1. Demuestra el teorema 4.9 Teorema 4.9: La bisectriz de un ángulo externo de un triángulo divide exteriormente el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros lados. Construcción del ejemplo: D
semejantes, entonces se pueden dividir en la misma cantidad de triángulos semejantes. Construcción de figuras de apoyo donde:
F E
B
G
~ Se dan casos
J
de triángulos semejantes en
polígonos semejantes.
C
H D
I
Título Subtítulo Demostración: Se quiere probar que los polígonos se pueden dividir en una misma cantidad de triángulos semejantes. Los polígonos ABCDE y FGHIJ son semejantes, lo que implica que los ángulos
∢ =
∢ son congruentes se sigue de la misma hipótesis que los lados de ambos ángulos se corresponden
y
= Entonces los triángulos
son
homólogos,
esto
es
que
∢ = ∢ Son semejantes por un proceso análogo
Por otro lado, de la misma construcción y por la hipótesis del teorema se sigue con los
∢ ≡ ∢ y ∢ ≡ ∢ . Además, se sigue de los trazos auxiliares que: ∢ = ∢ ∢, ∢ = ∢ ∢, ∢ = ∢ ∢, ∢ = ∢ ∢ De lo anterior se cumple que ∢ ≡ ∢ , entonces ∢ = ∢ ∢ y ∢ = ∢ ∢ , luego ∢ ∢ ≡ ∢ ∢, por construcción, se implica ∢ ≡ ∢. ángulos
De
la
misma
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = , = = de esto se tiene ̅ ̅ ̅ ; por lo que los triángulos ̅ ̅
construcción
∆ ∆ son
semejantes por el teorema 4.10, por lo tanto, ambos polígonos tienen tres triángulos y los de uno son semejantes a sus correspondientes del otro. II.
Título Subtítulo 6. Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q respectivamente. El segmento PQ mide 3 centímetros. Por uno de los puntos “O” donde se cortan las circunferencias, trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?
Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta. MN = 6 centímetros.
