DAFTAR ISI 1 PENDA PENDAHUL HULUAN UAN 1.1 Diferensia Diferensiall Parsial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Diferensia Diferensiall Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 SISTEM SISTEM KERAN KERANGKA GKA TAK TAK INERSI INERSIA A 2.1 Sistem Koordinat Koordinat dipercepat dipercepat . . . . . . . . . . . . 2.2 Sistem Sistem Koor Koordin dinat at Berot Berotasi asi . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dinamik Dinamika a Partik Partikel el pada Sistem Sistem Koordina Koordinatt Berotasi Berotasi 2.4 Efek Efek Ro Rotas tasii Bumi Bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4.1 1 Efek Efek Stat Statik ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4.2 2 Efek Efek Dina Dinami mik k . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 KOORDIN OORDINA AT UMUM UMUM 3.1 3.1 Kend Kendal ala a (constraint ) constraint ) 3.2 Koordin Koordinat at Um Umum um . . 3.3 Derajat Derajat Kebebas Kebebasan an . 3.4 Kecepa Kecepatan tan Um Umum um . 3.5 Perce Percepa patan tan Um Umum um . 3.6 Energ Energii kineti kinetik k. . . . 3.7 Mom Momen entum tum Um Umum um .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
4 LAGR LAGRAN ANGA GAN N 4.1 Persama Persamaan an Lagrang Lagrangee dari Konsep Konsep Gaya Gaya Umum Umum 4.1. 4.1.1 1 Ga Gay ya Um Umum um . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Penuruna Penurunan n Persa Persamaan maan Lagrange Lagrange dari Konsep Gaya Umum . . . . . . . . 4.2 Persama Persamaan an Lagran Lagrange ge dari dari Prinsip Prinsip d’Alember d’Alembertt . 4.2.1 4.2 .1 Perge Pergeser seran an Ma Maya ya . . . . . . . . . . . . . 1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
3 3 5
. . . . . .
7 7 8 10 12 12 14
. . . . . . .
17 17 19 23 24 25 29 31
33 . . . . . . . . 33 . . . . . . . . 33 . . . . . . . . 36 . . . . . . . . 41 . . . . . . . . 41
2
DAFTAR ISI
4.2.2
Penurun Penurunan an Persama Persamaan an Lagrange Lagrange dari Prinsip d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Potensia Potensiall Bergant Bergantung ung Pada Pada Kecepa Kecepatan tan . . . . . . . . . . . . . 46 5 HAMIL HAMILTON TONAN AN 5.1 Prinsi Prinsip p Ha Hamilt milton on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Penurun Penurunan an Persama Persamaan an Lagrange Lagrange dari dari Prinsip Prinsip Hamilton Hamilton 5.3 Fungsi ungsi Ham Hamilt ilton on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Persa Persamaa maan n Ham Hamilto ilton n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 TRANSF TRANSFORM ORMASI ASI KANO KANONIK NIK 6.1 Transforma ransformasi si Kanonik Kanonik . . . . . 6.2 Fungsi ungsi Pembang Pembangkit kit . . . . . . . 6.3 Kurung Kurung Poiss Poisson on . . . . . . . . . 6.4 Teori Hamilton-J Hamilton-Jacob acobii . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
51 51 53 55 57
. . . .
59 59 60 61 62
BAB 1
PENDAHULUAN Sebelum membahas lebih jauh tentang mekanika, mekanika, ada baiknya baiknya kita mereview pengetahuan kita tentang diferensial.
1.1
Difere Diferensi nsial al Parsial arsial
Andaikan z adalah suatu fungsi yang mengandung dua buah variabel x dan y, maka secara matematis kita dapat menuliskan z sebagai z = f ( f (x, y).
(1.1)
Diferensial parsial z terhadap x dituliskan sebagai zx ≡ f x ≡
∂f ∂z ≡ , ∂x ∂x
(1.2)
dan nilainya diperoleh dengan memandang y sebagai konstanta. Sebaliknya, diferensial parsial z terhadap y dituliskan sebagai zy ≡ f y ≡
∂f ∂z ≡ , ∂y ∂y
dan nilainya diperoleh dengan memandang x sebagai konstanta. konstanta. Contoh: Jika z = x3 y − exy , maka dengan mudah akan kita dapatkan ∂z = zx = 3x2 y − ye xy ∂x ∂z = zy = x3 − xexy ∂y 3
(1.3)
4
BAB 1.
PENDAHULUAN
Selanjutnya, mudah pula didapatkan ∂ 2 z = zyx = 3x2 − exy − xye xy . ∂x∂y Kita juga dapat meninjau suatu fungsi yang mengandung lebih dari dua variabel. Misalkan suhu T pada suatu ruangan bergantung pada titik (x,y,z) dan berubah setiap saat t. Kita dapat menuliskan T sebagai T = T (x,y,z,t). Ungkapan
∂T ∂z menunjukkan laju perubahan T terhadap z, dengan x dan y tetap, pada saat t tertentu. Seringkali turunan parsial dituliskan di dalam tanda kurung dengan subskrip variabel tertentu, ini menunjukkan turunan parsial tersebut dihitung pada kondisi subskrip variabel berupa konstanta. Contoh: z = x2 − y2 Dengan menggunakan koordinat polar, kita ingat bahwa x = r cos θ, y = r sin θ, sehingga kita dapat menulis ulang z dalam berbagai bentuk, yaitu z = r2 cos2 θ − r 2 sin2 θ, z = 2x2 − x2 − y2 = 2x2 − r2 , z = x2 + y2 − 2y 2 = r2 − 2y 2 , dan akan kita peroleh ∂z = 2r(cos2 θ − sin2 θ), ∂r θ ∂z = −2r, ∂r x ∂z = 2r. ∂r y
1.2.
5
DIFERENSIAL TOTAL
Gambar 1.1: Garis Singgung
1.2
Diferensial Total
Gambar 1.1 merupakan kurva pada bidang (x, y) dengan persamaan kurva y = f (x). Selanjutnya kita peroleh
y =
dy d = f (x), dx dx
(1.4)
sebagai kemiringan kurva pada titik (x, y). Di dalam kalkulus ∆x diartikan sebagai perubahan x dan ∆y sebagai perubahan y terkait perubahan x tersebut. Berdasarkan definisi dy ∆y = lim , (1.5) dx ∆x 0 ∆x →
maka dx dapat didefinisikan sebagai variabel bebas dx = ∆x.
(1.6)
Akan tetapi dy tidaklah sama dengan ∆y. Berdasarkan Gambar 1.1 dan persamaan (1.4) dapat dilihat bahwa ∆y adalah perubahan y di sepanjang kurva dan dy = y dx adalah perubahan y di sepanjang garis kemiringan (gradien). Dalam hal ini dikatakan bahwa dy adalah pendekatan tangensial untuk ∆y. Dari Gambar 1.1 jelas bahwa dy merupakan pendekatan untuk ∆y jika ∆x sangat kecil. Dengan bahasa matematis, ungkapan ini dapat dinyatakan dengan persamaan (1.5) yang mengatakan bahwa dy/dx adalah limit ∆y/∆x ketika ∆x → 0, artinya selisih antara ∆y/∆x dan dy/dx akan
6
BAB 1.
PENDAHULUAN
mendekati nol ketika ∆x → 0. Sebut saja selisih tersebut dengan , maka ∆y dy = + ∆x dx
;
→0
ketika
∆x → 0
(1.7)
Atau karena dx = ∆x, maka
∆y = (y + )dx
;
→0
ketika
∆x → 0
(1.8)
Untuk sebuah fungsi dengan dua variabel misalnya z = f (x, y), maka ∂f/∂x dan ∂f/∂y di suatu titik, masing-masing menyatakan kemiringan z di titik tersebut pada arah x dan y. Perubahan z terhadap perubahan x dan y dapat dicari dengan mendefinisikan terlebih dahulu dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
(1.9)
sehingga
∂f ∂f ∆z = + 1 ∆x + + 2 ∆y ∂x ∂y = dz + 1 ∆x + 2 ∆y (1 dan 2 → 0 ketika
(1.10) ∆x dan ∆y → 0)
Secara umum dapat dikatakan berlaku untuk setiap fungsi dari banyak variabel misalnya u = f (x,y,z, ), maka df =
∂f ∂f ∂f dx + dy + dz + ... ∂x ∂y ∂z
(1.11)
du merupakan pendekatan yang baik untuk ∆u jika turunan parsial f bersifat kontinyu dan dx,dy,dz dan seterusnya bernilai sangat kecil.
BAB 2
SISTEM KERANGKA TAK INERSIA 2.1
Sistem Koordinat dipercepat
Gambar 2.1: Hubungan antara vektor posisi untuk dua sistem koordinat yang mengalami gerak translasi murni relatif satu terhadap yang lain Dalam Gambar 2.1 diperlihatkan sebuah sistem koordinat (kerangka) Oxyz dan O’x’y’z’ . Sistem koordinat Oxyz diasumsikan sebagai koordinat yang diam, sementara sistem koordinat O’x’y’z’ diasumsikan bergerak relatif terhadap koordinat pertama. posisi pangkal sistem koordinat O’x’y’z’ , r(t) posisi seAndaikan R(t) buah benda diukur dari koordinat Oxyz , dan r (t) posisi benda yang sama dilihat dari O’x’y’z’ . Maka terlihat bahwa
+ r (t) r(t) = R(t)
7
8
BAB 2.
SISTEM KERANGKA TAK INERSIA
Dari persamaan ini didapatkan + v (t) v (t) = V (t)
dan + a (t) a(t) = A(t)
Jika kerangka O’x’y’z’ tidak dipercepat relatif terhadap kerangka Oxyz , = 0 dan a(t) = a (t). maka A(t) Jika kerangka Oxyz inersial, maka di sana berlaku hukum Newton, yaitu
= m F a = ma .
Jadi, O’x’y’z’ pun inersial. Jika sistem O’x’y’z’ mengalami percepatan, yakni A(t) = 0, maka = mA(t) + m F a (t),
atau − mA(t) = m F a (t).
Sebagai persamaan gerak dilihat dari kerangka O’x’y’z’ . Selanjutnya, kita dapat menuliskan persamaan terakhir ini sebagai = m F a (t).
Jadi, jika dilihat dari kerangka acuan O’x’y’z’ , seolah-olah terdapat gaya sehingga gaya total yang diderita oleh benda adalah tambahan −mA(t) = F − mA(t). F
ini disebut sebagai gaya inersial atau gaya fiktif . Gaya tambahan −mA(t) Gaya ini misalnya gaya dorongan ke belakang yang kita rasakan ketika bis yang kita naiki bertambah cepat.
2.2
Sistem Koordinat Berotasi
Ditinjau sebuah benda bergerak yang diamati dari dua sistem koordinat dengan titik pangkal yang sama. Sistem Oxyz diam, sedangkan O’x’y’z’ berotasi terhadap suatu sumbu.
2.2.
9
SISTEM KOORDINAT BEROTASI
Gambar 2.2: Sistem Koordinat Berotasi ˆ vektor-vektor satuan untuk Oxyz dan (ˆi , jˆ , kˆ ) vektorˆ k) Andaikan (ˆi, j, vektor satuan untuk O’x’y’z’ . Karena pangkal koordinatnya sama maka posisi benda itu dilihat dari kedua sistem koordinat itu adalah r dan r , dengan r = r
atau
xˆi + y jˆ + z kˆ = x ˆi + y jˆ + z kˆ
Jadi,
dxˆ dy ˆ dz ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ i + j + k = i + j + k dt dt dt dt dt dt
atau
dˆ i + y jˆ + z kˆ dt Vektor v adalah kecepatan benda dilihat dari kerangka Oxyz dan v adalah kecepatan benda dilihat dari kerangka O’x’y’z’ .
v = v + x
Dapat ditunjukkan bahwa
v = v + ω × r
dengan ω = ω n ˆ , yaitu kecepatan sudut perputaran kerangka O’x’y’z’ relatif terhadap kerangka Oxyz . Percepatan benda a (diukur dari kerangka Oxyz ) dan a (dilihat dari O’x’y’z’ ) memenuhi persamaan
a = a − r ×
d ω + 2 ω × v + ω × ( ω × r ) dt
(2.1)
10
BAB 2.
SISTEM KERANGKA TAK INERSIA
d Suku −r × dt ω disebut sebagai percepatan transversal, suku 2 ω × v disebut percepatan Coriolis, dan suku ω × ( ω × r ) disebut percepatan sentripetal.
2.3
Dinamika Partikel pada Sistem Koordinat Berotasi
Dari pembahasan sebelumnya, kerangka Oxyz adalah kerangka inersial, maka dalam kerangka tersebut berlaku hukum Newton = ma, F adalah jumlahan semua vektor gaya riil (mempunyai arti fisis) dengan F yang bekerja pada partikel. Dalam pandangan kerangka acuan tak inersial, hukum Newton dapat dituliskan sebagai − mA 0 − 2m F ω × v − m ω˙ × r − m ω × ( ω × r ) = m a .
Tampak bahwa hukum Newton juga berlaku di kerangka acuan O’x’y’z’ dengan catatan adanya gaya inersial atau fiktif sebesar 0 − 2m −mA ω × v − m ω˙ × r − m ω × ( ω × r ),
sebagai gaya tambahan untuk gaya fisis F . Penulisan Hukum II Newton dalam kerangka acuan O’x’y’z’ tersebut menyatakan persamaan gerak dinamis partikel pada kerangka acuan tak inersial. Gaya-gaya inersial dinamakan sebagaimana sebutan untuk percepatannya, yaitu
Gaya Transversal
cor = F trans = F
Gaya Sentrifugal
F centif =
Gaya Coriolis
(2.2)
(2.3)
−m ω × ( ω × r ).
(2.4)
−2m ω × v ˙ × r −mω
0 muncul ketika kerangka acuan juga mengalami Adapun gaya fiktif −mA gerakan translasi. Seorang pengamat tak inersial pada kerangka acuan dipercepat, yang melihat partikel dipercepat sebesar a harus memasukkan semua gaya-gaya inersial yang muncul bersama-sama dengan gaya fisis untuk menghitung
2.3. DINAMIKA PARTIKEL PADA SISTEM KOORDINAT BEROTASI 11
Gambar 2.3: Gaya-gaya inersial yang bekerja pada sebuah massa m yang bergerak radial keluar pada sebuah bidang yang berotasi dengan kecepatan sudut ω searah sumbu z (keluar bidang kertas) ˙ dan percepatan sudut ω<0
gerakan partikel yang benar. Dengan kata lain, pengamat semacam ini memahami persamaan geraknya sebagai = ma , F
dengan catatan penjumlahan vektor gaya-gaya yang bekerja pada partikel diberikan oleh = F + F cor + F trans + F F centrif − mA0 .
Gaya Coriolis menjadi gaya yang menarik untuk dipelajari. Gaya ini hanya muncul jika partikel bergerak dalam sistem koordinat berotasi. Arah gaya Coriolis selalu tegaklurus vektor kecepatan partikel dalam sistem yang bergerak. Gaya ini penting dalam penghitungan lintasan partikel. Efek Coriolis memegang peranan kunci dalam sirkulasi udara di sekitar sistem bertekanan rendah atau tinggi pada permukaan bumi. Gaya transversal muncul hanya jika terdapat percepatan sudut pada sistem koordinat yang berotasi. Gaya ini selalu tegak lurus vektor jari-jari r dalam sistem koordinat yang berotasi. Gaya sentrifugal muncul akibat rotasi terhadap suatu sumbu. Gaya ini selalu berarah keluar dari sumbu rotasi dalam arah tegak lurus. Ilustrasi dari ketiga gaya ini tampak pada Gambar 2.3.
12
2.4 2.4.1
BAB 2.
SISTEM KERANGKA TAK INERSIA
Efek Rotasi Bumi Efek Statik
Ditinjau sebuah partikel yang diam pada permukaan bumi. Kita anggap partikel tersebut sebagai bandul di ujung sebuah tali. Selanjutnya kita pilih pusat sistem koordinat berada pada bandul tersebut, sehingga kita dapatkan r = 0. Vektor kecepatan sudut ω berada pada arah sumbu rotasi bumi dan ˙ bernilai nol. Untuk kasus statis, nilainya bisa dianggap konstan, sehingga ω maka persamaan gerak menjadi:
− mA 0 − 2m F ω × v − m ω˙ × r − m ω × ( ω × r ) = ma − mA 0 = 0 F
(2.5) (2.6)
Gaya F diberikan oleh penjumlahan semua vektor gaya, termasuk gaya iner 0 , sebagaimana tampak pada Gambar 2.4 sial −mA
Gambar 2.4: Vektor gaya yang b ekerja pada bandul yang digantung dekat dengan permukaan bumi pada sudut lintang λ Arah bandul tidak tepat menuju ke pusat bumi, karena ada gaya inersial 0 yang menyimpangkan bandul menjauh dari sumbu rotasi bumi. Gaya −mA ini juga berlawanan dengan percepatan kerangka acuan. Besar gaya inersial ini sama dengan besar gaya sentripetal mA0 = mre ω 2 cos λ dengan re adalah radius bumi dan λ sudut lintang geosentris. Gaya ini bernilai maksimum saat berada di ekuator (λ = 0) dan bernilai minimum saat berada di kutub (λ = 900 ). Percepatan sentripetal pada
13
2.4. EFEK ROTASI BUMI
daerah ekuator nilainya sekitar 3, 4 × 10( − 3) g atau sekitar 1% g. Gaya 0 . tegang tali menyeimbangkan gaya gravitasi m g0 dan gaya inersial mA + m 0 = 0 (T g0 ) − mA Padahal, ketika kita menggantungkan sebuah bandul, kita berpikir bahwa gaya tegang tali T menyeimbangkan gaya gravitasi lokal, sehingga secara vektor kita dapatkan bahwa m g merupakan penjumlahan dari gaya gravi 0 ). Jumlahan vektor tersebut tasi yang riil (m g0 ) dan gaya inersial (−mA ditunjukkan oleh Gambar 2.5
Gambar 2.5: Relasi vektor antara gaya gravitasi sejati, gaya inersial, dan gaya gravitasi terukur. Jadi, tali bandul tadi tidak berarah ke pusat bumi, tetapi menyimpang sejauh (sudut yang cukup kecil). Kita dapatkan 0 = 0 m g0 − m g − mA 0 . g = g0 − A Vektor m g0 arahnya menuju pusat bumi. Dari gambar di atas, kita dapatkan sin λ = 2 mre ω cos λ mg Karena kecil, maka sin ≈ =
re ω 2 re ω 2 sin λ cos λ = sin2λ g 2g
(2.7) (2.8)
14
BAB 2.
SISTEM KERANGKA TAK INERSIA
Nilai lenyap pada daerah ekuator (λ = 0) dan pada daerah kutub (λ = 900 ). Penyimpangan maksimum garis bandul berada pada sudut lintang λ = 450 , yaitu max =
re ω 2 ≈ 1, 710( 2g
3)
−
radian ≈ 0, 1derajat.
Bentuk bumi sebagaimana tali bandul berarah normal terhadap permukaan bumi pada sebarang titik. Hasil keseluruhan adalah mendekati bentuk elips seperti tampak pada Gambar 2.6.
Gambar 2.6: Vektor percepatan gravitasi terukur g
2.4.2
Efek Dinamik
Persamaan gerak yang telah didapatkan di atas, yaitu − mA 0 − 2m F ω × v − m ω˙ × r − m ω × ( ω × r ) = m a
Dapat ditulis ulang dalam bentuk + m 0 − 2mω × r˙ − m m r¨ = F g0 − mA ω × ( ω × r )
mewakili semua gaya yang bekerja selain akibat gravitasi. Namun, dengan F 0 = m dari kasus statik di atas, kombinasi m g0 − mA g , sehingga persamaan geraknya dapat ditulis ulang sebagai + m m r¨ = F g − 2mω × r˙ − m ω × ( ω × r ).
15
2.4. EFEK ROTASI BUMI
Ditinjau gerak sebuah peluru. Jika tidak terdapat hambatan udara maka = 0. Selanjutnya, suku m F ω × ( ω × r ) bernilai sangat kecil dibandingkan suku yang lain, sehingga kita dapat mengabaikannya. Persamaan gerak peluru menjadi m r¨ = m g − 2ω × r˙
dengan suku terakhir berupa gaya Coriolis. Untuk memecahkan persoalan di atas, dipilih arah sumbu-sumbu koordinat O’x’y’z’ sedemikian rupa sehingga sumbu z’ adalah vertikal, yaitu searah dengan tali bandul (percepatan gravitasi terukur), sumbu x’ arah timur, dan y’ arah utara, sebagaimana disajikan Gambar 2.7.
Gambar 2.7: Sumbu-sumbu koordinat untuk menganalisis gerak peluru Kita dapatkan g = −g kˆ
Komponen kecepatan sudut ωx = 0
ωy = ω cos λ
ωz = ω sin λ
Hasil kali produk silang diberikan oleh ω × r˙ = (ω z˙ cos λ − ω y˙ sin λ)ˆi + ω x˙ sin λ jˆ + (−ω x˙ cos λ)kˆ .
16
BAB 2.
SISTEM KERANGKA TAK INERSIA
Kita dapatkan komponen percepatan sebagai
(2.9)
(2.10)
x ¨ = −2ω(z˙ cos λ − y˙ sin λ)
y¨ = −2ω(x˙ sin λ)
z¨ = −g + 2ω x˙ cos λ
(2.11)
Komponen kecepatannya
(2.12)
(2.13)
x˙ = −2ω(z cos λ − y sin λ) + x˙ 0
y˙ = −2ωx sin λ + y˙ 0
z˙ = −gt + 2ωx cos λ + z˙0 .
(2.14)
Konstanta integrasi x˙ 0 , y˙ 0 , z˙0 merupakan komponen kecepatan mula-mula. Dengan menyubstitusi kedua rumpun persamaan di atas, diperoleh percepatan arah x sebagai
x ¨ = 2ωgt cos λ − 2ω(z˙0 cos λ − y˙ 0 sin λ) dengan mengabaikan suku ω 2 . Kecepatan arah x diperoleh sebagai x˙ = ωgt2 cos λ − 2ω(z˙0 cos λ − y˙ 0 sin λ) + x˙ 0
Akhirnya kita dapatkan posisi arah x sebagai fungsi t, yaitu 1 x (t) = ωgt 3 cos λ − ωt2 (z˙0 cos λ − y˙ 0 sin λ) + x˙ 0 t + x 3
sehingga posisi arah y dan z diperoleh sebagai y (t) = y˙0 t − ω x˙ 0 t2 sin λ + y0 1 z (t) = − gt2 + z˙0 t + ω x˙ 0 t2 cos λ + z0 2
(2.15)
(2.16)
dengan catatan suku ω 2 diabaikan. Ketiga persamaan posisi di atas, setiap suku yang mengandung ω menyatakan efek rotasi bumi pada gerak peluru dalam koordinat yang diam terhadap bumi.
BAB 3
KOORDINAT UMUM 3.1
Kendala (constraint )
Seluruh masalah dalam mekanika secara prinsip dapat dikembalikan ke Hukum Newton, yang dinyatakan dalam persamaan d2r
i (t)
dt2
1 = mi
n
i + F
ij F
,
(3.1)
j
dengan i = 1, 2, 3,...,n adalah indeks/nomor partikel, F i adalah gaya luar total yang bekerja pada partikel nomor i, dan F ij adalah gaya interaksi yang dialami oleh partikel nomor i akibat keberadaan partikel nomor j.
Hukum Newton tersebut selalu dikaitkan dengan sistem koordinat kartesian, sehingga solusinya selalu dalam sistem koordinat kartesian. Kenyataannya, tidak semua permasalahan gerak dapat dipecahkan dengan mudah apabila dilakukan di dalam sistem koordinat kartesian. Contoh: a. Persoalan gerak dengan gaya sentral lebih mudah dipecahkan apabila sistem koordinat polar yang digunakan b. Persoalan banyak partikel lebih mudah dipecahkan dengan menggunakan sistem koordinat pusat massa. 17
18
BAB 3. KOORDINAT UMUM
Jika persamaan (3.1) dinyatakan dalam komponen menjadi d2 x
i (t)
dt2
1 = mi
d2 yi (t) 1 = 2 dt mi d2 zi (t) 1 = dt2 mi
n
F xi
F xij
+
j
n
F yi
F yij
+
(3.2)
j
n
F zi
F zij
+
j
Prosedur penyelesaiannya seolah-olah tampak jelas: memasukkan komponenkomponen gaya yang terlibat, mencari jawaban persamaan diferensial, dan yang terakhir menentukan tetapan-tetapan berdasarkan syarat awal. Tetapi, tidak semuanya sederhana. Masalah muncul apabila terdapat kendala-kendala (constraints). Kendala-kendala ini membatasi partikel-partikel untuk saling bebas. Jenis-jenis Kendala: a. Kendala Holonomik Apabila kendala dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan yang menghubungkan posisi-posisi partikel dalam bentuk f (r1 , r2 , r3 , , rn ) = 0 maka kendala semacam ini disebut sebagai kendala holonomik. Contoh: 1. Suatu sistem N partikel yang membentuk benda tegar. Dalam hal ini berlaku persamaan (ri − r j )2 − cij = 0 dengan cij tetapan-tetapan. 2. Sebuah manik-manik yang diuntai pada seutas kawat yang berbentuk lingkaran berjari-jari a. Dalam hal ini berlaku persamaan x2 + y2 − a2 = 0
dan
z = tetapan
3.2.
19
KOORDINAT UMUM
b. Kendala Nonholonomik Kendala Nonholonomik adalah kendala yang tidak holonomik. Artinya, kendala yang tidak dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan seperti di atas. Contoh: 1. Sebuah benda yang dikungkung dalam tangki berbentuk silinder berjari-jari a dan tinggi h mengalami kendala x2 + y2 − a2 < 0
dan
0 < z < h.
2. Sebuah benda yang berada di luar sebuah bola berjari-jari a terkekang oleh kendala yang hanya dapat dituliskan dalam bentuk ketidaksamaan x2 + y2 + z 2 − a2 ≥ 0
3.2
Koordinat Umum
Adanya kendala mengakibatkan dua masalah dalam penyelesaian masalah mekanika. Pertama, koordinat xi , yi ,dan zi tidak lagi bebas satu dari yang lain sehingga persamaan-persamaan (3.2) tidak bebas satu dari yang lain. Kedua, adanya gaya kendala yang tidak dapat ditentukan terlebih dahulu sebab gaya tersebut termasuk ke dalam masalah yang harus diselesaikan. Untuk kendala yang holonomik, masalah pertama dapat diselesaikan dengan memperkenalkan koordinat umum. Sistem Koordinat Umum adalah sistem koordinat yang bisa diinterpretasikan sebagai sistem koordinat tertentu sesuai dengan keinginan kita. Oleh karena itu pertama-tama kita perlu mengenal sistem koordinat umum terlebih dahulu. Sistem Koordinat Umum biasanya dinotasikan sebagai: qi ; i = 1, 2, 3, 4,...,n Nilai n bergantung pada jumlah partikel dari sistem yang ditinjau dan juga bergantung pada dimensi ruang yang ditinjau. Contoh: • 1 partikel Jika dinyatakan dalam Koordinat Kartesius 3 dimensi : x,y,z Jika dinyatakan dalam Koordinat Umum : q1 , q2 , q3 ⇒ n = 3 • 2 partikel Jika dinyatakan dalam Koordinat Kartesius 3 dimensi:
20
BAB 3. KOORDINAT UMUM
partikel 1 : x1 , y1 , z1 partikel 2 : x2 , y2 , z2 Jika dinyatakan dalam Koordinat Koordinat Umum : q1 , q2 , q3 ,...,q6 ⇒n=6 • N partikel Jika dinyatakan dalam Koordinat Kartesius 3 dimensi: partikel 1 : x1 , y1 , z1 partikel 2 : x2 , y2 , z2 partikel 3 : x3 , y3 , z3 . . . partikel N : xN , yN , zN Jika dinyatakan dalam Koordinat Umum: q1 , q2 , q3 ,...,q3N ⇒ n = 3N Untuk sistem yang tersusun atas N partikel, di dalam sistem Koordinat Kartesian diperlukan 3N koordinat untuk menggambarkan konfigurasi sistem (yakni posisi masing-masing partikel), yaitu (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 ,...,xN , yN , zN ), sedangkan dalam sistem Koordinat Umum dinyatakan oleh: (q1 , q2 , q3 ,...,q3N ). Karena (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 ,...,xN , yN , zN ) dan (q1 , q2 , q3 ,...,q3N ) merepresentasikan sistem yang sama, sehingga kedua himpunan tersebut harus dapat dihubungkan. Ini berarti: q1 = q1 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 ,...,xN , yN , zN , t) q2 = q2 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 ,...,xN , yN , zN , t) . . . q3N = q3N (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 ,...,xN , yN , zN , t)
(3.3)
Kebanyakan ketergantungan qi terhadap waktu t secara eksplisit terjadi apa-
3.2.
21
KOORDINAT UMUM
bila koordinat qi bergerak. Ungkapan sebaliknya: x1 = x1 (q1 , q2 , q3 ,...,q3N , t) y1 = y1 (q1 , q2 , q3 ,...,q3N , t) z1 = z1 (q1 , q2 , q3 ,...,q3N , t) . . . zN = zN (q1 , q2 , q3 ,...,q3N , t)
(3.4)
Secara matematis persamaan (3.3) menggambarkan transpormasi koordinat dari Koordinat Kartesian ke Koordinat Umum, sedangkan persamaan ( 3.4) menggambarkan transpormasi sebaliknya. Satu pengertian agar ungkapan persamaan ( 3.3) dan (3.4) diatas dipenuhi adalah bahwa: | j| =
| j| =
∂ (q1 , q2 , q3 ,...,q3N ) =0 ∂ (x1 , y1 , z1 ,...,zN )
∂q 1 ∂x 1 ∂q 1 ∂y 1
∂q 2 ∂x 1 ∂q 2 ∂y 1
. . .
. . .
∂q 1 ∂z N
∂q 2 ∂z N
... ...
∂q 3N ∂x 1 ∂q 3N ∂y 1
. . . ...
∂q 3N ∂z N
=0
(3.5)
Determinan diatas dinamakan Jacobian dari transformasi (3.3). Contoh: Koordinat Polar 2 dimensi seperti tampak pada Gambar 3.1.
x2 + y 2 y θ = tan 1 − ωt x x = r cos(θ + ωt) r =
−
y = r sin(θ + ωt) dengan q1 = r dan q2 = θ. sehingga : q1 = x2 + y2 dan q2 = tan
1
−
y x
(3.6)
− ωt.
22
BAB 3. KOORDINAT UMUM
Gambar 3.1: Sistem Koordinat Polar Jacobian diperoleh sebagai | j| = | j| = = = = | j| =
∂ (q1 , q2 ) ∂ (x, y)
∂q 1 ∂x ∂q 1 ∂y
∂q 2 ∂x ∂q 2 ∂y
=
x q1 y q1
y
−
2 1
q x q12
x2 y2 + 3 q13 q1 2 x + y2 q13 x2 + y2
(x2 + y 2 ) x2 + y 2 1 =0 q1
Atau, | j| = | j| = | j| =
∂ (r, θ) ∂ (x, y)
∂r ∂x ∂r ∂y
∂θ ∂x ∂θ ∂y
1 =0 r
=
x r y r
y
−
2
r x r2
3.3.
3.3
23
DERAJAT KEBEBASAN
Derajat Kebebasan
Dalam sistem yang ditinjau seperti bahasan sebelumnya, jumlah koordinat umum menunjukkan derajat kebebasan sistem (degrees of freedom ). Hal ini berarti terdapat 3N derajat kebebasan. Apabila terdapat k buah persamaan kendala f 1 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,...,xi , yi , zi ,...,xN , yN , zN ) = 0 f 2 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,...,xi , yi , zi ,...,xN , yN , zN ) = 0 .. .. f k (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,...,xi , yi , zi ,...,xN , yN , zN ) = 0
(3.7)
Maka derajat kebebasan sistem menyusut menjadi 3N − k. Dalam hal ini diperlukan sistem koordinat umum yang terdiri dari 3N − k koordinat, katakanlah (q1 , q2 ,...,q(3N k) ). Terdapat transformasi koordinat −
r1 = r1 (q1 , q2 ,...,q(3N
k) )
ri = ri (q1 , q2 ,...,q(3N
k) )
rN = rN (q1 , q2 ,...,q(3N
k) )
−
−
−
(3.8)
Tinjau sistem berupa partikel tunggal. Jika partikel bergerak bebas dalam ruang, maka dikatakan partikel tersebut tidak mengalami kendala, sehingga derajat kebebasannya berjumlah tiga, yaitu x = x(q1 , q2 , q3 ) y = y(q1 , q2 , q3 ) z = z(q1 , q2 , q3 ) Jika partikel tersebut hanya dapat bergerak dalam bidang xy, maka derajat kebebasannya berkurang menjadi dua, yaitu x = x(q1 , q2 ) y = y(q1 , q2 ) Jika partikel tersebut hanya dapat bergerak dalam arah x, maka derajat kebebasannya berkurang lagi menjadi satu, yaitu x = x(q) Contoh:
24
BAB 3. KOORD KOORDINA INAT T UMUM
1. Dua buah kelereng besi disambung dengan batang tegar yang pan jangnya jangnya l, sehingga membentuk semacam barbel. Persamaan kendala untuk dua kelereng itu adalah (x1 − x2 )2 + (y (y1 − y2 )2 + (z (z1 − z2 )2 = l2 Derajat kebebasannya adalah (3)(2) - (1) = 5. Koordinat umum yang dapat dipakai misalnya (X,Y,Z,θ,φ (X,Y,Z,θ,φ)) dengan (X,Y,Z (X,Y,Z ) adalah koordinat pusat massa dan (θ, ( θ, φ) menyatakan orientasi barbel itu, yakni garis lintang dan garis bujur. 2. Sebuah manik-manik yang diuntai diuntai pada seutas kawat kawat yang berbentuk lingkaran berjari-jari a memiliki persamaan kendala x2 + y 2 − a2 = 0
dan
z = tetapan. tetapan.
Derajat kebebasannya adalah (3)(1) - (2) = 1. Jadi diperlukan sebuah koordinat umum. Koordinat umum ini misalnya adalah θ, yaitu sudut yang dibentuk oleh vektor posisi manik-manik dan sumbu X .
3.4 3.4
Kece Kecepa pata tan n Umum Umum
Setelah mendefinisikan sistem koordinat umum, maka kita perlu melengkapi pengertianpengertian-penger pengertian tian kecepata kecepatan n umum, umum, percepatan percepatan umum, umum, dan lain-lain lain-lain agar kita bisa membahas persoalan gerak dengan menggunakan sistem koordinat umum. Kecepatan umum merupakan turunan koordinat umum terhadap waktu. Komponen ke k dari kecepatan umum adalah: d qk = q˙k ; dt
k = 1, 2, 3,..., 3N
Dalam koordinat polar:
x2 + y2 y θ = tan 1 − ωt x r =
−
kecepatan umum:
q˙1 = r˙ ← laju radial q˙2 = θ˙ ← laju tangensial
(3.9)
3.5.
25
PERCEPA PERCEPATAN UMUM
Karena sistem koordinat umum dan sistem koordinat kartesian kartesian saling terkait, maka hal yang sama juga terjadi antara kecepatan, percepatan, dan lain-lain di dalam sistem koordinat kartesian.
x˙ 1 = = = x˙ 1 =
dx1 (q1 , q2 , q3 , , q3N , t) dt ∂x 1 ∂x 1 dq1 ∂x 1 dq2 ∂x 1 dq3N + + + ... + ∂t ∂q 1 dt ∂q 2 dt ∂q 3N dt ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 + q˙1 + q˙2 + ... + q˙3N ∂t ∂q 1 ∂q 2 ∂q 3N ∂x 1 + ∂t
3N
j =1
∂x 1 q˙ j ∂q j
(3.10)
Dengan cara yang sama didapatkan: ∂y 1 + y˙ 1 = ∂t ∂z 1 z˙1 = + ∂t
3N
j =1
3N
j =1
∂y 1 q˙ j ∂q j
(3.11)
∂z 1 q˙ j ∂q j
(3.12)
sehingga ∂ ˙ ∂ x˙ 1 ∂x 1 = ; ∂ ˙ ∂ q˙1 ∂q 1
∂ ˙ ∂ x˙ 1 ∂x 1 = ; ∂ ˙ ∂ q˙2 ∂q 2
... ;
∂ ˙ ∂ x˙ 1 ∂x 1 = . ∂ ˙ ∂ q˙3N ∂q 3N
Secara umum dapat dituliskan: ∂ ˙ ∂ x˙ i ∂x i = ; ∂ ˙ ∂ q˙ j ∂q j
3.5 3.5
∂ ˙ ∂ y˙ i ∂y i = ; ∂ ˙ ∂ q˙ j ∂q j
∂ ˙ ∂ z˙i ∂z i = . ∂ ˙ ∂ q˙ j ∂q j
Perce ercepa pata tan n Umum Umum
Percepatan umum merupakan turunan kecepatan umum terhadap waktu. Komponen ke k dari percepatan umum adalah: d2 qk = q¨k ; ; dt2
k = 1, 2, 3,..., 3N
(3.13)
26
BAB 3. KOORD KOORDINA INAT T UMUM
Ditinjau koordinat x1 : dx˙ 1 dx˙ 1 (q1 , q2 , q3 ,...,q3N , t) = dt dt
x ¨1 =
∂ ˙ ∂ x˙ 1 + ∂t
=
3N
j =1
∂ ˙ ∂ x˙ 1 q˙ j ∂q j
Substitusi persamaan (3.10 (3.10)) diperoleh x ¨1
∂ = ∂t =
3N
3N
3N
∂x 1 + ∂t
∂ 2 x1 + ∂t 2 3N
j =1
i=1
3N
∂ 2 x1 q˙i + ∂t∂qi
i=1
3N
i=1
∂x 1 q˙i ∂q i
+
j =1
3N
i=1
∂ 2 x1 q˙i q˙ j + ∂q j ∂q i
∂ ∂q j
∂x 1 + ∂t
∂x 1 ∂ ˙ ∂ q˙i + ∂q i ∂t
3N
3N
j =1
i=1
3N
j =1
i=1
∂x 1 q˙i q˙ j ∂q i
∂ 2 x1 q˙ j + ∂t∂q j
∂x 1 ∂ ˙ ∂ q˙i ∂q i ∂q j
q˙ j
Perhatikan Perhatikan bahwa bahwa indeks i dan j hanya hanya sekedar sekedar indeks boneka boneka ( dummy index ). index ). Jadi, indeks pada suku keempat dapat dibuat dalam i. Selanjutnya dapat disederhanakan sebagai berikut: x ¨1 =
∂ 2 x1 + ∂t 2 3N
j =1
x ¨1 =
3N
∂ 2 x1 q˙i + ∂t∂qi
3N
∂x 1 ∂ ˙ ∂ q˙i + ∂q i ∂t
3N
∂ 2 x1 q˙i + ∂t∂qi
i=1
3N
i=1
∂ 2 x1 +2 ∂t 2 3N
j =1
3N
i=1
i=1
∂ 2 x1 q˙i q˙ j + ∂q j ∂q i 3N
i=1
∂ 2 x1 q˙i + ∂t∂qi
3N
j =1
3N
i=1
∂ 2 x1 q˙i q˙ j + ∂q j ∂q i
3N
i=1
i=1
∂x 1 ∂ ˙ ∂ q˙i ∂q i ∂q j
q˙ j
∂x 1 ∂ ˙ ∂ q˙i + ∂q i ∂t
3N
j =1
3N
i=1
∂x 1 ∂ ˙ ∂ q˙i ∂q i ∂q j
q˙ j
Selanjutnya, Selanjutnya, perhatikan suku terakhir. Perlu diingat bahwa ∂ ˙ ∂ q˙i =0 ∂q j Jadi, suku terakhir bernilai 0.
(3.14)
3.5.
27
PERCEPATAN UMUM
Akhirnya, diperoleh percepatan yang dinyatakan dalam koordinat umum sebagai ∂ 2 x1 x ¨1 = +2 ∂t 2
3N
i=1
∂ 2 x1 q˙i + ∂t∂qi
3N
i=1
∂x 1 ∂ ˙qi + ∂q i ∂t
Dengan cara yang sama diperoleh y¨1 =
∂ 2 y
1 2 ∂t
3N
+2
dan ∂ 2 z1 z¨1 = +2 ∂t 2
i=1
3N
i=1
∂ 2 y
1
∂t∂qi
3N
q˙i +
i=1
∂ 2 z1 q˙i + ∂t∂qi
Contoh: Dalam koordinat polar
3N
i=1
∂y 1 ∂ ˙qi + ∂q i ∂t
∂z 1 ∂ ˙qi + ∂q i ∂t
3N
3N
j =1
i=1
∂ 2 x1 q˙i q˙ j ∂q j ∂q i
3N
3N
∂ 2 y1
j =1
i=1
3N
3N
j =1
i=1
∂q j ∂q i
(3.15)
q˙i q˙ j , (3.16)
∂ 2 z1 q˙i q˙ j ∂q j ∂q i
(3.17)
x = r cos(θ + ωt) y = r sin(θ + ωt) Pertama, tinjau komponen x. Secara eksplisit, x merupakan fungsi dari variabel r,θ, dan t. Jika diturunkan terhadap waktu diperoleh dx ∂x dr ∂x dθ ∂x dt = + + dt ∂r dt ∂θ dt ∂t dt ˙ x˙ = r˙ cos(θ + ωt) − rθ sin(θ + ωt) − rω sin(θ + ωt) x˙ =
(3.18)
Jika diperhatikan, persamaan (3.18) secara eksplisit merupakan fungsi dari ˙ t), sehingga jika diturunkan terhadap waktu 5 variabel, yaitu x˙ = x(r, ˙ r,θ, ˙ θ, sekali lagi, diperoleh x˙ x ¨ = dt ∂ ˙x dr ∂ ˙x dr˙ ∂ ˙x dθ ∂ ˙x dθ˙ ∂ ˙x dt = + + + + ∂r dt ∂ ˙r dt ∂θ dt ∂t dt ∂ θ˙ dt = 0 − θ˙ sin(θ + ωt) − ω sin(θ + ωt) r˙ + [cos(θ + ωt)] r¨ +
−r˙ sin(θ + ωt) − r θ˙ cos(θ + ωt) − rω cos(θ + ωt) θ˙ + −r θ¨ sin(θ + ωt) + ˙ cos(θ + ωt) − rω 2 cos(θ + ωt) −rω ˙ sin(θ + ωt) − r θω
x ¨ = −2r˙ θ˙ sin(θ + ωt) − 2rω ˙ sin(θ + ωt) + r¨ cos(θ + ωt) − rθ˙2 cos(θ + ωt) + −2rω θ˙ cos(θ + ωt) − r θ¨ sin(θ + ωt) − rω 2 cos(θ + ωt) (3.19)
28
BAB 3. KOORDINAT UMUM
Sekarang bandingkan jika ditinjau dalam koordinat umum Misal: q1 = r dan q2 = θ Kecepatan diperoleh sebagai
∂x + ∂t
x˙ =
3N
j =1
∂x q˙ j ∂q j
∂x ∂x ∂x ˙ + r˙ + θ ∂t ∂r ∂θ x˙ = −rω sin(θ + ωt) + r˙ cos(θ + ωt) − rθ˙ sin(θ + ωt) =
(3.20)
Tampak bahwa hasilnya sama dengan persamaan (3.18). Adapun percepatan diperoleh sebagai
x¨ =
=
∂ 2 x ∂ 2 x ∂ 2 x ˙ ∂x ∂x ¨ + 2 r ˙ + θ + r¨ + θ + 2 ∂t ∂t∂r ∂t∂θ ∂r ∂θ ∂ 2 x 2 ∂ 2 x ˙ ∂ 2 x ˙ ∂ 2 x ˙ 2 r˙ + r˙ θ + θr˙ + 2 θ ∂r 2 ∂r∂θ ∂θ∂r ∂θ ∂ 2 x ∂ 2 x ∂ 2 x ˙ ∂x ∂x ¨ + 2 r ˙ + θ + r¨ + θ + 2 ∂t ∂t∂r ∂t∂θ ∂r ∂θ ∂ 2 x 2 ∂ 2 x ˙ ∂ 2 x ˙2 r ˙ + 2 r˙ θ + 2 θ ∂r 2 ∂r∂θ ∂θ
= −rω cos(θ + ωt) + 2 −ω sin(θ + ωt)r˙ − rω cos(θ + ωt)θ˙ + 2
r¨ cos(θ + ωt) − r θ¨ sin(θ + ωt) + 0 − 2 sin(θ + ωt)r˙ θ˙ − r cos(θ + ωt)θ˙2
x¨ = −rω 2 cos(θ + ωt) − 2rω ˙ sin(θ + ωt) − 2rω θ˙ cos(θ + ωt) + r¨ cos(θ + ωt) + −r θ¨ sin(θ + ωt) − 2r˙ θ˙ sin(θ + ωt) − rθ˙2 cos(θ + ωt) (3.21)
Tampak bahwa hasilnya juga sama dengan persamaan ( 3.19). Selanjutnya, dengan cara yang sama untuk komponen y dapat dibandingkan nilai y˙ dan y¨ dengan dua cara sebagaimana di atas.
29
3.6. ENERGI KINETIK
3.6
Energi kinetik
Untuk N partikel, energi kinetiknya dinyatakan oleh N
T =
i=1
= = = T =
1 mivi2 2
1 1 1 2 m1v12 + m2v22 + ... + mN vN 2 2 2 1 1 1 2 2 m1 (x˙ 21 + y˙ 12 + z˙12 ) + m2 (x˙ 22 + y˙ 22 + z˙22 ) + ... + mN (x˙ 2N + y˙ N + z˙N ) 2 2 2 1 2 1 2
3N
i=1
1 mi x˙ i + 2 2
3N
3N
i=1
1 mi y˙i + 2 2
3N
mi z˙i2
i=1
mi (x˙ 2i + y˙i2 + z˙i2 )
(3.22)
i=1
Dalam koordinat umum dapat dituliskan sebagai 3N 3N
T =
i=1 j =1
1 Aij q˙i q˙ j + 2
3N
Bi q˙i + T 0
(3.23)
i=1
dengan Aij , Bi , T 0 pada umumnya merupakan fungsi dari q1 , q2 , q3 ,...,q3N , t. Jika sistem koordinat qi bersifat ortogonal (vektor-vektor basisnya saling ortogonal) maka: Aij = 0 untuk i = j dan Bi = T 0 = 0. Perhatikan Gambar 3.2. Vektor r dinyatakan sebagai r = xˆ x + yyˆ r = q1 qˆ1 + q2 qˆ2 Vektor kecepatan: v =
d r = xˆ ˙ x + y˙ yˆ dt = q˙1 qˆ1 + q˙2 qˆ2
Energi kinetik 1 1 T = m(xˆ ˙ x + y˙ yˆ)(xˆ ˙ x + yˆ ˙ y) = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) 2 2
30
BAB 3. KOORDINAT UMUM
Gambar 3.2: Vektor posisi dilihat dari Koordinat Kartesius dan Koordinat Umum 1 m(q˙1 qˆ1 + q˙2 qˆ2 )(q˙1 qˆ1 + q˙2 qˆ2 ) 2 1 m(q˙12 + q˙1 q˙2 qˆ1 qˆ2 + q˙2 q˙1 qˆ2 qˆ1 + q˙22 ) 2 1 m(q˙12 + q˙22 + 2q˙1 q˙2 qˆ1 qˆ2 ) 2 1 m(q˙12 + q˙22 + 2q˙1 q˙2 cos α) 2
T = = = T =
T = =
1 2
3N 3N
Aij q˙1 q˙2
i=1 j =1
1 (A11 q˙12 + A12 q˙1 q˙2 + A21 q˙2 q˙1 + A22 q˙22 ) 2
Dalam koordinat umum: A11 = A22 = m A12 = A21 = m cos α sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk matrik Aij =
m m cos α . m cos α m
31
3.7. MOMENTUM UMUM
Adapun dalam koordinat Kartesius A11 = A22 = m A12 = A21 = 0 sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk matrik Aij =
3.7
m 0 . 0 m
Momentum Umum
Dalam koordinat kartesian: 1 T = mv2 2
= r × p ; L
p = m v ;
px = mvx = mx˙
→
Lx = yp z − zp y
py = mvy = my˙
→
Ly = zp x − xpz
pz = mvz = mz˙
→
Lz = xpy − yp x
px =
∂T ; ∂ ˙x
py =
∂T ; ∂ ˙y
pz =
1 T = m(vx2 + vy2 + vz2 ) 2 ∂T ∂v x ∂T ∂v y ∂T ∂v z
= mvx = px = mvy = py = mvz = pz
Contoh: Dalam koordinat polar ( 2 dimensi) x = r cos θ y = r sin θ
∂T . ∂ ˙z
32
BAB 3. KOORDINAT UMUM
x˙ = r˙ cos θ − r θ˙ sin θ y˙ = r˙ sin θ + r θ˙ cos θ
1 2 1 mv = m(r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 ) 2 2 2˙ = mr θ
T = Lθ Dalam koordinat umum Definisi:
pi =
∂T ∂ ˙qi
Pada kasus ini: q1 = r dan q2 = θ, sehingga pr = pθ =
∂T = mr˙ ∂ ˙r ∂T = mr2 θ˙ = Lθ ˙ ∂ θ
Jadi momentum umum bisa mencakup momentum sudut.
(3.24)
BAB 4
LAGRANGAN 4.1
Persamaan Lagrange dari Konsep Gaya Umum
4.1.1
Gaya Umum
Tinjau N parikel dengan posisi (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , : xN , yN , zN ) di dalam sistem Koordinat Kartesian atau oleh himpunan: (q1 , q2 , q3 , , q3N ) di dalam sistem Koordinat Umum. Jika masing-masing partikel bergeser sejauh (δx 1 , δy1 , δz1 ,...,δxN , δyN , δzN ), maka kerja yang dilakukan oleh gaya yang bekerja pada partikel: δW = F x · δx 1 + F y · δy1 + F z · δz 1 + ... + F x · δxN + F y · δyN + F z · δzN 1
1
1
N
N
N
N
=
(F x · δx i + F y · δy i + F z · δz i ) i
i
i
i=1
δW = F x · δx i + F y · δyi + F z · δzi ; i
i
i
i = 1, 2, 3,...,N
dengan δx i , δyi , δz i dapat dinyatakan dalam pergeseran di dalam sistem koordinat umum δq i
δx 1 =
∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 δq1 + δq 2 + δq 3 + ... + δq3N ∂q 1 ∂q 2 ∂q 3 ∂q 3N 3N
δx i =
j =1
∂x i δq j ∂q j
(4.1) 33
34
BAB 4.
LAGRANGAN
Analog 3N
δyi =
j =1
3N
δzi =
j =1
∂y i δq j ∂q j
(4.2)
∂z i δq j ∂q j
(4.3)
Maka N
δW =
(F x · δx i + F y · δyi + F z · δzi ) i
i
i
i=1
= =
∂x i ∂y i ∂z i F x δq j + F y δq j + F z δq j ∂q j ∂q j ∂q j ∂x i ∂y i ∂z i F x + F y + F z δq j ∂q j ∂q j ∂q j i
i
i
i
i
i
N
δW =
Q j δq j
(4.4)
j =1
Jadi, Gaya Umum diperoleh sebagai 3N
Q j =
i=1
∂x i ∂y i ∂z i F x + F y + F z ∂q j ∂q j ∂q j i
i
i
(4.5)
Jika gaya F i bersifat konservatif, gaya tersebut dapat dinyatakan dengan gradien dari fungsi skalar (potensial)
F x = − i
∂V ; ∂x i
F y = − i
∂V ; ∂y i
= −V F ∂V F z = − . ∂z i i
(4.6) (4.7)
∂ ∂ ∂ dengan V = V (x1 , y1 , z1 ,...,xN , yN , zN ) dan = ˆi ∂x + jˆ ∂y + kˆ ∂z .
Hubungan antara gaya umum dengan potensial Q = − Q = −
∂V ∂q j
∂V ∂x i ∂V ∂y i ∂V ∂z i + + ∂x i ∂q j ∂y i ∂q j ∂z i ∂q j (4.8)
4.1.
PERSAMAAN LAGRANGE DARI KONSEP GAYA UMUM
35
Contoh: Gerak sebuah partikel dalam ruang 2 dimensi. F = m
d2 r dt2
= F x xˆ + F y yˆ F = F r rˆ + F θ θˆ F dengan x ˆ = rˆ cos θ − θˆ sin θ yˆ = rˆ sin θ + θˆ cos θ dan rˆ = x ˆ cos θ + yˆ sin θ θˆ = −ˆ x sin θ + yˆ cos θ sehingga diperoleh F x = F r cos θ − F θ sin θ F y = F r sin θ + F θ cos θ dan F r = F x cos θ + F y sin θ F θ = −F x sin θ + F y cos θ Q j =
∂x i ∂y i F x + F y ∂q j ∂q j i
i
= F x
Jika dipilih q1 = r dan q2 = θ, maka diperoleh ∂x ∂y + F y ∂r ∂r ∂x ∂y = F x + F y ∂θ ∂θ
Q1 = F x Q2 Dengan
x = r cos θ y = r sin θ
∂x ∂y + F y ∂q j ∂q j
(4.9)
36
BAB 4.
LAGRANGAN
maka ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ
= cos θ = −r sin θ = sin θ = r cos θ
sehingga diperoleh gaya umum sebagai Q1 = F x cos θ + F y sin θ = F r Q2 = rF x sin θ + rF y cos θ = rF θ = momen gaya dan δW = F x δx + F y δy = Q1 δq 1 + Q2 δq 2 = Q1 δr + Q2 δθ δW = F r δr + rF θ δθ Jika partikel bergerak dalam arah radial, maka δθ = 0
→
δW = F r δr.
Jika partikel bergerak dalam arah tangensial, maka δr = 0
4.1.2
→
δW = rF θ δθ.
Penurunan Persamaan Lagrange dari Konsep Gaya Umum
Setelah menggeneralisasikan momentum dan gaya umum, ungkapan mekanika di dalam sistem kordinat umum akan lengkap jika terdapat persamaan gerak, yaitu mengubah persamaan gerak dalam sistem koordinat kartesian (Hukum Newton) ke persamaan gerak dalam koordinat umum (Persamaan Lagrange). Hukum dinamika gerak dalam koordinat kartesian diperoleh dari p = d F ; dt
(4.10)
4.1.
37
PERSAMAAN LAGRANGE DARI KONSEP GAYA UMUM
sehingga d px = dt = d px = dt Ingat bahwa d pk = dt
∂ z˙i ∂ q˙k
=
d dt d dt d dt
∂T d ∂ 1 = mi (x˙ 2i + y˙ i2 + z˙i2 ) ∂ ˙qk dt ∂ ˙qk 2 1 ∂ ˙xi ∂ ˙yi ∂ ˙zi mi ∂ ˙xi + ∂ ˙yi + ∂ ˙zi 2 ∂ ˙qk ∂ ˙qk ∂ ˙qk 1 ∂ ˙xi ∂ ˙yi ∂ ˙zi mi x˙ i + y˙ i + z˙i 2 ∂ ˙qk ∂ ˙qk ∂ ˙qk
∂z i . ∂q k
∂ ˙xi ∂ ˙yi ∂ ˙zi d ∂x i d ∂y i mi x¨i + y¨i + z¨i + x˙ i + y˙i ∂ ˙qk ∂ ˙qk ∂ ˙qk dt ∂q k dt ∂q k d ∂x i d ∂y i d ∂z i = Qk + mi x˙ i + mi y˙ i + mi z˙i dt ∂q k dt ∂q k dt ∂q k
d dt
∂x i ∂q k
= =
∂ 2 xi + ∂t∂qk
= d dt
∂x i ∂q k
d dt
=
∂x i ∂q k
d + dq
3N
l=1
∂ ∂q k
∂x i + ∂t
∂ ∂q k
d xi dt
∂x i ∂q k
d q˙ + ... + dq3N
∂x i ∂q k
d + z˙i dt
q˙3N
∂ 2 xi q˙1 ∂q l ∂q k 3N
l=1
=
∂x i q˙k ∂q l
∂ x˙ i ∂q k
(4.12)
Analog d dt d dt
∂y i ∂q k ∂z i ∂q k
= =
∂ y˙ i ∂q k ∂ z˙i ∂q k
(4.13) (4.14)
∂z i ∂q k
(4.11)
38
BAB 4.
d pk = Qk + dt = Qk + = Qk + = Qk + d pk = Qk + dt
LAGRANGAN
∂ ∂ ∂ mi x˙ i x˙ i + y˙ i y˙ i + z˙i z˙i ∂q k ∂q k ∂q k 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 mi x˙ i + y˙ i + z˙ 2 ∂q k ∂q k ∂q k i 1 ∂ 2 mi (x˙ i + y˙ i2 + z˙i2 ) 2 ∂q k ∂ 1 mi (x˙ 2i + y˙ i2 + z˙i2 ) ∂q k 2 ∂ T ∂q k
(4.15)
d d ∂T pk = dt dt ∂ ˙qk d ∂ pk = Qk + T dt ∂q k maka d ∂T ∂ = Qk + T dt ∂ ˙qk ∂q k d ∂T ∂ − T = Qk dt ∂ ˙qk ∂q k sehingga
d ∂ ∂ − dt ∂ ˙qk ∂q k
T = Qk
(4.16)
dikenal sebagai Persamaan umum dinamika di dalam sistem koordinat umum. Jika gaya konservatif, maka Qk = −
∂V denganV = V (q1 , q2 , q3 ,...). ∂q k
(4.17)
Jika disubstitusikan ke persamaan dinamika (4.16), diperoleh
d ∂ ∂ − dt ∂ ˙qk ∂q k
T = −
∂V ∂q k
(4.18)
4.1.
PERSAMAAN LAGRANGE DARI KONSEP GAYA UMUM
39
Dengan mengingat bahwa V hanya fungsi q saja (tidak mengandung turunan q), maka ∂V = 0; ∂q k
∂V =0 ∂ ˙qk
d ∂V =0 dt ∂ ˙qk
→
Dengan demikian −
∂V d ∂V ∂V = − ∂q k dt ∂ ˙qk ∂q k
sehingga persamaan dinamika dapat ditulis
d ∂ ∂ d ∂ ∂ − T = − dt ∂ ˙qk ∂q k dt ∂ ˙qk ∂q k d ∂ ∂ − (T − V ) = 0 dt ∂ ˙qk ∂q k
V
diperoleh d ∂L ∂L − =0 dt ∂ ˙qk ∂q k
(4.19)
sebagai persamaan Lagrange, dengan L = T − V . Karena diturunkan dengan asumsi gaya Qk bersifat konservatif, maka dinamika setiap sistem konservatif memenuhi persamaan Lagrange. Akan tetapi, kebanyakan sistem di alam ini sistem yang non konservatif tidak memenuhi persamaan Lagrange. Jika koordinat umum diganti dengan koordinat kartesian, persamaan Lagrange menjadi : Hukum Newton: q1 = x; q2 = y; q3 = z d ∂L ∂L − dt ∂ ˙qk ∂q k d ∂L ∂L − dt ∂ ˙x ∂x d ∂L ∂L − dt ∂ ˙y ∂y d ∂L ∂L − dt ∂ ˙z ∂z
= 0 = 0 = 0 = 0
40
BAB 4.
LAGRANGAN
Dalam koordinat Kartesian T = T (x, ˙ y, ˙ z) ˙ V = V (x,y,z) ∂L ∂T ∂V ∂T = − = = px ∂ ˙x ∂ ˙x ∂ ˙x ∂ ˙x ∂L ∂T ∂V ∂T = − =− = F x ∂x ∂x ∂x ∂x sehingga d px = F x dt d py = F y dt d pz = F z dt Jadi,
d ∂L ∂L − = F x − F x = 0 dt ∂ ˙x ∂x
→
d ∂L ∂L − =0 dt ∂ ˙qk ∂q k
→
= d p F dt
Contoh: Gerak partikel dalam 2 dimensi. Koordinat umum: q1 dan q2 . Persamaan Lagrange: d ∂L ∂L − dt ∂ q˙1 ∂q 1 d ∂L ∂L − dt ∂ q˙2 ∂q 2
= 0 = 0
Dalam Koordinat Kartesian (x, y) F x =
d d px ; F y = py dt dt
Dalam Koordinat Polar (r, θ), energi kinetik: T = = T =
1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) 2 1 m(r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 ) 2 1 2 1 2 ˙2 mr˙ + mr θ 2 2
4.2.
PERSAMAAN LAGRANGE DARI PRINSIP D’ALEMBERT
41
dan Energi potensial V = 0 (karena partikel bebas), sehingga Lagrangan L diperoleh sebagai 1 1 L = T − V = mr˙ 2 + mr2 θ˙2 2 2 Persamaan gerak partikel diperoleh dari persamaan Euler-Lagrange, yaitu dalam arah r sebagai d ∂L ∂L − dt ∂ ˙r ∂r d ∂T ∂T − dt ∂ ˙r ∂r d mr˙ − mrθ˙ 2 dt m¨ r − mrθ˙ 2
= 0 = 0 = 0 = 0
dan persamaan gerak dalam arah θ diperoleh sebagai d ∂L ∂L − dt ∂ θ˙ ∂θ d ∂T ∂T − dt ∂ θ˙ ∂θ d mr2 θ˙ − 0 dt d mr2 θ˙ dt mr2 θ˙
= 0 = 0 = 0 = 0 = konstan
Momentum sudut = konstan
4.2 4.2.1
Persamaan Lagrange dari Prinsip d’Alembert Pergeseran Maya
Konsep pergeseran nyata partikel nomor i dinyatakan oleh d ri =
∂ri 1 ∂ri 2 ∂ri dq + dq + ... + ∂q 1 ∂q 2 ∂q 3N
dq3N k
−
atau
3N −k
d ri =
α=1
k
−
∂ri α ∂ri dq + dt ∂q α ∂t
+
∂ri dt ∂t
(4.20)
(4.21)
Pergeseran maya suatu sistem adalah perubahan konfigurasi (posisi atau orientasi) sistem sebagai akibat pergeseran infinitesimal δri (i = 1, 2,...,N )
42
BAB 4.
LAGRANGAN
yang konsisten dengan gaya-gaya dan kendala yang bekerja pada sistem itu pada saat t. Hal yang penting di sini adalah pergeseran maya terjadi tanpa membutuhkan waktu. Pergeseran maya dinyatakan sebagai 3N −k
δri =
α=1
∂ri α α ∂ri δq + δt ∂q ∂t
(4.22)
Pada partikel nomor i bekerja gaya k i = F (a) + f F i i (a)
adalah gaya luar total yang bekerja pada partikel nomor i dan dengan F i k adalah gaya kendala yang bekerja pada partikel nomor i. f i Jika sistem dalam keadaan setimbang, maka berlaku i = 0 F untuk setiap i, sehingga usaha maya diperoleh sebagai
(a) · δri + F i
i
i · δri = 0 F k · δri = 0 f i
(4.23)
i
Bila sistem yang ditinjau sedemikian rupa sehingga gaya kendala tegaklurus terhadap pergeseran maya yang mungkin, maka suku kedua persamaan terakhir lenyap. Jadi, (a) · δri = 0 F (4.24) i
i
4.2.2
Penurunan Persamaan Lagrange dari Prinsip d’Alembert
Prinsip d’Alembert merupakan perluasan prinsip usaha maya dengan menambahkan suku tambahan untuk gaya total pada tiap partikel. i Jika sistem di atas tidak dalam keadaan setimbang maka F = 0, akan tetapi ˙i i = p F ˙i = 0 i − p F (a) + f i − d p i = 0 F i dt
(4.25) (4.26) (4.27)
4.2.
PERSAMAAN LAGRANGE DARI PRINSIP D’ALEMBERT
43
sehingga usaha semu diperoleh sebagai i − d p (a) + f F i · δri = 0 i dt
i
Dengan asumsi bahwa gaya kendala selalu tegak lurus terhadap pergeseran maya, maka didapat
i
(a) − d p i · δri = 0 F i dt
Karena δr1 , δr2 , ..., δrN tidak bebas satu dari yang lain (akibat adanya kendala), maka tidak serta merta dapat disimpulkan bahwa
i
(a) − d p i = 0 F i dt
Permasalahan ini dapat diatasi dengan transformasi koordinat:
Rα δq α = 0
α
dipilih δq α bebas satu dari yang lain sehingga Rα = 0. Usaha semu dapat ditulis ulang sebagai
(a) · δri = F i
i
mir¨i · δri
(4.28)
i
Pertama-tama, perhatikan ruas kiri. (a) · F i
i
α
∂ri α δq = ∂q α
α
i
(a) · ∂ri δq α = F i ∂q α
Qα δq α
(4.29)
α
dan diperoleh Qα =
i
(a) · ∂ri F i ∂q α
(4.30)
44
BAB 4.
LAGRANGAN
sebagai Gaya Umum dalam bentuk yang agak berbeda. Selanjutnya, perhatikan ruas kanan.
mir¨i · δri =
i
α
i
=
i
=
α
α
mir¨i · δri =
i
∂ri α δq ∂q α
mir¨i ·
∂ri mir¨i · α δq α ∂q
i
∂ri mir¨i · α δq α ∂q
mi
α
i
d ˙ ∂ri ri · α dt ∂q
d − r˙i · dt
∂ri ∂q α
δq α (4.31)
Untuk menyelesaikan persamaan 4.31 dapat dilakukan langkah berikut: d ∂ri ∂ = α α dt ∂q ∂q
∂ri ∂t
=
∂ ˙ri ∂q α
(4.32)
selanjutnya, ˙ri =
d ri dt
=
α
˙ri =
α
∂ri dq α ∂ri dt + ∂q α dt ∂t dt ∂ri α ∂ri q˙ + ∂q α ∂t
(4.33)
dan ∂ r˙i = ∂ ˙qβ =
α
α
∂ r˙i = ∂ ˙qβ
∂ri ∂ ˙q α ∂q α ∂ ˙q β ∂ri α δ ∂q α β
∂ri ∂q β
(4.34)
4.2.
45
PERSAMAAN LAGRANGE DARI PRINSIP D’ALEMBERT
Jika persamaan 4.32, 4.33, dan 4.34 disubstitusi ke persamaan 4.31 akan dihasilkan
mir¨i · δri =
α
i
=
i
α
=
α
mir¨i · δri =
d ∂ T i − dt ∂ q˙α
i
d dt
α
i
∂ ˙ri mir˙i · α ∂ q˙
d dt
i
∂ ˙ri r˙i · α ∂ q˙
d dt
mi
∂T ∂ q˙α
−
− r˙i ·
∂ ˙ri δq α α ∂q
−
∂ ˙ri mir˙i · α δq α ∂q
i
∂ T i δq α α ∂q
i
∂T δq α α ∂q
(4.35)
dengan T adalah energi kinetik. Jika ruas kanan dan kiri persamaan 4.31 disamakan, akan diperoleh
d dt
Qα δq α =
α
α
Qα −
α
d dt
∂T ∂ q˙α
∂T ∂ q˙α
∂T δq α ∂q α
(4.36)
∂T δq α = 0 α ∂q
(4.37)
−
+
Karena δq α bebas linier, maka kuantitas yang berada dalam kurung bernilai nol, yaitu d ∂T ∂T Qα = − (4.38) dt ∂ q˙α ∂q α
yang merupakan bentuk Hukum II Newton dalam koordinat umum. Jika gaya-gaya diturunkan dari fungsi potensial skalar V , i = i V F
(4.39)
maka gaya umum dapat dituliskan sebagai Qα =
i
˙ i · ∂ ri = − F ∂q α
i
i V ·
∂ ˙ri ∂q α
(4.40)
Pada akhirnya, gaya umum berubah menjadi Qα = −
∂V ∂q α
(4.41)
46
BAB 4.
LAGRANGAN
Selanjutnya, persamaan 4.38 menjadi d dt
∂T ∂ q˙α
−
∂ (T − V ) =0 ∂q α
(4.42)
Jika sistem yang ditinjau adalah konservatif, maka fungsi potensial V bukan fungsi yang secara eksplisit bergantung pada waktu, sehingga potensial V tidak bergantung pada turunan koordinat umum. Oleh karena itu, kita dapat memasukkan kuantitas V pada suku yang pertama d dt
∂ (T − V ) ∂ q˙α
−
∂ (T − V ) =0 ∂q α
(4.43)
Kita dapatkan fungsi baru L = T − V
(4.44)
yang dikenal sebagai Lagrangan (L). Akhirnya, kita dapatkan persamaan Lagrange sebagai d dt
4.3
∂L ∂ q˙α
−
∂L =0 ∂q α
(4.45)
Potensial Bergantung Pada Kecepatan
Didefisikan u(q1 , q2 , q3 ,...,q3N , q˙1 , q˙2 , q˙3 ,..., q˙3N ) Sedemikian rupa sehingga berkait dengan gaya umum Qk maka Qk =
d ∂u ∂u − dt ∂ ˙qk ∂q k
Walaupun gaya tersebut tak konservatif, namum dalam bentuk yang dapat dituliskan seperti di atas mempunyai persamaan dinamika sistem yang memenuhi persamaan Lagrange. d ∂T ∂T − = Qk dt ∂ ˙qk ∂q k Substitusikan Qk d ∂T ∂T d ∂u ∂u − = − dt ∂ ˙qk ∂q k dt ∂ ˙qk ∂q k d ∂ ∂ (T − U ) − (T − U ) = 0 dt ∂ ˙qk ∂q k d ∂ ∂ L− L = 0 dt ∂ ˙qk ∂q k
4.3.
POTENSIAL BERGANTUNG PADA KECEPATAN
47
diperole L = T − U dengan U =fungsi potensial umum. Contohnya adalah gaya elektromagnet = q E + q v × B F c
(4.46)
Komponen gaya Lorentz yang mengandung kecepatan adalah gaya magnetik v = q (v × B) F b = q × B c c dengan v = x˙ ˆi + y˙ jˆ + z˙ kˆ = Bxˆi + By jˆ + Bz kˆ B
(4.47) (4.48)
sehingga bx = q (yB F ˙ z − zB ˙ y) c by = q (zB F ˙ x − xB ˙ z) c bz = q (xB F ˙ y − yB ˙ x) c Dari Qk =
(4.49) (4.50) (4.51)
d ∂u ∂u − dt ∂ ˙qk ∂q k
diperoleh bx = d ∂u − ∂u F dt ∂ ˙x ∂x by = d ∂u − ∂u F dt ∂ ˙y ∂y bz = d ∂u − ∂u F dt ∂ ˙z ∂z Maka u yang memenuhi adalah q u = (xzB ˙ y + yxB ˙ z + zyB ˙ x) c Kembali ke gaya Lorentz = q E + q (v × B) F c
(4.52) (4.53) (4.54)
48
BAB 4.
LAGRANGAN
Menurut teori elektromagnetik, E dan B dapat ditulis dalam bentuk turunan dari potensial skalar φ dan potensial vektor A = −φ − 1 ∂ A E c ∂t = × A B
(4.55) (4.56)
Jadi dapat dituliskan = −qφ − q ∂ A + q c × ( × A) F c ∂t c Dengan menggunakan identitas × (B × C ) = B( A · C ) − C (A · B) A diperoleh
= − q d A − q (cφ − v · A) F c dt c
yaitu x = − q d A x − ∂ qφ − q v · A F c dt ∂x c y = − q d A y − ∂ qφ − q v · A F c dt ∂y c z = − q d A z − ∂ qφ − q v · A F c dt ∂z c
Jadi bentuk potensial dari F adalah u = qφ − qc v · A Maka fungsi Lagrange L = T − U 1 q L = mv 2 − qφ + v · A 2 c Momentum Umum p q =
(4.57) (4.58) (4.59)
(4.60) (4.61)
∂L ∂ q˙k
∂L q = mx˙ + Ax ∂ ˙x c ∂L q p y = = my˙ + Ay ∂ ˙y c ∂L q p z = = mz˙ + Az ∂ ˙z c
p x =
(4.62) (4.63) (4.64)
4.3.
Jadi,
POTENSIAL BERGANTUNG PADA KECEPATAN
49
q p = m v+ A c Jadi momentum partikel bermuatan q yang bergerak dalam medan elektro magnetik tidak sama dengan m v , tetapi m v + qc A.
50
BAB 4.
LAGRANGAN
BAB 5
HAMILTONAN Penurunan persamaan Lagrange yang sudah dijelaskan pada bab sebelumnya, diawali dari tinjauan keadaan sistem pada saat tertentu dan pergeseran semu terhadap keadaan tersebut, yaitu dari ”Prinsip Diferensial” seperti Prinsip D’Alembert. Namun, dimungkinkan juga untuk mendapatkan persamaan Lagrange dari suatu prinsip yang meninjau seluruh gerak sistem antara waktu t1 dan t2 , dan variasi semu yang kecil dari gerak tersebut. Prinsip ini dikenal sebagai ”Prinsip Integral”.
5.1
Prinsip Hamilton
Konfigurasi sistem pada saat tertentu dijelaskan oleh nilai n buah koordinat umum q1 ,...,qn , dan terkait dengan titik tertentu pada Koordinat Kartesian, dengan q membentuk n buah sumbu koordinat. Ruang berdimensi n ini disebut sebagai Ruang Konfigurasi . Ruang ini tidak mempunyai hubungan yang sesuai dengan ruang fisis 3 dimensi, sebagaimana koordinat umum tidak selalu terhubung dengan koordinat posisi. Lintasan dalam ruang konfigurasi tidak mempunyai kemiripan dengan lintasan sembarang partikel pada ruang fisis. Setiap titik pada lintasan ini mewakili konfigurasi sistem keseluruhan pada beberapa waktu tertentu. Prinsip Integral Hamilton menjelaskan gerak sistem mekanik semacam ini untuk semua gaya (kecuali gaya kendala), yaitu diturunkan dari sebuah potensial skalar umum yang mungkin berupa fungsi koordinat, kecepatan, dan waktu. Sistem-sistem semacam ini disebut sebagai sistem monogenik . Jika potensial berupa sebuah fungsi yang hanya merupakan fungsi posisi saja, maka sistem monogenik ini merupakan fungsi yang konservatif. Untuk sistem monogenik, Prinsip Hamilton dinyatakan sebagai: 51
52
BAB 5.
HAMILTONAN
Gambar 5.1: Lintasan Sistem Titik dalam Ruang Konsfigurasi
”Gerakan suatu sistem dari waktu t1 ke t2 sedemikian rupa sehingga merupakan integral garis (disebut sebagai aksi atau integral aksi), t2
I =
Ldt,
(5.1)
t1
dengan L = T − V bernilai konstan untuk lintasan yang sebenarnya.” Hal ini berarti bahwa, semua lintasan yang mungkin suatu sistem titik berpindah dari posisi awal saat t1 ke posisi berikutnya saat t2 , sesungguhnya ia berpindah sepanjang lintasan sedemikian rupa sehingga nilai integral pada persamaan (5.1) bernilai tetap (stasioner). Integral sepanjang lintasan yang diberikan mempunyai nilai yang sama dengan semua lintasan di sekitarnya, perhatikan Gambar 5.1. Dengan kata lain, Prinsip Hamilton dapat dinyatakan sebagai Gerak yang sedemikian rupa sehingga variasi integral garis I dari t1 ke t2 bernilai 0. t2
δI = δ
L(q1 ,...,qn , q˙1 ,..., q˙n , t)dt = 0
(5.2)
t1
Ketika kendala sistem berupa kendala yang holonomik, Prinsip Hamilton (5.2) sesuai dan memenuhi syarat untuk Persamaan Lagrange ( 4.19) atau (4.45). Jadi, telah ditunjukkan bahwa Prinsip Hamilton didapatkan secara langsung dari Persamaan Lagrange. Namun, pada bahasan lain akan ditun jukkan sebaliknya: Persamaan Lagrange didapat dari prinsip Hamilton.
5.2. PENURUNAN PERSAMAAN LAGRANGE DARI PRINSIP HAMILTON 53
5.2
Penurunan Persamaan Lagrange dari Prinsip Hamilton
Masalah mendasar dalam kalkulus variasi adalah membawa kasus fungsi f sebagai fungsi yang tak bergantung pada variabel yi dan turunannya y˙ i . Tentu saja semua kuantitas tersebut ditinjau sebagai fungsi x. Variasi integral J dinyatakan sebagai 2
δJ = δ
f (y1 (x), y2 (x),..., y˙ 1 (x), y˙ 1 (x),...,x)dx
(5.3)
1
Seperti sebelumnya, persamaan ini diperoleh dengan meninjau J sebagai fungsi dengan parameter α yang melabeli himpunan kurva yang mungkin y1 (x, α). Didapatkan y1 (x, α) = y1 (x, 0) + αη1 (x), y2 (x, α) = y2 (x, 0) + αη2 (x), .
.
.
.
.
.
dengan y1 (x, 0), y2 (x, 0), dan seterusnya adalah solusi masalah ekstrimum, dan η1 , η2 dan seterusnya adalah fungsi yang tak bergantung x, yang lenyap di titik-titik ujung dan kontinyu pada turunan kedua. Selain itu, semuanya sembarang. Variasi J diberikan dalam bentuk ∂J dα = ∂α
2
1
i
∂f ∂y i ∂f ∂ ˙yi dα + dα dx ∂y i ∂α ∂ ˙yi ∂α
(5.4)
Kemudian kita integralkan per-bagian suku kedua persamaan (5.4) 2
1
∂f ∂ 2 yi ∂f ∂y i dx = ∂ ˙yi ∂α∂x ∂ ˙yi ∂α
2
2 1
−
1
∂y i d ∂α dx
∂f ∂ ˙yi
dx
(5.5)
dengan suku pertama lenyap, karena semua kurva melalui titik ujung yang tetap. Substitusi persamaan (5.5) pada persamaan (5.4), δJ menjadi 2
δJ =
1
i
∂f d ∂f − δyi dx, ∂y i dx ∂ ˙yi
(5.6)
54
BAB 5.
HAMILTONAN
dengan variasi δy i adalah δy i =
∂y i ∂α
dα.
(5.7)
Karena yi adalah variabel yang independen, variasi δyi juga independen (yakni, fungsi ηi (x) akan independen satu dengan yang lain). Oleh karena itu, syarat δJ bernilai 0 adalah koefisien δyi lenyap secara terpisah ∂f d ∂f − = 0, ∂y i dx ∂ ˙yi
i = 1, 2,...,n.
(5.8)
Persamaan (5.8) mewakili perumuman yang bersesuaian persamaan (5.8) untuk beberapa variabel, dan dikenal sebagai Persamaan Diferensial EulerLagrange. Solusi persamaan ini merepresentasikan kurva-kurva sedemikian rupa sehingga integral pada persamaan ( 5.3) menghasilkan variasi sama dengan 0. Integral dalam Prinsip Hamilton 2
I =
L(qi , q˙i , t)dt,
(5.9)
1
mempunyai bentuk seperti (5.3) dengan transformasi x → t yi → qi f (yi , y˙ i , x) → L(qi , q˙i , t) Dalam menjabarkan persamaan (5.8), kita mengasumsikan variabel yi adalah independen. Syarat terkait yang berhubungan dengan prinsip Hamilton adalah koordinat umum qi bersifat independen, mengharuskan kendala bersifat holonomik. Persamaan Euler-Lagrange yang berhubungan dengan integral I kemudian menjadi Persamaan Lagrange d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ ˙qi ∂q i
i = 1, 2,...,n.
(5.10)
Jadi, persamaan Lagrange dapat diturunkan dari Prinsip Hamilton untuk sistem monogenik dengan kendala holonomik.
5.3.
55
FUNGSI HAMILTON
5.3
Fungsi Hamilton
Tinjau fungsi H sebagai berikut 3N
H (q, q, ˙ t) ≡
∂L −L ∂ ˙qk
(5.11)
q˙k pk − L
(5.12)
q˙k
k=1
3N
H (q, q, ˙ t) =
k=1
Jika H diturunkan terhadap waktu (t) dH = dt Dari Lagrange:
d ∂L dt ∂ q˙k
=
L(q, q, ˙ t)
∂L ∂q k
q¨k
∂L d ∂L dL + q˙k − ∂ ˙qk dt ∂ ˙qk dt
dL ∂L ∂L dq ∂L dq˙ = + + dt ∂t ∂q dt ∂ ˙q dt
→
Maka dH = dt =
∂L d ∂L q¨k + q˙k ∂ ˙qk dt ∂ ˙qk ∂L d ∂L q¨k + q˙k ∂ ˙qk dt ∂ ˙qk
dH ∂L = − dt ∂t
− −
∂L dqk ∂L dq˙k ∂L + − ∂q k dt ∂ ˙qk dt ∂t ∂L ∂L ∂L q˙k + q¨k − ∂q k ∂ ˙qk ∂t
(5.13)
Jika L tidak bergantung pada waktu secara eksplisit L = L(q, q) ˙ maka dH = 0 → H = konstan; H merupakan suatu konstanta. dt Andaikan q˙k adalah sistem koordinat yang ortogonal yang berakibat T bersi1 2 fat kuadratik terhadap q˙k → T ≈ q˙k ∂ ∂L = 2T . 2 Ak q˙k dan q˙ 3N
H =
k=1
q˙k
∂L −L ∂ ˙qk
= 2T − L
k
; L = T − V
= 2T − T + V H = T + V
(5.14)
Jadi H mempunyai arti fisis sebagai energi mekanik sistem apabila sistem koordinat yang dipakai adalah sistem koordinat ortogonal. Jika kita menggunakan sistem koordinat ortogonal dimana fungsi L tidak bergantung waktu
56
BAB 5.
HAMILTONAN
secara eksplisit maka fungsi Hamilton H merupakan energi mekanik yang bersifat kekal. Contoh: 1. Kasus osilator harmonik satu dimensi Energi Kinetik T = 12 mx˙ 2 Energi Potensial V = 12 kx 2 Lagrangan diperoleh sebagai L = T − V 1 1 L = mx˙ 2 − kx 2 2 2 Persamaan geraknya: d ∂L ∂L − =0 dt ∂ ˙x ∂x m¨ x + kx = 0 Persamaan Hamilton ∂L −L ∂ ˙qk ∂L 1 1 = x˙ − mx˙ 2 − kx 2 ∂ ˙qk 2 2 1 1 = x(m ˙ x) ˙ − mx˙ 2 + kx2 2 2 1 1 H = mx˙ 2 + kx2 2 2 H =
q˙k
2. Gerak benda dalam sebuah bidang karena gaya sentral (gaya rotasi) L = T − V 1 2 = mv − V (r) 2 1 = m(r˙ 2 + r 2 θ2 ) − V (r) 2 Persamaan Gerak
d ∂L ∂L − =0 dt ∂ ˙qk ∂q k
5.4.
57
PERSAMAAN HAMILTON
Persamaan gerak terhadap r d ∂L ∂L − dt ∂ ˙r ∂r d ∂V mr˙ − mrθ˙ 2 − dt ∂r dV m¨ r − mrθ˙2 + dr
= 0
= 0 = 0
dV dr 2 m¨ r = mrθ˙ − f (r) m¨ r = mrθ˙2 −
5.4
Persamaan Hamilton
Telah didefinisikan fungsi Hamilton yang bergantung pada fungsi Lagrange. Dengan demikian dapat dituliskan persamaan gerak dalam bentuk fungsi Hamilton 3N
H (q, q, ˙ t) =
∂L − L(q, q, ˙ t) ∂ ˙qk
(5.15)
q˙k pk − L(q, q, ˙ t)
(5.16)
q˙k
k=1
3N
H (q, q, ˙ t) =
k=1
Sebelum dituliskan H sebagai fungsi (q, q, ˙ t). Namun karena q˙ dan p saling terkait, maka H dapat dituliskan sebagai fungsi q,p,t. Dengan menganggap q,p,t saling bebas, maka variasi H (q,p,t) . δH (q, q, ˙ t) =
Karena H = δH = = δH =
∂H δqk + ∂q k
∂H δpk + ∂p k
∂H δt ∂t
q˙k pk − L(q, q, ˙ t), maka
q˙k δpk +
q˙k δpk +
q˙k δpk −
pk δ q˙k − δL(q, q, ˙ t) pk δ q˙k −
p˙k δq k −
∂L δt ∂t
∂L δqk − ∂q k
∂L δ q˙k − ∂ ˙qk
∂L δt ∂t (5.17)
58
BAB 5.
HAMILTONAN
Diperoleh persamaan Hamilton sebagai: ∂H ∂p k ∂H (2) δq k : p˙k = − ∂q k ∂L ∂H (3) δt : =− ∂t ∂t
(1)
δpk : q˙k =
(5.18) (5.19) (5.20)
Persamaan (5.18) menyatakan sebagai kombinasi momentum pk Persamaan (5.19) menyatakan dinamika atau persamaan gerak partikel Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa persamaan Hamilton merupakan alternatif lain untuk memecahkan persoalan gerak partikel.
BAB 6
TRANSFORMASI KANONIK 6.1
Transformasi Kanonik
Jika fungsi Hamilton dinyatakan dalam sistem koordinat di mana salah satu fungsi atau beberapa koordinatnya bersifat siklik, maka jumlah persamaan gerak yang diperoleh akan berkurang sebanyak jumlah koordinat siklik yang ada. Oleh karena itu, sebelum memecahkan persaman Hamilton sebaiknya dituliskan fungsi Hamilton tidak sistem koordinat yang mengandung koordinat siklik. Misal: Sistem koordinat lama (2D) dinyatakan oleh (qk , pk ) ditransformasikan dalam koordinat baru (Qk , P k ). Maka transformasi koordinat diperoleh (qk , pk )
→
(Qk , P k )
dengan Qk = Qk (q,p,t)
(6.1)
P k = P k (q,p,t)
(6.2)
Contohnya (x, y) → (r, θ) Pada prinsipnya koordinat (Q, P ) dapat dipilih sembarang. Andaikan (Q, P ) dipilih sedemikian rupa sehingga terdapat suatu fungsi K (Q, P ) yang memenuhi persmanaan: ∂K Q˙ k = ∂P k ˙ k = − ∂K P ∂Q k 59
(6.3) (6.4)
60
BAB 6.
TRANSFORMASI KANONIK
Maka transformasi (qk , pk ) → (Qk , P k ) dinamakan transformasi kanonik. Jelas bahwa fungsi K merupakan fungsi Hamilton didalam sistem koordinat baru. Newtonian → analisis gaya Lagrange → analisis energi Hamilton → analisis energi Persamaan gerak diperoleh dari persamaan Hamilton, sebagai berikut: ∂H ∂p k ∂H p˙k = − ∂q k q˙k =
6.2
(6.5) (6.6)
Fungsi Pembangkit
Persamaan Lagrange d ∂L ∂L − =0 dt ∂ ˙qk ∂q k Dapat diturunkan dari persamaan aksi I t2
I =
L(q, q, ˙ t)dt
t1
Persamaan Lagrange akan diperoleh apabila variasi dari fungsi aksi tersebut = 0. d ∂L ∂L δI = 0 → − =0 dt ∂ ˙qk ∂q k Dari definisi fungsi Hamilton diperoleh t2
δ
Ldt = 0
(6.7)
(6.8)
t1
t2
δ
pi q˙i − H (q, q, ˙ t) dt = 0
t1
Dalam prinsip variasi dipersyaratkan bahwa variasi di dua titik awal dan akhir sama dengan NOL. Oleh karena itu persamaan diatas harus berbeda menurut:
pi q˙i − H (q, q, ˙ t) =
dF Q˙ i P i − K (Q,P,t) + dt
61
6.3. KURUNG POISSON
Dengan F sembarang fungsi t2
t2
pi q˙i − H (q, q, ˙ t) dt =
t1
Q˙ i P i − K (Q,P,t) dt +
t1
t2
t2
t1
dF dt dt (6.9)
Q˙ i P i − K (Q,P,t) dt + (F (t2 ) − F (t1 ))
=
t1
(6.10)
Fungsi F tersebut sering dinamakan fungsi Pembangkit dari transformasi kanonik. Agar F berpengaruh terhadap transformasi kanonik, maka F haruslah merupakan fungsi dari ke-2 sistem koordinat → F (q,p,Q,P,t). Pada umumnya F merupakan fungsi dari koordinat dan momentum dari F (q,p,t), namum transformasi kanonik membuat sebagian dari koordinat saling bergantung. Dalam bentuk praktis
6.3
F = F (q,Q,t)
(6.11)
F = F (q,P,t)
(6.12)
F = F ( p, Q, t)
(6.13)
F = F ( p, P, t)
(6.14)
Kurung Poisson
Kurung Poisson dua buah fungsi u, v terhadap variabel kanonik q, p didefinisikan sebagai ∂u ∂v ∂u ∂v [u, v]q,p = − (6.15) ∂q i ∂p i ∂p i ∂q i Dari definisi tersebut, didapatkan kurung Poisson memenuhi [q j , qk ]q,p = 0 = [ p j , pk ]q,p
(6.16)
[q j , pk ]q,p = δ jk = −[ p j , qk ]q,p
(6.17)
dan Jadi, beberapa hubungan yang dipenuhi dalam kurung Poisson di antaranya: [u, u] = 0, [u, v] = −[v, u],
(6.18) sifat antisimetri
[uv,w] = [u, w]v + u[v, w], [au + bv,w] = a[u, w] + b[v, w],
(6.19) (6.20)
sifat linear
(6.21)
62
BAB 6.
TRANSFORMASI KANONIK
dengan a dan b adalah konstanta. Sifat selanjutnya, [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0
(6.22)
Persamaan (6.22) penting untuk mendefinisikan asal kurung Poisson. Biasanya dinyatakan dalam bentuk identitas Jacobi , yang menyatakan bahwa jika u,v, dan w adalah tiga buah fungsi yang kontinyu pada turunan kedua, maka jumlah permutasi siklik kurung Poisson dobel dari ketiga fungsi bernilai nol.
6.4
Teori Hamilton-Jacobi
Pada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa transformasi kanonik dapat digunakan sebagai prosedur umum untuk memecahkan masalah mekanika. Telah dijelaskan dua cara. Jika Hamiltonan bersifat lestari (conserved), maka solusi dapat diperoleh dengan mentrasformasi ke dalam koordinat kanonik baru yang semuanya bersifat siklik, yaitu mendapatkan persamaan baru dengan solusi yang mudah. Alternatif lain adalah mencari suatu transformasi kanonik dari koordinat dan momentum (q, p) saat t ke dalam suatu himpunan kuantitas konstan yang baru, yang mungkin menjadi 2n buah nilai awal (q0 , p0 ) saat t = 0. Dengan transformasi semacam itu, persamaan transformasi yang menghubungkan variabel kanonik lama dan baru merupakan solusi masalah mekanika yang diharapkan q = q(q0 , p0 , t) p = p(q0 , p0 , t) Persamaan ini memberikan koordinat dan momentum sebagai fungsi nilai awal koordinat dan momentum, serta waktu. Prosedur yang kedua bersifat lebih umum, khususnya sebagaimana ia applicable, tidak terikat prinsip, bahkan ketika Hamiltonan mengandung waktu. Ditinjau variabel baru bersifat konstan terhadap waktu untuk memenuhi Hamiltonan yang ditransformasi bernilai 0. Persamaan geraknya ∂K = Q˙ i = 0, ∂P i ∂K ˙ i = 0. = P ∂Q i
(6.23)
6.4.
63
TEORI HAMILTON-JACOBI
Sebagaimana telah diketahui, Hamiltonian baru K harus terhubung dengan Hamiltonian yang lama H dan fungsi pembangkit F , oleh persamaan K = H +
∂F , ∂t
(6.24)
dan akan bernilai 0 jika fungsi pembangkit memenuhi H (q,p,t) +
∂F = 0. ∂t
(6.25)
Adalah tepat untuk membuat F sebagai fungsi koordinat lama qi , momentum konstan yang baru P j , dan waktu (dalam bahasan sebelumnya, hal ini dinyatakan sebagai F 2 (q,P,t)). Untuk menuliskan dalam persamaan (6.25) sebagaimana fungsi dengan variabel yang sama, kita gunakan persamaan ∂F 2 pi = (6.26) ∂q i sehingga persamaan (6.25) menjadi
∂F 2 ∂F 2 H q1 ,...,qn , ,..., ∂q i ∂q n
+
∂F 2 = 0. ∂t
(6.27)
Persamaan (6.27) dikenal sebagai Persamaan Hamilton-Jacobi, merupakan persamaan diferensial parsial dalam (n + 1) variabel (q1 ,...,qn , t) untuk fungsi pembangkit yang diharapkan. Kita gunakan S untuk solusi F 2 , dan S dikenal sebagai Fungsi Prinsip Hamilton . Andaikan terdapat solusi persamaan (6.27) dalam bentuk F 2 ≡ S = S (q1 ,...,qn , α1 ,...,αn+1 , t),
(6.28)
dengan kuantitas α1 ,...,αn+1 merupakan (n + 1) konstanta integrasi yang saling bebas satu sama lain. Solusi semacam ini dikenal sebagai solusi lengkap persamaan diferensial orde pertama. Salah satu konstanta integrasi pasti bukan merupakan solusi, untuk itu S tidak akan muncul dalam persamaan (6.27), hanya turunan parsialnya terhadap q atau t yang termasuk. Oleh karena itu, jika S merupakan salah satu dari beberapa solusi persamaan diferensial, maka S +α juga merupakan solusi, dengan α sebarang konstanta. Salah satu dari (n + 1) konstanta integrasi dalam persamaan (6.28) hanya muncul sebagai konstanta tambahan pada S . Konstanta tambahan ini tidak mempunyai arti pada fungsi pembangkit, karena hanya turunan parsial fungsi pembangkit yang muncul pada persamaan transformasi.
64
BAB 6.
TRANSFORMASI KANONIK
Oleh karena itu, solusi lengkap persamaan (6.27) dapat dituliskan dalam bentuk S = S (q1 ,...,qn , α1 ,...,αn , t), (6.29) dan tidak ada n buah konstanta integrasi independen yang semata-mata tambahan. Persamaan (6.29) menyatakan S sebagai fungsi N koordinat, waktu t, dan n buah kuantitas independen αi . Kita mendapatkan n buah konstanta integrasi menjadi momentum konstan yang baru P i = αi
(6.30)
Pilihan seperti ini tidak berlawanan dengan pernyataan awal bahwa momentum yang baru terhubung dengan nilai awal q dan p saat t = 0. Persamaan transformasi n dinyatakan sebagai pi =
∂S (q,α,t) , ∂q i
(6.31)
dengan q, α ada untuk melengkapi kuantitas. Saat t = 0, hal itu merupakan n persamaan menghubungkan n buah α dengan nilai awal q dan p, kemudian memudahkan kita menghitung konstanta integrasi. Separo persamaan transformasi yang lain, yang mengandung koordinat konstan yang baru, muncul dalam bentuk Qi = β i =
∂S (q,α,t) . ∂α i
(6.32)
Konstanta β dapat diperoleh dari syarat awal, hanya dengan menghitung nilai pada ruas kanan persamaan (6.32) saat t = 0 dengan nilai awal qi yang diketahui. Persamaan (6.32) dapat diganti untuk melengkapi q j sebagai fungsi α,β,t q j = q j (α,β,t), (6.33) yang akan menyelesaikan masalah koordinat sebagai fungsi waktu dan syarat awal. Setelah mendiferensiasi persamaan (6.31), persamaan (6.33) dapat disubstitusi ke dalam q, sehingga didapatkan momentum pi sebagai fungsi α,β,t pi = pi (α,β,t). (6.34) Persamaan (6.33) dan persamaan (6.34) merupakan solusi lengkap persamaan gerak Hamilton.
6.4.
65
TEORI HAMILTON-JACOBI
Fungsi Prinsip Hamilton kemudian menjadi pembangkit transformasi kanonik ke dalam koordinat dan momentum konstan; ketika menyelesaikan persamaan Hamilton-Jacobi, kita bersamaan dalam mendapatkan suatu solusi masalah mekanika . Dalam bahasa matematis, kita telah membuat kesetaraan antara 2n persamaan gerak kanonik, yang berupa persamaan diferensial orde pertama, dengan persamaan Hamilton-Jacobi, yang berupa persamaan diferensial parsial orde pertama. Bahasan lebih lanjut dalam kasus fisis dari fungsi prinsip Hamilton S dilengkapi oleh pengujian turunan total terhadap waktu, yang dapat dihitung dalam bentuk dS ∂S ∂S = q˙i + , (6.35) dt ∂q i ∂t karena P i konstan terhadap waktu. Dengan menggunakan persamaan (6.31) dan (6.27), hubungan ini dapat ditulis ulang sebagai dS = pi q˙i − H = L, dt
(6.36)
sedemikian rupa sehingga fungsi prinsip Hamilton berbeda dari integral waktu tak-tentu Lagrangan hanya oleh konstanta S =
Ldt + konstanta.
(6.37)
Sekarang, prinsip Hamilton merupakan sebuah pernyataan tentang integral L. Dari sini kita mendapatkan penyelesaian masalah melalui persamaan Lagrange. Ketika Hamiltonan secara secara eksplisit tidak bergantung pada waktu, fungsi prinsip Hamilton dapat ditulis dalam bentuk S (q,α,t) = W (q, α) − at,
(6.38)
dengan W (q, α) disebut sebagai fungsi karakteristik Hamilton. Arti fisis W dapat dipahami dengan menuliskannya dalam turunan total dW ∂W = q˙i . dt ∂q i
(6.39)
Bandingkan persamaan (6.39) ini dengan hasil substitusi persamaan (6.38) dalam persamaan (6.31), diperoleh pi =
∂W , ∂q i
(6.40)
