mehanika_fluida

ˇ ´ ZELJKO ANDREIC

TEMELJI MEHANIKE FLUIDA

ˇ RUDARSKO-GEOLOSKO-NAFTNI FAKULTET ZAGREB 2014.

i

ˇ SNI ˇ E-UDZBENIK ˇ SVEUCILI MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

ii Izdavaˇ c: Sveuˇciliˇste u Zagrebu Rudarsko-geoloˇsko-naftni fakultet Urednik: Vesnica Garaˇsić Recenzenti: ˇ prof. dr. sc. Ranko Zugaj, dipl. in. grad. prof. dr. sc. Nevenka Oˇzanić, dipl. in. grad. doc. dr. sc. Antonija Jaguljnjak Lazarević, dipl. in. grad. Lektor: ˇ prof. Ranko Zugaj Naslovna stranica: ˇ Zeljko Andreić Dio cjevovoda u tvornici vode, Botonega Raˇ cunalna obrada teksta: ˇ Zeljko Andreić Grafiˇ cko uredenje, prijelom i e-tisak: ˇ Zeljko Andreić Naklada: e-izdanje ISBN: 978-953-6923-22-9

c Sva prava pridrˇzava autor

Datum zadnje promjene: sijeˇ canj 22, 2014. Odlukom Senata Sveuˇciliˇsta u Zagrebu, klasa 032-01/09-01/09, Urbroj 380-04/38-13-5 od 16. listopada 2013. godine odobrava se udˇzbeniku pod naslovom Temelji mehanike fluida ˇ autora dr. sc. Zeljka Andreića koriˇstenje naziva sveuˇ ciliˇ sni e-udˇ zbenik (Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis).

Kazalo Kazalo

vi

Popis slika

x

Popis tabela

xi

Popis simbola

xiii

Predgovor

1

1 Uvod 1.1 Osnovna svojstva fluida . . . . . . . 1.1.1 Gustoća . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Viskoznost . . . . . . . . . . . 1.1.3 Stlaˇcivost fluida . . . . . . . . 1.1.4 Tlak para tekućine . . . . . . 1.1.5 Povrˇsinska napetost tekućine . 1.1.6 Kapilarnost tekućine . . . . . 1.1.7 Anomalije vode . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Fluid u gibanju 2.1 Model kontinuuma i ˇcestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sile koje djeluju na ˇcesticu fluida u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eulerova jednadˇzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Eulerova jednadˇzba u kvazi-jednodimenzionalnom sluˇcaju . . . . . 2.3.2 Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadˇzba za fluid u polju sile 3 Statika fluida 3.1 Statiˇcka Eulerova jednadˇzba za polje sile teˇze 3.2 Pascalov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mjerenje tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sile hidrostatskoga tlaka . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Hidrostatska sila na dno posude . . . . 3.4.2 Hidrostatska sila na ravne stijenke . . . 3.4.3 Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke 3.4.4 Hidrostatska sila na stijenku cijevi . . 3.5 Plutanje i ravnoteˇza plutajućih tijela . . . . . 3.5.1 Uzgon . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

3 4 4 5 6 7 8 9 10

13 . . 13 . . 14 . . 15 . . 17 teˇze 18

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

21 21 24 25 28 28 31 34 35 36 36

iv

KAZALO

3.6

3.5.2 Plutanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Translacija i rotacija tekućine kao cjeline . . . . . 3.6.1 Horizontalno ubrzanje . . . . . . . . . . . 3.6.2 Vertikalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Koso ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Rotacija tekućine u otvorenoj posudi . . . 3.6.5 Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi . . . 3.6.6 Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . na tlak u fluidu

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

37 39 40 41 41 42 45 45

4 Kinematika fluida 4.1 Lagrangeov (supstancijalni) pristup . . . . . 4.2 Eulerov (lokalni) pristup . . . . . . . . . . . 4.3 Prikazivanje (vizualizacija) teˇcenja . . . . . 4.3.1 Strujna cijev i strujno vlakno . . . . 4.4 Izvori i ponori . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Potencijalno strujanje . . . . . . . . . . . . . 4.6 Strujanja u dvije dimenzije (2D) . . . . . . . 4.6.1 Osnovna potencijalna strujanja u 2D

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

49 49 50 52 54 54 55 56 57

5 Zakon neprekidnosti (kontinuiteta) 5.1 Posebni oblici jednadˇzbe neprekidnosti 5.1.1 Stacionarno strujanje . . . . . . 5.1.2 Tekućine . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Kvazi-jednodimenzionalni sluˇcaj

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61 63 63 63 63

. . . . . . . . . fluid

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

67 67 68 69 69

7 Stacionarno teˇ cenje idealnoga fluida 7.1 Ravnoteˇza u smjeru okomitom na strujnicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Bernoullijeva jednadˇzba za idealne tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 72 73

8 Stacionarno teˇ cenje realnoga fluida 8.1 Bernoullijeva jednadˇzba za realne tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Odredivanje gubitaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 78

. . . .

. . . .

. . . .

6 Dimenzionalna analiza 6.1 Mali broj fizikalnih varijabli . . . . . . . . . 6.1.1 Primjer: brzina zvuka . . . . . . . . 6.2 Veliki broj fizikalnih varijabli . . . . . . . . . 6.2.1 Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz

9 Teˇ cenje kroz cijevi 9.1 Reynoldsov pokus . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Gubici u cjevovodu . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Laminarno teˇcenje kroz cijevi . . . . . . . . 9.3.1 Duljina formiranja laminarnoga toka 9.4 Vrtloˇzno (turbulentno) teˇcenje kroz cijevi . . 9.5 Profil brzine kod vrtloˇznog toka . . . . . . . 9.6 Hidrauliˇcka hrapavost i hidrauliˇcka glatkost 9.7 Koeficijent trenja hrapavih cijevi . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

81 . 81 . 85 . 88 . 92 . 93 . 96 . 101 . 102

KAZALO 9.8

9.9

Lokalni gubici . . . . . . . . 9.8.1 Ulazni otvori . . . . 9.8.2 Dijafragme i sapnice 9.8.3 Suˇzenja . . . . . . . 9.8.4 Proˇsirenja . . . . . . 9.8.5 Venturijeva cijev . . 9.8.6 Ventili . . . . . . . . 9.8.7 Koljena i lukovi . . . 9.8.8 Filteri i reˇsetke . . . 9.8.9 Raˇcve i spojnice . . . 9.8.10 Izlazni otvori . . . . 9.8.11 Izlazna energija . . . Zbrajanje otpora . . . . . .

v . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

10 Proraˇ cun jednostavnoga cjevovoda 10.1 Poznato je v i d . . . . . . . . . . . . . 10.2 Poznato je Q i d . . . . . . . . . . . . . 10.3 Poznato je Q i v . . . . . . . . . . . . . 10.4 Poznato je d i hg . . . . . . . . . . . . 10.5 Poznato je d i hg . . . . . . . . . . . . 10.6 Poznato je Q i hg . . . . . . . . . . . . 10.7 Prikazivanje energetske i piezometarske 10.8 Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

105 106 108 109 111 112 112 113 114 114 114 115 116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . linije . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

119 120 120 121 121 122 122 122 127

11 Istjecanje 11.1 Istjecanje kroz mali otvor . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrˇsine tekućine . . 11.3 Istjecanje iz posude pod tlakom . . . . . . . . . . . . 11.4 Istjecanje kroz veliki otvor . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Istjecanje kroz otvor ispred kojega tekućina ne miruje 11.6 Nestacionarno istjecanje . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Mlazovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.1 Horizontalni mlaz . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.2 Vertikalni mlaz prema dolje . . . . . . . . . . 11.7.3 Vertikalni mlaz prema gore . . . . . . . . . . . 12 Teˇ cenje u otvorenim koritima 12.1 Jednoliko teˇcenje . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Veza koeficijenata trenja za cijev i 12.1.2 Protoˇcna krivulja . . . . . . . . . 12.2 Nejednoliko teˇcenje . . . . . . . . . . . . 12.3 Specifiˇcna energija presjeka . . . . . . . . 12.4 Preljevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Preljev sa ˇsirokim pragom . . . . 12.4.2 Preljev praktiˇcnoga profila . . . . 12.4.3 Slapiˇste i vodni skok . . . . . . . Literatura

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

131 131 133 134 135 136 137 138 140 141 142

. . . . . . . . . za otvoreni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

143 145 146 147 148 149 151 153 154 154

. . . . . . . . . .

157

vi Indeks

KAZALO 158

Popis slika 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Definicija gustoće homogene tvari (lijevo) i nehomogene Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile. . . . . . Dokazivanje tlaka pare tekućine. . . . . . . . . . . . . . Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi. . . . . . . Povrˇsinska napetost tekućine . . . . . . . . . . . . . . . Vaga za mjerenje povrˇsinske napetosti tekućine. . . . . Kapilarnost tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shematski prikaz molekule vode. . . . . . . . . . . . . . Gustoća vode u ovisnosti o temperaturi. . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

4 5 7 8 8 9 10 11 11

Definicija ˇcestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definicija elementa puta (lijevo), povrˇsine (sredina) i volumena Elementarna ˇcestica fluida noˇsena tokom fluida kroz prostor. . izvod Eulerove jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvazi 1-D Eulerova jednadˇzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvazi 1-D Eulerova jednadˇzva uz silu teˇzu . . . . . . . . . . .

. . . . . (desno). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

13 14 15 16 18 19

Osnovni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . Nestandardni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici Standardni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . Ilustracija Pascalovoga zakona . . . . . . . . . . . . . . . Princip rada barometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Princip rada piezometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . Princip rada manometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manometar sa dvije tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrˇzi tekućinu. . Ilustracija hidrostatskog paradoksa. . . . . . . . . . . . . Hidrostatska sila na dno zatvorene posude. . . . . . . . . Hidrostatska sila na ravnu boˇcnu stijenku. . . . . . . . . Komponente hidrostatske sile na ravnu boˇcnu stijenku. . Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu. . . . . . . . . . . Hidrostatska sila na stijenku cijevi. . . . . . . . . . . . . Sila na tijelo uronjeno u fluid. . . . . . . . . . . . . . . . Uzgon kod plutanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ravnoteˇza tijela koje pluta . . . . . . . . . . . . . . . . . Ravnoteˇza broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prevrtanje broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Translacija tekućine kad je ubrzanje horizontalno. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 23 23 24 25 26 27 28 29 29 30 31 32 34 35 37 38 38 39 40 40

vii

tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(desno). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii

POPIS SLIKA 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29

Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekućine. Translacija tekućine kad je ubrzanje vertikalno. . . . . . Translacija tekućine kad je ubrzanje koso. . . . . . . . . Rotacija tekućine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi. . Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekućine . . . . . . . . Oblik povrˇsine tekućine kod rotacije oko vertikalne osi. . Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi. Porast tlaka kod promjene smjera teˇcenja . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

41 42 42 43 44 45 46 47

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

Lagrangeov pristup . . . . . . . . . . Eulerov pristup . . . . . . . . . . . . Relativnost stacionarnosti 1 . . . . . Relativnost stacionarnosti 2 . . . . . Staza ˇcestice fluida . . . . . . . . . . Pojam strujnice . . . . . . . . . . . . Geometrijska konstrukcija strujnice . Strujna cijev . . . . . . . . . . . . . . Strujno vlakno . . . . . . . . . . . . Grafiˇcko prikazivanje teˇcenja . . . . . Profil brzine kod laminarnog teˇcenja Elementarni izvor . . . . . . . . . . . Elementarni ponor . . . . . . . . . . Slaganje osnovnih strujanja . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

49 50 51 52 52 53 53 54 55 56 57 58 59 59

5.1

Zakon neprekidnosti (izvod) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

7.1 7.2 7.3

Ravnoteˇza toka okomito na strujnicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bernoullijeva jednadˇzba za idealne tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktiˇcni oblik Beornoullijeve j. za idealne tekuˇcine . . . . . . . . . . . . . .

72 76 76

8.1

Praktiˇcni oblik Bernoullijeve jednadˇzbe za realne tekućine . . . . . . . . . .

78

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16

Reynoldsov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynoldsov pokus - male brzine . . . . . . . . . . . . . . . . Reynoldsov pokus - srednje brzine . . . . . . . . . . . . . . . Reynoldsov pokus - srednje brzine 2 . . . . . . . . . . . . . . Reynoldsov pokus - velike brzine . . . . . . . . . . . . . . . . Reynoldsov pokus - velike brzine 2 . . . . . . . . . . . . . . Hidrauliˇcki radijus cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analiza viskoznih gubitaka u cijevi . . . . . . . . . . . . . . Viskozni gubici kod laminarnoga teˇcenja kroz cijev . . . . . Promjena koordinatnog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . Profil brzine kod laminarnoga teˇcenja kroz cilindriˇcnu cijev. Opći koeficijent laminarnog trenja . . . . . . . . . . . . . . . Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev. . . . Brzina vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Profil brzine vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komponente brzine vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . .

81 82 82 83 83 84 84 86 88 89 90 92 92 93 94 94

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

POPIS SLIKA

ix

9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 9.25 9.26 9.27 9.28 9.29 9.30 9.31 9.32 9.33 9.34 9.35 9.36 9.37 9.38 9.39

Brzna vrtloˇznog toka uz stijenku . Karmanov 1/7-ki profil brzine . . Hidrauliˇcki glatka stijenka . . . . Hidrauliˇcki hrapava stijenka . . . Moodyev dijagram . . . . . . . . Lokalni gubitak . . . . . . . . . . Ulazni gubitak . . . . . . . . . . . Ulazni gubitak 2 . . . . . . . . . Ulazni gubitak 3 . . . . . . . . . Dijafragma . . . . . . . . . . . . Sapnica . . . . . . . . . . . . . . Naglo suˇzenje . . . . . . . . . . . Konfuzor . . . . . . . . . . . . . . Naglo proˇsirenje . . . . . . . . . . Difuzor . . . . . . . . . . . . . . . Venturijeva cijev . . . . . . . . . Koljena . . . . . . . . . . . . . . Izlazni otvori . . . . . . . . . . . Izlazni otvori 2 . . . . . . . . . . Izlazni gubitak horizontalne cijevi Zbrajanje otpora . . . . . . . . . Kirchofov zakon . . . . . . . . . . Zbrajanje otpora 2 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 100 101 102 104 105 106 107 107 108 109 109 110 111 112 112 113 114 115 116 116 117 117

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Poˇcetak crtanja energetske i piezometarske linije . . . . . . Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije . . . . . Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije 2 . . . . Crtanje EL i PL kad se cjevovod izdiˇze iznad poˇcetne kote Crtanje EL i PL za vertikalnu cijev . . . . . . . . . . . . . Idealna pumpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realna pumpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pumpa u situaciji kad podiˇze (usisava) vodu iz spremnika.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

123 124 124 125 126 127 127 128

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

131 133 133 134 135 136 137 138 140 141 142

11.1 Istjecanje kroz mali otvor. . . . . . . . . 11.2 Kontrakcija mlaza kod istjecanja . . . . 11.3 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrˇsine 11.4 Istjecanje iz posude pod tlakom. . . . . . 11.5 Istjecanje kroz veliki otvor. . . . . . . . . 11.6 Istjecanje kad tekućina ne miruje . . . . 11.7 Nestacionarno istjecanje . . . . . . . . . 11.8 Geometrija mlaza tekućine. . . . . . . . 11.9 Horizontalni mlaz . . . . . . . . . . . . . 11.10Vertikalni mlaz prema dolje . . . . . . . 11.11Vertikalni mlaz prema gore . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

12.1 Bernoullijeva jednadˇzba za otvoreni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 12.2 Odredivanje hidrauliˇckog radijusa za otvoreni tok. . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3 Oblici slobodne povrˇsine kod nejednolikoga teˇcenja . . . . . . . . . . . . . . 148

x

POPIS SLIKA 12.4 Opći izgled grafikona specifiˇcne energije 12.5 Raˇcun specifiˇcne energije presjeka . . . 12.6 Oˇstrobridni preljev. . . . . . . . . . . . 12.7 Potopljeni oˇstrobridni preljev. . . . . . 12.8 Spuˇstanje razine tekućine na preljevu . 12.9 Preljev sa ˇsirokim pragom . . . . . . . 12.10Preljev praktiˇcnoga profila . . . . . . . 12.11Slapiˇste i vodni skok . . . . . . . . . .

presjeka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

149 150 151 151 152 153 154 154

Popis tabela 1

Simboli fizikalnih veliˇcina i konstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11

Opći koeficijent laminarnog trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hrapavost stijenke razliˇcitih vrsta cijevi (nove cijevi). . . . . . . . . Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima. . . . . . . . . . . . . Koeficijenti ulaznoga otpora za razliˇcite oblike ulaznih otvora. . . . Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu. . . . . . . . . . . . . . . Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu. Koeficijenti gubitaka za naglo suˇzenje. . . . . . . . . . . . . . . . . Koeficijenti gubitaka za konfuzor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev. . . . . . . . . . . . . . . . Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila. . . . . . Tipiˇcni koeficijenti otpora za razne vrste filtera. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

12.1 Tipiˇcne vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale.

xi

. . . . . . . . . . .

91 102 103 107 108 108 110 111 113 113 114 146

xii

POPIS TABELA

Popis simbola

Tablica 1: Simboli fizikalnih veliˇcina i konstanti koriˇsteni u ovoj knjizi. Treba obratiti paˇznju na to da, ovisno o kontekstu, isti simboli mogu imati razliˇcito znaˇcenje. simbol

dimenzija opis

~a, a

ms−2

ubrzanje

A

m2

povrˇsina

b

.

m ˇsirina

c

1 koeficijent kontrakcije mlaza

C

Newton-ov koeficijent otpora

C

m1/2 s−1

Cp

Jmol−1 K−1

molarni toplinski kapacitet plina (p=konst.)

CV

Jmol−1 K−1

molarni toplinski kapacitet plina (V=konst.)

Cxy

kgm2

CM d e e E

Chezy-ev koeficijent

centrifugalni moment inercije centar mase (oznaka)

m promjer 1 prirodni broj, 2,718281828 m apsolutna hrapavosti stijenke cijevi Pa volumni modul elastiˇcnosti

Ek

J kinetiˇcka energija

FR

Freude-ov broj

F~ , F ~g , g ~ G G, h H H

N sila ms−2

9,80665 ms−2 , ubrzanje sile teˇze

N teˇzina m dubina ( u tekućini) m tlaˇcna skala visine (atmosferska fizika) Hvatiˇste sile (oznaka) xiii

simbol Hs i, I

dimenzija opis

.

m specifiˇcna energija presjeka 1 nagib (pad) dna korita

Ie

1 pad energetske linije (energetski gradijent)

I◦

1 pad vodnog lica

Ip

1 piezometarski gradijent

k

s−1 m1/3

k◦

m3 s−1

l, L m m ~,M M M◦

O

modul protoka

m duljina, udaljenost kg masa 1 koeficijent prelijevanja Nm moment sile kg mol−1

~n n

Stricker-ov koeficijent glatkosti

molarna masa vektor normale plohe

sm−1/3

Manning-ov koeficijent hrapavosti

m opseg

p

Nm−2

tlak

pa , pat

Nm−2

atmosferski tlak, 101 325 Pa

Q

m3 s−1

volumni protok

QM

kgs−1

maseni protok

r, R

m polumjer

~r, r

m radijus-vektor, poloˇzaj

R

Jmol−1 K−1

univerzalna plinska konstanta

Re

1 Reynolds-ov broj

Rh

m hidrauliˇcki radijus

xiv

simbol

dimenzija opis

T

K, ◦ C temperatura

t

s vrijeme

T

.

hvatiˇste tlaˇcne sile (oznaka)

~v , v

ms−1

brzina

vo

ms−1

brzina zvuka

vtg

ms−1

brzina tangencijalnog naprezanja

vtorr

ms−1

Torricelli-jeva brzina (istjecanja)

V

m3

volumen

x, y, z

m Kartezijeve koordinate

α

1 Corioliss-ov koeficijent

β

1 koeficijent brzine

γ

1 Cp /CV

ζ, ξ

1 bezdimenzionalni koeficijent lokalnog gubitka

η

1 efikasnost

θ

rad kut moˇcenja

λ

1 bezdimenzionalni koeficijent trenja cijevi

λg

1 bezdimenzionalni koeficijent trenja hidrauliˇcki glatkih cijevi

λh

1 bezdimenzionalni koeficijent trenja hidrauliˇcki hrapavih cijevi

λlam

1 bezdimenzionalni koeficijent trenja cijevi za laminarno teˇcenje

µ

Nm−2 s, Pa·s apsolutni (dinamiˇcki) koef. viskoznosti

µ

1 koeficijent istjecanja (ϕ · c)

ν π

m2 s−1

kinematiˇcki koef. viskoznosti

1 pi, 3,141592654

ρ

kgm−3

σ

Jm−2 , Nm−1

σ

Nm−2

naprezanje u materijalu

τ

Nm−2

smiˇcno naprezanje

gustoća tvari povrˇsinska napetost

ϕ

1 koeficijent oblika presjeka (laminarno teˇcenje)

ϕ

1 koeficijent smanjenja brzine (istjecanje)

ω

rads−1

kutna brzina

xv

Predgovor Ova knjiga pokriva osnove mehanike fluida u opsegu u kojem se one iznose u istoimenom kolegiju na Rudarsko-geoloˇsko-naftnom fakultetu Sveuˇciliˇsta u Zagrebu a pokrivaju i gradivo kolegija Hidraulika koji se predaje na Geotehniˇckom fakultetu istog sveuˇciliˇsta. Knjiga je strogo usmjerena na spomenute kolegije i potrebe tehniˇckih struka koje taj kolegij koriste pa je teˇziˇste stavljeno na preglednost i razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih jednadˇzbi mehanike fluida. Na isti je naˇcin pristupljeno empirijskim jednadˇzbama kojima ova disciplina obiluje. Smatram da je tako dobiven tekst koji će studentima biti pregledniji i lakˇsi za upotrebu. Nije mi bio cilj napisati sveobuhvatni pregled cijele discipline pa sve one kojima je on potreban upućujem na dodatnu literaturu spomenutu na kraju knjige, a posebno na novu knjigu prof. Jovića. ˇ Veliku zahvalnost dugujem prof. Ranku Zugaju, na njegovom strpljenju, predanosti nastavi i dugim diskusijama koje smo vodili o mnogim dijelovima ove knjige.

1

2

POPIS TABELA

Glava 1 Uvod Mehanika fluida bavi se problemima fizike plinova i tekućina. Naziv dolazi od engleske rijeˇci ”fluid” koja u originalnom znaˇcenju obuhvaća tekućine i plinove, a u fizici se odnosi na ”sve ˇsto teˇce” (u engl. literaturi za tekućinu se koristi rijeˇc ”liquid” a za plin ”gas”). Fluid dakle moˇze biti i tekućina i plin, ali i njihova smjesa, i zrnata tvar kad se pri ”teˇcenju” ponaˇsa na isti naˇcin kao i ostali fluidi i sl. Krute tvari su sve tvari koje imaju vlastiti, praktiˇcki nepromjenjivi oblik, bez obzira na ˇ njihovu okolinu. Cestice krute tvari omedene su pravilnim ili nepravilnim plohama. Pod djelovanjem vanjskih sila oblik krutih tijela vrlo malo se mijenja (te se promjene vrlo ˇcesto moˇze potpuno zanemariti). Pod pojmom tekućina podrazumijevaju se tvari koje zauzimaju definirani volumen i koje mogu imati slobodne povrˇsine. Za razliku od krutih tijela tekućine reagiraju na svaku, pa i najmanju vansku silu i vrlo lako mijenjaju svoj oblik. Glavna sila koja na tekućine djeluje na Zemlji je sila teˇza, pod ˇcijim djelovanjem tekućina uvijek zauzima najniˇzi dio posude (to moˇze biti i morsko dno!) u kojoj se nalazi. Tekućine su praktiˇcki nestlaˇcive. Nasuprot tome, plinovi su tvari koje se ˇsire sve dok ne zauzmu sav raspoloˇzivi volumen. Plinovi su za razliku od tekućina lako stlaˇcljivi i ne mogu imati slobodne povrˇsine. Pojam zrnate tvari relativno je nov i obuhvaća mnoˇstvo ˇcestica krute tvari razliˇcitih veliˇcina (od sub-mikronskih dimenzija pa do dimenzija od par metara) u situacijama u kojima se te ˇcestice zajedno gibaju sliˇcno tekućini. Pojam smjesa opisuje sve mjeˇsavine dviju ili viˇse gore opisanih tvari. U većini se sluˇcajeva fluid giba kroz prostor. To se gibanje naziva teˇcenje ili strujanje (fluida). Općenito se dijeli na dvije osnovne grupe: • protjecanje je strujanje fluida izmedu krutih stijenki okolne tvari (cijevi, kanali i sl.) ili u slobodnom prostoru (vjetar, vodeni mlaz i sl.). Kod protjecanja fluid se fiziˇcki pomiće kroz prostor. • optjecanje je situacija u kojoj fluid miruje a kroz njega se giba neko tijelo koje je potpuno ili djelomiˇcno uronjeno u fluid (plovidba broda, let aviona, stup mosta i sl.). • kombinacija protjecanja i optjecanja je najsloˇzenija situacija u kojoj se giba i fluid i objekti u njemu (strujanje fluida kroz pokretne dijelove strojeva, primjerice vjetrenjaˇca ili turbina). 3

4

GLAVA 1: UVOD

1.1

Osnovna svojstva fluida

1.1.1

Gusto´ ca

Slika 1.1: Definicija gustoće homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno). Gusto´ ca tvari definira se kao masa tvari koja zauzima jediniˇcni volumen. Ako se pretpostavlja da je fluid nestlaˇciv, gustoću se nalazi jednostavnim dijeljenjem ukupne mase fluida s ukupnim volumenom koju fluid zauzima (slika 1.1, lijevo). U sluˇcaju kada je fluid nehomogen, gustoća je funkcija poloˇzaja u prostoru (unutar volumena koji se razmatra) i dobiva se kao graniˇcna vrijednost omjera mase sadrˇzane u nekom malenom dijelu volumena ∆V i toga volumena, kada se matematiˇcki pusti da se ∆V beskonaˇcno smanjuje (slika 1.1, desno). Općenito za tekućine moˇzemo uzeti da su nestlaˇcive, pa im je gustoća konstantna u cijelom prostoru (male promjene zbog promjena temperature se obiˇcno takoder zanemaruju), dok za plinove moramo uzeti u obzir mogućnost da im se gustoća u vremenu i prostoru mijenja. U najjednostavnijem sluˇcaju, gustoću plina moˇze se opisati pomoću jednadˇzbe idealnog plina: p Mo (1.1) RT gdje je p tlak, T apsolutna temperatura, R univerzalna plinska konstanta i Mo molarna masa plina. Osnovna SI jedinica za gustoću je kg/m3 , no u praksi se koristi i stara jedinica g/cm3 , a u zemljama engleskoga govornog podruˇcja joˇs uvijek se ˇcesto koriste razliˇcite stare anglosaksonske jedinice. Kao simbol za gustoću u raˇcunima i formulama se gotovo standardno koristi grˇcko slovo ρ. U tehniˇckim znanostima se je do pojave SI sustava mjera umjesto gustoće koristilo specifiˇ cnu teˇ zinu tvari, koja je definirana kao teˇzina jediniˇcnog volumena te tvari. U posljednje vrijeme njena upotreba je napuˇstena jer njen toˇcan iznos ovisi o lokalnom ubrzanju sile teˇze. Odnos gustoće i specifiˇcne teˇzine dan je kao ρ=

γ=

G mg = = ρg V V

(1.2)

1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA

5

pri ˇcemu je za specifiˇcnu teˇzinu koriˇsten ustaljeni simbol γ.

1.1.2

Viskoznost y v=vo

v(y) d

v=0

Slika 1.2: Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile. Kod gibanja se izmedu molekula fluida javljaju sile otpora koje su po svojoj prirodi sliˇcne sili trenja. No, za razliku od sile trenja koja se javlja na dodirnoj plohi dvaju tijela koja se medusobno gibaju, kod fluida se sila otpora javlja i u njegovoj unutraˇsnjosti, pa se zato neki puta naziva i unutarnje trenje. Ono je toliko vaˇzno za gibanje fluida da je dobilo i svoje posebno ime: viskoznost. Osnovna svojstva viskoznosti mogu se ustanoviti jednostavnim pokusom (slika 1.2) kod kojega se izmedu dvije ploˇce ulije tanki sloj tekućine. U pokusu se mjeri sila potrebna da se gornja ploˇca pomiˇce konstantnom brzinom (donja ploˇca miruje). Za gibanje gornje ploˇce stalnom brzinom vo potrebna je sila F . Rezultati mnoˇstva pokusa napravljenih na ovaj naˇcin pokazuju da je sila F proporcionalna povrˇsini ploˇce A i gradijentu brzine, dv/dy: dv (1.3) dy gdje je µ konstanta proporcionalnosti koju se naziva apsolutni ili dinamiˇ cki koeficijent viskoznosti. Dimenzija dinamiˇckog koeficijenta viskoznosti je F = µA

N m2 ms−1 m

=

Ns = Pa s m2

(1.4)

Nadalje, kao i u mehanici krutih tijela definirano je smiˇcno naprezanje, τ , kao smiˇcna sila po jedinici povrˇsine ploˇce: τ= pa se dolazi do relacije

F A

(1.5)

6

GLAVA 1: UVOD

dv (1.6) dy Izmjeri li se sila potrebna za vuˇcenje ploˇce konstantnom brzinom vo , moˇze se odrediti dinamiˇcki koeficijent viskoznosti: τ =µ

µ=

τ

(1.7)

dv dy

Problem ovdje predstavlja odredivanje gradijenta brzine. No, ako je sloj tekućine tanak, a brzina gibanja nije prevelika, moˇzemo si pomoći pretpostavkom da je raspodjela brzine unutar tekućine jednolika. Drugim rijeˇcima, graf ovisnosti brzine v(y) o udaljenosti od donje ploˇce y je pravac, pa gradijent brzine postaje: vo dv = dy d a izraz za koeficijent viskoznosti se pojednostavi na: µ=

F A v◦ d

(1.8)

(1.9)

Sve veliˇcine koje ulaze u ovu formulu su lako mjerljive pa je ovo jedan od naˇcina na koji se pokusom moˇze odrediti koeficijent viskoznosti neke tekućine. U raˇcunima se, po potrebi, koristi i kinematiˇ cki koeficijent viskoznosti ν: µ [m2 s−1 ] (1.10) ρ koji je ime dobio po tome ˇsto u njegovu dimenziju ulaze samo osnovne kinematiˇcke veliˇcine (udaljenost i vrijeme). Viskoznost fluida ovisi o temperaturi (kod plinova i o tlaku!) i redovito se s porastom temperature smanjuje. ν=

1.1.3

Stlaˇ civost fluida

Za opisivanje stlaˇcivosti fluida koristi se volumni modul stlaˇ civosti, koji prestavlja omjer promjene tlaka i time izazvane relativne promjene volumena fluida (promjena volumena izraˇzena po jedinici volumena): B=

dp −

dV V

(1.11)

Negativni predznak uzima u obzir ˇcinjenicu da se povećanjem tlaka volumen fluida smanjuje. Okrene li se ovu definiciju, promjena tlaka dp izaziva sljedeću promjenu volumena: dV dp =− (1.12) V B Ako su promjene tlaka malene, a volumni modul stlaˇcivosti velik, moˇze se rezultirajuća promjena volumena zanemariti. To je sluˇcaj kod tekućina. Za plinove je volumni modul stlaˇcivosti znatno manji i uz to ovisi o termodnamiˇckom procesu kojem je plin podvrgnut, pa se općenito ne moˇze zanemariti. Primjerice u izotermnom procesu je:


7

B=p

(1.13)

a u adijabatskom (γ je omjer toplinskih kapaciteta plina): Cp (1.14) CV volumni modul stlaˇcivosti tekućina obiˇcno se odreduje iz brzine ˇsirenja zvuka u tekućini: B = γp

γ=

B=

1.1.4

vo2 ρ

(1.15)

Tlak para teku´ cine pat T

pumpa

pp > 0

Slika 1.3: Dokazivanje tlaka pare tekućine. Stavi li se tekućinu u nepropusnu posudu i iz nje pumpom odstrani sav zrak, ustanovit će se da tlak u posudi nije nula, već da zauzima neku minimalnu vrijednost koja ovisi o temperaturi i vrsti tekućine u posudi. Prouˇcavanjem plina koji taj tlak stvara ustanovilo se da se radi o parama tekućine koja se u posudi nalazi, pa se zato ovaj tlak naziva tlak para. S porastom temperature tlak para naglo raste (slika 1.4). Kada tlak para postane jednak okolnom tlaku, tekućina poˇcinje vrijeti. Ovo objaˇsnjava odavno poznatu ˇcinjenicu da voda na visokim planinama (atmosferski tlak je znatno niˇzi nego u nizinima) vrije na temperaturi znatno niˇzoj od 100 o C.

8

GLAVA 1: UVOD

1600 Tlak (mBar)

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -20

0

20

40

60

80

100

o

Temperatura ( C)

Slika 1.4: Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi.

1.1.5

Povrˇ sinska napetost teku´ cine A

B

Slika 1.5: Objaˇsnjenje povrˇsinske napetosti tekućine. Molekulu A koja se nalazi na povrˇsini tekućine susjedne molekule tekućine vuku prema dolje. Sile na molekulu B, koja se nalazi unutar tekućine, se medusobno poniˇstavaju. Molekule se u tekućini medusobno privlaˇce slabim silama, koje su dovoljne da molekule tekućine drˇze na okupu, ali ne i dovoljne da bi dovele do prelaska u kruto stanje. Pogleda li se neka nasunce izabrana molekula u tekućini (slika 1.5), moˇze se zakljuˇciti da je rezultantna sila, kojom sve okolne molekule djeluju na nju, jednaka nuli. No, za molekulu koja se nalazi na povrˇsini tekućine, situacija je drugaˇcija. Kako iznad nje nema drugih molekula, koje bi ju privlaˇcile, ostaje samo djelovanje molekula oko i ispod nje, pa je rezultantna sila na nju usmjerena u unutraˇsnjost tekućine. Posljedica ove pojave je da tekućina uvijek zauzima oblik sa najmanjom mogućom povrˇsinom. Za tekućine u posudama, rezervoarima i sl. ta je povrˇsina (koja se naziva i slobodna povrˇ sina) ravna, a ako je tekućina slobodna u prostoru (npr. kapljica kiˇse u zraku), skuplja se u kuglu (uz zanemarivanje ostalih sila koje na nju


9

djeluju), jer kugla za dani volumen tekućine ima najmanju moguću povrˇsinu. Teˇznja tekućina da maksimalno smanje graniˇcnu povrˇsinu prema okolini naziva se povrˇsinska napetost. Za opisivanje povrˇsinske napetosti koristi se koeficijent povrˇsinske napetosti definiran kao omjer rada ∆W potrebnoga da bi se povrˇsina tekućine povećala za ∆A: σ=

∆W ∆A

[J/m2 ]

(1.16)

L

F=mg F

Slika 1.6: Vaga za mjerenje povrˇsinske napetosti tekućine. Povrˇsinska napetost najˇceˇsće se odreduje posebnom vagom (slika 1.6). Dizanjem ˇziˇcanoga okvira iz tekućine za malu veliˇcinu ∆x, povećava se povrˇsina tekućine unutar okvira za: ∆A = 2∆xL

(1.17)

Faktor ”2” u formuli 1.17 dolazi od toga ˇsto sloj tekućine u okviru ima dvije strane. Vagom se mjeri silu F potrebnu da okvir bude u ravnoteˇzi. Rad koji bi ta sila uˇcinila da se okvir pomakne za ∆x je: ∆W = F ∆x

(1.18)

pa se, iz poznate sile i dimenzija okvira, moˇze izraˇcunati povrˇsinsku napetost tekućine: F ∆x F ∆W = = [N/m] (1.19) ∆A 2L∆x 2L Iako na prvi pogled ovako dobivena dimenzija koeficijenta povrˇsinske napetosti moˇze zbuniti, sve je u najboljem redu jer je [N]=[J/m] ˇsto nas vodi na ispravnu dimenziju koeficijenta povrˇsinske napetosti [J/m2 ] σ=

1.1.6

Kapilarnost teku´ cine

Uroni li se u vodu tanku staklenu cjevˇcicu (promjera nekoliko milimetara ili manje), primijeti će se da u njoj voda uzdiˇze iznad okolne povrˇsine tekućine. Ova pojava, koja se naziva kapilarnost primjećuje se uvijek kad se tekućina nalazi u uskom prostoru, bez obzira na njegov oblik. Radi se o ravnoteˇzi sila adhezije i povrˇsinske napetosti (adhezija je naziv

10

GLAVA 1: UVOD

2r ϑ h h ϑ moči

ne moči

Slika 1.7: Ponaˇsanje tekućine u uskim cjevćicama (kapilarama). za medusobno privlaˇcenje molekula tekućine i molekula stijenke tvari od koje je naˇcinjena cjevˇcica u opisanom pokusu). Kapilarnost se moˇze i teoretski proraˇcunati, pa je tako za cjevˇcicu okrugloga presjeka visina dizanja tekućine u kapilari dana slijedećim izrazom: h=

2σ cos ϑ ρgr

(1.20)

Kut ϑ naziva se kut moćenja. On je svojstvo para tvari koje ˇcine kapilaru i tekućinu. Tako je za par tvari staklo-voda ϑ = 0o , a za par staklo-ˇziva ϑ = 140o . Ako je kut moˇcenja manji od 90o , tekućina u kapilari se diˇze. Kaˇze se da takva tekućina moˇci stijenku kapilare. Tako voda moˇci vrlo mnogo tvari iz naˇse okolice. Ako je kut moćenja veći od 90o , razina ˇ tekućine u kapilari se spuˇsta pa tekućina ne moˇci stijenku kapilare. Ziva je primjer tekućine koja ne moˇci većinu tvari. Ako je presjek kapilare kruˇzan, oblik slobodne plohe tekućine u njoj dio je kugline plohe. Kod drugih oblika presjeka kapilare mijenja se i oblik slobodne plohe i visina dizanja, ali funkcionalna ovisnost opisana jednadˇzbom 1.20 ostaje saˇcuvana, tako dugo dok se presjek kapilare po visini ne mijenja.

1.1.7

Anomalije vode

Molekula vode po mnogo ˇcemu je izuzetna i pokazuje kemijska i fizikalna svojstva koja su na prvi pogled u suprotnosti sa jednostavnim kemijskim i fizikalnim zakonitostima. Odstupanja svojstava vode od uobiˇcajenih pravila nazivaju se anomalije vode. Ovdje će se navesti neke najvaˇznije: • Atom kisika je izuzetno elektronegativan, pa se elektroni koji tvore kemijske veze izmedu njega i vodikovih atoma zadrˇzavaju u njegovoj blizini. Time molekula postaje polarna, tj. ima znaˇcajan elektriˇcki dipolni moment. • Molekule vode medusobno se povezuju natprosjeˇcno jakim vodikovim vezama koje bitno utjeˇcu na svojstva vode.


11

O

H

H

+

+

Slika 1.8: Shematski prikaz molekule vode. • Taliˇste i vreliˇste vode izuzetno je visoko, ˇsto je posljedica jakih vodikovih veza izmedu molekula vode. Jednostavni kemijski raˇcun koji te veze zanemaruje predvida vreliˇste na -80o C! • Voda je izuzetno dobro otapalo. U njoj se u većoj ili manjoj mjeri otapaju najrazliˇcitije tvari. • Toplinski kapacitet vode je izuzetno visok, ˇcak 4175 J/kgK. • Prilikom smrzavanja volumen vode se pove´ cava. Zato led pliva na vodi, rijeka i jezera zamrzavaju se odozgo prema dolje pa voda u dubini ostaje tekuća. To omogućava preˇzivljavanje vodenih organizama i kad je povrˇsina zamrznuta. • Gustoća vode najveća je na 4o C a daljnjim hladenjem voda se rasteˇze (slika 1.9).

Gustoća (kgm-3)

1020 1000 980 960 940 920 900 -20

0

20

4

40

60

80

Temperatura (oC)

Slika 1.9: Gustoća vode u ovisnosti o temperaturi.

100

12

GLAVA 1: UVOD

Glava 2 Fluid u gibanju 2.1

Model kontinuuma i ˇ cestice fluida

Prije nego ˇsto se krene sa prouˇcavanjem ponaˇsanja fluida u realnim uvjetima, podsjetit će se na najosnovnije idealizacije i pojednostavljenja koja se koriste da bi se lakˇse razumjelo kako se fluid ponaˇsa. To je u prvom redu model kontinuuma na kojem se zasniva mehanika kontinuuma. Pojam kontinuuma zasniva se na ideji da se tvar moˇze dijeliti na sve manje i dijelove, a da pritom svojstva tvari ostaju nepromijenjena. Mi danas znamo da je to netoˇcno jer se svaka tvar sastoji od atoma i molekula koje pretstavljaju najmanju moguću ˇcesticu te tvari. Pritom molekula (u rjedem sluˇcaju atom) pokazuje ista kemijska svojstva kao i veća koliˇcina te tvari. Naˇzalost, moderna fizika je pokusima pokazala, a teorijom i u dobrom dijelu objasnila, da to ne vrijedi za fizikalna svojstva te iste tvari. Naime, kad veliˇcina ˇcestice tvari postane manja od mikrometra poˇcinju se pokazivati efekti i pojave koje veće ˇcestice ne pokazuju. Ovo moderno podruˇcje naziva se razliˇcitim imenima (mezofizika, nanofizika i sl.) a bavi se svojstvima ˇcestica ˇcije veliˇcine se kreću od nekoliko molekula do otprilike jednoga mikrometra.

m

m

m

ˇ Slika 2.1: Cestica fluida je vrlo mala a njezin oblik ne mora biti stalan, ali masa te ˇcestice mora biti saˇcuvana (nepromjenjiva). ˇ se tiˇce mehanike fluida, dimenzije ˇcestica i pojava sa kojima se ona bavi su mnoSto gostruko veće od gore spomenutih, pa se efekti atomske strukture tvari mogu zanemariti. To omogućava da se fluid promatra kao kontinuum, ˇsto popriliˇcno pojednostavljuje matematiˇcki alat koji je potreban za opis njegova ponaˇsanja. Pritom se ipak ne smije zaboraviti da veliˇcine 13

14

GLAVA 2: FLUID U GIBANJU

objekata i duljine preko kojih dolazi do primjetne promjene fizikalnih varijabli kojima se opisuje odredeni problem moraju biti znatno veće od dimenzija molekula koje prouˇcavani fluid tvore, odnosno veće od mikrometra u općem sluˇcaju. U pojednostavljenju mehanike kontinuuma definira se ˇcesticu fluida kao vrlo malu ˇcesticu, ˇciji oblik ne mora biti stalan, ali se zahtijeva da masa takove ˇcestice bude konstantna (nepromjenjiva). dy dx ds

dy

dA

dV dz

dx

Slika 2.2: Definicija elementa puta (lijevo), povrˇsine (sredina) i volumena (desno). Isto tako se koristi infinitezimalno male duˇzine, povrˇsine ili volumene, koje nazivamo i elementima duˇzine (povrˇsine ili volumena), a definira ih se kao infinitezimalno malu duˇzinu, povrˇsinu ili volumen. Kod duˇzine se koristi oznaku ds jer vrlo ˇcesto probleme na dvodimenzionalnim ili trodimenzionalnim krivuljama promatramo kao jednodimenzionalni problem, a u tom sluˇcaju element duˇzine najˇceˇsće nije u smjeru x-osi. Za razliku od toga element povrˇsine obiˇcno se definira tako da mu stranice leˇze u smjeru koordinatnih osi, pa tu koristimo uobiˇcajene oznake dx i dy, a na isti se naˇcin onda definira i element volumena. Osim matematiˇcke jednostavnosti, prednost definiranja elemenata povrˇsine odn. volumena tako da su im stranice paralelne koordinatnim osima je da je onda povrˇsina (volumen) takvoga elementa jednostavno: dA = dx · dy

(2.1)

dV = dx · dy · dz = dA · dz

(2.2)

odnosno:

2.2

Sile koje djeluju na ˇ cesticu fluida u gibanju

Na slici 2.3 je prikazana elementarna ˇcestica fluida koju tok fluida nosi kroz prostor. Pritom je brzina gibanja ˇcestice opisana funkcijom ~v (x, y, z, t), a gibanje se odvija po putu ~s. U analizi njenoga gibanja polazi se od drugoga Newtonovog aksioma: d~v (2.3) F~ = m~a = m dt Aksiom 2.3 primijeni se na elementarnu ˇcesticu, a analiza se radi tako da masu te ˇcestice drˇzimo konstantnom. Ako je masa elementarne ˇcestice oznaˇcena sa dm, moˇze se pisati:

ˇ 2.3: EULEROVA JEDNADZBA

15

z

v

dy dz dx

s y

x

Slika 2.3: Elementarna ˇcestica fluida noˇsena tokom fluida kroz prostor.

d~v (2.4) dt gdje je d~v /dt ukupno ubrzanje ˇcestice. Ono se u mehanici fluida naziva i materijalno ili supstancijalno ubrzanje. Kako se kod ukupnoga ubrzanja radi o potpunom diferencijalu, moˇze ga se razdvojiti na prostorni i vremenski dio: dF~ = dm

∂~v ∂~v ∂~r d~v = + (2.5) dt ∂t ∂~r ∂t Prvi ˇclan desne strane jednadˇzbe 2.5 naziva se lokalno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje ˇcestica fluida dobija relativno prema okolnim ˇcesticama. Postoji li ovaj ˇclan, radi se o nestacionarnom teˇcenju. Drugi se ˇclan naziva konvektivno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje ˇcestica dobija zbog strujanja fluida kao cjeline.

2.3

Eulerova jednadˇ zba

Gibanje fluida posljedica je raznih sila koje na fluid djeluju. Te sile su najˇceˇsće: • sile tlaka. Tlak u fluidu nastaje usljed njegove vlastite teˇzine ili vanjskih sila, a karakteristiˇcno za njega je da djeluje uvijek okomito na plohu na kojoj ga se promatra. • masene sile. Masene sile su one sile koje su proporcionalne masi na koju djeluju. U masene sile se ubrajaju sila teˇza odn. gravitacija i inercijske sile (centrifugalna sila, Coriolisova sila i sl.). • viskozne sile ili sile unutarnjega trenja u fluidu. • elastiˇ cne sile koje dolaze od kompresibilnosti fluida i uglavnom su vaˇzne samo kod kompresibilnih fluida (plinovi).

16


Ove sile djeluju na cijeli fluid, no da bismo mogli donijeti barem najosnovnije zakljuˇcke o rezultatima tog djelovanja moramo se za poˇcetak ograniˇciti na malenu ˇcesticu fluida. Neka ona ima oblik kvadra stranica dx, dy i dz, koje ćemo radi jednostavnosti smjestiti u smjerove koordinatnih osi (slika 2.4). Masa razmatrane ˇcestice fluida je: dm = ρdxdydz

(2.6)

i nju će se u daljnjem razmatranju drˇzati konstantnom. Na nju djeluju tlaˇcne sile (uvijek okomito na odgovarajuće plohe kvadra) i sile mase, sa hvatiˇstem u srediˇstu kvadra. Masene sile opisuje se ubrzanjem koje one proizvode, pa je: ~am =

F~ m

(2.7)

gdje je F~ ukupna sila koja djeluje na kvadar. Kako je masena sila po definiciji proporcionalna masi, u gornjoj definiciji ostaje samo ubrzanje koja ona proizvodi, bez potrebe da uopće bude poznata masa kvadra. Naprimjer, za silu teˇzu je: F~ = −mg~k

(2.8)

pa je za nju: ~am =

−mg~k = −g~k m

(2.9)

p2 z dy dx

dz

2

1 Fx

p1

y F

x

Slika 2.4: Sile koje u x-smjeru djeluju na elementarni volumen fluida. Pogledajmo sada ravnoteˇzu sila za naˇsu ˇcesticu fluida. Sile koje na nju djeluju pritom se rastavlja na komponente pa gleda ravnoteˇzu za svaku komponentu posebno. Za x smjer tako nalazimo (slika 2.4):


17

max = p2 dydz + Fx − p1 dydz

(2.10)

no, masa razmatrane ˇcestice dana je jedn. 2.6, a masena sila u jedn. 2.7. Uz to, tlak treba razviti u Taylorov red i zadrˇzati samo prvi ˇclan: ∂p dx ∂x Uvrˇstavanjem u jedn. 2.10 i sredivanjem dobije se: p2 = p1 +

(2.11)

∂p dxdydz − ρdxdydzax = 0 (2.12) ∂x gdje je amx ubrzanje koje izaziva masena sila, a ax ukupno ubrzanje ˇcestice fluida. Daljnjim kraˇcenjem i preslagivanjem uz ˇcinjenicu da je: amx ρdxdydz −

dvx dt dobije se na kraju x-komponenta Eulerove jednadˇzbe: ax =

dvx 1 ∂p = amx − ρ ∂x dt a na isti naˇcin dobije se i ostale dvije komponente (y,z): dvy 1 ∂p = amy − ρ ∂y dt 1 ∂p dvz = amz − ρ ∂z dt Konaˇcno, ove tri jednadˇzbe moˇze se objediniti u vektorskom zapisu kao:

(2.13)

(2.14)

(2.15) (2.16)

~v 1 ~ grad(p) = ~am − ρ dt

(2.17)

1~ ~v ∇(p) = ~am − ρ dt

(2.18)

ili

2.3.1

Eulerova jednadˇ zba u kvazi-jednodimenzionalnom sluˇ caju

ˇ Cestica fluida na svom putu kroz prostor opisuje putanju koja se moˇze prikazati kontinuiranom krivuljom. Znade li se kako ta krivulja izgleda, moˇze se poloˇzaj ˇcestice fluida na njoj opisati samo s jednom varijablom, koja pretstavlja put prevaljen po toj krivulji kao fumkciju vremena. Zato se ovakav sluˇcaj naziva kvazi-jednodimenzionalnim. U jednoj dimenziji Eulerova jednadˇzba postaje dv 1 dp = am − (2.19) ρ ds dt U kvazi-jednodimenzionalnom sluˇcaju mora se biti oprezan jer ubrzanje ne mora biti u smjeru putanje ˇcestice. Prema tome, u ovom sluˇcaju am je komponenta ubrzanja masene sile u smjeru putanje ˇcestice fluida.

18


s

z as ao

ds a

x

ˇ Slika 2.5: Cestica fluida ”zamrznuta” u jednom vremenskom trenutku. Krivulja ~s pretstavlja put te ˇcestice u prostoru. Radi jednostavnosti je prikazan dvodimenzionalan sluˇcaj gibanja ˇcestice.

2.3.2

Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadˇ zba za fluid u polju sile teˇ ze

U sluˇcaju sile teˇze, ubrzanje je konstantno (g=9,81 ms−1 ) i usmjereno vertikalno prema dolje. Ako je α kut koji tangenta na krivulju, po kojoj se ˇcestica giba, zatvara s vertikalom, komponenta ubrzanja u smjeru krivulje je g cos α. Pritom treba paziti da li se ˇcestica ubrzava (komponenta je u smjeru gibanja ˇcestice) ili se usporava (komponenta ubrzanja je suprotna smjeru gibanja ˇcestice). U situaciji sa slike 2.6, sila teˇza usporava ˇcesticu fluida, pa je: am = −g cos α

(2.20)

dv 1 dp = −g cos α − ρ ds dt

(2.21)

i Eulerova jednadˇzba postaje:

Diferencijal brzine moˇze se rastaviti na lokalni i konvektivni dio: d~v ∂v ∂v ∂s = + dt ∂t ∂s ∂t ˇsto, uz uvaˇzavanje ˇcinjenice da je ∂s/∂t = v, daje: 1 dp ∂v ∂v = −g cos α − +v ρ ds ∂t ∂s

(2.22)

!

(2.23)

Primijeti li se sada joˇs da je: cos α =

dz ds

(2.24)


19

s

z

ds gcosα

α g

x

Slika 2.6: Gibanje ˇcestice fluida po krivulji ~s uz djelovanje ubrzanja sile teˇze, g. Po dogovoru smjer sile teˇze definiran je kao smjer -z osi pa se zato na ovom dvodimenzionalnom prikazu koriste osi z i x. pa se, uz prebacivanje svih ˇclanova na lijevu stranu i mnoˇzenje sa ds dolazi do kvazijednodimenzionalne Eulerove jednadˇzbe za fluid u polju sile teˇze: ∂v 1 dp + gdz + ds + vdv = 0 ρ ∂t

(2.25)

Integracijom se moˇze dobiti i integralni oblik jednadˇzbe 2.25: Z v 2 Z dp ∂v + + gz + ds = konst. 2 ρ ∂t

(2.26)

20


Glava 3 Statika fluida Statika je u fizici disciplina koja se bavi prouˇcavanjem tijela u stanju mirovanja. To znaˇci da brzine i ubrzanja ne postoje, ˇsto je matematiˇcki formulirano kao: ~v = 0

~a = 0

(3.1)

Uvrsti li se ovaj uvjet u Eulerovu jednadˇzbu 2.18, dobije se Eulerova jednadˇzba za fluid u mirovanju: ~ ∇(p) = ρ~am

(3.2)

∂p = ρamx ∂x

(3.3)

∂p = ρamy ∂y

(3.4)

∂p = ρamz ∂z

(3.5)

Ili pisano po komponentama:

3.1

Statiˇ cka Eulerova jednadˇ zba za polje sile teˇ ze

U realnim situacijama najˇceˇsće je jedina masena sila koja djeluje na fluid, sila teˇza. Dogovorno je u takovim problemima Kartezijev koordinatni sustav postavljen tako da je xy ravnina horizontalna a +z os pokazuje prema gore (vertikalno), suprotno smjeru djelovanja sile teˇze. To znaˇci da je: ~am = −g~k

(3.6)

odnosno: amx = amy = 0

amz = −g

(3.7)

pa je uvrˇstavanjem u skalarni oblik Eulerove jednadˇzbe za fluid u mirovanju: ∂p ∂p = =0 ∂x ∂y 21

(3.8)

22

GLAVA 3: STATIKA FLUIDA i:

∂p = −ρg (3.9) ∂z To znaˇci da je tlak u fluidu koji miruje konstantan na vodoravnoj (xy) ravnini. Isto tako, kako se tlak mijenja samo u z smjeru (jednadˇzba 3.9!) parcijalna derivacija po z postaje jednaka punoj derivaciji pa se jednadˇzbu 3.9 moˇze prepisati kao: dp = −ρg (3.10) dz Nakon mnoˇzenja sa dz i formalne integracije dobije se jednadˇzba statiˇcke ravnoteˇze za fluid: p=−

Z

ρgdz

(3.11)

Ova jednadˇzba je rjeˇsiva ako je poznato kako gustoća ovisi o z. Za sluˇcaj tekućine (uz pretpostavku potpune nestlaˇcivosti) ρ je konstantan, pa se dobije poznata jednadˇzba hidrostatiˇcke ravnoteˇze za tekućinu: p = −ρgz

(3.12)

Konstanta integracije je odabrana tako da z=0 odgovara slobodnoj povrˇsini tekućine (slika 3.1). +z x

0

g

-z

Slika 3.1: Kartezijev koordinatni sustav sa poloˇzajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teˇze je naznaˇcen vektorom ~g . Da se izbjegne negativan predznak (koji dolazi od toga da je ubrzanje sile teˇze usmjereno u -z smjeru), u praksi se ponekad koristi dubina h, koja se mjeri od najviˇse toˇcke koja nas u nekom problemu zanima (obiˇcno povrˇsina tekućine) prema dolje (h = −z) pa jednadˇzba hidrostatske ravnoteˇze za tekućinu postaje

ˇ ˇ ˇ 3.1: STATICKA EULEROVA JEDNADZBA ZA POLJE SILE TEZE

23

x

-h 0

0

g

+h

Slika 3.2: Nestandardni Kartezijev koordinatni sustav koji umjesto visine z koristi dubinu h, s poloˇzajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teˇze je naznaˇcen vektorom ~g .

p = ρgh

(3.13)

Horizontalna (xy) ravnina u kojoj leˇzi ishodiˇste tako postavljenoga koordinatnog sustava naziva se referentna ravnina i na skicama se oznaˇcava sa 0–0 (slika 3.2), i najˇceˇsće se podudara sa slobodnom povrˇsinom tekućine. z

g

0

0 x

Slika 3.3: Najˇceˇsće koriˇsten Kartezijev koordinatni sustav koji referentnu ravninu postavlja u najniˇzu toˇcku problema. Smjer ubrzanja sile teˇze je naznaˇcen vektorom ~g . Zbog praktiˇcnosti u raˇcunanju ovaj se koordinatni sustav najˇceˇsće koristi. U praksi se medutim uglavnom koristi bolji naˇcin izbjegavanja negativnoga predznaka, a to je, da se referentna ravnina postavi u ili ispod najniˇze toˇcke analiziranoga sistema. Kod manjih proraˇcuna referetna ravnina stavlja se u najniˇzu toˇcku problema (slika 3.3), a kod većih, pogotovo ako su u cjelo razmatranje ukljuˇcene i druge struke, kao z koordinata koristi

24

GLAVA 3: STATIKA FLUIDA

se nadmorska visina. U tom sluˇcaju z koordinata poprima samo pozitivne vrijednosti (iako se kod koriˇstenja nadmorske visine mogu pojaviti negativne vrijednosti, primjerice ako se radi o depresijama, buˇsotinama ili objektima ispod razine morske povrˇsine.

3.2

Pascalov zakon

Zamislimo si da imamo neku tekućinu u stanju mirovanja (slika 3.4). U njoj se proizvoljno odaberu dvije toˇcke, T1 i T2 . Ukupni hidrostatski tlakovi u njima su: p1 = pa + ρgh1

i

p2 = pa + ρgh2

(3.14)

Njihova razlika je: ∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1 )

(3.15)

pa 0

0 h1 g

h2 T1 T2

x

h

Slika 3.4: Ilustracija Pascalovoga zakona. Dode li do bilo kakve promjene tlaka u proizvoljnoj toˇcci T1 , mora se i u svakoj drugoj proizvoljnoj toˇcci T2 tlak promijeniti za isti iznos da bi ravnoteˇza ostala saˇcuvana. U protivnom bi doˇslo do pomicanja (teˇcenja) tekućine, ˇsto se kosi sa pretpostavkom da je ona u stanju mirovanja. Ako se sad, iz bilo kojega razloga, tlak u toˇcki T1 promijeni za neki iznos ∆pT 1 , a tlak u toˇcki T2 za ∆pT 2 , a ˇzelimo da tekućina ostane u stanju mirovanja, razlika tlakova ∆p se ne smije promijeniti (u protivnom Eulerova jednadˇzba hidrostatike viˇse nije zadovoljena)!. Neka su novi tlakovi: p1 = pv + ρgh1 + ∆pT 1

i

p2 = pv + ρgh2 + ∆pT 2

(3.16)

Njihova je razlika sad: ∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1 ) + (∆pT 2 − ∆pT 1 )

(3.17)

3.3: MJERENJE TLAKA

25

Ako se ta razlika ne smije promijeniti, mora biti: (∆pT 2 − ∆pT 1 ) = 0

odnosno

∆pT 2 = ∆pT 1

(3.18)

Drugim rijeˇcima, svaka promjena tlaka u nekoj toˇcki tekućine se u istom iznosu prenosi kroz cijeli volumen te tekućine. Ova ˇcinjenica se naziva Pascal-ov zakon i ima vrlo veliku primjenu u svim vrstama hidrauliˇckih strojeva.

3.3

Mjerenje tlaka

h pa

pa

Slika 3.5: Princip rada barometra. Najjednostavniji uredaj za mjerenja atmosferskog tlaka je barometar . On se sastoji od staklene cijevi koja je s gornje strane zatvorena. Cijev se potpuno napuni tekućinom i privremeno zatvori. Nakon toga se okrene, uroni u posudu koja je napunjena istom tekućinom i ˇcep se ukloni. Kod toga se tekućina u cijevi spusti, a iznad nje ostaje prazan prostor (vakuum). Nakon uspostavljanja ravnoteˇze stupac tekućine u cijevi je u ravnoteˇzi sa atmosferskim tlakom pa . Kako je tlak u praznom prostoru u cijevi iznad tekućine 0 (uz zanemarivanje tlaka para tekućine!), jednadˇzba ravnoteˇze glasi: pa = ρgh

(3.19)

Kako su ubrzanje sile teˇze i gustoća tekućine poznati, mjerenjem visine stupca tekućine u cijevi moˇze se izravno odrediti atmosferski tlak pa . Kao tekućina se najˇceˇsće koristi ˇziva jer je zbog njezine visoke gustoće stupac tekućine razumne visine od oko 760 mm. Uz to je tlak para ˇzive na temperaturama koje se pojavljuju u prirodi zanemariv. Postoje i primjeri koriˇstenja drugih tekućina, najˇceˇsće vode, no takovi barometri su nezgrapni zbog velike visine (oko 10 m) i potrebe za korekcijama zbog tlaka para tekućine koje ovise o vanjskoj temperaturi.

26


Ovaj je instrument davne 1643. godine predloˇzio talijanski znanstvenik Evangelista Torricelli, pa se on po njemu ˇcesto puta naziva i Torricellijev barometar, a do nedavno je u upotrebi bila i jedinica za tlak koja se nazivala 1 Torr. Ona je bila jednaka tlaku kojeg stvara stupac ˇzive visine 760 mm. Danas se umjesto ove jedinice koristi jedinica Bar, pri ˇcemu vrijede ove relacije: 1 Bar = 105 Pa 1 mBar = 100 Pa U meteorologiji se koristi i tzv. standardna atmosfera srednji atmosferski tlak na morskoj povrˇsini uz temperaturu od 0 ◦ C. Standardna atmosfera jednaka je tlaku od 101 325 Pa. Atmosferski tlak mijenja se iz trenutka u trenutak i ovisi o mnogim faktorima: nadmorskoj visini, temperaturi, vlaˇznosti, meteoroloˇskim uvjetima i dr. Najizraˇzenije je opadanje tlaka s nadmorskom visinom. U najjednostavnijem modelu (izotermna atmosfera) atmosferski tlak eksponencijalno opada s nadmorskom visinom: z

p(z) = p(0)e− H

(3.20)

Konstanta H naziva se tlaˇcna skala visine i iznosi 7,4 km. Ako je nadmorska visina mala (z H) jednadˇzba (3.20) se moˇze pojednostaviti: z ) (3.21) H Odnosno, atmosferski tlak se smanjuje za 1 mBar svakih 7,4 metra visine. Na osnovi ovoga zakona nekad su se odredivale visine planinskih vrhunaca, a i danas ga koriste amaterski visinomjeri koji rade na principu mjerenja tlaka. p(z) = p(0)(1 −

pa

pa

h

h

p

Slika 3.6: Princip rada piezometra. Kod piezometra je nuˇzno da je cijev piezometra okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri, te da cijev piezometra NE ulazi u tu cijev. Piezometarski tlak uvijek se mjeri od osi cijevi. Za mjerenja malih tlakova koristi se piezometar. Radi se o cijevi promjera većega od 1 cm (da se izbjegnu problemi s kapilarnim dizanjem razine tekućine!) okomito montiranoj na cijev ili rezervoar u kojem se mjeri tlak. Okomitost piezometra posebno je bitna ako se tekućina u cijevi giba jer kod koso postavljenoga piezometra dolazi do krivih oˇcitanja

3.3: MJERENJE TLAKA

27

zbog doprinosa dinamiˇckoga tlaka. Tekućina iz cijevi ujedno sluˇzi i kao mjerna tekućina. Piezometarska cijev je ˇcesto puta prozirna radi lakˇsega oˇcitanja visine stupca tekućine, koji se uvijek mjeri prema osi (sredini) cijevi. Kako je gornji kraj piezometarske cijevi otvoren, piezometar mjeri relativni tlak tekućine u cijevi prema atmosferskom tlaku. Znade li se visina stupca tekućine z, piezometarski tlak je dan izrazom: p = ρgh

(3.22)

Ne zaboravimo da je piezometarski tlak relativan. Apsolutni tlak u cijevi je naravno paps = ρgh + pa

(3.23) pa

p

h

ˇ Slika 3.7: Manometar je varijacija piezometra. Cesto se koristi kad je potrebno mjeriti tlak plina. I ovdje je nuˇzno da je cijev manometra bude okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri. Varijacija piezometra kod koje je mjerna cijev montirana boˇcno na cijev u kojoj se mjeri tlak naziva se manometar. Manometar omogućava i mjerenje tlakova plinova i podtlaka (tlak niˇzi od atmosferskoga naziva se podtlak) u cijevi.

28

GLAVA 3: STATIKA FLUIDA pa

h2

p h1

Slika 3.8: Manometar sa dvije tekućine. Ako je u cijevi manometra guˇsća tekućina (npr. ˇziva ili sl. ), mogu se mjeriti veći tlakovi. Ukoliko se u cijev manometra ulije tekućina velike gustoće (ˇziva ili sl.), moguće je mjeriti i veće tlakove (do oko 1 bara). Raˇcun tlaka neˇsto je sloˇzeniji jer imamo posla sa stupcima dvije razliˇcite tekućine: p = ρ2 gh2 − ρ1 gh1

(3.24)

gdje je ρ1 gustoća fluida u cijevi, a ρ2 gustoća mjerne tekućine. Za tlakove veće od oko 1 bara koriste se mehaniˇcki ili elektroniˇcki tlakomjeri.

3.4

Sile hidrostatskoga tlaka

Silama hidrostatskoga tlaka nazivaju se sile koje su posljedica djelovanja statiˇckoga tlaka fluida na tijela u i oko fluida. Kod plinova je zbog malene gustoće doprinos hidrostatskoga tlaka zanemariv pa je tlak u otvorenoj posudi ispunjenoj plinom jednak tlaku okolne atmosfere, a tlak u zatvorenoj posudi u svim njezinim toˇckama jednak.

3.4.1

Hidrostatska sila na dno posude

Zamislimo si posudu ravnoga dna u kojoj se nalazi tekućina dubine h. Kako je posuda s gornje strane otvorena, na povrˇsini tekućine tlak je jednak atmosferskom tlaku pa , a relativni hidrostatski tlak na dnu posude je: p = ρgh

(3.25)

gdje je ρ gustoća tekućine a h njezina dubina. Nadalje, ako je ukupna povrˇsina dna posude A, sila koja djeluje na dno je jednostavno umnoˇzak tlaka i povrˇsine: F = pA = ρghA

(3.26)

3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA

29

pa

h

A

F

pa

Slika 3.9: Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrˇzi tekućinu. a sila je u smjeru vanjske normale na dno. Ova sila uopće ne ovisi o koliˇcini tekućine u posudi, već samo o njenoj dubini. Imaju li posude razliˇcitih oblika istu povrˇsinu dna, i ako su napunjene tekućinom do iste dubine, sila na dno će u svakoj posudi biti ista. Ovo je na prvi pogled zbunjujuće jer je oˇcito teˇzina tekućine u svakoj posudi drugaˇcija, pa će medusobno vaganje bilo koje dvije razliˇcite posude oˇcito pokazati neravnoteˇzu! Ovaj pokus naziva se hidrostatski paradoks, a objaˇsnjenje mu je skriveno u silama koje se kroz stijenke posuda prenose u smjeru u kojem se stijenka proteˇze. Stijenke posuda su krute pa mogu prenositi takve sile. Ukupni zbroj (tj. integral) komponente sile na stijenke posude prema dolje uvijek je jednak teˇzini tekućine u posudi, a horizontalna komponenta je uvijek 0!

m1

A

h

F1

m2

F2 m1=m2!

Slika 3.10: Ilustracija hidrostatskog paradoksa.

30


pu

h

A pa F

Slika 3.11: Hidrostatska sila na dno zatvorene posude. Ako je posuda zatvorena, rezultantnu silu na dno mora se raˇcunati uz pomoć razlike apsolutnih tlakova jer vanjski tlak (atmosferski) i unutarnji tlak (tlak plina iznad tekućine) ne moraju biti jednaki. S unutarnje strane na dno posude djeluje tlak po : po = ρgh + pu

(3.27)

a s donje strane na dno posude izvana djeluje atmosferski tlak pa . Njihova razlika je (ovi tlakovi djeluju u medusobno suprotnim smjerovima!): p = ρgh + po − pa

(3.28)

pa je rezultantna sila na dno zatvorene posude: F = pA = (ρgh + po − pa )A

(3.29)


3.4.2

31

Hidrostatska sila na ravne stijenke

pa x y

h pa da=dxdy dF

M α

F

Slika 3.12: Hidrostatska sila na ravnu boˇcnu stijenku. I ovdje ćemo se baviti relativnim tlakom, jer jednaki atmosferski tlak djeluje na slobodnu povrˇsinu tekućine i na vanjsku plohu stijenke. Prije poˇcetka samog raˇcuna postavimo si koordinatni sustav. To se uˇcini tako da se koordinatni sustav stavi u ravninu stijenke. x-os neka ide u horizontalnom smjeru, a y-os neka ide ”prema dolje” po plohi jer se tako izbjegava predznak ”-” u raˇcunu hidrostatskoga tlaka. I na kraju, ishodiˇste se postavi tako da se nalazi na slobodnoj povrˇsini tekućine. Pogledajmo sad neki proizvoljni element povrˇsine stijenke dA = dxdy, koji se nalazi na dubini h. Sila koja djeluje na taj element povrˇsine je: dF = pdA = ρghdxdy

(3.30)

Smjer djelovanja sile je u smjeru normale na stijenku prema van, a kako se radi o ravnoj plohi taj je smjer za sve dijelove plohe isti, pa se ukupnu silu moˇze naći zbrajanjem sila koje djeluju na sve elemente plohe: F =

Z

ρghdxdy =

A

Z x2 Z ymax x1

ρghdxdy

(3.31)

0

Da se ovaj dvostruki integral moˇze rijeˇsiti, mora se povezati dubina u tekućini s koordinatom y na stijenci. Iz slike 3.12 vidi se da je: h = y sin(α)

(3.32)

pa nalazimo: F =

Z A

ρghdxdy =

Z x2 Z ymax x1

0

ρgy sin(α)dxdy

(3.33)

32


Pogledajmo prvo jednostavniji sluˇcaj kad je boˇcna stijenka pravokutnoga oblika. U tom sluˇcaju integral po osi x daje jednostavno ukupnu ˇsirinu plohe koju ćemo oznaˇciti sa l pa imamo: F = ρgl sin(α)

Z ymax

ydy

(3.34)

0

ˇsto lako rijeˇsimo do kraja: 2 ymax (3.35) 2 Da ponovimo, l je ovdje ˇsirina plohe u horizontalnom smjeru a ymax je visina plohe pod tekućinom (mjereno po plohi, dakle koso!). Kako je povrˇsina plohe jednaka umnoˇsku lymax , i kako je y koordinata geometrijskoga teˇziˇsta plohe yT = ymax /2 jednadˇzba (3.34) postaje:

F = ρgl sin(α)

F = ρg sin(α)AyT

(3.36)

yT sin(α) = hT je dubina na kojoj se ispod povrˇsine tekućine nalazi teˇziˇste plohe, pa se na kraju dolazi do jednadˇzbe: F = ρghT A

(3.37)

Sila na kosu plohu ne ovisi o kutu pod kojim ona stoji, uz uvjet da je njezino teˇziˇste uvijek na istoj dubini.

x y

Fh

M α

F α

Fv

Slika 3.13: Komponente hidrostatske sile na ravnu boˇcnu stijenku. Preostaje joˇs odrediti hvatiˇste ove sile te njenu horizontalnu odn. vertikalnu komponentu. Hvatiˇste se nalazi u toˇcci u kojoj su zadovoljeni uvjeti ravnoteˇze sila, ˇsto znaˇci da u toj toˇcci ˇ se tiˇce horizontalnoga ukupni moment tlaˇcne sile preko cijele plohe mora isˇcezavati. Sto smjera, situacija je jednostavna: kako tlaˇcne sile ovise samo o y-koordinati (dubini), hvatiˇste je na y-simetrali plohe: Hx =

l 2

(3.38)


33

Da bismo naˇsli y-koordinatu hvatiˇsta, polazimo od uvjeta ravnoteˇze momenta u y-smjeru. Pri tome se treba sjetiti da je moment sile umnoˇzak okomite komponente sile i njezine udaljenosti od toˇcke za koju se moment raˇcuna, u ovom sluˇcaju dakle od hvatiˇsta sile: dM = dF (y − Hy )dy

(3.39)

Iz gornje diskusije jasno je da ukupni moment raˇcunat preko cijele plohe mora isˇcezavati pa je: Z ymax 0

dF (y − Hy )dy = 0

(3.40)

uz dF = ρg sin αdAy i kraˇcenje konstanti ostaje: Z ymax 0

y(y − Hy )dy = 0

(3.41)

s rjeˇsenjem: 2 (3.42) Hy = ymax 3 Hvatiˇste tlaˇcne sile nije u teˇziˇstu plohe, već se nalazi ispod njega! Tlaˇcna sila okomita je na plohu, pa se njene komponente lako nadu (slika 3.13): Fv = F cos α = ρght A cos α

(3.43)

gdje je ht dubina na kojoj se nalazi teˇziˇste plohe. Kako je ht A cos α ukupni volumen stupca tekućine koji se nalazi iznad plohe, vertikalna komponenta tlaˇcne sile jednaka je teˇzini tekućine iznad plohe. Fh = F sin α = ρght A sin α

(3.44)

Kako je A sin α povrˇsina projekcije plohe na vertikalnu ravninu, horizontalna komponenta tlaˇcne sile jednaka je umnoˇsku tlaˇcne sile i povrˇsine vertikalne projekcije plohe. Ako je ravna ploha proizvoljnoga oblika pokazuje se da svi gornji zakljuˇcci i dalje vrijede. Koordinate hvatiˇsta sile i u ovom sluˇcaju nalazimo integracijom preko plohe (sad su ti integrali naravno neˇsto sloˇzeniji zbog proizvoljnoga oblika plohe): Cxy Ayt centripetalni moment s obzirom na osi x i y: Hx =

gdje je Cxy

Z

Cxy =

xydxdy

(3.45)

(3.46)

A

i Ix + yt Ayt gdje je Ix moment tromosti plohe za x-os: Hy =

Ix =

Z

y 2 dxdy

(3.47)

(3.48)

A

za najˇceˇsće oblike ploha obje ove veliˇcine su sabrane u raznim priruˇcnicima (mehanika, strojarstvo i sl.).

34


3.4.3

Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke

p n dA

dA

Slika 3.14: Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu. Tekućina se nalazi u spremniku nepravilnoga oblika, prikazanome u presjeku (lijevo). Element povrˇsine spremnika sa smjerom vanjske normale prikazan je na desnoj strani. Zakrivljene stijenke mora se podijeliti na elementarne povrˇsine, pa vektorski zbrojiti sile koje na njih djeluju. Sila na jednu elementarnu povrˇsinu je: ~ = pdA~n dF

(3.49)

gdje je ~n jediniˇcni vektor okomit na jediniˇcnu plohu dA. U dijelu literature takva orijen~ a pritom je dA ~ = dA~n. tirana ploha se oznaˇcava vektorskim simbolom dA Ako jediniˇcni vektor ~n s koordinatnim osima zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) jediniˇcnu ~ moˇze se raspisati po komponentama kao: silu dF dFx = ρghdA cos (n, x) dFy = ρghdA cos (n, y)

(3.50)

dFz = ρghdA cos (n, z) Medutim, dA cos (n, x) = dAx je projekcija elementarne povrˇsine dA na yz ravninu, pa je: dFx = ρghdAx dFy = ρghdAy dFz = ρghdAz odnosno:

(3.51)


35

R

Fx = ρg hdAx (3.52)

R

Fy = ρg hdAy R

Fz = ρg hdAz Rjeˇsenja integrala za horizontalne komponente tlaˇcne sile su Fx = ρghT x Ax

(3.53)

Fy = ρghT y Ay gdje su hT x i hT y koordinate teˇziˇsta projekcije plohe A na yz odn. xz ravninu, a Ax i Ay su povrˇsine odgovarajuće projekcije. Ovo znaˇci da je horizontalna tlaˇcna sila na zakrivljenu povrˇsinu jednaka tlaˇcnoj sili koja bi djelovala na projekciju te povrˇsine na vertikalnu ravninu koja je okomita na smjer djelovanja tlaˇcne sile. Isti ovaj zakljuˇcak dobije se kod analize sila na ravnu plohu, ˇsto joˇs jednom potvrduje ispravnost ovoga raˇcuna jer je ravna ploha specijalni sluˇcaj zakrivljene plohe. Posvetimo sad malo paˇznje vertikalnoj komponenti tlaˇcne sile: Fz = ρg

Z

hdAz

(3.54)

hdAz je volumen stupca tekućine iznad elementarne povrˇsine dA, pa integral ove veliˇcine predstavlja volumen tekućine koja se nalazi iznad plohe A. Prema tome, vertikalna komponenta tlaˇcne sile jednaka je teˇzini tekućine koja se nalazi iznad te plohe: Fz = ρgV

3.4.4

(3.55)

Hidrostatska sila na stijenku cijevi

p

dz

dz

T

T s

φD

s

Slika 3.15: Hidrostatska sila na stijenku cijevi.

36


Tlak fluida djeluje okomito na stijenku cijevi. Ako si zamislimo da smo cijev uzduˇzno prerezali na dvije jednake polovice, tlaˇcna sila će te dvije polovice htjeti razmaknuti. Ako promatramo prsten malene visine dz, onda je ukupna tlaˇcna sila na jednu njegovu polovicu jednaka umnoˇsku tlaka i povrˇsine umoˇcenog presjeka plohe kojom je cijev presjeˇcena: dFx = pdzD

(3.56)

Tom razmicanju odupire se napetost u stijenci cijevi, koja je jednaka: dT = sσdz

(3.57)

gdje je σ naprezanje materijala stijenke. Kako se poluprstenovi spajaju na dva mjesta, mora biti: dFx = 2dT

(3.58)

Izjednaˇcavanjem se dobije: pD (3.59) 2s Ako je najveće dopuˇsteno naprezanje materijala stijenke σdop , onda za dani tlak p minimalna debljina stijenke cijevi s mora biti: σ=

s=

pD 2σdop

(3.60)

Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi. Formula vrijedi za cijevi s tankom stijenkom (ako je s < 0, 1D). Za dugu cijev koja je zatvorena na krajevima, sliˇcnim postupkom se nalazi da je uzduˇzno naprezanje materijala stijenke: σu = 0, 5σ

3.5 3.5.1

(3.61)

Plutanje i ravnoteˇ za plutaju´ cih tijela Uzgon

Neka je unutar fluida ocrtana zatvorena ploha proizvoljna oblika. Ta je ploha ispunjena fluidom pa se moˇze govoriti o nekom ”tijelu” omedenom tom plohom. To se tijelo oˇcito nalazi u ravnoteˇzi. Stoga je ukupna tlaˇcna sila koja djeluje na bilo koji vertikalni presjek toga tijela jednaka nuli. Isto tako, zbog uvjeta ravnoteˇze vertikalne sile koje djeluju na to tijelo moraju se poniˇstiti. No, u vertikanom smjeru na zamiˇsljeno tijelo djeluju dvije sile: teˇzina tijela koja ga vuˇce prema dolje i rezultantna vertikalna komponenta tlaˇcne sile koja djeluje prema gore. Te se dvije sile moraju poniˇstiti, pa je oˇcito: Z

~ = ρV g pdA

A

gdje je ρ gustoća fluida, a V volumen zamiˇsljenoga tijela.

(3.62)

ˇ PLUTAJUCIH ´ TIJELA 3.5: PLUTANJE I RAVNOTEZA

37

Fu

G

Slika 3.16: Sila na tijelo uronjeno u fluid. Ako se sad iz unutraˇsnjosti te plohe izvadi fluid, pa se nastali volumen ispuni nekom drugom tvari gustoće ρT , situacija u okolnom fluidu neće se promijeniti. To znaˇci da će na tijelo i dalje djelovati vertikalna komponenta tlaˇcne sile u istom iznosu kao i ranije, dakle: Fu = ρV g

(3.63)

Ova sila naziva se uzgon, a pravilo da je uzgon jednak teˇzini istisnute tekućine se po njegovom otkrivaˇcu naziva Arhimed-ov zakon. No, iako se uzgon nije promijenio, teˇzina tijela se promijenila jer je ona sad: GT = ρT V g

(3.64)

pa na tjelo u vertikalnom smjeru djeluje ukupna rezultantna sila: R = Fu − G = gV (ρ − ρT )

(3.65)

Ako je gustoća tijela veća od gustoće fluida, ukupna sila je negativna (djeluje prema dolje) i tijelo tone. Ako je pak gustoća tijela manja od gustoće fluida, ukupna sila je pozitivna (djeluje prema gore) i tijelo izranja. Tijelo je u ravnoteˇzi sa okolnim fluidom samo ako je ukupna sila jednaka nuli, tj. ako je ρ = ρT . Recimo joˇs na kraju samo to da kod tijela koja plivaju na povrˇsini tekućine (tzv. djelomiˇcno uronjena tijela) uzgon i dalje proizvodi volumen istisnute tekućine, ˇsto znaˇci da uzgon dolazi samo od onoga dijela tijela koji je uronjen u tekućinu.

3.5.2

Plutanje

Kod tijela ˇcija srednja gustoća je manja od gustoće fluida u koji su uronjena, sila uzgona veća je od njihove teˇzine pa se tijelo diˇze prema gore. Ako je tijelo u zraku (baloni i sl.) dizat će se sve dok se uzgon, koji s visinom opada zbog smanjenja gustoće zraka, ne izjednaˇci s teˇzinom tijela. Ako je tijelo uronjeno u tekućinu (plovila, led, drvo i sl.), dići će se sve do

38


Vi

Vu ρt

ρ

Slika 3.17: Uzgon kod plutanja. Sili uzgona doprinosi samo dio tijela koji je uronjen u tekućinu (Vu ), dok teˇzina tijela ostaje nepromijenjena. njegove povrˇsine tako da dio tijela izviri iznad nje. Kako uzgon ovisi o volumenu istisnute tekućine, njega proizvodi samo dio volumena tijela koji je ispod povrˇsine tekućine pa se na taj naˇcin uspostavlja ravnoteˇza uzgona i teˇzine tijela. Kaˇze se da tijelo pluta na povrˇsini tekućine. Jednadˇzba ravnoteˇze u tom sluˇcaju glasi: G=U

G = ρt V g

U = ρVu g

(3.66)

U

G

G U

U G

Slika 3.18: Ravnoteˇza tijela koje pluta: lijevo labilna ravnoteˇza, sredina stabilna ravnoteˇza i desno indiferentna ravnoteˇza. Ravnoteˇza tijela koje pluta zaseban je problem. Ako se hvatiˇste teˇzine tijela nalazi iznad hvatiˇsta sile uzgona, tijelo je u labilnoj ravnoteˇzi. I najmanje naginjanje tijela iz

´ 3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUCINE KAO CJELINE

39

ravnoteˇznoga poloˇzaja dovodi do prevrtanja tijela. Ako se pak, hvatiˇste teˇzine tijela nalazi ispod hvatiˇsta sile uzgona, tijelo je u stabilnoj ravnoteˇzi. Kod naginjanja tijela iz ravnoteˇznoga poloˇzaja stvoreni moment sile (najbolje je gledati moment koji stvara sila uzgona oko teˇziˇsta tijela) vraća tijelo u ravnoteˇzni poloˇzaj. Ako se hvatiˇste tlaˇcne sile poklopi s teˇziˇstem tijela, dolazi do stanja tzv. labilne ravnoteˇze. Bez obzira kako se tijelo postavi ono je uvijek u ravnoteˇzi! Problem ravnoteˇze plutajućih tijela dodatno je zakompliciran time, ˇsto se kod zakretanja tijela mijenja oblik uronjenoga volumena pa se time pomiˇce hvatiˇste sile uzgona. Tako je moguće da tijelo bude u stabilnoj ravnoteˇzi ˇcak i ako je teˇziˇste iznad hvatiˇsta sile uzgona. Ova je situacija ilustrirana na slici 3.19 za sluˇcaj tijela (npr. broda) pravokutnoga popreˇcnog presjeka. Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomiˇce se teˇziˇste istisnute vode (tj. hvatiˇste sile uzgona!) udesno i prema dolje. Istovremeno teˇziˇste se pomiˇce lagano ulijevo, pa nastali moment sila ispravlja brod. Ovo je poˇzeljna situacija i obiˇcno je zadovoljena kada je brod pravilno opterećen (natovaren).

G

U

Slika 3.19: Ravnoteˇza broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila vraća brod u ravnoteˇzni poloˇzaj iako je teˇziˇste iznad hvatiˇsta sile uzgona. To je posljedica premjeˇstanja hvatiˇsta sile uzgona kod naginjanja u desnu stranu dok istovremeno teˇziˇste biva lagano pomaknuto ulijevo. Kad je brod prazan, izdiˇze se iz vode i teˇziˇste mu postaje previsoko (slika 3.20). Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomicanje hvatiˇsta sile uzgona udesno je znatno manje, a istovremeno se teˇziˇste broda znatno pomiˇce ulijevo. U ovom sluˇcaju nastali moment sila prevrće brod. Situacija je tipiˇcna za nenatovarene teretne brodove i tankere. Da bi se izbjegla nestabilnost praznoga broda, ˇcesto puta se on opterećuje upumpavanjem vode u prazne tankove (tzv. balastna voda) ˇcime se spuˇsta teˇziˇste broda. Sliˇcna se situacija moˇze dogoditi i kod natovarenog broda ako teret sklizne u stranu naginjanja broda. Pravilna konstrukcija i upotreba brodova znanost je za sebe!

3.6

Translacija i rotacija teku´ cine kao cjeline

Translacija i rotacija tekućine kao cjeline takvo je gibanje tekućine kod kojega nema relativnoga pomaka izmedu ˇcestica tekućine, tj. cijeli se volumen tekućine giba kao kruto tijelo.

40


G U

Slika 3.20: Prevrtanje broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila prevrće brod. Situacija je tipiˇcna za nenatovarene teretne brodove i tankere. Ovo je tipiˇcna situacija za tekućine koje se prenose u rezervoarima, bocama i sl. U ovakvim situacijama i dalje su primjenjivi zakoni statike. Ukoliko se tekućina giba jednolikom brzinom (jednolika translacija), nema ubrzanja, pa se tekućina ponaˇsa isto kao da miruje. Ako postoji vanjsko ubrzanje tekućina osjeća inercijsku silu koja je reakcija na to ubrzanje. Ubrzanje inercijske sile (III Newton-ov aksiom) je iste veliˇcine, ali suprotnoga smjera od ubrzanja sile koja ju izaziva. Ubrzanje inercijske sile se vektorski zbraja s g i tekućina kao cjelina prelazi u novo stanje ravnoteˇze za koje i dalje vrijede zakoni statike.

3.6.1

Horizontalno ubrzanje

ai=-a

a

ϕ r

ϕ

g r

Slika 3.21: Translacija tekućine kad je ubrzanje horizontalno. Ako se tekućina ubrzava horizontalno (slika 3.21), ubrzanje inercijske sile takoder je horizontalno, ali u suprotnom smjeru. Kada se ono zbroji s ubrzanjem sile teˇze, rezultatantno ubrzanje tekućine usmjereno je koso prema dolje:


~r = a~i + ~g

r=

q

a2i + g 2

41

(3.67)

Povrˇsina tekućine se postavlja okomito na smjer tog ubrzanja. Kut prema horizontali pod kojim povrˇsina stoji lako nademo iz grafikona sila: tan ϕ =

ai g

(3.68)

Zakon hidrostatskoga tlaka vrijedi i ovdje, ali se u njemu umjesto ubrzanja sile teˇze javlja rezultantno ubrzanje, r, a dubina d se mjeri u smjeru okomice na povrˇsinu (slika 3.22): p = ρrd

(3.69)

ϕ

d

Slika 3.22: Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekućine.

3.6.2

Vertikalno ubrzanje

Kada se tekućina ubrzava u vertikalnom smjeru (slika 3.23), ubrzanje inercijske sile takoder je vertikalno i moˇze se skalarno zbrojiti sa ubrzanjem sile teˇze (paziti na smjer inercijskoga ubrzanja i odgovarajući predznak!). Rezultantno ubrzanje koje tekućina osjeća ostaje u vertikalnom smjeru a povrˇsina tekućine i dalje je horizontalna. Za ovaj je sluˇcaj:

3.6.3

r = g + ai

(3.70)

p = ρrh

(3.71)

Koso ubrzanje

Kod ubrzanja u proizvoljnom (kosom) smjeru prvo se postavimo u vertikalnu ravninu u kojoj je vektor ubrzanja. U njoj se inercijsko ubrzanje rastavlja na vertikalnu i horizontalnu komponentu (slika 3.24) i primjenjuje se malo prije izvedene zakljuˇcke. Prvo vertikalnu

42


h

g r a

ai

Slika 3.23: Translacija tekućine kad je ubrzanje vertikalno. ao ap

ao

ai ϕ r

ϕ g+ap r

Slika 3.24: Translacija tekućine kad je ubrzanje koso. komponentu inercijskoga ubrzanja zbrojimo sa g, a onda se preko grafikona sila odredi smjer ukupnog ubrzanja i nagib plohe fluida: r=

3.6.4

q

a2o + (g + ap )2

tan ϕ =

ao g + ap

(3.72)

Rotacija teku´ cine u otvorenoj posudi

Rotacija tekućine u posudi moˇze se obuhvatiti zakonima statike, ako je rotacija jednolika (kutna brzina rotacije je konstantna). U tom se sluˇcaju nakon nekoga vremena uspostavi ravnoteˇzno stanje u kojem cijeli volumen tekućine rotira zajedno s posudom. Kod toga povrˇsina tekućine zauzima paraboliˇcni oblik, koji je posljedica djelovanja centrifugalne sile koju ima tekućina zbog rotacije (slika 3.25). Radi jednostavnosti ovdje se prouˇcava samo sluˇcaj kada se rotacija odvija oko vertikalne osi koja se podudara s osi cilindriˇcne posuda u kojoj se fluid nalazi. Ubrzanje centrifugalne sile dano je poznatim izrazom:


43

z

y x 0

0

ω=konst.

Slika 3.25: Rotacija tekućine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi.

acs = rω 2

(3.73)

Da bi se moglo raˇcun napraviti u Kartezijevom koordinatnom sustavu, mora se to ubrzanje rastaviti na komponente (slika 3.26) i dodati ga ubrzanju sile teˇze. Komponente ubrzanja tekućine su sada: ax = xω 2 ay = yω 2

(3.74)

az = −g Polazi se od statiˇcke Eulerove jednadˇzbe (3.3-3.5) ˇcije se tri komponente prvo zbroje: dp = ρ(ax dx + ay dy + az dz)

(3.75)

Sada se uvrsti komponente ubrzanja koje dolaze od rotacije i od sile teˇze: dp = ρ(ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz)

(3.76)

Ovu jednadˇzbu moˇze se formalno integrirati da se odredi tlak: p = ρω

2x

2

2

+ ρω

2y

2

2

− ρgz + c

(3.77)

Ovaj rezultat malo uredimo: ω2 2 (x + y 2 ) − ρgz + c (3.78) 2 Konstantu c nademo iz ˇcinjenice da u ishodiˇstu tlak mora biti jednak atmosferskom (p = pa ): p=ρ

44


O

y r

ay

rω2

x

ax

Slika 3.26: Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekućine oko vertikalne osi. Slika shematski prikazuje pogled na rotirajuću tekućinu odozgo.

c = pa

(3.79)

Nadalje, i na cijeloj slobodnoj plohi je tlak jednak atmosferskom, ˇsto daje sljedeću relaciju: ω2 2 (x + y 2 ) − ρgz + pa 2 odakle se sredivanjem dolazi do jednadˇzbe slobodne plohe: pa = ρ

z=

ω2 2 ω2 2 (x + y 2 ) = r 2g 2g

(3.80)

(3.81)

Ovo je jednadˇzba rotacijskoga paraboloida, s vertikalnom osi i tjemenom u ishodiˇstu! U presjeku (slika 3.27) vidi se parabola, i definira se visina spuˇstanje nivoa tekućine na osi rotacije (=sredina posude!), hC i visinu podizanja tekućine na rubu posude, hR . Njih se nalazi iz uvjeta saˇcuvanja ukupnoga volumena tekućine (volumen dijela tekućine koji se izdigao iznad nivoa tekućine u situaciji kad ona ne rotira, mora biti jednak volumenu prostora koji tekućina u rotaciji oslobodi uz os posude): 1 R2 πh◦ = R2 π(h◦ − hC ) + R2 π(hR + hC ) − R2 π(hR + hC ) (3.82) 2 Tu se skoristi ˇcinjenica da je volumen rotacijskoga paraboloida jednak polovici volumena opisanoga valjka: 1 1 Vpar = Vcil = hR2 2 2 pa je na kraju:

(3.83)


45

hR hC

h0 (visina bez rotacije)

R

Slika 3.27: Oblik povrˇsine tekućine kod rotacije oko vertikalne osi.

hR = hC

(3.84)

zmax = hR + hC

(3.85)

Kako je:

moˇze se postaviti i sljedeću relaciju (zmax smo mjerili od tjemena rotacionog paraboloida a ne od razine tekućine u posudi bez rotacije!): 1 hR = hC = zmax 2

3.6.5

(3.86)

Rotacija teku´ cine u zatvorenoj posudi

Ako je posuda zatvorena i u cijelosti ispunjena tekućinom, nema mjesta za promjenu oblika dodirne plohe tekućine i okoline. No, i u ovom sluˇcaju, zbog rotacije, dolazi do porasta tlaka zbog djelovanja centrifugalne sile, a analognim izvodom se dobije da je (vidi sliku 3.28) on opisan slijedećim jednadˇzbama: phr = ph + ρ

ω 2 r2 2g

ω 2 r2 ∆p = ρ 2g

3.6.6

(3.87) (3.88)

Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu

U svim situacijama kod koje dolazi do promjene smjera toka fluida, javljaju se porasti tlakova u fluidu sliˇcni onima kod rotacije fluida. Primjerice u cjevovodu se opaˇza porast tlaka na vanjskoj stijenci lukova, koljena i drugih elemenata koji mijenjaju smjer toka fluida.

46


ph

r

phr

ω=konst.

Slika 3.28: Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi. Kako se svakoj takvoj promjeni smjera moˇze pridruˇziti lokalni polumjer zakrivljenosti staze ˇcestica fluida, jasno je da se ovakvim problemima moˇze pristupiti na naˇcin koji se koristi kod opisivanja efekata rotacije tekućine u posudi.


47

Slika 3.29: Porast tlaka kod promjene smjera teˇcenja moˇze se objasniti silama kod rotacije tekućine.

48


Glava 4 Kinematika fluida Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi gibanjima fluida. Kinematika pri tom samo prouˇcava gibanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog gibanja. Fluid se smatra kontinuumom i koristi se pojam ˇcestice fluida, koja je definirana kao maleni volumen fluida konstantne mase. Postoje dva pristupa opisivanju gibanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristup te Eulerov (ili lokalni) pristup. Kod Lagrangeovog pristupa gibanje se prouˇcava veˇzući se za ˇcesticu fluida, a kod Eulerovoga pristupa gibanje je promatrano iz neke fiksne toˇcke u prostoru.

4.1

Lagrangeov (supstancijalni) pristup z R(t3) y x

v v

R(t1)

R(t2) v

Slika 4.1: Kod Lagrangeovoga pristupa problemima gibanja fluida veˇzemo se za neku proizvoljnu ˇcesticu fluida i s njom ”putujemo” kroz prostor. Kod Lagrangeovog pristupa problemima gibanja fluida veˇze se na neku proizvoljnu ˇcesticu fluida i prati se njeno gibanje kroz prostor. Sama ˇcestica pri tome je odredena svojim poloˇzajem u nekom poˇcetnom vremenu to : ~ = f~(R(t ~ ◦ ), t) R(t) 49

(4.1)

50

GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA

Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih veliˇcina na mjestu na kojem se u tom trenutku ˇcestica nalazi. Drugim rijeˇcima, putuje se kroz prostor zajedno s tom ˇcesticom fluida. Svaka fizikalna veliˇcina vezana uz teˇcenje onda je neka funkcija trenutnog poloˇzaja ˇcestice i vremena. Primjerice brzinu se moˇze izraziti kao vektorsku funkciju oblika: ~ R(t ~ ◦ ), t)) ~v = ~g (R(

(4.2)

Ovaj kompleksni općeniti izraz za brzinu daje za naslutiti veliki nedostatak Lagrangeovoga pristupa: veliku matematiˇcku kompleksnost formulacije problema. Ne samo da je ~v funkcija 4 varijable (3 poloˇzajne i vremena) nego je vremenski promjenjivi radijus-vektor ˇcestice u argumentu te funkcije. Kako se trenutni poloˇzaj nekoga tijela nalazi integracijom brzine po vremenu, bit će sasvim jasno koliko kompleksno moˇze biti rjeˇsavanje problema u ovoj formulaciji. Iz ovog razloga će se u ovom tekstu koristiti iskljuˇcivo Eulerov pristup problemu gibanja fluida.

4.2

Eulerov (lokalni) pristup z

y x

RM M v

Slika 4.2: Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida veˇzemo se za neku proizvoljnu toˇcku prostora i promatramo kako se fluid kroz nju giba. Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida veˇze se na neku proizvoljnu, nepomiˇcnu toˇcku prostora i promatra se kako se fluid kroz nju giba. Matematiˇcki je problem sad znatno jednostavniji jer je poloˇzaj te toˇcke konstanta (doduˇse vektorska): RM~ (t) = RM~(to ) = R~M

(4.3)

Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih veliˇcina na mjestu toˇcke M . Drugim rijeˇcima, promatra se kako fluid struji kroz tu nepomiˇcnu toˇcku. Svaka fizikalna veliˇcina vezana uz teˇcenje u ovom je sluˇcaju funkcija radijus-vektora te toˇcke i vremena. Primerice brzinu se moˇze izraziti kao vektorsku funkciju oblika: ~v = f~(R~M , t)

(4.4)

4.2: EULEROV (LOKALNI) PRISTUP

51

Kako je RM konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s kojom je matematiˇcki mnogo lakˇse raditi nego sa implicitnim funkcijama karakteristiˇcnim za Lagrange-ov pristup. Ako dozvolimo da je poloˇzaj toˇcke R~M u prostoru proizvoljan, i radi ~ fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinate preglednosti ga opiˇsemo radijus-vektorom R, i vremena, primerice: ~v = ~v (x, y, z, t)

(4.5)

vx = vx (x, y, z, t) vy = vy (x, y, z, t)

(4.6)

vz = vz (x, y, z, t) Trenutni iznos brzine i njezin smjer nalazimo upotrebom poznatih relacija vektorske matematike: v= v~◦ =

q

vx2 + vy2 + vz2

(4.7)

vx~ vy ~ vz ~ i+ j+ k v v v

(4.8)

R(t)

Slika 4.3: Za opaˇzaˇca na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slika koju vidi s vremenom mijenja (brod mijenja svoj poloˇzaj u prostoru). Ukoliko se trenutni iznos brzine ili njezin smjer u danoj toˇcki prostora s vremenom mijenjaju, kaˇze se da je takvo teˇcenje nestacionarno. U suprotnom sluˇcaju teˇcenje je stacionarno. Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego moˇze ovisiti o izboru koordinatnoga sustava u kojem se dani problem prouˇcava. Ako je moguće, koordinatni sustav bira se tako da je u njemu problem stacionaran (v. slike 4.3 i 4.4).

52


Slika 4.4: Za opaˇzaˇca na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jer se slika koju vidi s vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista).

4.3

Prikazivanje (vizualizacija) teˇ cenja

t=t1

t=t2

t=t3

t=t4

t=t5

itd...

Slika 4.5: Ako se zabiljeˇzi putanja koju neka odredena ˇcestica fluida opiˇse prilikom svoga gibanja kroz prostor dobit će se glatka krivulja koju nazivamo staza ˇ cestice fluida. Zamislimo si da smo na neki naˇcin obiljeˇzili jednu odabranu ˇcesticu fluida. Ako biljeˇzimo njen poloˇzaj kao funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivulju koja se naziva staza (putanja) ˇ cestice u prostoru (vidi sliku 4.5). S druge strane, ako u neku toˇcku toka ubacujemo obiljeˇzivaˇc (marker), pa u nekom vremenskom trenutku zabiljeˇzimo trag koji taj obiljeˇzivaˇc ostavlja, opet će se dobiti neka glatka prostorna krivulja (vidi sliku 4.6). U praksi se u tok tekućine ubacuje boja ili sitne ˇcestice neke krute tvari, a u tok plina dim ili vodena para. Ovako dobivena krivulja naziva se strujnica i ona prikazuje smjer gibanja mnoˇstva ˇcestica u jednom odredenom vremenskom trenutku. Pritom je svaka sljedeća ˇcestica na vektoru brzine one prethodne (vidi sliku 4.7).

ˇ 4.3: PRIKAZIVANJE (VIZUALIZACIJA) TECENJA

53

Promjenom toˇcke u koju ubacujemo marker, mijenja se i strujnica i njezin oblik, u toku dakle postoji mnoˇstvo (matematiˇcki gledano, beskonaˇcno mnoˇstvo) strujnica.

čestica A

B

C

D

E

itd...

Slika 4.6: Ako se u jednom trenutku obiljeˇzi poloˇzaje mnogo ˇcestica fluida, a pri tom je svaka slijedeća ˇcestica u smjeru vektora brzine one prethodne, dobit će se glatka krivulja koju nazivamo strujnica.

Slika 4.7: Zamiˇsljeni postupak konstrukcije strujnice. Sljedeća ˇcestica fluida koja pripada strujnici je na vektoru brzine prethodne ˇcestice. Iz same definicije strujnice, ali i iz praktiˇcnih pokusa koji ocrtavaju njezin oblik jasno je da je trenutna brzina neke ˇcestice na strujnici u smjeru tangente na tu strujnicu u toˇcki u kojoj se u taj tren ˇcestica nalazi. Nadalje, pokusi pokazuju da kod nestacionarnoga teˇcenja strujnice stalno mijenjaju svoj poloˇzaj i oblik, dok su kod stacionarnoga toka uvijek iste i nepomiˇcne. Matematiˇcki se moˇze pokazati da se u sluˇcaju stacionarnoga toka strujnice i staze ˇcestica medusobno podudaraju. Kod nestacionarnoga teˇcenja one su uvijek razliˇcite. Koncept strujnice izuzetno je vaˇzan jer omogućava vizualizaciju jednoga od glavnih parametara toka: smjera lokalne brzine. Ako je to potrebno, i iznos brzine moˇze se prikazati

54


na istoj slici tzv. ekvipotencijalnim plohama o kojima će viˇse rijeˇci biti kod potencijalne teorije teˇcenja.

4.3.1

Strujna cijev i strujno vlakno

A A'

Slika 4.8: Kod stacionarnoga toka sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu A, prolaze i kroz plohu A0 i u prostoru zauzimaju cjevasti volumen koji se naziva strujna cijev. Kod laminarnoga toka se vidjelo, a kasnije i teoretski provjerilo za sve stacionarne tokove, da sve strujnice koje prolaze kroz neku povrˇsinu ostaju udruˇzene, i da je njihov presjek u bilo kojoj toˇcki niz tok takoder neprekinuta povrˇsina. To je dovelo do definicije strujne cijevi: strujna cijev je cjevasti oblik koji tvore sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu A. Pokazuje se da sve te strujnice prolaze kroz plohu A0 koja se moˇze nalaziti bilo gdje niz tok od plohe A. Ta ploha moˇze imati razliˇcitu povrˇsinu i oblik od plohe A, ali i dalje kroz nju prolaze sve (i samo te!) strujnice koje prolaze kroz plohu A. Strujnica koja prolazi kroz sredinu (matematiˇcko teˇziˇste) plohe A naziva se os strujne cijevi. U teoretskim raˇcunima se koristi i koncept strujnoga vlakna. Radi se o strujnoj cijevi kod koje je povrˇsina A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike povrˇsine A, obiˇcno i oznaˇcava s dA. Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih veliˇcina kojima se dani tok opisuje na infinitezimalno maloj povrˇsini dA konstantne, ˇsto omogućava izvodenje teorijskih proraˇcuna.

4.4

Izvori i ponori

Po jednadˇzbi kontinuiteta masa fluida je saˇcuvana, tj. ne moˇze niti nastati, ni nestati. Iako je to strogo gledano toˇcno, neki puta je jednostavnije u teorijsko razmatranje ukljuˇciti i mogućnost da masa fluida nastaje ili nestaje iz sustava koji se analizira. U tim sluˇcajevima ne radi se o stvarnom kreiranju ili uniˇstavanju fluida, već o tome da fluid na nekom mjestu moˇze ulaziti u sustav koji se prouˇcava, a na drugom iz njega izlaziti. Primjerice, ako se proraˇcunava neki cjevovod, nije vaˇzno kako i odakle dolazi tekućina koja u cjevovod ulazi, kao ni to kamo ona odlazi kada na drugom kraju cjevovoda iz njega izade. Mjesta na kojima fluid ulazi u sustav nazivaju se zajedniˇckim imenom izvori a mjesta na kojima fluid sustav

4.5: POTENCIJALNO STRUJANJE

55

dA

dA'

Slika 4.9: Ako se presjek strujne cijevi smanji na infinitezimalno malu povrˇsinu dA, dobit će se tzv. strujno vlakno. napuˇsta ponori. U teoriji se najˇceˇsće koriste elementarni (toˇckasti) izvori, tj. izvori u kojima fluid izlazi iz jedne toˇcke u prostoru. Iako je fizikalno ovo nerealno, matematiˇcki je puno lakˇse raditi sa takvim elementarnim izvorima, a stvarne izvore se onda slaˇze od beskonaˇcnoga broja elementarnih izvora rasporedenih tako da oponaˇsaju realni izvor. Elementarni izvor je tzv. singularna toˇcka (zbog nepostojanja konaˇcne povrˇsine takvoga izvora, brzina istjecanja je u njemu beskonaˇcna, zato naziv singularitet) i za njega jednadˇzba kontinuiteta ne vrijedi, odn. mora ju se modificirati da bi ukljuˇcila i toˇcke prostora u kojima postoje izvori ili ponori. Volumen fluida koji u jedinici vremena izade iz izvora naziva se izdaˇ snost izvora, Q: dVf luid dt

(4.9)

QM = ρQdt

(4.10)

Q= sliˇcno, masena izdaˇsnost izvora je:

da bi se novostvorenu masu moglo uzeti u obzir u jednadˇzbi kontinuiteta, mora se njenoj desnoj strani (koja je u sluˇcaju striknog oˇcuvanja mase jednaka nuli) dodati gustoću novostvorene mase (masu stvorenu po jedinici volumena i u jedinici vremena). Ona je jednaka: dm QM ρQ = = dV dt dV dV pa modificirana jednadˇzba kontinuiteta sad ovako izgleda: ρQ ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = ∂t dV

4.5

(4.11)

(4.12)

Potencijalno strujanje

Strujanje fluida za koje se brzina moˇze prikazati kao gradijent neke skalarne funkcije naziva se potencijalno strujanje , a skalarna funkcija iz koje se brzina izvodi naziva se potencijalna funkcija: ~v (~r) = ∇[U (~r)]

(4.13)

56


Ovakva strujanja mnogo se lakˇse analiziraju jer se umjesto vektorske funkcije u rjeˇsavanju problema traˇzi skalarna funkcija, ˇsto je mnogo jednostavnije. Kad se nade potencijalna funkcija, brzina se iz nje lako nade preko gornje formule. Srećom se mnoga strujanja u prirodi barem u nekim svojim dijelovima mogu opisati kao potencijalna strujanja.

4.6

Strujanja u dvije dimenzije (2D)

Već je napomenuto da je rjeˇsavanje problema u dvije dimenzije mnogo jednostavnije od rjeˇsavanja problema u tri dimenzije, pa se mnoga stvarna strujanja aproksimiraju sliˇcnim strujanjima u dvije dimenzije. Teorijska razmatranja pokazuju da je to moguće ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti: • fluid je neviskozan. • fluid je nestlaˇciv. • strujanje je stacionarno. • strujanje je potencijalno. 2D strujanja imaju i tu prednost da se grafiˇcki lako mogu prikazati. U tu svrhu koriste se strujnice i ekvipotencijalne plohe, a smjer strujanja nalazi se u ravnini papira (crteˇza). Ekvipotencijalne plohe su (kao i kod elektriciteta ili gravitacije) plohe koje spajaju sve toˇcke istog potencijala, i uvijek su okomite na strujnice (slika 4.10).

ru jn

ic e

ek v

ip ot en ci ja ln e

pl oh e

st

Slika 4.10: Grafiˇcko prikazivanje strujnica (pune linije) i ekvipotencijalnih ploha (crtkane linije) za 2D tok. Strujanje se uvijek odvija u ravnini skice.

4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D)

4.6.1

57

Osnovna potencijalna strujanja u 2D

Najjednostavnije potencijalno strujanje je jednoliko strujanje. Kod njega je brzina konstantna u svim toˇckama prostora: ∂~v =0 (4.14) ∂~r No, to ujedno znaˇci da je tok beskonaˇcno velik, pa samo za sebe jednoliko strujanje nema veći znaˇcaj. Koristi se medutim kod problema optjecanja, gdje se radi pojednostavljenja uzima da objekt miruje, a fluid struji oko njega. Jednoliko protjecanje onda prikazuje polje brzina na vrlo velikim udaljenostima od objekta. Jednoliko strujanje prikazuje se paralelnim strujnicama istog razmaka. U stvarnosti zbog viskoznosti i s njome povezanoga otpora strujanju, u blizini rubova toka uvijek postoji raspodjela brzina. Kod te raspodjele je brzina na granici fluida i okolnog (krutoga) sretstva uvijek 0, a prema sredini toka raste na jednostavniji ili sloˇzeniji naˇcin (npr. v. sliku 4.11.).

v

Slika 4.11: Brzine laminarnog toka u cijevi imaju paraboliˇcni profil. U 2D sluˇcaju cijev se zamjenjenjuje paralelnim ploˇcama koje stoje okomito na ravninu toka. Elementarni izvor u 2D sluˇcaju u stvari je linija okomita na ravninu toka (koja je po dogovoru x-y ravnina). Izdaˇsnost izvora daje se po jedinici duljine te linije, pa je 2D dimenzija izdaˇsnosti m3 s−1 /m = m2 s−1 o ˇcemu treba voditi raˇcuna kod koriˇstenja 2D modela. U blizini samog elementarnog izvora brzina je radijalna i u svim smjerovima jednaka (simetrija!). Za brzinu toka na udaljenosti r od izvora uz pomoć jednadˇzbe kontinuiteta daje se sljedeći izraz: v(r) =

QL 2rπ

(4.15)

Brzina u blizini izvora opada linearno sa udaljenoˇsću od izvora (u 3D sluˇcaju je ovisnost kvadratiˇcna!). Strujnice izvora izlaze iz izvora i radijalno se ˇsire u svim smjerovima (slika 4.12.). U sluˇcaju ponora fluid se giba prema njemu, strujnice ulaze u njega a izdaˇsnost je negativna i opisuje koliko fluida u jedinici vremena ponor proguta. Brzina je: v(r) = −

|QL | 2rπ

(4.16)

58


v

v

Slika 4.12: U blizini elementarnoga izvora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka i usmjerena je radijalno od toˇcke izviranja. usmjerena prema ponoru. Strujnice ponora ulaze u njega iz svih smjerova (slika 4.13.). Kako je brzina prikazana vektorskim poljem, razna se strujanja mogu vektorski zbrajati ili oduzimati. Mnoge matematiˇcki vrlo kompleksne probleme moguće je tako u 2D sluˇcaju rijeˇsiti grafiˇckim metodama koje se oslanjaju na pravila vektorske algebre (v. sliku 4.14.).

4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D)

v

59

v

Slika 4.13: Kod elementarnoga ponora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka, ali je usmjerena radijalno prema toˇcki poniranja.

Slika 4.14: Vektorska se polja mogu zbrajati po pravilima vektorskoga raˇcuna, pa se osnovna strujanja koriste za prikazivanje mnogih sloˇzenih strujanja u stvarnosti. Pritom se stvarno strujanje (u ovom sluˇcaju prikazano vektorima brzine strujanja) prikazuje kao vektorski zbroj nekoliko osnovnih strujanja.

60


Glava 5 Zakon neprekidnosti (kontinuiteta) Promatra se neki fluid u gibanju. Negdje unutar toga fluida zamisli se infinitezimalo maleni volumen u obliku kvadra koji nepomiˇ cno stoji u toku fluida (slika 5.1). Stranice toga malenog volumena postavit će se u smjeru koordinatnih osi i oznaˇciti ih sa dx, dy i dz.

z

v2x dy dx

v = v(x,y,z)

2

1 dz

v1x

ρ = ρ(x,y,z)

y

x

Slika 5.1: Maleni volumen u toku fluida. Brzina strujanja opisana je vektorom ~v a gustoća fluida funkcijom ρ. Brzinu fluida opisat će se sa vektorskom funkcijom ~v (x, y, z), a lokalnu gustoću fluida funkcijom ρ(x,y,z), pri ˇcemu treba imati na umu da ta gustoća ne mora biti konstantna. U prvom koraku brzina ~v će se rastaviti na njezine komponente ~vx , ~vy i ~vz . Nakon toga treba pogledati ˇsto se dogada sa x-komponentom brzine, ~vx . Ona je okomita na prednju (1) i straˇznju plohu (2) razmatronoga volumena. Veliˇcinu x-komponente brzine na plohi 1 oznaˇcit će se s ~v1x a njenu veliˇcinu na plohi 2 s ~v2x . Ako je razmak izmedu te dvije plohe (= dx!) malen, moˇze se x komponenta brzine razviti u Taylorov red pa odbaciti viˇse ˇclanove: v2x = v1x + pri ˇcemu se koristi ˇcinjenica da je: 61

∂vx dx ∂x

(5.1)

62

GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)

~vx = vx · ~i

(5.2)

Na isti se naˇcin nalazi i gustoća fluida: ∂ρ dx (5.3) ∂x Brzina toka nosi fluid kroz taj nepomiˇcni volumen. U nekom infinitezimalnom malenom vremenu dt kroz prednju plohu (1) u elementarni volumen ude volumen fluida koji je jednak umnoˇsku povrˇsine prednje plohe, x komponente brzine toka na njoj i proteklog vremena: ρ2 = ρ1 +

V1 = dAv1x dt = dydzv1x dt

(5.4)

y i z komponente brzine su paralelne sa spomenutom plohom pa ne doprinose toku fluida kroz plohu 1! Sada se uz pomoć gustoće odredi masa fluida koja je kroz plohu 1 uˇsla u elementarni volumen: m1x = ρ1 V1 = ρ1 dydzv1x dt

(5.5)

Istovremeno je kroz plohu 2 iz volumena izaˇsla masa fluida: m2x = ρ2 V2 = ρ2 dydzv2x dt

(5.6)

Razlika ove dvije jednadˇzbe predstavlja masu fluida koja je u x-smjeru izaˇsla iz elementarnoga volumena: dmx = m2x − m1x = ρ2 dydzv2x dt − ρ1 dydzv1x dt

(5.7)

sredivanjem i uvrˇstavanjem jednadˇzbi 5.1 i 5.3 dobija se sljedeći izraz: !

∂vx ∂ρ dmx = vx +ρ dV dt ∂x ∂x

(5.8)

Na isti naˇcin je gubitak mase u y i z smjerovima opisan izrazima: !

∂ρ ∂vy dmy = vy +ρ dV dt ∂y ∂y

(5.9)

i !

∂ρ ∂vz dmz = vz +ρ dV dt ∂z ∂z

(5.10)

Ukupni gubitak mase iz elementarnoga volumena dV zbroj je gubitaka po pojedinim smjerovima: dm = dmx + dmy + dmz

(5.11)

Medutim, ako se u vremenu dt masa fluida unutar elementarnog volumena promijeni za dm, to se mora odraziti u smanjenju gustoće fluida u elementarnom volumenu dV jer je masa fluida saˇcuvana: dm = −

∂ρ dV dt ∂t

(5.12)

ˇ 5.1: POSEBNI OBLICI JEDNADZBE NEPREKIDNOSTI

63

Izjednaˇcavanjem jednadˇzbi 5.11 i 5.12 i sredivanjem izlazi: ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂vx ∂vy ∂vz vx + vy + vz +ρ + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

!

=−

∂ρ ∂t

(5.13)

Izraz na lijevoj strani gornje jednadˇzbe pretstavlja masu fluida koja je izaˇsla iz jediniˇcnog volumena u jedinici vremena i naziva se divergencija toka mase. Jednadˇzbu 5.13 moˇzemo mnogo jednostavnije zapisati u vektorskom obliku kao ∂ρ + div(ρ~v ) = 0 ∂t ˇsto se neki puta piˇse i na ovaj naˇcin: ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t

(5.14)

(5.15)

~ naziva se nabla i pretstavlja tzv. diferencijalni vektorski operator Simbol ∇ ~ = ∂ ~i + ∂ ~j + ∂ ~k ∇ ∂x ∂y ∂z

(5.16)

Jednadˇzba 5.13 (5.14 odn. 5.15) je op´ ca jednadˇ zba kontinuiteta (saˇ cuvanja mase).

5.1 5.1.1

Posebni oblici jednadˇ zbe neprekidnosti Stacionarno strujanje

U stacionarnim situacijama vremenske promjene fizikalnih parametara (u ovom sluˇcaju gustoće) isˇcezavaju pa se jednadˇzba neprekidnosti pojednostavi: div(ρ~v ) = 0

5.1.2

(5.17)

Teku´ cine

Gustoća tekućina je praktiˇcki konstantna pa se njene malene promjene u realnim stuacijama potpuno zanemaruju. Uz ovo pojednostavljenje (ρ=konst. !), jednadˇzba neprekidnosti postaje div(~v ) = 0

(5.18)

i ona u ovom obliku vrijedi i za nestacionarna (jer je gustoća i u vremenu konstantna!) i stacionarna strujanja.

5.1.3

Kvazi-jednodimenzionalni sluˇ caj

U jednodimenzionalnom ograniˇcenju element volumena prelazi u element duˇzine, a element povrˇsine isˇcezava. Jednadˇzba 5.14 postaje ρ

∂v ∂ρ +v =0 ∂x ∂x

(5.19)

64

GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA) U sluˇcaju tekućine jednadˇzba (5.19) prelazi u:

∂v =0 (5.20) ∂x s implikacijom da je v =konst. Ovo ne odgovara niti jednom realnom sluˇcaju, pa kada se govori o jednodimenzionalnom (1D) strujanju u stvari se misli na strujanje koje se odvija samo u smjeru x-osi. To znaˇci da vy i vz komponente brzine isˇcezavaju u cijelom prostoru. U tom sluˇcaju elementarna povrˇsina dA = dydz je uvijek okomita na brzinu a u vremenu dt kroz nju protekne masa fluida: ρ

dm = dAvρdt

(5.21)

Podijeli li se jednadˇzbu (5.12) sa dt dobije se tzv. maseni protok fluida: dm = dAvρ (5.22) dt Kako je dA maleno, brzina i gustoća fluida na cijeloj toj povrˇsini su praktiˇcki konstantni, pa se moˇze reći da je: QM =

QM = konst.

(5.23)

Kod toga se ˇcesto umnoˇzak: dAv = dA

dx dV = =Q dt dt

(5.24)

naziva volumnim protokom fluida, Q. Tako dugo dok je dA maleno, izvedeni zakljuˇcci su ispravni i govori se o toku u strujnom vlaknu. Medutim, ako se gleda tok konaˇcnih popreˇcnih dimenzija, gustoća i brzina preko popreˇcnoga presjeka toka A ne moraju biti konstantni. Situacija se rjeˇsava tako da se brzinu i gustoću stvarnog toka usrednjava preko povrˇsine A i tako dobivene srednje vrijednosti uvrˇstava u jedn. 5.22. Ona u tom sluˇcaju prelazi u: dm Z QM = = vρdA = v¯ρ¯A = konst. dt A gdje su v¯ i ρ¯ srednje vrijednosti brzine i gustoće preko povrˇsine A.

(5.25)

Jednadˇzba (5.25) pokazuje da je u 1D sluˇcaju maseni protok konstantan po cijelom toku. Kao ˇsto je to prije napomenuto, ovdje se u stvari radi o kvazi-jednodimenzionalnom toku, dakle o toku koji se odvija u smjeru neke krivulje pa je za njegov opis dovoljna jedna koordinata (obiˇcno put prevaljen po krivulji) pri ˇcemu sama krivulja moˇze opisivati vrlo zamrˇseni put u stvarnom prostoru. Primjer upotrebe ove aproksimacije je teˇcenje kroz cjevovode koje tretiramo upravo na ovaj naˇcin. Kod toga se jednadˇzba (5.25) raspisuje za dva mjesta u toku, koja se oznaˇcavaju brojevima 1 i 2, a znak srednje vrijednosti iznad simbola brzine i gustoće se ispuˇsta: QM = A1 v1 ρ1 = A2 v2 ρ2

(5.26)

Treba zapamtiti da u gornjem sluˇ caju v i ρ pretstavljaju srednje vrijednosti odgovaraju´ cih fizikalnih veliˇ cina!

ˇ 5.1: POSEBNI OBLICI JEDNADZBE NEPREKIDNOSTI

65

U sluˇcaju tekućine jedn. (5.26) se dodatno pojednostavi na: A1 v1 = A2 v2 = Q = konst.

(5.27)

pa je dakle i volumni protok konstantan, a maseni i volumni protok medusobno su proporcionalni: QM = ρQ

(5.28)

66

GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)

Glava 6 Dimenzionalna analiza Dimenzionalna analiza fizikalna je metoda za pronalaˇzenje funkcionalnoga oblika raznih fizikalnih zakona koriˇstenjem analize dimenzije fizikalne veliˇcine koja se tim zakonom opisuje. Ona se zasniva na principu homogenosti. Taj princip govori da svi ˇclanovi jednadˇzbe koja opisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije. Uz princip homogenosti dimenzionalna analiza oslanja se i na princip analitiˇ cnosti prema kojem se svaka pojava moˇze opisati nekom analitiˇckom funkcijom oblika: f (x1 , x2 , ..., xn ) = 0

(6.1)

x1 , x2 , ..., xn su fizikalne veliˇcine o kojima ta pojava ovisi. Prednost dimenzionalne analize je da se relativno jednostavnim postupkom nalazi rjeˇsenje vrlo kompleksnih fizikalnih odnosa. Nedostatak joj je da ne moˇze dati iznos konstante proporcionalnosti u jednadˇzbi koja opisuje analiziranu pojavu (mnoˇzenje gornje jednadˇzbe bilo kojom konstantom ne mijenja je!). Nadalje, dimenzionalna analiza zahtijeva dobro poznavanje pojave koja se analizira i veliˇcina o kojima ona ovisi. U protivnom je dobiveni izraz neupotrebiv. Ovisno o broju fizikalnih veliˇcina xi o kojima ovisi analizirana pojava, postoje dva pristupa rjeˇsavanju problema dimenzionalnom analizom. Ako je broj tih veliˇcina malen (najviˇse 3-4), jednadˇzbu (6.1) se rjeˇsava izravno, a ako je broj varijabli veći koristimo se tzv. πteoremom o kojemu će biti viˇse rijeˇci kasnije.

6.1

Mali broj fizikalnih varijabli

Jednadˇzbu (6.1) prvo se prepiˇse u eksplicitni oblik, npr. za sluˇcaj 4 fizikalne varijable: x4 = f (x1 , x2 , x3 )

(6.2)

x4 je ovdje zavisna fizikana varijabla koja ovisi o tri nezavisne varijable x1 , x2 i x3 ! Poznato je (princip homogenosti) da dimenzije lijeve i desne strane ove jednadˇzbe moraju biti jednake, pa se u sljedećem koraku umjesto same veliˇcine x4 u lijevu stranu jednadˇzbe uvrˇstava njena fizikalna dimenzija, [x4 ], a u desnu stranu dimenzije varijabli x1 , x2 i x3 , ali potencirane na neke zasad nepoznate potencije a, b i c: [x4 ] = [x1 ]a [x2 ]b [x3 ]c 67

(6.3)

68

GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA

6.1.1

Primjer: brzina zvuka

Zvuk je mehaniˇcki poremeˇcaj (titranje) koji se ˇsiri kroz tvar. Poznato je da su promjene tlaka kod zvuka malene i da se zvuk kroz homogenu tvar ˇsiri konstantnom brzinom. Iz teorije titranja takoder se moˇze vidjeti da je brzina reakcije tvari na neki poremeˇcaj proporcionalna modulu elastiˇcnosti (Youngov modul, E). S druge strane, tromost pomaknutoga dijela tvari proporcionalna je njezinoj gustoći, ρ. Koristeći ove podatke, slaˇze se pretpostavljena jednadˇzba za brzinu zvuka: v0 = BE x ρy

(6.4)

Tu je B bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, koju dimenzionalna analiza ne moˇze odrediti. x i y su racionalni brojevi. U idućem se koraku u ovu jednadˇzbu na mjesto fizikalnih veliˇcina uvrˇstavaju njihove dimenzije: [v0 ] = lt−1

[ρ] = ml−3

[E] = ml−1 t−2

(6.5)

Ovdje m oznaˇcava masu, l duˇzinu a t vrijeme. Nakon tog uvrˇstavanja dobije se dimenziona jednadˇ zba: lt−1 = (ml−3 )x (ml−1 t−2 )y

(6.6)

nju se prvo sredi tako da se grupiraju eksponenti pojedinih osnovnih veliˇcina: lt−1 = mx+y l−(x+3y) t−2x

(6.7)

Sad se upotrijebi princip homogenosti: eksponenti osnovnih fizikalnih veliˇcina moraju na obje strane jednadˇzbe biti jednaki. To sad daje odvojene jednadˇzbe za eksponente x i y: x+y =0

− x − 3y = 1 2x = 1

(6.8)

S rjeˇsenjem: 1 1 y=− (6.9) 2 2 ˇ Cinjenica da je rjeˇsenje jednoznaˇcno, ukazuje da je dimenzionalna jednadˇzba formalno dobro postavljena (nije zaboravljena neka bitna fizikalna veliˇcina, a nije ni uvrˇstena neka nebitna). U zadnjem koraku ovako dobivene koeficijente vraća se u poˇcetnu jednadˇzbu (6.4) ˇcime se dobije općeniti izraz za brzinu zvuka: x=

s

v0 = B

E ρ

(6.10)

Toˇcnost ovako izvedena zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Za tekućine se tako nalazi da je B = 1 a za plinove B = γ (omjer toplinskih kapaciteta plina, Cp /CV ). Kod ovoga postupka postoji mogućnost da rjeˇsenje eksponenata nije jednoznaˇcno. U sluˇcaju da jednadˇzbe dadu manji broj rjeˇsenja, moˇze se probati sloˇziti jednadˇzba u kojoj ˇclanovi imaju sve dozvoljene (iste dimenzije!) kombinacije eksponenata, npr. : v0 =

X i

Bi E xi ρyi

(6.11)

6.2: VELIKI BROJ FIZIKALNIH VARIJABLI

69

Neki od ˇclanova mogu se ukloniti uz pomoć fizikalnih argumenata, za ˇsto je potrebno mnogo iskustva i znanja. Ako se pak kao rjeˇsenje dobije cijela familija raznih eksponenata, to znaˇci da poˇcetna jednadˇzba nije dobro postavljena, tj. da u njoj nedostaje neka bitna fizikalna veliˇcina.

6.2

Veliki broj fizikalnih varijabli

U sluˇcaju većeg broja fizikalnih veliˇcna potrebnih za opisivanje neke fizikalne pojave koriste se tzv. π teorem (Vaschy-Buckinghamov teorem) kojeg ovdje nećemo dokazivati: π teorem: Izraz f (xi ) = 0 ne smije ovisiti o sustavu mjernih jedinica. Drugim rijeˇ cima f je bezdimenzionalna funkcija! Odatle slijedi da se f moˇze napisati kao: Φ(π1 , π2 , ..., πn ) = 0

(6.12)

gdje su πi bezdimenzionalni monomi sloˇzeni od varijabli xi . Uvodenje ovakvih monoma smanjuje broj argumenata funkcije Φ za broj osnovnih fizikalnih veliˇcina koje su potrebne za opisivanje danog problema (obiˇcno 2-3, neki puta i viˇse!). S druge strane, postupak je osjetljiv i ˇcesto puta nepregledan pa ga je bolje prepustiti struˇcnjacima koji se bave ovim podruˇcjem, te prihvatiti zakljuˇcke do kojih su oni doˇsli (npr. sljedeći primjer).

6.2.1

Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid

Ovo je vrlo sloˇzen fizikalni problem koji teorijski ni izdaleka nije rijeˇsen. Zbog toga se i danas koeficijenti otpora odreduju eksperimentalno, a opći oblik zakona otpora dobiven dimenzionalnom analizom koristi se kao podloga za funkcionalni oblik eksperimentalno dobivenih podataka. Mnoˇstvo pokusa pokazuje slijedeće opće ˇcinjenice: otpor koji tijelo osjeća pri gibanju kroz fluid ovisi o gustoći fluida, ρ, brzini gibanja tijela, v i nekoj karakteristiˇcnoj dimenziji tijela, l. Nadalje je jasno da otpor ovisi i o viskoznosti fluida, µ. Otpor ćemo pretstaviti silom F koju tijelo osjeća pri gibanju kroz fluid. Funkcija f je dakle oblika: f (F, ρ, l, v, µ) = 0

(6.13)

Vidi se da funkcija f ima 5 argumenata, od kojih su tri (ρ, l i v) osnovne fizikalne veliˇcine, a dvije (F i µ) izvedene. Prema π teoremu je u funkciji Φ 5-3=2 monoma: Φ(π1 , π2 ) = 0

(6.14)

Svaki od ta dva monoma slaˇze se od jedne izvedene veliˇcine i kombinacije svih osnovnih (u ovo sluˇcaju 3) veliˇcina: π1 = F ρx1 ly1 v z1

π2 = µρx2 ly2 v z2

(6.15)

U slijedećem koraku radi se zasebna dimenzionalna analiza za svaki od ovih monoma: m0 l0 t0 = (mlt−2 )(ml−3 )x1 ly1 (lt−1 )z1

(6.16)

70

GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA

m0 l0 t0 = (l2 t−1 )(ml−3 )x2 ly2 (lt−1 )z2

(6.17)

rjeˇsenje prvoga monoma je x1 = −1, y1 = −2 i z1 = −2, pa je: π1 =

F F = 2 2 ρl v ρAv 2

(6.18)

sliˇcno, rjeˇsenje drugoga monoma je x2 = 0, y2 = −1 i z2 = −1, pa je: π2 =

1 µ = lv Re

(6.19)

Funkcija Φ je ovoga oblika: Φ(

F 1 )=0 , ρAv 2 Re

(6.20)

Pa izraz za silu (traˇzeni izraz za otpor tijela!) ima oblik: F = ρAv 2 f (Re )

(6.21)

Ako se stavi da je C(Re ) = 2f (Re ), dobija se poznata Newtonova formula za otpor tijela: 1 F = CρAv 2 2 Koeficijent C ovisi o Re i obliku tijela i odreduje se eksperimetalno.

(6.22)

Glava 7 Stacionarno teˇ cenje idealnoga fluida Idealni fluid je svaki fluid koji ne pruˇza nikakav otpor teˇcenju. Viskoznost takvoga fluida ne postoji, a ova se idealizacija ˇcesto puta koristi u jednostavnim raˇcunima i u situacijama kada gubici zbog unutarnjega trenja tekućine nisu veliki. Za idealni fluid vrijedi Eulerova jednadˇzba koju je mnogo lakˇse rijeˇsiti od jednadˇzbi za realne tekućine (tzv. Navier-Stokesove jednadˇzbe) Uz to u najvećem dijelu problema iz prakse, fluid teˇce stacionarno u polju sile teˇze. Zato se analizu poˇcinje sa Eulerovom jednadˇzbom za polje sile teˇze (kvazi-1D oblik): Z ∂v v 2 Z dp + + gz + ds = konst. 2 ρ ∂t

(7.1)

Kad je teˇcenje stacionarno, zadnji ˇclan lijeve strane otpada (jednak je nuli), pa se dolazi do kvazi1D Euler-ove jednadˇzbe za stacionarno teˇcenje: v 2 Z dp + + gz = konst. 2 ρ

(7.2)

Nadalje, ako se zanemari stlaˇcljivost fluida (uglavnom tekućine, i plinovi ako su promjene tlaka i temperature malene), gustoća je konstantna ˇsto omogućava formalnu integraciju gornje jednadˇzbe, s rezultatom: v2 p + + gz = konst. 2 ρ

(7.3)

Ova jednadˇzba naziva se Bernoullijeva jednadˇzba. Ona vrijedi za stacionarno strujanje nestlaˇcivoga fluida i jedna je od najviˇse koriˇstenih jednadˇzbi mehanike fluida. Ona rjeˇsava sluˇcajeve u mehanici fluida kada se strujanje fluida moˇze tretirati kao kvazi-jednodimenzionalno. Pogledajmo stoga malo detaljnije znaˇcenje pojedinih ˇclanova ove jednadˇzbe. Prvi ˇclan je: v2 (7.4) 2 a ako njegova dimenzija u stvari odgovara dimenziji gustoće energije i predstavlja energiju jediniˇcne mase fluida: m2 s−2 = m2 s−2

kg Nm J = = kg kg kg

(7.5)

Kako se ova gustoća izvodi iz brzine, radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog brzine kojom se giba (kinetiˇcka energija). Drugi ˇclan Bernoullijeve jednadˇzbe je: 71

ˇ GLAVA 7: STACIONARNO TECENJE IDEALNOGA FLUIDA

72

p ρ

(7.6)

koji po principu homogenosti takoder mora imati dimenzije gustoće energije: Nm−2 Nm J Pa = −3 = −3 = kg kg kgm kgm

(7.7)

pri ˇcemu je upotrebljena osnovna dimenzija Newtona kao jedinice za silu: N = kgms−2

(7.8)

Ovaj dio energije dolazi od tlaka u fluidu, pa pretstavlja tzv. unutarnju energiju fluida. I na kraju, treći ˇclan je: gz

(7.9)

Dimenzija ovog ˇclana je m2 s−2 kao i dimenzija prvoga ˇclana pa se i kod njega oˇcigledno radi o gustoći energije. U ovom sluˇcaju radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog svojega poloˇzaja u polju sile teˇze (tzv. potencijalna energija). Pogledajmo sad cijelu Bernoullijevu jednaˇzbu. Njezina lijeva strana zbroj je tri gustoće razliˇcitih vrsta energije (kinetiˇcke, unutarnje i potencijalne) a desna strana je konstana. Ova konstanta je ukupna gustoća energije fluida, ˇsto znaći da je gustoća ukupne enrgije fluida konstantna. Bernoullijeva jednadˇzba izriˇce zakon saˇcuvanja energije za nestlaˇcivi fluid!

7.1

Ravnoteˇ za u smjeru okomitom na strujnicu

r

dA

p

v α

Slika 7.1: Sile koje djeluju na ˇcesticu fluida u smjeru okomitom na strujnicu. Kod stacionarnog teˇcenja ove sile se moraju medusobno uravnoteˇziti. Kod stacionarnoga teˇcenja sile koje djeluju na ˇcesticu fluida okomito na strujnicu se moraju medusobno uravnoteˇziti jer se strujnica u vremenu ne mijenja. Radi jednostavnosti

ˇ ´ 7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADZBA ZA IDEALNE TEKUCINE

73

je na slici 7.1 pretpostavljeno strujno vlakno kvadratiˇcnoga presjeka i strujna ˇcestica u obliku malena kvadra. Na boˇcne plohe strujne ˇcestice djeluje tlak, centrifugalna sila i komponenta sile teˇze u smjeru normale odgovarajuće plohe. Ako je tlak na donju plohu p, onda je tlak na gornju plohu: ∂p dn (7.10) ∂n Komponenta sile teˇze u smjeru normale plohe je dmg cos α, pa je ravnoteˇza sila za gornju i donju plohu opisana sljedećim izrazom: p+

∂p v2 pdA − p + dn dA + dm + dmg cos α = 0 ∂n r !

(7.11)

Kako je masa ˇcestice fluida dm = ρdAdn izraz prelazi u: v2 ∂z ∂p dndA + dAdnρ − dAdnρg =0 ∂n r ∂n a nakon sredivanja ostaje: −

(7.12)

v2 dn − ρgdz (7.13) r Ukupna promjena tlaka okomito na smjer strujanja sastoji se od dva dijela (dva ˇclana desne strane jednadˇzbe), od kojih se prvi naziva dinamiˇcki doprinos, a drugi statiˇcki. Dinamiˇcki doprinos promjeni tlaka dolazi od zakrivljenosti strujnice i s time povezane inercijske centrifugalne sile. Statiˇcki doprinos je jednostavno promjena hidrostatiˇckoga tlaka zbog promjene dubine u fluidu (dz). Kad strujanja nema, ili je strujnica ravna (r = ∞) dobije se od prije poznata jednadˇzba hidrostatiˇcke ravnoteˇze: dpn = ρ

dpn = −ρgdz

(7.14)

S druge strane, ako se strujanje odvija u horizontalnoj ravnini, nema promjene hidrostatskoga tlaka pa drugi ˇclan isˇcezava: v2 dn (7.15) r Ova jednadˇzba naziva se jednadˇzba radijalne ravnoteˇze toka i od velike ja vaˇznosti u 2D proraˇcunima teˇcenja. U sluˇcajevima kad strujnice postanu koncentriˇcne kruˇznice (vrtlozi) ova jednadˇzba dodatno se pojednostavi: dpn = ρ

dpn = ρ

7.2

v2 dr r

(7.16)

Bernoullijeva jednadˇ zba za idealne teku´ cine

Bernoullijeva jednadˇzbu za nestlaˇcivi fluid pomnoˇzi se s g: v2 p + + z = z◦ 2g ρg

(m)

(7.17)

74


Lako se provjeri da svi ˇclanovi sad imaju dimenzije duljine. Shodno tome oni se nazivaju visine: v 2 /2g je brzinska visina p/ρg je tlaˇ cna visina z je geodetska visina z◦ je visina energetskog horizonta (visina energetske linije) Drugim rijeˇcima, zbroj brzinske visine, tlaˇce visine i geodetske visine jednak je (konstantnoj) visini energetskog horizonta. Nadalje, zbroj tlaˇcne i geodetske visine naziva se piezometarska visina. To je visina do koje se podiˇze tekućina u piezometru, pa ovaj pojam ima veliko praktiˇcno znaˇcenje, jer se piezometarska visina moˇze izravno mjeriti. I ovaj oblik Bernoullijeve jednadˇzbe opisuje saˇcuvanje ukupne energije tekućine, iako je on skriven (svi ˇclanovi imaju dimenziju duˇzine). No, spretnim raspisivanjem te dimenzije nalazi se: m=m

J J N = = N N G◦

G◦ = kg · 1 g

(7.18)

Pojedini ˇclanovi predstavljaju dakle odgovarajuće energije izraˇzene po teˇzini jediniˇcne mase tekućine. Ovaj se oblik Bernoullijeve jednadˇzbe u praksi najˇceˇsće koristi jer se piezometarska visina moˇze jednostavno i izravno mjeriti, a sliˇcno je i sa ostalim visinama koje ulaze u ovaj oblik Bernoullijeve jednadˇzbe. Kod koriˇstenja Bernoullijeve jednadˇzbe za rjeˇsavanje problema u praksi promatraju se dvije pogodno odabrane toˇcke na strujnici. Kako je i gustoća tekućine i energetska vsina konstantna, raspisivanje Bernoullijeve jednadˇzbe za te dvije toˇcke i izjednaˇcavanje lijevih strana daje praktiˇcni oblik Bernoullijeve jednadˇzbe: p1 v2 p2 v12 + + z1 = 2 + + z2 2g ρg 2g ρg

(7.19)

1 i 2 su bilo koje dvije toˇcke na (istoj!) strujnici. U ovoj ˇcinjenici je sakriven i najveći problem Bernoullijeve jednadˇzbe: ona vrijedi samo za jednu toˇcno odredenu strujnicu, a najˇceˇsće se ne zna toˇcan tok te strujnice kroz prostor! Ovaj se problem u praksi zanemaruje (inaˇce se ne bi mogla koristiti Bernoullijeva jednadˇzba) a raˇcun se radi sa srednjim vrijednostima veliˇcina koje u Bernoullijevu jednadˇzbu ulaze. Mnoˇstvo teoretskih i eksperimentalnih istraˇzivanja pogreˇske koja se takovim naˇcinom raˇcunanja radi pokazalo je da najveću pogreˇsku unosi upotreba srednje vrijednosti brzine. Zato treba doći do pribliˇzne ocjene veliˇcine te pogreˇske. Pritom se kreće od toka kinetiˇcke energije kroz strujno vlakno: dm v22 dEk = dt dt 2

(7.20)

pri ˇcemu je protok mase opisan sa: dm dV dAv =ρ =ρ dt dt dt spajanjem ove dvije jednadˇzbe izlazi: dEk ρ = v 3 dA dt 2

(7.21)

(7.22)

ˇ ´ 7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADZBA ZA IDEALNE TEKUCINE

75

Za cijeli presjek toka ovaj izraz mora se integrirati preko povrˇsine presjeka toga toka: ρZ 3 d (Ek ) = v dA (7.23) dt 2 A Provede li se li ovu integraciju sa srednjom vrijednosti brzine (koja je konstanta!) dobije se: d ¯ ρ (Ek ) = v¯3 A (7.24) dt 2 matematiˇcki se moˇze pokazati da je integral sa pravom vrijednoˇsću brzine uvijek veći od rezultata dobivenoga srednjom vrijednosti brzine: Z

v 3 dA > v¯3 A

(7.25)

A

a omjer koji opisuje razliku ova dva rezultata: R

α=

v 3 dA >1 v¯3 A

A

(7.26)

ˇ li se izbjeći pogreˇske nastale upotrebom srednjih naziva se Coriolissov koeficijent. Zeli vrijednosti u Bernoullijevoj jednadˇzbi mora se njezine brzinske ˇclanove popraviti upotrebom ovoga koeficijenta: p v2 + + z = z◦ 2g ρg

(7.27)

p1 p2 v12 v2 + + z1 = α2 2 + + z2 2g ρg 2g ρg

(7.28)

α odnosno, u praktiˇcnom obliku: α1

ˇsto naravno pretpostavlja da je njegova vrijednost barem pribliˇzno poznata. Ako nije, ostaje da se pretpostavi δ = 1 i na neki drugi naˇcin pokuˇsa ocijeniti uˇcinjenu pogreˇsku. U sluˇcaju kad se strujanje zaustavi Bernoullijeva jednadˇzba prelazi u jednadˇzbu hidrostatske ravnoteˇze: p = ρg(z◦ − z)

(7.29)

Slika 7.2 zorno prikazuje znaˇcenje pojedinih ˇclanova Bernoullijeve jednadˇzbe za idealne tekućine. I energetska i geodetska visina mjere se od tzv. referentne ravnine koja se obiˇcno postavlja kroz ili ispod najniˇze toˇcke. Time je osigurano da su te visine u svim toˇckama problema pozitivne. Standardna referentna ravnina je ploha geoida koja predstavlja zamiˇsljen srednju razinu morske povrˇsine, a visine mjerene prema njoj nazivaju se nadmorske visine. Kako je za idealnu tekućinu ukupna energija saˇcuvana, energetska linija je horizontalna, na visini zo , sa koje poˇcinje tok tekućine. Kao ˇsto je to već napomenuto, za raˇcun se uzima srednje vrijednosti veliˇcina za os strujne cijevi za koju se rjeˇsava Bernoullijeva jednadˇzba. Kako se hidrostatski tlak pojavljuje na obje strane praktiˇcne Bernoullijeve jednadˇzbe, moˇze ga se izraˇzavati kao apsolutni ili kao relativni tlak, jer se konstatna razlika medu njima krati, ali u tome se treba biti konzistentan. Za rjeˇsavanje praktiˇcnih problema koristi se praktiˇcni oblik Bernoullijeve jednadˇzbe za dvije pogodno odabrane toˇcke na osi strujne cijevi (slika 7.3). Prva se toˇcka obiˇcno bira tako da se


76

energetska linija

piezometarska linija zo z 0

0

Slika 7.2: Grafiˇcki prikaz Bernoullijeve jednadˇzbe za idealne tekućine. Sve visine veˇzu se za os strujne cijevi.

1

2 zo

z1 0

z2

0

Slika 7.3: Grafiˇcki prikaz praktiˇcnoga oblika Bernoullijeve jednadˇzbe za idealne tekućine. Jednadˇzbu se postavlja za dvije toˇcke (1 i 2) na osi strujne cijevi, odn. za odgovarajuće ravnine presjeka toka, ravninama kroz te dvije toˇcke. za nju znaju vrijednosti svih relevantnih visina, pa se onda uz pomoć praktiˇcne Bernoullijeve jednadˇzbe nalaze vrijednosti tih veliˇcina u drugoj toˇcki. Tu je ˇcesto puta uz Bernoullijevu jednadˇzbu potrebno koristiti i jednadˇzbu kontinuiteta, radi odredivanja srednje brzine toka u drugoj toˇcki. Cijeli se postupak u toku rjeˇsavanja postavljenoga problema ˇcesto ponavlja mnogo puta za razliˇcite toˇcke toka.

Glava 8 Stacionarno teˇ cenje realnoga fluida U mnogim realnim situacijama nije moguće zanemariti viskoznost fluida koji teˇce. Zbog viskoznosti dolazi do trenja izmedu ˇcestica fluida i okolnih objekata, kao i izmedu pojedinih ˇcestica fluida, ˇsto kao i kod trenja krutih objekata rezultira stvaranjem topline i gubitkom dijela energije fluida. Mnogobrojni pokusi, uglavnom bazirani na originalnom Newton-ovom pokusu pokazali su da se viskozna sila moˇze prikazati kao umnoˇzak tangencijalnoga naprezanja i (tangencijalne) povrˇsine na koju to naprezanje djeluje: Fvis = τ A

(8.1)

U sluˇcaju da se radi o ˇcestici fluida, viskozna slika djeluje na njeno boˇcno oploˇsje dA = dOds pa je viskozna sila opisana sa: dFvis = τ dOds

(8.2)

da bi gubitak energije zbog ove viskozne sile pretvorio u gubitak energetske visine, mora se rad koji ta sila uˇcini na putu ds podijeliti s teˇzinom ˇcestice ρgdV : dhvis =

dFvis dFvis ds = ρgdAds ρgdA

(8.3)

Prema tome, posljedica viskoznosti fluida je gubitak energije fluida. Ovaj gubitak odvija se u smjeru teˇcenja pa se energija realne tekućine uvijek smanjuje u smjeru u kojem se tok odvija.

8.1

Bernoullijeva jednadˇ zba za realne teku´ cine

Viskozne gubitke energije kod teˇcenja realnih tekućina najˇceˇsće se opisuje ukupnim gubitkom nastalim izmedu dva presjeka toka, koji se, izraˇzen kao gubitak energetske visine, dodaje desnoj strani praktiˇcnoga oblika Bernoullijeve jednadˇzbe: v12 p1 v22 p2 + + z1 = + + z2 + ∆H 2g ρg 2g ρg

(8.4)

Ovaj gubitak uvijek je veći od nule (trenje uvijek pretvara dio raspoloˇzive energije u toplinu) pa je u presjeku 2 ukupna energetska visina tekućine smanjena za iznos gubitaka ∆H. kod realnih teku´ cina ukupna energija teku´ cine se u smjeru toka stalno 77

ˇ GLAVA 8: STACIONARNO TECENJE REALNOGA FLUIDA

78

1

∆H

2

zo E

z z1

z2

0

0

Slika 8.1: Grafiˇcki prikaz praktiˇcnoga oblika Bernoullijeve jednadˇzbe za realne tekućine. Ukupni gubici energije nastali izmedu presjeka 1 i 2 opisuju se smanjenjem energetske visine za visinu gubitaka ∆H. smanjuje!. Gore navedeni oblik Bernoullijeve jednadˇzbe naziva se Bernoullijeva jednadˇzba za realne tekućine.

8.1.1

Odredivanje gubitaka

Bernoullijeva jednadˇzba za realne tekućine omogućava nam i praktiˇcno odredivanje gubitaka. Pritom se mora osigurati da je teˇcenje stacionarno (=konstantan protok kroz cjevovod). Na mjestima 1 i 2 se prvo izmjeri piezometarske visine hp : p hp = z + ρg

!

(8.5)

Nakon toga se pomoću jednadˇzbe kontinuiteta odredi srednje brzine toka na tim mjestima (uz pretpostavku da je poznat protok kroz cjevovod, a koji se lako moˇze izmjeriti): v1 A1 = v2 A2 = Q

(8.6)

a onda se, uz pomoć Bernoullijeve jednadˇzbe za realne tekućine, odredi gubitak energetske visine: v12 p1 v2 p2 + + z1 − 2 + + z2 2g ρg 2g ρg !

∆H =

!

(8.7)

jednadˇzbu (8.7)moˇze se pojednostaviti uvrˇstavanjem izmjerenih piezometarskih visina: v12 v2 + hp1 − 2 + hp2 2g 2g !

∆H =

!

(8.8)

Kod stvarnih mjerenja ove vrste najˇceˇsće se koriste cijevi konstantnoga presjeka, jer je u tom sluˇcaju srednja brzina toka svugdje jednaka, a gubici se nalaze vrlo jednostavno kao razlika izmjerenih piezometarskih visina:

ˇ ´ 8.1: BERNOULLIJEVA JEDNADZBA ZA REALNE TEKUCINE

∆H = hp1 − hp2

79

(8.9)

Gubitak energetske visine izraˇzen po jedinici duljine toka naziva se energetski gradijent ili energetski pad: ∆H (8.10) l gdje je l duˇzina toka na kojoj nastaje gubitak h1,2 . Sliˇcno, gubitak piezometarske visine izraˇzen po jedinici duljine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidrauliˇ cki gradijent: Ie =

hp1 − hp2 = tan α (8.11) l koji se ˇcesto puta izraˇzava i kao tangens kuta nagiba piezometarske linije prema horizontali (α). Ip =

80

ˇ GLAVA 8: STACIONARNO TECENJE REALNOGA FLUIDA

Glava 9 Teˇ cenje kroz cijevi 9.1

Reynoldsov pokus

v

Slika 9.1: Reynoldsov pokus. U tok tekućine (plavo) u horizontalnoj cijevi ubacuje se tanka struja obojene tekućine (crveno). Poloˇzaj mjesta ubacivanja na presjeku cijevi moˇze se mijenjati pomicanjem sustava za ubacivanje. Brzina teˇcenja regulira se otvaranjem ili zatvaranjem ventila na kraju cijevi. Teorijsko proraˇcunavanje viskoznih gubitaka se pokazalo izuzetno kompleksnim, i mnogi problemi ni do danas nisu rijeˇseni na zadovoljavajući naˇcin. Zbog toga se ovaj dio mehanike fluida i danas oslanja na rezultate iscrpnih pokusa i empirijske jednadˇzbe izvedene na osnovi njih. Praktiˇcne probleme teˇcenja realnih tekućina i danas najbolje ilustrira Reynoldsov pokus koji je prvi ukazao na promjenjivu prirodu teˇcenja, u ovisnosti o njegovoj brzini. Pokus je u osnovi vrlo jednostavan (v. sliku 9.1). U tok tekućine u dugoj, horizontalnoj i, radi mogućnosti opaˇzanja, prozirnoj cijevi na njegovom se poˇcetku ubacuje tanki mlaz obojene tekućine. Protok se regulira otvaranjem i zatvaranjem ventila na kraju cijevi, a konstantni ulazni tlak osigurava se odrˇzavanjem konstantne razine tekućine u rezervoaru. Tanki mlaz obojene tekućine slijedi strujnicu na koju je ubaˇcen i omogućava praćenje njezinoga oblika po duˇzini cijevi. 81

ˇ GLAVA 9: TECENJE KROZ CIJEVI

82

Kod malih brzina teˇcenja pokus je dao oˇcekivani rezultat: strujnica je ravna i paralelna s osi cijevi. Njezin oblik ne ovisi o poloˇzaju strujnice unutar presjeka cijevi (slika 9.2).

v

Slika 9.2: Kod malih brzina teˇcenja Reynoldsov pokus pokus pokazuje da je strujnica ravna i paralelna s osi cijevi. Njen oblik ne ovisi o poloˇzaju strujnice unutar presjeka cijevi. Slika strujnica nadalje pokazuje da se ˇcestice tekućine medusobno ne mijeˇsaju već teku jedna pored druge. Preslikano na kruˇzni presjek cijevi, tekućina teˇce u slojevima (lamelama), pa se ovakav tok naziva laminarni tok. No, već i sa malim povećanjem brzine toka strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna i poˇcinje titrati, tj. mijenjati svoj poloˇzaj u vremenu (v. sliku 9.3). Pri tome slika strujanja u blizini stijenke cijevi i dalje ostaje nepromijenjena, tj. laminarna (v. sliku 9.4). Vremenska promjenjivost strujnice ukazuje na to da tok viˇse nije stacionaran, o ˇcemu će kasnije biti viˇse rijeˇci. Ovaj naˇcin teˇcenja naziva se prijelazni reˇ zin (prijelazni tok).

v

Slika 9.3: Kod neˇsto većih brzina teˇcenja strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna i poˇcinje mijenjati svoj oblik i poloˇzaj unutar toka.

9.1: REYNOLDSOV POKUS

83

v

Slika 9.4: Istovremeno, strujnice u blizini stijenke cijevi i dalje ostaju nepromijenjene. Daljnje povećavanje brzine izaziva sve brˇze promjene oblika strujnice i to u cijelom presjeku toka (v. slike 9.5 i 9.6). Vrlo brzo, u smjeru toka, strujnica se gubi i tekućina je jednoliko obojena ˇsto nam govori da dolazi do medusobnog mijeˇsanja ˇcestica tekućine. Detaljniji pokusi, uz upotrebu brzih kamera i posebnih tehnika praćenja ˇcestica tekućine, pokazuju da u toku postoje jaka vrtloˇzenja, pa se ovaj naˇcin teˇcenja naziva vrtloˇ zni ili turbulentni tok.

v

Slika 9.5: Kod joˇs većih brzina strujanja dolazi do jakoga i brzog promjena oblika strujnice i vrlo brzo i do potpunoga mijeˇsanja tekućine.

Na osnovi mnogo pokusa sa cijevima razliˇcitih promjera i uz razliˇcite brzine teˇcenja, Reynolds je empirijski ustanovio da je slika teˇcenja dva razliˇcita toka praktiˇcki ista, ako je omjer umnoˇska brzine i promjera cijevi sa koeficijentom viskoznosti tekućine za oba toka isti. Taj se omjer danas naziva Reynoldsov broj i definiran je kao:


84

v

Slika 9.6: Slika mijeˇsanja je kod većih brzina ista u cijelom presjeku cijevi, sve do njezine stijenke.

vd (9.1) ν Rezultati pokusa su nadalje pokazali da je tok laminaran ako je Re < 2320, da je u prijelaznom reˇzimu ako je Re ∼ 2320, te da je vrtloˇzan ako je Re veći od 2320. Za cijevi ˇciji presjek nije okrugao, koristi se tzv. hidrauliˇ cki radijus koji je definiran kao omjer presjeka toka i opsega tog presjeka (v. sliku 9.7): Re =

A

O Slika 9.7: Hidrauliˇcki radijus cijevi proizvoljnoga oblika presjeka omjer je povrˇsine presjeka unutarnjeg otvora cijevi i njegovoga opsega.

Rh =

A O

(9.2)

9.2: GUBICI U CJEVOVODU

85

Za okruglu cijev je hidrauliˇcki radijus jednak polovici fiziˇckoga polumjera cijevi, o ˇcemu itekako treba voditi raˇcuna! Ova nespretna razlika posljedica je povijesnog razvoja struke i danas ju je praktiˇcki nemoguće ispraviti. Kod upotrebe struˇcne literature treba pripaziti jer manji broj autora Reynoldsov broj nestandardno definira tako da hidrauliˇcki radijus okrugle cijevi bude jednak njenom fiziˇckom polumjeru. U ovom tekstu koristi se iskljuˇcivo standardna definicija Reynoldsovog broja i hidrauliˇckog polumjera. Rh =

9.2

R R2 π = 2Rπ 2

(9.3)

Gubici u cjevovodu

Cjevovod je sklop cijevi, ventila, raˇcvi i ostalih elemenata cijevne armature kroz koji teˇce tekućina. I nadalje ćemo se drˇzati zahtjeva da je tok kroz cjevovod stacionaran a tekućina nestlaˇciva. Prvi korak u teoretskoj analizi gubitaka u cjevovodu bit će analiza jednadˇzbe za gubitke izvedene iz Bernoullijeve jednadˇzbe: ∆H =

α1 v12 − α2 v22 p1 − p2 + + (z1 − z2 ) 2g ρg

(9.4)

Ako Coriollisov koeficijent ne ovisi o brzini, ˇsto je ispunjeno u najvećem broju stvarnih situacija, prvi je ˇclan ove jednadˇzbe u potpunosti odreden geometrijom cjevovoda (preko jednadˇzbe kontinuiteta!), pa on ne moˇze biti izvor gubitaka. Gubici se dakle moraju manifestirati u smanjenju sume zadnja dva ˇclana, tj. u smanjenju piezometarske visine. To postaje joˇs oˇcitije ako se ograniˇcimo na analizu cijevi konstantnoga promjera. Brzine su tada svugdje iste, pa se jednadˇzba gubitaka pojednostavi na: ∆H =

p1 − p2 + (z1 − z2 ) = hp1 − hp2 ρg

(9.5)

Kod mjerenja otpora u cijevima, one se najˇceˇsće postavljaju vodoravno, pa i zadnji ˇclan otpada: ∆H =

p1 − p2 ρg

(9.6)

Gubici zbog viskoznosti strujanja u cjevovodu dovode do pada hidrostatskoga tlaka u smjeru strujanja. Vidjet ćemo kasnije da osiguravanje dovoljnoga tlaka na izlasku iz cjevovoda (kod zadanoga maksimalnog protoka) jedan od najvaˇznijih zadataka konstruktora cjevovoda, koji u najvećom mjeri odreduje dimenzije cijevnih elemenata. Pogledajmo sad malo detaljnije tok u nekom malom dijelu horizontalne cijevi (v. sliku 9.8). Za ˇcesticu tekućine odabran je volumen omeden dvjema bliskim popreˇcnim presjecima cijevi, razmaknutima za dl. Na ˇcesticu djeluju tlaˇcne sile i sila viskoznoga trenja na stijenci cijevi, pa je jednadˇzba ravnoteˇze sila: pA = τ Odl + (p + dp)A

(9.7)

ˇsto nakon sredivanja prelazi u izraz za smanjenje tlaka u cijevi: −dp = τ dl

O τ = dl A Rh

(9.8)


86

τ v p+dp

p τ

dl

Slika 9.8: Odabir ˇcestice fluida za analizu viskoznih gubitaka u cijevi i sile koje na tu ˇcesticu djeluju. Kad bi se moglo odrediti iznos smiˇcnoga naprezanja na stijenci cijevi τ , mogla bi se rijeˇsiti jednadˇzbu (9.8). Pokazalo se da to uopće nije trivijalno, pa ćemo se posluˇziti dimenzionalnom analizom. Pretpostavi li se da je: τ = f (ν, ρ, v, Rh )

(9.9)

na osnovi ˇcega se dalje pretpostavi da je: τ = kνρx v y Rhz

(9.10)

Ovdje se dodatno pretpostavlja da je smiˇcno naprezanje proporcionalno koeficijentu viskoznosti, inaˇce bi se dobile tri dimenzione jednadˇzbe za ˇcetiri nepoznanice, ˇsto se ne moˇze jednoznaˇcno rijeˇsiti. Raspisivanje dimenzionalne jednadˇzbe daje: ML−1 T−2 = (L2 T−1 )(ML−3 )x (LT−1 )z

(9.11)

ML−1 T−2 = Mx L2−3x+y+z T−1−y (LT−1 )z

(9.12)

x = 1 y = 1 z = −1

(9.13)

a nakon sredivanja:

Odatle se nalazi:

i τ =k

νρv Rh

(9.14)

Uz upotrebu hidrauliˇckog radijusa i Reynoldsovoga broja, odn. njihove veze ν 4v = Rh Re

(9.15)

9.2: GUBICI U CJEVOVODU

87

jedn. (9.14) postaje: τ =k

8k ρv 2 4 2 ρv = Re Re 2

(9.16)

Ovo se uvrsti u jednadˇzbu za pad tlaka (9.8), kojoj se promijeni predznak: τ 8k ρv 2 dl = − dl (9.17) Rh Rh Re 2 Integracijom ovoga izraza po duljini cijevi dolazi se do izraza za ukupni pad tlaka na toj duljini: dp = −

l ρv 2 4Rh 2

(9.18)

32k Re

(9.19)

∆p = −λ Ovdje se uvede konstanta: λ=

koja se naziva bezdimenzionalni koeficijent trenja (koeficijent otpora strujanju) u ravnoj cijevi. Ako se ograniˇcimo na okrugle cijevi, 4Rh = d, gdje je d fiziˇcki promjer cijevi, pa jednadˇzba 9.8 postaje: ∆p = −λ

l ρv 2 d 2

(9.20)

l v2 d 2g

(9.21)

ili, izraˇzeno u energetskim visinama: ∆H = λ

ovo je Darcy-Wiessbachova formula za gubitke u cijevima. Po analogiji sa njom, i svi drugi gubici u dijelovima cjevovoda se prikazuju kao: ∆H = ζ

v2 2g

(9.22)

gdje je ζ bezdimenzionalni koeficijent otpora (koeficijent gubitka energije) za odgovarajući dio cjevovoda.


88

9.3

Laminarno teˇ cenje kroz cijevi

Laminarno teˇcenje u stvarnosti se javlja samo kod vrlo malih brzina strujanja (gravitacijski pobudena strujanja, ako brzina nije prevelika), strujanja u kapilarama, kroz tkanine i filtere, kod procjedivanja podzemnih voda i kod teˇcenja viskoznih tekućina (med, lava, katran i smole). U svim drugim sluˇcajevima realni fluidi teku vrtloˇzno. Problem laminarnoga teˇcenja jedini se dade matematiˇcki u cijelosti toˇcno opisati, pa se rjeˇsenja problema za laminarno strujanje ˇcesto koriste kao predloˇsci za rjeˇsavanje problema u turbulentnom reˇzimu. I ovdje će se analizu zapoˇceti od strujanja u cilindriˇcnoj cijevi, ali će se drugaˇcije odabrati ˇcesticu fluida: uzet će se da ona ima oblik cilindra, koaksijalnoga s osi cijevi i duˇzine l jednake razmaku dviju ravnina presjeka toka izmedu kojih se raˇcunaju gubici (slika 9.9).

τ

v

p1

p2 τ

l 1

2

Slika 9.9: Odabir ˇcestice fluida za analizu viskoznih gubitaka kod laminarnoga teˇcenja kroz cijev. Tangencijalno naprezanje na boˇcnoj plohi ˇcestice odredujemo uz pomoć Newtonovog zakona za tangencijalno naprezanje: τ = ρν

dv dy

(9.23)

Kako analizirani problem ima rotacionu simetriju s obzirom na os cijevi, naprezanje je isto u svim toˇckama oboda cilindra koji predstavlja razmatranu ˇcesticu, pa je ukupna viskozna sila na ˇcesticu: Ft = τ A = 2πrlτ

(9.24)

kao i prije, viskozna sila je u ravnoteˇzi sa razlikom tlaˇcnih sila na baze ˇcestice: Ft = Fp

(9.25)

Fp = (p1 − p2 )AB = ∆pr2 π

(9.26)

pri ˇcemu je razlika tlaˇcnih sila:

ˇ 9.3: LAMINARNO TECENJE KROZ CIJEVI

89

Izjednaˇcavanje slika daje sljedeći izraz: ∆pr2 π = 2πrlµ

dv dy

(9.27)

koji nakon sredivanja postaje ∆pr = lµ

dv dy

(9.28)

r R

y

Slika 9.10: Promjena koordinatnog sustava koja olakˇsava koriˇstenje rotacione simetrije. Da bi se olakˇsao daljnji raˇcun, promijeniti će se koordinatni sustav, i to tako da se ishodiˇste spusti na donju stijenku cijevi. Kod toga x-koordinata ostaje nepromjenjena, a veza izmedu nove y-koordinate i udaljenosti od osi cijevi je: y =R−r

dy = −dr

(9.29)

Ovom promjenom koordinata izraz (9.28) postaje: dv (9.30) dr Njega će se upotrijebiti da se nade brzinu strujanja u ovisnosti o koordinati y, a da se to postigne, prvo ga treba presloˇziti tako da se dobije izraz za derivaciju brzine: ∆pr = −2lµ

dv ∆pr =− dr 2lµ

(9.31)

koji se onda integrira preko povrˇsine presjeka toka, pri ˇcemu se ne smije zaboraviti da je brzina ista u svim toˇckama jednako udaljenim od osi cijevi (simetrija!): ∆p Z R−r ∆p 2 v=− rdr = (R − r2 ) 2lµ R 4lµ

(9.32)

Ovo je Hagen-Poiseullov zakon raspodjele brzine za laminarno strujanje. Maksimalna brzina je na osi cijevi (r = 0) i iznosi:


90

vmax

∆p R2 = l 4µ

(9.33)

a odnos brzine na polumjeru r prema maksimalnoj brzini je kvadratiˇcan: v

r =1− R

vmax

2

(9.34)

v

vmax

R

-R

r

Slika 9.11: Profil brzine kod laminarnoga teˇcenja kroz cilindriˇcnu cijev. Profil brzine je paraboliˇcnoga oblika i prikazan je na slici 9.11. Kako je brzina u svim toˇckama presjeka toka ovime poznata, moˇze se naći i ukupni protok tekućine kroz cijev: Q=

Z R

2πrvdr

(9.35)

0

odnosno: R2 ∆p Q=R π 8µl

!

2

(9.36)

Ranije se protok vezao za srednju brzinu: Q = R2 π¯ v

(9.37)

∆p R2 Q = R2 π l 8µ

(9.38)

vmax 2

(9.39)

pa se izjednaˇcavanjem nalazi: v¯ = ili, jednostavnije: v¯ =

ˇ 9.3: LAMINARNO TECENJE KROZ CIJEVI

91

Omjer srednje i maksimalne brzine naziva se koeficijent brzine β: β=

v¯ vmax

= 0, 5

(9.40)

i za laminarno teˇcenje β = 0, 5. Iz brzine moˇzemo toˇcno odrediti i Coriollisov koeficijent δ: R

α=

v 3 dA =2 v¯3 A

A

(9.41)

i oˇcigledno je da se on kod laminarnoga strujanja ne smije zanemariti. Na kraju se okretanjem izraza za srednju brzinu nalazi i viskozni gubitak: ∆p =

l 8µ¯ v R2

(9.42)

v¯ l 8ν 2 R g

(9.43)

ili, izraˇzen kao gubitak energetske visine: ∆h =

Usporedivanjem ovog izraza s općim izrazom za viskozne gubitke u cijevima (9.20) dolazi se do izraza za bezdimenzionalni koeficijet trenja za laminarno teˇcenje u cijevima: λlam =

64 Re

(9.44)

U sluˇcaju proizvoljnog oblika presjeka cijevi dolazi se do sliˇcnih relacija, a opći laminarni koeficijent trenja moˇze se izraziti kao: λlam = ϕλlam,cijev

(9.45)

gdje konstanta ϕ ovisi o geometrijskom obliku presjeka cijevi. Primjerice za cijevi pravokutnoga presjeka koeficijent ϕ prikazan je na slici 9.12, koeficijenti za neke posebne sluˇcajeve tabelirani su u tablici 9.1. Tablica 9.1: Konstanta ϕ općega laminarnog koeficijenta trenja za razne oblike pravokutnoga presjeka cijevi. sluˇcaj

ϕ

kruˇzni presjek

1

paralelne ploˇce

1,5

kvadratni presjek 0,89 pravokutni presjek 1:0,44 1,00


92

1,6 1,5 1,4

ϕ

1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

b/a

Slika 9.12: Konstanta ϕ općega laminarnog koeficijenta trenja za razliˇcite oblike pravokutnoga presjeka cijevi. a i b su stranice presjeka, a konstanta općega laminarnog koeficijenta trenja ovisi samo o njihovom omjeru, a/b.

Llam

Slika 9.13: Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev.

9.3.1

Duljina formiranja laminarnoga toka

Laminarni (paraboliˇcni) profil brzine ne uspostavlja se odmah na mjestu ulaska tekućine u cijev, već je za njegovo formiranje potrebna odredena duˇzina toka. Pokusima je odredeno da je ta duˇzina pribliˇzno: Llam = 0, 065dRe

(9.46)

ˇ ˇ 9.4: VRTLOZNO (TURBULENTNO) TECENJE KROZ CIJEVI

9.4

93

Vrtloˇ zno (turbulentno) teˇ cenje kroz cijevi v

v

t

Slika 9.14: Kod vrtloˇznog toka brzina se u svakoj toˇcki toka nepravilno mijenja i po iznosu i po smjeru. Zato se umjesto trenutne brzine v, koristi njena srednja vrjednost u vremenu, v¯. Vrtloˇzni je tok u svojoj biti nestacionaran. Teˇcenje u prirodi obiˇcno se odvija s tako velikim brzinama da je tok uglavnom vrtloˇzan. Primjerice za vodu koja teˇce kroz vodovodne cijevi, prijelaz iz laminarnoga u vrtloˇzni reˇzim toka dogada se već kod brzina od oko 0,1 cms−1 (cijev promjera 25 mm). Veliki problem pri analizi vrtloˇznoga reˇzima teˇcenja predstavlja nepostojanje stalnih strujnica, ˇsto zorno pokazuje i ranije opisani Reynoldsov pokus. Strujnice kod vrtloˇznoga toka su nepravilne, vremenski promjenjive, te medusobno izmijeˇsane i zapetljane. To praktiˇcki onemogućava analitiˇcko rjeˇsavanje jednadˇzbi koje opisuju vrtloˇzni reˇzim toka. Da bi se ipak moglo doći do kakvih-takvih zakljuˇcaka o ponaˇsanju fluida u ovom reˇzimu, koristi se vremensko usrednjavanje fizikalnih veliˇcina koje taj tok opisuju. Tako se umjesto trenutne vrijednosti brzine u nekoj toˇcki toka (slika 9.14) koristi vremenski usrednjena brzina: 1ZT ¯ ~v dt ~v = T 0

(9.47)

odnosno, po komponentama: v¯x = v¯y = v¯z =

1 T 1 T 1 T

RT 0

RT 0

RT 0

vx dt vy dt

(9.48)

vz dt

Usrednjavanje po vremenu uklanja vremensku ovisnost usrednjene veliˇcine, (srednja vrijednost ne ovisi o vremenu!) pa tako nestacionarni problem prelazi u stacionarni (slika 9.15). Naravno, kod koriˇstenja srednjih vrijednosti gubi se informacija o trenutnim vremenskim (ili prostornim vrijednostima, ako se usrednjavanje vrˇsi preko prostornih dimenzija) vrijednostima usrednjene veliˇcine, ˇsto uglavnom nije od presudne vaˇznosti. Kod proraˇcuna nekoga cjevoda uglavnom nas zanima protok koji taj cjevovod mora omogućiti, za ˇsto su dovoljne srednje vrijednosti brzine, a trenutne brzine toka u pojedinim toˇckama toka nisu bitne.


94

vx

vx

t=t1

vx

t=t2

usrednjeno

Slika 9.15: Trenutni profil brzine po presjeku toka (radi jednostavnosti prikazana je samo x-komponenta brzine) vremenski je promjenjiv. Usrednjavanjem se dolazi do srednje vrijednosti brzine, a kaˇze se da je vrtloˇzni tok stacionaran ako je profil te srednje vrijednosti konstantan. Problem vrtloˇznoga teˇcenja svodi se dakle na potrebu da se pronade raspodjela srednje vrijednosti brzine na povrˇsini presjeka toka. Pogledajmo stoga jednu ˇcesticu fluida u blizini stijenke cijevi (slika 9.16).

vx(y2) vx(y1)

y2

y y1

vx(y1)

x

Slika 9.16: U vrtloˇznom toku ˇcestica fluida ima i komponente brzine okomite na smjer toka. Na slici je prikazana jedna ˇcestica u trenutku kad ju vrtloˇzenje nosi od stijenke cijevi prema njezinoj sredini. Kao prvo, postavit će se koordinanti sustav tako da mu x-os pokazuje u smjer toka, paralelno sa stijenkom cijevi, te da y-os pokazuje prema osi cijevi. Ishodiˇste će se staviti na samu stijenku cijevi. Nakon toga odabere se neka proizvoljna ˇcestica fluida u blizini stijenke cijevi, na udaljenosti y1 od nje. Neka ta ˇcestica ima x-komponentu brzine v¯x (y1 ). Vrtlog će nakon nekoga vremena tu ˇcesticu odnijeti na udaljenost y2 od stijenke cijevi. Brzina toka na toj udaljenosti od stijenke cijevi veća je jer se ˇcestica sad nalazi bliˇze osi cijevi. Uz pomoć razvoja u red brzinu na ovom mjestu povezujemo sa brzinom na mjestu sa kojeg je ˇcestica krenula: v¯x (y2 ) = v¯x (y1 ) + ∆y

dv¯x dy

(9.49)

ˇ ˇ 9.4: VRTLOZNO (TURBULENTNO) TECENJE KROZ CIJEVI

95

gdje je: ∆y = y2 − y1

(9.50)

Zbog inercije ˇcestica teˇzi zadrˇzavanju svoje poˇcetne brzine, pa je sporija od okolnoga fluida. Naravno da će se razlika brzine poniˇstiti zbog djelovanja viskoznih sila, pa će ˇcestica biti ubrzana na brzinu okolnog fluida. Pri tome okolni fluid to ubrzanje osjeća kao silu koja se odupire njegovom toku. U idućem će se koraku pokuˇsati odrediti iznos te sile. Neka je y-komponenta brzine koja promatranu ˇcesticu nosi prema sredini toka vy . Ako na mjestu gdje se ˇcestica nalazi tok se presijeˇce ravninom okomitom na y-os, ˇcestica će zbog postojanja y-komponente brzine proći kroz tu ravninu. Ako na taj naˇcin u nekom kratkom vremenu dt kroz tu ravninu prema osi cijevi prode masa fluida dmy , maseni protok kroz tu ravninu (dakle protok u y-smjeru) će biti: dQM =

dmy = dAv¯y ρ dt

(9.51)

Zbog ubrzavanja na brzinu vx (y2 ) dolazi do promjene koliˇcine gibanja: d(mv) dmy = dF = [v¯x (y2 ) − v¯x (y1 )] dt dt

(9.52)

No, iz jednadˇzbe (9.49) se vidi da je razlika brzina na desnoj strani upravo jednaka: v¯x (y2 ) − v¯x (y1 ) = ∆y

dv¯x dy

(9.53)

pa je nastala sila jednaka: dF = dAv¯y ρ∆y

dv¯x dy

(9.54)

Tangencijalno naprezanje koje zbog ove sile nastaje odreduje se dijeljenjem sile sa povrˇsinom na kojoj ona djeluje: τturb =

dF dv¯x = v¯y ρ∆y dA dy

(9.55)

Nadalje, zbog zakona kontinuiteta (saˇcuvanja mase), mora ukupni tok u y-smjeru isˇceznuti, ˇsto znaˇci da se na nekim mjestima u toku fluid u y-smjeru giba i od osi cijevi prema stijenci. Rezultati mnoˇstva pokusa pokazuju da su kod vrtloˇznih gibanja putanje ˇcestica fluida pribliˇzno kruˇzne, pa tako istovremeno na jednom mjestu vrtloga neka masa fluida ide prema stijenci, a na drugoj strani vrtloga ista masa fluida se udaljava od nje. Ako je gibanje kruˇzno, srednje vrijednosti x i y komponenti brzine su jednake (radi se sa apsolutnim vrijednostima komponenti), pa se pretpostavi da to pribliˇzno vrijedi i za općenitiji sluˇcaj. Ova pretpostavka omogućava da se nade srednja vrijednost brzine v¯y . Da bi se vidjelo kruˇzenje ˇcestice u vrtloˇzenju, mora se gibati zajedno sa fluidom, dakle brzinom vx (y1 ). To znaˇci da je srednja vrijednost x-komponente brzine kruˇzenja jednaka v¯x (y2 ) − v¯x (y1 ), a po prethodnim zakljuˇccima je ona jednaka srednjoj vrijednosti y-komponente brzine: v¯y = v¯x (y2 ) − v¯x (y1 ) = ∆y

dv¯x dy

(9.56)


96

S pomoću ovog izraza moˇze se eliminirati y-komponentu brzine iz razmatranja, pa izraz za tangencijalno naprezanje postaje: dv¯x dy

2

τturb = ρ(∆y)

!2

(9.57)

Kako će se od sada pa do kraja ovog raˇcuna upotrebljavati iskljuˇcivo srednje vrijednosti brzina, ispustit će se oznaku za usrednjavanje da bi jednadˇzbe bile preglednije. Drugim rijeˇcima, simbol v će od sada oznaˇcavati srednju brzinu (vremenski usrednjenu, a ona se i dalje moˇze mijenjati preko presjeka toka). Razmatranje se nastavlja uzimajući u obzir gornju napomenu. Kao prvo, umnoˇzak: dvx ∆y dy

!

= vtg

(9.58)

ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina tangencijalnoga naprezanja. Prividna zato, ˇsto se ne radi o nekoj izravno mjerljivoj brzini, već o matematiˇckoj konstrukciji koja ima dimenziju (a donekle i ulogu) brzine kod razmatranja tangencijalnoga naprezanja u sluˇcaju vrtloˇznoga toka. Izraz za tangencijalno naprezanje postaje: 2 τturb = ρvtg

(9.59)

Iako izgleda da se rijeˇsio problem tangencijalnoga naprezanja, to je samo na prvi pogled tako. Joˇs uvijek se naime ne zna vrijednost ∆y koja odreduje iznos prividne brzine tangencijalnoga naprezanja. Teoretski se ovu veliˇcinu nije uspjelo odrediti, pa se mora posegnuti za rezultatima pokusa, koji se obiˇcno izraˇzavaju u obliku tzv. iskustvenih (empirijskih) formula. Iskustvene formule su funkcionalne ovisnosti fizikalnih veliˇcina dobivene traˇzenjem funkcija i njihovih koeficijenata koje najbolje odgovaraju eksperimentalno dobivenim podacima. One dobro opisuju opaˇzeno, ali nemaju teorijske podloge pa se ne zna sve fizikalne zakonitosti i procese koji do njih dovode. No, za praktiˇcnu upotrebu, posebno u tehniˇckim znanostima, iskustvene formule su vrlo korisne i ˇcesto puta nezaobilazne. Da se vratimo naˇsem problemu, jedna od najˇceˇsće koriˇstenih iskustvenih relacija za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja je Prandtlova relacija: ∆y = ky

(9.60)

pri ˇcemu je pokusima utvrdeno da se k uglavnom kreće izmedu 0,36 i 0,42. U teorijskim raˇcunima stoga se uglavnom koristi vrijednost k = 0, 40 (1/k = 2, 5) pa će se i ovdje koristiti tu vrijednost.

9.5

Profil brzine kod vrtloˇ znog toka

Kombiniranjem Prandtlove relacije (9.60) i izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja (9.58) dobije se: dv vtg = ky (9.61) dy ˇsto preslagivanjem i upotrebom vrijednosti k = 0, 40 daje: dv = 2, 5vtg dy

(9.62)

ˇ 9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA

97

odnosno, nakon integracije: v = 2, 5 ln y + C vtg

(9.63)

Naˇzalost, detaljnija analiza gornje jednadˇzbe pokazuje da ona ne moˇze biti toˇcna. Naime za stijenku cijevi (y=0!) gdje brzina toka mora biti jednaka nuli, gornji izraz daje beskonaˇcnu brzinu i to u negativnom smjeru! Problem je u tome da se tijekom dosadaˇsnjege razmatranja radilo kao da turbulentni tok postoji sve do same stijenke. I pokusi i fizikalni argumenti govore nam da to ne moˇze biti toˇcno. Naime zbog viskoziteta se fluid na stijenci ”lijepi” za nju, pa uz samu stijenku brzina toka mora biti jako mala, ˇsto znaˇci da će teˇcenje uz stijenku biti laminarno (Reynoldsov broj je uz stijenku vrlo malen). Tek sa udaljavanjem od stijenke moˇze se oˇcekivati da će povećanje brzine dovesti do postupnog razvoja vrtloˇznoga toka, ˇsto se detaljnim pokusima zaista i potvrdilo. Stvarna je situacija ilustrirana na slici 9.17.

v

vrtložni profil

vrtložni tok

C laminarni profil zona miješanja B A granični laminarni sloj y

yo

Slika 9.17: Odredivanje brzine vrtloˇznoga toka u blizini stijenke cijevi. Uz samu stijenku, prema tome, uvijek postoji sloj fluida koji teˇce laminarno. Taj sloj naziva se graniˇcni laminarni sloj. Izvan tog sloja strujanje lagano prelazi u vrtloˇzno, unutar sloja koji se naziva zona mijeˇsanja, a tek izvan nje postoji potpuno formiran vrtloˇzni tok. U laminarnom graniˇcnom sloju profil brzine je paraboliˇcan, ali se moˇze aproksimirati pravcem, jer je debljina graniˇcnog sloja daleko manja od polumjera cijevi. S druge strane, u vrtloˇznom dijelu toka profil brzine je logaritamski. Taj profil u blizini stijenke sijeˇce y-os u toˇcki yo u kojoj vrtloˇzna brzina isˇcezava. Rjeˇsenje problema sa negativnim vrijednostima koje uz stijenku daje izraz (9.63) je da od stijenke do toˇcke B, u kojoj se ova dva profila brzine sijeku, koristi laminarni profil brzine, a od toˇcke B pa sve do osi cijevi vrtloˇzni. U stvarnosti je taj prijelaz postupan (nema loma u profilu brzine koji u ovom modelu imamo u toˇcki B) i prikazan je crtkanom krivuljom koja ide od toˇcke A do toˇcke C. Za raˇcun je pretpostavka ipak dovoljno dobra, pe se neće ići u dodatnu komplikaciju konstrukcije glatke krivulje koja povezuje toˇcke A i C. Iz ˇcinjenice da izraz (9.63) isˇcezava u toˇcki yo odredi se konstanta integracije: C = −2, 5 ln y◦

(9.64)


98 pa je:

y v = 2, 5 ln vtg y◦

(9.65)

Ni toˇcku yo nije moguće odrediti teorijski, pa se opet mora upotrijebiti iskustveni izraz za nju. Tako je za cijevi s glatkim stijenkama (stijenke se smatra glatkima ako je njihova hrapavost toliko mala da ne utjeˇce na tok u cijevi, o ˇcemu će biti viˇse rijeˇci neˇsto kasnije) yo dan pribliˇznim izrazom (autor: Nikuradze): y◦ ≈

0, 108ν vtg

(9.66)

Tu je ν kinematiˇcki koeficijent viskozosti fluida. Izraz za brzinu time postaje: yvtg v = 2, 5 ln + 5, 56 vtg ν

(9.67)

a nepoznata je joˇs brzina tangencijalnoga naprezanja. Da se nekako dode do nje, oznaˇci se prvo maksimalna brzina toka sa vmax . Kako se zna da je brzina toka maksimalna u osi cijevi (tj. za y = R, gdje je R polumjer cijevi) moˇze se iz izraza (9.67) napisati:

v = vtg

Rvtg + 5, 56 ν

vmax = vtg 2, 5 ln

yvtg 2, 5 ln + 5, 56 ν

(9.68)

(9.69)

Oduzimanjem (9.69) od (9.68) dolazi se konaˇcno do formalnog izraza za profil brzine (u kojem je vtg joˇs nepoznat): v = vmax − 2, 5vtg ln

R y

(9.70)

I ovaj izraz ima problem da uz stijenku cijevi brzina ide u minus beskonaˇcno. No, kako je toˇcka (yo ) u kojoj brzina vrtloˇznoga strujanja postaje nula vrlo blizu stijenci cijevi, to će se u idućem koraku zanemariti. Uz pomoć ovog izraza za brzinu formalno će se izraˇcunati protok kroz cijev, pri ˇcemu se treba ograniˇciti na cijev kruˇznoga presjeka. U tom je sluˇcaju protok kroz cijev: Q = 2π

Z R

v(R − y)dy

(9.71)

0

Uvrˇstavanjem izraza za brzinu (9.70) i integracijom konaˇcno je: Q = πR

2

15vt g vm ax − 4

(9.72)

Srednja brzina teˇcenja (u ovom sluˇcaju brzina toka usrednjena preko povrˇsine presjeka cijevi!) nalazi se iz definicije protoka: Q = vmax − 3, 75vtg A Gubici i koeficijent trenja cijevi vezani su izrazom (jedn. 9.18): v¯ =

(9.73)

ˇ 9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA

l ρv 2 ∆p = −λ 4Rh 2

99

(9.74)

No s druge strane, gubici i smiˇcno naprezanje na stijenci takoder su u vezi preko (9.8): −dp = τ dl

O τ = dl A Rh

(9.75)

pa uz ograniˇcenje za okrugli presjek cijevi (uz pomoć kojega se doˇslo i do izraza za srednju brzinu!) je : λ=8

τ ρ¯ v2

(9.76)

Ukupno naprezanje na stijenci cijevi, τ , zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i naprezanja u vrtloˇznom dijelu toka. No, kako je laminarni sloj vrlo tanak, a brzine u njemu male, moˇze se doprinos laminarnoga naprezanja zanemariti i ukupno naprezanje izjednaˇciti s vrtloˇznim naprezanjem. Uz ovu pretpostavku i definiciju prividne brzine tangencijalnoga naprezanja (9.58) dolazi se konaˇcno i do izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja: √ vtg = 0, 353¯ v λ

(9.77)

Pomoću ovoga izraza relacije konaˇcno se moˇze naći veza izmedu srednje i maksimalne brzine: v¯ =

vmax √ 1 + 1, 326 λ

(9.78)

te koeficijent brzine: β=

v¯ vmax

=

1 √ 1 + 1, 326 λ

(9.79)

Coriollisov koeficijent: α = 1 + 2, 7λ

(9.80)

a na kraju i profil brzine kod vrtloˇznoga strujanja kroz cijev: √ y (9.81) v = v¯ 1 + λ 1, 326 + 2, 04 log R Provjera pokusima pokazuje da ovaj teorijski profil odgovara onom koji se opaˇza u stvarnosti, a uz manje promjene koeficijenata slaganje je joˇs bolje:

√ y (9.82) λ 1, 435 + 2, 15 log R Napominje se da male korekcije koeficijenata popravljaju netoˇcnosti koje su se u teoretskom raˇcunu napravile zanemarivanjem malih doprinosa i aproksimacijama pojedinih izraza iskustvenim formulama. Preko raspodjele brzine, protoka i veze prosjeˇcne i maksimalne brzine vrtloˇznoga toka dolazi se i do izraza za koeficijent trenja glatke cijevi (glatkoća stijenke je bila jedna od pretpostavki pod kojima su se izvele sve dosadaˇsnje formule!):

v = v¯ 1 +


100



1 q

λg

= 2 log 

Re λg

q



2, 51



(9.83)

Ovo je tzv. Prandtl-Karmanova formula. Njezin veliki nedostatak je da se mora rjeˇsavati iterativno, pa se u praksi ˇcesto puta zamjenjuje jednostavnijom Blasiusovom formulom: − 14

(9.84)

λg = 0, 3164Re

koja vrijedi ako je Re < 105 . Uvrstimo li Blasiusovu formulu u izraz za profil brzine (9.81), dobija se vrlo jednostavan izraz za profil brzine:

v = vmax

y R

1

7

(9.85)

v

vmax

R

-R

r

Slika 9.18: Karmanov 1/7-ki profil brzine. Za usporedbu je crtkan naznaˇcen i paraboliˇcni profil laminarnoga strujanja. Ovaj izraz za profil brzine naziva se i Karmanov 1/7-ki zakon. On je prikazan na slici (9.18). U usporedbi s laminarnim tokom, moˇze se odmah zakljuˇciti da je profil brzine vrtloˇznoga toka znatno ravniji, tj. u najvećem dijelu presjeka brzina toka vrlo malo odstupa od maksimalne, a naglo se smanjuje tek u blizini stijenke cijevi. Upotrebom Karmanova zakona moˇze se dobiti i jednostavnije izraze za koeficijent brzine i Coriolissov koeficijent: βg ≈ 0, 84 ± 0, 04

αg ≈ 1

(9.86)

Prema tome kod vrtloˇznog toka Coriolissov koeficijent u Bernoullijevoj jednadˇzbi slobodno se moˇze zanemariti. Napominje se da je za formiranje vrtloˇznog toka, sliˇcno kao i kod laminarnog toka, potrebna odredena duˇzina toka. Za vrtloˇzni tok pokusima je ustanovljeno da je ona obiˇcno 25 do 40 promjera cijevi kroz koju se tok odvija: Lturb ≈ 25d − 40d

(9.87)

ˇ ˇ 9.6: HIDRAULICKA HRAPAVOST I HIDRAULICKA GLATKOST

9.6

101

Hidrauliˇ cka hrapavost i hidrauliˇ cka glatkost

llam e

Slika 9.19: Kod hidrauliˇcki glatke cijevi neravnine (hrapavost) stijenke (e) znatno su manje od debljine graniˇcnoga laminarnog sloja (llam ). Stijenka cijevi nikada nije idealno glatka, već posjeduje manju ili veću hrapavost. Ova hrapavost posljedica je naˇcina izrade cijevi a najviˇse ovisi o materijalu stijenke. Kod cijevi koje su dugo u upotrebi korozija i abrazija stijenke moˇze znatno promijeniti hrapavost stijenke. Ako je debljina graniˇcnoga laminarnog sloja dovoljno velika, turbulenta jezgra toka neće osjetiti posljedice te hrapavosti. U takvom sluˇcaju kaˇze se da je cijev hidrauliˇ cki glatka (slika 9.19). Pokusi pokazuju da debljina graniˇcnoga laminarnog sloja ovisi o Reynoldsovom broju i redovito se smanjuje s njegovim povećanjem. Tako je pokusima na glatkim cijevima ustanovljeno da je debljina graniˇcnog laminarnog sloja pribliˇzno dana sljedećim izrazom: d

(9.88) 7 Re8 gdje je d promjer cijevi. Tipiˇcna veliˇcina hrapavosti stijenke razliˇcitih vrsta cijevi dana je u tablici 9.4. Pokusi s hrapavim cijevima znatno su teˇzi jer hrapavost stijenke moˇze imati razliˇcite oblike. Zbog toga se ˇcak i kod iste visine neravnina stijenke rezultati mogu znatno razlikovati, ovisno o tome kako te neravnine izgledaju, te kako su rasporedene po stijenci cijevi. No opći je zakljuˇcak vidljiv i iz formule (9.88): s povećanjem Reynoldsovog broja (ˇsto za danu cijev znaˇci povećanje brzine toka), debljina graniˇcnoga laminarnog sloja se smanjuje. To znaˇci da će se kod neke brzine debljina graniˇcnoga laminarnog sloja toliko smanjiti da će najveće neravnine stijenke poˇceti izvirivati iz njega i tako utjecati na turbulentnu jezgru toka. Općenito se smatra da se cijev moˇze smatrati hidrauliˇcki glatkom, ako je visina neravnina manja od jedne ˇcetvrtine debljine graniˇcnoga laminarnog sloja: llam = 6, 3

llam > 4e

(9.89)

Ako je pak visina neravnina stijenke veća od dvije debljine graniˇcnoga laminarnog sloja, cijev se naziva hidrauliˇ cki hrapavom (slika 9.20):


102

Tablica 9.2: Hrapavost stijenke razliˇcitih vrsta cijevi (nove cijevi). vrsta cijevi

e (mm)

staklene

<0,001

bakrene, plastiˇcne

0,01

ˇceliˇcne valjane

0,1

ˇceliˇcne lijevane

0,5

betonske

2

llam <

e 2

(9.90)

Slika 9.20: Kod hidrauliˇcki hrapave stijenke debljina graniˇcnoga laminarnog sloja znatno je manja od visine neravnina stijenke. Nalazi li se odnos debljine graniˇcnoga laminarnog sloja i visine neravnina stijenke izmedu ova dva graniˇcna sluˇcaja, govori se o tzv. prijelaznom podruˇ cju (reˇzimu).

9.7

Koeficijent trenja hrapavih cijevi

Za hidrauliˇcki hrapave cijevi pokusi i teorija daju sliˇcne rezultate. Kao prvo, pokazuje se da koeficijent trenja ovisi samo o omjeru e/d, tj. o tzv. relativnoj hrapavosti. Sam koeficijet trenja opisuje se Nikuradzeovom formulom: 1 d √ = 2 log 3, 715 e λh

!

(9.91)

9.7: KOEFICIJENT TRENJA HRAPAVIH CIJEVI

103

Tablica 9.3: Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima. vrsta toka

kriterij

laminarni

Re < 2300

turbuletni, glatki

2300 < Re <

turbuletni, prijelazni

1d 2e

turbuletni, hrapavi

Re > 500 de

< Re <

1d 2e 500 de

odnosno λh =

1 h

4 log 3, 175 de

(9.92)

i

koja vrijedi ako je e > 6l. Nikuradzeova formula pokazuje da je za danu cijev (e/d je konstantan) u hrapavom reˇzimu koeficijent trenja konstantan, a ukupni gubici proporcionalni su kvadratu srednje brzine toka: ∆hh = λh

l v2 d 2g

(9.93)

U prijelaznom podruˇcju situacija je znatno sloˇzenija jer koeficijent trenja ovisi i o Reynoldsovom broju i o relativnoj hrapavosti, pa se za izraˇcun koeficijenta trenja koriste iskustvene formule, od kojih je najpoznatija Colebrook-Whiteova formula: 1 2, 51 e √ = −2 log √ + λh Re λ 3, 715d

!

(9.94)

Njezina velika prednost je ta da ona vrijedi za sve reˇzime turbulentnog toka, a odstupanja od eksperimentalnih mjerenja su manja od nekoliko postotaka. Naˇzalost, ona je iterativna, pa se umjesto nje vrlo ˇcesto koriste razne pojednostavljene formule ili Moodyev dijagram u kojem su grafiˇcki prikazani koefcijenti trenja izraˇcunati na osnovi analize tada dostupnih podataka koju je izveo Moody. Da bi se jednim grafikonom prikazalo cijelo podruˇcje Reynoldsovih brojeva koje se pojavljuje u praksi, Moodyev dijagram je crtan u log-log skali. U grafikon je ucrtana familija krivulja ˇciji parametar je relativna hrapavost, e/d. Kod odredivanja koeficijenta trenja uz pomoć ovog grafikona potrebno je prvo odrediti Reynolds-ov broj za dani sluˇcaj. Nakon toga se odabire krivulja koja odgovara relativnoj hrapavosti cijevi za koju se traˇzi koeficijent trenja, i s nje se, za odredenu vrijednost Reynoldsovoga broja sa osi ordinata oˇcitava pripadajuća vrijednost koeficijenta trenja. Preostalo je joˇs samo da se postavi kriterije za odredivanje o kojoj vrsti teˇcenja se u danom sluˇcaju radi. Onaj za laminarno teˇcenje poznat je od ranije, a ostali su postavljeni na osnovi usporedbe debljine graniˇcnoga laminarnog sloja i relativne hrapavosti cijevi. Rezultati su saˇzeti u tablici 9.3.

104


ˇ Slika 9.21: Moodyev dijagram (preuzeto od R. Zugaj, Hidrologija). Na apscisi je nanesen Reynoldsov broj, a na ordinati koeficijent trenja. Parametar krivulja u grafu je relativna hrapavost, e/d, na ovom dijagramu oznaˇcena kao /D.

9.8: LOKALNI GUBICI

9.8

105

Lokalni gubici

Lokalni gubici su svi gubici koji nastaju na razmjerno maloj udaljenosti zbog promjena presjeka ili smjera toka u cijevima. Njih izazivaju elementi cijevne armature, primjerice koljena, ventili, suˇzenja i proˇsirenja, itd. S obzirom na malu udaljenost na kojoj se ti gubici dogadaju, za potrebe proraˇcunavanja ukupnih gubitaka tretira ih se kao da nastaju toˇcno na mjestu gdje se dani element armature (toˇcnije, njegova sredina) nalazi. Drugim rijeˇcima, u takvom raˇcunu zanemaruje se duljina lokalnoga elementa. Analogno formuli za gubitke u cijevima, lokalne gubitke opisuje se produktom koeficijenta lokalnoga otpora ζ i kvadrata brzine: ∆hl = ζ

A1

v2 2g

(9.95)

v2

v1

A2

Slika 9.22: Na mjestima lokalnih gubitaka najˇceˇsće dolazi do promjene brzine toka. Za raˇcunske potrebe uzima se da se brzina v1 skokovito mijenja u brzinu v2 u sredini elementa koji izaziva lokalni gubitak (crtkana linija). To fizikalno nije moguće, i u stvarnosti se promjena brzine odvija glatko i postupno na duˇzini toka koja je nekoliko puta veća od dimenzije samoga lokalnog elementa, ali ovu sloˇzenost se kod raˇcunanja zanemari s obzirom na veliku duljinu cijevi u odnosu na duljinu samog lokaliteta. Kako kod lokalnih gubitaka obiˇcno dolazi do promjene srednje brzine toka, mora se znati na koju brzinu se koeficijent lokalnoga otpora veˇze: na brzinu toka ispred samoga elementa koji taj gubitak izaziva, ili na brzinu iza njega (slika 9.22). Ako se koeficijent lokalnoga gubitka odnosi na brzinu ispred samoga elementa, oznaˇcen je indeksom 1, a ako se odnosi na brzinu iza, dobija indeks 2. U sluˇcajevima kad je jedna od ovih brzina toliko mala da se zanemaruje, odnosi se koeficijent lokalnoga gubitka uvijek na onu brzinu koja ne isˇcezava, a indeks se ˇcesto ispuˇsta. Tako primjerice kod utjecanja tekućine u cijev iz velikoga spremnika je brzina tekućine u samom spremniku zanemariva (to je brzina ispred ulaznog otvora u cijev) pa se za taj sluˇcaj uvijek navodi koeficijent lokalnoga gubitka za brzinu u cijevi (iza mjesta nastanka lokalnoga gubitka). U skladu s gore navedenim, lokalne gubitke raˇcuna se na sljedeći naˇcin: ∆hl = ζ1

v2 v12 = ζ2 2 2g 2g

(9.96)


106

Redovito se za raˇcun uvijek koriste koeficijenti lokalnog gubitka i brzine iza mjesta na kojem taj gubitak nastaje. Koeficijente lokalnih gubitaka teorijski je uglavnom vrlo teˇsko odrediti, pa se koriste eksperimentalno izmjereni koeficijenti koji su obiˇcno tabelirani u razliˇcitim tehniˇckim priruˇcnicima, a ˇcesto puta ih navode i proizvodaći elemenata armature za svoje elemente. Napominje se na kraju da koeficijenti lokalnoga otpora vrijede za izolirani element, tj. za element ispred i iza kojeg se nalazi ravna cijev duga barem 5-10 duljina samoga razmatranoga elementa. Nalaze li se dva elementa bliˇze jedan drugome, dolazi do medudjelovanja medu njima i tu se koeficijent otpora za oba elementa zajedno moˇze odrediti samo pokusom. Slijedi pregled koeficijenata otpora za najˇceˇsće koriˇstene elemente cijevne armature.

9.8.1

Ulazni otvori

v2

Slika 9.23: Fluid u cjevovod obiˇcno ulazi iz nekog spremnika, koji je tako velik da se brzina teˇcenja u njemu moˇze slobodno zanemariti. Spremnik osim ˇsto sluˇzi ˇcuvanju potrebne zalihe fluida, ujedno osigurava i konstantan tlak na ulazu u cjevovod. Fluid u cjevovod najˇceˇsće dolazi iz nekoga spremnika. Funkcija takvoga spremnika na ulazu cjevovoda je dvojaka: da osigura dovoljnu koliˇcinu fluida za neprekidan rad cjevovoda (ulaz u spremnik moˇze imati promjenjiv dotok) te da osigura razmjerno konstantan tlak na ulazu u cjevovod. Koeficijent gubitka za ulazni otvor jako ovisi o tome na koji je naˇcin cijev spojena na spremnik, tj. kako izgleda rub ulaznoga otvora. U najjednostavnijem sluˇcaju, kada je rub oˇstar, ulazni gubitak je razmjerno velik, a moˇze se znatno smanjiti zaobljavanjem rubova ulaznoga otvora (slika 9.24). Umetanje ulazne cijevi u unutraˇsnost spremnika (primjerice kada se na njen kraj joˇs dodatno ugradi zaˇstitna mreˇzica) znatno povećava ulazne gubitke (slika 9.25).

9.8: LOKALNI GUBICI

107

v2

Slika 9.24: Zaobljavanje rubova ulaznoga otvora tako da slijede oblik strujnica fluida koji ulazi u cijev moˇze znatno smanjiti ulazne gubitke. Na ovaj naˇcin se koeficijent ulaznoga otpora moˇze smanjiti ispod 0,01. Potreban oblik zaobljenja moˇze se naći u tehniˇckim priruˇcnicima.

v2

Slika 9.25: Umetanje ulazne cijevi u unutraˇsnjost rezervoara povećava koeficijent ulaznoga otpora na 1,0. Stavlja li se na ulaz cijevi joˇs i zaˇstitna mreˇzica ili reˇsetka, koeficijent ulaznoga otpora moˇze biti i znanto veći od 1,0.

Tablica 9.4: Koeficijenti ulaznoga otpora za razliˇcite oblike ulaznih otvora. oblik otvora

ζ2

oˇstar rub, na stijenci spremnika

0,5

zaobljen rub (R=0,05D), na stijenci spremnika

0,22

zaobljen rub (R=0,2D), na stijenci spremnika

0,03

zaobljen rub, slijedi strujnicu, na stijenci spremnika

0,01

oˇstar rub, ulazna cijev u spremniku

1


108

9.8.2

Dijafragme i sapnice

A1

A2

Slika 9.26: Dijafragma je ravna metalna ploˇca sa okruglom rupom u sredini koja se stavlja u tok. Dijafragme se stavljaju u tok na mjestu gdje je lokalno potrebno povećati brzinu toka. Smanjivanje presjeka toka znatno povećava gubitke pa dolazi i do ograniˇcavanja protoka. Dijafragma se opisuje omjerom povrˇsine slobodnoga otvora i ukupne povrˇsine presjeka toka ispred dijafragme: m=

A2 A1

(9.97)

Tablica 9.5: Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu. m

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4

ζ1

81

16

5,4 2,3

0,5

1,0 0,44 0,2

Dijafragme zbog vrtloˇzenja uz oˇstre rubove otvora proizvode velike gubitke. Zato se umjesto njih ˇcesto puta koriste sapnice. Kod sapnica su rubovi otvora zaobljeni tako da su gubici ˇsto je moguće manji. Postoji nekoliko oblika zaobljenja, no najˇceˇsće se koristi standardizirani oblik koji se po standardu unutar kojeg je opisan naziva sapnica po ISO standardu (slika 9.27).

Tablica 9.6: Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu. m

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

ζ1

81

16

5,4 2,3 1,0

9.8: LOKALNI GUBICI

A1

109

A2

Slika 9.27: Sapnica je dijafragma s posebno zaobljenim (fino hidrauliˇcki oblikovanim) rubovima kako bi se gubici sveli na minimum.

9.8.3

Suˇ zenja

A1 ,v1 As ,vs

Slika 9.28: Naglo suˇzenje izaziva jako vrtloˇznje na mjestu suˇzenja i tzv. kontrakciju (suˇzenje) mlaza kod koje je presjek stvarnoga toka manji od fiziˇckoga presjeka cijevi. U sluˇcaju nagloga suˇzenja dolazi do jakoga vrtloˇznja na mjestu suˇzenja. Zbog oˇstrih kuteva rubne strujnice ne mogu slijediti oblik suˇzenja i odvajaju se od stijenke, a u prostoru izmedu stijenke i rubne strujnice dolazi do jakoga vrtloˇzenja ili ˇcak i kavitacije (kavitacija je pojava nagloga isparavanja tekuˇcine na mjestima gdje je ukupni apsolutni tlak toliko mali da je usporediv s tlakom para tekućine). To su obiˇcno mjesta gdje je brzina toka velika ili se naglo mijenja. Kavitacija izaziva velike sile i ubrzanu eroziju stijenki cijevi pa se mora izbjeći ako je to ikako moguće. Naime, na mjestu gdje je apsolutni tlak toliko nizak da je usporediv s tlakom para tekućine dolazi do isparavanja i stvaranja mjehurića pare. Kad takav mjehurić noˇsen strujanjem dode na mjesto većeg tlaka, naglo se zguˇsnjava i ponovno pretvara u tekućinu. To dovodi do vrlo velikih promjena tlaka na tom mjestu (tlaˇcni udar reda veliˇcine 104 Bar) koji erodira i najˇcvrˇsće materijale. Kod oˇstrih rubova prijelaza uvijek se javlja i tzv. kontrakcija mlaza, tj. presjek stvarnog toka manji od fiziˇckog presjeka cijevi. Kontrakcija mlaza opisuje se koeficijentom kontrakcije c:


110

ϕ A1

A2

Slika 9.29: Konfuzor je koniˇcni dio cijevi sa vrˇsnim kutem φ manjim od 60o .

As (9.98) A2 Koeficijent kontrakcije mlaza obiˇcno se ne moˇze toˇcno proraˇcunati pa se koeficijent gubitaka odreduje eksperimentalno. Kod proraˇcuna brzine u kontrahiranom mlazu, faktor kontrakcije ulazi u raˇcun preko jednadˇzbe kontinuiteta, ali se ne vidi u koeficijentu otpora jer je on vezan za brzinu, a ne presjek. Medutim, u dijelu literature se faktor kontrakcije ukljuˇcuje u koeficijent otpora, pa kod koriˇstenja literature na to treba obratiti pozornost. U sluˇcaju da je faktor kontrakcije ukljuˇcen u faktor otpora, raˇcun brzine provodi se kao da kontrakcije nema (drugim rijeˇcima, raˇcuna se brzina u cijevi dovoljno daleko nizvodno od mjesta promjene presjeka, kad tok opet ispunjava cijelu cijev). c=

Tablica 9.7: Koeficijenti gubitaka za naglo suˇzenje. m

0,1 0,2 0,4 0,6

ζ1

41

0,8

9,4 1,8 0,54 0,16

Otupljivanje oˇstrih rubova suˇzenja smanjuje gubitke i do 50%, a zaobljavanje i do 75%. Da bi se izbjegli gubici kod suˇzenja cijevi, izraduju se tzv. postupna suˇzenja (konfuzori). Radi se o konusnom dijelu cijevi sa malim vrˇsnim kutem. Kod konfuzora gubici dolaze samo od trenja pa su jako maleni. Kod malih kutova (ispod 30o ) ih se u cjelosti zanemaruje. Ako je kut veći od 60o prijelaz se viˇse ne moˇze smatrati postupnim.

9.8: LOKALNI GUBICI

111

Tablica 9.8: Koeficijenti gubitaka za konfuzor.

9.8.4

φ

30o

45o

60o

ζ2

0,02 0,04 0,07

Proˇ sirenja

A1 ,v1

A2 ,v2

Slika 9.30: Naglo proˇsirenje takoder izaziva jako vrtloˇznje na mjestu proˇsirenja. Kod nagloga proˇsirenja hidrauliˇcki gubici su priliˇcno veliki. No, u ovom sluˇcaju, njih je moguće toˇcno teorijski proraˇcunati pa se gubici kod nagloga proˇsirenja nazivaju BourdaCarnotovi gubici. Oni se mogu izraˇcunati uz pomoć Bourda-Carnotove formule: ∆hl =

(∆v)2 2g

(9.99)

gdje je ∆v = v1 − v2 promjena brzine do koje dolazi kroz prolaska kroz proˇsirenje. Koeficijenti gubitaka takoder se mogu toˇcno izraˇcunati: ζ1 = ζ2 =

A1 A2 A2 A1

2

−1

(9.100)

2

−1

Kao i kod suˇzenja, gubici se smanjuju izradom postepenih proˇsirenja, koji se nazivaju difuzori. Tu je problem da kod kuteva većih od oko 30o dolazi do odvajanja toka od stijenke i nagloga povećanja gubitaka, pa su difuzori obiˇcno priliˇcno dugi. Za proraˇcun gubitaka koriste se eksperimentalno dobivene pribliˇzne formule: L A2 −A1

≈ 4...8

L A2 −A1

ζ1 ≈ (0, 4...0, 25) 1 −

>8

u kojima je L duˇzina difuzora.

ζ1 ≈ (0, 2) 1 −

A1 A2

A1 A2

2

2

(9.101)


112

ϕ A1

A2

L

Slika 9.31: Difuzor je koniˇcni dio cijevi sa vrˇsnim kutem φ manjim od 30o , a opisuje se svojom duˇzinom i vrˇsnim kutem.

A1 ,v1

A2 ,v2

Slika 9.32: Venturijeva cijev kombinacija je konfuzora i difuzora i sluˇzi za lokalno povećanje brzine toka.

9.8.5

Venturijeva cijev

Ako je na nekom mjestu potrebno povećati brzinu toka, npr. radi mjerenja protoka, ili sniˇzenja tlaka, koristi se Venturi-jeva cijev. Koeficijent gubitaka i ovdje se odreduje pokusima, a neki primjeri navedeni su u tablici 9.9.

9.8.6

Ventili

Ventilima se regulira protok ili potpuno zatvaraju/otvaraju pojedine grane cjevovoda. Kako se radi o elementima sloˇzene geometrije i kod njih se koeficijenti otpora moraju odrediti pokusima. Oni se za odredenu vrstu/tip ventila prikazuju grafiˇcki ili tabelarno u ovisnosti o nekom parametru koji opisuje koliko je taj ventil otvoren (obiˇcno omjer otvorene i cijele povrˇsine presjeka toka na mjestu ventila). Za raˇcun su obiˇcno najvaˇzniji minimalni gubici, koji nastaju kad je ventil potpuno otvoren, a oni znatno ovise o konstrukciji ventila.

9.8: LOKALNI GUBICI

113

Tablica 9.9: Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev. m

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

ζ1

17

7

3

2

1

0,5 0,3

Tablica 9.10: Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila.

9.8.7

tip konstrukcije

ζ1

standardni ventil za vodu (slavina)

0,6-3,9

zasun

0,05

kuglasti ventil

0,05-0,1

Koljena i lukovi

ζ1= 1,4

ζ1= 1,2

Slika 9.33: Oˇstra koljena (izrada od zavarenih cijevi) se izbjegavaju zbog većih gubitaka, pa se u izradi cjevovoda uglavnom koriste zaobljena koljena. Upotrebom lukova (koljena sa velikim polumjerom zakrivljenosti) moˇze se koeficijent gubitaka smanjiti do oko 0,2.


114

9.8.8

Filteri i reˇ setke

Za uklanjanje krutih ˇcestica iz toka fluida sluˇze filteri i reˇsetke u razliˇcitim izvedbama. Oni uglavnom sluˇze za zaˇstitu cjevovoda i uredaja prikljuˇcenih na njega od tih ˇcestica, ili proˇciˇsˇcavanju samog fluida kad je to potrebno (npr. uklanjanje praˇsine iz zraka u sustavu klimatizacije). Većina tih elemenata izaziva vrlo velike gubitke kao ˇsto je to vidljivo iz tablice 9.11. Tablica 9.11: Tipiˇcni koeficijenti otpora za razne vrste filtera.

9.8.9

tip konstrukcije

ζ1

zaˇstitna reˇsetka)

0,1-2,5

rijetko platno (gaza)

2-25

gusto tkanje (platno) ili filter papir

100-800

Raˇ cve i spojnice

Kod grananja ili spajanja tokova takoder dolazi do gubitaka. U oba sluˇcaja gubici ovise o kutu raˇcvanja (spajanja) i presjecima toka ispred i iza grananja. Pokusi pokazuju da su koeficijenti gubitaka kod raˇcvanja obiˇcno izmedu 0,5 i 1,5 a kod spajanja iznedu 0,05 i 3.

9.8.10

Izlazni otvori

Kod izlaznih otvora se u većoj ili manjoj mjeri primijećuje kontrakcija mlaza, a ukupni gubici ovise o obliku samoga otvora. Neki od tipiˇcnih sluˇcajeva (svi pretpostavljaju otvore kruˇznoga presjeka!) prikazani su na sljedećim slikama:

v1

v1 ζ1=0 (c=1)

Slika 9.34: Ovisno o obliku i izvedbi izlaznoga otvora, gubici na njemu mogu biti razliˇciti. U sluˇcajevima s ove slike oni su zanemarivi.

9.8: LOKALNI GUBICI

115

6-10R

v1

v1

v1

ζ1=1,8 (c∼0,6)

ζ1=0,5 (c∼0,8)

ζ1=0,1 (c∼0,95)

Slika 9.35: Kod otvora na samoj stijenci spremnika, ili kratkih izlaznih cijevi, lokalni gubici mogu biti znatni, a kontrakcija mlaza je uvijek prisutna.

9.8.11

Izlazna energija

Na kraju cjevovoda fluid najˇceˇsće slobodno istjeˇce u okolni prostor. Preostala energija koju on sa sobom nosi s glediˇsta cjevovoda takoder predstavlja gubitak koji se naziva izlazna energija. Kako fluid kod napuˇstanja cjevovoda sa sobom odnosi ukupnu preostalu energiju, uz uvjet da se istjecanje odvija na atmosferskom tlaku, gubitak za cjevovod je jednak toj energiji: ∆hi =

vi2 2g

(9.102)

Izlazni gubitak uvijek se veˇze na brzinu na mjestu istjecanja, pa je koeficijent gubitaka (za brzinu ispred, tj. ζ1 ) jednak 1, a Bernoullijeva jednadˇzba za cijeli sustav (istjecanje u okolnu atmosferu!) glasi 2 vul pul v2 + + zul = iz + ziz + ∆hu 2g ρg 2g

(9.103)

To znaˇci da na ulazu u cjevovod mora postojati energetska visina jednaka ukupnim gubicima u sustavu: ∆hu =

2 v2 pul vul − iz + + zul − ziz 2g 2g ρg

(9.104)

Ova energija jednaka je tlaˇcnoj visini na ulazu (ako tekućina ulazi u cjevovod iz spremnika), nadtlaku u zatvorenom spremniku ili ulaznom tlaku koji proizvodi neki uredaj, npr. pumpa i sl. Primjerice, kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izlazna brzina jednaka je ulaznoj, pa je ulazna energetska visina jednaka tlaˇcnoj visini na ulazu (slika 9.36): ∆hu =

pul ρg

(9.105)


116

vul

viz

Slika 9.36: Kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izraˇcun izlaznih gubitaka vrlo je jednostavan.

9.9

Zbrajanje otpora

A1 ,v1

A2 ,v2 λ2,l2,r2

λ1,l1,r1

ζ1

A3 ,v3

ζ2

λ3,l3,r3

Slika 9.37: Otpori pojedinih dijelova cjevovoda su aditivni, tj. zbrajaju se kako idemo u smjeru toka. Ukupni otpor cjevovoda jednak je zbroju svih otpora njegovih dijelova, a suma se obiˇcno razdvaja na sumu svih gubitaka u cijevima i na sumu svih lokalnih gubitaka: ∆hu =

X i

λi

li vi2 X vj2 + ζj 2ri 2g 2g j

(9.106)

Grananja i spajanja cjevovoda pretstavljaju dodatnu sloˇzenost. U takvim situacijama mora se raˇcunati ukupni otpor svake pojedine grane, a onda se ukupni otpori zbrajaju u skladu s Kirchofovim zakonom zbrajanja za paralelne otpore: X 1 1 = ∆hu i ∆hi

(9.107)

Kod proraˇcuna otpora cjevovoda u kojem postoji grananje/spajanje, prvo se raˇcuna ukupni otpor do mjesta grananja, a zatim ukupni otpori pojedinih grana. Nakon toga se primjenom Kichofova zakona izraˇcuna zajedniˇcki otpor svih grana koji se pribraja ukupnom otporu cjevovoda ispred mjesta grananja. Tako se postupa u svakoj toˇcki grananja ili spajanja, a postupak moˇze biti vrlo sloˇzena. Danas se sloˇzeniji problemi ovog tipa rjeˇsavaju upotrebom raˇcunalnih programa.

9.9: ZBRAJANJE OTPORA

117

∆h1

∆h2

Slika 9.38: Ukupni otpori pojedinih grana cjevovoda moraju se zbrajati po Kirchofovom zakonu.

∆h1

∆h3

∆h4 ukupni otpor grana=∆h2

Slika 9.39: Ukupni otpor svih grana cjevovoda se nakon njegovoga izraˇcuna po Kirchofovom zakonu pribraja otporu dijela cjevovoda ispred mjesta grananja.

118


Glava 10 Proraˇ cun jednostavnoga cjevovoda Pod jednostavnim cjevovodom podrazumijeva se cjevovod bez grananja ili spajanja cijevi (cjevovod koji u cjelini ima samo jednu granu). Kod sloˇzenih cjevovoda (cjevovodi s viˇse grana) proraˇcun je sloˇzeniji i odvija se uz primjenu Kirchoffovog zakona i, zbog sloˇzenosti, sve viˇse koriˇstenjem odgovarajućih raˇcunalnih programa. Pri tome se svaka grana zasebno mora proraˇcunati kao jednostavni cjevovod, uz dodatno odredivanje brzina, odn. protoka u svim granama pomoću Kirchoffovog zakona. I proraˇcavanje jednostavnih cjevovoda znade biti sloˇzeno i sporo, a posebnu pozornost treba posvetiti toˇcnom raˇcunanju jer se greˇska uˇcinjena na jednom mjestu odraˇzava na cijeli raˇcun i na kraju obiˇcno dovodi do krivih rezultata. To se posebno odnosi na sluˇcajeve kad se proraˇcun ili neki njegov dio mora raditi iterativno. Svaki proraˇcun jednostavnoga cjevovoda poˇcinje od njegove geometrije (nacrta) za koju se smatra da je poznata. Drugim rijeˇcima, poloˇzaj i duˇzine cijevi u prostoru, mjesta gdje se nalaze elementi cijevne armature i njihove karakteristike su poznate. Uz to se mora znati uvjete na ulazu u cjevovod, ˇsto se obiˇcno svodi na poznavanje ulaznoga tlaka (ili visine tekućine u spremniku na koji je cjevovod prikljuˇcen). Isto tako mora se znati i uvjete na izlazu iz cjevovoda (istjecanje u okolni prostor, istjecanje ispod povrˇsine tekućine ili neki drugi naˇcin istjecanja). Tek kada su nam ovi podaci poznati, pristupa se samom proraˇcunu, za koji su potrebne sljedeće zakonitosti: jednadˇ zba kontinuiteta: Q = vA = v

πd2 = konst. 4

(10.1)

Bernoullijeva jednadˇ zba: v12 p1 v2 p2 + + z1 = 2 + + z2 + hg 2g ρg 2g ρg

(10.2)

jednadˇ zba gubitaka: v2 lj X λj + ζji j dj 2g i !

hg =

X j

119

(10.3)

120

ˇ GLAVA 10: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

Colebrook-Whiteova formula (ili Moodyev dijagram): 2, 51 1 e √ + √ = −2 log λh Re λ 3, 715d i tablice lokalnih gubitaka.

!

(10.4)

Već iz ovoga nabrajanja jasno je da je potrebno pozvati mnoˇstvo podataka o cjevovodu. Pogleda li se nabrojene jednadˇzbe i dijagram malo detaljnije, moˇze se vidjeti da u raˇcun ulazi 10 razliˇcitih varijabli: Rei , Q, vi , di , li , hg , λi , ζi , ei /di i ν Pritom su neke od ovih veliˇcina meduovisne, ˇsto svakako dodatno oteˇzava raˇcun. To se posebno odnosi na koeficijente otpora λi , koji ovise o Reynoldsovom broju i relativnoj hrapavosti cijevi e/di , pa se za njihov proraˇcun mora znati brzina toka. Ukupnu duˇzinu cjevovoda smatra se poznatom, jer je odredena uvjetima projekta, no duˇzine i poloˇzaji pojednih dijelova cijevi ne moraju biti unaprijed zadane. Nadalje, od varijabli Q, vi , di , i hg mora se znati barem dvije da bi se moglo izraˇcunati preostale. Ovisno o tome, koje su od njih poznate, proraˇcun se moˇze odvijati na ˇ sest razliˇcitih naˇcina, opisanih u poglavljima 11.1-11.6.

10.1

Poznato je v i d

Za ovaj sluˇcaj dovoljno je znati brzinu u jednoj toˇcci cjevovoda te promjer cjevovoda na tom mjestu. Protok je konstantan i odmah se moˇze odrediti: πd2 (10.5) Q=v 4 Nakon toga se preko jednadˇzbe kontinuiteta raˇcunaju brzine u ostalim dijelovima cjevovoda, a iz brzina i Reynoldsovi brojevi: vd (10.6) ν Slijedi odredivanje relativne hrapavosti (obiˇcno iz tablica, uz poznavanje vrste cijevi), raˇcun koeficijenata linearnih gubitaka (ili njihovo oˇcitanje iz Moodyeva dijagrama) i na kraju raˇcunanje ukupne visine gubitaka hg . Kad su svi ovi podaci poznati, moˇze se joˇs na nacrtu cjevovoda grafiˇcki prikazati tok energetske i pijezometarske linije i time je postupak proraˇcuna u potpunosti zavrˇsen. Re =

10.2

Poznato je Q i d

I ovaj sluˇcaj je relativno jednostavan. Prvo se iz protoka odredi brzina: v=

4Q πd2

a dalje se raˇcun provodi na isti naˇcin kao i u prethodnom sluˇcaju.

(10.7)

10.3: POZNATO JE Q I V

10.3

121

Poznato je Q i v

Brzina je u ovom sluˇcaju obiˇcno zadana kao minimalna, maksimalno dozvoljena ili najpovoljnija. U prvom koraku iz protoka odredi se promjer cijevi: s

4Q (10.8) πv Nakon toga se iz tehniˇckih tablica odabere prvi veći standardni promjer cijevi, izraˇcuna brzinu za taj promjer i dalje se raˇcun provodi kao i u prvom sluˇcaju. d=

10.4

Poznato je d i hg

Ovaj je problem znatno sloˇzeniji od prethodnih i to zato ˇsto gubici ovise o brzini. To se najbolje vidi ako se brzina izrazi preko poznatih podataka: 2, 51ν v = −2 log d

s

e l + le + d 2gdhe 3, 71

!s

2gdhg l + le

(10.9)

ovdje je le tzv. ekvivalentna duˇ zina lokalnih gubitaka: dX ζ (10.10) λ Ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka je zamiˇsljena duˇzina cijevi u kojoj su linearni gubici jednaki zbroju svih lokalnih gubitaka. Ovdje se dodatno pretpostavlja da su sve cijevi cjevovoda istoga promjera. U suprotnom je izraz za brzinu sloˇzeniji, jer u njega ulaze brzine u pojedinim dijelovima cjevovoda, koje se preko jednadˇzbe kontinuiteta moraju medusobno povezati (obiˇcno se sve brzine izraˇzavaju preko ulazne ili izlazne brzine). Nadalje, he je ulazna energija za koju se uzima da je jednaka ukupnim gubicima hg u koje se mora uraˇcunati i izlazna energija. Kako se brzina ne zna, ne moˇze se odrediti niti gubitke, pa se gornja jednadˇzba za brzinu mora rjeˇsavati iterativno. U prvom koraku iteracije zanemare se lokalni gubici, pa se brzina odredi pomoću pribliˇznoga izraza: le =

s

dhg e v1 = 5, 04 − 8, 86 log (10.11) d l Uz pomoć brzine v1 raˇcuna se ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka, uvrˇstava je se u toˇcan izraz za brzinu i raˇcuna novu vrijednost brzine, v2 . S njom se ponovno raˇcuna ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka te brzina v3 , itd. Nakon nekoliko koraka dobivene vrijednosti brzine će biti sve bliˇze jedna drugoj, a raˇcun se prekida kada se postigne dovoljna toˇcnost, obiˇcno dvije toˇcne znamenke. Ovakav postupak raˇcunanja naziva se iteriranje, a osim ˇsto je dugotrajan, u sebi skriva i opasnost divergencije, tj. sve većega rasipavanja dobivenih vrijednosti brzina. U tom sluˇcaju mora se iteriranje zapoˇceti nekom drugom poˇcetnom vrijednosti brzine v1 . Danas se ovakvi postupci prepuˇstaju raˇcunalnim programima, ali korisnik mora dobro poznavati i naˇcin na koji koriˇsteni raˇcunalni program radi, a i problematiku teˇcenja kroz cjevovode, da bi mogao ocijeniti je li je dobiveni rezultat realan. U suprotnom se lako moˇze dogoditi da se prihvati potpuno besmisleni rezultat koji je raˇcunalo izbacilo, sa svim posljedicama koje iz toga mogu proizaći.


122

10.5

Poznato je d i hg

Ovdje se treba ograniˇciti na jednostavniji sluˇcaj kada su sve cijevi cjevovoda istoga promjera. Izraz za promjer cijevi je onda: dX l + le v 2 d= λ+ ζi l i hg 2g !

(10.12)

Kao i u prethodnom sluˇcaju, ovaj se izraz mora iterirati. Iteraciju se zapoˇcinje zanemarivanjem lokalnih gubitaka i uz λ = 0, 02. Promjer izraˇcunat na ovaj naˇcin upotrijebi se za odredivanje Reynoldsovoga broja, relativne hrapavosti i svih gubitaka, s kojima se onda ponavlja raˇcunanje promjera i na taj naˇcin se iterira jednadˇzba 10.12. Kad se tako odredi promjer cijevi, izraˇcuna se protok: Q=v

πd2 4

(10.13)

ˇcime se zavrˇsava raˇcun.

10.6

Poznato je Q i hg

Opet se treba ograniˇciti na sluˇcaj kad su sve cijevi istoga promjera. Izraz za promjer cijevi je u ovom sluaˇcaju:

d=

v u u d P 2 8l λ + u 5 i Q l t

gπ 2 hg

(10.14)

a iteriranje se zapoˇcinje s poˇcetnom vrijednosti: d1 =

v u 2 u lQ 5 0, 278t

hg

(10.15)

Na kraju joˇs ostaje odrediti brzinu: v=

4Q πd2

(10.16)

i po potrebi pojedine gubitke.

10.7

Prikazivanje energetske i piezometarske linije

ˇ Cesto je potrebno u shemu ili nacrt cjevovoda ucrtati energetsku i piezometarsku liniju. Ako je proraˇcun cjevovoda napravljen, na raspolaganju su svi potrebni podaci, u protivnom ih se mora izraˇcunati. Crtanje zapoˇcinje ucrtavanjem referentne ravnine. Kod istjecanja u okolnu atmosferu referentna ravnina postavlja se kroz srediˇste izlaznoga otvora, a kod istjecanja ispod povrˇsine tekućine na povrˇsinu tekućine u koju se istjecanje odvija. U nastavku se sve crta s obzirom na os cjevovoda jer se u raˇcunu teˇcenje tretira kao jednodimenzionalno, kako je to već ranije prodiskutirano.

10.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE

123

v=0, p=0 hlok1

he

v2/2g p/ρg

hcjev1 EL PL

0

0

Slika 10.1: Poˇcetak crtanja energetske i piezometarske linije kad tekućina ulazi u cjevovod iz spremnika. Na ulazu cjevovoda nalazi se zaˇstitna koˇsara, u ˇcije gubitke je uraˇcunat i gubitak ulaznoga otvora.

Apscisa grafikona odgovara udaljenosti od poˇcetka cjevovoda, a ordinata geodetskoj visini. Radi preglednosti mjerilo ordinate je ˇcesto puta drugaˇcije od mjerila apscise, o ˇcemu treba voditi raˇcuna. Ukoliko se ne raspolaˇze skicom cjevovoda, prvo će se izraditi takva skica. Nakon toga se poˇcinje s ucrtavanjem energetske linije, poˇcevˇsi od ulaza u cjevovod i idući prema njegovu kraju. Visina energetske linije jednaka je visini tekućine u spremniku iz kojeg tekućina ulazi u cjevovod (slika 10.1), a ako se radi o zatvorenoj posudi, mora se toj visini dodati nadtlak koji u njoj vlada. Na ulazu u cjevovod energetska linija skokovito pada za iznos ulaznih gubitaka, a nakon toga se pravocrtno spuˇsta uz cijev do idućeg lokalnoga gubitka. Na mjestu ispred toga gubitka energetska linija niˇza je za iznos lineranih gubitaka u cijevi. Slijedi skokovito smanjenje energetske linije za iznos lokalnoga gubitka, itd. sve do kraja cjevovoda. Na izlazu iz cjevovoda energetska linija je za iznos izlazne energije iznad osi izlaznoga otvora i na mjestu izlaznoga otvora skokovito pada na nju (slika 10.2). Treba zapaziti da energetska linija za realnu tekućinu uvijek pada od ulaza prema izlazu cjevovoda. Kad je ucrtana energetska linija, nastavlja se s ucrtavanjem piezometarske linije. Ona je za iznos brzinske visine ispod energetske linije, pa se uz pomoć podataka o brzinama u pojedinim dijelovima cjevovoda prvo (ako već nije), odredi brzinske visine, a onda pristupa crtanju piezometarske linije. Kao i kod energetske linije, poˇcinje se od ulaza. Brzina u ulaznom spremniku toliko je mala da ju se moˇze zanemariti, pa je tu visina piezometarske linije jednaka visini energetske. Kod ulaznoga otvora dolazi do skokovita spuˇstanja piezometarske linije za brzinsku visinu (za koju se uzima brzinu u cijevi iza otvora, tj. zanemaruje se postupne promjene brzine oko samoga ulaznog otvora. Piezometarska visina za cijev je za iznos brzinske visine ispod energetske linije, pa je piezmetarska linija paralelna s energetskom, a nalazi se za iznos brzinske visine ispod nje. Ako se dio cjevovoda izdiˇze iznad povrˇsine tekućine u ulaznom spremniku, u tom dijelu cjevovoda dolazi do podtlaka. Da bi se izbjegla pojava negativnih vrijednosti u raˇcunu i na skici, proraˇcun ovakvih cjevovoda radi se s apsolutnim tlakovima. To znaˇci da se sve visine povećavaju za visinu atmosferskoga tlaka, izraˇzenu u visini stupca tekućine koja struji cjevovodom (slika 10.4):


124

he EL v2/2g

PL 0

hiz 0

Slika 10.2: Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije u sluˇcaju istjecanja u okolnu atmosferu.

he EL PL 0

v2/2g

hiz 0 v

Slika 10.3: Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije u sluˇcaju istjecanja ispod povrˇsine tekućine.

hat =

pat ρtek g

(10.17)

Za vodu i atmosferski tlak na povrˇsini mora je visina atmosferskog tlaka hat = 10, 32 m. Dogodi li se da apsolutni tlak u nekom dijelu cjevovoda padne ispod tlaka para tekućine, dolazi do spontanoga isparavanja tekućine i pojave mjehura pare (kavitacija). Kavitacija dovodi do prekida normalnoga teˇcenja kroz cijevi a uz to moˇze izazvati i velika oˇstećenja cjevovoda, pa se takav pad tlaka mora izbjeći pod svaku cijenu npr. povećavanjem presjeka cijevi na kritiˇcnom mjestu, ili spuˇstanjem izdignutoga dijela cijevovoda na niˇzu razinu). Tlak para vode na sobnoj temperaturi je oko 40 mBar (hp = 0, 4 m), no kod lako hlapljivih tekućina treba biti znatno oprezniji kod proraˇcunavanja cjevovoda. Pokusi pokazuju da u stvarnosti do kavitacije dolazi i kada je apsolutni tlak veći od tlaka para, pa se za donju dozvoljenu granicu za vodu uzima hmin = 2 − 3 m. Poseban problem predstavlja prikazivanje energetske i piezometarske linije za vertikalne

10.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE

125

v2/2g

p a /ρ g

pmin

z0

∆z

zk

p a /ρ g

v

Slika 10.4: Crtanje energetske i piezometarske linije kad se cjevovod izdiˇze iznad povrˇsine tekućine u spremniku. Minimalni tlak pmin (uz isti presjek cijevi) javlja se na mjestu najvećega izdignuća. dijelove cjevovoda. Kod takvih cijevi energetska i piezometarska linija padaju zajedno po osi cijevi pa se ne mogu prikazati. Zato se moˇze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji pod kutem od 45o i sluˇzi kao referetna linija prema kojoj se konstruiraju energetska i pijezometarska linija (slika 10.5). I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi. Alternativno se taj dio cjevovoda moˇze prikazati na posebnom grafikonu na kojem apscisa predstavlja duljinu cijevi po vertikalnoj osi, a ordinata visinu energetske odn. pijezometarske linije. Ako je vertikani dio cjevovoda predug, zbog stalnoga povećanja brzine, isto tako dolazi do kavitacije i odvajanja toka od stijenke cijevi, pa se na takve cjevovode ne mogu primijeniti metode raˇcunanja za cijevi ispunjene tekućinom.


126

hv,ul hul+hcj v2/2g 1

p=

h1

p

hiz

a

2 he

he

d

pmin p= 0

45o

0

p a /ρ g 0

v,Q

Slika 10.5: U sluˇcaju vertikalne cijevi (ispustni ˇsahtovi, kanalizacijske cijevi u zgradama i sl.) energetska i piezometarska linija padaju zajedno po osi cijevi pa se ne mogu prikazati. Zato se moˇze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji pod kutem od 45o i sluˇzi kao referetna linija prema kojoj se crtaju EL i PL. I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi.

10.8: PUMPE

10.8

127

Pumpe EL

hp EL

v

v

Slika 10.6: Idealna pumpa na mjestu gdje je ugradena podiˇze energiju tekućine (energetsku liniju) za energetsku visinu pumpe hp . Kada je potrebno povećati energiju tekućine koriste se pumpe. Pumpa dodaje energiju tekućini, ali ne mijenja njen protok (jednadˇzba kontinuiteta). Za potrebe proraˇcuna koristi se tzv. idealna pumpa. Za nju se uzima da na mjestu gdje se nalazi podiˇze energetsku visinu za vrijednost koja se naziva energetska visina pumpe (slika 10.6). U stvarnosti uz energetsku visinu pumpe, mora se paziti i na naˇcin na koji je pumpa ugradena u cjevovod (slika 10.7).

ht hp

hu

Slika 10.7: Realna pumpa. Kod nje je situacije neˇsto sloˇzenija, i energetska visina pumpe hp opisuje se kao zbroj energetske visine hu koju pumpa dodaje na usisnoj strani i energetske visine ht koju dodaje na tlaˇcnoj strani. O konstrukciji pumpe ovisi kolike su te visine, odn. u kojim granicama trebaju biti, da bi pumpa ispravno djelovala. Kod svake stvarne pumpe razlikuje se usisna strana i tlaˇ cna strana. Pumpa uvlaˇci tekućinu s usisne strane, podiˇze energiju tekućine za visinu hu , i istiskuje tekućinu istom

128


brzinom na tlaˇcnoj strani dalje u cjevovod. Tekućina izlazi iz pumpe sa energetskom visinom povećanom za energetsku visinu pumpe hp . Ukupno povećanje energetske visine je prema tome hu + hp . Ovisno o konstrukciji pumpe, visina za koju pumpa moˇze podići tekućinu na usisnoj strani moˇze biti razliˇcita. Neke konstrukcije pumpi zahtijevaju nadtlak na usisnoj strani (tada se visina usisavanja hu navodi kao negativna). U svakom sluˇcaju, na usisnoj strani ne smije se dogoditi da apsolutni tlak padne ispod tlaka para tekućine jer će doći do prekida toka i pumpa neće moći pumpati. Na to posebno treba paziti kada se na usisnoj strani voda uzima iz spremnika (slika 10.8).

hm hs

vul he hv

Slika 10.8: Pumpa u situaciji kad podiˇze (usisava) vodu iz spremnika. Visina podizanja koju pumpa savladava na usisnoj strani (hs ), jednaka je zbroju visine pumpe (obiˇcno njene osovine) iznad povrˇsine tekućine, visini gubitaka koji nastaju u usisnoj cijevi i brzinske visine na usisnoj strani, odnosno: hs = hm + he + hv

(10.18)

Ovisno o konstrukciji pumpe, postoji maksimalna moguća visina usisavanja, koja je dana slijedećim izrazom: hsmax =

pat − pp v2 − hul + ul ρtek g 2g

(10.19)

gdje je pat okolni tlak (obiˇcno atmosferski), pp je tlak para tekućine (na njega treba obratiti posebnu pozornost kod lakohlapivih tekućina), hul je minimalni ulazni tlak potreban da bi pumpa mogla raditi. On ovisi o konstrukciji pumpe a kod nekih vrsta pumpi moˇze biti i veći od atmosferskog tlaka (potreban je nadtlak na ulazu pumpe). Brzinska visina dodaje se u ovaj proraˇcun zato jer ju proizvodaˇci uraˇcunavaju u minimalni ulazni tlak pumpe. U sluˇcaju da pumpa povlaˇci vodu iz spremnika, maksimalna visina pumpe iznad vode nalazi se kombiniranjem jednadˇzbi (10.18) i (10.19) kao: hm,max =

pat − pp − hul − he ρtek g

(10.20)

10.8: PUMPE

129

Na kraju, bez ulaˇzenja u detalje, minimalna snaga motora koji pokreće pumpu dana je sljedećim izrazom: Pmin =

ρtek gQhp ηm ηp

(10.21)

gdje je hp ukupna energetska visina pumpe, Q je protok tekućine, ηm je efikasnost motora a ηp efikasnost pumpe.

130


Glava 11 Istjecanje U mnogim prilikama tekućina iz nekoga spremnika slobodno istjeˇce u okolni prostor, bilo da se radi o otvoru na samoj stijenci spremnika ili o kratkoj izlaznoj cijevi. Sve takve situacije obuhvaćene su zajedniˇckim nazivom: istjecanje. Najˇceˇsće se istjecanje odvija u stacionarnim uvjetima (razina tekućine u spremniku odn. tlak iznad tekućine u zatvorenoj posudi su konstantni). Ovisno o veliˇcini otvora, govori se o istjecanju kroz male odn. istjecanju kroz velike otvore. Pod malim otvorom smatra se svaki otvor koji je toliko malen da se moˇze uzeti da je hidrostatski tlak na cijeloj njegovoj povrˇsini jednak.

11.1

Istjecanje kroz mali otvor A

pa

h B pa

0

0

Slika 11.1: Istjecanje kroz mali otvor. Kod istjecanja kroz male otvore smatra se da je otvor toliko mali da se moˇze zanemariti promjena hidrostatskoga tlaka preko njegove povrˇsine. Drugim rijeˇcima, ako je otvor na dubini h, a najveća dimenzija u vertikalnom smjeru mu je a, mora biti h >> a. Zamiˇsljenu strujnicu konstruira se od povrˇsine tekućine, do srediˇsta izlaznoga otvora. Referentnu ravninu takoder se postavlja kroz sredinu izlaznoga otvora. Bernoullijeva jednadˇzba je za taj sluˇcaj: pa vA2 pa vB2 + +h= + +0 ρg 2g ρg 2g 131

(11.1)

132

GLAVA 11: ISTJECANJE

Nadalje, uzima se da je rezervoar toliko velik da se brzinu teˇcenja na povrˇsini tekućine moˇze zanemariti (vA ≈ 0). Uz ovu pretpostavku je izraz za brzinu istjecanja: vB =

q

2gh

(11.2)

Do ove formule je doˇsao već Torricelli, pa se ona po njemu ˇcesto naziva Torricellijeva formula za brzinu istjecanja. Zanimljivo je da je Torricellijeva brzina jednaka brzini padanja tijela sa visine h u polju sile teˇze. U gornjem raˇcunu zanemareni su gubici na izlaznom otvoru: vB2 2g Uzme li se i njih u obzir, Bernoullijeva jednadˇzba postaje ∆hg = ζ

h=

vB2 + ∆hg 2g

(11.3)

(11.4)

ˇsto za brzinu istjecanja daje: s

vB =

2gh 1+ζ

(11.5)

Kod realne tekućine brzina istjecanja je neˇsto manja od Torricellijeve brzine. Ovdje se ˇcesto umjesto koeficijenta lokalnoga gubitka koristi koeficijent smanjenja brzine: s

ϕ=

1 1+ζ

(11.6)

zato ˇsto uz njega izraz za brzinu postaje jednostavno: vB = ϕvT orr

(11.7)

gdje je vT orr Torricellijeva brzina istjecanja. Koeficijent smanjenja brzine odreduje se eksperimentalno, a pravilnim zaobljenjem rubova izlaznoga otvora moˇze se postići ϕ = 0, 98. Kod ovakvog istjecanja opaˇza se smanjenje presjeka mlaza nakon izlaska iz izlaznoga otvora; tzv. kontrakcija mlaza (slika 11.2). Ova pojava opisuje se koeficijentom kontrakcije c: As (11.8) A Kao i koeficijent smanjenja brzine, koeficijent kontrakcije odreduje se pokusima. Kod raˇcunanja protoka, mora se uzeti u obzir i kontrakcija mlaza i smanjenje brzine zbog gubitaka, pa izraz za protok postaje: c=

Q = vA = ϕvT orr cA

(11.9)

Zbog praktiˇcnosti se uvodi koeficijent istjecanja koji je definiran kao umnoˇzak koeficijenta kontrakcije i koeficijenta smanjenja brzine: µ = ϕc Uz upotrebu koeficijenta istjecanja izraz za protok (11.9) postaje:

(11.10)

ˇ ´ 11.2: ISTJECANJE KROZ MALI OTVOR ISPOD POVRSINE TEKUCINE

133

Slika 11.2: Kontrakcija mlaza kod istjecanja: presjek mlaza tekućine manji je od presjeka izlaznoga otvora.

q

Q = µA 2gh

(11.11)

a prednost ovakva izraza je da se koeficijent istjecanja lako dade izravno mjeriti. Vrijednosti koeficijenta istjecanja navode se u ovisnosti o obliku otvora u raznim tehniˇckim priruˇcnicima. Primjerice za okrugli otvor oˇstrih rubova koeficijent istjecanja je c = 0, 61.

11.2

Istjecanje kroz mali otvor ispod povrˇ sine teku´ cine A

pa

pa hA B 0

hB 0

Slika 11.3: Istjecanje kroz mali otvor u sluˇcaju kada se on nalazi ispod povrˇsine tekućine. Ako je otvor kroz koji tekućina istjeće ispod povrˇsine okolne tekućine, na desnoj strani Bernoullijeve jednadˇzbe javlja se i hidrostatski tlak okolne tekućine na mjestu istjecanja. Bernoullijeva jednadˇzba u tom sluˇcaju izgleda ovako:

134


pB vB2 pa vA2 + + hA = + +0 ρg 2g ρg 2g

(11.12)

No, tlak na mjestu otvora je: pB = pa + ρghB

(11.13)

pa za Torricellijevu brzinu vrijedi izraz: vT orr =

q

2g(hA − hB )

(11.14)

Kod realne tekućine i u ovom sluˇcaju mora se uzeti u obzir koeficijent smanjenja brzine i koeficijent istjecanja a izrazi za brzinu (11.14) i protok (11.9) ostaju nepromijenjeni.

11.3

Istjecanje iz posude pod tlakom pp

A

h patm B 0

0

Slika 11.4: Istjecanje iz posude pod tlakom. Ako se tekućina nalazi u zatvorenoj posudi pod tlakom, taj se tlak javlja na lijevoj strani Bernoullijeve jednadˇzbe (i dalje se pretpostavlja mali otvor!): patm vB2 patm + ∆p vA2 + +h= + +0 ρg 2g ρg 2g

(11.15)

pri ˇcemu se apsolutni tlak u posudi izraˇzava kao zbroj atmosferskoga i relativnog tlaka (patm + ∆p). Za Bernoullijevu brzinu se dobije neˇsto sloˇzeniji izraz: vB =

v u u t2g

∆p h+ ρg

!

(11.16)

11.4: ISTJECANJE KROZ VELIKI OTVOR

11.4

135

Istjecanje kroz veliki otvor A

pa

h1

hB

pa

B h2 pa

Slika 11.5: Istjecanje kroz veliki otvor. Kod velikoga otvora mora se uzeti u obzir ovisnost hidrostatskoga tlaka o dubini. Tako je za gornji rub otvora hidrostatski tlak manji, nego za donji. Općenito, promatra li se neku strujnicu koja prolazi kroz toˇcku B unutar velikoga otvora, bit će brzina istjecanja u njoj veća od brzine istjecanja za gornji rub otvora, a manja od brzine istjecanja za donji rub otvora: vB ≈

q

2ghB

(11.17)

Izraz (11.17) je pribliˇzan, jer se pretpostavlja da je vanjski tlak u toˇcki B jednak atmosferskom. U stvarnosti se ovaj tlak razlikuje od atmosferskoga za doprinos radijalnoga tlaka, koji dolazi od zakrivljenosti strujnice, ali je on uglavnom razmjerno malen pa se u jednostavnim raˇcunima ovoga tipa on zanemaruje. No, promjenu brzine istjecanja po visini otvora ne moˇze se zanemariti, pa se protok mora odrediti integracijom preko povrˇsine otvora. U tu svrhu se prvo odredi protok koji odgovara uskoj horizontalnoj povrˇsini unutar otvora koja se nalazi na dubini h, a visoka je dh (ˇsirina otvora na tom mjestu neka je b): q

dQ = µb 2ghdh

(11.18)

Ukupni protok je integral preko cijele povrˇsine otvora, u ovom sluˇcaju od dna do vrha otvora: Q=

Z h2

dQ

(11.19)

h1

Pritom se mora uzeti o obzir ovisnost ˇsirine otvora o dubini h. U najjednostavnijem sluˇcaju, kad je otvor pravokutan, ukupni protok kroz njega je: 3 3 2 q Q = cb 2g h22 − h12 3

(11.20)

136

11.5


Istjecanje kroz otvor ispred kojega teku´ cina ne miruje A

pa

vA h B

pa

0

0 vB

Slika 11.6: Istjecanje u sluˇcaju kad tekućina ispred otvora ne miruje. Ako tekućina ispred otvora ne miruje, javlja se na desnoj strani Bernoullijeve jednadˇzbe i brzinski ˇclan: pa vB2 pa vA2 + +h= + +0 ρg 2g ρg 2g

(11.21)

a izraz za Toricellijevu brzinu postaje: vB =

q

2gh + vA2

(11.22)

U sluˇcaju velikoga otvora protok se opet odreduje integracijom preko provrˇsine otvora. Tako se primjerice za pravokutni otvor dolazi do slijedećeg izraza: 

v2 2 q Q = cb 2g  h2 + A 3 2g

!3 2

v2 − h1 + A 2g

!3  2



(11.23)

11.6: NESTACIONARNO ISTJECANJE

11.6

137

Nestacionarno istjecanje Qd S

h

A Qvan

Slika 11.7: Istjecanje iz spremnika koji se istovremeno i puni. Protok sa kojim tekućina ulazi u spremnik je Qd , protok sa kojim istjeˇce iz spremnika je Qvan , h je trenutna dubina tekućine u spremniku, S povrˇsina presjeka spremnika i A povrˇsina presjeka izlaznog otvora. Ako se neki od ˇclanova koji ulaze u Bernoullijevu jednadˇzbu mijenja, istjecanje postaje nestacionarno. Primjerice, zbog istjecanja moˇze doći do smanjenja razine tekućine u spremniku, pa se tlaˇcna visina s vremenom smanjuje. Ukoliko su promjene spore, moˇze se i dalje rjeˇsenje traˇziti uz pomoć izraza za stacionarno istjecanje, ali se mora imati na umu da su sad veliˇcine koje u te izraze ulaze, vremenski promjenljive. Kao primjer se daje sluˇcaj spremnika koji se prazni kroz otvor na dnu, a istovremeno u njega iz neke cijevi dotjeˇce tekućina (slika 11.7). Protok kroz rupu na dnu spremnika dan je od prije poznatim izrazom: q

Qvan = αA 2gh

(11.24)

Treba primijetiti da u ovom sluˇcaju on ovisi o trenutnoj dubini tekućine u spremniku. Neka istovremeno u spremnik dotjeće tekućina sa protokom Qd , za koji će se pretpostaviti da je konstantan. Vremenom će se razina tekućine u spremniku tako dugo mijenjati, dok se ulazni i izlazni protoci ne izjednaˇce. Ravnoteˇznu dubinu nalazi se izjednaˇcavanjem ova dva protoka: Q2d Qd = Qvan → h◦ = (11.25) 2g(µA)2 Ako je poˇcetna dubina veća od ravnoteˇzne, ona će se vremenom smanjivati dok ne dosegne ravnoteˇznu vrijednost, a ako je bila manja, razina će rasti do ravnoteˇzne vrijednosti. Vrijeme potrebno da se razina tekućine promijeni s h1 na h2 odredi se pomoću ˇcinjenice da je smanjenje volumena tekućine u spremniku u nekom vremenu dt jednaka razlici volumena tekućine koja istekne iz spremnika i volumena tekućine koja u istom tom vremenu doteˇce u njega (jednadˇzba saˇcuvanja volumena tekućine).

138


q

Sdh = Qd dt − µA 2ghdt

(11.26)

ˇcijom se integracijom dobija traˇzeno vrijeme: t1,2

Z h2 S(h)dh 1 √ √ = √ µA 2g h1 h◦ − h

(11.27)

Da bi se rijeˇsio ovaj integral, mora se znati kako povrˇsina presjeka spremnika S ovisi o dubini h. Ako je posuda prizmatiˇcnoga oblika (ukljuˇcujući i oble oblike), S je konstantan i rjeˇsenje se lako nade: √ √ ! q q q 2S h◦ − h1 √ √ t1,2 = (11.28) h1 − h2 + h◦ ln √ µA 2g h◦ − h2 Prekine li se u nekom trenutku dotok tekućine u spremnika, dolazi do njegova praˇznjenja. Vrijeme potrebno da se razina tekućine spusti s h1 na h2 odreduje se uvrˇstavanjem ho = 0 u gornji izraz: t1,2 =

q q 2S √ h1 − h2 µA 2g

I na kraju, vrijeme potrebno da se spremnik potpuno isprazni je: √ 2S h1 √ to = µA 2g

(11.29)

(11.30)

Ovo vrijeme dva je puta duˇze od vremena potrebnoga da isti volumen tekućine isteˇce iz spremnika ako se dubinu h1 drˇzi konstantnom.

11.7

Mlazovi

hmax vo

α

lmax

Slika 11.8: Geometrija mlaza tekućine. Mlaz je struja tekućine potpuno omedena slobodnom povrˇsinom. U mlazu se fluid slobodno giba prostorom i podvrgnut je samo sili teˇzi i silama trenja s okolinom, koje su ˇcesto zanemarive. To znaˇci da se ˇcestice telućine u mlazu gibaju kao nezavisna kruta tijela, pa

11.7: MLAZOVI

139

za njih vrijede zakoni gibanja materijalne toˇcke (kosi hitac), koje će se ovdje saˇzeto navesti. Ako je poˇcetna brzina mlaza v~0 : v~0 = vx0~i + vy0~j

(11.31)

uz zanemarivanje otpora zraka njezine komponente su: vy = vy0 − gt

vx = vx0

(11.32)

a koordinate ˇcestice fluida u mlazu, koji je trenutku t = 0 izaˇsao iz cijevi su: gt2 y = vy0 t − 2

x = vx0 t

(11.33)

ˇ Cestica će u tjeme putanje doći nakon vremena: tm =

vy0 g

(11.34)

i dosegnuti će visinu: hmax =

2 vy0 2g

(11.35)

Ukupno vrijeme leta (uz pretpostavku horizontalne podloge): je tlet = 2tm

(11.36)

a domet mlaza (mjesto gdje mlaz udara u podlogu) je: lmax =

2vx0 vy0 g

(11.37)

Izraze li se komponente brzine preko poˇcetnoga kuta koji mlaz zatvara s horizontalom: vx0 = v0 cos α

vy0 = v0 sin α

(11.38)

izraz za domet postaje: lmax =

v02 sin 2α g

(11.39)

odakle se vidi da se maksimalni domet mlaza postiˇze kad je kut α=45o . Omjer dometa i maksimalne visine mlaza je: lmax vx0 =4 = 4 cot α hmax vy0

(11.40)

Napominje se da u stvarnosti mlazevi dostiˇzu do 3/4 teorijske visine, odn. dometa.

140

11.7.1


Horizontalni mlaz

ht

hm

Slika 11.9: Horizontalni mlaz - istjecanje iz spremnika na postolju. Kod horizontalnoga mlaza, primjerice istjecanja iz spremnika na postolju (slika 11.9) brzina istjecanja je: vx0 =

q

2ght

(11.41)

domet mlaza: q

lmax = 2 ht hm

(11.42)

i vrijeme leta: tmax =

q

2ghm

(11.43)

11.7: MLAZOVI

11.7.2

141

Vertikalni mlaz prema dolje

ht

h

Slika 11.10: Vertikalni mlaz - istjecanje kroz dno spremnika. U sluˇcaju vertikalnoga mlaza prema dolje, tekućina se padanjem pod djelovanjem sile teˇze ubrzava, pa zbog saˇcuvanja protoka dolazi do smanjenja presjeka mlaza. Nakon neke visine padanja dolazi do raspadanja mlaza na veće ili manje ˇcestice tekućine, nakon ˇcega se na takav mlaz viˇse ne moˇze primijeniti izraze izvedene za homogenu tekućinu. Zato se vertikalni mlazevi kada god je to moguće izbjegavaju.

142

11.7.3


Vertikalni mlaz prema gore

hmax

Slika 11.11: Vertikalni mlaz - vodoskok. Ako je mlaz usmjeren vertikalno prema gore (vodoskok) dolazi do usporavanja ˇcestica tekućine i na kraju do njihovoga potpunoga zaustavljanja. Nakon toga ˇcestice poˇcinju padati prema dolje, mlaz se raspada i otpor zraka postaje znaˇcajan faktor u njihovu usporavanju. Ako je tlak kojim se tekućina na izlazu iz cijevi tlaˇci prema gore po , teorijska visina dosega mlaza je: hmax =

p0 ρg

(11.44)

2p0 ρ

(11.45)

uz poˇcetnu brzinu: s

v0 =

Glava 12 Teˇ cenje u otvorenim koritima 1

∆h (h1,2)

2

zo zE zp z

z1

z2

0

0

∆h (h1,2) zo zE zp z1

z

z2

0

0

Slika 12.1: Bernoullijeva jednadˇzba za cijev pod tlakom (gore) i otvoreni tok (teˇcenje sa slobodnim vodnim licem, dolje). Kod teˇcenja u otvorenim koritima, bilo da se radi o prirodnim tokovima, ili umjetno izradenim kanalima, tekućina s gornje strane graniˇci s okolnom atmosferom. Ploha koja predstavlja tu granicu vrlo pribliˇzno je ravna i naziva se slobodna povrˇsina. Na slobodnoj povrˇsini hidrostatski tlak je u ravnoteˇzi s atmosferskim, pa je piezometarska linija jednaka liniji slobodne povrˇsine fluida (općenito trodimenzionalne plohe). U ovoj ˇcinjenici skriva se i bitna razlika prema teˇcenju kroz cijevi: kod toka u otvorenim koritima razina tekućine se slobodno mijenja, pa se mijenja i hidrauliˇcki radijus. To znaˇci da koeficijent otpora (vidi turbulentni tok u hidrauliˇcki hrapavom reˇzimu) ovisi o dubini toka. Kod cijevi je on konstantan. Nadalje, trenje izmedu atmosfere i slobodne plohe je vrlo malo i uglavnom se moˇze zanemariti, tako da otporu teˇcenju doprinosi samo dio korita ispod povrˇsine tekućine (tzv. moˇceni dio korita). Treba se podsjetiti naˇcina na koji se rjeˇsavalo Bernoullijevu jednadˇzbu za cijevi (slika 12.1). Tok kroz cijev pod tlakom je prikazan kao strujna cijev koja u cjelosti ispunjava 143

ˇ GLAVA 12: TECENJE U OTVORENIM KORITIMA

144

unutraˇsnjost cijevi. Geodetska linija podudara se s osi cijevi, a piezometarska i energetska linija nalaze se iznad nje, uvijek iznad same cijevi. Gubici izmedu dva presjeka jednaki su ukupnom padu energetske linije izmedu njih. Kod otvorenoga toka geodetska linija prolazi dnom korita, a piezometarska linija se podudara s povrˇsinom tekućine (jer je kod nje, kao i u piezometru, tlak na povrˇsini tekućine jednak okolnom tlaku). Kao i prije, energetska linija je za brzinsku visinu iznad povrˇsine tekućine, a gubici se definiraju na isti naˇcin kao i kod cjevovoda pod tlakom: kao pad energetske linije.

A

O L

Slika 12.2: Odredivanje hidrauliˇckog radijusa za otvoreni tok. Kao i kod toka pod tlakom u cjevovodima, hidrauliˇcki radijus definira se kao omjer povrˇsine presjeka toka i njegova opsega. No, kod otvorenih tokova u opseg se ne uraˇ cunava slobodna ploha jer na njoj trenje praktiˇcki ne postoji. Opseg toka je kod otvorenoga toka dakle jednak omoˇcenom dijelu korita. Padovi dna korita, slobodne povrˇsine te piezometarske i energetske linije su kod otvorenih tokova uglavnom mali (reda veliˇcine promila) i polagano se mijenju, i za njih se koriste standardizirane oznake: pad dna korita: z1 − z2 L pad vodnoga lica (= slobodna povrˇsina, = piezometarska linija): I=

I0 =

zh1 − zh2 L

zh1 = h1 + z1

zh2 = h2 + z2

(12.1)

(12.2)

pad energetske linije: H1 − H2 ∆h = (12.3) L L L je udaljenost izmedu dva presjeka u kojima se promatra odgovarajuće veliˇcine. Ovi padovi vrlo ˇcesto se izraˇzavaju u promilima, o ˇcemu kod praktiˇcnih raˇcuna treba voditi brigu. IE =

ˇ 12.1: JEDNOLIKO TECENJE

12.1

145

Jednoliko teˇ cenje

Kod jednolikoga teˇcenja hidrauliˇcke karakteristike toka jednake su po cijeloj njegovoj duˇzini (hidrauliˇcke karakteristike su presjek toka, nagib dna i koeficijent trenja). U tom sluˇcaju su i protok te srednja brzina konstantni, a energetska linija postaje paralelna sa slobodnom povrˇsinom i dnom korita. To znaˇci da su i odgovarajući padovi, srednje brzine i proticajni presjeci medusobno jednaki: I = I0 = IE v1 = v2 = v

(12.4)

A1 = A2 = A pa je prema tome: Q = const.

(12.5)

Dubina vodotoka kod koje je teˇcenje jednoliko naziva se normalna dubina, ho . Pogledajmo sad situaciju kod jednolikog teˇcenja detaljnije. Sila trenja je (uz pretpostavku da su stijenke korita svugdje jednako hrapave, ˇsto se podrazumijeva pod zahtjevom da teˇcenje bude jednoliko) jednako rasporedena po cijeloj omoˇcenoj povrˇsini korita, pa se moˇze pisati: v2 OL (12.6) 2 gdje je k konstanta proporcionalnosti (koeficijent otpora). Ukupni gubitak energije je, kao i kod cjevovoda: Ft = kρ

∆h =

Ft ρgA

(12.7)

∆h = k

v2 L 2g Rh

(12.8)

odnosno:

Ako se zna da je ∆h = IE L (za jednoliki tok), preslagivanjem gornjeg izraza dobiva se brzina toka: s

q 2g q Rh IE = C Rh IE k Ovo je Chezyeva formula (odredio ju je A. Chezy 1769. pokusima), i oˇcito je:

v=

(12.9)

s

2g (12.10) k Dosta dugo smatralo se da je Chezyev koeficijent C konstanta, no pokazalo se da C zapravo ovisi o relativnoj hrapavosti korita i Reynoldsovom broju. Danas se C odreduje pomoću nekoliko aproksimativnih formula, od kojih se najˇceˇsće koriste Mannigova formula, koja daje vrlo dobru aproksimaciju Chezyeva koeficijenta: C=

C=

1 16 R n h

(12.11)


146

Tablica 12.1: Tipiˇcne vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale. n [sm−1/3 ] k [s−1 m1/3 ]

dno korita vrlo glatko

0,009

110

beton

0,014

70

zemlja

0,028

35

erodirani zemljani kanal

>0,04

<25

n [sm−1/3 ] je Manningov koeficijent hrapavosti. te Stricklerova formula: 1

C = kRh6

(12.12)

gdje je k [s−1 m1/3 ] Stricklerov koeficijent glatkosti. Oˇcito je: 1 (12.13) n Potrebno je poznavati obje formule zato jer neke tablice navode Manningove koeficijente, a neke Stricklerove. Tipiˇcne vrijednosti ovih koeficijenata dane su u tablici 12.1. Uz pomoć Manningove (Stricklerove) formule dolazi se i do izraza za srednju brzinu toka prema Manningu: k=

v=

1 32 q R IE n h

(12.14)

odnosno, prema Strickleru: 2

q

v = KRh3 IE

12.1.1

(12.15)

Veza koeficijenata trenja za cijev i za otvoreni tok

Zanimljivo je usporediti pad energetske linije prema Chezyevoj formuli za koeficijent trenja otvorenoga toka: v2 (12.16) C 2 Rh i pad energetske linije prema Darcy-Wiesbachovoj formuli za koeficijent trenja cijevi (okrugla cijev; IE = ∆h/L): IE =

λ v2 (12.17) 4Rh 2g Izjednaˇcavanjem se nalazi da izmedu Chezyevoga koeficijenta i koeficijenta trenja cijevi postoji sljedeća veza: IE =

s

C=

8g λ

(12.18)

ˇ 12.1: JEDNOLIKO TECENJE

147

ili 8g C2

λ=

(12.19)

sada se joˇs C izrazi preko Manningove formule pa se za koeficijent trenja cijevi nalazi: λ=

8gn2

(12.20)

1

Rh3 No, kod cijevi kruˇznog presjeka je Rh = d/4 pa je na kraju: 125n2 λ= √ 3 d

(12.21)

Ovo je tzv. Manningova formula za koeficijent trenja cijevi. Radi svoje jednostavnosti vrlo ˇcesto se koristi u praksi. Manningova formula vrijedi za hidrauliˇcki hrapave cijevi, a rezultati koje ona daje unutar su pogreˇske koju netoˇcnosti u poznavanju hrapavosti cijevi izazivaju kod Colebrook-Whiteove formule (da ne bude zabune, ni Manningov koeficijent hrapavosti n za danu situaciju nije sasvim toˇcno poznat).

12.1.2

Protoˇ cna krivulja

Protoˇcna krivulja prikazuje ovisnost protoka o dubini toka (vodostaju). Uz pomoć Chezyjeve formule za srednju brzinu lako se dolazi do izraza za protok: q

q

Q = Av = AC Rh IE = ko IE

(12.22)

a veliˇcina ko : q

k0 = AC Rh

(12.23)

radi toga jer ima dimenziju protoka, naziva se modul protoka. Protoˇcna krivulja odreduje se raˇcunanjem protoka za razliˇcite dubine toka, i obiˇcno se definira analitiˇcki i prikazuje grafiˇcki. Opˇceniti analitiˇcki izraz za protoˇcnu krivulju ne moˇze se odrediti zato ˇsto je protok odreden sa dvije veliˇcine koje ovise o dubini toka na razliˇcite naˇcine: povrˇsini presjeka toka i hidrauliˇckom radijusu, a te ovisnosti su za svaki presjek korita drugaˇcije. Upotrebom Manningove formule, izraz za modul protoka pojednostavljuje se i glasi: k0 =

2 1 ARh3 n

(12.24)

Kod proraˇcunavanja prtoˇcne krivulje prvo se, za razliˇcite dubine vodotoka, izraˇcunaju hidrauliˇcke karakteristike korita (A, O i Rh ), a nakon toga se raˇcuna modul protoka i sam protok. Kod prirodnih tokova teˇcenje najˇceˇsće nije jednoliko pa se IE ne mjeri. Protoˇcna krivulja odreduje se preko mjerenja raspodjele brzine po presjeku toka, iz ˇcega se raˇcunaju srednje brzine toka, te protok.


148

12.2

Nejednoliko teˇ cenje

Ako tok nije jednolik, hidrauliˇcke karakteristike toka mijenjaju se po njegovoj duljini. Dubina toka (vodno lice) se takoder stalno mijenja, a energetska linija zbog energetskih gubitaka stalno opada. S druge strane, dubina toka na nekim mjestima se moˇze i povećavati. Kod nejednolikoga toka općenito postoje dva moguća oblika slobodne povrˇsine: uspor i depresija (slika 12.3). Kod uspora dolazi do usporavanja toka (smanjenja brzine) i povećanja dubine toka. Dubina toka veća je od normalne. Uzroci uspora mogu biti razliˇciti, a uglavnom se radi o preprekama u toku, promjeni presjeka korita ili smanjenju pada dna korita.

h0 I

h0 I1 I2 Slika 12.3: Oblici slobodne povrˇsine kod nejednolikoga teˇcenja: uspor (gore) i depresija (dolje). U sluˇcaju depresije dolazi do povećanja brzine toka a dubina se smanjuje ispod normalne. Uzroci depresije su obiˇcno povećanja pada dna korita. Proraˇcun nejednolikoga toka uglavnom je sloˇzeniji od proraˇcuna jednolikoga toka. Ako su promjene hidrauliˇckih parametara toka postupne, tok se naziva postupno (sporo) promjenjivi tok, a proraˇcun se odvija tako, da se cijelu duljinu toka dijeli na dijelove unutar kojih se moˇze uzeti da je tok pribliˇzno jednolik. Za svaki takav dio uzima se da je Chezyev koeficijent nepromjenjiv (iako svaki dio ima svoju vrijednost tog koeficijenta) pa se tako na pojedine odsjeˇcke primjenjuje poznate relacije za jednoliki tok. Proraˇcun se poˇcinje od dijela za koji se zna vodostaj i protok, a sljedeće (ili prethodne) odsjeˇcke se onda proraˇcunava uz pomoć Bernoullijeve jednadˇzbe i jednadˇzbe kontinuiteta, pri ˇcemu je ˇcesto puta potrebno koristiti iterativne ili grafiˇcke metode raˇcunanja.

ˇ 12.3: SPECIFICNA ENERGIJA PRESJEKA

12.3

149

Specifiˇ cna energija presjeka

Energija koju jediniˇcna masa fluida posjeduje, mjereno prema dnu toka, naziva se specifiˇ cna energija presjeka: Hs = h + α

v2 2g

(12.25)

Coriolissov koeficijent se za otvorene tokove kreće izmedu 1,0 i 1,1 pa ga ˇcesto ne treba uvoditi u raˇcun. Specifiˇcna energija presjeka se raˇcuna za razliˇcite dubine toka h, pri ˇcemu se protok drˇzi konstantnim. Iz dobivenih rezultata se crta krivulja specifiˇcne energije presjeka (slika 12.4). Hs

Hs=f(h) Hs=h H0

αv2/2g h

45o hc

h

Slika 12.4: Opći izgled grafikona specifiˇcne energije presjeka. Dubina toka hc za koju je specifiˇcna energija presjeka minimalna naziva se kritiˇcna dubina. Tok kod kritiˇcne dubine naziva se kritiˇcni tok. Ako je dubina toka veća od kritiˇcne, brzina toka je malena, dominira potencijalna energija fluida a takav tok se naziva mirni tok. Ako je pak dubina manja od kritiˇcne, brzina toka je velika i dominira kinetiˇcka energija fluida, a takav se tok naziva siloviti tok. Razmatrimo detaljnije situaciju u nekom presjeku toka (slika 12.5). Ako se dubina toka h poveća za diferencijalno malu vrijednost dh, povrˇsina presjeka toka povećat će se za dA = b(h)dh, gdje je b(h) ˇsirina toka kod dubine h. Drugim rijeˇcima, promjena povrˇsine presjeka toka sa dubinom je: dA = b(h) dh S druge strane, specifiˇcna energija presjeka je: Hs = h + α

v2 Q2 =h+α 2g 2gA2

(12.26)

(12.27)

ako se brzina v izrazi preko omjera protoka i povrˇsine presjeka toka. Promjena specifiˇcne energije s dubinom toka je:


150

b(h)

dA dh

A h

Slika 12.5: Raˇcun specifiˇcne energije presjeka u ovisnosti o dubini toka.

dHs αQ2 dA =1− dh g A3 dh

(12.28)

ˇsto uz upotrebu izraza (12.26) daje: αQ2 dHs =1− b=1−Π dh gA3

(12.29)

Bezdimenzionalna veliˇcina Π naziva se parametar kinetiˇ cnosti toka: Π=

αQ2 b gA3

(12.30)

U sluˇcaju da je tok kritiˇcan, specifiˇcna energija toka je minimalna pa njezina derivacija mora isˇcezavati, iz ˇcega slijedi da je u tom sluˇcaju Π = 1. Uz zanemarivanje Coriollisova koeficijenta (stavi se α = 1), slijedi da je za kritiˇcni tok omjer: vc2 =1 ghc

(12.31)

v2 gh

(12.32)

Bezdimenzionalni izraz: Fr =

naziva se Froudeov broj. Ovdje je h (srednja) dubina toka. Froudeov broj se koristi za odredivanje vrste toka. Lako se vidi da je za Fr < 1 tok miran, za Fr = 1 kritiˇcan, a za Fr > 1 silovit.

12.4: PRELJEVI

12.4

151

Preljevi

gornja voda

kruna preljeva

donja voda

Slika 12.6: Oˇstrobridni preljev. Preljev je prepreka u koritu preko koje se tekućina preljeva. Nanjednostavniji preljev je strobridni preljev. zid sagraden popreko na tok (slika 12.6). Ovakav preljev naziva se oˇ Vrh zida naziva se kruna preljeva, koja je u ovom sluˇcaju oˇstri (hidrauliˇcki) gornji rub zida. Preljev dijeli tok tekućine na gornju vodu (tok ispred preljeva) i donju vodu. Ako tok donje vode ne utjeˇce znaˇcajno na tok gornje vode, kaˇze se da je preljev nepotopljen. U suprotnom sluˇcaju (slika 12.7) govori se o potopljenom preljevu. U tom sluˇcaju razina donje vode je bliska ili je ˇcak i viˇsa od krune preljeva. Za odredivanje je li preljev potopljen ili ne, moˇze se koristiti sljedeći kriterij: s < 0, 7hp

(12.33)

Ako je ovaj uvjet zadovoljen, preljev je nepotopljen, a u suprotnom se radi o potopljenom preljevu.

h hp

s hd

Slika 12.7: Potopljeni oˇstrobridni preljev. Kod raˇcunanja protoka preljeva koristi se izraz za protok kroz veliki otvor, u kojem je visina gornjega ruba otvora jednaka razini tekućine (h1 = 0) pa se tako dobije Polenijeva formula za protok preko preljeva:

152


3 2 q (12.34) Q = cb 2g(h0 ) 2 3 µ je koeficijent kontrakcije mlaza (ovdje u vertikalnom smjeru), b je ˇsirina krune preljeva, a h dubina tekućine na preljevu. Zbog spuˇstanja razine tekućine na mjestu preljeva, visina vode iznad krune preljeva mora se mjeriti ispred preljeva, barem na udaljenosti od 4-5 dubina od preljeva (slika 12.8). Sniˇzenje razine tekućine na kruni preljeva moˇze biti do 0,15 visine preljevnoga mlaza.

0,15h h

5h

b

Slika 12.8: Spuˇstanje razine tekućine na preljevu. Zbog toga se dubina tekućine na preljevu mjeri na udaljenosti od 4-5 h iza krune preljeva. Polenijeva formula zanemaruje boˇcnu kontrakciju preljevnoga mlaza, ˇsto je uglavnom opravdano, jer je ˇsirina korita uglavnom mnogostruko veća od dubine toka, pa relativno maleno boˇcno suˇzenje nema bitan utjecaj na protok. Suprotno tome, kontrakcija u vertikalnom smjeru ne smije se zanemariti, i opisuje se koeficijentom kontrakcije mlaza c. U dijelu literature koristi se umjesto koeficijenta kontrakcije mlaza Bazinov koeficijent kontrakcije koji vrijedi samo za oˇstrobridni preljev: 2 m= c 3

(12.35)

ˇsto pojednostavljuje izraz za protok: q

3

Q = mb 2g(h0 ) 2

(12.36)

Bazin-ov koeficijent kontrakcije raˇcuna se po empirijskoj formuli: 

h m = m0 1 + 0, 55 h + hp

!2  

(12.37)

gdje je: m0 = 0, 405 +

0, 003 h

(12.38)

12.4: PRELJEVI

153

pri ˇcemu h mora biti izraˇzen u metrima. Kod proraˇcunavanja potopljenoga oˇstrobridnog preljeva Bazinov koeficijent kontrakcije se joˇs dodatno mnoˇzi s Bazinovim koeficijentom potopljenosti: h σ = 1, 05 1 + 0, 2 hp

12.4.1

!s 3

h − hd h

(12.39)

Preljev sa ˇ sirokim pragom

EL

hv h0

hc

h

hd

hp

Slika 12.9: Preljev sa ˇsirokim pragom u stvari je ˇsiroka ploˇca na dnu korita. Ako je kruna preljeva ˇsiroka, govori se o preljevu sa ˇsirokim pragom. Kod ovakvoga preljeva visina samoga preljeva znatno je manja od njegove ˇsirine. Ovakav preljev je nepotopljen, ako je dubina vode na njemu manja od kritiˇcne dubine, dakle ako je zadovoljen uvjet (slika 12.9): hd < hc

(12.40)

Za proraˇcun nepotopljenoga preljeva sa ˇsirokim pragom koriste se iskustvene formule Berezinskijeva: q

3

Q = mb 2gh02

(12.41)

gdje se koeficijent preljeva raˇcuna po slijedećim izrazima: 0, 6 <

hp < 2, 5 h

m = 1, 973 − 0, 222

2, 5 <

hp < 10 h

m = 1, 706

hp h

1 + 1, 30 hhp 1 + 1, 63 hhp

(12.42)

(12.43)


154

12.4.2

Preljev praktiˇ cnoga profila

h

hv

hp

Slika 12.10: Preljev praktiˇcnoga profila slijedi donju strujnicu u mlazu tekućine. Potreban oblik presjeka proraˇcunava se numeriˇcki, pa se kod gradnje koriste unaprijed definirani oblici. Da se izbjegne nastajanje podtlaka ispod mlaza tekućine koji se prelijeva preko preljeva, cnoga profila kod kojih oblik preljeva na strani donje vode izraduju se preljevi praktiˇ slijedi donju strujnicu tekućine (slika(12.10). Potreban oblik preljeva je standardiziran i moˇze se naći u raznim tehniˇckim priruˇcnicima. Proraˇcun preljeva praktiˇcnoga profila radi se po Polenijevoj formuli, a odgovarajući koeficijenti prelijevanja definiraju se redovito na osnovi dijagrama iz struˇcne literature.

12.4.3

Slapiˇ ste i vodni skok 0

1

ho

2

h2

h1

v2

v1

0

1

2

Slika 12.11: Presjek kroz slapiˇste i vodni skok koji nastaje iza njega. Energetska linija ucrtana je crtkano. Slapiˇste je dio hidrotehniˇcke gradevine na kojem se disipira energija oslobodena prilikom prelijevanja vode preko preljeva. Naime, preljevni mlaz ima dovoljnu brzinu da teˇce silovito, ˇsto na dnu toka izaziva velika naprezanja u materijalu podloge, pa se teˇzi tome da se siloviti

12.4: PRELJEVI

155

tok na samoj gradevini prevede u mirni. Mjesto gdje dolazi do usporavanja silovita toka i prelaska u mirni tok naziva se vodni skok (hidrauliˇcki skok). U ovom sluˇcaju razlikuje se dvije karakteristiˇcne dubine: prva konjugirana dubina h1 u silovitom toku ispred vodnoga skoka te druga konjugirana dubina h2 iza vodnoga skoka. Sam vodni skok moˇze biti potopljen. Tada je dubina mirne vode hm veća od druge konjugirane dubine h2 . U suprotnom sluˇcaju kaˇze se da je vodni skok odbaˇcen: on se tada javlja na nekoj udaljenosti od gradevine. Ako se vodni skok nalazi na granici izmedu ova dva sluˇcaja, govori se o kritiˇcnom (nestabilnom) stanju. U praksi se teˇzi potapanju vodnoga skoja jer je tada moguće ostvariti kraće slapiˇste. Proraˇcun vodnoga skoka zapoˇcinje postavljanjem Bernoullijeve jednadˇzbe za presjeke 0-0 i 1-1 (slika 12.11) jer je energetska visina u presjeku 0-0 (ho ) poznata: h0 = h1 +

v2 v12 +ζ 1 2g 2g

(12.44)

U daljnjem raˇcunu pretpostvalja se pravokutni presjek korita, ˇsirine b, pa je: v1 =

Q bh1

(12.45)

ˇsto se uvrsti u Bernoulli-jevu jednadˇzbu: Q2 h0 = h1 + (ζ + 1) 2gh21

(12.46)

uz: ϕ= √

1 1+ζ

(12.47)

je: h1 =

Q

(12.48)

q

ϕ 2g(h0 − h1 )

ϕ se uglavnom kreće izmedu 0,95 i 1,0 pa se ˇcesto puta zanemaruje. Druga konjugirana dubina, h2 , se nalazi uz pomoć ravnoteˇze sila u presjecima 1-1 i 2-2. Pri tome je ukupna tlaˇcna sila dana kao: ρg 2 h 2 a ukupna sila nastala zbog gibanja tekućine (dinamiˇcki tlak) kao: P =

Q2 Qv =ρ 2 h bh Izjednaˇcavanje ovih sila u presjecima 1-1 i 2-2 daje:

(12.49)

F =ρ

(12.50)

P1 + F 1 = P2 + F 2

(12.51)

odnosno: 1 2 Q2 h2 − h21 = 2 2 bg

1 1 − h1 h2

(12.52)

156


Protok se izrazi preko brzine i dubine u presjeku 1-1: Q = v1 bh1

(12.53)

pa se nakon sredivanja dolazi do izraza za drugu konjugiranu dubinu: h2 =

v u u t1 + 8



v12 − 1 gh1

(12.54)

razlomak ispod korjena je Froudeov broj, Fr : Fr1 =

v12 gh1

(12.55)

pa se vidi da druga konjugirana dubina ovisi o Froudeovom broju: h2 =

q

1 + 8Fr1 − 1

(12.56)

Duˇzina vodnoga skoka procjenjuje se iskustvenim izrazom (Smetana 1933): Ls = 6(h2 − h1 )

(12.57)

a za potrebnu duˇzinu slapiˇsta uzima se 10% veća duˇzina (Jović 1977): Lslp = 1, 1Ls

(12.58)

Literatura [1] Agroskin, I. I., Dmitrijev, G. T., Pikalov, F. I. Hidraulika, Tehniˇcka knjiga, Zagreb 1973. [2] Bollrich, G. Technische Hydromechanik Band 1, Verlag Bauwesen, Berlin 2000. [3] Shaughnessy, E. J. Jr., Katz, I. M., Scaffer, J. P. Introduction to fluid mechanics, Oxford University Press, New York 2005. [4] Jović, V. Osnove hidromehanike, Element, Zagreb 2006. [5] Tavoularis, S. Measurement in fluid mechanics, Cambridge University Press, Cambridge UK 2005. [6] Chow, V.T. Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, Singapure 1986. ˇ [7] Cavlek, E. Hidraulika, Geodetski fakultet Sveuˇciliˇsta u Zagrebu 1975. [8] Fancev, M. Mehanika Fluida, Tehniˇcka Enciklopedija, Svezak 8, Jugoslavenski Leksikografski zavod, Zagreb, str. 67-173, 1982. ˇ [9] Peˇcornik, M. Tehniˇ cka mehanika fluida, Skolska knjiga, Zagreb, 1985. ˇ [10] Peˇcornik, M. Zbirka zadataka iz mehanike fluida, Skolska knjiga, Zagreb, 1995. [11] Tanguy, J.-M., ed. Environmental Hydraulics, Vol. 1, Wiley, Hoboken, USA, 2010.

157

Indeks π teorem, 69 ˇcestica fluida, 14

hidrauliˇcki radijus otvoreni tok, 144 hidrostatska sila dno posude, 28 ravne stijenke, 31 stijenka cijevi, 36 zakrivljena stijenka, 34 hidrostatski paradoks, 29 hidrostatski tlak dno zatvorene posude, 30 sile, 28 hrapavost stjenka cijevi, 101

anomalije vode, 10 apsolutni koeficijent viskoznosti, 5 Arhimedov zakon, 37 atmosfera, standardna, 26 barometar, 25 Bazinov koeficijent kontrakcije, 152 Bernoullijeva jednadˇzba, 71 za idealnu tekućinu, 73 za realnu tekućinu, 77 bezdimenzionalni monom, 69 Blasiusova formula, 100

idealni fluid, 71 istjecanje, 131 koeficijent istjecanja, 132 koeficijent kontrakcije, 132 koeficijent smanjena brzine, 132 mali otvor, 131 mali otvor ispod povrˇsine tekućine, 133 nestacionarno, 137 posuda pod tlakom, 134 Torricellijeva brzina, 132 veliki otvor, 135 veliki otvor ispred kojeg tekućina ne miruje, 136 izlazna energija, 115 izvori, 54

Chezyeva formula, 145 cjevovod definicija, 85 jednadˇzba gubitaka, 85 Colebrook-Whiteova formula, 103 Coriolissov koeficijent, 75 depresija, 148 dimenzionalna analiza, 67 dinamiˇcki koeficijent viskoznosti, 5 duljina formiranja laminarnog toka, 92 ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka, 121 Eulerov pristup, 50 Eulerova jednadˇzba, 15 kvazi 1-D, 17

jednoliko teˇcenje, 145 kapilarnost, 10 Karmanov 1/7-ki zakon, 100 kinematiˇcki koeficijent viskoznosti, 6 kinematika fluida, 49 Kirchofov zakon, 116 koeficijent brzine, 91 koeficijent istjecanja, 132 koeficijent kontrakcije, 132 koeficijent smanjena brzine, 132

Froudeov broj, 150 gubici Darcy-Wiessbachova formula, 87 odredivanje, 78 gustoća, 4 Hagen-Poiseullov zakon, 89 hidrauliˇcka glatkost, 101 158

INDEKS koeficijent trenja definicija, 87 Hagen-Poiseullov zakon, 89 hidrauliˇcki hrapava cijev, 102 laminarno teˇcenje, 91 kut moćenja, 10 Lagrangeov pristup, 49 laminarno teˇcenje, 88 lokalni gubici, 105 difuzor, 111 dijafragma, 108 filter, 114 izlazna energija, 115 izlazni otvor, 114 konfuzor, 110 luk, 113 proˇsirenje, 111 raˇcva, 114 reˇsetka, 114 sapnica, 108 spojnica, 114 suˇzenje, 109 ulazni otvor, 106 ventil, 113 ventili, 112 Venturijeva cijev, 112 Manningov koeficijent hrapavosti, 146 Manningova formula, 145 Manningova formula za koeficijent trenja cijevi, 147 manometar, 27 mlaz, 138 horizontalni, 140 vertikalni prema dolje, 141 vertikalni prema gore, 142 model kontinuuma, 13 Moodyev dijagram, 103

159 pad dno korita, 144 energetska linija, 144 vodno lice, 144 Pascal-ov zakon, 24 piezometar, 26 plutanje, 37 indiferentna ravnoteˇza, 39 labilna ravnoteˇza, 39 stabilna ravnoteˇza, 39 Polenijeva formula, 152 ponori, 54 potencijalno strujanje, 55 povrˇsinska napetost, 9 Prandtl-Karmanova formula, 100 Prandtlova relacija, 96 preljev, 151 Bazinov koeficijent kontrakcije, 152 formule Berezinskijeva, 153 Polenijeva formula, 152 praktiˇcnoga profila, 154 sa visokim pragom, 153 prikazivanje energetske linije, 122 prikazivanje piezometarske linije, 122 princip analitiˇcnosti, 67 princip homogenosti, 67 proraˇcun jednostavnoga cjevovoda, 119 protjecanje, 3 protoˇcna krivulja, 147 pumpa, 127 Reynoldsov pokus, 81 rotacija tekućine otvorena posuda, 42 zatvorena posuda, 45

nejednoliko teˇcenje, 148 depresija, 148 uspor, 148 nestacionarno istjecanje, 137 Newton-ov pokus, 5 Nikuradzeova formula, 102 normalna dubina, 145

slapiˇste, 154 Smetanaov izraz, 156 specifiˇcna energija presjeka, 149 specifiˇcna teˇzina, 4 staza ˇcestice, 52 Stricklerov koeficijent glatkosti, 146 Stricklerova formula, 146 strujna cijev, 54 strujnica, 52 strujno vlakno, 54

optjecanje, 3

teˇcenje u otvorenim koritima, 143

160 tlaˇcna skala visine, 26 tlak para, 7 Torricellijeva brzina, 132 translacija tekućine horizontalno ubrzanje, 40 koso ubrzanje, 41 vertikalno ubrzanje, 41 turbulentno teˇcenje, 93 uspor, 148 uzgon, 36 Vaschy-Buckinghamov teorem, 69 viskoznost, 5 vodni skok, 154 volumni modul stlaˇcivosti, 6 vrtloˇzno teˇcenje, 93 Coriollisov koeficijent, 99 koeficijent brzine, 99 profil brzine, 96 zakon kontinuiteta, 61 zakon neprekidnosti, 61 zbrajanje otpora, 116

INDEKS

mehanika_fluida

Recommend Documents