Método de Los Pesos Elásticos

MÉTODO DE LOS PESOS ELÁSTICOS El método del diagrama de momentos puede generalizarse y ser expresado omo otro proedimiento alternati!o denominado método de las l as Cargas El"stias #Pesos El"stios$% El proedimiento proporiona una transii&n 'aia un método m"s general y potente( denominado Método de la !iga on)ugada% Consideremos una !iga simplemente apoyada( *+C( y su orrespondiente diagrama de momentos ,etores reduidos( M-EI .% Se seleionamos una sei&n genéria C( u/iada a la distania a del apoyo *% Las !aria/les x( x0 y 1 se explian en la gr"2a siguiente%

*pliando los teoremas de Mo'r pueden alularse las magnitudes en la gr"2a siguiente%

Para de3ormaiones in2nitesimales son !"lidas las relaiones indiadas Θ A= 4+*- L u A= aΘ A – 4C*  ΘC = ΘC – ΦC* 

#i$ #ii$ #iii$

*pliando los teoremas de Mo'r determinamos expresiones para trans3ormar las relaiones anteriores% * partir de la euai&n #i$ y por el segundo teorema de Mo'r%  Xb

M  θA =  x  dx … … … … … . ( 1 )  L  Xa  EIz 1

∫

* partir de la euai&n #iii$ y por el primer teorema de Mo'r%  Xb

∫

M 

 Xc

 M  θC =  x  dx −  dx … … … … … . ( 2 )  L  Xa  EIz  EIz  Xa 1

∫

* partir de la euai&n #ii$ y por el segundo teorema de Mo'r% a

 Xb

 Xb

M  uc =  x dx −  x  dx … … … … … . ( 2)  L  Xa  EIz  EIz  Xa

∫

M 

∫

Deduidas las anteriores expresiones #5$( #6$ y #7$ analizaremos el pro/lema siguiente8 9Considerar una !iga imaginaria( simplemente poyada( de la misma longitud :ue la !iga real( sometida al Sistema de Cargas de2nido por el Diagrama de

Momentos ;letores reduidos( denominado sistema de Cargas El"stias o Pesos El"stios% En di'a !iga imaginaria( alular el Momento ;letor y la ;uerza Cortante en la sei&n genéria C%<

Con!enio Si M=> las argas el"stias se orientan 'aia arri/a% Si M?> las argas el"stias se orientan 'aia a/a)o% Sean @a y @/ las @eaiones El"stias% E:uili/rio de la !iga imaginaria8

∑  MB =0  Xb

M   dx = 0 ∫  x  EIz

 RA ( L )−

 Xa

De donde8  RA =

 Xb

M   x  dx … … … … … … ( 4 ) ∫  LxA  EIz 1

 Xa

Determinamos las 3uerzas internas de la sei&n C% Condiiones del e:uili/rio  Xb

 M  dx ∫  EIz

Vc + RA =

 Xa

De donde o/tenemos la ;uerza Cortante en la sei&n genéria C%

@emplazando en las euaiones #A$ y #B$ en !alor de reai&n el"stia @a dado por la euai&n #$( o/tenemos

 Xb

 M   dx − RA … … … … … … … ( 5 ) ∫  EIz

Vc =

 Xa

 Xc

M   dx ∑  M = 0 → Mc + aRa=∫  X   EIz  Xa

De donde8  Xc

M  dx −a R a … … … … … ( 6 ) ∫  X   EIz

 Mc =

 Xa

@emplazando las euaiones #A$ y #B$ el !alor de la reai&n el"stia @a dado por la euai&n #$( o/tenemos  Xb

 Xb

M   dx … … … … … … … ( 7 ) ∫  EIz dx − LxA ∫  x  EIz

Vc =

 Xa

 M 

1

 Xa

 Xc

 Xa

a

 Xb

M   dx … … … … … ( 8 ) ∫  X   EIz dx −  L ∫ x  EIz

 Mc =

M 

 Xa

Euaiones :ue nos permiten alular la 3uerza Cortante y el Momento ;letor en ual:uier sei&n genéria C de la !iga imaginaria% Comparando las euaiones #$ y #$ on las euaiones #6$ y #7$( respeti!amente( o/tenemos :ue( sal!o los signos( se !eri2a :ue 9La ;uerza Cortante F es e:ui!alente al giro θc y el Momento Flector M c es equivalente a la flecha u c” Se establece la siguiente analoga!

F

θc

M

uc

Figa Imaginaria

Con!enio Para lograr oinidenia entre los !alores numérios o/tenidos y los signos respeti!os( se onsiderar"n positi!as las 3uerzas internas en la Figa Imaginaria( de auerdo a Ga distri/ui&n siguiente8

Los resultados anteriores onduen al enuniado general del Método de los pesos el"stios8 9La pendiente y la ,e'a en ual:uier punto de la ur!a el"stia de una !iga simplemente apoyada( est"n dados( respeti!amente( por la ;uerza Cortante y el Momento ;letor( :ue resultan de apliar omo argas externas el Diagrama de Momentos ;letores @eduidos #diagrama M-EI z$ so/re una !iga imaginaria( simplemente apoyada y de igual longitud :ue la !iga real<%