60º) = 2a sen(60º) El segmento FI se puede hallar de la misma forma haciendo que el apotema valga el doble FI = 4a sen(60º) Luego FI = 2·AD Y el perímetro de ABD es 6·AD y el de FGH es 6FI = 12·AD Luego el perímetro del circunscrito c ircunscrito es el doble.
Título Subtítulo
3. Si es el radio y el lado de un polígono regular, demuestra las siguientes fórmulas.
El dodecágono, l = r√2- √3 Uniendo el centro del dodecágono (o sea polígono de 12 lados) con 2 vértices consecutivos del dodecágono obtenemos un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son 2 radios consecutivos del dodecágono. El tercer lado del triángulo es un lado L del dodecágono. Calculamos el ángulo central, o sea el ángulo formado por los dos radios:
360º = 30º Ángulo central = b = 360º = n 12
Ahora, trabajando siempre sobre el triángulo obtenido an teriormente, unimos el centro del dodecágono con el punto medio del lado opuesto. Obtenemos así la apotema ap. El ángulo formado por la apotema ap y uno de los radios r será igual a la mitad del ángulo central b por ser un triángulo isósceles.
= 30º = 15º 2 2
También, por ser el triángulo isósceles, su altura (en este caso la apotema ap) divide a la base (en este caso el lado L del dodecágono) en dos partes iguales.
15º = = Despejando L resulta: L = 2 r Sen 15º Puesto que 15º = 45º - 30º La ecuación anterior se escribe:
= 2[√ 6 − √2 ]/4 = √ 2√ 3 − 1/2 Introduciendo el paréntesis en la raíz: =r
[2√ 3 − 1]/2
Desarrollando el cuadrado dentro de la raíz:
[2(3 − 2√ 3 + 1)]/2 = r [2(4 − 2√ 3)]/2
=r
Sacando factor común 2:
[2 ∗ 2(2 − √ 3)]/2 = r [4(2 − √ 3)]/2 =r
Extrayendo raíz de 4 = 2r
[(2 − √ 3)]/2
Simplificando con el 2 del denominador que siempre estuvo afuera de la raíz:
= 2 − √ 3= l = longitud del lado del dodecágono. II. Resuelve los siguientes ejercicios y justifica.
4. Un cuadrado está circunscrito en una circunferencia, Si la medida de la apotema del cuadrado es 4, entonces, la longitud de la circunferencia es: Por construcción de figuras apotema es igual a radio por lo que el diámetro será el doble. 4*2=8, teniendo ese valor podemos aplicar formula de circunferencia.
= 8 = 25.1327
Título Subtítulo 5. Si la medida del lado de un triángulo equilátero inscrito es una circunferencia es 12, entonces, Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia Sacaremos primero el lado recto que se forma al trazar la altura en el triángulo equilátero:
= 12 ∗ 60º = 10.39
A
En un triángulo equilátero todos los puntos corren a la misma
distancia
por
lo
cual
buscaremos
la
intersección de las medianas, gravicentro ya que a E
partir de él podemos construir la circunferencia que circunscribe y por lo tanto sus medidas. De A a D existe una razón 2:1 por ejemplo si AD=9, AE=6, ED=3. Dividiremos el valor de AD entre tres para sacar relación anterior.
= 32 = 6.9282 AE = r D = 2r D = 13.8564
