UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULT ACULTAD DE INGENIE INGENIERÍA RÍA
PROGRAMACIÓN PROGRAMAC IÓN AVANZADA AVANZADA
INVESTIGACIÓN: “MÉTODO DE THOMAS E INTERPO INTE RPOLACI LACION ON LINEAL LINEA L”
FRAGOSO GARCÍA IVÁN JAVIER (6 RICARDO JUÁREZ SANJUAN (!"
PROF# ENRÍ$UEZ SOLIS ADRIANA ALEJANDRA
CALIFICACIÓN:
05 de octubre de 2015.
A%&'')'%&'* El Método de Thomas fue desarrollado por Llewellyn Thomas quien fue un fue un fsico y matem!tico brit!nico e"resado de la #ni$ersidad de %ambrid"e y conocido por sus contribuciones a la fsica at&mica y entre las que m!s destacan est!n' • •
El modelo de Thomas()ermi %orrelaci&n de Thomas
En 1*2* obtu$o un empleo como profesor de fsica en la #ni$ersidad Estatal de +hio, ah permaneci& hasta 1*- en donde pasado ese tiempo, concretamente en 1*-/, se con$irti& en miembro del personal del Laboratorio de %omputaci&n %ientca atson en la #ni$ersidad de %olumbia en donde permaneci& hasta 1*/ y desarroll& el método de Thomas que se dene como un al"oritmo del !l"ebra lineal numérica que tiene como ob3eti$o principal hacer m!s eciente la resoluci&n de matrices tridia"onales. 4os m!s tarde Llewellyn Thomas muri& en 6alei"h, %arolina del 7orte.
+P,-, ./0 *1-2'3 %omo ya di3imos, el método es un al"oritmo de !l"ebra lineal totalmente $!lido para resol$er matrices trian"ulares.
E451,17% )' M0&8)8 8ma"inemos que tenemos la si"uiente matri9'
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Lo que haremos ser! traba3ar con las las en forma similar al método de eliminaci&n de :auss, s&lo que aqu se reempla9a cada la por una combinaci&n lineal de las apropiada, de manera que se anulen los elementos de la dia"onal inferior y los elementos de la dia"onal principal sean unos. ;ara ello en la primera la, se di$iden los coecientes por b 1 y en las las subsi"uientes, se traba3a de la si"uiente manera'
? a i# la =i?1>, resultando'
;ara que el elemento correspondiente a la dia"onal principal sea 1, se di$ide toda la la por bi? ai c@i?1
6esumiendo, la nue$a matri9 tendr! por coecientes' a@ iA0, b@iA 1, para cada i,
#na $e9 obtenida la matri9 trian"ular superior, que en este caso particular tiene s&lo dos dia"onales no nulas, se aplica el al"oritmo de sustituci&n hacia atr!s'
El al"oritmo de Thomas es particularmente econ&mico' requiere una cantidad de operaciones +p=n> A n ? /, que crece linealmente con la cantidad de inc&"nitas. ;ara pre$enir problemas de mal condicionamiento, es necesario que se cumpla la condici&n' Bb iBCBaiB D BciB
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El al"oritmo de Thomas puede "enerali9arse sin dicultades para sistemas cuya matri9 de coecientes es pentadia"onal o tridia"onal en bloques.
Ecuaciones )undamentales de Thomas' a. b. c. d.
#11Ab1 #,Ab?L,?1F#?1, #?1,A%?1 L,?1A aG=#?1,?1>
E9'-118* 1. 4plique el método de resoluci&n de :auss?Hordan a un sistema lineal cuya matri9 de coecientes es una matri9 tridia"onal por bloques y estudie el nImero de operaciones necesarias para obtener la soluci&n.
Tras aplicar el procedimiento de eliminaci&n de :auss, obtendremos un sistema trian"ular superior =bidia"onal>
El c!culo de estos coecientes se denomina iteraci&n hacia adelante. 8nicialmente 05 de octubre de 2015.
con lo que la eliminaci&n de :auss consiste en restar a la se"unda ecuaci&n la primera mutiplicada por
y lo que conduce a'
para A 2, n, y donde hemos tenido mucho cuidado con el orden de la multiplicaci&n porque estamos traba3ando con matrices de bloques en lu"ar de nImeros.
para A n J 1, n J 2, . . . , 1. ANJ1O, nnn A NJ1 =O J P D1>, El nImero de operaciones reali9adas en la iteraci&n hacia adelante es de =n J 1> in$ersas, =n J 1> productos y 2 =n J 1> sumas, y en la iteraci&n hacia atr!s 1 in$ersa si las in$ersas de NJ1 se "uardan durante la iteraci&n hacia adelante, 2 n D 1 productos y n J 1 sumas. Es decir, n in$ersas, 5 n J 2 productos y =n J 1> sumas de bloques. La suma de dos bloques de m Q m utili9a =m J 1> 2 sumas, el producto de dos bloques utili9a m2 =m J 1> sumas y productos, y la in$ersa m $eces las operaciones necesarias para resol$er un sistema lineal, sea +R2mGR sumas y productos. En resumen, se requieren %s=n, m> sumas y %p=n, m> productos, donde'
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INTERPOLACIÓN LINEAL
INTRODUCCION La palabra interpolación significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos !ate"#tica"ente el proble"a de interpolación es $ue dado un conjunto de puntos en la gr#fica de una función% encontrar una función interpolante cu&a gr#fica pase por uno o "#s puntos seleccionados La interpolación es el c#lculo de valores para una función tabulada en puntos $ue no aparecen en la tabla Esto es% apro'i"ar infor"ación discreta o funciones co"plejas a funciones anal(tica"ente sencillas Esto es "u& necesario en el ca"po de la ingenier(a Los no"bres de "uc)os "ate"#ticos fa"osos est#n asociados con procedi"ientos de interpolación* +auss% Ne,ton% -essel & .tirling por "encionar algunos La necesidad de interpolar se inició precisa"ente con los pri"eros estudios de astrono"(a cuando el "ovi"iento de cuerpos celestes deb(a de deter"inarse a partir de observaciones periódicas
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Actual"ente las calculadoras & las co"putadoras calculan los valores de las funciones trigono"/tricas & logar(t"icas por lo $ue &a no es necesario interpolar para conocer valores de senos o cosenos o cual$uier otra función "ate"#tica co"o se )ac(a anterior"ente .in e"bargo los "/todos nu"/ricos constitu&en la base de procedi"ientos co"o derivación e integración nu"/rica & solución de ecuaciones diferenciales ordinarias & parciales Ta"bi/n% estos "/todos de"uestran resultados teóricos i"portantes sobre polino"ios & la e'actitud de los "/todos nu"/ricos Interpolar con polino"ios sirve co"o una e'celente introducción a ciertas t/cnicas para tra0ar curvas suaves
RESEÑA HISTORICA La )istoria de la interpolación co"ien0a con los "ate"#ticos babilónicos & sus trabajos en las tablas e'ponenciales $ue% aun$ue presentan grandes )uecos% no dudaban en interpolar lineal"ente o proporcional"ente para conseguir una apro'i"ación a sus valores inter"edios El desarrollo de la interpolación se entrela0o con los pri"eros desarrollos de las diferencias finitas% e"pe0ando por la cuadratura del c(rculo de 1allis en 2344% con la $ue propuso el principio de 5intercalculo6 o interpolación Esto fue aceptado por Ne,ton en 2373% lo cual le per"itió la derivación de las series bino"icas% es decir% a partir de un proble"a de cuadraturas% Ne,ton pudo obtener el teore"a bino"ial Luego se contin8a con la construcción de fór"ulas pr#cticas de interpolación Aun$ue 5la )istoria de las fór"ulas de interpolación es co"plicada & "u& discutida6% se le puede considerar co"o un potente esti"ulo en los siglos 9:II & 9:III para la evolución independiente de las operaciones funda"entales de la teor(a cl#sica de las diferencias finitas% las cuales se desarrollaron principal"ente para facilitar c#lculos nu"/ricos en astrono"(a% la creación de tablas & la cuadratura "ec#nica La interpolación b#sica utili0ada inicial"ente fue la interpolación lineal en la $ue si en un intervalo ;a% b< conoce"os los valores de una función en los e'tre"os f=a>%
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f=b>% el valor de la función en un punto inter"edio ' estar# dado en ra0ón a las distancias a los puntos a & b
.on ?a"es +egor&% T)o"as @arriot% & el propio Isaac Ne,ton% en el siglo 9:II% los $ue co"ien0an a )acer uso de fór"ulas de interpolación de grado superior% en concreto Ne,ton para deter"inar los puntos inter"edios de la órbita de un co"eta sugiere utili0ar una l(nea parabólica =la cual para Ne,ton es un polino"io cu&o grado puede ir desde )asta 4>
APLICACIONES En la ingenier(a & en cual$uier ciencia% es co"8n contar con un conjunto de datos =valores discretos> a lo largo de un co"porta"iento continuo .in e"bargo% en "uc)as ocasiones se re$uiere tener conoci"iento de una esti"ación en puntos entre los valores discretos Eje"plos* B En la ter"odin#"ica se utili0an tablas de vapor $ue relacionan la presión & el volu"en espec(fico a una te"peratura particular B En los negocios se cuenta con infor"ación de n8"ero de pie0as vendidas & la ganancia obtenida B En el inicio del estudio de la astrono"(a% a partir de observaciones periódicas% estableció las posiciones de los cuerpos celestes eter"inar el volu"en espec(fico a un presión diferente de los datos $ue se tienen% poder calcular la ganancia obtenida con un n8"ero cual$uiera de pie0as vendidas & establecer el "ovi"iento de un cuerpo celeste se pueden obtener interpolando los datos obtenidos
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La interpolación lineal Fórmula Dno de los "/todos de interpolación "#s sencillos es el lineal En general% en la interpolación lineal se utili0an dos puntos% = x a%y a> & = x b%y b>% para obtener un tercer punto interpolado = x %y > a partir de la siguiente fór"ula*
La interpolación lineal es r#pida & sencilla% pero en ciertos casos no "u& precisa .ean dos puntos ='2% &2> & ='% &>% entonces la interpolación lineal consiste en 2
2
2
)allar una esti"ación del valor & % para un valor ' tal $ue '2F' F'
Teniendo en cuenta $ue las variaciones en una relación lineal son constantes entonces pode"os deter"inar por eje"plo las siguientes proporciones* y2 − y1 x2 − x1
=
y3 − y2 x3 − x2
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e igual for"a pode"os deter"inar por eje"plo $ue* y2
−
y1
x2
−
x1
=
y3 − y1
x2
x3 − x1
x3 − x1
−
x1
=
y2
−
y1
y3 − y1
o lo $ue es e$uivalente 2
espejando & obtene"os $ue* y2
=
y1 +
( y3 − y1 )( x2 − x1 ) ( x3 − x1 )
Alguna propie!a!e "#ica !e la proporcione on$
En toda Proporción se cu"ple $ue I> El producto de !edios es igual al producto de E'tre"os
II> Alternar E'tre"os*
III> Alternar !edios*
I:> Per"utar*
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:> Invertir*
:I> Co"poner respecto al Antecedente & Consecuente respectiva"ente*
:II> esco"poner respecto al Antecedente & Consecuente respectiva"ente*
:III> Co"poner & desco"poner a la ve0*
Eje"plo de interpolación lineal* .i $uere"os apro'i"ada"ente deter"inar la "ediana para el ta"aGo de las ordenes% a trav/s de interpolación lineal entonces pode"os proceder de la siguiente "anera*
Ta"aGo de las órdenes durante el pasado aGo fiscal de la co"paG(a Eliot
Ta"aGo de [ 0,10 )
NH de Porcentaje Porcentaje ordenes de ordenes acu"ulado 4J
[ 10,25)
KJ
2
K3K
[ 25,50 )
22J
7
K2
[ 50,100 )
3J
237
34
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[ 100,250)
3J
3K
7
[ 250,500)
KJ
22
K
[ 500,1000 )
34J
23
2JJ
Observando la tabla de distribución de frecuencias ve"os $ue el intervalo $ue
[ 50,100 ) acu"ula el 4JM de los datos es "ediana
% por lo tanto en /l est# contenida la
A)ora suponiendo $ue las frecuencias est#n distribuidas proporcional"ente en el intervalo*
4JK%2 !e4J 2JJ34%
pode"os plantear por eje"plo la siguiente proporción*
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Me − 50
100 − 50
=
50 − 49,1 65,8 − 49,1
espejando
Me
=
50 +
(100 − 50)(50 − 49,1) (65,8 − 49.1)
S
4%
Nota* La interpolación se puede reali0ar tanto con las frecuencias acu"uladas absolutas% co"o con las relativas o relativas porcentuales
R''-'%1,*
CC Matem!ticas para 4dministraci&n, Economa, %iencias , %ristina
CC\Métodos 7uméricos, %4; 888 #7TE6;+L4%8+7\, #78UE], pp. CCMétodos 7uméricos y 4l"ebra M+7ETE66E^, #784 U pp. 100
Lineal,
TE%7+L+:8%+
E
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