MEOSON

“Año del buen servicio al ciudadano”

FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO / CODIGO: MECÁNICA, OSCILACIÓN Y ONDAS / 21841311155

PROYECTO: CÁLCULO “ CÁLCULO

DE LA ACELARACIÓN EN CUERPOS DE DIFERENTES

MASAS UTILIZANDO UTILIZANDO LA SEGUNDA LEY DE NEWTON”

INTEGRANTES:

N °

APELLIDOS Y NOMBRES

CARRERAS

COD.

INGENIERÍA DE SISTEMAS COMPUTACIONALES

83449

2 CASTILLO VEGA, Landoll

INGENIERÍA DE MINAS

83648

5 CASTRO SORIA, Fernando

INGENIERÍA DE MINAS

76911

INGENIERÍA INDUSTRIAL

83138

INGENIERÍA DE SISTEMAS COMPUTACIONALES

83212

1 ABANTO CRISÓLOGO, Elmer

3 CHÁVEZ ÁVILA, Arturo 4 NARRO DÍAZ, Ruben

CICLO: II DOCENTE: PAREDES ROMERO, FANY LUZ

TRUJILLO – PERÚ 2017 – I

CONTENIDOS

Índice INTRODUCCIÓN ................................................................................. 5 2. Secuencia de pasos de trabajo ................................................. 6 3. Marco teórico .............................................................................. 7 3.1. Funciones lineales............................................................... 7 3.1.1. Pendiente de una recta .................................................. 7 3.1.2. Tipos de pendientes ...................................................... 8 3.2. Funciones cuadráticas ........................................................ 9 3.3. Representación gráfica: parábola ...................................... 9 3.3.1. Elementos de una función cuadrática ........................ 10 3.4. Área .................................................................................... 13 3.5. Conceptos previos de aplicación comercial ................... 14 4. Problemas propuesto ............................................................... 15 4.1. Problema 1 ......................................................................... 15 4.2. Problema 2 ......................................................................... 17 4.3. Problema 3 ......................................................................... 18 4.4. Problema 4 ......................................................................... 20 4.5. Problema 5 ......................................................................... 22 5. INFORMACIÓN DEL GRUPO .................................................... 24 5.1. ASISTENCIAS: ................................................................... 24 5.2. APORTACIÓN AL PROYECTO: ......................................... 24 Referencias ...................................................................................... 25

ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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CONTENIDOS


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CONTENIDOS

Tabla de ilustraciones Ilustración 1: Ecuación lineal ............................................................... 7 Ilustración 2: Pendiente > 0 ................................................................. 8 Ilustración 3: Pendiente < 0 ................................................................. 8 Ilustración 4: Pendiente = 0 ................................................................. 8 Ilustración 5: Pendiente no definida ..................................................... 9 Ilustración 6: Función Cuadrática ........................................................ 9 Ilustración 7: Representación de una parábola .................................. 10 Ilustración 8: Elementos de una función cuadrática ........................... 10 Ilustración 9: Coeficiente > 0 lustración 10: Coeficiente < 0 ............ 11 Ilustración 11: Punto de corte en el eje "y" ........................................ 11 Ilustración 12: Punto de corte en el eje "y" ........................................ 11 Ilustración 13: Formula del Discriminante .......................................... 12 Ilustración 14: Puntos de corte en el eje "x" ....................................... 12 Ilustración 15: Vértice de una parábola ............................................. 13 Ilustración 16: Eje de simetría de una parábola ................................. 13 Ilustración 17: Área según su forma geométrica ................................ 14 Ilustración 18: Formulas .................................................................... 15


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CONTENIDOS

Tabla de actividades Tabla 1: Cronograma de actividades ................................................... 6 Tabla 2: Tabulación del ejercicio 1 .................................................... 16 Tabla 3: Tabulación del ejercicio 2 .................................................... 18 Tabla 4: Tabulación del ejercicio 2 .................................................... 19 Tabla 5: Tabulación del ejercicio 4 .................................................... 21 Tabla 6 Tabulación del ejercicio 5 ..................................................... 23 Tabla 7: Asistencias al avance de los trabajos .................................. 24 Tabla 8: Aportes al trabajo................................................................. 24

Tabla de graficas Grafica 1 ............................................................................................ 17 Grafica 2 ............................................................................................ 18 Grafica 3 ............................................................................................ 19 Grafica 4 ............................................................................................ 22 Grafica 5 ............................................................................................ 23


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FUNCIONES CUADRÁTICAS

INTRODUCCIÓN Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carr os hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido.


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2. Secuencia de pasos de trabajo En el siguiente cronograma de actividades detallamos los pasos que se siguieron para desarrollar este proyecto de investigación aplicativa.

N° 1

Actividades Idea del proyecto

Octubre 1

2

3

Noviembre 4

5

1

2

X

X

3

4

5

X

Búsqueda de 2

información del proyecto

3

Elaboración

X

del proyecto Presentación

4

X

del borrador del proyecto

5

Sustentación

X

del proyecto Tabla 1: Cronograma de actividades


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3. Marco teórico Durante el desarrollo de este proyecto se tomaran en cuenta los siguientes conceptos tecnológicos.

3.1. Funciones lineales Son funciones de dominio real y condominio real, cuya expresión analítica es: f(x) = a.X+b donde “a” y “b” son números reales. 

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares.



La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es “b”.



El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos “b”.

Veamos un ejemplo

Ilustración 1: Ecuación lineal

3.1.1. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean P1 (x1; y1) y (x2; y2), P2 dos puntos de una recta, no paralela al eje Y; la pendiente:

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo. ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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3.1.2. Tipos de pendientes 3.1.2.1. Caso 1 Si la pendiente es mayor a cero, entonces la línea recta es creciente o la gráfica de la línea recta se inclina hacia la derecha.

Ilustración 2: Pendiente > 0

3.1.2.2. Caso 2 Si la pendiente es menor a cero, entonces la línea recta es decreciente o la gráfica de la línea recta se inclina hacia la izquierda.

Ilustración 3: Pendiente < 0

3.1.2.3. Caso 3 Si la pendiente de la recta es igual a cero, entonces la gráfica de la recta es paralela al eje “x” o es horizontal.

Ilustración 4: Pendiente = 0 ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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3.1.2.4. Caso 4 Si la pendiente de la recta no está definida o no existe, entonces la gráfica de la recta es par alela al eje “y” o es vertical.

Ilustración 5: Pendiente no definida

3.2. Funciones cuadráticas Como ya sabes, una función es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen. Función cuadrática es aquella función que está determinada por la ecuación de segundo grado (cuadrática) de la forma;

Ilustración 6: Función Cuadrática

Donde “a”, “b” y “c” son números reales, y a ≠ 0, ya que si a = 0 se anula x2, y no sería una ecuación cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática se denomina parábola

3.3. Representación gráfica: parábola La parábola de la función cuadrática, es una curva simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas, la cual se denomina eje de simetría. La parábola se compone de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación cuadrática

Donde: “a”, “b” y “c” Son

= 

ℝ

El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por un vértice, por el cual se traza el eje de simetría, los puntos de corte en el eje x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le denomina ramas de la parábola. ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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Si graficamos una parábola de una función cuadrática, podemos ver:

Ilustración 7: Representación de una parábola

Estos puntos que forman la parábola, están determinados por los coeficientes numéricos “a” y “b” de ecuación cuadrática.



y x respectivamente, y el término independiente “c” de la

Ilustración 8: Elementos de una función cuadrática

3.3.1. Elementos de una función cuadrática 3.3.1.1. Concavidad: La concavidad nos indica si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo sus ramas, si el coeficiente “a” es mayor que cero, la parábola abre hacia arriba, si el coeficiente “a” es menor que cero, la parábola abre hacia abajo.


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Veamos la representación gráfica de las siguientes funciones:

Ilustración 9: Coeficiente > 0

Ilustración 10: Coeficiente < 0

3.3.1.2. Punto de corte con el eje “y” El punto de corte en el eje y está determinado por el valor del término independiente “c”, ya que, si analizamos una función cuadrática

=()= , con x = 0 obtenemos;

Ilustración 11: Punto de corte en el eje "y"

Entonces, el punto de coordenadas (0, c) de una función cuadrática

() =   corresponde al punto en que la parábola ,

corta al eje y.

Ilustración 12: Punto de corte en el eje "y" ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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3.3.1.3. Raices para los puntos de corte en el eje “x” Las raíces de una función cuadrática son los valores de x cuando la f unción es igual a cero. En otras palabras son los valores de x donde la parábola intersecta el eje x, también puedes encontrar las raíces con el nombre de soluciones o ceros. Generalmente para encontrar las raíces, podemos factorizar la función o bien utilizar la fórmula general, que tiene la siguiente forma.

 4 ±√  = 2 Recuerda que el discriminante es la cantidad sub-radical b 2 - 4 a c y se designa con la letra delta.

Ilustración 13: Formula del Discriminante

Según el valor del discriminante, la función cuadrática corta dos, una o ninguna vez el eje x;

Ilustración 14: Puntos de corte en el eje "x"

3.3.1.4. Vértice El vértice es un punto de la parábola máximo o mínimo en la función. Diremos que el vértice es máximo si la parábola tiene concavidad hacia abajo y diremos que el vértice es mínimo siempre y cuando la parábola tenga concavidad hacia arriba. La fórmula para encontrar el vértice es la siguiente:

4

 = 2 , 4  ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

Donde la función es: y=ax2+bx+c

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Ilustración 15: Vértice de una parábola

3.3.1.5. Eje de simetría El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, por tanto es única y dividirá en dos partes iguales a la parábola como una simetría axial. El eje de simetría se representa por la recta x = -b/2a.

Ilustración 16: Eje de simetría de una parábola

3.4. Área El área pude ser definida como la media de la superficie Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo. En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos. Donde:

b= Base h= Altura ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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Ilustración 17: Área según su forma geométrica

3.5. Conceptos previos de aplicación comercial En las transacciones comerciales se involucra básicamente tres elementos como son los siguientes.

3.5.1. Precio de venta (Pv) Es lo que el cliente paga al comerciante por la compra de la mercadería

= ↔ =

3.5.2. Precio de costo (Pc) Es lo que el comerciante invierte en la adquisición de una mercadería para luego venderla.

= ↔ =

3.5.3. Ganancia (G) Es la diferencia que se obtiene cuando el precio de venta es mayor que el costo

=


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3.5.4. Pérdida (P) Es la diferencia que resulta cuando la mercadería se vende a un precio menor que el costo.

3.5.5. Ingreso (I)

=

Se entiende por ingresos a todas las ganancias que ingresan al conjunto total del presupuesto de una entidad, ya sea pública o privada, individual o grupal.

=∗

Donde “C” es la cantidad de un producto

Ilustración 18: Formulas

4. Problemas propuesto 4.1. Problema 1 A pesar de que el césped sintético del campo de un estadio es aparentemente plano, su superficie tiene la forma de una parábola. Esto es para que la lluvia resbale hacia l os lados. Si tomamos la sección transversal del campo, la superficie puede ser modelada por

=0.000234(80) 1.5, donde x es la distancia desde la izquierda del campo y yes la altura del campo. ¿Cuál es el ancho del campo?

Desarrollo

=0.000234(80) 1.5 =0.000234( 1606400)1.5 ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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=0.000234  0.037441.49761.5 =0.000234  0.037440.0024 0=0.000234  0.037440.0024 

Hallamos los puntos de corte en el eje x, para ello hacemos



Hacemos uso de la formula general

=

  ±√   = 

Donde:

=0.000234 =0.03744 =0.0024  4(0.000234)(0.0024) 0. 0 3744± 0 . 0 3744 = 2(0.000234) 0. 0 3744± 0 . 0 0144 √  = 0.000468 √ 0.00144  = 0.03744± 0.000468 03794733192  = 0.03744±0. 0.000468  =0.0640769  =160.06408 tabla de tabulación X -20 0 20 40 Y -0.84 0.0024 0.6576 1.1256

60 1.4064

80 1.5

100 1.4064

120 1.1256

140 0.6576

160 180 0.0024 -0.84

Tabla 2: Tabulación del ejercicio 1


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=−0.000234( −80)^2+1.5 1.5

1.6

1.4064

1.4064

1.4 1.1256

1.2

1.1256

1 0.8

0.6576

0.6576

0.6 0.4 0.2 0.0024

0.0024

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Grafica 1

Respuesta: El ancho del terreno es de 160 pies.

4.2. Problema 2 Una granjera tiene 1000 pies de cerca y un campo m uy grande. Pone una cerca formando un área rectangular con dimensiones x pies y 500 – x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo más grande que puede ella crear?

Desarrollo

Como el área es:

500-X

A=b*h

X

 = (500)  = 500  =  500

 500 4(1)(0)500  = 2(1) , 4(1) 


Es una función cuadrática, por lo que calculamos el vértice para saber el área máxima

  4  =  2 , 4   = (250,62500)

Como A=Y entonces el área máxima será 62500 pies2 Página 17 | 25


Tabla de tabulación x 0 50 250 100 150 200 300 350 400 450 500 y 0 22500 40000 52500 60000 62500 60000 52500 40000 22500 0 Tabla 3: Tabulación del ejercicio 2

=250^2−(−250)^2 70000 60000

62500

60000

60000 52500

52500

50000 40000

40000

40000

30000 22500

22500

20000

10000 0

0

0 0

100

200

300

400

500

600

Grafica 2

4.3. Problema 3 Se te da la siguiente información de precio y cantidad. Escribe una ecuación que represente la ganancia anual P para un precio s. El costo de producción por artículo es de $30.

Precio de Venta s 100 200 500 600 800

Cantidad vendida q 7000 6000 3000 2000 0

Desarrollo


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Datos: Pv = S Cantidad vendida = q Ganancia = P Costo = 30 Ganancia anual P para un precio S:

=( ) ( ) P = S(q)30(q)………….(1)

Graficamos s en el eje horizontal y q en el eje vertical. Usamos dos puntos cualesquiera en la línea recta de la gráfica para encontrar la pendiente e intersección. P (100,7000) y (200,600)

Tabla de tabulación x y

0

100

200

300

400

500

600

700

800

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0


= −10+8000 9000 8000 8000 7000 7000

6000

6000 5000 5000

4000

4000

3000

3000 2000 2000 1000 1000 0 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Grafica 3

Usamos la siguiente fórmula para encontrar la pendiente:

 ()  =    ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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7000= 60007000 200100 (100) 7000= 1000 100 (100) 7000=10(100) 7000=101000 = =108000 ∴ m = 10 ;donde b vendria a ser la interseccion 

Entonces:



Reemplazando en (1):

=108000  = ()30()  = (108000)30(108000) =10 800030024000 ∴=10 830024000 4.4. Problema 4 Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación

=. .

donde x es la distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?

Desarrollo 

Hacemos uso de la formula general

− −±√   =  ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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=0.0241  5.5 Dónde:

a= -0.0241, b=1 y c= 5.5 

Encontramos ambas raíces:

−(−.)(.) −±   = (−.) −±  +.   √  = −.  = −±−.√ .

X =46.4 X =4.9

¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva. Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo en cambio la otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento ya que es positiva.

Tabla de tabulación x

0

5

10

y 5.50 9.90 13.09

15 15.08

20

25

15.86 15.44

30

35

40

45

46

46.4

13.81

10.98

6.9 4

1.70

0.50

0.01



Página 21 | 25


=−0.0241^2++5.5 18.00 15.08

16.00

15.86

15.44 13.81

13.09

14.00

10.98

12.00

9.90

10.00 6.94

8.00 6.00

5.50

4.00 1.70 0.50 0.01

2.00 0.00 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Grafica 4

Respuesta: La longitud del tiro es de 46.4 pies aproximadamente

4.5. Problema 5 Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies. Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué ta n ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.)

Datos:

Hacer un esquema del problema. Como no conocemos el ancho del borde, le daremos la variable x.

Como cada lado del edredón de 4 x 5 original tiene un borde de ancho x añadido, la longitud del edredón con el borde será de 5 + 2x, y el borde será de 4 + 2x (Es aquí donde podrías empezar a pensar "Aja, esto podría ser una ecuación cuadrática después de todo. Tenemos ambas dimensiones escritas con la misma variable, y las vamos a multiplicar para obtener un área") ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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Área del borde = Área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)

10 = (42x)(52x)20 10 = [201084] 20 10=4  18 0=4 1810

Es una función cuadrática, por lo que calcularemos sus raíces para saber el ancho. Para ello hacemos uso de la formula general

 4 ±√   = 2

 4(4)(10)  = 18±  182(4)  = 18±2(4)√ 484 = 18±22 8 4 =0.5  = 1822 = 8 8 40 = 5  = 1822 = 8 8

Rapta: El ancho del borde debe de ser de 0.5 pies Representación gráfica:

Tabla de tabulación x y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-10

-8.16

-6.24

-4.24

-2.16

0

Tabla 6 Tabulación del ejercicio 5

y=4^2+18−10 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-2

-4

-6

-8

-10

-12

Grafica 5 ABANTO, E; CASTILLO, L; CASTRO, F; CHAVEZ, A; NARRO, R

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5. INFORMACIÓN DEL GRUPO 5.1. ASISTENCIAS: INTEGRANTES

SEM. 11

SEM. 12

SEM. 13

SEM.14

SEM.15

ABANTO CRISÓLOGO, Elmer

x

x

x

CASTILLO VEGA, Landoll

x

x

x

CASTRO SORIA, Fernando

x

x

x x

CHÁVEZ ÁVILA, Arturo

x

NARRO DÍAZ, Ruben

x

x

Tabla 7: Asistencias al avance de los trabajos

5.2. APORTACIÓN AL PROYECTO: INTEGRANTES

Introducción

ABANTO CRISÓLOGO, Elmer

M. Teórico

Desarrollo de ejercicios

X

CASTILLO VEGA, Landoll

Elaborar

el

presentación

informe

ppt.

X

X

CASTRO SORIA, Fernando

X

CHÁVEZ ÁVILA, Arturo NARRO DÍAZ, Ruben

X

Adjuntar

X X

x

X

X

Tabla 8: Aportes al trabajo


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Referencias Academia internet. (5 de febrero de 2015).aplicaciones comerciales en porcentajes. [Archivo de video]

Recuperado

el

26

de

noviembre

de

2017,

en

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https://www.portaleducativo.net/tercero-medio/10/funcion-

cuadratica-parabola Portal Educativo. (s/f).Función Cuadrática: Parábola. [En línea] Recuperado el 26 de noviembre de 2017, en https://www.portaleducativo.net/tercero-medio/10/funcion-cuadratica-parabola Profesor en línea. (2015).Función Cuadrática. [En línea] Recuperado el 26 de noviembre de 2017, en http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html Tenenbaum, S. (2015).Función lineal . [En línea] Recuperado el 26 de noviembre de 2017, en http://www.x.edu.uy/graficalineal.htm


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MEOSON

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