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PROBLEMA 1 Teorema 3.8 La
medida de un ángulo inscrito en una circunferencia tiene la mitad del arco comprendido
entre sus lados del ángulo. Trazamos el diámetro AB:
Ángulo BAC = Ƴ Ángulo BAD = β Ángulo DAC = β – Ƴ β = ½ arco BC Ƴ = ½ arco BD Restando estas dos igualdades: El ángulo CAB = ½ arco BC – ½ BD = ½ arco CD
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PROBLEMA 2 Teorema 3.10 La
medida de un ángulo exterior a una circunferencia es la mitad de la
Diferencia de las medidas de los arcos de los lados del ángulo exterior. Sea el ángulo ACB = , ángulo EAC= Y EL ángulo ACB= siendo un ángulo exterior a la circunferencia. Donde
=
½ AC y Ƴ=1/2 CADemostrar que =1/2(CA-AC) entonces trazamos la secante AC, ahora si α+Ƴ=β, entonces Ƴ en los dos miembros: α=β-Ƴ Como β y Ƴ entonces se tiene que =1/2CA-1/2AC= ½(CA-AC)
PROBLEMA 3 Teorema de 3.16: La mediatriz de toda cuerda a una circunferencia, interseca al centro de la circunferencia. La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos, por lo que el centro es equidistante de los extremos de la cuerda. Es decir, el centro está sobre la mediatriz.
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PROBLEMA 4 Teorema 3.17: En toda la circunferencia las cuerdas que son congruentes entre si, equidistan del centro de la circunferencia. ABCD
OEOF
Recíprocamente, las cuerdas equidistantes del centro de una circunferencia son congruentes
PROBLEMA 5 Sean los arcos CE = DF Además CE + arco CB = FD + arco DB Entonces: RCAB = RDAB
arco CE = arco BE simetral
REAB = RFAD
arco CE = arco DE simetral
al segmento CD son , BC EF, entonces los segmentos CD y EF son El diámetro BC
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PROBLEMA 6 Trazar el diámetro, BC
CD luego BC EF Además: RCAB = RDAB
arco CE = BE simetral
REAB = RFAD
arco CE = arco DE simetral
CE + arco CB = FD + arco BD, arco CE = arco DF
PROBLEMA 7 Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos congruentes y también se forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia. Como resultado del ángulo del radio del punto de tangencia al centro con la tangente, forma un ángulo de 90°, igualmente con respecto al otro lado del centro, es evidente que se aplica el criterio LAL, si observamos la figura salta a la vista que efectivamente se forma un triángulo isósceles.
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PROBLEMA 8 Se demuestra utilizando el teorema “La Mediatriz” de toda cuerda a una circunferencia, interseca al centro de la circunferencia. Pues el segmento OB es mediatriz de una AB, por lo tanto parte a la cuerda en partes iguales, por ende los arcos AB es igual a BC Ahora consideremos al punto D imaginario como un punto que se encuentra equidistante al punto A
sabríamos que el arco BC= al arco CD o que el arco AB= arco AD por transitividad o al punto C
el arco AB = al arco CD
PROBLEMA 9 Dados los errores de redacción del problema planteado entiéndase en principio que OB es mediatriz de una cuerda AB, por lo tanto parte a la cuerda AB,
AB = BC.
Ahora supóngase que D es un punto que pertenece al intervalo formado por los segmentos OB y AC,
suponemos que es el punto de intersección de las dos rectas. Por lo pronto si trazamos una recta que atraviese D, tal que sea una cuerda de la circunferencia S, pasará
por los puntos A y B.
Concluimos
forman
que
se
dos
triángulos
rectángulos, formando ángulos de 90°. Bajo el teorema de congruencia LAL , sabemos que los triángulos resultantes son congruentes, por lo tanto, cualquier ángulo de esos triángulos son congruentes respectivamente
los ángulos DAB y DCB son congruentes.
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