MAKALAH ³MEKANIKA BAHAN´
LINGKARAN MOHR
OLEH: AMELIA SAPUTRI DIAN RIZKY.S AARON REZKI AMALIA
JURUSAN SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2011
BAB 1 Pendahuluan
1. Latar belakang Dalam kehidupan sehari hari dalam membuat suatu kontruksi di butuhkan teori mengenai tegangan pada batang dan lingkaran mohr,maka dari itu pembelajaran mengenai hal tersebut harus di bahas secara lebih jelas Dalam makalah ini akan kami bahas tentang lingkaran mohr dan batang yang dikenai momen tekuk dan lain-lain. Sebagai contoh, misalnya untuk suatu balok, hanya dikenai satu pembebanan pada suatu saat. Sering, dalam kenyataan, balok tersebut menerima berbagai bentuk pembebanan dalam satu waktu yang bersamaan; dan untuk itu diperluan penjabaran mengenai tegangan dibawah kondisi-kondisi tersebut. Karena tegangan normal dan tegangan geser merupakan suatu vektor, maka. Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi Tujuan pokok bahasan ini adalah menjelaskan mengenai lingkaran mohr dan bagaimana membuatnya agar semua memahami mengenai lingkaran mohr itu sendiri.
2. Rumusan masalah
y Agar kita mengetahui apa itu lingkaran mohr y
Bagaimana
cara membuat lingkaran mohr
y Apa hubungan lingkaran mohr dan momen inersia
BAB II PEMBAHASAN TEGANGAN
Kasus umum tegangan dua dimensi Pada umumnya jika satu elemen bidang dipindahkan dari induk ( body ) maka akan terkenai
tegangan normal
W x dan W y bersama dengan tegangan geser X x y seperti Gb. 13-1.
Konvensi tanda Untuk
tegangan normal, tegangan tarik diberi tanda positip dan tegangan tekan diberi
tanda negatip.
Untuk
tegangan geser, arah positip adalah seperti ditunjukkan Gb. 13-1. y
W x
X xy
y
W y
X xy
W
U W x
X
x
X xy
X xy
U
d x
X xy
W y
W x
x
X xy
W y
Gb. 13-1
d y
Gb. 13-2
Tegangan pada bidang miring Kita asumsikan bahwa
miring dengan sudut
W x , W y dan X x y diketahui. Untuk keperluan penjabaran, suatu bidang
U terhadap sumbu-x berada pada suatu balok seperti diperlihatkan pada
Gb. 13-1. Tegangan normal dan geser untuk bidang tersebut dinyatakan dengan ditunjukkan pada Gb. 13-2. Dari gambar tersebut diperoleh W
!
X !
W x
W
y
2 W x
W 2
y
W x
sin 2U
W
y
2
X
xy
cos 2U
cos 2U
X
xy
sin 2U
W dan X seperti
Tegangan pokok Terdapat beberapa nilai sudut
U yang memberikan nilai tegangan maksimum untuk suatu
W x , W y dan X x y . Nilai maksimum dan minimum tegangan ini disebut dengan
kumpulan tegangan
tegangan pokok ( principal st resses) dan dinyatakan dengan
W max
W min
W x
!
!
W
¨ W W ©© ª 2
y
x
2 W x
W
¨ W W ©© ª 2
y
x
2
2
y
¸ ¹¹ X º
2
xy
2
y
¸ ¹¹ X º
xy
2
Arah tegangan pokok
U p, yang terletak diantara sumbu-x dan suatu bidang
Suatu sudut, dilambangkan dengan
dimana terjadi tegangan pokok dinyatakan dengan
X
tan 2U p
xy
¡
¨ W ©© ª
x
W ¸ ¹¹ 2 º y
Tegangan geser maksimum Terdapat beberapa nilai sudut
U yang memberikan nilai tegangangeser maksimum untuk
W x , W y dan X x y. Nilai maksimum dan minimum tegangan geser ini
suatu kumpulan tegangan dinyatakan dengan
X max, min
¨ W W ! s ©© ª 2 x
2
y
¸ ¹¹ X º
2
xy
Arah tegangan geser maksimum Suatu sudut, dilambangkan dengan
Us, yang terletak diantara sumbu-x dan suatu bidang
dimana terjadi tegangan geser maksimum dinyatakan dengan
¨ W ©© ª
W ¸ ¹¹ 2 º X ¢
x
tan 2U s
£
y
xy
BAB III PEMBAHASAN Lingkaran Mohr
Informasi-informasi
yang
terkandung
dalam
persamaan-persamaan
dinyatakan dalam betuk grafis yang dikenal dengan
Lingkaran M ohr .
diatas
dapat
Tegangan normal
digambarkan disepanjang sumbu horisontal dan tegangan geser digambarkan disepanjang sumbu vertikal. Tegangan-tegangan
W x , W y dan X x y diplot dalam skala dan suatu lingkaran
digambarkan melalui titik-titik ini dimana pusatnya terletak pada sumbu horisontal. Gambar 13-3 menunjukkan lingkaran Mohr untuk suatu elemen yang dikenai berbagai bentuk tegangan. Teg. geser
l
Wx
b e
X xy
2 Us o
g
j
k
Teg. normal
n
c
h 2 U
X
f
2 Up
X xy
d
Wy W
Gb. 13-3
1. Konvensi tanda pada lingkaran Mohr Tegangan tarik adalah positip dan tegangan tekan adalah negatip. Tegangan tarik diplotkan disebelah kanan titik pusat dan tegangan tekan disebelah kiri titik pusat.
Untuk
tegangan geser terdapat perbedaan dengan tanda yang digunakan pada persamaanpersamaan diatas. Tegangan geser adalah positip jika cenderung memutar elemen searah jarum jam, dan negatif jika memutar elemen berlawanan jarum jam.
Untuk
elemen tersebut
tegangan geser pada permukaan vertikal adalah positip, dan pada permukaan horisontal adalah negatip.
Telah diketahui bahwa keadaan tegangan yang dialami oleh material, baik di dalam struktur maupun di dalam proses pembentukan logam, sebagai akibat dari gaya-gaya eksternal yang diterimanya pada umumnya bersifat kompleks atau lebih dari satu sumbu (multiaksial). Berbagai cara dilakukan untuk mempermudah penggambaran keadaan tegangan spesifik tersebut. Salah satu metode yang paling banyak digunakan adalah metode penggambaran keadaan tegangan dengan menggunakan Diagram Lingkaran Mohr, yang dikembangkan oleh Otto Mohr. Diagram lingkaran Mohr menggambarkan keadaan t egangan pada suatu elemen fisik dengan menggunakan dua buah sumbu. Sumbu absis digunakan untuk menggambarkan tegangan-tegangan normal (normal stress), dan sumbu ordinat digunakan untuk menggambarkan tegangan-tegangan geser (shear stress). Beberapa prinsip dasar dan konvensi yang digunakan dalam konstruksi Lingkaran Mohr adalah sebagai berikut: 1. Sudut pada elemen fisik setara dengan sudut 2 pada lingkaran Mohr.Konvensi tanda arah perputaran sudut adalah jika searah jarum jam maka positif dan jika berlawanan jarum jam maka negativ 2.Konvensi tanda arah untuk tegangan geser adalah jika arah kebawah maka (+) dan jika arahnya ke atas maka (-) 3. Konvensi tanda arah untuk tegangan normal adalah seperti pada gambar berikut ini. Tegangan tarik (tension) positif sebaliknya tegangan tekan (compression) negatif. 4. Tegangan-tegangan pada lingkaran Mohr digambarkan dalam dua sumbu ortogonal. Sumbu horisontal (absis) digunakan untuk menggambarkan tegangan normal, sedangkan sumbu vertikal (ordinat) digunakan untuk menggambarkan tegangan geser. CARA GRAFIS (LINGKARAN MOHR) TEGANGAN UTAMA/EKSTRIM LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN LINGKARAN MOHR v Buat salib sumbu x=s dan y=t v Tentukan pusat lingkaran : C dengan koordinat xC=½(sx+sy) dan yC=0 v Tentukan titik pada lingkaran : A dengan koordinat xA=sx dan yA=txy v Buat lingkaran dengan pusat di titik C dan melalui titik A (jari-jari lingkaran = CA) LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN TEGANGAN PADA BIDANG TERTENTU (menentukan sx¶ dan tx¶y¶) v Buat lingkaran Mohr, tentukan titik A dengan koordinat xA=sx dan yA=txy v Tarik garis sejajar bidang (sb.y¶) melalui A yang memotong lingkaran di B, atau (AB//y¶) v Tarik garis vertikal melalui B yang memotong lingkaran di D, maka koordinat D yaitu xD=sx¶ dan yD=tx¶y
2.
Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam dan negatif bila sebaliknya Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi. .
,
y
.
CARA MELUKIS LINGKARAN MOHR
1 .Buatlah sumbu sij , horisontal. 2. Periksa harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati batas kiri adalah titik sij = 0. 3. Periksa harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik sij = 0. 4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan. 5.Tentukan letak titik-titik sij = 0 dan sumbu t, serta sij terkecil dan sij terbesar bila belum terlukis pada sumbu sij . 6.Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P. 7.Tentukan letak titik A pada koordinat (sij terbesar , txy ). 8.Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA. 9.Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (sij terkecil , txy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, q = 0, elemen tersebut.
Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa. Diminta : a. Lukisan lingkaran Mohr. b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. d.Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr e.Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr. Contoh 1.1:
Penyelesaian : a. Lingkaran Mohr: 1)Buat sumbu sij , horisontal. 2)Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri. 3)Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan. 4)Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik syy = - 40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yang berjarak (sxx + syy) dari titik s yy di sebelah kiri. 5)Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik syy . 6)Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan didapat titik P. 7)Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx , txy ) = (280,120). 8)Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA,lingkaran Mohr dapat d ilukis. 9)Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (syy , txy ) = (-40,120).
Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan o o qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53 ) = 26 30¶. SEHINGGA didapat tan 2qmax = - (280 + 40) / (2 x 120) = - 4/3 o o 2qmax = - 53 08¶atau qmax = - 26 34¶
mengukur, didapat
c.Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr tmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa. Sehingga didapat :;
X max
1 2
2
28
12
2
2
MPa
d.Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat q p = 0,5 x 2q p = 0,5 x 37o = 18o 30¶. Sehingga didapat tan 2q p = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4 o o 2q p = - 36 52¶ atau qmax = - 18 26¶ e.Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr s1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa. s2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa. Sehingga didapat
W1 ! W2 !
28 2 28 2
1 2 1 2
3. Lingkaran
28 28
2
2
12
2
! 32 MPa
12
2
! 8 MPa
Mohr Untuk Perkalian Inertia
Lingkaran yang dipakai dalam pasal yang lalu memperhatikan hubungan yang ada antara momen inertia dan product inertia dari suatu bidang terhadap sumbu yang melalui titik tetap O yang mula-mula diperkenalkan oleh seorang insinyur jerman Otto Mohr (1935 ± 1918) yang dikenal sebagai lingkaran Mohr. Akan dapat dilihat bahwa jika momen inertia atau product inertia suatu bidang terhadap sumbux dan y yang melalui titik O diketahui, lingkaran Mohr dapat dipakai untuk menentukan secara grafik (a)sumbu utama dan momen inertia utama dari bidang itu terhadap O, atau (b)momen inertia dan product inertia dari bidang terhadap pasangan sumbu Cartesian yang lain u dan v yang melalui O. Tinjau suatu bidang A dan dua sumbu koordinat Cartesian x dan y (gambar 29a). Dengan momen inertia Ix dan Iy dan product inertia Ixy diketahui, dan akan dinyatakan pada suatu diagram dengan memplot suatu titik X yang berkoordinat Ix dan Iy dan product inertia Ixy diketahui, dan suatu titik Y yang berkoordinat Iy dan -Ixy. Dengan menghubungkan X dan Y dengan suatu garis lurus, didefinisikan titik C dari perpotongan garis XY dengan sumbu I dan digambarkan lingkaran yang berpusat C dan berdiameter XY. Dengan memperhatikan bahwa absis C dan jejari lingkarannya berturutan, sama dengan kuatitas Iav dan R yang didefinisikan
melalui persamaan-persamaan yang diturunkan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa lingkaran yang diperoleh ialah lingkaran Mohr untuk bidang yang ditinjau terhadap titik O. Jadi absis titik A dan B tempat lingkaran memotong sumbu I menyatakan, berturutan, momen kelembaman utama Imax dan Imin dari bidang itu. . Lingkaran Mohr Untuk Sumbu Utama Dan karena tan (XCA) = 2Ixy/(Ix ± Iy), maka sudut XCA sama besar dengan salah satu sudut 2m; jadi sudut m yang terlihat pada gambar, sumbu utama Oa yang bersesuaian dengan titik A dapat diperoleh dengan membugi dua sudut XCA yang diukur pada lingkaran Mohr. Juga terlihat bahwa jika Ix>Iy dan Ixy>O, seperti yang ditinjau di sini, perputaran yang membawa CX ke CA sesuai dengan putaran jarum jam. Dapat juga terlihat, sudut m yang diperoleh dari persamaan dan dengan mendefinisikan sumbu Oa dalam gambar 29a. Karena lingkaran Mohr terdefinisikan secara unik, lingkaran yang sama dapat diperoleh dengan meninjau momen inertia dan product inertia dari bidang A terhadap sumbu Cartesian u dan v. Titik U yang berkoordinat Iu dan Iuv dan titik V yang berkoordinat Iv dan ±Iuv akan terletak pada lingkaran Mohr, dan sudut UCA dalam gambar 29b ialah dua kali sudut xOu dalam gambar 29a. Jadi diameter UV yang mendefinisikan momen inertia dan product inertia Iu,Iv dan Iuv dari bidang yang ditinjau terhadap sumbu Cartesian u dan v yang membentuk sudut
DAFTAR REFERENSI
1. Bedford, A., Fowler, W., 1994. Engineering Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company Inc. New York 2. Nash, W., 1998. Strength of materials, Schaums Outline Series McGrawHill, New York 3. Popov, E.P., 1984. Mechanics of Materials (Mekanika Teknik). Erlangga, Jakarta 4. Timoshenko, S., Young, D.H., 1968. Element of Strength of Material, D.Van Nostrand Company, New York
BAB IV PENUTUP
1).KESIMPULAN Lingkaran Mohr adalah bentuk grafis dari tegangan normal dan tegangan geser. Tegangan normal digambarkan disepanjang sumbu horisontal dan tegangan geser digambarkan disepanjang sumbu vertikal. Tegangan-tegangan W x , W y dan X xy diplot dalam skala dan suatu lingkaran digambarkan melalui titik-titik ini dimana pusatnya terletak pada sumbu horisontal. Beberapa prinsip dasar dan konvensi yang
digunakan dalam konstruksi Lingkaran Mohr adalah sebagai berikut: 1. Sudut pada elemen fisik setara dengan sudut 2 pada lingkaran Mohr.Konvensi tanda arah perputaran sudut adalah jika searah jarum jam maka positif dan jika berlawanan jarum jam maka negatif. 2.Konvensi tanda arah untuk tegangan geser adalah jika arah kebawah maka (+) dan jika arahnya ke atas maka (-). 3. Konvensi tanda arah untuk tegangan normal adalah seperti pada gambar berikut ini. Tegangan tarik (tension) positif sebaliknya tegangan tekan (compression) negatif. 4. Tegangan-tegangan pada lingkaran Mohr digambarkan dalam dua sumbu ortogonal. Sumbu horisontal (absis) digunakan untuk menggambarkan tegangan normal, sedangkan sumbu vertikal (ordinat) digunakan untuk menggambarkan tegangan geser.
