1. ¿Cuál de los ángulos de un triángulo de 30-60-90 está opuesto al cateto menor? Entonces el lado opuesto a 30° tendrá una longitud igual a 1/2 de la hipotenusa; el cateto adyacente tendrá
una longitud igual al producto de la longitud del cateto más corto y √ 3.
sin30º= x/2x =1/2 y sin60º = x√3/2x=√3/2 sin30=0.5 y sin60º=√3/2
al juntar dos triángulos 30-60-90 se forma un triángulo equilátero, que tiene sus tres lados iguales, por lo
tanto en el triángulo 30-60-90 si la hipotenusa tiene longitud l, la base tiene longitud l /2 .
Un triángulo 30-60-90, es considerado así por el valor de sus ángulos. Su cateto más pequeño es el opuesto al ángulo de 30°, mientras que el otro cateto, que es el
opuesto al ángulo de 60°, es proporcional a √ 3 veces el cateto menor y su hipotenusa es el doble del valor del cateto menor. En el caso de un triángulo equilátero de lado 2a lo podemos dividir dividir en 2 partes iguales al trazar la altura. Por lo tanto el
cateto menor tiene que ser la mitad del a, la
hipotenusa es 2a, dado que es la misma que el lado del triángulo equilátero y el otro cateto se calcula con el teorema de Pitágoras. Como lo podemos observar en la siguiente figura. Siendo ángulos de 30° y 60°, el triángulo equilátero cuyos lados
miden 2 cm. Al trazar la altura DC, cuya longitud es√ 3 el triángulo equilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos congruentes.
, AD = 1 m, CDA = 30º y DAC = 60º
Sin 30º
1/2
Cos 30º
√ 3/2
Tan 30º
√ 3/3
Sin 60º
√ 3/2
Cos 60º
1/2
Tan 60º
√3
Finalmente lo encontramos como se observa en la figura., es importante analizar que la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor √ 3 veces la longitud del cateto menor, de acuerdo al teorema de los senos tenemos que el cociente entre los senos y los ángulos opuestos es una constante a/sen(30º) = b/sen(60º) = c/sen(90º) el seno es creciente sen(30º)
numerador entonces el cateto menor es a y su ángulo opuesto correspondiente es 30º, entonces consideramos al ángulo de 30º, su seno es menor que el coseno, luego el lado opuesto es menor que el adyacente, luego el lado menor es opuesto al ángulo de 30º
2. Si se tiene la longitud del cateto mayor, de un triángulo de 30-60-90, ¿cómo se encuentra la longitud del cateto menor? De acuerdo al problema anterior sabemos que sin30º=x/2x=1/2 y que el sin60º=x√ 3/2x=√3/2, x=cateto más pequeño , 2x=hipotenusa, x√3= cateto más grande AC=2, AC=2X y x=1 x=AD si x fuese el lado más largo x/2 sería el más pequeño el cateto restante sería x/2√3, observamos como x=2, x/2 =2/2=1 x/2=AD y x/2√3= 1√3= √3 lado restante. En términos más simples el cateto menor es el cateto opuesto al ángulo de 30º. Además,
tangente 30º = longitud cateto menor / longitud cateto mayor por lo cual, para conocer la
longitud del cateto menor= longitud cateto menor = tangente 30º x longitud cateto mayor y la longitud cateto
menor = √3/3 x longitud cateto mayor
3. Una Carreta que viaja por un camino de terracería tiene ruedas de 40 centímetros de radio y giran a una razón de 30 revoluciones por minuto. Si marcamos un punto en una rueda en el borde exterior y lo alineamos con el camino, entonces qué distancia recorre el punto en la rueda en un segundo de trayecto por el camino. Girando a 30 revoluciones por minuto en un segundo serán la sesentava parte de esas 30rps = 30/60 = ½ Entonces recorre la mitad de la longitud de la rueda y la longitud de la rueda es 2 r
ha recorrido
·r = 40 cm = 125.6637 cm
4. Un superautopista en una de sus curvas tiene un arco que mide 150 metros de longitud. Determina el radio de la circunferencia que contiene al arco si el ángulo del arco mide 4 radianes. Con un
ángulo en radianes el cálculo del arco es multiplicar los radianes por el radio. Entonces
circunferencia tiene 2 radianes y su longitud es 2 ·r
el arco = 4·r
r = arco/4 = 150/4 = 37.5 m
la
5. Un automóvil se mueve a 40 km/h por una a carretera que tiene una curva cuyo radio es de 30 metros. ¿Qué medida tiene el ángulo en un minuto de trayecto? En un
minuto superaría la curva entonces se refiere a que esta dando vueltas a un circuito circular.
Entonces al recorrer 40 km en una hora, se sabe que en un minuto recorrerá la sesentava parte 40/60 = 2/3 km = 2000/3 m, pero como el radio mide 30 m los radianes recorridos son (2000/3)/30 = 2000/90 = 200/9 radianes y ese es el ángulo recorrido. Si quisiéramos en todo caso reducirlo a un ángulo entre 0 y 2 restando n veces 2 (200/9) / (2) = 3.5367
restamos 3 veces 2 el ángulo = (200/9 - 6pi) radianes
= 3.3726663 rad = 193.2395447º
6. Considera los ángulos de un triángulo rectángulo distintos del ángulo recto; demuestra las siguientes equivalencias. Sea los ángulos y
distintos de 90º, entonces: a) Sen( ) = Cos( ) y b) Sen( ) = Cos( )
sin(α) = (c.o.α) / hip cos(α) = (c.a.α) / hip al ser β el otro ángulo el cateto adyacente de α pasa a ser el opuesto de β y el cateto opuesto de β es el adyacente de β sin(α) = (c.o α) / hip =(c.a. β) / hip = cos(β) sin(β) = (c.o. β) / hip = (c.a.α) / hip = cos(α)
