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Método dos Elementos Finitos Estruturas Planas Articuladas Exercícios Resolvidos

L. Lourenço, J. Barros

Relatório 07-DEC/E-05

Data: Março de 2007 N.º de páginas: 27 Palavras chave: MEF, Estruturas Articuladas

Escola de

Departamento de

Universidade

Engenharia

Engenharia Civil

do Minho

Azurém, 4800-085 Guimarães - Tel. 253 510 200 - Fax 253 510 217 - E-mail [email protected]

Universidade do Minho

Departamento de Engenharia Civil

Resumo No presente relatório apresenta-se a aplicação do Método dos Elementos Finitos (MEF) para o cálculo dos deslocamentos nodais, esforços nas barras e reacções dos apoios em estruturas planas biarticuladas (treliças). Se o peso próprio destas barras for desprezado, estas ficam submetidas apenas a esforços axiais, estando sujeitas a extensões segundo o seu eixo, isto é, todos os pontos de uma determinada secção da barra sofrem o mesmo deslocamento, paralelo ao eixo da barra. A selecção dos exercícios apresentados visa a exemplificação e discussão de aspectos que os autores julgam fundamentais para a aplicação do MEF em estruturas planas biarticuladas. Os quatro exercícios apresentados têm diferentes objectivos: 1 - No primeiro exercício uma estrutura plana, constituída por barras biarticuladas de secção constante, é discretizada por elementos de dois nós; expõem-se os passos necessários para a obtenção da matriz de rigidez de uma estrutura e do vector das forças nodais equivalentes às acções actuantes. Da resolução do sistema de equações, obtêm-se os deslocamentos nodais e reacções nos apoios. Por último, são obtidos os esforços nas barras. 2 – No primeiro exercício todas as barras são discretizadas pelo mesmo tipo de elemento finito. Contudo, a discretização de barras pode ser efectuada por intermédio de um maior número de elementos ou de elementos com maior número de nós. O exercício 2 tem por objectivo atender a este assunto. Trata-se de uma estrutura constituída apenas por uma barra de secção constante, onde se analisam os resultados obtidos através da discretização da mesma recorrendo a um elemento de dois nós, dois elementos de dois nós e um elemento de três nós. 3 – O exercício 3 surge como complemento ao exercício anterior. Contudo, o exercício 3 é dedicado ao caso de uma barra de secção variável. Discute-se a necessidade de recorrer a uma discretização da barra por um maior número de elementos de forma a obter-se uma solução mais aproximada da exacta. 4 – Por último, e para uma estrutura plana constituída por barras biarticuladas, de secção constante e variável, sugere-se o cálculo de alguns coeficientes da matriz de rigidez da estrutura, algumas linhas do vector solicitação e o cálculo dos esforços presentes numa das barra a partir dos deslocamentos nos nós.

Método dos Elementos Finitos – Estruturas Articuladas Planas – Exercícios Resolvidos - 2/27

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Exercício 1 Considere-se a treliça plana representada na Figura 1, discretizada com um elemento de dois nós em cada barra. Pretende-se conhecer os deslocamentos nodais, os esforços nas barras e as reacções nos apoios (dados: EA L = 50000 kN / m ). F 35º

5

3

[E]

[C] [B]

1

4

[A]

5

[D]

2 5

5

Figura 1 – Treliça Plana

O primeiro passo para a resolução do exercício passa pela discretização de cada uma das barras da estrutura com elementos de dois nós, como sugerido. Estando perante uma estrutura articulada plana discretizada em cinco elementos e quatro nós, e dado existirem dois graus de liberdade por nó, a estrutura apresenta oito graus de liberdade nodais. Na Figura 2 apresentam-se os graus de liberdade nodais referidos, no referencial geral. u g32

3

u g31

(5)

(3) u g12

g u 11

4

(2)

1

u g42 g

u 41 (1)

(4) u g22

2

u g21

Figura 2 – Graus de liberdade nodais



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Departamento de Engenharia Civil a) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura Seguidamente procede-se ao cálculo da matriz de rigidez da estrutura, sendo para isso necessário calcular a matriz de rigidez dos elementos que a constituem. A matriz de rigidez de um elemento genérico de pórtico plano é constituída pela soma das matrizes de rigidez relativas à deformação axial, flexão e corte:

K

(e)

(e)

(e)

(e)

= Ka + K f + Kc

(1)

em que

∫ [B ]

(e)

T

Ka =

a

EAB a dl1

(2)

L( e ) (e)

Kf =

∫ [B ] EI T

f

l 3

B f dl1

(3)

(e)

L (e)

Kc =

∫ [B ] G(A ) B dl l * 2

T

c

c

(4)

1

L( e )

Dado estar-se a analisar uma treliça, a única deformação possível é a axial, pelo que

K

(e)

(e)

= Ka

(5)

com,

L ds1 2

(6)

L T = ∫ [B a ] EAB a ds1 2 −1

(7)

dl1 = Assim,

K

(e)

1

A matriz B a , para um nó genérico de n nós é dada por:

⎡ 2 dN1 Ba = ⎢ ⎣ L ds1

0

2 dN 2 L ds1

0 ...

2 dN n L ds1

⎤ 0⎥ ⎦

(8)

pelo que, para o caso de um elemento de dois nós, (7) passa a apresentar o seguinte formato



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K

(e)

⎡ 2 dN1 ⎤ ⎢ L ds ⎥ 1 1 ⎢ ⎥ ⎡ 2 dN1 L 0 = ∫ ⎢ 2 dN ⎥ EA ⎢ 2⎥ 2 −1 ⎢ ⎣ L ds1 ⎢ L ds1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣

0

⎤ 0⎥ ds1 ⎦

2 dN 2 L ds1

(9)

Para se concluir o cálculo da matriz de rigidez do elemento de dois nós, é ainda necessário conhecer as derivadas das funções de forma. A função de forma para um nó genérico i é dada por

N i ( s1 ) =

⎛ s1 − s j1 ⎞ ⎜ ⎟ ∏ ⎜ ⎟ − s s j =1( j ≠i ) ⎝ i ,1 j1 ⎠ n

(10)

Para um elemento Lagrangeano de dois nós, s11 = −1 e s21 = +1 , pelo que se obtém

N1 (s1 ) =

s1 − s21 s − (+ 1) 1 = (1 − s1 ) = 1 s11 − s21 − 1 − (+ 1) 2

(11)

N 2 (s1 ) =

s1 − s11 s1 − (− 1) 1 = = (1 + s1 ) s21 − s11 1 − (− 1) 2

(12)

Atendendo a (11) e (12), obtém-se

1 dN1 =− 2 ds1

(13)

dN 2 1 = ds1 2

(14)

Substituindo (13) e (14) em (9) temos

K

(e)

⎡ 2 1⎤ ⎢− L 2 ⎥ 1 ⎥ L ⎢ ⎡ 21 = ∫ ⎢ 201 ⎥ EA ⎢− 2 −1 ⎢ ⎣ L2 ⎥ L 2 ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦

0

21 L2

⎤ 0⎥ ds1 ⎦

(15)

ou



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K

(e)

⎡ 1⎤ ⎢− 2 ⎥ 1 L22 ⎢ 0 ⎥ ⎡ 1 = ⎢ 1 ⎥ EA ⎢− ∫ 2 L L −1 ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦

1 2

0

⎤ 0⎥ ds1 ⎦

(16)

Sendo o módulo de elasticidade do material que constitui a barra e a área da secção transversal desta constantes, resulta

K

(e)

⎡ 1⎤ ⎢− 2 ⎥ 1 2 EA ⎢ 0 ⎥ = ⎢ ⎥ L −∫1 ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ 0 ⎦

⎡ 1 ⎢⎣− 2

⎤ 0⎥ ds1 ⎦

1 2

0

(17)

O cálculo do integral presente em (17) será efectuado por intermédio da integração numérica de Gauss Legendre. Pode, contudo, ser efectuado analiticamente. O primeiro passo para a integração numérica de Gauss Legendre passa por determinar o número de pontos necessários (pontos de integração de Gauss) que permite calcular, de forma exacta, o integral. Sabe-se que, com n pontos de Gauss, se integra, de modo exacto, um polinómio de grau 2n-1; sabe-se também que nos pontos de uma quadratura de Gauss-Legendre de ordem n, um polinómio de grau n e outro de grau n-1 tomam o mesmo valor. Como a função a integrar é um polinómio de grau zero, a utilização de um único ponto de integração (PI) é suficiente (a utilização de 1 ponto de integração, n = 1, permite a integração de um polinómio de grau 1 ou inferior, 2x1-1=1). A Tabela 1 inclui o número de pontos de integração necessários para a integração de funções polinomiais de grau 1 a 5, bem como as coordenadas normalizadas dos pontos de integração a adoptar e os respectivos pesos, Wi. Tabela 1 – Integração Numérica de Gauss Legendre

Número de pontos de integração n

Grau do polinómio 2n-1

Coordenadas normalizadas dos pontos de integração si

Pesos Wi

1

1

0.0

2.0

2

3

3

5

−1

3

1

3

− 3

5

0

3

5

1 1 5/9 8/9 5/9



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Departamento de Engenharia Civil A integração numérica da função a integrar é efectuada através do somatório de n “parcelas” (relembra-se que n é o número de pontos de integração). As referidas “parcelas” são obtidas multiplicando a função a integrar (onde s1 é substituído pela coordenada normalizada do respectivo ponto de integração), pelo respectivo peso, Wi. Utilizando a integração numérica de Gauss Legendre para resolver a expressão apresentada em (17),

K

(e)

⎛⎡ 1⎤ ⎜ ⎢− ⎥ 2 (e) ⎜ ⎛ 2 EA ⎞ ⎜ ⎢ 0 ⎥ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ L ⎠ ⎜⎢ 1 ⎥ ⎜⎢ 2 ⎥ ⎜ 0 ⎝⎣ ⎦

⎡ 1 ⎢⎣− 2

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎤ 0⎥ 2 ⎟ ⎦ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 2

(18)

Conclui-se, assim, que a matriz de rigidez de um elemento finito de dois nós, no seu referencial local, considerando apenas a deformação axial e admitindo módulo de elasticidade e secção constantes ao longo da barra, é dada por:

⎡1 ⎢ ⎛ EA ⎞ ⎢ 0 =⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎢− 1 ⎢ ⎣0 (e)

K

( e)l

0 −1 0 0 0 1 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

(19)

Atendendo aos dados fornecidos no enunciado do problema,

K

(1) l

= K

( 2)l

= K

( 3) l

= K

( 4)l

= K

(5) l

⎡ 50 ⎢ 0 = ⎢ ⎢− 50 ⎢ ⎣ 0

0 − 50 0 0 0 50 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 3 10 0⎥ ⎥ 0⎦

(20)

Dado existirem elementos com referenciais locais que não coincidem com o referencial geral da estrutura, é necessário transformar a matriz de rigidez dos elementos para um único referencial, o geral. Para tal recorre-se à matriz de transformação que relaciona deslocamentos e forças entre os referenciais local do elemento e geral da estrutura. Para um elemento de uma estrutura articulada bidimensional a matriz que converte estes dados do referencial local para o geral da estrutura tem o seguinte formato (in Barros, 2005 - “Método dos deslocamentos” - páginas 4.3 e 4.4):

T

( e ) lg

⎡T ( e ) lg 0 ⎤ =⎢ 1 ( e ) lg ⎥ T 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0

(21)

Em que



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( e ) lg

Ti

⎡cos α =⎢ ⎣ senα

− senα ⎤ cos α ⎥⎦

(22)

é a matriz que transforma os graus de liberdade do nó i do referencial local para o geral. Para os elementos da estrutura em estudo, as correspondentes matrizes de transformação terão o seguinte formato:

T

(1) lg

=T

( 5 ) lg

T

T

( 3) lg

⎡ 2 ⎢ ⎢ 2 ⎢− 2 ⎢ =⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0

( 2 ) lg

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

T

⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

2 2 2 2

−

0

0

0 2 2 2 − 2

0

2 2 2 2 0

0

0

0 1 0 0

0

( 4 ) lg

2 2 2 2

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

0 0 1 0 0 0 2 2 2 2

⎡0 − 1 ⎢1 0 =⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2⎥ ⎥ 2 ⎥ 2⎥ 2 ⎥⎦

(23)

(24)

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2⎥ ⎥ − 2 ⎥ 2 ⎥ 2 ⎥⎦

0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ 0 − 1⎥ ⎥ 1 0⎦

(25)

(26)

A matriz de rigidez de um elemento finito genérico e no referencial geral da estrutura é obtida por intermédio de

K

(e) g

=T

( e ) lg

K

( e)l

[T ]

( e ) lg T

(27)

em que: Método dos Elementos Finitos – Estruturas Articuladas Planas – Exercícios Resolvidos - 8/27


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K T

(e) g

(e ) lg

K

( e )l

- é a matriz de rigidez de um elemento finito no referencial geral; - é a matriz de transformação do referencial local do elemento para o geral da estrutura; - é a matriz de rigidez de um elemento finito no seu referencial local;

[T ] - é a transposta de T ( e ) lg T

(e)l

.

A matriz de rigidez do elemento finito que discretiza a barra 1, no referencial geral da estrutura, é obtida através de (27), atendendo a (20) e (23).

K

(1) g

⎡ 2 ⎢ ⎢ 2 ⎢− 2 ⎢ =⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0

2 2 2 2 0 0

0 0 2 2 2 − 2

K

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2⎥ ⎥ 2 ⎥ 2⎥ 2 ⎥⎦

(1) g

⎡ 50 ⎢ 0 ⎢ ⎢− 50 ⎢ ⎣ 0

0 0 0 0

⎡ ⎢ ⎢ − 50 0⎤ ⎢ 0 0⎥⎥ 3 ⎢ 10 ⎢ 50 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0⎦ ⎢ ⎢ ⎢⎣

2 2 2 2

−

2 2 2 2

0

0

0

0

0 0 2 2 2 2

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2⎥ ⎥ − 2 ⎥ 2 ⎥ 2 ⎥⎦

(28)

⎡ 25 − 25 − 25 25 ⎤ ⎢− 25 25 25 − 25⎥⎥ 3 ⎢ = 10 ⎢− 25 25 25 − 25⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 25 − 25 − 25 25 ⎦

A matriz de rigidez dos restantes elementos é obtida de forma similar ao apresentado em (28).

K

K

( 3) g

K

( 2) g

⎡ 50 ⎢ 0 =⎢ ⎢− 50 ⎢ ⎣ 0

0 − 50 0 0 0 50 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 3 10 0⎥ ⎥ 0⎦

25 − 25 − 25⎤ ⎡ 25 ⎢ 25 25 − 25 − 25⎥⎥ 3 ⎢ = 10 ⎢− 25 − 25 25 25 ⎥ ⎢ ⎥ 25 ⎦ ⎣− 25 − 25 25

( 4) g

0 ⎡0 ⎢0 50 =⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 − 50

0 0 ⎤ 0 − 50⎥⎥ 3 10 0 0 ⎥ ⎥ 0 50 ⎦

(29)

(30)

(31)



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K

(5) g

⎡ 25 − 25 − 25 25 ⎤ ⎢− 25 25 25 − 25⎥⎥ 3 ⎢ = 10 ⎢− 25 25 25 − 25⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 25 − 25 − 25 25 ⎦

(32)

Seguidamente, procede-se ao espalhamento das matrizes de rigidez (28) a (32) dos elementos, no referencial geral, na matriz de rigidez da estrutura. Com o intuito de simplificar o processo de espalhamento, a matriz de rigidez do elemento no referencial geral é decomposta em quatro submatrizes, cujos coeficientes estão relacionados com o nó esquerdo do elemento, e, e/ou com o nó direito, d, isto é:

K

(e) g

(e) g ⎡ K ee = ⎢ (e) g ⎣ K de

(e) g K ed ⎤ (e) g ⎥ K dd ⎦

(33)

O espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura está apresentado em (34). (1) g ( 2) g ( 3) g ⎡ K ee + K ee + K ee ⎢ (1) g K de g KE = ⎢ ( 3) g ⎢ K de ⎢ ( 2) g K de ⎢⎣

(1) g

( 3) g

K ed (1) g ( 4) g K dd + K ee ( 4) g

K de 0

( 3) g

( 4) g

⎤ ⎥ ⎥ (5) g ⎥ K ed ( 2) g (5) g ⎥ K dd + K dd ⎥⎦ ( 2) g

K ed ( 4) g K ed

K ed 0

( 5) g

K dd + K dd + K ee (5) g K de

(34)

Substituindo em (34) os valores apresentados em (28) a (32), e atendendo a (33), resulta − 25 − 25 − 25 − 50 25 0 ⎤ ⎡ 25 + 50 + 25 − 25 + 0 + 25 ⎢− 25 + 0 + 25 25 + 0 + 25 − − − 25 25 25 25 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢ − 25 25 25 + 0 − 25 + 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ − − + + − 25 25 25 0 25 50 0 50 0 0 ⎥ 3 g KE = ⎢ 10 ⎢ − 25 − 25 − 25 0 0 25 + 0 + 25 25 + 0 − 25 25 ⎥ ⎢ ⎥ − 25 − 25 − 50 − 25 ⎥ 0 25 + 0 − 25 25 + 50 + 25 25 ⎢ ⎢ − 50 − 25 0 0 0 25 50 + 25 0 − 25⎥ ⎢ ⎥ − 25 0 0 0 0 25 0 − 25 0 + 25⎦⎥ ⎢⎣

0 0 ⎤ − 25 25 − 25 − 25 − 50 ⎡ 100 ⎢ 0 50 25 − 25 − 25 − 25 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢− 25 25 25 − 25 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 25 − 25 − 25 75 0 0 0 ⎥ 3 − 50 g KE = ⎢ 10 ⎢− 25 − 25 0 0 50 0 − 25 25 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 100 25 − 25⎥ − 50 ⎢− 25 − 25 ⎢− 50 0 0 0 75 − 25⎥ − 25 25 ⎥ ⎢ 0 0 0 25 − 25 − 25 25 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

(35)



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Departamento de Engenharia Civil A matriz de rigidez tem dimensão [8x8], isto é, 8 linhas e 8 colunas, igual ao número de graus de liberdade da estrutura. b) O vector solicitação da estrutura

Como na estrutura em análise é desprezado o peso próprio da estrutura, a única solicitação presente é a de uma carga pontual aplicada directamente num nó, como apresentado na Figura 1. Assim:

0 ⎡ ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ g ⎢ ⎥ ⎢ = QE = ⎢ 150 ⋅ cos 35º ⎥ ⎢ 122.87 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢− 150 ⋅ sin 35º ⎥ ⎢− 86.04⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥

[kN ]

(36)

c) Os deslocamentos nodais da estrutura

O cálculo dos deslocamentos nodais é efectuado a partir da resolução do seguinte sistema de equações de equilíbrio: g

g

g

QE = K E U E

(37)

Para os graus de liberdade impedidos (apoios da estrutura), o deslocamento é conhecido (deslocamento nulo ou igual a um eventual assentamento de apoio), sendo no entanto desconhecido o valor da reacção do respectivo apoio. Neste sentido, a equação (37) é organizada de forma a separar as equações associadas a graus de liberdade livres (subíndice l) das equações correspondentes a graus de liberdade fixos (subíndice f).

⎡ Qg ⎤ ⎡K g ⎢ g E ,l g ⎥ = ⎢ gE ,ll ⎢⎣Q E , f + R E ⎥⎦ ⎢⎣ K E , fl

g K E ,lf ⎤ ⎥ g K E , ff ⎥⎦

⎡ U Eg ,l ⎤ ⎢ g ⎥ ⎢⎣U E , f ⎥⎦

(38)

g

em que R E é o valor das reacções. Desenvolvendo a primeira parte de (38) resulta: g

g

g

g

g

Q E ,l = K E ,ll U E ,l + K E ,lf U E , f

(39) g

Da resolução de (39) obtém-se o vector dos graus de liberdade livres, U E ,l . Substituindo em (39) os valores apresentados em (35) e (36) e atendendo aos dados do problema relativamente aos deslocamentos nos graus de liberdade impedidos, obtém-se: Método dos Elementos Finitos – Estruturas Articuladas Planas – Exercícios Resolvidos - 11/27


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− 25 − 25⎤ 0 ⎡ 0 ⎤ ⎡ 100 ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 50 − 25 − 25⎥⎥ 3 g g ⎢ ⎥=⎢ 10 U E ,l + K E ,lf 0 ⎢ 122.87 ⎥ ⎢− 25 − 25 50 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 100 ⎦ ⎣− 86.04⎦ ⎣− 25 − 25

(40)

⎡ 0.91257 ⎤ ⎢ 1.82514 ⎥ ⎥ 10 −3 =⎢ ⎢ 3.82626 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 0.17597⎦

(41)

do qual resulta

g

U E ,l

[m]

Assim, o vector dos deslocamentos dos nós da estrutura apresenta o seguinte formato

⎡ 0.91257 ⎤ ⎢ 1.82514 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 0 g ⎢ ⎥ 10 − 3 UE = ⎢ 3.82626 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 0.17597 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥

[m]

(42)

g

As reacções nos apoios da estrutura, R E , são obtidas através da resolução da segunda equação de (38). g

g

g

g

g

g

Q E , f + R E = K E , fl U E ,l + K E , ff U E , f

0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ R3 ⎤ ⎡− 25 25 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎥ R 0 − 50⎥⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ 4 ⎥ = ⎢ 25 − 25 ⎢0⎥ ⎢ R7 ⎥ ⎢ − 50 0 − 25 25 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 25 − 25⎦ ⎣0⎦ ⎣ R8 ⎦ ⎣ 0

⎡ 0.91257 ⎤ ⎢ 1.82514 ⎥ ⎥ 10 −3 + K Eg , ff 0 ⎢ ⎢ 3.82626 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣− 0.17597 ⎦

(43)

(44)

Com a resolução do sistema de equações obtemos as reacções nos apoios da estrutura.

⎡ R3 ⎤ ⎡ 22.81 ⎤ ⎢ R ⎥ ⎢ − 14.02 ⎥ ⎢ 4⎥ = ⎢ ⎥ [kN ] ⎢ R7 ⎥ ⎢− 145.68⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ R8 ⎦ ⎣ 100.06 ⎦

(45)



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Departamento de Engenharia Civil d) Os esforços na barra A

A tensão instalada num elemento é obtida por intermédio da lei de Hooke, ou seja, multiplicando a extensão, ε, pelo valor do módulo de elasticidade do material, E. Por sua vez, o esforço axial instalado num elemento é obtido multiplicando a tensão, σ, pela área da secção transversal do elemento, A. A barra A foi discretizada pelo elemento 1. Para determinar a extensão na barra A é necessário determinar os deslocamentos dos nós do elemento 1 no seu referencial local. No referencial geral o vector dos deslocamentos dos nós nas extremidades do elemento tem o seguinte formato:

U

(1) g

⎡0.91257⎤ ⎢1.82514 ⎥ ⎥ 10 −3 [m] =⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦

(46)

Os deslocamentos nodais do elemento no referencial local do próprio elemento obtêm-se a partir da seguinte equação

U

(1) l

[ ]

=T

lg T

U

(1) g

(47)

Substituindo (23) e (46) em (47)

U

(1) l

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

2 2 2 2

−

2 2 2 2

0

0

0

0

0 0 2 2 2 2

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2⎥ ⎥ − 2 ⎥ 2 ⎥ 2 ⎥⎦

⎡0.91257⎤ ⎡− 0.64528⎤ ⎢1.82514 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 10 −3 = ⎢ 1.93585 ⎥ 10 −3 [m] ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣ 0 ⎦ ⎦ ⎣

(48)

Assim, se os nós esquerdo e direito do elemento 1 sofreram deslocamentos axiais, respectivamente, de ue(1) l e ud(1) l , a extensão ocorrida no elemento 1, de comprimento L1 é

ε1(1) =

ud(1)l − ue(1)l 0.64528 ⋅10 −3 = = 9.1256 ⋅10 −5 L1 50

(49)

A tensão no elemento 1 é (admitindo E = 200 GPa)

σ 1 = E ε 1 = 200 ⋅106 ⋅ 9.1256 ⋅10 −5 = 18251 kPa

(50)

Resultando para o esforço axial o valor seguinte: Método dos Elementos Finitos – Estruturas Articuladas Planas – Exercícios Resolvidos - 13/27


Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



σ 1 = N = σ1 A (51)

σ 1 = 18251 ⋅1.7677 ⋅10 = 32.26 kN −3

Nota:

EA 50000 L 50000 50 = 50000 ↔ A = = = 1.7677 ⋅10 −3 m2. L E 200 ⋅106

Exercício 2 Na Figura 3 está representada um barra biarticulada de secção transversal circular, solicitada por uma força pontual na extremidade direita da barra, na direcção do seu eixo, e uma carga uniformemente distribuída ao longo de toda a barra. Admitindo para módulo de elasticidade, E, o valor de 200 GPa, para raio da secção, r, o valor de 0.05 m, e considerando que a força pontual aplicada na extremidade direita da barra é de 25 kN, e que a carga uniformemente distribuída, q1, é de 5 kN/m, pretende-se calcular os deslocamentos nodais e a reacção no apoio. q1

Secção ss

S

Q

x 1, u1

S

L Figura 3 – Barra biarticulada

Propõe-se que o exercício seja resolvido procedendo a três níveis de discretização da barra: 1 e 2 elementos finitos de dois nós e um elemento finito de três nós. a) Discretização da barra biarticulada por um elemento de dois nós

Na Figura 4 apresenta-se a discretização da barra articulada através de um elemento de dois nós. Para a resolução deste problema, adoptar-se-á, agora de forma mais célere, os procedimentos adoptados para a resolução do exercício 1, com as necessárias adaptações.

q1

1 u g11

(1)

2

Q

x 1, u1

u g21

Figura 4 – Barra biarticulada discretizada por um elemento de dois nós

Admitindo somente um grau de liberdade (na direcção do eixo da barra) por cada nó, a matriz de rigidez do elemento é dada por,



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



(e)

Ka

⎡ 2 dN1 ⎤ ⎢ L ds ⎥ ⎡ 2 dN1 1 = ∫⎢ ⎥ EA ⎢ 2 dN 2 ⎥ ⎣ L ds1 −1 ⎢ ⎢⎣ L ds1 ⎥⎦

2 dN 2 ⎤ L ds1 L ds1 ⎥⎦ 2

1

(52)

Atendendo ao facto da “estrutura” ser discretizada apenas por um elemento, e dado que o referencial local do elemento coincide com o referencial geral da estrutura, tem-se (e )

KE = Ka

(53)

Simplificando a expressão (52) e atendendo a (53), obtém-se a matriz de rigidez da estrutura. (1) ⎛ EA ⎞ ⎡ 1 − 1⎤ KE = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ L ⎠ ⎣− 1 1 ⎦

(54)

Procede-se, seguidamente, ao cálculo do vector das forças nodais equivalentes. Da mesma forma, atendendo ao facto da “estrutura” ser discretizada apenas por um elemento, e dado que o referencial local do elemento coincide com o referencial com o referencial geral da estrutura, tem-se que

QE = Q

(1)

(55)

onde o vector das forças nodais equivalentes à carga distribuída por unidade de comprimento, q1, que actua num determinado elemento (e), obtém-se de Q

(e)

1

= ∫ N q1 J ds1 T

−1

(56)

ou seja

Q

(e)

1 ⎡N ⎤ L = ∫ ⎢ 1 ⎥ [q1 ] ds1 −1 N 2 ⎣ 2⎦

(57)

Atendendo a (11) e (12), (57) reduz-se a

Q

(1)

(1) ( q1 L ) =

2

⎡1⎤ ⎢1⎥ = Q E ⎣⎦

(58)

Da resolução do sistema de equações apresentado em (37),



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



⎛ EA ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ L ⎠

(1)

⎤ ⎡ q1 L ⎡ 1 − 1⎤ ⎡u11 ⎤ ⎢ 2 + R ⎥ ⎥ ⎢− 1 1 ⎥ ⎢u ⎥ = ⎢ q L ⎣ ⎦ ⎣ 21 ⎦ ⎢ 1 + Q ⎥ ⎦ ⎣ 2

(59)

resulta

u11 = 0 ; u21 =

L ⎛ q L⎞ ⎜ Q + 1 ⎟ ; R = −(Q + q1 L ) EA ⎝ 2 ⎠

(60)

Atendendo aos dados fornecidos no enunciado,

u11 = 0 ; u21 = 8.91294 ⋅ 10 −5 m; R = −45 kN

(61)

b) Discretização da barra biarticulada por dois elementos de dois nós

Na Figura 5 apresenta-se a discretização da barra articulada através de dois elementos de dois nós.

q1

1 u g11

(1)

q1

2 u g21

(2)

3

Q

x 1, u1

u g31

Figura 5 – Barra biarticulada discretizada por dois elementos de dois nós

A matriz de rigidez dos elementos finitos no referencial geral da estrutura (neste caso, o referencial local dos elementos coincide com o referencial geral da estrutura) é dada por (54). Contudo, estando perante mais do que um elemento, é necessário proceder ao espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez da estrutura. Procedendo a esse espalhamento, resulta:

⎡ ⎛ EA ⎞ (1) ⎟ ⎢⎜ ⎢ ⎝ L ⎠ (1) ⎢ ⎛ EA ⎞ K E = ⎢− ⎜ ⎟ L ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣

(1)

⎛ EA ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ (1) ( 2) ⎛ EA ⎞ ⎛ EA ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ( 2) ⎛ EA ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ( 2) ⎛ EA ⎞ ⎥ −⎜ ⎟ ⎥ ⎝ L ⎠ ⎥ ( 2) ⎛ EA ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ L ⎠ ⎦ 0

(62)

Espalhando o vector das forças nodais equivalentes de cada elemento no vector das forças nodais equivalentes da estrutura resulta:



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217


Departamento de Engenharia Civil (1) ⎡ ⎤ ⎛ q1 L ⎞ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ 2 ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎢⎛ q1 L ⎞(1) ⎛ q1 L ⎞( 2) ⎥ Q E = ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ( 2) ⎢ ⎥ ⎛ q1 L ⎞ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(63)

Da resolução do sistema de equações apresentado em (37):

⎡ ⎛ EA ⎞ (1) ⎟ ⎢⎜ ⎢ ⎝ L ⎠ (1) ⎢ ⎛ EA ⎞ ⎟ ⎢− ⎜ ⎢ ⎝ L ⎠ ⎢ 0 ⎢ ⎣

(1)

⎛ EA ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ (1) ( 2) ⎛ EA ⎞ ⎛ EA ⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ( 2) ⎛ EA ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

⎤ ⎡ ⎛ q1 L ⎞ (1) ⎤ 0 ⎟ +R ⎥ ⎢ ⎜ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡u11 ⎤ ⎢ ⎝ 2(1) ⎠ ( 2) ( 2) ⎢ ⎥ ⎛q L⎞ ⎥ ⎛ EA ⎞ ⎢ ⎥ ⎛q L⎞ −⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ⎢u21 ⎥ = ⎢⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎝ L ⎠ ⎥ ⎢⎣u31 ⎥⎦ ⎢ ( 2) ( 2) ⎥ ⎢ ⎛ q1 L ⎞ ⎛ EA ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ +Q ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ L ⎠ ⎦ ⎦ ⎣ ⎝ 2 ⎠

(64)

obtém-se

u11 = 0 ; u21 =

L L ⎛ 3q L⎞ (2Q + q1L ) ; R = −(Q + q1L ) ⎜ Q + 1 ⎟ ; u31 = 2 EA ⎝ 4 ⎠ 2 EA

(65)

Atendendo aos dados fornecidos no enunciado resulta

u11 = 0 ; u21 = 5.09311 ⋅ 10−5 m; u31 = 8.91294 ⋅10 −5 m; R = −45 kN

(66)

c) Discretização da barra biarticulada por um elemento de três nós

Na Figura 6 apresenta-se a discretização da barra articulada através de um elemento de três nós.

q1 2

1 (1)

u g11

3 u g21

Q

x 1, u1

u g31

Figura 6 – Barra biarticulada discretizada por um elemento de três nós

Estando a estrutura discretizada apenas por um elemento finito, e sendo o referencial local do elemento coincidente com o referencial geral da estrutura, a matriz de rigidez da estrutura coincide



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217


Departamento de Engenharia Civil com a matriz de rigidez do elemento e o vector das forças nodais equivalentes da estrutura coincide com o vector das forças nodais equivalentes ao elemento. Atendendo ao facto de se tratar de um elemento finito de três nós, é necessário definir as funções de forma para um elemento deste tipo. Atendendo a (10), e sabendo que, para um elemento Lagrangeano de três nós, s11 = −1 , s21 = 0 e s31 = +1 , temos

N1 (s1 ) =

1 s1 (s1 − 1) 2

(67)

N 2 (s1 ) = (s1 + 1) (1 − s1 )

N 3 (s1 ) =

(68)

1 s1 (1 + s1 ) 2

(69)

A matriz de rigidez é dada por:

(e)

Ka =

1

∫

−1

⎡ 2 dN1 ⎤ ⎢ L ds ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎡ 2 dN1 2 dN ⎢ 2⎥ EA ⎢ ⎢ L ds1 ⎥ ⎣ L ds1 ⎢ 2 dN ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎢⎣ L ds1 ⎥⎦

2 dN 2 L ds1

2 dN 3 ⎤ L ⋅ ds1 L ds1 ⎥⎦ 2

(70)

Recorrendo a dois Pontos de Integração de Gauss Legendre para efectuar a integração numérica de (70) resulta:

K

(1)

⎛ EA ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 6L ⎠

(1)

2 ⎤ ⎡ 14 − 16 ⎢− 16 32 − 16⎥ = K E ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 − 16 14 ⎥⎦

(71)

O vector das forças nodais equivalentes é dado por

Q

(e)

⎡ N1 ⎤ L = ∫ ⎢⎢ N 2 ⎥⎥ [q1 ] ds1 −1 2 ⎢⎣ N3 ⎥⎦ 1

(72)

Substituindo por (67) a (69) em (72)



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



Q

(e)

⎤ ⎡ 1 ⎢ 2 s1 (s1 − 1) ⎥ 1 L = ∫ ⎢(s1 + 1) (1 − s1 )⎥ [q1 ] ds1 −1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ 1 s1 (1 + s1 ) ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 2

(73)

⎡1 3 ⎤ q1 L ⎢ ⎥ = 4 3 = QE 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 3 ⎥⎦

(74)

Efectuando a integração obtém-se

Q

(e)

Com a resolução do sistema de equações (37),

⎛ EA ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 6L ⎠

(1)

⎡ 14 − 16 2 ⎤ ⎢− 16 32 − 16⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 − 16 14 ⎥⎦

⎤ ⎡ q1 L + R⎥ ⎢ ⎡u11 ⎤ ⎢ 6 ⎢u ⎥ = ⎢ 2 q1 L ⎥⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢⎣u31 ⎥⎦ ⎢ q L 1 + Q⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 6

(75)

e atendendo aos dados fornecidos no enunciado, obtém-se:

u11 = 0 ; u21 = 5.09311 ⋅ 10−5 m; u31 = 8.91294 ⋅10 −5 m; R = −45 kN

(76)

Salienta-se que os resultados obtidos recorrendo à discretização da barra biarticulada por um elemento de três nós são iguais aos obtidos através da discretização por dois elementos de dois nós.

Exercício 3 O Exercício 3 é muito semelhante ao exercício anterior. Contudo, a barra biarticulada apresenta secção variável, como apresentado na Figura 7. A = A 0 exp(-x 1 /L) Secção ss

S

Q

x 1, u1

S

L Figura 7 – Barra biarticulada de secção variável



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217


Departamento de Engenharia Civil Propõe-se, para a resolução do problema, a discretização da barra em um, dois e três elementos de dois nós, tendo cada elemento secção constante igual à registada no centro do elemento. a) Discretização da barra biarticulada de secção variável por um elemento de dois nós

Na Figura 8 apresenta-se a barra biarticulada de secção variável discretizada por um elemento de dois nós.

1

R

2 Q

x 1, u1

(1)

u g11

u g21 L/2

L/2

Figura 8 – Barra biarticulada de secção variável discretizada por um elemento de dois nós

A matriz de rigidez do elemento é semelhante a (52). Na presente abordagem admite-se que a área da secção transversal do elemento é constante ao longo do elemento, igual à que se obtém no centro do elemento. Assim,

K

(1)

=

⎡ 1 − 1⎤ E A0 e −1 2 ⎡ 1 − 1⎤ E A0 = 0.60653 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ L L ⎣− 1 1 ⎦ ⎣− 1 1 ⎦

(77)

Sendo o vector solicitação do elemento,

Q

(1)

⎡R⎤ =⎢ ⎥ ⎣Q ⎦

(78)

Da resolução do sistema de equações de equilíbrio:

⎡ 1 − 1⎤ ⎡u11 ⎤ ⎡ R ⎤ E A0 0.60653 ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ L ⎣− 1 1 ⎦ ⎣u21 ⎦ ⎣Q ⎦

(79)

resulta

u21 = 1.64872

QL ; R = −Q E A0

(80)

b) Discretização da barra biarticulada de secção variável por dois elementos de dois nós

Na Figura 9 apresenta-se a barra biarticulada de secção variável discretizada através de dois elementos de dois nós. Método dos Elementos Finitos – Estruturas Articuladas Planas – Exercícios Resolvidos - 20/27


Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



1

R

2 u g11

3

(1)

(2)

L/4

L/4

x 1, u1

u g31

u g21

L/4

Q

L/4

Figura 9 – Barra biarticulada de secção variável discretizada por um elemento de três nós

Atendendo à existência de dois elementos, é necessário calcular a matriz de rigidez dos elementos finitos que discretizam a estrutura. Admitir-se-á que os elementos têm secção constante, igual à obtida no centro de cada um dos elementos, pelo que:

K

(1)

=

⎡ 1 − 1⎤ E A0 1.5576 ⎢ ⎥ L ⎣− 1 1 ⎦

(81)

K

( 2)

=

⎡ 1 − 1⎤ E A0 0.9447 ⎢ ⎥ L ⎣− 1 1 ⎦

(82)

Procedendo-se ao espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos, obtém-se a matriz de rigidez da estrutura:

− 1.5576 0 ⎡ 1.5576 ⎤ E A0 ⎢ − 1.5576 1.5576 + 0.9447 − 0.9447 ⎥⎥ KE = L ⎢ ⎢⎣ 0 − 0.9447 0.9447 ⎥⎦

(83)

Do espalhamento do vector das forças nodais equivalentes de cada elemento no vector solicitação da estrutura resulta:

⎡R⎤ Q E = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢⎣Q ⎥⎦

(84)

Da resolução do sistema de equações de equilíbrio:

0 − 1.5576 ⎡ 1.5576 ⎤ E A0 ⎢ − 1.5576 1.5576 + 0.9447 − 0.9447 ⎥⎥ ⎢ L ⎢⎣ 0 0.9447 ⎥⎦ − 0.9447

⎡u11 ⎤ ⎡ R ⎤ ⎢u ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣u31 ⎥⎦ ⎢⎣Q ⎥⎦

(85)

resulta



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



QL ; R = −Q E A0

u31 = 1.7005

(86)

c) Discretização da barra biarticulada de secção variável por três elementos de dois nós

Na Figura 10 apresenta-se a barra biarticulada de secção variável discretizada por três elementos de dois nós.

R

(1)

1

(2)

2

u g11

u g21

L/6

L/6

L/6

(3)

3

4

L/6

x 1, u1

u g41

u g31 L/6

Q

L/6

Figura 10 – Barra biarticulada de secção variável discretizada por três elementos de dois nós

Resolvendo de forma similar às alíneas anteriores, obtém-se o seguinte sistema de equações:

− 2.5394 0 0 ⎤ ⎡u11 ⎤ ⎡ R ⎤ ⎡ 2.5394 ⎢− 2.5394 2.5394 + 1.8196 − 1.8196 0 ⎥⎥ ⎢⎢u21 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ E A0 ⎢ = 0 − 1.8196 1.8196 + 1.3028 − 1.3028⎥ ⎢u31 ⎥ ⎢ 0 ⎥ L ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 − 1.3028 1.3028 ⎦ ⎣u41 ⎦ ⎣Q ⎦ ⎣

(87)

Resultando da sua resolução,

u41 = 1.71036

QL ; R = −Q E A0

(88)

A solução exacta do problema passa pela consideração de que a barra tem secção variável ao longo do seu comprimento, pelo que no integral do cálculo da matriz de rigidez, A deve ser substituída pela correspondente função, resultando,

L

KE = ∫ 0

⎡ 2 dN1 ⎤ ⎢ L dx ⎥ ⎡ 2 dN1 1 ⎢ ⎥ E ( A0 exp(− x1 L )) ⎢ dN 2 2⎥ ⎢ ⎣ L dx1 ⎢⎣ L dx1 ⎥⎦

2 dN 2 ⎤ dx1 L dx1 ⎥⎦

(89)

e

⎡R⎤ QE = ⎢ ⎥ ⎣Q ⎦

(90)



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217


Departamento de Engenharia Civil pelo que, da resolução do sistema de equações de equilíbrio resulta:

u21 = 1.71828

QL ; R = −Q E A0

(91)

Analisando os resultados verifica-se que a discretização de uma barra biarticulada com um número distinto de elementos leva a resultados diferentes. Contudo, verifica-se que, se a discretização da estrutura é efectuada com um maior número de elementos, menor é o erro cometido (ver Figura 11). Erro do deslocamento da extremidade (%)

1 elemento 2 elementos 3 elementos Solução exacta

QL E A0 QL u31 = 1.7005 E A0 QL u41 = 1.71036 E A0 QL u21 = 1.71828 E A0

4

≈ 4.0%

u21 = 1.64872

≈ 1.0%

3

≈ 0.5%

2

1 0.5

1

2

3

Número de elementos

Figura 11 – Evolução do erro do deslocamento da extremidade livre da barra com o número de elementos

Exercício 4 A Figura 12 representa uma estrutura constituída por duas barras biarticuladas [A] e [B]. 10 kN E = 200 GPa

1

2

[A]

Diâmetro 0,20m

Diâmetro 0,20m

[B]

Diâmetro 0,10m

E = 200 GPa

5

kN

/m

4m

[B]

[A]

Diâmetro 0,20m

3 4m Figura 12 – Estrutura biarticulada Método dos Elementos Finitos – Estruturas Articuladas Planas – Exercícios Resolvidos - 23/27


Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217


Departamento de Engenharia Civil a) Utilizando um elemento finito de três nós para discretizar cada uma das barras articuladas [A] e [B] da estrutura, identifique os graus de liberdade dos nós da estrutura.

Os graus de liberdade considerados são os representados na Figura 13. Os graus de liberdade estão no referencial geral da estrutura ( u gi j com j = 1,2, sendo i o número do nó). u 12

u 22

u 11

u 32

u 21

u 31

[A]

u 42 u 41

[B]

u 52 u 51

Figura 13 – Discretização e identificação dos graus de liberdade nodais da estrutura

b) Calcule os termos da matriz de rigidez relativos aos graus de liberdade do nó 2 da estrutura, utilizando a integração numérica de Gauss Legendre.

A função de forma do nó 3 de um elemento de três nós é dada por (69). A derivada da referida função de forma é

dN 3 1 = s1 + ds1 2

(92)

Admitindo (1), mas considerando que na presente estrutura apenas ocorre deformação axial nas barras, obtém-se (7). Sendo somente pedido os termos da matriz de rigidez relativos ao nó 2 da estrutura, é suficiente o cálculo dos termos da matriz de rigidez no referencial local relativos ao nó da direita (nó 3) de ambos os elementos. Assim, ( A)l

K a3 =

K

( A)l a3

⎡ dN ⎤ 2 EA 1 ⎢ 3 ⎥ ⎡ dN 3 ds ⋅⎢ L ∫−1 ⎢ 1 ⎥ ⎣ ds1 ⎣ 0 ⎦

2 ⋅ 200 ⋅ 10 6 π 0.10 2 = 4

⎤ 0⎥ ds1 ⎦

⎡ s1 + 1⎤ ∫−1 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ [s1 + 1 0] ds1 1

(93)



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



K

( B )l

( B )l a3

K a3 =

2E = L

⎡ dN 3 ⎤ 2 ⎡ dN ∫−1 ⎢⎢ ds1 ⎥⎥ π (0.075 − 0.025s1 ) ⎢⎣ ds13 ⎣ 0 ⎦ 1

2 ⋅ 200 ⋅ 10 6 4

⎤ 0⎥ ds1 ⎦ (94)

⎡ s1 + 1⎤ π (0.075 − 0.025s1 )2 [s1 + 1 0] ds1 −1 ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦

∫

1

( A) l

Utilizando a integração numérica de Gauss Legendre (ver Tabela 1), e sabendo que K a 3 constitui ( B )l

um polinómio de grau 2 e K a 3 um polinómio de grau 4, tem-se:

( A)l

K a3

⎛⎛ ⎡ 1 ⎤ ⎜ ⎜ ⎢− + 1⎥ 3 ⎜⎜ ⎢ ⎥ 6 2 ⎜⎜ 0 ⎦ 2 ⋅ 200 ⋅ 10 π 0.10 ⎝⎣ = ⋅⎜ 4 ⎜⎛ ⎡ 1 ⎤ ⎜ ⎜ ⎢ 3 + 1⎥ ⎡ ⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎝⎝ ⎣ 0 ⎦

⎞ ⎞ ⎡ 1 ⎤ ⎟ ⎟ + 1 0 ⎥ 1⎟ + ⎟ ⎢− 3 ⎣ ⎦ ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎞ ⎟ 1 ⎤ ⎟ ⎟ + 1 0⎥ 1⎟ ⎟ 3 ⎦ ⎟ ⎠ ⎠

(95)

⎛ ⎡0.178632794955 0⎤ ⎡2.48803387171 0⎤ ⎞ ( A)l ⎟ + K a 3 = 3141500 ⎜⎜ ⎢ 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0⎥⎦ ⎟⎠ ⎝⎣ Onde os termos da matriz de rigidez relativos ao nó da direita do elemento [A] são,

⎡8377333.33331 0⎤ ( A)l [kN m] K a3 = ⎢ 0 0⎥⎦ ⎣

(96)

Adoptando procedimento idêntico para o elemento [B],

( B )l

K a3

2 ⎛⎛ ⎡ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎢− 3 + 1⎤⎥ ⎛ ⎤⎟ 5 ⎟ ⎞⎞ ⎡ ⎛ 3 3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ + 1 0⎥ ⎟ + ⎟ π 0.075 − 0.025 ⎜ − ⎜⎜ ⎢ ⎢− 5 ⎜ 5 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎣ 5 ⎦⎟ 9 ⎟ ⎝ ⎜ ⎜ ⎣⎢ 0 ⎥⎦⎥ ⎝ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 6 ⎜ ⎟ ⎞8 2 ⋅ 200 ⋅ 10 ⎛ ⎡0 + 1⎤ 2 ⎟ ( ) + + [ ] π = 0 . 075 0 1 0 ⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎟ ⎥ ⎟9 32 ⎜⎝ ⎣ 0 ⎦ ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ 2 ⎞ ⎜ ⎛⎜ ⎡ 3 + 1⎤ ⎛ ⎟ ⎞ ⎡ 3 ⎛ ⎞ ⎤ ⎟ 3 5 ⎟⎟ ⎢ ⎜ ⎜ ⎢ 5 ⎥ π ⎜ 0.075 − 0.025 ⎜ ⎟ + 1 0 ⎥⎟ ⎜ 5 ⎟⎟ 9 5 ⎜ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎜⎝ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎠ ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎝ ⎢⎣ ⎠

(97)

⎛ ⎡0.000789598545256 0⎤ ⎡0.0157075 0⎤ ⎡0.0170122347881 0⎤ ⎞ ( B )l ⎟ K a 3 = 70710678.1187 ⋅ ⎜⎜ ⎢ + + 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0⎥⎦ ⎟⎠ ⎝⎣

Onde os termos da matriz de rigidez relativos ao nó da direita do elemento [B] são,



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



⎡2369467.68336 0⎤ ( B )l K a3 = ⎢ 0 0⎥⎦ ⎣

[kN m]

(98)

A matriz de rigidez de um elemento finito genérico e no referencial geral da estrutura é obtida por intermédio de (27). Neste sentido, ⎡cos 45 − sin 45⎤ ⎡2369467 .68336 0⎤ ⎡ cos 45 sin 45 ⎤ ⎡8377333 .33331 0⎤ g + K E ,2 = ⎢ ⎥⎢ 0 0⎥⎦ ⎢⎣ − sin 45 cos 45⎥⎦ ⎢⎣ 0 0⎥⎦ ⎣ sin 45 cos 45 ⎦ ⎣

(99)

⎡1184733 .8 1184733 .8⎤ ⎡8377333 .33331 0⎤ ⎡9562067 .2 1184733 .8⎤ g = K E ,2 = ⎢ [kN m] ⎥+⎢ 0 0⎥⎦ ⎢⎣1184733 .8 1184733 .8⎥⎦ ⎣1184733 .8 1184733 .8⎦ ⎣

(100)

c) Determine as forças no nó 2 da estrutura equivalentes às acções actuantes

As forças no nó 2 da estrutura equivalentes às acções actuantes são dadas por: lg

Q =TB

∫

1

T

−1

N q

⎡ 0 ⎤ L ds1 + ⎢ ⎥ [kN ] 2 ⎣− 10⎦

(101)

relativamente à carga uniformemente distribuída na barra [B] e a carga pontual aplicada no nó 2 da estrutura.

⎡cos 45 − sin 45⎤ 1 ⎡ N 3 g Q E3 = ⎢ ⎥∫ ⎢ ⎣ sin 45 cos 45 ⎦ −1 ⎣ 0

g

Q E3

0 ⎤ ⎡− 5⎤ 32 ⎡ 0 ⎤ ds1 + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ N3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 2 ⎣− 10⎦

(102)

⎡1 ⎤ 0 1 − cos 45 sin 45 ⎥ ⎡− 5⎤ 32 ⎡ 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 2 s1 (s1 + 1) ds + =⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 10⎥ ⎥∫ 1 ⎣ ⎦ ⎣ sin 45 cos 45 ⎦ −1 ⎢ s1 (s1 + 1)⎥ ⎣ 0 ⎦ 2 0 2 ⎣ ⎦ ⎡− 3.33333⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ − 3.33333 ⎤ g Q E3 = ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥ [kN ] ⎣− 3.33333⎦ ⎣− 10⎦ ⎣− 13.33333⎦

(103)

(104)

d) Admita que, para um determinado carregamento, os deslocamentos dos nós do elemento que discretiza a barra [A] são U A = [0 l

0 3.183 − 35.19 6.366 − 70.39] ⋅10 −3 (m). T

Calcule os esforços no ponto de integração mais próximo do apoio (admita dois pontos de integração para efeito de cálculo de esforços nesse elemento).

O esforço axial em qualquer ponto da barra é dado por:



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217



N = E ⋅ A⋅εa

(105)

Com a extensão axial calculada através de (106). Nota: o cálculo da extensão axial poderia ser efectuado através de (49).

ε a = B a ⋅ U [ A]

(106)

Substituindo a matriz B a e admitindo os valores de deslocamento dos nós apresentados no enunciado do exercício, temos que

⎡1 ε a = ⎢ s1 (s1 − 1) ⎣2

(s1 + 1) (1 − s1 )

⎡ 0 ⎤ 1 ⎤⎢ s1 (s1 + 1)⎥ ⎢3.183⎥⎥ 10 −3 2 ⎦ ⎢⎣6.366⎥⎦

(107)

O ponto de integração mais próximo do apoio, admitindo dois pontos de integração, é s1 = −

1 . 3

Assim,

1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡2 ⎛ εa⎜− ⎟ = ⎢ ⎜ s1 − ⎟ 2⎠ 3 ⎠ ⎣L ⎝ ⎝

⎡ 0 ⎤ 2 2⎛ 1 ⎞⎤ ⎢ (− 2s1 ) ⎜ s1 + ⎟⎥ ⎢3.183⎥⎥ 10−3 = 0.0015915 L L⎝ 2 ⎠⎦ ⎢⎣6.366⎥⎦

(108)

O esforço axial no ponto de Gauss referido seria de 10.0 kN.



Tel. (+351) 253 510200 • Fax (+351) 253 510217

Metodo Elementos finitos.pdf

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