Método Símplex

Mg. Jorge Luis Baldárrago Baldárrago

Curso de Investigación Operativa 2016-2

{2,1,0} , con x 1 y x 2 como variables básicas Nos percatamos que podemos realizar 3 diferentes combinaciones de variables no básicas para este sistema lineal de 3 variables en 2 ecuaciones. Sin embargo, cómo determinar el número total de diferentes combinaciones para un número mayor de variables y ecuaciones. Para eso hacemos uso de una operación de conjuntos de gran ayuda para este tipo de cálculos, la combinación:

∁= = ( −)! ! !

Esto se lee como el número de combinaciones de n objetos tomando m a la vez. Acabamos de observar que el método algebraico proporciona soluciones factibles básicas haciendo n-m variables nulas (no básicas). Sin embargo imaginemos resolver un programa lineal de 10 ecuaciones en 15 variables, deducimos lo siguiente:

∁= = ( −)! ! ! →∁=1510= (15−10)15! !10! =3003

Lo que indica que el conjunto de soluciones básicas es de 3003 soluciones que se obtienen de hacer n-m = 15-10 = 5 variables no básicas. Lo que resultaría realmente engorroso y además la imposibilidad de aplicar el método gráfico dado el número de variables. 2.2. Soluciones Factibles Cualquier solución básica que obtengamos para el sistema lineal formado por las restricciones en la cual todas las variables son no negativas es una solución factible básica (o sfb). En la comparación entre el Método Gráfico y el Método Algebraico constataremos que las soluciones factibles básicas para un programa lineal corresponden a los puntos extremos (vértices) de la Región Factible). ֎ Comparación del Método Gráfico y el Método Algebraico:

Sea el PL de Leather Limited: Máx z = 4x 1 + 3x 2 s.a.: x 1 + x 2 ≤ 40 2x 1 + x 2 ≤ 60 x 1, x 2 ≥ 0

Forma estándar1: Máx z = 4x 1 + 3x 2 s.a.: x 1 + x 2 + s 1 = 40 2x 1 + x 2 + s 2 = 60 x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0

Método Gráfico

Método Símplex Algebraico

Observamos que debemos resolver un sistema lineal compuesto por 4 variables (x 1, x 2 , s 1 y s 2 ) y 2 ecuaciones (antiguas restricciones). n -m = 4 - 2 = 2 Debemos escoger un conjunto de 2 variables no básicas las cuales se harán nulas: Tabla 1

Los vértices de la Región Factible son B(0;40),

Variables básicas

Variables No básicas

x 1, x 2

s 1, s 2

x 1, s 1

x 2 , s 2

x 1, s 2

x 2 , s 1

SFB s 1=s 2 =0 x 1=x 2 =20 x 2 , s 2 =0 x 1=30 s 1=10 x 2 , s 1=0 x 1=40 s 2 =-20

Vértice (correspondencia) E z(20;20) = 140 C z(30;0) = 120 No es sfb, s 2 <0

1

Nótese la diferencia entre el método gráfico que utiliza desigualdades, y el método símplex que utiliza ecuaciones resultantes de transformar las desigualdades en ecuaciones agregando variables de holgura o restando variables de exceso como se desarrolla en la Regla de equivalencia N° 4 que detallamos en el punto 3.1. Forma Canónica.

Método Símplex 1

2

Mg. Jorge Luis Baldárrago Baldárrago C(30;0), E(20;20) y F(0;0). Estando la solución óptima en el vértice B, z(20;20) = 140 que representa el valor máximo para le función objetivo.

Curso de Investigación Operativa 2016-2 x 2 , s 1

x 1, s 2

x 2 , s 2

x 1, s 1

s 1, s 2

x 1, x 2

x 1, s 2 =0 s 1=-20 x 2 =60 x 1, s 2 =0 x 2 =40 s 2 =20 x 1, x 2 =0 s 1=40 s 2 =60

No es sfb, s 1<0 B z(0;40) = 120 F z(0;0) = 0

Corolario 1: 





Observamos que la aplicación del método algebraico requiere enumerar todas las soluciones factibles, haciendo n-m variables no básicas (nulas) y verificar sus valores en la Función Objetivo para identificar la solución factible básica óptima. El conjunto de variables no básicas está determinado por cada uno de los pares de la segunda columna de la Tabla 1. Constatamos que cada uno de las soluciones factibles básicas corresponden a los vértices de la Región Factible.

Observamos que en ambos métodos se habla del espacio de soluciones. En el método gráfico, el espacio de soluciones está determinado por la intersección de los semiplanos que representan las m restricciones; y en el método símplex, el espacio de soluciones está representado por las m ecuaciones lineales (restricciones originales) y las n variables no negativas que componen las ecuaciones.

Método Símplex 1

3



3. ¿En qué consiste el método símplex? El método Símplex nos permite resolver programas lineales bajo la forma estándar (o forma equivalente). Forma Estándar o Equivalente max z - c1x1 - c2x2 - … - cnxn = 0 s.a. : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a 2nxn = b2

⋮ ⋮

≥≥

⋮

am1x1 + am2x2 + … + a mnxn = bm xi

0 (i = 1,2,…n) n m

El método símplex tiene como finalidad resolver el sistema de ecuaciones lineales que conforman las restricciones, con el objetivo de maximizar la Función Objetivo, nos damos cuenta que el sistema de ecuaciones tendrá infinitas soluciones ya que se tienen más variables que ecuaciones (Sistema n≥ m). Instantáneamente realizamos lo siguiente: Los problemas estándar de PL son programas lineales de maximización . Todas las restricciones son de igualdad. Todas las variables x i son no negativas.   

Es necesario que el programa lineal se encuentre bajo la forma estándar, pues el algoritmo símplex hace uso de la reducción matricial de Gauss-Jordan para encontrar soluciones 2 que optimicen el valor de la Función Objetivo. Además, recordando los problemas vistos en la unidad anterior, vemos que todos los problemas, ya sean de maximización o de minimización estaban sujetos a restricciones de desigualdad (inecuaciones). La pregunta que surge, ¿cómo convertir los problemas lineales clásicos a la forma estándar o equivalente?

2

≥

Hablamos de soluciones, pues en el recuadro superior encontramos la expresión n m, n representa el número de variables y m el número de ecuaciones (restricciones transformadas en igualdades), por lo tanto sabemos que un sistema de ecuaciones lineales que tiene más variables que ecuaciones no tiene una única solución.

Método Símplex 1

4



3.1. Forma canónica Para convertir cualquier programa lineal a la forma estándar primero debemos asegurarnos que éste se encuentre bajo la forma canónica, para lo cual podemos seguir las siguientes reglas de equivalencia (Prawda, 1992): Forma clásica: 3 Optimizar z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n s.a. : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ⋛ b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ⋛ b 2

⋮

⋮

⋮

a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ⋛ bm x i ≥ 0 (i = 1,2,…n)

Matricialmente el programa lineal se expresa:

   = [  ⋯ ]  =⋮    ⋯⋯      =⋮ ⋮ ⋱⋯ ⋮  =⋮=⋮ 0 0=00⋮ 

( I ) ⋛

Forma general de un PL:

Forma Canónica ( ): Máx Z = CX s.a.: AX B X 0

Optimizar Z = CX AX B

≤≥

X ≥ 0

a. Regla de equivalencia N° 1: Maximizar CX es equivalente a Minimizar Ejemplo: Máx - Z = - 3x 1 - 4x 2 + 5x 3, es equivalente a –CX. Mín -Z = -3x 1 + 4x 2 - 5x 3 Minimizar CX es equivalente a Maximizar Ejemplo: Mín - Z = -16x 1 - 5x 2 , es equivalente a –CX. Máx -Z = -16x 1 + 5x 2 



b. Regla de equivalencia N° 2: La desigualdad AX≤B es equivalente a la desigualdad -AX≥-B. 



c.

La desigualdad AX≥B es equivalente a la desigualdad -AX≤-B.

Ejemplo: - 3x 1 + 4x 2 - 3x 3 ≤ 100, es equivalente a -3x 1 - 4x 2 + 3x 3 ≥ -100 Ejemplo: -12x 1 + 4x 2 ≥ 800, es equivalente a -12x 1 - 4x 2 ≤ -800

Regla de equivalencia N° 3: Toda igualdad de la forma AX = B, puede Ejemplo: descomponerse como la intersección de dos 3x 1 + 4x 2 = 100, es equivalente a desigualdades AX ≤ B y AX ≥ B.

3

Optimizar puede referirse a Maximizar o Minimizar la Función Objetivo.

Método Símplex 1

5


Curso de Investigación Operativa 2016-2 3x 1 + 4x 2 ≤ 100 y 3x 1 + 4x 2 ≥ 100

d. Regla de equivalencia N° 4: Toda desigualdad AX ≤ B puede convertirse en una igualdad mediante la adición de una variable de holgura y i ≥ 0 . De realizarse esto para cada una de las restricciones del programa lineal, matricialmente podemos agrupar las variables de holgura agregadas en un vector columna Y, que tiene m componentes, es decir: 

  00  =⋮≥0⋮ 



 =1124 −34 ,=,=1120→ ≤    ′=1124 −4 3 01 10,  ′=,=1120→ Matricialmente hemos pasado de: AX

B

a

Toda desigualdad AX ≥ B puede convertirse en una igualdad mediante la resta de una variable de exceso z i ≥ 0 . De realizarse esto para cada una de las restricciones del programa lineal, matricialmente podemos agrupar las variables de exceso agregadas en un vector columna Z, que tiene m componentes, es decir:

  00  =⋮≥0⋮ 

Ejemplo: Tenemos las restricciones: 14x 1 - 3x 2 ≤ 10 12x 1 + 4x 2 ≤ 12, es equivalente a: 14x 1 - 3x 2 + x 3 = 10 12x 1 + 4x 2 + x 4 = 12. Para x 3, x 4 ≥ 0

A’X’

=

B

Ejemplo: Tenemos las restricciones: 16x 1 - 8x 2 ≥ 5 7x 1 + 3x 2 ≥ 10 , es equivalente a: 16x 1 - 8x 2 - x 3 =5 7x 1 + 3x 2 - x 4 = 10 . Para x 3, x 4 ≥ 0

 =176 −83,=,=105 → ≥    ′=176 −83 −10 −10,  ′=,=105 → Matricialmente hemos pasado de: AX

B

a

A’X’

=

B

e. Regla de equivalencia N° 5: Una variable no restringida, o sea aquella Ejemplo: que puede tomar toda clase de valores Sea x1 una variable no restringida, entonces: positivos, cero y negativos, puede escribirse x 1 = x 2 - x 3. Para x 2 , x 3 ≥ 0 como la diferencia de dos variables no Si x 2 > x 3, entonces x 1 > 0 . negativas. Si x 2 = x 3, entonces x 1 = 0 . Si x 2 < x 3, entonces x 1 < 0 . Aplicando estas 5 reglas podemos convertir cualquier programa lineal a la forma canónica. Ejemplo: Convertir el siguiente programa lineal a la forma canónica 4: Mín Z = 3x 1 + 4x 2 + x 3 Sujeto a: 0.5x 1 + 2x 2 ≥3 x 2 – x 3 = 4 x 1, x 2 ≥ 0; x 3 no restringida.

4

Ejemplo extraído y adaptado de Prawda, Juan (1992). Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. México: Limusa Editores. 3ª Edición. p. 71.

Método Símplex 1

6



Solución: Primero necesitamos que todos los coeficientes en la función objetivo sean positivos, entonces: -x 4 = x 2

Mediante la regla 1, la función objetivo queda: Máx h = -Z = -3x 1 - 4x 4 x 3 Usando la regla 2, se tiene que la primera restricción queda: -0.5x 1 + 2x 2 ≤ -3, mientras que -x 4 = x 2 Usando la regla 3, la segunda restricción (igualdad) queda como: x 2 – x 3 ≤ 4 x 2 – x 3 ≥ 4 O equivalente a: x 2 – x 3 ≤ 4 -x 2 + x 3 ≤ -4 Por último, utilizamos la regla 5 para x 3 no restringida, por lo que se tiene: x 3 = x 5 – x 6 , para x 5, x 6≥ 0 -x 4 – x 5 + x 6 ≤ 4 x 4 + x 5 - x 6 ≤ -4 Resumiendo tenemos el programa lineal bajo la forma canónica: Máx h = -3x 1 - 4x 4 – x 5 + x 6 Sujeto a: -0.5x 1 + 2x 2 ≤ -3 -x 4 – x 5 + x 6 ≤ 4 x 4 + x 5 - x 6 ≤ -4 x 1, x 4, x 5, x 6≥ 0 3.2. Forma estándar La transformación de cualquier modelo a la forma canónica nos permite tener un punto de partida, sin embargo, el algoritmo símplex utiliza ecuaciones, por lo que ahora necesitamos transitar de la forma canónica a la forma estándar, en la cual las restricciones en forma de desigualdades, son convertidas en ecuaciones utilizando la Regla 4.

Tabla 2 Forma canónica: Maximizar z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n

Forma estándar: Maximizar z - c 1 x 1 - c 2 x 2 - … - c n x n = 0

s.a. : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ b1

s.a. : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + s 1 = b1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ b 2

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + s 2 = b 2

⋮

⋮

⋮

a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ bm

⋮

⋮

⋮

a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + s m = bm

x i ≥ 0 (i = 1,2,…n)

x i , s i ≥ 0 (i = 1,2,…n)

Forma Canónica: Máx Z = CX s.a.: AX B X≥0

Forma Estándar: Máx Z = CX s.a.: A’X’ B X’ ≥ 0 Matricialmente el programa lineal se expresa:

≤

Método Símplex 1

=

7



⎡⎢⋮ ⎤⎥   ⋯  1 0 ⋯ 0  = ⎢⎢⎢⎥⎥⎥ ′=⋮ ⋮ ⋯⋯⋱ ⋮ 00⋮ 10⋮ ⋯⋯1 010 ⎢⎣⋮⎥⎦

El algoritmo símplex tiene como finalidad resolver el sistema A’X’ = B haciendo uso de la reducción gaussiana (desarrollada en la Unidad 1). Al intentar resolver el sistema, encontraremos que hay diferentes soluciones, las cuales están compuestas por variables básicas y no básicas. 3.3.

Algoritmo Símplex Es así que surge la necesidad de desarrollar una alternativa al engorroso método algebraico. La respuesta la encontramos en el algoritmo símplex desarrollado por George Dantzig. El algoritmo símplex nos permite “ahorrarnos” el trabajo de explorar cada una de las soluciones factibles básicas y de explorar sólo aquellas que mejoran el valor de la Función Objetivo hasta encontrar la solución óptima. A continuación mostramos los pasos para resolver una programación lineal a través del algoritmo símplex.

a) Paso 1: Convertir la PL en una forma estándar Este paso consiste en la preparación del programa lineal para poder aplicar el método símplex. Es decir, primero verificar que el programa esté bajo la forma canónica, de ser así, convertimos el programa a la forma estándar. Reescribimos la Función Objetivo: Z - c 1 x 1 - c 2 x 2 - … - c n x n = 0 , es decir enviamos las variables de decisión al primer miembro con sus respectivos coeficientes c i. Convertimos las desigualdades en ecuaciones agregando variables de holgura s i, aplicando la Regla de equivalencia 4 . La adición de las variables de holgura en las restricciones crea la primera base, veremos en el Tableau Símplex forman una matriz identidad de orden mxm ( porque hay m restricciones ). La primera solución factible básica es x i = 0 , además las variables de holgura son iguales a los términos independientes de cada restricción s i = bi (demostración en clase). Entonces la primera solución factible básica es (0,…,0, b1,b 2 ,…,bm ), y las variables originales x i son no básicas y las variables de holgura son básicas. El valor de la F.O. para esta primera solución es 0, debido a que las variables de holgura no participan de la F.O., o lo que es lo mismo decir, sus coeficientes son nulos en la F.O. 







Método Símplex 1

8



b) Paso 2: Construir el Tableau Símplex o Tabla de Programación Lineal Maximizar z - c 1 x 1 - c 2 x 2 - … - c n x n = 0 Z x 1 s.a. : a x + a x + … + a x + s = b 11 1

12 2

1n n

1

1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + s 2 = b 2

⋮

⋮

x 2

…

x n

s 1

s 2

…

s m

Valor inicial de la F.O.

Coeficientes de las variables en la Función Objetivo

⋮

a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + s m = bm

Iteración #

x i , s i ≥ 0 (i = 1,2,…n)

Forma Estándar : Máx Z -CX s.a.: A’X’ B X’ ≥ 0 Matricialmente el programa lineal se expresa:

=

′=⋮ ⋮ ⋯⋯⋯⋱ ⋮ 100⋮ 010⋮ ⋯⋯⋯1 0001 ⎡⎢⋮ ⎤⎥  = ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎢⎣⋮⎥⎦

V a ( d r e i a h b l o l e s g u b r a á i ) s c a s

Coeficientes de las variables originales x i en las restricciones

Z máx

Coeficientes de las variables de holgura s i en las restricciones

i n d e p r e e s n T t é r i d i r m c e c n i i n o t e n s o s e s d e l a s

Transcribiendo los coeficientes respectivos obtenemos el Tableau General Símplex

Iteración 0

Z 1

x 1 -c 1

x 2 -c 2

… …

x n -c n

s 1 0

s 2 0

… 0

s m 0

Z máx 0

s 1

a 11

a 12

…

a 1n

1

0

0

0

b1

s 2

a 21

a 22

…

a 2n

0

1

0

0

b 2

⋮

⋮

⋮

0

0

1

0

⋮

s m

a m1

a m2

0

0

0

1

bm

⋱

…

a mn

Método Símplex 1

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c) Paso 3: Obtención de una solución factible básica óptima a partir de la forma estándar Continuando con el ejemplo de Leather Limited, construimos el Tableau Símplex respectivo: PL de Leather Limited: Máx z = 4x 1 + 3x 2 s.a.: x 1 + x 2 ≤ 40 2x 1 + x 2 ≤ 60 x 1, x 2 ≥ 0

Forma estándar: Máx z - 4x 1 - 3x 2 s.a.: 2 x 1 + x 2 + s 1 + s 2 = 40 2x 1 + x 2 + s 1 + s 2 = 60 x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0

0

Tableau Símplex para Leather Limited Z x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx 1 -4 -3 0 0 0 s 1 e 1 1 1 0 40 s a B s 2 1 0 1 60 2

En esta etapa preliminar tenemos como variables básicas VB = {s 1, s 2 } y variables no básicas VNB={x 1, x 2 } , si reemplazamos estas coordenadas en la F.O. obtenemos: Máx z = 4x 1 + 3x 2 = 4(0) + 3(0) = 0 Como vimos anteriormente, existen otras soluciones factibles que maximizan la F.O. Entonces buscamos una solución mejor, para lo cual es necesario observar los coeficientes de las variables de decisión en la F.O.

Condición de optimalidad (para conocer la columna pivote) Por lo común el método símplex se inicia en el origen, pero vemos que este punto no nos proporciona el valor máximo para la F.O. Para encontrar una solución factible básica que mejore la F.O., identificamos la variable que produce el incremento, el mayor grado de mejora en Z 5. En nuestro caso sería la variable que tenga el coeficiente menor (el más negativo): -4 es menor que -3, entonces hacemos ingresar a la variable x 1 a la base, vemos en el gráfico que la variable x 1.



c) Paso 3: Obtención de una solución factible básica óptima a partir de la forma estándar Continuando con el ejemplo de Leather Limited, construimos el Tableau Símplex respectivo: PL de Leather Limited: Máx z = 4x 1 + 3x 2 s.a.: x 1 + x 2 ≤ 40 2x 1 + x 2 ≤ 60 x 1, x 2 ≥ 0

Forma estándar: Máx z - 4x 1 - 3x 2 s.a.: 2 x 1 + x 2 + s 1 + s 2 = 40 2x 1 + x 2 + s 1 + s 2 = 60 x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0

0


En esta etapa preliminar tenemos como variables básicas VB = {s 1, s 2 } y variables no básicas VNB={x 1, x 2 } , si reemplazamos estas coordenadas en la F.O. obtenemos: Máx z = 4x 1 + 3x 2 = 4(0) + 3(0) = 0 Como vimos anteriormente, existen otras soluciones factibles que maximizan la F.O. Entonces buscamos una solución mejor, para lo cual es necesario observar los coeficientes de las variables de decisión en la F.O.

Condición de optimalidad (para conocer la columna pivote) Por lo común el método símplex se inicia en el origen, pero vemos que este punto no nos proporciona el valor máximo para la F.O. Para encontrar una solución factible básica que mejore la F.O., identificamos la variable que produce el incremento, el mayor grado de mejora en Z 5. En nuestro caso sería la variable que tenga el coeficiente menor (el más negativo): -4 es menor que -3, entonces hacemos ingresar a la variable x 1 a la base, vemos en el gráfico que la variable x 1. Esta regla define la variable de entrada. Condición de Factibilidad (para conocer la fila pivote) Ahora debemos identificar la variable que deja la base (variable de salida), la cual se vuelve no básica a un nivel de cero. Además debemos determinar cuánto podemos incrementar la variable x 1. Analizando la Región Factible en el gráfico, observamos que x 1 puede incrementarse hasta el vértice C , más allá de este punto salimos de la Región Factible y nos encontramos con soluciones no factibles. Sin embargo, en los PL de más de dos variables no disponemos de esta guía para conocer la factibilidad del incremento de la variable de entrada, entonces en el Tableau Símplex aplicamos la Prueba del Cociente. Esta prueba consiste en determinar la variable de salida calculando las relaciones del lado derecho de las restricciones (ecuaciones) con los coeficientes estrictamente positivos (imposibilitando así el cero) de la columna de la variable de entrada x 1. Así, hemos identificado el pivote que nos permitirá aplicar operaciones de filas de Gauss-Jordan para encontrar la solución óptima. Verificamos ambas condiciones en el Tableau para encontrar el primer pivote:

0


Prueba del cociente

40/1=40 60/2=30

5

El método símplex no permite el cambio simultáneo de las variables: En cambio incrementa una a la vez.

Método Símplex 1

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Convertimos el elemento en pivote, mediante operaciones de filas:

1

Tableau Símplex para Leather Limited Z x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx 1 -4 -3 0 0 0 s 1 e 1 1 1 0 40 s a B s 1 1/2 0 1/2 30 2

Reducimos los elementos tanto por encima como por debajo del pivote: Tableau Símplex para Leather Limited Z x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx 1 -4 -3 0 0 0 s 1 e 1 0 1/2 1 -1/2 10 s a B s 1 1/2 0 1/2 30 2 Z 1

x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx 0 -1 0 2 120 s 1 e 1 0 1/2 1 -1/2 10 s a B x 1 1/2 0 1/2 30 1 Hemos encontrado la sfb x 1=30, x 2 =0, s 1=10, s 2 =0 , tenemos VB = {x 1, s 1 } y VNB = {x 2 , s 2 } Para saber si esta solución es óptima volvemos a aplicar las condiciones de optimalidad y de factibilidad: Condición de Optimalidad: Encontramos que aún podemos incrementar la variable x 2 , o lo



que es lo mismo que verificar si alguno de los coeficientes de las variables originales x i es negativo. Entonces la variable de entrada en la segunda iteración es x 2 . 

Condición de factibilidad: Aplicamos la prueba del cociente comparando términos independientes del lado derecho de las restricciones (ecuaciones) con los coeficientes estrictamente positivos (imposibilitando así el cero) de la columna de la variable de entrada x 2 :

Prueba del x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx cociente 0 -1 0 2 120 10/(1/2)=20 e 2 0 1/2 1 -1/2 10 2 s x a B x 30/(1/2)=60 1 1/2 0 1/2 30 1 Convertimos el nuevo pivote en 1 y aplicamos operaciones de filas de Gauss-Jordan para encontrar la nueva sfb.

Z 1

Z 1

x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx 0 0 2 1 140 e 2 0 1 2 -1 20 2 s x a B x 1 0 -1 1 20 1 Hemos encontrado la solución óptima x 1=20, x2=20, s1=0, s2=0. Sin embargo, en un PL de más de dos variables, el criterio para saber cuándo detener las iteraciones es que ninguno de los coeficientes de las variables originales en F.O. no sea negativo.

Método Símplex 1

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Observamos que el valor óptimo para la F.O. es de 140 y los valores para las variables de decisión los obtenemos de la columna Z máx. Z 1 0

e s a B

s 1 s 2

Z 1 1

e s a B

s 1 x 1

x 1 -4 1 2

x 2 -3 1 1

s 1 0 1 0

s 2 0 0 1

Z máx 0 40 60

x 1 0 0 1

x 2 -1 1/2 1/2

s 1 0 1 0

s 2 2 -1/2 1/2

Z máx 120 10 30

Z 1

x 1 x 2 s 1 s 2 Z máx 0 0 2 1 140 e 2 0 1 2 -1 20 2 s x a B x 1 0 -1 1 20 1 Ahora podemos hacer una comparación entre el método gráfico y el algoritmo símplex, vemos que el algoritmo ha iniciado en el punto F(0;0), luego en la primera iteración ha pasado al punto C(30;0) y finalmente pasó al punto E(20;20) donde se encuentra la solución óptima para el PL de Leather Limited.

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Ejercicios Propuestos 1. Un experto en finanzas planea invertir hasta $500,000 en dos proyectos. Del proyecto A se obtiene un

rendimiento de 10% sobre la inversión, mientras que del proyecto B se obtienen un rendimiento de 15% sobre la inversión. Debido a que la inversión en el proyecto B es más riesgosa que la inversión en el proyecto A, el experto en finanzas ha decidido que la inversión en el proyecto B no debe exceder 40% de la inversión total. ¿Cuánto debe invertir en cada proyecto para maximizar el rendimiento sobre su inversión? 2. National Business Machines fabrica dos modelos de máquinas de fax: A y B. Fabricar cada modelo A

cuesta $100 y cada modelo B cuesta $150. Las utilidades son de $30 para cada modelo A y $40 por cada modelo B de aparatos de fax. Si la demanda total de aparatos de fax al mes no es superior a 2500 y la empresa ha destinado no más de $600,000 por mes para los costos de fabricación, ¿cuántas unidades de cada modelo debe fabricar National cada mes con el fin de maximizar su utilidad mensual? 3. Un agricultor planea sembrar dos cultivos, A y B. El costo de sembrar el cultivo A es de $40/acre

mientras que el cultivo B es de $60/acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponible para el cultivo de la tierra. Cada acre del cultivo A requiere 20 horas de trabajo y cada acre de cultivo B requiere 25 horas de trabajo. El agricultor tiene un máximo de 3300 horas de trabajo disponibles. Si espera obtener un beneficio de $150/acre del cultivo A y $200/acre del cultivo B, ¿cuántos acres de cada cultivo debe sembrar a fin de maximizar su utilidad? 4. Madison Finance cuenta con un total de $20 millones destinados a préstamos de vivienda y de

automóviles. En promedio, los préstamos de vivienda tienen una tasa anual de rendimiento de 10% mientras que los préstamos automotrices generan una tasa anual de rendimiento de 12%. La gerencia también ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios debe ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos automotrices. Determine la cantidad total de préstamos de cada tipo que Madison debe extender a cada categoría a fin de maximizar sus rendimientos. 5. Una empresa fabrica dos productos, A y B, en dos máquinas, I y II. Se ha determinado que la empresa

obtendrá una utilidad de $3 por cada unidad del producto A y una utilidad de $4 por cada unidad del producto B. Para fabricar una unidad del producto A se requieren 6 minutos en la máquina I y 5 minutos en la máquina II. Para fabricar una unidad del producto B se requieren 9 minutos en la máquina I y 4 minutos en la máquina II. Se tienen disponibles 5 horas de tiempo en la máquina I y 3 horas de tiempo en la máquina II en cada turno de trabajo. ¿Cuántas unidades de cada producto se deben fabricar en cada turno para maximizar las utilidades de la empresa? 6. Un agricultor planea sembrar dos cultivos, A y B. El costo de sembrar el cultivo A es de $40/acre

mientras que el cultivo B es de $60/acre. El agricultor tiene un máximo de $7200 disponible para el cultivo de la tierra. Cada acre del cultivo A requiere 20 horas de trabajo y cada acre de cultivo B requiere 25 horas de trabajo y el agricultor tiene un máximo de 3300 horas de trabajo disponibles. La preparación de los terrenos de cultivo requiere de 25 kg de fertilizante por acre de cultivo A y de 50 kg de fertilizante por acre de cultivo B, y sólo se disponen de 5000 kg de fertilizante en total. Si espera obtener un beneficio de $800/acre del cultivo A y $1200/acre del cultivo B y además se sabe que al menos debe sembrar 125 acres de cultivo B, ¿cuántos acres de cada cultivo debe sembrar a fin de maximizar su utilidad? 7. Ashley ha destinado un máximo de $250,000 para invertir en tres fondos de inversión: un fondo del

mercado de dinero, un fondo internacional de renta variable y un fondo de crecimiento y renta. El fondo del mercado de dinero tiene una tasa de rendimiento de 6% anual, el fondo de renta variable de 10% anual y el fondo de crecimiento y renta de 15% anual. Ashley ha estipulado que no más de 25% del total de su portafolio debe estar en el fondo de crecimiento y renta y que no más de 50% debe estar en el Método Símplex 1

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fondo de renta variable internacional. Para maximizar el rendimiento de su inversión, ¿cuánto debe invertir Ashley en cada tipo de fondo? 8. Química del Sur opera dos yacimientos de minerales. El primero en Ilo, permite obtener $260,000 de

utilidades diarias, se sabe que requiere 50 horas de maquinaria pesada y 3 TM explosivos al día. El segundo yacimiento ubicado en Tacna aporta $210,000 de utilidades diarias y requiere 75 horas que maquinaria pesada y 1 TM de explosivos al día. Además se sabe que la explotación de cada yacimiento requiere de 1000 horas-hombre y 800 horas-hombre, respectivamente para cada yacimiento al día, y sólo se disponen de 12000 horas-hombre. La disponibilidad de la maquinaria pesada es de 750 horas (debido al presupuesto ajustado del Departamento de Operaciones) y 18 TM de explosivos. ¿Cuántos días debe operarse cada yacimiento de manera que el objetivo pueda lograrse maximizando las utilidades? 9. AFP “Las Américas” ha identificado dos alternativas de inversión: bonos del gobierno Peruano y bonos

del gobierno kazajo Los costos son de $8 y $12 por cada bono respectivamente. Por cada bono del gobierno peruano se financia la creación de 200 puestos de trabajo, y por cada bono del gobierno kazajo que se compra se crean 250 puestos de trabajo. También se sabe que por cada bono del gobierno peruano y uzbeco se financia la educación de 100 niños. Dentro de los objetivos de responsabilidad social de la empresa están la creación de al menos 33000 puestos de trabajo y de financiar la educación de 74000 niños. ¿Cuántos bonos debe comprar de cada país para minimizar su inversión cumpliendo con sus objetivos de responsabilidad social? 10.AguaDulce pesquería tiene 2 lanchas pesqueras que cuyos costos de operación son de $15,000 y

$22,000 por día respectivamente. Un estudio de mercado revela que la demanda de especies marinas de la temporada es al menos de 13000 Ton de corvina al día, 360000 Ton de perico y 30000 Ton de caballa. La primera lancha puede capturar 50 Ton de corvina, 3000 Ton de perico y 150 Ton de caballa cada día. La segunda lancha puede capturar 75 Ton de corvina, 1000 Ton de perico y 100 Ton de caballa cada día. ¿Cuántos días debe operarse cada lancha de manera que el objetivo pueda lograrse minimizando los costos? 11. Se tiene dos compuestos necesarios A y B para la preparación de los terrenos para la época de siembra.

Se desea minimizar el aporte de sulfatos sabiendo que cada porción de compuesto A y B contiene 20 mg y 50 mg respectivamente. Además se sabe que la combinación de ambos debe contener un mínimo de 400 mg de fosfatos y 10 mg de compuestos orgánicos. Cada porción del compuesto A contiene 40 mg de fosfatos y 2 mg de compuestos orgánicos. Cada porción de compuesto B contiene 25 mg de fosfatos y 0.5 mg de compuestos orgánicos. Calcule cuántas porciones de cada tipo de compuesto se deben utilizar en la preparación del terreno de modo que se minimice el contenido de sulfatos y se cumplan los requerimientos en fosfatos y compuestos orgánicos. 12. Una empresa fabrica dos tipos de artefactos: manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su

fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante 2 horas, de 1 hora en la máquina B y de 1 hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponible por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y horas, respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica, ¿cuántos de ellos de cada tipo se deben de elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? 13.Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos A, B y C. Las necesidades

mínimas son de 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. existen en el mercado dos marcas populares de fertilizante. El llamado “Crecimiento Rápido” cuesta $4 el costal y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C. El denominado “Crecimiento Normal”, cuesta $3 el costal y contiene 2 unidades de cada Método Símplex 1

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ingrediente. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene el mínimo de los ingredientes nutritivos que se requieren, ¿cuántos costales de cada marca debe comprar? 14. Una dieta debe contener cuando menos 16 unidades de carbohidratos, 18 unidades de omega 6 y 20

unidades de proteína. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos, 2.5 de omega y 4 de proteína; el B contiene 2 unidades de carbohidratos, 1.5 de omega y 1 de proteína. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y B cuesta $0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben de adquirirse para minimizar los costos? 15.Un padre de familia va a comprar un suplemento alimenticio que contiene 3 substancias nutritivas: A, B

y C. Los requisitos mínimos semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales de suplementos. La marca I cuesta $4 el paquete, contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La marca II cuesta $5 el paquete y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Determinar la cantidad de paquetes de cada marca que debe comprarse cada semana para minimizar los costos y satisfacer los requisitos nutritivos.

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ingrediente. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene el mínimo de los ingredientes nutritivos que se requieren, ¿cuántos costales de cada marca debe comprar? 14. Una dieta debe contener cuando menos 16 unidades de carbohidratos, 18 unidades de omega 6 y 20

unidades de proteína. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos, 2.5 de omega y 4 de proteína; el B contiene 2 unidades de carbohidratos, 1.5 de omega y 1 de proteína. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y B cuesta $0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben de adquirirse para minimizar los costos? 15.Un padre de familia va a comprar un suplemento alimenticio que contiene 3 substancias nutritivas: A, B

y C. Los requisitos mínimos semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales de suplementos. La marca I cuesta $4 el paquete, contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La marca II cuesta $5 el paquete y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Determinar la cantidad de paquetes de cada marca que debe comprarse cada semana para minimizar los costos y satisfacer los requisitos nutritivos.

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