“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ANÁLISIS DE SISTEMAS ESTRUCTURALES, ESTRUCTURAL ES, MÉTODO DE LAS BARRAS CUADRÁTICAS UTILIZANDO SISTEMA DE MATRICES Y ELIMINACIÓN GAUSSIANA Autores: ABANTO ALBARRAN, Rosa CAMPOS VASQUEZ, Jhuver Alex COJAL AGUILAR, Carlos GOICOCHEA ESPINOZA, Sherlýn RODRIGUEZ COTRINA, José David VASQUEZ BERNAL, Yanina Curso: Métodos numéricos para ingeniería Docente: ROJAS HUAMAN, Ever
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
ÍNDICE 1.
INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 3
2.
OBJETIVOS ................................................................................................. 3
3.
MARCO TEÓRICO ...................................................................................... 4
4.
METODOLOGÍA Y PROCEDIMIENTO........................................................ 5
5.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................. 12
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
1. INTRODUCCIÓN El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones en la ingeniería, como por ejemplo en análisis de armaduras, análisis de elementos estructurales, análisis de propiedades mecánicas de elementos, entre otros. Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la forma matricial, la cual permite representar un sistema usando tres matrices de la forma
=
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de solución que serán expuestos a lo largo del trabajo, entre ellos, la eliminación Gaussiana. Por medio del siguiente trabajo se quiere mostrar la aplicación general dl programa MATLAB para hallar la solución numérica de sistemas de ecuaciones generadas al analizar sistemas estructurales.
2. OBJETIVOS General Incorporar el uso del programa MATLAB en el análisis de sistemas estructurales.
Específicos
Definir los componentes de un sistema estructural mediante una matriz.
Generar la matriz de rigidez global del sistema, empleando el programa MATLAB.
Desarrollar la matriz de rigidez global a partir de las condiciones iniciales, empleando la eliminación Gaussiana.
Emplear el programa MATLAB en el cálculo del desplazamiento de los nodos, que componen el sistema estructural.
Emplear el programa MATLAB en el cálculo de los esfuerzos internos producidos en las barras que forman el sistema estructural.
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
3. MARCO TEÓRICO Elemento de barra cuadrática: Es un elemento finito unidimensional en el que las coordenadas globales coinciden con las coordenadas de cada uno de sus elementos. El elemento de barra cuadrático tiene módulo de elasticidad E, área de sección A y longitud L. Cada elemento cuadrático de barra tiene tres nodos, uno en el extremo izquierdo, otro en el extremo derecho y el último en el centro.
= 3
Por lo que podemos aclarar que el elemento de la barra cuadrática tiene tres grados de libertad, uno en cada nodo. En consecuencia para una estructura con n nodos, la matriz de rigidez global K será de tamaño
×
. El orden de
los nodos es muy importante, el primer nodo es el de la izquierda, el segundo nodo es el que está en el extremo derecho, y el tercer nodo es el del medio del elemento. La matriz de rigidez global K se genera usando la función de MATLAB QuadraticBarAssemble. Una vez obtenida la matriz global de rigidez K, tenemos la siguiente ecuación:
=
Donde U es el vector de desplazamiento global de los nodos. En este caso las condiciones iniciales se aplican manualmente a los vectores U y F; con el fin de resolver la matriz dividiendo y aplicando la eliminación Gaussiana. Finalmente se encuentran los desplazamientos y reacciones desconocidas, de la siguiente manera:
=3×1
Donde f es el vector de fuerza del elemento elemento de vector
3×1
.
y u es el desplazamiento del
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
Funciones de MATLAB utilizadas:
QuadraticBarElementStiffness (E, A, L): Esta función calcula la matriz de rigidez para cada elemento de la barra cuadrática con módulo de elasticidad E, sección transversal de área A y longitud L. Devuelve la matriz de rigidez
(3×3)
del elemento.
QuadraticBarAssemble (K, k, i, j, m): Esta función une la matriz de rigidez del elemento y la matriz de rigidez global. Devuelve la matriz de rigidez global K.
QuadraticBarElementForces (k, u): Esta función calcula el vector de fuerza del elemento, utilizando la matriz de rigidez del elemento vector de desplazamiento del elemento
() () .
() ()
y el
QuadraticBarElementStresses (k, u, A): Esta función calcula la fuerza interna del elemento usando la matriz de rigidez del elemento vector de desplazamiento del elemento transversal
()
.
, el
. Y el área de la sección
4. METODOLOGÍA Y PROCEDIMIENTO El procedimiento se realizará con el desarrollo de un ejercicio:
Se tiene la estructura compuesta de dos barras cuadráticas como se muestra en la figura. Dado E=210 MPa, A=0.003 m2. Determinar :
La matriz de rigidez global de la estructura
Los desplazamientos en los nodos 2, 3, 4 y 5.
La reacción en el nodo 1
El esfuerzo interno de los elementos
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
PASO 1: Discretizamos el dominio. El dominio se subdivide en dos elementos y cinco nodos
N°
NODO i
NODO j
NODO m
1
1
3
2
2
3
5
4
ELEMENTO
PASO 2: Escribimos las matrices de rigidez de los elementos
1 2
,
Para este paso primero definimos el módulo de elasticidad, el área transversal y la longitud del elemento. Finalmente hacemos uso de la función QuadraticBarElementStiffness. >> E=210e6
E= 210000000 >> A=0.003 A = 0.0030 >> L=2 L= 2
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
>> k1=QuadraticBarElementStiffness(E,A,L) k1 = 735000
105000
-840000
105000
735000
-840000
-840000
-840000
1680000
>> k2=QuadraticBarElementStiffness(E,A,L) k2 = 735000
105000
-840000
105000
735000
-840000
-840000
-840000
1680000
PASO 3: Generamos la matriz global de rigidez. Dado que la estructura tiene cinco nodos, el tamaño de la matriz será 5x5. Por lo tanto, para obtener K primero establecemos una matriz cero de tamaño 5x5. Finalmente usamos la función QuadraticBarAssemble, la cual irá uniendo los elementos de las barras cuadráticas: >> K=zeros (5, 5) K= 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>> K=QuadraticBarAssemble(K,k1,1,3,2)
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
K= 735000
-840000
105000
-840000
1680000
-840000
105000
-840000
735000
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
>> K=QuadraticBarAssemble(K,k2,3,5,4) K= 735000
-840000
105000
0
0
-840000
1680000
-840000
0
105000
-840000
1470000
-840000
0 105000
0
0
-840000
1680000
-840000
0
0
105000
-840000
735000
PASO 4: Aplicamos las condiciones iniciales. Usamos la matriz de rigidez global, obtenida en el paso anterior:
−840 0 0 735 105 1680 0 0 −840 10 −840 = −840 −840 105 105 1470 1680 −840735] {} {} [ 00 00 −84105 −840 735=0, −840 =5,105 =−10,0 0 =−7,0 =10 1680 0 0 −840 −840 5 10 1050 −8400 1470 = −840 105 −10 1680 −840 −84 −7 [ 0 0 105 −840 735 ] {} { 10}
Aplicamos las condiciones iniciales:
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
PASO 5: Resolvemos el sistema de ecuaciones: Primero extraemos la submatriz en las filas 2 a 5 y columnas 2 a 5:
1680 −840 0 0 735 5 105 −10 10 −84000 −84000 1470−84105 −840 = 1680 −840 −7 −840 735 10
La solución del sistema de ecuaciones se obtiene usando MATLAB, el símbolo de la barra invertida (\) se utiliza para la eliminación Gaussiana.
>> k=K (2:5,2:5) k= 1680000
-840000
0
-840000
1470000
-840000
105000
0
-840000
1680000
-840000
0
105000
-840000
735000
>> f=[5 ; -10 ; -7 ; 10] f= 5 -10 -7 10 >> u=k\f u=
0
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
1.0e-04 * -0.0417 -0.1429 -0.0813 0.0635 El resultado anterior representa los desplazamientos de los nodos 2, 3, 4, 5 respectivamente
PASO 6: Obtenemos las reacciones con los datos anteriores. En este paso obtenemos la reacción en el nodo, y los esfuerzos en cada barra usando MATLAB. Primero configuramos el vector de desplazamiento global U, luego se calcula el vector de fuerza global F: >> U=[0 ; u] U= 1.0e-04 * 0 -0.0417 -0.1429 -0.0813 0.0635 >> F=K*U F= 2.0000 5.0000 -10.0000 -7.0000
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
10.0000 Concluimos que la reacción en el nodo 1 es una fuerza de 2 kN dirigida hacia la derecha, además se satisface el equilibrio de fuerzas. A continuación calculamos los esfuerzos Sigma1 y Sigma2 usando la función QuadraticBarElementStresses.
>> u1= [0 ; U(3) ; U(2)] u1 = 1.0e-04 * 0 -0.1429 -0.0417 >> sigma1=QuadraticBarElementStresses(k1,u1,A) sigma1 = 1.0e+03 * 0.6667 -2.3333 1.6667 >> u2= [U(3) ; U(5) ; U(4)] u2 = 1.0e-04 *
“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA”
-0.1429 0.0635 -0.0813 >> sigma2=QuadraticBarElementStresses(k2,u2,A) sigma2 = 1.0e+03 * -1.0000 3.3333 -2.3333 De los resultados podemos aclarar que los esfuerzos no son constantes dentro de cada elemento, ya que se utilizó elementos de barra cuadrática en lugar de barras lineales.
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES General Se Incorporar el uso del programa MATLAB en el análisis de sistemas estructurales, mediante el método de la barra cuadrática.
Específicos
Se definió los componentes de un sistema estructural mediante una matriz.
Se generó la matriz de rigidez global del sistema, empleando el programa MATLAB.
Se desarrolló la matriz de rigidez global a partir de las condiciones iniciales, empleando la eliminación Gaussiana.
Se calculó el desplazamiento de los nodos, que componen el sistema estructural.
Se calculó los esfuerzos internos producidos en las barras que forman el sistema
estructural.
