Metodica_activitatilor_matematice_primar_si_prescolar.pdf

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

MONICA ANA PARASCHIVA PURCARU

METODICA ACTIVITĂŢILOR ACTIVITĂŢILOR MATEMATICE ŞI A ARITMETICII PENTRU

INSTITUTORI INSTITUTORI/ NSTITUTORI/P /PROFESORI PROFESORI DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR ŞI PREŞCOLAR EDITURA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” BRAŞOV

2008

Purcaru Monica Ana Paraschiva

Metodica activităţilor matematice şi a aritmeticii

Cuprins Introducere……………………………………………………………………………..VI Unitatea de învăţare nr. 1 OBIECTUL METODICII PRED ĂRII MATEMATICII Obiectivele unit ăţii de învăţare…………………………………………………….…… 1 §3.1. Obiectul metodicii pred ării matematicii……………………………………….... 1 §3.2. Sarcinile metodicii pred ării matematicii………………………………………… 2 Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 2 Răspunsuri şi comentarii la testul testul de autoevaluare…………………………….……….. 2 Rezumat…………………………………………………………………………….…… 2 Bibliografie………………………………………………….……………………………. 2 Unitatea de învăţare nr. 2 JOCUL DIDACTIC MATEMATIC Obiectivele unit ăţii de învăţare…………………………………………………………… 3 §2.1. Conceptul de joc didactic……………………………………………………………3 §2.2. Valenţele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ţiei de matematică a preşcolarului şi a şcolarului ………………………………………………… 4 §2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic………………………………………… 5 §2.4. Metodologia organiz ării şi desf ăş ăşurării jocului didactic matematic……………….. 6 §2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice……………………………………….. 7 §2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici şi clasificări…………………………… 8 Test de autoevaluare………………………………………………………………….….. 9 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 9 Rezumat………………………………………………………………………………….. 9 Bibliografie………………………………………………………………………………. 9 Unitatea de învăţare nr. 3 FORMAREA CONCEPTULUI DE NUM ĂR NATURAL. PROBLEME METODICE Obiectivele unit ăţii de învăţare………………………………………..………………… 10 §3.1. Conceptul de num ăr natural………………………………………………………… natural……………………………………… ………………… 10 3.1.1. Numerele naturale naturale ca numere cardinale……………………………………. 10 3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural……………………………………… 12 3.1.3. Aspectul ordinal al num ărului natural…………………………………….... 12 §3.2. Probleme generale şi specifice ale pred ării-învăţării numera ţiei în grădiniţă şi clasa I……………………………………………………………………………… 13 §3.3. Compunerea şi descompunerea numerelor naturale…………………………………14 §3.4. Predarea-înv Predarea-î nv ăţarea numerelor naturale în concentrul 0-10………………………… 15 §3.5. Predarea-înv Predarea-î nv ăţarea numerelor naturale în concentrul 10-100……………………… 17 §3.6. Predarea-înv ăţarea numerelor naturale naturale scrise cu trei sau mai multe multe cifre…………. 17 Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 18 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………..……….. 18 Lucrare de verificare…………………………………………………………………..… 18 Rezumat…………………………………………………………………………………. 18 Bibliografie……………………………………………………………………………… 18 Unitatea de învăţare nr. 4 METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNV ĂŢĂRII OPERAŢIILOR ÎN MUL ŢIMEA NUMERELOR NATURALE Obiectivele unit ăţii de învăţare………………………………………………………….. 20 §4.1. 4.1 . Metodologia Metodol ogia pred pre d ării-învăţării adunării şi scăderii numerelor naturale……………. 20 I



Cuprins Introducere……………………………………………………………………………..VI Unitatea de învăţare nr. 1 OBIECTUL METODICII PRED ĂRII MATEMATICII Obiectivele unit ăţii de învăţare…………………………………………………….…… 1 §3.1. Obiectul metodicii pred ării matematicii……………………………………….... 1 §3.2. Sarcinile metodicii pred ării matematicii………………………………………… 2 Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 2 Răspunsuri şi comentarii la testul testul de autoevaluare…………………………….……….. 2 Rezumat…………………………………………………………………………….…… 2 Bibliografie………………………………………………….……………………………. 2 Unitatea de învăţare nr. 2 JOCUL DIDACTIC MATEMATIC Obiectivele unit ăţii de învăţare…………………………………………………………… 3 §2.1. Conceptul de joc didactic……………………………………………………………3 §2.2. Valenţele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ţiei de matematică a preşcolarului şi a şcolarului ………………………………………………… 4 §2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic………………………………………… 5 §2.4. Metodologia organiz ării şi desf ăş ăşurării jocului didactic matematic……………….. 6 §2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice……………………………………….. 7 §2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici şi clasificări…………………………… 8 Test de autoevaluare………………………………………………………………….….. 9 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 9 Rezumat………………………………………………………………………………….. 9 Bibliografie………………………………………………………………………………. 9 Unitatea de învăţare nr. 3 FORMAREA CONCEPTULUI DE NUM ĂR NATURAL. PROBLEME METODICE Obiectivele unit ăţii de învăţare………………………………………..………………… 10 §3.1. Conceptul de num ăr natural………………………………………………………… natural……………………………………… ………………… 10 3.1.1. Numerele naturale naturale ca numere cardinale……………………………………. 10 3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural……………………………………… 12 3.1.3. Aspectul ordinal al num ărului natural…………………………………….... 12 §3.2. Probleme generale şi specifice ale pred ării-învăţării numera ţiei în grădiniţă şi clasa I……………………………………………………………………………… 13 §3.3. Compunerea şi descompunerea numerelor naturale…………………………………14 §3.4. Predarea-înv Predarea-î nv ăţarea numerelor naturale în concentrul 0-10………………………… 15 §3.5. Predarea-înv Predarea-î nv ăţarea numerelor naturale în concentrul 10-100……………………… 17 §3.6. Predarea-înv ăţarea numerelor naturale naturale scrise cu trei sau mai multe multe cifre…………. 17 Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 18 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………..……….. 18 Lucrare de verificare…………………………………………………………………..… 18 Rezumat…………………………………………………………………………………. 18 Bibliografie……………………………………………………………………………… 18 Unitatea de învăţare nr. 4 METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNV ĂŢĂRII OPERAŢIILOR ÎN MUL ŢIMEA NUMERELOR NATURALE Obiectivele unit ăţii de învăţare………………………………………………………….. 20 §4.1. 4.1 . Metodologia Metodol ogia pred pre d ării-învăţării adunării şi scăderii numerelor naturale……………. 20 I



4.1.1. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10……………….. 20 4.1.2. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20……………….. 22 4.1.3. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100………………... 24 4.1.4. Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100………………... 100………………. .. 25 §4.2. Metodologia pred ării-învăţă rii înmul ţirii şi împărţirii numerelor naturale…… 25 4.2.1. Înmul ţirea numerelor naturale mai mici decât 100………………………….. 25 4.2.2. Înmul ţirea numerelor naturale mai mici decât 1000………………………… 28 4.2.2.1. Înmul ţirea orală……………………………………………………… 29 4.2.2.2. Înmul ţirea în scris…………………………………………………… 30 4.2.3. Împ ărţirea numerelor naturale mai mici decât 100………………………….. 31 4.2.4. Împ ărţirea numerelor naturale mai mici decât 1000………………………. 35 4.2.4.1. Împ ărţirea orală……………………………………………………… 35 4.2.4.2. Împ ărţirea în scris…………………………………………………. 36 §4.3. Metodolo Meto dologia gia pred ării-învăţă rii ordinii efectu ării operaţiilor……………………… 37 4.3.1. Ordinea efectu ării operaţiilor……………………………………………… 37 4.3.2. Folosirea parantezelor……………………………………………………….. 38 § 4.4. Formarea limbajului matematic şi a deprinderilor de calcul mintal la şcolarul mic.. 39 4.4.1. Limbajul matematic…………………………………………………………. 39 4.4.2. Calculul mintal……………………………………………………………… 40 Test de autoevaluare……………………………………………………………………… 44 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 44 Lucrare de verificare……………………………………………………………………… 45 Rezumat………………………………………………………………………………… 45 Bibliografie………………………………………………………………………………. 45 Unitatea de învăţare nr. 5 METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNV ĂŢĂRII MĂRIMILOR ŞI UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ PENTRU MĂRIMI Obiectivele unit ăţii de înv ăţare………………………………………………………….. 46 §5.1. Mărime. Măsurarea unei m ărimi. Unit ăţi de măsură. Importan ţa studierii lor……. 46 §5.2. Obiecti Obi ective ve şi conţinuturi ale pred ării-învăţării mărimilor şi unităţilor de m ăsură ale acestora ……………………………… ……………………… ……………… ……………………… ……………………… ……………… ……………… ……………. …….. 47 §5.3. „Firul ro şu” al pred ării-învăţării unităţilor de măsură pentru mărimi la clasele I-IV I-IV 49 5.3.1. Lungimea…………………………………………………………………… 49 5.3.2. Capacitatea…………………………………………………………………. 49 5.3.3. Masa………………………………………………………………………... 50 5.3.4. Timpul……………………………………………………………………… 50 Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 51 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 51 Rezumat…………………………………………………………………………………. 51 Bibliografie……………………………………………………………………………… 52 Unitatea de învăţare nr. 6 PREDAREA ELEMENTELOR DE GEOMETRIE Obiectivele unit ăţii de înv ăţare…………………………………………………………. 53 §6.1. Locul şi importanţa elementelor de geometrie în procesul de instruire şi educare al şcolarului mic………………………………………………………………….. 53 §6.2. Obiecti Obi ective ve şi conţinuturi ale înv ăţării elementelor de geometrie……………….….. 54 §6.3. Intuitiv şi logic în înv ăţarea geometriei…………………………………………… 55 II



§6.4. Metodologia pred ării-învăţării elementelor de geometrie…………………………. 56 6.4.1. Înv ăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor ini ţială pe calea inductiv ă…………………………………………….. 56 6.4.2. Predarea-înv ăţarea cunoştinţelor geometrice în spiritul rigurozit ăţii geometriei……………………………………………………………. 58 6.4.3. Func ţionalitatea elementelor de geometrie…………………………… 58 §6.5. Formarea conceptelor cu con ţinut geometric………………………………… 58 Test de autoevaluare………………………………………………………………. 59 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare………………………………... 59 Rezumat…………………………………………………………………………… 59 Bibliografie……………………………………………………………………….. 59 Unitatea de învăţare nr. 7 PREDAREA FRACŢIILOR Obiectivele unităţii de învăţare…………………………………………………… 61 §7.1. Introducerea no ţiunii de frac ţie …………………………………………………………..61 §7.2. Compararea frac ţiilor ………………………………………………………… 63 §7.3. Opera ţii de adunare şi scădere cu frac ţii …………………………………… 65 §7.4. Aflarea unei frac ţii dintr-un întreg …………………………………………. 67 Test de autoevaluare…………………………………………………………..…….68 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………….. 68 Rezumat…………………………………………………………………………… 68 Bibliografie……………………………………………………………………….. 68 Unitatea de învăţare nr. 8 METODOLOGIA REZOLVĂRII ŞI COMPUNERII DE PROBLEME Obiectivele unităţii de învăţare…………………………………………………….. 69 §8.1. Noţiunea de problem ă matematică…………………………………………… 69 §8.2. Valenţele formative ale activit ăţilor rezolutive………………………………. 70 §8.3. Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă………………………………. 71 § 8.4. Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetic ă………………………… 73 §8.5. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice………………… 75 8.5.1. Rezolvarea problemelor simple……………………………………….. 75 8.5.2. Rezolvarea problemelor compuse…………………………………... 77 8.5.3. Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematic ă……………… 77 8.5.3.1. Metoda figurativ ă sau grafică……………………………………. 77 8.5.3.2. Metoda compara ţiei…………………………………………… 78 8.5.3.3. Metoda falsei ipoteze…………………………………………. 78 8.5.3.4. Metoda mersului invers………………………………………. 78 8.5.3.5. Regula de trei simpl ă…………………………………………. 79 8.5.3.6. Regula de trei compus ă………………………………………. 79 8.5.3.7. Probleme de mi şcare…………………………………………. 81 8.5.3.8. Probleme nonstandard………………………………………… 81 §8.6. Rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi, verificarea soluţiei aflate şi scrierea formulei numerice………………………………………………………… 81 § 8.7. Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi……………………… 82 Test de autoevaluare…………………………………………………………….. 85 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare………………………………… 85 Lucrare de verificare……………………………………………………………….. 85 Rezumat……………………………………………………………………………. 86 Bibliografie………………………………………………………………………… 86 III



Unitatea de învăţare nr. 9 PROBLEME SPECIFICE ALE PRED ĂRII-ÎNVĂŢĂRII MATEMATICII ÎN CONDIŢIILE MUNCII SIMULTANE Obiectivele unităţii de înv ăţare……………………………………………………….. 87 §9.1. Elemente de planificare, proiectare şi organizare a activit ăţii simultane…………… 87 9.1.1. Particularit ăţ ile procesului de predare-înv ăţ are în înv ăţă mântul simultan.. 87 9.1.2. Gruparea claselor şi repartizarea pe institutori………………………………. 88 9.1.3. Alcătuirea orarului………………………………………………………….. 89 9.1.4. Planificarea activit ăţii didactice……………………………………………... 89 §9.2. Model de activitate didactic ă (sugestie metodic ă). Proiect de lec ţie………….. 92 §9.3. Aspecte metodice privind activitatea independent ă a elevilor……………………... 95 9.3.1. Importan ţa activităţii independente………………………………………… 95 9.3.2. Cerinţe pe care trebuie să le îndeplinească activitatea independent ă a elevilor… 95 9.3.3. Forme de activitate independent ă…………………………………………… 96 9.3.4. Controlul şi evaluarea activit ăţ ii independente………………………… 97 Test de autoevaluare…………………………………………………………………… 98 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare ……………………………………… 98 Rezumat…………………………………………………………………………………... 98 Bibliografie………………………………………………………………………………. 98 Unitatea de învăţare nr. 10 ROLUL MIJLOACELOR DE ÎNV ĂŢĂMÂNT ÎN LECŢIA DE MATEMATICĂ Obiectivele unităţii de înv ăţare……………………………………………………….… 99 §10.1. Conceptul de mijloc de înv ăţământ…………………………………………….… 99 §10.2. Principii de baz ă în folosirea mijloacelor de înv ăţământ……………………….… 99 §10.3. Integrarea mijloacelor de înv ăţământ în activitatea didactic ă……………………. 100 §10.4. Factorii determinan ţi în activitatea de confec ţionare a materialului didactic…..… 101 §10.5. Listă de materiale didactice necesare desf ăşurării lecţiilor de matematică………. 102 Test de autoevaluare……………………………………………………..………….. 104 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………………... 104 Rezumat…………………………………………………………………………………. 104 Bibliografie……………………………………………………………………………… 104 Unitatea de învăţare nr. 11 EVALUAREA ÎN CADRUL LEC ŢIILOR DE MATEMATIC Ă Obiectivele unităţii de înv ăţare………………………………………………………… 106 §11.1. Preciz ări conceptuale…………………………………………………………….. 106 §11.2. Tipuri (forme) de evaluare…………………………………………………….. 106 §11.3. Evaluarea performan ţelor şcolare……………………………………………... 107 §11.4. Metode şi tehnici de evaluare a randamentului şcolar la matematică…………… 108 §11.5. Metodologia elabor ării itemilor…………………………………………………. 110 11.5.1. Clasificarea itemilor…………………………………………………….. 110 11.5.2. Îndrum ări practice, generale pentru elaborarea itemilor………………... 110 Test de autoevaluare…………………………………………………………………... 111 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare…………………………………… 111 Rezumat………………………………………………………………………………. 111 Bibliografie…………………………………………………………………………… 112 Unitatea de învăţare nr. 12 ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTIC Ă LA MATEMATICĂ IV



Obiectivele unităţii de învăţare………………………………………………………… 113 § 12.1. Conceptul de proiectare didactic ă……………………………………………….. 113 § 12 .2. Elemente de proiectare didactic ă………………………………………………… 113 12.2.1. Manualele şcolare alternative……………………………………………. 114 12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor şcolare de matematic ă…………….. 117 12.2.3. Planificarea calendaristic ă……………………………………………….. 117 12.2.4. Proiectarea unit ăţilor de înv ăţare………………………………………… 118 12.2.5. Proiectul de lec ţie………………………………………………………… 119 Test de autoevaluare……………………………………………………………………. 120 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………..……… 120 Lucrare de verificare…………………………………………………………………… 120 Rezumat………………………………………………………………………………… 120 Bibliografie……………………………………………………………………….……….120

Bibliografie……………………………………………………………………………….121

V



INTRODUCERE

Această carte se adreseaz ă în principal studen ţilor din anul II de la Facultatea de Psihologie şi Ştiinţele Educa ţiei-secţia: Pedagogie Înv ăţământ Primar şi Preşcolar, care se preg ătesc să devină institutori/profesori pentru înv ăţământul primar şi preşcolar, atât la forma înv ăţământ-zi, cât şi la cea la distan ţă. Volumul are şi un caracter post-universitar, dorind s ă fie util educatorilor-învăţătorilor/institutorilor/profesorilor din înv ăţământul primar şi preşcolar ce î şi pregătesc examene de definitivat sau de grad II, precum şi tuturor acelora care doresc s ă-şi confrunte propria experien ţă cu ideile vehiculate în text sau celor interesa ţi de înv ăţământul preşcolar-primar. Scopul lucrării de faţă este să-i familiarizeze pe cei interesa ţi cu cele mai importante probleme legate de predarea-învăţarea matematicii în gr ădiniţă şi clasele I-IV. După parcurgerea şi asimilarea acestei lucrări cititorul va fi capabil: -să cunoască şi să aplice metodologia pred ării-învăţării principalelor con ţinuturi ale matematicii preşcolarului şi şcolarului mic; -să folosească creator cunoştinţele expuse în aceast ă carte, în activitatea de proiectare, organizare şi desf ăşurare a unei lec ţii de matematică; -să-şi formeze capacitatea de autoevaluare a demersului metodic din lec ţia de matematică. Lucrarea a fost scris ă astfel ca limbajul, no ţiunile şi succesiunea temelor s ă fie în concordanţă cu programele actuale. Materialul lucrării este structurat în 12 unit ăţi de învăţare, fiecare cuprinzând rubricile: “Cuprins, Obiectivele unit ăţii de învăţare, Conţinutul unităţii de învăţare, Test de autoevaluare, Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare, Rezumat, Bibliografie”, iar unit ăţile de învăţare numărul: 3, 4, 8, 12 con ţin în plus câte o “Lucrare de verificare”. Punctajul propus pentru evaluarea fiec ărei lucrări se află menţionat după enunţul subiectelor. Principiul care a stat la baza structur ării lucrării constă în prezentarea problemelor metodice care se pot conecta la continuturile esen ţiale ale matematicii şcolare din clasele I-IV, astfel încât în con ţinutul cărţii se regăsesc temele: OBIECTUL METODICII PREDĂRII MATEMATICII, JOCUL DIDACTIC MATEMATIC, FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL- PROBLEME METODICE, METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNVĂŢĂRII OPERAŢIILOR ÎN MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE, METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNVĂŢĂRII M ĂRIMILOR ŞI UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ PENTRU MĂRIMI, PREDAREA ELEMENTELOR DE GEOMETRIE, PREDAREA FRACŢIILOR, METODOLOGIA REZOLVĂRII PROBLEMELOR, PROBLEME SPECIFICE ALE PREDĂRII-ÎNV ĂŢĂRII MATEMATICII ÎN CONDIŢIILE MUNCII SIMULTANE, ROLUL MIJLOACELOR DE ÎNVĂŢĂMÂNT ÎN LECŢIA DE MATEMATICĂ, EVALUAREA ÎN CADRUL LECŢIILOR DE MATEMATICĂ şi ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTICĂ LA MATEMATICĂ.

VI


Obiectul metodicii predării matematicii

Unitatea de înv ăţare nr. 1 OBIECTUL METODICII PREDĂRII MATEMATICII Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare…………………………………………………….….. §1.1. Obiectul metodicii pred ării matematicii……………………………………….... §1.2. Sarcinile metodicii pred ării matematicii………………………………………… Test de autoevaluare…………………………………………………………………… Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare…………………………….……… Rezumat…………………………………………………………………………….…. Bibliografie………………………………………………….…………………………

1 1 2 2 2 2 2

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să cunoască obiectul metodicii pred ării matematicii; -să explice importan ţa studierii acesteia; -să enumere sarcinile metodicii pred ării matematicii. §1.1. Obiectul metodicii predării matematicii

Prin metodică se înţelege acea parte a didacticii generale care trateaz ă despre principiile şi regulile de predare proprii fiec ărui obiect de studiu. Metodica predării matematicii este o disciplin ă de grani ţă între matematică, pedagogie şi psihologie. Obiectul ei de studiu se contureaz ă din analiza rela ţiilor ei cu matematica şi pedagogia. Metodica predării matematicii studiaz ă învăţământul matematic sub toate aspectele: conţinut, metode, forme de organizare etc . Metodica predării matematicii pentru înv ăţământul preşcolar şi şcolar trebuie s ă indice cum să se organizeze predarea-înv ăţarea eficient ă a noţiunilor de aritmetic ă, algebră şi geometrie din învăţământul preuniversitar. Matematica constituie con ţinutul asupra c ăruia metodica pred ării î şi exersează metodele. Ea se adapteaz ă şi devine specifică acestui conţinut. Prin acest fapt devine o disciplin ă matematică. Se încetăţeneşte tot mai mult şi termenul de metodologie didactică, înţeleasă ca ştiinţă a metodelor utilizate în procesul de înv ăţământ, ca teorie a naturii, locului şi a strategiilor, metodelor, tehnicilor şi procedeelor întrebuin ţate în predare şi învăţare. Metodologia învăţământului matematic are ca obiect analizarea legit ăţilor procesului studierii matematicii în şcoală, cu toate implica ţiile informative şi formative ale acestei activit ăţi. Ea are o tripl ă valenţă: teoretică, de fundamentare prin cercetare şi explicare logico- ştiinţifică şi didactică a procesului înv ăţării matematicii; practică-aplicativă, de fundamentare a bazelor elaborării normelor privind organizarea şi conducerea ştiinţifică a activităţii de învăţare a matematicii; de dezvoltare, creare şi ameliorare continuă a demersurilor şi soluţiilor metodice specifice acestei activităţi, în vederea ob ţinerii unei eficien ţe tot mai înalte. Pe baza cunoaşterii celor doi factori principali, matematica şi copilul, metodica predării învăţării matematicii analizeaz ă în spiritul logicii ştiinţelor moderne: obiectivele, conţinuturile, strategiile didactice, mijloacele de înv ăţământ folosite, formele de activitate şi de organizare a elevilor, modalităţile de evaluare a randamentului şi progresului şcolar, bazele cultivării unor repertorii motivaţionale favorabile învăţării matematicii. Ea î şi propune totodat ă, să ofere alternative teoretico-metodologice, norme şi modele posibile de lucru, care s ă asigure optimizarea învăţământului matematic în ciclul primar.

1


Obiectul metodicii predării matematicii

§ 1.2. Sarcinile metodicii predării matematicii

Principalele sarcini ale metodicii pred ării matematicii sunt: -selectarea din matematica- ştiinţă a conceptelor, rezultatelor şi ideilor fundamentale care vor fi predate elevilor, urmat ă de organizarea lor pe anumite trepte de atractivitate şi prin anumite grade de rigoare şi complexitate; -identificarea principalelor tr ăsături, instrumente, metode şi aplicaţii, caracteristice diferitelor discipline matematice şi indicarea tiparelor de gândire matematic ă accesibile elevilor la diferite vârste; -investigarea modului în care cuno ştinţele matematice devin utile altor discipline; -detalierea metodologic ă a fiecărei teme de studiu indicând c ăile potrivite pentru explicarea ei cât mai accesibilă; -stabilirea mijloacelor specifice de control a activit ăţii matematice a elevilor, a mijloacelor specifice de evaluare a progresului de înv ăţare; -indicarea modului de organizare a studiului individual cu referire la folosirea manualelor, a revistelor de matematic ă, a culegerilor de probleme, a unor activit ăţi din afara clasei, cercuri de matematică, olimpiade; -stabilirea liniilor directoare în organizarea procesului pred ării-învăţării matematicii; -oferirea de r ăspunsuri adecvate variet ăţii de situaţii educaţionale întâlnite în practic ă. Test de autoevaluare 1. Precizaţi importanţa studierii metodicii pred ării matematicii, în formarea unui bun institutor. 2. Formulaţi obiectul metodicii pred ării matematicii. 3. Enumeraţi sarcinile metodicii pred ării matematicii. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 1.1.(Obiectul metodicii pred ării matematicii). 2. Revezi 1.1.(Obiectul metodicii pred ării matematicii). 3. Revezi 1.2.(Sarcinile metodicii predãrii matematicii), enumer ă cel puţin 5 sarcini. Rezumat Aceastã temã are ca scop familiarizarea cu obiectul şi importanţa metodicii pred ării matematicii. Sunt analizate sarcinile metodicii pred ării matematicii. Bibliografie Aron, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucure şti, 1975. Brânzei, D., Brânzei, R.: Metodica pred ării matematicii. Editura Paralela 45, Pite şti, 2000. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice. Editura Paralela 45, Pite şti, 2000. Neacşu, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Panţuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Universitatea Transilvania din Bra şov, 1997.

2


Jocul didactic matematic

Unitatea de înv ăţare nr. 2 JOCUL DIDACTIC MATEMATIC Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare…………………………………………………………… 3 §2.1. Conceptul de joc didactic……………………………………………………………3 §2.2. Valenţele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ţiei de matematică a preşcolarului şi a şcolarului ………………………………………………… 4 §2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic………………………………………… 5 §2.4. Metodologia organiz ării şi desf ăşurării jocului didactic matematic……………….. 6 §2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice……………………………………….. 7 §2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici şi clasificări…………………………… 8 Test de autoevaluare………………………………………………………………….….. 9 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare………………………………………. 9 Rezumat………………………………………………………………………………….. 9 Bibliografie………………………………………………………………………………. 9 Obiectivele unităţii de învăţare

În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice metodologia organiz ării şi desf ăşurării jocului didactic matematic; -să conştientizeze importanţa utilizării jocului didactic matematic în cadrul lec ţiei; -să integreze jocul didactic matematic în sistemul activit ăţilor cu con ţinut matematic; -să în ţeleagă mecanismul de transformare a unei probleme matematice în joc didactic şi s ă realizeze exerciţii de acest gen; -să enumere valen ţele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic; -să exemplifice pe modele de jocuri didactice matematice, caracteristicile şi momentele organizării şi desf ăşurării unui joc didactic matematic; -să cunoască clasificări ale jocurilor didactice matematice; -să explice care este locul jocului didactic în cadrul lec ţiei de matematică. §2.1. Conceptul de joc didactic Definiţie 1 . Jocul didactic este un tip de joc care îmbin ă elementele instructiv-educative cu

elementele distractive. Definiţie 2 . Jocul didactic este un tip de joc prin care institutorul consolideaz ă, precizează, verifică şi îmbogăţeşte cunoştinţele predate copiilor, înlesnind rezolvarea problemelor propuse acestora, le pune în valoare şi antreneaz ă capacităţile creatoare ale acestora. Definiţie 3. Jocul didactic este o form ă de activitate atractiv ă şi accesibilă copilului, prin care se realizeaz ă sarcinile instructiv-educative ale înv ăţământului. El reprezint ă un ansamblu de acţiuni şi operaţii care, paralel cu destinderea, buna dispozi ţie şi bucuria, urm ăreşte obiective de pregătire intelectuală, tehnică, morală, fizică a copilului. A şadar, atunci când jocul este utilizat în procesul de înv ăţământ, el dobânde şte funcţii psiho-pedagogice semnificative, asigurând participarea activă a copilului la lec ţii sporind interesul de cunoa ştere faţă de conţinutul lecţiilor. Între jocul didactic şi procesul instructiv-educativ exist ă o dublă legătură: jocul sprijin ă şi îmbunătăţeşte procesul instructiv-educativ fiind îns ă şi condiţionat de acesta prin preg ătirea anterioară a copilului în domeniul în care se desf ăşoară jocul. Jocul didactic constituie una din principalele metode active, deosebit de eficient ă în activitatea instructiv-educativ ă cu preşcolarii şi şcolarii mici. Importan ţa acestui mijloc de instruire şi educare este demonstrat ă şi de faptul c ă reprezintă nu numai o metod ă de învăţământ, 3



ci şi un procedeu care înso ţeşte alte metode sau poate constitui o form ă de organizare a activit ăţii copiilor. § 2.2. Valenţele formative ale utilizării jocului didactic matematic în cadrul lecţiei de matematică a preşcolarului şi a şcolarului mic

Pentru sporirea eficien ţei lecţiilor cu con ţinut matematic pentru preîntâmpinarea e şecului şcolar, eliminarea supraînc ărcării este necesar a introduce în lec ţie elemente de joc prin care s ă se îmbine într-un tot armonios atât sarcini şi funcţii specifice jocului, cât şi sarcini şi funcţii specifice învăţăturii. Folosit cu măiestrie, jocul didactic matematic creeaz ă un cadru organizatoric care favorizează dezvoltarea curiozit ăţii şi interesului copiilor pentru tema studiat ă, a spirilului de investigaţie şi formarea deprinderilor de folosire spontan ă a cunoştinţelor dobândite, rela ţii de colaborare, ajutor reciproc, integrarea copilului în colectiv. Jocurile didactice matematice au un mare rol în consolidarea, adâncirea, sistematizarea şi verificarea cuno ştinţelor în dezvoltarea multilateral ă a preşcolarilor şi a şcolarilor mici. Prin intermediul jocului didactic ace ştia î şi îmbogăţesc experienţa cognitivă, învaţă să manifeste o atitudine pozitiv ă sau negativ ă faţă de ceea ce întâlnesc, î şi educă voinţa şi pe această bază formativă î şi conturează profilul personalit ăţii. Jocul didactic este necesar deoarece prin el copilul trece lent, recreativ, pe nesim ţite spre o activitate intelectuală serioasă. Jocul didactic realizeaz ă cu succes conexiunea invers ă. Prin joc, atât cadrul didactic cât şi copilul primesc informa ţii prompte despre efectul ac ţiunii de predare-înv ăţ are, despre valoarea veridic ă a cuno ştin ţelor sau a r ăspunsurilor pe care copilul le d ă la sarcina didactică pus ă în eviden ţă . Prin aceast ă informa ţie invers ă, imediat efectiv ă despre randamentul şi calitatea procesului didactic devine posibil ă reactualizarea, recon ştientizarea şi aprecierea procesului înv ăţă rii, dând posibilitatea institutorului s ă controleze şi autocontroleze cum au fost însu şite, înţelese elementele cunoa şterii. Confirmarea imediat ă a răspunsului are un efect psihologic dinamizant, mobilizator pentru elev, stimulându-i activitatea ulterioar ă de înv ăţ are. Bucuria succeselor m ăreşte încrederea în for ţele proprii, promoveaz ă progresul intelectual al celui care înva ţă . Prin folosirea jocului didactic se poate instaura un climat favorabil conlucr ării fructuoase între copii în rezolvarea sarcinilor jocului, se creeaz ă o tonalitate afectiv ă pozitivă de înţelegere, se stimulează dorin ţa copiilor de a- şi aduce contribu ţia proprie. În joc institutorul poate sugera copiilor s ă încerce să exploreze mai multe alternative, se poate integra în grupul de elevi în scopul clarific ării unor direc ţii de ac ţiune sau pentru selectarea celor mai favorabile solu ţii. Prin intermediul jocului didactic se pot asimila noi informa ţii, se pot verifica şi consolida anumite cuno ştinţe, priceperi şi deprinderi, se pot dezvolta capacit ăţi cognitive, afective şi volitive ale copiilor. Copiii pot fi activiza ţi să rezolve în joc sarcini didactice cu mari valen ţe formativeducative cum sunt: analiza şi sinteza situaţiei problem ă, identificarea situa ţiei, descrierea acesteia, identificarea personajelor şi descrierea lor, formularea de întreb ări pentru clarific ări, elaborarea de r ăspunsuri la întreb ări, aprecierea solu ţiilor prin comparare, explorarea consecin ţelor. Prin mobilizarea special ă a activităţii psihice jocul didactic devine terenul unde se pot dezvolta cele mai complexe şi mai importante influenţe formative: -i se creează copilului posibilitatea de a- şi exprima gândurile şi sentimentele; îi dă prilejul să-şi afirme eu-l, personalitatea; 4



-stimulează cinstea, răbdarea, spiritul critic şi autocritic, st ăpânirea de sine; -prin joc se încheag ă colectivul clasei (grupa), copilul este obligat s ă respecte iniţiativa colegilor şi să le aprecieze munca, s ă le recunoască rezultatele; -trezeşte şi dezvoltă interesul copiilor fa ţă de învăţătură, faţă de şcoală, faţă de matematică; -contribuie la dezvoltarea spiritului de ordine, la cultivarea dragostei de munc ă, îl obişnuieşte cu munca în colectiv; -cultivă curiozitatea ştiinţifică, frământarea, preocuparea pentru descifrarea necunoscutului; -trezeşte emoţii, bucurii, nemul ţumiri. §2.3. Caracteristicile jocului didactic matematic

Jocul didactic este o activitate instructiv-educativ ă care are o structur ă specifică îmbinând în mod organic partea distractiv ă cu instruc ţia, menţinând îns ă specificul de activitate didactic ă prin structura sa. Jocul didactic se deosebe şte de alte jocuri prin anumite caracteristici şi anume: scopul didactic, sarcina didactică, elemente de joc, con ţinutul matematic, materialul didactic folosit şi regulile jocului. Scopul didactic - se formuleaz ă în legătură cu cerinţele programei şcolare pentru clasa respectivă, reflectate în finalit ăţile jocului. Formularea trebuie s ă fie clară şi să oglindească

problemele specifice impuse de realizarea jocului respectiv. Sarcina didactică - reprezint ă problema pe care trebuie s ă o rezolve copii în mod concret în timpul jocului (recunoaştere, denumire, descriere, reconstituire, compara ţie) pentru a realiza scopul propus. În general, un joc didactic are o singur ă sarcină didactică. Gradul de realizare al sarcinii didactice şi calitatea ei se constituie în form ă de evaluare. Elemente de joc – trebuie să se împletească strâns cu sarcina didactic ă şi să mijlocească realizarea ei în cele mai bune condi ţii, constituindu-se în elemente de sus ţinere ale situaţiei de învăţare, ele pot fi dintre cele mai variate: întrecerea individual ă sau pe echipe, cooperarea între participanţi, recompensarea rezultatelor bune, penalizarea gre şelilor comise de c ătre cei antrenaţi în jocurile de rezolvare a exerci ţiilor sau problemelor, surpriza, a şteptarea, aplauzele, încurajarea, etc. Conţinutul matematic - trebuie să fie accesibil, recreativ şi atractiv prin forma în care se desf ăşoară, prin mijloacele de înv ăţământ utilizate, prin volumul de cuno ştinţe la care se apelează. El reprezint ă cunoştinţele predate anterior, sau care urmeaz ă să fie predate copiilor. Materialul didactic - reuşita jocului didactic matematic depinde în mare m ăsură de materialul didactic folosit, de alegerea corespunz ătoare şi de calitatea acestuia. Materialul didactic trebuie s ă fie variat, cât mai adecvat con ţinutului jocului, s ă slujească cât mai bine scopului urm ărit. Astfel se pot folosi: plan şe, jucării, folii, fi şe individuale, cartona şe, jetoane, truse de figuri geometrice. Regulile jocului - pentru realizarea sarcinilor propuse şi pentru stabilirea rezultatelor întrecerii se folosesc reguli de joc propuse de institutor sau cunoscute în general de elevi. Aceste reguli concretizeaz ă sarcina didactică şi realizează în acelaşi timp sudura între aceasta şi acţiunea jocului. Regulile de joc transform ă de fapt exerci ţiul sau problema în joc, activând întregul colectiv la rezolvarea sarcinilor primite. Ele trebuie s ă fie formulate clar, corect, s ă fie înţelese de elevi şi în funcţie de reguli se stabile şte şi punctajul. Un exerci ţiu sau o problem ă de matematică poate deveni joc didactic matematic dac ă îndeplineşte următoarele condi ţii: -urmăreşte un scop şi realizează o sarcină didactică; -foloseşte elemente de joc în vederea realiz ării sarcinii propuse; -foloseşte un conţinut matematic accesibil şi atractiv; 5



-utilizează reguli de joc cunoscute, anticipate şi respectate de elevi. §2.4. Metodologia organizării şi desf ăşurării jocului didactic matematic Sub aspect metodic, jocul didactic necesit ă o pregătire detaliat ă. În jocurile didactice, institutorul nu mai are rolul de a preda cuno ştinţele, de a prezenta şi a da de-a gata solu ţiile unei probleme. El provoac ă anumite probleme, anumite situa ţii în faţa cărora sunt du şi copiii. Aceştia vor descoperi singuri calea de rezolvare, doar în cazul în care jocul este mai dificil, solu ţia va fi sugerată discret de dascăl. Explicaţiile cadrului didactic vor fi cât mai simple şi scurte, adecvate scopului urm ărit prin joc, punându-se accent pe în ţelegerea elementelor esen ţiale. Unele preciz ări se pot face pe parcursul desf ăşurării jocului. Când jocul se repet ă, se poate renun ţa la explicaţii. Răspunsurile la întreb ările jocului pot fi date prin ac ţiune sau prin explica ţii verbale. Institutorul va acorda aten ţie deosebită copiilor cu o exprimare greoaie sau capacitate de înţelegere mai redus ă, aceştia fiind mereu antrena ţi şi încurajaţi. Reuşita jocului este condi ţionată de proiectarea, organizarea şi desf ăşurarea lui metodic ă, de modul în care, cadrul didactic asigur ă concordan ţă între elementele care-l definesc. Pentru aceasta se impun ni şte cerinţe de bază: -pregătirea jocului didactic matematic; -organizarea judicioas ă a acestuia;

-respectarea momentelor jocului; -ritmul şi strategia conducerii lui; -stimularea elevilor în vederea particip ării active la joc; -asigurarea unei atmosfere prielnice; -varietatea elementelor de joc (complicarea jocului). Pregătirea jocului didactic matematic presupune: -pregătirea institutorului (studierea con ţinutului şi a structurii jocului; preg ătirea materialului didactic: procurarea sau confec ţionarea lui); -împărţirea corespunz ătoare a copiilor; -distribuirea materialului necesar desf ăşurării jocului. Desf ăşurarea jocului cuprinde urm ătoarele momente: -introducerea în joc (prin discu ţii pregătitoare); -anunţarea titlului şi scopului acestuia (sarcina didactic ă); -prezentarea materialului; -explicarea şi demonstrarea regulilor jocului; -fixarea regulilor; -demonstrarea jocului de c ătre institutor; -executarea de prob ă a jocului; -executarea jocului de c ătre copii; -complicarea jocului sau introducerea unor noi variante; -încheierea jocului (evaluarea conduitei de grup sau individuale). Introducerea în joc se face în func ţie de tema acestuia. Uneori se face printr-o discu ţie cu efect motivator, printr-o expunere, pentru a stârni interesul şi atenţia copiilor, sau direct prin prezentarea materialului. Anunţarea jocului se face în termeni preci şi, excluzând explica ţiile ambigue. Explicarea jocului fiind un element hot ărâtor ,institutorul are urm ătoarele sarcini: -să facă copiii s ă înţeleagă sarcinile ce le revin; -să precizeze regulile jocului; -să prezinte con ţinutul jocului, principalele etape în func ţie de regulile jocului; -să arate modul de folosire al materialului didactic; 6



-să precizeze sarcinile conduc ătorului de joc şi cerinţele prin care copilul poate deveni câştigător. Fixarea regulilor. Regulile realizează legăturile dintre sarcina didactic ă şi acţiunea jocului. Fiecare joc didactic are cel puţin două reguli: -prima regul ă traduce sarcina didactic ă într-o acţiune concret ă, atractivă, astfel exerci ţiul este transpus în joc; -a doua regul ă are rol organizatoric şi precizeaz ă când trebuie s ă înceapă sau să se termine o anumită acţiune a jocului, ordinea în care trebuie s ă intre în joc. Executarea jocului. Este important de remarcat faptul c ă ritmul şi intensitatea jocului didactic trebuie s ă crească treptat, de aceea se evit ă în timpul jocului interven ţiile inutile. Pentru a menţine şi chiar mări interesul pentru jocul respectiv este bine s ă se introducă pe parcurs unele reguli noi, materiale noi şi în special s ă se complice sarcinile didactice. Executarea jocului începe la semnal. Se reamintesc regulile şi se dau indica ţii organizatorice. Jocul copiilor poate fi condus direct de institutor sau indirect, când institutorul particip ă şi el la joc, f ără să interpreteze rolul de conduc ător. Pe parcursul jocului, cadrul didactic poate trece de la conducerea directă la cea indirect ă. Sarcinile conducătorului de joc sunt: -să imprime ritmul jocului; -să menţină atmosfera de joc; -să urmărească evoluţia jocului, evitând momentele de monotonie, de întrerupere; -să controleze modul în care se realizeaz ă sarcina didactică; -să activeze toţi copiii la joc; -să creeze cerin ţele necesare pentru ca fiecare participant s ă rezolve sarcina didactic ă în mod independent sau în colaborare; -să urmărească comportarea copiilor, precum şi relaţiile dintre ei; -să urmărească respectarea regulilor jocului. În încheierea jocului cadrul didactic formuleaz ă concluzii asupra felului în care s-a desf ăşurat jocul, s-au executat sarcinile primite, asupra comport ării copiilor, f ăcând recomand ări şi evaluări cu caracter individual şi general. Rezultatele jocului creeaz ă numeroase manifest ări spontane de bucurie sau sup ărare, de mulţumire sau regret care nu las ă indiferenţi nici pe elevi, nici pe dasc ăli. Jocul trebuie oprit la timp, l ăsându-se câteva minute pentru strângerea ordonat ă a materialului folosit, atât cel demonstrativ, cât şi cel individual, obi şnuind în acest fel pe elevi cu ordinea şi disciplina în munc ă. §2.5. Clasificarea jocurilor didactice matematice

Jocurile didactice folosite în predarea matematicii sunt dificil de clasificat, existând numeroase criterii care pot îmbr ăca forme diferite: -jocuri didactice sub form ă de exerci ţii bazate pe întrecere; -jocuri de creaţie; -jocuri distractive; -jocuri de perspicacitate; -jocuri logico-matematice; -jocuri desf ăşurate pe baz ă de materiale; -jocuri mute. Dup ă momentul de folosire în cadrul lec ţiei , exist ă urm ătoarea clasificare: 7



-jocuri didactice matematice, ca lecţie completă, de sine st ătătoare; -jocuri didactice matematice folosite ca momente propriu-zise ale lecţiei (de exemplu la începutul lec ţiei, pentru captarea aten ţiei); -jocuri didactice matematice în completarea lecţiei, intercalate pe parcursul lecţiei (când copii dau semne de oboseal ă) sau în final. După conţinutul capitolelor de însuşit în cadrul matematicii sau în cadrul claselor există: -jocuri didactice matematice pentru aprofundarea însuşirii cunoştinţelor specifice unei unităţi didactice (lecţie, grup de lec ţii, capitol sau subcapitol ); -jocuri didactice matematice specifice unei vârste şi clase. După conţinutul unităţilor de învăţare, se disting urm ătoarele tipuri de jocuri: -jocuri didactice matematice pentru însu şirea cunoştinţelor despre culori, orientare spaţială, elemente şi noţiuni de geometrie; -jocuri logico-matematice pentru însu şirea cunoştinţelor despre mul ţimi; -jocuri didactice matematice pentru însu şirea şirului de numere naturale; -jocuri didactice matematice pentru însu şirea operaţiilor cu numere naturale: adunare, scădere, înmulţire, împărţire; -jocuri didactice matematice pentru însu şirea noţiunii de frac ţie; -jocuri didactice matematice pentru însu şirea şi consolidarea unit ăţilor de măsură. §2.6. Jocurile logico-matematice. Caracteristici şi clasificări

O categorie special ă de jocuri didactice matematice este dat ă de jocurile logicomatematice, care urm ăresc cultivarea unor calit ăţi ale gândirii şi exersarea unei logici elementare. Materialul didactic necesar organiz ării jocurilor logico-matematice este o trus ă cu figuri geometrice (trusa lui Z. Dienes) cu 48 piese care se disting prin 4 variabile, fiecare având o serie de valori distincte dup ă cum urmeaz ă: -formă cu patru valori: triunghi, p ătrat, dreptunghi, cerc; -culoare cu 3 valori: ro şu, galben, albastru; -mărime cu 2 valori: gros, sub ţire. Piesele posedă cele 4 atribute în toate combina ţiile posibile, fiecare fiind unicat (4 × 3 × 2 × 2 = 48). În organizarea jocului se poate folosi trusa complet ă sau o parte din ea. Elevii trebuie s ă cunoască bine dimensiunea pieselor logice sau a figurilor geometrice, să descrie propriet ăţile lor geometrice. În acest scop este necesar a relua anumite activit ăţi din cadrul grădiniţei şi a le adapta la cerin ţele specifice organiz ării instructiv-educative ale învăţământului primar. După noţiunile folosite şi operaţiile logice efectuate de elevi se poate face urm ătoarea clasificare a jocurilor logico-matematice: -jocuri pentru construirea mul ţimilor; -jocuri de aranjare a pieselor în tablouri; -jocuri de diferen ţe; -jocuri pentru aranjarea pieselor în dou ă cercuri (opera ţii cu mul ţimi); -jocuri de perechi; -jocuri de transform ări ; -jocuri de mul ţimi echivalente (echipotente). Fiecare tip de joc are mai multe variante; parcurgerea întregii game de variante nu este obligatorie şi nici strict necesară pentru a trece la jocurile de tipul urm ător.

8

Purcaru Monica Ana Paraschiva Test de autoevaluare


1. Prezentaţi caracteristicile unui joc didactic matematic. 2. Definiţi jocul didactic. 3. Enumera ţi cel puţin 5 valenţe formative induse de jocul didactic matematic. 4. Precizaţi locul jocului didactic în lec ţia de matematică. 5. Exemplificaţi caracteristicile şi momentele organiz ării şi desf ăşurării unui joc didactic matematic. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 2.3. (Caracteristicile jocului didactic matematic). 2. Revezi 2.1. (Conceptul de joc didactic). 3. Revezi 2.2. (Valen ţe formative ale utiliz ării jocului didactic matematic în cadrul lec ţiei de matematică a preşcolarului şi a şcolarului mic). 4. Revezi 2.5. (Clasificarea jocurilor didactice matematice- dup ă momentul de folosire în cadrul lec ţiei). 5. Revezi 2.3. şi 2.4. (Caracteristicile jocului didactic matematic; Metodologia organiz ării şi desf ăşurării jocului didactic matematic). Rezumat

Aceastã temã este dedicat ă studierii jocului didactic matematic utilizat în cadrul lec ţiei preşcolarului şi a şcolarului mic. Este definit conceptul de joc didactic şi sunt prezentate valenţele formative ale utiliz ării jocului didactic matematic. Sunt analizate caracteristicile unui joc didactic matematic, fiind tratat ă apoi metodologia organiz ării şi desf ăşurării acestuia. Sunt prezentate clasificări ale jocurilor didactice matematice. Bibliografie

Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Bulboacă, M., Alecu, M.: Metodica activit ăţ ilor matematice în gr ădini ţă şi clasa I . Editura Sigma, Bucure şti, 1996. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice. Editura Paralela 45, Pite şti, 2000. Neacşu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988. Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăţ i matematice în gr ădini ţă. Editura AS’S, 1995. Roşu, M.: Didactica matematicii în înv ăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV). ***SNEE, CNC, Descriptori de performan ţă pentru înv ăţământul primar, Editura ProGnosis.

9


Formarea conceptului de număr natural. Probleme metodice

Unitatea de învăţare nr. 3 FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL. PROBLEME METODICE Cuprins Obiectivele unităţii de înv ăţare………………………………………..……………………… §3.1. Conceptul de num ăr natural………………………………………………………..…… 3.1.1. Numerele naturale ca numere cardinale…………………………………………. 3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural………………………………………..… 3.1.3. Aspectul ordinal al num ărului natural………………………………………….... §3.2. Probleme generale şi specifice ale pred ării-învăţării numeraţiei în grădiniţă şi clasa I… §3.3. Compunerea şi descompunerea numerelor naturale……………………………………. §3.4. Predarea-înv ăţarea numerelor naturale în concentrul 0-10……………………………… §3.5. Predarea-înv ăţarea numerelor naturale în concentrul 10-100…………………………… §3.6. Predarea-înv ăţarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre………………. Test de autoevaluare……………………………………………………………………….….. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………..…………….. Lucrare de verificare…………………………………………………………………..……… Rezumat………………………………………………………………………………………. Bibliografie……………………………………………………………………………………

10 10 10 12 12 13 14 15 17 17 18 18 18 18 18

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să cunoască suportul ştiinţific al introducerii unui num ăr natural, ca proprietate a mulţimilor finite echivalente; -să precizeze problemele generale şi specifice ale pred ării-învăţării numeraţiei în grădiniţă şi în clasa I; -să dirijeze procesul de predare-înv ăţare pentru însu şirea algoritmilor de compunere şi descompunere a numerelor şi de stabilire a rela ţiei de ordine între acestea; -să distingă în descrierea numerelor naturale aspecte legate de semnul grafic al num ărului (cifra), denumirea num ărului în plan lingvistic şi noţiunea propriu-zis ă de număr; -să aplice metodologia introducerii unui num ăr natural, în gr ădiniţă şi în clasa I; -să conştientizeze noţiunile de ordin şi clasă; -să descrie modalităţi de predare a numera ţiei în concentrele: 0-10, 10-100 şi pentru numerele scrise cu trei sau mai multe cifre.

§3.1. Conceptul de număr natural 3.1.1. Numerele naturale ca numere cardinale Pentru a contura conceptul de num ăr natural se va porni de la no ţiunile de mulţime şi relaţie. Fie A şi B două mul ţimi. Se va spune c ă cele două mulţimi sunt echipotente dacă există o bijecţie ƒ a ∗ b1 a1 • mulţimii A pe mulţimea B. Acest fapt se scrie astfel: “ A ~ B” şi se citeşte: mulţimea A este echipotent ă cu mul ţimea ∗ b2 a2 • B. De exemplu, mul ţimile A = {a1, a 2, a3} şi B = {b1, b2, b3} sunt echipotente - lucru ce rezult ă din fig. 3.1. A B ∗ b3 a3 • Fig. 3.1. 10



Relaţia de echipoten ţă “~” se bucură de urm ătoarele propriet ăţi: 1. Relaţia de echipoten ţă “~” este reflexiv ă, adică A ~ A. 2. Este simetrică, adică, dacă A ~ B ⇒ B ~ A. 3. Este tranzitivă, adică, dacă A ~ B şi B ~ C ⇒ A ~ C . Aceste propriet ăţi se verifică imediat: 1. A ~ A, oricare ar fi mul ţimea A, pentru că funcţia ƒ : A → A, ƒ( x) = x este o bijecţie. 2. A ~ B ⇒ B ~ A , căci dac ă exist ă o bijec ţie ƒ : A → B , atunci exist ă func ţia invers ă −1 ƒ : B → A, care este tot o bijec ţie. 3. A ~ B şi B ~ C ⇒ A ~ C , deoarece dacă există funcţiile bijective ƒ : A → B şi g : B → C , atunci funcţia compusă g ° ƒ : A → C este tot o bijecţie. Relaţia de echipoten ţă fiind reflexiv ă, simetrică şi tranzitivă este o relaţie de echivalenţă. Înseamn ă că mulţimile sunt împărţite de rela ţia de echipoten ţă “~” în clase de echivalen ţă (disjuncte), numite clase de echipotenţă.

Definiţie: Se numesc cardinale, clasele de echipoten ţă determinate de rela ţia “~”. Clasa de echipoten ţă căreia îi aparţine mulţimea A se numeşte cardinalul mul ţimii A şi se notează cu A , sau cu card A. Din definiţie rezultă că A = B ⇔ A ~ B. După cum se observ ă, definiţia noţiunii de num ăr cardinal este foarte abstract ă deci ea nu poate fi introdus ă astfel copiilor. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest concept la micii şcolari. Se impune ca institutorul s ă în ţeleagă foarte bine semnifica ţia noţiunii de aspect cardinal care stă la baza noţiunii de num ăr natural. Se consideră o mulţime M şi fie mulţimea părţilor ei, P( M ). O asemenea mul ţime ar fi format ă din mulţimea vidă, din mulţimi cu câte un element, din mul ţimi cu câte dou ă elemente ş.a.m.d. Nu intereseaz ă natura elementelor acestor mul ţimi. În această mulţime P( M ) există submulţimi vide, submul ţimi cu câte 1 element cu câte 2 elemente, cu câte 3 elemente etc. Pe această mulţime se define şte relaţia de echipoten ţă “~”, astfel: mul ţimea care are un triunghi este echipotent ă cu mulţimea care are o stelu ţă sau cu mulţimea formată dintr-un dreptunghi ş.a.m.d. Deci, rela ţia de echipotenţă strânge toate mul ţimile care au această proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clasă de echipoten ţă. Această clasă este numită numărul cardinal unu şi se notează cu semnul 1. La fel, toate submul ţimile cu câte dou ă elemente sunt echipotente între ele formeaz ă o nouă clasă, care este numit ă numărul cardinal doi şi se noteaz ă cu simbolul 2. Se observ ă că această clasă nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte. Procedând în acela şi mod, rela ţia de echipoten ţă adună într-o nou ă clasă toate submul ţimile cu câte trei elemente, ob ţinând astfel clasa numit ă numărul cardinal trei, care se noteaz ă cu semnul 3. Mulţimea vidă va determina clasa căreia i se spune zero şi care se noteaz ă cu semnul 0. Se construiesc progresiv toate clasele de echipoten ţă, deci toate numerele cardinale. Ce trebuie în ţeles aşadar, prin num ărul cardinal 5? Se în ţelege clasa tuturor mul ţimilor cu cinci elemente indiferent de natura elementelor lor (din cinci caiete, cinci creioane, cinci nuci, cinci copii etc.). Se re ţine numai proprietatea comun ă de a avea cinci elemente. Trebuie, a şadar, ca elevul să înţeleagă faptul că numărul 2, de pildă, este proprietatea comun ă a tuturor mul ţimilor formate cu dou ă elemente etc. Se numeşte număr natural cardinalul unei mul ţimi finite. 11



Deci, cardinalele construite pe aceast ă cale, în exemplul de mai sus, sunt numere naturale. Mul ţimea numerelor naturale este notat ă cu N şi este format ă din următoarele elemente: N = {0, 1, 2, 3, …}.

3.1.2. Aspectul cardinal al num ărului natural Înc ă din cele mai vechi timpuri omul a trebuit s ă compare diferite mul ţimi de obiecte pentru a vedea care mul ţime conţine mai multe obiecte. Ast ăzi acest lucru se face prin num ărarea şi compararea numerelor ob ţinute ca rezultate ale num ărării. Aceasta presupune că se cunosc deja numerele şi c ă se ştie a se num ăra. Cum procedeaz ă micul şcolar în fa ţa unei asemenea necesit ăţ i? El realizeaz ă o ordonare în perechi a elementelor mul ţimilor ce se compar ă (bineîn ţ eles finite), adic ă realizează ceea ce se nume şte coresponden ţă unu la unu . Dac ă aceast ă ordonare se poate realiza, atunci cele dou ă mul ţimi au tot atâtea elemente sau cele dou ă mul ţimi, diferite prin natura elementelor lor, sunt echipotente. Dac ă îns ă toate elementele primei mul ţimi sunt puse în coresponden ţă numai cu o parte a elementelor celei de a doua mul ţimi, atunci se spune că prima mul ţ ime are mai puţine elemente decât a doua sau c ă a doua mul ţime are mai multe elemente decât prima. O reprezentare grafic ă a acestor situa ţii se prezint ă în figura 3.2. În primul caz (fig. 3.2 a) mul ţimile A şi B au tot atâtea elemente. În cazul al doilea (fig. 3.2 b) mul ţimea C are mai puţine elemente decât mul ţimea D, sau mul ţimea D are mai multe elemente decât mul ţimea C .

A

•

∗

•

B

C

•

*

*

•

*

•

*

•

•

*

* * *

(a)

Fig. 3.2

D

(b)

Toate mul ţimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comun ă, anume aceea că au acelaşi număr de elemente. Astfel se formeaz ă noţiunea de număr cardinal.

3.1.3. Aspectul ordinal al numărului natural Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mul ţimi a condus la aspectul ordinal al num ărului natural. Dup ă un anumit criteriu, de exemplu, rezultatele la înv ăţă tur ă exprimate prin mediile ob ţinute, se poate alc ătui o ierarhie a elevilor într-o clas ă stabilind cine este primul la înv ăţă tur ă, cine este al doilea, al treilea ş.a.m.d. (la o disciplin ă, sau ca medie general ă etc.). Num ărul de ordine ata şat într-o asemenea succesiune se nume şte num ăr ordinal. Aspectele cardinale şi ordinale s-au dezvoltat într-o leg ătur ă permanent ă unele cu altele şi formeaz ă cele dou ă aspecte ale numerelor naturale, la care se adaug ă num ărul zero.

12



§ 3.2. Probleme generale şi specifice ale predării-învăţării numeraţiei în grădiniţă şi clasa I Copiii de vârst ă şcolară mică se găsesc în stadiul operaţiilor concrete. Ei înva ţă prin intui ţie şi manipulare direct ă de obiecte concrete, iar activitatea matematic ă reproduce, între anumite limite, spaţiul fizic în care aceştia se dezvolt ă. Cercet ările psihologice arat ă că la începutul vârstei şcolare mici apar şi se dezvolt ă primele operaţii logice elementare: conjunc ţia, disjuncţia logică şi negaţia. Formarea mulţimilor după una sau mai multe propriet ăţi ale elementelor lor cultiv ă şi dezvoltă copiilor capacitatea de a lega între ele propriet ăţile obiectelor care alc ătuiesc o mul ţime, cu ajutorul elementelor de rela ţie: sau - corespunz ător disjuncţiei, şi - corespunz ător conjuncţiei, nu - corespunz ător negaţiei. Tot prin activit ăţi practice, mânuind materialul didactic şi verbalizând ac ţiunile folosind: conjuncţia, disjuncţia şi negaţia se introduc opera ţiile cu mulţimi: reuniunea, intersec ţia şi diferenţa a două mulţimi. Pentru înţelegerea şi însuşirea operaţiilor cu mul ţimi este necesar ca institutorul s ă folosească jocurile logico-matematice, jocul disjunc ţiei, al conjunc ţiei, al nega ţiei, al perechilor, jocuri de formare a unei mul ţimi, jocuri de ordonare a elementelor unei mul ţimi etc. În activităţile cu mulţimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înţelesul şi la nivelul de preg ătire al copiilor. Plecând de la activit ăţi logice de comparare a mul ţimilor, copiii vor deveni con ştienţi de modul în care se stabile şte coresponden ţa (element cu element) a dou ă mulţimi - suportul constituindu-l numeroase situa ţii de viaţă. Introducerea conceptului de num ăr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea copiilor cu no ţiunea de rela ţie de echivalen ţă a mulţimilor, de clasă de echivalen ţă, de echipoten ţă între mul ţimi stabilită de relaţia bijectivă tot atâtea, precum şi de relaţia de ordine folosindu-se expresiile mai multe , mai puţine. Activitatea de punere în coresponden ţă a elementelor a dou ă mul ţimi se poate desf ăşura în două direcţii principale: - stabilirea echipoten ţei a două mulţimi (prin relaţia de coresponden ţă element cu element), - construirea mul ţimilor echipotente cu o mul ţime dată (formând o clas ă de echivalenţă). O atenţie deosebită trebuie să se acorde mijloacelor materiale şi de comunicare, formul ării concluziilor, manipul ării obiectelor prin care se formeaz ă sau se pun în coresponden ţă mul ţimile şi folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de func ţie bijectivă se poate spune: corespondenţă element cu element sau se foloseşte relaţia: tot atâtea elemente, care este o relaţie de echivalenţă, iar în loc de mul ţimi echipotente se spun: mulţimi cu tot atâtea elemente (care au acela şi cardinal). Corespondenţa element cu element a dou ă mul ţimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o mul ţime cu un element din cea de-a doua sau prin al ăturarea la fiecare element din prima mul ţime a unui element din cea de-a doua mul ţime. Folosirea rigletelor ofer ă institutorului posibilitatea s ă efectueze cu copiii coresponden ţe între elementele unei mul ţimi oarecare, iar o mul ţime format ă din riglete unităţi dispuse în linie dă posibilitatea copiilor s ă găsească riglete cu acela şi număr de unităţi cât este numărul elementelor unei mul ţimi (prin punere în coresponden ţă). Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizeaz ă dup ă ce în prealabil s-au efectuat exerci ţii de recunoaştere a culorilor şi de egalizare a lungimilor. Comparând dou ă riglete copiii vor deduce dacă au aceeaşi lungime sau nu, vor a şeza în prelungire dou ă sau mai multe riglete pentru a egala o riglet ă de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizeaz ă o în ţelegere mai rapid ă a compunerii şi descompunerii unui num ăr, utilă apoi în efectuarea opera ţiilor aritmetice.

13



În prima parte a unei activit ăţi de predare a unui num ăr se efectueaz ă exerciţii prin care se consolidează şi se verifică în ce măsură copiii stăpânesc cunoştinţele şi deprinderile necesare pentru înţelegerea num ărului nou. În cadrul unei lec ţii se efectueaz ă cu copiii exerci ţii ca: -formarea mul ţimilor; -echipotenţa mulţimilor; -raportarea num ărului la cantitate şi a cantităţii la num ăr; -număratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exerciţii de adunare şi scădere cu o unitate. După efectuarea exerci ţiilor cu caracter preg ătitor, se trece la predarea num ărului nou.

§3.3. Compunerea şi descompunerea numerelor naturale Compunerea şi descompunerea numerelor naturale trebuie s ă aib ă ca punct de plecare procesul de formare a num ărului prin ad ăugarea unei unit ăţ i la numărul anterior. Prin exerci ţii de compunere şi descompunere se realizeaz ă înţ elegerea componen ţei num ărului şi pregătirea copiilor pentru însu şirea opera ţiilor aritmetice de adunare şi sc ădere. Pentru a u şura înţelegerea compunerii unui num ăr, se pot confec ţiona tablouri individuale în dou ă culori. Folosind materialul primit, de exemplu 5 creioane, se va cere copiilor s ă găsească variante de compunere a num ărului 5, aşezând un număr diferit de creioane pe ambele culori ale tabloului. Fiecare copil anun ţă posibilităţile găsite (3+2, 4+1, 1+4, 2+3, 0+5), explicând cum a lucrat. Pentru a cunoa şte toate variantele de compunere a num ărului 5, se vor efectua exerci ţii pe tabla magnetic ă. Se va a şeza pe tabl ă o mulţime cu 4 creioane, se va cere copiilor s ă numere elementele mul ţimii şi să aşeze alături cifra corespunz ătoare. Se va solicita apoi copiilor s ă specifice câte creioane trebuie ad ăugate pentru a avea 5. Se va trage concluzia c ă num ărul 5 a fost compus dintr-o mul ţime cu 4 elemente la care s-a reunit o mul ţime cu un element. În continuare se va proceda la fel în cazul compunerii num ărului 5 din: 3+2, 2+3, 1+4, 0+5. (fig.3.3.)

5 ♥ ♥

5 ♥

♥

5 ♥ ♥

5 ♥ ♥

♥ ♥

♥

♥

♥

3

2

2

3

♥ ♥

♥ ♥ ♥ ♥ ♥

1 4 0 5 Fig. 3.3. Compunerea se poate realiza şi prin desen. Copiii pot desena un num ăr de p ătr ăţ ele pe care le coloreaz ă în dou ă culori, dup ă preferin ţă . La examinarea desenelor se va ar ăta câte pătr ăţ ele au o culoare şi câte alt ă culoare. Pentru descompunerea numerelor, copiii vor primi câte un cartona ş despărţit în dou ă părţi egale. Imaginar, acest cartona ş reprezint ă o vitrin ă cu dou ă rafturi, pe care copiii trebuie s ă aşeze 5 mingi, dup ă preferin ţă . Discutând variantele g ăsite de copii, ace ştia sunt dirijaţi s ă ajungă la concluzia c ă, oricum ar a şeza elementele mul ţimii, tot cinci sunt. În ultima parte, se procedeaz ă ca în cazul compunerii. Institutorul va a şeza toate elementele mul ţimii pe raftul de sus şi va lua pe rând câte o minge şi o va a şeza pe raftul de 14



jos. Copiii vor citi variantele descompunerii num ărului 5 în: 5 şi 0, 4 şi 1, 3 şi 2, 2 şi 3, 1 şi 4, 0 şi 5. Trebuie s ă li se atragă atenţia copiilor c ă fiecare num ăr este format din unit ăţ i şi c ă atunci când este descompus în dou ă numere, acestea dou ă sunt mai mici fiecare decât num ărul descompus, dar c ă împreun ă formeaz ă acela şi num ăr (fig. 3.4.).

5

4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

5 Fig. 3.4. Este bine ca aceste grup ări, în cazul compunerii şi descompunerii numerelor s ă fie citite ca exerciţii de adunare şi scădere, apoi scrise la tabla magnetic ă cu ajutorul cifrelor. Opera ţiile de calcul mintal (adunarea şi scăderea) au la baz ă tocmai aceste reguli pe care copilul le-a descoperit aşezând obiectele în diverse combina ţii.

§3.4. Predarea-învăţarea numerelor naturale în concentrul 0-10 Metodologia form ării conceptului de num ăr natural se bazeaz ă pe faptul c ă elevii din clasele I-IV se afl ă în stadiul operaţiilor concrete, înv ăţând în special prin intuire şi manipulare directă a obiectelor. Pe m ăsura apropierii de clasa a IV-a are loc trecerea treptat ă către general şi abstract. În formarea conceptului de num ăr natural, ac ţiunea va precede intui ţia, parcurgându-se următoarele etape: -activităţi şi acţiuni cu mulţimi de obiecte (etapa ac ţională); -schematizarea acţiunii şi reprezentarea grafic ă a mulţimilor (etapa iconic ă); -traducerea simbolic ă a acţiunilor (etapa simbolic ă). Raportul dintre aceste etape se schimb ă în mod treptat pe parcursul evolu ţiei de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. La început se va acorda un volum mai mare de timp activit ăţilor cu mulţimi de obiecte, dup ă care, treptat, se vor utiliza, cu prec ădere, coresponden ţele realizate grafic pe tabl ă sau pe fi şe întocmite de institutor şi difuzate copiilor. La conceptul de num ăr elevul ajunge progresiv şi după o anumit ă perioadă pregătitoare. În această perioadă este iniţiat în activităţi de compunere şi punere în coresponden ţă a mulţimilor pentru a desprinde ideea de mul ţimi echivalente sau mul ţimi care au acelaşi număr de elemente, de constituire, dup ă anumite criterii, de submul ţimi date, de num ărare a elementelor unei mulţimi, de transpunere prin simboluri a unei mul ţimi. Înregistrarea în scris a num ărului reprezint ă o etapă superioară a procesului de abstractizare. Scrierea numerelor ridic ă, de cele mai multe ori, dificult ăţi de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decât greut ăţile pe care el le întâmpin ă când înva ţă să scrie primele semne ale alfabetului. Cifra reprezint ă semnul grafic al num ărului, a şa cum litera reprezintă semnul grafic al sunetului. Dificult ăţile sporesc fiindc ă el trebuie s ă realizeze o legătură strânsă între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbal ă şi semnul grafic. Scrierea de mân ă a cifrei se face o dat ă cu predarea corespunz ătoarea numărului pentru a se realiza o strâns ă legătură între număr, exprimarea sa verbal ă şi simbolul s ău grafic. Activităţile de stabilire a coresponden ţei element cu element a mul ţimilor urmăresc să dezvolte la copil în ţelegerea conţinutului esenţial al noţiunii de num ăr, ca o clasă de echivalen ţă a mulţimilor finite echipotente cu o mul ţime dată. Elevii construiesc mul ţimi echivalente cu o mul ţime dată şi, în acest proces activ de comparare, în ţeleg mai bine propriet ăţile numerice ale mul ţimilor care au acela şi număr de elemente. Folosind denumirea de mul ţimi cu tot atâtea elemente se detaşează progresiv, noţiunea de num ăr ca o clasă de echivalen ţă. 15



Clasa tuturor mul ţimilor finite echivalente cu mul ţimea cu un singur element este num ărul natural 1. Clasa mul ţimilor echivalente cu o mul ţime cu dou ă elemente este num ărul natural 2. Clasa mulţimilor echivalente cu o mul ţime cu trei elemente este num ărul natural 3 ş.a.m.d. O atenţie specială trebuie acordat ă procesului de în ţelegere a semnifica ţiei cifrei 0 (zero), deoarece aceasta reprezint ă pentru copil o dubl ă abstracţie: cifra zero nu mai exprim ă ceva concret, ea este simbolul clasei de mul ţimi care nu au nici un element, adic ă a mul ţimilor vide. Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în acela şi timp cu introducerea num ărului nou, s ă se predea şi relaţia de ordine a acestuia cu num ărul şi numerele predate anterior (în ordine cresc ătoare şi descrescătoare). Procesul construc ţiei şirului numerelor pân ă la 10 se face progresiv. Din clasa mul ţimilor echivalente cu o mul ţime dată se aleg 2-3 mul ţimi model, ca reprezentan ţi ai clasei. Esenţial este ca elevii să înţeleagă faptul că există un număr nesfârşit de mulţimi echivalente cu mul ţimea model, precum şi distincţia dintre num ăr şi semnul său grafic. Însuşirea conştientă a noţiunii de număr natural se fundamentează pe: -înţelegerea de către copil a num ărului ca proprietate a mul ţimilor cu acelaşi număr de elemente (cardinalul mul ţimilor echivalente); -înţelegerea locului fiec ărui număr în şirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numărului); -înţelegerea semnifica ţiei reale a relaţiei de ordine pe mul ţimea numerelor naturale şi a denumirilor corespunz ătoare (mai mare, mai mic); -cunoaşterea cifrelor corespunz ătoare num ărului; -citirea cifrelor de tipar şi scrierea cifrelor de mân ă. Elevii trebuie s ă înţeleagă că relaţia de ordine pe mul ţimea numerelor naturale nu este dat ă de denumirea lor, care de multe ori se înva ţă mecanic, ci de rela ţiile mai mic sau mai mare care se stabilesc între numere şi care corespund rela ţiilor: mai puţin sau mai mult între mul ţimile ce reprezintă numerele date.

Din punct de vedere metodico-ştiinţific, numărul natural poate fi introdus pe baza: -noţiunii de coresponden ţă element cu element între mul ţimi finite; -noţiunii de succesiune din axiomatica lui Peano; -exprimării rezultatului m ăsurării unei m ărimi. Calea cea mai folosit ă de predare a numerelor naturale este prima şi se realizează parcurgând urm ătoarele etape: -se construieşte o mulţime de obiecte având atâtea elemente cât este ultimul num ăr cunoscut; -se construieşte o altă mulţime echipotent ă cu prima; -se adaugă la cea de a doua mul ţime încă un element; -se constată, prin formarea de perechi, c ă noua mul ţime are cu un obiect mai mult decât prima mul ţime; -se specifică numărul elementelor şi modul de ob ţinere a mulţimii noi; -se construiesc şi alte mulţimi echipotente cu a doua mul ţime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independenţa de alegerea reprezentan ţilor; -se prezintă cifra corespunz ătoare noului num ăr introdus; -se fac exerci ţii variate cu caracter aplicativ pentru fixarea num ărului predat; -se cere copiilor: s ă descopere în clas ă mulţimi care s ă aibă un număr de elemente corespunzător numărului predat, s ă a şeze pe etajer ă un anumit num ăr de cărţi, s ă determine prin pipăit numărul de obiecte, s ă bată din palme de un anumit num ăr de ori, s ă stabilească locul numărului în şirul numerelor naturale, s ă formeze scara numeric ă. 16



§3.5. Predarea-învăţarea numerelor naturale în concentrul 10-100 În această etapă sunt urmărite următoarele aspecte de bază, specifice ei; -înţelegerea zecii ca unitate de numera ţie, bază a sistemului utilizat; -lărgirea noţiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea şi citirea numerelor formate din zeci, introducerea no ţiunii de sut ă. -formarea, citirea, scrierea şi compararea numerelor naturale formate din zeci şi unităţi; -relaţia de ordine realizat ă prin compararea şi ordonarea numerelor înv ăţate; -conştientizarea semnifica ţiei cifrelor dup ă locul pe care îl ocup ă în scrierea numerelor. Modalitatea de introducere a numerelor naturale mai mari decât 10 este similar ă cu cea din concentrul anterior înv ăţat. De exemplu pentru a introduce num ărul 11 se pleac ă de la cea mai mare mul ţime formată (cea cu 10 elemente), lâng ă care se formeaz ă o mulţime cu un element (se poate face pe tabla magnetică, cu figurine, cu riglete, urmat ă de desen pe tabl ă). Se reunesc cele dou ă mulţimi, obţinându-se o mul ţime formată din 10 elemente şi încă un element. Se spune c ă această mulţime are 11 elemente şi că semnul grafic sau simbolul acestui num ăr este “11” , adic ă două cifre 1, prima reprezentând zecea şi cea de-a doua, unitatea ad ăugată zecii respective. Se continu ă cu aplicaţii gen compara ţii: 10 < 11, 11 > 10, etc. Se pot g ăsi toate posibilităţile de compunere a numărului 11. Cu introducerea num ărului 20, ca o zece şi încă alte 10 unit ăţi, adică dou ă zeci, se încheie etapa de baz ă în scopul înţelegerii ulterioare a modului de formare, scriere şi citire a oricărui număr natural. Prin scrierea numerelor formate din zeci şi unităţi, elevii iau contact cu ideea de baz ă a sistemului zecimal de scriere şi notare a numerelor. Institutorul va pune accent pe pronun ţia şi scrierea corect ă a numerelor.

§ 3.6. Predarea-învăţarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre În predarea-înv ăţarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre se folose şte analogia cu procedeele din concentrul anterior înv ăţat. Se formeaz ă ideea că 10 unităţi de un anumit fel formeaz ă o unitate nou ă, mai mare. Elevii adaug ă la unităţile de numeraţie cunoscute: unitatea simplă, zecea, unităţi noi: suta, mia, ş.a.m.d., fixându- şi ideea că zece sute formeaz ă o mie, ş.a.m.d. Predarea oricărui număr natural mai mare decât o sut ă se realizează după algoritmul cunoscut de la formarea numerelor naturale mai mari decât 10: o sut ă şi încă o unitate formeaz ă 101, ş.a.m.d. Problema metodică nouă ce apare în acest concentru este legat ă de formarea, citirea şi scrierea numerelor ce con ţin pe 0 (zero), care semnific ă absenţa unităţilor de un anumit ordin. Tot acum se introduc no ţiunile de: ordin (ce reprezint ă numărul de ordine în scrierea numărului: unităţile vor fi numite unit ăţi de ordinul întâi, zecile –unit ăţi de ordinul doi, sutele – unităţi de ordinul trei, unit ăţile de mii –unit ăţi de ordinul patru, zecile de mii –unit ăţi de ordinul cinci, ş.a.m.d.) şi clasă (o structur ă nouă formată dintr-un grup de trei ordine consecutive: ordinele întâi, doi şi trei formeaz ă clasa unităţilor, ordinele patru, cinci şi şase -clasa miilor, ordinele şapte, opt şi nouă –clasa milioanelor, ş.a.m.d., sugerând astfel c ă procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfâr şit, deci că există numere naturale oricât de mari). În scrierea numerelor naturale din acest concentru eviden ţierea claselor se realizeaz ă prin plasarea unui spaţiu liber între ele.

17



Se vor forma deprinderi corecte şi conştiente de citire şi scriere a numerelor naturale de mai multe cifre, în special a celor în care lipsesc una sau mai multe unit ăţi de un anumit ordin. Se vor realiza corela ţii interdisciplinare, se va matematiza realitatea înconjur ătoare obţinând numeroase posibilit ăţi de exersare a numerelor, se va utiliza frecvent jocul didactic matematic.

Test de autoevaluare 1. Precizaţi suportul ştiinţific privind formarea conceptului de num ăr natural. 2. Explicaţi ce se în ţelege prin: aspectul cardinal şi aspectul ordinal al unui num ăr natural. 3. Prezentaţi etapele necesare pred ării-învăţării numerelor naturale. Exemplifica ţi. 4. Explicaţi pe ce se fundamentează însuşirea conştientă a noţiunii de număr natural. 5. Prezentaţi metodologia pred ării-învăţării numerelor naturale în concentrul 10-100.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 3.1.1. (Numerele naturale ca numere cardinale). 2. Revezi 3.1.2. şi 3.1.3. (Aspectul cardinal al num ărului natural. Aspectul ordinal al numărului natural). 3. Revezi 3.4. (Predarea-înv ăţarea numerelor naturale). 4. Revezi 3.4. (Predarea-înv ăţarea numerelor naturale). 5. Revezi 3.5. (Predarea-înv ăţarea numerelor naturale în concentrul 10-100).

Lucrare de verificare 1 1. Prezintă un algoritm prin care se introduce la clasa I, num ărul 5. 2. Precizează aspectele specifice pred ării-învăţării numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre. 3. Explicaţi ce rol joacă principiul sistemului de numera ţie zecimal în predarea-înv ăţarea numeraţiei? Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: 10 puncte Subiectul 1: 40 puncte Subiectul 2: 30 puncte Subiectul 3: 20 puncte

Rezumat Aceastã unitate de înv ăţare este dedicat ă cunoaşterii conceptului de num ăr natural, precum şi a problemelor metodice legate de predarea-înv ăţarea acestei no ţiuni în gr ădiniţă şi clasele I-IV. Este precizat suportul ştiinţific privind formarea conceptului de num ăr natural. Este analizat atât aspectul cardinal, cât şi cel ordinal al num ărului natural. Este descris demersul metodo-logic al predării-învăţării numerelor în concentrul 0-10 la pre şcolari şi la şcolarii din clasa I, fiind precizată şi metodologia de formare a schemelor operatorii de compunere şi descompunere a unui număr natural. Sunt prezentate aspectele specifice pred ării-învăţării numerelor naturale în concentrul: 10-100 precum şi cele pentru numerele naturale scrise cu trei sau mai multe cifre.

Bibliografie Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Bulboacă, M., Alecu, M.: Metodica activit ăţ ilor matematice în gr ădini ţă şi clasa I . Editura Sigma, Bucure şti, 1996. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice. Editura Paralela 45, Pite şti, 2000.

18



Neacşu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988. Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăţ i matematice în gr ădini ţă. Editura ASS, 1995. Păduraru, V.: Activit ăţ i matematice în învăţământul pre şcolar . Editura Polirom, Ia şi, 1999. Rafailă, E., Ţugui, L., Jurebie, S., Apostol, V.: Modele orientative de lucru cu pre şcolarii. Editura ALL, Bucure şti, 1999. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

19


Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale

Unitatea de învăţare nr. 4 METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNVĂŢĂRII OPERAŢIILOR ÎN MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE Cuprins Obiectivele unităţii de înv ăţare……………………………………………………………… §4.1. Metodologia pred ării-învăţării adunării şi scăderii numerelor naturale………………. 4.1.1. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10………………….. 4.1.2. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20………………….. 4.1.3. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100…………………... 4.1.4. Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100…………………... §4.2. Metodologia pred ării-învăţă rii înmulţirii şi împărţirii numerelor naturale………… 4.2.1. Înmul ţirea numerelor naturale mai mici decât 100…………………………….. 4.2.2. Înmul ţirea numerelor naturale mai mici decât 1000…………………………… 4.2.2.1. Înmul ţirea orală………………………………………………………… 4.2.2.2. Înmul ţirea în scris……………………………………………………… 4.2.3. Împ ărţirea numerelor naturale mai mici decât 100…………………………….. 4.2.4. Împ ărţirea numerelor naturale mai mici decât 1000……………………………. 4.2.4.1. Împ ărţirea orală………………………………………………………… 4.2.4.2. Împ ărţirea în scris………………………………………………………. §4.3. Metodologia pred ării-învăţă rii ordinii efectu ării operaţiilor………………………… 4.3.1. Ordinea efectu ării operaţiilor…………………………………………………… 4.3.2. Folosirea parantezelor………………………………………………………….. § 4.4. Formarea limbajului matematic şi a deprinderilor de calcul mintal la şcolarul mic….. 4.4.1. Limbajul matematic……………………………………………………………. 4.4.2. Calculul mintal………………………………………………………………… Test de autoevaluare………………………………………………………………………... Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare…………………………………………. Lucrare de verificare………………………………………………………………………... Rezumat…………………………………………………………………………………….. Bibliografie………………………………………………………………………………….

20 20 20 22 24 25 25 25 28 29 30 31 35 35 36 37 37 38 39 39 40 44 44 45 45 45

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice demersul metodologic al pred ării-învăţării operaţiilor cu numere naturale la clasele I-IV; -să cunoască metodologia specifică pentru introducerea ordinii efectu ării operaţiilor; -să conştientizeze implicaţiile calculatorii ale apari ţiei parantezelor într-un exerci ţiu; -să formeze la elevi limbajul matematic; -să formeze la elevi deprinderile de calcul mintal şi folosirea lor în situa ţii practice.

§4.1. Metodologia predării-învăţării adunării şi scăderii numerelor naturale 4.1.1. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10 În scopul form ării noţiunii de adunare se porne şte de la opera ţii cu mulţimi de obiecte concrete (etapa perceptiv ă), după care se trece la efectuarea de opera ţii cu reprezent ări ce au tendinţa de a generaliza (etapa reprezent ărilor), pentru ca, în final, s ă se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapa abstract ă). Introducerea opera ţiei de adunare se face folosind reuniunea a dou ă mulţimi disjuncte. 20



În etapa concretă, elevii formeaz ă, de exemplu, o mul ţime de brăduţi ninşi cu 3 elemente şi a mulţime de brăduţi albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele dou ă mulţimi de brăduţi se formează o mul ţime care are 7 br ăduţi: ninşi sau albi. Se repet ă apoi acţiunea folosind alte obiecte (de exemplu, baloane, be ţişoare, flori, creioane ş.a.), până ce elevii con ştientizează că reunind o mul ţime formată din 3 obiecte cu o alt ă mulţime format ă din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obţine o mulţime formată din 7 obiecte. În aceast ă etapă, acţiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui num ăr, date fiind dou ă componente. Etapa a doua, semiabstract ă, este caracterizat ă de utilizarea reprezent ărilor simbolice, cum ar fi: 4

3



 



3

4

3+4

=

7

=

3+4

7

În această etapă se introduc semnele grafice “+” şi “=”, explicându-se ce reprezint ă fiecare şi se insistă pe faptul că acestea se scriu doar între numere. În etapa a treia, abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele. În această etapă se introduce terminologia specific ă (termeni, sumă /total) şi se scot în evidenţă proprietăţile adunării (comutativitate, asociativitate, existenţa elementului neutru), f ără utilizarea acestor termeni şi cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în aceast ă etapă se poate sublinia reversibilitatea opera ţiei, prin scrierea unui num ăr ca sumă de două numere (descompunerea num ărului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativit ăţii elevului care, în urma unui ra ţionament probabilistic, trebuie s ă g ăsească toate soluţiile posibile, anticipând, în acela şi timp, opera ţia de scădere. Scăderea se introduce folosind opera ţia de diferen ţă dintre o mul ţime şi o submul ţime a sa (complementara unei submul ţimi). În prima etap ă concretă, dintr-o mul ţime de obiecte ce au o proprietate comun ă se elimină o submulţime de obiecte şi se precizeaz ă câte obiecte rămân în mul ţime. Acţiunea mentală a elevului vizeaz ă număratul sau descompunerea unui num ăr în două componente, dat ă fiind una dintre acestea. Etapa a doua, semiabstract ă, este caracterizată de utilizarea reprezent ărilor simbolice, cum ar fi:

 7

−

 3

=

4

7 21

 −

3

=

4



În această etapă se introduce semnul grafic “ −“ explicându-se ce reprezint ă şi se precizeaz ă că acesta se scrie doar între numere. În etapa a treia abstract ă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferenţă) şi se evidenţiază propriet ăţile scăderii numerelor naturale (opera ţia este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu sc ăzătorul; în cazul egalităţii, restul este zero), şi se compară cu propriet ăţile adunării (scăderea nu este comutativă) şi subliniind faptul c ă, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adun ă (termeni), iar la sc ădere, rezultatul (diferen ţa) este mai mic decât descăzutul. Legătura dintre adunare şi sc ădere trebuie subliniat ă prin realizarea probei fiec ăreia dintre cele dou ă opera ţii: la adunare, se scade din sum ă unul din termeni şi trebuie s ă se ob ţin ă cel de-al doilea termen, iar la sc ădere, se adun ă diferen ţa cu sc ăzătorul şi trebuie s ă se ob ţin ă descăzutul. De asemenea, aceste rela ţii se eviden ţiaz ă şi în cazul afl ării unui termen necunoscut la adunare sau sc ădere, eliminând ghicirea, ce apeleaz ă la memorie sau procedeul încercare-eroare. Înţelegerea acestor aspecte implic ă în clasele următoare şi formarea capacit ăţii elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai pu ţin cu…, ce vor sta la baza rezolv ării problemelor simple. Rezolvarea unor situa ţii-problem ă (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar şi prezentate oral) ce conduc la una dintre cele dou ă operaţii se realizeaz ă frecvent, înc ă înainte de abordarea conceptului restrâns de problemă din matematic ă. Şi prin aceste situaţii-problemă poate fi valorificat ă leg ătura dintre cele dou ă opera ţii, anticipând cunoa şterea faptului c ă din orice problem ă de adunare se pot ob ţine dou ă probleme de sc ădere. De exemplu, o imagine ce reprezint ă un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt al ţi 4 nuferi, poate fi exploatat ă maximal (din punct de vedere matematic) prin formul ări de tipul: -Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi. Câţi nuferi sunt în total? -Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost cule şi. Câţi nuferi au r ămas pe lac? -Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5. Câţi nuferi au fost cule şi?

4.1.2. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20 Teoria referitoare la predarea-înv ăţarea celor dou ă operaţii în concentrul 0-10 r ămâne valabilă, în esenţă, şi în noul concentru numeric, l ărgindu-se prin abordarea unor probleme metodice specifice acestui concentru. În predarea adunării numerelor naturale mai mici decât 20 se pot distinge urm ătoarele cazuri: -adunarea numărului 10 cu un num ăr de unităţi (mai mic decât 10); Acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, dat fiind şi faptul că se coreleaz ă cu problematica form ării numerelor naturale mai mari decât 10 ( zecea şi un num ăr de unităţi), abordată anterior, la numera ţie. -adunarea unui număr format dintr-o zece şi din unităţi cu un număr format din unităţi (f ără trecere peste 10); 22



În acest caz, este necesar ca elevii se aib ă deprinderile de a aduna corect şi rapid numere mai mici decât 10 şi de a descompune num ărul mai mare decât 10 într-o zece şi unităţi, precum şi priceperea de a ac ţiona numai cu unit ăţile celor dou ă numere, iar la final, s ă revină la primul caz. Din punct de vedere metodic este necesar ă o ac ţiune directă, demonstrativ ă, apoi, de oricâte ori este necesar, individual ă, cu obiectele, ac ţiuni ce se vor reflecta în pa şii algoritmului: -descompunerea primului num ăr în 10 şi unităţi; -adunarea unit ăţilor celor dou ă numere (cu sum ă mai mică sau egală cu 10); -compunerea rezultatului din 10 şi suma unităţilor. -adunarea a două numere mai mici decât 10 şi a căror sumă este mai mare decât 10 (cu trecere peste 10); Pentru înţelegerea acestui caz, elevii trebuie s ă aibă capacitatea de a forma zecea, ca sumă a două numere, dintre care unul este dat (g ăsirea complementului unui num ăr dat în raport cu 10), priceperea de a descompune convenabil un num ăr mai mic decât 10 şi deprinderea de a efectua adunarea zecii cu un num ăr de unităţi. Paşii algoritmului sunt: -căutarea unui num ăr care, adunat cu primul termen conduce la suma 10; -descompunerea convenabil ă a celui de-al doilea termen (una dintre componente fiind numărul găsit anterior); -adunarea zecii cu cealalt ă component ă a celui de-al doilea termen. În predarea scăderii numerelor naturale mai mici decât 20, se pot distinge urm ătoarele cazuri: -descăzutul este cuprins între 10 şi 20, iar scăzătorul este mai mic decât unit ăţile descăzutului; Predarea acestui caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, dac ă elevii observ ă că este suficientă scăderea unităţilor, zecea r ămânând neatins ă. -descăzutul este cuprins între 10 şi 20, iar scăzătorul este 10; Nici acest caz nu prezint ă dificultăţi metodice, dacă elevii observă că este suficientă scăderea zecii, unit ăţile rămânând neschimbate. -atât descăzutul, cât şi scăzătorul sunt cuprinse între 10 şi 20; Acest caz reprezint ă o combina ţie a celorlalte dou ă şi rezolvarea sa este reductibil ă la descompunerea celor dou ă numere (în câte o zece şi unităţi), scăderea unităţilor de acelaşi fel (zece-zece şi unităţi-unităţi) şi adiţionarea rezultatelor. -descăzutul este 20 iar scăzătorul este mai mic decât 10; În acest caz este necesar ă dezlipirea unei zeci şi transformarea ei în 10 unit ăţi, urmată de scăderea din acestea a unit ăţile scăzătorului. -descăzutul este 20 iar scăzătorul este cuprins între 10 şi 20; Acest caz este o generalizare a celui anterior, fiind necesar ă în plus scăderea zecilor. -descăzutul este cuprins între 10 şi 20, iar scăzătorul, mai mic decât 10, este mai mare decât unităţile descăzutului; Acest caz este cel mai dificil pentru elevi şi poate fi rezolvat prin mai multe procedee. Un prim procedeu cuprinde: -scăderea pe rând a unit ăţilor scăzătorului din descăzut - cu sprijin în obiecte; Un al doilea procedeu revine la: -descompunerea desc ăzutului într-o zece şi unităţi; -descompunerea sc ăzătorului astfel încât una dintre componente s ă fie egală cu unităţile descăzutului; -scăderea acestei componente a sc ăzătorului din unit ăţile descăzutului; -scăderea din zecea desc ăzutului a celeilalte componente a sc ăzătorului. 23



Un al treilea procedeu cuprinde: -descompunerea desc ăzutului într-o zece şi unităţi; -scăderea din zecea descăzutului a unit ăţilor scăzătorului; -adunarea acestui rest cu unit ăţile descăzutului. Prezentarea acestor procedee trebuie realizat ă cu material didactic, analizând fiecare pas şi apoi sintetizând procedeul pe to ţi paşii în ansamblu.

4.1.3. Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100 Predarea operaţiilor de adunare şi scădere în concentrul 0-100, trebuie s ă urmărească însuşirea de către elevi a urm ătoarelor idei: -calculul în acest concentru se realizeaz ă în acelaşi mod ca şi în concentrul 0-20; -orice num ăr mai mare decât 10 se descompune în zeci şi unităţi; -zecea este o nou ă unitate de calcul; -operaţiile se realizează cu unit ăţile de acelaşi fel (unit ăţi, zeci), asamblând apoi rezultatele parţiale; -10 unităţi se restrâng într-o zece, iar o zece se poate transforma în 10 unit ăţi (echivalenţa dintre 10 unit ăţi şi o zece); -calculul este mai u şor de efectuat în scris (scrierea pe vertical ă, cu unităţi sub unit ăţi şi zeci sub zeci). În predarea adunării numerelor naturale mai mici decât 100, se disting urm ătoarele cazuri: -adunarea a două numere formate numai din zeci; În acest caz, institutorul trebuie s ă sublinieze că zecile sunt şi ele unităţi de calcul, aşadar se va opera cu ele ca şi cu unităţile. -adunarea unui număr format numai din zeci cu un număr mai mic decât 10; Nici acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, deoarece are leg ătură cu problematica formării numerelor. -adunarea unui număr format numai din zeci cu un număr format din zeci şi unităţi; În acest caz, algoritmul opera ţiei presupune: -descompunerea celui de al doilea num ăr în zeci şi unităţi; -adunarea zecilor celor dou ă numere; -adunarea la aceast ă sumă a unităţilor celui de-al doilea num ăr. -adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr mai mic decât 10, f ără trecere peste ordin; Se distinge de cazul anterior prin aceea c ă se adună unităţile celor dou ă numere, adunând apoi şi zecile primului num ăr. -adunarea a două numere formate fiecare din zeci şi unităţi, f ără trecere peste ordin; În acest caz pa şii algoritmului sunt: -descompunerea fiec ărui număr în zeci şi unităţi; -adunarea zecilor celor dou ă numere, respectiv a unit ăţilor; -adunarea celor dou ă sume parţiale. -adunarea a două numere formate fiecare din zeci şi unităţi, având suma unităţilor 10; În acest caz suma unit ăţilor se restrânge într-o zece, care se va aduna cu suma zecilor celor două numere. -adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr mai mic decât 10, cu trecere peste ordin; În acest caz din suma unit ăţilor se separă o zece, care se va aduna cu zecile primului num ăr şi unităţile rămase se vor aduna la suma zecilor. -adunarea a două numere formate fiecare din zeci şi unităţi, cu trecere peste ordin; 24



În acest caz din suma unit ăţilor celor dou ă numere (mai mare decât 10) se separ ă o zece, care se va aduna sumei zecilor celor dou ă numere, iar unit ăţile rămase se vor aduna la zecile obţinute.

Metodologia predării scăderii este asemănătoare cu cea a adun ării prezentată mai sus. 4.1.4. Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 Acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, în situa ţia în care elevii stăpânesc algoritmii celor dou ă operaţii, pe care i-au înv ăţat în concentre numerice mai mici. Singura diferenţă este dată de ordinul de m ărime al numerelor, dar acest lucru nu modific ă structura algoritmilor. Bineîn ţeles, pe lângă zecea cu care s-a lucrat în concentrele anterioare, apar şi alte unităţi de calcul, cum sunt: suta, mia, etc., dar ele reprezint ă generaliz ări ale cunoştinţelor şi priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri, constatând c ă operarea cu numere naturale de orice m ărime se face la fel ca şi cu numerele naturale mai mici decât 100. Abordarea cazurilor noi se va face gradat f ără să se insiste prea mult pe denumirile acestora, care sunt neimportante pentru elevi. O eroare metodică din parte institutorului este nedozarea eficient ă a sarcinilor calculatorii. În situaţia în care nu sunt intercalate şi sarcini de alt tip, probabilitatea ca elevii s ă greşească este mai mare şi aceasta se datoreaz ă: monotoniei, oboselii, mic şorării motivaţiei pentru efectuarea calculelor.

§4.2. Metodologia predării-învăţării înmulţirii şi împărţirii numerelor naturale Introducerea opera ţiilor de înmul ţire şi împărţire cu numere naturale se face dup ă ce elevii au dobândit cuno ştinţe şi au priceperi şi deprinderi de calcul formate, corespunz ătoare operaţiilor de adunare şi scădere. Operaţiile de înmulţire şi împărţire se introduc separat, mai întâi înmulţirea (ca adunare repetat ă de termeni egali), apoi împ ărţirea (ca scădere repetată a aceluiaşi număr natural). Abia dup ă introducerea lor şi stăpânirea lor de c ătre elevi se va eviden ţia legătura dintre aceste dou ă operaţii. Deoarece predarea-înv ăţarea acestor dou ă operaţii se face prin intermediul adun ării şi scăderii, intuiţia nu mai are un rol predominant în cunoa şterea şi înţelegerea lor.

4.2.1. Înmulţirea numerelor naturale mai mici decât 100 Operaţia de înmulţire se introduce ţinând seama de defini ţia înmulţirii ca: adunarea repetat ă a aceluiaşi termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulţirii se pot utiliza două procedee : -Efectuarea adun ării repetate a num ărului respectiv şi exprimarea acestei adun ări prin înmulţire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10. -Efectuarea înmul ţirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10. Primul procedeu se întrebuin ţează mai ales pentru stabilirea tablei înmul ţirii, iar al doilea se bazează pe primul, cu deosebire pe înmul ţirile numerelor 1-10 cu numere pân ă la 5. Ordinea exerci ţiilor de înmul ţire respectă ordinea prev ăzută în tabla înmul ţirii, astfel că se învaţă întâi înmulţirea numărului 2, apoi a num ărului 3 etc. Exprimarea în cazul înmul ţirii trebuie s ă corespundă întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul s ă-şi poată însuşi în mod con ştient şi cu uşurinţă această operaţie. De aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizeaz ă cuvintele: a luat de b ori , apoi exprimarea: a înmulţit cu b şi în sfârşit exprimarea: a ori b, aceasta fiind cea mai scurt ă şi deci cea care se va folosi mai târziu în mod curent. 25


Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale Este recomandabil ca la înmul ţirea num ărului 2 s ă se întrebuin ţeze pentru toate înmul ţirile numărului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori şi numai după ce elevii au deprins aceast ă exprimare, sau numai la înmul ţirile numerelor urm ătoare să se treacă la celelalte moduri de

exprimare. Pentru stabilirea rezultatului unei înmul ţiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedeaz ă în felul următor: -se demonstreaz ă cu ajutorul a 2 - 3 materiale didactice, apoi pe baz ă de reprezent ări cât fac 2 luat de 3 ori şi trecându-se pe plan abstract se stabile şte că 2 luat de 3 ori fac 6; -se scrie această concluzie în dou ă feluri: sub form ă de adunare şi sub formă de înmulţire, adică: 2+2+2=6 2 × 3 = 6 -se citeşte operaţia de înmul ţire în cele 3 moduri ar ătate mai sus.

Trecerea de la adunarea repetată la înmulţire se face în două moduri. I. Prin stabilirea rezultatului fiec ărei adunări repetate a numărului dat şi exprimarea acestei operaţii sub formă de adunare, apoi sub form ă de înmulţire, urmată de scrierea în cele dou ă feluri a acesteia; exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum a ţi socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12). Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12). În felul acesta elevii se deprind s ă identifice opera ţia de adunare repetat ă a aceluiaşi termen cu operaţia de înmul ţire, să substituie o opera ţie prin alta, ceea ce de altfel se şi urmăreşte. II. Prin stabilirea tuturor opera ţiilor de adunare repetat ă a aceluiaşi termen programate pentru lecţia respectivă şi apoi scrierea acestora sub form ă de înmul ţiri. Adică, dacă este vorba despre înmulţirea numărului 3, se stabilesc şi se scriu toate adun ările numărului 3 pân ă la 18: 3 3+3=6 3+3+3=9 3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 apoi se transform ă pe rând aceste adun ări în înmul ţiri, scriindu-se în dreptul fiec ărei adunări înmulţirea corespunz ătoare, astfel: 3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9 3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 3 × 6 = 18 Dintre aceste dou ă procedee se consider ă că primul este mai indicat pentru motivul c ă elevii sunt puşi în situaţia s ă participe în mod con ştient la scrierea fiec ărei adunări sub form ă de înmulţire, câtă vreme dup ă al doilea procedeu, chiar dac ă elevii particip ă conştient la scrierea primelor dou ă adunări sub form ă de înmulţiri, celelalte transform ări le vor face mecanic pe baza observaţiei că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc. De altfel, între cele dou ă procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolut ă, ele urmând a fi utilizate după preferinţele propun ătorului şi ţinând seama de condi ţiile în care lucreaz ă. Semnul înmulţirii se introduce cu prilejul scrierii primei opera ţii de înmulţire, ca o prescurtare a cuvintelor luat de … ori. În opera ţiile următoare, se va ar ăta că semnul “×” mai ţine locul cuvintelor înmulţit sau ori. 26



Pentru memorarea tablei înmulţirii se utilizează procedeele specificate pentru memorarea tablei adunării şi scăderii. Apoi, la fiecare lec ţie, trecerea la predarea cuno ştinţelor noi este precedat ă de calcul mintal, iar în ascultare şi în fixarea cuno ştinţelor se rezolv ă probleme aplicative. De asemenea este indicat să se rezolve cât mai multe exerci ţii în care lipse şte unul din factori, întâi exerci ţii în care lipseşte factorul al doilea, apoi exerci ţii în care lipse şte primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15, întrucât aceste categorii de exerci ţii contribuie într-o m ăsură mai mare la clasificarea şi consolidarea înmul ţirilor. În cadrul numerelor pân ă la 100, tabla înmul ţirii se completeaz ă cu toate înmul ţirile numerelor de o singur ă cifră, devenind apoi elementul de baz ă în toate calculele care utilizeaz ă operaţiile de gradul al doilea. Predarea înmulţirii în acest concentru prezintă următoarele caracteristici: -elevii sesizează rolul pe care îl îndepline şte primul factor ca num ăr ce se repet ă şi rolul pe care îl îndepline şte cel de al doilea factor ca num ăr ce arată de câte ori se repet ă primul factor; -se scoate în eviden ţă şi se aplică proprietatea comutativit ăţii înmulţirii, în special pentru stabilirea rezultatelor înmul ţirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 şi 9. Această proprietate se generalizează în cadrul numerelor pân ă la 100, astfel încât o bun ă parte din tabla înmul ţirii va constitui doar o repetare a celor înv ăţate anterior; -pe baza comutativit ăţii produsului se alcătuieşte tabla înmul ţirii cu înmul ţitorul constant, care va constitui elementul principal în introducerea împ ărţirii prin cuprindere; -pentru stabilirea rezultatelor înmul ţirilor, elevii vor putea întrebuin ţa o mare varietate de procedee ra ţionale: adunarea repetat ă, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un caracter limitat, ci vor c ăpăta un câmp larg de desf ăşurare. În ceea ce prive şte intuiţia, aceasta nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit multe cunoştinţe în legătură cu opera ţiile aritmetice, şi-au format anumite priceperi şi au sesizat mecanismul scrierii adun ării repetate sub form ă de înmul ţiri şi tehnica form ării tablei înmulţirii, astfel încât insisten ţa institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frâna însu şirea într-un ritm mai rapid a cuno ştinţelor. Nu se renun ţă complet la materialul didactic, dar acesta se utilizează numai în m ăsura în care el este necesar pentru ca elevii s ă-şi însuşească în mod conştient operaţiile respective. Astfel pe parcursul aceleia şi lecţii, ca şi în eşalonarea lecţiilor aparţinătoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se face în a şa fel încât la început să se utilizeze mai mult material didactic şi să se treacă prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce mai puţin, ajutându-se ca ultimele opera ţii să se bazeze doar pe gândirea abstract ă. Exemplu, la înmul ţirea numărului 7: -primele 6 opera ţii nu este necesar să fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmul ţirile cu înmulţitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repet ă înmulţirile respective, se reamintesc demonstraţiile sau se repetă unele dintre ele dac ă se consideră necesar; -operaţiile 7 × 7 şi 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile şi beţişoare, cuburi şi buline, creioane şi o planşă cu figuri), dintre care un material este indicat s ă fie o planşă cu figuri decupate şi lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconcret ă şi apoi abstract ă; -operaţia 7 × 9 poate fi ilustrat ă numai cu ajutorul unor reprezent ări, după care se trece la faza abstract ă; -rezultatul opera ţiei 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte. De asemenea, în şirul lecţiilor: înmulţirea numărului 2, înmul ţirea numărului 3 etc., bog ăţia şi varietatea materialului didactic trebuie s ă fie în descre ştere, pe măsură ce elevii dobândesc noi cunoştinţe şi-şi formează noi priceperi şi deprinderi. Ordinea în care se predau cuno ştinţele privitoare la înmul ţirea numerelor este cea prev ăzută de tabla înmul ţirii, iar după epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale. 27


Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale Fazele principale prin care trece o lec ţie de înmul ţire a unui num ăr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt urm ătoarele: -repetarea tablei înmul ţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente; -numărarea ascendent ă cu acel num ăr de unit ăţi şi scrierea rezultatelor num ărării; -adăugarea repetat ă a acelui num ăr, o dat ă, de două ori etc., cu scrierea pe tabl ă şi pe caiete a operaţiei; -scrierea adunării repetate sub form ă de înmulţire; -stabilirea complet ă a tablei înmul ţirii cu acel num ăr, inclusiv înmul ţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuin ţând forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerci ţii şi probleme aplicative în leg ătură cu înmulţirile învăţate.

Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmulţire: -procedeul adunării repetate; 4 × 3 = 12 pentru c ă 4 + 4 + 4 = 12. -procedeul utilizării grupărilor; 4 × 7 = 28 pentru c ă 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 şi 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru c ă 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 şi 20 + 8 = 28. -procedeul comutativităţii; 7 × 3 = 21, pentru c ă 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru c ă 6 × 9 = 54. -procedeul rotunjirii; 9 × 3 = 27, pentru c ă 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 şi 30 - 3 = 27.

4.2.2. Înmulţirea numerelor naturale mai mici decât 1000 În cadrul numerelor 1-1000 s-a înv ăţat tabla înmul ţirii numerelor de o singur ă cifră, precum şi înmulţirea zecilor cu un num ăr de o singur ă cifră f ără trecere peste sut ă. În cadrul numerelor de trei cifre se studiaz ă operaţia de înmul ţire în ansamblu, cu toate particularităţile ei şi cu toate cazurile pe care le prezint ă. Pentru ca elevii să-şi poată însuşi în condiţii corespunzătoare opera ţia de înmulţire, să pătrundă sensul ei, să-şi formeze deprinderi temeinice de calcul corect şi rapid, este necesar s ă stăpânească la perfec ţie toate cunoştinţele premergătoare înmulţirii numerelor de trei cifre. Aceste cunoştinţe sunt urm ătoarele: -tabla înmulţirii numerelor de o singur ă cifră; -numeraţia orală şi scrisă a numerelor de mai multe cifre, cu deosebire formarea numerelor, compunerea şi descompunerea lor în unit ăţi componente; -efectul numărului zero în cazul înmul ţirii; -no ţiunile teoretice elementare privitoare la denumirile factorilor şi a rezultatului înmulţirii. Apoi, pentru a putea trece la înmul ţirea în scris, elevii trebuie s ă aib ă formate priceperi şi deprinderi temeinice de calcul, s ă cunoască bine cazurile de înmul ţire şi s ă efectueze cu u şurinţă adunarea în scris, deoarece înmul ţirea în scris utilizeaz ă adunarea ca opera ţie auxiliară. La fiecare caz de înmul ţire este necesar să se stabilească o concluzie care s ă obţină ca element principal: cazul de înmul ţire şi procedeul. Aceast ă concluzie poate fi formulat ă ca o explicare a procedeelor întrebuin ţate, sau sub form ă de regul ă. În ceea ce prive şte exprimarea în desf ăşurarea calculului în scris este indicat s ă se întrebuinţeze, mai ales la primele exerci ţii, atât exprimarea complet ă (cu denumirea unit ăţilor), cât şi 28



exprimarea prescurtat ă, asigurându-se astfel însu şirea conştientă a tehnicii opera ţiilor şi realizându-se în acela şi timp trecerea pe nesim ţite de la calculul oral la cel scris.

4.2.2.1. Înmulţirea orală Programa şcolară prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor pân ă la 1000, numai cazurile simple de înmul ţire orală, şi anume, înmul ţirea zecilor şi a sutelor cu un num ăr de o singură cifră, precum şi înmulţirea cu 10, 100 şi 1000. Procedeele de înmul ţire în aceste cazuri se bazeaz ă pe regulile stabilite la înmul ţirea unităţilor şi a zecilor. Astfel, înmul ţirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adic ă 50 × 3 = 150; sau înmulţirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adic ă 300 × 2 = 600. Prin urmare, înmul ţirea zecilor şi a sutelor se reduce la înmul ţirea unităţilor, regula fiind: zecile şi sutele se înmul ţesc ca şi unităţile, dar la produs se adaug ă un zero, respectiv dou ă zerouri. Succesiunea acestor exerci ţii de înmulţire orală este următoarea: - înmulţirea sutelor cu un număr de o singur ă cifră f ără trecere peste mie. Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc. - înmulţirea zecilor cu un număr de o singur ă cifră. Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc. În afară de acestea, odat ă cu primele exerci ţii scrise de înmul ţire se introduc no ţiunile de deînmulţit, înmulţitor, factori şi produs, ca denumiri ale numerelor care se înmul ţesc şi rezultatul înmulţirii. Dintre toate cazurile de înmul ţire orală, cel mai important este cel de înmul ţire a unui număr format din sute şi zeci cu un num ăr de o singur ă cifră, pentru c ă acesta constituie un exerciţiu pregătitor pentru înmul ţirea în scris, mai ales c ă unul din procedeele indicate pentru înmulţirea oral ă, anume înmul ţirea pe rând a sutelor, apoi a zecilor cu num ărul dat şi adunarea rezultatelor, este asem ănător cu cel întrebuin ţat la înmulţirea în scris. Exemplu: 320 × 3 = 960, pentru c ă 300 × 3 = 900, 20 × 3 = 60 şi 900 + 60 = 960. În acest caz de înmul ţire se mai întrebuinţează şi un alt procedeu, care const ă în transformarea num ărului în zeci şi apoi înmul ţirea numărului de zeci ob ţinut: 320 = 32 zeci; 32 zeci × 3 = 96 zeci, adic ă 320 × 3 = 960. Regula înmul ţirii cu 10 a unui num ăr de două cifre constituie primul procedeu ra ţional de înmulţire rapidă prevăzut pentru clasele I-IV. Pe acest procedeu se vor baza apoi celelalte procedee, şi anume, înmul ţirea cu 100 şi 1000, sau cu orice num ăr format din cifra 1 urmat ă de zerouri, sau cu orice num ăr format dintr-o cifr ă oarecare urmat ă de zerouri. Pentru stabilirea unei concluzii care s ă constituie regula înmulţirii unui număr cu 10, se studiază mai multe exemple din aceast ă categorie, efectuându-se înmul ţirea în mod obi şnuit, spre exemplu: 38 × 10: 30 × 10 = 300 8 × 10 = 80, 300 + 80 = 380, deci 38 × 10 = 380, apoi, pe baza metodei compara ţiei, se constată că produsul (rezultatul) se deosebe şte de deînmulţit prin faptul c ă are un zero la urm ă, ceea ce înseamnă că fiecare unitate a deînmul ţitului a devenit de 10 ori mai mare, adic ă întreg num ărul s-a mărit de 10 ori. Deci, prin înmul ţirea cu 10 a num ărului dat i s-a ad ăugat acestuia un zero în partea dreapt ă. F ăcând aceeaşi constatare în 3-4 sau mai multe cazuri şi utilizând opera ţiile de abstractizare şi generalizare ale gândirii, se formulează concluzia: un număr se înmulţeşte cu 10 adăugând la dreapta lui un zero. În ceea ce prive şte exprimarea, aceasta trebuie s ă cuprindă toate procesele aritmetice care 29

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale conduc la opera ţia de înmul ţire: luarea (repetarea) unui num ăr sau a unei cantit ăţi de câteva ori, mărirea de câteva ori, înmul ţirea cu un num ăr, iar exerci ţiile trebuie s ă cuprindă şi cazurile în care se cere s ă se afle unul din factori, cunoscând cel ălalt factor.

4.2.2.2. Înmulţirea în scris Operaţia de înmul ţire în scris cuprinde o mare varietate de exerci ţii, a căror înmulţire se poate face în diferite moduri. Astfel: -ţinând seama de concentrul numerelor în care se încadreaz ă rezultatul opera ţiei, înmulţirea poate fi cu numere pân ă la 1000 sau de 3 cifre şi cu numere de o cifr ă; -după numărul cifrelor înmul ţitorului, înmul ţirea poate fi cu înmul ţitorul de o singur ă cifră, de două cifre şi de 3 sau mai multe cifre; -după dificultăţile pe care le precizeaz ă feluritele cazuri de înmul ţire, se pot deosebi: înmulţirea când produsul unit ăţilor de diferite ordine este mai mic decât 10, egal cu 10 sau cu zeci întregi şi mai mari decât 10; -cazurile particulare de înmul ţire, legate de existen ţa zerourilor în unul sau în ambii factori, la urmă sau în interior. Ca exemplu fie urm ătoarele cazuri: -înmulţirea cu un număr de o singură cifră când fiecare produs ob ţinut din înmulţirea unităţilor de ordin, respectiv ale deînmulţitului cu înmulţitorul, este mai mic decât 10; 312 × 3; 221 × 4; etc. Exemple: În cazul exerci ţiilor de înmul ţire din această categorie se urmăreşte nu atât însuşirea unui procedeu de calcul, care este cunoscut deja de la înmul ţirea orală, cât mai ales cunoa şterea şi însuşirea elementelor tehnice ale opera ţiei de înmul ţire: felul de a şezare a factorilor în efectuarea produsului, precum şi reamintirea denumirilor factorilor şi a rezultatului înmul ţirii, cu sesizarea funcţiei pe care o îndepline şte fiecare factor al produsului. Prin urmare este necesar s ă se insiste în formarea la elevi a deprinderilor de a şezare a factorilor dup ă regula aşezării termenilor operaţiilor de gradul I, spre exemplu: 312 × 3 = 312 × 3 urmând ca mai târziu s ă se introducă şi să se utilizeze a şezarea factorilor în rând, iar produsul sub deînmulţit, pentru a se realiza economii de spa ţiu şi energie şi pentru a preg ăti trecerea la împărţire, unde termenii se a şează numai în rând. Exemplu: 134 × 2 134 × 2 268 Pentru stabilirea unui procedeu de calcul în scris, se folosesc cuno ştinţele de calcul oral, adică înmulţirea pe rând a unit ăţilor de diferite ordine ale deînmul ţitului cu înmul ţitorul, însumând rezultatele. Trecându-se la efectuarea calculului în scris, se scoate în eviden ţă superioritatea acestui calcul fa ţă de cel oral, prin faptul c ă produsul se ob ţine direct, f ără alte calcule intermediare. De asemenea se reamintesc, se precizeaz ă şi se aplică regulile stabilite la celelalte operaţii în ceea ce prive şte efectuarea calculului oral şi a celui în scris. Anume: -înmulţirea orală se face începând cu unit ăţile de ordinul cel mai mare, în cazul de fa ţă începând cu sutele, urmând şi unităţile simple, obţinându-se în felul acesta produsele corespunzătoare înmulţirii fiecărui ordin cu înmul ţitorul, care apoi se însumeaz ă; -înmulţirea în scris se face începând cu unit ăţile de ordinul cel mai mic, deci cu unit ăţile simple, urmând apoi zecile şi sutele (de la dreapta spre stânga), analog cu adunarea sau sc ăderea. Cu utilizarea exemplului de mai sus, aspectul tablei ar fi urm ătorul: Scrierea operaţiei Calculul oral Calculul în scris 312 × 3=936 300 × 3 = 900 312 × deînmulţit 10 × 3 = 30 3 înmul ţitor 2 × 3 = 6 936 900 + 30 + 6 = 936. 30



În predarea unui anumit caz de înmul ţire, primul exerci ţiu se rezolv ă de c ătre institutor, cu explicaţii şi justificări complete şi clare, f ăcând astfel demonstrarea procedeului. Explica ţiile şi justificările sunt repetate de elevi şi tot ei rezolv ă în continuare exerci ţiile următoare, de asemenea cu explicaţii complete referitoare la cazul de înmul ţire, scrierea opera ţiei, efectuarea calculului oral, aşezarea pentru calculul în scris, efectuarea acestui calcul, denumirea rezultatului şi a factorilor. În urma analizei exemplelor folosite în cursul lec ţiei se stabileşte regula corespunzătoare, în cazul de fa ţă regula privitoare la înmul ţirea în scris cu un num ăr de o singur ă cifră. În ceea ce prive şte exprimarea institutorului şi a elevilor în timpul efectu ării calculului în scris, la primele exerci ţii aceasta trebuie s ă cuprindă ambele forme: exprimarea complet ă şi exprimarea prescurtat ă, tehnic. Exprimarea complet ă constă în întrebuin ţarea limbajului corespunzător procesului de gândire care are loc, deci cu denumirea unit ăţilor, f ăcând astfel legătura strânsă cu felul de exprimare în cazul calculului oral: - 2 unităţi luate de 3 ori fac 6 unit ăţi, scriem 6 sub unit ăţi; - 1 zece luat de 3 ori fac 3 zeci, scriem 3 sub zeci; - 3 sute luate de 3 ori fac 9 sute, scriem 9 sub sute. Exprimarea prescurtat ă, spre care trebuie s ă se tindă neîncetat, cu perseveren ţă, de îndată ce există siguranţa că elevii şi-au însuşit în mod con ştient procedeul de calcul respectiv, const ă în redarea în cuvinte cât mai pu ţine a calculului, accentuându-se caracterul tehnic al acestuia: - 3 ori 2 fac 6, se scrie 6; - 3 ori 1 fac 3, se scrie 3; - 3 ori 3 fac 9, se scrie 9, rezultatul 936.

-înmulţirea cu numere de două cifre; Particularitatea acestui caz de înmul ţire const ă în introducerea no ţiunii de produs par ţial, astfel c ă numai asupra acestui lucru este nevoie s ă se atragă aten ţia elevilor în mod deosebit, stabilindu-se necesitatea înmul ţirii cifrelor care reprezint ă unităţ ile de diferite ordine ale deînmul ţitului întâi cu cifra zecilor şi aşa mai departe, ob ţinându-se un num ăr de produse par ţiale egal cu num ărul cifrelor înmul ţitorului. De asemenea se stabile şte ca regul ă că prima cifr ă a fiecărui produs par ţial se aşeaz ă sub cifra corespunz ătoare a înmul ţitorului. Cu aceste indica ţii, prezentate şi motivate simplu, elevii reu şesc să în ţeleagă şi să aplice cu uşurin ţă procedeul, a c ărui consolidare se ob ţine prin exerci ţiile repetate care se rezolv ă în continuare. 4.2.3. Împărţirea numerelor naturale mai mici decât 100 În acest concentru se introduce şi se studiază numai împ ărţirea în părţi egale, deoarece aceasta, spre deosebire de împ ărţirea prin cuprindere, este în ţeleasă mai uşor de către elevi, exprimarea întrebuin ţată este în concordan ţă cu datele experien ţei şi cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea opera ţiilor se face f ără dificultăţi. Întrucât împărţirea în părţi egale se bazeaz ă pe înmul ţire, ordinea exerci ţiilor este aceeaşi, adică se tratează întâi împărţirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la 3 etc. Demonstrarea operaţiilor se face prin întrebuin ţarea unor materiale cât mai variate, unele dintre ele corespunz ătoare experienţei proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei etc., altele din cele întrebuin ţate în mod obi şnuit în clasă: bile, beţişoare, cuburi, buline etc. Procedeul ini ţial este următorul: 31

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale -se stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împ ărţit şi numărul părţilor, spre exemplu: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii; -se repartizeaz ă fiecărei părţi (fiecărui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane, stabilindu-se că au mai rămas 12, apoi se mai repartizeaz ă câte încă un creion, stabilindu-se c ă au mai rămas 6, care de asemenea se repartizeaz ă şi nu mai r ămâne nici un creion; -se verifică numărul creioanelor repartizate fiec ărei părţi (fiecărui copil); -se stabileşte, se repetă şi se scrie concluzia: 18 creioane împ ărţite în mod egal la 6 copii fac 3 creioane, sau 18 creioane împ ărţite în 6 p ărţi egale fac 3 creioane. Pentru a realiza trecerea treptat ă de la concret la abstract, materialele care se întrebuin ţează în continuare: beţişoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceea şi operaţie, se împart în p ărţi egale, deci nu la un num ăr de copii, obiectele a şezându-se în grupe separate, dup ă care se trece la faza semiconcretă, în cadrul c ăreia copiii vor împ ărţi mintal, în acela şi număr de părţi egale, diferite numere ce reprezint ă obiecte pe care nu le au în fa ţă şi cu care nu lucreaz ă efectiv: piese, maşini, pere, castane, precum şi găini, ouă etc. În rezolvarea primelor exerci ţii de împărţire, stabilirea rezultatului opera ţiei se face prin

separarea efectivă în părţi egale şi distincte a numărului total de obiecte, iar verificarea se face prin înmulţire. Îndată îns ă ce elevii dovedesc c ă au p ătruns înţelesul operaţiei de împărţire şi au reuşit să-şi însuşească în condi ţii satisf ăcătoare mecanismul acestei opera ţii, trebuie s ă depăşească faza împărţirii efective a obiectelor şi s ă treacă neîntârziat la stabilirea prin înmul ţire a rezultatului unei împ ărţiri, realizându-se astfel legătura strânsă dintre cele dou ă operaţii. Spre exemplu: 18 împ ărţit în 6 p ărţi egale fac 3, pentru c ă 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie: 18 : 6 = 3, pentru c ă 3 × 6 = 18. În stabilirea pe baza înmulţirii a rezultatului unei împărţiri nu numai că nu se pot evita încercările, dar se consider ă indicat să se apeleze mereu la aceste încerc ări, întrucât ele aduc o contribuţie hotărâtoare la dezvoltarea gândirii şi la înţelegerea relaţiilor de independen ţă dintre cele două opera ţii aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esen ţial în împărţire, şi anume faptul că este operaţia inversă înmulţirii. Exemplu: 18 : 6 fac 1 ? NU, pentru c ă 1 × 6 = 6, nu 18; 18 : 6 fac 2 ? NU, pentru c ă 2 × 6 = 12, nu 18; 18 : 6 fac 3 ? DA, pentru c ă 3 × 6 = 18. Procedând în acest fel, elevii vor ajunge s ă stabilească rezultatele diferitelor împ ărţiri numai pe baza tablei înmul ţirii pe care au înv ăţat-o sau pe care o pot înv ăţa cu mai mult ă uşurinţă. Exemplu: La împărţirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul r ăspunzând mintal la întrebarea: cât ori 3 fac 15 ? deci, 15 : 3 = 5 pentru c ă 5 × 3 = 15. Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împ ărţiri şi care se poate introduce treptat este procedeul grupărilor, adică al descompunerii deîmp ărţitului în dou ă, trei grupe, care se împart, adunându-se rezultatele. Exemplu: 12 : 3 = . 9:3=3 3:3=1 3+1=4 În ceea ce prive şte exprimarea, este necesar s ă se întrebuinţeze la început exprimarea completă, corespunzătoare proceselor practice şi de gândire care au loc: 32



18 împărţit în 6 p ărţi egale fac 3 şi paralel cu aceasta s ă se întrebuin ţeze exprimarea prescurtat ă: 18 împărţit la 6 fac 3.

Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100 -în cadrul numerelor pân ă la 100 se studiaz ă atât împărţirea în p ărţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în aceast ă ordine); -operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmul ţirea, atât în ceea ce prive şte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea rela ţiilor care duc la constatarea c ă cele două operaţii sunt inverse una alteia, adic ă ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împ ărţire şi invers; -împărţirea în părţi egale se bazeaz ă pe înmulţirea cu înmul ţitorul constant, acesta devenind împărţitor; -ordinea opera ţiilor este aceea şi ca şi la înmulţire. Procedeele întrebuinţate pentru stabilirea rezultatelor la împărţire sunt următoarele: -legătura dintre înmul ţire şi împărţire, legătura cu ajutorul c ăreia se găseşte şi se motivează rezultatul; Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel num ăr din înmul ţirea căruia cu împărţitorul se obţine deîmpărţitul, adică 4, deci: 24 : 6 = 4, pentru c ă 4 × 6 = 24. -descompunerea deîmp ărţitului în termeni mai mici, astfel ca ace şti termeni să fie divizibili prin împărţitor; Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru c ă: 28 : 7 = 4 28 : 7 = 4 şi 4 + 4 = 8. -împărţirea succesivă a deîmp ărţitului prin factorii împ ărţitorului; Exemplu:28 : 4 = 7, pentru c ă: 28 : 2 = 14 şi 14 : 2 = 7 Împărţirea prin cuprindere se bazeaz ă pe înmul ţirea cu împărţitorul constant.

Etapele metodice în tratarea împărţirii prin cuprindere pot fi formulate astfel: -formarea noţiunii de împărţire prin cuprindere, scrierea şi citirea acestei împărţiri. Pentru a ajunge la în ţelegerea acestor no ţiuni, trebuie s ă se l ămurească şi să se delimiteze înţelesul expresiilor: în p ărţi egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere . În acest scop trebuie să se utilizeze exemple concludente, legate de experien ţa şi cunoştinţele elevilor. Astfel, elevii sunt aşezaţi în bănci câte doi, în grupe de câte doi, dar aceia şi elevi pot fi grupa ţi câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o mai bun ă precizare a lucrurilor se consideră un anumit num ăr de elevi, spre exemplu 16 şi se fac toate grup ările posibile: câte 1, câte 2, câte 4, câte 8 şi câte 16, stabilindu-se num ărul grupelor formate şi întrebuinţându-se exprimarea corespunz ătoare: 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc. Apoi se lămureşte procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor precizându-se că 16 elevi împ ărţiţi în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adic ă 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindc ă 2 elevi repetaţi de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împ ărţiţi în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adic ă 4 în 16 se cuprinde de 4 ori, fiindc ă 4 elevi repeta ţi de 4 ori fac 16. 33

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale Dup ă aceasta se trece la demonstrarea împ ărţirii prin cuprindere întrebuin ţând diferite materiale didactice cu care lucreaz ă atât institutorul cât şi elevii. Exemplu: Dac ă se lucreaz ă cu be ţişoare, acestea se grupeaz ă câte 1, câte 2, câte 4, stabilindu-se de fiecare dat ă num ărul grupelor ce se ob ţin, cu repetarea în cuvinte a procesului aritmetic: 12 be ţişoare împărţite în grupe de câte 2 be ţi şoare fac 8 grupe, pentru că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc. Dup ă tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcret ă şi apoi abstract ă,

stabilindu-se drept concluzie. 16 împărţit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori; 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori; 16 împărţit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc. Un exemplu sau dou ă din aceste opera ţii se scriu pe tabl ă şi pe caiete, scoţându-se în evidenţă faptul c ă scrierea acestei împ ărţiri este cea cunoscut ă, însă citirea ei se face altfel. Exemplu: Opera ţia: 16 : 4 = 4 se cite şte ca împărţire prin cuprindere astfel: 16 împ ărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori. Numai după ce elevii încep s ă pătrundă sensul expresiilor care caracterizeaz ă împărţirea prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al acestei opera ţii, tratându-se pe rând împărţirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 şi aşa mai departe, în strâns ă legătură cu înmul ţirea numărului respectiv şi cu împărţirea în părţi egale prin acel num ăr. -probleme de împărţire prin cuprindere. Tot ceea ce s-a ar ătat până aici în legătură cu împărţirea prin cuprindere are drept scop s ă familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristic ă acestei împărţiri şi să-i facă să pătrundă înţelesul şi esenţa operaţiei. Dacă însă într-o problem ă este vorba de împ ărţire prin cuprindere, sau de împărţire prin părţi egale, acestea se pot stabili numai prin textul problemei, mai ales c ă forma sub care se scrie operaţia corespunzătoare fiecărei împărţiri este aceeaşi şi diferă doar exprimarea. Urmărind ca elevii s ă facă distincţie clară între cele dou ă feluri de împ ărţiri, este necesar să se formeze, cu acelea şi date, o problem ă de împărţire în p ărţi egale şi alta prin cuprindere. Spre exemplu: folosind rela ţia 15 : 3 = 5, se pot formula urm ătoarele probleme: O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câ ţi litri de ulei s-au pus într-un bidon? Operaţia se scrie: 15 l : 3 = 5 l şi se citeşte:

15 l împ ărţit în 3 p ărţi egale (bidoane) fac 5 l.

O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt necesare? Operaţia se scrie:

15 l : 3 l = 5 şi se citeşte: 15 l împărţit în părţi (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane), sau: 3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.

34



La împărţirea în părţi egale se observ ă că deîmpărţitul şi câtul sunt numere concrete (reprezintă unităţi sau lucruri de acela şi fel), iar împ ărţitorul este num ăr abstract şi arată numărul părţilor egale în care s-a f ăcut împărţirea. La împărţirea prin cuprindere, deîmp ărţitul şi împărţitorul sunt numere concrete, iar câtul este num ăr abstract şi arată de câte ori se cuprinde împărţitorul în deîmp ărţit. Aceste observaţii caracterizează în mod general cele dou ă feluri de împărţire.

4.2.4. Împărţirea numerelor naturale mai mici decât 1000 Considera ţ ii generale

Opera ţia de împ ărţire este cea mai dificil ă dintre opera ţiile aritmetice, datorit ă complexităţii ei, variet ăţii cazurilor şi caracteristicilor pe care le prezint ă, cât şi datorită faptului c ă utilizeaz ă simultan toate cele trei opera ţii precedente. De aceea, studiul opera ţiilor de împ ărţire şi tratarea variet ăţii cazurilor ei solicit ă o mai mare concentrare a eforturilor şi atenţiei elevilor, o bun ă orientare metodic ă a institutorului şi o adev ărat ă măiestrie din partea acestuia în prezentarea sub o form ă simplă, accesibil ă, a diferitelor cazuri, cu o dozare treptat ă şi cu grij ă a dificult ăţilor. Astfel fiind, principiul fundamental al didacticii: de la u şor la greu, de la simplu la compus î şi are aplicarea cu deosebire în predarea împ ărţirii. În ceea ce prive şte exprimarea, aceasta devine dificil ă în cazul împ ărţirii în scris, astfel că necesitatea exprim ării complexe, cu denumirea unit ăţilor, apare numai în m ăsura în care o reclam ă însuşirea con ştientă a procedeelor. De aceea, de îndat ă ce elevii reu şesc să p ătrundă sensul împărţirii şi încep s ă în ţeleagă tehnica opera ţiei, trebuie s ă se st ăruie mereu şi cu o perseveren ţă din ce în ce mai evident ă asupra form ării deprinderilor de calcul cu utilizarea mijloacelor tehnice proprii acestei opera ţii şi pentru cunoa şterea variatelor particularit ăţ i ale împ ărţirii în scris. De altfel, în cazul împ ărţirii, nu se poate vorbi de un anumit fel de exprimare complet ă, ca în cazul înmul ţirii, deoarece aceast ă exprimare se confund ă cu explicaţia amănun ţit ă şi justificarea procedeelor adoptate, astfel încât tendin ţa spre o exprimare simplificat ă, spre o schematizare a procedeului de împ ărţire în scris trebuie s ă se manifeste de la primele exerci ţii ca o necesitate organic ă. Clasificarea diferitelor cazuri de împ ărţire prezint ă de asemenea dificult ăţ i care pot fi înl ăturate cu u şurin ţă . Cea mai frecvent ă clasificare o constituie aceea care se refer ă la num ărul de cifre ale împ ărţitorului, adic ă: împărţirea la un num ăr de o singur ă cifră şi împ ărţirea la un num ăr de dou ă cifre. Fiecare din aceste cazuri implic ă procedee speciale şi tratare separat ă.

4.2.4.1. Împărţirea orală Împărţirea orală cuprinde în primul rând: împ ărţirea unui număr format din sute întregi la un număr de o singură cifră, apoi a unui număr format din sute şi zeci, la un număr de o singură cifră, fiecare număr de sute şi fiecare număr de zeci împărţindu-se exact la împărţitor. Procedeul pentru împ ărţirea sutelor se stabile şte prin compara ţie cu împărţirea unităţilor şi a zecilor, formulându-se observa ţia corespunzătoare; sutele se împart ca şi unităţile, ca şi zecile. Pentru împărţirea unui num ăr format din sute şi zeci, se împart întâi sutele, apoi zecile la împărţitor, însumându-se rezultatele. Procedeul se stabile şte prin aplicarea în acest caz a celor stabilite la împărţirea zecilor şi la împărţirea sutelor. Exemplu:

480 : 4 = . 400 : 4 = 100 35



80 : 4 = 20 100 + 20 = 120 Întrucât elevii iau cuno ştin ţă pentru prima dat ă de cazul împ ărţirii incomplete, adic ă a împ ărţirii cu rest, iar experien ţa arat ă că însuşirea acestor no ţiuni întâmpin ă serioase dificult ăţi, din cauz ă că necesită un mai înalt grad de p ătrundere a sensului împ ărţirii, este necesar s ă se acorde suficient ă atenţie acestei împ ărţiri, cu atât mai mult cu cât în continuare împ ărţirea cu rest este mai frecvent ă decât cea exact ă, şi odat ă ce no ţiunile sunt formate şi fixate, se vor putea întrebuin ţa cu succes în rezolvarea cazurilor de împ ărţire cu resturi succesive. Din aceste motive se recomand ă procedee metodice cât mai apropiate de nivelul de în ţelegere al elevilor, cât mai atractive şi mai concludente. Primele exerci ţii de împ ărţire cu rest trebuie s ă reprezinte formularea matematic ă a unor ac ţiuni ce se petrec în fa ţa elevilor, pe care le realizeaz ă elevii în şişi, f ăcând constat ări pe cazuri concrete şi extinzând apoi aceste constat ări la alte cazuri asem ănătoare, concrete, semiconcrete sau abstracte. Exemplu: Elevii sunt pu şi s ă împartă 2 creioane la 2 elevi, s ă constate că împ ărţirea s-a f ăcut exact şi să scrie matematic concluzia: 2 : 2 = 1. Apoi s ă împart ă 3 creioane la 2 elevi, să constate c ă fiecare elev prime şte câte un creion, dar mai r ămâne 1 creion, deci concluzia scrisă matematic este: 3 : 2 = 1, rest 1. În mod asem ănător se va proceda în continuare cu împ ărţirea a 4, 5, 6, … obiecte în dou ă părţi egale, scriindu-se într-o coloan ă împ ărţirile exacte şi în alt ă coloan ă cele cu rest, astfel: 2:2=1 3 : 2 = 1, rest 1 4:2=2 5 : 2 = 2, rest 1 6:2=3 7 : 2 = 3, rest 1 şi aşa mai departe pân ă la 10 sau chiar pân ă la 20. Analizându-se împ ărţirile scrise pe cele dou ă coloane, se poate stabili cu u şurinţă că fiecare împărţire din prima coloan ă s-a f ăcut exact, deci toate acestea sunt împ ărţiri exacte şi fiecare din a doua coloan ă s-a f ăcut cu rest, deci, toate sunt împ ărţiri cu rest. La fel se procedeaz ă cu împărţirile la 3, formulându-se concluzii asem ănătoare, cu deosebirea că în cazul împ ărţirii la 3, resturile pot fi 1 sau 2 şi f ăcându-se constatarea c ă fiecare din aceste resturi este mai mic decât împ ărţitorul. Se procedeaz ă în acelaşi fel cu împ ărţirea numerelor 4, 5, 6, 7, 8, … la 4, a numerelor 5, 6, 7, … la 5 etc. Pentru ca elevii s ă se deprindă de pe acum cu verificarea cifrei de la cât, este indicat ca la fiecare împărţire să se facă şi verificarea prin înmul ţire, la împ ărţirea cu rest adăugându-se la produs restul. Exemplu: 7 : 3 = 2 rest 1, pentru că 2 × 3 = 6 şi cu 1 fac 7. Numai după ce elevii şi-au format în mod clar şi complet noţiunea de împ ărţire cu rest, spre deosebire de împ ărţirea exactă, se poate trece la împărţirea cu rest a unui num ăr format din zeci şi unităţi: 46 : 5; 27 : 8; 75 : 9, apoi a unui număr format din sute, zeci şi unităţi: 547 : 2; 928 : 3 etc.

4.2.4.2. Împărţirea în scris Cuprinde numeroase şi variate particularit ăţi. Se va prezenta ca exemplu împărţirea unui număr de trei cifre la un număr de o singur ă cifră şi anume în cazul când unităţile de fiecare ordin ale deîmpărţitului se împart exact la împărţitor. Acest caz de împărţire se predă în clasa a IV-a, în cadrul împ ărţirii unui num ăr natural mai mic ca 1000 la un num ăr de o cifr ă şi este important din urm ătoarele motive: 36



-este primul caz de împ ărţire în scris şi deci cu ajutorul lui se introduc procedeele împărţirii în scris, procedee care sunt noi şi cu totul deosebite de cele întâlnite la celelalte opera ţii; -este singurul caz de împ ărţire în scris care face leg ătura directă şi completă cu împărţirea orală, deoarece opera ţia se poate efectua cu u şurinţă şi oral, cât ă vreme la toate celelalte cazuri următoare, calculul oral întâmpin ă dificultăţi, motiv pentru care la rezolvarea lor se renun ţă treptat la calculul oral, pe m ăsură ce calculul în scris devine mai avantajos; -este singurul caz de împ ărţire în scris care nu prezint ă nici un fel de particularitate, astfel încât el oferă posibilitatea însu şirii de către elevi a tehnicii împ ărţirii. Pentru introducerea tehnicii împărţirii, se poate proceda în felul urm ător: După ce s-a stabilit necesitatea efectu ării unei opera ţii din această categorie, spre exemplu 369 : 3, ori cu ajutorul unei probleme, ori dat ă direct ca exerci ţiu, se scrie operaţia pe rând, apoi se efectuează calculul oral cu scrierea opera ţiilor ajutătoare, dup ă care elevii sunt anun ţaţi că li se va arata felul cum se face împ ărţirea în scris, stabilindu-se în primul rând c ă împărţirea în scris se face ca şi cea oral ă, împărţindu-se pe rând unit ăţile deîmpărţitului începând cu cele de ordinul cel mai mare, deci cu sutele şi continuând cu zecile şi unităţile simple, dar a şezarea opera ţiei este deosebită. Împărţitorul nu se mai a şează sub deîmpărţit şi nici câtul, ci în rând. Se trece apoi la efectuarea în scris a opera ţiei. Utilizând exprimarea completă, adică cu denumirea unit ăţilor: 3 sute împărţite în 3 p ărţi egale fac 1 sut ă. Se scrie la cât 1 şi se face proba: 1 ori 3 fac 3. Se scrie 3 sub sute, se trage linie, se scade şi nu rămâne nimic. Deci sutele s-au împ ărţit exact. Se împart acum zecile, dar pentru aceasta se iau separat, se coboar ă şi se spune: 6 zeci împărţite în 3 p ărţi egale ... etc. Dup ă ce procedeul împ ărţirii în scris este repetat de elevi, cu exprimarea complet ă, se trece la exprimarea prescurtat ă pe care o prezint ă tot institutorul şi pe care de asemenea o repet ă elevilor. Exprimarea prescurtat ă este urm ătoarea: 3 în 3 se cuprinde de o dat ă (se scrie 1 la cât), pentru c ă 1 ori 3 fac 3 (se scrie 3 sub sute), se trage linie, se scade şi nu r ămâne nimic (se trag dou ă linioare); se coboar ă 6; 3 în 6 se cuprinde de 2 ori (se scrie 2 la cât) ... etc. Cu efectuarea calculelor la acest exerci ţiu tabla are urm ătorul aspect: Scrierea opera ţiei Calculul oral Calculul în scris 369 : 3 = 123 300 : 3 = 100 369 : 3 = 123 60 : 3 = 20 3 . 9:3= 3 =6 6 . =9 9 . =

§4.3. Metodologia predării-învăţării ordinii efectuării operaţiilor 4.3.1. Ordinea efectuării operaţiilor În clasele I-IV elevilor li se cere s ă rezolve diferite exerci ţii complexe, adică exerciţii care cuprind mai multe opera ţii. Ordinea efectu ării opera ţiilor şi utilizarea parantezelor se înva ţă în clasa a III-a. De aceea, înainte de a înv ăţa ordinea efectu ării operaţiilor, exerciţiile complexe pe care le rezolv ă elevii, sunt astfel alc ătuite încât opera ţiile se efectueaz ă corect în ordinea în care sunt scrise. Aceste exerci ţii se prezintă sub mai multe forme, dup ă operaţiile pe care le conţin: -exerciţii care conţin operaţii de un singur fel, adic ă numai adun ări sau scăderi etc.; 37

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale -exerciţii care conţin operaţii de acelaşi ordin, adic ă numai adun ări şi scăderi, sau numai înmulţiri şi împărţiri; -exerciţii care conţin operaţii de ordine diferite: înmul ţiri sau împărţiri cu adun ări şi scăderi. Rezolvând astfel de exerci ţii în clasele I-II (adun ări şi/sau scăderi), cât şi în clasa a III-a (înmulţiri şi/sau împărţiri cu adunări şi/sau scăderi), elevii se deprind cu efectuarea succesiv ă a operaţiilor, f ără să se gândească la faptul că s-ar putea pune problema existen ţei unor anumite reguli în ceea ce prive şte ordinea efectu ării acestora. De aceea sarcina institutorului const ă în primul rând în a ar ăta elevilor că nu întotdeauna este corect s ă se efectueze opera ţiile în ordinea în care sunt scrise; pentru aceasta, utilizând un exerci ţiu în rezolvarea c ăruia prin schimbarea ordinii opera ţiilor se obţin rezultate diferite, se scoate în eviden ţă necesitatea stabilirii unor norme care s ă reglementeze ordinea efectu ării operaţiilor. Operaţiile aritmetice se clasific ă în dou ă categorii: -operaţii de ordinul I: adunarea şi scăderea; -operaţii de ordinul II: înmulţirea şi împărţirea.

Se pot enun ţa următoarele reguli: -dacă într-un exerci ţiu toate opera ţiile sunt de acelaşi ordin, adic ă numai adun ări şi scăderi, sau numai înmul ţiri şi împărţiri, ele se efectueaz ă în ordinea în care sunt scrise;

-dacă un exerciţiu cuprinde atât opera ţii de ordinul I, cât şi operaţii de ordinul II, atunci ordinea efectuării operaţiilor este următoarea: -în primul rând se efectueaz ă operaţiile de ordinul II, adic ă înmulţirile şi împărţirile, în ordinea în care sunt scrise; -în al doilea rând se efectueaz ă operaţiile de ordinul I, adic ă adunările şi scăderile, de asemenea în ordinea în care sunt scrise. Precizarea referitoare la efectuarea opera ţiilor de acela şi ordin exprimat ă prin cuvintele în ordinea în care sunt scrise este necesară deoarece comutativitatea unui şir de adun ări şi sc ăderi sau a unui şir de înmul ţiri se învaţă mai târziu şi nerespectarea acestei indica ţii constituie o sursă permanentă de gre şeli. Regulile enun ţate mai sus se însuşesc prin aplicarea lor în exerci ţii, iar acestea trebuie s ă utilizeze la început numere mici, astfel încât calculul s ă se poată face mintal şi f ără dificultăţi, pentru ca aten ţia elevilor s ă fie orientat ă asupra aplic ării regulilor privitoare la ordinea opera ţiilor şi nu asupra opera ţiilor respective. Trecerea la exerci ţii care con ţin numere mari şi combinaţii din ce în ce mai complicate trebuie s ă se facă treptat. Din punct de vedere metodic este indicat ca în exerci ţiile care conţin operaţii de ordine diferite, dup ă efectuarea opera ţiilor de ordinul II s ă se scrie din nou exerci ţiul, înlocuind operaţiile efectuate cu rezultatele ob ţinute, rămânând prin urmare opera ţiile de ordinul I, care apoi se efectueaz ă şi ele conform regulilor stabilite. În acest fel sunt mai bine marcate cele dou ă momente importante în succesiunea efectu ării operaţiilor: întâi opera ţiile de ordinul II, apoi cele de ordinul I. De asemenea, la primele exerci ţii este bine să se indice prin numerotare ordinea operaţiilor pentru ca s ă se evite eventualele confuzii.

4.3.2. Folosirea parantezelor Parantezele se întrebuin ţează pentru a modifica ordinea opera ţiilor în cazurile în care apare această necesitate. Cel mai mult întrebuin ţate sunt următoarele: -paranteza mică sau rotund ă (…); -paranteza mare, dreapt ă sau pătrată [...]; -paranteza acolad ă {…}. 38



Introducerea parantezelor se poate face prin intermediul unor probleme. Exemplu: Maria a cules 11 kg de afine iar sora ei Ana 4 kg. Afinele culese au fost puse în caserole de câte 3 kg fiecare. Câte caserole s-au umplut? Din rezolvarea acestei probleme se constat ă că mai întâi se efectueaz ă adunarea şi apoi împărţirea. Pentru a marca acest fapt se folosesc parantezele rotunde, iar formula numeric ă a rezolvării problemei este: (11+4):3. Parantezele pătrate şi acoladele se pot introduce în mod asem ănător, ajungând la desprinderea regulilor după care se efectuează operaţiile în cadrul exerciţiilor cu paranteze: -întâi se efectueaz ă opera ţiile din interiorul parantezelor, apoi cele din afara lor; -desfacerea parantezelor are loc în ordinea gradului lor, adic ă întâi se desfac parantezele rotunde, apoi cele p ătrate şi urmă parantezele acolade (se poate proceda şi în ordine invers ă, dar apar dificultăţi care conduc la gre şeli frecvente); -în interiorul unei paranteze se respect ă ordinea opera ţiilor.

§4.4. Formarea limbajului matematic şi a deprinderilor de calcul mintal la şcolarul mic 4.4.1 Limbajul matematic Se ştie că învăţarea oricărei ştiinţe începe, de fapt, cu asimilarea limbajului ei no ţional. Studiul matematicii urmăreşte să ofere elevilor, la nivelul lor de în ţelegere, posibilitatea explicării ştiinţifice a noţiunilor matematice. Există o legătură strânsă între conţinutul şi denumirea noţiunilor, care trebuie respectat ă inclusiv în formarea no ţiunilor matematice. Orice denumire trebuie s ă aibă acoperire în ceea ce priveşte înţelegerea conţinutului noţional; altfel, unii termeni apar cu totul str ăini faţă de limbajul activ al copilului, care, fie c ă-l pronun ţă incorect, fie c ă îi lipsesc din minte reprezent ările corespunzătoare, realizând astfel o înv ăţare formal ă. Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte, care constituie elementul de comunicare sigur ă şi precisă la ora de matematic ă se introduce la început cu unele dificultăţi. De aceea, trebuie mai întâi asigurate în ţelegerea noţiunii respective, sesizarea esen ţei, uneori într-un limbaj accesibil copiilor. Pe m ăsură ce se asigur ă înţelegerea noţiunilor respective, trebuie prezentat ă şi denumirea lor ştiinţifică. De altfel, problema raportului dintre riguros şi accesibil în limbajul matematic al elevilor este permanent prezent ă în preocup ările institutorilor. Astfel, rolul institutorului nu se limiteaz ă la a transmite elementele de limbaj, ci a le clarifica folosindu-le în aplica ţii, solicitându-le elevilor s ă formuleze întreb ări şi probleme cu acestea, s ă fie prezentate şi folosite comparativ, în aplica ţii simple în scopul în ţelegerii lor şi în aplicaţii complexe pentru consolidarea acestora. Unul dintre obiectivele cadru este: formarea şi dezvoltarea capacit ăţii de a comunica utilizând limbajul matematic. Noile programe de matematic ă prevăd explicit obiective legate de însuşirea unor deprinderi de comunicare, ce presupun st ăpânirea limbajului matematic şi vizează capacităţi ale elevului, cum sunt: -folosirea şi interpretarea corect ă a termenilor matematici; -înţelegerea formul ării unor sarcini cu con ţinut matematic, în diferite contexte; -verbalizarea ac ţiunilor matematice realizate; -comunicarea în dublu sens (elevul s ă fie capabil să pun ă întrebări în legătură cu sarcinile matematice primite şi să răspundă la întreb ări în legătură cu acestea). Limbajul matematic al elevilor din clasele I-IV, trebuie să conţină elemente cum ar fi: număr, cifră, număr cu două, trei,… cifre, adunare sc ădere, înmul ţire, împărţire, ordin, clas ă, verificare, prob ă, termeni, descăzut, scăzător, factori, deînmul ţit, înmulţitor, deîmpărţit, 39

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predării-învăţării operaţiilor în mulţimea numerelor naturale împărţitor, sumă, diferenţă, produs, cât, rest, mul ţime, elementele unei mul ţimi, necunoscut ă, adevărat, fals, etc., precum şi elemente de comparare: mai mare cu, mai mic cu, de atâtea ori mai mare, de atâtea ori mai mic şi citirea simbolurilor: >, <, =, +, -, x, :. În rezolvarea problemelor sunt necesare şi alte elemente de limbaj în func ţie de tipul problemei: doime, jum ătate, pătrime, sfert, a patra parte, treime, a treia parte, dublu, triplu, înzecit, însutit, vitez ă, timp, distan ţă, capacitate, mas ă, volum, perimetru, lungime, l ăţime, suprafaţă, timp, unităţi monetare, mai lung, mai înalt, mai u şor, mai greu, cel mai lung, mai îndep ărtat, mai apropiat, etc.

4.4.2. Calculul mintal I) Noţiunile de: calcul mintal şi calcul în scris Calculul mintal este calculul care se efectueaz ă în gând, f ără a întrebuinţa mijloace sau procedee tehnice ale calculului în scris sau ale diferitelor dispozitive: abac, num ărătoare cu bile, calculator electronic, scheme, grafice etc. Calculul mintal cuprinde: calculul mintal propriu-zis şi calculul oral. Calculul mintal propriu-zis este acel calcul în cadrul c ăruia se specifică operaţia cu indicarea elementelor ei şi se cere doar rezultatul. Opera ţia se efectueaz ă în minte, f ără a fi utilizat vreun material didactic, f ără repetarea şi f ără scrierea ei. Calculul oral este acel calcul în care se repet ă atât opera ţia, cât şi procedeele întrebuin ţate în efectuarea ei, în care se cer şi se dau explica ţii, indiferent dac ă se scriu sau nu opera ţiile de bază şi cele auxiliare, f ără a folosi îns ă procedeele tehnice ale calculului în scris. Se poate întrebuinţa material didactic. Exerciţiile de calcul mintal care se scriu pe tabl ă sau pe caietele elevilor se numesc exerciţii scrise. În calculul mintal, scrierea exerci ţiilor nu constituie un procedeu de calcul, ci se face doar cu scopul de a pune în eviden ţă diferite etape ale calculului efectuate în minte în scopul re ţinerii unor rezultate sau al stabilirii procedeelor. Calculul în scris este calculul în care se folosesc anumite procedee scrise, anumite elemente de tehnic ă bazate pe scrierea rezultatelor par ţiale şi a operaţiilor(cum ar fi ,de exemplu, procedeul de adunare în scris a numerelor de mai multe cifre, care utilizeaz ă ca procedeu tehnic aşezarea termenilor unul sub altul, cu unit ăţile de anumite ordine de asemenea unele sub altele, iar ca procedeu de opera ţie: adunarea succesiv ă a unităţilor de acelaşi ordin între ele, începând de la dreapta la stânga şi de jos în sus). Aceast ă tehnică este succesoarea calculului mintal, pe care nu-l elimină, ba chiar îl presupune, dar în concentre numerice mici, unde s-au format deprinderi temeinice. Calculul în scris are avantajul c ă poate fi utilizat pe valori numerice oricât de mari, eliminând eforturile de memorare a unor rezultate par ţiale. Pentru formarea unor deprinderi de ordine, institutorul trebuie s ă urmărească la elevi şi plasarea în pagin ă a calculului în scris, rezervând în dreapta paginii un spa ţiu pentru redactarea acestuia. Nu trebuie confundate exerci ţiile scrise, care se refer ă la calculul mintal cu calculul în scris. Nu există însă o delimitare strict ă a calculului în scris de cel mintal, întrucât calculul în scris nu se poate dispensa de cel mintal, între cele dou ă forme existând o strâns ă interdependenţă. Calculul mintal constituie o etap ă premergătoare şi necesară pentru calculul în scris. II) Importanţa calculului mintal Din faptul că în clasele I-IV cea mai mare parte din exerci ţii şi probleme se rezolv ă exclusiv prin calcul mintal şi chiar dup ă ce elevii înva ţă calculul în scris, în paralel se utilizeaz ă şi cel mintal, rezult ă importan ţa acestuia.

40



Formarea priceperilor şi a deprinderilor de calcul mintal are o importan ţă deosebită în pregătirea multilateral ă a elevilor şi în formarea acestora din punct de vedere matematic, deoarece: -calculul mintal, precedând pe cel în scris, ini ţiază pe elev în cunoa şterea diferitelor forme de calcul, formându-i priceperile şi deprinderile necesare trecerii la calculul în scris; -calculul mintal dezvolt ă facultăţile cognitive ale elevului, în special memoria, aten ţia, judecata şi rapiditatea gândirii, procesele de analiz ă şi sinteză ale gândirii, contribuie la formarea de stereotipuri dinamice necesare pentru însu şirea în continuare a cuno ştinţelor de matematică, pentru dezvoltarea creativit ăţii acestuia; -contribuie la dezvoltarea gândirii matematice la elevi şi a capacităţii intelectuale în general; gândirea elevilor este introdus ă în efort, contribuie la înc ălzirea minţii; -contribuie la dezvoltarea capacit ăţii de clasificare a diferitelor no ţiuni matematice, de a integra aceste no ţiuni într-un ansamblu de cuno ştinţe necesare rezolv ării problemelor. -şi nu în ultimul rând, practica vie ţii sociale, cu necesit ăţile ei de zi de zi, activitatea desf ăşurată zilnic la serviciu, nu pot fi concepute f ără utilizarea la fiecare pas a calculului matematic, în special a calculului mintal. În cadrul orelor de matematic ă elevii sunt pu şi în situaţia de a efectua calcule aplicând procedeele înv ăţate şi de a alege procedeul de calcul cel mai potrivit cazului dat pentru a afla mai repede şi mai uşor rezultatul, de a aplica unor variate cazuri particulare principiul de rezolvare. Aceasta dezvoltă puterea de în ţelegere, spiritul de ini ţiativă, perspicacitatea. De aceea se şi spune despre calculul mintal c ă este cea mai simpl ă formă a muncii creative a elevului în domeniul matematicii.

III) Locul calculului mintal în predarea matematicii. Organizarea calculului mintal În cadrul lecţiilor de matematic ă adesea se utilizează calculul oral deoarece aici apare necesitatea folosirii unor explica ţii în scopul însu şirii conştiente a operaţiilor aritmetice şi a diferitelor procedee de calcul. În funcţie de modul lor de utilizare în cadrul lec ţiilor, exerci ţiile se pot clasifica astfel: -exerciţii de calcul oral rezolvate cu institutorul, care constau în comunicarea oral ă a exerciţiului, repetarea lui, efectuarea în minte a opera ţiilor, indicarea procedeului de calcul şi comunicarea rezultatului; -exerciţii scrise rezolvate cu institutorul care constau în comunicarea oral ă a exerci ţiului, scrierea lui, repetarea lui, efectuarea în minte a calculului, anun ţarea rezultatului şi scrierea acestuia; -exerciţii scrise şi rezolvate prin munc ă independent ă, în cadrul c ăreia institutorul prezint ă elevilor exerci ţiile, urmând citirea acestora şi copierea lor de c ătre elevi, care le vor rezolva f ără nici un ajutor din afar ă, după care se vor citi rezolv ările exerci ţiilor şi rezultatele ob ţinute. În această categorie se pot încadra şi exerciţiile date ca tem ă pentru acasă, deoarece procedeul de lucru este acelaşi. Elevii pot lua cuno ştinţă de exerci ţiile pe care urmeaz ă să le rezolve în mai multe moduri: -prin copierea exerci ţiilor din manual sau culegere; -prin copierea exerci ţiilor de pe tabl ă; -prin dictarea lor de c ătre institutor; -prin folosirea fi şelor de lucru. Calculul mintal propriu-zis este utilizat în special pentru formarea deprinderilor de aplicare a anumitor reguli sau pentru consolidarea anumitor procedee, dar şi pentru formarea unor abilit ăţi necesare calculului rapid. El const ă în comunicarea exerci ţiilor printr-un mijloc oarecare, efectuarea mintal ă a opera ţiilor şi anunţarea numai a rezultatului, f ără a se cere repetarea exerciţiului sau indicarea procedeelor folosite în rezolvarea acestora. Comunicarea exerci ţiilor se 41



poate face cu ajutorul unor plan şe sau al unor tabele numerice, cu ajutorul figurilor geometrice, al schemelor, desenelor, etc., institutorul indicând exerci ţiile, iar elevii rezolvându-le mintal. Calculul oral este specific lec ţiilor de dobândire de noi cuno ştinţe, în care elevii înva ţă noi procedee de calcul, dar se utilizeaz ă şi în lecţiile de consolidare a cuno ştinţelor, priceperilor şi deprinderilor în care elevii reiau prin exerci ţii orale sau scrise procedeele învăţate în cadrul orelor anterioare. Calculul mintal propriu-zis se utilizeaz ă atât în lecţiile de consolidare a cuno ştinţelor - ca formă de activitate utilizat ă în lecţie, cât şi în lecţiile de dobândire de noi cuno ştinţe, unde poate fi folosit în cadrul primei p ărţi a lecţiei: în timpul verific ării şi reactualizării cunoştinţelor, sau în evaluarea cunoştinţelor - ca form ă de activitate cu ajutorul c ăreia elevii î şi clarifică şi î şi fixează noţiunile dobândite în cursul lec ţiei. Tehnica desf ăşurării exerciţiilor de calcul mintal propriu-zis difer ă de la caz la caz, în funcţie de natura exerci ţiilor considerate şi de formele lor de prezentare. Oricare ar fi îns ă forma aleasă, institutorul trebuie s ă dea în prealabil indica ţii detaliate şi suficiente în legătură cu organizarea şi desf ăşurarea calculului, astfel încât pe parcurs s ă nu fie nevoie de reveniri sau lămuriri suplimentare, care ar deruta elevii sau le-ar distrage aten ţia asupra unor am ănunte nesemnificative. Ritmul de desf ăşurare al acestei forme de activitate este diferit, trecându-se treptat de la un ritm lent în primele lec ţii, la unul din ce în ce mai sus ţinut. Întrucât calculul mintal propriu-zis solicit ă într-un grad înalt gândirea elevilor, rezult ă că această activitate nu trebuie s ă depăşească 5 minute, durata optim ă fiind de 2-4 minute.

IV) Procedee de calcul mintal În viaţa cotidiană, datorită deprinderilor formate din cauza nevoilor zilnice, se întrebuinţează unele procedee de calcul, mai ales în leg ătură cu mânuirea banilor, dar pe care şcoala nu le întrebuin ţează în suficient ă măsură. Procedeele de calcul mintal se pot grupa în dou ă categorii: 1. Procedee generale, care se aplică oricăror numere (cu excep ţia celor scrise în alt ă baz ă de numera ţie) şi care se bazeaz ă pe sistemul poziţional zecimal şi pe propriet ăţile operaţiilor aritmetice. Aceste procedee au fost prezentate în momentul introducerii opera ţiilor aritmetice. 2. Procedee speciale, care se aplic ă numai anumitor numere, cu o structur ă specială şi care se bazează pe relaţii aritmetice particulare ce pot fi stabilite între ele. Exist ă o mare varietate de procedee speciale. Cele mai utilizate sunt: -procedeul rotunjirii prin lipsă sau prin adaos care const ă în neglijarea sau ad ăugarea unor unit ăţi de un anumit ordin, pentru a ob ţine numere cu care calculele sunt mai u şor de efectuat; Exemple: adunare: 397 +299 = (400 – 3)+(300 – 1) = 400 + 300 – 3 – 1 = 696 scădere: 308 – 206 = (300 + 8) – (200 + 6) = 300 – 200 +8 – 6 = 102 înmulţire : 200 x 13 = 200x (10+3)=200x10+200x3=2000+600=2600 împărţire: 392:4=(400-8):4=400:4-8:4=100-2=98 -procedeul bazat pe proprietăţile de comutativitate şi asociativitate ale adunării şi înmulţirii; Exemplu: 146 + 259 + 54 + 341 =(146 + 54) + (259 + 341) = 200 + 600 = 800 -procedeul înmulţirii succesive constă în descompunerea unuia dintre factori într-un produs de factori mai mici, cu efectuarea înmul ţirilor în ordinea în care apar; Exemplu: 48x6=48x2x3=96x3=288. -procedeul împărţirii succesive constă în descompunerea în factori a împ ărţitorului şi apoi împărţirea deîmpărţitului în mod succesiv la factorii ob ţinuţi; Exemplu: 24 : 8 = 24 : (2x2x2) = 12 : (2x2) = 6 : 2 = 3 -procedeele de înmulţire cu 5, cu 25, cu 50, cu 9, cu 11 42



Procedeul de înmul ţire cu 5 const ă în înmul ţirea cu 10 şi împărţirea la 2, etc. Exemple: 42 x 5 = 42 x 10 : 2 = 420 : 2 = 210 17x25=17x100:4=1700:4=425 38x50=38 :2x100=19x100=1900 V) Exerciţii de calcul mintal Exerciţiile de calcul mintal pot fi grupate în dou ă categorii: -exerciţii simple care cuprind o singur ă operaţie; -exerciţii compuse care cuprind dou ă sau mai multe opera ţii de acelaşi fel, de acelaşi ordin sau de ordine diferite. Formele sub care se prezint ă aceste exerci ţii sunt de o mare varietate astfel c ă din acest punct de vedere ele nici nu pot fi încadrate în anumite categorii limitative. Varietatea formelor este necesară atât pentru a stârni şi menţine mereu treaz interesul elevilor în rezolvarea exerciţiilor, cât şi pentru dezvoltarea proceselor de gândire, de formare a unor noi leg ături temporare în scoar ţa cerebral ă, de stabilire a unor stereotipuri dinamice, deoarece dac ă în prima fază operaţiile matematice se efectueaz ă prin procese de gândire şi calcul, în faza a doua, operaţiile fundamentale, procedeele mai importante de calcul mintal trebuie s ă se efectueze pe baza unor procese de memorie şi a deprinderilor formate prin repetarea necontenit ă a acestor operaţii şi procedee. Exerciţiile simple se pot prezenta sub urm ătoarele forme: -exerciţii în care se indică operaţia ce urmeaz ă a fi efectuată cu numerele date; Exemplu: Adunaţi numerele 9 şi 21. -exerciţii în care se cere să se găsească un număr care să fie mai mare sau mai mic cu câteva unităţi sau de câteva ori decât un num ăr dat; Elevii urmând ca pe baza unor procese de gândire s ă stabilească întâi operaţia corespunzătoare şi apoi să efectueze aceast ă operaţie. -exerciţii în care se denume şte rezultatul operaţiei ce urmează a se efectua asupra numerelor date; Aceste exerciţii solicită mai mult gândirea elevilor deoarece mintea copilului trebuie să găsească întâi opera ţia corespunzătoare şi să se fixeze asupra acesteia pe baza procesului de asociere stabilit între cele dou ă noţiuni: operaţia şi denumirea rezultatului şi apoi să efectueze calculul respectiv. Exemplu: Aflaţi suma numerelor 19 şi 7. -exerciţii de stabilire a grupărilor posibile pentru unităţile unui anumit număr dat; Exemplu: Grupările posibile pentru unit ăţile numărului 48 sunt: 1+47; 2+46;…: 12+36;…; 47+1. Toate aceste grup ări pot fi spuse pe rând, iar calculul devine mai interesant, antrenează mai mulţi elevi şi solicită gândirea într-o m ăsură mai mare, dac ă institutorul enunţă unul din termenii grup ării, iar elevii îl folosesc pe cel ălalt. Exemplu: Institutorul: 15, elevii: 33. -exerciţii de înmulţire cu un factor constant sau cu produsul constant; Exemplu: Când unul din factori este 8, elevii spun toate înmul ţirile numărului 8 cunoscute; dacă produsul este constant (exemplu 36), elevii spun toate perechile de numere al căror produs este 36: 6x6, 4x9, 12x3, 18x2, 36x1. -exerciţii formate cu ajutorul tabelelor numerice; Acestea pot fi opera ţii de un singur fel, de exemplu, numai adun ări sau numai sc ăderi etc. a 5 10 100 b 6 7 5 43



axb

30

70

500

-exerciţii formate cu ajutorul figurilor geometrice: unghi, triunghi, pătrat sau dreptunghi, pentagon, hexagon, etc ; În centrul figurii se afl ă semnul care indică operaţia ce urmează a fi efectuat ă şi numărul respectiv ca termen sau factor constant, iar la vârfuri se afl ă numerele care reprezint ă cel de-al doilea termen sau factor al opera ţiei: 23

165 +122

704

30

46 9

-11 60

21

60

23

x3

312

500

11

48 444 240

:4 9

26

-exerciţii prezentate sub formă de jocuri matematice cum ar fi: ghicirea unor numere a căror sumă diferenţă sau produs sunt date, jocul mut, p ătratele magice etc. Exerciţiile compuse cunosc urm ătoarele forme mai importante: -exerciţii prezentate sub formă de calcul curent; Exemplu: 3 + 8 – 5 + 7 + 12 – 10 = sau [(4 + 6)x5 – 8]: 7 = -exerciţii de adunare succesivă sau de scădere a aceluiaşi număr. Exemple: Adunarea succesivă a numărului 6, începând cu 6: 6 + 6 = 12, 12 + 6 = 18,… Începând cu 1: 1 + 6 = 7, 7 + 6 = 13,… Începând cu 2 etc. Scăderea succesivă a numărului 4 începând de la 40: 40 – 4 = 36, 36 – 4= 32,… Începând de la 39, 38, etc. În afară de aceste tipuri reprezentative de exerci ţii există o mare varietate de alte exerci ţii de calcul mintal prezentate sub diferite forme ce se pot utiliza cu succes, indiferent de capitolul sau tema lecţiei. Valorificarea acestor forme de activitate în cadrul lec ţiilor de matematică depinde de imagina ţia şi personalitatea institutorului, care poate crea şi utiliza o gam ă cât mai diversă de astfel de exerci ţii pentru a stârni interesul elevilor fa ţă de lecţia de matematic ă şi pentru a stimula participarea elevilor la lec ţie.

Test de autoevaluare 1. Prezentaţi un demers didactic pentru predarea la clas ă a adunării a două numere naturale formate fiecare din zeci şi unităţi, f ără trecere peste ordin. 2. Prezentaţi un demers didactic pentru predarea la clas ă a tablei înmulţirii cu 5 (cls a III-a). 3. Precizaţi pa şii algoritmului şi evidenţiaţi etapele calcului în scris pentru împ ărţirea unui număr de două cifre la un num ăr de o cifr ă, în cazul când unit ăţile de fiecare ordin ale deîmpărţitului se împart exact la împ ărţitor. 4. Formulaţi o problem ă care să ilustreze ordinea efectu ării operaţiilor într-un exerci ţiu de tipul X-YxZ. 44



Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 4.1.3. (Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100 -adunarea a două numere formate fiecare din zeci şi unităţi, f ără trecere peste ordin). 2. Revezi 4.2.1. (Înmul ţirea numerelor naturale mai mici decât 100). 3. Revezi 4.2.4. (Împ ărţirea numerelor naturale mai mici decât 1000-4.2.4.2. Împ ărţirea în scris). 4. Revezi 4.3.1. (Ordinea efectu ării operaţiilor).

Lucrare de verificare 2 1. Prezentaţi un demers didactic pentru predarea la clas ă a scăderii în cazul desc ăzutului cuprins între 10 şi 20 şi scăzătorului de o cifr ă, mai mare decât unit ăţile descăzutului. 2. Prezentaţi un demers didactic pentru predarea la clas ă a înmulţirii a două numere naturale de două cifre. 3. Compuneţi o problem ă care să ilustreze necesitatea introducerii parantezelor rotunde. 4. Explicaţi importanţa calculului mintal în cadrul lec ţiei de matematică a şcolarului mic. Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: 10 puncte Subiectul 1: 30 puncte Subiectul 2: 30 puncte Subiectul 3: 20 puncte Subiectul 4: 10 puncte

Rezumat Aceastã unitate de înv ăţare are ca scop dobândirea unor cuno ştinţe şi capacităţi privind metodologia pred ării-învăţării operaţiilor de adunare, sc ădere, înmulţire şi împărţire în mulţimea numerelor naturale, precum şi a ordinii efectu ării operaţiilor şi a folosirii parantezelor. În finalul acestei unităţi sunt analizate: atât importan ţa formării limbajului matematic la şcolarul mic, precum şi locul şi rolul calculului mintal în cadrul lec ţiilor de matematică la clasele I-IV.

Bibliografie Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite şti, 2005. Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite şti, 1998. Lupu, C.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a. Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite şti, 1999. Neacşu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Roşu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

45



46


Metodologia predării-învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură pentru mărimi

Unitatea de învăţare nr. 5 METODOLOGIA PREDĂRII-ÎNVĂŢĂRII MĂRIMILOR ŞI UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ PENTRU MĂRIMI Cuprins Obiectivele unităţii de înv ăţare……………………………………………………………….. §5.1. Mărime. Măsurarea unei m ărimi. Unităţi de măsură. Importan ţa studierii lor…………. §5.2. Obiective şi conţinuturi ale pred ării-învăţării mărimilor şi unităţilor de m ăsură ale acestora ………………………………………………………………………………………………….. §5.3. „Firul ro şu” al predării-învăţării unităţilor de măsură pentru mărimi la clasele I-IV….. 5.3.1. Lungimea………………………………………………………………………… 5.3.2. Capacitatea………………………………………………………………………. 5.3.3. Masa……………………………………………………………………………... 5.3.4. Timpul…………………………………………………………………………… Test de autoevaluare………………………………………………………………………….. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare…………………………………………… Rezumat………………………………………………………………………………………. Bibliografie……………………………………………………………………………………

46 46 47 49 49 49 50 50 51 51 51 52

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice metodologia pred ării-învăţării mărimilor şi a unităţilor de măsură pentru mărimi la clasele I-IV; -să cunoască specificul introducerii m ărimilor şi a unităţilor de măsură pentru mărimi, la clasa I; -să conştientizeze particularit ăţile unei lec ţii vizând predarea-înv ăţarea mărimilor şi a unităţilor de măsură pentru mărimi, la clasele II-IV.

§5.1. Mărime. Măsurarea unei mărimi. Unităţi de măsură. Importanţa studierii lor În clasele I-IV, studiul m ărimilor şi al unităţilor de măsură reprezintă o interfa ţă între matematică şi viaţa de zi cu zi. Pe baza observa ţiilor şi a reprezent ărilor intuitive, elevii fac cuno ştinţă cu unele noţiuni de bază despre m ărimi şi unităţi de măsură de larg ă utilizare, strict necesare omului. Cunoaşterea unit ăţilor de m ăsură, formarea capacit ăţii de a le utiliza cu u şurinţă şi corect, dezvoltă rigurozitatea în ra ţionament a elevilor, precizia şi exactitatea. Opera ţiile cu unit ăţile de măsură şi transformările lor duc simultan şi la dezvoltarea gândirii active şi operaţionale. Noţiunea de mărime, ce apare în sistemul pred ării-învăţării matematicii în ciclul primar este socotită ca şi cea de mulţime o noţiune primară, înţelegerea ei f ăcându-se pe baz ă de exemple. Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masa, timpul şi valoarea. A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compara aceast ă mărime cu o alta, luat ă ca unitate de măsură. Prin opera ţia de măsurare se stabile şte un raport numeric între m ărimea de măsurat şi unitatea de măsură considerat ă. De exemplu a m ăsura masa unui obiect înseamn ă a o compara cu masa unui alt obiect, pe care îl vom considera drept unitate de m ăsură. Elevii trebuie să fie condu şi să simtă necesitatea comparării mărimilor şi introducerii unităţilor de m ăsură. Astfel, pentru a putea executa m ăsurările, elevii vor trebui înv ăţaţi să înţeleagă conceptul de unitate de m ăsură şi cum să folosească instrumentele de m ăsură. 46



Elevii vor înţelege că măsurările pe care le execut ă sunt asociate cu compar ările pe care încearcă să le facă. Astfel, puşi în faţa situaţiei-problemă de a decide în care dintre dou ă vase prezentate este un volum mai mare de ap ă, elevii vor încerca diverse rezolv ări. Vor compara folosind o ceaşcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale măsurării. Pe această bază vor înţelege cu mai mult ă uşurinţă necesitatea existenţei unei unităţi de măsură standard şi anume în cazul de fa ţă litrul (unitatea principal ă cu care se m ăsoară capacitatea vaselor). Înţelegerea măsurării şi a unităţilor de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediat ă a unităţilor standard. Institutorul trebuie s ă utilizeze unităţile nestandard (de exemplu: palm ă, creion etc.). Dup ă ce se exerseaz ă măsurarea unei m ărimi cu o unitate nestandard, este important să se dea câteva date istorice legate de istoria m ăsurărilor, la noi şi în alte ţări, din care s ă reiasă că şi în procesul intensific ării schimburilor economice şi ştiinţifice a rezultat ca o necesitate unificarea unit ăţilor de măsură. O problemă important ă în vederea succesului interac ţionării copilului cu mediul este aceea a estimării dimensiunilor unui obiect sau fenomen (estimarea lungimii unui obiect sau a unui drum, a capacit ăţii unui vas, a masei unui corp, a duratei desf ăşurării unui eveniment, etc.). Este necesar ca estimările f ăcute de elevi s ă fie verificate prin m ăsurare directă pentru ca eroarea de apreciere să scadă. În acest scop, trebuie f ăcută şi o conectare la realitatea înconjur ătoare, solicitările trebuind s ă vizeze mărimi şi dimensiuni ale unor obiecte, distan ţe, fenomene pe care elevii le întâlnesc frecvent în via ţa de zi cu zi.

§5.2. Obiective şi conţinuturi ale predării-învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora Predarea-învăţarea mărimilor şi unităţilor de m ăsură ale acestora vizează realizarea următoarelor obiective: -cunoaşterea intuitivă a noţiunii de mărime prin prezentarea m ărimilor des utilizate: lungime, volum, mas ă, timp; -dezvoltarea motiva ţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unit ăţilor de măsură nestandard şi apoi standard pentru o m ărime considerată; -înţelegerea măsurării ca o activitate de determinare a num ărului care arat ă de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie m ăsurată; -formarea deprinderii de a m ăsura, a alege şi a utiliza unele unit ăţi de măsură nestandard şi de a cunoaşte unităţile principale pentru m ărimea studiată; -formarea şi dezvoltarea capacit ăţii de a cunoa şte şi a utiliza instrumentele de m ăsură; -formarea capacit ăţii de a consemna, compara şi interpreta rezultatele m ăsurărilor; -formarea capacit ăţii de a aprecia corect diversele m ărimi din mediul ambiant; -formarea deprinderii de a opera cu m ăsurile a dou ă obiecte de acela şi fel, atât prin ac ţiune directă, cât şi prin calcul; Drept obiective specifice pentru clasele a III-a şi a IV-a se adaugă, la cele de mai sus, următoarele: -dezvoltarea motiva ţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii multiplilor şi submultiplilor unit ăţilor principale de m ăsură; -cunoaşterea multiplilor şi submultiplilor unit ăţilor principale de m ăsură ale mărimilor studiate; -formarea deprinderii de a cunoa şte şi a utiliza instrumentele de m ăsură specifice acestora; -formarea capacit ăţii de a măsura utilizând multiplii şi submultiplii unit ăţilor de m ăsură ale mărimilor studiate; -formarea deprinderii de a transforma unit ăţile de măsură folosind multiplii şi submultiplii;

47

Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predării-învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură pentru mărimi -formarea capacit ăţii de a aplica în probleme cuno ştinţele dobândite despre unit ăţile de măsură. Obiectivele de referinţă corespunzătoare capitolului vizând m ărimile la clasa I solicită ca elevii să fie capabili: -să măsoare dimensiunile, capacitatea sau masa unor obiecte, folosind unit ăţi de măsură

nestandard aflate la îndemâna copiilor ; -să recunoască orele fixe pe ceas. Conţinuturile învăţării sunt: -măsurări cu unit ăţi nestandard: (palm ă, creion, bile, cuburi, etc.) pentru lungime, capacitate, masă; -măsurarea timpului; recunoa şterea orelor fixe pe ceas; unit ăţi de măsură: ora, ziua, săptămâna, luna. Obiectivele de referinţă corespunz ătoare capitolului vizând m ărimile la clasa a II-a solicită ca elevii să fie capabili: -să m ăsoare şi s ă compare lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unit ăţi de măsură nestandard adecvate, precum şi următoarele unităţi de măsura standard: metrul, litrul; -să utilizeze unit ăţi de măsură pentru timp şi unităţi monetare. Conţinuturile învăţării sunt: -măsurări folosind etaloane neconven ţionale; -unităţi de măsură pentru lungime (metrul), capacitate (litrul), mas ă (kilogramul), timp (ora, minutul, ziua, s ăptămâna, luna), monede; -utilizarea instrumentelor de m ăsură adecvate: metrul, rigla gradată, cântarul, balan ţa. Obiectivul de referinţă corespunzător capitolului vizând m ărimile la clasa a III-a solicită ca elevii s ă fie capabili s ă utilizeze instrumente şi unităţile de măsură standard şi nestandard pentru lungime, capacitate, mas ă, timp şi unităţile monetare în situa ţii variate. Conţinuturile învăţării: -măsurări folosind etaloane neconven ţionale; -unităţi de măsură pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii(f ără transformări); unităţi de măsură pentru capacitate: litrul, multiplii, submultiplii (f ără transformări); unităţi de măsură pentru masă: kilogramul, multiplii, submultiplii (f ără transformări); unităţi de măsură pentru timp: ora, minutul, ziua, s ăptămâna, luna, anul; monede şi bancnote, inclusiv cele europene; -utilizarea instrumentelor de m ăsură adecvate: metrul, rigla gradată, cântarul, balan ţa. Obiectivul de referinţă corespunzător capitolului vizând m ărimile la clasa a IV-a solicită ca elevii s ă fie capabili s ă utilizeze instrumente şi unităţile de măsură standard şi nestandard pentru lungime, capacitate, mas ă, suprafaţă, timp şi unităţile monetare în situa ţii variate. Conţinuturile învăţării sunt: -măsurări folosind etaloane conven ţionale: utilizarea instrumentelor de m ăsură adecvate: metrul, rigla gradat ă, cântar, balan ţa, ceas; -unităţi de măsură pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100, 1000; -unităţi de măsură pentru capacitate: litrul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100, 1000; -unităţi de măsură pentru mas ă: kilogramul, multiplii, submultiplii, transformări prin înmulţire şi împărţire cu 10, 100, 1000; -unităţi de măsură pentru timp: ora, minutul, secunda, ziua, săptămâna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul; monede şi bancnote.

48



§5.3. „Firul roşu” al predării-învăţării unităţilor de măsură pentru mărimi la clasele I-IV Caracteristici generale ale predării-învăţării unităţilor de măsură -predarea este ciclic ă; -se porneşte de la unit ăţi de măsură nestandard c ătre cele standard; -predarea înv ăţarea oricărei unităţi de măsură are un pronun ţat caracter intuitiv şi participativ; -se porneşte de la propria experien ţă de viaţă a copiilor legat ă de mărimi şi măsură; -prin măsurători nestandard se ajunge la ideea necesit ăţii măsurării cu unităţi standard. 5.3.1. LUNGIMEA -măsurarea lungimii, l ăţimii, înălţimii cu unit ăţi nestandard: mâna, cotul, creionul, pasul, guma etc.; -apari ţia noţiunilor antagonice: mare-mic, înalt-scund, lung-lat, gros-sub ţire, stabilite prin comparare; -sublinierea necesit ăţii apariţiei şi folosirii unit ăţii de m ăsură standard- metrul, nota ţia folosită; -utilizarea unor instrumente de m ăsură potrivite pentru m ăsurarea lungimii: rigla, centimetrul de croitorie, metrul liniar, metrul tâmplarului, ruleta; -exersarea capacit ăţii de măsurare pornind de la obiectele din clas ă, acasă şi afară (în practică institutorul alege acele lungimi ce pot fi exprimabile în numerele naturale pe care elevii le cunosc la acel moment); -conştientizarea asupra necesit ăţii introducerii multiplilor şi submultiplilor metrului pentru exprimarea mai comod ă a lungimilor mai mari/mai mici, nota ţii folosite; -asocierea multiplilor cu m ărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori şi a submultiplilor cu micşorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “sc ării”); -formarea deprinderilor de efectuare rapid ă şi precisă a măsurătorilor utilizând şi multipli şi submultipli ai metrului; -transformări dintr-o unitate de m ăsură în alt ă unitate de m ăsură; -rezolvări de probleme . 5.3.2. CAPACITATEA -compararea şi sortarea vaselor prin m ăsurare directă; -compararea vaselor de aceea şi capacitate şi formă diferită; -diferenţierea: mult-pu ţin; -măsurarea capacităţii unui vas cu unit ăţi nestandard; -sublinierea necesit ăţii introducerii unit ăţii standard pentru capacitatea vaselor- litrul, notaţia folosită; -conştientizarea asupra necesit ăţii introducerii multiplilor şi submultiplilor litrului pentru exprimarea mai comod ă a capacităţii vaselor mai mari/mai mici, nota ţii folosite; -asocierea multiplilor cu m ărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori şi a submultiplilor cu micşorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “sc ării”); -utilizarea unor instrumente de m ăsură potrivite pentru m ăsurarea capacit ăţii, întâlnite în practică; -formarea deprinderilor de efectuare rapid ă şi precisă a măsurătorilor utilizând şi multipli şi submultipli ai litrului; -transformări dintr-o unitate de m ăsură în alt ă unitate de m ăsură; -rezolvări de probleme.

49



5.3.3. MASA -compararea prin mânuire direct ă, apariţia noţiunilor: mai u şor-mai greu, tot atât de greu; -folosirea balan ţei cu braţe egale în stabilirea rela ţiei dintre masele obiectelor; -compararea, sortarea şi gruparea obiectelor cu aceea şi masă; -conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus în p ărţi; -utilizarea unit ăţilor de măsură nestandard în m ăsurarea masei unor corpuri; -sublinierea necesit ăţii introducerii unit ăţii standard pentru mas ă- kilogramul, nota ţia folosită; -utilizarea unor instrumente de m ăsură potrivite pentru m ăsurarea masei: cântarul de bucătărie, de baie, de la pia ţă, balanţa, cântarul electronic, cântarul cu resort, etc.; -exerciţii practice de m ăsurare; -conştientizarea asupra necesit ăţii introducerii multiplilor şi submultiplilor kilogramului pentru exprimarea mai comod ă a maselor mai mari/mai mici, nota ţii folosite; -asocierea multiplilor cu m ărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori şi a submultiplilor cu micşorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “sc ării”); -formarea deprinderilor de efectuare rapid ă şi precisă a măsurătorilor utilizând şi multipli şi submultipli ai kilogramului; -transformări dintr-o unitate de m ăsură în alt ă unitate de m ăsură; -rezolvări de probleme. 5.3.4. TIMPUL -predarea-învăţarea mărimii “timp” şi a unităţilor de măsură se face în strâns ă legătură cu acţiunile, fenomenele şi evenimentele periodice cunoscute de elevi; -se începe cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, s ăptămâna ,luna, anul m ăsurate cu ceasul şi calendarul; -timpul este ciclic şi se înţelege studiind programul de activit ăţi zilnice ale elevului, ora la care face acea ac ţiune; -săptămâna se conştientizează prin activităţile şcolare şi de acasă; -luna ca unitate mai mare decât ziua şi s ăptămâna, se prezint ă printr-un proces comparativ de apreciere a activit ăţilor desf ăşurate într-o s ăptămână şi într-o lun ă; -denumirea fiec ărei luni (şi anotimp) se asociaz ă cu ordinea în an, din data scris ă zilnic pe tablă; -noţiunea de an -ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre o prim ăvară şi alta; -zilele lunilor (30/31/29/28) se pot înv ăţa folosind proeminen ţele pumnilor; -deceniul, secolul, mileniul; -unitatea de măsură standard- secunda, nota ţia folosită; -multipli şi submultipli, nota ţii folosite; -utilizarea unor instrumente de m ăsură potrivite pentru m ăsurarea timpului: calendarul, ceasul de mână, de perete, pendula, orologiul, cronometrul, ceasul electronic, clepsidra, etc.; -transformări dintr-o unitate de m ăsură în alt ă unitate de m ăsură; -rezolvări de probleme. Referitor la concretizarea şi aplicarea practică a cunoştinţelor despre timp se vor prezenta în continuare câteva acţiuni sau observa ţii ce pot fi întreprinse: -confecţionarea unui cadran de ceas; -întocmirea calendarului pe o s ăptămână care să cuprindă denumirile zilelor şi datele respective, sau pe o lun ă, ori pe mai multe luni; -întocmirea calendarului pe un an sub form ă de bandă a timpului; -notarea cu consecven ţă a datei; -cunoaşterea, notarea de c ătre elev a datei de na ştere, precum şi a datelor de na ştere ale membrilor din familie; -exprimarea vârstei lor şi a prietenilor, a p ărinţilor etc.; 50



-măsurarea şi exprimarea în unit ăţi corespunzătoare a timpului necesar pentru a parcurge anumite distanţe: de acas ă la şcoală, de acasă până la cel mai apropiat magazin alimentar etc.; -cunoaşterea vârstei pe care o pot atinge unele animale s ălbatice, animale domestice; -durata vieţii copacilor şi pomilor fructiferi etc.; -ţinerea eviden ţei în unit ăţi de timp a activit ăţii pe care o desf ăşoară elevul într-o anumit ă perioadă: ora deşteptării, ora plec ării la şcoală, timpul petrecut la şcoală etc.; -stabilirea unui regim ra ţional de munc ă şi odihnă cu precizarea în unit ăţi de timp a activităţilor programate; -realizarea interdisciplinarit ăţii matematică-comunicare (notarea în unit ăţi de timp a datelor biografice ale unor scriitori etc.); -realizarea interdisciplinarit ăţii matematică-istorie; -evidenţierea unor evenimente petrecute în via ţa colectivului; -formularea şi rezolvarea unor probleme aplicative legate de începutul, durata sau sfâr şitul unui eveniment în cadrul unei ore etc.

Test de autoevaluare 1. Definiţi noţiunea de m ăsurare a unei m ărimi. 2. Exemplifica ţi unităţi de măsură nestandard care se pot utiliza în m ăsurarea mărimilor, în clasa I. 3. Enumera ţi cel puţin patru obiective ale pred ării învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora în ordinea importan ţei lor. 4. Precizaţi conţinuturile pred ării-învăţării mărimilor şi unităţilor de m ăsură ale acestora la clasele a III-a şi a IV-a. 5. Prezentaţi ”firul roşu” al predării-învăţării unităţilor de măsură pentru masă, la clasele IIV.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 5.1 (M ărime. Măsurarea unei m ărimi. Unităţi de măsură. Importan ţa studierii lor) 2. Revezi 5.2 şi 5.3. (Obiective şi conţinuturi ale pred ării-învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora; „Firul ro şu” al predării-învăţării unităţilor de m ăsură pentru m ărimi la clasele I-IV). 3. Revezi 5.2 (Obiective şi conţinuturi ale pred ării-învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora),analizeaz ă şi ordonează cel puţin 4 obiective. 4. Revezi 5.2 (Obiective şi conţinuturi ale pred ării-învăţării mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora),enumer ă conţinuturile înv ăţării uneia dintre cele dou ă clase. 5. Revezi 5.3. şi 5.3.3 („Firul ro şu” al predării-învăţării unităţilor de măsură pentru m ărimi la clasele I-IV; Masa).

Rezumat Aceastã unitate de înv ăţare are ca scop dobândirea unor cuno ştinţe asupra mărimilor şi unităţilor de m ăsură pentru m ărimi care se studiază în clasele I-IV, precum şi a capacit ăţilor de predare-înv ăţ are a acestora. Dup ă precizarea locului şi importan ţei m ărimilor şi unit ăţ ilor de măsur ă pentru m ărimi în procesul de instruire şi educare al şcolarului mic, sunt prezentate no ţiunile de: m ărime, m ăsurare a unei m ărimi şi unitate de m ăsur ă. Sunt enumerate obiectivele şi conţinuturile înv ăţă rii mărimilor şi unităţilor de m ăsură pentru m ărimi la clasele IIV. Unitatea se încheie cu prezentarea particularit ăţilor predării-învăţării unităţilor de măsură pentru: lungime, capacitate, mas ă şi timp.

51



Bibliografie Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite şti, 2005. Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Neacşu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Roşu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

52


Predarea elementelor de geometrie

Unitatea de învăţare nr. 6 PREDAREA ELEMENTELOR DE GEOMETRIE Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare…………………………………………………………………. 53 §6.1. Locul şi importanţa elementelor de geometrie în procesul de instruire şi educare al şcolarului mic………………………………………………………………………….. 53 §6.2. Obiective şi conţinuturi ale înv ăţării elementelor de geometrie……………………….….. 54 §6.3. Intuitiv şi logic în înv ăţarea geometriei…………………………………………………… 55 §6.4. Metodologia pred ării-învăţării elementelor de geometrie………………………………….56 6.4.1. Înv ăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor ini ţială pe calea inductiv ă…………………………………………….. 56 6.4.2. Predarea-înv ăţarea cunoştinţelor geometrice în spiritul rigurozit ăţii geometriei….. 58 6.4.3. Func ţionalitatea elementelor de geometrie………………………………………… 58 §6.5. Formarea conceptelor cu con ţinut geometric……………………………………………… 58 Test de autoevaluare……………………………………………………………………………. 59 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………………………... 59 Rezumat………………………………………………………………………………………… 59 Bibliografie…………………………………………………………………………………….. 59

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de înv ăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice metodologia pred ării-învăţării elementelor de geometrie la clasele I-IV; -să promoveze unitatea dintre intui ţie şi logică în învăţarea elementelor de geometrie; -să creeze necesitatea psihologic ă a argument ării afirmaţiilor matematice cu con ţinut geometric. -să conştientizeze particularit ăţile unei lec ţii vizând predarea-înv ăţarea elementelor de geometrie.

§6.1. Locul şi importanţa elementelor de geometrie în procesul de instruire şi educare al şcolarului mic Elementele de geometrie reprezint ă o punte ai c ărei piloni sunt sufletul şi mintea elevului, iar drept capete, are natura cu simbolurile ei concrete şi matematica cu simbolurile ei abstracte. Noţiunile de geometrie cap ătă o importan ţă majoră datorită mai multor aspecte: -ajută elevul să înţeleagă legile care domin ă lumea matematicii, în special, şi lumea înconjurătoare, în general, deoarece elementele geometriei ne înconjoar ă încă din primii ani de viaţă; -capitolul referitor la no ţiunile de geometrie, îl premerge pe cel al form ării conceptului de număr natural. Aceasta din dou ă motive: geometria este u şor adaptabil ă particularităţilor de vârstă ale preşcolarului şi de aceea se pred ă în grădiniţe în mod organizat; posibilitatea de a fi predat ă gradat, permite cadrului didactic s ă folosească simple no ţiuni de geometrie, pe care le-a dobândit preşcolarul, în formarea no ţiunilor abstracte legate de numerele naturale şi operaţiile cu acestea. Noţiunile de geometrie devin astfel baza form ării tuturor celorlalte no ţiuni matematice, chiar dacă nu aparţin în mod special geometriei; -noţiunile de geometrie pe care elevul le dobânde şte în clase I-IV joac ă un rol important în înţelegerea, însuşirea şi aplicarea celorlalte no ţiuni dobândite mai departe, în clasele gimnaziale şi chiar în liceu sau facultate;

53



-multe din temele altor obiecte de înv ăţământ se bazeaz ă pe cunoa şterea şi utilizarea punctelor, liniilor, figurilor geometrice. De exemplu educa ţia plastică are teme legate de tehnica Origami şi Tangram, tehnici care au la baz ă îndoirea figurilor geometrice din hârtie în vederea obţinerii unor juc ării, sau asamblarea unor figuri geometrice pentru a se realiza diferite figurine. Alte teme fac referire la no ţiunile legate de punct şi linie: „Linia- element de limbaj plastic”, “Punctul-element de limbaj plastic”. Deci no ţiunile geometrice asigur ă realizarea conexiunii cu alte domenii ale cunoa şterii : geografie, biologie, educa ţie plastică, educaţie fizică, etc. -noţiunile de geometrie dezvolt ă procesele cognitive şi pe cele reglatorii, înc ă din primii ani de viaţă; -noţiunile de geometrie asigur ă cadrul dezvolt ării unor capacit ăţi intelectuale specifice: a intuiţiei geometrice, a ra ţionamentului ipotetico-deductiv, precum şi al celui inductiv-analogic. -noţiunile de geometrie au o contribu ţie valoroas ă la dezvoltarea gândirii logice, a raţionamentului, la formarea spiritului de observa ţie, la rafinarea opera ţiilor de analiz ă şi sinteză vizând legăturile dintre propriet ăţile figurilor, orientate progresiv spre redescoperirea rela ţiilor intime în structura figurilor, la formarea conduitei rezolutive vizând construc ţia unor noi c ăi de rezolvare a problemelor sau de verificare a adev ărurilor geometrice, precum şi la stimularea plăcerii de a cerceta şi de a descoperi prin for ţe proprii.

§6.2. Obiective şi conţinuturi ale învăţării elementelor de geometrie Predarea-învăţarea elementelor de geometrie vizeaz ă realizarea urm ătoarelor obiective: -cunoaşterea intuitivă a unor no ţiuni de geometrie şi utilizarea unor concepte specifice geometriei; -dezvoltarea capacit ăţilor de explorare/investigare a mediului înconjur ător, în vederea formării unor reprezent ări şi noţiuni geometrice concrete precum şi iniţierea în rezolvarea problemelor de geometrie cu un pronun ţat caracter practic; -formarea şi dezvoltarea capacit ăţii de a comunica, prin introducerea în limbajul activ al elevilor a unor termeni din geometrie; -dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul geometriei şi aplicarea acesteia în contexte variate. Obiectivul de referinţă corespunz ător capitolului de geometrie la clasa I este: recunoaşterea formelor plane, sortarea şi clasificarea obiectelor date sau a desenelor dup ă criterii diverse. Conţinuturile învăţării sunt: figuri geometrice: triunghi, p ătrat, dreptunghi, cerc. Obiectivul de referinţă corespunzător capitolului de geometrie la clasa a II-a este: recunoaşterea formelor plane şi spaţiale, clasificarea figurilor geometrice sau a obiectelor dup ă criterii variate. Conţinuturile învăţării sunt: -forme plane: p ătrat, triunghi, dreptunghi, cerc; -interiorul şi exteriorul unei figuri geometrice; -forme spaţiale: cub, sferă, cilindru, con, cuboid (paralelipiped dreptunghic), f ără terminologie. Obiectivul de referinţă corespunzător capitolului de geometrie la clasa a III-a este: recunoaşterea şi descrierea formelor plane şi spaţiale, clasificarea obiectelor şi desenelor dup ă criterii variate. Conţinuturile învăţării sunt: -forme plane: p ătrat, triunghi, dreptunghi, cerc, poligon, punct, segment, linie dreapt ă, linie frântă, linie curb ă; -interiorul şi exteriorul unei figuri geometrice; -observarea şi descrierea intuitiv ă a obiectelor cu forme spa ţiale: cub, sferă, cilindru, con, cuboid (paralelipiped dreptunghic). 54



Obiectivul de referinţă corespunz ător capitolului de geometrie la clasa a IV-a este: observarea şi descrierea propriet ăţilor simple ale formelor plane şi spaţiale şi recunoaşterea proprietăţilor simple de simetrie ale unor desene. Conţinuturile învăţării sunt: - drepte paralele şi drepte perpendiculare; -figuri geometrice plane: -observarea şi descrierea unor propriet ăţi simple referitoare la laturi şi unghiuri: triunghi, pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram, trapez; -figuri geometrice care admit axe de simetrie: p ătrat, dreptunghi, romb; -utilizarea propriet ăţilor figurilor plane în calculul perimetrului unor figuri geometrice plane; -forme spaţiale: -observarea şi descrierea unor propriet ăţi simple referitoare la vârfuri, laturi, fe ţe ale cubului, paralelipipedului dreptunghic (cuboid), piramidei; -desf ăşurarea cubului şi a cuboidului şi asamblarea unor desf ăşurări date.

§6.3. Intuitiv şi logic în învăţarea geometriei Geometria, spre deosebire de celelalte discipline matematice, ofer ă elevilor posibilitatea perceperii directe a obiectelor lumii reale sau a imaginilor care reprezint ă aceste obiecte. Sistemul cunoştinţelor de geometrie din clasele I-IV se întemeiaz ă pe o serie de no ţiuni primare cum sunt: punctul şi dreapta, care au o baz ă intuitivă, precum şi pe un num ăr de adevăruri evidente (teoreme în geometria euclidian ă), pe care intui ţia şi experienţa le acceptă f ără demonstraţie, accentul fiind pus pe tratarea problemelor aplicative, provenite din realitate. Ţinând seama de faptul c ă gândirea copilului din clasele primare e insuficient dezvoltat ă pentru a se ridica la abstractiz ări, şi nu dispune de capacitatea de a formula ra ţionamente complicate, în procesul însu şirii cunoştinţelor de geometrie se utilizeaz ă preponderent metoda inductivă, completata progresiv cu ra ţionament de tip analogic şi deductiv, care const ă în descoperirea adev ărurilor pe baza ra ţionamentului logic ipotetico-deductiv. Elevul trebuie s ă vadă el însuşi, cunoa şterea senzorială trebuie s ă fie dublată de cea raţională. Prin predarea şi învăţarea geometriei în ciclul primar, se urm ăreşte ca elevii să-şi însuşească cunoştinţele fundamentale pornind de la observarea obiectelor din realitatea cunoscut ă şi accesibilă lor. Astfel, primele elemente de geometrie sunt selectate din realitatea înconjurătoare - prin observare direct ă, atentă a corpurilor materiale, dirijat ă de c ătre institutor – urmând ca acestea s ă fie completate în treptele urm ătoare de şcolarizare. Prin activit ăţile de construcţie, desen, pliere şi m ăsurare, institutorul va asigura implicarea tuturor organelor de sim ţ în perceperea figurilor şi crearea bazelor intuitive necesare cunoa şterii lor ştiinţifice. Astfel, sub îndrumările institutorului, elevii intuiesc în jurul lor forme, figuri şi proprietăţi ale acestora, iar apoi ajutaţi şi de unele modele geometrice (confec ţionate din carton, plastic, care redau imaginea realului), vor reprezenta prin desen figurile respective, pe baza unui proces de abstractizare care se găseşte în faz ă incipientă, la această vârstă. Această abstractizare trebuie împins ă dincolo de desen, institutorul va st ărui ca, în final, elevii s ă fie capabili sa- şi imagineze (reprezinte) figura f ără a avea în fa ţă corpul sau desenul şi să opereze cu figurile astfel imaginate. Cel mai bun mijloc de înţelegere a unei propriet ăţi este însă descoperirea ei. No ţiunea geometric ă astfel stabilită, se converteşte în limbaj matematic. Scopul tuturor achizi ţiilor geometrice ale elevilor din clasele I-IV trebuie s ă fie pregătirea, prefigurarea abilit ăţilor specifice etapei gândirii formale. Aceasta presupune necesitatea preg ătirii elevului pentru a descoperi perfec ţiunea ra ţionamentului geometric.

55



Un concept geometric nu se poate crea spontan, ele se formeaz ă în cursul unui proces psihic asupra căruia î şi pun amprenta imagina ţia, creativitatea, puterea de generalizare şi abstractizare. Studiul riguros al geometriei se abordeaz ă pentru prima dat ă în clasa a VI-a, dar acesta trebuie să pornească de la ceea ce elevul cunoa şte din clasele I-IV, de la modul în care el s-a familiarizat cu unele no ţiuni elementare de geometrie. Desenul deţine un rol important în geometrie, astfel încât, de la primele clase construc ţia figurilor geometrice trebuie s ă primeze în structura lec ţiilor cu con ţinut geometric. Un element ajutător ce trebuie exploatat în sprijinul intui ţiei este şi culoarea, care î şi aduce aportul asupra stimulării memoriei vizuale şi a captării atenţiei. Trecerea de la lucrul cu obiecte concrete spre reprezentarea figurilor cu vergele, creioane sau beţişoare, iar apoi spre desenul propriu-zis al figurii, se va face treptat, pentru a le da elevilor posibilitatea înţelegerii acestor figuri. Desenul va fi mai întâi explicat pentru ca elevii s ă înţeleagă coresponden ţa existentă între fiecare segment trasat şi modelul real prezentat. Construcţia unei figuri geometrice are avantajul c ă prezintă prin câteva linii forma figurilor, sugereaz ă relaţii între elementele lor, pe baza c ărora elevii sunt pu şi să descopere alte propriet ăţi, care, apoi, se pot verifica prin ra ţionament. Pe măsura dezvoltării gândirii elevilor, institutorul îi va conduce pe ace ştia de la faza imaginilor vizuale spre abstractiz ări şi generaliz ări. Noţiunile de geometrie trebuie s ă parcurgă la şcolarul mic drumul de la imaginea materializată, la imaginea concretizat ă prin desen şi apoi la imaginea fixat ă prin limbaj. Pentru o înv ăţare cât mai temeinică a cunoştinţelor de geometrie, în procesul de predare învăţare trebuie folosite materiale didactice şi mijloace de înv ăţământ adecvate, care este indicat să respecte: m ărimea, dimensiunea, aspectul estetic, s ă fie o expresie fidel ă a ceea ce reprezint ă şi să fie în concordan ţă cu particularit ăţile de vârst ă ale elevilor. Materialele prezente în mediul clasei şi nu numai din acest mediu, plan şele reflectând concretizarea prin desen a no ţiunilor, desenele executate pe tabl ă, modelele confec ţionate din materiale rigide care materializeaz ă noţiunea (set de segmente rigide, unghiuri cu laturi rigide, patrulatere cu laturi rigide etc.), instrumente de geometrie (rigla şi echerul) şi altele, dozate şi utilizate ra ţional, vor contribui la învăţarea temeinică a cunoştinţelor de geometrie.

§6.4. Metodologia pred ării-învăţării elementelor de geometrie Ţinând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirma c ă succesul în dobândirea cuno ştinţelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum acesta reuşeşte să conducă procesul pred ării-învăţării şi evaluării, de felul cum sunt orienta ţi elevii să poată conştientiza, descoperi şi aplica prin transfer aceste cuno ştinţe, priceperi şi

deprinderi. Reuşita didactică a procesului pred ării-învăţării elementelor de geometrie este influen ţată, chiar determinat ă în multele ei aspecte, de respectarea urm ătoarelor cerinţe metodice analizate în continuare.

6.4.1. Învăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor iniţialã pe cale inductivă Această cerinţă impune ca studiul elementelor de geometrie s ă înceapă cu cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea real ă, situate în diverse pozi ţii în spaţiul înconjurător, în vederea sesiz ării (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune care conturează imaginea geometric ă materializată. Imaginea geometric ă materializată în obiecte este apoi transpus ă în imagine, concretizat ă prin desen, ceea ce reprezint ă o detaşare a imaginii geometrice de obiectele care o genereaz ă. Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizeaz ă la tablă cu instrumentele de 56



geometrie, iar elevii o execut ă în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important ca această concretizare prin desen s ă se facă în cât mai multe pozi ţii pentru a nu crea limite în recunoaşterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor plan şe întocmite special pentru aceasta. Imaginea geometric ă concretizată prin desen este apoi proiectat ă în limbajul geometriei şi apare astfel no ţiunea geometric ă. Pe baza limbajului geometric, şi prin apel la experien ţa perceptivă a elevilor, institutorul va contura imaginea geometric ă a noţiunii considerate şi în alte situa ţii din realitatea exterioar ă clasei, altele decât cele cercetate de elevi. Se va observa, de asemenea, c ă, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale ale geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul în ţelegerii şi asimilării unor figuri geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, p ătratul, trapezul, triunghiul). Al ături de procesele intuitive (perceperea vizual ă şi tactilă a modelelor materiale), respectiv concretizate de desen, predarea-înv ăţarea presupune şi acţiuni de m ăsurare efectivă a cestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuri-componente ce le implic ă etc. Explicaţiile date de institutor referitor la a şezarea instrumentelor şi la pozi ţia din care trebuie f ăcută citirea rezultatului m ăsurării şi eventualele reluări ale procesului de m ăsurare, cu admiterea unor aproxim ări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor ob ţinute de ei în lec ţie pe baza figurilor studiate. Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla şi echerul), trebuie avut ă în vedere necesitatea ca elevii să-şi formeze deprinderi de folosire corect ă şi rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, p ătrate, romburi etc., în diverse pozi ţii în plan (tabla, foaia de hârtie) şi realizarea de m ăsurări trebuie s ă fie executate cu precizie şi rapid. Referitor la desen, trebuie s ă se ţină cont de necesitatea efectu ării lui numai cu instrumentele, atât la tabl ă, cât şi în caiete. Acurate ţea desenului este o cerin ţă importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adic ă folosirea cretei colorate, tras ări discontinue etc., pentru a pune în eviden ţă anumite p ărţi ale figurii care prezint ă interes în planul în ţelegerii noţiunii geometrice. În utilizarea materialului didactic se impun aten ţiei câteva condiţii, pe care trebuie s ă le îndeplinească atât modelul confec ţionat, cât şi modul, în care este folosit de institutor şi elevi: -materialul confec ţionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi v ăzut cu claritate din orice punct al clasei, precum şi o construcţie clară, satisf ăcând condiţiile estetice; -materialul didactic trebuie s ă fie expresia fidel ă a ceea ce trebuie s ă reprezinte, s ă contribuie la u şurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale şi a relaţiilor ce exist ă între ele (de m ărime, de paralelism, de perpendicularitate etc.); -materialul didactic trebuie s ă se adreseze elevilor respectând îns ă particularit ăţile lor de vârstă; cu cât aceştia sunt mai mici se impune ca el s ă fie mai atractiv, dar simplu, am ănuntele f ără interes ştiinţific să nu intre în câmpul aten ţiei elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv. Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun şi alte câteva observaţii: -o insuficientă valorificare a acestuia duce la însu şirea formală a cunoştinţelor, influen ţând negativ procesul form ării reprezent ărilor spaţiale; -o folosire în exces a acestuia duce la o satura ţie perceptivă, la repetare de observa ţii cu amplificări nefireşti, uneori chiar la observa ţii inutile, ceea ce ar putea abate aten ţia elevilor de la scopul observaţiilor şi intuiţilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greut ăţi în realizarea generaliz ărilor, a însăşi imaginii geometrice.

57



6.4.2. Predarea-învăţarea cunoştin ţelor geometrice în spiritul rigurozităţii geometriei Deşi suportul de baz ă al pred ării-învăţării elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, totuşi sistemul cuno ştinţelor de geometrie asimilate de elevi trebuie s ă corespundă rigurozităţii geometriei. Întâi, pentru c ă ele trebuie s ă reprezinte elemente corecte ale cunoa şterii matematice, servind elevului în orientarea şi rezolvarea problemelor de adaptare în spa ţiul înconjurător. În al doilea rând, pentru c ă toate aceste cuno ştinţe geometrice vor sta la baza continuităţii studiului geometriei în clasele urm ătoare, servind treptat la formarea temeinic ă a conceptelor geometriei. Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, ca fiind urma l ăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascu ţit (vârful pixului sau al peni ţei stiloului) aşezat să se sprijine în vârf, sau pe tablă de vârful cretei. De aici, copilul va în ţelege că dreapta concretizat ă prin desen este format ă din punctele, pe care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigl ă şi aflat şi mi şcare le las ă pe hârtie (tabl ă). El va mai în ţelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremit ăţile lui sunt primul şi ultimul punct al concretiz ării. Limbajul geometric este definit prin dou ă propriet ăţi simple şi anume: corectitudinea şi consecvenţa folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie s ă utilizeze corect limbajul simbolic, nu va utiliza notaţii specifice, cu excep ţia notării prin litere a segmentelor, vârfurilor unui poligon (notaţia unghiului prin trei litere este în afara programei). 6.4.3. Funcţionalitatea elementelor de geometrie O cerinţă de bază a activităţii didactice în predarea-înv ăţarea elementelor de geometrie o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cuno ştinţe şi abilităţi geometrice care sunt func ţionale, adică spre acele cuno ştinţe ce pot fi aplicate şi transferate eficient în orice situa ţie de mediu (teoretic ă sau practică). În aceast ă ordine de idei, funcţionalitatea cunoştinţelor, deprinderilor şi priceperilor geometrice trebuie s ă determine la elevul din clasele I-IV comportamente corespunz ătoare, generate de: necesitatea cunoa şterii spaţialităţii proxime sub raportul formei şi mărimii; orientarea în spa ţiul ambiant şi reprezentarea acestui spaţiu; alegerea drumului celui mai convenabil în deplasarea real ă; rezolvarea corect ă a problemelor de geometrie puse de institutor, carte, culegeri sau de multiplele situa ţii reale (efectuarea de m ăsurători, calcule de lungimi, perimetre, arii etc.). Institutorul trebuie s ă reţină că: -abilitatea practică a elevilor de a putea s ă rezolve probleme se cap ătă prin exerci ţiu, prin studiu pe modele reale sau create, printr-o activitate îndrumat ă, printr-o activitate de grup şi, în mod obligatoriu, printr-o activitate personal ă; -activitatea rezolutiv ă asigură şi consolidarea cuno ştinţelor de geometrie, realizând deschideri în planul motiva ţiilor favorabile continu ării studiului, dezvolt ării pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.

§6.5. Formarea conceptelor cu conţinut geometric Etapele, pe care trebuie s ă le aibă în vedere institutorul în formarea unei noţiuni geometrice sunt următoarele: -intuirea obiectelor lumii reale, care eviden ţiază noţiunea cu dirijarea aten ţiei elevilor c ătre ceea ce se urm ăreşte să fie observat; -observarea propriet ăţilor caracteristice eviden ţiate de obiectele intuite; -compararea şi analizarea propriet ăţilor pe un material didactic care materializeaz ă noţiunea; 58



-reprezentarea prin desen a no ţiunii materializate de obiecte şi materialul didactic; -formularea defini ţiei, prin precizarea genului proxim şi a diferen ţei specifice, acolo unde este posibil, sau prin stabilirea propriet ăţilor caracteristice care determin ă sfera noţiunii şi proiectarea acesteia în limbajul geometriei; -identificarea no ţiunii şi în alte pozi ţii, situaţii corespunzătoare realităţii; -construirea materializat ă a noţiunii folosind carton, hârtie, be ţişoare, etc; -clasificarea figurilor care fac parte din aceea şi categorie; -utilizarea no ţiunii în rezolvarea problemelor specifice şi transferul ei în situa ţii geometrice noi. Este de menţionat că unele no ţiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu; unele no ţiuni sunt realizabile într-o lec ţie, pe când altele într-un şir de lecţii. Adevăratul proces de formare a no ţiunilor geometrice este unul de durat ă şi nu trebuie confundat cu procesul înv ăţării de noţiuni.

Test de autoevaluare 1. Precizaţi conţinuturile înv ăţării elementelor de geometrie la clasa a IV-a. 2. Optaţi pentru intuitiv sau logic în predarea elementelor de geometrie, motivând op ţiunea aleasă. 3. Enumera ţi cerinţele metodice care trebuie respectate în procesul pred ării-învăţării elementelor de geometrie în ciclul primar. 4. Evidenţiaţi rolul materialului didactic şi al desenului într-o lec ţie de geometrie. 5. Enumera ţi şi exemplificaţi etapele parcurse pentru formarea unei no ţiuni geometrice.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 6.2.(Obiective şi conţinuturi ale înv ăţării elementelor de geometrie). 2. Revezi 6.3.(Intuitiv şi logic în învăţarea geometriei). 3. Revezi 6.3. şi 6.4. (Intuitiv şi logic în înv ăţarea geometriei; Metodologia pred ării învăţării elementelor de geometrie). 4. Revezi 6.4.1.(Înv ăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor ini ţială pe calea inductiv ă). 5. Revezi 6.5.(Formarea conceptelor cu con ţinut geometric).

Rezumat Această unitate de înv ăţare are ca scop dobândirea unor cuno ştinţe asupra elementelor de geometrie predate în şcoala primarã, precum şi a capacităţ ilor de predare-înv ăţ are a elementelor de geometrie la clasele I-IV. Dup ă prezentarea locului şi importanţei elementelor de geometrie în procesul de instruire şi educare al şcolarului mic sunt enumerate obiectivele şi conţinuturile învăţării acestora. Este eviden ţiată legătura strânsă existentă între intuiţie şi logică în cadrul aceloraşi activităţi. Sunt analizate cerin ţele metodice în predarea-înv ăţarea elementelor de geometrie. Unitatea se încheie cu enumerarea etapelor procesului de formare a no ţiunilor geometrice.

Bibliografie Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite şti, 2005. Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Neacşu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. 59



Roşu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. Târnoveanu, M., Purcaru, M.A.P., Târnoveanu, C.,: Fundamente de matematic ă şi metodică , Editura TEHNOPRESS, Ia şi, 2005. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

60


Predarea fracţiilor

Unitatea de înv ăţare nr. 7 PREDAREA FRACŢIILOR Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare………………………………………………………… §7.1. Introducerea no ţiunii de frac ţie ……………………………………………………………… §7.2. Compararea frac ţiilor …………………………………………………………….. §7.3. Opera ţii de adunare şi scădere cu frac ţii …………………………………………. §7.4. Aflarea unei frac ţii dintr-un întreg ……………………………………………….. Test de autoevaluare……………………………………………………………………. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare…………………………………….. Rezumat………………………………………………………………………………… Bibliografie………………………………………………………………………………

61 61 63 65 67 68 68 68 68

Obiectivele unităţii de învăţare

În urma parcurgerii acestei unit ăţi de înv ăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice demersul metodologic de predare-înv ăţare a unit ăţii fracţionare şi a introducerii noţiunii de frac ţie, în clasa a IV-a; -să cunoască metodologia specific ă comparării fracţiilor şi a operaţiilor cu fracţii, precum şi a aflării unei fracţii dintr-un întreg; -să conştientizeze extinderea conceptului de num ăr natural şi implicaţiile psihologice ale acesteia la elevii clasei a IV-a. §7.1. Introducerea noţiunii de fracţie

Formarea noţiunii de fracţie este un proces mai complicat care va fi urmat în timp de formarea conceptului de num ăr raţional. Din cauza dificult ăţii formării acestuia se recomand ă ca institutorul să găsească procedee şi mijloace de motivare psihologic ă a necesit ăţii introducerii acestor numere. O cale poate fi punerea elevilor în situa ţia de a rezolva probleme-ac ţiune (legate de efectuarea unor cump ărături, sau a unor m ăsurători etc.) ce nu au solu ţie în mulţimea numerelor naturale, de împ ărţire a unui num ăr natural la altul, împ ărţire care, de asemenea, s ă nu aibă soluţie în mulţimea studiată etc. Studiul numerelor ra ţionale începe înc ă din clasa a II-a o dat ă cu înv ăţarea termenilor de jumătate (doime) şi a sfertului (pătrime) se continu ă în clasa a III-a odat ă cu învăţarea operaţiei de împărţire şi în special în a IV-a când se l ărgeşte conceptul de num ăr prin introducerea no ţiunii de fracţie. Elevii înţelegând faptul c ă o fracţie cu numitorul 1 reprezint ă un num ăr natural, vor înv ăţa că mulţimea numerică nou construit ă o include pe cea a numerelor naturale. În clasa a IV-a, studiul numerelor ra ţionale va începe cu repetarea no ţiunilor de jum ătate-doime şi sfert-pătrime. Programa şcolară prevede introducerea no ţiunilor de doime şi de pătrime şi simbolurile 1 1  grafice corespunz ătoare   şi  . Se va continua apoi cu introducerea: treimii, cincimii, 4   2 1 1 1 1 şesimii, optimii etc. şi a simbolurilor grafice respective , , , etc. Se va scoate în 3 5 6 8 ţă ă ă eviden , de fiecare dat , c : o unitate fracţionară este o parte luat ă din părţile la fel de mari în care s-a împ ărţit un întreg: obiect, imagine, form ă geometrică sau num ăr.

61



La predarea-înv ăţarea unităţii fracţionare se va folosi un bogat şi sugestiv material intuitiv, se vor utiliza metode şi procedee didactice de natur ă să-i incite pe elevi, s ă activeze conduita intelectuală a acestora. Totodat ă, se vor folosi procedee de evaluare care s ă surprindă progresele f ăcute în planul opera ţionalităţii specifice gândirii matematice. Ţinând cont de experien ţa matematică redus ă a elevilor din ciclul primar se recomand ă ca însuşirea de către elevi a no ţiunii de unitate frac ţionară trebuie să se realizeze în mai multe etape: -etapa de fracţionare a unor obiecte concrete şi de partiţie a unor mul ţimi de obiecte concrete; Se începe cu aceast ă etapă pentru că la această vârstă, copiilor le este foarte greu s ă lucreze cu noţiuni abstracte. Obiectele care se vor frac ţiona ar trebui s ă fie şi la îndemâna copiilor: m ăr, pâine, portocal ă, etc., iar mul ţimile care se vor frac ţiona pot fi: beţişoare, jetoane, creioane,

riglete, nuci, etc. -etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane admi ţând axe de

simetrie, confecţionate din hârtie sau carton: dreptunghi, p ătrat, cerc; -etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat pe care îl împart în părţi la fel de mari (împ ărţirea unui segment în mai multe segmente de aceea şi lungime, trasarea axelor de simetrie într-un dreptunghi, p ătrat, cerc sau a altor linii prin care s ă se fracţioneze aceste figuri geometrice plane) sau fracţionarea imaginilor unor obiecte (împărţirea în jum ătate sau în sfert prin trasarea unor linii pe imaginea unui m ăr sau a unei clădiri); -etapa de frac ţionare a numerelor, care se reduce la împ ărţirea lor la un num ăr dat (pentru a afla o p ătrime dintr-un num ăr se împarte acel num ăr la patru). În cadrul fiecărei etape se va pune în eviden ţă unitatea frac ţionară accentuându-se faptul c ă întregul a fost împărţit în părţi la fel de mari. Concomitent cu introducerea unit ăţii fracţionare şi a simbolului său grafic format din dou ă numere suprapuse desp ărţite printr-o linie orizontal ă, se va explica şi defini elevilor c ă: numărul de sub linie poart ă denumirea de numitor şi arată în câte părţi egale (de aceea şi mărime) s-a împărţit întregul, linia dintre numere se nume şte linie de fracţie, şi că numărul de deasupra liniei de fracţie se numeşte numărător şi arată că din numărul de părţi egale în care s-a împ ărţit întregul s-a luat doar o singur ă parte. După însuşirea corect ă a noţiunii de unitate frac ţionară (ca noţiune, ca limbaj, ca mod de scriere şi citire), se introduce no ţiunea de fracţie: ca fiind una sau mai multe unit ăţi fracţionare. De exemplu: t ăind un măr în patru p ărţi egale se obţin patru sferturi sau p ătrimi de măr. Dacă se alătură două dintre ele se vor ob ţine două pătrimi de măr (sau dou ă sferturi de m ăr) şi se

2 . 4 În continuare, se vor face exerci ţii de citire şi scriere de unit ăţi fracţionare şi de fracţii, se va realiza reprezentarea lor pe desene folosind creioane colorate. În citirea unei frac ţii se va 2 urmări corectitudinea exprim ărilor elevilor (de exemplu: se va citi dou ă p ătrimi şi nu “2 pe 4 4” sau „ 2 supra 4”). Se recomand ă de asemenea ca num ărătorii şi numitorii ale şi să fie numere naturale mai mici decât 10. Sarcinile date elevilor pot fi: precizarea frac ţiei corespunz ătoare unor p ărţi dintr-un întreg împărţit în părţi egale, haşurarea sau colorarea p ărţii dintr-un întreg (împ ărţit deja în p ărţi egale) corespunzătoare unei fracţii date, sau aceea şi sarcină precedat ă de împărţirea întregului în p ărţi egale, îndoirea unei foi de hârtie de form ă dreptunghiular ă astfel încât s ă se obţină un număr de părţi egale urmat ă de colorarea a câtorva dintre acestea, corespunz ător unei frac ţii date, sau exprimă acest lucru în scris prin simbolul

62



prezentarea unor obiecte concrete de dou ă feluri sau imagini ale acestora, cerându-se elevilor s ă scrie fracţia ce reprezint ă numărul obiectelor de primul fel fa ţă de cele de felul al doilea. Intuitiv, prin sec ţionare de obiecte sau figurativ, se va defini egalitatea dintre frac ţii: două sau mai multe fracţii sunt egale dacă fiecare reprezint ă aceeaşi parte dintr-un întreg. De exemplu, în fig. 7.1 se observ ă c ă

2 din acelaşi segment 4 4 1 2 4 sau cât din el. Deci . Se poate = = 8 2 4 8 proceda şi astfel: se iau trei cercuri egale: unul se împarte în jum ătate, altul în patru p ărţ i şi al treilea în opt p ărţi egale. Se face observa ţia c ă 1 o jum ătate ( din cerc), sau dou ă sferturi 2

1 1 2

1 8

1 4 1 8

segment reprezint ă cât

1 2

1 4 1 8

1 4 1 8

1 8

1 4 1 8

1 din 2

1 8

1 8

Fig. 7.1

2 4 din cerc), sau patru optimi ( din cerc) reprezint ă fiecare aceea şi parte din cerc (o 4 8 jum ătate de cerc), deci toate sunt frac ţ ii egale. Prin aplicaţii practice, prin observa ţii şi comparaţii (folosind segmente, cercuri, dreptunghiuri) se poate descoperi c ă şi alte fracţii sunt egale. Dacă elevii î şi însuşesc bine no ţiunea de egalitate a frac ţiilor, li se poate sugera modalitatea de a obţine fracţii egale dintr-o frac ţie dată prin înmul ţirea atât a numitorului, cât şi a numărătorului (amplificare a frac ţiei), sau împărţirea atât a numitorului cât şi a numărătorului (simplificare a fracţiilor) cu acela şi sau prin acela şi număr diferit de zero (în cazul în care împărţirea se poate face exact). (

§7.2. Compararea fracţiilor

Aceasta se realizeaz ă în două sensuri: I) compararea unei frac ţii cu întregul; II) compararea a dou ă sau mai multe frac ţii (dacă au acela şi numitor sau acela şi numărător) între ele. I) Următoarele cuno ştinţe pe care le dobândesc elevii se refer ă la tipurile de frac ţii date de compararea cu întregul. Se revine asupra faptului c ă un întreg poate fi exprimat printr-o frac ţie în care numărătorul şi numitorul sunt numere naturale egale: 2 3 4 = = = ... = 1 . 2 3 4 Prin acţiune direct ă cu obiecte sau cu imagini se introduc: fracţia echiunitară ca fiind orice fracţie care este egal ă cu un întreg, fracţia subunitară ca fiind o frac ţie în care num ărul părţilor luate (numărătorul) este mai mic decât num ărul părţilor în care s-a împ ărţit întregul (numitorul) şi fracţia supraunitară în care numărătorul este un num ăr mai mare decât cel de la numitor. De exemplu existen ţa acestei ultime no ţiuni se poate realiza prin împ ărţirea a doi sau mai mulţi întregi - fiecare în acela şi număr de părţi egale şi luarea unui num ăr mai mare de p ărţi decât a fost împărţit fiecare întreg (în fig. 7.2 s-au ha şurat 5/4).

63



Fig. 7.2.

Se poate apela şi la experienţa de viaţă a copiilor. Spre exemplu, dac ă elevul se duce la magazin şi solicită o pâine şi jumătate, vânzătoarea îi d ă o pâine - deci dou ă jumătăţi şi încă o 3 jumătate din altă pâine. Deci, în total, trei jum ătăţi. Adică, pâini. 2 Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va disp ărea, elevii formându- şi, prin simpla comparare a num ărătorului cu numitorul, deprinderea de a sesiza tipul frac ţiei. II)Compararea frac ţiilor care au acela şi numărător sau acela şi numitor este o temă relativ dificilă pentru elevii din clasa a IV-a. Greutatea const ă în aceea c ă ordonarea se face de la mic la mare, dac ă fracţiile au numărătorii ordonaţi de la mic la mare şi numitorii egali, ordonarea se realizeaz ă invers - adică de la mare la mic, dac ă fracţiile au aceiaşi numărători iar numitorii se ordoneaz ă de la mic la mare. Pentru a mic şora greutatea de înţelegere şi însuşire de c ătre elevi a compar ării fracţiilor se recomandă ca institutorul să înceapă cu compararea unit ăţilor fracţionare: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (vezi fig. 7.3) pe calea reprezentărilor, sau concret. > > > > > > > > 2 3 4 5 6 7 8 9 10

… 1 2

>

……

>

1 10

Fig. 7.3.

Se poate concluziona c ă doimea este cea mai mare unitate frac ţionară, că o urmeaz ă treimea… în general c ă, între două unităţi fracţionare mai mare este aceea care are numitorul mai mic ( 1 > 1 , deoarece 5 < 8 sau deoarece 8 > 5), (vezi fig. 7.4). 5

8

1. 5

1 .

3 .

3 .

8

4

8

Fig. 7.4.

Fig. 7.5.

64



Se trece, în acela şi mod de reprezentare, sau concret, la compararea frac ţiilor care au acelaşi numitor. Dac ă se împarte un singur cerc în opt p ărţi de aceeaşi mărime şi se haşurează 5 cinci dintre ele se poate observa: partea din cerc ha şurată ( din suprafaţa cercului) este mai 8 3 5 3 mare decât partea din cerc neha şurată ( din suprafaţa cercului) şi se va scrie . > 8 8 8 Se generalizeaz ă: dintre două fracţii care au acelaşi numitor mai mare este frac ţia care are numărătorul mai mare. De exemplu:

5 1 fiindcă 5 > 1. > 10 10

În sfârşit, folosind acela şi procedeu figurativ (fig. 7.5), se trece la compararea frac ţiilor care au acelaşi numărător, dar numitorii diferi ţi. Prin observa ţie, comparaţie şi analiză se poate 3 3 conchide: frac ţia > fiindcă prima fracţie reprezintă mai mult dintr-un întreg decât cea de a 4 8 doua fracţie. După mai multe exerci ţii se generalizează: dintre două fracţii care au acelaşi numărător este mai mare frac ţia care are numitorul mai mic. Ca sarcini date elevilor pot fi: ob ţinerea unor frac ţii egale cu frac ţii date şi scrierea şirului de egalităţi, se va realiza corelarea cu activit ăţile de la educa ţie tehnologic ă, scrierea întregului sub forma unor frac ţii echivalente, stabilirea celei mai mari frac ţii dintre mai multe frac ţii având acelaşi numitor sau acela şi numărător, compararea şi ordonarea cresc ătoare a mai multor astfel de fracţii, urmată de ordonarea lor descresc ătoare.

§7.3. Operaţii de adunare şi scădere cu fracţii

În clasa a IV-a, programa şcolară prevede numai efectuarea opera ţiilor de adunare şi scădere a numerelor ra ţionale care au acela şi numitor. Introducerea opera ţiei de adunare se poate face prin mai multe modalit ăţi, fiecare având însă un suport intuitiv. Elevii trebuie s ă înţeleagă că pentru adunarea frac ţiilor care au acela şi numitor se procedeaz ă ca şi la adunarea numerelor concrete (2 mere + 4 mere = 6 mere), c ă se adună un număr de unităţi fracţionare cu un alt num ăr de unit ăţi fracţionare cu acela şi numitor  2 4 6   + = , sau două ş eptimi adunate cu patru ş eptimi dau rezultatul ş ase ş eptimi  .  7 7 7  Dacă se împarte un cerc (prin introducerea a patru diametre) în opt p ărţi de aceea şi mărime (fig. 7.6) şi se haşurează într-o direc ţie două dintre cele opt p ărţi şi într-o alt ă direcţie alte patru părţi, se observă, împreună cu elevii, c ă partea ha şurată din figur ă este formată din şase părţi din cele opt în care s-a împ ărţit cercul. Deci, se va scrie: 2 4 6 + = . 8 8 8 6 2 4 este suma dintre frac ţiile şi . Se va accentua ideea c ă 8 8 8 numărătorul 6 al sumei este ob ţinut prin adunarea num ărătorilor frac ţiilor care se adun ă. Se vor numi frac ţiile care se adun ă: termeni, iar rezultatul adun ării: sumă sau total. Se va spune c ă fracţia

65



Fig. 7.6.

Fig. 7.7. părţi haşurate

Sau, folosind un desen asem ănător (fig. 7.7), dac ă din şase se vor sc ădea două părţi haşurate şi ele, dar altfel, se vor ob ţine patru p ărţi haşurate. Cu ajutorul simbolurilor corespunzătoare se va scrie: 6 2 4. − = 8 8 8

Se vor numi şi aici termenii sc ăderii – descăzut şi, respectiv, scăzător, iar rezultatul scăderii – rest sau diferenţă. Se va ajunge în acest fel la regulile: pentru a aduna sau scădea două fracţii cu acelaşi numitor se adună respectiv se scad numărătorii, iar ca numitor se p ăstrează numitorul comun. Se va insista asupra faptului c ă pentru a se putea efectua sc ăderea trebuie nu numai ca descăzutul şi sc ăzătorul să aibă acelaşi numitori, dar şi numărătorul descăzutului să fie un num ăr natural mai mare sau egal cu cel de la num ărătorul scăzătorului. În cazul în care institutorul consider ă că nivelul clasei nu permite s ă se introducă aceste operaţii pe baz ă de imagini se poate apela la un material intuitiv concret: împ ărţirea în părţi egale a unui m ăr, portocal ă etc. şi operarea sub form ă de adunare sau sc ădere cu o parte dintre ele. În scopul cultiv ării reversibilităţii gândirii elevilor, datorit ă proprietăţii de simetrie a relaţiei de egalitate este necesar ă abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei frac ţii ca o sumă 7 2 ? 3 ? ? 2 ? ? sau diferenţă de fracţii având acela şi numitor. De exemplu : ; = + ; = + = + 8 8 ? 5 5 ? 3 ? ? şi analog pentru sc ădere. La nivelul trunchiului comun al programei, este suficient s ă se opereze cu fracţii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de frac ţii ar atrage dup ă sine: scoaterea întregilor din fracţie. Atât adunarea, cât şi scăderea fracţiilor cu acela şi numitor se pot introduce şi prin utilizarea unor probleme-ac ţiune simple şi semnificative din via ţa practică a elevilor. Institutorul trebuie s ă insiste asupra procesului de formare a deprinderii de scriere corect ă a fracţiilor în succesiunea lor în cadrul exerci ţiilor: scrierea semnului opera ţiei (+ sau −) în dreptul liniei de frac ţie a primului termen, iar dup ă semn, pe aceea şi linie cu cea orizontală de la “+” sau cu “ −”, se va trasa mai întâi linia de frac ţie a urm ătorului termen şi apoi se vor scrie num ărătorul şi numitorul s ău. Se pot realiza şi sarcini de genul: calcularea sumei sau a diferen ţei a dou ă fracţii cu acelaşi numitor, scrierea unei frac ţii ca sumă de două fracţii cu acelaşi numitor, calcularea sumei şi a diferenţei a dou ă fracţii apelând la diferite suporturi intuitive, rezolvarea unor probleme în care datele şi soluţia să fie fracţii.

66



§7.4. Aflarea unei fracţii dintr-un întreg

Unul dintre obiectivele urm ărite prin predarea frac ţiilor în clasa a IV-a îl constituie aflarea unei fracţii dintr-un întreg. Procesul de calculare a unei frac ţii dintr-un întreg parcurge două etape distincte: I) calcularea unei singure unit ăţi fracţionare dintr-un întreg (un num ăr natural), adică aflarea unei părţi dintr-un întreg; II) calcularea unei frac ţii oarecare dintr-un întreg, adic ă aflarea mai multor p ărţi la fel de mari dintr-un întreg. I) Pentru prima categorie de exerci ţii se procedeaz ă intuitiv, folosind mai întâi material didactic tridimensional, obiecte şi figuri geometrice plane decupate sau imagini, figuri geometrice desenate, apoi cantit ăţi, lungimi, mase, volume etc., ajungându-se la numere. Exemplu: 1 – să se afle din aria unei suprafe ţe dreptunghiulare; 4 1 – să se afle din: 18 kg, 60 kg, 84 kg …; 3 1 – să se afle din: 22 l, 40 l, 52 l …; 2 1 – să se afle din numerele: 8, 24, 32, 40 … 4 Operaţiile se vor scrie astfel: 1 din 18 kg reprezint ă 18 kg : 3 = 6 kg. 3 1 din 22 l reprezint ă 22 l : 2 = 11 l. 2 1 din 8 reprezint ă 8 : 4 = 2. 4 Utilizând mai multe exemple asem ănătoare şi f ăcând analiza lor, se va stabili atât opera ţia, cât şi procedeul de aflare a unei singure unit ăţi fracţionare dintr-o m ărime sau număr şi anume se ajunge la concluzia c ă aflarea unei unit ăţi fracţionare dintr-un întreg este reductibil ă la împărţirea acestuia în atâtea p ărţi egale cât arat ă numitorul. II) Pentru a doua categorie de exerci ţii sunt necesare două operaţii: – împărţirea pentru aflarea unei singure unit ăţi fracţionare de felul celei pe care o arat ă numitorul; – înmulţirea pentru aflarea num ărului de unit ăţi fracţionare pe care îl arat ă numărătorul. Exemplu: 8 Într-o clasă sunt 36 de elevi. Fetele reprezint ă din totalul elevilor. Câte fete sunt în acea clas ă? 9 La început opera ţiile de împărţire şi înmulţire se scriu separat, pentru ca elevii s ă-şi formeze în mod con ştient deprinderile şi priceperile necesare calcului. Se porne şte de la regula c ă pentru a afla o frac ţie dintr-o m ărime sau cantitate se afl ă mai întâi, prin împ ărţire, o singură parte (o unitate frac ţionară) apoi, prin înmul ţire, mai multe p ărţi (mai multe unit ăţi fracţionare). Astfel, se află o noime din 36: 1 din 36 (elevi) reprezint ă 36 : 9 = 4 (elevi). 9 67



Se constată că opt astfel de noimi, înseamn ă de opt ori mai mult decât una singur ă, deci înmulţire cu 8: 8 din 36 (elevi) reprezint ă 4 ⋅ 8 = 32 (fete). 9 După rezolvarea mai multor cazuri particulare se generalizeaz ă procedeul de rezolvare, obţinându-se regula: pentru a afla cât reprezint ă o fracţie dintr-un num ăr natural se împarte numărul la numitorul frac ţiei şi se înmul ţeşte rezultatul cu num ărătorul acesteia. În funcţie de particularit ăţile clasei, şi această ultimă etapă poate fi parcurs ă trecând prin fiecare dintre fazele: concret ă, semiconcretă şi abstractă sau numai prin ultimele dou ă sau numai prin ultima. Test de autoevaluare

1. Precizaţi etapele învăţării noţiunii de unitate frac ţionară, la clasa a IV-a. 2. Enumera ţi modalităţi de obţinere a unei frac ţii, la clasa a IV-a. 3. Scrieţi un demers didactic vizând compararea unei frac ţii cu întregul. 4. Scrieţi un demers didactic vizând compararea a dou ă sau mai multe frac ţii cu acelaşi numărător. 5. Prezentaţi metodologia aflării unei frac ţii dintr-un întreg. 6. Argumenta ţi prin intermediul compunerii şi rezolvării de probleme, necesitatea introducerii fracţiilor. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 7.1. (Introducerea no ţiunii de fracţie ). 2. Revezi 7.1.(Introducerea no ţiunii de fracţie-fracţii egale). 3. Revezi 7.2.(Compararea frac ţiilor-compararea unei frac ţii cu întregul), extrage esen ţialul şi reformuleaz ă. 4. Revezi 7.2. (Compararea frac ţiilor-compararea a dou ă sau mai multe frac ţii), selectează şi reformuleaz ă. 5.Revezi 7.4.(Aflarea unei frac ţii dintr-un întreg), extrage esen ţialul şi reformuleaz ă. Rezumat

Aceastã unitate de înv ăţare are ca scop dobândirea unor cuno ştinţe asupra frac ţiilor şi a capacităţilor de predare-înv ăţare a acestora la clasele I-IV. Dup ă introducerea no ţiunilor de unitate fracţionarã şi fracţie, sunt prezentate aspecte metodice privind: predarea-înv ăţarea fracţiilor, compararea frac ţiilor, opera ţii cu fracţii care au acelaşi numitor şi aflarea unei frac ţii dintr-un întreg. Bibliografie Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Neacşu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Roşu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV).

68


Metodologia rezolvării şi compunerii de probleme

Unitatea de învăţare nr. 8 METODOLOGIA REZOLVĂRII ŞI COMPUNERII DE PROBLEME Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare………………………………………………………….. 69 §8.1. Noţiunea de problem ă matematică………………………………………………… 69 §8.2. Valenţele formative ale activit ăţilor rezolutive……………………………………. 70 §8.3. Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă……………………………………. 71 § 8.4. Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetic ă……………………………… 73 § 8 .5. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice………………………… 75 8.5.1. Rezolvarea problemelor simple…………………………………………….. 75 8.5.2. Rezolvarea problemelor compuse…………………………………………... 77 8.5.3. Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematic ă…………………… 77 8.5.3.1. Metoda figurativ ă sau grafică…………………………………………. 77 8.5.3.2. Metoda compara ţiei…………………………………………………… 78 8.5.3.3. Metoda falsei ipoteze………………………………………………. 78 8.5.3.4. Metoda mersului invers……………………………………………. 78 8.5.3.5. Regula de trei simpl ă………………………………………………. 79 8.5.3.6. Regula de trei compus ă……………………………………………. 79 8.5.3.7. Probleme de mi şcare………………………………………………. 81 8.5.3.8. Probleme nonstandard……………………………………………… 81 §8.6. Rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi, verificarea soluţiei aflate şi scrierea formulei numerice……………………………………………………………………… 81 § 8.7. Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi…………………………… 82 Test de autoevaluare…………………………………………………………………….. 85 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………………… 85 Lucrare de verificare…………………………………………………………………….. 85 Rezumat…………………………………………………………………………………. 86 Bibliografie……………………………………………………………………………… 86

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de înv ăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice metodologia rezolv ării problemelor de matematic ă la clasele I-IV; -să conştientizeze valenţele formative ale activit ăţilor de rezolvare şi compunere de probleme, cu exemplific ări; -să aleagă din multitudinea căilor de rezolvare a unei probleme pe cea mai rapid ă şi elegantă; -să stabilească raportul dintre îndrum ările date elevilor de către institutor şi activităţile creatoare ale acestora; -să privească activitatea de compunere a problemelor ca important ă modalitate de cultivare şi educare a creativităţii gândirii preşcolarului şi a şcolarului mic.

§8.1. Noţiunea de problemă matematică Cuvântul problemă î şi are originea în limba latin ă (problema) şi a intrat în vocabularul românesc prin limba francez ă (problème) . Termenul de problem ă nu este suficient delimitat şi precizat, având un con ţinut larg şi cuprinzând o gam ă largă de preocupări şi acţiuni din domenii diferite. Etimologic, în german ă pro-ballein înseamnă înaintea unei bariere, obstacol care stă în cale, ceea ce ar mai putea fi interpretat ca o dificultate teoretic ă sau practică a cărei rezolvare nu se poate face prin aplicarea 69



directă a unor cuno ştinţe şi metode cunoscute, ci este nevoie de investigare, tatonare, c ăutare. Etimologia greacă a cuvântului problemă arată că ea reprezint ă o provocare la căutare, la descoperirea soluţiei. Revenind la spa ţiul didactic, se consider ă drept problemă orice dificultate teoretic ă sau practică, în care elevul pentru a-i g ăsi soluţia, trebuie s ă depună o activitate proprie de cercetare, în care să se conducă după anumite reguli şi în urma căreia să dobândească noi cuno ştinţe şi experienţă. După Dicţionarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), cuvântul problemă are urm ătoarele definiţii: Problemă: “Chestiune care intr ă în sfera preocup ărilor, a cercet ărilor cuiva, obiect principal al preocup ărilor cuiva; temă, materie”; Problemă: “Chestiune important ă care constituie o sarcin ă, o preocupare (major ă) şi cere o soluţionare (imediat ă)”; Problemă: “Dificultate care trebuie rezolvat ă pentru a ob ţine un anumit rezultat; greutate, impas”; Problemă: “Lucru greu de în ţeles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigm ă”; şi în sfâr şit: Problemă de matematică: “Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin ra ţionamente, asupra unor date.” Între probleme şi exerciţii se poate face distinc ţie, în general, în func ţie de prezen ţa sau absenţa textului prin care se dau datele şi legăturile între ele. Exerciţiul conţine datele, numerele cu care se opereaz ă şi semnele operaţiilor respective, elevul având sarcina de a efectua calculele dup ă tehnici şi metode cunoscute. Problema conduce, pentru rezolvarea ei, la o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, relaţiile dintre date şi necunoscută şi întrebarea problemei, care se refer ă la valoarea necunoscutei. Matematic vorbind, distinc ţia între exerci ţiu şi problemă nu trebuie f ăcută după forma exterioară a acestora, ci dup ă natura rezolv ării. Trebuie însă f ăcută observaţia c ă un enunţ poate fi o problem ă pentru un copil din clasa I, un exerci ţiu pentru cel din clasa a V-a şi ceva perfect cunoscut pentru un matematician. Pe m ăsură ce elevul î şi însuşeşte modalităţi de rezolvare mai generale, pe m ăsură ce creşte experienţa lui în rezolvarea problemelor, treptat, enun ţuri care constituiau pentru el probleme, devin simple exerci ţii.

§8 .2. Valenţele formative ale activităţilor rezolutive Este unanim recunoscut faptul c ă rezolvarea problemelor de matematic ă este una din cele mai sigure căi ce duce la dezvoltarea gândirii, imagina ţiei, atenţiei şi spiritului de observa ţie al elevilor. Această activitate pune la încercare în cel mai înalt grad capacit ăţile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilit ăţile psihice, în special inteligen ţa, motiv pentru care, programa de matematic ă din ciclul primar acord ă rezolvării problemelor o importan ţă deosebită. Acesta este eviden ţiată de faptul c ă unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situa ţii noi de înv ăţare, la care s ă răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare şi investigaţie. Dar nu numai procesele de cunoa ştere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolv ă problema, în toate coordonatele ei ra ţionale, afective, volitive. 70



Problemele de matematic ă fiind strâns legate, adesea, prin însu şi enunţul lor, de via ţă, de realitate, de practică, genereaz ă la elevi un simţ al realităţii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice pe care via ţa le scoate în calea lor. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea con ştientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoa ştere, volitive, motiva ţional-afective. Gândirea prin opera ţiile logice de analiz ă, sinteză, compara ţie, abstractizare şi generalizare este cel mai solicitat şi antrenat proces cognitiv. Prin rezolvarea de probleme, elevii î şi formeaz ă priceperi şi deprinderi de a analiza situaţia dat ă de problem ă, de a intui şi descoperi calea prin care se ob ţine ceea ce se cere în problem ă. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea şi dezvoltarea capacit ăţ ilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilit ăţii ei, a capacit ăţilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacit ăţii şi spiritului de ini ţiativă, la dezvoltarea încrederii în for ţele proprii. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematic ă contribuie la clasificarea, aprofundarea şi fixarea cuno ştin ţelor teoretice înv ăţ ate. De asemenea, predarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, defini ţia sau regula ce urmeaz ă a fi explicate. Prin activitatea rezolutiv ă la matematică elevii î şi formeaz ă deprinderi eficiente de munc ă intelectual ă, care vor influen ţa pozitiv şi studiul altor discipline de înv ăţă mânt, î şi educ ă şi cultivă calităţile. De asemenea, activit ăţ ile matematice de rezolvare şi compunere a problemelor contribuie la îmbog ăţirea orizontului de cultur ă general ă al elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cuno ştin ţe pe care nu le studiaz ă la alte discipline de înv ăţă mânt. Este cazul informa ţiilor legate de: distan ţă, vitez ă, timp, pre ţ de cost, cantitate, dimensiune, mas ă, arie, durata unui fenomen, etc. Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii î şi formeaz ă seturi de priceperi, deprinderi şi atitudini pozitive, care le confer ă posibilitatea de a rezolva şi a compune ei în şişi, în mod independent, probleme. Problemele de matematic ă prin con ţinutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul găsirii soluţiei, contribuie la cultivarea şi educarea unor noi atitudini fa ţă de munc ă, la formarea disciplinei con ştiente, la dezvoltarea spiritului de competi ţie cu sine însu şi şi cu al ţii, la dezvoltarea prietenei. Nu se pot omite nici efectele benefice ale activit ăţii de rezolvare a problemelor de matematică pe planul valorilor autoeducative. Prin enumerarea valen ţelor formative în personalitatea elevilor, pe care le genereaz ă activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor de matematic ă, se justific ă de ce programele şcolare acord ă o atât de mare importan ţă acestei activit ăţi şcolare şi de ce şi institutorul trebuie s ă-i acorde importan ţa cuvenit ă.

§8.3. Etapele rezolvării problemelor de matematicã În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematic ă se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor şi de reformulare a problemei. Aceste etape sunt: 1. Cunoa şterea enunţului problemei 2. Înţelegerea enunţului problemei. 3. Analiza problemei şi întocmirea planului logic, cu efectuarea opera ţiilor corespunz ătoare succesiunii judec ăţilor din planul logic. 4. Organizarea şi redactarea întregii rezolv ări a problemei. 5. Activităţi suplimentare: 71



- verificarea rezultatului; - scrierea rezolv ării sub formă de exerci ţiu; - găsirea altei c ăi sau metode de rezolvare; - generalizare; - compunere de probleme dup ă o schem ă asemănătoare. 1. Cunoaşterea enunţului problemei În această etapă de început în rezolvarea oric ărei probleme, rezolvitorul trebuie s ă ia cunoştinţă cu datele problemei, cu leg ăturile existente între ele şi bineînţeles cu necunoscuta problemei. Dup ă citirea textului problemei de c ătre institutor sau de c ătre elevi, se va repeta problema de mai multe ori, pân ă la înv ăţarea ei de către toţi elevii, scoţându-se în eviden ţă anumite date şi legăturile dintre ele, precum şi întrebarea problemei. Se vor scrie pe tabl ă şi pe caiete datele problemei. 2. Înţelegerea enunţului problemei Enunţul problemei con ţine un minim necesar de informa ţii. Pentru ca elevul s ă poată formula ni şte ipoteze şi să construiască raţionamentul rezolv ării problemei, este necesar s ă cunoască şi să înţeleagă problema. Datele şi condiţia problemei reprezint ă termenii de orientare a ideilor, a analizei şi sintezei, precum şi a generaliz ărilor ce au loc treptat, pe m ăsură ce se înaintează spre soluţie. Întrebarea problemei este direc ţia în care trebuie s ă se orienteze formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acţiuni când este cazul, enun ţul problemei este în ţeles de către elevi. 3. Analiza problemei şi întocmirea planului logic Este etapa în care se elimin ă aspectele care nu au semnifica ţie matematică şi se elaboreaz ă reprezentarea matematic ă a enunţului problemei. În această etapă se construie şte raţionamentul prin care se rezolv ă problema. Prin exerciţiile de analiz ă a datelor, a semnifica ţiei lor, a legăturilor dintre ele şi a celor existente între date şi necunoscute se ajunge, prin dep ăşirea situaţiilor concrete pe care le prezint ă problema, la nivelul abstract care vizeaz ă relaţiile dintre parte şi întreg; vitez ă, distanţă şi timp; cantitate, pre ţ, valoare; etc. Prin transpunerea problemei într-un desen, într-o imagine sau într-o schem ă, prin scrierea relaţiilor dintre ele într-o coloan ă, se va eviden ţia esenţa matematică a problemei, adic ă reprezentarea matematic ă a con ţinutului ei. În momentul în care elevii au transpus problema în rela ţii matematice, prin efectuarea operaţiilor corespunz ătoare succesiunii din planul logic de rezolvare, prin con ştientizarea semnificaţiei rezultatelor par ţiale care se obţin, soluţia este descoperit ă. 4. Organizarea şi redactarea întregii rezolvări a problemei Cunoscând metodele de rezolvare şi calcul, se va trece în aceast ă etapă la redactarea clar ă şi într-o form ă cât mai îngrijit ă, a întregii rezolv ări a problemei. 5. Activităţi suplimentare dup ă rezolvarea problemei Această etapă are o mare importan ţă în formarea abilit ăţilor, a priceperilor şi deprinderilor de a rezolva probleme, deoarece aici intr ă verificarea solu ţiei problemei, g ăsirea şi a altor metode de rezolvare, cu alegerea celor mai elegante. Este deci etapa prin care se realizeaz ă şi autocontrolul asupra felului în care s-a însu şit enunţul problemei, asupra ra ţionamentului realizat şi a demersului de rezolvare parcurs. La sfârşitul rezolvării unei probleme, se indic ă categoria din care face parte problema, se fixează algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvarea problemei într-un exerci ţiu sau, după caz, în fragmente fragmente de exerci exerci ţiu. Prin rezolvarea de probleme asem ănătoare, prin compunerea de probleme cu acelea şi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dup ă acelaşi exerci ţiu, institutorul descoper ă cu elevii schema general ă de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o 72



cerinţă care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotriv ă, la cultivarea şi educarea creativit ăţii, la antrenarea permanent ă a gândirii elevilor.

§8.4. Metode Metod e pentru rezolvarea problemelor pr oblemelor de aritmetică aritmetică Metodele aritmetice se clasific ă în două categorii: metode aritmetice fundamentale sau generale şi metode aritmetice speciale sau particulare. I.) Metode aritmetice generale Metodele aritmetice generale se aplică într-o m ăsură mai mare sau mai mic ă în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaz ă cu deosebire pe opera ţiile de analiz ă şi sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică şi metoda sintetică. I1.) Metoda analitică A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple di n care e alcătuită şi a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logic ă astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea r ăspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date. Cu alte cuvinte, metoda analitică reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la cerinţe spre date. Exemplu: Într-o întreprindere lucreaz ă două echipe de strungari: prima cu 6 strungari, care strunjesc câte 18 piese pe zi, a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. S ă se stabilească valoarea pieselor executate într-o zi de cele dou ă echipe, ştiind că o pies ă este evaluată în medie la 48 lei. Examinarea problemei: Pentru a afla valoarea total ă a pieselor, cunoscând valoarea unitar ă, ar trebui s ă se ştie num ărul total al pieselor strunjite de cele dou ă echipe. În acest scop este necesar s ă se afle întâi întâ i num ărul pieselor strunjite de prima echip ă, apoi num ărul de piese strunjite de a doua echip ă. Numărul pieselor strunjite de o echip ă se poate afla utilizând datele problemei, şi anume înmul ţind numărul pieselor strunjite de un strungar cu num ărul strungarilor din echip ă. Schematic, examinarea problemei prin metoda analitic ă se înf ăţ ăţişează astfel: Valoarea totală a pieselor Num ărul total de piese Numărul pieselor strunjite de echipa I

Numărul strungarilor din echipa I

Valoarea unei piese (48 lei) Numărul pieselor strunjite de echipa II

Num ărul pieselor executate de un strungar

Numărul strungarilor din echipa II

Numărul pieselor executate de un strungar

Detaliile stabilite analitic se sintetizeaz ă sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunţarea problemelor simple în care s-a descompus problema dat ă şi indică succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor: 73



1) Care este num ărul pieselor strunjite de echipa I? 18 piese ⋅ 6 = 108 piese 2) Care este num ărul pieselor strunjite de echipa a II-a? 16 piese ⋅ 7 = 112 piese

3) Care este num ărul total de piese strunjite de cele dou ă echipe? 108 piese + 112 piese = 220 piese 4) Care este valoarea pieselor executate? 48 lei ⋅ 220 = 10 560 lei.

I2.) Metoda sintetică A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date dup ă relaţiile dintre ele, astfel încât s ă se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile şi a aşeza aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel alcătuite încât să se încheie cu acea problem ă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei problemei date. Pe scurt, metoda sintetică reprezintă calea de abordare a problemei, plecând de la date spre cerinţe. Exemplu: Problema enunţată şi studiată mai sus se examineaz ă prin metoda sintetic ă astfel: 1) Cunoscând num ărul strungarilor din prima echip ă şi numărul pieselor strunjite de fiecare, se afl ă numărul pieselor executate de întreaga echip ă. 2) Analog pentru echipa a II-a. 3) Dacă se află câte piese au fost strunjite s trunjite de prima echip ă şi câte de a doua, atunci se poate afla num ărul total de piese strunjite de cele dou ă echipe. 4) Cunoscând num ărul total de piese şi valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea lor total ă. Schema examinării problemei prin metoda sintetic ă este următoarea: Numărul strungarilor din echipa I


Numărul strungarilor din echipa II

Numărul pieselor strunjite de echipa I


Num ărul pieselor strunjite de echipa II

Numărul total de piese

Valoarea unei piese (48 lei)

Valoarea totală a pieselor

În legătură cu cele dou ă metode generale de examinare a unei probleme, se men ţionează faptul că procesul analitic nu apare şi nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele dou ă operaţii ale gândirii se g ăsesc într-o strâns ă conexiune şi interdependen ţă, ele condi ţionându-se 74



reciproc şi realizându-se într-o unitate inseparabil ă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, îns ă în anumite momente sau situaţii una din ele devine dominant ă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alc ătuită, constituie în esen ţă un proces de analiz ă, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele dou ă metode apar adeseori sub o denumire unic ă: metoda analitico-sintetică. În practică s-a demonstrat c ă metoda sintetică este mai accesibil ă, dar nu solicit ă prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constat ă că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei şi sunt tentaţi să calculeze valori de m ărimi care nu sunt necesare în g ăsirea soluţiei problemei. Metoda analitică pare mai dificil ă, dar solicit ă mai mult gândirea elevilor şi folosind-o, îi ajut ă pe copii să privească problema în totalitatea ei, s ă aibă mereu în aten ţie întrebarea problemei. II.) Metode aritmetice speciale Metodele aritmetice speciale sunt mai variate şi diferă de la o categorie de probleme la alta, adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante şi mai frecvente sunt urm ătoarele: metoda figurativ ă sau grafică, metoda compara ţiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers. În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficient ă aplicarea unei singure metode, fiind necesară combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolv ării, predominând una dintre ele. Alteori orientarea se face dup ă felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând similar, adică aplicând metoda analogiei. De asemenea, în afar ă de metodele men ţionate mai sus, exist ă şi alte metode speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de trei simplă sau compusă, în rezolvarea c ărora se utilizeaz ă reducerea la unitate şi metoda proporţiilor, apoi problemele de împ ărţire în p ărţi proporţionale, problemele cu procente, problemele de amestec şi aliaj, problemele de mi şcare, problemele nonstandard, etc.

§8.5. Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice O primă clasificare a problemelor conduce la dou ă categorii: probleme simple (cele rezolvabile printr-o singur ă operaţie) şi probleme compuse (cele rezolvabile prin cel pu ţin două operaţii).

8.5.1. Rezolvarea problemelor simple Specific clasei I este primul tip de probleme, a c ăror rezolvare conduce la o adunare sau scădere din concentrele numerice înv ăţate. Rezolvarea acestora reprezint ă, în esenţă, soluţionarea unor situa ţii problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în via ţă, în realitatea înconjur ătoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezint ă un proces de analiz ă şi sinteză în cea mai simpl ă formă. Problema trebuie s ă cuprindă date (valori numerice şi relaţii între ele) şi întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpl ă analiză a întrebării problemei se ajunge la date şi la cea mai simpl ă sinteză a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod conştient o problem ă simplă, înseamnă a cunoaşte bine punctul de plecare (datele problemei) şi punctul la care trebuie s ă se ajungă (întrebarea problemei), înseamn ă a stabili între acestea un drum raţional, o rela ţie corectă, adică a alege opera ţia corespunzătoare, impus ă de rezolvarea problemei. Predarea oricărui nou conţinut matematic trebuie s ă se facă, de regulă, pornind de la o situaţie-problemă care îl presupune. Şi din acest motiv, abordarea problemelor trebuie s ă înceapă suficient de devreme şi să fie suficient de frecvent ă pentru a sublinia (implicit, dar uneori şi explicit) ideea c ă matematica este impus ă de realitatea înconjur ătoare, pe care o reflect ă şi pe care o poate solu ţiona cantitativ. 75



În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru şi operaţiile de adunare/scădere cu acestea, introducerea problemelor ofer ă copiilor posibilitatea aplic ării necesare şi plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoa şte şi discrimina situaţiile care implică o operaţie sau alta, precum şi exersarea unei activit ăţi specific umane: gândirea. Stabilirea operaţiei corespunz ătoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesar ă precizarea cazurilor care determin ă o anumit ă operaţie, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare Copiii întâmpin ă dificultăţi în rezolvarea problemelor simple, din pricina neîn ţelegerii relaţiilor dintre date (valori numerice), text şi întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de conţinut şi de sarcina propus ă în problem ă şi pentru că numerele exercit ă asupra copiilor o anumită fascinaţie, care îi face s ă ignore conţinutul problemei. Un alt grup de dificult ăţi apare din pricina limbajului matematic, de aceea, una dintre sarcinile importante ale institutorului este aceea de a înv ăţa pe copii s ă traducă textul unei probleme în limbajul opera ţiilor aritmetice. Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului şcolar, primele probleme ce se rezolvă cu clasa vor fi prezentate într-o form ă cât mai concret ă, prin punere în scen ă, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic şi cu alte mijloace intuitive. Conştientizarea elementelor componente ale problemei, ca şi noţiunile de: problem ă, rezolvarea problemei, r ăspunsul la întrebarea problemei le cap ătă copiii cu ocazia rezolv ării problemelor simple, când se prezint ă în faţa lor probleme vii, probleme-ac ţiune, fragmente autentice de via ţă. Şcolarii mici trebuie mai întâi s ă trăiască problema, ca s ă înveţe să o rezolve. În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând prin etapele: - probleme dup ă imagini; - probleme cu imagini şi text; - probleme cu text. Introducerea problemelor cu text este condi ţionată şi de învăţarea de către elevi a citirii/ scrierii literelor şi cuvintelor componente. Manualul sugereaz ă şi modalitatea de redactare a rezolv ării unei probleme, urmând ca, în absenţa unui text scris, institutorul s ă-i obişnuiască pe elevi s ă scrie doar datele şi întrebarea problemei. După rezolvarea problemei, men ţionarea explicit ă a răspunsului îi determin ă pe elevi să conştientizeze finalizarea ac ţiunii, fapt ce va deveni vizibil şi în caietele lor, unde acest răspuns va separa problema rezolvat ă de alte sarcini ulterioare de lucru (exerci ţii sau probleme). Deşi rezolvările de probleme simple par u şoare, institutorul trebuie s ă aducă în atenţia copiilor toate genurile de probleme care se rezolv ă printr-o singur ă operaţie aritmetică. Problemele simple bazate pe adunare pot fi: -de aflare a sumei a doi termeni; -de aflare a unui num ăr mai mare cu un num ăr de unităţi decât un num ăr dat; -probleme de genul cu atât mai mult. Problemele simple bazate pe scădere pot fi:  -de aflare a restului; -de aflare a unui num ăr care să aibă cu un număr de unit ăţi mai puţine decât un num ăr dat; -de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma şi celălalt termen al sumei; -problemele de genul cu atât mai puţin. Problemele simple bazate pe înmulţire sunt, în general: -de repetare de un num ăr de ori a unui num ăr dat; -de aflare a produsului; -de aflare a unui num ăr care să fie de un num ăr de ori mai mare decât un num ăr dat. Problemele simple bazate pe împărţire pot fi: 76



-de împărţire a unui num ăr dat în p ărţi egale; -de împărţire prin cuprindere a unui num ăr prin altul; -de aflare a unui num ăr care să fie de un num ăr de ori mai mic decât un num ăr dat; -de aflare a unei p ărţi într-un întreg; -de aflare a raportului dintre dou ă numere.

8.5.2. Rezolvarea problemelor compuse Rezolvarea acestor probleme nu înseamn ă, în esenţă, rezolvarea succesiv ă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compus ă constituie dificultatea principal ă într-o problem ă cu mai multe opera ţii, ci legătura dintre verigi, constituirea raţionamentului. De aceea, este necesar ă o perioad ă de tranzi ţie de la rezolvarea problemelor simple (cu o opera ţie) la rezolvarea problemelor compuse (cu dou ă sau mai multe opera ţii). Se va porni astfel de la rezolvarea unor probleme alc ătuite din succesiunea a dou ă probleme simple. În cadrul acestei activit ăţi elevii realizeaz ă mersul raţionamentului şi învaţă să elaboreze tactica şi strategia rezolv ării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei. Examinarea unei probleme compuse se face, de regul ă prin metoda analitic ă sau sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan sau poate s ă predomine una sau alta, caz în care metoda care predomin ă î şi impune specificul asupra c ăilor care duc la g ăsirea soluţiei. Atât o metodă, cât şi cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă, duc la g ăsirea soluţiei finale. Deosebirea dintre ele const ă practic, în punctul de plecare al raţionamentului. O dată cu analiza logic ă a problemei se formuleaz ă şi planul de rezolvare. Planul trebuie scris de institutor pe tabl ă şi de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al form ării deprinderilor de a formula întreb ări şi pentru alte rezolv ări de probleme. O atenţie deosebită trebuie s ă acorde institutorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Şi aceasta pentru c ă prin rezolvarea lor se cultiv ă mobilitatea gândirii, creativitatea , se formeaz ă simţul estetic al şcolarului. Adesea elevii nu observ ă de la început existen ţa mai multor căi de rezolvare. Institutorului, prin tactul lui pedagogic, prin analiza întreprins ă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, trebuie s ă-i determine pe elevi s ă se gândeasc ă şi la alte modalit ăţi de rezolvare. 8.5.3. Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematică 8.5.3.1. Metoda figurativă saugrafică Metoda artitmetică, care pentru reprezentarea m ărimilor din problem ă şi a relaţiilor dintre ele utilizează elemente grafice sau desene şi scheme se numeşte metodă figurativă. În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinaţii ale acestora cu condi ţia ca ele s ă fie adecvate naturii datelor problemei şi specificului lor. Astfel, se pot întâlni: -desene care reprezint ă acţiunea problemei şi părţile ei componente (pentru clasele mici); -figuri geometrice diferite: segmentul de dreapt ă, triunghiul, dreptunghiul, p ătratul, cercul; -figurarea schematic ă a relaţiilor matematice dintre datele problemei; -diverse semne conven ţionale, unele obi şnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii; -litere şi combinaţii de litere; -elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cercule ţe, etc. Metoda figurativ ă ajută la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor condiţiilor problemei. În rezolvarea unei probleme care face apel la aceast ă metodă, sprijinul se face pe raţionament, folosind în ţelesul concret al opera ţiilor.

77



Metoda figurativă este situată pe primul loc în ceea ca prive şte utilitatea ei, datorit ă avantajelor pe care le prezint ă. Astfel: -are caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se preteaz ă figurarea şi pe diferite trepte ale şcolarizării; -are caracter intuitiv, în ţelegerea relaţiilor dintre datele problemei f ăcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind ac ţiunea directă, mi şcarea şi transpunerea acesteia pe plan mintal; -prin dimensiunile elementelor figurative şi prin propor ţiile dintre ele se creeaz ă variate modalităţi de stabilire a rela ţiilor cantitative dintre diferitele valori ale m ărimilor, se sugereaz ă aceste relaţii, se pun în eviden ţă. 8.5.3.2. Metoda compara ţiei Metoda comparaţiei constă în a face ca una dintre cele dou ă mărimi să aibă aceeaşi valoare şi în acest mod problema se simplific ă, devenind cu o singur ă necunoscută. Într-o astfel de problem ă, aşezarea datelor se face prin respectarea rela ţiilor stabilite între m ărimi şi astfel încât comparaţia dintre valorile aceleia şi mărimi să fie pusă în evidenţă în mod direct, a şezând valorile de acelaşi fel unele sub altele. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adic ă prin adunare sau sc ădere. Dacă valorile aceleiaşi mărimi sunt egale prin enunţul problemei, reducerea este imediat ă prin scăderea relaţiilor respective. Dac ă din enunţul problemei nu rezult ă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la acela şi termen de comparaţie. 8.5.3.3. Metoda falsei ipoteze Problemele din aceast ă categorie sunt foarte numeroase. Prin aceast ă metodă poate fi rezolvată orice problem ă ale cărei date sunt m ărimi propor ţionale. Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetic ă prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situa ţia reală cu cea creat ă prin introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justific ă prin faptul c ă ipoteza care se face nu corespunde decât întâmpl ător cu rezultatul problemei. Ea se utilizeaz ă în toate cazurile în care, prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea rela ţiilor dintre datele problemei şi deci la rezolvarea ei. De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, în sensul c ă asupra m ărimii care se caută se face o presupunere complet arbitrar ă. Se reface apoi problema pe baza presupunerii f ăcute. Deoarece mărimile sunt propor ţionale, rezultatele ob ţinute pe baza presupunerii se translateaz ă în plus sau în minus, dup ă cum presupunerea f ăcută este mai mică, respectiv mai mare decât rezultatul real. Ref ăcând, aşadar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concord ă cu cel real din problem ă. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compar ă rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al câtului şi se observă de câte ori s-a greşit când s-a f ăcut presupunerea. Se ob ţine, aşadar, un num ăr cu ajutorul c ăruia se corectează presupunerea f ăcută, în sensul c ă se micşoreaz ă sau se măreşte de acest număr de ori. Metoda are şi unele variante de aplicare, dar, în principiu, ea r ămâne cea descris ă mai sus. Problemele care se rezolv ă prin această metodă se pot clasifica în dou ă categorii, în func ţie de numărul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea ra ţionamentului şi determinarea rezultatelor: 1) Probleme de categoria I pentru rezolvarea c ărora este suficientă o singură ipoteză; 2) Probleme de categoria a II-a, pentru rezolvarea c ărora sunt necesare dou ă sau mai multe ipoteze succesive. 8.5.3.4. Metoda mersului invers Prin metoda mersului invers se rezolv ă aritmetic anumite probleme în care elementul 78



necunoscut apare în faza de început a şirului de calcule care se impun. Aceast ă metodă de rezolvare a problemelor de aritmetic ă se numeşte a mersului invers, deoarece opera ţiile se reconstituie în sens invers ac ţiunii problemei, adic ă de la sfârşit spre început, fiec ărei operaţii corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplic ă atât în rezolvarea exerci ţiilor numerice care con ţin necunoscuta, cât şi în rezolvarea problemelor care se încadreaz ă în tipul respectiv, adică în care datele depind unele de altele succesiv, iar enun ţul respectivei probleme trebuie urmărit de la sfârşit spre început şi în fiecare etap ă se face opera ţia inversă celei apărute în problem ă. Deci, nu numai mersul este invers, ci şi operaţiile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problem ă. Proba se face aplicând asupra num ărului găsit operaţiile indicate în enun ţul problemei. 8.5.3.5. Regula de trei simplă Regula de trei simpl ă reprezintă o schemă de aşezare a datelor şi de utilizare a acestor date în orientarea şi desf ăşurarea procesului de gândire care intervine în examinarea şi rezolvarea unor probleme cu m ărimi propor ţionale. În problemele care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă intervin dou ă mărimi direct sau invers propor ţionale, fiecare m ărime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscută. Prin urmare, în aceast ă categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul c ărora se găseşte cea de-a patra valoare, fapt care justific ă numele pe care îl poart ă: regula de trei. Se consideră mărimile X, Y, cu perechile de valori x 1, x2, respectiv y1, y2, corespunz ătoare, în aşa fel încât: valorii x1 ∈ X îi corespunde valoarea y1 ∈ Y valorii x2 ∈ X îi corespunde valoarea y2 ∈ Y una din cele 4 valori fiind necunoscut ă. Dacă mărimile X, Y sunt direct propor ţionale, se poate scrie: x1 x2

=

x y1 sau 1 y2 y1

=

x2 , y2

proporţii în care termenul necunoscut reprezint ă cel de-al patrulea proporţional şi se poate afla ca atare. Dacă mărimile X, Y sunt invers propor ţionale, se poate scrie:

x1 x2

=

y2 x sau 1 y1 y2

=

x2 sau x 1 y1 = x2 y2. y1

Din cele de mai sus rezult ă că pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simpl ă este suficient să se aşeze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare şi calcul să se utilizeze metoda proporţiilor (aflarea celui de-al patrulea propor ţional). Dar metoda care se utilizeaz ă cu deosebire în rezolvarea problemelor prin regula de trei simpl ă este metoda reducerii la unitate. 8.5.3.6. Regula de trei compusă Problemele care se rezolv ă prin regula de trei compusă exprimă dependenţa direct sau invers proporţională a unei m ărimi faţă de alte dou ă sau mai multe m ărimi. Ele au în general caracter practic aplicativ întrucât ilustreaz ă prin elemente matematice o serie de situa ţii reale, întâlnite în viaţa de toate zilele sau în diferitele aspecte ale procesului de produc ţie. Rezolvarea unei probleme prin regula de trei compusă presupune aplicarea succesiv ă a regulii de trei simple, asociind m ărimii care con ţine necunoscuta pe rând câte una din celelalte mărimi şi exprimând valoarea necunoscut ă în func ţie de acestea. În cazul când în problem ă intervin trei mărimi, schema aşezării datelor este urm ătoarea: 79


- mărimile: - valorile:


X Y Z x1 … y1 … z1 x2 … y2 … z2

Dacă m ărimea Z, care con ţine necunoscuta z 2, este direct propor ţională cu mărimile X, Y, atunci în prima problem ă cu regula de trei simpl ă care se formuleaz ă, întâi se consideră mărimea Y constantă, având valoarea y1, astfel că Z va depinde numai de X, judecata f ăcându-se după cum urmează: x1 … y1 … z1 1 … y1 …

z1 x1

z1 x2 . ⋅ x2 = z1 ⋅ x1 x1 x Notând cu z’ valoarea z 1 ⋅ 2 a mărimii Z, corespunz ătoare valorii x 2 a m ărimii X, când x1 valoarea y1 a mărimii Y rămâne neschimbat ă, se obţine: x2 … y1 …

z’ = z 1 ⋅

x2 . x1

Se formuleaz ă a doua problem ă cu regula de trei simpl ă, considerând m ărimea X constant ă, valoarea corespunz ătoare pentru x 2 fiind z’. În aceast ă situaţie Z depinde numai de Y şi se obţine: x2 …… y1 …… z’ x2 …… 1 …… x2 …… y2 ……

z' y1

z' y2 x , unde z’ = z 1 ⋅ 2 ⋅ y2 = z’ ⋅ y1 y1 x1

deci: z2 = z1 ⋅

x 2 ⋅ y2 z sau 2 x1 ⋅ y1 z1

=

x 2 y2 . ⋅ x1 y1

În general, considerând mai multe m ărimi direct propor ţionale:

cu valorile lor:

X Y Z ..… Q P x1 …… y1 …… z1 …… q1 …… p1 x 2 …… y2 …… z2 …… q2 …… p2

unde p2 reprezintă valoarea necunoscut ă a m ărimii P, dependenţa acestei mărimi faţă de celelalte se exprimă astfel: x ⋅ y ⋅ z ⋅ ... ⋅ q 2 p 2 = p1 ⋅ 2 2 2 x1 ⋅ y1 ⋅ z1 ⋅ ... ⋅ q1 sau 80



p2 x 2 y2 z2 q2 . = ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ p1 x 1 y1 z1 q1 Dacă mărimea Z este direct proporţională cu X şi invers proporţională cu Y, se ob ţine relaţia: x ⋅y z x y z 2 = z1 ⋅ 2 1 sau 2 = 2 ⋅ 1 , x1 ⋅ y 2 z1 x1 y 2 iar dacă mărimea Z este invers proporţională atât cu X, cât şi cu Y, se ob ţine relaţia:

x1 ⋅ y1 z x y sau 2 = 1 ⋅ 1 . x 2 ⋅ y2 z1 x 2 y 2 8.5.3.7. Probleme de mi şcare Problemele de mişcare sunt acele probleme de matematic ă în care se afl ă una dintre mărimile: spaţiul (distanţa), viteza sau timpul, când se cunosc dou ă dintre ele sau diferite rela ţii între acestea. Spaţiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc.) exprimat în unit ăţi de lungime (metri, multipli sau submultipli ai acestuia). Timpul ( t) este numărul de unit ăţi de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spaţiu. Viteza (v) este numărul de unităţi de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unit ăţi de lungime pe unit ăţi de timp (exemplu: m/s, km/h). În problemele de mi şcare se va vorbi, în general, despre mişcarea uniformă a unui mobil. În acest caz se folosesc formulele: z2

=

z1 ⋅

s s s = v × t, v = , t = . t v În scopul rezolv ării problemelor de mi şcare se pot folosi metodele aritmetice: figurativ ă, a comparaţiei, a falsei ipoteze, a mersului invers, cât şi cele algebrice, de cele mai multe ori aceste metode fiind întrep ătrunse. Problemele de mi şcare se pot clasifica în mai multe grupe: 1) Probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spa ţiului, vitezei sau timpului; 2) Probleme de întâlnire, când deplasarea mobilelor se face în sensuri opuse; 3) Probleme de urmărire, când deplasarea mobilelor se face în acela şi sens. 8.5.3.8. Probleme nonstandard O categorie aparte de probleme (recreative, rebusistice, de perspicacitate), care nu se supune exigenţelor vreunui criteriu de clasificare discutat pân ă acum şi care nu permite aplicarea unei metode (înv ăţate) este cunoscută sub numele de probleme nonstandard. Această categorie include probleme în fa ţa cărora, dup ă citirea enun ţului, rezolvitorul, chiar şi cel cu experien ţă, nu reuşeşte să le introduc ă în canoanele vreunei metode de rezolvare bine ştiute. În aceast ă situaţie, gândirea şi imaginaţia sunt în plin ă activitate, elevul devenind, în situaţia în care reuşeşte rezolvarea, un creator. Conduita este creativ ă deoarece nici o problem ă nu seam ănă cu alta, de fiecare dat ă rezolvitorul fiind obligat s ă găsească o anume cale de rezolvare proprie fiec ărei probleme.

§8.6. Rezolvarea problemelor prin mai multe căi, verificarea soluţiei aflate şi scrierea formulei numerice În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe c ăi constituie o modalitate de 81



dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Aceast ă activitate impulsioneaz ă elevii la căutarea unor soluţii originale. Important este ca ei s ă înţeleagă în mod con ştient toate modalit ăţile de rezolvare, s ă le explice şi apoi s ă le reproduc ă. Verificarea (proba) soluţiei aflate pentru o problem ă dată este foarte important ă pentru realizarea scopului formativ, pentru dezvoltarea creativit ăţii gândirii elevilor. În general, proba se face pe două căi principale: 1) înlocuind rezultatele aflate, în con ţinutul problemei; în acest caz, elevul trebuie s ă poat ă încadra rezultatele (numerele) aflate în enun ţul problemei şi să poată verifica condiţionarea lor astfel ca s ă obţină datele (numerele) ini ţiale; 2) rezolvând problema în dou ă sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie s ă obţină acelaşi rezultat prin toate c ăile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia c ă soluţia problemei este bun ă. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antren ării elevului la munc ă independent ă, creatoare. Complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întreb ării contribuie în mare m ăsură la dezvoltarea flexibilit ăţii şi creativităţii gândirii. Formula numerică (sau literală) pentru rezolvarea unei probleme constituie un alt mijloc de stimulare a gândiri logice a elevilor, adesea folosit în activitatea de rezolvare a problemelor, este transpunerea rezolv ării unei probleme sub forma unui singur exerci ţiu, folosind datele problemei, sau înlocuindu-le cu litere, indiferent dac ă este sau nu încadrat ă într-o problem ă tipică. O asemenea activitate cu elevii este o munc ă de crea ţie, de gândire, de stabilire de leg ături logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exerci ţiu, ceea ce de fapt se realizeaz ă în mai multe etape, prin exerci ţii distincte. Dacă se înlocuiesc numerele din exerci ţiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare. Elevii trebuie f ăcuţi să înţeleagă, că în formula numeric ă a problemei se folosesc datele cunoscute ale acesteia, sau opera ţiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie parantezele rotunde, p ătrate sau acolade. În alc ătuirea exerciţiului trebuie s ă se ţină cont de ordinea operaţiilor din probleme, de ordinul opera ţiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca şi de proprietăţile operaţiilor (comutativitate, asociativitate). Rezolvarea exerci ţiului trebuie să conducă la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a greşit rezolvarea problemei, fie c ă s-a alcătuit sau rezolvat gre şit exerciţiul. Câmpul de aplicabilitate al acestei activit ăţi creatoare, este deschis aproape la orice lec ţie unde se rezolv ă probleme.

§8.7. Activitatea de compunere a problemelor de către elevi Compunerea problemelor de c ătre elevi ofer ă terenul cel mai fertil din domeniul activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi a inventivităţii. Activitatea de rezolvare a exerci ţiilor şi problemelor se întrep ătrunde şi se completeaz ă reciproc cu activitatea de compunere a problemelor. Rezolvarea unei probleme înv ăţate oferă mai puţin teren pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme noi, care, la rândul ei, este dep ăşită de activitatea de compunere a unor noi probleme. Creativitatea gândirii, mi şcarea ei liberă, nu se poate ob ţine decât pe baza unor depinderi corect formate. În activitatea de rezolvare a problemelor, deprinderile şi abilităţile se referă în special la analiza datelor, la capacitatea de a în ţelege întrebarea problemei şi a orienta întreaga desf ăşurare a raţionamentului în direc ţia găsirii soluţiei problemei.

82



Prin compuneri de probleme, elevii sesizeaz ă legătura care exist ă între exerci ţii şi probleme, deoarece în procesul formul ării unei probleme, elevii au în minte şi planul de rezolvare. Activitatea de compunere a problemelor prin munc ă independent ă, în clasă şi acasă, reprezintă un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independen ţă şi creativitate şi începe imediat ce elevi au în ţeles conceputul de problem ă. Este o activitate complex ă, elevul fiind obligat să respecte cerin ţa propusă şi în raport cu aceasta s ă elaboreze textul al c ărui raţionament să conducă la rezolvarea primit ă. Criteriile care determin ă complexitatea acestui gen de activitate sunt acelea şi ca la activitatea rezolutivă: stăpânirea tehnicilor de calcul, deprinderea de a realiza ra ţionamente logice, vocabular bogat, capacitatea de a selecta din multitudinea de cuno ştinţe dobândite, pe acelea care conduc la elaborarea textelor cu con ţinut realist. Se pot compune şi crea probleme în numeroase forme, într-o succesiune gradat ă: 1. Compunerea de probleme dup ă obiecte concrete, tablouri şi imagini Primele probleme create de elevi sunt asem ănătoare cu cele ale institutorului rezolvate de ei în clasă, prin folosirea de obiecte. Se trece apoi la fraza semiconcret ă, când se folosesc reprezent ările obiectelor şi, în locul ghiozdanelor, creioanelor, etc., se folosesc jetoane cu acestea. După ce elevii s-au obi şnuit să creeze probleme pe baz ă intuitivă, li se cere s ă le alcătuiască pe baza datelor scrise pe tabl ă. Se urmăreşte ca elevii să înţeleagă interdependenţa dintre enun ţ şi întrebare. 2. Compunerea unei probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior 3. Completarea întrebării unei probleme De la primele semne scrise se insist ă asupra separării întrebării de conţinut. În vederea formării şi dezvoltării deprinderii de a în ţelege cele două părţi ale problemei: enun ţul şi întrebarea, s-au compus probleme din enun ţul dat, fie când acestuia îi lipsea întrebarea, fie având întrebarea şi lipsind con ţinutul. La acelaşi enunţ pot fi puse dou ă sau mai multe întreb ări. Separarea întrebării de enun ţ şi re ţinerea ei cu claritate este o secven ţă foarte important ă în rezolvarea problemelor. Elevul trebuie orientat spre finalitatea fireasc ă: aflarea răspunsului la întrebare. Formularea întrebării este un pas înainte şi presupune din partea elevilor o vedere analitic ă asupra întregii probleme. Se poate da apoi o problem ă la care întrebarea este gre şită. După ce se rezolvă problema, se cere să se schimbe enun ţul problemei astfel încât s ă fie bună întrebarea. 4. Compunerea problemelor dup ă scheme sau dup ă desene Compunerea problemelor dup ă scheme simple şi apoi mai complicate ofer ă posibilitatea elevilor de a- şi forma deprinderi solide de formulare a problemelor. 5. Probleme de completare a datelor când se cunoa şte întrebarea Nu toţi elevii vor reuşi să completeze corect datele problemei. Cei mai mul ţi î şi aleg numere formate din zeci şi unităţi, dar întâmpină greutăţi în rezolvare având calcule cu trecere peste ordin. Vor fi probabil şi elevi care aleg la întâmplare datele problemei, f ără să gândească ce operaţii au de f ăcut cu ele. 6. Compunerea problemelor cu indicarea opera ţiilor matematice ce trebuie efectuate Se porneşte de la compuneri de probleme dup ă exerciţii simple, formulate de elevi sub îndrumarea institutorului şi apoi independent. Dacă elevii ştiu să alc ătuiască corect şi cu uşurinţă probleme dup ă o singură operaţie, li se poate cere apoi s ă compună probleme indiferent de num ărul de operaţii. Un accent deosebit trebuie pus pe formularea unor probleme compuse, care ridic ă probleme deosebite. 83



După ce elevii stăpânesc bine compunerea problemelor dup ă formule numerice, se va trece la compunerea lor dup ă formule literale. Formulele literale dau posibilitatea elevului s ă-şi aleagă singur numerele şi domeniul. 7. Compunerea de probleme dup ă un plan stabilit În momentul în care elevii ştiu să rezolve corect şi conştient problemele compuse pe baz ă de plan, se poate da elevilor un plan de rezolvare, dup ă care să alcătuiască o problem ă. Înainte de a formula problema, se analizeaz ă despre ce se vorbe şte în problemă, ce conţin întrebările, ce date numerice se folosesc. 8. Compunerea problemelor cu început dat 9. Compunerea de probleme cu m ărimi date, cu valori numerice date 10. Probleme cu date incomplete Unii elevi vor sesiza imediat lipsa unei date, al ţii însă î şi vor da seama de acest lucru numai când se vor apuca de lucru. 11. Probleme cu date suplimentare Aceste probleme solicit ă gândirea elevilor, dezvolt ă atenţia şi-i depistează pe cei care lucrează mecanic, f ără să analizeze suficient datele problemei. 12. Compunerea de probleme cu corectarea con ţinutului şi modificarea datelor Elevii vor fi solicita ţi să confrunte datele problemei şi vor observa gre şelile sau incorectitudinea întreb ării. Ei pot corecta enun ţul problemei în mai multe variante. 13. Probleme cu mai multe soluţii şi probleme f ără soluţie Viaţa, realitatea, demonstreaz ă că nu toate situa ţiile - problemă care se întâlnesc au o soluţionare unică sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe solu ţii (conducând la altă problemă: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în func ţie de condi ţiile date), iar altele nu admit solu ţii. Cum matematica trebuie s ă modeleze realitatea, este necesar a introduce şi pentru elev astfel de probleme, cu solu ţii multiple sau f ără soluţie. Se oferă astfel multor elevi posibilitatea s ă-şi prezinte propria rezolvare (corect ă), se obişnuiesc cu existen ţa unor astfel de probleme, sau a unor probleme de decizie (alegerea solu ţiei celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de vedere). După rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie s ă aibă o interven ţie centralizatoare, enumerând solu ţiile găsite (eventual ordonându-le dup ă un anumit criteriu), sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea c ă nu au fost omise solu ţii), propunând alegerea celei mai bune solu ţii (în anumite condi ţii şi dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la elucidarea situaţiei. În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul s ă utilizeze date în concordanţă cu realitatea, mijloace şi procedee care s ă ofere elevilor împrejur ări de viaţă corespunzătoare, acţiuni veridice, s ă stabilească între datele problemei rela ţii matematice corespunzătoare. În activitatea de compunere a problemelor trebuie s ă se ţină seama de posibilit ăţile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liber ă la cea îngr ădită de cerin ţe din ce în ce mai restrictive. Institutorul are sarcina s ă conducă această activitate prin indica ţii clare, prin exemple sugestive, prin cerin ţe raţionale, să canalizeze gândirea şi atenţia elevilor prin asocieri din ce în ce mai puţin întâmplătoare. În acela şi timp trebuie să-i facă pe elevi s ă aib ă încredere în ei, s ă le stimuleze eforturile intelectuale, s ă le educe calit ăţile moral-volitive, s ă le dezvolte interesul şi sensibilitatea, să fie receptivi la situa ţiile problematice cu con ţinut matematic. Posibilităţile intelectuale ale elevilor permit rezolvarea unor probleme de dificultate, în m ăsura în care ei dispun de o anumit ă experienţă şi de competen ţe necesare activit ăţii de rezolvare a 84



problemelor. Rezolvarea problemelor cu variante constituie un exerci ţiu de cultivare a flexibilit ăţii gândirii, cu condi ţia de a face din această activitate un antrenament sistematic şi permanent. Este de dorit ca periodic s ă se facă investigaţii în rândul elevilor pentru stabilirea nivelului lor de cunoa ştere, pentru constatarea gradului de competen ţă în rezolvarea şi compunerea problemelor de matematic ă, pentru depistarea la timp a eventualelor r ămâneri în urm ă la învăţătură, pentru a asigura progresul fiec ărui elev în parte. Se recomandă, de asemenea, ca atât compunerea problemelor, cât şi rezolvarea acestora s ă se facă şi în situaţii de joc didactic. Competi ţia generată de joc va contribui nu numai la activizarea intelectual ă a copiilor, cât şi la formarea personalit ăţii lor. S-ar putea g ăsi, crea şi folosi o mulţime de forme şi procedee, cum ar fi: -care echipă compune prima, corect şi frumos, o problem ă după anumite cerin ţe; -o echipă să formuleze con ţinutul problemei şi cealaltă întrebarea, iar rezolvarea ei s ă se facă de ambele echipe simultan; -să se găsească de către fiecare echip ă cât mai multe întreb ări la un con ţinut dat, sau mai multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse; -să se elimine dintr-un enun ţ datele de prisos, sau s ă se corecteze un enun ţ formulat intenţionat greşit, etc. Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor, institutorul s ă aibă permanent în atenţie îmbunătăţirea continu ă a exprimării corecte a copiilor, atât din punct de vedere matematic cât şi gramatical, îmbog ăţirea vocabularului matematic, cre şterea continuă a volumului lor de cunoştinţe, de transfer şi de folosire a acestora în practic ă. Compunerea de probleme la clasele I-IV poate constitui o premis ă reală şi eficientă pentru o viitoare munc ă de cercetare, pentru activitatea ulterioar ă de creaţie şi cu siguranţă o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al înv ăţământului matematic din ciclul primar, în strâns ă corelaţie cu celelalte discipline de înv ăţământ.

Test de autoevaluare 1. Enumeraţi valenţele formative ale activit ăţilor de rezolvare şi compunere a problemelor de matematică. 2. Descrieţi etapele rezolvării unei probleme de matematic ă. 3. Explicaţi în ce const ă metoda analitică de rezolvare a unei probleme. Exemplifica ţi întocmind şi schema. 4. Compuneţi câte o problem ă din fiecare tip prezentat în teorie. 5. Prezentaţi un demers didactic complet vizând rezolvarea urm ătoarei probleme: Câtul a două numere naturale este 6, iar restul 13. Care sunt numerele dac ă diferenţa lor este 463.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 8.2. (Valen ţele formative ale activit ăţilor rezolutive). 2. Revezi 8.3. (Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă). 3. Revezi 8.4. (Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetic ă- I1 Metoda analitic ă). 4. Revezi 8.7. (Activitatea de compunere a problemelor de c ătre elevi). 5. Revezi 8.3. ; 8.5.3. şi 8.5.3.1. (Etapele rezolv ării problemelor de matematic ă; Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematic ă -Metoda figurativ ă). R:553; 90.

Lucrare de verificare 3 1. Definiţi metoda sintetică de rezolvare a unei probleme de matematic ă. Prezentaţi avantajele şi dezavantajele care apar în folosirea acestei metode. 2. Compuneţi două probleme simple de înmul ţire şi împărţire. 85



3. Alegeţi una dintre etapele rezolv ării unei probleme compuse şi precizaţi activităţile ce se desf ăşoară în această etapă. 4. Prezentaţi un demers didactic complet vizând rezolvarea urm ătoarei probleme: Dacă pe fiecare banc ă dintr-un parc se a şează câte 5 persoane, atunci 10 persoane nu au loc, dar dac ă se aşează câte 6 persoane pe fiecare banc ă, atunci rămân 5 bănci libere. Câte bănci şi câte persoane sunt în parc? 5. Consideraţi că însuşirea algoritmilor de rezolvare a problemelor tipice conduce la şabloane, la re ţete în detrimentul gândirii, sau o ajut ă, o elibereaz ă, îi dă frâu liber? Motivaţi. Sugestii pentru acordarea punctajului: Oficiu: 10 puncte Subiectul 1: 10 puncte Subiectul 2: 10 puncte Subiectul 3: 10 puncte Subiectul 4: 50 puncte Subiectul 5: 10 puncte

Rezumat Această unitate de învăţare este dedicat ă însuşirii de cunoştinţe, tehnici, priceperi şi deprinderi temeinice, privind activit ăţile de rezolvare şi compunere a problemelor la şcolarii mici precum şi dobândirii capacit ăţilor de a conduce metodic aceste activit ăţi. Este evidenţiată noţiunea de problem ă matematică, precum şi importanţa activităţilor rezolutive. Sunt analizate etapele rezolvării problemelor de matematic ă şi metodele de rezolvare a acestora. Sunt prezentate principalele categorii de probleme care se întâlnesc în clasele I-IV: problemele simple; problemele compuse; problemele care se rezolv ă prin metodele: figurativ ă, a comparaţiei, a falsei ipoteze, a mersului invers, probleme care se rezolv ă prin regula de trei simpl ă sau de trei compus ă, probleme de mi şcare, nonstandard. Se insistă asupra rezolvării problemelor prin mai multe c ăi, cu verificarea solu ţiei găsite şi scrierea formulei numerice, dar şi pe complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întreb ării acesteia. Sunt prezentate diferitele modalit ăţi folosite în activitatea de compunere a problemelor.

Bibliografie Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite şti, 2005. Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Neacşu, I., (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Roşu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV). ***SNEE, CNC, Descriptori de performan ţă pentru înv ăţământul primar, Editura ProGnosis. 86

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane

Unitatea de învăţare nr. 9 PROBLEME SPECIFICE ALE PREDĂRII-ÎNVĂŢĂRII MATEMATICII ÎN CONDIŢIILE MUNCII SIMULTANE Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare……………………………………………………….. 87 §9.1. Elemente de planificare, proiectare şi organizare a activit ăţii simultane……………87 9.1.1. Particularit ăţile procesului de predare-înv ăţ are în înv ăţă mântul simultan.. 87 9.1.2. Gruparea claselor şi repartizarea pe institutori…………………………………. 88 9.1.3. Alcătuirea orarului…………………………………………………………….. 89 9.1.4. Planificarea activit ăţii didactice………………………………………………... 89 §9.2. Model de activitate didactic ă (sugestie metodic ă). Proiect de lec ţie…………… 92 §9.3. Aspecte metodice privind activitatea independent ă a elevilor…………………….. 95 9.3.1.Importan ţa activităţii independente…………………………………………. 95 9.3.2. Cerinţe pe care trebuie să le îndeplinească activitatea independent ă a elevilor… 95 9.3.3. Forme de activitate independent ă…………………………………………… 96 9.3.4. Controlul şi evaluarea activit ăţii independente………………………….. 97 Test de autoevaluare……………………………………………………………………… 98 Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare ……………………………………… 98 Rezumat…………………………………………………………………………………... 98 Bibliografie………………………………………………………………………………. 98

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de înv ăţare, studenţii vor fi capabili: -să aplice metodologia pred ării-învăţării matematicii în condi ţiile muncii simultane la clasele I-IV; -să cunoască particularităţile procesului de predare-învăţare în învăţământul simultan; -să se familiarizeze cu specificul activit ăţii de planificare şi proiectare a activit ăţii didactice şi de realizare a orarului în înv ăţământul simultan; -să conştientizeze importanţa activităţii independente a elevilor în înv ăţământul simultan.

§9.1. Elemente de planificare, proiectare şi organizare a activităţii simultane 9.1.1. Particularităţ ile procesului de predare-învăţ are în învăţă mântul simultan. Proiectarea, organizarea şi desf ăşurarea procesului de înv ăţământ la clase simultane, apare ca necesară în anumite cazuri, cum ar fi: existen ţa unei popula ţii şcolare reduse, sau a unor aşezări rurale mai îndep ărtate. Institutorul trebuie, în aceste situa ţii, să-şi desf ăşoare activitatea cu două (respectiv patru) categorii de elevi de vârste diferite, s ă conducă învăţarea după programe diferite, trecând de la o tem ă la alta în cadrul aceleia şi lecţii, prestând astfel o munc ă dificilă şi complexă pentru a respecta în întregime programele şcolare pentru fiecare clas ă, ca şi timpul normal afectat pentru realizarea acestora. Singura modalitate prin care se pot realiza aceste obiective este alternarea momentelor de muncă independent ă cu activităţi ce au loc sub directa îndrumare a institutorului. Elevii fiec ărei clase î şi pot însuşi cunoştinţele, î şi pot forma priceperile, deprinderile şi atitudinile prev ăzute în program ă, numai printr-o organizare corespunz ătoare, riguroas ă a muncii lor. Particularităţile activităţii didactice simultane: -comparativ cu lec ţia obişnuită, ritmul de lucru este alert, deoarece institutorul acord ă doar o parte din timp pentru activitatea desf ăşurată efectiv cu elevii în scopul îndeplinirii sarcinilor impuse de programa şcolară; 87

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane -în timpul desf ăşurării unei activit ăţi directe cu una dintre clase este solicitat ă capacitatea cadrului didactic de a- şi distribui atenţia în urm ărirea şi a elevilor celorlalte clase, care au activităţi independente; -cu importanţă în reuşita lecţiei este şi alegerea judicioas ă a subiectelor lucr ărilor independente efectuate în clas ă sau acasă, precum şi dozarea materialului pentru clasele cu care se lucrează direct. Realizarea acestor cerin ţe, presupune desf ăşurarea zilnică a unei temeinice pregătiri ştiinţifice şi metodice; -specificul activit ăţii simultane se reflect ă şi în elaborarea tuturor documentelor şcolare: orar, planificare calendaristic ă, proiecte de lecţie.

Avantajele activităţii simultane: -pregătirea unui num ăr mic de elevi; -varietatea formelor de activitate din cadrul lec ţiei; -se poate preîntâmpina e şecul şcolar deoarece exist ă condiţii mai bune pentru: evaluarea nivelului de cuno ştinţe al elevilor, pentru urm ărirea progresului la înv ăţătură, pentru formarea şi consolidarea deprinderilor de munc ă independent ă, datorită numărului mic de elevi dintr-o clas ă; -prin cunoa şterea îndeaproape a fiec ărui elev, institutorul reu şeşte să alcătuiască colective omogene în fiecare clas ă, caracterizate prin colaborare şi cooperare între copii şi care să fie integrate organic în colectivul mare al claselor care- şi desf ăşoară activitatea simultan; -se formează la elevi deprinderi de citire, scriere şi calcul, datorit ă faptului că înv ăţarea se produce, o mare parte din timp, sub forma muncii independente. Aceasta constituie o condi ţie principală a succesului şcolar; -activitatea independent ă le conferă elevilor o încredere în for ţele proprii, îi face s ă fie creatori şi inventivi. 9.1.2. Gruparea claselor şi repartizarea pe institutori. Iscusinţa institutorului de a folosi echilibrat timpul prev ăzut pentru munca independent ă a elevilor, ca şi distribuirea corespunz ătoare a claselor între institutori joac ă un rol important în asigurarea succesului la înv ăţătură al copiilor. Experien ţa arată că cel mai indicat mod de repartizare este acela în care unui institutor i se încredin ţează clasele I şi a III-a, iar altuia, clasele a II-a şi a IV-a, atunci când în şcoală există dou ă posturi, deoarece trebuie avut în vedere faptul că elevii mici (clasa I şi a II-a) nu au formate deprinderile de munc ă independent ă, institutorul fiind nevoit s ă lucreze în mod direct mai mult cu aceste clase. Stadiul de formare al deprinderilor de muncă independent ă la elevii claselor a III-a şi a IV-a este în progres, ace ştia fiind capabili s ă îndeplinească singuri unele sarcini. Un alt avantaj al modului de împ ărţire a claselor men ţionat mai sus, este că acelaşi cadru didactic poate avea continuitate la clas ă până sfârşitul unui ciclu şcolar, nefiind în situa ţia să renunţe la elevii cu care a lucrat un an, deoarece, dac ă într-un an şcolar a avut clasele I şi a III-a, anul viitor va avea a II-a şi a IV-a, iar în anul urm ător, din nou clasa I şi a III-a. În situaţia în care num ărul de elevi este mic şi şcoala funcţionează cu un singur institutor pot apărea urm ătoarele situaţii: -institutorul lucreaz ă cu toate cele patru clase şi atunci elevii claselor I şi a III-a încep programul de la ora 8 pân ă la 10, apoi împreun ă cu clasele a II-a şi a IV-a până la orele 12 sau 13, activitatea continuând cu clasele a II-a şi a IV-a până la orele 14 sau 15; -institutorul lucreaz ă cu clasele I, a II-a şi a III-a. În aceast ă situaţie se lucreaz ă pân ă la ora 10 cu clasele I şi a III-a, apoi şi cu clasa a II-a pân ă la 12 sau 13, r ămânând cu clasa a II-a până la orele 14 sau 15; -institutorul lucreaz ă cu clasele I, a II-a şi a IV-a. Elevii din clasa I vor veni diminea ţa, urmând ca s ă se lucreze cu toate clasele de la ora 10; -institutorul lucreaz ă cu clasele a II-a, a III-a şi a IV-a. Este indicat s ă se cupleze clasele a II-a cu a III-a diminea ţa, iar cu clasa a IV-a de la 10, pentru a se acorda mai mult timp clasei 88


terminale. Un alt criteriu de cuplare a claselor îl constituie şi numărul de copii din fiecare clas ă.

9.1.3. Alcătuirea orarului De o mare importan ţă în realizarea sarcinilor complexe ale procesului de înv ăţământ, desf ăşurat în condi ţii de activitate simultan ă, este organizarea zilnic ă a activităţii pe baza unui orar bine gândit. În vederea întocmirii acestui document de baz ă al institutorului trebuie s ă se ţină seama de unele indicaţii pedagogice, cum ar fi: -asigurarea cupl ării unor materii, care asigur ă posibilităţi optime de alternare a muncii directe a institutorului, cu activitatea independent ă a elevilor; -respectarea curbei de efort a elevului în cadrul unei zile şi al unei s ăptămâni; -programarea orelor care apar ţin aceleiaşi discipline la intervale aproximativ egale de timp în cursul unei săptămâni; -realizarea unei îmbin ări armonioase a obiectelor de studiu. În acest scop trebuie s ă urmărească îndeplinirea urm ătoarelor obiective: -planificarea simultan ă a unor obiecte care fac posibil ă folosirea unor tipuri de lec ţii diferite în cadrul aceleia şi ore; -alegerea corect ă a obiectelor care se predau în aceea şi oră, la clase diferite, pentru a permite acordarea de tip suficient muncii directe cu clasa, sau la obiectul care solicit ă acest lucru; -matematica şi comunicarea nu se pot programa mai târziu de ora a III-a; -nu se pot cupla în aceea şi oră citirea cu comunicarea simultan la dou ă clase; -se pot planifica lec ţii de matematic ă la ambele clase, dat fiind num ărul egal de ore prevăzut în planul cadru pentru înv ăţământul primar obligatoriu (trunchiul comun). Cerinţele de mai sus î şi găsesc o bună rezolvare prin cuplarea claselor a şa cum s-a ar ătat în paragraful precedent şi prin folosirea orarului prelungit (6-7 ore zilnic). Acest mod de lucru are urm ătoarele avantaje: -asigură timp suficient pentru munca direct ă a institutorului cu clasa; -dă posibilitatea acord ării unei importan ţe deosebite orelor de matematic ă şi de limba română, în cadrul cărora se formeaz ă şi consolidează cunoştinţe şi deprinderi de munc ă intelectuală; -se pot utiliza strategii mai variate pentru a-i antrena pe elevi în dezvoltarea vocabularului matematic; -previne suprasolicitarea elevilor; -permite folosirea în condi ţii mai bune a activit ăţii diferenţiate cu elevii, stimulând capacităţile intelectuale ale celor cu ritm rapid de lucru şi înlăturând rămânerile în urm ă pentru elevii cu rezultate slabe la înv ăţătură; -creează condiţii pentru o mai bun ă evaluare a randamentului şcolar, în scopul depist ării şi înlăturării greşelilor şi lacunelor în cuno ştinţe, deprinderi şi priceperi. Institutorul va urm ări, în scopul alc ătuirii orarului, s ă planifice în orele când se lucreaz ă cu o singură clasă (sau cu dou ă, dacă activitatea se desf ăşoară la patru clase) obiectele care solicit ă mai mult timp pentru îndrumarea direct ă, urmând ca în celelalte ore s ă fie prevăzute obiecte care oferă posibilităţi mai variate de munc ă independent ă.

9.1.4. Planificarea activităţii didactice Organizarea activit ăţii în condiţiile învăţământului simultan, necesit ă elaborarea unei planificări calendaristice, din care s ă rezulte paralelismul optim ce caracterizeaz ă activitatea la 89

Purcaru Monica Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane aceste clase, întocmirea orarului şi a proiectelor de lec ţii, deoarece aceste documente au o structură deosebită faţă de cele întocmite pentru predarea la o singur ă clasă. Este indicat ca structura formal ă a planific ării să fie realizat ă în a şa fel, încât s ă fie uşor de urmărit atât gruparea lec ţiilor, cât şi conţinutul muncii independente care alterneaz ă cu activitatea directă a institutorului. Planificarea calendaristic ă pentru fiecare obiect de studiu se va realiza ca în situa ţia când se lucrează cu o singură clasă. Planificarea anual ă, semestrială, iar în cazul muncii simultane şi săptămânală, trebuie să aibă o rubrica ţie simplă, care să ducă la realizarea şi parcurgerea întregii materii. Planificarea s ăptămânală rezultată din planificarea semestrial ă va uşura activitatea, în sensul că institutorul va şti precis cum s ă cupleze obiectele din orarul s ăptămânii, ţinând cont de

curba de efort a elevilor. Sunt posibile trei tipuri ti puri fundamentale de lec ţii: -lecţii de dobândire de noi cuno ştinţe la fiecare clas ă; -lecţii în care într-o clas ă se dobândesc cuno ştinţe noi, iar în cealalt ă se consolideaz ă sau se verifică conţinutul lecţiei anterioare; -lecţii de consolidare sau verificare la toate clasele. Cel mai dificil de rezolvat sunt lec ţiile de dobândire de noi cuno ştinţe, simultan, dat ă fiind dificultatea îmbin ării muncii independente a elevilor cu activitatea desf ăşurat ă sub directa îndrumare a institutorului. Acest mod de cuplare a lec lec ţiilor prezint ă dificultăţi şi din cauză că în cadrul aceleia şi ore de curs institutorul trebuie ca, simultan, s ă dirijeze dobândirea şi fixarea de cunoştinţe la fiecare clas ă. Mai uşor de realizat sunt lec ţiile în care la o clas ă se dobândesc noi cuno ştinţe, iar la alta se repet ă cunoştinţele. Se va începe activitatea cu clasa la care scopul principal este predarea învăţarea de noi cuno ştinţe, în timp ce elevii celeilalte clase vor efectua în mod independent exerciţii din materia care se repet ă. După ce se termină predarea noilor cuno ştinţe, se dă tema (sarcina) ce va fi efectuat ă în mod independent, în timp ce institutorul controleaz ă activităţile celeilalte clase. În cazul lec ţiilor de consolidare a cuno ştinţelor, priceperilor şi deprinderilor la anumite clase, se va da uneia din clase activitate independent ă, iar cu cealalt ă se va lucra direct, circa 20 minute, apoi se inverseaz ă activitatea direct ă a institutorului şi cea independent ă a elevilor. În acest mod ambele clase vor avea 20-25 minute de munc ă sub îndrumarea direct ă a cadrului didactic şi aproximativ acela şi interval de timp pentru munca independent ă. Din punct de vedere metodic este bine ca institutorul s ă înceapă lecţia cu clasa unde se ăşura mai u şor o lucrare independent ă, sau unde tema pentru munca independent ă poate desf ăş poate fi precedat ă de exerciţii orale sau de o discu ţie cu elevii. Dac ă într-o lec ţie institutorul intenţionează să dea o sarcin ă de muncă independent ă uneia dintre clase, atunci el trebuie s ă înceapă munca cu aceast ă clasă. După ce li s-a precizat tema (sarcina) pentru activitatea independentă, copiii pot lucra singuri în cursul întregii lec ţii. În lecţiile de acest tip este obligatorie munca direct ă a cadrului didactic cu elevii ambelor clase, atât pentru explicarea temei date ca munc ă independent ă, cât şi în finalul ei, pentru verificarea realiz ării obiectivelor propuse. Institutorul trebuie s ă acorde o aten ţie deosebită pregătirii lecţiilor şi folosirii fiec ărui moment al lec ţiei, în scopul asigur ării densităţii necesare acesteia. Proiectele de lecţie realizate în vederea pred ării matematicii în condi ţii de activitate simultană, trebuie ca pe lâng ă datele generale cunoscute, s ă cuprind ă principalele secven ţe specifice lecţiilor de acest tip şi conţinutul acestora, cu alternative pentru activitatea independentă conţinând şi fişe de diferen ţiere a sarcinilor didactice pentru unii elevi, pe baza progreselor survenite în urma desf ăş ăşurării lec ţiilor anterioare, dac ă este cazul. În cadrul

90

Purcaru Monica Monica Ana Paraschiva Probleme specifice specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane

proiectului de lec ţie, secvenţele de activitate direct ă a institutorului cu elevii unei clase, trebuie clar delimitate de momentele de activitate independent ă pentru elevii celeilalte clase. Ţinând cont de rolul esen ţial al activităţii independente în condi ţiile muncii simultane, este necesar să se realizeze o judicioas ă selectare, dozare şi un control exigent, eventual un autocontrol al îndeplinirii sarcinilor. Pentru activitatea independent ă trebuie alese teme variate şi dozate astfel încât s ă stimuleze participarea elevilor la lec ţie. În predarea lec ţiilor în condi ţiile activit ăţii simultane, trebuie s ă se folosească în special metodele active. Trebuie bine realizat ă evaluarea randamentului şcolar al elevilor în vederea prevenirii eşecului şcolar. În proiectarea şi desf ăş ăşurarea actului didactic institutorul trebuie s ă dovedeasc ă flexibilitate prin aplicarea unor m ăsuri corective în func ţie de condi ţiile şi evoluţia elevilor din clasele cuplate, prin complet ări sau modific ări în planificare (s ăptămânal) sau în orar (dac ă este cazul). Activitatea didactică în condi ţiile predării orelor de matematic ă la mai multe clase în acelaşi timp, poate fi sintetizat ă în modul urm ător: -se va da mai întâi o sarcin ă scrisă de munc ă independent ă nu prea mare ca volum clasei de care institutorul inten ţionează să se ocupe în primul rând; -cealaltă clasă va rezolva o tem ă în continuarea exerci ţiilor din lec ţia precedent ă sau o sarcină de muncă independent ă pregătită anterior şi a cărei durată trebuie s ă fie egală cu durata activităţii directe din prima clas ă; -se controleaz ă munca independent ă a elevilor din clasa cu care institutorul şi-a început lecţia, se explică lec ţia nouă sau se rezolv ă exerciţii şi probleme tipice sub directa lui îndrumare şi se încheie activitatea direct ă, apoi se d ă elevilor tema pentru munca independent ă în clasă şi acasă; -institutorul controleaz ă munca independent ă a elevilor celeilalte clase şi dă îndrumări pentru continuarea ei, sau, dup ă caz, continu ă activitatea, îndrumând elevii sau explicând elemente din noul con ţinut şi dă apoi şi pentru aceast ă clasă muncă independent ă în clas ă şi acasă, vizând fixarea cuno ştinţelor noi sau consolidarea cuno ştinţelor şi deprinderilor (în func ţie de tipul lecţiei). Momentele lecţiei în activitatea simultană sunt redate în tabelul urm ător: Evenimentul Evenimentul instrucţ instrucţional şi activitatea de instruire (predare-învăţ (predare-învăţare) are) Clasă Clasă cu elevi mai mici (I, II) Captarea atenţ atenţiei (I) •

5 min.

•

Activitate independent ă

2 min. 3 min.

•

Activitate direct direc t ă

5 min.

•

Activitate independent ă Activitate direct direc t ă

Activitate independent indep endent ă

Prezentarea conţ conţinutului şi a sarcinilor de învăţ învăţare are (IV) •

Clasă Clasă cu elevi mai mari (III, IV)

Activitate direc t ă

Enunţ Enunţarea obiectivelor (II) Recapitularea celor însuş însuşite anterior (III) - reactualizarea cuno ştinţelor •

Timpul

Activitate direc t ă

Dirijarea învăţă învăţării rii şi obţ obţinerea performanţ performanţelor (V-VI) 15 min. (2 min.) - realizarea sarcinii I (5 min.) - realizarea sarcinii II (3 min.) …………………………. 2 min. Asigurarea feed-back-ului feed-back-ului (VII) 91

•

Purcaru Monica Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane

(aprecierea grupului de elevi) •

Activitate independent indep endent ă

Evaluarea formativă formativă (VIII) - aplicarea testului formativ (autoevaluarea, comunicarea rezultatelor)

13 min.

•

Activitate independent ă

Activitate direct direc t ă Sarcini pentru acasă •

Asigurarea retenţ retenţiei (fixă (fixării) şi transferului (IX-X) Comunicarea Comunicarea temei pentru acas ă - sarcinile fixate pe obiective actuale şi viitoare

5 min.

Sarcini pentru acasă

§9.2. §9.2. Model de activitate didactică didactică (sugestie metodică metodică). Proiect de lecţ lecţie. Clasa: II Obiectul: Matematică Subiectul lecţiei: Adunarea unui num ăr format din zeci şi unităţi cu un num ăr format numai din unităţi. Tipul lecţiei: de comunicare-asimilare de noi cunoştinţe. Obiectivul fundamental: însuşirea procedeului ăşurat şi de efectuare a adun ării, prin calcul desf ăş direct, a unui num ăr format din zeci şi unităţi cu un num ăr format din unit ăţi simple. Obiective operaţionale: O1 - să descompun ă numerele cuprinse între 20 şi 100 în zeci şi unit ăţi; O2 - să folosească diferite materiale didactice (riglete, bile, be ţişoare, etc.) pentru în ţelegerea tehnicii de calcul; O3 - s ă stabilească rezultatele conform descriptorilor stabili ţi; O4 - să selecteze dintr-o list ă de exerciţii pe acelea care au acela şi rezultat; O5 - să folosească cazul de adunare înv ăţat în probleme simple, date de institutor sau formulate de elevi, sau sugerate prin imagini. Metode şi procedee: explicaţia, demonstraţia, exerciţiul, lucrul cu manualul, munca independentă. Mijloace de învăţământ: riglete, num ărători cu bile, beţişoare, planşe ilustrative. Forme de organizare: frontală, individual ă. Material bibliografic: Programa de matematică; Manualul de matematic ă pentru clasa II; Caietul elevului; Metodica pred ării 92

Clasa: a IV-a Obiectul: Matematică Subiectul lecţiei: Adunarea şi scăderea numerelor naturale peste 1000 - exerci ţii şi probleme recapitulative. Tipul lecţiei: de formare a priceperilor şi deprinderilor. Obiectivul fundamental: formarea deprinderii de a rezolva exerci ţii şi probleme cu adun ări şi scăderi ale numerelor naturale peste 1000. Obiective operaţionale: O1 - s ă utilizeze regulile de adunare şi scădere a numerelor naturale peste 1000, conform descriptorilor stabili ţi; O2 - să determine termenul necunoscut la adunare şi scădere cu numere care trec peste 1000; O3 - să selecteze, dintr-o list ă de numere, pe acelea care îndeplinesc anumite condi ţii; O4 - să formuleze şi s ă scrie corect planul logic şi opera ţiile unor probleme aplicative date; O5 - să compună probleme pe baza unor formule numerice. O6 - să testeze valoarea de adev ăr a unei rela ţii în cazul înlocuirii variabilei cu numere numere date. Metode şi procedee: exerciţiul, conversa ţia, problematizarea, munca independent ă. Mijloace de învăţământ: fişe de muncă independentă, manualul, caietul. Forme de organizare: frontală, individual ă. Material bibliografic: Programa de matematică; Manualul de matematic ă pentru -


matematicii la clasele I-IV; Culegere de clasa a IV-a; Caietul elevului; Metodica probleme de matematic ă pentru clasele I-IV. predării matematicii la clasele I-IV; Culegere de probleme de matematic ă pentru clasele I-IV. Desf ăşurarea lecţiei

I. Reactualizarea cunoştinţelor Activitate independent ă (10 min.) Elevii lucreaz ă pe fi şe: a) Să se calculeze: 6+3 20 + 3 60 + 30 3 + 20 6 + 30 23 - 3 60 + 3 23 - 20 b) Să se determine termenul necunoscut: 30 + a = 36 70 + d = 74 b + 6 = 67 d + 50 = 55 c + 40 = 43 20 + e = 27

I. Reactualizarea cunoştinţelor Activitate direct ă (10 min.) 1. Verificarea temei de acas ă. 2. Exerciţii de calcul oral. Elevii răspund oral: 300 + 500 = 1540 + 1300 = 460000 + 120000 = 6900 - 5400 = 24000 - 15000 = 880000 - 190000 = 3. Rezolvarea problemei: Alina a cumpărat 8 bomboane cu lapte a 126 lei bomboana şi 6 bomboane cu fructe a 94 lei bomboana. Câ ţi lei a pl ătit Alina? Fiecare elev î şi întocmeşte pe caiet schema problemei. ♦

II. Asigurarea conexiunii inverse Institutorul face observa ţii şi aprecieri asupra etapelor de lucru şi a rezultatelor ob ţinute de elevi. Activitate direct ă (20 min.) Institutorul controleaz ă şi apreciaz ă activitatea independent ă a elevilor.

II. Enunţarea scopului şi a obiectivelor III. Prezentarea noului conţinut al învăţării 1. Institutorul prezintă problema: ♦ Maria are 56 de baloane. A mai cumpărat 4 baloane. Câte baloane are acum Maria? Elevii, orientaţi de institutor, vor analiza problema, observând c ă: - rezolvarea problemei se face pe baza adunării a doi termeni; - primul termen al adun ării este format

III. Evaluarea cunoştinţelor Activitate independent ă (20 min.) 4. Lucrul elevilor pe fi şe: Grupa I: a) Să se calculeze şi să se facă proba (prin adunare şi scădere): 12341 + 1960 = 196012 + 43149 = b) Să se determine termenul necunoscut din: x + 1649 = 23143 x - 394160 = 43192 96149 - x = 14848 c) Într-un aprozar erau 23920 kg de cartofi şi cu 1643 kg mai multe ro şii decât cartofi. Câte kg de cartofi şi roşii erau la un loc în aprozar? Grupa a II-a: 93


numai din zeci şi unităţi; a) Să se calculeze: - al doilea termen al adun ării este format 93956 - 233 × 4 = numai din unit ăţi simple. (143 × 9) + (195 × 7) = b) Să se determine termenul necunoscut din: IV. Dirijarea învăţării Efectuaţi adunările cu ajutorul materialului 19140 + x = 46119 + 23192 didactic. 201149 + 121400 = x + 53120 Elevii folosesc riglete şi lucrează c) Într-un magazin de juc ării s-au vândut într-o concomitent cu institutorul care folose şte lună 15129 de mingi. Dintre acestea 8326 au numărătoarea. fost de culoare ro şie, cu 2142 mai pu ţine de Institutorul scrie pe tabl ă, iar elevii scriu pe culoare albastră decât cele ro şii, iar restul verzi. caiete etapele intermediare ale opera ţiei. Câte mingi de culoare verde s-au vândut? 56 + 4 = 50 + 6 + 4 = 50 + 10 = 60 4 + 56 = 4 + 50 + 6 = 4 + 6 + 50 = 10 + 50 = 60

2. Efectuarea adun ării 85 + 4. Un elev lucrează la tabl ă şi ceilalţi în bănci. 3. Prezentarea lec ţiei din manual. Elevii numiţi vor citi, pe rând, adun ările rezolvate în manual. V. Obţinerea performanţei Activitate independent ă (10 min.) Elevii rezolvă următoarele adun ări, scriind şi etapele intermediare: 36 + 2 9 + 48 8 + 23 28 + 5 82 + 6 84 + 7

Activitate direct ă (10 min.) Institutorul observ ă modul cum fişele.

au rezolvat elevii

Trei elevi care au lucrat bine prezint ă pe rând, etapele şi soluţiile corecte. Elevii î şi autocorecteaz ă lucrările.

Asigurarea conexiunii inverse Institutorul stabile şte nivelul de realizare a sarcinilor pe întreaga clas ă şi pe fiecare elev. IV. Intensificarea reten ţiei şi asigurarea transferului cunoştinţelor Elevii vor formula o alt ă problem ă, utilizând datele unei probleme din manual. Elevii vor compune o alt ă problemă, folosind enunţul problemei de mai sus, schimbând datele. Activitate direct ă (6 min.)

Activitate independent ă (6 min.)

94


Institutorul verific ă rezultatele şi comunică Elevii lucrează pe fişe: elevilor nivelul la care au ajuns în atingerea a) Să se afle diferen ţa dintre produsul numerelor 5 obiectivelor. şi 213 şi, respectiv câtul numerelor 215 şi 5. VI. Asigurarea transferului cunoştinţelor b) Compuneţi şi rezolvaţi o problem ă după Elevii compun şi rezolvă probleme dup ă formula numeric ă: ilustraţii. 12921 + 43 × 5. Exemple: 1.Într-o clas ă de elevi erau 15 b ăieţi şi 9 fete. Câţi elevi erau în total în clas ă? 2.Radu a colec ţionat 59 de timbre cu p ăsări şi 6 de timbre cu ma şini. Câte timbre are Radu? Activitate independent ă (4 min.) Activitate direct ă (4 min.) Elevii compun oral probleme dup ă modelul Controlul temelor efectuate independent. operaţiilor: Temă pentru acasă. 53 + 5 8 + 21 şi după imaginile din manual. Activitate direct ă

Verificarea unor probleme compuse de elevi.

§9.3. Aspecte metodice privind activitatea independentă a elevilor 9.3.1. Importanţa activităţii independente Institutorul care lucreaz ă simultan cu dou ă sau mai multe clase are nevoie de un volum şi de o mare varietate de con ţinuturi şi forme de munc ă pe care s ă le dea elevilor ca sarcini de exersare. El trebuie s ă stabilească obiectivele fiec ărei activităţi, volumul de munc ă şi dificultăţile inerente, durata efectu ării activităţii respective şi criteriile de evaluare. Cadrul didactic trebuie s ă stimuleze activitatea independent ă a elevilor şi să susţină ritmicitatea efortului lor prin con ţinutul interesant al temelor, atractivitatea formelor de activitate, distribuirea unor sarcini diferen ţiate, folosirea unui material didactic interesant, etc. Pentru reamintirea informa ţiilor predate anterior în scopul trecerii la predarea noilor cunoştinţe, se poate apela la activitatea independent ă a elevilor. De asemenea, şi după transmiterea noilor cuno ştinţe, pentru fixarea şi consolidarea acestora, se poate folosi acest tip de activitate. Prin munca independent ă, ca mijloc de instruc ţie şi educaţie, se rezolvă o mare parte din problemele pred ării-învăţării. Importan ţa acestei forme de organizare a activit ăţii, nu se reduce doar la formarea deprinderilor de munc ă independent ă la elevi, ci prin ea se îndeplinesc sarcinile fundamentale ale procesului de înv ăţământ: dobândirea de noi cuno ştinţe, priceperi şi deprinderi, aplicarea lor în practic ă, repetarea şi sistematizarea cuno ştinţelor, evaluarea. Prin activitatea independent ă a elevilor se urm ăreşte şi îndeplinirea unor obiective formative ca: formarea spiritului de observa ţie la elevi, dezvoltarea proceselor psihice de cunoaştere (a gândirii, memoriei, formarea spiritului de independen ţă şi a iniţiativei, formarea unor trăsături pozitive de voin ţă şi caracter cum ar fi: dârzenia, perseveren ţa, curajul de a învinge greutăţile cu forţe proprii, etc.). 9.3.2. Cerinţe pe care trebuie să le îndeplinească activitatea independentă a elevilor În scopul ob ţinerii unei adev ărate eficienţe, se impune ca activitatea independent ă a elevilor să îndeplinească anumite cerinţe: 95

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane -în procesul de predare-înv ăţare, sarcinile date elevilor pentru a fi rezolvate de ace ştia cu forţe proprii trebuie s ă se refere, în primul rând, la cerin ţele programei; ele trebuie formulate în aşa fel încât să stimuleze la lucru pe fiecare elev, indiferent de nivelul lui de preg ătire, să vizeze îndeplinirea obiectivelor instructiv-educative propuse pentru lec ţia respectivă şi să constituie o continuare fireasc ă a materialului studiat; -folosirea raţională a exerci ţiilor de munc ă independent ă: la clasele mici (I şi a II-a), în special în prima perioad ă a anului şcolar, când se pun bazele deprinderilor de munc ă independentă, institutorul trebuie s ă acorde o mai mare aten ţie activităţii directe şi să efectueze o supraveghere şi o îndrumare mai atent ă a activit ăţii independente a elevilor; -sarcinile date elevilor în cadrul activit ăţii lor independente, trebuie s ă fie accesibile acestora, să nu cuprindă no ţiuni necunoscute elevilor, ele trebuie s ă fie formulate şi explicate clar, încât să fie înţelese de elevi; cerin ţele trebuie s ă vizeze realizarea unor obiective precise şi să stimuleze interesul şi potenţialul creativ al copiilor, corespunzând scopului şi conţinutului lecţiei; -institutorul trebuie s ă realizeze dozarea ra ţională a volumului şi dificultăţilor pe care le implică sarcinile de munc ă independent ă, în scopul evit ării atât a supraînc ărcării elevilor, cât şi rămânerii f ără ocupaţie a acestora; institutorul trebuie s ă aibă pregătite şi subiecte de rezerv ă

pentru elevii cu ritm mai rapid de lucru; -orice sarcină de muncă independent ă trebuie verificat ă şi evaluată (notată), deoarece în cazul în care se dau teme a c ăror realizare nu se apreciaz ă, aceasta conduce la mic şorarea interesului şi responsabilit ăţii elevului, la sc ăderea motivaţiei pentru rezolvarea sarcinilor; -activitatea elevilor trebuie s ă se desf ăşoare în linişte, să se bazeze uneori pe cooperare, efectuând câteodat ă în colectiv sarcinile primite; -activitatea independent ă a elevilor precede activitatea direct ă: în sarcinile date elevilor, se va ţine cont dacă volumul de cuno ştinţe anterioare permite acestora s ă facă singuri un pas mai departe în întregirea materialului ce va fi transmis în activitatea direct ă ce va urma; -nu se vor da spre rezolvare elevilor tipuri de exerci ţii şi probleme care nu au fost rezolvate sub îndrumarea institutorului; -activitatea independent ă a elevilor trebuie s ă fie precedat ă de o etapă pregătitoare, în care institutorul precizeaz ă obiectivele urm ărite şi metodele de lucru care vor fi folosite pentru efectuarea activit ăţii; în această etapă se poate rezolva un exerci ţiu, se poate repeta o regul ă pe care se bazeaz ă rezolvarea lui, urmând ca elevii s ă rezolve apoi alte exerci ţii de acelaşi fel sau mai complicate.

9.3.3. Forme de activitate independentã În funcţie de obiectivele şi de conţinutul lecţiei, de obiectul de înv ăţământ, de clasa şi etapa în care se desf ăşoară, etc., munca independent ă a elevilor care înva ţă în condiţii simultane îmbracă o varietate de forme. Conţinutul activităţii independente, care va constitui etapa preg ătitoare a lecţiei planificate pentru ziua respectiv ă, sau etapa de încheiere a acesteia, poate cuprinde: - rezolvarea unor exerci ţii şi probleme din manual sau formulate de institutor; - construcţia unor exerci ţii sau probleme asem ănătoare cu cele rezolvate sub îndrumarea institutorului; - rezolvarea unor probleme prin alte procedee, atunci când este posibil; - desenarea unor figuri geometrice; - măsurarea unor dimensiuni; - calcularea perimetrelor unor figuri geometrice. La obiectul matematică se pot folosi urm ătoarele forme de activitate independentă: 1. Munca independent ă pregătitoare pentru predarea noilor cunoştinţe. Această formă de activitate independent ă se poate utiliza la toate clasele I-IV, cu condi ţia să fie corect propor ţionată cu specificul individual, cu vârsta elevilor şi să fie în strâns ă legătură 96


cu subiectul lec ţiei respective.

Exemple: 1. La predarea scăderii la clasa I se pot da ca munc ă independent ă pentru predarea cuno ştinţelor exerciţii de tipul: Calculează cu ajutorul imaginilor: OO

OOO

.

OOO

. OO

O

. OOOO

OOOOO

5 - 3 =' 5 - 2 = ' 5 - 4 =' 5 - 0 =' '= 5 - 3

'= 5 - 2

'= 5 - 4

'= 5 - 0

2. La clasa a III-a se pot da ca munc ă independent ă pregătitoare pred ării înmul ţirii cu 3, exerciţii de tipul: Efectuaţi: 0+3= 3+3=

6+3= 9+3=

12 + 3 = 15 + 3 =

3. La clasa a IV-a se poate da ca munc ă independent ă pentru pregătirea predării: unităţile de măsură pentru capacitatea (volumul) vaselor: Efectuaţi: 32 ⋅ 10 = ' 45 ⋅ 100 = '

24 000 : 100 = ' 600 000 : 10.000 = '

50 000 : 1 000 + 500 = '

Efectuaţi transformările: 30 m = ' dm = ' cm = ' mm 5000 g = ' dag = ' hg = ' kg, etc. Se pot da numeroase exemple de acest gen, putând folosi în acest scop ca materiale bibliografice: manualele, diferite c ărţi şi culegeri de exerci ţii şi probleme, caietele elevului. 2. Munca independentă cu rol de fixare a cunoştinţelor predate la lecţia respectivă cuprinde: rezolvarea de exerci ţii şi probleme cu aplicarea opera ţiilor învăţate, compunerea de exerciţii şi probleme dup ă anumite cerinţe date de institutor, desenarea figurilor geometrice învăţate, calculul perimetrului, rezolvarea diferitelor exerci ţii-joc de completare a semnului operaţiilor aritmetice (+); ( −); (×); (:), în a şa fel încât s ă fie adev ărată expresia dat ă, rezolvarea exerciţiilor de aflare a termenului necunoscut, etc. 3. Munca independentă având ca scop recapitularea cunoştinţelor, prin care se reiau şi se sistematizează la sfârşitul semestrului sau a anului şcolar în diverse combina ţii cunoştinţele acumulate anterior dintr-un întreg capitol, sau cele legate de o anumit ă temă.

9.3.4. Controlul şi evaluarea activităţii independente Activitatea independent ă a elevilor este indicat ca s ă se efectueze pe fi şe individuale, pentru a se evita distragerea aten ţiei elevilor din celelalte clase. Cadrul didactic este obligat cu ocazia distribuirii fi şelor să dea explicaţii şi sarcini clare, iar pe parcursul activit ăţii să fie efectuată supravegherea şi date eventuale îndrum ări. 97

Purcaru Monica Ana Paraschiva Probleme specifice ale predării-învăţării matematicii în condiţiile muncii simultane Notarea acestor forme de activit ăţi ale elevilor se face pe baza unui punctaj dinainte stabilit în funcţie de obiectivele, scopul general şi de gradul de dificultate al sarcinilor de rezolvat. Pe tot parcursul activit ăţii independente a elevilor, institutorul exercit ă o supraveghere general ă, trecând periodic printre b ănci pentru a verifica dac ă sarcinile date au fost în ţelese de către toţi elevii şi dacă aceştia le tratează cu seriozitate. Când situa ţia o cere, cadrul didactic poate interveni pentru a-i antrena pe to ţi elevii la lucru, sau pentru a preveni gre şelile tipice. Lucrările independente ale elevilor se verific ă atât sub aspect cantitativ, cât şi calitativ. În situaţia în care acestea sunt de scurt ă durată, nu este necesar ca s ă se efectueze mereu un control amănunţit. Verificarea muncii independente a elevilor trebuie s ă aib ă loc în cadrul tuturor tipurilor de lecţii, dar mai ales la cele de verificare şi evaluare a cuno ştinţelor, de repetare şi sistematizare, de formare a priceperilor şi deprinderilor. În aceste lec ţii se pot da sarcini pentru întreaga or ă, iar verificarea acestora se va realiza acas ă, de către institutor, finalizându-se cu notarea şi analiza acestora, cu ajutorul elevilor în ora urm ătoare. Autocontrolul elevilor, în condi ţiile muncii simultane, exercit ă un rol important în cadrul verific ării lucrărilor efectuate independent. Acesta se realizeaz ă prin confruntarea rezultatelor ob ţinute de ei cu cele indicate de cadrul didactic, sau aflate în manual, la rubrica de răspunsuri. Tot ca form ă de verificare, se poate utiliza controlul reciproc al elevilor pentru lucr ările efectuate. Ultimele două forme de verificare a corectitudinii efectu ării lucrărilor nu trebuie s ă înlocuiască însă controlul zilnic, sau pe cel periodic exercitat de institutor.

Test de autoevaluare 1. Precizaţi particularit ăţile procesului de predare-învăţare în învăţământul simultan. 2. Prezentaţi obiectivele pe care trebuie s ă le aibă în vedere institutorul , la întocmirea orarului. 3. Evidenţiaţi importanţa activităţii independente. 4. Enumeraţi cerinţele pe care trebuie s ă le îndeplinească activitatea independent ă a elevilor. 5. Exemplificaţi forme de activitate independent ă pentru predarea noilor cuno ştinţe la clasa a II-a.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1.Revezi 9.1.1.( Particularităţile procesului de predare-învăţare în învăţă mântul simultan ). 2. Revezi 9.1.3. (Alc ătuirea orarului). 3. Revezi 9.3.1.( Importan ţa activităţii independente). 4. Revezi 9.3.2.(Cerin ţe pe care trebuie să le îndeplinească activitatea independent ă a elevilor). 5.Revezi 9.3.3.( Forme de activitate independent ă), extrage şi reformuleaz ă.

Rezumat Această unitate de înv ăţare are ca scop cunoa şterea unor probleme specifice procesului de predare-învăţare a matematicii la clase simultane, cum ar fi: gruparea claselor şi repartizarea pe institutori, alc ătuirea orarului, precum şi elemente de planificare, proiectare şi organizare a activităţii simultane, cu exemplific ări. Sunt prezentate de asemenea unele aspecte metodice privind activitatea independentã a elevilor.

Bibliografie Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P., Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Lupu, C.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a. Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite şti, 1999. Neacşu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Spulber, Ş., Spulber, C.: Practica pedagogic ă. Editura “Grigore Tabacaru”, Bac ău, 1999. 98


Rolul mijloacelor de învăţământ în lecţia de matematică

Unitatea de învăţare nr. 10 ROLUL MIJLOACELOR DE ÎNVĂŢĂMÂNT ÎN LECŢIA DE MATEMATICĂ Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare……………………………………………………….… §10.1. Conceptul de mijloc de înv ăţământ…………………………………………….… §10.2. Principii de baz ă în folosirea mijloacelor de înv ăţământ……………………….… §10.3. Integrarea mijloacelor de înv ăţământ în activitatea didactic ă……………………. §10.4. Factorii determinan ţi în activitatea de confec ţionare a materialului didactic…..… §10.5. List ă de materiale didactice necesare desf ăşurării lecţiilor de matematică………. Test de autoevaluare…………………………………………………………………..… Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare……………………………………... Rezumat…………………………………………………………………………………. Bibliografie………………………………………………………………………………

99 99 99 100 101 102 104 104 104 104

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să precizeze conceptul de mijloc de înv ăţământ; -să înţeleagă principiile de folosire a acestora în activitatea didactic ă; -să descrie mijloacele de înv ăţământ tradi ţionale, evidenţiind rolul lor în cadrul lec ţiilor de matematică; -să prezinte mijloacele de înv ăţământ moderne, insistând asupra importan ţei lor în cadrul lecţiilor de matematică; -să cunoască factorii determinan ţi în activitatea de confec ţionare a materialului didactic cu elevii; -să enumere materiale didactice necesare desf ăşurării lecţiilor de matematic ă.

§10.1. Conceptul de mijloc de învăţământ Termenul de mijloc de învăţământ desemnează totalitatea resurselor materiale concepute şi realizate în mod explicit pentru a servi institutorului în activitatea de predare şi elevilor în activitatea de înv ăţare. În sensul cel mai larg, prin mijloace de înv ăţământ se înţelege totalitatea materialelor, dispozitivelor şi operaţiilor cu ajutorul c ărora se realizeaz ă transmiterea informa ţiei didactice, înregistrarea şi evaluarea rezultatelor ob ţinute. Aşadar, mijloacele de înv ăţământ pot fi definite ca un ansamblu de instrumente materiale produse, adaptate şi selecţionate în mod inten ţionat pentru a servi nevoilor organiz ării şi desf ăşurării procesului de înv ăţământ. Ele amplifică valoarea metodelor şi împreună cu acestea contribuie la realizarea obiectivelor educa ţiei. Mijloacele de învăţământ sunt instrumente care faciliteaz ă transmiterea informa ţiei ca act al predării, sprijinind şi stimulând în acela şi timp activitatea de înv ăţare. Ele, îns ă, nu se substituie activităţii de predare, ci doar amplific ă şi diversifică funcţiile acesteia printr-o mai bună ordonare şi valorificare a informa ţiei transmise. Oricât s-ar perfec ţiona aceste mijloace, ele nu vor putea înlocui activitatea institutorului, ci doar îl vor ajuta pentru a- şi îndeplini mai bine sarcinile ce-i revin.

§10.2. Principii de bazã în folosirea mijloacelor de învăţământ Folosirea mijloacelor de înv ăţământ se bazează pe unele principii a căror aplicare este necesar ă: -orice comentariu oral, mai ales a unui subiect complicat sau nou, trebuie înso ţit, dacă este posibil, cu elemente audio-vizuale pentru a fi re ţinute sau pentru a suscita discu ţii; -ilustrarea audio-vizual ă a punctelor importante trebuie s ă fie repartizate echitabil, în a şa 99



fel încât să incite elevii, s ă dea viaţă unui subiect mai pu ţin atrăgător, să încurajeze discu ţia sau să dea mai multă greutate unei explica ţii; -o prezentare cu ajutorul mijloacelor de înv ăţământ a cunoştinţelor de înv ăţat permite o asimilare mai rapid ă şi o activitate mai intens ă; astfel institutorul, poate deseori s ă abandoneze pe moment rolul s ău pur pedagogic şi să se integreze în grup pentru a discuta documentele prezentate, conţinutul unui film, a unei simul ări etc.; -adoptând atitudinea unui observator discret, aparent pasiv, institutorul poate, dac ă a ales cu grijă mijloacele de înv ăţământ, să creeze o situa ţie în care grupul se autoinstruieşte, să dezvolte la membrii s ăi spiritul critic, care îi va permite s ă obţină învăţăminte pentru situa ţii reale de viaţă; -exerciţiile bazate pe jocurile didactice, pe simul ări (eventual prin utilizarea unui calculator electronic), sunt eficiente: o problem ă devine tangibil ă, elevii ac ţionează ei înşişi, sunt antrena ţi să participe, s ă facă apel la propria lor experien ţă; -folosirea mijloacelor de înv ăţământ permite cadrelor didactice s ă lărgească câmpul de cunoştinţe al elevilor, prin abordarea interdisciplinar ă a problematicii predate.

§10.3. Integrarea mijloacelor de învăţământ în activitatea didacticã Prezenţa mijloacelor de înv ăţământ în cadrul formelor de organizare a activit ăţii didactice se justifică atunci când: contribuie la perfec ţionarea procesului de comunicare, prezentând informa ţii despre cele mai diferite obiecte, fenomene, evenimente etc.; aduc în laborator sau cabinet obiecte şi fenomene care nu pot fi percepute direct de c ătre elevi; oferă componente şi aparate indispensabile în realizarea unor montaje experimentale pentru dobândirea cuno ştinţelor prin efort propriu în cadrul practicării învăţării prin descoperire; sprijin ă procesul de formare a no ţiunilor, capacităţilor de analiză, sinteză, generalizare etc.; ofer ă un suport pentru efectuarea de exerci ţii şi rezolvarea de probleme; prezint ă situaţii-problemă ale căror soluţii urmează s ă fie analizate în lec ţie; provoacă şi dezvoltă motivaţia învăţării şi, în acelaşi timp, declanşează o atitudine emo ţională; oferă posibilităţi de conexiune invers ă şi contribuie la evaluarea rezultatelor şcolare. Eficienţa mijloacelor de înv ăţământ în activitatea de predare-înv ăţare este determinat ă în ultimă instanţă de metodologia folosit ă de cadrul didactic pentru integrarea acestora în activitatea didactică. Metodologia utiliz ării mijloacelor de înv ăţământ nu este ceva exterior con ţinutului învăţământului, ci reprezint ă o component ă de baz ă, care face parte din organizarea acestuia. Eficienţa mijloacelor de înv ăţământ depinde nu numai de calitatea lor, ci, în primul rând, de modul în care sunt integrate în activitatea didactic ă. Indiferent de categoria lor, ele pot contribui la ridicarea eficien ţei şi calităţii învăţării numai atunci când sunt selec ţionate şi folosite raţional, când sunt subordonate atingerii obiectivelor didactice. În orice sistem de înv ăţare metodele şi mijloacele de înv ăţământ sunt interdependente, se condi ţionează reciproc. Adaptarea riguroas ă a mijloacelor de înv ăţământ la sarcinile care trebuiesc realizate în activitatea de învăţământ constituie o condi ţie indispensabil ă a eficienţei acestor mijloace. Realizarea unei eficien ţe sporite a mijloacelor de înv ăţământ în procesul instructiv-educativ depinde, totodat ă, şi de măiestria cu care cadrul didactic reu şeşte să integreze efectiv aceste mijloace în cadrul formelor de organizare. Procesul de integrare a acestor mijloace de înv ăţământ solicită cadrului didactic o preg ătire activă complex ă, care începe cu mult înainte de desf ăşurarea activităţii propriu-zise şi se încheie o dat ă cu stabilirea concluziilor desprinse din evaluarea acesteia, pe baza c ărora se vor adopta apoi m ăsuri pentru optimizarea activit ăţii didactice. Înainte de începerea activit ăţii didactice este necesar s ă se stabilească şi să se formuleze clar obiectivele urm ărite prin folosirea mijloacelor de înv ăţământ. Aceste obiective se stabilesc în funcţie de specificul fiec ărei activităţi şi au ca scop precizarea clar ă a modului în care mijloacele de învăţământ trebuie să contribuie la înţelegerea fenomenelor, proceselor pentru care expunerea cadrului didactic nu este suficient ă. Totodată, cadrul didactic stabile şte mijloacele de înv ăţământ necesare (aparatura de uz general, truse, subansamble, filme, folii, diapozitive ş.a.), ţinând seama de obiectivele fundamen100



tale şi operaţionale ale activit ăţii ce urmeaz ă să se desf ăşoare cu elevii, de cuantumul de cunoştinţe, priceperi şi deprinderi pe care trebuie s ă le însuşească aceştia. Apoi verifică şi pregăteşte în detaliu, tot înainte de lec ţie, mijloacele de înv ăţământ care vor fi folosite: truse, subansamble, studiaz ă atent îndrumările (instrucţiunile) de folosire a mijlocului de înv ăţământ, efectuează experimentul în cele mai mici detalii, preg ăteşte materialele necesare efectu ării experimentelor de c ătre elevi şi fişele de lucru, stabile şte modalităţile de efectuare a experimentului, sarcinile de lucru, concluziile par ţiale şi finale ce urmeaz ă să fie desprinse din experimentele efectuate, elaboreaz ă probele de evaluare a rezultatelor etc. În cazul folosirii mijloacelor audio-vizuale, institutorul verific ă starea de func ţionare a aparaturii de proiec ţie, proiectează filmele, diapozitivele sau foliile selec ţionate şi stabileşte cu exactitate imaginile care sunt necesare pe parcursul secven ţelor, ca şi modalitatea de a le valorifica. Pentru a putea recep ţiona cantitatea de informa ţii ce urmează să fie transmisă şi pentru a crea atmosfera necesar ă de lucru impus ă de folosirea mijloacelor de înv ăţământ, este necesară o pregătire prealabil ă a elevilor de c ătre cadrul didactic. El trebuie s ă se convingă de nivelul fondului teoretic şi deprinderile practice ale noilor cuno ştinţe şi abilităţi pe care le vor dobândi elevii prin intermediul mijloacelor de înv ăţământ. Elevii vor putea s ă-şi însuşească conştient noile cunoştinţe numai în m ăsura în care cadrul didactic este convins c ă aceştia posedă un ansamblu de informa ţii care s ă le permit ă înţelegerea, nu memorarea mecanic ă a noilor cunoştinţe. În condiţiile folosirii mijloacelor audio-vizuale, cadrul didactic trebuie s ă prezinte elevilor obiectivele urm ărite, să sublinieze ideile principale, s ă formuleze întreb ări-problemă la care elevii să caute un r ăspuns în timpul proiec ţiei, să stabilească alte sarcini ce trebuie îndeplinite în timpul activităţii didactice. Utilizarea mijloacelor de înv ăţământ în cadrul lec ţiilor se face cu ajutorul institutorului care explică cum se folosesc (uneori f ăcând un instructaj de protec ţie) şi cum se mânuiesc pentru formarea priceperilor şi deprinderilor.

§10.4. Factorii determinanţi în activitatea de confecţionare a materialului didactic Cerinţele esenţiale - tehnice, sociale şi psihopedagogice - sunt în interac ţiune şi interdependenţă şi constituie factori determinanţi în activitatea de confecţionare a materialului didactic cu elevii. 1.) Cerinţe sociale Preocuparea cadrelor didactice de a lega no ţiunile teoretice de formarea deprinderilor practice la elevi, face s ă apară necesitatea confec ţionării cu elevii de material didactic nou, a reparării şi întreţinerii celui existent. Acţiunea de autodotare a dus la crearea în şcoli a numeroase noi laboratoare audio-vizuale, la crearea şi la îmbogăţirea sortimentelor de material didactic. Ea înseamnă nu numai producerea de valori materiale, deoarece autodotarea intereseaz ă nu numai sub aspect economic, ci mai mult sub aspect educativ, pentru c ă se urmăreşte pregătirea oamenilor capabili s ă f ăurească obiecte utile. Scopul final al activit ăţii de confec ţionare a materialului didactic cu elevii este preg ătirea tânărului pentru via ţă, viaţa f ăcându-l apt s ă trăiască în sânul societ ăţii ca om instruit, cu spirit creator şi cu personalitate profesional ă. 2.) Cerinţe tehnice Şcoala are nevoie de material didactic cu caracteristici tehnice şi didactice superioare, cu gabarite şi performanţe care trebuie s ă răspundă exigenţelor moderniz ării întregului înv ăţământ matematic. Plecând de la aceast ă cerinţă, în realizarea diferitelor dispozitive şi aparate, s-a urm ărit ca 101



materialul didactic confec ţionat cu elevii s ă întrunească anumite cerinţe tehnice: -să fie cât mai simplu, spre a fi cât mai u şor intuit; -să fie cât mai comod de mânuit (materialul didactic s ă fie demontabil); -să aibă un anumit dinamism, care s ă stimuleze interesul elevului pentru studiu; -să promoveze concep ţia modernă dinamică asupra matematicii, în locul concep ţiei tradiţionale cu caracter static; -să fie astfel construit încât s ă atragă privirea elevului, s ă-l determine să-şi pună întrebări şi să-l ajute să le afle r ăspunsul; -modelul trebuie s ă fie fidel; se în ţelege prin aceasta c ă trebuie să existe între model şi original analogii destul de numeroase, pentru ca sugestiile f ăcute de func ţionarea modelului s ă fie valabile pentru original; -materialul didactic confec ţionat să fie adaptat, în limita posibilit ăţilor, la elementele moderne, care au fost introduse în programele şi manualele şcolare şi să contribuie eficient la construirea unei tehnologii didactice moderne; -materialul didactic confec ţionat trebuie însoţit de cataloage, instruc ţiuni şi normative cu privire la valoarea intuitiv ă, metodica folosirii, prezentarea şi întreţinerea lui. 3.) Cerinţe psihopedagogice În misiunea sa delicat ă de a conduce elevul de la cuno ştin ţe intuitive la cuno ştin ţe logice, cadrul didactic se sprijin ă adesea pe folosirea judicioas ă a materialului didactic. Institutorul simte nevoia s ă confecţioneze singur, sau, pe baza concep ţiei lui, împreun ă cu elevii, diferite dispozitive, aparate, plan şe, scheme etc., menite s ă determine o mai bun ă însuşire a noţiunilor predate. Dacă dascălul pleacă de la concepţia că matematica este o colec ţie de structuri (axiomatice), atunci munca sa de predare cu siguran ţă va fi influenţată de această concepţie. În cazul când acesta st ăruie asupra concep ţiei că matematica nu se manifest ă decât în legătură cu situaţiile vieţii practice, materia va fi probabil prezentat ă ca un amestec de experien ţe şi de procese de gândire asupra acestor experimente. Cadrul didactic trebuie s ă folosească aceste concepţii în mod echilibrat, f ără să absolutizeze una în dauna celeilalte. Rolul dascălului la matematică constă în a conduce elevul s ă treacă de la cuno ştinţele căpătate pe planul intuitiv la cuno ştinţele organizate la nivelul logic. Modernizarea con ţinutului şi spiritului matematicii elementare necesit ă o revizuire completă, o nou ă optică în ceea ce prive şte materialele şi mijloacele folosite în clas ă. Folosirea desenului, a modelului spa ţial, a filmului etc., trebuie f ăcută judicios, la locul şi timpul potrivit din lecţie. Utilizarea abuzivă, f ără discernământ, a materialului didactic la lec ţie constituie un pericol, dezvoltă la elevi intuiţia în dauna logicii; prin logic ă, demonstrezi, prin intui ţie inventezi. Confecţionarea materialului didactic cu elevii contribuie la educarea lor prin munc ă şi pentru munc ă. În activitatea practică de confec ţionare a materialului didactic se realizeaz ă obiectivele educaţionale privitoare la dezvoltarea spiritului aplicativ, a aptitudinilor creatoare, îndemânarea, gustul pentru frumos, formarea personalit ăţii în acţiune etc. Elevilor, care ştiu că au de lucrat ceva folositor şi văd cu proprii lor ochi c ă ceea ce au f ăcut se utilizeaz ă la lecţii, le sporeşte încrederea în forţele proprii şi se descoperă pe ei în şişi. Aceasta este o cerin ţă esenţială a educ ării prin muncă. De asemenea, se manifest ă la elevi colectivismul, cât şi grija pentru gospod ărirea şi păstrarea materialului didactic.

§10.5. Listă de materiale didactice necesare desf ăşurării lecţiilor de matematică Lista care urmeaz ă este orientativ ă. În func ţie de resursele locale, o serie de materiale pot fi înlocuite cu altele, similare din punct de vedere al obiectivului de atins. Materialele sunt, în general, uşor de procurat; ele pot fi confec ţionate în şcoală, de către elevi, sau pot fi solicitate 102



părinţilor. Pentru desf ăşurarea optimă a lecţiilor de matematică sunt necesare urm ătoarele materiale: Pentru cadrul didactic: -o cutie cu creioane; -beţişoare; -bile colorate (ro şii, verzi, albastre); -monede, bancnote sau mulaje ale acestora (din carton); -cuburi care se îmbin ă; -cubul lui Rubik; -un calendar; -3-4 cutii de form ă paralelipipedică, al căror volum poate fi m ăsurat prin umplere cu cuburi de dimensiuni egale; -planşe reprezentând construc ţii simple f ăcute numai din cuburi; -material didactic conceput şi confecţionat în spirit problematizat; -un ceas mare, din carton sau plastic, pe care limbile se pot deplasa (ceasul demonstrativ); -un ceas electronic; -un cronometru; -o cutie cu be ţe de chibrit; -o balanţă sau un cântar; -numărătoare de pozi ţionare; -figuri geometrice de pozi ţionare; -figuri geometrice decupate, de diferite culori: p ătrat, dreptunghi, triunghi, cerc etc.; -planşe reprezentând adunarea şi scăderea cu 2 a numerelor pare de la 0 la 20; -planşe cu modele de rezolvare a ecua ţiilor; -planşe reprezentând axe ale numerelor; -tablă magnetică; -corpuri geometrice: cub, paralelipiped, piramid ă, sferă, cilindru, con; -planşe reprezentând dou ă castele construite folosind cât mai multe din corpurile geometrice studiate; -figuri geometrice care admit una sau mai multe axe de simetrie; -una sau dou ă planşe cu figuri care au colorate câte o doime, o treime sau o p ătrime din întreaga figur ă; -o planşă cu tabla înmul ţirii vizibilă din orice punct al clasei; -diferite obiecte care se pot compara în mod semnificativ din punct de vedere al lungimii lor (lungi şi înguste); -riglă de lemn; -un metru de tâmpl ărie, un centimetru, un metru folosit pentru textile; -o foaie de calc pe care este desenat ă o reţea de pătrate vizibilă din orice punct al clasei; -desene cu imagini sugerând temperaturi ridicate şi scăzute; -vase transparente de diferite m ărimi, pentru măsurat capacităţi; -mase de 1 kg, 500 grame, 250 grame; -plastilină; -termometru medical. Pentru fiecare elev, sau pentru un grup de doi elevi : -beţişoare; -pătrate şi discuri colorate (10 ro şii, 10 verzi, 10 albastre); -cartonaşe decupate conţinând exerci ţii de înmul ţire şi împărţire; -cartonaşe decupate reprezentând figuri geometrice: p ătrat, dreptunghi, triunghi, cerc, pentagon, hexagon, octogon; 103



-cuburi care se pot îmbina (ca la jocul "Lego", sau mai simple) construite din material plastic; -un ceas decupat, pe care se pot fixa limbile cu o pionez ă; -beţe de chibrit (f ără gămălie); -balanţe; -numărători de pozi ţionare; -figuri geometrice de pozi ţionare; -trusă de corpuri geometrice; -figuri geometrice pe care sunt puse în eviden ţă câte o doime, o treime, o p ătrime; -o foarfecă; -un metru de croitorie; -riglă gradată; -cuburi cu latura de 1 cm; -plastilină; -mulaje din hârtie sau carton ale monedelor şi bancnotelor; -hârtie milimetrică; -cartoane decupate ce con ţin denumirile pentru zilele s ăptămânii şi lunile anului.

Test de autoevaluare 1. Definiţi conceptul de mijloc de înv ăţământ. 2. Enumeraţi, folosind cuvinte proprii, principiile de baz ă în folosirea mijloacelor de învăţământ. 3. Prezentaţi factorii determinan ţi în activitatea de confec ţionare a materialului didactic. 4. Specificaţi care dintre materialele didactice de la 10.5 pot fi confec ţionate în gr ădiniţă împreună cu copiii, respectiv în şcoală împreună cu elevii, şi care pot fi solicitate părinţilor. 5. Concepe ţi diferite alternative metodologice pentru predarea-înv ăţarea diferitelor conţinuturi din manualele alternative de matematic ă şi analizaţi mijloacele de învăţământ ce pot fi utilizate pentru atingerea obiectivelor propuse.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 10.1 (Conceptul de mijloc de înv ăţământ). 2. Revezi 10.2 (Principii de baz ă în folosirea mijloacelor de înv ăţământ) 3. Revezi 10.4 (Factorii determinan ţi în activitatea de confec ţionare a materialului didactic)

Rezumat Această temă este dedicat ă dezvoltării şi aprofundării problematicii privind cunoa şterea şi posibilitatea folosirii mijloacelor de înv ăţământ în activitatea didactic ă, cu scopul de a spori eficienţa acesteia. Este prezentat conceptul de mijloc de înv ăţământ, cu descrierea principiilor de folosire a acestora în activitatea didactic ă. Este discutată integrarea mijloacelor de înv ăţământ în activitatea didactică. După enumerarea factorilor determinan ţi în activitatea de confec ţionare a materialului didactic este prezentatã o list ă orientativă a materialelor didactice necesare desf ăşurării lecţiilor de matematică la clasele I-IV.

Bibliografie Jinga, I., Istrate, E.: Manual de pedagogie . Editura ALL, Bucure şti, 2001. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite şti, 1998. Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăţ i matematice în gr ădini ţă. Editura AS’S, Ia şi, 1995. Panţuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Reprografia Universităţii Transilvania, Bra şov, 1997.

104



Radu, N., Singer, M.: Matematică pentru clasa a II-a. Ghid pentru înv ăţători şi părin ţ i. Editura Sigma, Bucure şti, 1994. Radu, N., Singer, M.: Matematică pentru clasa a III-a. Ghid pentru înv ăţători şi părin ţ i. Editura Sigma, Bucure şti, 1995. Singer, M., P ădureanu, V., Mogo ş, M.: Matematică pentru clasa a IV-a. Ghid pentru învăţători şi părin ţ i. Editura Sigma, Bucure şti, 2000.

105


Evaluarea în cadrul lecţiilor de matematică

Unitatea de învăţare nr. 11 EVALUAREA ÎN CADRUL LECŢIILOR DE MATEMATICĂ Cuprins Obiectivele unităţii de înv ăţare………………………………………………………… §11.1. Preciz ări conceptuale…………………………………………………………….. §11.2. Tipuri (forme) de evaluare…………………………………………………….. §11.3. Evaluarea performan ţelor şcolare……………………………………………... §11.4. Metode şi tehnici de evaluare a randamentului şcolar la matematică…………… §11.5. Metodologia elabor ării itemilor…………………………………………………. 11.5.1. Clasificarea itemilor…………………………………………………….. 11.5.2. Îndrum ări practice, generale pentru elaborarea itemilor………………... Test de autoevaluare…………………………………………………………………... Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare…………………………………… Rezumat………………………………………………………………………………. Bibliografie……………………………………………………………………………

106 106 106 107 108 110 110 110 111 111 111 112

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să cunoască noul sistem de evaluare în scopul cre ării unor modalit ăţi eficiente de m ăsurare a nivelului de realizare a obiectivelor noului curriculum; -să aplice strategiile de evaluare; -să descrie principalele metode şi tehnici de evaluare specifice lec ţiilor de matematic ă; -să compare metodele de evaluare în raport cu avantajele şi limitele specifice; -să aplice metodologia evalu ării randamentului şcolar la matematică; -să conştientizeze importanţa evaluării într-un demers didactic la matematic ă; -să realizeze practic teste de evaluare didactic ă la disciplina matematic ă, ţinând cont de indicaţiile metodice din aceast ă temă.

§11.1. Precizări conceptuale Câteva sensuri ale conceptului de evaluare mai frecvent întâlnite în literatura de specialitate sunt:

1. Evaluarea = reglare a înv ăţării şi predării, adică ob ţinerea de informa ţii despre efectele predării şi receptării cunoştinţelor. 2. Evaluarea = măsurarea efectelor înv ăţării. Ea const ă în aplicarea unor tehnici, probe, pentru a cunoa şte efectele acţiunii instructiv-educative. Pot fi m ăsurate numărul de cuno ştinţe memorate sau în ţelese de elevi, deprinderile şi priceperile nou formate, num ărul şi gravitatea greşelilor în executarea unei activit ăţi. 3. Evaluarea = proces de ob ţinere a informa ţiilor asupra elevului, profesorului, sau asupra programului educativ şi de folosire a acestora în scopul formul ării unor aprecieri, sau al adopt ării unor decizii. 4. Evaluarea = proces de m ăsurare şi apreciere a valorii rezultatelor sistemului de învăţământ, sau a unei p ărţi a acestuia a eficien ţei resurselor şi strategiilor folosite, prin compararea rezultatelor cu obiectivele propuse, în vederea lu ării unor decizii de îmbun ătăţire..

§11.2. Tipuri (forme) de evaluare După modul cum se realizeaz ă: la începutul, pe parcursul, sau la sfâr şitul unei unit ăţi de învăţare se evidenţiază următoarele forme de evaluare: 1. evaluarea ini ţială (predictivă); 106



2. evaluarea continu ă (formativă); 3. evaluarea sumativ ă (finală). 1. Evaluarea iniţială se realizează prin raportare la obiectivele terminale ale capitolului anterior. Tehnica de evaluare o constituie proba iniţială sau predictivă, care este aplicat ă la începutul fiecărei unităţi de conţinut. Evaluarea iniţială (predictivă) se realizează la începutul anului şcolar, sau al semestrului, sau la trecerea de la un capitol studiat la altul. Permite stabilirea nivelului de dezvoltare şi de pregătire şi anticipează evoluţia elevilor. Sugereaz ă institutorului strategiile didactice care pot fi utilizate. Rezultatele din evalu ările iniţiale direcţionează activitatea institutorului în dou ă planuri: -modalitatea de predare-înv ăţare a noului con ţinut (adaptarea strategiilor didactice la posibilităţile de asimilare ale elevilor); -aprecierea necesit ăţii organiz ării unor programe de recuperare pentru întreaga clas ă sau a unor programe diferen ţiate, menite să aducă elevii la capacităţile necesare abord ării unei noi unităţi de învăţare. 2. Evaluarea continuă se realizează pe tot parcursul unit ăţii didactice, descriind achizi ţiile elevului în cursul înv ăţării, în raport cu obiectivele stabilite. Scopul principal al acestui tip de evaluare este acela de a dezvolta la fiecare elev autocunoa şterea şi încrederea în sine, având, în acelaşi timp, caracter diagnostic şi recuperativ. 3. Evaluarea sumativă stabileşte un bilan ţ final al unei secvenţe de învăţare, având drept scop măsurarea nivelului de realizare a obiectivelor opera ţionale propuse. Se realizeaz ă la finalul programului de instruire (sfâr şit de unitate de înv ăţare, sfârşit de semestru sau de an şcolar). Deoarece această formă de evaluare nu înso ţeşte procesul didactic pas cu pas, nu permite ameliorarea acestuia decât dup ă perioade îndelungate de timp.

§11.3. Evaluarea performanţelor şcolare Scopul principal al evalu ării rezultatelor şcolare este perfec ţionarea continuă a procesului de predare-înv ăţare. Pentru a-şi îndeplini acest scop, evaluarea trebuie s ă descrie în mod obiectiv ceea ce pot realiza elevii, s ă clarifice natura dificult ăţilor pe care aceştia le au în înv ăţare şi să indice soluţii pentru îmbun ătăţirea rezultatelor întregului proces. Evaluarea performan ţelor elevilor este necesar ă pentru: -cunoaşterea nivelului de preg ătire al fiec ărui elev în scopul organiz ării eficiente a activităţii de predare-înv ăţare; -determinarea nivelului atins de fiecare elev în vederea form ării şi dezvoltării capacităţilor cuprinse în obiective; -evidenţierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însu şi pe traseul atingerii obiectivelor prev ăzute de program ă; important este să fie evaluată nu atât cantitatea de informa ţii de care dispune elevul, ci, mai ales, ceea ce poate s ă facă el, utilizând ceea ce ştie sau ceea ce intuieşte; -asigurarea unei inform ări continue asupra rezultatelor pred ării-învăţării, pentru a preveni la timp dereglările procesului sau pentru a le corecta atunci când ele s-au produs; -asigurarea unei raport ări la standarde na ţionale pentru a oferi o apreciere corect ă a rezultatelor unei promov ări reale, pe baza performan ţelor obţinute, care să asigure continuitatea cu succes a studiilor în clasa urm ătoare; -raportarea activit ăţii institutorului la obiectivele vizate prin program ă; autoaprecierea muncii proprii; -stabilirea unor criterii unitare şi obiective de evaluare a activit ăţii institutorului în raport cu obiectivele programei de c ătre factorii de îndrumare şi control: directori, metodi şti, inspectori şcolari. 107



Pentru ca evaluarea progresului şcolar al elevilor s ă-şi atingă scopurile propuse, o serie de acţiuni de ordin strategic şi practic devin necesare: -înlocuirea evalu ării oarbe, exprimate prin cifre sau corecturi nerelevante pentru determinarea stadiului atins de elev în formarea unor capacit ăţi şi, prin urmare, nerelevante pentru depistarea şi eliminarea blocajelor, cu evaluarea calitativ ă, de tip descriptiv, realizat ă pe baza descriptorilor de performan ţă , ce oferă datele necesare regl ării procesului de înv ăţare; -înlocuirea probelor de evaluare clasice, vizând evaluarea cantit ăţii de informa ţii memorate , ce permit un grad înalt de subiectivitate, cu teste de evaluare compuse din itemi bine structuraţi, ce asigură o evaluare obiectiv ă nu numai a informa ţiilor acumulate de elevi, ci şi a deprinderilor, a capacit ăţilor intelectuale şi a trăsăturilor de personalitate – aspecte care constituie rezultatul cel mai important al activit ăţii şcolare; -modificarea raportului dintre evaluarea sumativ ă , care inventariaz ă, selectează şi ierarhizează prin notă, şi evaluarea formativ ă , ce are drept scop valorificarea la maximum a potenţialului intelectual de care dispun elevii şi conduce la perfec ţionarea continu ă a stilului şi a metodelor proprii de înv ăţare; -restabilirea echilibrului dintre evaluarea scris ă şi evaluarea oral ă care, deşi presupune un volum mare de timp pentru aprecierea tuturor elevilor şi blocaje datorate emo ţiei sau timidităţii, prezintă avantaje deosebite, precum: realizarea interac ţiunii elev-institutor, demonstrarea stadiului de formare a unor capacit ăţi sau competenţe prin interven ţia institutorului cu întreb ări ajutătoare, demonstrarea comportamentului comunicativ şi de interrelaţionare a elevului, evaluarea de ordin atitudinal-comportamental, eviden ţierea unor tr ăsături de personalitate etc.; -folosirea cu o mai mare frecven ţă a metodelor de autoevaluare şi de evaluare prin consultare în grupuri mici , vizând verificarea modului în care elevii î şi exprim ă liber opinii proprii sau accept ă cu toleranţă opiniile celorlal ţi, modul cum utilizeaz ă în practica vorbirii formulele de ini ţiere, de men ţinere şi de încheiere a unui dialog sau capacitatea de a- şi susţine şi motiva propunerile.

§ 11.4. Metode şi tehnici de evaluare a randamentului şcolar la matematică Metodele tradiţionale utilizate în evaluarea rezultatelor şcolare sunt: examinarea oral ă, examinarea prin probe scrise, examinarea prin probe practice, textul decimologic. Metodele alternative utilizate în evaluarea rezultatelor şcolare sunt: observarea sistematică a comportamentului de înv ăţare al elevilor, investiga ţia, proiectul, portofoliul, autoevaluarea. Programa şcolară reprezintă instrumentul didactic principal care descrie condi ţiile dezirabile pentru reu şita învăţării, exprimate în termeni de obiective, con ţinuturi şi activităţi de învăţare. Ea descrie oferta educa ţională a unei anumite discipline pentru un parcurs şcolar determinat. Obiectivele de referinţă specifică rezultatele aşteptate ale înv ăţării şi urmăresc achiziţia progresivă a cunoştinţelor şi a competenţelor, de la un an de studiu la altul. Aceste obiective sunt exprimate în termeni de posibilitate. În activitatea de evaluare, obiectivele de referin ţă ale programei sunt transformate în descriptori de performanţă , exprimaţi în termeni de realizare. Aplicarea descriptorilor de performan ţă nu înseamnă înlocuirea pur formal ă a notei tradiţionale cu un calificativ care urm ăreşte numai ierarhizarea rezultatelor şcolare obţinute de elevi. Perceput astfel, noul sistem de apreciere a rezultatelor şcolare prin calificative nu ar servi cu nimic sensului pozitiv al reformei din acest domeniu, care este trecerea de la o evaluare pur cantitativă şi nesemnificativă, la o evaluare calitativ ă, de tip descriptiv , care să se constituie cu adevărat într-un factor activ, reglator, generator de progres şcolar.

108



Pentru înţelegerea noului concept de evaluare, fiecare activitate de evaluare a rezultatelor şcolare trebuie înso ţită, în mod sistematic, de o autoevaluare a procesului pe care institutorul la desf ăşurat cu toţi elevii şi cu fiecare elev în parte, pentru ob ţinerea rezultatelor şcolare evidenţiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul de formare al fiec ărui elev şi pot fi stabilite modalit ăţile prin care va fi reglat ă, de la o etap ă la alta, activitatea de înv ăţare-formare a elevilor în mod diferen ţiat, pentru ca to ţi cei cu o dezvoltare intelectual ă normală să poată atinge, în final, standardele de performanţă curriculare. Cu alte cuvinte, calificativele: excelent, foarte bine, bine şi suficient , menţionate în descriptori, ca şi calificativul insuficient trebuie traduse de institutor în termeni care s ă-i ghideze reglarea procesului de predare-înv ăţare: = capacitate/competen ţă constituită stabil, capabilă de autodezvoltare; excelent foarte bine = capacitate/competen ţă formată; = capacitate/competen ţă care necesit ă antrenament pentru consolidare; bine = capacitate/competen ţă aflată în curs de formare; suficient insuficient = capacitate/competen ţă nerealizată. Noul sistem de evaluare a rezultatelor înv ăţă rii la matematic ă urmeaz ă s ă se constituie într-un act unitar şi coerent care s ă ofere tuturor elevilor, indiferent de specificul unit ăţii şcolare sau de manualul alternativ dup ă care lucreaz ă, repere la care ace ştia să-şi poată raporta nivelul de performanţă atins în învăţare. Ţinând seama de acest principiu important, toate instrumentele de evaluare: matricele de evaluare, descriptorii de performanţă, probele de evaluare, sunt derivate din obiectivele-cadru şi din obiectivele de referinţă ale curriculum-ului şcolar. În proiectarea evalu ării, se trece de la obiectivele de referin ţă ale programei la descrierea lor în termeni de competen ţe realizabile, cuprinse în descriptori de performanţă. Descriptorii de performan ţă pot fi utiliza ţ i pentru evaluarea şi aprecierea rezultatelor şcolare la toate formele sau probele de evaluare, orale sau scrise, proiectate în matrice. Ace ştia se pot adapta atât la con ţinuturile de înv ăţ are evaluate, cât şi la tipul de prob ă de evaluare administrativ ă. Tipul probelor (metodelor) de evaluare se selecteaz ă în funcţie de doi parametri: obiectivul-cadru vizat şi competen ţele pe care institutorul î şi propune s ă le formeze la elevi în cadrul procesului de predare-înv ăţare, pentru a asigura atingerea obiectivelor. Corela ţia dintre competenţele evaluate şi instrumentele folosite pentru a realiza aceast ă evaluare este redat ă sintetic în matricele de evaluare. Pentru a asigura eficien ţa activităţii de evaluare a rezultatelor şcolare este necesar ca aceasta să fie însoţită de o autoevaluare a procesului pe care institutorul l-a desf ăşurat cu toţi elevii şi cu fiecare elev în parte în scopul ob ţinerii rezultatelor şcolare evidenţiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul achizi ţiilor fiecărui elev în învăţare şi pot fi stabilite modalităţile prin care va fi reglat ă, de la o etapă la alta, înv ăţarea-formarea elevilor în mod diferenţiat, astfel încât to ţi cei cu o dezvoltare intelectual ă normală să poată atinge, în final, standardele curriculare de performanţă. Standardele curriculare de performan ţă pentru şcoala primar ă reprezint ă o descriere sintetică a nivelului de competen ţ e recomandate a fi dobândite de elevi pân ă la sfâr şitul clasei a IV-a. În condi ţiile existenţei unor standarde curriculare de performan ţă, obligaţia institutorului este ca: -să asigure atingerea nivelului minim de c ătre toţi elevii; • • • • •

-să creeze condi ţiile ca fiecare elev s ă avanseze cât mai mult, în func ţie de posibilit ăţile şi disponibilităţile sale, către nivelul achizi ţiilor dezirabile, exprimate în documentele curriculare în 109



termeni de performan ţă optimală. În scopul asigur ării unei corectitudini a rezultatelor evalu ării, instrumentele de evaluare (probele) trebuie s ă se caracterizeze prin: validitate (calitatea de a m ăsura ceea ce este destinat s ă măsoare), fidelitate (calitatea de a da rezultate constante în cursul aplic ării succesive), obiectivitate (gradul de concordan ţă între aprecierile f ăcute de evaluatori diferi ţi), aplicabilitate (calitatea de a fi uşor administrată şi interpretat ă).

§11.5. Metodologia elaborării itemilor 11.5.1. Clasificarea itemilor Informa ţiile despre felul cum au înv ăţat şi ce au învăţat elevii, se colecteaz ă cu ajutorul unor tehnici şi instrumente de evaluare. Acestea sunt: probe, chestionare, teste de evaluare care se compun din unul sau mai mul ţi itemi. Itemii reprezint ă elemente componente ale unui instrument de evaluare şi pot fi: simple întrebări, un enun ţ urmat de o întrebare, exerci ţii, eseuri. Itemii mai con ţin şi tipul de r ăspuns aşteptat, deci: item = întrebare + răspuns . În construirea itemilor se parcurg urm ătoarele etape: precizarea disciplinei de studiu, a clasei şi a capitolului; definirea obiectivului pe care itemul îl m ăsoară; formularea enun ţului itemului; schema de notare; observaţii (acolo unde este cazul). Din punct de vedere al tipului de r ăspuns aşteptat şi al gradului de obiectivitate a not ării, itemii se împart în: 1. Itemi obiectivi: itemi tip pereche; itemi cu alegere dual ă; itemi cu alegere multipl ă. 2. Itemi semiobiectivi: itemi cu răspuns scurt; întrebări structurate. 3. Itemi cu r ăspuns deschis: itemi tip rezolvare de probleme; eseu structurat; eseu nestructurat. 11.5.2. Îndrumãri practice, generale pentru elaborarea itemilor − − − − −

− − −

− −

− − −

Itemii verifică un eşantion reprezentativ al domeniului de evaluat atât din punct de vedere al conţinutului cât şi al comportamentului solicitat. În elaborarea lor se utilizeaz ă un limbaj precis şi clar. Itemii sunt independen ţi unul faţă de altul. Răspunsul la un item nu trebuie s ă depindă de răspunsul la alt item.

Itemi de tip pereche Le solicită elevilor stabilirea unor coresponden ţe între informa ţiile distribuite pe dou ă coloane. Informa ţiile din prima coloan ă se numesc premize, iar cele din a doua coloan ă se numesc răspunsuri . Acest tip de itemi urm ăresc dezvoltarea puterii de asociere în gândirea elevilor. Se pot asocia: -exerciţii – rezultatele acestora; -termeni – defini ţii, etc.

110



Itemi cu alegere dublă Oferă elevului posibilitatea s ă aleagă răspunsul corect din dou ă alternative: adev ărat-fals; da-nu; corect-incorect. Itemi cu alegere multipl ă Pe baza unui enun ţ se cere elevului s ă aleagă răspunsul corect sau cea mai bun ă alternativă dintr-o listă de răspunsuri alternative. Itemi cu răspuns scurt Solicită elevilor formularea r ăspunsului sub forma unui cuvânt, propozi ţie, număr, cerinţa fiind de tip intrebare direct ă. Modalităţi de utilizare: -se dă elevului o defini ţie şi i se cere s ă scrie numele conceptului definit; -se dă un concept şi i cere s ă-l definească; -se dă un concept şi i se cere s ă enumere caracteristicile sale; -se cere elevilor s ă adauge cuvântul ce lipse şte dintr-o defini ţie. Întreb ări structurate Sunt formate din mai multe subîntreb ări de tip obiectiv sau semiobiectiv, legate între ele printr-un element comun. Itemi cu răspuns deschis Oferă elevilor posibilitatea de a formula o descriere, a prezenta sau a explica diferite concepte, relaţii, metode de rezolvare. Tipuri de itemi cu r ăspuns deschis: -rezolvarea de probleme; -eseu structurat; -eseu liber. Itemi de tip eseu Itemul de tip eseu cere elevului s ă construiască, să producă un răspuns liber în conformitate cu un set de cerin ţe date.

Test de autoevaluare 1. Construi ţi o prob ă de evaluare predictiv ă pentru un capitol la alegere din matematica clasei a IV-a. 2. Construi ţi o prob ă de evaluare formativ ă pentru o lec ţie la alegere din capitolul ales anterior. 3. Pentru capitolul ales construi ţi o probă de evaluare sumativ ă.

Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare Resurse necesare: ***Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV. ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV). ***SNEE, CNC, Descriptori de performan ţă pentru înv ăţământul primar, Editura ProGnosis.

Rezumat Această temă este dedicată dobândirii unor cuno ştinţe referitoare la metodologia evalu ării la matematică. După precizarea conceptului de evaluare sunt date câteva repere privind tipuri de 111



evaluare. Sunt prezentate metodele şi tehnicile de evaluare a randamentului şcolar la matematic ă. Este analizată de asemenea şi metodologia elabor ării itemilor.

Bibliografie Cristea, S.: Dic ţ ionar ionar de termeni pedagogici . Editura Didactic ă şi Pedagogic ă, Bucureşti, 1998. Manolescu, M.: Evaluarea Evaluarea şcolar ă-metode, tehnici şi instrumente, Editura METEOR PRESS, 2005. Neacşu, I. (coordonator): Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Panţuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Reprografia Universităţii Transilvania, Bra şov, 1997. Radu, I.: Evaluarea în procesul didactic. Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV). ***SNEE, CNC, Descriptori de performan ţă pentru înv ăţământul primar, Editura ProGnosis.

112


Elemente de proiectare didactică la matematică

Unitatea de înv ăţare nr. 12 ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTICĂ LA MATEMATICĂ Cuprins Obiectivele unit ăţii de învăţare………………………………………………………… § 12.1. Conceptul de proiectare didactic ă……………………………………………….. § 12 .2. Elemente de proiectare didactic ă………………………………………………… 12.2.1. Manualele şcolare alternative……………………………………………. 12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor şcolare de matematic ă…………….. 12.2.3. Planificarea calendaristic ă……………………………………………….. 12.2.4. Proiectarea unit ăţilor de înv ăţare………………………………………… 12.2.5. Proiectul de lec ţie………………………………………………………… Test de autoevaluare……………………………………………………………………. Răspunsuri şi comentarii la testul testul de autoevaluare……………………………………... Lucrare de verificare……………………………………………………………………. Rezumat………………………………………………………………………………… Bibliografie……………………………………………………………………………...

113 113 113 114 117 117 118 119 120 120 120 120 120

Obiectivele unităţii de învăţare În urma parcurgerii acestei unit ăţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: -să realizeze proiectarea unei unit ăţi de învăţare, la matematică; -să realizeze proiecte de lec ţie la matematică; -să conştientizeze importan ţa proiectării didactice la matematic ă. §12.1. Conceptul Concept ul de proiectare proi ectare didactic didact ică Proiectarea didactică este o activitate complex ă, un proces de anticipare a ceea ce dore şte institutorul să realizeze împreun ă cu elevii săi în cadrul unei lec ţii, sistem de lec ţii, temă, capitol sau pe parcursul întregului an şcolar, pentru realizarea obiectivelor programei . Proiectarea didactică cuprinde totalitatea ac ţiunilor şi operaţiilor angajate în cadrul activităţii didactice pentru realizarea finalit ăţilor asumate la nivel de sistem şi de proces, în vederea asigurării funcţionării optime a acestora. În cadrul activit ăţii de proiectare didactic ă sunt cuprinse: definirea anticipat ă a obiectivelor, con ţinuturilor, strategiilor înv ăţării, probelor de evaluare şi a relaţiilor dintre acestea, în condi ţiile induse de un anumit mod de organizare a procesului de înv ăţământ, fiind conectate de asemenea activit ăţile de planificare şi programare a

instruirii. ăşurată de institutor ce const ă în Pe scurt, proiectarea didactică reprezintă activitatea desf ăş anticiparea etapelor şi a acţiunilor concrete de realizare a pred ării. §12.2. Elemente de proiectare proie ctare didactic didact ică

Proiectarea didactic ă cuprinde urm ătoare produse, care pot fi delimitate dup ă cele dou ă niveluri ale sistemului educa ţional: I. La nivel macro: -planurile de înv ăţământ; -programele pe discipline; -manualele şcolare; -ghidurile metodologice. II. La nivel micro (realizat ă de cadrul didactic): -lectura personalizat ă a programelor şcolare la matematic ă; 113



-proiectarea activit ăţii anuale sau calendaristice; -proiectarea unit ăţilor de învăţare; -proiectarea lec ţiilor specifice fiec ărei unităţi de înv ăţare. 12.2.1. Manualele şcolare alternative.

Apariţia manualelor alternative pe pia ţa cărţii didactice nu este un fapt de marketing, ci o componentă a reformei înv ăţământului iniţiată de Ministerul Educa ţiei, Cercet ării şi Tineretului şi realizată cu pasiune şi profesionalism de c ătre dascăli, prin munca de elaborare a manualelor sau a altor lucr ări auxiliare, bazate pe practica didactic ă. Manualele alternative: -se constituie într-o abordare sistemic ă, eficientă a procesului de predare-înv ăţare; -se caracterizează prin formule grafice foarte atractive; -se impun prin coeren ţă pedagogică, obţinută prin “decuparea” unit ăţilor, echilibrarea informaţiilor, a exerci ţiilor şi instrumentelor de control. Organizarea fiec ărui capitol este u şor de recunoscut datorit ă unor simboluri grafice prezentate într-o prefa ţă, cu care încep manualele. Tot aici se explic ă, într-un limbaj simplu, modul în care poate fi folosit ă lucrarea. Accesul elevului la gândirea matematic ă este facilitat prin explica ţii clare, reguli şi recomandări care vin s ă-l sprijine în în ţelegerea noţiunilor noi şi fixarea celor însu şite. Temele şi lecţiile din manuale sunt organizate foarte clar: -o situaţie practică ce oferă cadrul no ţiunii de înv ăţat; elevul este îndemnat s ă observe, s ă repete procedeul, s ă stabilească o concluzie pe care apoi o verific ă urm ărind notaţiile, rezultatul observaţiei; -situaţii de înv ăţare ordonate de la simplu la complex, prin care elevului i se formeaz ă deprinderi de calcul sau de rezolvare a problemelor; cerin ţe de înv ăţare care integreaz ă no ţiunea în sistemul general de cuno ştinţe matematice; -o regul ă, o concluzie, observa ţie sau convenţie subliniate grafic; -jocuri sau curiozit ăţi matematice. În lecţiile de recapitulare, de aplicare a testului se restructureaz ă noţiunile, conceptele formate, mai mul ţi termeni matematici utiliza ţi sunt notaţi, apoi integraţi într-un sistem coerent de cerinţe; elevul este îndemnat s ă folosească la unele manuale “Dic ţionarul matematic în imagini”. În cazul unor manuale, fiecare capitol este încheiat cu “Probleme mai dificile, dar frumoase”. Organizarea lecţiilor (de predare-înv ăţare, recapitulare, evaluare) ofer ă lucrărilor o durabilitate deosebit ă şi posibilităţi de educare a elevului în spiritul colectivit ăţii. Manualele alternative pun în valoare experien ţa bogată a învăţământului românesc, dar şi pe cea a şcolii primare din diferite ţări ale lumii. Era firesc ca în aceste condi ţii manualul să conţină informaţii mai noi sau altfel structurate, s ă solicite cât mai mult spiritul creativ al elevului, să mobilizeze la rezolvarea problemelor cu o solu ţie sau cu mai multe solu ţii, la discuţia cu privire la cazurile când o problem ă are soluţie sau nu şi în final înţelegerea faptului c ă învăţământul distribuie cuno ştinţele copiilor şi tinerilor cu scopul realiz ării unei “bătăi lungi” în conţinutul matematicii şi al capacit ăţii aplicării acesteia în practica prezent ă şi viitoare. Prezentăm în cele ce urmeaz ă un studiu comparativ al unor manuale alternative în vigoare, pentru disciplina matematic ă, la clasa a IV-a.

114

începutul lor 12.

13.

14.

15.

Manualul este Manualul nu este însoţit de auxiliare. însoţit de auxiliare -caiet (nu se specifică) -CD cu jocuri didactice -ex de fixare, antrenament şi dezvoltare -documentele înv. Se explică Nu are pictograme pictogramele care ci benzi cu însoţesc explicaţii scrise conţinuturile Singura formă de Nu are activităţi joc este „Concurs” de joc, concurs cu lucru în echipă şi sau lucru în proiecte. echipă

Are conţinuturi cu grad sporit de

Nu are conţinuturi cu grad sporit de

succed sub formă de titluri. Manualul nu este însoţit de Manualul nu este auxiliare (nu se specifică) însoţit de auxiliare (nu se specifică)

Nu are pictograme ci benzi cu explicaţii scrise

Manualul nu este însoţit de auxiliare (nu se specifică)


Nu are pictograme Se explică ci benzi cu pictogramele care explicaţii scrise însoţesc conţinuturile

Are pictograme explicate pe parcurs în benzi scrise

Există o singură formă de joc.

Are activităţi în echipă, joc premiu după evaluările sumative, concursuri pe echipe

Are activităţi cu cerinţe de lucru în perechi.

Are conţinuturi pentru dezvoltare la sfâr itul

Nu are conţinuturi cu grad sporit de

Are activităţi cu cerinţe de lucru în perechi, grupe sau individual, jocuri matematice, cercul isteţilor, ateliere, proiecte, portofoliu şi jocuri de creaţie Are conţinuturi cu grad sporit de

Are conţinuturi pentru dezvoltare la sfâr itul

începutul lor 12.

13.

14.

15.

16.

Manualul este Manualul nu este însoţit de auxiliare. însoţit de auxiliare -caiet (nu se specifică) -CD cu jocuri didactice -ex de fixare, antrenament şi dezvoltare -documentele înv. Se explică Nu are pictograme pictogramele care ci benzi cu însoţesc explicaţii scrise conţinuturile Singura formă de Nu are activităţi joc este „Concurs” de joc, concurs cu lucru în echipă şi sau lucru în proiecte. echipă

Are conţinuturi cu grad sporit de dificultate după evaluările sumative (Sporim performanţele) Debutează în studiul fracţiilor doar prin observarea imaginilor.

succed sub formă de titluri. Manualul nu este însoţit de Manualul nu este auxiliare (nu se specifică) însoţit de auxiliare (nu se specifică)

Nu are pictograme ci benzi cu explicaţii scrise



Nu are pictograme Se explică ci benzi cu pictogramele care explicaţii scrise însoţesc conţinuturile

Are pictograme explicate pe parcurs în benzi scrise

Există o singură formă de joc.

Are activităţi în echipă, joc premiu după evaluările sumative, concursuri pe echipe

Are activităţi cu cerinţe de lucru în perechi.

Nu are conţinuturi cu grad sporit de dificultate (*)

Are conţinuturi pentru dezvoltare la sfârşitul evaluărilor sumative.

Nu are conţinuturi cu grad sporit de dificultate (*)

Are activităţi cu cerinţe de lucru în perechi, grupe sau individual, jocuri matematice, cercul isteţilor, ateliere, proiecte, portofoliu şi jocuri de creaţie Are conţinuturi cu grad sporit de dificultate „Cercul isteţilor”

Debutează în studiul fracţiilor prin lucrul concret cu materialul sub formă de atelier.

Debuteaz ă în studiul fracţiilor prin repetarea a trei noţiuni cunoscute:doime,treime, pătrime dar nu solicită lucrul concret.

Debutează în studiul fracţiilor prin lucrul concret cu materialul (fructe, pâine)

Debutează în studiul fracţiilor doar prin observarea imaginilor.

Debutează în studiul fracţiilor prin lucrul concret cu materialul.

Are conţinuturi pentru dezvoltare la sfârşitul evaluărilor sumative.



12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor şcolare de matematică.

În contextul noului Curriculum Na ţional, conceptul central al proiect ării didactice este demersul didactic personalizat, iar instrumentul acestuia este unitatea de înv ăţare. Demersul didactic personalizat exprimă dreptul institutorului precum şi al autorului de manual, de a lua decizii asupra modalit ăţilor pe care le consider ă optime în cre şterea calităţii procesului de înv ăţământ, respectiv, r ăspunderea personal ă pentru a asigura elevilor un parcurs şcolar individualizat, în func ţie de condi ţii şi cerinţe concrete. Predarea-învăţarea matematicii la clasele I-IV presupune mutarea accentului de pe achiziţionarea de informa ţii, pe formarea de capacit ăţi. În aceste condi ţii noul Curriculum Naţional asociază în mod personalizat elementele programei (obiective de referin ţă, conţinuturi, activităţi de învăţare) cu alocarea de resurse (procedurale, materiale, temporale), considerate a fi optime de c ătre institutor. Deoarece actualele programe şcolare sunt centrate pe obiective, ele nu mai asociaz ă conţinuturilor ştiinţifice resursele temporale şi nici succesiunea obligatorie a acestora, crescând astfel rolul institutorului în conceperea şi organizarea activit ăţii didactice. Programa şcolară, element central în realizarea proiect ării didactice, reprezint ă un document reglator, stabilind obiective care trebuie realizate indiferent de manualul alternativ utilizat (manualul fiind un mijloc de realizare a obiectivelor prev ăzute de program ă).



12.2.2. Lectura personalizat ă a programelor şcolare de matematică.

În contextul noului Curriculum Na ţional, conceptul central al proiect ării didactice este demersul didactic personalizat, iar instrumentul acestuia este unitatea de înv ăţare. Demersul didactic personalizat exprimă dreptul institutorului precum şi al autorului de manual, de a lua decizii asupra modalit ăţilor pe care le consider ă optime în cre şterea calităţii procesului de înv ăţământ, respectiv, r ăspunderea personal ă pentru a asigura elevilor un parcurs şcolar individualizat, în func ţie de condi ţii şi cerinţe concrete. Predarea-învăţarea matematicii la clasele I-IV presupune mutarea accentului de pe achiziţionarea de informa ţii, pe formarea de capacit ăţi. În aceste condi ţii noul Curriculum Naţional asociază în mod personalizat elementele programei (obiective de referin ţă, conţinuturi, activităţi de învăţare) cu alocarea de resurse (procedurale, materiale, temporale), considerate a fi optime de c ătre institutor. Deoarece actualele programe şcolare sunt centrate pe obiective, ele nu mai asociaz ă conţinuturilor ştiinţifice resursele temporale şi nici succesiunea obligatorie a acestora, crescând astfel rolul institutorului în conceperea şi organizarea activit ăţii didactice. Programa şcolară, element central în realizarea proiect ării didactice, reprezint ă un document reglator, stabilind obiective care trebuie realizate indiferent de manualul alternativ utilizat (manualul fiind un mijloc de realizare a obiectivelor prev ăzute de program ă). În programa şcolară, fiecărui obiectiv cadru îi sunt asociate obiective de referin ţă. Atingerea acestora se realizeaz ă cu ajutorul con ţinuturilor, care se reg ăsesc la sfârşitul programei. Institutorul poate opta pentru folosirea activit ăţilor de înv ăţare recomandate prin program ă sau poate propune alte activit ăţi adecvate condi ţiilor concrete din clas ă (exemplele din program ă au caracter orientativ, utilizarea lor în procesul didactic nefiind obligatorie). 12.2.3. Planificarea calendaristic ă

Conform noului Curriculum Na ţional, planificarea calendaristic ă /semestrială este un document administrativ, care asociaz ă într-un mod personalizat elemente ale programei (obiective de referin ţă şi conţinuturi), cu alocarea de timp considerat ă optimă de către cadrul didactic, pe parcursul unui an şcolar/semestru (din disponibilit ăţile de timp alocate prin num ărul de ore săptămânal cu care este prev ăzută disciplina în planul de înv ăţământ). Planificarea calendaristică /semestrială se realizează parcurgând urm ătoarele etape: -realizarea asocierilor între obiectivele de referin ţă şi conţinuturi în unit ăţi de învăţare; -stabilirea succesiunii de parcurgere a unit ăţilor de înv ăţare; -alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare unitate de înv ăţare în concordan ţă cu obiectivele de referin ţă /competenţele vizate şi conţinuturile delimitate. Planificările calendaristice pot fi întocmite pornind de la urm ătoarea rubricaţie: Şcoala………………………..

Cadrul didactic…………………….. Clasa……………………………….. Disciplină cu nr.ore pe s ăptămână…. An şcolar……………………………

Disciplina…………………… Aria curriculară………………

Unitatea de învăţare

Planificarea calendaristic ă Obiective de referin ţă / Conţinuturi Nr. ore competenţe specifice alocate

Săptămâna

Observaţii

Precizări privind completarea tabelului: -în rubrica referitoare la “unitatea de înv ăţare” se vor trece titluri (teme) stabilite de c ătre institutor; 117



-în rubrica referitoare la “obiective de referin ţă” se vor trece numerele acestora din programa şcolară; -în rubrica referitoare la “con ţinuturi” se vor trece cele extrase din lista de con ţinuturi ale programei; -în rubrica referitoare la “nr. ore alocate” se va trece num ărul de ore alocate stabilit de cadrul didactic în func ţie de obiectivele vizate, con ţinuturile de parcurs şi specificul clasei cu care se lucreaz ă, în limitele num ărului de ore alocate prin planul de înv ăţământ; -în rubrica referitoare la “observa ţii” se vor trece, de-a lungul anului, modific ări determinate de aplicarea efectiv ă a programei în scopul îmbun ătăţirii demersului didactic. 12.2.4. Proiectarea unit ăţilor de învăţare. Elementul generator al planific ării calendaristice este unitatea de înv ăţare, astfel proiectarea la nivelul unit ăţii de învăţare reprezint ă o etapă de baz ă a organizării demersului didactic. Unitatea de învăţare reprezintă o structură didactică deschisă şi flexibil ă care are următoarele caracteristici: -determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat de integrarea unor obiective de referin ţă; -este unitară din punct de vedere tematic; -se desf ăşoară în mod sistematic şi continuu pe o perioad ă de timp; -se finalizeaz ă prin evaluare sumativ ă. În condiţiile noului Curriculum Na ţional, institutorul poate grupa temele în unit ăţi de învăţare, poate recurge la ad ăugiri, omiteri, adapt ări, înlocuiri a materialelor suport oferite de

manualele alternative. Proiectarea pe unit ăţi de înv ăţare are urm ătoarele avantaje: -creează un mediu de înv ăţare coerent pe termen mediu şi lung; -implică elevii în proiecte de înv ăţare personală cu accent pe explorare şi reflecţie; -oferă institutorului posibilitatea adapt ării demersului didactic-aplicativ la ritmul propriu de învăţare al elevilor; -presupune o viziune de ansamblu, unitar ă asupra con ţinuturilor care urmeaz ă a fi abordate în actul de predare-înv ăţare-evaluare. Proiectarea unei unităţi de învăţare este algoritmică, conţinând urm ătorii paşi: -identificarea obiectivelor (În ce scop voi face?); -selectarea conţinuturilor (Ce voi face?); -analiza resurselor (Cu ce voi face?); -determinarea activit ăţilor de înv ăţare (Cum voi face?); -stabilirea instrumentelor de evaluare (Cât s-a realizat?). Rubricaţia unui proiect al unei unit ăţi de învăţare este: Şcoala………………………..

Cadrul didactic…………………….. Clasa……………………………….. Disciplină cu nr.ore pe s ăptămână…. An şcolar……………………………

Disciplina…………………… Unitatea de înv ăţare…………

Conţinuturi (detaliere)

Proiectul unităţii de înv ăţare Obiective de referin ţă / Obiective Activităţi de Strategii Evaluare competenţe specifice operaţionale învăţare didactice

Precizări privind completarea tabelului: -în rubrica referitoare la “con ţinuturi” se vor trece inclusiv detalieri de con ţinut induse de alegerea unui anumit parcurs; 118



-în rubrica referitoare la “obiective de referin ţă” se vor trece numerele acestora din planificarea calendaristic ă /programa şcolară; -în rubrica referitoare la “obiective opera ţionale” se vor trece cele deduse din fiecare obiectiv de referin ţă; -în rubrica referitoare la “activit ăţi de înv ăţare” se vor trece activit ăţi care pot fi cele din programa şcolară, sau altele, pe care institutorul le consider ă potrivite pentru atingerea obiectivelor propuse; -în rubrica referitoare la “strategii didactice” se vor trece resursele procedurale (metode şi procedee), materiale (mijloace de înv ăţământ) şi temporale, forme de organizare a clasei; -în rubrica referitoare la “evaluare” se vor trece instrumentele sau modalit ăţile de evaluare utilizate la clas ă. Fiecare unitate de înv ăţare se încheie cu o evaluare sumativ ă, pentru a m ăsura ce s-a realizat în raport cu ceea ce s-a propus. 12.2.5. Proiectul de lec ţie. Proiectarea pe unit ăţi de învăţare nu conţine suficiente elemente pentru a oferi o imagine completă asupra fiec ărei activităţi didactice. Din acest motiv este necesar ă proiectarea fiec ărei activităţi didactice, lecţia trebuind s ă fie înţeleasă ca o component ă operaţională pe termen scurt a unităţii de învăţare. Lecţia trebuie s ă asigure realizarea unor obiective opera ţionale precis formulate, subordonate obiectivelor de referin ţă, măsurabile pe parcursul sau în finalul lec ţiei. Proiectul de lecţie nu reprezint ă decât o variant ă aleasă de către institutor, în aplicarea căreia trebuie s ă dovedească flexibilitate. Proiectul de lecţie trebuie să conţină: -date de identificare: data, clasa, şcoala, institutorul, disciplina (matematica); -datele pedagogice ale lec ţiei: subiectul lec ţiei, tipul lecţiei (dobândire de noi cuno ştinţe, formare de priceperi şi deprinderi, recapitulare şi sistematizare, evaluare), obiectivele de referinţă, obiectivele opera ţionale, strategii didactice folosite, bibliografia; -desf ăşurarea lec ţiei care conţine: eşalonarea în timp a situa ţiilor de înv ăţare (etapele lecţiei), obiectivele opera ţionale urmărite, conţinuturile, strategiile didactice şi modalităţile de evaluare pentru fiecare etap ă în parte.

Tabelul de specificarea coresponden ţelor este urm ătorul: Eşalonarea în timp a situaţiilor de învăţare

Obiective operaţionale

Activitatea cadrului elevilor didactic

Strategia didactică Resurse Forma Evaluare proce- mate tempo- de org duriale rale rale

Moment organizatoric Verificarea temei de casă şi a pregătirii elevilor Captarea atenţiei Anunţarea temei şi a obiectivelor Prezentarea situaţiei de învăţare. Dirijarea învăţării 119

Indici de performanţă



Asigurarea feedback-ului Realizarea performanţei Retenţie/tema de casă

Test de autoevaluare 1.Realizaţi un proiect, la alegere, al unei unit ăţi de învăţare din matematica clasei a IV-a. Răspunsuri şi comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 12.2.4. (Proiectarea unit ăţilor de înv ăţare). Lucrare de verificare 4 1. Realizaţi un proiect de lec ţie -la alegere, dintr-o unitate de înv ăţare -la alegere, din matematica clasei a IV-a.

Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: Stabilirea corect ă şi corelarea tipului de lec ţie cu obiectivele şi strategiile didactice de înv ăţare şi evaluare: Reflectarea, în desf ăşurarea lecţiei a etapelor unei lec ţii de matematic ă de tipul precizat: Alegerea adecvat ă a instrumentelor de evaluare:

10 puncte 30 puncte 40 puncte 20 puncte

Rezumat Aceastã temă are ca scop familiarizarea cu metodologia proiect ării didactice la matematic ă. Este definit conceptul de „proiectare didactic ă”. Sunt analizate manualele alternative la matematică, fiind prezentat şi un studiu comparativ al manualelor de matematic ă pentru clasa a IV-a. Sunt descrise produsele proiect ării didactice la nivel micro: planificarea calendaristic ă, proiectarea unit ăţilor de înv ăţare şi proiectul de lec ţie. Bibliografie Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite şti, 2005. Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Manolescu, M.: Curriculum pentru învăţământul primar şi pre şcolar. Teorie şi practică , Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Panţuru, S.: Proiectarea didactică în teoria şi metodologia instruirii şi teoria şi metodologia evalu ării, Universitatea „Transilvania” din Bra şov, 2006. Roşu, M.: Didactica matematicii în învăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. Singer, M., Neagu, M. şi colab.: Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică primar-gimnaziu, Aramis Print SRL, Bucureşti, 2001. *** Manualele şcolare (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I-IV . ***Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Tineretului, Consiliul Na ţional pentru Curriculum. Programe şcolare pentru înv ăţământul primar , revizuite. Bucure şti,2003(I,II),2004(III), 2005(IV). ***SNEE, CNC, Descriptori de performan ţă pentru înv ăţământul primar, Editura ProGnosis.

120


Metodica Activităţilor matematice şi a aritmeticii BIBLIOGRAFIE

Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel-Stroescu , E., : Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura CARMINIS, Pite şti, 2005. Aron, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucure şti, 1975. Atanasiu, Gh., Purcaru, M.A.P.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, Editura Universităţii „Transilvania” din Bra şov, 2002. Brânzei, D., Brânzei, R.: Metodica pred ării matematicii. Editura Paralela 45, Pite şti, 2000. Bulboacă, M., Alecu, M.: Metodica activit ăţ ilor matematice în gr ădini ţă şi clasa I . Editura Sigma, Bucure şti, 1996. Cristea, S.: Dic ţ ionar de termeni pedagogici . Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucureşti, 1998. Jinga, I., Istrate, E.: Manual de pedagogie . Editura ALL, Bucure şti, 2001. Lupu, C.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a. Licee pedagogice . Editura Paralela 45, Pite şti, 1999. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice. Editura Paralela 45, Pite şti, 1998. Lupu, C., S ăvulescu, D.: Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a XI-a. Licee pedagogice. Editura Paralela 45, Pite şti, 2000. Manolescu, M.: Evaluarea şcolar ă-metode, tehnici şi instrumente, Editura METEOR PRESS, 2005. Manolescu, M.: Curriculum pentru învăţământul primar şi pre şcolar. Teorie şi practică , Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Neacşu, I.: Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV . Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucure şti, 1988. Neagu, M., Beraru, G.: Activit ăţ i matematice în gr ădini ţă. Editura AS’S, 1995. Păduraru, V.: Activit ăţ i matematice în înv ăţământul pre şcolar . Editura Polirom, Ia şi, 1999. Panţuru, S.: Proiectarea didactică în teoria şi metodologia instruirii şi teoria şi metodologia evalu ării, Universitatea „Transilvania” din Bra şov, 2006. Panţuru, S., P ăcurar, D.C.: Didactica. Curs de pedagogie. Partea a II-a . Universitatea Transilvania din Bra şov, 1997. Radu, I.: Evaluarea în procesul didactic. Editura Didactic ă şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. Radu, N., Singer, M.: Matematică pentru clasa a II-a. Ghid pentru înv ăţători şi părin ţ i. Editura Sigma, Bucure şti, 1994. Radu, N., Singer, M.: Matematică pentru clasa a III-a. Ghid pentru înv ăţători şi părin ţ i. Editura Sigma, Bucure şti, 1995. Rafailă, E., Ţugui, L., Jurebie, S., Apostol, V.: Modele orientative de lucru cu pre şcolarii. Editura ALL, Bucure şti, 1999. Roşu, M.: Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucure şti, Editura CREDIS, 2004. Roşu, M.: Didactica matematicii în înv ăţământul primar, MEC, Unitatea de Management a Proiectului pentru Înv ăţământul Rural, 2007. Singer, M., Neagu, M. şi colab.: Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică primar-gimnaziu, Aramis Print SRL, Bucureşti, 2001. Singer, M., P ădureanu, V., Mogo ş, M.: Matematică pentru clasa a IV-a. Ghid pentru învăţători şi părin ţ i. Editura Sigma, Bucure şti, 2000. 121

Metodica_activitatilor_matematice_primar_si_prescolar.pdf

Recommend Documents