Departamento de Ingeniería Química, Alimentos y Ambiental Maestría en Ingeniería Química Optimización de Procesos (IQ58101) Tarea 01. Método Simplex
Planteamiento del problema La oficina técnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administración de 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes: Parcela 1 2 3
Tierra Cultivable, ha 400 600 300
Asignación de Agua, m3 600 800 375
Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el ministerio de agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla: Especie
Consumo de Agua, m3/ha 3 2 1
Remolacha Trigo Maravilla
Cuota Máxima, ha
Ganancia Neta, $/ha
600 500 325
400 300 100
La tarea que encara la OTCC es plantear cuantas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a cargo de la OTCC.
Solución Se plantea el problema de optimización. Se definen las variables de decisión ( (
) )
(
)
Función objetivo (
)
(
)
(
)
Mtro. Jorge Luis Figueroa Rodríguez ID:115034
[Escriba texto]
Departamento de Ingeniería Química, Alimentos y Ambiental Maestría en Ingeniería Química Optimización de Procesos (IQ58101)
Restricciones por tamaño de parcela
Restricciones por consumo de agua
Restricciones por cuota máxima
Restricciones de no negatividad
Todas las restricciones de desigualdad se transforman a igualdades agregando variables de holgura.
Mtro. Jorge Luis Figueroa Rodríguez ID:115034
[Escriba texto]
Departamento de Ingeniería Química, Alimentos y Ambiental Maestría en Ingeniería Química Optimización de Procesos (IQ58101)
Se plantea la forma de tabla del método simplex Variables de Decisión
) ( El método inicia con una solución básica factible ( ) con valor objetivo igual a cero. El vector que entra a la base es aquella que tenga un costo menor, en este caso se elige a la variable no básica
. El vector que sale de la base es aquel que tenga una menor imagen (
), en este caso
la variable básica . Se hacen ceros los elementos de la columna correspondiente a la nueva variable básica tomando como pivote el elemento . La nueva tabla será Variables de Decision x1
Departamento de Ingeniería Química, Alimentos y Ambiental Maestría en Ingeniería Química Optimización de Procesos (IQ58101) El vector que entra a la base es la variable no básica y el vector que sale de la base es la variable básica . Utilizando como pivote el elemento se obtiene Variables de Decision x1
El vector que entra a la base es la variable no básica Utilizando como pivote el elemento se obtiene
h4
.
Vector
h5
h6
h7 h8 h9
Solución
0
0
0 0 0
200
0
-0.3
0
0 0 0 333.33333
0
0
-0.3
0 0 0
175
-
0
0
0 0 0
200
-
0
0.33
0
0 0 0 266.66667
0
0
0.33
0 0 0
-0.3
-0.3
1 0 0 8.3333333
0
0
0
0 133
0 133
0 133
0 1 0
125 500
0 0 1 325 0 0 0 236666.67
1000
400 500 -
y el vector que sale de la base es la variable básica
.
Mtro. Jorge Luis Figueroa Rodríguez ID:115034
[Escriba texto]
Departamento de Ingeniería Química, Alimentos y Ambiental Maestría en Ingeniería Química Optimización de Procesos (IQ58101) Variables de holgura Vector
Variables de Decision x1
y1
z1
h1
0 0.33 0.67
h2
0
0
0
h3
0
0
0
x1
1 0.67 0.33
y2
0
0
0
x3
0
0
0
h7
0 -0.7 -0.3
h8
0
h9 Z
0 0
1
0
x2
y2
z2
x3
y3
z3
h1 h2 h3
h4
h5
h6
h7 h8 h9 Solución
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-0.3
0
0
0
0
0
200
-
-0.5 0 0.5 0
0
0
0
1
0
0
-0.5
0
0
0
0
200
-
0
0
0
0 0.33 0.67 0
0
1
0
0
-0.3
0
0
0
175
525
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.33
0
0
0
0
0
200
-
1.5 1 0.5 0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
400
-
0
0
0
1 0.67 0.33 0
0
0
0
0
0.33
0
0
0
125
187.5
1
0
0
0 -0.7 -0.3 0
0
0
-0.3
0
-0.3
1
0
0
275
-
0
0
0
0
-0.5
0
0
1
0
100
100
0 1 0 -33 33.3 0
0 0
0 0
0 133
0 150
0 133
0 0
0 0
1 0
325 250000
-
-1.5 0 -0.5 0
0 1 0 -33 33.3 50
0 0
1 50
0 0
1
0
El vector que entra a la base es la variable no básica Utilizando como pivote el elemento se obtiene
y el vector que sale de la base es la variable básica
Variables de Decisión x1
y1
z1
h1 0 0.33 0.67 h2 0
0
h3 0 -0.3 x1 x3
0
0 -0.7
y2
z2
x3 y 3
z3
h1 h2 h3
h4
h5
h6
h7
h8
h9
Solución
0
0
0
0 0
0
1 0 0
-0.3
0
0
0
0
0
200
0.5
0 0
0
0
0
0
0
200
0
-0.3
-0.5 0
0 1 0
0
-0.5
0
0.5 0 0.17 0 0 0.67 0 0 1
0
0.17 -0.3
0
0
0
1.5 1
0
0 0
0
0 0 0 0.33
0.5
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
200
0
0.5
0
0
0
0
400
0.33 0.33 0
1
0 0.33 1 0 0.33 0 0 0
0
0
0 -0.3 0 0 -0.3 0 0 0
-0.3
-0.3
-0.3
0
-0.5
0
0 133
0 133
0 133
0
-0.3
y3 0
1
0
h9 0 Z 0
0 0
1 33.3
-1.5 0 -0.5 0 1 0 0
0
0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 33.3 0 0 33.3 0 0 0
0 141.66667
0
0
h7 0
Vector
x2
0
1 0.67 0.33
y2 0
Variables de holgura
.
-0.7
0 58.333333
1 0.67 0 341.66667 0
1
0
100
0 0 1 325 0 33.3 0 253333.33
Esta tabla representa el óptimo del problema, ya que todos los costos de las variables no básicas son positivos. El óptimo de la función es por tanto (
)
(
) Mtro. Jorge Luis Figueroa Rodríguez ID:115034
[Escriba texto]
Departamento de Ingeniería Química, Alimentos y Ambiental Maestría en Ingeniería Química Optimización de Procesos (IQ58101)
Con restricciones Variables de Decision
Vector
x1
y1
z1
x2
y2
z2
x3
y3
z3
Solución
Holgura
h1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
400
200
h2
0
0
0
1
1
1
0
0
0
600
400
h3
0
0
0
0
0
0
1
1
1
300
158
h4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
600
600
h5
0
0
0
3
2
1
0
0
0
800
800
h6
0
0
0
0
0
0
3
2
1
375
375
h7
1
0
0
1
0
0
1
0
0
600
258
h8
0
1
0
0
1
0
0
1
0
500
500
h9
0
0
1
0
0
1
0
0
1
325
0
Z
400 300 100 400 300 100 400 300 100 253333.33
Se aprecia que en el punto óptimo existen 4 restricciones activas.
