Geometría Unidad 3. Trigonometría y circunferenci circunferencia a
I.
Demuestra los siguientes enunciados:
1. Demuestra el caso 3 del teorema 3.8. La medida de un ángulo inscrito en una un a circunferencia tiene la mitad del arco comprendido entre sus lados del ángulo. Trazamos el diámetro AB: Ángulo = Ángulo = Ángulo = − = =
1 2 1 2
Restando estas dos igualdades: =
1
1 1 − = 2 2 2
2. Demuestra el caso 3 del teorema 3.10. La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos de los lados del ángulo exterior. Sea el ángulo = , ángulo = y el ángulo = ACB=
siend endo uunn
ángulo exterior a la circunferencia.
Donde = y = ̂) Demostrar que = 1/2(̂ −
Entonces trazamos la secante AC
Título Subtítulo +=
Restando en los dos miembros =−
Como son inscritos =
1 2
−
3. Demuestra el teorema 3.16. La mediatriz de toda cuerda a una circunferencia, intersecta al centro de la circunferencia. La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos, por lo que el centro es equidistante de los extremos de la cuerda. Es decir, el centro está sobre la mediatriz. 4. Demuestra el teorema 3.17. En toda la circunferencia las cuerdas que son congruentes entre sí, equidistan del centro de la circunferencia. B
= →= =
C
E D
A
F
̅ ‖ ̅ , entonces los segmentos 5. Sea una circunferencia y sean dos arcos tales que ̂ = ̂.
Dos cuerdas congruentes en una circunferencia tienen arcos con medidas equivalentes. Demostración: ̅ . Sean una circunferencia S y dos cuerdas definidas por los segmentos ̅ ̅ , ̅ , ̅ ̅ . Trazos auxiliares. Se trazan los segmentos
Título Subtítulo
Hipótesis ̅ son cuerdas congruentes en S. 1. Los segmentos ̅
Tesis ̂ ̂ son congruentes Los arcos
Desarrollo de la demostración. Al hacer los trazos auxiliares, se forman los triángulos ∆ ∆ cuyos ángulos , , respectivamente son internos. Por construcción y por el teorema 3.15 ≡ y ≡ y por hipótesis ̅ ≡ ̅. Entonces por el criterio de A – L – A los triángulos ∆ ∆ son congruentes. Esto implica que los ángulos ∢ ≡ ∢ de esto se ̅ + ̅ ≡ ̅ + ̅ deduce que los segmentos ̅ ≡ ̅ ̅ ≡ ̅ . Esto es que ̅ ̅ ≡ ̅ , los triángulos ∆ ∆ tal que ≡ ̅ y como ̅ ≡ ̅ , además
son congruentes por el criterio de L – L – L. Luego entonces los ángulos ∢ ≡ ∢
̂ y ∢ = ̂ , de esta forma ̂ = y por el teorema 3.8 se tiene que ∢ =
̂ . Por lo tanto se concluye que ̂ = ̂ . Queda demostrado el teorema.
6. Sean los puntos , , y en la circunferencia con centro, y sea ∈ ̅ ∩ ̅ ) tal que ̅ ⊥ ̅ , entonces ( ∢ ≡ ∢.
Entiéndase en principio que
es
mediatriz de una cuerda , por lo tanto parte a la cuerda → = . Ahora supóngase que es un punto que pertenece al intervalo formado por los segmentos , → suponemos que es el punto de intersección de las dos rectas. Por lo pronto si trazamos
Título Subtítulo
una recta que atraviese , tal que sea una cuerda de la circunferencia , pasará → por los puntos . Concluimos que se forman dos triángulos rectángulos, formando ángulos de 90°. Bajo el teorema de congruencia L – A – L , sabemos que los triángulos resultantes son congruentes, por lo tanto, cualquier ángulo de esos triángulos son congruentes respectivamente. Por lo tanto se concluye que ∢ ≡ ∢. II.
Resuelve los siguientes ejercicios y justifica tus resultados
7. De la siguiente figura encuentra el valor de 1. ∢ = 70° ̂ 2. Ángulo del centro ∢ = ̂ = 70° 3.
4. Ángulo inscrito ∢ = 5. ∢ =
̂
°
6. ∢ = 35°
El problema se puede sacar con reglas de ángulos del centro que es el caso conocido de ̂ se puede 70° y ángulos inscritos. Ya que los dos ángulos comparten un mismo arco ̅ = , ̂ + ̂ = 180°. Conocemos el valor de ̂ comprobar tomando que ̂ = 180° − 70° ̂ = 110° que es igual al ángulo al centro y al sustituimos valores
hacer complemento de ángulos al centro podemos comprobar quedan 180°
Título Subtítulo
̅ a la circunferencia, encontrar 8. Sea
La tangente BT forma con punto en la circunferencia 90° a lo cual se le resta el valor conocido de 55° 90° − 55° = 35°
35° es la parte interna que está en el punto de tangencia, queda demostrado por teoremas de igual que las líneas AO y BO son radios que equidistan por lo tanto ∢ = 35° diferencia encontrada anteriormente. También se puede concluir lo anterior con demostración de igualdad de lados ya que el triángulo que se forma es isósceles y por regla sus ángulos inferiores son iguales. Para conocer ángulo se restara la suma de los ángulos conocidos a 180° ya que sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a 180°. 35° + 35° + = 180° = 180° − 35° − 35° = 110°
Conclusión ∢ = 35° ∢ = 110°
