Unidad 3. Métodos Numéricos Definición. Los Métodos Numéricos, son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse, usando Operaciones Aritméticas (Chapra, 1977). Existen muchos tipos de Métodos Numéricos, sin embargo, todos comparten una característica común; todos llevan a cabo un número TEDIOSO de cálculos aritméticos. Los Métodos Numéricos se han desarrollado con el objetivo de resolver problemas matemáticos, cuya solución es difícil o imposible de obtener por los métodos tradicionales. En una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático con una Tolerancia o Error máximo predeterminado. to d o s d ir ec to s y m é to d o s Los Métodos Numéricos se clasifican en: m é iterativos .
Métodos directos. Tienen una secuencia de pasos definidos, que conducen a la solución del problema; por lo regular la solución se obtiene en forma analítica.
Métodos Iterativos o abiertos. abiertos. En éstos se parte de una solución inicial y mediante aplicación de un algoritmo específico, se van obteniendo aproximaciones a la solución del problema. En éstos métodos se repite una serie de pasos y se basan en la aplicación de y las llamadas ecuaciones de recurrencia , las cuales relacionan dos o más elementos consecutivos de una sucesión de n úmero s, funcion es ó matrices .
Sucesión numérica. Es una lista de números cuyo origen es el mismo, es decir, son el resultado de se aplicar un una serie de pasos que se repiten en un algoritmo. A esta serie de pasos se les denomina Iteración . Ejemplo de sucesiones:
Pág -
1
1 2 2.5 2.6667 2.7190 2.71828 2.71828 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.328125 1.3203125
Teoría de los Errores A. Representación de los errores a.1. Error Absoluto (Ea): E a X Xa
Donde: X = Valor real Xa = Aproximación a.2. Error relativo (Er ): E r
X X a X
Donde: X = Valor real Xa = Aproximación
B. Clasificación de los errores De acuerdo al origen los errores se pueden clasificar en: errores inherentes, errores por truncamiento y errores por redondeo. b.1. Errores inherentes Son propios de los datos, se producen al leer un dispositivo de medición de alguna magnitud, al transmitirla o reproducirla, debido a la impresión de los instrumentos. b.2. Errores por truncamiento. Son aquellos que se presentan al aproximar funciones analíticas por medio de términos de una serie infinita. Esto se hace frecuentemente en métodos numéricos con alguna función complicada y se toma únicamente los primeros términos de la serie que se aproxima a la función, truncando lo demás. Ejemplo: e = 2.71828 (5 cifras)
e=
1
k !
Los términos de la expresión son infinitos.
k = 0
Pág -
2
Tomando en cuenta un término de la serie: 0
1
1
k ! 0! 1 k 0
El error absoluto (Ea) será: E a 2.71828 1.0000 1.71828
El error relativo (Er ) es: E r
2.71828 1.0000 2.71828
0.63212
Er = 63.21 % Sí se toman en cuenta 2 términos de la serie: 1
1
1
1
k ! 0! 1! 2 k 0
El error absoluto (Ea) será: E a 2.71828 2.0000 0.71828
El error relativo (Er ) es: E r
2.71828 2.0000 2.71828
0.2642
Er = 26.42 % Sí se toman en cuenta 3 términos: 2
1
k !
k 0
1 0!
1 1!
1 2!
2.5
El error absoluto (Ea) será: E a 2.71828 2.5000 0.21828
El error relativo (Er ) es: E r
2.71828 2.5000 2.71828
0.08030
Er = 8.03 % Sí se toman en cuenta 4 términos: 3
1
1
1
1
1
k ! 0! 1! 2! 3! 2.6667 k 0
Pág -
3
El error absoluto (Ea) será: E a 2.71828 2.6667 0.05161
El error relativo (Er ) es: E r
2.71828 2.6667 2.71828
0.01898
Er = 1.898 % A continuación se muestra una tabla donde se han realizado los cálculos hasta 15 términos de la serie:
Serie Infinita para el cálculo del No.Euler (e) X = 2.71828 ε =
Limite Superior
e=
0.00000001
1
k !
Ea
Er
Er (%)
/Xn – Xm /
< ε
k = 0
0
1.000000000000
1.71828000000000
0.632120311373368
63.2120311
1
2.000000000000
0.71828000000000
0.264240622746737
26.4240623 1.000000000000
2
2.500000000000
0.21828000000000
0.080300778433421
8.0300778 0.500000000000
3
2.666666666667
0.05161333333333
0.018987496995649
1.8987497 0.166666666667
4
2.708333333333
0.00994666666667
0.003659176636206
0.3659177 0.041666666667
5
2.716666666667
0.00161333333333
0.000593512564318
0.0593513 0.008333333333
6
2.718055555556
0.00022444444444
0.000082568552336
0.0082569 0.001388888889
7
2.718253968254
0.00002603174603
0.000009576550625
0.0009577 0.000198412698
8
2.718278769841
0.00000123015873
0.000000452550411
0.0000453 0.000024801587
9
2.718281525573
0.00000152557319
0.000000561227391
0.0000561 0.000002755732
10
2.718281801146
0.00000180114638
0.000000662605171
0.0000663 0.000000275573
11
2.718281826198
0.00000182619849
0.000000671821333
0.0000672 0.000000025052
12
2.718281828286
0.00000182828617
0.000000672589346
0.0000673 0.000000002088 Parar
13
2.718281828447
0.00000182844676
0.000000672648424
0.0000673 0.000000000161 Parar
14
2.718281828458
0.00000182845823
0.000000672652644
0.0000673 0.000000000011 Parar
b.3. Errores de redondeo. Son los errores ocurridos cuando se usa una calculadora o computadora (se producen errores de redondeo), se debe a que la aritmética se realiza en un número finito de dígitos.
Signo
Mantiza
Caracteristica
Pág -
4
C. Convergencia Se dice que una asociación de números (sucesión) X1, X2, …, Xn converge a un valor X, sí para todo ε>0 existe otro número, tal que, para todo entero n>m se cumple:
/Xn – Xm/ < ε Xn= Aproximación actual Xm= Aproximación anterior ε = Error máximo permitido (tolerancia) Se puede demostrar matemáticamente que un método va a ser convergente, sí: X m X m 1 X m 1 X m 2
Así mismo se puede demostrar que se cumple: X m X m 1 ea
Solucion de ecuaciones no lineales La solución de las ecuaciones no lineales es difícil y en muchas ocasiones no hay forma analítica de encontrar la solución de estas. Sin embargo, se puede realizar a través de un proceso iterativo; partir de una solución inicial y a través de un proceso algebraico repetitivo, obtener una solución mejorada a la solución anterior.
Métodos Iterativos o Abiertos La solución de este tipo de métodos implica 2 pasos fundamentales: 1. Acotar la solución. 2. Mejorar a través de un proceso iterativo la solución anterior. Para el primer paso se deberá tomar en cuenta lo siguiente: a. Una Búsqueda sistemática. b. Experiencia en problemas anteriores, similares o semejantes. c. Conocer la solución de un modelo simplificado y usarla como punto de partida, es decir, usarla como solu ción inicial . d. La solución anterior será una secuencia de soluciones Los métodos usados para este tipo de ecuaciones son: Método de la Bisección. Método del Punto Fijo. Método de Newton-Raphson. Método de la Secante.
Pág -
5
Método de la bisección El método parte de una función F(x) y un intervalo [x1,x2] tal que F(x1) y F(x2) tienen signos contrarios. Si la función es continua en este intervalo, entonces existe una raíz de F(x) entre x1 y x2. Una vez determinado el intervalo [x1,x2] y asegurada la continuidad de la función en dicho intervalo, se evalúa esta en el punto medio xm del intervalo. Si F(xm) y F(x1) tienen signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. Al repetir este proceso, hasta lograr que la diferencia entre los dos últimos valores de xm sea menor que una tolerancia prefijada, el ultimo valor xm será una buena aproximación de la raíz.
Pág -
6
