Universidad industrial de santander Facultad de ingenierías i ngenierías fisicoquímicas Escuela de ingenieria de petroleos Metodos numericos
MÉTODOS ABIERTOS
Oscar alberto Estevez real
Universidad industrial de santander Métodos numéricos 2010
MÉTODOS ABIERTOS En los métodos de bisección bisección y falsa posición , la raíz se encuentra dentro de un intervalo, fijado fijado por un límite inferior y un límite superior. superior. Repetir la aplicación de estos métodos métodos siempre resulta en estimaciones estimaciones más cerca del valor real de la raíz. Estos métodos se dice que son convergentes, ya que se acercan a la verdad a medida que la computación avanza. Fig. 1.0 Por el contrario, los métodos abiertos descritos en este capítulo son basados en fórmulas que requieren sólo un valor único de x o dos valores de partida que que no son necesarios.
FIG 1.0
La grafica muestra muestra la diferencia fundamental fundamental entre el a)entre fronteras y b) y c) c) métodos abiertos para localización localización de raíces raíces . a) El cual es el método método de bisección y la raíz se encuentra entre el intervalo xl y xu . Lo contrario para los métodos abiertos , la figura en b ) y c) , una formula es usada para proyectar xi a xi +1 en en una manera manera iterativa . Asi lo métodos pueden o b) diverger o C) converger converger rápidamente según el el valor dado inicialmente.
METODO DE NEWTON RAPHSON En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea l ínea de la tangente está en rojo). Vemos que xn + 1 es una aproximación mejor que xnpara la raíz x de la función f.
DESCCRIPCION DEL METODO El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en
ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo l o suficiente. Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f. Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistem si stemas as multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
ALGORITMO Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson. La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración i teración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x 0, f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se logra la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas. Matemáticamente: Matemáticamente:
En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que x n + 1 es una mejor aproximación que xn para el cero (x) de la función f. Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) enserie en serie de Taylor, para un entorno del punto xn:
Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en xn + 1:
Si además se acepta que x n + 1 tiende a la raíz, se ha de cumplir que f(xn + 1 ) = 0, luego, sustituyendo sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo. Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x) = 0, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:
Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) g'(r) es:
Entonces:
Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:
Por tanto, imponiendo i mponiendo subíndices: subíndices:
Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson
CONVERGENCIA DEL METODO El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple, ...), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz. Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ²
de Aitken o
elmétodo de
Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-
Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:
Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x), resultando:
Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) f( x) no es fácilmente derivable. Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos. Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.
VER : http://www.youtube.com/watch?v=PrJsNAR-rhA
METODO DE LA SECANTE En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
Dos primeras iteraciones del método de la secante.
EL METODO El método se define por la relación de recurrencia:
Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.
DERIVACION DEL METODO El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secantepor cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula. VER : http://www.youtube.com/watch?v=X6zixq7_SZQ
MÉTODO DEL PUNTO FIJO Un punto fijo de una función g , es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x)son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo,f(x)=x-g(x) . En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en p, entonces la función definida por f(x)=x-g(x) f(x)=x-g(x) posee un cero en en p.
Las graficas a) y b) convergen y c) y d) divergen divergen . Las graficas graficas a) y c) son llamadas patrones monótonos mientras b) y d) son llamados osciladores o patrones o patrones en espiral espiral . Note que la convergencia convergencia ocurre cuando . El método método de punto fijo inicia con una aproximación inicial
y
genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión .
converge siempre y cuando
Ejemplo Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación dentro del intervalo . Lo primero es buscar una función g(x) adecuada
Y claramente elegimos como función iteradora a
además observe que
para toda , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente. Algoritmo Fuction fixpt(xo.es.imax.iter.ea) Xr=Xo Iter=0 Do Xrold=Xr Xr= g(Xrold) Iter=iter+1 If Xr 0 then Ea=((Xr-Xrold)/Xr)*100 End if If ea
