MÉTODO DE BISECCIÓN Ver Animación... Si f es es una función continua sobre el intervalo [a,b] y si f (a) f (b)<0, entonces f debe debe tener un cero en (a,b). Dado ue f (a) f f (b)<0, la función cambia de si!no en el intervalo [a,b] y "or lo tanto tiene "or lo menos un cero en el intervalo. (V#ase la fi!ura $.%) &sta es una consecuencia del teorema del valor intermedio "ara funciones continuas, ue establece ue si f es es continua en [a,b] y si k es es un n'mero entre f (a) y f (b) , entonces eiste "or lo menos un c (a,b) tal ue f (c)k . f (b)<0 se esco!e k 0, ("ara el caso en ue f (a) f 0, lue!o f (c)0, c (a,b)). &l m#todo de bisección consiste en dividir el intervalo en * subintervalos de i!ual ma!nitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de si!no, "ara conservar al menos una ra+ o cero, y re"etir el "roceso varias veces. -or eem"lo, su"on!a ue f tiene un cero en el intervalo [a,b].
-rimero se calcula el "unto medio del intervalo entonces f tiene un cero en [a,c].
/ des"u#s se averi!ua s+ f(a)f(c)<0. Si lo es,
A continuación continuación se renombra a c como b y se comiena una ve ms con el nuevo intervalo [a,b], cuya lon!itud es i!ual a la mitad del intervalo ori!inal.
f (c)10 , entonces f (c) f f (b)<0 y en este caso se renombra a c como a. Si f (a) f &n ambos casos se 2a !enerado un nuevo intervalo ue contiene un cero de f , y el "roceso "uede re"etirse.
Ejemplo. 3a función f ( x (0) 5% y f (*)0.6%6$7$. (*)0.6%6$7$. x) xsen x 4 % tiene un cero en el intervalo [0,*], "orue f (0)
Si se denota con entonces c% %. A2ora f (c%) f (%) (%) 50.%$6$*7, lue!o la función tiene un cero en el intervalo [c%, b%] [%,*] / se renombra a*c% y b*b% .
y f (c*) f (%.$) (%.$) 0.879*8*, el cero esta en el
&l nuevo "unto medio es intervalo [a*, c*] y se renombra como [a:,b:].
&n la tabla de abao se muestran las "rimeras nueve iteraciones del m#todo de bisección "ara f ( x x) xsen x 4% con a0 b*.
&rror n
&tremo iuierdoan
&tremo derec2o bn
-unto medio cn
Valor de la función f (cn) ;elativo
%
0
*
%
50.%$6$*7
*
%
*
%.$
0.879*8*
0.::::::
:
%
%.$
%.*$
0.%69*:%
0.*
8
%
%.*$
%.%*$
0.0%$0
%$0.%%%%%%
$
%
%.%*$
%.09*$
50.0%6*
0.0$66*:$
9
%.09*$
%.%*$
%.07:$
50.0*6:9*
0.0*6$%8
%.07:$
%.%*$
%.%07:$
50.00998:
0.0%8068$
6
%.%07:$0
%.%*$
%.%%%6$
0.008*06
0.00977:0
7
%.%07:$0
%.%%%6$
%.%%:*6%*$ 50.00%*%9
0.00:$06
(c %.%%8%$%8% es el cero de f ( x) xsen x 5 %) -ara detener el m#todo de bisección y dar una a"roimación del cero de una función se "ueden usar varios criterios (llamados criterios de parada ). =no de los criterios de "arada consiste en eaminar si f > (cn)> < , donde es una tolerancia "reviamente
establecida ("or eem"lo %05:). ?tro criterio ue "uede utiliarse es eaminar s+ @ambi#n se "uede usar como criterio de "arada el error relativo entre dos a"roimaciones del cero
de f , &n el eem"lo anterior si 0.00$, el "rocedimiento se "arar+a en la octava iteración con el criterio f >(cn)> < , ya ue >f (c6)> >f (%.%%%6$)> 0.008*06 < 0.00$,
"ero si se usa el criterio
, el "rocedimiento se detendr+a en la novena iteración "orue
Buando se !eneran a"roimaciones "or medio de una com"utadora, se recomienda fiar un n'mero mimo de iteraciones C ue deber+a realiar la muina. &sto con el fin de contar con un res!uardo "ara evitar la "osibilidad de ue el "roceso de clculo cai!a en un ciclo infinito cuando la sucesión diver!e (o cuando el "ro!rama no esta codificado correctamente). =n al!oritmo "ara el m#todo de bisección es
Teorema. ( Error en el método de bisección). Si f es continua en [a, b] y f (a) f (b) < 0, el método de bisección genera una sucesión aproxima un cero c de f con la propiedad que:
,n
que
% (-rueba)
Ejemplo. -ara determinar el n'mero de i teraciones necesarias "ara a"roimar el cero de f ( x) xsen x 5 % con una eactitud de %05*en el intervalo [0,*], se debe 2allar un n'mero n tal ue
< %05*, es decir
, n 1 .98:...
se necesitan a"roimadamente unas 6 iteraciones. ?bserve en la tabla de a"roimaciones ue el cero de f ( x) xsen x 5 % esc%.%%8%$%8% y c8 %.%%%6$. &l error real es 0.00:0:0:$7 :%05:. &l error real es menor ue el error dado "or el teorema/ en la mayor+a de casos la cota de error dada "or el teorema es mayor ue el n'mero de iteraciones ue realmente se necesitan. -ara este eem"lo,
0.0086*%8%<%05* 0.0%
Notas: •
&l m#todo de bisección tiene la desventaa ue es lento en cuanto a conver!encia (es decir ue se necesita un n !rande "ara ue
sea "eueo). ?tros m#todos reuieren menos
iteraciones "ara alcanar la misma eactitud, "ero entonces no siem"re se conoce una cota "ara la "recisión. •
•
•
&l m#todo de bisección suele recomendarse "ara encontrar un valor a"roimado del cero de una función, y lue!o este valor se refina "or medio de m#todos ms eficaces. 3a raón es "orue la mayor+a de los otros m#todos "ara encontrar ceros de funciones reuieren un valor inicial cerca de un cero/ al carecer de dic2o valor, "ueden fallar "or com"leto. ;esolver una ecuación en una variable como "or eem"lo xe x% es euivalente a resolver la ecuación xe x5%0 , o a encontrar el cero de la función f ( x) xe x5%. -ara a"roimar el cero de f o la ra+ de la ecuación se "uede 2acer la !rfica de f en una calculadora o usar matlab "ara determinar un intervalo donde f ten!a un cero. @ambi#n se "ueden ensayar n'meros a y b de tal manera ue f (a) f (b)<0. -ara el caso de f ( x) xe x5% "or eem"lo f (0) 5%, f (%) e5% %.%6*6 entonces f tiene un cero en el intervalo [0,%]. Buando 2ay ra+ces m'lti"les, el m#todo de bisección ui no sea vlido, ya ue la función "odr+a no cambiar de si!no en "untos situados a cualuier lado de sus ra+ces. =na !rfica es fundamental "ara aclarar la situación. &n este caso ser+a "osible 2allar los ceros o ra+ces trabaando con la derivada f’ ( x), ue es cero en una ra+ m'lti"le
