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Juin 2008 RASOLONDRAMANITRA Jonathan Spécialité Génie Civil

PROJET DE FIN D’ETUDES « Etude de structures en béton armé en zone sismique »

RASOLONDRAMANITRA Jonathan

GC5 CO

PRESENTATION

Auteur :

RASOLONDRAMANITRA Jonathan Etudiant en 5e année Spécialité Génie Civil Option CO Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg

Professeur référent :

J-G. SIEFFERT Professeur des Universités – Enseignant de Mécanique des Sols et de Dynamique des Structures Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg

Ingénieurs tuteurs :

CANAT Olivier Ingénieur Structure AGIBAT Ingénierie RYSER Géraldine Ingénieur Structure AGIBAT Ingénierie

PFE effectué chez AGIBAT Ingénierie : Les Bureaux de Chalin 20 chemin Louis Chirpaz 69134 Ecully Cedex e-mail : [email protected] Tél. : 04 72 18 02 49 Fax : 04 78 64 71 49

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REMERCIEMENTS Ce Projet de Fin d'Etudes a été effectué chez AGIBAT Ingénierie, et je tiens à remercier toutes celles et ceux qui ont contribué à rendre cette expérience enrichissante.

Je remercie François JANAUDY, gérant d'AGIBAT Ingénierie, pour m'avoir accueilli dans son entreprise, et Alain BOUQUET, responsable du pôle Structure, pour m'avoir intégré à son équipe.

Je tiens à exprimer ma très grande reconnaissance à Olivier CANAT, ingénieur structure, pour m’avoir suivi, conseillé et aidé, ainsi que pour le temps qu’il m’a consacré. Je remercie aussi Géraldine RYSER, ingénieur structure, pour ses conseils et sa disponibilité.

Mes remerciements vont également à Jean-Georges SIEFFERT, professeur de Géotechnique et de Dynamique à l'INSA Strasbourg, pour m'avoir encadré tout au long de ce travail.

Je remercie aussi Daniel RENAULT, professeur de Mécanique des Milieux Continus et d'Analyse des Structures à l'INSA Strasbourg, pour m'avoir apporté une aide précieuse.

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RESUME L’étude sismique de structures en béton armé est un domaine qui nécessite des analyses spécifiques. Même si le règlement parasismique PS92 donne une ligne de conduite à respecter pour obtenir un niveau de sécurité satisfaisant, celui-ci ne donne pas pour autant toutes les indications permettant d'atteindre l'objectif de manière aisée. C'est pourquoi la philosophie de ce projet final est de tenter d'apporter des réponses, ou du moins des éléments de réponses, à certaines questions qu'un ingénieur est amené à se poser. Cela peut concerner autant le type de modélisation d’une structure que les paramètres de l'analyse modale, la détermination des efforts statiques équivalents ou bien l'étude du contreventement de bâtiments.

Mots - Clés : Génie Parasismique – Structures Béton Armé – Interaction Sol-Structure – Contreventement.

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SOMMAIRE INTRODUCTION..............................................................................................................................8 ETUDE SISMIQUE DE NANOBIO ................................................................................................9 1.

Présentation du projet ........................................................................................................9 1.1. Contexte géotechnique du site et principes de fondation......................................................9 1.2. Principes structurels ...........................................................................................................10 1.3. Hypothèses de calculs .........................................................................................................10

2.

Modèle sismique et analyse modale spectrale.................................................................13 2.1. Préliminaires.......................................................................................................................13 2.2. Analyse sismique .................................................................................................................13

3.

Vérifications des voiles de contreventement...................................................................14 3.1. Combinaisons des actions et coefficients de sécurité .........................................................14 3.2. Vérification..........................................................................................................................15

4.

Vérifications des pieux......................................................................................................17 4.1. Combinaisons des actions et coefficients de sécurité .........................................................17 4.2. Détermination des diamètres des pieux ..............................................................................17

PRISE EN COMPTE DE L’ISS AVEC UN BLOC DE LA CLINIQUE D’ANNEMASSE .....19 1.

Présentation succincte de la clinique d’Annemasse .......................................................19 1.1. Principes structurels ...........................................................................................................19 1.2. Hypothèses de calculs .........................................................................................................20

2.

Comparaison des modélisations.......................................................................................20 2.1. Hypothèse de l’encastrement ..............................................................................................20 2.2. Prise en compte de l’ISS .....................................................................................................21 2.3. Commentaires sur les résultats ...........................................................................................22

ETUDE DU CONTREVENTEMENT ...........................................................................................25 1.

Enjeux de la prise en compte des voiles inclinés et des voiles composés ......................25 1.1. Avantages ............................................................................................................................25 1.2. Inconvénients ......................................................................................................................25

2.

Présentation du phénomène .............................................................................................26 5


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2.1. Analogie avec la construction en mixte acier-béton...........................................................26 2.2. Cas des voiles de contreventement......................................................................................27 3.

Modélisation du phénomène ............................................................................................28 3.1. Hypothèses ..........................................................................................................................28 3.2. Résultats et commentaires...................................................................................................30 3.3. Recommandations ...............................................................................................................30

4.

Création de la feuille de calcul .........................................................................................31 4.1. Détermination des caractéristiques géométriques et mécaniques d’un voile composé......31 4.2. Intégration du voile dans la feuille de répartition des efforts sismiques ............................32

5.

Ferraillage d’un voile composé ........................................................................................33

ANNEXES.........................................................................................................................................34 A1.

Plans des différents niveaux de Nanobio.........................................................................35

A1.1.

Niveau toiture : Locaux techniques – plan architecte : .............................................35

A1.2.

Niveau R+2 – plan architecte :................................................................................36

A1.3.

Niveau R+1 – plan architecte :................................................................................37

A1.4.

Niveau RDC – plan architecte :...............................................................................38

A1.5.

Fondations – plan structure :....................................................................................39

A1.6.

Vue en perspective côté est – concours : ...................................................................40

A2.

Coefficient de comportement de Nanobio.......................................................................41

A2.1.

Voiles de contreventement du bloc ouest – niveau courant :.....................................41

A2.2.

Voiles de contreventement du bloc est – niveau courant :.........................................42

A3.

Exemple de vérification d’un voile de contreventement (Nanobio) .............................43

A3.1.

Acier de flexion Af :....................................................................................................43

A3.2.

Acier reprenant l’effort tranchant At et A et aciers de glissement : ..........................45

A4.

Vérification des pieux (Nanobio) .....................................................................................47

A5.

Plan des niveaux (Annemasse) .........................................................................................49

A6.

Modèle encastré (Annemasse)..........................................................................................50

A6.1.

Analyse modale :........................................................................................................50

A6.2.

Efforts sismiques en pied de voile :............................................................................50

A7.

Prise en compte de l’ISS (Annemasse) ............................................................................51

A7.1.

Tableau des coefficients de transmittance d’après Deleuze :....................................51

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A7.2.

Application de la méthode de Deleuze :.....................................................................51

A7.3.

Analyse modale avec ISS : .........................................................................................54

A7.4.

Efforts sismiques en pied de voile avec ISS : .............................................................54

A7.5.

Comparaison du ferraillage du V4 et du V5 des deux modèles :...............................55

A8.

Largeur efficace d’un voile composé...............................................................................56

A8.1.

Chargement dans le sens de l’âme – Ailes constantes : ............................................56

A8.2.

Chargement dans le sens des ailes – Ame constante :...............................................56

A8.3.

Chargement dans le sens de l’âme – Ame constante :...............................................57

A8.4.

Chargement dans le sens des ailes – Ailes constante : ..............................................57

A9.

Création de la feuille de calcul de contreventement ......................................................58

A9.1.

Détermination des caractéristiques d’un voile composé :.........................................58

A9.2.

Intégration du voile dans la feuille de répartition des efforts sismiques :.................60

A9.3.

Comparaison des résultats avec Epicentre :..............................................................62

CONCLUSION.................................................................................................................................65 LISTE DES FIGURES ET TABLEAUX.......................................................................................66 BIBLIOGRAPHIE...........................................................................................................................67

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INTRODUCTION Ce Projet de Fin d’Etudes a été réalisé dans le bureau d’études AGIBAT Ingénierie, situé à Ecully près de Lyon. Le thème du projet concernait l’étude de structures en béton armé en zone sismique. L’objectif principal était de permettre à un bureau d’études comme AGIBAT d’adopter une meilleure position face à une étude sismique. Les questions pouvaient être d’ordre théorique, que ce soit au niveau du type de modélisation des structures, des paramètres de l’analyse modale spectrale, de la détermination des efforts statiques équivalents et de leur combinaison, ou d’ordre plus pratique, avec l’étude du contreventement par voiles et le ferraillage de ces éléments. Quant à mes objectifs personnels, ils étaient similaires aux attentes de l’entreprise, c’est-àdire pouvoir comprendre chaque étape d’une étude sismique, et par la suite avoir un regard critique par rapport aux résultats obtenus. C’est pourquoi la première partie du PFE a consisté en l’étude et la compréhension des notions importantes mises en jeu, comme les différents types de modèles (2D type brochette, ou 3D type Eléments Finis), l’Interaction Sol-Structure (ISS), la notion de coefficient de comportement, les diverses combinaisons des efforts statiques équivalents ou le fonctionnement du contreventement.

Ce rapport va plutôt détailler la seconde partie du PFE, à savoir les projets qui m’ont permis de voir concrètement l’application du règlement parasismique PS92 [1], ainsi que les travaux effectués sur l’ISS et sur le fonctionnement du contreventement par voiles. Dans une première partie, nous verrons ainsi le déroulement d’une étude sismique selon le PS92 avec le projet Nanobio. Nanobio était l’occasion de mieux comprendre la démarche réelle d’une analyse sismique, ainsi que les procédures de vérification des éléments de structure affectés par l’action sismique, en l’occurrence les voiles et les pieux. Puis nous nous intéresserons à un bloc de la clinique d’Annemasse afin de mesurer les effets de l’ISS sur le comportement sismique du bâtiment. Le bloc étant fondé superficiellement, il offre la possibilité d’étudier un peu plus l’ISS, en mettant en pratique la méthode de Deleuze [6]. En effet, celle-ci permet de modéliser l’ensemble sol/fondations par des ressorts qui seront caractérisés par des raideurs en translation et en rotation, et par des amortissements correspondants. Nous terminerons alors sur l’étude du contreventement par voiles, notamment avec la prise en compte des voiles inclinés en plan et des voiles composés de forme diverse (U, Té, L, Z, etc.). Cette étude va nous permettre d’appréhender la complexité du fonctionnement du contreventement et de ses éléments.

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ETUDE SISMIQUE DE NANOBIO Le projet Nanobio est un bâtiment R+2 destiné à être construit sur le campus universitaire de Grenoble. Il accueillera des laboratoires de recherche et de développement sur les nanotechnologies appliquées au secteur de la santé. Au moment de l’étude, Nanobio était en phase PRO, nous disposions donc des résultats issus de l’avant-projet. Nous allons présenter dans cette partie les points importants concernant l’étude sismique de ce bâtiment, à savoir le contexte géotechnique du site et les principes de fondations retenus, les principes structurels et les hypothèses de l’étude sismique.

1. Présentation du projet 1.1.

Contexte géotechnique du site et principes de fondation

L’étude géotechnique réalisée par l’entreprise EG SOL, dans le cadre de l’étude de faisabilité géotechnique du projet, a consisté en plusieurs sondages au tractopelle et en sondages profonds avec essais pressiométriques jusqu’à 23 m de profondeur. Le site s’inscrit dans un contexte général de formations alluvionnaires récentes de l’Isère constitués de matériaux fins en surface et plus grossiers en profondeur. Cette campagne a mis en évidence la succession des horizons suivants : • limon, puis argile jusque vers 5,50 m à 6,00 m de profondeur (horizon présentant de faibles caractéristiques mécaniques) • formations sablo-graveleuses ou gravelo-sableuses caractéristiques des formations alluvionnaires jusqu’en fin de sondage. Les caractéristiques mécaniques de ces formations sont moyennes à bonnes avec Em variant de 67 à 400 bars et Pl* variant de 6,2 à 25,6 bars. Le site est donc caractérisé par une structure géotechnique constituée d’horizons mécaniquement faibles en surface, puis d’horizons plus compacts au-delà et jusqu’à une forte profondeur. C’est pourquoi l’idée d’un dallage sur terre plein a été abandonnée au profit d’un dallage porté. Il est à noter que les sols ne présentent pas de risques de liquéfaction. Pour reprendre les descentes de charges du bâtiment, l’entreprise EG SOL recommande l’utilisation de fondations profondes de type pieux forés à la tarière creuse.

Tab. I.1.1: Frottement latéral et effort de pointe mobilisable

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1.2.

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Principes structurels

Le bâtiment Nanobio est de forme rectangulaire, mesurant environ 65 m de long pour 15 m de large et 11.50 m de hauteur, hors locaux techniques en toiture. Il comprend au RDC des locaux techniques dans le bloc ouest, des salles communes (hall d’accueil, salle de réunions, cafétéria) et des bureaux administratifs dans le bloc est. Aux deux niveaux supérieurs, on trouve des laboratoires en partie nord, et des bureaux en partie sud. Enfin, la toiture comprend des locaux techniques en charpente métallique, abritant des machines. (Annexe A1) Les deux blocs sont séparés par un joint de dilatation. Le bloc ouest mesure environ 40 m de long pour 15 m de large, et le bloc est environ 25 m de long pour 15 m de large avec une branche excentrée comprenant une cage d’ascenseur. L’ossature porteuse de Nanobio est constituée d’une trame régulière de portiques (poteauxpoutres en béton armé), afin d’éviter tout porteur dans les zones de laboratoires, ainsi que de voiles de façade et des refends. Le contreventement est assuré par des refends spécifiques et par des noyaux situés aux extrémités du bâtiment (cages d’ascenseurs et d’escalier). L’une des particularités du projet, d’un point de vue parasismique, est la présence de peu de voiles de contreventement dans la direction O/E, ce qui nous conduira à des voiles très sollicités dans cette direction. Il est également intéressant de noter la zone de transparence du bloc ouest au RDC.

1.3.

Hypothèses de calculs

Les hypothèses de calculs pour l’analyse sismique sont prises conformément aux règles PS92 (NF P 06-013) de décembre 1995 et du décret du 29 mai 1997. Zone de sismicité : Zone Ib, département de l'Isère, canton de St Martin d'Hères Classe du bâtiment : Classe C => Accélération nominale : aN = 2,0 m/s2 Site S2 Coefficient de comportement q = 2 (voir détail plus loin) Coefficient d’amortissement ξ = 4% Coefficient topographique t = 1 Coefficient de masse partielle : F = 0.80 au PH R+2 (locaux techniques) sinon F = 0.20 (bureaux) Béton : B30 avec Edyn = 34200 MPa Acier : Fe500

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Détermination du coefficient de comportement Le contreventement étant assuré uniquement par des voiles, on se reporte d’abord au tableau 11 du PS92 :

Tab. I.3.1.1: Extrait du tableau 11 du PS92

Pour les structures comportant des transparences et les structures contreventées uniquement par des voiles, il faut également vérifier la compatibilité des déformations. On se reporte donc au tableau 12 :

Tab. I.3.1.2 : Tableau 12 du PS92

L’application rapide du règlement peut nous amener à considérer un coefficient de comportement très désavantageux. Par exemple, on se place dans le cas d’un bâtiment irrégulier : l 10.5 dans notre situation. q = 0.70 × q1 avec q1 = 1 + = 1+ bt bt On vérifie la valeur de q pour chacun des voiles de contreventement (voir Annexe A2) de chacun des blocs. On se rend compte que les valeurs de q tournent autour de q = 2.00, mais que la présence des longs voiles nous amène à q = 1.60. Dans l’hypothèse la plus défavorable, ce serait la valeur à retenir. Or, en regardant de plus près, on peut quand même justifier d’un bâtiment moyennement régulier, aisément pour le bloc est et plus difficilement pour le bloc ouest. Cela nous ramènerait alors à une valeur minimale de q valant 2.00.

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a) Configuration en plan [PS92 6.6.1.3.1.1] • • •

En termes de masses et de raideurs, le bâtiment est assez symétrique selon les deux directions orthogonales (la transparence du RDC étant compensée par plus de refends) Les parties saillantes restent inférieures au quart de la largeur L’élancement n’excède pas 4

•

L’excentricité structurale vérifie e 0 ≤ 0.30 ⋅ r avec r² =

∑ raideur ∑ raideur

torsion

et

translation

Lx ² + Ly ² − e 0 ² (Lx et Ly étant les dimensions en plan du bâtiment dans les 12 deux directions orthogonales) r² ≤

b) Configuration verticale [PS92 6.6.1.3.1.2] • • • • •

Il n’existe pas de couplage significatif entre degrés de liberté horizontaux et verticaux (les charges verticales descendent directement aux fondations) La structure peut être réduite à un système plan avec une masse par niveaux, et peut être globalement réduite à un modèle brochette Le retrait entre le R+1 et le RDC reste inférieur à 15% des dimensions en plan Tous les voiles de contreventement, même ceux du joint de dilatation, descendent jusqu’aux fondations. On a donc des raideurs sensiblement égales à tous les niveaux, même au RDC. De même, en considérant les masses des niveaux (plancher + G + F.Q + ½ [voiles, poteaux au-dessus] + ½ [voiles, poteaux au-dessous] + poutres), on obtient une distribution plutôt régulière en fin de compte.

Finalement, on peut se placer dans le cas d’une structure moyennement régulière et proposer un coefficient de comportement global de q = 2.00 de manière acceptable pour le bureau de contrôle. En tant que bureau d’études, on peut se rendre compte qu’il est très pénalisant d’appliquer le règlement tel quel, surtout au niveau du coefficient de comportement. Heureusement, il est possible, dans certains cas, de discuter avec le bureau de contrôle afin de proposer une valeur plus élevée, sous réserve de la justifier de manière pertinente. Il est à noter que dans le cadre des études d’avant-projet, une valeur de q = 1.50 avait été retenue pour se placer en sécurité. A présent, les hypothèses de calculs étant bien fixées, nous pouvons procéder à l’étude sismique de Nanobio.

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2. Modèle sismique et analyse modale spectrale L’analyse sismique de Nanobio s’est faite en plusieurs étapes que l’on détaillera dans cette partie. Comme nous étions en phase PRO de l’affaire, il ne fallait pas aller trop loin dans le détail, puisque le but était de parvenir à un prédimensionnement réaliste ainsi qu’à des ratios d’acier convenable en respectant le délai imposé de deux semaines. Nous allons donc voir comment nous avons élaboré le modèle sismique du bâtiment, et ensuite vérifier les éléments de contreventement ainsi que les pieux.

2.1.

Préliminaires

La descente de charges de l’avant-projet a été réalisée sous Arche. Entre-temps, l’architecte a transmis des modifications qui ont eu des répercussions plus ou moins importantes sur la structure. La première des choses a donc été de reprendre le modèle de l’avant-projet, de le vérifier et de l’adapter. Nous avons ensuite vérifié la cohérence de la nouvelle descente de charges avec celle précédemment établie lors de l’avant-projet. Une fois le modèle « descente de charges » validé, on peut établir le ratio des poutres, des poteaux, des dalles et des longrines. Nous passons alors à la création du modèle sismique. En effet, les voiles de façade de l’extrémité est du bloc est ne sont pas censés participer au contreventement, il a donc fallu les remplacer par un système de poteaux et de poutres rétablissant la descente de charges initiale. De même, certains voiles du RDC du bloc ouest ont été mis en « non porteur » et ont été compensé dans leur rôle par des poutres. De cette façon, la structure correspond exactement au schéma de fonctionnement du contreventement, prévu initialement par l’ingénieur responsable du projet, tout en respectant la descente de charges.

2.2.

Analyse sismique

Arche permet de réaliser une analyse modale spectrale conformément aux PS92. La première analyse étant censée nous donner un aperçu des résultats sismiques, nous entrons des paramètres de modélisation et d’analyse de façon à réduire le temps de calcul. On décide alors de faire en premier lieu une analyse sur 38 modes, en modélisant les voiles par des poutres équivalentes (dalles en coques et poteaux articulés), ce qui rend le modèle beaucoup plus simple. Cela réduit considérablement le nombre de nœuds, et de degrés de liberté de la structure, et donc le temps de calcul. La modélisation des voiles en poutres équivalentes a l’avantage de faire sortir plus rapidement des modes prépondérants, mais sa fiabilité peut être discutable, notamment en ce qui concerne le calcul de la rigidité du voile. Nous vérifions la cohérence des masses obtenues pour chaque niveau avec une feuille de calcul Excel qui reprend la méthode simplifiée du PS92, appliquée aux bâtiments réguliers. Cette feuille, réalisée en avant-projet, nous donnait une estimation pessimiste des efforts sismiques repris par chacun des voiles de contreventement, ainsi que des aciers de flexion à mettre en place. On vérifie également si la fréquence de coupure fc = 33 Hz est atteinte (pas sur seulement 38 modes) ou si la somme des masses vibrantes atteint 70% de la masse totale pour une prise en compte possible d’un mode résiduel. Pour aller plus vite, on peut également majorer forfaitairement toutes les

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grandeurs caractéristiques (forces, déplacements, contraintes, etc.) par le rapport de la masse totale M sur la somme des masses modales : [PS92 6.6.2.2]. ∑ Mi Ce premier test nous permet déjà de savoir si l’on pourrait éventuellement signer les résultats par rapport à un mode prépondérant, dans la combinaison des réponses modales. Cela n’est intéressant que lorsque l’on a surtout des modes de flexion ; lorsqu’il y a de la torsion, il paraît plus sûr de ne pas signer les résultats pour prendre en compte l’effort maximal dans le ferraillage des voiles. De plus, dans notre cas, il est préférable de rester enveloppe pour les efforts afin de ne pas sous-estimer les ratios d’acier, donc on ne signera pas les résultats. Par la suite, on a utilisé un modèle à coques pour la modélisation des planchers et surtout des voiles, car la modélisation en coque approche mieux le comportement réel de ces éléments. Les résultats de l’analyse modale n’étaient pas foncièrement différents, on arrivait dans les deux cas aux mêmes fréquences propres des modes dominants, et donc aux mêmes pseudo-accélérations dans chacune des directions du séisme. Le modèle final étant choisi, on peut procéder à la vérification des voiles de contreventement et des pieux.

3. Vérifications des voiles de contreventement Dans le cadre de la phase PRO, la vérification des voiles de contreventement a pour objet de déterminer les ratios d’acier des groupes de voiles de dimensions équivalentes, et travaillant à peu près identiquement au séisme. La vérification des voiles a donc porté sur un ou deux membres représentatifs d’un groupe. Avant de commencer, nous allons expliciter les combinaisons des actions à utiliser dans les calculs.

3.1.

Combinaisons des actions et coefficients de sécurité D’une manière générale, on pourra considérer les combinaisons d’actions suivantes : • ELS : S = 1.00 G + 1.00 Q • ELU : S = 1.35 G + 1.50 Q • ELA : S = 1.00 G + 0.80 Q + 1.00 E S = 1.00 G – 1.00 E

E désigne l’action sismique, comprenant l’effet des trois directions sismiques. Par ailleurs, dans le cas des ELA, les coefficients de sécurité du béton et de l’acier, valant respectivement gb = 1.50 et gs = 1.15, prennent les valeurs gb = 1.15 et gs = 1.00.

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3.2.

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Vérification

Un voile de contreventement étant soumis au torseur (N,T,M) à sa base, la détermination des sections d’acier consiste à vérifier trois types d’armature : les aciers de flexion reprenant le moment de basculement M (disposé aux extrémités du voile) ; et pour l’effort tranchant T, les tirants horizontaux et verticaux reprenant le cisaillement, et les aciers de glissement. Ci-dessous se trouve le principe de ferraillage d’un voile de contreventement soumis au torseur (N,T,M), et où : • Af désigne les aciers de flexion, disposés aux extrémités du voile calculé en flexion composé sous N et M • At désigne les tirants horizontaux répartis, A désigne les tirants verticaux répartis, pour reprendre les contraintes de cisaillement N T

M

Af

At

A

Fig. I.3.2.1: Principe de ferraillage d'un voile de contreventement

a) Détermination des aciers de flexion Af Pour déterminer les aciers de flexion, on considère une section transversale rectangulaire soumis à de la flexion composé (N,M) donné par l’exploitation des résultats de l’analyse sismique sous Arche. On détermine Af grâce à une feuille de calcul en entrant les caractéristiques géométriques du voile, et en saisissant les valeurs de N et M (cf. Annexe A3.1). Afin de considérer le cas le plus défavorable, on prend la combinaison suivante N = G – E.

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b) Détermination des tirants horizontaux et verticaux At et A On se réfère pour cela au PS92 11.8.2.1.3 pour la vérification du voile au cisaillement. Nous disposons d’une feuille de calcul Excel permettant de déterminer s’il y a nécessité ou non de mettre en place des tirants horizontaux et verticaux (cf. Annexe A3.2). Cette même feuille permet de vérifier également la condition de non-glissement. c) Vérification du non-glissement Cette vérification fait suite à la vérification du cisaillement. Elle consiste à s’assurer que sous flexion composée, il y a assez d’aciers A’ pour reprendre l’effort sismique horizontal en tête de voile.

Fa

(M ,N ) A'

Fb

x

Af

Af b

Fig. I.3.2.2: Aciers de glissement A'

Dans le cas contraire, le passage au treillis soudé (ST25C par exemple) peut s’avérer utile pour remplir cette condition de non-glissement et en plus reprendre les contraintes de cisaillement (rôle de At et de A). On établit donc cette procédure pour quelques voiles représentatifs d’un groupe, voire tous, et cela à chaque niveau. On obtient alors un ratio de HA et de TS à tous les niveaux pour chaque groupe de voiles de contreventement. En Annexe A3.3 se trouve un exemple de vérification.

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4. Vérifications des pieux La vérification des pieux consiste à déterminer, d’une part, leur diamètre d’après la descente de charges réalisée sous Arche, ainsi qu’à déterminer, d’autre part, la quantité d’effort tranchant sismique qu’ils sont capables de reprendre, et cela en tenant compte de l’ISS. En effet, la capacité d’un pieu à reprendre un effort sismique horizontal est en partie conditionnée par la nature des sols présents, et nous verrons donc comment procéder. Avant de commencer, nous allons, ici également, expliciter les combinaisons des actions à utiliser dans les calculs.

4.1.

Combinaisons des actions et coefficients de sécurité D’une manière générale, on pourra considérer les combinaisons d’actions suivantes : • • •

ELS : ELU : ELA :

S = 1.00 G + 1.00 Q S = 1.35 G + 1.50 Q S = 1.00 G + 0.80 Q + 1.00 E S = 1.00 G – 1.00 E

(compression) (traction)

E désigne l’action sismique, comprenant l’effet des trois directions sismiques. Par ailleurs, dans le cas des ELA, les coefficients de sécurité du béton et de l’acier, valant respectivement gb = 1.50 et gs = 1.15, prennent les valeurs gb = 1.15 et gs = 1.00. De plus, en se basant sur le rapport de sol fourni par EG SOL, nous prévoyons la réalisation de fondations profondes calculées avec un taux de travail de 5,5 Mpa à l’ELS, n’induisant pas de contrôle dit « renforcé » lors des opérations de bétonnage des pieux.

4.2.

Détermination des diamètres des pieux

Le dimensionnement des pieux s’effectue d’après les résultats de la descente de charges et de l’analyse sismique.

Rappel du calcul de portance d’un pieu [DTU 13.2] : QP: terme de pointe limite

QP = S × k P × Ple

Eq. I.4.2.1

QS: terme de frottement latéral limite

QS = π × φ × ∑ hs × q S

Eq. I.4.2.2

avec S : section du pieu kP : facteur de portance Ple : pression limite équivalente

F : diamètre du pieu hS : hauteur d’application de qS qS : frottement latéral unitaire limite

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QP QS + 3 2 Q QELU = P + 0.75QS 2 QP QS QELS = + 2 1.5 Q QELS = S 1.5

QELS =

Charge admissible à l’ELS : Charge admissible à l’ELU : Charge admissible à l’ELA compression [PS92] : Charge admissible à l’ELA traction [PS92] :

Eq. I.4.2.3 Eq. I.4.2.4 Eq. I.4.2.5 Eq. I.4.2.6

Nous avons donc mis en place une feuille de calcul pour déterminer, en fonction de la descente de charges et des caractéristiques du sol, les diamètres nécessaires ainsi que les longueurs d’ancrage (cf. Annexe A4).

Il a fallu ensuite considérer les efforts sismiques horizontaux s’exerçant en tête de pieux. Cet effort horizontal H induit un moment M de flexion dans le pieu. Il faut donc modéliser le pieu pour déterminer la section la plus critique, en déterminer le ferraillage, et donc connaître la valeur de H maximal qu’il peut reprendre. Cette modélisation doit se faire en considérant l’influence du sol, et donc en tenant compte des modules de réaction du sol Kh. La valeur de Kh est déterminée en fonction de la géométrie du pieu, du module pressiométrique E et du coefficient rhéologique du sol a. D’après le fascicule 62 – Article 3 – Annexe C5, la valeur Kh est donnée par les formules suivantes, B étant le diamètre du pieu et B0 valant 60 cm : 12 Em B>B0 : KH = Eq. I.4.2.7 α  4 B  B0 ×  2.65  + α .B 3 B0   B
KH =

12 Em 4 B × 2.65 α + α .B 3

Eq. I.4.2.8

On modélise alors le pieu (sous Robot par exemple) avec des appuis élastiques (tous les mètres par exemple), dont l’amortissement correspond à la couche de sol traversée (Em et a). Dans notre cas, pour des raisons de délais, nous n’avons pas fait cette modélisation. Nous nous sommes servis du rapport du géotechnicien concernant un projet juste à côté. Finalement, on connaît la valeur que peut reprendre chaque type de pieu, en fonction de son diamètre et de son ferraillage. On obtient alors les ratios d’acier de chaque groupe de pieux.

Ce projet est donc un exemple d’application du PS92 dans le cadre de la phase PRO. Il permet de comprendre le déroulement d’une étude sismique, mais ne va pas non plus dans le détail comme en phase EXE. Il donne néanmoins un bon aperçu de la quantité de travail qu’il faudra fournir lors de la phase d’exécution du bâtiment.

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PRISE EN COMPTE DE L’ISS AVEC UN BLOC DE LA CLINIQUE D’ANNEMASSE L’étude sismique d’un des blocs de la clinique d’Annemasse a été l’occasion de constater l’influence de l’Interaction Sol-Structure (ISS) non seulement du point de vue de l’analyse modale, mais également au niveau des efforts dans les voiles de contreventement. Le projet était encore en phase APD, et nous ne disposions donc pas d’informations précises sur la nature et les caractéristiques géotechniques du site. Il a donc fallu faire certaines hypothèses que nous détaillerons par la suite. Dans une première partie, nous présenterons succinctement le bâtiment étudié, puis nous mettrons en pratique la méthode de Deleuze afin de modéliser l’ensemble sol-fondations par des ressorts, et enfin nous conclurons sur les résultats obtenus.

1. Présentation succincte de la clinique d’Annemasse 1.1.

Principes structurels

Le bloc en question est de forme rectangulaire, mesurant 13,70 m de long sur 11,00 m de large. Il comprend un niveau enterré (vide sanitaire) de 2,20 m de hauteur, puis un RDC de 4,00 m et enfin 4 niveaux de 3,20 m ; ce qui fait une hauteur totale de 19,00 m. Ce bâtiment accueil des bureaux sur tous les niveaux, et justifie donc d’une densité de cloisons comparable à celle d’un bâtiment d’habitation. D’après le PS92 6.2.3.4, « lorsque la structure comporte une densité de cloisons comparable à celle des bâtiments d'habitation […], les valeurs du pourcentage d'amortissement critique peuvent être augmentées de 1% dans le cas des murs […] », ce qui nous permet de considérer un amortissement de 5% au lieu de 4%. L’ossature est constituée de trois portiques poteaux-poutres en béton armé, et le contreventement est assuré par un noyau (cage d’ascenseur) dans le sens de la longueur, et par deux voiles périphériques (+1 des voiles du noyau) dans le sens de la largeur. De plus, le niveau VS forme une boîte rigide qui fera office de parois de soutènement. L’option d’ajouter un voile toute hauteur pour rigidifier un peu plus la structure est à étudier. Le choix du système de fondations porte soit sur des semelles, soit sur un radier général si le soulèvement devient trop important. C’est également un des points à définir. En Annexe A5.1 se trouvent le plan d’un niveau courant, et en A5.2 la vue 3D réalisée sous Arche.

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1.2.

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Hypothèses de calculs

Les hypothèses de calculs pour l’analyse sismique sont prises conformément aux règles PS92 (NF P 06-013) de décembre 1995 et du décret du 29 mai 1997. Zone de sismicité : Zone Ib, département de Haute-Savoie Classe du bâtiment : Classe D (à risques) => Accélération nominale : aN = 2,5 m/s2 Site S2 (hypothèse d’un sol mécaniquement moyen) Coefficient de comportement q = 2,4 (déterminé en accord avec le bureau de contrôle) Coefficient d’amortissement ξ = 5% Coefficient topographique t = 1 Coefficient de masse partielle : F = 0.20 (bureaux) Béton : B30 avec Edyn = 34200 MPa Acier : Fe500 On prendra comme hauteur de dimensionnement la hauteur totale du bâtiment, car le sol semble être de moyenne qualité.

2. Comparaison des modélisations 2.1.

Hypothèse de l’encastrement

Le premier modèle à réaliser est celui qui consiste à considérer le bâtiment encastré à sa base dans le sol de fondation, il servira de base de comparaison avec les autres modèles. On part sur un modèle à coques, et sur seulement 30 modes pour réduire les temps de calcul.

La modélisation sur Arche/Effel nous donne des périodes propres dans le palier du spectre de dimensionnement (T < 0,6s), les résultats de l’analyse modale figurent en Annexe (A6.1). Une vérification avec Epicentre ainsi qu’avec une feuille de calcul Excel (méthode simplifiée pour des bâtiments réguliers) nous permet de confirmer les résultats obtenus.

L’analyse des torseurs en pied de voiles fait apparaître des efforts de soulèvement très importants au niveau des fondations, accompagnés de moments de basculement tout aussi élevés (A6.2). La justification de la stabilité de certains voiles risque donc d’être assez délicate. La prise en compte de l’ISS peut donc remédier en partie à ce problème, c’est pourquoi nous allons procéder au calcul des ressorts répartis selon la méthode de Deleuze [6].

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2.2.

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Prise en compte de l’ISS

L’ISS est un phénomène qui n’est pas souvent pris en compte dans une analyse sismique, et pourtant, elle peut avoir des conséquences importantes. Comme pour l’étude de la structure, le but est d’avoir un modèle simple approchant le comportement réel du sol, et cela pour des raisons de temps et de complexité de l’analyse. En général, dans le cas des bâtiments massifs sur des sols moyennement ou faiblement raides, il y a une intervention non négligeable du sol (modes de sol) et une modification de la réponse de la structure. D’une manière générale, la déformabilité du sol entraîne : • un allongement de la période fondamentale • un amortissement non négligeable, supérieur à celui des matériaux de la structure • une rotation de la fondation qui peut modifier sensiblement le calcul de la déformée modale La méthode la plus utilisée consiste à intégrer dans un même modèle le sol et l’ouvrage (Fig. II.2.2). On va considérer un radier général d’épaisseur 60cm, sur un site de profil remblai – graves – marnes, en prenant en première hypothèse de sol une couche de graves: • • •

Module de cisaillement du sol G = 600 MPa Coefficient de poisson n = 0,33 Masse volumique r = 2,0 t/m3

La méthode a été expliquée dans l’ouvrage de V. DAVIDOVICI, La construction en zone sismique [3] [Chap. 5.3.4]. Elle peut être appliquée dans le cas où les fondations peuvent être considérées comme superficielles et suffisamment rigides. Chaque ressort est caractérisé par sa raideur et son amortissement réduit : translation verticale (V), translation horizontale (H) et rotation autour d’un axe horizontal (F). Cette modélisation est admise dans le cas de sol homogène dont les couches présentent des faibles variations de G.

Fig. II.2.2: Modélisation des fondations par des ressorts répartis

On néglige la rotation suivant l’axe vertical de la fondation. On obtiendra alors, dans un premier temps, les caractéristiques d’un ressort unique. Pour passer au modèle avec des ressorts répartis, il faudra privilégier les directions horizontales et la direction verticale. On calculera alors les raideurs suivantes pour le radier, avec S surface de la fondation et I son inertie : • horizontalement : KHrad = KH / S KVrad = KF / I (car déplacements verticaux issus des rotations) • verticalement :

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Rappels des hypothèses sur le sol : Les coefficients donnés par Deleuze s’appuient sur deux principales hypothèses. D’une part, le sol est un solide semi-infini élastique, homogène et isotrope limité par un plan. D’autre part, la réaction du sol sous le radier est linéaire. Puisque l’on dispose déjà des fréquences propres fi de la structure, on peut calculer la pulsation adimensionnelle (en translation suivant les deux directions du séisme, et en rotation suivant les deux axes horizontaux) :

a 0 = 2πfr0

ρ G

Eq. II.2.2.1

ba 3 en balancement, où a désigne la π 3π dimension parallèle au séisme et b la dimension perpendiculaire. avec : le rayon équivalent r0 =

ba

en translation et r0 = 4

Le tableau des coefficients de transmittance du sol (A7.1) nous permet alors de déterminer les raideurs et les amortissements géométriques : • Eq. II.2.2.2 • Eq. II.2.2.3 On peut en déduire ainsi les raideurs pour des ressorts répartis. Quant aux amortissements finaux, ils s’obtiennent de cette manière : 1 ζ i = η i + 5% ≤ 30% Eq. II.2.2.4 2 où les 5% correspondent à l’amortissement interne du sol On intègre alors des appuis élastiques au modèle, puis l’on recalcule les fréquences propres de l’ensemble structure/sol (par le biais des ressorts) et l’on reprend la même procédure (pulsation a0 => transmittance fH/fV/fF => raideurs et amortissements K et z) jusqu’à la convergence des valeurs. Dans notre cas, quatre itérations ont suffi. L’exemple de la procédure apparaît en Annexe A7.2 et les résultats en A7.3.

2.3.

Commentaires sur les résultats

On remarque que, comme prévu, les périodes propres des deux modes fondamentaux horizontaux sont beaucoup plus grandes (20 à 24%) que pour le modèle encastré. Cependant, dans notre exemple, l’ISS ne nous permet pas de sortir du palier du spectre de dimensionnement (TC = 0.60s) et donc de réduire de manière significative les efforts tranchants sismiques. Quant au mode fondamental vertical, la différence est très faible, environ 5%. La prise en compte de l’ISS permet néanmoins de concentrer plus de masse vibrante dans les modes fondamentaux. Etant donné les hypothèses incertaines sur le sol, il serait plus prudent de faire varier le module G et le coefficient n afin d’obtenir une fourchette convenable. En effet, le sol est loin d’être homogène et les propriétés mécaniques risquent d’être plutôt hétérogènes.

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La première remarque que l’on peut faire concerne le module de cisaillement du sol. En effet, plus le sol a un module de cisaillement faible, plus il a de l’influence sur la réponse de la structure. Cela est dû au fait que, lorsque G augmente, le comportement du sol se rapproche de celui du rocher, et l’on retombe ainsi sur le modèle encastré de base. Comme la structure est rigide, le fait de passer à un sol mécaniquement moins rigide permet à celle-ci de diminuer les risques d’entrer en résonance, puisque le sol aura ses fréquences propres diminuées. C’est pourquoi, il apparaît plus judicieux de construire rigide sur les sols mous, et moins rigide sur les sols durs, de façon à éviter la résonance. Analysons à présent les résultats des efforts sismiques entre les deux modèles.

2.3.a. Efforts tranchants Etant donné que, dans les deux modèles, l’analyse modale aboutissait aux mêmes accélérations sismiques, il n’y a pas de différence notable en terme de quantité totale d’efforts tranchants simiques. Il y a cependant des modifications dans la répartition des efforts dans les voiles qui ont un effet à double « tranchant » : V1, V2 et V4 favorables, V5, V6 et V7 défavorables. Voile V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1

ISS 29.19 66.03 56.28 50.11 99.24 35.94 44.79

RDC Enc 35.89 55.81 71.22 33.51 92.54 30.86 51.20

% -18.67 18.31 -20.98 49.53 7.23 16.44 -12.54

R+1 Enc 24.50 42.12 68.68 23.00 82.58 24.72 28.43

ISS 22.03 41.82 61.91 27.99 86.41 27.98 27.55

% -10.08 -0.71 -9.85 21.71 4.64 13.19 -3.08

ISS 12.78 29.32 53.82 21.49 64.03 36.43 19.28

R+2 Enc 14.67 30.61 57.39 19.07 62.55 32.17 20.03

% -12.87 -4.21 -6.21 12.74 2.36 13.24 -3.77

Tab. II.2.3.1 : Comparaison des efforts tranchant sismiques (en t)

2.3.b. Soulèvement L’ISS permet de diminuer le soulèvement des voiles les plus sollicités auparavant : environ 15% pour V3, V4 et V1 du RDC ; entre 16 et 27% au R+1 ; entre 12 et 28% au R+2. Le V6 ne semble pas affecté par l’ISS. En revanche, on note quand même une nette aggravation pour les voiles initialement peu sollicités V2 et V5, allant jusqu’à 110% au R+1 pour le premier, et 50% pour le second au RDC. Voile V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1

ISS 46.18 161.50 229.18 59.97 251.52 205.34 120.82

RDC Enc 46.73 193.86 269.28 39.99 248.71 206.92 145.43

% -1.17 -16.69 -14.89 49.95 1.13 -0.77 -16.92

R+1 ISS Enc % 24.37 11.60 110.13 81.50 111.96 -27.21 94.77 115.00 -17.59 49.40 34.14 44.71 127.64 133.06 -4.07 88.56 98.11 -9.74 96.10 114.64 -16.17

ISS 25.90 46.38 42.22 38.44 95.91 67.54 67.45

Tab. II.2.3.2 : Comparaison des efforts normaux sismiques (en t)

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R+2 Enc 17.85 64.26 47.92 27.13 97.08 71.23 80.85

% 45.10 -27.81 -11.88 41.67 -1.21 -5.18 -16.57


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2.3.c. Moment de basculement Le moment sismique est d’autant plus élevé que l’on descend vers les fondations. Or l’ISS permet de diminuer de façon considérable ce moment pour les voiles très sollicités auparavant. Ainsi, au RDC, on diminue de 10% à 43% pour le V1, V2, V4 et V6 ; au R+1 entre 10 et 20% en moyenne mais au R+2, on observe de petites aggravations. On peut remarquer que le V7 subit des aggravations à tous les niveaux, mais comme il n’était pas très sollicité avant, on peut nuancer le phénomène. Voile V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1

ISS 81.59 119.40 108.00 222.00 345.00 24.00 86.00

RDC R+1 Enc % ISS Enc % ISS 95.00 -14.12 26.50 34.00 -22.06 12.78 109.00 9.54 31.80 40.00 -20.50 29.32 191.00 -43.46 95.70 120.00 -20.25 53.82 191.00 16.23 86.00 99.00 -13.13 21.49 381.00 -9.45 225.00 253.00 -11.07 64.03 20.00 20.00 6.20 6.00 3.33 36.43 123.00 -30.08 35.00 44.00 -20.45 19.28 Tab. II.2.3.3 : Comparaison des moments sismiques (en t.m)

R+2 Enc 14.67 30.61 57.39 19.07 62.55 32.17 20.03

% -12.87 -4.21 -6.21 12.74 2.36 13.24 -3.77

2.3.d. Conclusion Globalement, on se rend compte que l’ISS va soulager de manière non négligeable les voiles les plus sollicités auparavant, et donc peut-être d’en réduire le ferraillage. En contre partie, les voiles peu sollicités vont subir des aggravations, mais nous pouvons supposer que, de toute façon, comme nous les aurions armés au minimum, cela n’aurait pas une trop grande incidence. Afin d’illustrer les effets de l’ISS, nous avons comparé le ferraillage théorique du V4 et du V5 pour le modèle encastré et le modèle avec ISS. Les résultats apparaissent en annexe A7.5. En calculant les ratios d’acier, on trouve pour le V4 (longueur 3.90m) un gain de HA d’environ 9% sur l’ensemble des trois niveaux calculés, ainsi qu’un gain de TS d’environ 18%. Quant au V5 (longueur 3.50m), on trouve une perte de HA de 18% et aucune perte de TS. En pesant bien le pour et le contre, on se rend alors compte que l’ISS apporte bien des avantages qui ne doivent pas être négligés.

L’étude a été menée sur un sol de qualité plutôt bonne, mais dans le cadre réel de ce projet il faut s’attendre à un mauvais sol, donc à une plus grande influence de l’ISS. De plus, étant donné les nombreuses hypothèses et incertitudes concernant les théories sur l’ISS, il faut rester prudent sur les résultats et mener un calcul avec une fourchette convenable de valeurs pour le sol. C’est pour ces raisons que les bureaux de contrôle sont assez réticents vis-à-vis des justifications de l’ISS.

Nous nous sommes intéressés à un domaine assez complexe qui est la prise en compte de l’ISS. A présent, nous allons étudier un plus le fonctionnement général du contreventement, et notamment lorsque la configuration des voiles fait apparaître des refends inclinés en plan ainsi que des noyaux. 24


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ETUDE DU CONTREVENTEMENT L’étude du contreventement soulève plusieurs questions telles que la distribution de la résultante générale de l’action sismique (ou du vent) dans les éléments de contreventement ainsi que la vérification de leur stabilité. Le problème est complexe en raison de l’incertitude des hypothèses de base fournies par la résistance des matériaux appliquée à des éléments de grandes dimensions transversales comme les refends. Un calcul rigoureux peut être très long pour être appliqué par un bureau d’études, alors il est indispensable de trouver une méthode simplifiée acceptable. La méthode d’Albiges-Goulet est ainsi un moyen simple d’évaluer la répartition des efforts sismiques (ou de l’action du vent) dans les refends, et cette méthode est largement adoptée par les bureaux d’études. Dans le cadre de ce PFE, nous allons traiter uniquement l’étude du contreventement par voiles, où interviennent des refends inclinés en plan ou des noyaux (cages d’escaliers, d’ascenseurs) et plus généralement des voiles composés (type U, Té, L, etc.). Dans une première partie, nous allons analyser les enjeux de la prise en compte de tels voiles, puis nous analyserons le fonctionnement d’un voile composé et finalement nous détaillerons la feuille de calcul créée.

1. Enjeux de la prise en compte des voiles inclinés et des voiles composés 1.1.

Avantages

Davidovici [2] et Thonier [3] s’accorde à dire que « les refends ne peuvent pas être considérés comme étant indépendants s’ils sont rigidement liés les uns aux autres dans le sens vertical » puisqu’il y a alors une transmission de cisaillement entre les refends. C’est pourquoi la prise en compte des ailes d’un voile composé permettrait d’avoir une répartition des efforts tranchants sismiques dans les voiles de contreventement plus juste. De plus, du fait de la prise en compte des ailes, le voile se retrouve plus rigide et présente un meilleur comportement à la flexion car les ailes vont alors agir comme une table de compression (analogie de la poutre en Té). En outre, cela nous permettrait d’étaler le ferraillage dans les ailes du voile. On pourrait alors augmenter le bras de levier des armatures pour la reprise des moments de flexion, et donc diminuer les sections. 1.2.

Fig. III.1.1 : Voile plein équivalent

Inconvénients

L’analogie avec la poutre en Té fait apparaître la notion de largeur efficace pour les ailes d’un voile. Or, le problème devient plus compliqué dans le sens où non seulement le voile est considéré comme une console encastrée à sa base, mais en plus s’ajoutent une composante normale ainsi que des efforts horizontaux dans chaque sens.

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On a donc le double problème posé par la largeur efficace des ailes à prendre en compte et la justification du voile à la flexion déviée.

C’est pourquoi nous allons nous attacher, dans ce qui suit, à donner une explication au phénomène de transmission du cisaillement entre les refends dans le cas d’un noyau, ainsi qu’à essayer de justifier une valeur de largeur efficace.

2. Présentation du phénomène 2.1.

Analogie avec la construction en mixte acier-béton

Ce phénomène est plutôt connu dans le domaine de la construction mixte acier-béton où l’on retrouve la notion de largeur efficace. En effet, le comportement réel d’une poutre mixte n’est plus dans l'hypothèse de conservation des sections planes, en raison de l'existence de divers phénomènes tels que le comportement bidimensionnel de la dalle et sa déformée non uniforme sur la largeur, due au traînage de cisaillement ou le glissement relatif à l’interface acier-béton. Le concept de largeur effective inclut tous ces phénomènes en définissant une section plane équivalente de largeur fixe, dite effective, permettant de travailler avec la théorie des poutres (hypothèse de conservation des sections planes).

Fig. III.2.1 : Concept de largeur effective

Dans une section donnée, la contrainte de flexion longitudinale moyenne sur l’épaisseur de la dalle varie comme à la figure III.2.1. La théorie des poutres donnera la valeur correcte de la contrainte maximale en D si l’on remplace la largeur réelle de la dalle B par une largeur effective b telle que la surface GHJK est égale à la surface ACDEF. Des recherches basées sur la théorie élastique ont montré que le rapport b/B dépend de manière complexe du rapport de B à la portée de la poutre L (élancement), du type de chargement, des conditions d’appuis et d'autres variables. Le concept de largeur effective est utilisé tant pour le calcul des inerties et l’analyse de la structure que pour le calcul des moments résistants (plastiques) des sections.

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2.2.

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Cas des voiles de contreventement 2.2.a. Description du phénomène

On observe le même genre de phénomène dans le cas de structures en béton armé, de section fermée (noyau) ou même en forme de U-T-L-Z. C'est-à-dire que les contraintes s’accumulent au niveau des jonctions entre éléments, et décroissent en s’éloignant.

Considérons un noyau soumis à une charge latérale (Fig. III.2.2.1).

Les faces AD et BC (âmes) vont être soumis à un moment de basculement de telle sorte que les colonnes A et B seront en traction et les colonnes D et C en compression.

Les faces AB et DC (ailes) vont être respectivement en traction et en compression.

Fig. III.2.2.1 : Noyau sous chargement latéral

D’après la théorie des poutres, et en particulier l’hypothèse de planéité des sections après déformation, la distribution des contraintes normales est censée être linéaire dans les âmes (web frames), et uniforme dans les ailes (flange frames). Or, on observe en pratique des répartitions différentes due à l’effet du cisaillement, également appelé shear lag :

Fig. III.2.2.2. : Effets du shear lag sur la distribution des contraintes

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2.2.b. Analyse du phénomène Cet effet d’augmentation des contraintes au niveau des jonctions d’un voile en U peut s’expliquer par l’effet du cisaillement qui entraîne la non-planéïté des sections transversales, et en particulier au niveau de l’encastrement. Timoshenko a décrit ce phénomène dans son ouvrage, La théorie de l’élasticité [5], dans le cas d’une poutre en console chargée à son extrémité. Il a montré que si la poutre n’est encastrée qu’au niveau de sa fibre moyenne, la section terminale se retrouve alors libre de gauchir selon l’allure de la figure III.2.2.3. Ainsi, si l’on bloque ce gauchissement (torsion gênée), la distribution locale des contraintes ne sera plus celle que donnerait la théorie des poutres, soit σ f =

M , et donc une répartition linéaire sur les faces I /v

Fig. III.2.2.3: Déformée d'une console encastrée

latérales de la poutre, mais plutôt une répartition comme indiquée sur la face BC de la figure III.2.2.2. Par continuité des contraintes au niveau des jonctions, la distribution sur les faces hautes et basses de la poutre va être également modifiée. Au lieu d’avoir une distribution uniforme des contraintes de traction/compression, l’allure sera plutôt celle de la face CD indiquée sur la figure III.2.2.2, avec des pics au droit des jonctions. Ce sont alors ces pics de contraintes qui peuvent être très dommageables pour la structure, dans la mesure où la théorie des poutres peut sous-estimer fortement cette différence de contraintes, et notamment pour les bâtiments de grandes hauteurs. Une quantification rigoureuse de ce phénomène est assez complexe à formuler, et beaucoup d’ingénieurs et de mécaniciens, américains surtout, ont tenté diverses approches pour cerner le phénomène et les paramètres les plus significatifs. Il en ressort que le paramètre le plus influent est le critère d’élancement (rapport hauteur sur largeur). C’est pourquoi nous allons essayer de nous faire notre philosophie par des modèles simples.

3. Modélisation du phénomène 3.1.

Hypothèses

Le but de la modélisation est de pouvoir donner une fourchette de valeurs pour la largeur participante des ailes d’un voile. Pour cela, nous allons faire varier l’élancement de l’âme du voile, ainsi que l’élancement des ailes. Nous prendrons comme exemple le cas d’un voile en U qui est souvent rencontré dans le bâtiment (cage d’escalier ou d’ascenseur), et nous ferons varier les paramètres précédemment décrits. Nous allons fixer la hauteur totale du voile à 20m, et nous allons faire varier alternativement l’élancement de l’âme à [0,5 ; 1 ; 2 ; 10] et l’élancement des ailes à [5 ; 10 ; 13 ; 20 ; 30]. Nous prendrons une épaisseur pour les voiles de 20cm.

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Pour représenter un peu mieux la réalité, nous mettrons en place 4 diaphragmes espacés de 5m sur la hauteur, et sur lesquels s’appliqueront les chargements latéraux, dans le sens de l’âme et des ailes. La valeur totale de l’effort par niveau sera de 10t répartis sur le diaphragme dans le sens des ailes, où ponctuellement dans le sens de l’âme. Pour éviter les effets parasites dus à l’encastrement avec des appuis rigides, nous mettrons des ressorts de forte raideur en translation, mais de raideur nulle en rotation en pied de voiles.

Un logiciel comme Robot permet de décrire le phénomène, mais étant donné que l’on sort de la théorie des poutres, il ne peut représenter totalement la réalité. Toutefois, comme nous voulons juste nous faire une philosophie sur la question, la modélisation sur Robot semble convenir. Pour la détermination de la largeur participante, nous appliquerons le même principe de largeur effective utilisée en construction mixte, c’est-à-dire que :

Beff =

∫σ

i

⋅ xi dx

σ max

Eq. III.3.1

où x décrit la largeur du voile, si la contrainte au point xi, et smax la contrainte maximale. La détermination de Beff se fait en pied de voile, où les contraintes de flexion sont maximales. Robot permet de sortir des cartographies des contraintes (voir Fig. III.3.1). Contraintes normales) et de faire des coupes qui donnent la valeur totale de la résultante des contraintes, ainsi que la valeur de la contrainte maximale. En dégradé de rouge, nous avons les zones de traction, et en dégradé de bleu, nous avons les zones en compression ; l’intensité allant du clair vers le foncé. En pied de voile, les coupes donnent la répartition des contraintes dues à la flexion du voile. On remarque bien que dans le cas d’un chargement suivant les ailes (figure de gauche), l’âme se met en compression et l’on n’observe pas une distribution uniforme des contraintes, mais plutôt parabolique. De même, dans le cas d’un chargement dans le sens de l’âme (figure de droite), sur l’aile qui est en compression, on peut voir que la distribution des contraintes n’est pas tout à fait linéaire.

Fig. III.3.1 : Cartographies des contraintes normales et coupes en pied de voile sous Robot

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3.2.

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Résultats et commentaires

Les courbes de résultats apparaissent en annexe A8. Les résultats montrent que la largeur effective de l’âme ou des ailes dépend plus de son propre élancement que de celui de l’autre élément rattaché. En effet, lorsque le chargement est dans le sens des ailes, et que l’on fixe la longueur de l’âme, on se rend compte que faire varier la longueur des ailes n’a qu’un léger impact sur la largeur effective de l’âme. De même, lorsque le chargement est dans le sens de l’âme, et que la longueur des ailes reste fixe, faire varier la longueur de l’âme n’a pas beaucoup de conséquences sur la largeur effective des ailes. En revanche, on observe de plus grandes variations lorsque l’on fait varier la longueur de l’élément en question. Globalement, plus l’élancement de l’élément est élevé, plus petite sera sa largeur efficace. Et la plage de variation des largeurs effectives est trop grande pour pouvoir donner une valeur moyenne, ou une fourchette. Si l’on se place dans le cas d’un bâtiment de 20m de hauteur, avec une cage d’escalier en U de 4m d’âme pour 4m d’ailes, nous sommes dans un élancement de 5, et d’après nos courbes, on devrait plutôt prendre comme largeur effective 1/13e de la hauteur environ. Nous pouvons cependant émettre des critiques par rapport à ces résultats sur plusieurs points. Tout d’abord, il aurait fallu comparer les largeurs efficaces pour une même valeur de contrainte sur les jonctions, ce qui aurait nécessité le calcul de l’inertie et des forces à appliquer pour chacun des cas. La procédure aurait était longue et nous voulions juste avoir un ordre de grandeur. Théoriquement, il faudrait étudier quand même l’influence du chargement et savoir surtout à partir de quel moment cela peut être préjudiciable. Bien évidemment, cette série de modélisations ne peut pas remplacer de réelles expérimentations sur différents profils de voiles, mais elle nous permet néanmoins d’appréhender la complexité du sujet.

Fig. III.3.2 : Différents type de voiles composés

Différentes approches existent pour quantifier les effets du shear lag, mais à fortiori, seul des essais en laboratoire apportent pour l’instant des réponses fiables et peuvent aider certains règlements à évoluer. Nous allons d’ailleurs voir ce que nous recommande la littérature.

3.3.

Recommandations

Les différents règlements étrangers et les ingénieurs français ne sont pas toujours d’accord sur la portion à prendre en compte, mais ils sont d’avis qu’il y a une largeur effective à considérer.

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En 1994, l’UBC (Uniform Building Codes) américain recommandait de considérer une largeur efficace maximale de 1/10e de la hauteur. Les recommandations sismiques de l’ACI (American Institute of Concrete) en 2002 étaient de considérer le minimum de : • la moitié de l’élément s’il y a un autre voile adjacent au bout • 1/10e de la hauteur total du voile • la largeur entière du voile Davidovici [2] recommande lui de prendre en compte 1/10e de la hauteur d’un voile en Té pour chaque aile, et 1/16e d’un voile en L ; et Thonier 1/20e dans tous les cas [3].

Fig. III.3.3 : Largeur effective b

4. Création de la feuille de calcul La feuille de calcul Excel doit se baser sur celle initialement établie par le bureau, et qui concerne la méthode simplifiée appliquée aux bâtiments réguliers selon le PS92. Cette feuille a un double objectif : • déterminer les caractéristiques de n’importe quel voile composé • donner la répartition des efforts simiques dans les voiles conformément au PS92 La création de la feuille s’est appuyée sur l’ouvrage de Thonier [2], dont s’est également inspiré le logiciel Epicentre [7].

4.1.

Détermination des caractéristiques géométriques et mécaniques d’un voile composé

Le but de cette première feuille est de donner tous les éléments nécessaires à la compréhension du voile par une seconde feuille de calcul reprenant la méthode simplifiée du PS92. Il fallait ainsi pouvoir donner pour chaque voile composé : • ses inerties principales • son angle d’inclinaison par rapport à un repère de référence • la position de son centre de torsion • la répartition d’un effort tranchant dans ses éléments constitutifs

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L’explication complète figure en Annexe A9.1. Pour résumer simplement, la méthode de Thonier s’appuie sur la propriété principale du centre de torsion C qui est le point où : • toute force passant par ce point provoque une translation du voile, mais sans rotation • tout moment autour de ce point provoque une rotation du voile, mais sans translation On peut donc toujours décomposer une action extérieure en une force F et un moment M appliqués au centre de torsion C, et de cette façon, les efforts résistants du voile peuvent également être réduits en C en une force et un moment s’opposant à l’action extérieure. Ainsi, si l’on applique un effort passant par le centre de torsion C et orienté selon l’une des directions principales du voile, le flux de cisaillement dans les différents panneaux va donner des efforts d’entraînement (et des moments de torsion) dans chacun d’entre eux. Si l’on projette la section transversale du voile en plan, la résultante de ces efforts sera contenue sur une droite passant par C. Si l’on applique un effort dans la direction perpendiculaire, le centre de torsion C sera l’intersection des deux droites supports des résultantes. La méthode de Thonier a de plus l’avantage de donner la répartition des efforts dans chaque panneau constituant le voile composé. Elle donne également la valeur de la contrainte de cisaillement au niveau des jonctions, ce qui va être très utile pour pouvoir coudre les éléments.

4.2.

Intégration du voile dans la feuille de répartition des efforts sismiques

La feuille initialement établie fonctionnait parfaitement pour une configuration où les voiles étaient orientés suivant les axes des façades du bâtiment rectangulaire (repère de référence). Or, lorsque l’on ajoute un voile incliné ou bien un voile composé dont les axes principaux sont inclinés par rapport aux axes du bâtiment, la feuille n’est plus adaptée. Et ceci pour la principale raison que le repère global principal de l’étage n’est plus confondu avec le repère de référence. Il en résulte plusieurs conséquences non négligeables : 1. les inerties principales des voiles doivent subir un changement de repère pour être utilisée correctement 2. la position du centre de torsion ne peut plus se calculer comme étant le centre de gravité des inerties, puisqu’il y aura de l’inertie composée Ixy dans le repère de référence Or, d’après le PS92 6.1.1, « les composantes horizontales du mouvement de calcul doivent être orientées suivant les axes principaux de l’ouvrage ». Cela signifie que mener le calcul dans le repère de référence n’est plus correct à partir du moment où les axes principaux d’un voile sont inclinés. Le problème consistait donc à déterminer la position du centre de torsion C du niveau, puis à déterminer les axes principaux du bâtiment et enfin à répartir les efforts sismiques dans les voiles. La méthode de Thonier (Annexe A9.2) s’appuie encore une fois sur la propriété du centre de torsion formulée précédemment. Elle détermine la position de C par le biais des deux droites supports des efforts résistants des voiles.

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Quant à l’orientation des axes principaux, elle se détermine en cherchant l’angle d qui donne la rigidité maximale ou minimale de l’étage. Pour la répartition des efforts sismiques, on considère que pour toute translation du voile i parallèlement à Ox (Oxy étant le repère de référence = axes des façades), on obtient deux forces de rappel : • l’une parallèle à Ox et proportionnelle à l’inertie Iyi par rapport à Oiyi (Oixiyi étant le repère local principal du voile i) • l’autre perpendiculaire à Ox et proportionnelle à l’inertie composée Ixiyi. Idem pour une translation parallèlement à Oy, en interchangeant les indices x et y. La composante due à la torsion causée par l’écart des centres de gravité du plancher et de torsion des voiles sera répartie dans les voiles de la même manière que pour la méthode d’AlbigesGoulet. La feuille donne les efforts directement selon les axes locaux principaux des voiles, de manière à ne pas effectuer manuellement les changements de repère nécessaires.

Nous avons vérifié les résultats d’un exemple avec le logiciel Epicentre qui se base également sur les méthodes de Thonier. La comparaison se trouve en Annexe A9.3.

5. Ferraillage d’un voile composé Une fois les efforts obtenus dans le voile composé, on combine les effets des deux directions selon les combinaisons de Newmark, et l’on se retrouve alors avec 2 efforts tranchants Tx, Ty et 2 moments de basculement My, Mx. Il est à noter que ces valeurs sont susceptibles de changer de signe. La question est donc de savoir quelle combinaison d’action sera la plus défavorable pour la section d’encastrement du voile. Si l’on exprime la contrainte de flexion en un point M(x’,y’) du voile dans son repère local principal Oixiyi et que l’on néglige la contribution de la torsion, on a :

σ (M ) = −

Mx'. y ' My '.x' N + + Ix' Iy' S

Eq. III.5

La combinaison la plus défavorable est donc celle qui maximise les contraintes normales de traction./compression dans le voile composé.

Des logiciels existent pour traiter ce genre de problème de flexion déviée. En se basant sur la règle des 3 pivots, et en utilisant le diagramme parabole rectangle pour le béton et bi-linéaire pour les aciers, ils sont capables de donner les courbes enveloppes des contraintes et ainsi de ferrailler la section conformément aux règles PS92, BAEL 91 mod. 99 et DTU 23.1. Ils établissent en fait l’équilibre d’une section donnée afin de définir les armatures longitudinales de flexion. Quant à la résistance du béton comprimé (DTU 23.1), aux armatures de cisaillement et aux armatures de non glissement, ils se déterminent de la même façon que pour un voile simple rectangulaire. Il suffira de projeter le torseur (N,Tx,Ty,My,Mx) selon l’axe du panneau à justifier.

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ANNEXES

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A1.

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Plans des différents niveaux de Nanobio

A1.1. Niveau toiture : Locaux techniques – plan architecte :

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A1.2. Niveau R+2 – plan architecte :

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A1.3. Niveau R+1 – plan architecte :

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A1.4. Niveau RDC – plan architecte :

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A1.5. Fondations – plan structure :

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A1.6. Vue en perspective côté est – concours :

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A2.

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Coefficient de comportement de Nanobio

A2.1. Voiles de contreventement du bloc ouest – niveau courant :

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A2.2. Voiles de contreventement du bloc est – niveau courant :

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A3.

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Exemple de vérification d’un voile de contreventement (Nanobio)

Nous prendrons ici l’exemple du refend orienté O/E du bloc est, situé au milieu du bloc. Ce voile de contreventement reprend la quasi-totalité de l’effort sismique dans cette direction, il est donc très sollicité. Ci-dessous nous avons isolé l’élément et les torseurs en tête de voile, l’unité étant la tonne pour les forces, et la tonne-mètre pour les moments.

Dans cet exemple, on a représenté les efforts dus aux charges permanentes G, aux charges d’exploitation Q, et à l’action sismique S (après combinaison CQC des réponses modales, et SRSS des effets des trois directions). Les valeurs données par G et Q sont respectivement l’effort normal et le moment de basculement du voile, sans pondérations. Les valeurs données par S sont respectivement l’effort normal, l’effort tranchant et le moment de basculement de l’action sismique. On doit considérer l’éventualité d’un changement de signe. Il est très important de préciser que les torseurs sont donnés en tête de voile, et ils prennent donc en compte le chargement du niveau supérieur.

Fig. A3.0 : Torseur dans un voile de contreventement

A3.1. Acier de flexion Af : Pour déterminer les aciers de flexion à mettre en bout de voile, on va utiliser une feuille de calcul qui concerne les sections rectangulaires en béton armé soumises à de la flexion simple ou composée. En prenant l’exemple du RDC, on saisit les caractéristiques géométriques de l’élément, ainsi que son chargement, en considérant les combinaisons les plus défavorables et en négligeant le poids propre du voile : • •

N = 166.9 − 108.9 = 58t M = 668.7 + 206.9 × 3.50 + 95.6 + 0.8 × 48.3 = 1530t.m

N.B. : Multiplier l’effort tranchant sismique par la hauteur d’étage n’est pas correct, car les efforts sismiques ne sont pas concomitants puisqu’ils résultent de la combinaison des effets des trois directions du séisme. On reste toutefois dans la sécurité. Une solution serait de passer sous Effel pour obtenir le torseur en pied de voile mais c’est plus long.

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On obtient alors les résultats suivants :

Fig. A3.1 : Calcul des aciers de flexion

On trouve donc Af = 55,65 cm², ce qui est assez considérable (7HA32 = 56,30 cm²) sans compter les cadres et épingles à disposer sur toute la hauteur des aciers Af. L’ensemble représente environ 66 kg/ml, sur une hauteur de voile de 3,50 m.

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A3.2. Acier reprenant l’effort tranchant At et A et aciers de glissement : Pour déterminer les tirants horizontaux et verticaux à mettre en place pour reprendre le cisaillement dû à l’effort sismique horizontal, on va utiliser une feuille de calcul Excel qui se base sur le paragraphe 11.8.2.1.3 du PS92. On entre les caractéristiques géométriques du voile, son chargement et les aciers de flexion déterminés précédemment : N(t) M(t) T(t)

b h

A

A

a

d

MATERIAUX fc28 (MPa) = fe (MPa) =

30 500

γf = 1.3

MPa MPa

Av = Af = Date d'application des charges : Type de mur θ :

0 55.65 1 1

cm²/ml cm²

DONNEES GEOMETRIQUES: h= b= d= a=

3.50 5.40 5.20 0.30

ml ml ml ml

CHARGEMENT dû aux charges permanentes et d'exploitations 1669.00 Ng = kN 956.00 Mg = kN.m 621.00 kN Nq = 483.00 Mq = kN.m

ω11 = 0.80

CHARGEMENT sismique NS =

1089.00

kN

TS =

2069.00

kN

MS = T* =

13929.00 3103.50

kN.m kN

q = 2.0

II - Justification sous sollicitations sismiques σbc = 17.06 MPa ftj = 2.40 MPa

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Vérification à l'effort tranchant

ϖf =

Vérification de cisaillement 0.27% %

<=2%

CAS G+ω11*Q+E

- On définit : N= M= σ= αV =

CAS G+E

3254.80 kN 15271.40 kN.m 2.01 MPa 0.91 ss unité

2758.00 kN 14885.00 kN.m 1.70 MPa 0.89 ss unité

OK

- On calcule : Mlim =

Mlim =

5262.12 kN.m 0.69 MPa 1.35 MPa 0.99 MPa

τ1 = τ2 = τ3 = τlim = τ∗ =

τ1 = τ2 = τ3 = τlim = τ∗ =

1.20 MPa 1.99 MPa Besoin d'At

- Section d'armatures transversales St = At =

1.00

4815.00 kN.m 0.64 MPa 1.31 MPa 0.90 MPa 1.20 MPa 1.99 MPa Besoin d'At

ml

1.00

5.26 cm²/ml armature verticale et horizontale

ml

5.26 cm²/ml armature verticale et horizontale

Vérification de non glissement x= A' = Fb = tg ϕ =

0.625 41.58 3.20 0.70

0.625 41.58 3.20 0.70

ml cm2 MN

On doit vérifier : T* <= 0,35*ftj*a*x + (Fb +A'*fe)*tg ϕ 3103.50 < 3694.17 MN OK

ml cm2 MN

3694.17 OK

Fig. A3.2 : Feuille de calcul Excel de ferraillage d’un voile de contreventement à l’effort tranchant

Il faut donc mettre en place At = 5,26 cm²/ml dans les deux directions, soit 2ST40C (7,70cm²/ml) pour reprendre le cisaillement (un treillis sur chaque face du voile). Quant à la condition de non-glissement, elle est vérifiée grâce au treillis soudé ajouté : A' = 2 × 3.85cm ² / ml × 5.40m = 41.58cm ²

Finalement, on obtient pour ce cas-là un ratio de HA et de TS valant : rHA = 28kg/m² et rTS = 15,5kg/m². La quantité d’acier calculée est assez importante pour un voile de cette dimension. On répète alors la même procédure à chaque étage et pour chaque voile.

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A4.

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Vérification des pieux (Nanobio)

La première des choses consiste à calculer la portance des pieux en fonction de leur diamètre, des caractéristiques du sol et de la longueur d’ancrage dans l’horizon compacte : Nature du sol remblais sable fin sab grav

qs = qs = qs = ple =

120 100 120 1.5

kPa kPa kPa Mpa

h= h= h= kp =

4 3 ? 1.6

m m m

L’inconnue reste la longueur d’ancrage du pieu dans les sables graveleux. F [m] 0.50 0.50 0.70 0.90 0.90

s = 5.5 Mpa 108 108 212 350 350

h sabgrav [m] 1.5 3.5 3 3 6

Qp [t] 47 47 92 153 153

Qs1 [t] Qs2 [t] Qs3 [t] 75 47 28 75 47 66 106 66 79 136 85 102 136 85 204

Qs [t] 151 188 251 322 424

Nels [t] 91 110 156 212 262

Nelu [t] 137 165 234 318 394

Nelua (+) [t] 124 149 213 291 359

Nelua (-) [t] -100 -126 -167 -215 -282

Tab. A4.1 : Capacité portante des pieux aux différents états limites

Puis, on détermine les diamètres des pieux en analysant la descente de charges statiques et sous séisme, et en tenant compte ensuite de la capacité du pieu à reprendre un certain effort tranchant sismique. Pour les numéros de pieux, il faut se référer au plan de fondations. Le diamètre F50+ correspond à une longueur d’ancrage plus grande que le F50.

Pour le bloc ouest : Pieux 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Diamètre [cm] 50+ 70 50 70 50 50 50 50 50+ 90 70 70 70 70 90 70 70 70 70 50 50 70 70 50 50 50 50 90 90 90 90

G [t] 39.48 76.07 74.96 91.26 71.19 60.81 55.56 60.52 50.37 126.37 87.04 87.04 89.04 89.04 91.93 117.19 109.93 114.30 57.56 34.59 62.74 87.26 96.15 62.44 62.07 47.11 70.07 101.27 108.11 42.81 92.16

Q [t] 4.80 24.07 25.27 30.73 21.20 16.67 15.00 16.33 10.07 38.27 32.43 32.43 35.43 35.43 30.47 46.27 43.60 45.20 20.40 4.67 11.80 23.80 28.80 16.40 17.20 14.80 18.07 20.73 28.73 12.97 24.47

Nséisme [t] 87.30 98.90 31.00 26.30 33.10 12.80 14.60 17.10 82.30 126.70 92.65 92.65 88.60 88.60 178.80 31.40 44.50 29.70 59.10 86.70 16.90 63.10 52.20 54.00 13.60 14.30 15.10 207.00 167.20 106.30 149.30

Vséisme [t] 30 30 20 25 30 15 15 15 30 45 35 35 35 35 45 25 25 25 35 20 25 40 35 25 15 15 15 65 65 65 65

N ELS [t] 44.28 100.14 100.23 121.99 92.39 77.48 70.56 76.85 60.44 164.64 119.47 119.47 124.47 124.47 122.39 163.45 153.53 159.50 77.96 39.26 74.54 111.06 124.95 78.84 79.27 61.91 88.14 122.00 136.84 55.78 116.62

N ELU [t] N ELAc [t] N ELAt [t] 60.50 130.62 -47.82 138.80 194.23 -22.83 139.10 126.18 169.30 142.15 127.90 121.25 107.10 86.95 97.50 82.16 106.20 90.69 83.10 140.72 -31.93 228.00 283.68 -0.33 166.15 205.63 -5.61 166.15 205.63 -5.61 173.35 205.98 173.35 205.98 169.80 295.10 -86.87 227.60 185.60 213.80 189.31 222.10 180.16 108.30 132.98 -1.54 53.70 125.03 -52.11 102.40 89.08 153.50 169.40 -9.14 173.00 171.39 108.90 129.56 109.60 89.43 85.80 73.25 121.70 99.63 167.81 324.85 -105.73 189.05 298.29 -59.09 77.25 159.49 -63.49 161.11 261.03 -57.14

Tab. A4.2 : Tableau récapitulatif des efforts sur les pieux du bloc ouest

47


GC5 CO

Pour le bloc est : Pieux 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

Diamètre [cm] 50 50 70 50+ 50 50+ 50 90 90 90 90 90 50+ 50 70 50+ 70 70 50 50 50 50 50 50 50

G [t] 79.00 69.10 60.20 66.30 58.70 62.80 56.80 145.90 71.40 71.40 76.35 76.35 44.50 49.50 84.10 69.90 66.50 60.00 61.30 30.60 15.90 46.40 23.70 7.90 16.00

Q [t] 24.30 22.60 15.90 11.30 5.70 16.90 9.70 63.20 29.25 29.25 25.15 25.15 14.60 9.80 23.90 24.70 22.90 12.60 7.00 9.70 1.50 8.90 2.20 1.40 2.00

Nséisme [t] 11.50 11.90 90.60 70.50 16.50 53.90 12.50 33.40 151.80 151.80 124.90 124.90 67.30 11.90 13.40 12.60 14.50 88.20 16.80 85.90 66.10 65.50 98.80 4.30 4.20

Vséisme [t] 25 20 45 25 15 25 15 40 40 40 40 40 25 15 30 20 45 30 15 10 10 15 10 10 10

N ELS [t] 103.30 91.70 76.10 77.60 64.40 79.70 66.50 209.10 100.65 100.65 101.50 101.50 59.10 59.30 108.00 94.60 89.40 72.60 68.30 40.30 17.40 55.30 25.90 9.30 18.00

N ELU [t] N ELAc [t] N ELAt [t] 143.10 109.94 127.19 99.08 105.12 163.52 -30.40 106.46 145.84 -4.20 87.80 79.76 110.13 130.22 91.23 77.06 291.77 229.86 140.27 246.60 -80.40 140.27 246.60 -80.40 140.80 221.37 -48.55 140.80 221.37 -48.55 81.98 123.48 -22.80 81.53 69.24 149.39 116.62 131.42 102.26 124.13 99.32 99.90 158.28 -32.60 93.26 83.70 55.86 124.26 -55.30 23.72 83.20 -50.20 75.99 119.02 -19.10 35.30 124.26 -75.10 12.77 13.32 24.60 21.80

Tab. A4.3 : Tableau récapitulatif des efforts sur les pieux du bloc est

Aucun pieu n’a du être redimensionné à l’arrachement (ELAt) mais plutôt à la compression accidentelle (ELAc).

48


A5.

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Plan des niveaux (Annemasse)

Les niveaux sont quasi identiques, voici donc un étage courant ainsi que la modélisation sur Arche :

Fig.. A5.2 : Vue 3D sous Arche

Fig.. A5.1 : Plan architecte d’un étage courant 49

Fig.. A5.3 : Numérotation des voiles


A6.

GC5 CO

Modèle encastré (Annemasse)

A6.1. Analyse modale : Mode N° 1 2 3 4 5 6 7

Pulsation (Rad/s) 13.61 16.43 30.69 53.24 58.79 61.56 63.26

Mode N° 1 2 3 4 5 6 7

Mode N° 1 2 3 4 5 6 7 Mode N° 1 2 3 4 5 6 7

Grandeurs des modes propres Période (s) 0.462 0.382 0.205 0.118 0.107 0.102 0.099

Fréquence (Hz) 2.17 2.62 4.88 8.47 9.36 9.80 10.07

Masse Modale Suivant X (T) (pct) 499.18 38.31 204.63 15.71 90.17 6.92 24.81 1.90 34.34 2.64 2.60 0.20 0.85 0.07

Facteur de Participation (-) 706.53 452.36 300.28 157.50 185.30 50.94 29.10

Accélération sismique (m/s²) 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250

Masse Modale Suivant Y (T) (pct) 153.11 11.75 602.11 46.21 54.12 4.15 43.73 3.36 35.79 2.75 0.86 0.07 0.75 0.06

Facteur de Participation (-) 391.29 -775.96 232.64 209.11 189.18 -29.39 -27.46


Masse Modale Suivant Z (T) (pct) 0.10 0.00 0.63 0.05 0.01 0.00 158.36 12.15 197.12 15.13 66.09 5.07 6.66 0.51

Facteur de Participation (-) 9.96 -25.14 -2.64 -397.94 443.98 257.08 81.61


Tab. A6.1 : Analyse modale du modèle encastré Déplacements : Dx = 3,86 cm Dy = 5,50 cm Dz = 0,50 cm

A6.2. Efforts sismiques en pied de voile : N [t]

RDC T [t]

M [t.m ]

N [t]

R+1 T [t]

M [t.m ]

N [t]

R+2 T [t]

M [t.m ]

N [t]

R+3 T [t]

M [t.m ]

V2

46.73

35.89

95.38

11.60

24.50

33.95

17.85

14.67

14.23

23.74

7.43

17.36

V3

193.86

55.81

109.00

111.96

42.12

39.98

64.26

30.61

17.77

35.12

21.16

17.15

V4

269.28

71.22

191.40

115.00

68.68

119.73

47.92

57.39

74.05

34.03

43.66

34.81

V5

39.99

33.51

191.61

34.14

23.00

98.66

27.13

19.07

57.99

18.43

14.87

30.49

V6

248.71

92.54

381.52

133.06

82.58

253.33

97.08

62.55

119.69

55.29

43.70

60.71

V7

206.92

30.86

20.28

98.11

24.72

6.06

71.23

32.17

14.73

40.17

28.45

12.71

V1

145.43

51.20

123.07

114.64

28.43

44.42

80.85

20.03

23.92

48.94

13.17

13.04

Voile

Tab. A6.2 : Efforts sismiques du modèle encastré

50


A7.

GC5 CO

Prise en compte de l’ISS (Annemasse)

A7.1. Tableau des coefficients de transmittance d’après Deleuze :

Tab. A7.1 : Coefficients de transmittance d’après Deleuze

A7.2. Application de la méthode de Deleuze : Hypothèses : On va considérer un radier général d’épaisseur 60 cm, sur un site de profil remblai – graves – marnes, en prenant comme caractéristiques géotechniques du site : • • •

Module de cisaillement du sol G = 600 MPa Coefficient de poisson n = 0,33 Masse volumique r = 2 t/m3

Quant aux paramètres de la structure, on prendra :

• •

Lx = 13,70 m et Ly = 11,00 m fx = 2,62 Hz – fy = 2,17 Hz – fz = 8,47 Hz

51


GC5 CO

1ere itération : En translation horizontale: Le rayon équivalent de la fondation vaut r0 =

ba

π

11.00 × 13.70

=

π

= 6.9260m

où a désigne la dimension parallèle au séisme et b la dimension perpendiculaire. D’où, a 0 X = 2πf X r0

ρ

= 0.2082 et a 0Y = 2πf Y r0

ρ

= 0.1724 . G G On se reporte alors au tableau des coefficients de transmittance de Deleuze, en extrapolant les valeurs : f h1 X = 0.2224 et f h 2 X = −0.0264 ; f h1Y = 0.2240 et f h1Y = −0.0218 . Or, pour un ressort unique : f H1 K H = Gr0 soit K HX = 1.84.10 7 kN / m 2 2 f H1 + f H 2 1 f et η H = − × H 2 soit η HX = 5.9% 2 f H1

et K HY = 1.84.10 7 kN / m ; et η HY = 4.9% .

Finalement, pour un ressort réparti, on obtient : K kH = H soit k HX = 1.22.10 5 kN / m 3 et k HY = 1.22.10 5 kN / m 3 ; S 1 et ζ H = η H + 5% soit ζ HX = 7.9% et ζ HY = 7.4% . 2

En translation verticale, issue du balancement autour des axes OX et OY :

ba 3 , soit r0φX = 7.4015m (séisme direction 3π = 6.6322m (séisme direction OY, balancement autour de

Le rayon équivalent de la fondation vaut r0 = 4 OX, balancement autour de OY) et r0φY OX). D’où, a 0φX = 2πf X r0

ρ

= 0.2225 et a 0φY = 2πf Y r0

ρ

= 0.1651 . G G On se reporte alors au tableau des coefficients de transmittance de Deleuze, en extrapolant les valeurs : f φ1 X = 0.2973 et f φ 2 X = −0.0010 ; f φ1Y = 0.3003 et f φ 2Y = −0.0013 . Or, pour un ressort unique : fφ1 3 soit K φX = 8.18.10 8 kN .m / rad K φ = Gr0 2 2 f φ1 + fφ 2

1 fφ 2 et η φ = − × 2 f φ1

soit η φX = 0.0%

et K φY = 5.83.10 8 kN .m / rad ; et η φY = 0.2% .

52


GC5 CO

Finalement, pour un ressort réparti, on obtient : Kφ kV = soit kVX = 3.47.10 5 kN / m 3 I 1 soit ζ VX = 5.0% et ζ φ = η φ + 5% 2

et kVY = 3.84.10 5 kN / m 3 ; et ζ VY = 5.1% .

Il ne reste plus qu’à entrer ces valeurs dans le modèle sur Effel, lors de la création d’un appui surfacique élastique pour simuler le radier. On relance ensuite le calcule afin d’obtenir de nouvelles fréquences propres, et l’on répète alors la même procédure de calcul de raideurs et d’amortissement jusqu’à ce que toutes les valeurs convergent. Pour cet exemple, il a fallu quatre itérations pour fixer les valeurs d’amortissement, alors que les raideurs étaient quasiment bonnes dès le premier calcul. On aboutit ainsi aux valeurs finales suivantes :

En translation horizontale: k HX = 1.23.10 5 kN / m 3 ζ HX = 7,1%

et k HY = 1.23.10 5 kN / m 3 ; et ζ HY = 6,7% .

En translation verticale, issue du balancement autour des axes OX et OY :

kVX = 3.52.10 5 kN / m 3 ζ VX = 5.0%

et kVY = 3.94.10 5 kN / m 3 ; et ζ VY = 5.0% .

avec les fréquences finales suivantes : fx = 2,18 Hz – fy = 1,74 Hz – fz = 8,08 Hz.

53


GC5 CO

A7.3. Analyse modale avec ISS : Mode N° 1 2 3 4 5

Pulsation (Rad/s) 10.94 13.71 25.49 50.77 55.56

Mode N°

Période (s) 0.575 0.458 0.247 0.124 0.113

Masse Modale Suivant X (T) (pct) 5.14 0.36 771.98 54.39 68.74 4.84 48.45 3.41 7.42 0.52 Masse Modale Suivant Y (T) (pct) 770.32 54.27 24.97 1.76 70.55 4.97 44.44 3.13 53.71 3.78 Masse Modale Suivant Z (T) (pct) 0.01 0.00 0.51 0.04 0.07 0.00 169.46 11.94 341.70 24.07

1 2 3 4 5 Mode N° 1 2 3 4 5 Mode N° 1 2 3 4 5

Fréquence (Hz) 1.74 2.18 4.06 8.08 8.84

Facteur de Participation (-) -71.73 878.62 262.18 -220.11 86.15 Facteur de Participation (-) -877.68 -158.01 265.61 -210.80 231.76 Facteur de Participation (-) -3.03 22.58 8.28 411.66 584.55

Accélération sismique (m/s²) 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 Accélération sismique (m/s²) 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 Accélération sismique (m/s²) 3.4387 3.9375 3.9375 3.9375 3.9375

Tab. A7.3 : Analyse modale du modèle avec ISS

A7.4. Efforts sismiques en pied de voile avec ISS : N [t]

RDC T [t]

N [t]

R+1 T [t]

M [t.m]

M [t.m]

V2

46.18

29.19

81.59

24.37

22.03

V3

161.50

66.03

119.39

81.50

V4

229.18

56.28

108.26

V5

59.97

50.11

V6

251.52

V7 V1

Voile

N [t]

R+2 T [t]

N [t]

R+3 T [t]

M [t.m]

M [t.m]

26.56

25.90

12.78

14.67

27.96

6.59

20.28

41.82

31.77

46.38

29.32

17.07

31.26

20.48

19.75

94.77

61.91

95.72

42.22

53.82

59.38

39.51

39.58

24.52

222.85

49.40

27.99

86.08

38.44

21.49

47.99

25.84

16.88

27.76

99.24

345.35

127.64

86.41

224.97

95.91

64.03

98.89

54.84

44.19

65.01

205.34

35.94

24.02

88.56

27.98

6.26

67.54

36.43

16.82

38.32

31.82

14.40

120.82

44.79

85.88

96.10

27.55

35.23

67.45

19.28

19.20

40.10

12.29

11.83

Tab. A7.4 : Efforts sismiques du modèle avec ISS

54


GC5 CO

A7.5. Comparaison du ferraillage du V4 et du V5 des deux modèles :

En calculant les ratios d’acier, on trouve un gain de HA d’environ 9% sur l’ensemble des trois niveaux présentés, ainsi qu’un gain de TS d’environ 18%.

En calculant les ratios d’acier, on trouve une perte de HA d’environ 18% sur l’ensemble des trois niveaux présentés, mais aucune perte de TS. On peut quand même nuancer les pertes de HA en disant que cela ne concerne que les voiles les plus courts.

55


A8.

GC5 CO

Largeur efficace d’un voile composé

A8.1. Chargement dans le sens de l’âme – Ailes constantes : Rapport H/Beff pour les ailes - Ailes constantes

F

F

70 F

F

60

Beff

âme

aile constante

50

H/ailes=5 H/ailes=10 H/ailes=20 H/ailes=30 H/ailes=13,33

H/Beff

40

30

20

10

0 0

2

4

6

8

10

12

H/ame

A8.2. Chargement dans le sens des ailes – Ame constante : F

F

Rapport H/Beff pour l'âme - Ame constante

F

F

30

F

25

Beff

Beff âme constante

aile

H/Beff

20 H/ame=0.5 H/ame=1 H/ame=2 H/ame=5 H/ame=10

15

10

5

0 0

5

10

15

20 H/aile

56

25

30

35


GC5 CO

A8.3. Chargement dans le sens de l’âme – Ame constante : F

Rapport H/Beff pour les ailes - Ame constante

F

70

F

F Beff

60 âme constante

aile

50

H/ame=0.5 H/ame=1 H/ame=2 H/ame=5 H/ame=10

H/Beff

40

30

20

10

0 0

5

10

15

20

25

30

35

H/aile

A8.4. Chargement dans le sens des ailes – Ailes constante : F

F

Rapport H/Beff pour l'âme - Ailes constantes

F

F

30

F

Beff

25

Beff âme

aile constante

H/Beff

20 H/aile=5 H/ailes=10 H/ailes=13.33 H/ailes=20 H/ailes=30

15

10

5

0 0

2

4

6

8

H/ame

57

10

12


A9.

GC5 CO

Création de la feuille de calcul de contreventement

A9.1. Détermination des caractéristiques d’un voile composé : Hypothèses fondamentales : Le centre de torsion C est le point tel que : • toute force passant par ce point provoque une translation du voile, mais sans rotation • tout moment autour de ce point provoque une rotation du voile, mais sans translation On peut donc toujours décomposer une action extérieure en une force F et un moment M appliqués au centre de torsion C, et de cette façon, les efforts résistants du voile peuvent également être réduits en C en une force et un moment s’opposant à l’action extérieure. Considérons

un

voile

rectangulaire et un effort Vy parallèle à Gy, dans le repère de référence Oxy ramené au centre de gravité du voile composé. On appelle O le centre du rectangle, G le centre de gravité du voile composé, f l’angle (Gy ; Oy) et s l’abscisse le long de l’axe longitudinal du rectangle orienté vers le rectangle suivant.

Fig. A9.1: Elément d'un voile composé

Vy provoque un moment de flexion Mx autour de Gx, qui donne une contrainte de flexion M x .y σ= pour une ordonnée y = b + s. cos ϕ . L’effort normal dans un élément dS = t.ds vaut Ix alors F = ∫

h/2

s

σ .dS =

M x .t   h   h 2  cos ϕ  .b − s  −  − s 2  . Ix   2   4  2 

L’effort de glissement g par unité de longueur dans le plan Otz, perpendiculaire au plan de la  Vy .tbh dF V y .t   h   h 2 h 2  cos ϕ figure, vaut g = = . Le b − s  −  − s   , soit en B, pour s = − : g B = 2 I dz Ix   2   4 2 x   cisaillement dû à ce glissement dans le plan Otz entre deux plans parallèles à Ost et espacés de dz 2  cos ϕ  g Vy   h dF  h  est tel que τ .t = − = − g doù τ = − = b − s − − s 2     .  dz t Ix   2   4  2 

58


GC5 CO

D’après Cauchy, le cisaillement sur la facette Ost a la même valeur, d’où l’effort h/2

d’entraînement le long de l’axe Os : T = ∫

h/2

s

V y .t  bhs bs ²  h 2 s s 3  cos ϕ  − − −  τ .t.ds =   , soit en Ix  2 2  4 3  2 s

V y .t  bh² h 3 cos ϕ  − B : TB = −  . Ix  2 12  Considérons à présent que ce voile est en fait la continuité d’une succession de rectangles dont on peut ramener au point A les valeurs d’efforts de glissement gA et d’entraînement TA g résultants. L’effort de glissement en A provoque un cisaillement dans le plan Otz égal à τ = − A t h/2 h/2 h  et donc un effort d’entraînement dans le plan Ost valant T = ∫ τ .t.ds = − ∫ g A  − s  , soit en s s 2  V y .t  bh² h 3 cos ϕ  − B : T = − g A h d’où finalement TB = −   − g A h . En projetant sur les deux axes Ix  2 12  globaux principaux Gx et Gy, on peut déterminer les composantes Tx et Ty de l’effort résultant de n rectangles, ainsi que le moment C par rapport à G de ces mêmes efforts : • Tx = ∑ (Ti − g i −1 .hi ) sin ϕ i i

•

Ty = ∑ (Ti − g i −1 .hi ) cos ϕ i i

•

C = −∑ bi (Ti − g i −1 .hi ) sin ϕ i − a i (Ti − g i −1 .hi ) cos ϕ i i

avec

Ti = −

V y .ti  bi hi ² hi 3 cos ϕi  −   Ix  2 12  V y ti bi hi

gi = ∑ i

Ix

La droite support de la résultante est définie par son ordonnée à l’origine − abscisse à l’origine −

C et son Tx

C , d’où l’équation de la droite support sous la forme : Ty Ty Tx u1 x + v1 y − 1 = 0 avec u1 = et v1 = − . C C

De façon analogue, pour un effort tranchant Vx parallèle à Gx, et qui provoque un moment de flexion My autour de Gy, on trouve : 3 Vx .ti  ai hi ² hi sin ϕi  −   Iy  2 12  V tah gi = ∑ x i i i Iy i

Ti = −

Puis les formules pour trouver les composantes dans le repère Gxy sont identiques, ainsi que celles pour avoir les valeurs de u2 et v2.

59


GC5 CO

Finalement, comme les efforts résistant d’un voile passe par son centre de torsion, le point de concours des deux droites précédentes représente alors le centre de torsion C. Ses coordonnées sont données dans le repère Gxy par :

xC =

v1 − v 2 u 2 .v1 − u1 .v 2

et

yC =

u 2 − u1 . u 2 .v1 − u1 .v 2

Ainsi, tout effort passant par C peut se décomposer en Vx parallèle à Gx, et Vy parallèle à Gy, chacune des deux composantes, passant par C, ne produit aucun moment de torsion.

A9.2. Intégration du voile dans la feuille de répartition des efforts sismiques : Hypothèses fondamentales : Le centre de torsion C est le point tel que : • toute force passant par ce point provoque une translation du plancher et donc des éléments de contreventement, mais sans rotation • tout moment autour de ce point provoque une rotation du plancher et donc des éléments de contreventement, mais sans translation On peut donc toujours décomposer une action extérieure en une force F et un moment M appliqués au centre de torsion C, et de cette façon, les efforts résistants des éléments de contreventement peuvent également être réduits en C en une force et un moment s’opposant à l’action extérieure.

Etude de la translation sur un voile : Pour toute translation du voile i parallèlement à Ox, on obtient deux forces de rappel : • l’une parallèle à Ox et proportionnelle à l’inertie Iyi par rapport à Oiyi ; • l’autre perpendiculaire à Ox et proportionnelle à l’inertie composée Ixyi. Idem pour une translation parallèlement à Oy, en interchangeant les indices x et y. Dans le repère Oxy de référence, les inerties sont obtenues à partir des inerties principales I’x et I’y des voiles par les relations : • I xi = I 'xi cos ²θi + I ' yi sin ²θi

•

I yi = I ' xi sin ²θ i + I ' yi cos ²θ i

•

I xyi = ( I ' xi − I ' yi ) cos θ i sin θ i

Comme toutes les forces de rappel sont proportionnelles aux inerties, nous pouvons remplacer ces forces par les vecteurs inerties. Dans le repère Oxy = (O, i, j ) , on obtient les résultantes P et Q des forces, et donc des inerties : P = ∑ I yi i + ∑ I xyi j et Q = ∑ I xyi i + ∑ I xi j . Le point d’intersection de ces résultantes définit le centre de torsion C. Or, les composantes des vecteurs valent ( Px = ∑ I yi ; Py = ∑ I xyi ) et ( Qx = ∑ I xyi ; Q y = ∑ I xi ), les

moments par rapport à O valent M P = ∑ (I xyi .x0i − I yi . y 0i ) et

M Q = ∑ (I xi .x0i − I xyi . y0i ) , et ainsi l’abscisse et l’ordonnée à

60


l’origine des droites supports valent ( x P =

GC5 CO

MQ MQ MP M ; y P = − P ) et ( xQ = ; yQ = − ). Py Qy Px Qx xC =

D’où les coordonnées de C :

(y

P

− yQ )

 y P yQ    − x  x Q   P

et

yC =

(x

P

− xQ )

 xP xQ   −  y   P yQ 

.

Soit CXY le repère global principal des voiles du niveau, on appelle d l’angle (Ox ; CX). Par définition, l’angle d est tel que ∑ I XYi = 0 = ∑ (I xi − I yi )sin δ cos δ + I xyi (cos ²δ − sin ²δ ) , soit :

∑ (I

xi

− I yi )

sin 2δ ∑ (I ' xi − I ' yi )sin 2θ i . = −∑ I xyi cos 2δ et finalement tan 2δ = − 2 ∑ (I ' xi − I ' yi )cos 2θ i

Pour un effort HY parallèle à CY, on obtient la répartition suivante dans les voiles : I Xi • HY parallèlement à CY I ∑ Xi

•

HY

I XYi

∑ I Xi

parallèlement à CX

Dans le repère local de chaque voile on aura en fin de compte, avec ϕ = θ + δ désignant l’angle du repère local principal du voile i par rapport au repère global principal de l’étage. HX [IYi cosϕi − I XYi sin ϕi ] + HY [I XYi cosϕi − I Xi sin ϕi ] suivant Oix’i • F ' xi = ∑ IYi ∑ I Xi

•

F ' yi =

HY [I Xi cosϕi + I XYi sin ϕi ] + H X [I XYi cosϕi + IYi sin ϕi ] suivant Oiy’i ∑ I Xi ∑ IYi

Etude de la rotation due au moment M=H.e : Les efforts R’xi et R’yi dus à la rotation et repris dans chaque voile sont proportionnels à : • leurs inerties principales I’xi et I’yi ; • leur distance au centre de torsion C pour une même rotation d’angle a. R' yi = K .α .ryi .I ' yi R'xi = K .α .rxi .I ' xi et Le coefficient K de proportionnalité est obtenu en écrivant l’équilibre des moments des forces par rapport au centre de torsion C : M = H .e = ∑ (R'xi .rxi + R' yi .ryi ) = K .α .∑ (r ² xi.I ' yi + r ² yi.I 'xi )

M avec J = ∑ (r ² xi.I ' yi + r ² yi.I ' xi ) J M .rxi .I ' yi M .ryi .I ' xi R'xi = et R' yi = J J K .α =

d’où d’où

Efforts finaux dans les voiles : Les efforts dans chaque voile i, dirigés suivant ses axes principaux d’inertie Ox’iy’i, valent : H ' yi = F ' yi + R' yi H 'xi = F 'xi + R'xi et

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A9.3. Comparaison des résultats avec Epicentre : Exemple 1 d’une configuration symétrique – sans torsion : La configuration des voiles est la suivante : L’exemple choisi est un bâtiment rectangulaire de 20m de long pour 10m de large sur 3 niveaux de 3m.

V2 V1

V4

Les axes principaux des voiles sont affichés en rouge en leur centre de torsion, et leur centre de gravité est en vert. V3

En violet nous avons les axes principaux du bâtiment au Fig. A9.3.1 : Configuration des voiles pour l'exemple 1

centre de torsion de l’étage.

La configuration étant symétrique, le centre de gravité des planchers et le centre de torsion des voiles est confondu. De ce fait, aucune torsion ne peut se produire. Les données sismiques sont : aN = 2,5 m/s2 – Site S2 – q = 3.00 – ξ = 4% – t = 1. Les valeurs des efforts en pied de voiles sont données en t ou en t.m, orientés suivant les axes des façades du bâtiment : V1 V2 V3 V4 TOTAL

Tx 22.70 7.80 7.80 22.70 61.00 Tx

EPICENTRE My Ty 188.30 65.10 65.10 188.30 506.80 My

V1 V2 V3 V4 TOTAL

V1 V2 V3 V4 TOTAL

V1 V2 V3 V4 TOTAL

Ty 30.10 0.60 0.60 30.10 61.40 EXCEL

Tx

My

22.20 7.70 7.70 22.20 59.80

182.70 63.20 63.20 182.70 491.80

Tx

My

Ty

Mx Séisme suivant Ox

Mx 250.10 5.10 5.10 250.10 510.40

Séisme suivant Oy

Mx Séisme suivant Ox

Ty

Mx

29.50 0.60 0.60 29.50 60.20

242.70 4.90 4.90 242.70 495.20

xc = 10.00 yc = 5.00

Séisme suivant Oy

Ecart Ecart sur Tx sur My -2.20% -2.97% -1.28% -2.92% -1.28% -2.92% -1.97%

-2.96%

Ecart sur Tx

Ecart sur My

Ecart sur Ty

Ecart sur Mx

Ecart Ecart sur Ty sur Mx -1.99% -2.96% -1.99% -2.96% -1.95% -2.98%

Tab. A9.3.1 : Comparaison des résultats de la feuille avec Epicentre

On remarque que les écarts entre les valeurs sont très faibles. 62


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Exemple 2 d’une configuration non symétrique – avec torsion : La configuration des voiles est la suivante : V2 V4 V1

V3 V5

L’exemple choisi est un bâtiment rectangulaire de 20m de long pour 10m de large sur 3 niveaux de 3m. Les axes principaux des voiles sont affichés en rouge en leur centre de torsion, et leur centre de gravité est en vert. En violet nous avons les axes principaux du bâtiment au centre de torsion de l’étage.

Fig. A9.3.2 : Configuration des voiles pour l'exemple 2

Dans cet exemple, l’écart entre le centre de gravité du plancher et le centre de torsion des voiles va créer un moment de torsion. Les données sismiques sont : aN = 2,5 m/s2 – Site S2 – q = 3.00 – ξ = 4% – t = 1. Les valeurs des efforts en pied de voiles sont données en t ou en t.m, orientés suivant les axes des façades du bâtiment : V1 V2 V3 V4 V5 TOTAL

Tx 6.40 32.10 4.70 0.00 0.00 43.20

V1 V2 V3 V4 V5 TOTAL

Tx 5.30 22.90 4.60 0.00 0.00 32.80



EPICENTRE My Ty 51.30 17.20 258.60 0.00 38.00 0.00 0.00 13.60 0.00 2.80 347.90 33.60 My Ty 42.80 19.30 184.60 0.00 36.70 0.00 0.00 20.10 0.00 3.90 264.10 43.30 EXCEL

Mx 139.10 0.00 0.00 109.50 23.00 271.60

Séisme suivant Ox

Mx 155.90 0.00 0.00 162.20 31.60 349.70

Séisme suivant Oy

Tx

My

Ty

Mx

6.5 30.1 5.3

53.7 247.7 44.1

13.8

113.1

41.90

345.50

13.1 1.9 28.80

Tx

My

Ty

Mx

4.0 16.8 3.9

32.7 138.2 32.3

20.5

169.1

19.5 3.6 43.60

160.7 30.1 359.90

24.70

203.20

107.6 16.3 237.00

xc = 5.52 yc = 7.00

xg = 10.00 yg = 5.00

Ecart sur Ecart sur Ecart sur Tx My Ty 1.56% 4.68% -19.77% Séisme -6.23% -4.22% suivant 12.77% 16.05% Ox -3.68% -32.14% -3.01% -0.69% -14.29%

Ecart sur Mx -18.69% xc = 5.52 yc = 7.00 -1.74% -29.13% -12.74%

Ecart sur Ecart sur Ecart sur Ecart sur Tx My Ty Mx -24.53% -23.60% 6.22% 8.47% Séisme -26.64% -25.14% suivant -15.22% -11.99% Oy -2.99% -0.92% -7.69% -4.75% -24.70% -23.06% 0.69% 2.92%

Tab. A9.3.2 : Comparaison des résultats de la feuille avec Epicentre

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xg = 10.00 yg = 5.00


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On remarque que les écarts sont acceptables pour les valeurs les plus élevées (en bleu) des efforts simiques, sauf peut-être pour le V3. Les efforts donnés dans la direction perpendiculaire au séisme sont dus au fait qu’Epicentre calcule des pourcentages de translation de la masse modale (basés sur les déformées modales) dans chaque direction principale. Dans notre exemple, il trouve 67% suivant Ox et 33% suivant Oy pour un séisme Ox, et l’inverse pour un séisme Oy. Nous avons calé la feuille pour obtenir les mêmes pourcentages afin de pouvoir comparer les résultats. Mais les valeurs qui seront pris en compte pour le calcul seront les valeurs issues de la combinaison de Newmark :


Tx 7.99 38.97 6.08 0.00 0.00 53.04

EPICENTRE My Ty 64.14 24.46 313.98 0.00 49.01 0.00 0.00 24.18 0.00 4.74 427.13 53.38

Mx 197.63 0.00 0.00 195.05 38.50 431.18

EXCEL


Tx

My

Ty

7.70 35.14 6.47 0.00 0.00 49.31

63.51 289.16 53.79 0.00 0.00 406.46

24.64 0.00 0.00 23.43 4.17 52.24

Ecart sur Ecart sur Tx My 203.03 -3.63% -0.98% 0.00 -9.83% -7.90% 0.00 6.41% 9.75% 192.98 34.99 431.00 -7.03% -4.84% Mx

Ecart sur Ecart sur Ty Mx 0.74% 2.73%

-3.10% -12.03% -2.14%

-1.06% -9.12% -0.04%

Tab. A9.3.2 : Comparaison après combinaison de Newmark

On remarque à présent que les écarts se sont plus ou moins réduits, mais restent correct dans la globalité, et notamment pour le V3 qui présente alors un écart de moins de 10%. Nous pouvons donc affirmer que la feuille donne des ordres de grandeurs satisfaisant pour les efforts simiques.

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CONCLUSION Ce Projet de Fin d’Etudes a été l’occasion d’appréhender la complexité du domaine sismique, notamment par la découverte des multiples notions mises en jeu, du règlement parasismique et de son application. Le PS92, en l’occurrence, ne donne qu’une ligne de conduite pour amener à un niveau de sécurité acceptable pour les personnes et les biens. Or, il existe de nombreuses incertitudes et de nombreux points qui ne sont pas détaillés par les règlements et qui pourtant peuvent s’avérer importants dans une étude.

Ce projet a été d'autant plus enrichissant qu'il a contribué à répondre à certaines attentes de l'entreprise. Il m’a également permis de comprendre plusieurs facettes du métier d’ingénieur en bureau d’études, et en particulier la capacité à émettre un regard critique et à essayer d’aller dans le détail quand les choses ne sont pas claires. Même si le travail effectué lors de ce PFE n'a pas, dans l'absolu, répondu à toutes les questions que nous nous sommes posés, il nous a néanmoins permis de nous ouvrir de nouvelles perspectives d'études et d'engager des échanges avec d'autres ingénieurs de bureaux d'études ou des bureaux de contrôle. C'est peut-être par la mise en commun des connaissances et des expériences que l'on arrivera à avancer.

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LISTE DES FIGURES ET TABLEAUX Tab. I.1.1: Frottement latéral et effort de pointe mobilisable (Nanobio) Tab. I.3.1.1: Extrait du tableau 11 du PS92 (Nanobio) Tab. I.3.1.2 : Tableau 12 du PS92 (Nanobio) Fig. I.3.2.1: Principe de ferraillage d'un voile de contreventement (Nanobio) Fig. I.3.2.2: Aciers de glissement A' (Nanobio) Fig. A3.0 : Torseur dans un voile de contreventement (Nanobio) Fig. A3.1 : Calcul des aciers de flexion (Nanobio) Fig. A3.2 : Feuille de calcul Excel de ferraillage d’un voile de contreventement à l’effort tranchant (Nanobio) Tab. A4.1 : Capacité portante des pieux aux différents états limites (Nanobio) Tab. A4.2 : Tableau récapitulatif des efforts sur les pieux du bloc ouest (Nanobio) Tab. A4.3 : Tableau récapitulatif des efforts sur les pieux du bloc est (Nanobio) Fig. II.2.2: Modélisation des fondations par des ressorts répartis Tab. II.2.3.1 : Comparaison des efforts tranchant sismiques (en t) Tab. II.2.3.2 : Comparaison des efforts normaux sismiques (en t) Tab. II.2.3.3 : Comparaison des moments sismiques (en t.m) Fig. A5.1 : Plan architecte d’un étage courant Fig. A5.2 : Vue 3D sous Arche Fig. A5.3 : Numérotation des voiles Tab. A6.1 : Analyse modale du modèle encastré Tab. A6.2 : Efforts sismiques du modèle encastré Tab. A7.1 : Coefficients de transmittance d’après Deleuze Tab. A7.3 : Analyse modale du modèle avec ISS Tab. A7.4 : Efforts sismiques du modèle avec ISS

(Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse) (Annemasse)

Fig. III.1.1 : Voile plein équivalent (Contreventement) Fig. III.2.1 : Concept de largeur effective (Contreventement) Fig. III.2.2.1 : Noyau sous chargement latéral (Contreventement) Fig. III.2.2.2. : Effets du shear lag sur la distribution des contraintes (Contreventement) Fig. III.2.2.3: Déformée d'une console encastrée (Contreventement) Fig. III.3.1 : Cartographies des contraintes normales et coupes en pied de voile sous Robot (Contreventement) Fig. III.3.2 : Différents type de voiles composés (Contreventement) Fig. III.3.3 : Largeur effective b (Contreventement) Fig. A9.1: Elément d'un voile composé Fig. A9.3.1 : Configuration des voiles pour l'exemple 1 Fig. A9.3.2 : Configuration des voiles pour l'exemple 2 Tab. A9.3.1 : Comparaison des résultats de la feuille avec Epicentre Tab. A9.3.2 : Comparaison des résultats de la feuille avec Epicentre Tab. A9.3.3 : Comparaison après combinaison de Newmark

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(Contreventement) (Contreventement) (Contreventement) (Contreventement) (Contreventement) (Contreventement)


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BIBLIOGRAPHIE [1]

Règles PS 92 (DTU NF P06-013) : Règles de construction parasismique

[2]

La construction en zone sismique, V. DAVIDOVICI, Ed. Le Moniteur, 1999 ISBN : 2.281.11180.6

[3]

Conception et calcul des structures de bâtiment, Tome IV, H. THONIER, Presses de l'ENPC, 1996 ISBN : 2-85978-290-7

[4]

Formulaire du Béton Armé Tome II, V. DAVIDOVICI, Ed. Le Moniteur, 1997 ISBN : 2.281.11175.X

[5]

Théorie de l’élasticité, S. TIMOSHENKO, Librairie Polytechnique Ch. Béranger, 1948

Références secondaires : [6]

Réponse à un mouvement sismique d’un édifice posé sur un sol élastique, G. DELEUZE, Annales ITBTP n°234, juin 1967

[7]

www.logiciel-epicentre.com, concepteur M. HENIN, ingénieur civil Ponts et Chaussées

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Mémoire_PFE_-_PDF

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