MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS CUADRADOS Colque Fernández Kelly Rosario
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RESUMEN El presente informe informe se realiza realiza con el fin de otener otener la ecuaci!n ecuaci!n de la me"or recta aplicando el m#todo de m$nimos cuadrados. %tilizando este m#todo se determinara las ecuaciones lineales de a"uste para el cilindro& el disco y la esfera. 'eniendo en cuenta que se dee aplicar un m#todo de linelizaci!n al disco y a la esfera porque resultan ser relaciones no lineales.
INTRODUCCIÓN El m#todo de m$nimos m$nimos cuadrados es un m#todo anal$tico anal$tico que permite permite otener la ecuaci!n ecuaci!n de la me"or recta a partir de los pares ordenados ()&y* es decir de los datos e)perimentales. %na recta que me"or se a"usta es una l$nea recta que es la me"or apro)imaci!n del con"unto de datos dado. Es usada para estudiar la naturaleza de la relaci!n entre dos +ariales. %na forma precisa de encontrar la recta que me"or se a"usta es el m#todo de m$nimos cuadrados. El m#todo de m$nimos cuadrados determina los +alores de los parámetros a y de la recta que me"or se a"usta a los datos e)perimentales. ,a ecuaci!n general de la recta es- /0. 0sumie 0sumiendo ndo que la +arial +arialee indepe independi ndient entee no tiene tiene errore errores& s& entonce entoncess los errore erroress son produc producido idoss 3nicamente por la +ariale dependiente. ,a diferencia entre el +alor e)perimental e) perimental i y el +alor i4 de la recta& se conoce como la discrepanciadi = yi − yi´ yi ´ ,as discrepancias indican la separaci!n de los datos e)perimentales con respecto a la recta de a"uste. El criterio para encontrar la ecuaci!n de la me"or recta es que la sumatoria de las discrepancias al cuadrado m$nima. ,a sumatoria de las discrepancias al cuadrado esn
n
di =∑ ( Yi −( A + Bx ) ) ∑ = =
2
2
i 1
i 1
esarrollando la ecuaci!n2
∑
∑ x ∑¿
xy +¿ n A + 2 AB x + B 2 y −¿ 2 A y −2 B
∑
∑ d =∑ ¿
2
2
2
6ara determinar 0 y se deri+a la ecuaci!n anterior respecto de 0 y & seguidamente se igualan a cero y se otienen las siguientes ecuaciones.
∑ Yi=nA +B ∑ Xi ∑ XiYi= A ∑ Xi + B ∑ Xi
2
Resol+iendo el sistema& tenemos Xi
∑¿ ¿ ¿2 ¿
Xi
∑¿ ¿ n ∑ Xi −¿ ∑ Yi ∑ Xi −∑ XiYi ∑ Xi A = 2
2
¿
Xi
∑¿ ¿ ∆ =n ∑ Xi −¿ 2
6ara calcular los errores de 0 y se emplea el m#todo de propagaci!n de erroresδA =
√
∑ x ∆
2
2
δ
δB =
√
∑
2 di n δ 2 δ = ∆ n−2
2
∑ di =∑ ( Yi−Y ´ ) 2
2
∑ di =∑ [Yi−( A + BXi )]
2
2
∑ di =∑ [ Yi −2 Yi ( A+ BXi ) +( A +BXi ) ] 2
2
2
∑ di =∑ ( Yi −2 AYi−2 BXiYi + A +2 ABXi + B Xi ) 2
2
2
2
2
∑ di =∑ Yi −2 A ∑ Yi −2 B ∑ XiYi +n A +2 AB ∑ Xi +B ∑ Xi 2
2
2
2
2
En el caso de las relaciones no lineales& se dee pre+iamente linealizar por medio de una transformaci!n matemática y luego aplicar el m#todo de m$nimos cuadrados. A
b =B→δb =δB a =e → δa≠ δA A = Loga → a=10 ea =√ ( ∆ A ) A
|
∆ A=
2
=∆ A
|
da δA dA
=|10 A ln10 δA|
onde el error de a se calcula por el m#todo de propagaci!n de errores.
MÉTODO EXPERIMENTAL. Materiales. En esta práctica no realizan mediciones& sin emargo como 7erramienta es necesario una calculadora cient$fica.
Procedimiento. • •
•
%tilizaremos las talas de la anterior práctica de gráficos y ec uaciones. Conociendo el comportamiento de las gráficas de los cilindros& discos y esferas8 se determinara los parámetros de a"uste de las diferentes cur+as con sus respecti+os errores. 9e determinara las ecuaciones de a"uste para las diferentes cur+as.
6ara 7allar los parámetros de a"uste& emplearemos las formulas deducidas en el apartado anterior Xi
∑¿ ¿ ¿2 ¿
Xi
∑¿ ¿ n ∑ Xi −¿ ∑ Yi ∑ Xi −∑ XiYi ∑ Xi A = 2
2
¿
6ara calcular los errores de 0 y emplearemos las formulas conocidas en el apartado anterior-
δA =
√
∑ x
2
2
δ
∆
δB =
√
2
n δ ∆
e esta manera determinaremos los parámetros 0 y con sus respecti+os errores. 6ara las relaciones no lineales& se dee linealizar pre+iamente (m#todo por logaritmos* y luego aplicar el m#todo de m$nimos cuadrados. Entonces los parámetros de 0y logXi
∑¿ ¿
∑ logXi −¿ ∑ logYi ∑ log Xi −∑ logXilogYi ∑ logXi A = 2
n
2
¿
logXi
∑¿ ¿ ¿2 ¿
logXi
∑¿
∑ logXi −¿ n ∑ logXilogYi −∑ logXi ∑ logYi B= 2
n
¿
a partir de los parámetros de la recta se calculan los +alores de a y con sus respecti+os errores. A
b =B→δb =δB a =e → δa≠ δA A = Loga → a=10 ea =√ ( ∆ A ) A
|
∆ A=
2
=∆ A
|
da δA dA
=|10 A ln10 δA|
RESULTADOS. •
Con los parámetros calculados& la relaci!n funcional en tre la masa y la altura de los cilindros esm=0,018 + 8,662 H
8,662 H espreciando el +alor de 0& la relaci!n funcional es- m=
•
Con los parámetros calculados& la relaci!n funcional en tre la masa y la altura de los discos esm=0,057 + 2,062 D
espreciando el +alor de 0& la relaci!n funcional es- m=2,062 D
•
Con los parámetros calculados& la relaci!n funcional en tre la masa y la altura de las esferas esm=0,608 + 3,011 D
DISCUSIÓN. El empleo del m#todo de m$nimos cuadrados es eficiente para otener la ecuaci!n de la me"or recta& la ecuaci!n proporcionada por el programa E)cel& fue modificada anal$ticamente empleando el m#todo mencionado& la +ariaci!n no fue muc7a por no decir igual ya que la recta pasaa& o al menos tocaa los puntos descritos en la gráfica. 9in emargo 7a$a imperfecciones que corregir. El +alor del parámetro 0 como se +e en los resultados se desprecia& ya que tiene una pro)imidad a cero& pero solo en el caso del cilindro y el disco. a que el +alor de ese parámetro en la esfera se acerca más a 1 y no puede despreciarse sino afectar$a de manera en la ecuaci!n.
CONCLUSIONES. 9e logr! determinar de manera satisfactoria las relaciones funcionales a partir de los datos e)perimentales empleando el m#todo de los m$nimos cuadrados. ,os parámetros 0 y fueron 7allados empleando las e)presiones que se determinaron anteriormente& las ecuaciones 7alladas anal$ticamente y las ecuaciones otenidas por el programa E)cel tu+ieron peque:as diferencias lo que de"a a entender que la discrepancia de los puntos era muy peque:a y se lo puede comproar en las gráficas que se encuentran en ane)os.
ILIO!RA"#A. M$todos de m%nimos c&adrados
7ttp-;;ciencia<asica
A'&ste de datos (or el m$todo de m%nimos c&adrados 7ttps-;;===.academia.edu;>5?225;AetodoBdeBminimosBcuadrados
Cartilla de la)oratorio de *%sica Cap$tulo 5 páginas- 5<51
ANÉXOS.
60
f(x) = 8.55x + 0.32 R² = 1
50
40
30
m
Linear (m)
Linear (m)
20
10
0 0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 1. Aasa en funci!n de la altura para los cilindros
n
1 2 3 4 5 6
x = H [ cm ]
0,995 1,995 2,995 3,995 4,995 5,995 20,97 Tabla 1. Tabla el
y =m [ g ]
8,63 17,31 25,97 34,62 43,25 51,97 181,75 me!"" e
x
2
= H 2
( xy )=( Hm )
2
y =m
2
0,99 5,587 74,477 3,98 34,533 299.636 8,97 77,78 674,444 15,96 138,307 1198,544 24,95 216,034 1870,563 35,94 311,56 2700,881 90,79 786,801 6818,542 minim"# $%ara"# &ara el $ilinr"
Calculos para los parámetros A y B para el cilinro! A =
( 181,75∗90,79 )−( 786,801∗20,97 ) ( 6∗90,79 )−( 20,97 )2
B=
( 6∗786,801 ) −(20,97∗181,75 ) ( 6∗90,79 )−( 20,97 )2
= 0,018
= 8,662
Cálculos para los errores e A y B para el cilinro
∑ di = 6818,54−2 ( 0,0178 ) ( 181,75 )−2 ( 8,662 ) (786,801 ) +6 ( 0,0178 ) +2 ( 0,0178 ) ( 8,662 ) ( 20,97 )+ ( 8,662 ) ( 20,97 ) = 2
2
2
δ =
2
0,002 = 5 × 10−4 ∆ =( 6∗90,79 )−( 20,97 )2=104,9991 6−2
δA =
√
−4
90,79∗5× 10 104,9991
= 0,02δB =
√
−4
6∗5× 10 104,9991
A = 0,018± 0,02 B =8,662 ± 0,005
=0,005
1.8
f(x) = 2.08x + 0.05 R² = 1
1.6
1.4
1.2
1 ma#a
Linear (ma#a)
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Figura 2. ,og(m* en funci!n de ,og(* para los discos
n
x = D
y =m
log ( x )
log ( y )
logx (
1 2 3 4 5 6
1,295 1,990 2,995 3,995 4,900 5,900
1,91 4,83 10,95 19,62 30.70 43,68
0,112 0,299 0,476 0,602 0,690 0,771
0,281 0,684 1,039 1,293 1,487 1,640
log x∗logy
( logy )2
0,031 0,205 0,495 0,778 1,026 1,264
0,079 0,468 1,080 1,672 2,211 2,690
¿ ¿2
0,013 0,089 0,227 0,362 0,476 0,594
2,950 6,424 1,761 3,799 8,2 Tabla 2. Tabla el me!"" e minim"# $%ara"# &ara el i#$"
Calculos para los parámetros A y B para el isco! A =
( 6,424∗1,761 )−( 3,799∗2,95 ) ( 6∗1,761 )−( 2,95 )2
B=
( 6∗ 3,799 )−( 2,95∗6,424 ) ( 6∗1,761 ) −( 2,95 )2
= 0,057
= 2,062
Cálculos para los errores e a y " para el isco
∑ di = 8,2−2 ( 0,057 ) ( 6,424 )− 2 ( 2,062 ) ( 2,95 ) +6 ( 0,057 ) +2 ( 0,057 ) ( 2,062 ) ( 2,95 ) +( 2,062 ) (1,761 ) =0,003 2
2
2
δ =
δa =
√
2
0,003 = 7,5 × 10−4 ∆ =( 6∗1,761 )−( 2,95 )2=1,864 6−2
1,761∗7,5 ×10 1,864
−4
= 0,027 δb=
a =10 ea =∆ A =|10
0,057
√
6∗7,5 ×10 1,864
−4
→ a =1,14
∗ln (10 )∗0,027|=0,07
0,057
a =0,057 ± 0,07 b =2,062± 0,049
=0,049
1.8
f(x) = 3.02x + 0.61 1.6 R² = 1
1.4
1.2
1 m
Linear (m)
L"ari!mi$ (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0 '0.2
'0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura . ,og(m* en funci!n de ,og(* para la esfera n
1 2 3 4 5
x = D [ cm ]
0,714 1,031 1,499 1,745 2,221
y =m [ g ]
1,48 4,47 13,75 21,70 44,72
log ( x )
'0,146 0,013 0,176 0,242 0,347
log ( y )
0,170 0,65 1,138 1,336 1,651
logx (
log x∗logy
( Logy )2
'0,0248 0,0085 0,2003 0,3233 0,5729
0,029 0,423 1,295 1,785 2,726
¿ ¿2
0,021 0 0,031 0,059 0,120
0,632
4,945
0,231
1,080
6,258
'ala . 'ala del m#todo de m$nimos cuadrados para la esfera
Calculoa para los parámetros A y B para la es#era! A =
( 4,945∗0,231 )− (1,08∗0,632 ) ( 5∗0,231 )−( 0,632 )2
B=
( 5∗1,08 )−(0,632∗4,945 ) ( 5∗0,231 )− ( 0,632 )2
= 0,608
= 3.011
Cálculos para los errores e a y " para el isco
∑ di = 6,258−2 ( 0,608) ( 4,945)− 2 ( 3,011) ( 1,08 ) +5 ( 0,608) +2 ( 0,608) ( 3,011 ) ( 0,632 ) +( 3,011 ) ( 0,231)=0,002 2
2
2
δ =
δa=
√
2
0,002 = 6,7× 10−4 ∆ =( 5∗0,231 )−( 0,632 )2= 0,756 5−2 −4
0,231∗6,7 × 10 0,756
=0,014 δb =
0,608
a =10 ea =∆ A =|10
√
5∗6,7 × 10 0,756
−4
→ a =4,055
∗ln ( 10 )∗0,014|=0,131
0,608
a =0,608 ±0,131 b =3,011 ± 0,067
= 0,067
