Geometría: Unidad 2. Actividad 2. Angulos y triangulos.
Licenciatura en Matemáticas, UnADM
Rodrigo Galindo Murillo
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Geometría Unidad 2. Actividad 2. Angulos y triangulos.
Utiliza las de niciones y teoremas vistos y resuelve los siguientes ejercicios. ¯ EF ¯ y AC⊥ ¯ DE ¯ . Si m(∠DEF ) = 145◦ , 1. Sean los angulos ∠ABC y ∠DEF tales que AB⊥ hallar la medida del ∠ABC
Considerando que los angulos AB − EF y AC − DE son paralelos perpendiculares, esto quiere decir que son de 90◦ . Ambos pares de angulos formaran una gura en donde sus angulos interiores forzosamente tienen que ser iguales a 360◦ , por lo que el angulo ABC = 35◦ . Esto si seguimos la expresion: 90◦ + ABC + 90◦ + 145◦ = 360◦
2. Sean los angulos ∠ABC , ∠DEF y ∠GHI . Si ∠ABCkDEF y ∠GHI es paralelo a los otros dos angulos, entonces hallar la medida del angulo ∠DEF si m(∠GHI) − 75◦ El problema dice que el angulo de los puntos GHI = 75◦ . Este angulo formado por GHI esta conformado tambien por los puntos similares de BA⊥ED y BA⊥GH . De acuerdo a las de niciones que se presentaron en los apuntes de paralelismo, el angulo ABC es igual al angulo DEF 3. Sea un paralelogramo ∠ABCD, como se muestra en la gura; y sean dos rectas R1 y ¯ y AD ¯ ; por otro lado, R2 es paralela a los R2 , tal que R1 es paralela a los segmentos BC ◦ ¯ y CD ¯ . Si m = (∠F OG) = 125 , hallar entonces los angulos de los vertices segmentos AB del paralelogramo. De los apuntes del curso, consideramos que: Si en un cuadrilatero convexo cada par de lados opuestos son congruentes (o iguales) entonces el es un paralelogramo), entonces armamos nuestra demostracion. Si tenemos una gura con angulos ABCD y angulos AB = BC y DC = AB . Se pide que AD sea paralelo a BC y DC sea paralelo a AB . Si imaginamos el trazo de AC , se generan los triangulos ADC y ABC . Estas guras tienen AB = BC, DC = AByAC = AC . 4. Demostrar el teorema 2.3 - Teorema 2.3 Sean tres rectas R1, R2 y R3, tales que R1 k R2 y R3 interseca a R1 y R2. Sean los ángulos α y β opuestos o alternos externos, entonces α = β . 5. Demostrar el caso cuando α y β miden mas de 90◦ del teorema 2.4
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[Utiliza las de niciones y teoremas vistos y resuelve los siguientes ejercicios.] Geometría Unidad 2. Actividad 2. Angulos y triangulos. (Continuación) Si tenemos que α y β son mayores a 90◦ , tenemos que trazar un ejemplo en donde GAH = γ y βkγ . Si estos dos angulos son correspondientes paralelos, entonces se puede considerar como GAH = γ . Alrededor de este angulo, sus angulos suplementarios son α y γ , entonces: α + δ = 180◦
y tambien α + δ = γ + δ, α = β
6. Traza las bisectrices de un triangulo rectangulo isosceles, hasta que se intersecten en un punto; que tipos de triangulos se forman dentro del triangulo?
Tenemos entonces que: AOD es escaleno, BDO es rectangulo, ODC es escaleno, ODC es rectangulo y AODés escaleno. 8. Demostrar que la mediatriz de la hipotenusa de un triangulo rectangulo corta en segmentos congruentes a la hipotenusa Para hacer la demostración tenemos que el segmento CD es la mediatriz de la hipotenusa, representada por el segmento AE; por lo tanto, el segmento AB II CD por de nición de mediatriz; el ángulo E es el mismo para el triángulo AEB y CED; el ángulo EDC =al ángulo EBA por ser ángulos correspondientes, al mismo tiempo el ángulo EBA = al ángulo EDC por ser ángulos correspondientes, ahora por el teorema 2.10 se tiene dos ángulos congruentes. Por lo que queda demostrado. 9. Cual es la medida de cada angulo de un triangulo, si el menor es dos veces mas pequenio que el mediano y tres veces mas chico que el grande? Se tiene tres triángulos equiláteros ABC, CFG y HIJ; el triángulo ABC es dos veces menor al triángulo EFG y tres veces menor al triángulo HIJ; dado a que los tres lados son similares por el teorema 2.10, determinamos que sus ángulos son congruentes y son iguales dado a que por de nición son triángulos equiláteros, por lo tanto tienen los mismos ángulos por lo que queda demostrado. 10. Demostrar que en todo triangulo isosceles, la bisectriz del angulo exterior opuesto a la Continúa en la siguiente página. . .
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Geometría Unidad 2. Actividad 2. Angulos y triangulos. base es paralela a esta base. Tenemos entonces que: El ángulo α = al ángulo β ; por ser un triángulo isósceles; El ángulo δ = al ángulo σ ; por la de nición de bisectriz del segmento AD; Ahora α + β + γ = 180◦ y γ + δ + σ = 180◦ ; al igualar ambas ecuaciones tenemos que α + β + γ = γ + δ + σ al hacer las operaciones algebraicas se tiene que α + β = δ + σ . Tomando en cuenta que el ángulo α = al ángulo β y el ángulo δ = al ángulo σ por lo tanto tenemos α + α = σ + σ entonces 2 α = 2 σ a dividir ambas partes entre 2 se tiene que ángulo α = al ángulo σ ; por lo tanto el segmento AD es paralelo al segmento BC, por lo que queda demostrado. Documento realizado con LATEX
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